BAB II KAJIAN TEORI A. Analisis - repository.ump.ac.idrepository.ump.ac.id/478/3/BAB II_GALIH WIDYA PAMUNGKAS _MATEMATIKA'15… · gambaran secara rinci yang mencakup keadaan, kemampuan,

6

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Analisis

Analisis diuraikan secara singkat memiliki arti penyederhanaan data.

Secara umum analisis terdiri dari tiga alur kegiatan yaitu: (1) reduksi data

merupakan proses pemilihan atau merangkum, menyeleksi data-data yang

sudah didapat, sehingga data yang sudah diperoleh menjadi lebih

sederhana; (2) penyajian data merupakan proses membentuk data agar

dapat dipahami dan mudah dibaca. Penyajian data yang sering digunakan

adalah bentuk naratif ataupun grafik; (3) penarikan kesimpulan merupakan

hasil akhir dari suatu penelitian, sehingga penelitian yang mula-mula belum

jelas meningkat menjadi lebih jelas dan rinci (Miles dan Huberman, 1992).

Analisis merupakan suatu tahap yang ditempuh untuk mengetahui derajat

kualitas dari objek yang diteliti. Analisis dimaksudkan dapat memperoleh

gambaran secara rinci yang mencakup keadaan, kemampuan, keterampilan,

dan lain-lain dari objek yang diteliti (Bungin, 2008).

B. Kemampuan Penalaran Matematis

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, kata : “Penalaran”

mengandung arti cara (perihal) menggunakan nalar, pemikiran atau cara

berpikir logis. Sedangkan kata : “Matematis” mengandung arti

bersangkutan dengan matematika, bersifat matematika, sangat pasti dan

6

Analisis Kemampuan Penalaran..., Galih Widya Pamungkas, FKIP UMP, 2015

7

tepat. Suriasumantri (2005) menjelaskan bahwa penalaran merupakan

suatu proses berpikir dalam menarik kesimpulan yang berupa

pengetahuan, artinya dalam proses bernalar akan menghasilkan suatu

penarikan kesimpulan baru yang dianggap shahih (valid). Dengan kata lain

penalaran terfokus pada upaya merumuskan kesimpulan berdasarkan

beberapa pernyataan yang dianggap benar.

Menurut Keraf (2007) menjelaskan penalaran (jalan pikiran atau

reasoning) sebagai proses berpikir yang berusaha menghubung-hubungkan

fakta-fakta yang diketahui menuju kepada suatu kesimpulann yang logis

(Shadiq : 2004). Secara lebih lanjut, dapat didefinisikan bahwa penalaran

merupakan suatu kegiatan, suatu proses atau aktivitas berfikir untuk

menarik kesimpulan atau membuat suatu pertanyaan baru yang benar

berdasar pada beberapa pertanyaan yang kebenarannya telah dibuktikan

atau diasumsikan sebelumnya. Dalam kemampuan penalaran tidak hanya

dibutuhkan bagi siswa ketika mereka belajar matematika maupun mata

pelajaran lainnya, namun sangat dibutuhkan dalam mengambil keputusan

atau kesimpulan.

Terdapat berbagai cara penarikan kesimpulan, namun dalam dunia

keilmuan, secara garis besar dapat dibedakan menjadi dua, yaitu secara

deduktif dan induktif (Ihsan, 2010). Penalaran deduktif dan induktif,

keduanya merupakan argument dari serangkaian proporsi yang bersifat

terstruktur, terdiri dari beberapa premis dan kesimpulan atau konklusi,


8

sedangkan perbedaan keduanya terdapat pada sifat kesimpulan yang

diturunkannya. Berikut penjabaran dari kedua penalaran tersebut.

1. Penalaran Induktif

Penalaran induktif dapat diartikan sebagai penarikan kesimpulan

yang bersifat khusus ke umum berdasarkan data yang teramati

(Sumarmo, 2010). Pernyataan ini diperjelas oleh Ihsan (2010) yang

menyatakan bahwa penarikan kesimpulan secara induktif adalah suatu

cara penarikan kesimpulan pada suatu proses berpikir dengan

menyimpulkan sesuatu yang bersifat umum dari berbagai kasus yang

bersifat individual. Dapat disimpulkan bahwa penalaran induktif

merupakan proses penarikan kesimpulan dari kasus-kasus khusus

menjadi kesimpulan yang bersifat umum.

Beberapa kegiatan yang tergolong pada penalaran induktif adalah

sebagai berikut :

a. Transduktif

Transduktif adalah menarik kesimpulan dari satu kasus atau

sifat khusus yang satu diterapkan pada kasus khusus lainnya.

Penalaran bentuk ini merupakan bentuk penalaran induktif yang

paling sederhana. Transduktif dalam matematika dapat diartikan

sebagai penarikan kesimpulan sistematis dari suatu kasus

matematika yang diterapkan pada kasus matematika lain. Dalam

pola berpikir transduktif, rawan sekali terjadi kesalahan dalam


9

penarikan kesimpulan, karena ini merupakan pola berpikir yang

paling rendah tingkatannya.

Contoh :

Pernyataan : Banyaknya kejadian yang mungkin pada pelemparan

satu mata dadu sebanyak 6.

Kesimpulan : Banyaknya kejadian yang muncul pada pelemparan

dua mata dadu sebanyak 6 x 2 = 12.

b. Generalisasi

Keraf (2007) menyatakan bahwa generalisasi adalah suatu

proses penalaran yang bertolak dari sejumlah fenomena individual

untuk menurunkan suatu inferensi yang bersifat umum yang

mencakup semua fenomena tadi. Artinya bahwa siswa akan mampu

mengadakan generalisasi, yaitu menangkap ciri-ciri atau sifat umum

yang terdapat dari sejumlah hal-hal khusus, apabila siswa telah

memiliki konsep, kaidah, prinsip (kemahiran intelektual) dan siasat-

siasat memecahkan masalah tersebut.

Sumarmo (2004) menyebutkan beberapa sifat dari generalisasi,

antara lain :

a) Makin besar jumlah fakta yang dijadikan dasar penalaran, makin

tinggi probabilitas konklusinya.

b) Makin besar jumlah faktor kesamaan di dalam premis, makin

rendah probabilitas konklusinya, dan sebaliknya.


10

c) Makin besar jumlah faktor disanaloginya di dalam premis,

makin tinggi probabilitas konklusinya, dan sebaliknya.

d) Semakin luas konklusinya semakin rendah probabilitas

konklusinya, dan sebaliknya.

Secara umum, generalisasi dalam matematika dapat diartikan

sebagai penerapan matematis dari suatu kasus matematika ke dalam

kasus matematika lain yang memiliki kesamaan matematis.

Contoh:

Pada pelemparan mata uang logam :

Misalkan A = Angka, G = Gambar, n = banyaknya kejadian yang

mungkin

i. n(B) = Banyaknya kejadian yang mungkin pada pelemparan satu

mata uang logam

B = { A, G }

n (B) = 2

ii. n(C) = Banyaknya kejadian yang mungkin pada pelemparan dua

mata uang logam

C = { AA, AG, GA, GG }

n (C) = 4

iii. n(D) = Banyaknya kejadian yang mungkin pada pelemparan tiga

mata uang logam

D = { AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, AGG, GGG }

n (D) = 8


11

Berdasarkan ketiga pernyataan diatas:

i. n(B) = 2 = 21

ii. n(C) = 4 = 22

iii. n(D) = 8 = 23

Kesimpulan, untuk mengetahui banyaknya kejadian yang

mungkin terjadi pada pelemparan n mata uang logam diperoleh 2n

yaitu 2 adalah banyaknya ruang sampel mata uang logam dan n

adalah banyaknya mata uang logam yang dilempar.

c. Analogi

Menurut Ahmadi dan Supriyono (2004) kesimpulan analogis

adalah kesimpulan yang ditarik dengan cara membandingkan situasi

yang satu dengan situasi yang lain. Kemudian menurut Keraf (2007)

analogi adalah suatu proses penalaran yang bertolak dari dua

peristiwa khusus yang mirip satu sama lain, kemudian

menyimpulkan bahwa apa yang berlaku untuk suatu hal akan berlaku

untuk hal yang lain. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan

bahwa analogi dalam matematika adalah membandingkan dua hal

matematis yang berlainan namun memiliki karakteristik matematis

yang sama. Dalam analogi yang dicari adalah keserupaan dari dua

hal yang berbeda, dan menarik kesimpulkan atas dasar keserupaan

itu.

Contoh :

P(C)= 0,70


12

P(C)‟=0,30

P(B)= 0,60

P(B)‟= 0,40

P(C)+P(C)‟= 1

P(B)+P(B)‟=1

Berdasarkan pernyataan di atas, dengan menggunakan cara yang

sama akan diperoleh: P(A)+P(A)‟ = 1 , P(A)‟ = 1 - P(A)

d. Hubungan Kausal

Penalaran hubungan kausal (sebab akibat) adalah keadaan atau

kejadian yang satu menimbulkan atau menjadikan keadaan atau

kejadian yang lain. Hubungan antara sebab dan akibat tersebut

bukan hubungan urutan biasa atau hubungan yang kebetulan.

Hubungan sebab akibat merupakan suatu hubungan intrinsik, azasi,

hubungan yang bergitu rupa, sehingga jika salah satu (sebab)

ada/tidak ada, maka yang lain (akibat) juga pasti ada/tidak ada. Agar

hubungan antara sebab dan akibat menjadi jelas, dalam logika

„sebab‟ dipandang sebagai suatu syarat atau kondisi yang merupakan

dasar adanya atau terjadinya sesuatu yang lain, yaitu „akibat‟. Sama

halnya pada matematika.

Contoh :

Berdasarkan penelitian, peluang penduduk daerah A terjangkit

penyakit demam berdarah adalah 0,54. Jika penduduk daerah A


13

adalah 1.200 orang. Berapa banyak orang yang diharapkan tidak

terjangkit demam berdarah ?

Jawab :

Diketahui :

A = Kejadian penduduk daerah A terjangkit penyakit demam

berdarah

P (A) = 0,54

n = banyaknya penduduk = 1200

Ditanya : n(A)‟ = ?

Jika peluang kejadian A adalah P(A), maka 0 ≤ P(A) ≤ 1

Maka P(A)‟ = 1 – P(A)

= 1 – 0,54

= 0,46

Karena P(A)‟ = 0,46 dan n = 1200 maka diperoleh

n (A)‟ = 0,46 x 1200 = 552

Jadi banyaknya penduduk daerah A yang diharapkan tidak terjangkit

demam berdarah sebanyak 552 orang.

2. Penalaran Deduktif

Menurut Ihsan (2010) penarikan simpulan secara deduktif adalah

suatu cara penarikan simpulan pada suatu proses berpikir yang

sebaliknya dari penarikan simpulan induktif. Dalam hal ini penalaran

deduktif memberlakukan prinsip-prinsip matematika umum untuk

mencapai kesimpulan yang spesifik, atau dengan kata lain penalaran


14

deduktif matematis adalah cara berpikir di mana dari pernyataan

matematika yang bersifat umum ditarik kesimpulan matematis yang

bersifat khusus. Penarikan kesimpulan secara wacana atau argumentasi

yang memenuhi syarat-syarat logis (Wiramihardja, 2009).

Silogisme yang standar tersusun atas dua buah pernyataan dan

sebuah, kesimpulan. Pernyataan yang mendukung silogisme ini disebut

sebagai premis yang kemudian dibedakan menjadi premis mayor dan

premis minor. Premis mayor adalah premis yang mengandung term

predikat sedangkan premis minor adalah premis yang mengandung term

subjek.

Berdasarkan kedua uraian di atas mengenai kemampuan

penalaran induktif dan kemampuan penalaran deduktif, maka diperoleh

beberapa indikator kemampuan penalaran matematis, yaitu sebagai

berikut :

a. Indikator penalaran induktif

i. Mampu menggunakan pola untuk menganalisis situasi

matematika.

ii. Mampu melakukan analogi ataupun generalisasi matematika.

iii. Mampu menganalisis soal cerita ke dalam bentuk matematika

(grafik).

b. Indikator penalaran deduktif

i. Mampu memperkirakan jawaban dan proses solusi


15

ii. Mampu menentukan pola untuk menyelesaikan masalah

matematika

iii. Mampu menarik kesimpulan logis.

Sesuai dengan Departemen Pendidikan Nasional dalam Peraturan

Dirjen Dikdasmen No.506/C/PP/2004 sebagaimana yang dikutip oleh

Shadiq (2005) indikator penalaran matematis adalah sebagai berikut:

1. Kemampuan menyajikan pernyataan matematika secara lisan,

tertulis, gambar, dan diagram.

2. Kemampuan mengajukan dugaan.

3. Kemampuan melakukan manipulasi matematika.

4. Kemampuan menyusun bukti, memberikan alasan terhadap suatu

solusi.

5. Kemampuan menarik kesimpulan dari pernyataan.

6. Kemampuan memeriksa kesahihan dari pernyataan.

7. Kemampuan menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk

membuat generalisasi.

Berdasarkan beberapa definisi mengenai kemampuan penalaran

matematis di atas maka peneliti menetapkan definisi kemampuan

penalaran matematis pada penelitian ini sebagai kemampuan siswa

untuk merumuskan kesimpulan atau pernyataan baru berdasarkan pada

beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau

diasumsikan sebelumnya, yang ditandai dengan indikator-indikator


16

penalaran. Adapun indikator penalaran yang akan digunakan dalam

penelitian ini adalah :

1. Kemampuan mengajukan dugaan.

Adalah kemampuan memperkirakan suatu kebenaran sebelum

dilakukan analisis.

2. Kemampuan melakukan manipulasi matematika.

Adalah melakukan proses rekayasa matematika, untuk memudahkan

suatu perhitungan.

3. Kemampuan menarik kesimpulan dari pernyataan.

Adalah proses menyusun bukti-bukti dalam suatu pernyataan

sehingga terbentuk dalam satu kalimat singkat, padat, dan jelas yang

disebut sebagai kesimpulan.

4. Kemampuan menyusun bukti, memberikan alasan terhadap suatu

solusi.

Adalah kemampuan memberikan penguatan pada suatu pernyataan

yang sudah diketahui kebenarannya.

5. Kemampuan menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk

membuat generalisasi.

Adalah kemampuan memodifikasi rumus ke dalam beberapa bentuk

sehingga mampu mewakili bentuk umumnya.


17

C. Materi : Peluang

Standar Kompetensi : 4. Memahami peluang kejadian sederhana

Kompetensi Dasar : 4.1 Menentukan ruang sampel suatu percobaan

4. 2 Menentukan peluang suatu kejadian sederhana

Indikator : 4.1.1 Menentukan ruang sampel suatu percobaan dengan

mendata titik sampelnya.

4.2.1 Menghitung peluang masing-masing titik sampel

pada ruang sampel suatu percobaan

4.2.2 Menghitung nilai peluang suatu kejadian


Documents

BAB II KAJIAN TEORI A. Analisis - repository.ump.ac.idrepository.ump.ac.id/478/3/BAB II_GALIH WIDYA PAMUNGKAS _MATEMATIKA'15… · gambaran secara rinci yang mencakup keadaan, kemampuan,