Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i nearVekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Si ana Hal i m- Tekni k I ndust riU K . Pet ra154.VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3 4.1.PENGANTAR DEFINISI 4.1: VEKTOR Vektoradalahsuatubesaranyangmemilikibesardanarah.Vektoryangmemiliki panjangdanarahyangsamadikatakanekivalen.Duavektorv,wekivalen,dapat dituliskan sebagai v = w Btitik terminal VWZ V = AB A titik awalV=W=Zketiganya ekivalen Gb.4.1 (a) Vektor(b) Vektor Ekivalen DEFINISI 4.2: 1.Penjumlahan Vektor2.Vektor Negatif V W V V + W Besar V= Besar(-V) Namun arahnya Berlawanan. Gb.4.2 (a) Penambahan Vektor-V(b) Vektor negatif 3.Pengurangan Vektor V-W VVV - W -WWW (c) Pengurangan Vektor DEFINISI 4.3: Jika v adalah vektor tak nol, k-skalar, k ,k 0, maka k v didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v , jika k > 0 , arah k v searah dengan arah v k < 0 ,arah k vberlawanan dengan arah v k v = 0, jika k = 0 atau v = 0 v -v2v v Gb. 4.2 Perkalian Vektor dengan skalar Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i nearVekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Si ana Hal i m- Tekni k I ndust riU K . Pet ra164.1.1VEKTOR DI RUANG-2 Jika V Vektor pada bidang Titik awal adalah titik asal koordinat V = (v1,v2), W = (w1,w2) v1,v2 Komponen-komponen dari V Sifat-sifat yang berlaku pada pada vektor di Ruang-2 adalah Ekivalen bila v1=w1dan v2=w2 Penjumlahan : V + W= (v1+w1,v2+ w2) Perkalian scalar:kV =(kv1,kv2) Pengurangan : V-W =(v1 - w1,v2 - w2) (v1+w1,v2+w2) Y W

(v1,v2)V+W V XX Gb.4.3Vektor-vektor di ruang-2 4.1.2VEKTOR DI RUANG-3 Jika V Vektordi ruang berdimensi 3 V = (v1,v2,v3) W =(w1,w2,w3) Sifat-sifat yang berlaku pada pada vektor di Ruang-3adalah Ekivalen bila v1=w1; v2 =w2 dan v3=w3 Penjumlahan : V + W= (v1+w1,v2+ w2,v3+w3) Perkalian scalar: kV =(kv1,kv2, kv3) Pengurangan : V-W =(v1 - w1,v2 - w2, v3-w3) 4.2.NORM VEKTOR DEFINISI 4.4 :NORM VEKTOR : n+0adalah norm vektor jika x,y n , (a)x 0 danx= 0 x=0 (b)xx = x(c)y x y x + + (Pertidaksamaan segitiga) Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i nearVekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Si ana Hal i m- Tekni k I ndust riU K . Pet ra17CONTOH 4.5 Euclidean Norm in 2 V = (v1,v2) 22212v v V + JikaP1(x1,y1,z1)danP2(x2,y2,z2)adalah2titikdiruang-3,makajarakddiantara kedua titik tersebut adalah norm vector P1P2 2 1P P= (x2-x1, y2-y1,z2-z1) d=( ) ( ) ( )21 221 221 2z z y y x x + + zP2 P1 y x Gb. 4.3 Jarak antara dua vektor 4.3.HASIL KALI TITIKDAN PROYEKSI 4.3.1 HASIL KALI TITIK DEFINISI 4.6:HASIL KALI TITIK Jika u dan v adalah vector- vektor di 2 atau 3 dan adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau Euclidean Inner Product u.v didefinisiakan oleh' 0 0 00 0 cos.v atau u Jikav dan u jika v uv u(4.1) TEOREMA 4.7: Misalkan u dan v adalah vektor di ruang-2 atau di ruang-3 (a)v.v =v2,i.e.,v= (v.v)1/2 (b)Jika u 0 dan v 0, sudut antara kedua vektor tersebut, maka lancipjika dan hanya jika u.v > 0 tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 = /2jika dan hanya jikau.v = 0 Bukti : (a)karena sudut diantara v dan v adalah 0, maka dapat diperoleh : v.v =v vcos=v2 cos 0=v2 (b)karenau> 0 ,v > 0dan u.v =u vcos berarti u.v< 0 cos < 0 tumpul u.v> 0 cos > 0 lancip u.v= 0 cos = 0 = /2 Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i nearVekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Si ana Hal i m- Tekni k I ndust riU K . Pet ra18CATATAN 4.8 Jika u vmaka u dan v dikatakan orthogonal TEOREMA 4.9: Jika u,v dan w adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah skalar, maka (a)u.v= v.u (b)u.(v+w) = u.v + u.w (c)k (u.v) = (ku).v= u.(kv) (d)v.v> 0jika v 0dan v.v= 0jika v = 0 4.3.2 PROYEKSI w2u w2 u u w2

w1aa w1w1a w1 Gb.4.4proyeksi vektor u w1 // aw1 + w2 = uw2u w2 aw2 = u w1 w1dinamakan proyeksi orthogonal u pada a (komponen vektor u sepanjang a) Proya u w2dinamakan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a w2 = u w1= u- Proya u TEOREMA 4.10 Jika u dan a adalah vektor-vektor di ruang-2 atau di ruang-3, dan jika a 0, maka (w1 = ) Proya u =aaa u2. (w2 = ) u- Proya u = u -aaa u2. Bukti Diketahui jika w1 // a maka w1 = k a,k skalar u= w1 + w2 = k a+ w2 u . a= (k a + w2) . a= k 2a +w2 . a (w2 . a= 0, karena w2a ) k = 2.aa u w1 =aaa u2.

Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i nearVekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Si ana Hal i m- Tekni k I ndust riU K . Pet ra19Panjangkomponenvectorusepanganvektoradapatdiperolehdenganmenariknorm sebagai berikut : aaa uaaa uu oya2 2. .Pr =aaa u2.( 02> a } (4.2) Jika menyatakan sudut antara udana, maka u.a= cos a umaka persamaan (4.2) dapat dituliskan menjadi : cos Pr u u oya (4.3) 4.4.HASIL KALI SILANG (CROSS PRODUCT) DEFINISI 4.11 Jika U = (u1,u2,u3)dan V = (v1,v2,v3) adalah vektor di ruang-3, maka hasil kali silangU x V adalah vektor yang didefinisikan oleh : U x V =

,_

3 12 13 13 13 23 2, ,v vu uv vu uv vu u (4.4) TEOREMA 4.12 Jikau dan v adalah vektor di ruang-3 maka (a)u.(u x v) = 0(u x vortogonal ke u) (b)v.(u x v) = 0(ux vortogonal ke v) (c)22 2 2) . ( v u v u v x u (Identitas Lagrange) TEOREMA 4.13 Jika u, v dan w adalah sebarang vektor di ruang-3, dan k adalah sebarang skalar, maka : (a)u x v = - (v x u) (b)u x (v+w) = (u x v) + (u x w) (c)(u + v) x w = (u x w) + (v x w) (d)k (u x v) = (k u) x v= u x (kv) (e)u x 0 = 0 x u = 0 (f)u x u = 0 aa uu oya.Pr Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i nearVekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Si ana Hal i m- Tekni k I ndust riU K . Pet ra204.4.1 UNIT VEKTOR i = (1, 0, 0)j = (0,1,0)k = (0,0,1) zi x i = j x j = k x k= 0 i x j = k,j x k= i , k x i= j j x i = -k,k x j= -i, i x k= -j k = (0,0,1)u x v = 3 2 13 2 1v v vu u uk j i

j = (0,1,0)y

i = (1,0,0) x Gb.4.5Unit Vektor Makna dari cross product u x vJika menyatakan sudut antara u dan v, maka u.v =u vcos 22 2 2) . ( v u v u v x u =u2v2 (u vcos )2 =u2v2(1 cos 2 ) u=u2v2sin2 uxv= u v sin v Gb. 4.6Ilustrasi Cross Product vLuas= Alas Tinggi =u v sin v vsin =uxv u

Gb. 4.7Jajaran Genjang (Paralel Epipedum ) Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i near Di kt atAl j abar L i nearVekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Vekt or diRuang 2 dan Ruang 3 Si ana Hal i m- Tekni k I ndust riU K . Pet ra214.5.RUANG VEKTOR UMUM DEFINISI 4.14 : RUANG VEKTOR UMUM Jika V adalah sebuah ruang vektor (a)Jika u,v V,maka u + v V (b)u+v= v+u (c)u+(v+w) = (u+v)+w (d)Jika 0 V sehingga 0 + u = u+ 0, u V (e) u V , - u V (negatif u). sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 (f)Jika k,l , u V, maka k u V (g)k (u + v) , k u + k v (h)(k+l) u = k u + l u (i)k(l u) =(kl) u (j)1 u = u CONTOH 4.15 1.Himpunansemuatripelbilanganriil(x,y,z)denganoperasioperasi(x,y,z)+ (x,y,z) = (x+x, y+ y, z + z)dan k (x,y,z) = (kx, y,z)BUKAN merupakan ruang vector, karena (f) TIDAK terpenuhi. 2.Himpunansemuapasanganbilanganriil(x,y),x0denganoperasi-operasibaku pada 2 BUKAN merupakan ruang vector karena (e) dan (f) TIDAK terpenuhi.