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lgebra LinearAutovalores e Autovetores

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 1

Prof. Carlos Alexandre [email protected]

Autovalores e Autovetores

Dada uma transformao linear de um espao vetorial nele mesmo, T:VV, gostaramos de saber qu vetores seriam levados neles mesmos por essa transformao

Isto , dada T:VV, quais os vetores vV tais


Isto , dada T:VV, quais os vetores vV tais que T(v) = v?

v chamado de vetor fixo Obviamente, a condio vlida para v igual ao

vetor nulo (pela definio de transf. linear), logo, vamos desconsider-lo


Aplicao:

Soluo de equaes diferenciais

Equaes do tipo: a.x + bx + c = d, onde x=dx/dy



Exemplo 1:

I:R2 R2

(x, y) (x, y)Transformao Identidade


Neste caso, todo R2 fixo uma vez que I(x, y) = (x, y) para todo (x, y)R2


Exemplo 2: rX:R2 R2 (x, y) (x, -y)Ou

Reflexo no Eixo-x

x 1 0 xrXw


Podemos notar que todo vetor pertencente ao eixo x mantido fixo pela transformao rx. De fato:

xy

1 00 -1

xy

rX(w)

x0

1 00 -1

x0 = Ou seja rx(x, 0) = (x, 0)


Exemplo 2:Ainda mais, esses vetores so nicos com essa

propriedade j que:

Reflexo no Eixo-x

xy

1 00 -1

xy =

Cont.

x + 0y = x0x y = y


y0 -1 y= 0x y = y

x = xy = -y y = 0


Exemplo 3:

N:R2 R2

(x, y) (0, 0)Transformada nula


Nesse caso, o nico vetor fixo N(0, 0) = (0, 0)


Considere o seguinte problema: dada uma transformao linear de um espao vetorial T:VV, estamos interessados em saber quais vetores so levados em um mltiplo de si mesmos; isto , procuramos um vetor vV e um escalar R tal que:


escalar R tal que:T(v) = .v

Neste caso, T(v) ser um vetor de mesma direo que v


Como v = 0 satisfaz a equao para todo , estamos interessados em v0

O escalar chamado de autovalor ou valor caracterstico de T


caracterstico de T O vetor v chamado de autovetor ou vetor

caracterstico de T Chamaremos de Operador Linear

transformao T:VV


Definio: Seja T:VV um operador linear. Se existirem vV, v0 e R tais que Tv = v, um autovalor de T e v um autovetor de T associado a


associado a

Observe que pode ser zero enquanto v no pode ser o vetor nulo


Exemplo 1:T:R2 R2v 2v

xy

2 0 xy = = 2

2x2y

xy


Neste caso, 2 um autovalor e qualquer (x, y)(0, 0) um autovetor associado ao autovalor 2

y2 00 2 y

= = 22y y


Exemplo 2: Reflexo no eixo x rx:R2 R2 (x, y) (x, -y)

xy

1 00 -1

xy


Os vetores da forma so tais que:

y 0 -1 y0y

1 00 -1

0y = = -1

0-y

0y

Assim, todo vetor (0,y),y 0, autovetor derx com autovalor =-1


Exemplo 2: Reflexo no eixo xComo vimos antes, os vetores (x, 0) so fixos por

essa transformao rx (x, 0) = 1.(x, 0)

Ou seja, (x, 0) um autovetor associado ao autovalor = 1, com x 0

Cont.

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autovalor = 1, com x 0Assim, existem dois autovalores para essa

transformao com um autovetor associado a cada autovalor


Exemplo 3: Rotao de 90 em torno da origem rx:R2 R2 (x, y) (-y, x)

xy

0 -11 0

xy =

-yx


Nenhum vetor diferente de zero levado por T num mltiplo de si mesmo

Logo, T no tem autovalores (consequentemente, tambm no tem autovetores)

y 1 0 y x


Exemplo 4:Seja A =

Ento 2 20 1

xyA. = =

2x + 2yy

2 20 1xy


e TA(x, y) = (2x + 2y, y)Para procurar os autovalores e autovetores de TA

resolvemos a equao TA(v) = vOu seja....

0 1 yA. = = yy


Exemplo 4:

i) Se y0, de (2) temos = 1 2x + 2y = x y = -x autovalor = 1 e autovetores do tipo (x, -x), x0

xy= . =

2x + 2yy

xy

Cont.

2x + 2y = xy = y

(1)

(2)


autovalor = 1 e autovetores do tipo (x, -x), x0 ii) Se y = 0 x 0 (seno, o autovetor seria o vetor

nulo). De (1), 2x + 0 = x = 2. Logo, o outro autovalor 2 com autovetor associado (x, 0), x 0

Assim, para essa transformao T temos autovetores (x,-x), x0, associados ao autovalor 1 e os autovetores (x, 0), x 0, associados ao autovalor 2


Teorema: Dada uma transformao T:VV e um

autovetor v associado ao autovalor , qualquer

vetor w = v ( 0) tambm autovetor de T


associado a

Definio: O subespao V

= {vV: T(v) = v} chamado de subespao associado ao autovalor

Polinmio Caracterstico

Exemplo: Seja4 2 0-1 1 00 1 2

A =


Procuramos vetores vR3 e escalares R, tais que A.v = .v

Observe que, se I for a matriz identidade de ordem 3, ento a equao acima pode ser escrita na forma Av=(I)v, ou ainda (A I)v = 0

Explicitamente.....


Exemplo:

4 2 0-1 1 00 1 2

Cont.

0 00 00 0

xyz

=

000


4- 2 0-1 1- 00 1 2-

xyz

=

000


Exemplo:Para soluo do sistema, se o determinante da matriz

dos coeficientes for diferente de zero, a soluo nica ser x = y = z = 0 que no nos interessa (vetor nulo)

Como estamos procurando autovetores v0, para satisfazer a condio acima precisamos ter:

Cont.


satisfazer a condio acima precisamos ter:

= 0det4- 2 0-1 1- 00 1 2-


Exemplo: (4 ).(1 ).(2 ) + 2.(2 ) = 0 -3 + 72 - 16 + 12 = 0 ( 2)2( - 3) = 0Logo, = 2 e = 3 so solues do polinmio

Cont.



caracterstico de A e, portanto, os autovalores da matriz A so 2 e 3

Conhecendo os autovalores, podemos buscar os autovetores resolvendo a equao Av = v para cada autovalor


Exemplo: = 2:

Cont.

4 2 0-1 1 00 1 2

xyz

= 2xyz

4x + 2y = 2x


Logo, os autovetores so do tipo (0, 0, z) para o autovalor = 2. Ou seja, pertencem ao subespao [(0,0,1)]

4x + 2y = 2x-x + y = 2y x = yy + 2z = 2z y = 0 x = 0


Exemplo: = 3:

Cont.

4 2 0-1 1 00 1 2

xyz

= 3xyz

4x + 2y = 3x


Logo, os autovetores so do tipo (-2y, y, y) para o autovalor = 2. Ou seja, pertencem ao subespao [(-2,1,1)]

4x + 2y = 3x-x + y = 3y x = -2yy + 2z = 3z y = z


De maneira geral, seja A uma matriz de ordem n, os autovalores de A so aqueles que satisfazem det(A I) = 0


P() = det(A I) um polinmio de grau n e o polinmio caracterstico da matriz A


Exemplo 1: Seja:-3 4-1 2

A = det(A I) = det -3- 4-1 2-

(-3 )(2 ) + 4 = 2 + 2 = P()


(-3 )(2 ) + 4 = 2 + 2 = P() P() = 0 2 + 2 = 0 ( - 1)( + 2) = 0 = 1 ou = -2


Exemplo 1: Autovetores: i) Para = 1

Cont.

-3 4-1 2

xy = 1.

xy


-3x + 4y = x-x + 2y = y x = y

v = (x, x), x 0


Exemplo 1: Autovetores: ii) Para = -2

Cont.

-3 4-1 2

xy = -2.

xy


-3x + 4y = -2x x = -4y-x + 2y = -2y x = -4y

v = (-4y, y), y 0


Exemplo 2: (Questo 8) Encontre a transf. linear T:R2 R2, tal que T tenha autovalores -2 e 3 associados aos autovetores (3y, y) e (-2y, y) respectivamente.

Soluo:


Soluo:De maneira geral, temos:

a bc d

xy

xy= . =

ax + bycx + dy

xy

ax + by = xcx + dy = y

x(a - ) + by = 0cx + y(d - ) = 0


Exemplo 2: (Questo 8) i) = -2

x(a + 2) + by = 0cx + y(d + 2) = 0

Cont.


Mas, para = -2, temos o autovetor (3y, y) ou seja x = 3y:

3y(a + 2) + by = 03cy + y(d + 2) = 0

3a + b = -63c + d = -2 (I)


Exemplo 2: (Questo 8) i) = 3

x(a - 3) + by = 0cx + y(d - 3) = 0

Cont.


Mas, para = 3, temos o autovetor (-2y, y) ou seja x = -2y:

-2y(a - 3) + by = 0-2cy + y(d - 3) = 0

-2a + b = -6-2c + d = 3 (II)

De (I) e (II): a = 0, b = -6, c = -1, d = 1


Exemplo 2: (Questo 8)Logo:

Cont.

a bc dT = =

0 -6-1 1



Exemplo 3: (Questo 4) Ache os autovalores e autovetores da transformao T:R3 R3 tal que (x, y, z) (x + y, x y + 2z, 2x + y z).

Soluo:x + y

x y +2zx


x y +2z2x + y - z

= yz

1 1 01 -1 22 1 -1

= xyz

xyz


Exemplo 3: (Questo 4) Soluo:

Cont.

1- 1 01 -1- 22 1 -1-

det = 0


2 1 -1-

(1 )(-1 )2 + 4 1.(-1 ) 2.(1 )= 0(1 )(-1 )2 + 4 + 1 + 2 + 2= 0(1 )(-1 )2 + 3 + 3 = 0(1 )(1 + )2 + 3(1 + ) = 0(1 + )[(1 )(1 + ) + 3] = 0



Cont.

(1 + )[(1 )(1 + ) + 3] = 0(1 + )[1 2 + 3] = 0(1 + )(4 2) = 0


(1 + )(4 2) = 0(1 + )(2 )(2 + ) = 0

Autovalores:1 = -1, 2 = 2, 3 = -2



Cont.

Autovetores (de forma geral):

x + y = x


x + y = xx y + 2z = y2x + y z = z



Cont.

Autovetor associado a 1 = -1:

x + y = -1x y = -2x


x + y = -1xx y + 2z = -1y2x + y z = -1z

y = -2xz = -x/2

Logo, o autovetor associado ao autovalor 1 :v1 (x, -2x, -x/2) [(1, -2, -1/2)]



Cont.

Autovetor associado a 2 = 2:

x + y = 2x y = x


x + y = 2xx y + 2z = 2y2x + y z = 2z

y = xz = xz = x

Logo, o autovetor associado ao autovalor 2 :v2 (x, x, x) [(1, 1, 1)]



Cont.

Autovetor associado a 3 = -2:

x + y = -2x y = -3x


x + y = -2xx y + 2z = -2y2x + y z = -2z

y = -3xz = xz = x

Logo, o autovetor associado ao autovalor 3 :v3 (x, -3x, x) [(1, -3, 1)]

Exerccios Sugeridos

2 3 4 7 a 18 22


22

A Seguir...


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