bài 7 - Tiệm cận và khoảng cách

8/3/2019 bài 7 - Tiệm cận và khoảng cách

http://slidepdf.com/reader/full/bai-7-tiem-can-va-khoang-cach 1/9

Chươ ng I. Các bài gi ng tr ng tâm v hàm s – Tr n Phươ ng

62

BÀI 7. TIM CN VÀ KHONG CÁCH

A. TIM CN CA Ư NG CONG

I. CÁC KHÁI NIM VÀ NH NGH Ĩ A

1. im chy ra vô tn:

M( x, y) → ∞ ⇔

x

y

x

y

→ ∞

→ ∞ → ∞

→ ∞

2. nh ngh ĩ a tim cn

Cho ư ng cong (C): y = f ( x) và ư ng thng (D). Ly M bt kì ∈ C). Gi H

là hình ca M lên ư ng thng (D). Khi ó ta nói ư ng thng (D) là tim cn

ca ư ng cong (C) ⇔ ( )M ,lim 0 x y MH →∞ =

3. Nhn xét:

ư ng cong (C): y = f ( x) ch có th có tim cn ⇔ Min xác nh hoc min

giá tr ca hàm s y = f ( x) phi cha ∞ ⇔ ư ng cong (C): y = f ( x) phi có

nhánh chy ra vô tn. Tuy nhiên có nhng hàm s có nhánh chy ra vô tn

nhưng vn không có tim cn.

II. DU HIU NHN BIT TIM CN

Cho ư ng cong (C): y = f ( x). Xét các du hiu v i các tim cn tươ ng ng

1. Tim cn ng: ( )lim x a

f x x a→

= ∞ ⇔ = là tim cn ng

2. Tim cn ngang: ( )lim x

f x b y b→∞

= ⇔ = là tim cn ngang

3. Tim cn xiên: ( ) ( )lim 0 x

f x ax b y ax b→∞

− + = ⇔ = + là tim cn xiên ( a ≠≠≠≠0)

O x

y

M1M

2M. . .

nM . . .

H 2

H1H

H n . . .

. . .

(D)

(C): y=f(x)

y

xO

H 11M

M H

2H

nH

M2

nM

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x0

0f(x )

a

b

f(x )0

0x

Mn

2M

MM1

1H

O x

y

H2 HnH ... ...

...

...

. . .

. . .

nH

H 1H

2H

. . .

Mn

. . .

M2

M1M

y

xO

ax +b0

x0

0f(x )

K



Bài 7. Ti m c n và kho ng cách

63

III. TIM CN CA HÀM PHÂN THC: Xét hàm s ( )( )

( )

u x y f x

v x= =

1. Tim cn ng: Bư c 1: Gii phươ ng trình ( ) { }1 20 , ,..., nv x x x x x= ⇔ ∈

Bư c 2: Nu( )

( )

0

0

k

k

u x

v x

≠

=

thì( )

( )

limk

k

x x

u x x x

v x→

= ∞ ⇔ = là 1 tim cn ng.

2. Tim cn ngang: Bư c 1: Du hiu nhn bit( ) ( )

MXÐ:

u x v x

∞

≤

chøa

BËc BËc

Bư c 2: Xét gi i hn( )

( )lim

x

u xb y b

v x→∞= ⇔ = là tim cn ngang.

3. Tim cn xiên:

Bư c 1: Du hiu nhn bit( ) ( )

MXÐ:

1u x v x

∞

= +

chøa

BËc BËc

Bư c 2: Tìm tim cn:Cách 1: Phươ ng pháp tng quát

Xét gi i hn( )

lim x

f xa

x→∞=

®Æt; ( )lim

x f x ax b

→∞ − =

®Æt. Kt lun: (C) có tim

cn xiên là: y = ax + b

Cách 2: Phươ ng pháp chia a thc (S dng hàm phân thc hu t)

Bư c 1: Thc hin phép chia a thc: ( )( )

( )

( )

( )

u x w x f x ax b

v x v x= = + + v i

( ) ( )deg degw x v x<

Bư c 2: ( ) ( )( )

( )lim lim 0

x x

w x f x ax b

v x→∞ →∞

− + = = . Vy (C) có tim cn xiên là:

y = ax + b.

IV. CÁC BÀI TP MU MINH HA

Bài 1. Tìm m ( ) ( )2

: xC y f x x m

= =−

có tim cn.

Gii. V i m = 0 thì ( )2

0 x f x x x x

= = ∀ ≠ ⇒ (C) không có tim cn.

V i m ≠ 0 thì ( )2

lim x m

x f x x m→

= = ∞−

⇒ Tim cn ng x = m. Vy v i m ≠ 0

thì hàm s luôn có tim cn.

Bài 2. Tìm các ư ng tim cn ca (C): ( )2 1

x y f x x mx

= =− +

Gii. ( )2

lim lim 01 x x

x f x x mx→∞ →∞

= =− +

⇒ (C) có tim cn ngang y = 0.




64

Xét phươ ng trình ( ) 2 1g x x mx= − + = 0 (1).

Ta có:2

4g m∆ = − . • Nu 2 2m− < < thì 0g∆ < ⇒ g( x) > 0 ∀ x

⇒ (C) không có tim cn ng.

• Nu 2m = − thì (1) có 1 nghim x = −1⇒ ( )1

lim x

f x→−

= −∞ ⇒ TC: x = −1

• Nu 2m = thì (1) có 1 nghim x = 1⇒ ( )1

lim x

f x→

= +∞ ⇒ TC: x = 1

• Nu 2 2m m> ∨ < − thì (1) có 2 nghim phân bit2

1,2

40

2

m m x

± −= ≠

⇒ ( ) ( )1 2

lim ; lim x x x x

f x f x→ →

= ∞ = ∞ ⇒ (C) có 2 tim cn ng 1 2và x x x x= =

Bài 3. Tìm m ( ) ( )22 3: x x mC y f x x m

− += =−

không có tim cn ng.

Gii. Hàm s không có tim cn ng⇔ ( ) 22 3 0u x x x m= − + = có nghim x = m

⇔ ( ) ( )22 3 0 2 1 0 0 1u m m m m m m m m= − + = ⇔ − = ⇔ = ∨ =

Bài 4. Tìm tim cn ca ( ) ( )2 6 2:

2mx xC y f x

x

+ −= =+

Gii.

• Xét m = 0 thì 6 22

x y x

−=+

, khi ó:2

6 2lim2 x

x x→−

− = ∞+

⇒ Tim cn ng x = −2.

( )6 2 14lim lim 6 62 2 x x

x x x→∞ →∞

− = − =+ +

⇒ Tim cn ngang y = 6.

• Xét m ≠ 0: Ta có: ( )2 6 2 4 146 2

2 2

mx x m f x mx m

x x

+ − −= = + − +

+ +

Nu 74 14 02

m m− = ⇔ = thì ( ) 7 1 22

f x x x= − ∀ ≠ − nên không có tim cn

Nu 72

m ≠ thì 4 14 0m − ≠ ⇒ ( )2

lim x

f x→ −

= ∞ ⇒ Tim cn ng x = −2.

( ) ( ) 4 14lim 6 2 lim 02 x x

m f x mx m x→∞ →∞

− − + − = = + ⇒ TCX: 6 2 y mx m= + − .

K t lu n:

Nu m = 0 thì (C) có TC: x = −2 ; TCN: y = 6.

Nu 7

2

m = thì (C) không có tim cn.

Nu 70;2

m m≠ ≠ thì (C) có TC: x = −2 ; TCX: 6 2 y mx m= + −




65

B. KHONG CÁCH

I. TÓM TT CÔNG THC

1. Khong cách gi a 2 im( )

( )( ) ( )

1 1 2 2

1 2 1 2

2 2

M ,

N ,

x y MN x x y y

x y

⇒ = − + −

2. Khong cách t 1 im n 1 ư ng thng

( )

( )( )

0 0 0 0

2 2

M ,M,

: 0

x y Ax By C d

A B Ax By C

+ +⇒ ∆ =

+∆ + + =

§iÓm

Các trư ng h p c bi t: Nu (∆): x = a thì d (M, ∆) = | x0 − a|

Nu (∆): y = b thì d (M, ∆) = | y0 − b|

Tng khong cách t M n O x, O y là: ( )0 0Md x y= +

3. Khong cách gi a ư ng thng và ư ng cong

nh nghĩ a: Cho th (C) và ư ng thng (∆).

Ly bt k ỳ M∈(C) và N∈(∆), khi ó d (∆, C) = Min MN

Bài toán: Cho (C): y = ƒ( x) và (∆): Ax + By + C = 0. Tìm d (∆, C)

Phươ ng pháp: Cách 1: Ly bt kì M( x0, y0)∈(C) ⇒ y0 = ƒ( x0)

Tính d (M, ∆) = 0 0

2 2

Ax By C

A B

+ +

+. Khi ó ( ) ( ), Min M,d C d ∆ = ∆

Cách 2: Bư c 1: Vit PT tip tuyn (t ) ca (C) // (∆)⇒ Tip im A( x0, y0)

Bư c 2: ( ) ( ), ,d C d A∆ = ∆

4. Din tích tam giác trong mt phng ta

( ) ( ) ( )( ) 1 1

2 21 1 2 2

Diên tích tam giác OAB1 1det ,2 2O 0, 0 ; A , ; B ,

x yS OA OB

x y x y x y

⇒ = =

i

( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1

3 1 3 11 1 2 2 3 3

Diên tích tam giác ABC1 1det ,2 2A , ; B , ;C ,

x x y yS AB AC

x x y y x y x y x y

− −⇒ = =

− −

i

II. CÁC BÀI TP MU MINH HA

Bài 1. a. Cho A(3, 0). Tìm im M ∈ (P): 2 y x= AM nh nht.

b. Chng minh rng khi ó ư ng thng AM ⊥ tip tuyn ca (P) ti M.

Gii

a. Gi ( )2M ,m m ∈(P) ⇒ 2 4 2 6 9 AM m m m= + − +

Cách 1: t ( ) 4 2 6 9g m m m m= + − + . Ta có: ( ) 34 2 6 0g m m m′ = + − =




66

⇔ ( ) ( )21 2 2 3 0 1m m m m− + + = ⇔ = . Lp BBT suy ra Min g(m) = g(1) = 5

⇒ Min 5 AM = xy ra ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1)

Cách 2: ( ) ( )2 22 4 2 26 9 1 3 1 5 5 AM m m m m m= + − + = − + − + ≥

⇒ Min 5 AM = ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1)

Cách 3: 2 4 2 1 1 1 1 6 5 AM m m m= + + + + + − +

6 4 26 . .1.1.1.1 6 5m m m≥ ⋅ − + 6 6 5 5m m= − + ≥

⇒ Min 5 AM = xy ra ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1)

b) Tip tuyn ca (P) ti M có h s góc là: ( )1 2k y m m′= =

ư ng thng AM có h s góc là:

2M

2M

0

3 3

y mk x m

−= =

− − ⇒

3

1 22.

3mk k

m=

−

Khi AM min thì m = 1⇒ 1 22.1. 1

1 3

k k = = −

−

⇒ AM ⊥ tip tuyn ti M ca (P)

Bài 2. Cho (P): ( ) 22 3 1 y f x x x= = − + và (∆): y = x − 5.

Tìm im M∈(P), N∈(∆) sao cho MN nh nht.

Gii: Ly ( )2M , 2 3 1m m m− + ∈ (P) và ( )N , 5n n − ∈ (∆).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 22 2 2MN 2 3 1 5 2 2 3m n m m n m n m n m m ⇒ = − + − + − + = − + − + − +

( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 2

2 2 3 2 2 3 2 1 2 8 MN 2 2m n m m m m m = − + − + + − + ≥ − + ≥ ⇒ ≥

Du bng xy ra ⇔ 1, 3m n= = . Suy ra ( ) ( )M 1, 0 và N 3, 2−

Bình lu n: Có th gii bng phươ ng pháp hình hc theo các bư c sau ây:

− V th và nhn xét (∆) và (P) không ct nhau.

− Vit phươ ng trình tip tuyn (t) ca (P) // (∆), tip xúc nhau ti M

− Gi N là hình chiu ca M lên (∆), chng minh MN là khong cách ngn

nht bng lý lun hình hc.

Bài 3. Tìm im M ∈ (H): ( ) 3 52

x y f x

x−= =

− tng khong cách t M n 2

tim cn ca (H) là nh nht.

Gii: y = ( ) 3 5 132 2

x f x x x

−= = +− −

⇒ TC: x = 2 ; TCN: y = 3.

Ly ( )1M ,3 2m m+ − ∈(H), khi ó tng k/c t M n 2 tim cn ca (H) là:

( )M M

1M 2 3 2 22

d x y mm

= − + − = − + ≥−

; Du bng ⇔ ( )

( )

M 1,22 1

M 3,4m

− = ⇔

3

9

1-1

10

O

y

x

A

B

MH

M




67

Bài 4. Tìm im M ∈ (H): ( ) 11

x y f x

x−= =+

tng khong cách t M n 2

trc ta O x, O y là nh nht.

Gii: Ly ( )1M ,1

mmm

−+

∈(H), tng k/c t M n O x, O y là:

( )M M

1M1

md x y mm

−= + = ++

.

ý rng v i M(1, 0) thì d (M) = 1, do ó

tìm Min d (M) ta ch cn xét khi

1 1 10 11 1 1 11

m mmm

m mm

< − < < ⇔ ⇔ < < − < − < + +

( ) ( ) ( )1 2 2M 1 2 2 1 2 2 2 11 1 1

md m m mm m m

−= + = + + − ≥ + ⋅ − = −+ + +

Suy ra( )

( )Min M 2 2 1d = − xy ra ⇔ ( )2 1 M 2 1,1 2m = − ⇔ − −

Bài 5. Tìm trên mi nhánh ca th (C): ( ) 4 93

x y f x x

−= =−

các im M1, M2

dài M1M2 là nh nht.

Gii: ( ) 4 9 343 3

x y f x x x

−= = = +− −

⇒ TC: x = 3 ; TCN: y = 4

Gi( )

( )

1 1 1

2 2 2

M , nhánh trái (C)

M , nhánh (C)

x y

x y

∈

∈

cña

ph¶i cña. Do 1 23 x x< < nên t

1

2

3 ; 0

3 ; 0

x

x

= − α α >

= + β β >

⇒ 1 23 34 ; 4 y y= − = +

α β

⇒ ( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 2 1 2 1M M x x y y= − + −

( ) ( ) ( )2 2 22 23 3 3 61 2 24

= α + β + + = α + β + ≥ αβ ⋅ = α β αβ αβ

1 2Min M M 2 6= ⇔ 3α = β = ⇒ ( ) ( )1 2M 3 3, 4 3 ; M 3 3, 4 3− − + +

Bài 6. Cho th (C): ( )2 5 15

3 x x y f x

x+ += =

+. Tìm M∈(C) khong cách t

M n O x gp 2 ln khong cách t M n O y

Gii: Khong cách t M( x, y) n O x gp 2 ln khong cách t M( x, y) n O y

⇔ 2 2 y x y x= ⇔ = ± . Xét 2 kh năng sau:

2

2 2 2

9 92 3 2 0 3 11 15 03 3

y x y x y x

y x x x x x x

= − = − = − ⇔ ⇔

= + + + + = + + = + +

⇔ x ∈ ∅

y

O x

-11-1

1

M H

K




68

•2

1 612 2 22

9 92 2 0 15 03 3 1 61

y x y x y x x

y x x x x x x y

− ±= = = = ⇔ ⇔ ⇔

= + + − − = + − = + + = − ±

Bài 7. Tìm im M ∈ (C): ( )2 6

3

x x y f x

x

−= =

−

khong cách t M n 2

trc ta O x, O y là nh nht.

Gii: Ly ( )( )M ,m f m ∈(C) ⇒

( ) ( )2 6 6M 4

3 3m md m f m m m m

m m+ −= + = + = + + +

− −

Do M0(2, 0) thì d (M0) = 2 nên tìm Min d (M) ta ch cn xét khi 2m ≤ .

Xét 2 kh năng sau:

• Nu −2 ≤ m ≤ 0 thì ( ) ( ) ( )6 6M 4 43 3

d g m m mm m

= = − + + + = +− −

( )( )2

6 03

g mm

−′ = <−

⇒ ( ) ( ) ( )Min M Min 0 2d g m g= = =

• Nu 0 ≤ m ≤ 2 thì ( ) ( ) ( )6 6M 4 2 43 3

d h m m m mm m

= = + + + = + +− −

( )( )

2

62 0 3 33

h m mm

′ = − = ⇔ = ±−

Nhìn bng bin thiên suy ra:

( ) ( ) ( ) ( )Min M Min 0 2 2d h m h h= = = =

⇔ 0 2m m= ∨ = ⇔ M(0, 2), M(2, 0)

Bài 8. Tìm M ∈ (C): 2 2 21

x x y x+ −=

− khong cách t M n giao 2 ư ng

tim cn ca (C) là nh nht.

Gii: ( ) 131

y f x x x

= = + +−

⇒ TC: x = 1 ; TCX: y = x + 3⇒ I(1, 4)

Ly M(a + 1, b)∈(C) v i a ≠ 0⇒ 14b aa

= + + ; ( ) ( )2 21 1 4 IM a b= + − + −

⇒ ( ) ( )2

2 2 2 2

2 2

1 1 12 2 2 2 2 2 1 2 IM a a a aa a a

= + + = + + ≥ ⋅ + = +

⇒ ( )Min 2 1 2 IM = + xy ra ⇔ 2 2

2 4

1 1 12 22 2

a a aa

±= = ⇔ = ⇔ =

4 4

4 4 4 4

1 1 1 1M 1 , 4 2 M 1 , 4 22 2 2 2

⇔ − − − + + +

hoÆc

x 0 3 3− 2

f ′ + 0 −

f

2

10 4 3−

2




69

Bài 9. Tìm M ∈ (C):2 3 3

2 x x y

x+ +=

+ tng khong cách t M n 2 ư ng

tim cn ca (C) là nh nht.

Gii: ( )2 3 3 11

2 2 x x y f x x

x x+ += = = + +

+ +⇒ TC: x + 2 = 0 ; TCX: x − y + 1 = 0

Ly M( x0, y0)∈(C), khi ó tng khong cách t M n 2 tim cn ca (C) là:

( ) 0 0 40 0 0

0 0

1 1 1M 2 2 2 2 82 2 2 2 2

x yd x x x

x x

− += + + = + + ≥ + ⋅ =

+ +

⇒ ( ) 4Min M 8d = xy ra ⇔ 4

0 04 40

81 1 12 222 2 2 2

x x x

+ = = = ⇔ = − ±+

4 4

4 4 4 4

1 1 1 1M 2 , 1 2 M 2 , 1 22 2 2 2

⇔ − − − − − − + − + +

hoÆc

Bài 10. Tìm trên mi nhánh ca (C): ( )

2 2 51

x x y f x x

− + −= = − các im M1, M2

dài M1M2 là nh nht.

Gii: ( ) 411

f x x x

= − + −−

⇒ TC: x = 1 ; TCX: y = − x + 1

Gi( )

( )

1 1 1

2 2 2

M , nhánh trái (C)

M , nhánh (C)

x y

x y

∈

∈

cña

ph¶i cña. Do 1 21 x x< < nên t

1

2

1 ; 0

1 ; 0

x

x

= − α α >

= + β β >

⇒ 1 24 4; y y= α + = −β −α β

⇒ ( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 2 1 2 1M M x x y y= − + −

( ) ( ) ( )( )

2 22 2 2

284 4 4 41 1 2 1

= α + β + −β − − α − = α + β + + = α + β + + β α αβ αβ αβ

( )( ) ( )

1 22

2 88 4 42 4 2 8 32 2 1 M M 4 2 1 2

≥ ⋅ αβ + = αβ + = + ⇒ ≥ + αβ αβ αβ αβ

Suy ra ( )1 2Min M M 4 2 1 2= + xy ra ⇔ ( )

2 40 và 8 8α = β > αβ = ⇔ α = β =

⇒ ( ) ( )4 44 4 4 41 2M 1 8, 8 2. 2 ;M 1 8, 8 2. 2− + + − −

Bài 11. Cho (Cα): ( )23 cos 4 sin 7

1 x x y f x

xα + α += =

−(cosα ≠ 0).

Tìm α khong cách t O(0, 0) n tim cn xiên ca (Cα) là l n nht.

Gii:

( )23 cos 4 sin 7 4sin 3cos 73 cos 4 sin 3cos

1 1 x x f x x

x xα + α + α + α += = α + α + α +

− −




70

⇒ TCX (∆): 3 cos 4 sin 3cos y x= α + α + α ⇔ 3 cos 4sin 3cos 0 x yα − + α + α =

( )2 2 2

4 10.sin 3. 10 cos4sin 3cosO,

9cos 1 10 sin 10cosd

α + αα + α∆ = =

α + α + α

( ) ( )2

2 2 2BCS

2 2

4 10 3 sin 10cos131010 sin 10 cos

+ α + α ≤ =

α + α ⇒ ( ) 13Min O,

10d ∆ =

Du bng xy ra ⇔ ( )4 10sin 40 40tg arctg3 3 310 cos

k k α = ⇔ α = ⇔ α = + π ∈α

»

Bài 12. Cho th (C): ( )22 1

1 x x y f x

x− += =−

. Tìm ( )1 1M , x y ∈(C) v i 1 1 x >

khong cách t M n giao ca 2 tim cn là nh nht.

Gii: ( )22 1 22 1

1 1 x x f x x

x x

− += = + +− −

⇒ TC: x = 1 ; TCX: y = 2 x + 1 ⇒ I(1, 3)

Ly M(1 + a, b)∈(C) v i a > 0 ⇒ 23 2b aa

= + + .

Khong cách t M n I(1, 3) là: ( ) ( )2 21 1 3 IM a b= + − + −

⇒ ( ) ( )2

2 2 2 2

2 2

2 4 42 5 8 2 5 8 4 2 5 IM a a a aa a a

= + + = + + ≥ ⋅ + = +

Suy ra Min 2 2 5 IM = + xy ra ⇔ 2 2

2 4

4 2 25 2 55 20

a a aa

= = ⇔ = ⇔ =

4

4 4

202 4M 1 ,32

20 20

⇔ + + +

Bài 13. ( thi TS H kh i A nă m 2005)

Tìm m hàm s 1 y mx x

= + có cc tr và khong cách t im cc

tiu ca (Cm) n tim cn xiên ca (Cm) bng 1

2.

Gii. Hàm s có cc tr 2

1 0 y m x

′⇔ = − = có 2 nghim phân bit 0m⇔ > .

Khi ó th có im cc tiu là 1 ; 2 M mm

và khong cách n tim cn

xiên y mx= hay 0mx y− = là

( ) 2

2 2

2 1, 2 1 0 121 1

m m md M d m m m

m m

−= = = ⇔ − + = ⇔ =

+ +

Documents

bài 7 - Tiệm cận và khoảng cách