Axiomatica de Peano (Número Natural)

Ce.R.P. del Centro Área Matemática

1

Álgebra 4° año Prof. Cecilia Mir

Modificaciones de: Lucía Andrade, Pierina Costa, Nadia Irureta, Ana Laura Machado.

NÚMERO NATURAL

TEORÍA AXIOMÁTICA DE PEANO

Los Elementos de Euclides (siglo III A.C.) constituyen un remoto y magnífico intento

de desarrollar la Geometría como sistema deductivo. Tales intentos no se dan en la aritmética

sino hasta épocas relativamente recientes. Aún desarrolladas de modo más o menos informal las

ampliaciones del concepto de número para obtener a partir de los números naturales (0, 1, 2,

3,…..) clases cada vez más amplias de números (enteros, racionales, reales, complejos,…),

durante gran parte del siglo XIX el concepto de número natural aparecía como algo tan simple

y transparente a la mente, que parecía difícil analizarlo o referirlo a otros conceptos más

simples. En este sentido afirma L. Kronecker: “el número natural fue creado por dios; todo lo

demás es obra del hombre”

G. Peano (1858 – 1932) y R. Dedekind (1831 – 1916) fundamentaron el número natural

en cinco axiomas, a partir de los cuales desarrollan el estudio de propiedades, operaciones, etc.

Conceptos primitivos

1) Un conjunto cuyos elementos se llaman “números naturales”.

2) Un objeto matemático llamado “cero” e indicado por el símbolo 0.

3) Una relación binaria en (o sea de en ) denotada por “es siguiente de” o por el

símbolo “ sg ”. Dado un elemento x , un elemento de que estén esa relación con

él se llamará “siguiente de x ” y se indicará “ sg x ”.

Los conceptos primitivos anteriores se caracterizan implícitamente por las siguientes

proposiciones llamadas

Axiomas de Peano:

Axioma 1: 0

Axioma 2: Si x , existe y es único sg x

Axioma 3: , 0x sg x

Axioma 4: Si sg x sg y , entonces x y .


2



Axioma 5: (Axioma de I.C.)

0

H

H H

x H sg x H

Observaciones:

El axioma 2 expresa que la relación sg es una función de en ; el axioma 4

expresa que esta función es inyectiva; de los axiomas 1 y 3 se deduce que no es

sobreyectiva, pues un elemento de , indicado por 0, queda fuera de su recorrido.

Un conjunto H se llama inductivo si verifica: x H sg x H . Con esta

definición el axioma 5 puede enunciarse: “Un subconjunto inductivo de que

contenga a 0 es todo ”.

Teorema 1:

x y sg x sg y

Dem

Supongamos que: .4Ax

sg x sg y x y Absurdo (contradice Hipótesis)

x y sg x sg y

Teorema 2:

sg x x x

Dem

.3 .5

.1

/

.1: 0 0 0 0,

/

Ax Ax

Teo

Sea C x x sg x x C

por Ax sg C Cx sg x x

x C sg x x sg sg x sg x sg x C

C x x sg x x


3



Teorema 3:

, 0, /x x y x sg y

Dem

Sean /C x x verifica el teorema y ' 0C C

* '

*0 '

*B.I : (0) , (0) 0 0 / (0) (0)

*H.I : ', , 0 / ( )

T.I : ( ) ,

1

( ) 0 / ( )

2

) (

3

C

C

sg sg sg sg

x C x x y x sg y

sg x sg x y sg x sg y

Dem

Por . : ( ) ( ) ( ( )) ( ) ' 4H I x sg y sg x sg sg y sg x C

De 1 , 2 , 3 y 4 por el Axioma 5: 'C

y por el Axioma 5: 'C

' 0, 0 se verifica el teorema.

0

C Cx x

C

Notación: 0

Corolario 1:

El “ y ” del Teorema 3 es único.

Dem

Por Ax. 4 y Teo. 3:

1: :sg x es biyectiva sg biyectiva llamada precedencia

diremos que x pr y (“ x precede a y ” o “ x es precedente de y ”)

x pr y sg x y

Corolario 2:

* :x sg pr x x

Dem 1 1sg pr x sg sg x sg sg x Id x x (La composición de

funciones inversas es la identidad)


4



SUMA Y PRODUCTO

Teorema 4:

Sea la aplicación :f tal que para todo par ( , ) ( , )x y f x y , se

verifica:

,0

, ( )

1

( ,2 ) ,

f x x x

f x sg y sg f x y x y

Veamos que esta aplicación existe y es única.

Dem

Existencia

Sea

/ : quecumple : ,0

, ( ) ( , )

x x

x x

x f x i f x xH

ii f x sg y sg f x y y

* H 1

* 0 H pues basta definir 0 : 0f tal que 0 (0, )f y y y

2

*H.I: Supongamos ahora que x H , esto es, existe :xf x que verifica:

T.I: sg x H

Dem

Definimos la aplicación:

( ) : ( )sg xf sg x tal que ( ) ( ), ( , )sg x xf sg x y sg f x y .

Entonces:

( ).

( ) ( ).

( ),0 ( , ) ( )

( ), ( ) , ( ) ( , ) ( ),

sg x xH I

sg x x x sg xH I

i f sg x sg f x o sg x

ii f sg x sg y sg f x sg y sg sg f x y sg f sg x y

( )sg x H 3

0

0 0

0,0 0

0, ( ) ( ) (0, )

i f

ii f sg y sg y sg f y y

,0

, ( ) ( , )

x

x x

i f x x

ii f x sg y sg f x y


5



De 1 , 2 y 3 y por el Axioma 5: H

Como esto se verifica para cada x , siempre existe :xf x para todo x

entonces podemos garantizar que existe :f tal que:

( , ) ( , ) ,xf x y f x y x y .

Unicidad

Consideremos que existen dos aplicaciones : y g :f que

satisfacen las condiciones 1 y 2 .

Para cada x definimos:

/ ( , ) ( , ) con fijoxH y f x y g x y x

* xH 1

* 0 xH , puesto que

1 1

,0 ,0f x x g x 2

*H.I: xy H

T.I: ( ) xsg y H

Dem

.

, ( ) , , , ( )H I

f x sg y sg f x y x sg g x y g x sg y

( ) xsg y H 3

De 1 , 2 y 3 y por el Axioma 5: xH

Como este razonamiento es válido para cada x podemos concluir que

( , ) ( , ) ,f x y g x y x y , esto es f g .

Definición:

A la aplicación anterior se la conoce con el nombre de adición o suma de números naturales

y se simboliza con el signo de “ ”.

Así puede definirse la adición de números naturales como una operación : tal

que para cada par de números naturales ,x y existe un único número natural x y tal

que:


6



0

(

1

) ( )2

x x

x sg y sg x y

Teorema 5: Propiedad Asociativa de la Suma

, , :x y z x y z x y z

Dem: Haremos inducción sobre z .

Sea / , con , fijosH z x y z x y z x y

* H 1

* 0 ,pues 0 0H x y x y x y 2

*H.I: z H

T.I: ( )sg z H

Dem

.

( ) ( ) ( )H I definición definición

suma suma

x y sg z sg x y z sg x y z x sg y z x y sg z

( )sg z H 3


Definición 4:

El número 0sg se llama uno y se indica “1”.

Observaciones:

1) 0 0 1 1neutro

sg x sg x x sg x sg x x

2) Teorema:

: 1 ( )x x sg x

Dem

Sea / 1 ( )H x x sg x

* H 1

* 0 H , pues 1 0 1 (0)sg 2


7



*H.I: x H

T.I: ( )sg x H

Dem

.

1 ( ) (1 ) (1 )definición H Isuma

sg x sg x sg sg x

( )sg x H 3


3) Teorema:

: 0x x x

Dem

Sea / 0H x x x

* H 1

* 0 H , pues 0 0 0 2

*H.I: x H

T.I: ( )sg x H

Dem

.0 ( ) (0 ) ( )

definición H Isuma

sg x sg x sg x

( )sg x H 3


Teorema 6: Conmutativa de la Suma

, :x y x y y x

Dem: Haremos inducción en x .

Sea / , con fijoH x x y y x y


8



* H 1

* 0 H pues .3

0 0Obs

y y y 2

*H.I: x H

T.I: ( )sg x H

Dem

. .2( ) ( 1) ( ) 1 ( ) 1 ( 1) (1 )

( 1) ( )

asociativa H I asociativa Obs asociativasuma suma suma

y sg x y x y x x y x y x y

x y sg x y

( )sg x H 3


Teorema 7:

y z x y x z x

Dem

Sea / ,H x x y x z con y z fijos y z

por def de H H

Si 0x

Si ( )x H sg x H

Dem

por teo 1 conmutativa por teo 4

conmutativa

Si ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x H x y x z sg x y sg x z sg y x sg z x

y sg x z sg x sg x y sg x z sg x H H

Corolario: Propiedad cancelativa de la suma.

x y x z y z

Dem

Sup. .7Teo

y z x y x z (contradice Hip.)

0

0 0 0 0

por def.

y y

z z y z H

y z


9



Teorema 8:

Sea la aplicación :f que cumple:

1 ( ,0 ) 0f x

2 ( , ( ) ) ( , )f x sg y f x y x

Existencia

Sea

por def de H H

Si 0x me defino 0 0*1

: 0 / 0, 0f f y veamos que esta función cumple

(1) 0*1

0,0 0f

(2)

Si ( )x H sg x H

Dem

Sea ( ) ( ): ( ) / ( ), ,sg x sg x xf sg x f sg x y f x y y veamos que esta función

cumple:

(1) ( )

( )por def por def de de

( ),0 ,0 0 0

sg x x

sg x x

f f

f sg x f x

(2)

/ : que cumple (1) ,0 0

(2) , ( ) ,

x x

x x

x f x f xH

f x sg y f x y x y

0 0*1 neutro

0, ( ) 0 0, 0

0

f sg y f y

H

( )

( )

( )por def por def de de

asociativa por def conmutativade suma

por def por def de suma de

( ), ( ) , ( ) ( ) , ( )

, ( ) , ,

,

sg x x

sg x

sg x x x

f f

x x x

x s

f

f sg x sg y f x sg y sg y f x y x sg y

f x y x sg y f x y sg x y f x y sg y x

f x y y sg x f

( ) ( ), ( )g x sg x y sg x sg x H H


10



Como esto se verifica para cada x ; siempre existe :xf x para cada

x entonces podemos garantizar que existe :f definida como

( , ) , ,xf x y f x y x y .

Unicidad

Sean f y g ambas de que satisfacen 1 y 2 .

Sea / , , , con fijo.xH y f x y g x y x

por def de x xH H

Si 0y

,0 0,0 ,0 0

,0 0

f xf x g x H

g x

Si ( )x xy H sg y H

Dem

por (2) por hip. por (2)

( , ( )) ( , ) , , ( ) ( )f x sg y f x y x g x y x g x sg y sg y H H f g

Como este razonamiento es válido para cada x podemos concluir que

, , ,f x y g x y x y , esto es f g .

Definición 3:

A la aplicación anterior se la conoce como la multiplicación de números naturales y se

la simboliza con “.”.

Así pues puede definirse el producto de números naturales como una operación

tal que para cada par de números naturales ,x y existe un único número natural

.x y tal que:

1 .0 0x

2 . ( ) .x sg y x y x


11



Teorema 10:

0. 0y y

Dem

Sea / 0. 0H y y

por def de H H

Si 0y por def de producto

0.0 0 0 H

Si ( )y H sg y H

Dem

por def por hip.de producto

0. ( ) 0. 0 0 0 0 ( )sg y y sg y H H

Teorema 11:

. ( ). ,x y y sg x y x y

Dem

Sea / . ( ). ,H y x y y sg x y x fijo

por def de H H

Si 0y

Si ( )y H sg y H

Dem

.0 0 0 0 0.0 0 ( ).0 0

( ).0 0

xx sg x H

sg x

por def por def asociativade producto de suma

conmutativa por def por hip.asociativa de suma

. ( ) ( ) ( . ) ( ) (( . ) ) ( ( )

(( . ) ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( )

x sg y sg y x y x sg y sg x y x y sg xy x y

sg x y y x xy y sg x sg x y sg x sg x sg y sg y

H

H


12



Teorema 12:

. . ,x y y x x y

Dem

Sea / . . ,H x x y y x y fijo

por def de H H

Si por teo ante

por def de producto

0. 0

0 0. .0 0.0 0

y

x y y Hy

Si ( )x H sg x H

Dem

por def por hip. por teo antede producto

. ( ) . . ( ). ( )y sg x y x y x y y sg x y sg x H H

Observaciones:

por def de producto

por def neutrode producto

. 0 .0

.1 .0 .1 0 .1

0 1

x sg x x

x x x x x x x

sg

.1 1.x x

.1 1.x x x 1 es el neutro de la multiplicación.

Teorema 13: Distributividad de la multiplicación a la izquierda respecto de la suma.

, ,x y z x y x z x y z

Dem

Sea / .( ) . . , ,H z x y z x y x z x y fijos

por def de H H

Si 0z

Si ( )z H sg z H

.( 0) ..( 0) . .0 0

. .0 . 0 .

x y x yx y x y x H

x y x x y x y


13



Dem

por def por hip. por hip. asociativade producto

( ) 1

. .( 1) . . .( ) .(( ) 1) .( ( 1))

( )

sg z z

x y x z x y x z x x y z x x y z x y z

sg z H H

Corolario: Distributividad de la multiplicación a la derecha respecto de la suma.

, ,y z x y x z x x y z

Dem

conmutativa por teo anterior comnutativa( ). .( ) . . . .y z x x y z x y x z y x z x

Teorema 14: Asociatividad de la multiplicación

, ,x y z x y z x y z

Dem

Sea

por def de H H

Si 0z

Si ( )z H sg z H

Dem

/ ( . ). .( . ), ,H z x y z x y z x y fijos

( . ).0 0( . ).0 .( .0) 0

.( .0) 0

x yx y x y H

x y

por def de producto

( . ).( 1) . . . .( . ) ( .( 1)) ( )x y z x y z x y x y z y x y z sg z H H


14



ORDEN

Definición 5:

Dados ,x y , diremos que “ x es menor o igual que y ”:

/x y u x u y

Si además x y (o sea 0u ), diremos que “ x es menor que y ” ( :nt x y ).

Definición 6:

Si ,x y , definimos:

y x x y (mayor o igual)

y x x y (mayor)

Teorema 13: Tricotomía

,x y , se verifica una y sólo una de las siguientes proposiciones:

, ,x y x y y x

Dem

Sea fijo, definimos del siguiente modo:

tal que

Demostraremos por inducción completa en , es decir tengo que probar que existe tal que:

o . Si 0 es

1) W

x W

W y y y x y x x y

y h

x y h y x h h x y

por definición de .

2) Para 0. Como 0 por Existencia del neutro a la izquierda es .

Tomo y encontré un natural que sumado a 0 nos da , entonces 0 .

3)

H)Inducción

. Es decir:

W

y x h x h

x h x x y W

y W h

tal que o

T)Inducción

. Es decir: k tal que o sg

x y h y x h

sg y W x sg y k y x k


15



def.4 Aso

Demostración: Distinguiremos aprovechando la hipótesis los dos casos siguientes:

a) , 0

Tomo porque todo natural distinto de cero es el siguiente de un natural.

= 1 =

x y h h x y

h sg k

x y sg k y k

ciativa y def.4Conmutativa de lasuma.

1 =

)

Aplicamos la función siguiente en ambos miembros de la igualdad:

y k sg y k

sg y W

b y x h y x

sg y s

Def.suma

= con

W=

g x h x sg h sg h sg y W

Teorema 14

La relación es de orden amplio; es decir, verifica las siguientes propiedades:

i. Reflexiva: x x x

Dem

.5

: 0 .2:

0 def

x x x defx x x

ii. Antisimétrica: x y y x x y

Dem Sup. x y

.5

.5

) :

.13) :

def

def

por H x yx y

x yx y y x contradice Teo

por H y xy x

x y

x y es falso x y

iii. Transitiva: x y y z x z


16



Dem

.5

.5 .5

.5

/

:/

def

def Teo

def

x y u x u y

por H x u v z x u v zy z v y v z

.5def

x z

Corolario: La relación es de orden amplio.

Observación: También se demuestra que las relaciones < y > son de orden estricto, es decir

que cumple las propiedades: Areflexiva, Asimétrica, Transitiva.

Teorema 15: Monotonía de la suma

i. x y x z y z

ii. x y x z y z

Dem

i.

.5

0 /LCIdef

cancelativa

por H x y u x u y x u z y z

. . .

0

asociat conmut asociatx u z y z x z u y z x z u y z

u

x z y z

ii. Dem. análoga.

Teorema 16: , 0x x

Dem

. 2.3

. 4

0 1

0 / 1 1ObsTeoDef

x

x ó

x u x sg u u x

.

1

1 0 0 1 1 0 1 0 21 0

1 0transit

x

sg x

1 2 0 0 0x ó x x x


17



Corolario 1: 0 1x x x

Corolario 2: , ; 1x y y x y x

Dem

.1 .

, 0 /1

0 1 1Cor monot

y x u u y x uy x

u u x u x

Corolario: Si ,x y , se verifica: x y y x x y

Dem Sup. x y

.5

.5

) :

.13) :

def

def

por H x yx y

x yx y y x contradice Teo

por H y xy x

x y

x y es falso x y

Teorema 14: (Transitiva)

, ;x y x y

x zy z

Dem

.5

.5 .5

.5

/

:/

def

def Teo

def

x y u x u y

por H x u v z x u v zy z v y v z

.5def

x z


18



Teorema 15:

La relación es de orden amplio; es decir, verifica las siguientes propiedades:

iv. Reflexiva: x x x

v. Antisimétrica: x y y x x y

vi. Transitiva: x y y z x z

Dem

i.

.5

: 0 .2:

0 def

x x x defx x x

ii. Demostrada en el corolario del Teo. 13

iii. Teorema 14.

Corolario: La relación es de orden amplio.

Observación: También se demuestra que las relaciones < y > son de orden estricto.

Teorema 16: (Monotonía de la suma)

iii. x y x z y z

iv. x y x z y z

Dem

iii.

.5

0 /LCIdef

cancelativa

por H x y u x u y x u z y z

. . .

0

asociat conmut asociatx u z y z x z u y z x z u y z

u

x z y z

iv. Dem. análoga.


19



Teorema 17: , 0x x

Dem

. 2.3

. 4

0 1

0 / 1 1ObsTeoDef

x

x ó

x u x sg u u x

.

1

1 0 0 1 1 0 1 0 21 0

1 0transit

x

sg x

1 2 0 0 0x ó x x x

Corolario 1: 0 1x x x

Corolario 2: , ; 1x y y x y x

Dem

.1 .

, 0 /1

0 1 1Cor monot

y x u u y x uy x

u u x u x

Teorema de Buena Ordenación

Todo conjunto de naturales no vacio tiene mínimo.

/ min( )A

m m AA

Dem

0 :0

0 min( ), 0

Como 0

Si A Como Aa a A

An n

A

0 :Consideraremos ;Si A H x x a a A


20



Tengo que probar que H tiene un “último” elemento x0 y su siguiente x0+1 es el mínimo de A.

Ax. Ind.Completa

0

Supongo que , 1

Ademas por definición de H:

Por definición de H:

H

x A x H H A H A

H

H A

Por Hipótesis:

(Absurdo) Contradice hipótesis.

A A A

A

Lo que supuse es falso ( , 1 )x H x H

0 0, 1x H x H

Tengo que probar ahora que 0 1 min( )x A

0 0 0

(1)

0 0

0 0 0 0

(2)

0

Como 1

Por otro lado 1 1

, 1 1

De (1) y (2): 1 min( )

x H x a a A x a a A

x H x a a A

a A x a x A

x A

Observaciones:

m se llama mínimo del conjunto A .

En otras palabras, hemos demostrado que es un conjunto bien ordenado. (Decimos

que un conjunto es bien ordenado si todo subconjunto no vacío del mismo tiene

mínimo).

H

...10

A


21



Teorema 17: Sean , ; 0 0 . 0x y x y x y

Dem

.3 .9

0 0 / . .Teo Teo

y y u y sg u x y x sg u

.5 ) .

. . 0 . 0def H transit

x y x u x x x y

Corolario : (Inexistencia de divisores de cero)

Sean , ; 0 0 . 0x y x y x y

Dem

Por Teo. 15, en decir 0 equivale a decir 0 , lo cual lo reduce al Teorema 17.

Teorema 18:

Sean , ;

. .Sea ; 0

x y x yx z y z

z z

Dem:

x y x y x y

.10

, 0 /Teo

x y u u x y u z x z y u

. .17

) 00

0 Cor Teo

z x z y z u

z x z y z x z y

H zz u

u

x y (dem. análoga)

Corolario : (Prop. Cancelativa de la multiplicación)

, , ; . .

0

Sean x y z z x z yx y

z

Dem:

.18

Supongo (Contradice hipótesis)

Por hipótesis: 0 Teo

x yz x z y

z


22



INDEPENDENCIA

Para probar que cada uno de los axiomas de Peano es independiente de los demás,

construiremos modelos consistentes en los que valgan los demás axiomas y el opuesto del que

se estudia:

Axioma 1.

Reemplazado el conjunto por 0 se cumplen todos los axiomas excepto el 1. Queda

probada así la independencia del axioma 1 con respecto a los demás.

Axioma 2.

Sea 0,1,2 con 0 1, 1 2sg sg . Satisface los axiomas 1, 3, 4 y 5 pero no el 2,

pues no existe el siguiente de 2.

Axioma 3.

0,1,2 con 0 1, 1 2 , 2 0sg sg sg satisface los axiomas 1, 2, 4 y 5 pero no

el 3.

Axioma 4.

El conjunto 0,1 con 0 1 1sg sg verifica los axiomas 1, 2, 3 y 5 pero no el 4

Axioma 5.

Sean /x x es racional no negativo y 1sg x x .

Consideremos el conjunto /H x x es entero no negativo

0

H

H

x H sg x H

sin embargo H

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Axiomatica de Peano (Número Natural)