TURUNAN PARSIAL

MATERI KALKULUS II

Turunan Parsial

• Misalkan z = f(x,y) fungsi 2 variabel yg terdefinisi

disekitar titik (x,y). Turunan parsial dari f terhadap x adalah

turunan z terhdp x dimana hanya variabel x saja yg

diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Mengukur

kecepatan perubahan z thdp x sementara y konstan.

• Turunan parsial z = f(x,y) terhdp x ditulis

didefinisikan sbb.

h

yxfyhxfyxfyxf

x hx

),(),(lim),(),(

0

),(),( yxfyxfx

zx

x

• Turunan parsial z = f(x,y) terhdp y ditulis

didefinisikan sbb.

Contoh:

),(),( yxfyxfy

zy

y

k

yxfkyxfyxfyxf

y ky

),(),(lim),(),(

0

.22lim2

lim

][])[(lim

),(),(lim),(

x

:Lengkapnya

.2maka),(

0

2

0

2222

00

22

xhxh

hxh

h

yxyhx

h

yxgyhxgyxg

xzx

yxyxgz

hh

hh

x

f

adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan

memperlakukan y sebagai suatu tetapan, yang disebut

turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x

adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai suatu tetapan, yang disebut turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y

y

f

Lambang lain

y

f

x

f

= fx (x,y) (1.a) = fy (x,y) (1.b)

xxfx

f

x

f

x

2

2

yyfy

f

y

f

y

2

2 yxfyx

f

y

f

x

2

Turunan parsial (1a) dan (1b) umumnya juga merupakan

fungsi dari x dan y, maka jika diturunkan lebih lanjut,

disebut turunan parsial kedua.

Contoh

)cos(2 xyyyx

f

)cos(2 xyxxy

y

f

xyxxxyxxyyy

f

yy

fsin2))cos(2( 2

2

2

xyyxyyyxx

f

xx

fsin)cos( 22

2

2

)cos(cos2)cos(2 xyxyxyyxyyyyx

f

y

)cos(cos2)cos(2 xyxyxyyxyxxyxy

f

x

x

f

yy

f

x

Misalkan f(x,y)=xy2 – sin (xy). Maka ..,

SOAL LATIHAN

• Tentukan turunan parsial fungsi-fungsi di bawah ini:

1. z = ln yx

2. z = 36 – x2 – y

2

3. z = 3 - )sin(

1

yx

4. z = xy2 – 2x

2 + 3y

3

5. z = arc tan x

y

6. F(x,y,z) = xy – yz + xz

7. F(x,y,z) = 3 222 zyx

8. F(x,y,z) = sin (xy) – 2e xy

9. F(x,y,z) = arc sin

z

xy

Differensial Total Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka

diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-

turut dinotasikan dengan

x

yxF

x

z

),( ------------- (1) dan

y

yxF

y

z

),( ------------- (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

dxx

yxFdz

),( dan dy

y

yxFdz

),(

Jumlah diferensialnya diperoleh:

dz = dxx

yxF

),(+ dy

y

yxF

),(

Bentuk di atas disebut diferensial total.

Contoh :

Hitunglah diferensial total fungsi pada

f(x,y)=xy2 – sin (xy).

Jawab.

fx = y2 – y cos (xy) dan fy = 2xy - x cos (xy)

Sehingga turunan totalnya :

df = (y2 – y cos (xy) )dx + (2xy - x cos (xy)dy

Aturan Rantai

• Misalkan x = g(t) dan y = h(t) fungsi terdeferensial, terdefinisi di t dan misalkan z = f(x,y) mempunyai turunan parsial orde-satu yg kontinu. Maka z = f(x(t),

y(t)) terdefinisi di t dan terdeferensial

• Contoh: dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

?

; 32

dt

dw

tytxewxy

• Mis. Z = f(u, v, x, y) dimana u dan v masing2 fungsi dari x dan y. Disini x dan y sebagai variabel antara dan variabel bebas.

Aturan rantai menghasilkan:

x

f

dx

dv

v

f

dx

du

u

f

dx

dy

y

f

dx

dx

x

f

dx

dv

v

f

dx

du

u

f

dx

dz

Contoh:

Diketahui u= x2 + y2 ; x= re s ; dan y= re –s

Maka tentukanlah: 𝑑𝑢

𝑑𝑥 ,

𝑑𝑢

𝑑𝑦 , 𝑑𝑥

𝑑𝑟 ,

𝑑𝑥

𝑑𝑠 , 𝑑𝑦

𝑑𝑟 , 𝑑𝑦

𝑑𝑠 , 𝑑𝑢

𝑑𝑟 , dan

𝑑𝑢

𝑑𝑠

Jawab: 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 2x

𝑑𝑢

𝑑𝑦 = 2y

𝑑𝑥

𝑑𝑟 = es

𝑑𝑦

𝑑𝑟 = e-s

𝑑𝑥

𝑑𝑠 = res 𝑑𝑦

𝑑𝑠 = - re-s

𝑑𝑢

𝑑𝑟 =

𝑑𝑢

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑟 +

𝑑𝑢

𝑑𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑟 =( 2x)(es) + (2y)( e-s) = 2xes + 2ye-s

𝑑𝑢

𝑑𝑠 =

𝑑𝑢

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑠 +𝑑𝑢

𝑑𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑠 =(2x)( res)+ (2y)( - re-s) = 2x res - 2y re-s = r (2xes - 2ye- s )