KAPASITAS KALOR MODEL EINSTEIN DAN DEBYE

Sejumlah panas (∆Q) yang diperlukan per mol zat untuk menaikkan suhunya disebut kapasitas kalor.

Bila kenaikan suhu zat ∆T, maka kapasitas panas adalah :

Jika proses penyerapan panas berlangsung pada volume tetap, maka panas yang diserap sama

dengan peningkatan energi dalam zat

∆Q = ∆E

E menyatakan energi dalam.

Kapasitas kalor pada volume tetap (Cv) dapat dinyatakan:

Kapasitas panas zat pada suhu tinggi mendekati nilai 3R; R menyatakan tetapan gas umum. Karena R ≅ 2 kalori/K-mol, maka pada suhu tinggi kapasitas panas zat padat :

Gambar 2.11. Kebergantungan kapasitas panas zat padat pada suhu

Model Teori Klasik

Menurut fisika klasik, getaran atom-atom zat padat dapat dipandang sebagai osilator har m oni k .

Osilator harmonik merupakan suatu konsep/model yang secara makroskopik dapat dibayangkan sebagai

sebuah massa m yang terkait pada sebuah pegas dengan tetapan pegas C.

Untuk osilator harmonik satu-dimensi, energinya dapat dirumuskan :

dengan v laju getaran osilator,

x simpangan osilator

ω frekuensi sudut getaran osilator .

Untuk osilator harmonik satu dimensi yang mempunyai dua derajad bebas mempunyai energi rata-

rata :

Selanjutnya, karena atom-atom dalam kristal membentuk susunan tiga-dimensi, maka untuk satu mol

osilator harmonik tiga-dimensi, energi dalamnya :

Dengan demikian kapasitas kalornya :

dari hasil (2.42) ini terlihat bahwa menurut model fisika klasik, kapasitas panas zat padat

tidak bergantung suhu dan berharga 3R. Hal ini sesuai dengan hukum Dulong-Petit yang hanya

berlaku untuk suhu tinggi. Sedangkan untuk suhu rendah jelas teori ini tidak berlaku.

Model Einstein

Dalam model ini, atom-atom dianggap sebagai osilator-osilator bebas yang bergetar tanpa

terpengaruh oleh osilator lain di sekitarnya. Energi osilator dirumuskan secara kuantum (berdasarkan

teori kuantum) yang berharga diskrit :

0dengan ђ= h/2π

h tetapan Planck.

Pada tingkat dasar n = 0, energi osilator є0 = 0.

Tingkat berikutnya n = 1, 2 dan seterusnya. Perbedaan energi antar tingkat adalah ђω ; lihat gambar

2.12.

Gambar 2.12. Spektrum energi osilator satu dimensi menurut teori kuantum.

Pada keseimbangan termal, energi rata-rata osilator dinyatakan oleh :

faktor (bobot) Boltzmann exp(-єn/kT) menyatakan kebolehjadian keadaan berenergi єn

tertempati. Persamaan (2.44) dalam bentuk deret tersebut ekuivalen dengan ungkapan :

Selanjutnya, untuk satu mol osilator tiga-dimensi memiliki energi dalam :

Sehingga kapasitas kalornya:

Dalam model Einstein frekuensi osilator ω biasa ditulis ωE yang disebut frekuensi Einstein.

Untuk menyederhana persamaan (2.46) didefinisikan suhu Einstein (θE) menurut :

dan persamaan (2.46) tereduksi menjadi :

Pada suhu tinggi (T>>), maka nilai (θE/T) berharga kecil; sehingga exp (θE/T) dapat

diuraikan ke dalam deret sebagai berikut :

Menurut hasil ini jelas bahwa model Einstein cocok pada suhu tinggi. Bagaimana untuk suhu

rendah? Pada suhu rendah (T<<) nilai (θE/T) besar. Hal ini berdampak pada penyebut dalam persamaan

(2.48); yaitu :

sehingga ungkapan kapasitas panas menjadi :

Dengan

−Jadi, pada suhu rendah Cv sebanding dengan e dan jelas ini tidak cocok dengan hasil

eksperimen, dimana Cv sebanding dengan T3. Sekali lagi, model inipun gagal menjelaskan Cv pada

suhu rendah.

Model Debye

Dalam model Einstein, atom-atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom di sekitarnya.

Anggapan ini jelas tidak dapat diterapkan, karena gerakan atom akan saling berinteraksi dengan

atom-atom lainnya. Seperti dalam kasus penjalaran gelombang mekanik dalam zat padat, oleh karena

rambatan gelombang tersebut atom-atom akan bergerak kolektif. Frekuensi getaran atom bervariasi

dari ω=0 sampai dengan ω =ωD. Batas frekuensi ωD disebut frekuensi potong Debye.

Menurut model Debye ini, energi total getaran atom pada kisi diberikan oleh ungkapan

є (ω) adalah energi rata-rata osilator seperti pada model Einstein

sedangkan g (ω) adalah rapat keadaan

Dalam selang frekuensi antara ω = 0 dan ω = ωD, g(ω) memenuhi :

Jumlah moda getaran sama dengan jumlah 1 mol osilator tiga-dimensi, yang dalam kurva pada

gambar 2.13 ditunjukkan oleh daerah terarsir. Frekuensi potong ωD dapat ditentukan dengan cara

memasukkan persamaan (2.19.) ke dalam persamaan (2.52.), yang memberikan :

Apabila kita menggambarkan kontur yang berhubungan dengan ω = ωD dalam ruang - q seperti pada

gambar 2.4. akan diperoleh sebuah bola yang disebut bola Debye , dengan jejari qD yang disebut jejari

Debye dan memenuhi

3D

Pada suhu tinggi (T>>θD), batas atas integral (θD/T) sangat kecil, demikian juga variabel x.

Sebagai pendekatan dapat diambil : ex ≅ 1 + x

sehingga integral yang bersangkutan menghasilkan :

Masukkan hasil ini kepersamaan (2.56)

Sesuai dengan hukum Dulong-Petit, sehingga pada suhu tinggi model ini cocok dengan hasil

eksperimen. Pada suhu rendah (T<<θD), batas integral pada persamaan (2.56) menuju tak

berhingga; dan integral tersebut menghasilkan 4π4/15. Dengan demikian :