BAB 3 GRAFIK dan FUNGSI3.1 Sistem Koordinat CartesianSebuah
sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yaitu tegak dan
lurus, yang disebut sumbu koordinat, yang bertemu di asal mula yang
sama 0 (gambar 1). Salah satu garis disebut sumbu x, adalah garis
horisontal, dan yang lainnya, disebut sumbu y, adalah garis
vertikal. Sistem Koordinat menuju ke kanan sepanjang sumbu x dan ke
atas sepanjang sumbu y. Biasanya menggunakan skala yang sama
(yaitu, jarak yang sama) pada dua sumbu, meskipun terkadang dalam
beberapa hal dapat menggunakan skala yang berbeda. Jika P adalah
suatu titik dalam koordinat Cartesius, koordinat P adalah koordinat
x dan y dari titik-titik di mana titik P memenuhi dua sumbu (gambar
2). Koordinat x disebut absis dari P dan koordinat y disebut
ordinat dari P. Koordinat P dapat ditulis sebagai pasangan (x, y)
dalam tanda kurung, dengan yang pertama absis dan kedua ordinat.
Titik P dengan koordinat (x, y) berarti untuk menggambar sumbu
koordinat Cartesian dan untuk menempatkan sebuah titik yang
mewakili P pada titik dengan
absis x dan ordinat y. Anda dapat menganggap pasangan berurutan
(x, y) sebagai "alamat" titik P. korespondensi antara P dan (x, y)
tampaknya begitu sama sehingga dalam prakteknya kita
mengidentifikasi ke titik P dengan "alamat" nya (x , y) dengan
menulis P = (x,y). dengan identifikasi di pikiran, kita sebut
sepasang bilangan real (x, y) sebuah titik, dan kita merujuk ke set
dari semua pasangan berurutan seperti koordinat Cartesian atau
bidang xy. Sumbu x dan y membagi wilayah menjadi empat wilayah yang
disebut kuadran I, II, III, dan IV (Gambar 3). Quadran I terdiri
dari semua titik (x, y) yang baik x dan y adalah positif, kuadran
II terdiri dari titik (x, y) dengan x adalah negatif dan y adalah
positif, dan
sebagainya, seperti yang ditunjukkan pada gambar 3. Perhatikan
bahwa titik pada sumbu koordinat tidak memiliki kuadran. Contoh 1
Buatlah setiap titik dan
tunjukkan titik tersebut terletak di kuadran atau terletak di
sumbu koordinat A.(4,3) C. (-5, -1) Solusi B. (-3, 2) D. (2, -4)
titik terdapat pada Gambar 4
A. (4,3) terletak di kuadran I B. (-3,2) Terletak di kuadran II
C. (-5,1) Terletak di kuadran III D. (2, -4) terletak di kuadran
IV
Contoh 2
titik
P
=
(-4,2)
dan
tentukan koordinat dari titik Q jika segmen garis tegak lurus
terhadap
sumbu x dan membagi garis itu. Solusi Kita mulai dengan
menentukan titik P = (-4,2) (gambar 5). Kita melihat bahwa P
adalah 2 unit di atas titik dengan koordinat -4 pada sumbu x, maka,
Q adalah 2 unit langsung di bawah titik yang sama. Karena itu Q =
(-4,-2). Dalam gambar 5, titik (-4,0) adalah titik tengah dari ruas
garis . Lebih umum, titik tengah dari segmen garis dapat diperoleh
dengan menggunakan rumus berikut: Rumus Titik Tengah
Titik
adalah titik tengah segment garis antara titik (a,b) dan titik
(c,d)
Contoh 3
Tentukan titik tengah M dari
ruas garis yang menghubungkan R = (5, -4) dan S = (3,6). Buatkan
titik R, M, dan S. Solusi Dengan rumus titik tengah,
Lihat gambar 6.
Rumus Jarak Salah satu hal yang menarik dari sistem koordinat
Kartesius adalah rumus sederhana dalam menentukan jarak antara dua
titik di koordinat kartesius . Jika dan dan adalah dua titik di
bidang Cartesius, kita dapat menunjukkan jarak antara .
Rumus Jarak antara dua titikJika
=(
dan = adalah dua titik di koordinat kartesius, lalu ada jarak
antara dua titik dan maka ||
Untuk menurunkan rumus jarak, kita mempunyai alasan sebagai
berikut. Jarak horizontal antara koordinat dan dan adalah sama
dengan jarak antara titik-titik dengan | bagian.
pada sumbu x (gambar 7a). Dari pembahasan nilai mutlak dalam
bagian 2.6 itu, bahwa jarak horizontal antara P1 and P2 is |
=
||
|
|
||
|
|
=
Demikian pula, jarak vertikal antara P1 dan P2 adalah |
|unit (gambar
7b). Jika ruas garis || bukan horisontal atau vertikal,
membentuk sisi miring dari
segitiga siku dengan kaki panjang | teorema Pythagoras, * || | =
= Dan itu mengakibatkan bahwa || | | |
| dan |
| Oleh karena itu, menurut
Kami menyerahkan kepada Anda untuk memeriksa bahwa rumus
tersebut adalah benar bahkan jika segmen garis adalah horisontal
atau vertikal. Karena = dan = , maka rumus jarak
juga dapat ditulis sebagai ||
Dengan kata lain, urutan di mana Anda kurangi absis atau ordinat
tidak mempengaruhi hasilnya. Contoh 4 Misalkan A = (-2, -1), B =
(1,3), C = (-1,2) dan D (3, -2). Carilah b. Jarak | |
a. Jarak | | Solusi
Dengan rumus jarak, maka ] ] ] ]
a. | | = b. | | =
* Lihat lampiran tentang geometri analitis untuk review dari
teorema Pythagoras dan kebalikannya.
Contoh 5
Misalkan A = (-5,3) B = (6,0) C = (5,5)
a. Buat titik A, B, dan C, dan gambarkan segitiga ABC b. Cari
jarak ||, | |, dan | | c. Tunjukkan bahwa ACB adalah segitiga
siku-siku. d. Tentukan luas segitiga ACB
Solusi a. titik A, B, dan C dapat membentuk segitiga ABC adalah
gambar dapat dilihat pada gambar 9. b. | | = | | = | | = ] ] ] ] =
] = ] = = = = =
c. Pada Gambar 9, kita dapat mengetahui bahwa sudut di titik C
adalah sudut siku-siku. Untuk mengkonfirmasi hal ini, kita
menggunakan kebalikan dari teorema Pythagoras, yang kita periksa
untuk melihat apakah | | + | | = | | dari (b), dimana | | + | | =
104 + 26 = 130 = || . Oleh karena itu, ACB memang, sebuah segitiga
siku-siku. d. | | = sebagai alas dari segitiga dan | | = sebagai
tinggi, kita
menemukan bahwa Luas = alas x tinggi = ( ) = 26 satuan.
Grafik di Koordinat Cartesian Grafik dari sebuah persamaan
atauGraph of + =9
pertidaksamaan dalam dua variabel x dan y didefinisikan sebagai
himpunan semua titik P = (x, y) pada bidang koordinat Cartesian
yang x dan y memenuhi persamaan atau pertidaksamaan. Banyak (tetapi
tidak
semua) persamaan dalam x dan y memiliki grafik kurva yang halus
di sistem koordinat. Sebagai contoh, persamaan + = 9.
Kita dapat menulis ulang persamaan ini sebagai Dengan rumus
jarak antara dua titik, persamaan terakhir berlaku jika dan hanya
jika titik P = (x,y) adalah 3 unit dari asal O = (0,0). Oleh karena
itu, grafik dari adalah lingkaran berjari-jari 3 unit dengan pusat
pada titik asal O (gambar 10). Jika kita diberi kurva pada bidang
Kartesius, kita dapat bertanya apakah ada persamaan yang merupakan
grafik. Seperti persamaan yang disebut itu adalah grafik. Seperti
persamaan itu disebut persamaan untuk kurva atau persamaan kurva.
Sebagai contoh + = 9 adalah sebuah persamaan untuk lingkaran dalam
gambar + =9 atau sebagai
10. Dua persamaan atau pertidaksaman dalam x dan y dikatakan
ekuevalen jika mereka memiliki grafik yang sama. Sebagai contoh,
persamaan ekuevalen dengan persamaan + = 9 adalah
= 3. Kita sering menggunakan persamaan
untuk kurva untuk menggambarkan kurva, misalnya, jika kita
berbicara tentang "lingkaran persamaan ". + = 9," ini berarti
"lingkaran yang + = 9 adalah suatu
Jika r > 0, maka lingkaran berjari-jari r dengan pusat (h, k)
terdiri dari semua titik (x, y) seperti bahwa jarak antara (x, y)
dan (h, k) adalah r satuan (gambar 11) . Menggunakan rumus jarak,
kita dapat menulis sebuah persamaan untuk lingkaran ini sebagai
, atau ekuivalen,
Persamaan yang terakhir ini disebut bentuk standar untuk
persamaan lingkaran dalam bidang xy. Contoh 7or = 25
Tentukan
persamaan
untuk lingkaran berjari-jari 5 dengan pusat pada titik (3, -2)
(figure12). Solusi Di sini r = 5 dan (h, k) = (3, -2), sehingga
dalam bentuk standar,
persamaan lingkaran adalah
Atau
Jika diinginkan, kita dapat memperluas hal itu, menggabungkan
seperti istilah, dan menulis ulang persamaan dalam bentuk
ekuivalen
Persamaan terakhir dapat dikembalikan ke bentuk standar dengan
melengkapi kuadrat .* Lihatlah sebagai berikut: +
+9+
Di sini, kita tambahkan 9 untuk kedua sisi persamaan untuk
perubahan kuadrat sempurna kuadrat sempurna menjadi , dan kita
tambahkan 4 untuk mengubah . Contoh 8 Gambarkan grafik dari +
Solusi +
ke ke
Oleh karena itu, grafik lingkaran jari-jari 13).
= 5 unit dengan pusat (-1, -4) (Gambar
Latihan 3.1 1. Tentukan setiap titik dan tunjukkandi kuadran
atau sumbu koordinat. A. (1,6) B. (-2,3) C. (4, -1) 2. Gunakan
rumus titik tengah untuk menemukan titik tengah M dari ruas garis
yang menghubungkan titik R dan titik S. titik R, M, dan S. R =
(1,2) S = (3,4)
3. Gambarlah grafik dari persamaan Jawab : 1.
2.
= (2,3).
3.
3.2
Kemiringan Suatu GarisDalam bahasa biasa, kata "kemiringan"
mengacu pada kecuraman, sebuah lereng, atau penyimpangan
dariSlope
horisontal.rise
Misalnya,
kita
berbicara
tentang sebuah lereng ski atau kemiringan atap.run
Dalam
matematika,
kata
"kemiringan" memiliki makna yang tepat. Pertimbangkan segmen
garis dalam gambar1. Jarak horisontal antara A dan B disebut garis
mendatar dan jarak vertikal
antara A dan B disebut garis tegak. Rasio kenaikan untuk
menjalankannya disebut kemiringan segmen garis dan dilambangkan
dengan simbol m:m = segmen garis =
Jika ruas garis dijalankan sehingga menjadi vertikal, maka garis
mendatar lebih panjang , menurun garis tegak, dan kemiringan m =
garis tegak / garis mendatar menjadi lebih besar. Oleh karena itu,
kemiringan m benar-benar memberikan ukuran
numerik dari kecenderungan atau kecuraman dari segmen garis
yaitu kecenderungan yang besar , kemiringan terbesar. Jika ruas
garis adalah horisontal, kenaikan adalah nol, sehingga
kemiringannya m = garis tegak / garis mendatar adalah nol. Dengan
demikian, segmen garis horizontal memiliki nol kemiringan. Jika
miring ke bawah ke kanan, seperti dalam gambar 2, kenaikannya
dianggap negatif, maka, yang m = garis tegak / garis mendatar
adalah negatif. (garis mendatar dianggap bukan negatif). Dengan
demikian, segmen garis yang miring ke bawah dari kiri ke kanan
memiliki kemiringan negatif. Perhatikan bahwa kemiringan m = garis
tegak / garis mendatar dari segmen garis vertikal tidak terdefinisi
karena penyebut adalah nol. Sekarang, misalkan A = = and B
, dan mempertimbangkan segmen
garis (gambar 3). Jika titik B adalah ke atas dan ke kanan dari
A, segmen garis telah naik dan mendatar =
sehingga kemiringan adalah
Bahkan jika B tidak ke atas dan ke kanan dari A, kemiringan m
dari diberikan oleh rumus yang sama, dan kita memiliki yang
berikut:
Rumus kemiringan A= dan B = Kemudian, jika adalah dua titik di
koordinat Cartesius. kemiringan m di segmen garis adalah
Perhatikan bahwa
=
(mengapa?), kemiringan suatu ruas garis adalah sama dan titik
lainya disebut
terlepas dari titik akhir yang disebut Contoh 1
Dalam sebuah kasus, gambarkan segmen garis dan kemiringan garis
= M dengan menggunakan rumus kemiringan. a. A = (-3, -2), B = (4,1)
b. A = (-2,3) B = (5,1) c. A = (-2,4) B = (5,4) d. A = (3, -1) B =
(3,6)
Solusi a. b. c.
Gambar segmen Garis pada Gambar 4.
= =
d. M tidak terdefinisi karena
Dari segitiga APB sama dan CQD dalam gambar 5, Anda dapat
melihat bahwa dua segmen garis paralel and memiliki kemiringan yang
sama. Demikian juga, jika segmen dua garis and terletak pada garis
yang sama pada L, maka mereka mempunyai kemiringan yang sama
(gambar 6). Kemiringan umum dari semua segmen berbaris di garis
disebut kemiringan L.
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
Contoh 2 gambarkan garis L yang terletak di titik P = (1,2) dan
kemiringan a. b.
Solusi a. Untuk berarti bahwa, untuk setiap 3 unit bergerak ke
kanan dari sebuah
titik pada L, dan harus bergerak ke atas 2 unit untuk kembali ke
L. Jika kita mulai di titik P = (1,2) di L, pindah 3 unit ke kanan
dan 2 unit ke atas, tiba di titik Q = (1 +3, 2 +2) = (4,4) pada L.
karena setiap dua titik pada garis determinan menentukan garis,
kita hanya merencanakan P = (1,2) dan Q = (4,4) dan menggunakan
garis lurus untuk menggambar L (gambar 7a). b. Untuk berarti bahwa,
untuk setiap 3 unit kita bergerak ke kanan dari
sebuah titik pada L, kita harus bergerak turun 2 unit untuk
kembali ke L. jika kita mulai di titik P = (1,2 ) di L, pindah 3
unit ke kanan dan 2 unit ke bawah, kita sampai pada menggunakan
garis lurus untuk menggambar L (gambar 7b).
Dari fakta tersebut bahwa dua segmen garis paralel memiliki
kemiringan yang sama, jika dilihat bahwa dua garis sejajar memiliki
kemiringan yang sama. Sebaliknya, Anda dapat membuktikan dengan
geometri dasar yang dua garis yang berbeda dengan kemiringan yang
sama adalah sejajar. Jadi, kita memiliki pernyataan berikut.
Garis Sejajar Dua buah garis yang berbeda di koordinat Cartesius
adalah sejajar jika dan hanya jika memiliki kemiringan yang
sama.
Contoh 3
Buatlah gambar garis L yang berisi titik P = (3,4) dan sejajar
dengan segmen garis , di mana A = (-1,2) dan B = (4, -5)
Solusi
Dengan rumus kemiringan, segmen garis , memiliki kemiringan
Oleh karena itu, dengan keadaan paralel, L juga memiliki
kemiringan . Mulai pada titik P = (3,4) di L, kita bergerak 5 unit
ke kanan dan 7 unit ke titik Q = (3 + 5, 4 - 7) = (8,-3).
Menggunakan garis sejajar, kita menarik garis L
melalui P dan Q (Gambar 8).
Keadaan selanjutnya untuk dua buah garis menjadi tegak lurus
cukup berguna.
Garis Tegak lurus Dua buah garis di koordinat Cartesius adalah
tegak lurus jika dan hanya jika kemiringan salah satu garis adalah
negatif dari titik balik garis kemiringan yang lainnya.
Untuk membuktikan hasil ini, ada dua buah garis yaitu dengan
kemiringan Keadaan , bahwa
masing-masing.
kemiringan salah satu garis adalah negatif dari kebalikan dari
kemiringan lainnya dapat ditulis sebagai . Baik sudut antara garis
atau kemiringan mereka terpengaruh jika kita menempatkan titik asal
O pada titik di mana ke kanan dan | titik B = (1, berpotongan
(gambar 9). Mulai dari O pada |unit vertikal untuk tiba di titik A
= (1, ) adalah pada garis , kita bergerak 1 unit . Demikian
juga,
) pada
. Dengan teorema Pythagoras yang sebelumnya,
segitiga AOB adalah segitiga siku-siku jika dan hanya jika || ||
||
Menggunakan rumus jarak kita menemukan bahwa | | || | | and
,
Oleh karena itu, keadaan ||
||
|| adalah setara dengan
Menyederhanakan persamaan terakhir untuk Contoh 4 Cari
kemiringan garis
, dan hasilnya didirikan.
yang tegak lurus terhadap segmen garis ,
di mana A= (-1,2) dan B = (4, -5). Solusi Kemiringan garis yang
berisi titik A dan B diberikan oleh
Karena itu, dengan keadaan tegak lurus,
Contoh 5 Gambarkan garis L yang berisi
titik P = (2,1) dan tegak lurus terhadap segmen garis , di mana
A=( dan B = (0,5)
Solusi Kemiringan =
Oleh karena itu, kemiringan m pada garis L adalah
. Mulai pada titik P =
(2,1) di L, kita bergerak 3 unit ke kanan dan 1 unit ke bawah,
ke titik Q = (2 +3, 1-1) = (5,0) pada L. Menggunakan garis yang
sejajar, kita menarik garis L melalui P & Q. Latihan 3.2 1.
Gambarkan segmen garis dan tentukan kemiringan dengan menggunakan
rumus kemiringan. A = (-1,8) B = (4,3)
2. Gambarkan garis L yang berisi titik P dan memiliki kemiringan
m. P = (1,1) m=2
3. Gambarkan garis L yang berisi titik P dan sejajar dengan
segmen garis . P = (4, -3) Jawab: 1. = 2. P = (1,1) m=2= A = (-2,3)
B = (3, -7)
Q = (1 + 1, 1 + 2) = (2,3)
3.
= Q = (4 + 5 , (-3) + (-10)) = (9, (-13))
