29

BAB IV

TURUNAN

A. Pengertian Turunan

Turunan fungsi y = f(x) terhadap x dititik x = x1, didefinisikan sebagai

berikut:

lim∆𝑥→0

∆𝑓

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

f x + ∆x − f( 𝑥)

∆𝑥

Andaikan limitnya ada dan ditulis sebagai: 𝑓1 𝑥 �𝑎𝑡𝑎𝑢𝑑𝑓

𝑑𝑥

Contoh:

Hitung turunan dari f(x) = 5x2 + 6

Jawab:

𝑓1(𝑥) = lim∆𝑥→0

f x + ∆x − f( 𝑥)

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

5(x + ∆x)2 + 6 − ( 5𝑥2 + 6)

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

5 𝑥2 + 10𝑥∆𝑥 + ∆2𝑥 + 6 − 5𝑥2 − 6

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

5𝑥2 + 10𝑥∆𝑥 + 5∆2𝑥 − 5𝑥2

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

10𝑥 + 5∆𝑥 = 10𝑥

B. Rumus-Rumus Dasar Turunan

1. y = xn, maka y

1 = nx

n-1

2. y = suatu fungsi konstanta, maka y1 = 0

3. y fungsi trogonometri:

a. 𝑦 = sin 𝑥 → 𝑦 = cos 𝑥

b. 𝑦 = cos 𝑥 → 𝑦′ = −sin 𝑥

c. 𝑦 = tg 𝑥 → 𝑦′ = sec2 𝑥

d. 𝑦 = ctg 𝑥 → 𝑦′ = −cosec2 𝑥

e. 𝑦 = sec 𝑥 → 𝑦′ = sec x tg 𝑥

f. 𝑦 = cosec 𝑥 → 𝑦′ = −cosec x ctg 𝑥

30

4. y fungsi logaritma:

a. 𝑦 = 𝑔 log 𝑥 → 𝑦′ =1

𝑥 ln 𝑔

b. 𝑦 = ln 𝑥 → 𝑦′ =1

𝑥

5. y fungsi eksponensial:

a. 𝑦 = 𝑎𝑥 → 𝑦′ = 𝑎𝑥 ln 𝑎

b. 𝑦 = 𝑒𝑥 → 𝑦′ = 𝑒𝑥

6. y fungsi siklometri:

a. 𝑦 = arc sin 𝑥 → 𝑦′ =1

1−𝑥2

b. 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑥 → 𝑦′ = −1

1−𝑥2

c. 𝑦 = arc tg 𝑥 → 𝑦′ =1

1+𝑥2

d. 𝑦 = arc ctg 𝑥 → 𝑦′ =−1

1+𝑥2

e. 𝑦 = arc sec 𝑥 → 𝑦′ = 𝑥1

𝑥2−1

f. 𝑦 = arc cosec 𝑥 → 𝑦′ = 𝑥−1

𝑥2−1

Contoh:

1. 𝑦 = 3𝑥4 → 𝑦′ = 12𝑥3

2. 𝑦 = 𝑡𝑔2𝑥 → 𝑦′ = 2 𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Soal: Tentukan y1 dari:

1. 𝑦 = ln 3 − 𝑥2

2. 𝑦 = sin2 3𝑥

31

C. Aturan Rantai Fungsi Tersusun

Untuk fungsi-fungsi yang bentuknya rumit, dimana y adalah fungsi dari u

(atau v), u dan v merupakan fungsi dari x, turunanya dikembalikan ke

rumus dasar.

Caranya:

1. 𝑦 = 𝜆𝑢 → 𝑦′ = 𝜆 𝑢′ , 𝝀 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏

2. 𝑦 = 𝑢 ± 𝑣 → 𝑦′ = 𝑢′ ± 𝑣 ′

3. 𝑦 = �〰𝑣 → 𝑦′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣 ′

4. 𝑦 =𝑢

𝑣→ 𝑦′ =

𝑢 ′ 𝑣−𝑢𝑣 ′

𝑣2

Contoh:

𝑦 =𝑥

sin 𝑥

𝑦′ =sin 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥

𝑠𝑖𝑛2𝑥

Selain dari keempat bentuk diatas, suatu fungsi merupakan fungsi

tersusun dari fungsi pada rumus dasar. Untuk mencari turunannya

gunakan rumus yang disebut aturan rantai. Bila y = f(x) merupakan fungsi

tersusun.

𝑦 = 𝑔 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑢 = 𝑕 𝑥 , 𝑚𝑎𝑘𝑎𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

�㖨�𝑢.𝑑𝑢

𝑑𝑥

Contoh:

𝑦 = 5 cos 𝑢 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑢 = 𝑥2 − 1

𝑦 = 5 cos 𝑢

𝑦′ = −5 sin 𝑢

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢.𝑑𝑢

𝑑𝑥

= −5 sin 𝑢 .2𝑥

= −10 x sin . u

32

= −10 x sin (x2 - 1)

Tentukan turunan pertama dari:

1. 𝑦 =𝑢−1

𝑢+1 𝑢 = 𝑥

2. 𝑦 = 1 + 𝑢, 𝑢 = 𝑥

3. 𝑦 = 𝑥

1+𝑥

5

4. 𝑦 =1

2𝑡𝑔 𝑥 sin 2𝑥

5. 𝑦 = 𝑥 𝑎2 + 𝑥2 + 𝑥2 𝑎𝑟𝑐 sin𝑥

𝑎

6. 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥

D. Turunan Lebih Tinggi

Misalnya y = f(x) fungsi x yang dapat di diferensir dan turunannya

disebut “turunan pertama”, jika turunan pertama dapat di diferensir,

turunannya disebut “turunan kedua” dari fungsi aslinya. Ditulis:

𝑑𝑦2

𝑑𝑥2 , 𝑦′ ′ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓 ′ ′(𝑥)

Seterusnya turunan dari turunan kedua disebut “turunan ketiga”,

dinyatakan oleh:

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3, 𝑦′ ′′ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓 ′′ ′(𝑥)

Contoh:

𝑦 = 4𝑥3

𝑦′ = 12𝑥2

𝑦′′ = 24𝑥

𝑦′′′ = 24

33

E. Penurunan Dengan Bantuan Logaritma

Dipakai bila pangkat suatu fungsi dari x:

𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

ln 𝑦 = ln 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑔 𝑥 ln 𝑓(𝑥)

1

𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑔′ 𝑥 ln 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥){ln 𝑓(𝑥)}′

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦{𝑔′ 𝑥 ln 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 [ln 𝑓(𝑥)]′}

Contoh:

1. 𝑦 = 𝑥𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥≠ 𝑥𝑥−1

ln 𝑦 = ln 𝑥𝑥 = 𝑥 ln 𝑥

1

𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥= ln 𝑥 + 𝑥.

1

𝑥= ln 𝑥 + 1

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 ln 𝑥 + 1 = 𝑥𝑥 (ln 𝑥 + 1)

2. 𝑦 = (ln 𝑥)𝑥2

ln 𝑦 = ln ln 𝑥 𝑥2 = 𝑥2 ln ln 𝑥

𝑦′ = 2𝑥 ln ln 𝑥 + 𝑥21

𝑙𝑛𝑥.1

𝑥

= 2𝑥 ln ln 𝑥 +𝑥

𝑙𝑛𝑥

𝑦′ = 𝑦 2𝑥 ln ln 𝑥 +𝑥

𝑙𝑛𝑥 → = (ln 𝑥)𝑥2

{2𝑥 ln ln 𝑥 +𝑥

𝑙𝑛𝑥}

F. Turunan Fungsi Implisit

Untuk menghitung turunan pertama 𝑑𝑦

𝑑𝑥 dari fungsi implisit f(x,y) = 0, kita

perhatikan tiap-tiap suku sebagai suatu fungsi dari x, kemudian

menurunkan suku demi suku, misalnya:

𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2 = 0

2𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦′ + 𝑦2 + 2𝑥𝑦𝑦′ = 0

𝑦′ 𝑥 + 2𝑥𝑦 = −2𝑥 − 𝑦 − 𝑦2

𝑦′ =−2𝑥 − 𝑦 − 𝑦2

𝑥 + 2𝑥𝑦

34

Soal:

Tentukan y1 dari:

1. 𝑦 = 𝑥ln 𝑥

2. 𝑦 = 𝑥

𝑛

ln 𝑥

3. 𝑦 = (sin 𝑥)𝑥

4. 𝑦 = 𝑥1

𝑥

5. 𝑦 = 2𝑥2 2 − 𝑥

6. 𝑦 = (sin 𝑥)𝑡𝑔 𝑥

7. 𝑦 = (𝑥)sin 𝑥

8. 𝑥𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 − 𝑦2 = 0

9. 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 + 2𝑥 + 𝑦 = 0

10. 𝑥 = 𝑎𝑟𝑒 𝑡𝑔 (𝑥 + 𝑦)

11. 𝑥 cos 𝑦 = sin(𝑥 + 𝑦)

12. 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑦 =1

2𝑥2𝑐𝑥

13. 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑦

𝑑𝑥

2+

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑒𝑦 = 𝑥 + 𝑦

35

BAB V

BEBERAPA PEMAKAIAN TURUNAN

A. Garis Singgung dan Garis Normal

Jika f(x) mempunyai suatu turunan pertama f1(x) pada x = x0 yang hingga,

maka y = f(x) mempunyai garis singgung di (x0, y0) dengan koefisien

arah: m = tg Ѳ = f1 (xo)

Bila m = 0, maka garis singgung sejajar dengan x persamaan y = yo

Garis singgung mempunyai persamaan: y – yo = m (x – xo)

Garis normal dari grafik pada salah satu titik (pada grafik) adalah garis

yang tegak lurus garis singgung pada titik tersebut

x

y

A

B

C

D

E

y

x

Garis normal

Garis singgung f(x)

P(xo, yo) f(x)

36

Persamaan garis normal di 𝑥0 . 𝑦0 : 𝑦 − 𝑦0 =1

𝑓 ′ (𝑥)(𝑥 − 𝑥0) serta bila:

Garis singgung // sumbu y, maka garis normal // sumbu x

Garis singgung // sumbu x, maka garis normal // sumbu y

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada x2 – 3xy + y

2

= 5 pada titik (1, 1)

Jawab:

𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2 = 5

2𝑥 − 3𝑦 − 3𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ = 0

𝑦′ −3𝑦 + 2𝑦 = −2𝑥 + 3𝑦

𝑦′ =−2𝑥 + 3𝑦

3𝑥 + 2𝑦

−2 + 3

−3 + 2=

1

−1= −1

Persamaan garis singgung: 𝑦 − 1 = −1(𝑥 − 1)

𝑦 − 1 = −𝑥 + 1

𝑥 + 𝑦 − 2 = 0

Persamaan garis normal: 𝑦 − 1 = (𝑥 − 1)

𝑦 − 𝑥 = 0

𝑦 = 𝑥

Panjang garis singgung, panjang sub garis singgung, panjang garis

normal dan panjang sub garis normal.

Panjang garis singgung adalah panjang potongan garis singgung dihitung

dari titik singgung sampai titik potong sumbu x. panjang sub garis

singgung (panjang sub tangen) adalah panjang proyeksi potongan garis

tersebut pada sumbu x.

Panjang garis normal adalah panjang potongan garis normal dihitung dari

titik potong dengan garis singgung sampai titik potong dengan sumbu x.

panjang sub garis normal (panjang sub normal) adalah panjang proyeksi

garis tersebut pada sumbu x.

37

m = tg y = koefisien arah garis singgung

panjang sub tangen: TS = |yo / m|

Panjang sub normal: SN = |m yo|

Panjang garis singgung: TP = 𝑇𝑆2 + 𝑆𝑃2

Panjang garis normal: NP = 𝑆𝑁2 + 𝑆𝑃2

Contoh:

Panjang garis singgung, panjang garis normal, panjang sub garis

singgung, panjang sub garis normal dari xy + 2x – y = 5 pada (2, 1)

Jawab:

𝑥𝑦 + 2𝑥 − 𝑦 = 5

𝑦 + 𝑥𝑦′ + 2 − 𝑦′ = 0

𝑦′ 𝑥 − 1 = −𝑦 − 2

𝑦′ =−𝑦 − 2

𝑥 − 1 𝑝𝑎𝑑𝑎 (2,1)

=−1 − 2

2 − 1−

3

1= −3

panjang sub tangen = 𝑦𝑜

𝑚 =

1

−3 =

1

3

Panjang sub normal = |m yo| = |-3.1| = 3

Panjang garis singgung = (1

3)2 + 1 =

1

9+ 1 =

10

9=

1

3 10

Panjang garis normal = 32 + 1 = 10

y

N

P(xo, yo)

S T

x

P

38

Soal:

Hitung panjang garis singgung, garis normal, sub garis singgung, sub

normal dari:

a. 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 21 = 0 𝑑�. (5,4)

b. 4𝑥2 + 𝑥𝑦 = 40 𝑑𝑖 (−1,2)

B. Bentuk Tak Tentu dan Aturan (Hospital)

Limit dengan bentuk tak tentu adalah limit dengan bentuk-bentuk: o/o,

~/~, o~, ~ - ~, ~0, .

0 dan 1

~. Untuk menghitung limit tersebut dapat

digunakan aturan (Hospital)

1. Jika limit f(x) = 0 dan limit g(x) = ~, maka limit f(x) g(x) = 0

~ ialah bentuk xa xa xa tak tentu.

Bentuk tersebut dapat diubah menjadi 0

0 𝑎𝑡𝑎𝑢

~

~ dengan memenuhi

f(x) g(x) sebagai:

𝑓(𝑥)

1

𝑔(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢

𝑔(𝑥)

1

𝑓(𝑥)

Contoh:

lim𝑥→1

1 − 𝑥 ln 1 − 𝑥 = (0, ~)

lim𝑥→1

ln

1 − 𝑥 1

1 − 𝑥= (𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘

~

~)

lim𝑥→1

−11 − 𝑥

1(1 − 𝑥)2

= lim𝑥→1

− 1 − 𝑥 = 0

2. Jika limit f(x) = ~ dan limit g(x) = ~, maka limit {f(x) - g(x)} = ~ - ~

bentuk xa xa xa tak tentu. Bentuk

tersebut diubah menjadi:

lim𝑥→𝑎

1𝑔 𝑥

−1

𝑓(𝑥)

1

𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ialah bentuk o/o

39

Contoh:

lim𝑥→1

𝑥

𝑥 − 1−

1

ln 𝑥

lim𝑥→1

𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 1

𝑥 − 1 ln 𝑥= (𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑜/𝑜)

lim𝑥→1

ln 𝑥 + 1 − 1

ln 𝑥 +𝑥𝑥

−1𝑥

=

lim𝑥→1

1𝑥

1𝑥

+1𝑥2

=1

2

3. Jika:

a. lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 0 𝑑𝑎𝑛 lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 0

b. lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 1 𝑑𝑎𝑛 lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = ~

c. lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = ~ 𝑑𝑎𝑛 lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 0

Maka: lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)��(𝑥) menjadi bentuk tak tentu. Limit-limit tersebut

dapat menjadi 0, ~, bila kita mengambil logaritmanya

Contoh:

lim𝑥→0

𝑥sin 𝑥 = 𝑖𝑎𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 ∶ 00

Misalnya:

L = lim�番�→0 𝑥sin 𝑥

ln 𝐿 = lim𝑥→0

𝑥sin 𝑥 = lim𝑥→0

ln 𝑥sin 𝑥 =

= lim𝑥→0

sin 𝑥 ln 𝑥 (0, ~)

= lim𝑥→0

ln 𝑥

1/ sin 𝑥 (

~

~)

= lim�Ł�→0

1/𝑥

− cos 𝑥/𝑠𝑖𝑛2 𝑥

40

= lim�→0

−𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥

= lim𝑥→0

−2 sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥

cos 𝑥 − 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

=0

1= 0

ln 𝐿 = 0

𝐿 = 𝑒0 = 1

∴ lim𝑥→0

𝑥sin 𝑥 = 1

x0

soal:

1. lim𝑥→0 𝑥3 =

2. lim𝑥→0 1

𝑥−

1

sin 𝑥 =

3. lim��→02𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥−𝑥

2𝑥−�慢�𝑟𝑐 sin 𝑥=

4. lim𝑥→2 4

𝑥2−4−

1

𝑥−2

C. Menentukan Titik Kritis (Titik Ekstrim)

f(x) dapat di diferensir dalam selang a < x < b dan jika f(x) memiliki nilai

relatif maksimum (minimum) dititik x = xo. dimana a < xo < b, maka f1

(xo) = 0

menentukan titik kritis:

Cara I:

1. Selesaikan f1 (x) = 0 untuk harga-harga kritis

2. Letakkan nilai-nilai kritis pada suatu skala bilangan, maka terbentuk

beberapa internal

3. Tentukan tanda f1 (x) pada setiap interval

4. Untuk x bertambah melalui setiap kritis x = xo, maka:

- f(x) bernilai maksimal = f(xo) jika f1 (x) berubah dari + ke –

- f(x) bernilai manimal = f(xo) jika f1 (x) berubah dari - ke +

41

- f(x) tidak bernilai maksimal atau minimal dari x = xo bila f1 (x) tidak

berubah tanda

Cara II:

1. Selesaikan f1 (x) = 0 untuk harga-harga kritis

2. Fungsi di diferensial sekali lagi, memperoleh f11

(x) untuk harga

kritis x = xo

- f(x) mempunyai nilai maksimum f(xo) bila f11

(xo) < 0

- f(x) mempunyai nilai minimum f(xo) bila f11

(xo) > 0

- penyelidikan gagal bila f11

(xo) = 0 atau menjadi tak hingga

contoh:

𝑦 =1

3𝑥3 +

1

2𝑥2 − 6𝑥 + 8

Tentukan:

a. untuk titik-titik kritis

b. interval dimana y naik dan y turun

c. nilai max dan min dari y

jawab:

a. 𝑦′ = 0

𝑦′ = 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0

𝑥 + 3 𝑥 − 2 = 0

𝑥1 = −3 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 = 2

Titik kritis: -3 dan -2

b. 𝑥 < −3 → 𝑦′ = − − = +𝑛𝑎𝑖𝑘

3 < 𝑥 < 2 → 𝑦′ = + − = −𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛

𝑥 > 2 → 𝑦′ = + + = +𝑛𝑎𝑖𝑘

c. 𝑥 = −3 → 𝑦 =1

3(−3)3 +

1

2(−3)2 − 6 −3 + 8

= −9 +9

2+ 18 + 8 = 17 +

9

2=

43

2

Titik P (-3, 43/2)

𝑥 = 2 → 𝑦 =1

3(2)3 +

1

2(2)2 − 6 2 + 8

42

−8

3+ 2 − 12 + 8 = −2 +

8

3= −

6

3+

8

3=

2

3

Titik Q (2, 2/3)

P titik maksimum dan Q titik minimum

Kecepatan dan Percepatan

Gerak suatu partikel sepanjang suatu garis lurus secara lengkap dinyatakan oleh

persamaan s = f(t), t ≥ 0 waktu, dan s jarak P dari suatu titik tetap yang tertentu

0 pada lintasannya

Kecepatan (velocity) dari P pada waktu t adalah 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡

Jika v > 0, P bergerak searah dengan naiknya s

Jika v < 0, P bergerak searah dengan turunnya s

Jika v = 0, P dalam keadaan berhenti

Percepatan (accelaration) dari P pada waktu t adalah:

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑2𝑠

𝑑𝑡2

Jika a > 0, v naik, jika a < 0 maka v turun

Kelajuan (speed) bertambah bila v dan a bertanda sama dan berkurang bila

berlainan tanda

y

x

Q(2,2/3)

P(-3,43/2)

43

Contoh:

Sebuah partikel bergerak disepanjang suatu garis lurus dengan persamaan:

𝑠 = 𝑓 𝑡 = 2𝑡3 − 9𝑡2 + 12𝑡 − 1, 𝑡 ≥ 0

a. Tentukan saat partikel bergerak ke kanan dan saat partikel bergerak ke

kiri

b. Tentukan saat partikel berhenti dan kemudian bergerak lagi

c. Tentukan saat gerakan partikel dipercepat dan saat gerakan partikel

diperlambat

Jawab:

Kecepatan dan percepatan partikel pada setiap saat t ≥ 0, adalah:

𝑣 𝑡 = 𝑓 ′ 𝑡 = 6𝑡2 − 18𝑡 + 12 , dan

𝑎 𝑡 = 𝑓"(𝑡) = 12𝑡 − 18, 𝑡 ≥ 0

a. Partikel bergerak ke kanan bila f(t) semakin bertambah, yaitu bila fungsi f

monoton naik. Syaratnya 𝑓 ′ 𝑡 = 6𝑡2 − 18𝑡 + 12 > 0, yang

memberikan:

6 𝑡2 − 3𝑡 + 2 > 0

𝑡 − 1 𝑡 − 2 > 0

0 ≤ 𝑡 < 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 > 2

Jadi partikel bergerak kekanan pada saat t, dengan 0 ≤ 𝑡 < 1 𝑑𝑎𝑛 𝑡 > 2

Partikel bergerak kekiri bila nilai f(t) semakin berkurang, yaitu bila fungsi

f turun. Syaratnya: 𝑓 ′ 𝑡 = 6𝑡2 − 18𝑡 + 12 < 0, yang memberikan

1 < 𝑡 < 2

b. Partikel berhenti kemudian bergerak lagi bila kecepatannya nol, yaitu v(t)

= 0. Dari: 𝑣 𝑡 = 𝑓 ′ 𝑡 = 6𝑡2 − 18𝑡 + 12 = 6 𝑡 − 1 𝑡 − 2 = 0

Diperoleh t = 1 dan t = 2

c. Gerakan partikel dipercepat bila kecepatannya semakin bertambah, yaitu

bila v monoton naik, syaratnya:

1 0 2

+ + -

44

𝑎 𝑡 = 12𝑡 − 18 > 0

12𝑡 − 18 = 6 2𝑡 − 3 > 0

𝑡 >3

2

Yang memberikan t > 3/2

Gerakan partikel diperlambat bila kecepatannya semakin berkurang, yaitu

bila v monoton turun. Syaratnya: 𝑎 𝑡 = 12𝑡 − 18 < 0

Yang memberikan t > 3/2

Latihan:

Sebuah partikel bergerak di sepanjang suatu garis lurus dengan

persamaan:

𝑠 = 𝑓 𝑡 = 𝑡3 − 9𝑡2 + 24𝑡 − 1, 𝑡 ≥ 0

a. Tentukan saat partikel bergerak kekanan dan saat partikel bergerak

kekiri

b. Tentukan saat partikel berhenti dan kemudian bergerak lagi

c. Tentukan saat gerakan partikel dipercepat dan saat gerakan partikel

diperlambat

45

DAFTAR PUSTAKA

1. Yusuf Yahya, D. Suryadi, HS, Agus Sumin. Matematika Dasar Untuk

Perguruan Tinggi. Jakarta: Ghalia Indonesia, 2005

2. Ayres, Frank, Ir. Differensial and Integral Calculus Schaum’s Outline

Series. New York: Mc Graw Hill Book Company

3. Prof, Dra, N. Soemartojo. Kalkulus Dasar. Jakarta: FE-UI

4. Danang Mursita. Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi. Jakarta:

Rakayarsa Salus