Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

Pertemuan-11

TURUNAN FUNGSI

1. Definisi : Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat

fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan

variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari

garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu

fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik

tersebut.

42

Grafik dari sebuah fungsi (garis hitam) dan sebuah garis singgung terhadap fungsi (garis merah). Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik singgung

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit daripada konsep yang

ditemukan di aljabar. Dalam aljabar, seorang murid mempelajari sebuah fungsi dengan

input sebuat angka dan output sebuah angka. Tetapi input dari turunan adalah sebuah

fungsi dan outputnya juga adalah sebuah fungsi.

Untuk memahami turunan, seorang murid harus mempelajari notasi matematika. Dalam

notasi matematika, salah satu simbol yang umumnya dipakai untuk menyatakan turunan

dari sebuah fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f' (dibaca f aksen).

.

Jika input dari sebuah fungsi adalah waktu, maka turunan dari fungsi itu adalah laju

perubahan di mana fungsi tersebut berubah.

Jika fungsi tersebut adalah fungsi linear, maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan

y=mx+b, di mana:

.

Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. Jika sebuah fungsi bukanlah

garis lurus, maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat

menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Kemiringan dari

suatu fungsi dapat diekspresikan:

di mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x)) dan h adalah jarak horizontal antara

dua titik.

Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit :

43

Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f′(x) di suatu titik

adalah kemiringan dari garis singgung terhadap kurva di titik tersebut. Kemiringan ini

ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):

2. Rumus Dasar Turunan :

a. y = Xn turunannya y’ = nXn-1

Contoh : y = 10x3 + 8x2 - x – 3 y’ = 30x2 + 16x -1

y = 1/x2 = x -2 y’ = -2x -3 = -2/x3

y = x = x1/2 y’ = ½ x -1/2 = 1/2x

b. y = c, dengan c adalah konstanta turunannya y’ = 0

Contoh : y = 5 y’ = 0

c. y sebagai fungsi trigonometri :

y = sin x turunannya y’ = cos x

y = cos x turunannya y’ = -sin x

y = tg x turunannya y’ = sec2x

44

Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

y = ctg x turunannya y’ = -cosec2x

y = secx turunannya y’ = secx tgx

y = cosecx turunannya y’ = -cosecx ctg x

Contoh : y = -3tgx y’ = -3sec2x

y = ctg2x y’ = -2cosec2 2x

y = sec2x y’ = 2sec2x tg2x

y = cosec3x y’ = -3cosec3x ctg3x

y = cos(1-x2) y’ = 2xsin(1-x2)

d. y sebagai fungsi logaritma :

y = ln x turunannya y’ = 1/x

y = glogx turunannya y’ = 1/xlng

Contoh : y = 3logx 1 / x ln3

y = ln 2x 1 / 2x

e. y sebagai fungsi eksponen :

y = ax turunannya y’ = ax ln a

y = ex turunannya y’ = ex

Contoh : y = 2x y’= 2xln 2

y = ex y’ = ex

y = x2 – e3x y = 2x – e3x

SOAL LATIHAN

1. Tentukanlah f ‘(x) fungsi-fungsi berikut ini.

a. f(x) = x2 + x b. f(x) = cos x

c. f(x) = (5x2 – 1) (3x – 2) d. f(x) = cos x sin x

2. Buktikan jika f(x) = x∛x2 maka f’(x) = 5/3 . x∛x2

Pertemuan - 12

45

Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

TURUNAN FUNGSI (LANJUTAN)

1. Aturan Rantai Untuk Fungsi Tersusun

Untuk fungsi-fungsi yang bentuknya rumit, di mana y adalah fungsi dari u (atau

v), u dan v merupakan fungsi dari x, maka turunannya dicari dengan mengembalikannya

ke rumus dasar. Cara pengembaliannya adalah sebagai berikut :

1). y = U y’ = (U)’

Contoh : a) y = x3 + 2x2 + 4x + 6

=> y’ = 3x2 + 4x + 4

b) y = 2 + 4/x + 7x + 16

= 2x2/3 + 4x-1 + 7x1/2

=> y’= 2.2/3x-1/3 – 4x-2 + 7. 1/2x-1/2

= 4 _ - 4 + 7_ 3 x2 2x

c) y = = ( x2 + 1 )1/3

=> y’ = 1/3 (2x) (x2+1)-2/3

= 2x_____

3

2). y = U V y’ = U’ V’

Contoh : y = sin 2x + cos 2x

y’ = 2cos2x – 2sin2x

Contoh : y = tg3x – ctg23x

y’ = 3sec23x + 6cosec23x . ctg23x

dimana : Ctg23x = ctg3x . ctg3x

U = ctg3x , U’ = -3cosex23x

V = ctg3x , V’ = -3cosex23x

y’ = U’V + UV’

= -3cosex23x . ctg3x + ctg3x . -3cosex23x

= -6cosex23x . ctg23x

3). y = U.V y’ = U’V + UV’

Contoh : y = ( x2+1 ) ( 3x3–4x )

46

Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

U = X2+1 , U’ = 2x

V = 3x3-4x , V’ = 9x2-4

y’ = U’V + UV’

= 2x . (3x3-4x) + (x2+1) . (9x2-4)

= 6x4 – 8x2 + (9x4-4x2+9x2-4)

= 15x4 – 3x2 – 4

Contoh : y = x3.2x

U = X3 , U’ = 3x2

V = 2x , V’ = 2xln2

y’ = U’V + UV’

= 3x2 . 2x + x3 . 2xln2

Contoh : y = 3x2.ex.tgx

U = 3x2 , U’ = 6x

V = ex , V’ = ex

W= tgx , W’ = sec2x

Y’ = U’VW + UV’W + UVW’

= 6x.ex.tgx + 3x2.ex.tgx + 3x2.ex.sec2x

Contoh : y = ( x2+1 ) ( 3x+4 )3

U = x2+1 , U’ = 2x

V = (3x+4)3 , V’ = 9(3x+4)2

y’ = U’V + UV’

= 2x.(3x+4)3 + (x2+1).9(3x+4)2

= ( 9x2+24x+16 ).(15x2+8x+9)

= 135x4+432x3+513x2+344x+144

Contoh : y = sinx.coshx

U = sin x , U’ = cosx

V = coshx , V’ = -sinhx

y’ = U’V + UV’

= cosx.coshx - sinx.sinhx

Contoh : y = sin2x.tghx

U = sin2x , U’ = -sin2x.cos2x

47

Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

V = tghx , V’ = sechx

y’ = U’V + UV’

= cos2xsin2x . tghx + sin2xsechx

Dimana : sin2x = sinx . sinx

U = sinx , U’ = cosx

V = sinx , V’ = cosx

y’ = U’V + UV’

= cosx.sinx + sinx.cosx

= cos2x.sin2x

Contoh : y = coshx2 . cosx2

U = coshx2 , U’ = -2xsinhx2

V = cosx2 , V’ = -2xsinx2

y’ = U’V + UV’

= -2xsinhx2.cosx2 - coshx2.2xsinx2

= -2x {(sinhx2.cosx2 + coshx2.2xsinx2)}

Contoh : y = ( 3x2+1 ) ( sec2x )

U = 3x2+1, U’ = 6x

V = sec2x , V’ = 2sec2xtg2x

y’ = U’V + UV’

= (6x).(sec2x) + (3x2+1).(2sec2xtg2x)

= 2sec2x { 3x + (3x2+1).tgx }

Dimana : sec2x = secx.secx

U = secx , U’ = secxtgx

V = secx , V’ = secxtgx

y’ = U’V + UV’

= secxtgx.secx + secx.secxtgx

= sec2xtgx + sec2xtgx

= 2sec2xtgx

4). y = U/V y’ = U’V – UV’ V2

Contoh : y = _x 2 +1_

48

Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

x+4

U = x2+1 , U’ = 2x

V = (x+4)1/2 , V’ = ½(x+4)-1/2

y’ = U’V – UV’ = (2x)(x+4) 1/2 – {(x 2 +1).1/2(x+4) -1/2 } V2 x + 4

= 2x.x+4 – 1 .(x2+1) 2 x+4______ x + 4

Contoh : y = x 2 +1__ x + lnx

U = x2+1 , U’ = 2x

V = x + lnx , V’ = 1 + 1/x

y’ = 2x.(x+lnx) – (x 2 +1).(1+1/x) (x + lnx)2

= 2x 2 +2xlnx – x 2 +x+1+1/x x2+2xlnx+lnx2

Contoh : y = tg2x = sin2x cos2x

U = sin2x , U’ = 2cos2x

V = cos2x , V’ = -2sin2x

y’ = 2cos2x.cos2x – sin2x . -2sin2x ( cos2x )2

= 2 ( cos 2 2x+ sin 2 2x ) = 2 = 2 sec22x Cos22x cos22x

Dimana : cos22x+ sin22x = 1

1/cos22x = sec22x

5). Aturan Rantai

Jika y = f(x) merupakan suatu fung si tersusun, yaitu y = g(u) dan u = h(x) maka untuk

turunannya dicari dengan cara :

dy = dy . du dx du dx

Contoh : y = 2u4 – 4u2 – 5u dan u = 4x3 + 3x

Maka :

49

Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

2. Turunan dari Fungsi Invers

Teorema : misal y = f(x) maka x(y) = f-1(y) disebut Fungsi Invers. Turunan dari Fungsi

Invers x(y) adalah x’(y) = atau

Teorema : Turunan fungsi f (x) = xr, r rasional adalah :

f(x) = xr => f’(x) = rxr-1

contoh :

Diberikan suatu fungsi f(x) = = (x2 – 2x)2/3, maka

f’(x) =

=

g(x) = cos

g’(x) = =

-

SOAL LATIHAN DAN JAWABAN

Tentukan Turunan dari :

1. f(x) =

2. f(x) = 3. f(x) = Jawab :

1) f(x) = =

f’(x) =

50

Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

=

= =

2) f(x) =

f’(x) =

3) f(x) =

f’(x) =

cari dari x3 + y2 + x2 y3=3

di (1,1)

di (1.1)

jika diminta untuk mencari , maka

51

Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

5 = – 5 , maka = –1 .

52