Ay t mod2-3

33Álgebra y trigonometría

Sistemas numéricos

Introducción

En este módulo se enunciarán, de manera muy breve, los diferentes sistemas numé-ricos y cómo se relacionan entre ellos. Se comenzará con los familiares númerosnaturales, 1, 2, 3,..., presentes desde nuestra primera infancia; se pasará por losenteros, los racionales y los reales y se terminará con los complejos. Los númeroscomplejos se tratarán con más profundidad en los módulos correspondientes alcapítulo doce.

Objetivos

1. Abordar el estudio somero de los diferentes sistemas numéricos.2. Establecer relaciones y diferencias entre los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos.

Preguntas básicas

1. ¿Qué es un número racional?2. ¿Qué es un número irracional?3. ¿Habrá números que sean racionales e irracionales a la vez?4. ¿Habrá números que sean enteros y racionales a la vez?

Contenido

2.1 Introducción a los sistemas numéricos2.2 Relación entre los sistemas numéricos

Vea el módulo 2 delprograma de televisión

Álgebra y trigonometría

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http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/

2

Euclides (300 a. C.)

Muy poco se sabe de su vida. Sin duda, la gran reputación deEuclides se debe a su famosa obra titulada Los elementos degeometría, conocida simplemente por los Elementos. Tal esla importancia de esta obra que se ha usado como texto deestudios durante cerca de 2.000 años, veinte siglos, sin quese le hicieran correcciones de importancia salvo peque-ñas modificaciones. Los Elementos están constituidos portrece libros. A aquéllos se ha agregado un libro XIV quecomprende un trabajo de Hipsicles del siglo II de nuestraera, e incluso un libro XV con un trabajo de menorimportancia.

34

2.1 Introducción a los sistemas numéricos

La necesidad de comparar los elementos de un par de conjuntos motivó el "contar"esos elementos y, con ello, la aparición de unos entes abstractos: los númerosnaturales. Posteriormente hubo necesidad de referirse a estos entes y por consi-guiente se les asignó nombres y se les representó mediante los símbolos 1, 2, 3, 4,...

Una vez creados los números naturales, con sus símbolos correspondientes, sedefinieron con ellos las operaciones de suma, resta y multiplicación y se resolvieronproblemas dentro de este conjunto.

Algunos de ellos eran problemas del tipo siguiente: resolver la ecuación a + x = b

cuando a y b son naturales y b < a. Esto daba lugar a la posible solución x b a= − queno era un número natural. Surgieron así los números enteros que constan de núme-ros de la forma ... − 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3,...

Un nuevo problema surgió al tratar de resolver la ecuación a · x = b cuya solución nopertenece al conjunto de los enteros y que es de la forma x = b/a con a ≠ 0. Surgie-ron entonces los números racionales, que se definen como aquellos que se puedenescribir como el cociente de dos enteros, donde el entero del denominador es dife-rente de cero.

En circunstancias similares, el deseo de resolver la ecuación 2 2x = dio origen alconcepto de números irracionales, que se caracterizan porque no se pueden escri-bir como el cociente de dos enteros. La unión de los anteriores conjuntos dio lugaral campo de los números reales.

Por último, el problema de resolver la ecuación 2 2 0x + = condujo al nacimiento delos números complejos, que se definen como números de la forma a + bi, donde

i = 1.−

2.2 Relación entre los sistemas numéricos

El sistema de los números reales es el sistema en el cual se ha trabajado en los ciclosbásico y medio del sistema educativo. La tabla 2.1 describe el conjunto de losnúmeros reales y sus respectivos subconjuntos. En la tabla se cumple la siguiente

cadena de inclusiones: N Z Q R C⊆ ⊆ ⊆ ⊆ . Además, si el conjunto de los núme-

ros irracionales lo denotamos por I, se tiene que .Q I R∪ =

Hay que volver a decir que un número irracional es aquel número real que no sepuede escribir como el cociente de dos enteros. Existen muchos números irracionalesfamosos como el número π y el número e.

Es conocida la fórmula que relaciona los cinco números más famosos de la matemá-

tica, a saber , , 0, 1,e iπ . La fórmula es la siguiente:

1 0.ieπ + =

Capítulo 1: Elementos de aritmética


Módulo 2: Sistemas numéricos

Tabla 2.1. Relación entre los sistemas numéricos

Símbolo Sistema de Números Descripción

N

Z

Q

R

C

Números naturales Números para contar.

Números enteros Conjunto de números naturales,sus negativos y el cero.

Números racionales Números que se pueden representar en la

forma a/b con a y b enteros, 0.b ≠

Números relaes Conjunto que consta de la unión de losnúmeros racinales y los irracionales.

Números complejos Números de la forma a + bi con a y b

números reales e 1.i = −

36


Introducción

En este módulo se estudiarán progresiones. Una progresión es una lista de núme-ros que siguen una ley general de formación. Según como sea esa ley, lasprogresiones que se verán serán aritméticas o geométricas. Se verá cómo estasprogresiones tienen aplicación en el cálculo de interés compuesto y en el crecimien-to exponencial de algunos seres vivos.

Objetivos

1. Caracterizar sucesiones de números reales o complejos.2. Deducir fórmulas compactas para la suma de estas sucesiones.

Preguntas básicas

1. ¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una geométrica?2. ¿Habrá progresiones que sean a la vez aritméticas y geométricas?3. ¿Se puede conocer a qué valor tiende la suma de infinitos términos de una progre- sión geométrica?4. ¿Se puede conocer a qué valor tiende la suma de infinitos términos de una progre- sión aritmética?

Contenido

3.1 Progresiones aritméticas3.1.1 Suma de términos de una progresión aritmética

3.2 Progresiones geométricas3.2.1 Suma de términos de una progresión geométrica

Progresiones aritméticas y geométricas

Vea el módulo 3 delprograma de televisión


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3Zenón de Elea (s. V a. C.)

Fue un filósofo griego de la escuela eleática, nacido en Elea(Italia meridional). Fue discípulo de Parménides (uno delos filósofos griegos más importantes de la época y de losmás señalados en la escuela eleática) y, según variosescritores, enseñó en Atenas durante algún tiempo.

Zenón trató de mostrar que la realidad es una e invariabley que todo movimiento es ilusorio. Era costumbre suyamostrar lo absurdo de algunas creencias y frecuentementese valía de paradojas (expresión o situación que pareceabsurda y sin embargo es razonable), en las que dice quetodo movimiento es un engaño.

Contrastadas con la realidad, las pruebas de Zenón contrael movimiento se revelan al punto como paradojas y comoauténticos paralogismos (argumento o contradicción falsa).

38

3.1 Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números reales de la forma siguiente:

1 2 3 4, , , ,..., ,na a a a a donde la diferencia entre cualquier par de números consecu-

tivos es siempre constante, es decir, 1n na a d−− = para todo n. El término d se llama

diferencia constante.

En la notación anterior se tendrá que:

a1: primer término de la progresión.

d: diferencia común.n: número de términos.

Según lo anterior, otra forma de escribir la progresión aritmética es:

1 1 1 1 1, , 2 , 3 ,..., ( 1) .a a d a d a d a n d+ + + + − Como consecuencia de lo anterior, en

una progresión aritmética en la cual la diferencia común es d y el primer término es

1,a se tiene que el enésimo término se denota por 1 ( 1) .na a n d= + −

Ejemplo 15

La sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 es una progresión aritmética en la cual el primertérmino es 3 y la diferencia común es 3.

Ejemplo 16

Halle el término de lugar 12 de la progresión aritmética 10, 7, 4, ...

Solución

Se tiene que 1a = 10, 3d = − . Se sabe que 1 ( 1) .na a n d= + − En consecuencia, para

n = 12 se tiene que ( ) ( )12 10 12 1 3 ,a = + − − 12 23.a = −

Ejemplo 17

Si el cuarto término de una progresión aritmética es 14 y el noveno es 34, encuentreel primer término.

Solución

Como 1 ( 1) ,na a n d= + − se tiene entonces que:

para n = 4, 114 3 .a d= +

para n = 9, 134 8 .a d= +

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se concluye que 1 2a = y d = 4.

Ejemplo 18

Encuentre una progresión aritmética de siete términos cuyo primer término es 1/2 ycuyo último término es 13/2.


Escuche Historia del ajedrezen su multimedia de

Àlgebra y trigonometría


Módulo 3: Progresiones aritméticas y geométricas

Escuche La paradoja deZenón en su multimedia de


Solución

Se sabe que ( )1 1

1, 7, 1 .

2 na n a a n d= = = + −

En nuestro caso se tiene que ( )13 17 1

2 2d= + − . Por tanto, 6 = 6d o sea que

d = 1. De lo anterior se concluye que la progresión aritmética es:

1 3 5 7 9 11 13, , , , , ,

2 2 2 2 2 2 2.

3.1.1 Suma de términos de una progresión aritmética

Dada una progresión aritmética con n términos, de la forma

1 1 1 1 1, , 2 , 3 ,..., ( 1) ,a a d a d a d a n d+ + + + − de este modo su suma se expresa

como 1 1 1 1 12 3 ... ( 1) .Sn a a d a d a d a n d= + + + + + + + + + − Se puede fácilmen-

te demostrar que Sn viene dada por la siguiente fórmula compacta:

( )12 1 .2n

nS a n d= + −⎡ ⎤⎣ ⎦

Demostración

Si Sn denota la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, setiene:

[ ]1 1 1 1( ) ( 2 ) ... ( 1) .nS a a d a d a n d= + + + + + + + −

Si invertimos el orden de la suma anterior, se tiene:

[ ] [ ] [ ]1 1 1 1( 1) ( 2) ... .nS a n d a n d a d a= + − + + − + + + +

Si se suman las dos igualdades anteriores, se tiene:

[ ] [ ] [ ]1 1 12 2 ( 1) 2 ( 1) ... 2 ( 1) .nS a n d a n d a n d= + − + + − + + + −

Puesto que hay n términos de la forma [ ]12 ( 1) ,a n d+ − podemos decir que:

[ ]12 2 ( 1)nS n a n d= ⋅ + − .

Por lo tanto, [ ]12 ( 1)2n

nS a n d= ⋅ + − .

Como el enésimo término de una progresión aritmética es 1 ( 1) ,na a n d= + − enton-

ces también 1( ).2n n

nS a a= ⋅ +

40


Ejemplo 19

Halle la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética 5, 1, 3, 7,− − …

Solución

Se tiene que 1 5, 4, 10.a d n= − = =

( ) ( )( )10

102 5 10 1 4

2130.

S = × − + − ×

=

Ejemplo 20

La suma de los primeros 15 términos de una progresión aritmética es 360. Halle elprimer término y la diferencia común si el término de lugar 15 es 39.

Solución

Se sabe que ( )1 .2n n

nS a a= +

Se sabe también que 15 15360, 39.S a= =

( )11

1

15 39360 , 15 585 720,

29.

aa

a

+= + =

=

Como ( )1 1 ,na a n d= + − entonces 39 9 14 ,d= +

15.

7d =

Ejemplo 21

Encuentre la suma de los enteros impares de 1 hasta 51 inclusive.

Solución

1 1, 2, 51na d a= = = .

Como ( )1 1 ,na a n d= + − entonces

( )51 1 1 2,

26.

n

n

= + − ×=

Por consiguiente,


( )26

261 51

2676.

S = × +

=

3.2 Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una expresión de la forma 1 2 3 4, , , ,..., na a a a a y en

donde la razón r de dos términos consecutivos cualesquiera es constante; es decir,

1k

k

ar

a+= , para 1 ,k n≤ ≤ es constante.

Hay que notar que como consecuencia de la definición, en toda progresión

geométrica se cumple que 11 ,n

na a r −= donde na es el término situado en el lugar

enésimo.

Ejemplo 22

La sucesión 4, 12, 36, 108, 324, 972 es una progresión geométrica que consta de seistérminos.

Ejemplo 23

Dada una progresión geométrica donde r = 3, 1 2a = , halle el quinto término.

Solución

Si en la fórmula en que 11

nna a r −= se toma 1 2a = , r = 3, n = 5, se tiene que

5 162.a =

Ejemplo 24

Si en una progresión geométrica el octavo término es 32 y el quinto es 4, halle loscuatro primeros términos.

Solución

Se sabe que 11 .n

na a r −= En consecuencia, se tendrán las siguientes dos ecuaciones:

8 1132 ,a r −= haciendo n = 8, y

5 114 ,a r −= haciendo n = 5.

De las anteriores ecuaciones se tiene que 3 8r = y, por tanto, r = 2, y reemplazandoeste valor en cualquiera de las ecuaciones anteriores se tiene que a

1 = 1/4. Por

consiguiente, los primeros cuatro términos de la progresión son: 1/4, 1/2, 1, 2.


42

3.2.1 Suma de términos de una progresión geométrica

Dada una progresión geométrica con n términos de la forma2 3 1

1 1 1 1 1, , , ,..., ,na a r a r a r a r − la suma que se denota por Sn viene dada por

2 3 11 1 1 1 1... .n

nS a a r a r a r a r −= + + + +

Se puede demostrar fácilmente que Sn viene dada por la siguiente fórmula compacta:

1 (1 ),

1

n

n

a rS

r

−=

−con 1.r ≠

Demostración

Si Sn denota la suma de los n términos de una progresión geométrica, se tiene que:

2 11 1 1 1... n

nS a a r a r a r −= + + + +

y por tanto:

2 31 1 1 1... .n

nrS a r a r a r a r= + + + +

Restando miembro a miembro, se tiene:

1 1

11

,

(1 )(1 ) (1 ), .

1

nn n

nn

n n

S rS a a r

a rr S a r S

r

− = −

−− = − =

−

Como el enésimo término de una progresión geométrica viene dado por 11

nna a r −=

con 2,n ≥ entonces también 1 1 .1

n

n

a a rS

r

−=

−

11 1

1

1

.1

n

n

n

a ra rS

ra ra

r

−−=−

−=−

Cuando el valor absoluto de la razón es menor que 1, es decir, 1,r < se puede

demostrar que la «suma» de los infinitos términos de una proyección geométrica de

este tipo viene dada por 1 .1n

aS

r=

−

Ejemplo 25

Halle la suma de los 7 primeros términos de la sucesión 5, 10, 20,− …

La progresión es geométrica con 5, 2 y 7.a r n= = − =



( )( )( )

7

7

5 1 2215.

1 2S

× − −= =

− −

Ejemplo 26

Halle la suma de una progresión geométrica en la cual el primer término es 4, el

ultimo término es 1

8y la razón común es

1.

2

Solución

1

1

1 14, , .

8 21 1

4638 2

.11 812

n

nn

a a r

a raS

r

= = =

⎛ ⎞− ×⎜ ⎟− ⎝ ⎠= = =− −

Ejemplo 27

Divida el número 195 en tres partes que formen una progresión geométrica cuyotercer término exceda al primero en 120.

Solución

Sea x el primer término y r la razón común de la progresión.

Se debe cumplir que:

2

2

195,

120.

x xr xr

xr x

+ + == +

De la segunda ecuación se tiene:

( )22

1201 120, .

1x r x

r− = =

−

Por tanto,2

2 2 2

120 120 120195.

1 1 1

r r

r r r+ + =

− − −

Simplificando se obtiene que 2 75 8 21 0, 3,

5r r r r− − = = = − y por tanto

15, 125.x x= = Así: 15, 45, 135 y 125, 175,− 245 son progresiones geométricas

que cumplen estas posibilidades.


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