51

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Dasar Teori Antrian

Dalam hampir setiap organisasi selalu ada contoh proses yang

menimbulkan deretan tunggu disebut antrian. Deretan bagian, mesin atau unit

harus menunggu untuk memperoleh pelayanan karena fasilitas pelayanan

terbatas dan tidak bisa memenuhinya secara bersamaan.

Bila berpergian dengan pesawat maka akan dihadapkan berbagai

deretan antrian. Untuk membeli karcis, orang harus berdiri dalam deretan

menuju loket agen perjalanan. Begitu tiba di lapangan udara, orang harus

berdiri pada deretan pemeriksaan bagasi dan pemeriksaan paspor. Di dalam

pesawat penumpang harus berdiri lagi dalam deretan untuk mendapatkan

tempat duduk. Ini adalah contoh dalam kehidupan sehari-hari tentang antrian.

Pengertian Teori Antrian

Banyak model yang berbeda tentang sistem aliran barang mencakup

faktor-faktor yang ditandai dengan suatu sebaran peubah acak. Yang paling

umum digunakan adalah pendekatan analitis pada sistem aliran acak seperti

pada analisis antrian, atau teori antrian. Teori antrian mengacu kepada

52

pengamatan matematis dan fisik dari suatu kelompok masalah yang ditandai

dengan ciri-ciri :

1. Ada masukan dari satuan yang memasuki sistem

2. Satuan yang bergerak melewati sistem adalah diskrit.

3. Satuan yang mulai membutuhkan pelayanan disusun dengan satu cara dan

menerima pelayanan menurut susunan tadi.

4. Mekanisme yang ada yakni yang mengatur kapan satu satuan yang

melayani selesai dilayani.

5. Paling tidak satu dari dua mekanisme, kedatangan atau pelayanan, tidak

ditentukan seluruhnya tetapi dapat diperhitungkan pada satu jenis sistem

probabilistik (berpeluang).

Menurut Taha (1996, p135), teori antrian adalah teori yang

menyangkut studi matematis dari antrian-antrian atau baris-baris penungguan.

Formasi baris-baris penungguan merupakan sesuatu yang biasa terjadi apabila

kebutuhan akan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk

menyelenggarakan pelayanan tersebut.

Apabila pelayanan terlalu banyak maka akan memerlukan ongkos

yang besar, sebaliknya jika kapasitas pelayanan kurang maka akan terjadi

baris penungguan dalam waktu yang cukup lama yang juga akan

menimbulkan ongkos baik berupa ongkos sosial, kehilangan langganan

ataupun pengangguran kerja. Yang menjadi tujuan utama teori antrian ialah

53

mencapai keseimbangan antara ongkos pelayanan dengan ongkos yang

disebabkan oleh adanya waktu menunggu tersebut.

Ada dua kondisi yang dijumpai dalam sistem manusia-mesin :

• Siklus waktu kegiatan permesinan (machine cycle time) dan kegiatan

pelayanan (operator cycle time) berlangsung secara konstan dan dapat

diprediksikan.

• Kedua siklus kegiatan baik permesinan maupun pelayanan berlangsung

secara random atau acak.

Proses yang terjadi pada model antrian dapat digambarkan seperti berikut :

Gambar 2.1 Model Antrian

Sumber Gambar: Taha, Hamdy A. (1996). Riset Operasi. Jilid 2. Binarupa

Aksara, Jakarta.

Unit-unit langganan yang memerlukan pelayanan yang diturunkan dari

suatu sumber input memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian. Dalam

waktu tertentu, anggota antrian ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan ini

didasarkan pada suatu antrian tertentu yang disebut “disiplin pelayanan” atau

service dicipline. Pelayanan yang diperlukan dilaksanakan dengan suatu

54

“mekanisme pelayanan” tertentu (service mechanism). Setelah itu, unit-unit

langganan meninggalkan sistem antrian.

2.1.1 Teori Antrian Dengan Gabungan Kedatangan Dan Kepergian

Menurut Taha (1997,p185), Notasi yang sesuai dengan untuk

meringkaskan karakteristik dari antrian parallel telah secara universal

dibakukan dalam format berikut ini:

(a/b/c) : (d/e/f)

Dengan pendekatan sistem, suatu antrian dapat dilihat pada gambar

sebagai berikut :

Gambar 2.2 Sistem Antrian

Sumber : Modul PSK&E Lab Teknik Industri

Dimana simbol a, b, c, d, e, dan f adalah unsur-unsur dasar dari model

ini sebagai berikut:

a = Distribusi kedatangan

b = Distribusi waktu pelayanan (atau keberangkatan)

55

c = Jumlah pelayanan pararel (c=1,2,...,∞)

d = Peraturan pelayanan ( misalnya, FCFS, LCFS, GD, SIRO)

e = Jumlah maksimum yang diijinkan dalam sistem

f = Ukuran sumber pemanggil

Notasi baku tersebut menggantikan simbol a dan b untuk kedatangan

dan keberangkatan dengan kode berikut ini,

M = distribusi kedatangan atau keberangkatan dalam poisson (atau

Markov, atau distribusi antar-kedatangan atau pelayanan

eksponensial yang setara)

D = waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan yang konstan

ataupun deterministik

Ek = distribusi erlangian atau gamma dari distribusi antar kedatangan

atau waktu pelayanan dengan parameter k.

GI = distribusi indenpenden umum dari kedatangan (atau waktu antar-

kedatangan)

G = distribusi umum dari keberangkatan (atau waktu pelayanan)

Teori antrian berhubungan dengan analisa suatu antrian dan

perilakunya. Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu antrian terjadi bila

tingkat jumlah orang atau sesuatu yang harus dilayani lebih besar daripada

tingkat jumlah pelayanannya. Jika jumlah orang/barang yang datang/harus

dilayani lebih kecil daripada kecepatan pelayanannya, maka antrian akan

berkurang atau mungkin tidak ada antrian lagi.

56

Pekerjaan atau orang yang datang ke sistem dapat berasal dari suatu

populasi yang finite atau infinite. Bila jumlah pekerjaan atau orang/barang

tidak mempunyai limit yang diperbolehkan menunggu dalam suatu antrian,

maka antrian ini disebut sebagai infinite. Sebaliknya, bila antrian mempunyai

limit disebut antrian finite.

Karakteristik lain yang diperlukan untuk menjelaskan situasi antrian

adalah disipin antrian. Istilah disiplin antrian menyatakan metode suatu set

aturan yang digunakan untuk menentukan urutan pekerjaan atau orang/barang

yang akan dilayani. Dalam teori antrian diasumsikan bahwa pekerjaan atau

orang/barang akan dilayani menurut ” First come, first served basis ”, yaitu

menurut urutan yang sama sebagaimana mereka datang dalam antrian.

Dalam praktek, beberapa fasilitas pelayanan seperti Kantor Pos,

Supermarket, Bank jika sistem antrian yang dimiliki mempunyai beberapa

fasilitas pelayanan yang menganggur ada biayanya, demikian pula bagi orang

yang menunggu fasilitas pelayanan, maka dalam kenyataannya kita temui

ketidak-seimbangan antara input dan proses outputnya. Karenanya tujuan

daripada teori antrian ini adalah meminimalkan total biaya yang timbul dari

fasilitas pelayanan yang menganggur dan waktu yang hilang bagi

orang/barang karena menunggu pelayanan.

57

2.1.2 Situasi Antrian

Situasi antrian yang terdapat di perusahaan industri, antrian langganan

di Supermarket ataupun di Bank mempunyai kesamaan. Situasi yang sama

tersebut adalah nasabah membutuhkan perhatian atau layanan. Sebagai contoh

dari nasabah perusahaan industri adalah pembuatan mesin-mesin yang harus

diuji coba oleh operator mesin. Disini operator mesin bertindak sebagai

pemberi jasa pelayanan.

Dari berbagai masalah penerapan teori antrian, perlu untuk dibuat

beberapa dasar asumsi tentang aspek-aspek khusus dari sistem antrian. Dalam

model dasar teori antrian, asumsi-asumsi yang dibuat adalah :

1. Proses atau pola kedatangan.

2. Proses pelayanan.

3. Ukuran antrian

4. Disiplin Antrian

5. Jumlah fasilitas pelayanan

Nasabah dapat datang di suatu antrian menurut berbagai cara yang

berbeda. Mereka dapat datang dalam kelompok kecil atau besar, secara teratur

atau tidak teratur waktunya. Dengan demikian proses atau pola kedatangan

dari suatu antrian mungkin sangant besar variabilitasnya.

Karena waktu kedatangan tidak dapat diketahui dengan pasti, kita harus

menentukan distribusi probabilitas atas kedatangan tersebut. Dalam model

dasar antrian, distribusi ini disebut ”exponential distribution”. Dari teori

58

statistik kita ketahui bahwa pola kedatangan adalah secara random, maka

interval atau jarak antara kedatangan akan mengikuti distribusi exponential

ini. Bila pola kedatangan ini betul-betul secara random, maka dengan

mengelompokkan data kedatangan kedalam interval waktu yang sama akan

kita peroleh distribusi Poisson. Jadi distribusi Poisson juga digunakan untuk

menjelaskan proses kedatangan bila waktu diantara interval mempunyai

distribusi exponensial.

2.1.3 Unsur-Unsur Dasar Dari Model Antrian

Dari sudut pandang model antrian, situasi antrian diciptakan dengan

cara berikut ini. Sementara para pelanggan tiba di satu sarana pelayanan,

mereka bergabung dalam sebuah antrian. Pelayan memilih seorang pelanggan

dari antrian untuk memulai pelayanan. Setelah selesainya pelayanan, proses

memilih pelanggan baru (yang sedang menunggu) diulangi. Diasumsikan

tidak ada waktu yang terhilang antara penyelesaian pelayanan dengan

diterimanya seorang pelanggan baru di sarana pelayanan tersebut.

Pelaku-pelaku utama dala sebuah situasi antrian adalah pelanggan

(customer) dan pelayan (server). Dalam model antrian, interaksi antara

pelanggan dan pelayan adalah menarik hanya dalam hal kaitannya dengan

periode waktu yang diperoleh pelanggan untuk menyelesaikan sebuah

pelayanan. Jadi, dari sudut pandang kedatangan pelanggan, kita tertarik pada

59

interval waktu yang memisahkan kedatangan yang berturut-turut. Juga, dalam

kasus pelayanan, yang diperhitungkan adalah waktu pelayanan per pelanggan.

Dalam model-model antrian, kedatangan pelanggan dan waktu

pelayanan diringkaskan dalam bentuk distribusi probabilitas yang umumnya

disebut sebagai distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi

waktu pelayanan (service time distribution). Kedua distribusi ini mewakili

situasi di mana pelanggan tiba dan dilayani secara individual (misalnya, bank

atau supermarket). Dalam situasi lainnya, pelanggan dapat tiba dan/atau

dilayani dalam kelompok (misalnya, restoran). Kasus terakhir ini umumnya

disebut sebagai antrian kelompok (bulk queue).

Walaupun pola kedatangan dan kepergian adalah faktor-faktor penting

dalam analisis antrian, faktor-faktor lain juga penting dalam pengembangan

model-model antrian. Faktor pertama adalah cara memillih pelanggan dari

antrian untuk memulai pelayanan. Ini disebut sebagai peraturan pelayanan

(service dicipline). Peraturan yang paling umum adalah FCFS (first come, first

served / datang pertama, dilayani pertama), LCFS (last come, first served /

datang terakhir, dilayani pertama), SIRO (service in random order / pelayanan

dalam urutan acak) juga dapat timbul dalam situasi praktis. Kita juga harus

menambahkan bahwa sementara peraturan pelayanan menentukan pemilihan

pelanggan dari satu jalur antrian, para pelanggan yang tiba di sebuah sarana

pelayanan dapat juga ditempatkan dalam antrian prioritas (priority queue)

sedemikian rupa sehingga prioritas yang lebih tinggi akan menerima

60

preferensi untuk mulai dilayani terlebih dahulu. Pemilihan pelangga yang

spesifik dari setiap antrian prioritas dapat mengikuti peraturan pelayanan

tertentu.

Faktor kedua berkaitan dengan rancangan sarana tersebut dan

pelaksanaan pelayanan. Sarana tersebut dapat mencakup lebih dari satu

pelayan, sehingga memungkinkan beberapa pelanggan sebanyak jumlah

pelayan tersebut untuk dilayani secara berbarengan (misalnya, kasir bank).

Dalam kasus ini, semua pelayan menawarkan pelayanan yang sama dan

sarana pelayanan tersebut dikatakan memiliki pelayanan sejajar (paralel

servers). Sebaliknya, sarana pelayanan dapat pula terdiri dari serangkaian

stasiun yang dapat dilalui pelanggan sebelum pelayanan diselesaikan

(misalnya, pengolahan sebuah produk di serangkaian mesin). Situasi yang

dihasilkan umumnya dikenal sebagai antrian serial atau antrian tandem

(tandem queue). Rancangan yang paling umum dari sebuah sarana pelayanan

mencakup baik stasiun pengolahan serial atau paralel. Ini menghasilkan apa

yang disebut antrian jaringan (network queue).

Faktor ketiga berkaitan dengan ukuran antrian yang diijinkan.

Dalam beberapa situasi tertentu, hanya sejumlah pelanggan tertentu yang

diijinkan, kemungkinan karena batasan ruang (misalnya, ruang unuk mobil di

tempat pengisian bensin). Setelah antrian memenuhi kapasitas, pelanggan

yang baru tiba tidak dapat masuk dalam anttrian.

61

Faktor keempat berkaitan dengan sifat sumber yang meminta

pelayanan (kedatangan pelanggan). Sumber pemanggilan (calling source)

dapat menghasilkan sejumlah terbatas pelanggan atau (secara teoritis)

sejumlah tak terbatas pelanggan. Sumber tebatas trejadi ketika kedatangan

mempengaruhi laju kedatangan pelanggan baru. Di sebuah bengkel dengan M

mesin, sumber pemanggilan sebelum ada mesin rusak terdiri dari M calon

pelanggan. Setelah satu mesin rusak, mesin itu menjadi pelanggan dan karena

itu tidak dapat menghasilkan pemanggilan baru sampai diperbaiki. Perbedaan

harus ditarik antara situasi bengkel dengan situasi lain di mana ”penyebab”

dari pemanggilan terbatas, tetapi mampu menghasilkan kedatangan yang tidak

terhingga. Misalnya, dalam sebuah tempat pelayanan jasa pengetikan, jumlah

pengetik adalah terbatas, tetapi setiap pengetik dapat menghasilkan

kedatangan sebanyak apapun, karena ia biasanya tidak perlu menunggu

penyelesaian bahan yang diserahkan sebelumnya sebelum menghasilkan

pesanan-pesanan baru.

Model-model antrian yang mewakili situasi di mana manusia

mengambil peran sebagai pelanggan dan/atau pelayan harus dirancang untuk

memperhitungkan pengaruh perilaku manusia (human behaviour). Pelayan

”manusia” dapat mempercepat laju pelayanan ketika jalur antrian memanjang.

Pelanggan ”manusia” dapat berpindah dari satu jalur antrian ke jalur antrian

lainnya dengan harapan dapat mengurangi waktu menunggu ( di saat

berikutnya anda berada di bank atau superarket, Anda dapat membuat waktu

62

menunggu anda menjadi tidak membosankan dengan memperhatikan

fenomena perpindahan ini). Beberapa pelanggan ”manusia” juga menolak

untuk bergabung dalam satu jalur antrian, karena mereka memperkitakan

waktu menunggu yang lama, atau mereka dapat membatalkan setelah berada

dalam antrian karena waktu menunggu mereka sudah terlalu panjang. (Catat

bahwa dalam hal perilaku manusia, waktu menunggu yang panjang bagi satu

orang tidak sama panjangnya bagi orang lainnya).

Tidak diragukan lagi, terdapat ciri-ciri perilaku manusia yang lainnya

dalam situasi antrian sehari-hari. Tetapi, dari sudut pandang model antrian,

ciri-ciri ini hanya dapat diperhitungkan jika perilaku itu dapat dikuantifikasi

dengan cara tertentu yang memungkinkannya untuk dimasukkan dalam model

yang bersangkutan. Juga, model-model antrian tidak dapat memperhitungkan

sebuah perilaku individual dari pelanggan dalam arti bahwa semua pelanggan

dalam anr\trian diperkirakan untuk ”berperilaku” secara setara sementara

mereka berada di sarana pelayanan yang bersangkutan. Jadi pelanggan yang

suka mengobrol (dengan pelayan selama dilayani) dipertimbangkan sebagai

kasus yang jarang dan perilakunya itu diabaikan dalam perancangan sistem.

Sebaliknya, jika sebagian besar pelanggan ternyata suka mengobrol, sebuah

rancangan yang realistik dari sarana pelayanan tersebut harus didasari oleh

fakta bahwa kebiasaan ini, walaupun membuang-buang waktu, merupakan

bagian integral dari operasinya. Satu cara yang logis untuk memasukkan

pengaruh kebiasaan ini adalah meningkatkan waktu pelayanan per pelanggan.

63

Jadi, dapat kita lihat bahwa unsur-unsur dasar dari model antrian

bergantung pada faktor-faktor berikut ini :

1. Distribusi kedatangan ( kedatangan tunggal atau kelompok )

2. Distribusi waktu pelayanan ( pelayanan tunggal atau kelompok )

3. Rancangan sarana pelayanan ( stasiun serial, paralel, atau jaringan )

4. Peraturan pelayanan (FCFS, LCFS, SIRO ) dan prioritas pelayanan

5. Ukuran antrian ( terhingga atau tidak terhingga )

6. Sumber pemanggilan (terhingga atau tidak terhingga )

7. Perilaku manusia ( perpindahan, penolakan, atau pembatalan )

Tujuan kita dalam mempelajari pengoperasian sebuah sarana pelayanan dalam

kondisi acak adalah untuk memperoleh beberapa karakteristik yang mengukur

kinerja sistem yang sedang dipelajari tersebut. Misalnya, satu ukuran yang

logis dari kinerja adalah seberapa lama seorang pelanggan diperkirakan harus

menunggu sebelum dilayani. Satu ukuran lain adalah persentase waktu sarana

pelayanan tersebut tidak dipergunakan. Ukuran pertama memandang sistem

dari sudut pandang pelanggan, sementara ukuran kedua mengevaluasi derajat

pemanfaatan sarana tersebut. Kita secara intuitif melihat bahwa semakin lama

seorang pelanggan menunggu, semakin kecil persentase waktu sarana tersebut

tidak dipergunakan, dan sebaliknya. Kedua ukuran kinerja ini karena itu

dipergunakan untuk memilih tingkat pelayanan (atau laju pelayanan) yang

64

akan menghasilkan keseimbangan yang wajar antara kedua situasi yang

bertentangan ini

2.1.4 Analisa Antrian Dalam Sistem Manusia-Mesin

Dua kondisi/siklus yang biasa dijumpai dalam sistem manusia-mesin :

• Siklus waktu kegiatan persiapan ( machine cycle time ) dan kegiatan

pelayanan ( Operator cycle time ) yang berlangsung secara konstan dan

dapat diprediksikan.

Artinya: Bilamana kondisi yang berlangsung atau terjadi adalah bila

sistem bekerja sesuai dengan asumsi awal dari operator dan operator

dapat mengendalikan sepenuhnya kinerja dari mesin yang bersangkutan

sehingga kegiatan produksi dapat berjalan sesuai dengan keinginan dari

operator yang bersangkutan.

• Kedua siklus kegiatan, baik siklus persiapan maupun pelayanan

berlangsung secara random / acak.

Artinya : Kondisi dimana baik waktu yang dihabiskan untuk melakukan

setup dri mesin maupun waktu yang diperlukan dalam melakukan

pelayanan tidak dapat diprediksikan sebelumnya, sehingga hal itu akan

berimbas pada tidak menentunya waktu yang dihabiskan dalam suatu

pelayanan.

65

Pemikiran Analitis dan sintesa (Analitical thinking and Sintetical thinking) :

• Pemikiran analitis merupakan suatu proses yang berguna untuk

melakukan suatu pengamatan terhadap bagian-bagian dari suatu sistem

kerja yang dianalisa sebagai suatu bagian integral yang berdiri sendiri

(sistem individual )

• Pemikiran sintesa merupakan suatu proses untuk melakukan analisa

terhadap prilaku dari suatu sistem sebagai suatu kesatuan yang integral

dan memperhitungkan bagaimana suatu sub sistem dapat saling

mempengaruhi satu sama lain.

Agar suatu sistem kerja dapat berjalan dengan baik, kombinasi dari

kedua proses tersebut mutlak diperlukan, terutama dalam menghadapi suatu

malfungsi dari suatu sistem kerja. Dimana dalam hal ini pendiagnosisan

sistem dilakukan melalui proses analitis, sedangkan pemecahan dan integrasi

sistem agar dapat berjalan normal kembali merupakan proses sintesa.

2.1.5 Empat Model Struktur Antrian Secara Umum

• Antrian Single Channel, Single Phase Sistem : disini fasilitas yang

dilayani akan datang, masuk dan membentuk antrian pada satu

baris/aliran pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan satu

66

fasilitas operasi pelayanan. Seperti yang ditunjukkan pada gambar

berikut :

Gambar 2.3 Antrian Single Channel, Single Phase Sistem

Sumber : Modul PSK&E Lab Teknik Industri

• Antrian Multi Channel, Single Phase Sistem : disini fasilitas yang

dilayani akan datang, masuk dan membentuk antrian pada satu

baris/aliran pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan beberapa

fasilitas operasi pelayanan. Seperti yang ditunjukkan pada gambar

berikut :

Gambar 2.4 Antrian Multi Channel, Single Phase Sistem

67

Sumber : Modul PSK&E Lab Teknik Industri

• Antrian Single Channel, Multi Phase Sistem : disini fasilitas yang

dilayani akan datang, masuk dan membentuk antrian pada beberapa

baris/aliran pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan satu

fasilitas operasi pelayanan. Seperti yang ditunjukkan pada gambar

berikut :

Gambar 2.5 Antrian Single Channel, Multi Phase Sistem

Sumber : Modul PSK&E Lab Teknik Industri

• Antrian Multi Channel, Multi Phase Sistem : dimana disini kedatangan

fasilitas yang akan dilayani akan masuk dalam sistem pelayanan yang

dioperasikan dari satu fasilitas terus menuju ke fasilitas pelayanan yang

lain. Seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut :

68

Gambar 2.6 Antrian Multi Channel, Multi Phase Sistem

Sumber : Modul PSK&E Lab Teknik Industri

Rumus-rumus antrian single channel, single phase sistem :

Tingkat kedatangan (λ ) merupakan frekuensi atau rata-rata waktu

datangnya pekerjaan dalam satuan waktu. Dan secara umum pola

kedatangannya berdistribusi Poisson. Sedangkan tingkat pelayanan (μ )

merupakan rata-rata waktu pelayanan dalam ukuran pekerjaan per satuan

waktu. Dan secara umum pola pelayanan berdistribusi Exponential.

2.1.6 Pendayagunaan Fasilitas Pelayanan :

Menurut White (1975, p101), kuantitas nilai dari ρ merupakan nilai

dari traffic intensity terhadap sebuah sistem, dalam beberapa terminologi

antrian , simbol ini termsuk dalam analisis beban yang berlebihan, beban

angkat, dan utilitas dari server itu sendiri, dimana :

ρ = μλ

69

untuk perhitungan single server dan beberapa pendekatan model antrian

lainnya.

bilamana : ρ 1≤ , maka aliran akan bergerak lancar walaupun dengan

adanya antrian didalamnya.

ρ >1, maka antrian akan terjadi dan sulit untuk diperhitungkan

rumus untuk model antrian (M/M/1) : (GD/∞/∞) menurut White (1975,

p104) dan Taha (1997, p192)

Jumlah Kedatangan orang/barang yang membentuk Antrian :

Lq = )1(

2

ρρ−

Waktu Menunggu Rata-rata Dalam Antrian :

Wq = )1( ρμ

ρ−

Suatu model antrian sederhana mempunyai karakteristik sebagai berikut :

1. Waktu datangnya pekerjaan dapat dinyatakan polanya sebagai

distribusi poisson.

2. Waktu pelayanan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi

exponensial.

3. Single fasilitas pelayanan.

4. Disiplin antrian adalah first come, first served basis atau general

discpline.

5. Dalam infinite calling population

70

Rumus-rumus antrian multi channel, single phase sistem :

Pendayagunaan Fasilitas Pelayanan :

ρ = μλ

S bilamana : ρ 1≤ , maka aliran akan bergerak lancar

ρ >1, maka antrian akan terjadi

Dimana :

S = Jumlah fasilitas pelayanan ( Server ) yang tersedia

rumus untuk model antrian (M/M/c) : (GD/∞/∞) menurut White (1975,

p103)

Probabilitas Sistem Antrian Kosong

Po = ( )( )

( ) 11

0 !1!

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

− ∑c

n

nc

nc

cc ρ

ρρ

Dimana :

Po = probabilitas sistem antrian kosong ( tidak ada fasilitas yang

harus dilayani/yang masuk dalam sistem pelayanan/antrian )

Jumlah Kedatangan orang/barang yang membentuk Antrian :

71

Lq = 2)1(.!)(.ρρρ

−ccPo c

Waktu Menunggu Rata-rata Dalam Antrian :

Wq = ( )( )21! ρμρ

−ccPoc c

Ws = μ1

+Wq

2.1.7 Model Serial K Stasiun Dengan Kapasitas Antrian tak Hingga (∞)

Menurut Taha (1997, p216) suatu sajianteorema tanpa bukti yang

dapat diterapkan dalam serial k stasiun mempertimbangkan sistem dengan k

stasiun dalam serial, seperti diperlihatkan pada gambar,

Gambar 2.6 Model Antrian Serial-k

Sumber Gambar: Taha, Hamdy A. (1996). Riset Operasi. Jilid 2. Binarupa

Aksara, Jakarta.

72

Asumsikan bahwa kedatangan di stasiun 1 dihasilkan oleh satu satu

populasi tak hingga sesuai dengan distribusi poisson dengan laju kedatangan

rata-rata λ. Unit-unit yang dilayani akan bergerak berurutan dari satu sasiun

ke stasiun beriktnyasampai dikeluarkan di stasiun k.

Pni = (1-ρi) ρini , ni = 0,1,2,…

Untuk i= 1,2,…,k

Dalam kondisi ini dapat dibuktikan bahwa, untuk semua I, keluaran

dari stasiun i bersifat poisson dengan nilai mean λ dan bahwa setiap stasiun

dapat diperlakukan secaara independen sebagai (M/M/c) : (GD/∞/∞). Tetapi

haruslah diingat bahwa hasil steady state dari stasiun tersebut akan berlaku

jika λ<Ciµi, untuk i = 1,2,….,k.

2.2 Peta Kerja

2.2.1 Definisi Peta Kerja

Pendefinisian peta kerja Menurut Sritomo (1995, p123),merupakan

suatu peta ataupun alat yang menggambarkan kegiatan kerja secara sistematis

dan jelas.

73

2.2.2 Jenis - Jenis Peta Kerja

Definisi pemetaan pada peta kerja dapat dibagi menjadi 2 jenis yaitu :

a. Peta Kerja Keseluruhan

Peta kerja keseluruhan merupakan peta kerja yang digunakan

untuk menganalisa kerja secara keseluruhan. Peta kerja keseluruhan

yang umum dipakai adalah :

• Peta Aliran Proses (Flow Process Chart)

Merupakan peta kerja yang menggambarkan semua

aktivitas baik yang produktif maupun tidak produktif yang

terlibat dalam proses pelaksanaan kerja.

• Peta Proses Operasi (Operation Process Chart)

Merupakan peta kerja yang mencoba menggambarkan

urutan kerja dengan jalan membagi pekerjaan tersebut menjadi

elemen-elemen operasi secara detail.

• Diagram Aliran (Flow Chart)

Merupakan peta kerja yang serupa dengan peta aliran

proses hanya saja penggambarannya dilakukan diatas layout

kerja yang ada.

• Peta Proses Produk Banyak (Multi Product Process Chart)

74

Merupakan peta kerja yang dibuat untuk memberikan

gambaran pekerjaan dari banyak produk secara mendetail

untuk setiap produknya.

b. Peta Kerja Setempat

Peta kerja setempat merupakan peta kerja yang digunakan

untuk menganalisa kerja setempat. Peta kerja setempat yang umum

dipakai adalah :

• Peta Tangan Kiri dan Kanan (Left and Right Hand Chart)

Merupakan peta kerja yang digunakan untuk

menganalis gerakan tangan kiri atau kanan dari pekerja secara

mendetail dengan menggunakan gerakan dasar therblig.

• Peta Pekerja dan Mesin (Man and Machine Process Chart)

Merupakan peta kerja yang memberikan informasi

tentang hubungan waktu siklus pekerja dan waktu operasi

mesin yang ditangani.

2.3 ABC Analysis

Pengklasifikasian ABC menurut Vincent Gaspersz (2005, p273),

merupakan klasifikasi dari suatu kelompok material dalam susunan menurun

berdasarkan biaya penggunaan material itu per periode waktu (harga per unit

material dikalikan dengan volume penggunaan dari material itu selama

75

periode tertentu). Periode waktu yang umum digunakan dalam

pengklasifikasian ABC adalah minimal satu tahun.

Pada dasarnya terdapat sejumlah faktor yang menentukan kepentingan

suatu material, yaitu :

• nilai total uang dari material,

• biaya per unit dari material,

• kelangkaan atau kesulitan memperoleh material,

• ketersediaan sumber daya, tenaga kerja, dan fasilitas yang

dibutuhkan untuk membuat material tersebut,

• panjang dan variasi waktu tunggu (lead time) dari material,

sejak pemesanan material itu pertama kali sampai

kedatangannya,

• ruang yang dibutuhkan untuk menyimpan material tersebut,

• risiko penyerobotan atau pencurian material,

• biaya kehabisan stok atau persediaan (stockout cost) dari

material,

• kepekaan material terhadap perubahan desain.

Pengklasifikasian ABC juga dapat diterapkan menggunakan kriteria

lain, dan bukan hanya berdasarkan kriteria biaya, tetapi tergantung pada

faktor-faktor penting apa yang menentukan material itu.

76

Penggunaan analisis ABC adalah untuk menetapkan :

• Frekuensi perhitungan inventori (cycle counting), di mana material

kelas A harus diuji lebih sering dalam hal akurasi catatan inventorinya

dibandingkan material kelas B dan C.

• Prioritas rekayasa (engineering), di mana material kelas A

memberikan petunjuk pada bagian rekayasa dalam peningkatan

program reduksi biaya ketika mencari material-material tertentu yang

perlu difokuskan.

• Prioritas pembelian, di mana aktivitas pembelian seharusnya

difokuskan pada bahan baku bernilai tinggi (high cost) dan

penggunaan dalam jumlah tinggi (high usage).

• Keamanan, di mana analisis ABC dapat digunakan sebagai indikator

dari material mana yang seharusnya lebih aman disimpan dalam

ruangan terkunci untuk mencegah kehilangan, kerusakan, atau

pencurian.

• Sistem pengisian kembali (replenishment sistems), di mana analisis

ABC akan membantu mengidentifikasi metode pengendalian yang

digunakan.

• Keputusan investasi, di mana material kelas A menggambarkan

investasi yang lebih besar dalam inventori sehingga perlu lebih

berhati-hati dalam membuat keputusan tentang kuantitas pesanan dan

77

stok pengaman terhadap material kelas A dibandingkan dengan

material kelas B dan C.

Adapun prosedur yang ada dalam analisis ABC adalah sebagai berikut :

• Tentukan volume penggunaan per periode waktu (biasanya demand

per tahun) dari material-material yang akan diklasifikasikan.

• Gandakan (kalikan) volume penggunaan per periode waktu (demand

per tahun) dari setiap material dengan biaya per unitnya guna

memperoleh nilai total penggunaan biaya per periode waktu (per

tahun) untuk setiap material.

• Jumlahkan nilai total penggunaan biaya dari semua material untuk

memperoleh nilai total penggunaan biaya keseluruhan.

• Tentukan persentase nilai total penggunaan biaya dari setiap material

dengan membagi nilai total penggunaan material biaya setiap material

dengan nilai total penggunaan biaya keseluruhan.

• Urutkan material dalam rank persentase nilai total penggunaan biaya

dengan urutan menurun dari terbesar sampai terkecil.

• Klasifikasikan material-material ke dalam kelas A, B, dan C

berdasarkan kriteria persentase yang telah ditentukan.

78

Analisis ABC mengikuti prinsip 80-20, atau hukum pareto di mana

sekitar 80 % dari nilai total inventori material direpresentasikan (diwakili)

oleh 20% material inventori.

2.4 Identifikasi Distribusi

2.4.1 Uji Kebaikan Suai (Goodness of Fit)

Menurut Walpole (1995, p325), Uji kebaikan suai (Goodness of Fit)

digunakan untuk menentukan apakah suatu populasi memiliki sebaran teoritik

tertentu yang didasarkan pada seberapa baik kesesuaian antara frekuensi yang

teramati dalam data contoh dengan frekuensi harapan yang didasarkan pada

sebaran yang dihipotesiskan.

2.4.1.1 Kolmogorov-Smirnov Test

Uji Kolmogorov-Smirnov merupakan salah satu uji kebaikan suai yang

digunakan untuk membandingkan tingkat kesesuaian sample dengan suatu

distribusi tertentu seperti normal, uniform, poisson, dan eksponensial. Uji ini

didasarkan pada perbandingan frekuensi kumulatif dari data dengan frekuensi

kumulatif dari distribusi teoritis. Berikut adalah langkah dalam pengujian

kolmogorov-smirnov :

1) Tentukan frekuensi kumulatif data hasil observasi (F0).

2) Tentukan frekuensi kumulatif distribusi data teoritis (Fe).

79

3) Tentukan nilai Dn dengan menghitung absolute dari selisih Fe – F0.

4) Tentukan Dn Maksimal dari langkah nomor 3.

5) Tentukan nilai kritis tabel n

DTabelD n

n

α

= dari tabel nilai kritis D untuk

uji kolmogorov-smirnov.

6) Jika TabelDHitungMaxD nn < maka terima hipotesis yang mengatakan

bahwa data mengikuti pola distribusi yang dihipotesiskan.

Menurut White (1975, p338), mengemukakan bahwa sebaiknya

menggunakan kolmogorov-smirnov test dalam uji kebaikan suai dikarenakan

secara statistikal akan lebih baik dibandingkan dengan chi-square test.

2.4.2 Uji Hipotesis

Menurut Walpole (1995, p288), uji hipotesis adalah suatu uji yang

dilakukan dengan menggunakan pernyataan atau dugaan mengenai satu atau

lebih populasi. Dalam hal ini digunakan dua macam hipotesis yaitu hipotesis

nol yaitu hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak (H0) dan

hipotesis alternatif yaitu suatu hipotesis yang diharapkan untuk diterima

apabila hipotesis awal ditolak (H1). Suatu hipotesis awal akan ditolak apabila

nilai dari x hitung jatuh di wilayah kritis. Dan hipotesis awal akan diterima

apabila nilai dari x hitung jatuh di wilayah penerimaan.

80

2.5 Pola Distribusi Data

2.5.1 Frequency Distribution

Menurut Harrel (2000, p120-121), frequency distribution merupakan

distribusi kelompok data dalam interval atau kelas berdasarkan frekuensi dari

kejadian. Distribusi frekuensi dapat dibagi dua yaitu :

1) Discrete Frequency Distribution

Merupakan distribusi yang terbatas pada nilai tertentu dan hanya

sekumpulan frekuensi yang terbatas saja yang ditampilkan. Sebagai

contoh dari discrete frequency distribution adalah jumlah orang yang

datang ke suatu sistem pada interval waktu tertentu.

2) Continuous Frequency Distribution

Merupakan rentang nilai antara sample dari suatu nilai berada. Suatu data

dapat dikatakan memiliki continuous frequency distribution apabila data

tersebut dapat mewakili interval nilai yang sudah ditentukan.

2.5.2 Theoretical Distribution

Merupakan suatu distribusi yang dapat dibedakan berdasarkan

parameter yang ditentukan dari dispersion (penyebaran) dan density

(kerapatan). Menurut Banks dan Gibsons (1997), berikut adalah beberapa

statistikal distribusi teoritis yang ada

81

1) Normal Distribution

Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang tidak terbatas.

Biasanya kurva normal membentuk lonceng dengan nilai rata-ratanya

berada pada titik tengah kurva yang berarti jumlahnya paling banyak.

Berikut adalah rumusnya :

[ ]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= 2

2

2 2exp

21)(

σμ

πσ

xxf , dimana :

µ = shift parameter / mean σ = scale parameter / standard deviation

Gambar 2.7 Distribusi Normal

Sumber Gambar: Plot Software Stat-fit

82

2) Poisson Distribution

Distribusi poisson merupakan distribusi diskrit yang memiliki batas dari 0

pada batas bawah dan tidak terbatas pada batas atas. Biasanya distribusi

poisson berhubungan dengan tingkat kedatangan untuk suatu sistem dan

berkaitan erat dengan distribusi eksponensial. Berikut adalah rumusnya :

!)(

xexp

xλλ−= , dimana :

λ = rate of occurrence / mean

Gambar 2.8 Distribusi Poisson

Sumber Gambar: Plot Software Stat-fit

3) Uniform Distribution

83

Distribusi uniform merupakan distribusi kontinu dimana dibatasi

pada kedua sisinya. Biasanya data berdisribusi uniform apabila nilai max

dan min tidak berbeda jauh. Berikut adalah rumusnya :

minmax

1)(−

=xf

Gambar 2.9 Distribusi Uniform

Sumber Gambar: Plot Software Stat-fit

4) Exponential Distribution

Distribusi eksponensial adalah distribusi kontinu dimana dibatasi

oleh batas bawah. Bentuk dari distribusi ini akan selalu sama dimana

dimulai dari nilai minimum yang terbatas dan terus menurun sampai nilai

x terbesar. Biasanya distribusi eksponensial mencerminkan waktu antar

kedatangan.

84

[ ]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

ββminexp1)( xxf , dimana :

min = minimum x value β = scale parameter

Gambar 2.10 Distribusi Eksponensial

Sumber Gambar: Plot Software Stat-fit

2.6 Pengukuran Kerja

2.6.1 Definisi dan Pembagian Pengukuran Kerja

Menurut Sritomo (1995, p169-170) Pengukuran kerja merupakan

bagian dari penelitian cara kerja. Pengukuran kerja adalah pengukuran kerja

dilihat dari waktu kerja pada saat operator melakukan kerja. Pengukuran kerja

merupakan metode penetapan keseimbangan antara kegiatan dengan manusia

yang dikontribusikan dengan output yang akan dihasilkan. Pengukuran kerja

dibagi menjadi dua yaitu :

85

1) Pengukuran kerja langsung

Pengukuran kerja langsung adalah pengukuran waktu kerja yang

dilakukan secara langsung di tempat dimana pekerjaan diukur dan

dijalankan. Cara pengukurannya dilakukan dengan menggunakan alat

bantuan seperti jam henti (stopwatch) dan sampling kerja.

2) Pengukuran kerja tidak langsung

Pengukuran tidak langsung adalah pengukuran kerja dengan cara

dihitung dengan metode standar data / formula, pengukuran kerja dengan

analisa regresi, penetapan waktu baku dengan data gerakan. Atau dengan

kata lain si pengamat tidak harus berada di tempat pengukuran kerja.

Biasanya dilakukan dengan WF (Work Factor) dan MTM (Methods Time

Measurement).

2.6.2 Diagram Fishbone

Ditemukan oleh Prof. Kaoru Ishikawa dari Universitas Tokyo pada

tahun 1953. Menurut Turner, (2000,p281-283) Diagram sebab akibat adalah

suatu diagram yang menunjukkan hubungan antara sebab dan akibat

Dipergunakan untuk menunjukkan faktor – faktor penyebab (sebab)

dan karakteristik kualitas (akibat) yang disebabkan oleh faktor – faktor

penyebab itu.

86

Disebut juga diagram tulang ikan (fishbone diagram)

Manfaat

• Membantu mengidentifikasi akar penyebab dari suatu masalah

• Membantu membangkitkan ide – ide untuk solusi suatu

masalah

• Membantu dalam penyelidikan atau pencarian fakta lebih

lanjut