BAB 4. TURUNAN

Sebelum membahas turunan, terlebih dahulu ditinjau tentang garis singgung

pada suatu kurva.

A. Garis singgung

Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu

kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 1a. Akan tetapi

jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung

yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk

lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 1b.

Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita

perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak

pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik

B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang

mempunyai kemiringan :

A

l

(a)

(b) Gambar 1. garis singgung

A

B l

Bab 4.. Turunan

36

m1 = x- f(x) -

1

1)(xxf

Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke

titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal

tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

x

xfmxxxx −

=→→ 1x

f(x) - )(limlim 11

11

Persaman ini adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan

Gambar 2 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x1

adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis :

mx

xfmxxxx

=−

=→→ 1x

f(x) - )(limlim 11

11

Jadi :

x

xfmxx −

=→ 1x

f(x) - )(lim 1

1

l1

A l

B

x x1

h

x 0

y

Gambar 2. Kemiringan garis

Kemirngan garis l1 = m1

Bab 4.. Turunan

37

Karena x1 – x = h, maka h

f(x) - )(lim0

hxfmh

+=

→

Jika dimisalkan h = ∆x, maka x

f(x) - ∆∆

∆

)(lim0

xxfmx

+=

→

Tiga persamaan adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x))

Contoh 1 :

Diketahui f(x) = 3x2 + 5. Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang

melalui titik (a,a2)

Penyelesaian :

xf(x) -

∆∆

∆

)(lim0

xxfmx

+=

→

xxxxxx

xx ∆∆∆

∆∆

∆∆

53563lim5)(3lim22

0

2

0

−−+++=

−++=

→→

22 x)3(x x

3x-5

xxxx

636lim0

=+=→

∆∆

Jadi m = 6x (*)

Persamaan garis singgung : y = mx + n (**)

Karena garis singgung melalui titik (a,a2) maka :

persamaan (*) menjadi :m = 6a

persamaan (**) menjadi : a2 = 6a2 + n. Sehingga n = -5a2

Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2

B. Turunan

Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Differensiasi dapat

dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) menjadi turunan f(x)

atau f ’(x).

Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung

kurva f(x)di titik (x, f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi

turunan dapat ditulis dalam bentuk :

Bab 4.. Turunan

38

xx

xfxfxf

xx −−

=→ 1

1 )()(lim)('

1

, jika nilai limitnya ada

Jika persamaan di atas dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan

(differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.

Contoh 2

Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f ’(x), f ’(c) dan f ’(3)

Penyelesaian :

f(x) = 2x2 + 5x – 7

f(x+∆x) = 2(x+∆x)2 + 5(x+∆x) – 7 = 2x2 + 4x∆x +2(∆x)2 + 5x + 5∆x – 7

f(x+∆x) – f(x) = 4x∆x + 2(∆x)2 + 5∆x

54524lim5)(24lim)()(lim)('0

2

00+=++=

++=

−+=

→→→xxx

xxxxx

xxfxxfxf

xxx∆

∆∆∆∆

∆∆

∆∆∆Jadi : 54)(' += xxf

54)(' += ccf

175)3(4)3(' =+=f

Catatan: Selain notasi 'f , turunan fungsi y = f(x) juga dapat dituliskan dengan notasi

dy/dx .

Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan

differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu :

Jika :x

xfxxfx ∆

∆∆

)()(lim0

−+→

ada, maka x

xfxxfxfx ∆

∆∆

)()(lim)('0

−+=

→

f(x+∆x)- f(x)= xx

xfxxf ∆∆∆

•−+ )()(

xx

xfxxfxfxxfxxx

∆∆∆∆

∆∆∆ 000lim.)()(lim))()((lim→→→

−+=−+ = 'f (x) . 0 = 0

Sehingga : )(lim)(lim00

xfxxfxx →→

=+∆∆

∆ → )()(lim0

xfxfx

=→∆

(terbukti)

Bab 4.. Turunan

39

Jadi jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x.

Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f

differensiable pada x.

C. Sifat – sifat turunan

1. Turunan bilangan konstan

Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai :

y = f(x) = c maka 0)(' == xfdxdy

2. Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y

didefinisikan sebagai :

y = f(x) = kxn maka 1)(' −== nknxxfdxdy

Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7

Penyelesaian :

617 35)7)(5()(' xxxfdxdy

=== −

3. Aturan penjumlahan

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan

sebagai :

y = h(x) = f(x) + g(x) maka )(')(' xgxfdxdy

+=

Contoh 4 :

Diketahui y = 5x6 + 2x-3. Tenrtukan dxdy

Penyelesaian :

f(x) = 5x6 g(x) = 2x-3

Bab 4.. Turunan

40

f’(x) = 30x5 g’(x) = -6x-4

=dxdy f’(x) + g’(x) = 30x5 – 6x-4

4. Aturan perkalian

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan

sebagai :

y = h(x) = f(x).g(x) maka )(')()()(' xgxfxgxfdxdy

+=

Contoh 5 :

Diketahui y = (3x5 + 2x-2)(7x+3)

Tentukan dxdy

Penyelesaian :

f(x) = 3x5 + 2x-2 g(x) = 7x+3

f’(x) = 15x4 – 4x-3 g’(x) = 7

dxdy = 126x5 + 45x4 - 14x-2 – 12x-3

5. Aturan pembagian

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :

y = h(x) = )()(

xgxf

maka [ ]2)(

)(')()()('xg

xgxfxgxfdxdy −

=

Contoh 6 :

Tentukan turunan dari h(x) = 3

24

432

xxx −

Penyelesaian :

23

22433

2 )4()12)(32()4)(68(

)]([)(').()().(')('

xxxxxxx

xgxgxfxgxfxh −−−

=−

=

Bab 4.. Turunan

41

= 6

46

6

4646

166012

1636242432

xxx

xxxxx −

=−−− = 2

2

4153

xx −

6. Turunan fungsi komposisi

Jika y = f(u) dan u = g(x) maka dxdu

dudy

dxdy

=

Persamaan ini disebut aturan rantai

Contoh 7 :

Tentukan dxdy jika y = (4x3 + 5x2 – x + 4)3

Penyelesaian :

Misal u = 4x3 + 5x2 – x + 4 y = u3

11012 2 −+= xxdxdu 23u

dudy

=

)11012(3 22 −+== xxudxdu

dudy

dxdy

2232 )454)(11012(3 +−+−+= xxxxx

Soal-soal

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut !

1. f(t) = at2 – bt + 17 6. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

xx

xxf 1

54

45)( 3x-

2. f(x) = 2x-5 + 3 25x 7. g(t) = (at2+bt+c)2(3at–7)5

3. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

2x

xxg 2)( 8.

cwawbwg+

−=

2)(

4. h(x) = 21

54

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

xx 9.

3

22

)()()(

dctbtattf

−

−=

5. w(x) = 3

347

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +2x-

x 10.

5)3()(

2

+−

=t

ttg

Bab 4.. Turunan

42

D. Turunan fungsi-fungsi trigonometri

1. Jika y = sin x maka xcos)(' == xfdxdy

Bukti :

xxxx

xxfxxfxf

dxdy

xx ∆∆

∆∆

∆∆

sin)sin(lim)()(lim)('00

−+=

−+==

→→

x

xxxxxx ∆

∆∆∆

sinsincoscossinlim0

−+=

→

x

xxxxx ∆

∆∆∆

sincos)1(cossinlim0

+−=

→

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−=

→ xxx

xxx

x ∆∆

∆∆

∆

sincos)1(cossinlim0

x

xxxxx

xx ∆∆

∆∆

∆∆

sinlimcos1coslimsin00 →→

+−

=

= (sin x)(0) + (cos x)(1) = cos x (terbukti)

2. Jika y = sin u dan u = f(x) maka dxduu

dxdy cos= .

3. Jika y = f(x) = cos x maka x sin)x('fdxdy

−==

4. Jika y = cos u dan u = f(x) maka dxdu

u sindxdy

−=

Contoh 8 :

Jika y = sin(π-2x), tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = π - 2x y = sin u

2−=dxdu u

dudy cos=

)2cos(2)2)((cos xudxdu

dudy

dxdy

−−=−== π

Bab 4.. Turunan

43

Contoh 9 :

Jika y = 2

cos x tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = 2x y = cos u

2/1=dxdu u

dudy sin−=

22

1)(sin( xudxdu

dudy

dxdy sin

21-) =−==

Contoh 10

Jika y = sin 2x cos 3x, tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = sin 2x v = cos 3x

xdxdu 2cos2= 3x sin3−=

dxdv

)3sin3)(2(sin)3)(cos2cos2(. xxxxdxdvuv

dxdu

dxdy

−+=+=

xxxx 3sin.2sin33cos.2cos2 −=

Contoh 11

Jika y = xx

4cos3sin , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal u = sin 3x v = cos 4x

xdxdu 3cos3= 4x sin4−=

dxdv

22 )4(cos

)4sin4)(3(sin)4)(cos3cos3(..

xxxxx

vdxdvuv

dxdu

dxdy −−

=−

=

Bab 4.. Turunan

44

x

xxxx4cos

4sin.3sin44cos.3cos32+

=

5. Jika y = f(x) = tan x maka x2sec)(' == xfdxdy

6. Jika y = tan u maka dxduu)2(sec=

dxdy

Contoh 12

Jika y = 5 tan 3x, tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = 3x y = 5 tan u

3=dxdu u

dudy 2sec5=

xuudxdu

dudy

dxdy 3sec15sec15)3)(sec5( 222 ====

7. Jika y = f(x) = cot x maka x2csc)(' −== xfdxdy

8. Jika y = cot u maka dxduu)2csc(−=

dxdy

Contoh 13 :

Jika y = x31cot

21 , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal u = x31 y = ucot

21

31

=dxdu u

dudy 2csc

21

−=

xuudxdu

dudy

dxdy

31csc

61csc

61)

31)(csc

21( 222 −=−=−==

Bab 4.. Turunan

45

9. Jika y = f(x) = sec x maka xxxfdxdy tansec)(' ==

10. Jika y = sec u maka dxduu)u

dxdy tan(sec =

11. Jika y = f(x) = csc x maka xx xfdxdy cotcsc)(' −==

12. Jika y = csc u maka dxduu)u

dxdy cotcsc( −=

Contoh 15 :

Jika y = )xcsc(31

−π , tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = π-x y = ucsc31

1−=dxdu cotu u

dudy csc

31

−=

x)-cot( cotu cotu ππ )csc(31csc

31)1)(csc

31( xuu

dxdu

dudy

dxdy

−==−−==

Soal-soal

Tentukan turunan pertma dari fungsi-fungsi berikut !

1. f(x) = )32

sin( π−

x 6. f(x) = )3

(csc4 x−π

2. f(x) = cos )3x

2( −π 7. g(t) = t cos t2sin

21

π

3. f(x) = tan3 x 8. h(w) = )cos()sin(

bwaw−−

ππ

4. h(x) = cot3x 9. g(t) = )cos(2sin2

tbtat

−−

5. h(x) = )32

(sec5 π−

x 10. g(t) = t

t3sin

sin cos2t

Bab 4.. Turunan

46

E. Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers

Berikut beberapa turunan fungsi invers trigonometri ( fungsi siklometri)

1. Jika y = f(x) = arcsin x maka 2x1

1)x('f

dxdy

−==

Bukti :

y = arcsinx → sin y = x → 1dxdx

dxdy

ycos == → ycos

1dxdy

=

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !

sin y = x

cos y = 21 x−

21

1

xdxdy

−= (terbukti)

21 x−

2. Jika y = arcsin u dan u = f(x) maka dxdu

udxdy

21

1

−=

Contoh 16 :

Jika y = )31arcsin(

83 x− , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal u = x31

− y = uarcsin83

31

dxdu

−= 21

183

ududy

−=

22

9118

131

1

183

xudxdu

dudy

dxdy

−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

−==

3. Jika y = f(x) = arccos x maka 21

1)('x

xfdxdy

−−==

1 x

y

Bab 4.. Turunan

47

4. Jika y = arccos u dan u = f(x) maka dxdu

udxdy

21

1

−−=

Contoh 17 :

Jika y = 2x arccos3− , tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = 2x y = u arccos3−

2dxdu

= 21

13udu

dy

−=

22 41

6)2(1

13xudx

dududy

dxdy

−=

−==

5. Jika y = f(x) = arctan x maka 2x1

1)x('f

dxdy

+==

6. Jika y = arctan u dan u = f(x) maka dxdu

u1

1dxdy

2+=

Contoh 18 :

Jika y = x31

arctan53 , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal u = x31 y = uarctan

53

31

dxdu

= 2u1

153

dudy

+=

)

911(5

131

11

53

22xudx

dududy

dxdy

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+==

7. Jika y = f(x) = arccot x maka 2x1

1)x('f

dxdy

+−==

8. Jika y = arccot u dan u = f(x) maka dxdu

u1

1dxdy

2+−=

Bab 4.. Turunan

48

Contoh 19 :

Jika y = 2 arccot 3x, tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = 3x y = 2 arccot u

3dxdu

= 2u1

12

dudy

+−=

22 x91

6)3(

u1

12

dxdu

dudy

dxdy

+−=

+−==

9. Jika y = f(x) = arcsec x maka 1xx

1)x('f

dxdy

2 −==

10. Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka dxdu

1uu

1dxdy

2 −=

Contoh 20 :

Jika y = arcsec )2

( x−π , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal u = x−2π y = arcsec u

1−=dxdu

1

12 −

=uudu

dy

1)

2()

2(

1)1(1

1

22

−−−

−=−−

==

xxuudxdu

dudy

dxdy

ππ

11. Jika y = f(x) = arccsc x maka 1

1)('2 −

−==xx

xfdxdy

12. Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka dxdu

uudxdy

1

12 −

−=

Contoh 21 :

Bab 4.. Turunan

49

Jika y = arccsc )2

x(π

− , tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = 2

xπ

− y = arccsc u

1dxdu

= 1uu

1dudy

2 −−=

1)

2x()

2x(

1 )1(

1uu

1dxdu

dudy

dxdy

22−

π−

π−

−=−

−==

Soal-soal

Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut !

1. y = arcsin(π-x) 3. xarccos

x2cosy =

2. y = -3 arccos 4x 4. y = arctan x – sin 3x

F. Turunan fungsi eksponensial

1. Jika y = f(x) = ex maka == )(' xfdxdy ex

2. Jika y = eu dan u = f(x) maka dxdu

edxdy u=

Contoh 22 :

Jika y = bxae2 −− , tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal : u = a – bx

dxdu = -b

bxabxa be)b)(e(dxdy −− −=−=

Bab 4.. Turunan

50

G. Turunan fungsi logaritma

1. Jika y = f(x) = ln x maka == )(' xfdxdy

x1

2. Jika y = ln u dan u = f(x) maka dxdu

udxdy 1

=

Contoh 23 :

Jika y = e2x ln x31 tentukan

dxdy

Penyelesaian : Misal : u = e2x v = ln x31

x2e2dxdu

= x1

dxdv

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+=+=

x1

x31

ln2ex1

ex31

lne2dxdv

.uv.dxdu

dxdy x2x2x2

3. Jika y = f(x) = alog x maka == )x('fdxdy

x )a(ln1

4. Jika y = alog u dan u = f(x) maka dxdu

u)a(ln1

dxdy

=

Contoh 24 :

Jika y = 7log(3-5x) tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal : u = 3 – 5x → 5dxdu

−=

)x53)(7(ln

5dxdu

u )a(ln1

dxdy

−−

==

Soal-soal

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !

1. y = xe3x 4. y = x4

2

e

x3lnx 7. y = x4ln

ex

31

10. y =

xlne

ex5lnxx

x−

Bab 4.. Turunan

51

2. y = x3e2

2x3−

5. y = x

x

eexx

2

)4(ln + 8. y = xex

23

5 )1log( 3−

−

3. y = x3 ln2x 6. y = xx

653ln2

− 9. y =

x4log

ex3

bxa3 −

H. Turunan fungsi hiperbolik

1. Jika y = f(x) = sinhx maka == )x('fdxdy coshx

2. Jika y = sinh u dan u = f(x) maka =dxdy cosh u

dxdu

Contoh 25 :

Jika y = 3 sinh x51 , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal : u = x51 y = 3 sinh u

51

dxdu

= u cosh3dudy

=

x31

cosh53

)51

u)( cosh3(dxdu

dudy

dxdy

===

3. Jika y = f(x) = coshx maka == )x('fdxdy sinhx

4. Jika y = cosh u dan u = f(x) maka =dxdy sinh u

dxdu

Contoh 26 :

Jika y = cosh (1-2x), tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal : u = 1-2x y = sinh u

2dxdu

−= u coshdudy

=

)x21cosh(2)u)(-2 (coshdxdu

dudy

dxdy

−−===

Bab 4.. Turunan

52

5. Jika y = f(x) = tanhx maka == )x('fdxdy sech2 x

6. Jika y = tanh u dan u = f(x) maka =dxdy sech2 u

dxdu

Contoh 27 :

Jika y = tanh (a+bx), tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal : u = a+bx y = tanh u

bdxdu

= uhdudy 2sec=

bx) (a hb u)(b)hdxdu

dudy

dxdy

+=== 22 sec(sec

8. Jika y = f(x) = cothx maka == )(' xfdxdy -csch2 x

9. Jika y = coth u dan u = f(x) maka =dxdy - csch2 u

dxdu

Contoh 28 :

Jika y = coth (a+bt), tentukan dtdy

Penyelesaian :

Misal : u = a+bt y = coth u

bdtdu

= u hcscdudy 2−=

bt) (ahb u)(b)h(dtdu

dudy

dtdy

+−=−== 22 csccsc

10. Jika y = f(x) = sech x maka == )(' xfdxdy -csch2 x

11. Jika y = sech u dan u = f(x) maka =dxdy - tanh u sech u .

dxdu

Contoh 29 :

Jika y = 2sech )51

31( x− , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Bab 4.. Turunan

53

Misal : u = x51

31− y = 2 sech u

51

−=dxdu huu

dudy sectanh −=

x)h(x) ()hu)(-u (dxdu

dudy

dxdy

51

31sec

51

31tanh

52

51sectanh2 −−=−==

12. Jika y = f(x) = csch x maka == )(' xfdxdy -csch x coth x

13. Jika y = csch u dan u = f(x) maka =dxdy - coth u csch u

dxdu

Contoh 30 :

Jika y = -3 csch )21

51( x+ , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal : u = x21

51+ y = -3 csch u

21

=dxdu huu

dudy csccoth3=

x)h(x) ()hu)( udxdu

dudy

dxdy

21

51sec

21

51coth

23

21csccoth3( ++===

Soal-soal

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !

1. y = sinh(2-3x) 6. y = )21coth(

2

xcbxax

+++

2. y = cosh(a2x – b) 7. y = xh

e ax

2sec

−

3. y = x2 sinh5x 8. y = )54ln(

3secxxh

−

4. y = emx cosh2x 9. y = 1)-csch(x 3

51 x

Bab 4.. Turunan

54

5. y = ln(2-x) tanh3x 10. y = h(a-bx) ex

csc31

I. Turunan fungsi hiperbolik invers

1. Jika y = f(x) = sinh-1x maka == )x('fdxdy

1x

12 +

2. Jika y = sinh-1 u dan u = f(x) maka =dxdy

dxdu

1u

12 +

Contoh 31 :

Jika y = -3sinh-1 x21 , tentukan

dtdy

Penyelesaian :

Misal : u = x21 y = -3 sinh-1u

21

dxdu

= 1u

1dudy

2 +=

1x

41

2

1)

21

)(1u

1(

dtdu

dudy

dtdy

22+

=+

==

3. Jika y = f(x) = cosh-1x maka == )x('fdxdy

1x

12 −

, x > 1

4. Jika y = cosh-1 u dan u = f(x) maka =dxdy

dxdu

1u

12 −

, u > 1

Contoh 32 :

Jika y = cosh-1 x43 , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal : u = x43 y = cosh-1u

43

dxdu

= 1u

1dudy

2 −=

1x

169

4

3)

43

)(1u

1(

dtdu

dudy

dtdy

22+

=−

==

Bab 4.. Turunan

55

5. Jika y = f(x) = tanh-1x maka == )x('fdxdy

2x1

1

−, 1x <

6. Jika y = tanh-1 u dan u = f(x) maka =dxdy

dxdu

u1

12−

, 1u <

Contoh 33 :

Jika y = tanh-1(2x-1), tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal : u = 2x - 1 y = tanh-1u

2dxdu

= 2u1

1dudy

−=

22 )1x2(1

2)2)(

u1

1(

dxdu

dudy

dxdy

−−=

−==

7. Jika y = f(x) = coth-1x maka == )x('fdxdy

2x1

1

−, 1x >

8. Jika y = coth-1 u dan u = f(x) maka =dxdy

dxdu

u1

12−

, 1u >

Contoh 34 :

Jika y = 3 coth-1(2-3x), tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal : u = 2-3x y = 3 tanh-1u

3dxdu

−= 2u1

3dudy

−=

22 )x32(1

9)3)(

u1

3(

dxdu

dudy

dxdy

−−−=−

−==

9. Jika y = f(x) = sech-1x maka == )x('fdxdy

2x1x

1

−− , 1x0 <<

10. Jika y = sech-1 u dan u = f(x) maka =dxdy

dxdu

u1u

12−

− , 1u0 <<

Bab 4.. Turunan

56

Contoh 35 :

Jika y = -2 sech-1(1-x), tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal : u = 1-x y = 2 sech-1u

1dxdu

−= 2u1u

2

dudy

−−=

22 )x1(1)x1(

2)1)(

u1u

2 (

dxdu

dudy

dxdy

−−−=−

−−==

11. Jika y = f(x) = csch-1x maka == )x('fdxdy

2x1x

1

+−

12. Jika y = csch-1 u dan u = f(x) maka =dxdy

dxdu

u1u

12+

−

Contoh 36 :

Jika y = csch-1(sinx), tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal : u = sinx y = csch-1u

xcosdxdu

= 2u1u

1

dudy

+−=

xsin1xsin

xcos )x)(cos

u1u

1 (

dxdu

dudy

dxdy

22 +−=

+−==

Soal-soal

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi :

1. y = sinh-1(cosx) 4. y = x2 coth-1x

2. y = cosh-1(sin2x) 5. y = sech-1(x sinx)

3. y = tanh-1(3x+π) 6. y = e-2x csch-1(1-2x)

J. Turunan tingkat tinggi

Bab 4.. Turunan

57

Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari

turunan pertamanya yaitu f’(x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable

maka kita dapat menentukan turunan kedua dari fungsi tersebut. Secara umum jika

turunan ke (n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi

tersebut. Biasanya turunan ke dua dan seterusnya dari suatu fungsi disebut turunan

tingkat tinggi. Turunan pertama, kedua dan ketiga ditulis dengan lambang :

2,

dxy

dxdy 2d dan

3

3

dxyd atau )(''),(' xfxf , dan )(''' xf . Sedangkan untuk

turunan ke n, dimana n ≥4, maka kita gunakan lambang :ndxynd atau f(n)(x).

Contoh 37 :

Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) = (x2-4)3

Penyelesaian :

2222 )4x(x6)x2()4x(3)x('fdxdy

−=−==

)4x(x24)4x(6)4x)(x4(x6)4x(6)x(''fdx

yd 22222222

2−+−=−+−==

x288x120x48)4x(x48)4x(x24)x('''fdx

yd 33223

3−=+−+−==

288x360)x(fdx

yd 2)4(4

4−==

Soal-soal

Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi :

1. f(x) = 2x e-x 2. f(x) = ln(a-bx) 3. f(x) = 1x

x2 +

4. f(x) = 2

2

x1

4x

−

+ 5. f(x) = sin2(a-bx) 6. f(x) = cos2 (mx+n)

K. Differensial

Bab 4.. Turunan

58

Pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan

lambang dy/dx sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama

suatu fungsi x. Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dy dan dx secara

terpisah. Misal terdapat suatu persamaan y = f(x). Dari Gambar 4.5

didapat : x xy

y ∆⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

=∆

Jika harga ∆x sangat kecil, maka ∆y menjadi sangat kecil juga. Sehingga

persamaan dapat ditulis menjadi :

dx )x(fdy ′=

Pada persamaan diatas dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Differensial y atau

dy adalah perubahan kecil pada peubah y akibat adanya perubahan kecil pada peubah

x atau dx.

Contoh 38 :

Jika y = x2 - 2x – 3, tentukan differensial y

Penyelesaian :

f(x) = x2 - 2x – 3

∆x = dx l1

f(x) l

f(x + ∆x)

f(x)∆y

dy

y

x x+∆x x 0

Gambar 4.5

Bab 4.. Turunan

59

f’(x) = 2x – 2

Sehingga : dy = (2x-2) dx = 2(x-1) dx

Contoh 39 :

Volume sebuah silinder adalah V = πr2h. Jika jari-jari silinder tersebut membesar 1%

dari jari-jari asal, tentukan perubahan volumenya.

Penyelesaian :

f(r) = πr2h

f’(r) = 2πrh

dV = f’(r) dr = 2πrh (0,01r) = 0,02 πr2h

Jadi perubahan volume silinder adalah sebesar 0,02 πr2h

Soal-soal

Kerjakan kedua soal berikut dengan metode differensial !

1. Sebuah bola mempunyai jari-jari 15 cm. Akibat meningkatnya temperatur

maka jari-jari bola tersebut meningkat menjadi 15,02 cm. Berapakah

perubahan volume bola tersebut ?

2. Sebuah kolam renang berisi penuh dengan air.Ukuran kolam renang tsb

adalah sebagai berikut : panjang = 50 m, lebar = 20 meter dan kedalaman =

3 meter. Akibat adanya penguapan kedalaman air berkurang menjadi 2,98

m. Berapakah volume air yang menguap ?

L. Turunan fungsi implisit

Pada pasal-pasal sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi-fungsi

eksplisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk y =f(x). Akan tetapi tidak semua

fungsi mempunyai bentuk eksplisit. Sebagian mempunyai bentuk implisit, yaitu fungsi

yang mempunyai bentuk F(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit kita

gunakan aturan sebagai berikut :

1. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku g(x), maka :

Bab 4.. Turunan

60

)(')( xgxgdxd

=

2. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku h(y), maka :

dxdyyhyh

dxd )(')( =

3. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku u(x) dan v(y), maka :

[ ]dxdyyvxuyvxuyvxu

dxd )(').()().(')().( +=

Contoh 40 :

Tentukan dxdy dari : x2 – 3xy +y2 = 4

Penyelesaian :

x2 – 3xy +y2 = 4 → x2 – 3xy +y2 – 4 = 0

2x – 3y – 3xdxdy + 2y

dxdy - 0 = 0

( 2y – 3x )dxdy = 3y - 2x →

x3y2x2y3

dxdy

−+

=

Contoh 41 :

Tentukan dxdy dari : x2y + xy2 = 6 pada titik (1,2)

Penyelesaian :

x2y + xy2 = r2 → x2y + xy2 - r2 = 0

2xy + x2dxdy

+ y2 + 2xydxdy = 0

(x2 + 2xy)dxdy = -(2xy + y2) →

)2()2(

2

2

xyxyxy

dxdy

+

+−= →

58

21

−===

yxdx

dy

Soal-soal

1. Tentukan dxdy dari :

i) x + y = sinxy iii) xy = cos (x+y)

ii) y = exy iv) y = ln(xy)

Bab 4.. Turunan

61

2. Tentukan nilai dxdy pada titik (1,0) dari :

i) 3xy2 + ex+y = e

ii) x2 + y2 + xy = 1

M. Turunan fungsi parameter

Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk :

x = f(t) dan y = g(t) , dengan t adalah parameter.

Untuk menentukan turunan pertama atau dy/dx dari fungsi parameter,

terlebih dahulu kita tentukan dx/dt dan dy/dt. Serlanjutnya dy/dx dicari dengan

rumus:

dt/dxdt/dy

dxdy

=

Soal-soal

Tentukan dxdy dari fungsi parameter berikut :

1. ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

+=22

3

)4t(y

)3t(x 3. ⎩⎨⎧

=π−=

t2cosy)tsin(x

2. ⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

)7t5ln(yex t2

4.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

++

=

tt1

y

1t1t

x

2

2