B T Đ NG TH C TRONG L P HÀM SIÊU VI T

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

NGUYỄN THỊ HỒNG DUYÊN

BẤT ĐẲNG THỨCTRONG LỚP HÀM SIÊU VIỆT

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤPMã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội - Năm 2015

1

Mục lục

Mở đầu 2

1 Một số tính chất của hàm mũ và logarit 4

1.1 Hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Hàm lồi, lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Tính đơn điệu, tính lồi lõm của hàm số mũ và hàm logarit . . 5

1.3.1 Tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm logarit . . . . . 5

1.3.2 Tính lồi, lõm của hàm số mũ và hàm logarit . . . . . . 6

1.4 Một số bất đẳng thức cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Vai trò của hàm số mũ, hàm logarit trong chứng minh các bất

đẳng thức cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Các bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, hàm logarit 13

2.1 Bất đẳng thức hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Bất đẳng thức hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Một số bài toán áp dụng 19

3.1 Các bài toán cực trị liên quan đến hàm mũ và hàm logarit . . 19

3.2 Bất đẳng thức siêu việt trong dãy số và giới hạn . . . . . . . 20

3.3 Bất đẳng thức siêu việt trong phương trình và hệ phương trình 22

KẾT LUẬN 24

Tài liệu tham khảo 25

2

Mở đầu

Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán học phổ

thông, song nó lại luôn có sức hấp dẫn, thu hút sự tìm tòi, óc sáng tạo của

học sinh. Dạng toán về bất đẳng thức thường có mặt trong các kỳ thi tuyển

sinh cao đẳng đại học, thi học sinh giỏi hay các kỳ thi Olympic. Lý thuyết

bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và

cực kỳ đa dạng. Đặc biệt bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt là một phần

chuyên đề rất hay, đóng vai trò quan trọng trong bồi dưỡng học sinh giỏi.

Để góp phần đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học

sinh giỏi về bất đẳng thức, luận văn "Bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt"

đưa ra một số bài toán bất đẳng thức trong lớp hàm mũ và logarit, một số

bài toán áp dụng cúa bất đẳng thức siêu việt vào việc tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của hàm số, các bài toán dãy số và giới hạn và khảo sát

một số phương trình và hệ phương trình. Luận văn "Bất đẳng thức trong

lớp hàm siêu việt" chủ yếu là sưu tầm, nghiên cứu tài liệu và các sách tham

khảo liên quan đến bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, logarit và các bài toán

ứng dụng liên quan. Luận văn là một chuyên đề nhằm góp phần hướng tới

bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông (xem [1-9]).

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, Luận văn được chia làm ba chương

như sau:

Chương 1. Các kiến thức bổ trợ.

Chương này trình bày một số tính chất của hàm số mũ và hàm logarit

(tính đơn điệu, tính lồi lõm); ý nghĩa của hàm số mũ, hàm logarit trong

chứng minh các bất đẳng thức cổ điển và một số bất đẳng thức cổ điển được

sử dụng trong luận văn.

3

Chương 2. Các bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, logarit.

Chương này đưa ra các bài toán về bất đẳng thức mũ, logarit được

nghiên cứu và tổng hợp trong các tài liệu tham khảo.

Chương 3. Một số bài toán áp dụng.

Chương này đưa ra các bài toán cực trị liên quan đến hàm mũ, hàm

logarit; các bài toán áp dụng bất đẳng thức siêu việt trong dãy số và giới

hạn, trong khảo sát phương trình và hệ phương trình.

Trong thời gian thực hiện luận văn này, tác giả đã nhận được sự hướng

dẫn, chỉ bảo tận tình của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Thông qua luận

văn này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng những

công lao, sự quan tâm, động viên và sự tận tình chỉ bảo, hướng dẫn của thầy

Nguyễn Văn Mậu.

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin

học đã dạy bảo tận tình; chân thành cảm ơn các thầy cô trong Ban giám

hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, văn phòng khoa Toán - Cơ - Tin trường

Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện

thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và làm luận văn.

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2015

Học viên

Nguyễn Thị Hồng Duyên

4

Chương 1

Một số tính chất của hàm mũ vàlogarit

1.1 Hàm đơn điệu

Định nghĩa 1.1 (Xem [1-3]). Cho hàm số f : R → R xác định trên tập

I(a; b) ⊂ R, trong đó I(a, b) là ký hiệu một trong các tập hợp (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]

với a < b. Khi đó, nếu ứng với mọi x1, x2 ∈ I(a, b), ta đều có với x1 < x2

suy ra f(x1) ≤ f(x2) thì ta nói rằng f(x) là hàm đơn điệu tăng trên I(a; b).

Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp x1, x2 ∈ I(a; b), ta đều có

f(x1) < f(x2)⇔ x1 < x2

thì ta nói rằng f(x) là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên I(a; b), hay còn

gọi là hàm đồng biến.

Ngược lại, nếu ứng với mọi x1, x2 ∈ I(a, b), ta đều có với x1 < x2 suy

ra f(x1) ≥ f(x2) thì ta nói rằng f(x) là hàm đơn điệu giảm trên I(a; b).

Nếu

f(x1) > f(x2)⇔ x1 < x2;∀x1, x2 ∈ I(a; b)

thì ta nói rằng f(x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a; b), hay còn

gọi là hàm nghịch biến.

Định lý 1.1. Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và f ′(x) > 0

với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó. Ngược lại, nếu

f ′(x) < 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó.

5

1.2 Hàm lồi, lõm

Định nghĩa 1.2 (Xem [1-3]). Hàm số f(x) được gọi là hàm lồi (lồi xuống

dưới) trên tập I(a; b) ⊂ R nếu với mọi x1, x2 ∈ I(a; b) và với mọi cặp số

dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có

f(αx1 + βx2) ≤ αf(x1) + βf(x2).

Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 ta nói hàm số f(x) là hàm

lồi thực sự (chặt) trên I(a; b).

Hàm số f(x) được gọi là hàm lõm (lồi trên) trên tập I(a; b) ⊂ R nếu với mọi

x1, x2 ∈ I(a; b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có

f(αx1 + βx2) ≥ αf(x1) + βf(x2).

Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 ta nói hàm số f(x) là hàm

lõm thực sự (chặt) trên I(a; b)

Định lý 1.2 (Xem [1-3]). Nếu f(x) khả vi bậc hai trên I(a; b) thì f(x) lồi

(lõm) trên I(a; b) khi và chỉ khi f ′′(x) ≥ 0 (f ′′(x) ≤ 0) trên I(a; b).

1.3 Tính đơn điệu, tính lồi lõm của hàm số mũ và

hàm logarit

1.3.1 Tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm logarit

- Xét hàm số y = ax, a > 0, a 6= 1 liên tục trên R, ta có

y′ = axln a (a > 0, a 6= 1).

Khi a > 1 thì y′ > 0 nên hàm số đồng biến trên R.Khi 0 < a < 1 thì y′ < 0 nên hàm số nghịch biến trên R.

- Xét hàm số y = loga x, a > 0, a 6= 1;x > 0 ta có

y′ = (loga x)′ =

1

x · ln a.

Khi a > 1 thì y′ > 0 nên hàm số đồng biến trên (0;+∞).

Khi 0 < a < 1 thì y′ < 0 nên hàm số nghịch biến trên (0;+∞).

6

1.3.2 Tính lồi, lõm của hàm số mũ và hàm logarit

- Xét hàm số y = ax, a > 0, a 6= 1, ta có

y′ = axln a (a > 0, a 6= 1),

y′′ = (ln a)2ax.

Ta thấy y′′ > 0 với mọi 0 < a 6= 1, x ∈ R do đó hàm số y = ax là hàm lồi

trên R.- Tương tự, với hàm số y = loga x, a > 0, a 6= 1;x > 0, ta có

y′ = (loga x)′ =

1

x · ln a.

y′′ =−1

x2ln a.

Nếu a > 1 tức ln a > 0 thì y′′ < 0 suy ra hàm số lõm trên (0;+∞).

Nếu 0 < a < 1 tức ln a < 0 thì y′′ > 0 suy ra hàm số lồi trên (0;+∞).

1.4 Một số bất đẳng thức cổ điển

Định lý 1.3 (Bất đẳng thức AM - GM, Xem [1-3]). Giả sử x1, x2, . . . , xn là

các số không âm. Khi đó

x1 + x2 + · · ·+ xnn

≥ n√x1x2 . . . xn.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn.

Định lý 1.4 (Bất đẳng thức dạng Karamata, Xem [1]). Cho hai dãy số

xk, yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, . . . , n, thỏa mãn các điều kiện

x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn, y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ ynx1 ≥ y1,x1 + x2 ≥ y1 + y2,· · · · · · ··x1 + x2 + · · ·+ xn−1 ≥ y1 + y2 + · · ·+ yn−1,x1 + x2 + · · ·+ xn = y1 + y2 + · · ·+ yn.

Khi đó, ứng với mọi hàm lồi thực sự f(x) (f ′′(x) > 0) trên I(a, b), ta đều có

f(x1) + f(x2) + · · ·+ f(xn) ≥ f(y1) + f(y2) + · · ·+ f(yn).

7

Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Jensen, Xem [1]). Cho hàm số y = f(x) liên

tục và lồi trên [a, b]. Cho các số k1, k2, . . . , kn ∈ R+; k1 + k2 + · · ·+ kn = 1.

Khi đó với mọi xi ∈ [a, b]; i = 1, 2, . . . , n, ta luôn có

n∑i=1

kif(xi) ≥ f(n∑i=1

kixi).

Nếu hàm số y = f(x) lõm trên [a, b] thì bất đẳng thức trên đổi chiều, tức là

n∑i=1

kif(xi) ≤ f(n∑i=1

kixi).

Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Bernoulli (dạng liên tục), Xem [1]). Cho x > 0.

Khi đó

xα + (1− x)α ≥ 1 Khi α ≥ 1 hoặc α ≤ 0.

xα + (1− x)α ≤ 1 Khi 0 ≤ α ≤ 1.

Định lý 1.7 (Bất đẳng thức Bernoulli đối với tam thức bậc (α, β) , Xem [1]

). Cho cặp số (α, β) thỏa mãn điều kiện α > β > 0. Khi đó, với mọi x ∈ R+

xα +α

β− 1 ≥ α

βxβ.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1.

Định lý 1.8 (Bất đẳng thức Schur). Với các số thực dương a, b, c và k ∈ R+

bất kỳ ta luôn có

ak(a− b)(a− c) + bk(b− c)(b− a) + ck(c− a)(c− b) ≥ 0.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b và c = 0 cùng các

hoán vị của nó.

Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k = 1 và k = 2 tức là

(i) a(a− b)(a− c) + b(b− c)(b− a) + c(c− a)(c− b) ≥ 0.

(ii) a2(a− b)(a− c) + b2(b− c)(b− a) + c2(c− a)(c− b) ≥ 0.

8

Phương pháp đổi biến p, q, r

Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có các biến không âm

ta có thể đổi biến như sau Đặt p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc. Ta

có một số bất đẳng thức sau

• ab(a+ b) + bc(b+ c) + ca(c+ a) = pq − 3r

• (a+ b)(b+ c)(c+ a) = pq − r

• ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2+2) = p2q − 2q2 − pr

• (a+ b)(a+ c) + (b+ c)(b+ a) + (c+ a)(c+ b) = p2 + q

• 2 + b2 + c2 = p2 − 2q

• a3 + b3 + c3 = p3 − 3pq + 3r

• a4 + b4 + c4 = p4 − 4p2q + 2q2 + 4pr

• a2b2 + b2c2 + c2a2 = q2 − 2pr

• a3b3 + b3c3 + c3a3 = q3 − 3pqr + 3r2

• a4b4 + b4c4 + c4a4 = q4 − 4pq2r + 2p2r2 + 4qr2

Có thể thấy ngay lợi ích của phương pháp này là mối ràng buộc giữa các

biến p, q, r mà các biến a, b, c ban đầu không có như

• p2 ≥ 3q

• p3 ≥ 27r

• q2 ≥ 3pr

• pq ≥ 9r

• 2p3 + 9r ≥ 7pq

• p2q + 3pr ≥ 4q2

• p4 + 4q2 + 6pr ≥ 5p2q

• r ≥ p(4q − p2)9

• r ≥ (4q − p2)(p2 − q)6p

9

1.5 Vai trò của hàm số mũ, hàm logarit trong chứng

minh các bất đẳng thức cổ điển

Định lý 1.9 (Bất đẳng thức AM - GM suy rộng, [1]). Giả sử cho trước hai

cặp dãy số dương x1, x2, . . . , xn; p1, p2, . . . , pn. Khi đó:

xp11 · xp22 · · · xpnn ≤

(x1p1 + x2p2 + · · ·xnpn

p1 + p2 + · · ·pn

)p1+p2+···pn

.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn.

Chứng minh. Đặt

s =x1p1 + x2p2 + · · ·xnpn

p1 + p2 + · · ·pn.

Sử dụng bất đẳng thức hàm mũ

ex−1 ≥ x, ∀x ∈ R,

ta thu đượcx1s≤ e

x1s −1 ⇔ x1 ≤ se

x1s −1.

Từ đó ta thu được hệ x1 ≤ se

x1s −1,

x2 ≤ sex2s −1,

· · · · · · · · · · ·xn ≤ se

xns −1.

Suy ra xp11 ≤ sp1e(

x1s −1)p1,

xp22 ≤ sp2e(x2s −1)p2,

· · · · · · · · · · ·xpnn ≤ spne(

xns −n)pn.

Vậy nên

xp11 · xp22 · · · xpnn ≤ sp1+p2+···pne

x1p1+x2p2+···+xnpns −(p1+p2+···+pn)

hay

xp11 · xp22 · · · xpnn ≤ sp1+p2+···+pn, (đpcm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix1s

=x2s

= · · · = xns

= 1 hayx1 = x2 =

· · · = xn.

10

Định lý 1.10 (Bất đẳng thức dạng Katamata). Giả thiết cho ba bộ số dương

(αi), (ui), (xi) thỏa mãn các điều kiện sau

u1 ≤ u2 ≤ · · · ≤ un,x1α1 ≤ x1u1,x1α1 + x2α2 ≤ x1u1 + x2u2,· · · · · · ··x1α1 + x2α2 + · · ·+ xn−1αn−1 ≤ x1u1 + x2u2 + · · ·+ xn−1un−1,x1α1 + x2α2 + · · ·+ xnαn = x1u1 + x2u2 + · · ·+ xnun.

Khi đó ta có

αx11 αx22 · · · αxnn ≤ ux11 u

x22 · · · uxnn .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi αi = ui, ∀i = 1, 2, . . . , n.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp thông thường.

Với n = 2 tức là u1 ≤ u2,x1α1 ≤ x1u1,x1α1 + x2α2 = x1u1 + x2u2.

Ta chứng minh

αx11 αx22 ≤ ux11 u

x22 .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α1 = u1, α2 = u2.

Xét hàm số

y =( αx1

)x1(s− αx2

)x2.

Ta có

y′ =( αx1

)x1−1(s− αx2

)x2−1(s− αx2− α

x1

).

Vậy nên

y′ = 0⇔ α

x1=s− αx2

=s

x1 + x2,

và y′ > 0 khis

x1<

s

x1 + x2.

Do đó vớiα

x1≤ u

x1≤ s

x1 + x2,

thì ta có ( αx1

)x1(s− αx2

)x2≤( ux1

)x1(s− ux2

)x2.

11

Đặtα

x1= α1,

s− αx2

= α2,u

x1= u1,

s− ux2

= u2.

Suy ra, khi

α1 ≤ u1 ≤ u2, x1α1 + x2α2 = x1u1 + x2u2,

ta thu được

αx11 αx22 ≤ ux11 u

x22 .

Nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi αi = ui,∀i = 1, 2.

Vậy định lý đúng với n = 2.

Với n = 3 tức làu1 ≤ u2 ≤ u3,x1α1 ≤ x1u1,x1α1 + x2α2 ≤ x1u1 + x2u2,x1α1 + x2α2 + x3α3 = x1u1 + x2u2 + x3u3.

Ta chứng minh

αx11 αx22 α

x33 ≤ ux11 u

x22 u

x33 .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi αi = ui,∀i = 1, 2, 3.

Do giả thiết nên ta chỉ cần xét hai trường hợp

Trường hợp 1).

Khi α1 = u1 − d1,α2 = u2 − d2,α3 = u3 + d3.

Với d1, d2, d3 ≥ 0.

Khi đó x1d1 + x2d2 = x3d3 và từ đó ta thu được

αx11 αx22 α

x33 = (u1 − d1)x1(u2 − d2)x2(u3 + d3)

x3

≤ ux11 (u2 − d2)x2(u3 + d3 −

x1d1x3

)x3≤ ux11 ux22 u

x33 .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi αi = ui,∀1 = 1, 2, 3.

Trường hợp 2).

Khi α1 = u1 − d1,α2 = u2 + d2,α3 = u3 + d3.

12

Với d1, d2, d3 ≥ 0.

Khi đó x1d1 = x2d2 + x3d3 và từ đó ta thu được

αx11 αx22 α

x33 = (u1 − d1)x1(u2 + d2)

x2(u3 + d3)x3

≤(u1 − d1 +

x2d2x1

)x1ux22 (u3 + d3)x3 ≤ ux11 u

x22 u

x33 .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi αi = ui,∀1 = 1, 2, 3.

Vậy định lý đúng với n = 3.

Giả sử định lý đúng với n. Ta chứng minh định lý đúng với n+ 1.

Theo giả thiết thì

u1 ≤ u2 ≤ · · · ≤ un,x1α1 ≤ x1u1,x1α1 + x2α2 ≤ x1u1 + x2u2,· · · · · · ··x1α1 + x2α2 + · · ·+ xnαn ≤ x1u1 + x2u2 + · · ·+ xnun,x1α1 + x2α2 + · · ·+ xn+1αn+1 = x1u1 + x2u2 + · · ·+ xn+1un+1.

nên ứng với chỉ số k, ta có thể giả sử

αk ≤ uk, αk = uk − dk, uk+1 ≤ αk+1, αk+1 = uk+1 + dk+1.

Ta chia ra hai trường hợp để xét.

Trường hợp 1). Khi xkdk ≤ xk+1dk+1, thì

αx11 · · · αxk−1

k−1 αxkk α

xk+1

k+1 αxk+2

k+2 · · · αxn+1

n+1

= αx11 · · · αxk−1

k−1(uk − dk

)xk(uk+1 − dk+1

)xk+1αxk+2

k+2 · · · αxn+1

n+1

≤ αx11 · · · αxk−1

k−1 uxkk

(uk+1 + dk+1 −

xkdkxk+1

)xk+1αxk+2

k+2 · · · αxn+1

n+1

≤ ux11 ux22 · · · u

xn+1

n+1 .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi αi = ui, với mọi i = 1, 2, . . . , n+ 1.

Trường hợp 2). Khi xkdk ≥ xk+1dk+1, thì

αx11 · · · αxk−1

k−1 αxkk α

xk+1

k+1 αxk+2

k+2 · · · αxn+1

n+1

= αx11 · · · αxk−1

k−1(uk − dk

)xk(uk+1 − dk+1

)xk+1αxk+2

k+2 · · · αxn+1

n+1

≤ αx11 · · · αxk−1

k−1(uk − dk +

xk+1dk+1

xk

)xkuxk+1

k+1 αxk+2

k+2 · · · αxn+1

n+1

≤ ux11 ux22 · · · u

xn+1

n+1 .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi αi = ui, với mọi i = 1, 2, . . . , n+ 1.

Vậy định lý đúng với mọi n ≥ 2.

13

Chương 2

Các bất đẳng thức trong lớp hàmmũ, hàm logarit

2.1 Bất đẳng thức hàm số mũ

Đối với hàm mũ, ta thường sử dụng kết quả sau để chứng minh bất đẳng

thức.

Định lý 2.1. Với a > 0; a 6= 1 thì hàm f(x) = ax luôn thỏa mãn bất đẳng

thức

f(x) ≥ f(x0) + f ′(x0)(x− x0), ∀x, x0 ∈ R. (2.1)

Chứng minh. Thật vậy

- Nếu x = x0 ta được đẳng thức.

- Xét x > x0 ta được khoảng (x0;x) và bất đẳng thức (2.1) có dạng

f(x)− f(x0)x− x0

≥ f ′(x0)

hay f ′(x1) ≥ f ′(x0) với x0 < x1 < x.

Điều này là hiển nhiên vì hàm số f(x) = ax có f ′′(x) = (ln a)2.ax > 0 với

mọi a > 0, a 6= 1, x ∈ R nên f ′ là hàm đơn điệu tăng trên R.- Xét x < x0 ta được khoảng (x;x0) và bất đẳng thức (2.1) có dạng

f(x)− f(x0)x− x0

≤ f ′(x0)

hay f ′(x1) ≤ f ′(x0) với x < x1 < x0.

Điều này hiển nhiên vì f ′ là hàm đơn điệu tăng trên R. Vậy ta thu được bất

đẳng thức (2.1), đpcm.

Từ kết quả của định lí 2.1 ta thu được kết quả của một số bài toán cực

trị trong lớp hàm mũ với tổng không đổi.

14

Hệ quả 2.1. Với a > 1 và x + y + z = α + β + γ thì hàm f(x) = ax luôn

thỏa mãn bất đẳng thức

f(x)

f ′(α)+f(y)

f ′(β)+f(z)

f ′(γ)≥ f(α)

f ′(α)+f(β)

f ′(β)+f(γ)

f ′(γ). (2.2)

Nói cách khác, với α, β, γ cho trước và x, y, z thay đổi thì giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

M =f(x)

f ′(α)+f(y)

f ′(β)+f(z)

f ′(γ)

làf(α)

f ′(α)+f(β)

f ′(β)+f(γ)

f ′(γ).

Hệ quả 2.2. Với 0 < a < 1 và x + y + z = α + β + γ thì hàm f(x) = ax

luôn thỏa mãn bất đẳng thức

f(x)

f ′(α)+f(y)

f ′(β)+f(z)

f ′(γ)≤ f(α)

f ′(α)+f(β)

f ′(β)+f(γ)

f ′(γ). (2.3)

Nói cách khác, với α, β, γ cho trước và x, y, z thay đổi thì giá trị lớn nhất

của biểu thức

M =f(x)

f ′(α)+f(y)

f ′(β)+f(z)

f ′(γ)

làf(α)

f ′(α)+f(β)

f ′(β)+f(γ)

f ′(γ).

Bài toán 2.1. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng

xxyyzz ≥ (xyz)x+y+z

3 .

Bài toán 2.2. Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh

(x+ y − z)x(y + z − x)y(z + x− y)z ≤ xxyyzz.

Bài toán 2.3. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh

xx2

yy2

zz2

3√3≥ xy

2+1yz2+1zx

2+1.

Bài toán 2.4. Cho x, y, z ∈ [0; 1]. Chứng minh

(2x + 2y + 2z)(2−x + 2−y + 2−z) <81

8.

15

Bài toán 2.5. Cho x, y, z > 0. Chứng minh

xy+z + yz+x + zx+y > 1.

Bài toán 2.6. Với x > 0, chứng minh rằng

2(1 + ex) > (1 +√ex)2 >

(1 + 3√ex)3

2.

Bài toán 2.7. Cho x, y ∈ N. Chứng minh rằng

3

√(x4 + y4

x+ y

)x+y≥ xxyy.

Bài toán 2.8. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn

x+ y + z = 1 ta có(1 +

1

x

)y(1 +

1

y

)z(1 +

1

z

)x≥ 1 +

1

xy + yz + zx.

Bài toán 2.9. Cho a1, a2, . . . , an > 0; x ≥ 1. Chứng minh rằng

ax1 + ax2 + · · ·+ axnn

≥(a1 + a2 + · · ·+ an

n

)xBài toán 2.10. Cho các số dương x1, x2, . . . , xn và y1, y2, . . . , yn. Chứng

minh rằng(x1 + x2 + · · ·+ xny1 + y2 + · · ·+ yn

)y1+y2+···yn≥(x1y1

)y1(x2y2

)y1· · ·(xnyn

)yn.

Bài toán 2.11. Cho 0 < x ≤ y ≤ 4 và1

x+

1

y≥ 1. Chứng minh rằng

xy ≤ yx.

Bài toán 2.12. Cho x, y, z > 0. Chứng minh

(y + z)x + (z + x)y + (x+ y)z > 2.

Bài toán 2.13. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác và α ≥ β ≥ 1. Chứng

minh ( 3a

2b+ c

)α+( 3b

2c+ a

)α+( 3c

2a+ b

)α≥( 3a

2b+ c

)β+( 3b

2c+ a

)β+( 3c

2a+ b

)β.

16

2.2 Bất đẳng thức hàm logarit

Đối với hàm logarit, về sau ta thường sử dụng kết quả sau để chứng

minh bất đẳng thức.

Định lý 2.2. Với a > 1 thì hàm f(x) = loga x luôn thỏa mãn bất đẳng thức

f(x) ≤ f(x0) + f ′(x0)(x− x0), ∀x, x0 ∈ R+. (2.4)

Chứng minh. Thật vậy

- Nếu x = x0 ta được đẳng thức.

- Xét x > x0 ta được khoảng (x0;x) và bất đẳng thức (2.4) có dạng

f(x)− f(x0)x− x0

≤ f ′(x0)

hay f ′(x1) ≤ f ′(x0) với x0 < x1 < x.

Điều này là hiển nhiên vì hàm số f(x) = loga x có f ′′(x) = −1x2.ln a

< 0 với

mọi a > 1, x ∈ R+ nên f ′ là hàm đơn điệu giảm trên R+.

- Xét x < x0 ta được khoảng (x;x0) và bất đẳng thức (2.4) có dạng

f(x)− f(x0)x− x0

≥ f ′(x0)

hay f ′(x1) ≥ f ′(x0) với x < x1 < x0.

Điều này hiển nhiên vì f ′ là hàm đơn điệu giảm trên R+.

Vậy ta thu được bất đẳng thức (2.4), đpcm.

Tương tự, ta cũng có

Định lý 2.3. Với 0 < a < 1 thì hàm f(x) = loga x luôn thỏa mãn bất đẳng

thức

f(x) ≥ f(x0) + f ′(x0)(x− x0), ∀x, x0 ∈ R+. (2.5)

Chứng minh. Thật vậy, chứng minh hoàn toàn tương tự đinh lý 2.2 nhưng

với 0 < a < 1 hàm số f(x) = loga x có f ′′(x) = −1x2.ln a

> 0 nên f ′ là hàm

đơn điệu tăng trên R+.

Do đó ta thu được bất đẳng thức (2.5),đpcm.

Từ các kết quả của các định lí 2.2 và 2.3 ta thu được kết quả của một số bài

toán cực trị trong lớp hàm mũ với tổng không đổi.

17

Hệ quả 2.3. Với a > 1 và các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z =

α + β + γ thì hàm f(x) = loga x luôn thỏa mãn bất đẳng thức

f(x)

f ′(α)+f(y)

f ′(β)+f(z)

f ′(γ)≤ f(α)

f ′(α)+f(β)

f ′(β)+f(γ)

f ′(γ). (2.6)


của biểu thức

M =f(x)

f ′(α)+f(y)

f ′(β)+f(z)

f ′(γ)

làf(α)

f ′(α)+f(β)

f ′(β)+f(γ)

f ′(γ).

Hệ quả 2.4. Với 0 < a < 1 và các số dương thỏa mãn điều kiện x+ y+ z =

α + β + γ thì hàm f(x) = loga x luôn thỏa mãn bất đẳng thức

f(x)

f ′(α)+f(y)

f ′(β)+f(z)

f ′(γ)≤ f(α)

f ′(α)+f(β)

f ′(β)+f(γ)

f ′(γ). (2.7)


của biểu thức

M =f(x)

f ′(α)+f(y)

f ′(β)+f(z)

f ′(γ)

làf(α)

f ′(α)+f(β)

f ′(β)+f(γ)

f ′(γ).

Bài toán 2.14. Chứng minh

logx y ≥ logx+z(y + z)

với 1 < x < y, z ≥ 0.

Bài toán 2.15. Chứng minh

logy+z x+ logz+x y + logx+y z >3

4, ∀x, y, z ∈ (

√2; 2).

Bài toán 2.16. Cho x, y > 0. Chứng minh

(x+ 1)ln (x+ 1) + ey ≥ (x+ 1)(y + 1).

Bài toán 2.17. Cho x, y, z > 1. Chứng minh rằng

xlogyz + ylogzx + zlogxy ≥ 3 3√xyz.

18

Bài toán 2.18. Cho x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 4. Chứng

minh rằng

Bài toán 2.19. Cho x, y, z là các số thực dương và x+ y + z = 13. Chứng

minh rằng

log3(x2y6) ≤ 42− 9 log3 z

2.

Bài toán 2.20. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh

log2(xyz) ≤x+ y + z − 3

ln 2.

Bài toán 2.21. Cho x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 1. Chứng

minh

2ln x+ ln (yz) + 6ln 2 ≤ 0.

Bài toán 2.22. Cho x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 32 . Chứng

minh

(x2 + 1)(y2 + 1)(z2 + 1) + xyz ≤ 133

64.

19

Chương 3

Một số bài toán áp dụng

3.1 Các bài toán cực trị liên quan đến hàm mũ và

hàm logarit

Bài toán 3.1. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 4x + 4y + 4z = 1. Tìm giá

trị lớn nhất của S

S = 2x+2y + 2y+2z + 2z+2x − 2x+y+z.

Bài toán 3.2. Cho x, y, z thực thỏa mãn 0 ≤ x, y, z ≤ 2;x + y + z = 3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q = (1 + x2)x(1 + y2)y(1 + z2)z.

Bài toán 3.3. Cho x, y, z thực dương thỏa mãn x+ y + z =9

4. Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức

S = (x+√x2 + 1)y(y +

√y2 + 1)z(z +

√z2 + 1)x.

Bài toán 3.4. Cho số thực x, y, z thỏa mãn x, y, z ≥ 1

2và x + y + z = 2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

s = xx + yy + zz.

Bài toán 3.5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức

S =√4x + 9y + 16z +

√4y + 9z + 16x +

√4z + 9x + 16y.

20

Bài toán 3.6. Cho x, y, z thực dương thỏa mãn x+ y + z = 1. Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức

S =√x1−xy1−yz1−z.

Bài toán 3.7. (Xem [1]) Cho a, b, c là các số không âm, sao cho b + c = d,

x ≥ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P =(ab)x

1− ab+

(bc)x

1− bc+

(ca)x

1− ac.

Bài toán 3.8. Cho x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 6. Tìm giá


S = 2x+2 + 2y+1 + 2z.

Bài toán 3.9. Cho x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 8. Tìm giá


S = e1−x + e3−y + e4−z.

Bài toán 3.10. Cho x, y, z là các số thực dương và x+ y + z = 3. Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức

S = (1 + x)(1 + y)(1 + z).

3.2 Bất đẳng thức siêu việt trong dãy số và giới hạn

Trong phần này ta sẽ sử dụng thêm một số định lý sau.

Định lý 3.1. (Nguyên lý Cauchy, Xem [8-9]) Dãy {an}+∞n=1 hội tụ nếu và chỉ

nếu

∀ε > 0,∃n0 sao cho ∀n > n0,∀p nguyên dương ta có |an+p − an| < ε.

Định lý 3.2. (Định lý phủ định của nguyên lý Cauchy, Xem [8-9]) Dãy

{an}+∞n=1 phân kỳ nếu và chỉ nếu

∃ε0 > 0 sao cho ∀n0, ∃n1,m1 > n0 ta có |an1 − am1| ≥ ε0.

Định lý 3.3. (Định lý về sự hội tụ của dãy đơn điệu bị chặn, Xem [8-9])

1. Nếu dãy {an}+∞n=1 đơn điệu tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

limn→+∞

an = sup an.

21

2. Nếu dãy {an}+∞n=1 đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

limn→+∞

an = inf an.

Định lý 3.4. (Định lý kẹp về giới hạn của dãy số, Xem [8-9]) Cho 3 dãy số

{an}+∞n=1, {bn}+∞n=1, {cn}+∞n=1. Nếu với mọi ∈ N+

an ≤ bn ≤ cn

Và

limn→+∞

an = limn→+∞

cn = L (L ∈ R).

thì

limn→+∞

bn = L.

Bài toán 3.11. (Olympic Toán sinh viên 1994, Xem [3])

Cho

In =

4∫0

xn.√4− x dx

Chứng minh rằng In ≤ 22n+1(2ne)−1/2.

Bài toán 3.12. Cho dãy

xn =1

ln 2+

1

ln 3+ · · ·+ 1

ln n.

Chứng minh dãy {xn}+∞n=1 phân kỳ.

btCho

xn =(1 +

1

2

).(1 +

1

4

)· · ·(1 +

1

2n).

Chứng minh {xn}+∞n=1 hội tụ.

Bài toán 3.13. Cho

xn = 1 +1

2+

1

3+ · · ·+ 1

n− ln n.

Chứng minh dãy {xn}+∞n=1 hội tụ.

22

Bài toán 3.14. Chứng minh rằng với α > 0 và a > 1

limn→+∞

nα

an= 0.

Bài toán 3.15. Chứng minh rằng với mọi a > 0

limn→+∞

an

n!= 0.

Bài toán 3.16. (Xem [7]) Chứng minh limn→∞

n√n! = +∞ và lim

n→∞

n√n!n = e−1.

Bài toán 3.17. (Xem [7]) Chứng minh

limx→+∞

(1 +

1

x

)x= e và lim

x→−∞

(1 +

1

x

)x= e.

Bài toán 3.18. (Xem [7]) Cho

an = bn.e−1/12n và bn =

n!en

nn+1/2.

Chứng minh rằng mỗi khoảng (an, bn) chứa (an+1, bn+1).

3.3 Bất đẳng thức siêu việt trong phương trình và hệ

phương trình

Bài toán 3.19. Giải phương trình

log3√2(√4− x+

√x+ 5) = 1.


4|x| + 2|x| = 4x+ 2.


3x2

= cosx.


2 cosx2 + 3x

5= 2x + 2−x.

23


3x2 − 2x3 = log2(x2 + 1)− log2 x.


log3x2 + x+ 3

2x2 + 4x+ 5= x2 + 3x+ 2.


21+x + 21−x + 31+x + 31−x = 51+x + 51−x.

Bài toán 3.26. Giải hệ phương trình{ex − ey = (log2 y − log2 x)(xy + 1) (1)x2 + y2 = 1. (2)

Bài toán 3.27. Giải hệ phương trình√x2 − 2x+ 6. log3(6− y) = x√y2 − 2y + 6. log3(6− z) = y√z2 − 2z + 6. log3(6− x) = z.

Bài toán 3.28. Giải hệ phương trìnhlog5 x = log3(4 +√y)

log5 y = log3(4 +√z)

log5 z = log3(4 +√x).

Bài toán 3.29. Giải hệ phương trình{x2 + 3x+ ln (x− 1) = y + 8 (1)y2 + 3y + ln (y − 1) = x+ 8 (2) .

24

KẾT LUẬN

Luận văn "Bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, logarit", tác giả đã trình

bày được những vấn đề sau:

1. Luận văn đã trình bày chi tiết các kiến thức cơ bản bổ trợ về tính đơn

điệu, tính lồi lõm của hàm số nói chung và của hàm số mũ, hàm logarit

nói riêng và một số bất đẳng thức cổ điển, định lý liên quan.

2. Vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức cổ điển và giải một số bài toán

bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, hàm logarit thông qua các bài toán

cụ thể.

3. Áp dụng bất đẳng thức hàm mũ, logarit trong các bài toán tìm giá trị

lớn nhất, nhỏ nhất.

4. Áp dụng bất đẳng thức siêu việt vào các bài toán khảo sát dãy số và

giới hạn.

5. Nêu cách giải một số lớp phương trình, hệ phương trình đặc biệt sử

dụng hàm siêu việt.

Tuy nhiên, do thời gian thực hiện không nhiều và khả năng còn hạn chế

nên luận văn mới chỉ đưa ra được một số bài toán bất đẳng thức trong lớp

hàm siêu việt và áp dụng vào một số bài toán về dãy số và giới hạn, phương

trình và hệ phương trình. Về bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức trong

lớp hàm siêu việt nói riêng còn rất nhiều vấn đề, rất nhiều bài toán phức tạp

hơn và những ứng dụng hay hơn, rộng hơn. Trong thời gian tới em sẽ tiếp

tục tìm hiểu sâu hơn về nội dung này. Em rất mong nhận được ý kiến đóng

góp của thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn!

25

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức định lý và áp dụng, NXB Giáo

dục.

[2] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình và bất phương

trình, NXB Giáo dục.

[3] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn,

2006 Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc NXB Giáo dục.

[4] Nguyễn Văn Mậu, Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt

Nam, 1990 - 2014, NXB Giáo dục.

[5] D.S. Mitrinovic (1970), Analytic Inequalities, Springer.

[6] Rajendra Bhatia (2008), The Logarithmic Mean, Indian Statistical In-

stitute.

[7] Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems

in real analysis: Advanced calculus on real axis, Springer.

[8] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, 2005, Giáo trình

giải tích 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[9] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang,Nguyễn Viết Triều Tiên, Hoàng

Quốc Toàn, 2001, Bài tập giait tích 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

Documents

B T Đ NG TH C TRONG L P HÀM SIÊU VI T