CÁLCULO DE AUTOVALORESCÁLCULO DE AUTOVALORES

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)Departament de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)http://www-lacan.upc.es

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)Departament de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)http://www-lacan.upc.es

1. INTRODUCCIÓN1. INTRODUCCIÓN

�Problema estándar

�Problema generalizado

λ autovalor / valor propio

v autovector / vector propio

· 2

v autovector / vector propio

ÁLGEBRA LINEAL: los autovalores son las raíces del polinomio característico

Inconvenientes:1. Cálculo de determinantes (∼n! operaciones), agrupación de

términos2. Acumulación de errores de redondeo3. No se aprovechan las cualidades de las matrices (simetría,

definición positiva, estructura especial...)

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Necesidad de algoritmos alternativos Necesidad de algoritmos alternativos más eficientesmás eficientes

Aplicaciones en ingeniería civilAplicaciones en ingeniería civil

– Cálculo dinámico de estructuras: sismos, vibraciones, viento...

– Análisis de pandeo

– Problemas de ondas: ingeniería marítima, problemas

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– Problemas de ondas: ingeniería marítima, problemas medioambientales (contaminación acústica)

– Herramientas auxiliares para la resolución de sistemas de ecuaciones: número de condición (si SDP máx λi / mín λi), radio espectral (máx λi),

2.1 Problema estándar

Teorema 1 [Teorema espectral del álgebra]: Si es simétrica, entonces diagonaliza (con autovalores reales) en una base ortonormal.

2. FUNDAMENTOS2. FUNDAMENTOS

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n autovectores ortonormales

n autovalores tales que

� En forma matricial

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� U es ortogonal diagonalización de A

Si A es simétrica y definida positiva (SDP)

Si A es simétrica y semidefinida positiva

2.2 Problema generalizado2.2 Problema generalizado

Aplicación: Análisis modal en dinámica estructural

xx: desplazamientos : desplazamientos nodalesnodales

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El desplazamiento en la viga se interpola a partir de los valores nodales

Ecuación de equilibrio (oscilaciones libres):

nodalesnodales

MM: matriz de masa (SDP): matriz de masa (SDP)KK: matriz de rigidez: matriz de rigidez

Se busca una solución de la forma con φ vector de desplazamientos nodales constante (modo) y ω frecuencia de vibración (frecuencia propia)

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Sustituyendo en la ecuación de equilibrio

¿Cómo son los autovalores del problema generalizado?¿Cómo son los autovalores del problema generalizado?

� simétricas ⇒⇒⇒⇒ autovalores reales

Ejemplo:

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con

los autovalores son

Teorema 2: si son simétricas y M es definida positiva, entonces existen n autovalores reales

y n autovectores

• M-ortonormales:

• K-ortogonales:

· 10

• K-ortogonales:

2.3 Reducción del problema generalizado al problema estándar

2.3 Reducción del problema generalizado al problema estándar

1. M invertible:

Aunque M y K sean simétricas, A* puede ser no simétrica.

· 11

Aunque M y K sean simétricas, A* puede ser no simétrica.

Sólo es simétrica si K y M-1 conmutan ����

2. K y M simétricas, y M definida positiva:

• Si M SDP � descomposición de Cholesky

A*A* v*v* v*v*= = λλλλλλλλ

con

Se conserva la simetría

· 12

Se conserva la simetría

Sin embargo, a veces no conviene transformar el problema. Por ejemplo, si M y K son matrices en banda, L es en banda pero L-1 es una matriz llena � A* es llena. ����

Demostración del Teorema 2Demostración del Teorema 2

� K y M simétricas, y M definida positiva � A* real y simétrica

� Por el Teorema 1 (Teorema espectral del álgebra), A* diagonaliza en una base ortonormal• autovalores reales λi

• autovectores ortonormales

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� El problema generalizado tiene autovalores λi y autovectores que cumplen• M-ortonormales:

• K-ortogonales:

3. PROPIEDADES GENERALES de matrices simétricas

3. PROPIEDADES GENERALES de matrices simétricas

PROBLEMA ESTÁNDAR:

La matriz verifica

Solución propiaSolución propia

3.1 Deflación3.1 Deflación

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Demostración:

uukk pasa a tener pasa a tener autovalor 0autovalor 0

� PROBLEMA GENERALIZADO:

La matriz verifica

Solución propiaSolución propia

uukk pasa a tener pasa a tener

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Demostración: (ejercicio)

uukk pasa a tener pasa a tener autovalor 0autovalor 0

3.2 Traslación3.2 Traslación

� PROBLEMA ESTÁNDAR:con autovalores λi y autovectores ui

tiene los mismos autovectores ui, pero con autovalores

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Demostración:

� PROBLEMA GENERALIZADO:

con tiene los mismos autovectores ui, con autovalores

3.3 Cociente de Rayleigh3.3 Cociente de Rayleigh

� PROBLEMA ESTÁNDAR: A real, simétrica

Expresión alternativa en la base de autovectores:

Cociente de RayleighCociente de Rayleigh

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Expresión alternativa en la base de autovectores:

Demostración:

· 18

utilizando

Propiedades del cociente de RayleighPropiedades del cociente de Rayleigh

1. -

2. -

3. Si con

· 19

3. Si con

Demostración 1.Demostración 1.

Caso 1: A definida positiva

a)

· 20

b)

Caso 2: A no definida definida positiva

Se considera p tal que y la traslación

• El cociente de Rayleigh cumple

· 21

• B tiene autovalores

B definida positiva B definida positiva (caso 1)(caso 1)

Demostración 2.Demostración 2.

Demostración 3.Demostración 3.

· 22

convamos a comprobar que

==λλiiuu

ii

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� PROBLEMA GENERALIZADO:

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Cociente de RayleighCociente de Rayleigh

4. MÉTODOS DE ITERACIÓN VECTORIAL (von Mises o de las potencias)

4. MÉTODOS DE ITERACIÓN VECTORIAL (von Mises o de las potencias)

4.1 Método de iteración vectorial directaLa Iteración Vectorial Directa (IVD) proporciona el autovalordominante (el más alejado de cero) y el autovector asociado

� PROBLEMA ESTÁNDAR: A real, simétrica

Atención a la Atención a la nueva numeraciónnueva numeración

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� PROBLEMA ESTÁNDAR: A real, simétrica• vector inicial casi-arbitrario v0

• iteraciones

• Convergencia: tal que

Autovalor dominante (con su signo)

Algoritmo IVD problema estándarAlgoritmo IVD problema estándar

Dado v0 casi-arbitrario

k = 0, 1, 2...k = 0, 1, 2...

· 26

k = 0, 1, 2...k = 0, 1, 2...

demostración convergencia IVDdemostración convergencia IVD

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Caso general: λn autovalor dominante con multiplicidad p

· 28

ObservacionesObservaciones

� Existen otras versiones del algoritmo. Los vectores se pueden normalizar dividiendo por su norma, pero hay otras opciones. Por ejemplo,

· 29

� El vector inicial no es totalmente arbitrario

� Convergencia

� PROBLEMA GENERALIZADO:

• vector inicial casi-arbitrario v0

• iteraciones

y utilizar IVD

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• Convergencia: tal que

AlgoritmoAlgoritmo

yykk

ωωk+1k+1

· 31

yykkωωk+1k+1

El algoritmo se simplifica obviando el cálculo de vk

Algoritmo IVD problema generalizadoAlgoritmo IVD problema generalizado

· 32

4.2 Método de iteración vectorial inversaLa Iteración Vectorial Inversa (IVI) proporciona el autovalormás cercano a cero (el mínimo en valor absoluto, con su signo) y el autovector asociado

� PROBLEMA ESTÁNDAR:

· 33

tiene los mismo autovectores con autovalores

IVD con AIVD con A--11

Algoritmo IVI problema estándarAlgoritmo IVI problema estándar

ωωk+1k+1

En la práctica no se calcula A-1

· 34

calcula A-1

??

� La convergencia se puede acelerar con una traslación

ObservacionesObservaciones

IVI paraIVI para

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� Cálculo del autovalor más cercano a un valor dado (o del autovector asociado a un autovalor conocido)

� PROBLEMA GENERALIZADO:

IVI para A � IVD para A-1

yykk

ωωk+1k+1

· 36

yykk

zzk+1k+1

ωωk+1k+1

AlgoritmoAlgoritmo

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(versión 1)(versión 1)(versión 2)(versión 2)

Algoritmo IVI problema generalizadoAlgoritmo IVI problema generalizado

· 38

≈ ≈ λλ11 ??

5. OTROS MÉTODOS5. OTROS MÉTODOS

� Métodos de iteración polinómica• iteración polinómica explícita• iteración polinómica implícita

� Métodos de ortogonalización• descomposición en valores singulares (SVD)• Jacobi

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• Jacobi