* 4. TURUNAN

MA1114 KALKULUS I

*4.1 Konsep Turunan4.1.1 Turunan di satu titik Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )

a. Garis Singgung

cf(c)Pxf(x)Qx-cf(x)-f(c)Jika x c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringanKemiringan tali busur PQ :

*b. Kecepatan Sesaat Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah

Perubahan waktuPerubahan posisi

*Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatansesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunanDefinisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan sebagai berikut:

bila limit diatas ada

*Notasi lain :

Contoh : Diketahui , tentukan Jawab:

*4.1.2 Turunan SepihakTurunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

bila limit ini ada.

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika

sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.

*Contoh : Diketahui Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan Jawab :a. b.

Jadi, f diferensiabel di x=1.

*

Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c.

Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.Contoh :

Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0

*Jawab:Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0 f(0) = 0Jadi, f kontinu di x=0

*Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0Karenamaka f tidak diferensiabel di 0.

*LatihanA. Periksa apakah f diferensiabel di titik yang di berikanTentukan b agar f(x) kontinuPeriksa apakah f diferensiabel pada x= b berdasarkan jawaban aB. Jika Diketahui:

*4.2 Aturan Pencarian TurunanFungsi Turunan PertamaDefinisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai

atau jika h=t-x

bila limitnya ada.

Notasi lain , bentuk dikenal

sebagai notasi Leibniz.

*Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :

1. Jika f (x)=k, maka 2.3.

4.

5. dengan g(x) 0.

*Contoh:1. Tentukan turunan pertama dari Jawab :2. Tentukan turunan pertama dari Jawab :

*3.Tentukan turunan pertama dari Jawab :

*Soal LatihanTentukan fungsi turunan pertama dari1.2.3.4.5.

*

4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

*Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v

*4.4 Aturan RantaiAndaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada , maka

Contoh : Tentukan dari Jawab : Misal sehingga bentuk diatas menjadi Karena

maka dan

*Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), danada, makaContoh : Tentukan dariJawab :

*Tentukan fungsi turunan pertama dari y = sin x tan [ x2 + 1 ]Soal Latihan1.2.3.4.5.

*4.5 Turunan Tingkat TinggiTurunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

Turunan pertama Turunan kedua

Turunan ke-nContoh : Tentukan dari Jawab :

* A. Tentukan turunan kedua dari B. Tentukan nilai c sehingga bila C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5, dan Soal Latihan1.2.3.4.

*4.6 Turunan Fungsi ImplisitJika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila x dan y ditulis dalam ruas yang sama, maka dikatakan y fungsi implisit dari x. Contoh :

Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

*Jawab

Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikutContoh:

*Tentukan turunan pertama ( ) dari bentuk implisit tan ( x y ) - 2 y = 0Soal Latihan1.2.3.4.

*4.7 Garis singgung dan garis normalPersamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0) dengan kemiringan m adalah

y y0 = m( x x0 ).

Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal.Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah

*Jawab :Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :Persamaan garis normal dititik (2,6) :Cotoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal fungsi di (2,6).

*Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurvadi titik dengan absis( x) = 1Jawab :Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperolehy = 3 dan y = -2Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)Hitung terlebih dahulu dengan menggunakan turunan fungsi implisit

*Di titik (1,3)Persamaan garis singgung:Persamaan garis normal:

*Di titik (1,-2)Persamaan garis singgung:Persamaan garis normal:

Soal Latihan1.Diberikan persamaan kurva a.Tentukan di titik (1,-1). b.Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva tersebut yang melalui titik tersebut 2. Tentukan persamaan garis singgung di dua titik potong kurva

dengan sumbu x 3. Diketahui kurva a. Tentukan b. Tentukan prsamaan garis singgung pada kurva, dimana garissinggung tsb tegak lurus pda garis y = x

Kalkulus I*

Kalkulus I

*****************************