Bài giảng Toán cao cấp B1 - Đỗ Nguyên Sơn - Trịnh Đức Tài

7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp B1 - Đỗ Nguyên Sơn - Trịnh Đức Tài

http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-toan-cao-cap-b1-do-nguyen-son-trinh-duc-tai 1/170

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏTKHOA TOAÙN - TIN HOÏC

ÑOÃ NGUYEÂN SÔN - TRỊNH ĐỨ C TÀI

TOAÙN CAO CAÁP B1(Baøi Giaûng Toùm Taét)

-- Löu haønh noäi boä --

Ña Lat 2 8



Môc lôc

I. Çc kiÕn thøc c¬ b¶n

1. TËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 TËp hîp-TËp con- TËp hîp b»ng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Çc phÐp to¸n trªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. ¸nh x¹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 Çc ®Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 ¶nh vµ nghÞch ¶nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 §¬n ¸nh- Toµn ¸nh- Song ¸nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Quan hÖ trªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1 Quan hÖ hai ng«i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Quan hÖ t¬ng ®¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Quan hÖ thø tù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Çc cÊu tróc ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1 PhÐp to¸n hai ng«i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Çc cÊu tróc ®¹i sè c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Trêng sè phøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.1 §Þnh nghÜa sè phøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 BiÓu diÔn sè phøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6. §a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.1 Vµnh ®a thøc mét biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2 PhÐp chia Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.3 NghiÖm cña ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.4 S¬ ®å Horner . . . . . . . .20 6.5 §a thøc trªn trêng sè phøc . . . . . . . .206.6 §a thøc trªn trêng sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.7 §a thøc trªn trêng sè h÷u tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.8 Gi¶i ph¬ng tr×nh ®¹i sè b»ng c¨n thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7. Ph©n thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.1 Trêng çc ph©n thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2 Ph©n tÝch ph©h thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28



II. Ma trËn vµ ®Þnh thøc

1. Ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.1 §Þnh nghÜa ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2 Çc ma trËn ®Æc biÖt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3 Çc phÐp to¸n trªn ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4 BiÕn ®æi s¬ cÊp trªn ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2. §Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1 Ho¸n vÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 NghÞch thÕ-Ký sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 §Þnh nghÜa ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 Çc tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Çc ph¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.6 ¸dông ®Þnh thøc tÝnh ma trËn nghÞch ®¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.7 H¹ng cña ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8 HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III. Kh«ng gian vector

1. Kh«ng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.1 §Þnh nghÜa vµ vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.2 Kh«ng gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.3 Kh«ng gian con sinh bëi mét tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.4 C¬ së- Sè chiÒu- Täa ®é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2. Tæng, t Ých, th¬ng çc kh«ng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .622.1 Tæng çc kh«ng gian con- Tæng trùc tiÕp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .622.2 TÝch çc kh«ng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3 Kh«ng gian th¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2 ¶nh vµ nh©n cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3 §¼ng cÊu tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4. PhÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh vµ chÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.1 §æi c¬ së - C«ng thøc ®æi täa ®é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2



4.2 Ma trËn ®ång d¹ng - ChÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 Gi¸ trÞ riªng - Vector riªng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4 Tiªu chuÈn chÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5 ThuËt tãan chÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.6 ThuËt tãan chÐo hãa ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5. D¹ng song tuyÕn tÝnh - D¹ng toµn ph¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.1 D¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2 Ma trËn biÓu diÔn d¹ng song tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3 D¹ng toµn ph¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4 D¹ng chÝnh t¾c cña d¹ng toµn ph¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

5.5 D¹ng x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

IV. PhÐp tÝnh vi ph©n hµm mét biÕn thùc

1. Sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.1 Sè h÷u tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.2 Sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.3 Çc phÐp tãan sè häc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.4 CËn trªn cËn díi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2. D·y sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.1 Kh¸i niÖm d·y sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.2 D·y bÞ chÆn, d·y ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.3 Giíi h¹n d·y sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.4 Çc tÝnh chÊt vµ phÐp to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.5 Çc ®iÒu kiÖn héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.6 Sè e vµ logarithm tù nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3. Hµm mét biÕn thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.1 Kh¸i niÖm hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2 Çc phÐp to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3 Çc lo¹i hµm sè víi tÝnh chÊt ®Æc biÖt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4 Hµm hîp, hµm ngîc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.5 Çc hµm s¬ cÊp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4. Giíi h¹n hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.1 Kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Çc tÝnh chÊt vµ qui t¾c tÝnh giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96



4.3 Giíi h¹n mét phÝa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4 Giíi h¹n v« cïng, giíi h¹n ë v« cïng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.5 V« cïng bÐ, v« cïng lín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5. Hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1 Kh¸i niÖm hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.2 Liªn tôc mét phÝa - §iÓm gi¸n ®o¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.3 Çc tÝnh chÊt cña hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6. §¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1046.1 Kh¸i niÖm ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2 ý nghÜa h×nh häc vµ c¬ häc cña ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.3 Çc tÝnh chÊt vµ qui t¾c tÝnh ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

7. Vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.1 §Þnh nghÜa vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2 ø ng dông cña vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3 Çc qui t¾c tÝnh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.4 §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8. Çc ®Þnh lý c¬ b¶n cña phÐp tÝnh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1108.1 Çc ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.2 Khai triÓn Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9. ø ng dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.1 TÝnh ®¬n ®iÖu - Cùc trÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1i59.2 TÝnh låi, lâm, ®iÓm uèn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

V. PhÐp tÝnh tÝch ph©n hµm mét biÕn

1. Nguyªn hµm - TÝch ph©n bÊt ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191.1 Nguyªn hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1.2 B¶ng tÝnh tÝch ph©n çc hµm s¬ cÊp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1201.3 Çc tÝnh chÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211.4 Çc ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2. T Ých ph©n mét sè líp hµm th«ng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.1 TÝch ph©n çc hµm h÷u tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 212.2 TÝch ph©n çc hµm v« tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125



2.3 TÝch ph©n çc hµm lîng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3. TÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.1 Bµi to¸n diÖn tÝch h×nh thang cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1283.2 §Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.3 Çc líp hµm kh¶ tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.4 Çc tÝnh chÊt cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1303.5 C«ng thøc Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.6 Çc ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.7 ø ng dông h×nh häc cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

4. TÝch ph©n suy réng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.1 TÝch ph©n suy réng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.2 TÝch ph©n suy réng lo¹i 1 cña hµm kh«ng ©m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.3 Sù héi tô tuyÖt ®èi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.4 TÝch ph©n suy réng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

VI. Lý thuyÕt chuçi

1. Çc ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431.1 Chuçi sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431.2 Tiªu chuÈn héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

1.3 Çc tÝnh chÊt cña chuçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2. Chuçi d¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462 . 1 C h u ç i d ¬ n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 62.2 Çc dÊu hiÖu héi tô cña chuçi d¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

3. Chuçi víi dÊu bÊt kú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.1 Chuçi ®an dÊu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.2 Chuçi héi tô tuyÖt ®èi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4. Chuçi hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.1 Kh¸i niÖm chuçi hµm, sù héi tô, héi tô ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.2 Çc tÝnh chÊt cña chuçi hµm héi tô ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5. Chuçi lü thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.1 Kh¸i niÖm chuçi luü thõa, b¸n kÝnh héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.2 Çc tÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155



5.3 Khai triÓn hµm thµnh chuçi lòy thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.4 Khai triÓn mét sè hµm s¬ cÊp thµnh chuçi lòy thõa . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6. Khai triÓn Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586 . 1 C h u ç i l î n g g i ¸ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 86.2 Khai triÓn Fourier cña hµm ch½n, hµm lÎ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1596.3 Khai triÓn Fourier cña hµm tuÇn hoµn cã chu kú kh¸c 2π . . . . . . . . . . 1606.4 Th¸c triÓn tuÇn hoµn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.5 TÝch ph©n Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161



1

I. Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n

1 TËp hîp

1.1 TËp hîp - TËp con - TËp b»ng nhau

TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm nguyªn thñy. TËp hîp ®îc m« t¶ nh mét toµn thÓnµo ®ã bao gåm çc ®èi tîng cã cïng mét dÊu hiÖu hay mét tÝnh chÊt nhÊt ®Þnh.Çc ®èi tîng lËp nªn tËp hîp gäi lµ phÇn tö .

Cã hai çch ®Ó x¸c ®Þnh mét tËp hîp. Mét lµ liÖt kª tÊt c¶ çc phÇn tö cña nã

A = {a1, a2, . . . , an},

hai lµ m« t¶ ®Æc tÝnh cña çc phÇn tö thuéc tËp hîp

A = {a | a cã tÝnh chÊt E}.

NÕu a lµ mét phÇn tö cña cña tËp hîp A, th× ta viÕt a ∈ A. NÕu a kh«ng lµ métphÇn tö cña cña tËp hîp A, th× ta viÕt a /∈ A. TËp hîp kh«ng chøa phÇn tö nµogäi lµ tËp rçng, ký hiÖu lµ ∅.

NÕu mäi phÇn tö cña tËp hîp A ®Òu lµ çc phÇn tö cña tËp hîp X , th× ta nãi A lµtËp con cña X , ký hiÖu A ⊂ X . Râ rµng ta cã ∅ ⊂ X víi mäi tËp hîp X . ÇctËp con cña X lËp thµnh mét tËp hîp , ký hiÖu 2X , vµ gäi lµ tËp hîp çc tËp concña X .Hai tËp hîp A vµ B gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu A = B , nÕu A ⊆ B vµ B ⊆ A.NÕu A ⊆ B vµ A = B, th× ta nãi A lµ tËp con thùc sù cu¶ B, khi ®ã ta viÕtA B.

1.2 Çc phÐp to¸n trªn tËp hîp

§Þnh nghÜa 1. Hîp cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A ∪B, lµ tËp hîp gåm çc phÇn tö hoÆc thuéc A hoÆc thuéc B .

Giao cña hai tËp hîp A vµ B, ký hiÖu A ∩ B, lµ tËp hîp gåm çc phÇn tö võathuéc A võa thuéc B . NÕu A ∩ B = ∅, th× ta nãi A vµ B rêi nhau.



2

HiÖu cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A\

B, lµ tËp hîp gåm çc phÇn tö thuécA nh-ng kh«ng thuéc B. NÕu A lµ tËp con cña X th× hiÖu X \ A gäi lµ phÇnbï cña A trong X .

TÝch trùc tiÕp hay tÝch Descartes cña hai tËp hîp A vµ B, ký hiÖu A × B, lµtËp hîp gåm tÊt c¶ çc cÆp (x, y) víi x ∈ A vµ y ∈ B.

MÖnh ®Ò 1. Cho A,B, C, X lµ çc tËp hîp bÊt kú. Khi ®ã1) ∅ ⊂ A, A ⊂ A.

2) NÕu A ⊂ B vµ B ⊂ C , th× A ⊂ C . 3) (A ∩ B) = (B ∩ A), (A ∪ B) = (B ∪ A).

4) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ). 5) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ), A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).6) Qui t¾c De Morgan

X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B), X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \B).

Chøng minh. Çc c«ng thøc ®îc dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa çc phÐp to¸n trªntËp hîp. Ta chøng minh, ch¼ng h¹n, c«ng thøc De Morgan. ThËt vËy ta cã

x ∈ X \ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ X vµ x /∈ (A ∪ B)⇐⇒ x ∈ X vµ (x /∈ A vµ x /∈ B)

⇐⇒(x

∈X vµ x /

∈A) vµ (x

∈X vµ x /

∈B)

⇐⇒ x ∈ (X \ A) vµ x ∈ (X \B)⇐⇒ x ∈ (X \ A) ∪ (X \ B).

2 ¸nh x¹

2.1 Çc ®Þnh nghÜa

§Þnh nghÜa 2. Cho hai tËp hîp X vµ Y . Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y lµ mét qui

t¾c cho t-¬ng øng mçi phÇn tö x ∈ X víi duy nhÊt mét phÇn tö y ∈ Y . PhÇn tö y gäi lµ ¶nh cña x, ký hiÖu lµ f (x), vµ x ®-îc gäi lµ t¹o ¶nh cña y . TËp hîp X ®-îc gäi lµ tËp nguån hay miÒn x¸c ®Þnh, cßn tËp Y gäi lµ tËp ®Ých hay miÒngi¸ trÞ cña ¸nh x¹ f . Mét ¸nh x¹ th-êng ®-îc viÕt nh- sau

f : X −→ Y x −→ y = f (x).



3

Hai ¸nh x¹ f vµ g gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu f = g , nÕu chóng cã cïng tËpnguån X vµ f (x) = g (x) víi mäi x ∈ X .

VÝ dô. a) T¬ng øng f : R −→ R, x −→ 3√

x, lµ mét ¸nh x¹.b) T¬ng øng IdX : X −→ X , x −→ x, lµ mét ¸nh x¹ gäi lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊttrªn X .c) Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ U ⊂ X . Khi ®ã t¬ng øng f |U :−→ Y x¸c ®Þnhbëi f |U (x) = f (x) víi mäi x ∈ U lµ mét ¸nh x¹, gäi lµ h¹n chÕ cña ¸nh x¹ f lªn bé phËn U .

2.2 ¶nh vµ NghÞch ¶nh

§Þnh nghÜa 3. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ U ⊂ X , V ⊂ Y lµ çc tËp con. Khi®ã tËp hîp

f (U ) = {f (x) | x ∈ U }gäi lµ ¶nh cña tËp U qua ¸nh x¹ f , vµ tËp hîp

f −1(V ) = {x ∈ X | f (x) ∈ V }gäi lµ nghÞch ¶nh cña tËp V qua ¸nh x¹ f .NÕu V = {y}, th× ta viÕt f −1(y) thay cho f −1({y}).

MÖnh ®Ò 2. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ A, B ⊂ X , U, V ⊂ Y . Khi ®ã

1) NÕu A ⊂ B, th× f (A) ⊂ f (B). 2) NÕu U ⊂ V , th× f −1(U ) ⊂ f −1(V ). 3) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B), f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). 4) f −1(U ∪ V ) = f −1(U ) ∪ f −1(V ), f −1(U ∩ V ) = f −1(U ) ∩ f −1(V ).

Chøng minh. Çc c«ng thøc ®îc dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa. Ta chøng minh,ch¼ng h¹n, çc c«ng thøc thø hai trong 3) vµ 4). ThËt vËy, ta cã

∀y ∈ f (A ∩ B) =⇒ ∃x ∈ (A ∩ B) : f (x) = y=⇒ (∃x ∈ A vµ ∃x ∈ B) : f (x) = y=⇒ (∃x ∈ A : f (x) = y) vµ (∃x ∈ B : f (x) = y)=

⇒y

∈f (A) vµ y

∈f (B)

=⇒ y ∈ f (A) ∩ f (B).

Tõ ®ã suy ra f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). T¬ng tù, ta cã

∀x ∈ f −1(U ∩ V ) ⇐⇒ f (x) ∈ U ∩ V ⇐⇒ f (x) ∈ U vµ f (x) ∈ V ⇐⇒ x ∈ f −1(U ) vµ x ∈ f −1(V )⇐⇒ x ∈ f −1(U ) ∩ f −1(V ).



4

VËy f −1(A∩

B) = f −1(A)∩

f −1(B).

NhËn xÐt. §¼ng thøc f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) nãi chung kh«ng ®óng. Ch¼ngh¹n, víi ¸nh x¹ f : R→ [−1, 1] , f (x) = sinx, vµ A = [0, π/2], B = [π/4, π].

2.3 §¬n ¸nh - Toµn ¸nh - Song ¸nh

§Þnh nghÜa 4. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y . ¸nh x¹ f gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu víi mäix1, x2 ∈ X sao cho f (x1) = f (x2), th× suy ra x1 = x2. Nh- vËy, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i kh«ng qu¸ mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f (x).

¸nh x¹ f gäi lµ toµn ¸nh nÕu f (X ) = Y , tøc lµ, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹iÝt nhÊt mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f (x).

¸nh x¹ f gäi lµ song ¸nh nÕu f võa ®¬n ¸nh võa toµn ¸nh. Tøc lµ, víi mçi phÇntö y ∈ Y tån t¹i ®óng mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f (x).

VÝ dô. a) ¸nh x¹ f : R −→ R, x −→ x3, lµ mét song ¸nh. ThËt vËy, víi mçiy ∈ R, ph¬ng tr×nh y = x3 cã duy nhÊt nghiÖm x = 3

√ y.

b) ¸nh x¹ f : R −→ R, x −→ x2, kh«ng ph¶i lµ ®¬n ¸nh, v× víi 1 ∈ R cã hai sè thùc 1,−1, lµ t¹o ¶nh cña 1.

2.4 Çc phÐp to¸n trªn ¸nh x¹

2.4.1 Hîp hai ¸nh x¹

§Þnh nghÜa 5. Cho hai ¸nh x¹ f : X → Y vµ g : Y → Z . Hîp cña f vµ g , kýhiÖu g ◦ f , lµ ¸nh x¹ tõ X vµo Z x¸c ®Þnh bëi g ◦ f (x) = g (f (x)).

VÝ dô. Víi f : R → R, f (x) = x2 vµ g : R→ R, g (x) = x + 2, ta cã

(g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g (x2) = x2 + 2,(f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (x + 2) = (x + 2)2.

NhËn xÐt. Nãi chung g ◦ f = f ◦ g .

MÖnh ®Ò 3. Cho çc ¸nh x¹ f : X → Y , f : Y → Z , h : Z → T . Khi ®ã1) f ◦ IdX = IdY ◦ f = f ,

2) h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f.

Chøng minh. 1) lµ hiÓn nhiªn. 2) suy ra tõ h ◦ (g ◦ f )(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g (f (x))) = (h ◦ g )(f (x)) = (h ◦ g ) ◦ f (x).



5

2.4.2 ¸

nh x¹ ng-îc§Þnh nghÜa 6. ¸nh x¹ f : X −→ Y gäi lµ kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i mét ¸nh x¹g : Y −→ X sao cho

g ◦ f = IdX vµ f ◦ g = IdY .

¸nh x¹ g khi ®ã gäi lµ ¸nh x¹ ng-îc cu¶ ¸nh x¹ f vµ ký hiÖu g = f −1.

NhËn xÐt. ¸nh x¹ ngîc cña f : X −→ Y nÕu tån t¹i lµ duy nhÊt. ThËt vËy, gi¶sö f cã hai ¸nh x¹ ngîc lµ g, g : Y −→ X . Khi ®ã ta cã

g ◦ f = IdX vµ f ◦ g = IdY .

Tõ ®ã suy ra g = g ◦ IdY = g ◦ (f ◦ g

) = (g ◦ f ) ◦ g

= IdX ◦ g

= g

.

MÖnh ®Ò 4. ¸nh x¹ f : X −→ Y kh¶ nghÞch khi vµ chØ khi f lµ song ¸nh. Khi®ã f −1 : Y −→ X ®-îc x¸c ®Þnh bëi

x = f −1(y) ⇔ y = f (x).

Chøng minh. Gi¶ sö f cã ¸nh x¹ ngîc lµ f −1 : Y −→ X . f lµ ®¬n ¸nh v×

víi mäi x, x ∈ X : f (x) = f (x) =⇒ f −1(f (x)) = f −1(f (x))=⇒ (f −1 ◦ f )(x) = (f −1 ◦ f )(x)

=⇒ IdX (x) = IdX (x

)=⇒ x = x.

B©y giê, gi¶ sö y lµ mét phÇn tö bÊt kú cu¶ Y . Khi ®ã tån t¹i x = f −1(y) saocho f (x) = f (f −1(y)) = y. VËy f lµ toµn ¸nh. Suy ra f lµ song ¸nh.Ngîc l¹i, nÕu f : X −→ Y lµ mét song ¸nh th× víi mçi y ∈ Y cã duy nhÊt x ∈ X sao cho y = f (x). §iÒu nµy cho phÐp ta x¸c ®Þnh mét ¸nh x¹ g : Y → X bëix = g (y) ⇔ y = f (x). Ta dÔ dµng kiÓm tra r»ng (g ◦f ) = IdX vµ (f ◦ g ) = IdY .VËy g lµ ¸nh x¹ ngîc cu¶ f .

VÝ dô. a) ¸nh x¹ f : [

−π/2, π/2]

−→[

−1, 1], f (x) = sin x, lµ song ¸nh. ¸nh x¹

ngîc cña f ®îc ký hiÖu lµ f −1(x) = arcsinx, tøc lµ ta cã

y = arcsinx ⇐⇒ x = sin y.

b) Ký hiÖu R>0 lµ tËp çc sè thùc d¬ng. Khi ®ã ¸nh x¹ f : R −→ R>0,f (x) = ex, cã ¸nh x¹ ngîc lµ f −1(x) = ln x. V× ta cã

y = ln x ⇐⇒ x = ey .



6

MÖnh ®Ò 5. Cho f : X →

Y , g : Y →

Z , lµ çc song ¸nh. Khi ®ã f −1 vµ g ◦

f còng lµ song ¸nh vµ ta cã1) (f −1)−1 = f .

2) (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1.

Chøng minh. f −1 vµ g ◦ f lµ song ¸nh lµ dÔ dµng kiÓm tra. §¼ng thøc 1) lµ hiÓnnhiªn. §¼ng thøc 2) suy ra tõ

(g ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ g −1) = g ◦ (f ◦ f −1) ◦ g −1 = g ◦ g −1 = IdZ ,(f −1 ◦ g −1) ◦ (g ◦ f ) = f −1 ◦ (g −1 ◦ g ) ◦ f = f −1 ◦ f = IdX .

3 Quan hÖ trªn mét tËp hîp

3.1 Quan hÖ hai ng«i

§Þnh nghÜa 7. Quan hÖ (hai ng«i) trªn tËp X ®-îc ®Þnh nghÜa lµ mét tËp conR cña tÝch trùc tiÕp X ×X . NÕu cÆp phÇn tö (x, y) ∈ R th× ta nãi x cã quan hÖR víi y vµ ký hiÖu lµ xRy.

VÝ dô. a) Trªn tËp X bÊt kú ta cã quan hÖ b»ng nhau

R = {(x, y) ∈ X × X | x = y} = {(x, x) ∈ X × X | x ∈ X }b) Cho X lµ tËp bÊt kú. Trªn 2X ta cã quan hÖ bao hµm

R = {(A, B) ∈ 2X × 2X | A ⊂ B}

3.2 Quan hÖ t¬ng ®¬ng

§Þnh nghÜa 8. Cho X lµ mét tËp hîp. Mét quan hÖ R trªn X gäi lµ quan hÖt-¬ng ®-¬ng nÕu vµ chØ nÕu nã tháa m·n çc tÝnh chÊt sau ®©y1) Ph¶n x¹: x

Rx, víi mäi x

∈X .

2) §èi xøng: NÕu xRy th× yRx. 3) B¾c cÇu: NÕu xRy vµ yRz th× xRz.

Víi mçi x ∈ X tËp con [x]R := {y ∈ X | yRx} gäi lµ líp t-¬ng ®-¬ng cña x(theo quan hÖ t¬ng ®¬ng R). TËp tÊt c¶ çc líp t¬ng ®¬ng gäi lµ tËp th-¬ngcña X ®èi víi quan hÖ t¬ng ®¬ng R, ký hiÖu lµ

X/R := {[x]R | x ∈ X }.



7

¸nh x¹ X −→

X/R

cho bëi x −→

[x]R lµ mét toµn ¸nh ®îc gäi lµ toµn cÊuchÝnh t¾c.

Ngêi ta thêng sö dông dÊu ∼ ®Ó ký hiÖu mét quan hÖ t¬ng ®¬ng trªn X vµx ∼ y ®äc lµ x t¬ng ®¬ng víi y .

VÝ dô. a) XÐt ¸nh x¹ f : X −→ Y . Khi ®ã quan hÖ

R(f ) = {(x, y) ∈ X × Y | f (x) = f (y)}lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng trªn X . §Æc biÖt víi Y = X vµ f = IdX , R(IdX ) lµquan hÖ b»ng nhau trªn tËp X .

b) XÐt V lµ tËp hîp çc vector h×nh häc. Trªn V cho mét quan hÖ x¸c ®Þnh bëi

xRy :⇐⇒ x = y.

Khi ®ã R lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng vµ tËp th¬ng X/R chÝnh lµ tËp çc vectortù do.

c) Cho n lµ mét sè tù nhiªn. Trªn tËp çc sè nguyªn Z x¸c ®Þnh quan hÖ ®ångd- modulo n nh sau

x ≡ y mod n ⇐⇒ x − y chia hÕt cho n.

DÔ kiÓm tra r»ng ®©y lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng. Líp t¬ng ®¬ng cña m lµtËp con

[m] = {m + nk | k ∈ Z}.

TËp thong cña Z ®èi víi quan hÖ ®ång d modulo n, thêng ®îc ký hiÖu lµ Zn

hay Z/n, gåm n phÇn tö

Z/n = {[0], [1], . . . , [n − 1]}.

3.3 Quan hÖ thø tù §Þnh nghÜa 9. Cho X lµ mét tËp hîp. Mét quan hÖ R trªn X gäi lµ quan hÖthø tù nÕu vµ chØ nÕu nã tho¶ m·n çc tÝnh chÊt sau ®©y1) Ph¶n x¹: xRx, víi mäi x ∈ X .

2) Ph¶n ®èi xø ng: NÕu xRy vµ yRx th× x = y . 3) B¾c cÇu: NÕu xRy vµ yRz th× xRz.



8

Mét tËp hîp X mµ trªn ®ã cã trang bÞ mét quan hÖ thø tù R

gäi lµ tËp s¾p thø tù hay tËp ®-îc s¾p. TËp ®-îc s¾p th-êng ®-îc viÕt lµ (X,R).

Ngêi ta thêng sö dông dÊu ≤ ®Ó ký hiÖu mét quan hÖ thø tù trªn X . Khi ®ãx ≤ y ®îc ®äc lµ x bÐ h¬n hoÆc b»ng y . NÕu x ≤ y vµ x = y th× ta viÕt x < yvµ ®äc lµ x bÐ h¬n y.

VÝ dô. a) Quan hÖ bÐ h¬n hoÆc b»ng ≤ th«ng thêng trªn tËp sè thùc lµ mét quanhÖ thø tù.b) Cho X lµ mét tËp hîp. Quan hÖ bao hµm ⊂ trªn tËp hîp 2X lµ mét quan hÖthø tù.

c) Quan hÖ chia hÕt x | y lµ mét quan hÖ thø tù trªn tËp sè tù nhiªn N.

Trong vÝ dô a) hai phÇn tö x, y bÊt kú ta lu«n lu«n so s¸nh ®-îc, tøc lµ lu«n lu«ncã x ≤ y hoÆc y ≤ x. Mét quan hÖ thø tù trªn tËp X = ∅ mµ mäi cÆp phÇn tö cña X ®Òu so s¸nh ®îc gäi lµ quan hÖ thø tù toµn phÇn. Trong vÝ dô c) kh«ngph¶i hai phÇn tö nµo còng so s¸nh ®îc, ch¼ng h¹n 2 vµ 3, nÕu X cã nhiÒu h¬nmét phÇn tö th× ®iÒu nµy còng x¶y ra trong vÝ dô b). Mét quan hÖ thø tù kh«ngtoµn phÇn gäi lµ quan hÖ thø tù bé phËn.

4 Çc cÊu tróc ®¹i sè

4.1 PhÐp to¸n hai ng«i

4.1.1 §Þnh nghÜa

§Þnh nghÜa 10. Cho X vµ Y lµ hai tËp kh¸c rçng. Mét ¸nh x¹ f : X × X → X ®-îc gäi lµ mét phÐp to¸n (hai ng«i) trªn X . PhÇn tö f (x, y) gäi lµ çi hîpthµnh cña x vµ y.

NÕu f : X ×X → X lµ mét phÐp to¸n trªn X th× ta thêng ký hiÖu çi hîp thµnhf (x, y) bëi xfy. Ngêi ta hay sö dông çc ký tù ®Æc biÖt nh : ∗ , +, ·, , ⊥,

. . ., ®Ó chØ phÐp to¸n. NÕu dïng çc ký tù + vµ ·, th× ta gäi çc phÐp to¸n t¬ngøng lµ phÐp céng vµ phÐp nh©n. Çi hîp thµnh x + y, x · y (thêng ®îc viÕtkh«ng cã dÊu chÊm xy) lóc nµy sÏ ®îc gäi lµ tæng vµ tÝch cña x vµ y .

VÝ dô. a) Trªn tËp sè nguyªn Z çc ¸nh x¹ (x, y) → x + y , (x, y) → xy(phÐp céng vµ phÐp nh©n çc sè nguyªn th«ng thêng) lµ çc phÐp to¸n. ¸nh x¹(x, y) → 2x + 6xy + 5y còng lµ phÐp to¸n trªn Z. Tuy nhiªn ¸nh x¹ (x, y) → xy



9

kh«ng ph¶i lµ mét phÐp to¸n trªn Z v× nãi chung xy kh«ng thuéc Z.b) Çc t¬ng øng (A, B) → A ∪ B, (A, B) → A ∩ B lµ phÐp to¸n trªn tËp çctËp con 2X .c) T¬ng øng (f, g ) → g ◦f lµ phÐp to¸n trªn Map(X ) = {¸nh x¹ f : X → X }.

4.1.2 Çc tÝnh chÊt cña phÐp to¸n hai ng«i

TÝnh giao ho¸n. PhÐp to¸n ∗ : X × X → X gäi lµ giao ho¸n nÕu

a ∗ b = b ∗ a víi mäi a, b ∈ X.

TÝnh kÕt hîp. PhÐp to¸n

∗: X

×X

→X gäi lµ kÕt hîp nÕu

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) víi mäi a,b,c ∈ X.

TÝnh ph©n phèi. Gi¶ sö ∗, : X × X → X lµ hai phÐp to¸n trªn X . PhÐp to¸n∗ gäi lµ ph©n phèi bªn tr¸i ®èi víi phÐp to¸n nÕu víi mäi a, b, c ∈ X ®Òu cã

a ∗ (bc) = (a ∗ b)(a ∗ c).

T¬ng tù, phÐp to¸n ∗ gäi lµ ph©n phèi bªn ph¶i ®èi víi phÐp to¸n nÕu víimäi a, b, c ∈ X ®Òu cã

(bc) ∗ a = (b ∗ a)(c ∗ a).

NÕu ∗ võa ph©n phèi tr¸i võa ph©n phèi ph¶i ®èi víi th× ta nãi phÐp to¸n ∗ cãtÝnh chÊt ph©n phèi ®èi víi .

VÝ dô. Trªn tËp sè tù nhiªn N, phÐp céng vµ phÐp nh©n th«ng thêng cã tÝnh giaoho¸n, kÕt hîp, phÐp nh©n ph©n phèi ®èi víi phÐp céng. PhÐp to¸n (m, n) → mn

kh«ng giao ho¸n còng kh«ng kÕt hîp.

4.1.3 Çc phÇn tö ®Æc biÖt ®èi víi phÐp to¸n hai ng«i

PhÇn tö ®¬n vÞ. Cho ∗ : X ×X → X lµ mét phÐp to¸n trªn X . PhÇn tö e cña X gäi lµ phÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp to¸n

∗ nÕu víi mäi x

∈X ®Òu cã

e ∗ x = x ∗ e = x.

PhÇn tö kh¶ nghÞch. Cho ∗ : X ×X → X lµ mét phÐp to¸n trªn X vµ e lµ phÇntö ®¬n vÞ cña X ®èi víi phÐp to¸n ∗. Ta nãi phÇn tö a ∈ X lµ kh¶ nghÞch nÕutån t¹i mét phÇn tö a ∈ X sao cho

a ∗ a = a ∗ a = e.



10

Khi ®ã phÇn tö a gäi lµ phÇn tö nghÞch ®¶o cña a.

Ngêi ta hay gäi phÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp to¸n céng lµ phÇn tö kh«ng, kÝ hiÖu 0, vµ gäi phÇn tö nghÞch ®¶o cña x lµ phÇn tö ®èi cña x, kÝ hiÖu −x. NÕuphÐp to¸n ®îc viÕt theo lèi nh©n, th× phÇn tö ®¬n vÞ thêng ®îc kÝ hiÖu lµ 1, vµphÇn tö nghÞch ®¶o cña x sÏ ®îc kÝ hiÖu lµ x−1.VÝ dô. a) Trªn tËp 2X , phÇn tö ®¬n vÞ ®èi phÐp to¸n hîp ∪ lµ e = ∅, mäi tËpA = ∅ ®Òu kh«ng kh¶ nghÞch. PhÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp ∩ lµ e = X , mäi tËpA = X ®Òu kh«ng kh¶ nghÞch.b) PhÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp to¸n hîp trªn tËp Map(X ) = {¸nh x¹ f : X → X }lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt IdX . Mäi song ¸nh f trong Map(X ) ®Òu kh¶ nghÞch, vµ

nghÞch ®¶o cña nã lµ ¸nh x¹ ngîc f −

1.

4.2 Çc cÊu tróc ®¹i sè c¬ b¶n

4.2.1 Nhãm

§Þnh nghÜa 11. Mét nhãm lµ mét cÆp (G,∗), trong ®ã G lµ mét tËp hîp kh«ng rçng, cßn ∗ lµ phÐp to¸n hai ng«i trªn G cã tÝnh kÕt hîp, cã phÇn tö ®¬n vÞ vµmäi phÇn tö cña G ®Òu kh¶ nghÞch.

Mét nhãm ®-îc gäi lµ nhãm giao ho¸n hay nhãm Abel nÕu phÐp to¸n trªn nã

cã tÝnh giao ho¸n.

VÝ dô. 1) (Z, +), (Q, +), (R, +)víi phÐp céng çc sè th«ng thêng lµ çc nhãmgiao ho¸n, gäi lµ nhãm céng çc sè nguyªn, sè h÷u tØ, sè thùc .2) (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·) víi phÐp nh©n th«ng thêng lµ çc nhãm giao ho¸n,gäi lµ nhãm nh©n çc sè h÷u tØ vµ sè thùc kh¸c kh«ng.3) Cho tËp hîp X = ∅ ®Æt S (X ) = {f : X → X | f song ¸nh}. Khi ®ã(S (X ), ◦), víi phÐp hîp çc ¸nh x¹ lµ mét nhãm, gäi lµ nhãm çc ho¸n vÞ cña Xhay nhãm ®èi xøng cña X. Trong trêng hîp ®Æc biÖt X = {1, 2, . . . , n} ta viÕtS n = S ({1, 2, . . . , n}). Mçi phÇn tö cña S n gäi lµ mét ho¸n vÞ cña {1, 2, . . . , n}.

4.2.2 Vµnh

§Þnh nghÜa 12. Mét vµnh lµ mét bé ba (R, +, ·), trong ®ã R lµ mét tËp hîpkh«ng rçng, cßn + vµ · lµ çc phÐp to¸n trªn R sao cho: (R, +) lµ mét nhãmgiao ho¸n, phÐp · cã tÝnh kÕt hîp vµ ph©n phèi ®èi víi phÐp céng.

Mét vµnh ®-îc gäi lµ vµnh giao ho¸n nÕu phÐp to¸n · cã tÝnh giao ho¸n. Mét vµnh ®-îc gäi lµ vµnh cã ®¬n vÞ nÕu phÐp to¸n · cã ®¬n vÞ.



11

VÝ dô. 1) (Z, +,·) víi phÐp céng vµ phÐp nh©n çc sè nguyªn th«ng thêng lµ

mét vµnh giao ho¸n gäi lµ vµnh sè nguyªn.2) Víi sè nguyªn d¬ng p cho tríc ®Æt

[m] p := {n ∈ Z | n = m + pt, t ∈ Z} Z p := {[m] p, m ∈ Z}.

DÔ dµng chøng minh ®îc r»ng Z p lµ tËp h÷u h¹n gåm p phÇn tö

Z p := {[0] p, [1] p, . . . , [ p − 1] p}.

Trªn Z p x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n céng vµ nh©n nh sau

[m] p + [n] p = [m + n] p, [m] p[n] p = [mn] p.

Khi ®ã (Z p, +, ·) lµ mét vµnh giao ho¸n gäi lµ vµnh sè nguyªn ®ång d- modulop. Ch¼ng h¹n víi m = 4 ta cã b¶ng céng vµ nh©n trong Z4 nh sau, trong ®ã[m]4 ®îc viÕt lµ m

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

. 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

4.2.3 Tr-êng

§Þnh nghÜa 13. Mét tr-êng lµ mét vµnh giao ho¸n (K, +, ·) cã ®¬n vÞ 1 = 0 vµmäi phÇn tö kh¸c 0 ®Òu kh¶ nghÞch.

VÝ dô. 1) (Q, +, ·) víi phÐp céng vµ phÐp nh©n çc sè h÷u tØ th«ng thêng lµmét trêng, gäi lµ tr-êng sè h÷u tØ.2) (Z p, +, ·), víi p nguyªn tè, lµ mét trêng.

5 Tr-êng sè phøc

5.1 §Þnh nghÜa sè phøc

§Æt C = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R}. Trªn C x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n céng vµnh©n nh sau

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1).



12

Khi ®ã (C, +,·) lµ mét trêng gäi lµ tr-êng sè phøc.

NhËn xÐt. Víi kÝ hiÖu i = (0, 1) ∈ C, ta cã i2 = i · i = (−1, 0). NÕu ®ång nhÊtR víi tËp con {(x, 0) | x ∈ R} cña C, tøc lµ xem x ∈ R nh lµ phÇn tö (x, 0) cñaC, th× khi ®ã R ⊂ C vµ i2 = (−1, 0) ≡ −1.

5.2 BiÓu diÔn sè phøc

5.2.1 D¹ng ®¹i sè cña sè phøc

Tõ ®¼ng thøc (x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) vµ tõ nhËn xÐt ë trªn cã thÓ viÕt mét

sè phøc z = (x, y) bÊt kú díi d¹ng sau

z = x + iy.

D¹ng z = x + iy gäi lµ d¹ng ®¹i sè cña sè phøc z . Çc sè thùc x, y lÇn lît gäilµ phÇn thùc, phÇn ¶o cña z vµ ®îc ký hiÖu lµ Rez, I mz. Sè phøc z = x − iygäi sè phøc liªn hîp víi z . DÔ dµng kiÓm tra çc tÝnh chÊt sau

MÖnh ®Ò 6. .a) z + w = z + w; z w = z · w.b) z + z = 2Rez; z − z = 2iImz; z · z = x2 + y2.

c) z = z ⇐⇒ z ∈ R.d) NÕu z = x + iy = 0, th× z−1 = xx2 + y2

− i yx2 + y2

.

NhËn xÐt. Céng, trõ (tøc céng víi sè ®èi), nh©n , chia (tøc lµ nh©n víi sè nghÞch®¶o) çc sè phøc díi d¹ng ®¹i sè nh sè thùc víi chó ý lµ i2 = 1.

5.2.2 D¹ng l-îng gi¸c cña sè phøc

Cã mét sù t¬ng øng mét-mét gi÷a tËp tÊt c¶ çc sè phøc z = (a, b) víi tËp çc

®iÓm M (a, b) hay vector−→

OM = (a, b) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Descartes Oxy cßn

gäi lµ mÆt ph¼ng phøc, víi

−→

e1 = (1, 0),

−→

e2 = (0, 1) lµ hai vector c¬ së, trôchoµnh gäi lµ trôc thùc, trôc tung gäi lµ trôc ¶o (H.1). Trong çch biÓu diÔn nµyphÐp céng çc sè phøc ®îc biÓu thÞ bëi phÐp céng çc vector h×nh häc.



13

O

M

r

ϕ

a x

b

y

e1

e2

H.1

Gi¶ sö (a, b)= (0, 0), gäi ϕ lµ gãc ®Þnh híng t¹o bëi

−→

e1 vµ−→

OM vµ r lµ ®é dµi

cña vector−→

OM . Khi ®ã ta cã çc liªn hÖ saua = r sin ϕ

b = r cos ϕ

r =

√ a2 + b2

tgϕ = b

a

Do ®ã ta cã mét biÓu diÔn kh¸c cña sè phøc z = (a, b) nh sau

z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

BiÓu thøc z = r(cos ϕ + i sin ϕ) gäi lµ d¹ng l-îng gi¸c cña sè phøc z. Sè thùc

r gäi lµ modul cña sè phøc z , ký hiÖu lµ | z |, cßn ϕ gäi lµ argument cña z, kýhiÖu lµ Argz. TÊt nhiªn cã v« sè argument sai kh¸c nhau k2π, k ∈ Z. Argumentcña ϕ n»m trong kho¶ng (−π, π] gäi lµ gi¸ trÞ chÝnh cña Argz, kÝ hiÖu lµ argz.Nh vËy ta cã

Argz = argz + k2π.

VÝ dô. z = 1 + i√

3 = 2(cos π

3 + i sin

π

3); z = −1 − i =

√ 2(cos

3π

4 − i sin

3π

4 ).

Çc tÝnh chÊt sau ®©y cho thÊy sù thuËn tiÖn cña çch biÓu diÔn sè phøc díid¹ng lîng gi¸c.

MÖnh ®Ò 7. .

a) | z1z2 |=| z1 || z2 |; Arg (z1z2) = Argz1 + Argz2.b)

r(cos ϕ + i sin ϕ)n

= rn(cos nϕ + i sin nϕ) (C«ng thøc Moivre).

Chøng minh. a) Gi¶ sö z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2). Khi®ã

z1, z2 = r1r2(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 + i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2))= r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)),



14

Tõ ®ã ta cã kh¼ng ®Þnh a). Kh¼ng ®Þnh b) suy ra tõ kh¼ng ®Þnh a).

NhËn xÐt. MÖnh ®Ò trªn cho thÊy vÒ mÆt h×nh häc phÐp nh©n sè phøc z víi sè phøc w lµ hîp cña phÐp co d·n vector w theo tØ sè | z | vµ phÐp quay gãc argz(H.2).

O

w

zw

argz

H.2

5.2.3 PhÐp khai c¨n sè phøc

§Þnh nghÜa 14. Cho sè phøc z vµ n ∈ N. Mét c¨n bËc n cña z , ký hiÖu n√

z, lµsè phøc w sao cho wn = z.

MÖnh ®Ò 8. Mçi sè phøc kh¸c kh«ng z = r(cos ϕ + i sin ϕ) cã ®óng n c¨n bËc n®-îc cho bëi

n r(cos ϕ + i sin ϕ) = n√

r(cos ϕ + k2π

n + i sin

ϕ + k2π

n ); k = 0, 1, . . . , n

−1.

Chøng minh. Gi¶ sö w = (cos θ + i sin θ) lµ c¨n bËc n cña z = r(cos ϕ + i sin ϕ).Khi ®ã theo C«ng thøc Moivre ph¬ng tr×nh wn = z ®îc viÕt díi d¹ng

n(cos nθ + i sin nθ) = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Tõ ®ã suy ra

= n

√ r

nθ = ϕ + k2π

VËy ph¬ng tr×nh cã ®óng n nghiÖm

wk = n

√ r(cos ϕ + k2π

n + i sin ϕ + k2π

n ); k = 0, 1, . . . , n − 1.

VÝ dô. a) √ −1 =

√ cos π + i sin π = {cos

π + k2π

2 + i sin

π + k2π

2 , k = 0, 1} =

{i,−i}.

b) n√

1 = {cos k2π

n + i sin

k2π

2 , k = 0, 1, . . . , n − 1}

= {1, ωn, . . . , ωn−1n , víi ωn = cos

2π

n + i sin

2π

n }.



15

6 §a thøc6.1 Vµnh ®a thøc mét biÕn

6.1.1 §Þnh nghÜa

§Þnh nghÜa 15. Cho k lµ mét tr-êng. §a thøc mét biÕn x trªn tr-êng k lµ mét biÓu thøc cã d¹ng

P (x) =ni=0

aixi = a0 + a1x + · · · + anxn,

trong ®ã a0, a1, . . . , an ∈ k gäi lµ çc hÖ tö cña P (x). Trong tr-êng hîpk = Q,R,C, a0, a1, . . . , an gäi lµ hÖ sè .

Hai ®a thøc gäi lµ b»ng nhau nÕu çc hÖ tö cïng bËc cña chóng b»ng nhau. NÕuan = 0 th× n gäi lµ bËc cña P (x), ký hiÖu lµ degP (x), khi ®ã an gäi lµ hÖ tö dÉn®Çu vµ ký hiÖu lµ lcP (x). NÕu ai = 0 víi mäi i th× P (x) gäi lµ ®a thøc kh«ng,ký hiÖu P (x) = 0.

§a thøc P (x) = 0 kh«ng cã bËc. Tuy nhiªn ngêi ta qui íc deg(0) = −∞) ®ÓthuËn tiÖn trong nhiÒu ph¸t biÓu vÒ bËc cña ®a thøc.

NÕu kh«ng quan t©m ®Õn bËc ta thêng viÕt ®a thøc díi d¹ng P (x) = i aixi

lµ tæng v« h¹n nhng chØ cã mét sè h÷u h¹n çc hÖ tö ai kh¸c 0.

6.1.2 Vµnh ®a thøc k[x]

TËp hîp çc ®a thøc víi hÖ tö lÊy trong trêng k ®îc ký hiÖu lµ k[x]. Trªn k [x]x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n céng vµ nh©n nh sau

(i

aixi) + (

i

bixi) =

i

(ai + bi)xi

(i aixi)( j b jx j) = k ckxk, víi ck = i+ j=k aib j.

MÖnh ®Ò 9. (k[x], +, ·) víi phÐp céng vµ nh©n ë trªn lµ mét vµnh giao ho¸n cã®¬n vÞ.

Chøng minh. KiÓm tra tõng ®iÒu kiÖn trong ®Þnh nghÜa vµnh, ch¼ng h¹n ta

chøng minh tÝnh kÕt hîp cña phÐp nh©n. Gi¶ sö A =i

aixi, B =

i

bixi,



16

C = i

cixi. Khi ®ã hÖ tö mang chØ sè k trong tÝch (AB)C lµ

i+ j=k

(

m+n=i

ambn)c j =

m+n+ j=k

ambnc j .

T¬ng tù hÖ tö mang chØ sè k trong tÝch A(BC ) lµm+l=k

am(n+ j=l

bnc j) =

m+n+ j=k

ambnc j .

VËy (AB)C = A(BC ).

Vµnh (k[x], +, ·) gäi lµ vµnh ®a thøc mét biÕn trªn tr-êng k .

6.2 PhÐp chia Euclid

§Þnh lý 1. Cho hai ®a thøc F (x), G(x) ∈ k[x] víi G(x) = 0. Khi ®ã tån t¹i duynhÊt mét cÆp ®a thøc Q(x), R(x) ∈ k[x] sao cho

F (x) = G(x)Q(x) + R(x) víi R(x) = 0 hoÆc degR(x) < degG(x).

Chøng minh. . Sù tån t¹i. (ThuËt to¸n chia Euclide)

NÕu F = 0, th× chän Q = 0 vµ R = 0. NÕu F = 0 vµ degF < degG, th× chänQ = 0, R = F . Ta chØ cßn chøng minh cho trêng hîp : F = 0 vµ degF ≥ degG.

Bíc 1: §Æt R1 = F − lcF

lcGxdegF −degGG ( degR1 < degF ).

. NÕu degR1 < degG, th× ®· ®· chøng minh xong

Q = lcF

lcGxdegF −degG , R = R1.

. NÕu degR1 ≥ degG, th× ®i ®Õn bíc 2.

Bíc 2: §Æt R2 = R1 − lcR1

lcG xdegR1−degGG ( degR2 < degR1)

. NÕu degR2 < degG th× ®· chøng minh xong.

Q = lcF

lcGxdegF −degG +

lcR1

lcG xdegR1−degG , R = R2.



17

. NÕu degR2 ≥

degG th× ®i ®Õn bíc 3.

Cø tiÕp tôc vµ qóa tr×nh sÏ dõng l¹i sau mét sè h÷u h¹n bíc v× nã g¾n liÒn víimét d·y gi¶m çc sè tù nhiªn

... < degR3 < degR2 < degR1 < degF.

TÝnh duy nhÊt. Gi¶ sö cã mét cÆp ®a thøc Q(x), R(x) kh¸c tho¶ tÝnh chÊt ®·nªu trong §Þnh lý. Khi ®ã

G(x)Q(x)+R(x) = G(x)Q(x)+R(x) hay G(x)(Q(x)−Q(x)) = R(x)−R(x).

Gi¶ sö R(x) − R(x) = 0. Khi ®ã ta cã

deg(R(x)−R(x)) = degG(x)(Q(x)−Q(x)) = degG(x)+deg(Q(x)−Q(x)) ≥ degG(x).

§iÒu nµy m©u thuÈn víi gi¶ thiÕt degR(x) < degG(x), degR(x) < degG(x).VËy R(x) − R(x) = 0 vµ tõ ®ã Q(x) − Q(x) = 0.

§Þnh nghÜa 16. §a thøc Q(x) vµ R(x) trong §Þnh lý trªn lÇn l-ît ®-îc gäi lµth-¬ng vµ phÇn d- cña phÐp chia ®a thøc F (x) cho G(x). NÕu R(x) = 0 th× ®athøc F (x) gäi lµ chia hÕt cho G(x), khi ®ã G(x) gäi lµ mét -íc cña F (x) vµký hiÖu lµ G(x)

|F (x).

§a thøc C (x) ®-îc gäi lµ -íc chung lín nhÊt cña hai ®a thøc F 1(x) vµ F 2(x),ký hiÖu C (x) = gcd (F 1(x), F 2(x)), nÕu vµ chØ nÕua) C (x) | F 1(x) vµ C (x) | F 2(x),b) nÕu D(x) | F 1(x) vµ D(x) | F 2(x) th× D(x) | C (x).

VÝ dô. T×m th¬ng vµ phÇn d cña phÐp chia 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6 chox2 − 3x + 1. ThuËt to¸n chia ®îc thùc hiÖn theo s¬ ®å sau

2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6 |x2 − 3x + 12x4 − 6x3 + 2x2 2x2 + 3x + 11

R1 = 3x3 + 2x2 − 5x + 6

3x3

− 9x2

+ 3xR2 = 11x2 − 8x + 6

11x2 − 33x + 11R3 = − 25x − 5

Tõ ®ã ta cã 2x4− 3x3 + 4x2− 5x + 6 = (x2− 3x + 1)(2x2 + 3x + 11)− 25x − 5.



18

NhËn xÐt. a) NÕu C (x) |

D(x) vµ D(x) |

C (x) th× C (x) = aD(x), víi a ∈

k.Nh vËy çc íc chung lín nhÊt cña hai ®a thøc sai kh¸c nhau mét ®a thøc bËc0.b) NÕu F = Q · G + R th× gcd(F, G) = gcd(G, R). NhËn xÐt nµy cho ta çch t×míc chung lín nhÊt cña hai ®a thøc b»ng çch thùc hiÖn liªn tiÕp çc phÐp chia.

§Þnh lý 2. Cho hai ®a thøc P 0(x), P 1(x) bÊt kú trong k[x]. Khi ®ãa) ¦íc chung lín nhÊt cña P 0(x) vµ P 1(x) tån t¹i.b) Tån t¹i U (x), V (x) ∈ k[x] sao cho

gcd(P 0(x), P 1(x)) = U (x)P 0(x) + V (x)P 1(x) (§¼ng thøc BÐzout)

Chøng minh. a) ThuËt to¸n t×m -íc chung lín nhÊt.Bíc 1. Chia P 0 cho P 1: P 0 = Q1P 1 + P 2.

. NÕu P 2 = 0 th× gcd(P 0, P 1) = P 1.

. NÕu P 2 = 0 (khi ®ã degP 2 < degP 1) th× ®i ®Õn bíc 2.

Bíc 2. Chia P 1 cho P 2: P 1 = Q2P 2 + P 3.. NÕu P 3 = 0 th× gcd(P 0, P 1) = P 2.. NÕu P 3 = 0 (khi ®ã degP 3 < degP 2) th× ®i ®Õn bíc 3.

Cø tiÕp tôc vµ qóa tr×nh sÏ dõng l¹i sau mét sè h÷u h¹n bíc v× nã g¾n liÒn víi

mét d·y gi¶m çc sè tù nhiªn

... < degP 3 < degP 2 < degP 1.

Gi¶ sö qu¸ tr×nh dõng ë bíc thø n, tøc lµ P n−1 = QnP n. Khi ®ã

gcd(P 0, P 1) = gcd(P 1, P 2) = · · · = gcd(P n, 0) = P n.

b) ViÖc thùc hiÖn çc bíc chia ®a thøc ë phÇn a) cung cÊp çc d·y ®a thøc(U 0, U 1, . . . , U n) vµ (V 0, V 1, . . . , V n) tho¶

P k = U kP 0 + V kP 1, k = 0, 1, . . . , n . (

∗)

ThËt vËy, râ rµng P 0 = 1 · P 0 + 0 · P 1 , P 1 = 0 · P 0 + 1 · P 1.Gi¶ sö (∗) ®óng ®Õn k − 1, tøc lµ ta cã

P k−2 = U k−2P 0 + V k−2P 1,P k−1 = U k−1P 0 + V k−1P 1.



19

Khi ®ãP k = P k−2 − Qk−1P k−1

= U k−2P 0 + V k−2P 1 − Qk−1(U k−1P 0 + V k−1P 1)= (U k−2 − Qk−1U k−1)P 0 + (V k−2 − Qk−1V k−1)P 1)= U kP 0 + V kP 1.

Tõ ®ã, gcd(P 0, P 1) = P n = U nP 0 + V nP 1.Chó ý r»ng U = U n, V = V n ®îc tÝnh bëi çc c«ng thøc truy håi

U 0 = 1U 1 = 0U n = U n−2 − Qn−1U n−1

,V 0 = 0V 1 = 1V n = V n−2 − Qn−1V n−1

.

VÝ dô. T×m íc chung lín nhÊt cña P 0(x) = x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 vµP 1(x) = x3 + x2−x−1. ThuËt to¸n t×m íc chung lín nhÊt ®îc thùc hiÖn trongb¶ng díi ®©y

k P k−1 P k Qk P k+1

1 x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 x3 + x2 − x− 1 x2 + x + 2 2x2 + 5x + 3

2 x3 + x2 − x− 1 2x2 + 5x + 31

2x2 −

3

4

5

4x +

5

4

3 2x2 + 5x + 3 5

4x +

5

4

8

5x +

12

50

4 5

4x +

5

40

U 0 = 1U 1 = 0U 2 = U 0

−Q1U 1 = 1

U 3 = U 1 − Q2U 2 = −12

x2 + 34

,

V 0 = 0V 1 = 1V 2 = V 0

−Q1V 1 =

−x2

−x

−2

V 3 = V 1 − Q2V 2 = 1 − (12

x2 − 34

)(−x2 − x − 2)

.

VËy gcd(P 0, P 1) = 5

4x +

5

4 = (−1

2x2 +

3

4)P 0 + (1 − (

1

2x2− 3

4)(−x2−x− 2))P 1.



20

6.3 NghiÖm cña ®a thøc

§Þnh nghÜa 17. Cho ®a thøc f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn ∈ k[x] vµc ∈ k. Ta gäi phÇn tö

f (c) := a0 + a1c + a2c2 + · · · + ancn ∈ k

lµ gi¸ trÞ cña ®a thøc f (x) t¹i x = c.

NÕu f (c) = 0, th× c gäi lµ nghiÖm cña ®a thøc f (x) hay lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®¹i sè f (x) = 0.

§Þnh lý 3. (BÐzout) PhÇn tö c ∈ k lµ nghiÖm cña ®a thøc f (x) ∈ k[x] khi vµ chØ khi tån t¹i ®a thøc q(x) ∈ k[x], sao cho f (x) = (x − c)q(x).

Chøng minh. Chia f (x) cho x − c ta ®îc f (x) = (x− c)q(x) + r, víi r ∈ k. Suyra f (c) = r. Tõ ®ã f (c) = 0 khi vµ chØ khi r = 0 hay f (x) = (x − c)q(x)

§Þnh nghÜa 18. PhÇn tö c ∈ k gäi lµ nghiÖm béi m cña ®a thøc f (x) ∈ k[x]nÕu f (x) = (x − c)mq(x) vµ q(c) = 0. NÕu m = 1 ta gäi c lµ nghiÖm ®¬n. NÕum = 2, th× c gäi lµ nghiÖm kÐp.

6.4 S¬ ®å Horner

Cho f (x) = a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn vµ q(x) = b0+b1x+b2x2+· · ·+bn−1xn−1.NÕu f (x) = (x − c)q(x) + r, th× ta cã

bn−1 = an, bk = ak+1 + cbk+1, k = 0, 1, . . . , n − 2, vµ r = f (c) = a0 + cb0.

Tõ ®ã ®Ó t×m f (c) vµ th¬ng cña phÐp chia f (x) cho x − c ta thêng sö dông s¬ ®å Horner sau ®©y, trong ®ã mçi phÇn tö ë dßng thø hai b»ng phÇn tö ë trªn nãcéng víi c lÇn phÇn tö ®øng tríc nã.

an an−1 . ak . a1 a0

bn−1 = an bn−2 = an−1 + cbn−1 . bk−1 = ak + cbk . b0 = a1 + cb1 r = a0 + cb0

6.5 §a thøc trªn trêng sè phøc

§Þnh lý sau ®©y lµ nÒn t¶ng trong lý thuyÕt çc ®a thøc trªn trêng sè gäi lµ §Þnhlý c¬ b¶n cña ®¹i sè. Cã rÊt nhiÒu çch chøng minh kh¸c nhau cña §Þnh lý c¬ b¶n, nhng ta sÏ kh«ng tr×nh bµy chóng ë ®©y.



21

§Þnh lý 4. (§Þnh lý c¬ b¶n cña ®¹i sè) Mäi ®a thøc f (x) bËc n≥

1 trªn tr-êng sè phøc ®Òu cã nghiÖm phøc.

MÖnh ®Ò 10. Mäi ®a thøc f (x) bËc n ≥ 1 trong C[x] ®Òu cã ®óng n nghiÖm phøckÓ c¶ béi (tøc lµ mçi nghiÖm ®-îc tÝnh mét sè lÇn b»ng béi cña nã). Nãi çchkh¸c, ®a thøc f (x) ®-îc ph©n tÝch thµnh çc thõa sè bËc 1 nh- sau

f (x) = an(x − c1)m1(x − c2)m2 · · · (x − cs)ms,

trong ®ã an = lcf (x), m1 + m2 + · · · + cs = n.

Chøng minh. Theo §Þnh lý c¬ b¶n, f (x) cã nghiÖm c1 ∈ C. §Þnh lý BÐzout

suy ra f (x) = (x − c1)f 1(x). LËp luËn t¬ng tù nh trªn cho ®a thøc f 1(x) nÕudegf 1(x) = n − 1 ≥ 1. Cø tiÕp tôc cho ®Õn bËc 0, ta ®îc f (x) = (x − c1)(x −c2) · · · (x − cn)A, víi A ∈ C. Nhãm çc thõa sè gièng nhau vµ viÕt chóng díid¹ng lòy thõa, suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.

6.6 §a thøc trªn trêng sè thùc

MÖnh ®Ò 11. Cho ®a thøc f (x) ∈ R[x]. Khi ®ã1) NÕu sè phøc c lµ nghiÖm cña f (x), th× sè phøc liªn hîp c còng lµ nghiÖm cñaf (x).

2) NÕu degf (x) = n, th× f (x) ph©n tÝch ®-îc thµnh tÝch çc ®a thøc bËc 1 vµ ®athøc bËc 2 nh- sau

f (x) = an(x − c1)m1 · · · (x − cs)ms(x2 + p1x + q1)n1 · · · (x2 + prx + qr)nr ,

trong ®ã an = lcf (x), ci(i = 1, . . . , s) ∈ R, x2 + pkx + qk(k = 1, . . . , r) lµ çctam thøc bËc hai kh«ng cã nghiÖm thùc.

3) NÕu degf (x) = n lµ lÎ, th× f (x) cã nghiÖm thùc.

Chøng minh. 1) Gi¶ sö f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn ∈ R[x]. Khi ®ã víimäi c ∈ C ta cã

f (c) = a0 + a1c + a2c2 + · · · + ancn = a0 + a1c + a2c2 + · · · + ancn = f (c).

Tõ ®ã f (c) = 0 khi vµ chØ khi f (c) = 0.2) Theo ®Þnh lý ph©n tÝch ®a thøc trªn trêng sè phøc

f (x) = an(x − c1)m1(x − c2)m2 · · · (x − cs)ms.



22

NÕu ck = a + bi∈C, th× nh©n tö (x

−ck) cïng víi (x

−ck) (®Ó ý ®Õn kÕt qu¶ 1)

sÏ lËp thµnh tam thøc

(x − ck)(x − ck) = x2 − 2ax + a2 + b2 = (x − a)2 + b2.

V× b = 0 nªn tam thøc nµy kh«ng cã nghiÖm thùc.3) Theo 1) vµ 2) nÕu degf (x) lµ lÎ th× trong ph©n tÝch f (x) ph¶i chøa thõa sè (x − c) víi c ∈ R, tøc lµ f (x) cã nghiÖm thùc.

6.7 §a thøc trªn trêng sè h÷u tû

Ta ®Æt vÊn ®Ò ®i t×m nghiÖm h÷u tû cña mét ®a thøc trªn trêng sè h÷u tû. B»ng

phÐp qui ®ång mÉu sè, viÖc t×m nghiÖm cña mét ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû ®îc®a vÒ viÖc t×m nghiÖm cña mét ®a thøc víi hÖ sè nguyªn.

MÖnh ®Ò 12. NÕu sè h÷u tû p

q, víi gcd( p, q) = 1, lµ nghiÖm cña ®a thøc víi hÖ

sè nguyªn

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn; ak ∈, k = 0, 1, . . . , n; an = 0,

th× p lµ -íc cña a0 vµ q lµ -íc cña an.

Chøng minh. V× p

q lµ nghiÖm cña f (x) nªn ta cã

a0qn + a1qn−1 p + a2qn−2 p2 +

· · ·+ an−1qpn−1 + an p

n = 0.

Suy ra p lµ íc cña a0qn, vµ q lµ íc cña an pn. Do p vµ q lµ nguyªn tã cïng nhaunªn p lµ íc cña a0 vµ q lµ íc cña an.

Tõ MÖnh ®Ò trªn, muèn t×m nghiÖm h÷u tû cña ®a thøc víi hÖ sè nguyªn

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn; ak ∈, k = 0, 1, . . . , n; an = 0,

ta t×m tÊt c¶ çc íc p cña hÖ sè tù do a0 vµ tÊt c¶ çc íc cña hÖ sè dÉn ®Çu an,

råi kiÓm tra çc sè p

q cã ph¶i lµ nghiÖm cña f (x) hay kh«ng.

6.8 Gi¶i ph¬ng tr×nh b»ng c¨n thøcMét ph¬ng tr×nh bËc n ≥ 1 víi hÖ sè phøc

anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = 0, (ai ∈ C),

gäi lµ gi¶i ®uîc b»ng c¨n thøc nÕu çc nghiÖm cña nã cã thÓ biÓu diÔn qua çchÖ sè cña ph¬ng tr×nh b»ng çc phÐp to¸n céng, trõ, nh©n, chia, lòy thõa vµ khaic¨n.



23

6.8.1 Ph-¬ng tr×nh bËc 1: ax + b = 0(a= 0)

DÔ dµng thÊy r»ng ph¬ng tr×nh ax + b = 0 cã nghiÖm lµ x = − b

a.

6.8.2 Ph-¬ng tr×nh bËc 2: ax2 + bx + c = 0(a = 0)

Chia hai vÕ cho a: x2 + b

ax +

c

a = 0.

Khö sè h¹ng bËc 1 b»ng çch ®Æt X = x + b

2a, ®a vÒ ph¬ng tr×nh cã d¹ng

X 2 − b

2

− 4ac(2a)2 = 0.

Suy ra X = ±√

b2 − 4ac

2a = ±

√ ∆

2a .

VËy, ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm lµ x = −b ±√

∆

2a .

6.8.3 Ph-¬ng tr×nh bËc 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0(a = 0)


a

x2 + c

a

x + d

a

= 0.


3a, ta cã ph¬ng tr×nh

X 3 + pX + q = 0. (1)

§Æt X = u + v, ph¬ng tr×nh cã d¹ng

u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0.

T×m u vµ v tho¶ hÖ ph¬ng tr×nh

u3 + v3 = −q

uv = − p

3 (∗)

hayu3 + v3 = −q

u3v3 = − p3

27.

(2)

Khi ®ã u3, v3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai

Z 2 + qZ − p3

27 = 0.



24

VËy ta cã

u3 = −q

2 +

q2

4 +

p3

27 = Z 1

v3 = −q

2 −

q2

4 +

p3

27 = Z 2

NÕu u0 lµ mét c¨n bËc 3 cña Z 1, v0 lµ mét c¨n bËc 3 cña Z 2 tho¶ (∗), th× çc cÆp

(ωu0, ω2v0), (ω2u0, ωv0) còng tho¶ (∗), víi ω = (cos 2π

3 + i sin

2π

3 ).

VËy ta t×m ®îc 3 cÆp nghiÖm (u, v) cña hÖ (2) lµ (u0, v0), (ωu0, ω2v0), (ω2u0, ωv0).Do ®ã 3 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ

X 1 = u0 + v0, X 2 = ωu0 + ω2v0, X 3 = ω2u0 + ωv0.

Cuèi cïng nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax3 + bx2 + cx + d = 0 ®îc cho bëi c«ngthøc Cardano

x = − b

3a +

3

−q

2 +

q2

4 +

p3

27 +

3

−q

2 −

q2

4 +

p3

27

C«ng thøc nµy cho thÊy mét ph¬ng tr×nh bËc 3 gi¶i ®îc b»ng c¨n thøc. VÒ mÆtthùc hµnh nã kh«ng ph¶i lµ mét c«ng thøc tiÖn Ých.

VÝ dô. Gi¶i ph¬ng tr×nh −2x3 + 18x2 − 42x + 10.

Chia cho −2: x3 − 9x2 + 21x − 5 = 0§Æt x = X + 3, ta cã ph¬ng tr×nh X 3 − 6X + 4 = 0. (1)§Æt X = u + v, ta cã ph¬ng tr×nh u3 + v3 + (3uv − 6)(u + v) + 4 = 0.T×m u vµ v tho¶ hÖ ph¬ng tr×nh

u3 + v3 = −4

uv = 2hay

u3 + v3 = −4

u3v3 = 8.

Khi ®ã u3, v3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai Z 2 + 4Z + 8 = 0.VËy ta cã

u3 = −2 + 2i =

√ 8(cos

3π

4 + i sin

3π

4 )

v3 = −2 − 2i =√

8(cos−3π

4 + i sin

−3π

4 )



25

Ta chän

u0 = 6√ 8(cos

3π12

+ i sin 3π12

) = 1 + i

v0 = 6√

8(cos−3π

12 + i sin

−3π

12 ) = 1 − i

Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ

X 1 = u0 + v0 = 2

X 2 = ωu0 + ω2v0 =

−1

2 +

√ 3

2 i

(1 + i) +

−1

2 −

√ 3

2 i

(1 − i) = −1 −√

3.

X 3 = ω2u0 + ωv0 =−1

2 − √ 3

2 i

(1 + i) +−1

2 +

√ 32

i

(1 − i) = −1 +√

3.

Tõ ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm : x1 = 5, x2 = 2 +√

3, x3 = 2 −√ 3.

6.8.4 Ph-¬ng tr×nh bËc 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0(a = 0)


ax3 +

c

ax2 +

d

ax

e

a = 0.


4a, ®a vÒ ph¬ng tr×nh cã d¹ng

X 4 + pX 2 + qX + r = 0.

NÕu q = 0, ®a vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai theo X 2.NÕu q = 0, ph©n tÝch X 4 + pX 2 + qX + r = (X 2 + αX + β )(X 2−αX + γ ).§ång nhÊt hÖ sè suy ra α, β,γ lµ ngiÖm cña hÖ

γ + β = p + α2

γ − β = q

αγβ = r

Hai ph¬ng tr×nh ®Çu tiªn cña hÖ cho: γ = 12

( p + α2 + qα

), β = 12

( p + α2 − qα

).

ThÕ çc biÓu thøc nµy vµo ph¬ng tr×nh cuèi ta ®¬c ph¬ng tr×nh bËc 3 theo α2:

α2( p + α2)2 − 4rα2 − q2 = 0.

Gi¶i ra α, β,γ , thay vµo ph©n tÝch ë trªn , ta cã hai ph¬ng tr×nh bËc 2.VËy phÐp gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc 4 ®îc ®a vÒ gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc 3



26

vµ hai ph¬ng tr×nh bËc 2. Suy ra r»ng ph¬ng tr×nh bËc 4 gi¶i ®¬c b»ng c¨n thøc.

VÝ dô. Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 + 2x3 + 5x2 + 6x + 9 = 0.

§Æt x = X − 1

2, ®a vÒ ph¬ng tr×nh cã d¹ng

X 4 + 7

2X 2 + 2X +

113

16 = 0.(1)

Ph©n tÝch X 4 + 7

2X 2 + 2X +

113

16 = (X 2 + αX + β )(X 2 − αX + γ ).

§ång nhÊt hÖ sè suy ra α, β,γ lµ ngiÖm cña hÖ

γ + β =

7

2 + α

2

γ − β = 2

α

γβ = 113

16

Hai ph¬ng tr×nh ®Çu cña hÖ cho:

γ = 1

2(

7

2 + α2 +

2

α), β =

1

2(

7

2 + α2 − 2

α).

ThÕ çc biÓu thøc nµy vµo ph¬ng tr×nh cuèi ta ®îc ph¬ng tr×nh bËc 3 theo α2:(α2)3 + 7(α2)2 − 16α2 − 4 = 0.

Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc 3, ta thÊy cã mét nghiÖm α2 = 2. Suy ra

γ = 11 + 2

√ 2

4 , β =

11 − 2√

2

4 .

VËy viÖc gi¶i (1) qui vÒ gi¶i hai ph¬ng tr×nh bËc 2:

X 2 +√

2X + 11 − 2

√ 2

4 = 0, X 2 −

√ 2X +

11 + 2√

2

4 = 0

Gi¶i çc ph¬ng tr×nh bËc hai ë trªn, ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ

X 1,2 = −√

2 ±

9 − 2√

2 i

2 ; X 3,4 =

√ 2 ±

9 + 2

√ 2 i

2 .

Cuèi cïng nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ

x1,2 = −1

2 +

−√ 2 ±

9 − 2

√ 2 i

2 ; x3,4 = −1

2 +

√ 2 ±

9 + 2

√ 2 i

2 .



27

6.8.5 Ph-¬ng tr×nh bËc n≥

5

Niels Henrik ABEL(1802-1829), mét nhµ To¸n häc ngêi Na Uy, ®· chØ ra trong"Nghiªn cøu vÒ ph-¬ng tr×nh ®¹i sè (1824)" r»ng mét ph¬ng tr×nh bËc ≥ 5 tængqu¸t kh«ng gi¶i ®îc b»ng c¨n thøc. Sau ®ã, Evariste GALOIS (1811-1832), nhµTo¸n häc ngêi Ph¸p, ®· sö dông lý thuyÕt nhãm ®Ó t×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ dÓcho mét ph¬ng tr×nh ®¹i sè gi¶i ®îc b»ng c¨n thøc.

7 Ph©n thøc

7.1 Trêng çc ph©n thøc

§Þnh nghÜa 19. Cho P (x), Q(x) ∈ k[x] vµ Q(x) = 0. Ta ký hiÖu P (x)

Q(x) vµ gäi lµ

mét ph©n thøc trªn tr-êng k .

Hai ph©n thøc P (x)

Q(x) vµ

R(x)

S (x) gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu

P (x)

Q(x) =

R(x)

S (x), nÕu vµ

chØ nÕu P (x)S (x) = Q(x)R(x).

Mäi ®a thøc P (x)

∈ k [x] còng ®îc xem nh lµ mét ph©n thøc b»ng çch ®ång

nhÊt P (x) víi ph©n thøc P (x)1

. Ta ký hiÖu k(x) lµ tËp hîp çc ph©n thøc trªn

trêng k

k(x) := {P (x)

Q(x) | P (x), Q(x) ∈ k[x], Q(x) = 0}.

Trªn k(x) ta ®Þnh nghÜa hai phÐp to¸n céng vµ nh©n nh sau:

P (x)

Q(x) +

R(x)

S (x) =

P (x)S (x) + R(x)Q(x)

Q(x)S (x)

P (x)

Q(x) · R(x)

S (x) =

P (x)R(x)

Q(x)S (x)

§Þnh nghÜa trªn lµ ®óng ®¾n v× nÕu

P (x)

Q(x) =

P (x)

Q(x) vµ

R(x)

S (x) =

R(x)

S (x)



28

th×

P (x)

Q(x) +

R(x)

S (x) =

P (x)

Q(x) +

R(x)

S (x) vµ

P (x)

Q(x)· R(x)

S (x) =

P (x)

Q(x) · R

(x)

S (x).

Cã thÓ kiÓm chøng dÔ dµng r»ng phÐp céng cã tÝnh giao ho¸n, kÕt hîp, phÇn tö

kh«ng lµ ®a thøc kh«ng, phÇn tö ®èi cña P (x)

Q(x) lµ

−P (x)

Q(x) ; phÐp nh©n giao ho¸n,

cã phÇn tö ®¬n vÞ lµ 1, nghÞch ®¶o cña P (x)

Q(x) = 0 lµ

Q(x)

P (x); phÐp nh©n ph©n phèi

®èi víi phÐp céng. Tõ ®ã (k(x), +,·) lµ mét trêng gäi lµ tr-êng çc ph©n thøc.

7.2 Ph©n tÝch mét ph©n thøc thµnh çc ph©n thøc ®¬n gi¶n

§Þnh lý 5. Cho P (x), Q(x) ∈ k[x]. Gi¶ sö Q(x) cã ph©n tÝch d¹ng

Q(x) = Qk11 (x)Qk2

2 (x) · · · Qkss (x)

trong ®ã gcd(Qi(x), Q j(x)) = 1 víi mäi i = j . Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt çc ®a thøc A(x), P ij ∈ k[x], i = 1, . . . , s; j = 1, . . . , ki,sao cho deg(P ij) < deg(Qi) vµ

P (x)Q(x)

= A(x) +s

i=1

ki j=1

P ij(x)

Q ji (x)

.

Chøng minh. Ta cÇn bæ ®Ò sau

Bæ ®Ò 1. Cho D1(x), D2(x) ∈ k[x] víi gcd(D1(x), D2(x)) = 1 vµ F (x) lµ mét ®a thøc bÊt kú víi deg F (x) < deg D1(x)+deg D2(x). Khi ®ã tån t¹i hai ®a thøcV 1(x), V 2(x) sao cho Chia

F (x) = V 2(x)D1(x) + V 1(x)D2(x),

trong ®ã deg V 1(x) < deg D1(x) vµ deg V 2(x) < deg D2(x).Chøng minh Bæ ®Ò: Tõ g cd(D1(x), D2(x)) = 1, ta cã ®¼ng thøc BÐzout

1 = U 1(x)D1(x) + U 2(x)D2(x).

Nh©n hai vÕ cña ®¼ng thøc trªn víi F (x) ta ®îc

F (x) = F (x)U 1(x)D1(x) + F (x)U 2(x)D2(x). (1)



29

Chia ®a thøc F (x)U 1(x) cho D

2(x):

F (x)U 1(x) = B(x)D2(x) + V 2(x), (2)

trong ®ã, deg V 2(x) < deg D2(x). Thay (2) vµo (1) ta ®îc

F (x) = V 2(x)D1(x) +

B(x)D1(x) + F (x)U 2(x) V 1(x)

D2(x)

= V 2(x)D1(x) + V 1(x)D2(x).

V× deg F < deg D1 +deg D2 vµ deg V 2D1 = deg V 2 +deg D1 < deg D2 +deg D1,suy ra

deg V 1 + deg D2 = deg V 1D2 = deg(F − V 2D1) < deg D1 + deg D2.

Tõ ®ã, deg V 1(x) < deg D1(x). Bæ ®Ò ®îc chøng minh.Chøng minh §Þnh lý: Tån t¹i ph©n tÝch. Chia P cho Q

P

Q = A +

F

Q, víi deg F < deg Q.

§Æt D1 = Qk11 , D2 = Qk2

2 · · ·Qkss . Khi ®ã gcd(D1, D2) = 1 vµ Q = D1D2. Tõ

Bæ ®Ò, ta cã biÓu diÔn

F

Q =

V 2D1 + V 1D2

D1D2=

V 1D1

+ V 2D2

, víi deg V i < deg Di.

LËp luËn t¬ng tù cho V 2D2

, sau mét sè h÷u h¹n bíc ta cã ph©n tÝch

F

Q =

P 1

Qk11

+ P 2

Qk22

+ · · · + P s

Qks1

.

Víi mçi i ∈ {1, . . . , s} xÐt ph©n thøc P i

Q

ki

1

. Thùc hiÖn çc phÐp chia

P i = Qki−1i P i1 + r2

r2 = Qki−2i P i2 + r2

...rki−1 = QiP i,ki−1 + P ki ,



30

trong ®ã deg P ij < deg Qi, ∀ j = 1, . . . , ki. Suy ra ph©n tÝch P iQki

1=

ki j=1

P ijQ j

1.

Sù duy nhÊt. Gi¶ sö cã ph©n tÝch kh¸c, tøc lµ tån t¹i A, P ij ∈ k[x] sao cho

P

Q = A +

si=1

ki j=1

P ij

Q ji

, degP ij < degQi

Ta cã A = A do tÝnh duy nhÊt cña phÐp chia Euclide. Trõ hai biÓu thøc ta cã

s

i=1

ki

j=1

P ij − P ij

Q ji= 0. (

∗)

Gi¶ thiÕt ph¶n chøng, P 1k1 − P 1k1 = 0. Nh©n (*) víi Q, ta cã

(P 1k1 −P 1k1)Qk22 · · ·Qks

s + Q1U = 0, víi U ∈ k[x]

Do gcd(Q1, Qk22 · · · Qks

s ) = 1, nªn Q1 | (P 1k1 − P 1k1). Suy ra

deg (P 1k1 − P 1k1) ≥ degQ1.

§iÒu nµy m©u thuÈn víi deg(P 1k1

−P 1k1)

≤ max

{(P 1k1, P 1k1

} < deg Q1. VËy

ph¶i cã P 1k1 − P 1k1 = 0. LËp luËn t¬ng tù, ta cã P ij − P ij , víi mäi i, j.

VÝ dô. Ph©n tÝch ®a thøc P = 1

x4 − 1 thµnh tæng çc ph©n thøc ®¬n gi¶n trªn

trêng sè thùc.Ta cã x4 − 1 = (x2 + 1)(x − 1)(x + 1). Tõ ®ã, ph©n tÝch cã d¹ng

1

x4 − 1 =

A

x − 1 +

B

x + 1 +

C x + D

x2 + 1 .

§ång nhÊt çc hÖ sè ®a thøc hai vÕ, cho mét hÖ ph¬ng tr×nh theo A, B,C,D.Gi¶i hÖ nµy ta ®îc

1

x4 − 1 =

1

2(x − 1) − 1

2(x + 1) − 1

x2 + 1.



31

II. Ma trËn- §Þnh thøc

1 Ma trËn

1.1 §Þnh nghÜa ma trËn

§Þnh nghÜa 1. Mét m × n−ma trËn hay ma trËn cÊp m × n trªn tr-êng sè K(K = R hoÆc C) lµ mét b¶ng gåm m × n sè aij ∈ K ®-îc s¾p xÕp thµnh m dßng vµ n cét nh- sau

A = (aij)m×n :=

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

... ... . . .

...am1 am2 . . . amn

Çc sè aij ∈ K gäi lµ çc phÇn tö cña ma trËn A. PhÇn tö aij ®øng ë dßng thø i vµ cét thø j cña ma trËn A.

Hai ma trËn A vµ B gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu A = B , nÕu chóng cã cïng cÊpvµ çc phÇn tö cïng vÞ trÝ b»ng nhau.

Ta sÏ ký hiÖu tËp hîp tÊt c¶ çc ma trËn cÊp m × n trªn K lµ MatK(m, n).

1.2 Çc ma trËn ®Æc biÖt

1.2.1 Ma trËn kh«ng

Ma trËn kh«ng lµ ma trËn mµ tÊt c¶ çc phÇn tö cña nã ®Òu b»ng 0. Ma trËnkh«ng cÊp m × n ®îc ký hiÖu lµ Om×n .

1.2.2 Ma trËn vu«ng

Ma trËn vu«ng cÊp n lµ ma trËn cÊp n × n. Ta sÏ ký hiÖu tËp hîp tÊt c¶ çc matrËn vu«ng cÊp n trªn k lµ MatK(n). Ma trËn vu«ng A = (aij)n×n cã çc phÇn tö a11, a22, . . . , ann ë trªn mét ®êng chÐo gäi lµ ®-êng chÐo chÝnh cña A, ®êngchÐo cßn l¹i gäi lµ ®-êng chÐo phô.



32

1.2.3 Ma trËn chÐo

Ma trËn chÐo cÊp n lµ ma trËn vu«ng cÊp n mµ tÊt c¶ çc phÇn tö ë ngoµi ®êngchÐo chÝnh ®Òu b»ng 0. Ma trËn chÐo cÊp n ®îc ký hiÖu lµ

diag(a11, a22, . . . , ann) =

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

... . . . ...

0 0 . . . ann

, aij = 0, ∀i = j.

1.2.4 Ma trËn ®¬n vÞ

Ma trËn ®¬n vÞ cÊp n lµ ma trËn chÐo cÊp n mµ mäi phÇn tö ë trªn ®êng chÐochÝnh ®Òu b»ng 1. Ma trËn ®¬n vÞ cÊp n ®îc ký hiÖu lµ

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

... . . . ...

0 0 . . . 1

, aii = 1, ∀i vµ aij = 0, ∀i = j.

1.2.5 Ma trËn ®èi xøng

Ma trËn ®èi xøng cÊp n lµ ma trËn vu«ng cÊp n mµ tÊt c¶ çc phÇn tö ®èi xøngqua ®êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng nhau.

1.2.6 Ma trËn tam gi¸c

Ma trËn tam gi¸c trªn (t.-. d-íi) cÊp n lµ ma trËn vu«ng cÊp n mµ tÊt c¶ çcphÇn tö ë díi (t.. trªn) ®êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 0. Nh vËy, ma trËn tamgi¸c trªn cã d¹ng

A = a11 a12 . . . a1n

0 a22 . . . a2n... ... . . .

...0 0 . . . ann

, aij = 0, ∀i > j.



33

1.2.7 Ma trËn bËc thang

Ma trËn bËc thang cÊp m × n lµ ma trËn cã tÝnh chÊt sau: NÕu mäi phÇn tö ë trªn dßng i vµ ®øng bªn tr¸i phÇn tö aij ®Òu b»ng 0, th× mäi phÇn tö ë cét j vµ®øng bªn d-íi phÇn tö aij còng b»ng 0.

|a1 j1 . . .

|a2 j2 . . .

0 ...

|akjk . . .

, (aik = 0, ∀k < j) ⇒ (alj = 0, ∀l > i).

NhËn xÐt. Mét ma trËn vu«ng d¹ng bËc thang lµ ma trËn tam gi¸c trªn.

1.3 Çc phÐp to¸n trªn ma trËn

1.3.1 Céng ma trËn

§Þnh nghÜa 2. Cho hai ma trËn A = (aij)m×n vµ B = (bij)m×n ∈ Matk(m, n).

Tæng cña A vµ B, ký hiÖu A + B, ®-îc x¸c ®Þnh bëi

A + B = (aij + bij)m×n.

Tõ ®Þnh nghÜa phÐp céng ma trËn ta dÔ dµng kiÓm chøng çc tÝnh chÊt sau

MÖnh ®Ò 1. Cho A,B, C ∈ Matk(m, n). Khi ®ã1) A + B = B + A.

2) (A + B) + C = A + (B + C ). 3) A + O = O + A = O, trong ®ã O lµ ma trËn kh«ng.

1.3.2 Nh©n ma trËn víi mét sè

§Þnh nghÜa 3. Cho ma trËn A = (aij)m×n ∈ Matk(m, n) vµ α ∈ k . TÝch cña α

víi A, ký hiÖu αA, ®-îc x¸c ®Þnh bëi

αA = (αaij)m×n.

Tõ ®Þnh nghÜa phÐp nh©n mét sè víi ma trËn suy ra



34

MÖnh ®Ò 2. Cho A, B ∈ Matk

(m, n) vµ α, β ∈ k . Khi ®ã1) α(βA) = (αβ )A.

2) (α + β )A = αA + βA. 3) α(A + B) = αA + αB.

1.3.3 Nh©n hai ma trËn

§Þnh nghÜa 4. Cho ma trËn A = (aij)m×n ∈ Matk(m, n) vµ B = (aij)n× p∈ Matk(n, p). TÝch cña A víi B , ký hiÖu AB, ®-îc x¸c ®Þnh bëi

AB = (cij)m× p ∈ Matk(m, p),

trong ®ã,

cij =n

k=1

aikbkj .

NhËn xÐt. PhÇn tö cij cña ma trËn AB nhËn ®îc b»ng çch lÊy tæng cña çctÝch tõng phÇn tö trªn dßng thø i cña ma trËn A víi phÇn tö t¬ng øng ë cét thø

j cña ma trËn B . S¬ ®å tÝnh phÇn tö cij nh sau ®©y

ai1 ai2 . . . ain

b1 jb2 j

...bnj

= ai1b1 j + · · · + ainbnj = cij

NhËn xÐt. PhÐp nh©n AB chØ ®îc ®Þnh nghÜa cho trêng hîp sè cét cña ma trËnA b»ng sè dßng cña ma trËn B.

MÖnh ®Ò 3.1) (AB)C = A(BC ), víi mäi A ∈ Matk(m, n), B ∈ Matk(n, p), C ∈ Matk( p, q).

2) (A + B)C = AC + BC , víi mäi A, B ∈ Matk(m, n); C ∈ Matk(n, p). 3) A(B + C ) = AB + AC , víi mäi A ∈ Matk(m, n); B, C ∈ Matk(n, p). 4) I mA = A,AI n = A, víi mäi A ∈ Matk(m, n).



35

Chøng minh. 1) Gi¶ sö A = (aij

) B = (bij

), C = (cij

). Khi ®ã

AB = (αij) víi αij =n

k=1

aikbkj ,

(AB)C = (dij) víi dij =

ph=1

(n

k=1

aikbkh)chj) =

ph=1

nk=1

aikbkhchj .

T¬ng tù

BC = (β ij) víi β ij =

n

h=1bihchj

A(BC ) = (dij) víi dij =n

k=1

(aik

ph=1

bkhchj) =n

k=1

ph=1

aikbkhchj .

Tõ ®ã dij = dij , víi mäi i, j.

Çc kh¼ng ®Þnh cßn l¹i dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa.

1.3.4 ChuyÓn vÞ ma trËn

§Þnh nghÜa 5. Cho ma trËn A = (aij)m×n. Ma trËn chuyÓn vÞ cña A, ký hiÖu

tA, lµ ma trËn ®-îc x¸c ®Þnh bëitA = (taij)n×m ∈ Matk(n, m), trong ®ã taij = a ji.

DÔ dµng kiÓm chøng çc tÝnh chÊt sau

MÖnh ®Ò 4. Cho A, B ∈ Matk(m, n), C ∈ Matk(n, p) α ∈ k . Khi ®ã1) t(A + B) = tA + tB.

2) t(αA) = αtA. 3) t(AC ) = tC tA.

1.3.5 NghÞch ®¶o ma trËn

Ma trËn vu«ng A ∈ Matk(n) gäi lµ kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i B ∈ Matk(n) sao cho

AB = BA = I n.

Ma trËn B, nÕu cã, lµ duy nhÊt, gäi lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña A vµ ký hiÖu lµA−1. Ta sÏ ký hiÖu GL(K, n) lµ tËp çc ma trËn vu«ng kh¶ nghÞch.



36

MÖnh ®Ò 5. Cho A, B ∈ GL(K, n). Khi ®ã

1)

A−1−1

= A. 2) (AB)−1 = B−1A−1. 3) t(A−1) = (tA)−1.

Chøng minh. 1) Theo ®Þnh nghÜa A.A−1 = I , suy ra A =

A−1−1

.2) Suy ra t÷ (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AI A−1 = AA−1 = I n.3) Suy ra tõ tAt(A−1) = t(A−1A) = tI n = I n, vµ t¬ng tù t(A−1)tA = I n.

1.4 BiÕn ®æi s¬ cÊp trªn ma trËn

§Þnh nghÜa 6. Çc phÐp biÕn ®æi trªn ma trËn sau ®©y gäi biÕn ®æi s¬ cÊp:(1) §æi chç dßng (cét) i víi dßng (cét) j , ký hiÖu di ↔ d j (ci ↔ c j).(2) Nh©n dßng (cét) i víi mét sè α = 0, ký hiÖu αdi (αci).(3) Céng dßng (cét) i víi α lÇn dßng (cét) j , ký hiÖu di + αd j (ci + αc j ).

MÖnh ®Ò 6. Mäi ma trËn A = (aij) ∈ MatK(m.n) ®Òu cã thÓ ®-a vÒ d¹ng bËcthang bëi mét sè h÷u h¹n phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp trªn dßng.

Chøng minh. (ThuËt to¸n Gauss) B-íc 1. T×m phÇn tö kh¸c 0 cã vÞ trÝ gÇn bªn tr¸i nhÊt. Gi¶ sö ®ã lµ phÇn tö aij . B-íc 2. Dïng phÐp biÕn ®æi d1 ↔ di, ®Ó cã ma trËn B = (bij) víi phÇn tö b1 j = 0. B-íc 3. Dïng çc phÐp biÕn ®æi di + αd1, i ≥ 2, lµm triÖt tiªu çc phÇn tö ë díi

b1 j ®Ó cã ma trËn C = (cij) víi c1 j = bij = 0, ckj = 0, ∀k > 1. B-íc 4. LËp ma trËn A1 cã ®îc tõ C b»ng çch xãa dßng 1 vµ lËp l¹i çc bíc1, 2, 3 ®èi víi ma trËn A1. TÕp tôc qu¸ tr×nh trªn, sau mét sè h÷u h¹n (≤ m)bíc ta nhËn ®îc ma trËn d¹ng bËc thang.

VÝ dô. §a ma trËn sau vÒ d¹ng bËc thang bëi çc phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp trªn dßng

A =

0 0 1 2 2 2 00 1 2 3 1 2 30 1 5 7 3 5 80 2 2 4 2 3 1

0 0 3 4 2 3 5

Thùc hiÖn çc bíc trong thuËt to¸n Gauss

A d1↔d2−→

0 1 2 3 1 2 30 0 1 2 2 2 00 1 5 7 3 5 80 2 2 4 2 3 10 0 3 4 2 3 5

d3−d1d4−2d1−→

0 1 2 3 1 2 30 0 1 2 2 2 00 0 3 4 2 3 50 0 −2 −2 0 −1 −50 0 3 4 2 3 5



37

d3−3d2d4+2d2−→d5−3d2

0 1 2 3 1 2 30 0 1 2 2 2 00 0 0 −2 −4 −3 50 0 0 2 4 3 −50 0 0 −2 −4 −3 5

d4+d3d5−d3−→

0 1 2 3 1 2 30 0 1 2 2 2 00 0 0 −2 −4 −3 50 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

.

2 §Þnh thøc

2.1 Ho¸n vÞ

§Þnh nghÜa 7. Mét ho¸n vÞ cña J n = {1, 2, . . . , n} lµ mét song ¸nh σ : J n −→ J n. TËp tÊt c¶ çc ho¸n vÞ cña J n ®-îc ký hiÖu lµ S n. Mét ho¸n vÞ th-êng ®-îc viÕt d-íi d¹ng

σ =

1 2 . . . n

σ(1) σ(2) . . . σ(n)

hay ®¬n gi¶n σ = σ(1)σ(2) . . . σ(n).

Ho¸n vÞ σ ∈ S n ®-îc gäi lµ mét chuyÓn vÞ nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i i = j ∈ J nsao cho

σ(i) = j,

σ( j) = i,

σ(m) = m ∀m = i,j.ChuyÓn vÞ σ ®-îc ký hiÖu lµ σ = (i j).

2.2 NghÞch thÕ - Ký sè

§Þnh nghÜa 8. Mét nghÞch thÕ trong ho¸n vÞ σ = σ(1)σ(2) . . . σ(n) ∈ S n lµ mét cÆp (σ(i), σ( j)) víi i < j vµ σ (i) > σ( j), tøc lµ sè lín ®øng tr-íc sè nhá.Ký sè cña ho¸n vÞ σ, ký hiÖu (σ), ®-îc ®Þnh nghÜa bëi

(σ) = +1 nÕu sè nghÞch thÕ cña σ lµ ch½n

−1 nÕu sè nghÞch thÕ cña σ lµ lÎ.VÝ dô. Ho¸n vÞ σ = 312 ∈ S 3 cã hai nghÞch thÕ lµ (3, 1) vµ (3, 2). Tõ ®ã (σ) = 1.

NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa ta cã c«ng thøc

(σ) =

1≤i<j≤n

σ( j) − σ(i)

j − i .



38

MÖnh ®Ò 7. Cho σ, γ ∈ S n

, n ≤ 2. Khi ®ã1) NÕu σ lµ mét chuyÓn vÞ, th× (σ) = −1.

2) (σ ◦ γ ) = (σ)(γ ), (IdJ n) = 1.

Chøng minh. 1) Gi¶ sö

σ = (i, j) =

1 . . . i i + 1 . . . j − 1 j . . . n

1 . . . j i + 1 . . . j − 1 i . . . n

, 1 ≤ i < j ≤ n.

VËy çc cÆp nghÞch thÕ lµ

( j, i + 1), ( j, i + 2), . . . , ( j, j − 1), ( j, i)

j−i

vµ (i + 1, i), (i + 2, i), . . . , ( j − 1, i)

j−i−1

.

Tõ ®ã, sè nghÞch thÕ cña σ lµ 2( j − i) − 1, tøc lµ (σ) = −1.2) §Æt

N 1 = #{(i, j) | i < j, γ (i) < γ ( j), σ(γ (i)) > σ(γ ( j))},

N 2 = #{(i, j) | i < j, γ (i) > γ ( j), σ(γ (i)) < σ(γ ( j))},

N 3 = #{(i, j) | i < j, γ (i) > γ ( j), σ(γ (i)) > σ(γ ( j))}.

.

Khi ®ã,sè nghÞch thÕ cña σ = N 1 + N 2,

sè nghÞch thÕ cña γ = N 2 + N 3,

sè nghÞch thÕ cña σ ◦ γ = N 1 + N 3.

Tõ ®ã, (σ ◦ γ ) = (−1)N 1+N 3 = (−1)N 1+N 2(−1)N 2+N 3 = (σ)(γ ).

2.3 §Þnh nghÜa ®Þnh thøc

§Þnh nghÜa 9. Cho ma trËn vu«ng A = (aij) ∈ MatK(n). §Þnh thøc cña A, kýhiÖu

detA hay

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

.

..

.

.. . . .

.

..am1 am2 . . . amn

,

lµ sè ®-îc ®Þnh nghÜa bëi

detA =σ∈S n

(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n).



39

NhËn xÐt. Tæng σ∈S n

gåm n! sè h¹ng, mçi sè h¹ng lµ céng hoÆc trõ cña tÝch n

phÇn tö cña ma trËn A kh«ng cïng dßng, kh«ng cïng cét.

VÝ dô.1) §Þnh thøc cÊp 2 a11 a12

a21 a22

= a11a22 − a12a21.

2) §Þnh thøc cÊp 3

a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33

+a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31

3) §Þnh thøc cña ma trËn tam gi¸c

a11 a12 · · · a1n0 a22 · · · a2n...

... · · · ...

0 0 · · · ann

= a11a22 · · · ann.

Chó ý. §Ó tÝnh ®Þnh thøc cÊp 3, thêng sö dông qui t¾c Sarius sau ®©y• Çc sè h¹ng mang dÊu d¬ng gåm:− TÝch çc phÇn tö ë trªn ®êng chÐo chÝnh.− TÝch çc phÇn tö ë trªn çc ®Ønh cña tam gi¸c (chøa a22) cã mét c¹nh songsong víi ®êng chÐo chÝnh vµ mét ®Ønh lµ mót cña ®êng chÐo phô.• Çc sè h¹ng mang dÊu ©m gåm:− TÝch çc phÇn tö ë trªn ®êng chÐo phô.− TÝch çc phÇn tö ë trªn çc ®Ønh cña tam gi¸c (chøa a22) cã mét c¹nh songsong víi ®êng chÐo phô vµ mét ®Ønh lµ mót cña ®êng chÐo chÝnh.

• • •

• • •

• • •

(+)

• • •

• • •

• • •

(−)



40

2.4 TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc

MÖnh ®Ò 8. §Þnh thøc cña ma trËn kh«ng thay ®æi qua phÐp chuyÓn vÞ

det(tA) = det A.

Chøng minh. Tõ (σ) = (σ−1), ta cã

det(tA) =σ∈S n

(σ)ta1σ(1)ta2σ(2) · · ·t anσ(n)

=σ∈S n

(σ)aσ(1)1aσ(2)2 · · · aσ(n)n

= σ−1∈S n

(σ−1

)a1σ−1(1)a2σ−1(2) · · · anσ−1(n) = det A.

Do MÖnh ®Ò trªn, çc tÝnh chÊt díi ®©y ph¸t biÓu cho çc dßng nhng nã còng®óng víi çc cét. Cho A = (aij) ∈ MatK(n), gäi Ai lµ dßng thø i cña A. Khi ®ã,ký hiÖu

det(A1, . . . , An) = det A.

MÖnh ®Ò 9. NÕu ®æi chç hai dßng cu¶ mét ma trËn vu«ng, th× ®Þnh thøc ®æi dÊu

det(A1, . . . , Ak, . . . , Al, . . . An) = − det(A1, . . . , Al, . . . , Ak, . . . An).

Chøng minh. Gi¶ sö A = (aij) vµ B = (bij) lµ ma trËn nhËn ®îc tõ A b»ng çch®æi chç dßng k víi dßng l, tøc lµ

bij =

aij nÕu i = k, l,

alj nÕu i = k,

akj nÕu i = l.

Gäi τ = (kl) ∈ S n. Khi ®ã, ¸nh x¹ σ ∈ S n −→ γ = σ ◦ τ ∈ S n, lµ mét song ¸nh,vµ (γ ) = −(σ). Suy ra

det A = σ∈S n

(σ)a1σ(1) · · · akσ(k) · · · alσ(l) · · · anσ(n)

= −γ ∈S n

(γ )a1γ (1) · · · akγ (l) · · · alγ (k) · · · anγ (n)

= −γ ∈S n

(γ )b1γ (1) · · · blγ (l) · · · bkγ (k) · · · bnγ (n) = − det B.



41

MÖnh ®Ò 10. Cho A ∈ MatK(n) vµ α ∈ k. Khi ®ã1) det(A1, . . . , Ai+A

i, . . . An) = det(A1, . . . , Ai, . . . An)+det(A1, . . . , Ai, . . . An).

2) det(A1, . . . , α Ai, . . . An) = α det(A1, . . . , Ai, . . . An).

Chøng minh. Suy ra dÔ dµng tõ ®Þnh nghÜa ®Þnh thøc.

Tõ çc MÖnh ®Ò trªn, dÔ dµng suy ra hÖ qña sau ®©y

HÖ qu¶ 1. Cho A ∈ MatK(n).1) NÕu A cã mét dßng b»ng 0, th× det A = 0.

2) NÕu A cã hai dßng b»ng nhau hoÆc tØ lÖ, th× det A = 0. 3) NÕu thªm vµo mét dßng nµo ®ã cña A víi mét béi cña mét dßng kh¸c th× ®Þnh

thøc kh«ng thay ®æi.

MÖnh ®Ò 11. Cho A ∈ MatK(n). Khi ®ã1) det AB = det A det B.

2) NÕu A kh¶ nghÞch, th× det(A−1) = (det A)−1.

Chøng minh. 1) Gi¶ sö A = (aij), B = (bij), AB = (cij), cij =n

k=1

aikbkj . Gäi

C i lµ dßng thø i cña AB vµ Bi lµ dßng thø i cña B . Khi ®ã

C i = ai1B1 + ai2B2 + · · · ainBn =

nk=1

aikBk.

Suy ra

det AB = det(C 1, . . . , C n) = det

nk1=1

aik1Bk1 , . . . ,

nkn=1

aiknBkn

=

1≤k1 ,...,kn≤n

aik1 · · · aikn det(Bk1 , . . . , Bkn) (do MÖnh ®Ò 10)

=

n

1≤k1 ,...,kn≤nki=kj ,∀i= j

aik1 · · · aikn det(Bk1 , . . . , Bkn) (do HÖ qña 1)

=σ∈S n

a1σ(1) · · · anσ(n) det(Bσ(1), . . . , Bσ(n))

=σ∈S n

(σ)a1σ(1) · · · anσ(n) det(B1, . . . , Bn) = det A det B.

2) Tõ 1) ta cã det A−1 det A = det(A−1A) = det I n = 1. Suy ra 2).



42

2.5 Çc ph¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc

2.5.1 C«ng thøc khai triÓn theo dßng, cét

Cho A = (aij) ∈ MatK(n). §Æt I = (i1, i2, . . . , ik) vµ J = ( j1, j2, . . . , jk) lµ çcbé chØ sè trong {1, 2, . . . , n} theo thø tù t¨ng dÇn. Gäi AIJ lµ ma trËn con cña A

t¹o bëi giao cña k dßng i1, i2, . . . , ik vµ k cét j1, j2, . . . , jk vµ AIJ lµ ma trËn concña A cã ®îc b»ng çch xãa ®i k dßng i1, i2, . . . , ik vµ k cét j1, j2, . . . , jk. Trongtrêng hîp riªng, khi k = 1, i = i1, j = j1, th× AIJ = aij vµ viÕt AIJ = Aij .

MÖnh ®Ò 12. Cho A = (aij) ∈ MatK(n). Khi ®ã, ta cã

1) C«ng thøc khai triÓn theo dßng i: det A =n

j=1

(−1)i+ jaij det Aij .

2) C«ng thøc khai triÓn theo cét j : det A =ni=1

(−1)i+ jaij det Aij .

Chøng minh. Do MÖnh ®Ò 8, chØ cÇn chøng minh c«ng thøc khai triÓn theo dßng.Gäi ei = (0, . . . , 1, . . . 0) vµ ai lµ dßng thø i cña A. Khi ®ã

det A = det(a1, . . . , ai−1, ai, ai+1, . . . , an)

= det(a1, . . . , ai−1,

n

j=1aije j, ai+1, . . . , an)

=n

j=1

aij det(a1, . . . , ai−1, e j, ai+1, . . . , an).

§Ó ý r»ng, cã thÓ ®ång nhÊt S n−1 víi S n = {σ ∈ S n | σ(n) = n} ⊂ S n,b»ng çch xem mçi ho¸n vÞ σ = σ(1)σ(2) . . . σ(n − 1) ∈ S n−1 lµ ho¸n vÞ γ =σ(1)σ(2) . . . σ(n − 1)n ∈ S n. H¬n n÷a, khi ®ång nhÊt nh thÕ, ký sè cña ho¸n vÞkh«ng thay ®æi. Tõ ®ã

det(a1, . . . , ai, . . . , an−1, en) =γ ∈S n

(γ )a1γ (1)a2γ (2) · · · a(n−1)γ (n−1)

= σ∈S n−1

(γ )a1γ (1)a2γ (2) · · · a(n−1)γ (n−1) = det Ãnn.

§Ó tÝnh det(a1, . . . , ai−1, e j, ai+1, . . . , an), ta chuyÒn dßng i vÒ dßng cuèi (tøc lµ®æi chç hai dßng liªn tiÕp n − i lÇn), cét j vÒ cét cuèi (tøc lµ ®æi chç hai cét liªntiÕp n − j lÇn), råi ¸p dông ®iÒu trªn ta cã

det(a1, . . . , ai−1, e j, ai+1, . . . , an) = (−1)(n−i)+(n− j) det Aij = (−1)ij det Aij.





44

Çch 3. Sö dông c«ng thøc Laplace theo dßng 2 vµ 3

D = (−1)2+4+3+44 33 2

1 23 4

= −(−1)(−2) = −2.

2) Cho ma trËn vu«ng B d¹ng chia khèi

B =

B1 ∗

0 B2 . . .

Bk ,

trong ®ã, Bi lµ çc ma trËn vu«ng cÊp mi. ¸p dông c«ng thøc Laplace, tríc hÕtvíi m1 cét ®Çu cña B ta cã

det B = det B1

B2 ∗

0 B3 . . .

Bk ,

råi sau ®ã qui n¹p ta ®îc

det B = det B1 det B2 · · · det Bk.

2.5.2 Sö dông çc tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc

Nhê çc tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®Þnh thøc, dïng çc phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp, cã thÓlµm ®Þnh thøc trë nªn dÔ tÝnh h¬n, ch¼ng h¹n lµm cho xuÊt hiÖn nhiÒu sè 0 ë mçidßng hay cét råi sö dông c«ng thøc khai triÓn theo çc dßng hay cét ®ã. §Æc biÖt,nÕu ®a ®îc ®Þnh thøc vÒ d¹ng tam gi¸c, th× viÖc tÝnh ®Þnh thøc trë nªn rÊt ®¬ngi¶n.

VÝ dô. 1) TÝnh ®Þnh thøc cÊp 4 sau ®©y

D =

x a a a

a x a a

a a x a

a a a x

.



45

Céng dßng 1 víi çc dßng cßn l¹i

D =

x + 3a x + 3a x + 3a x + 3a

a x a a

a a x a

a a a x

= (x + 3a)

1 1 1 1a x a a

a a x a

a a a x

.

Dïng çc phÐp biÕn ®æi D2 − aD1, D3 − aD1, D4 − aD1 ta ®îc

D = (x + 3a)

1 1 1 10 x − a 0 00 0 x − a 00 0 0 x − a

= (x + 3a)(x − a)3.

2) TÝnh ®Þnh thøc Vandermonde cÊp n

V (a0, a1 . . . , an) =

1 a0 a20 . . . an

0

1 a1 a21 . . . an1

... ...

... ...

...1 an a2n . . . an

n

.

LÊy cét j + 1 trõ a0×( cét thø j víi), j = 0, 1, . . . , n − 1, b¾t ®Çu tõ cét cuèi, ta®îc

V (a0, a1 . . . , an) =

1 0 0 . . . 01 a1 − a0 a1(a1 − a0) . . . an−1

1 (a1 − a0)...

... ...

... ...

1 an − a0 an(an − a0) . . . an−1n (an − a0)

.

Khai triÓn ®Þnh thøc ë vÕ ph¶i theo dßng 1, råi ®a thõa sè chung cña mçi dßngra ngoµi dÊu ®Þnh thøc, ta ®îc

V (a0, a1 . . . , an) =n

j=1(a j − a0)

1 a1 a21 . . . an−11

1 a2 a22 . . . an−12

... ...

... ...

...

1 an a2

n . . . an−1

n

=n

j=1

(a j − a0)V (a1, a2, . . . , an)

.

BiÕn ®æi t¬ng tù cho V (a1, a2, . . . , an), vµ tiÕp tôc qu¸ tr×nh nµy, ta nhËn ®îc

V (a0, a1 . . . , an)

0≤i<j≤n

(a j − ai).



46

2.6 ¸p dông ®Þnh thøc ®Ó tÝnh ma trËn nghÞch ®¶o

Cho A = (aij) ∈ MatK(n). Gäi Aij lµ ma trËn con cña A cã ®îc b»ng çch xãadßng i, cét j, vµ ®Æt aij = (−1)i+ j det Aij , gäi lµ phÇn phô ®¹i sè cña phÇn tö aij . Ta gäi ma trËn

adj(A) =t (aij),

lµ ma trËn phô hîp cña A.

MÖnh ®Ò 13. Ma trËn A = (aij) ∈ MatK(n) kh¶ nghÞch khi vµ chØ khi det A = 0. Khi ®ã

A−1 = (det A)−1adj(A).

Chøng minh. Gi¶ sö tån t¹i A−1

. Khi ®ã, det A = 0 v×det A det A−1 = det(AA−1) = det I n = 1.

Gi¶ sö det A = 0. Gäi Aadj(A) = (cij). Khi ®ã, cij =n

k=1

aika jk =n

k=1

aik det A jk .

NÕu i = j , th× cij lµ khai triÓn theo dßng j cña ®Þnh thøc cña A, tõ ®ã cij = det A.NÕu i = j , th× cij lµ khai triÓn theo dßng j cña ®Þnh thøc lËp tõ A b»ng çch thaydßng j bëi dßng i, tøc lµ, cã hai dßng gièng nhau, tõ ®ã nhËn gi¸ trÞ 0.VËy, Aadj(A) = det AI n. T¬ng tù, còng cã adj(A)A = det AI n. Tõ ®ã, tån t¹iA−1 = (det A)−1adj(A).

VÝ dô. T×m ma trËn nghÞch ®¶o cu¶ A =

1 2 10 1 11 2 3

.

Ta cã, det A = 3 + 2 + 0 − (1 +2 +0) = 2. Tõ ®ã, A kh¶ nghÞch. Ta tÝnh çc aij .

a11 =

1 12 3

= 1 a12 = −

0 11 3

= 1 a13 =

0 11 2

= −1

a21 = −

2 12 3

= −4 a22 =

1 11 3

= 2 a23 = −

1 21 2

= 0

a31 =

2 11 1

= 1 a32 = −1 10 1

= −1 a33 =

1 20 1

= 1

Tõ ®ã,

A−1 = 1

2

1 −4 1

1 2 −1−1 0 1.



47

2.7 H¹ng cña ma trËn

§Þnh nghÜa 10. Cho A ∈ MatK(m, n). H¹ng cña A, ký hiÖu rankA, ®-îc ®ÞnhnghÜa nh- sau(1) NÕu A = O, th× rankA = 0.(2) NÕu A = O, th× rankA lµ cÊp cao nhÊt cña çc ®Þnh thøc con kh¸c 0 cña A.

NhËn xÐt. 1) 0 ≤ rankA ≤ min(m.n). §Æc biÖt, nÕu rankA = min(m, n), th× tanãi A cã h¹ng cùc ®¹i.2) NÕu A lµ ma trËn d¹ng bËc thang, th× rankA b»ng sè dßng kh¸c kh«ng cña nã.

MÖnh ®Ò 14. H¹ng cña ma trËn kh«ng thay ®æi qua çc phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp.

Chøng minh. Do tÝnh kh¸c kh«ng cña ®Þnh thøc kh«ng thay ®èi qua çc phÐpbiÕn ®æi s¬ cÊp.

NhËn xÐt. Do mÖnh ®Ò trªn, ®Ó tÝnh h¹ng cña ma trËn A ta thêng dïng çc phÐpbiÕn ®æi s¬ cÊp trªn dßng ®Ó ®a A vÒ ma trËn d¹ng bËc thang.

VÝ dô. T×m h¹ng cña ma trËn A =

1 2 3 1 2 33 7 11 5 8 91 5 7 3 5 82 2 4 2 3 1

0 3 4 2 3 5

.

Ta thùc hiÖn çc phÐp biÕn ®æ s¬ cÊp trªn dßng cña A.

A

d2−2d1d3−d1−→

d4−2d1

1 2 3 1 2 30 1 2 2 2 00 3 4 2 3 50 −2 −2 0 −1 −50 3 4 2 3 5

d3−3d2d2+2d2−→

d4−3d2

1 2 3 1 2 30 1 2 2 2 00 0 −2 −4 −3 50 0 2 4 3 −50 0 −2 −4 −3 5

d4+d3d5−d3

−→ 1 2 3 1 2 30 1 2 2 2 0

0 0 −2 −4 −3 50 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

VËy, rankA = 3.



48

2.8 HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh

2.8.1 §Þnh nghÜa hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh

§Þnh nghÜa 11. HÖ gåm m ph-¬ng tr×nh, n Èn x1, x2, . . . , xn, d¹ng

a11x1 + a12x2 + · · · a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + a12x2 + · · · amnxn = bm,

(1)

trong ®ã, aij

, bi ∈

K, i = 1

, . . . , m, j = 1

, . . . , n lµ çc sè cho tr-íc, gäi lµ hÖph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh trªn K.

2.8.2 D¹ng ma trËn cña hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh

NÕu ®Æt

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

... ... . . .

...am1 am2 . . . amn

x =

x1

x2...

xn

b =

b1b2...

bm

,

th× hÖ ph¬ng tr×nh (1) cã thÒ viÕt díi d¹ng Ax = b, gäi lµ d¹ng ma trËn cña hÖph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1). A ®îc gäi lµ ma trËn hÖ sè cña hÖ.

2.8.3 Ph-¬ng ph¸p khö Gauss ®Ó gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh

Ph¬ng ph¸p khö Gauss dùa trªn mÖnh ®Ò ®¬n gi¶n sau ®©y

MÖnh ®Ò 15. Çc phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp sau ®©y trªn hÖ ph-¬ng tr×nh lµ çc phÐpbiÕn ®æi t-¬ng ®-¬ng (1) §æi chç hai ph-¬ng tr×nh.

(2) Nh©n mét ph-¬ng tr×nh víi mét sè kh¸c kh«ng.(3) Céng mét ph-¬ng tr×nh víi mét béi cña mét ph-¬ng tr×nh kh¸c.

NhËn xÐt. ViÖc thùc hiÖn çc phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp trªn hÖ ph¬ng tr×nh Ax = b,thùc chÊt lµ thùc hiÖn çc phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp theo dßng trªn ma trËn hÖ sè më réng (A|b).



49

Ph¬ng ph¸p khö Gauss ®Ó gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Ax = b lµ ph¬ngph¸p dïng thuËt to¸n Gauss ®Ó ®a ma trËn hÖ sè më réng (A|b) vÒ d¹ng (A|b),víi A cã d¹ng bËc thang, råi gi¶i hÖ Ax = b b»ng ph¬ng ph¸p thÕ.

VÝ dô. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

x1 + x2 + x3 + x4 = 10

x1 + 2x2 − x3 + x4 = 6

2x1 + 3x2 − 3x3 + 2x4 = 6

3x1 − x2 + x3 − x4 = −1

BiÕn dæi s¬ cÊp theo dßng ma trËn hÖ sè më réng

(A|b) =

1 1 1 1 : 10

1 2 −1 1 : 62 3 −3 2 : 63 −1 1 −1 : −1

d2−d1d3−2d1−→

d4−3d1

1 1 1 1 : 10

0 1 −2 0 : −40 1 −5 0 : −130 −4 −2 −4 : −30

d3−d2d4+4d2−→

1 1 1 1 : 100 1 −2 0 : −40 0 −3 0 : −90 0 −10 −4 : −46

(−1/3)d3(−1/2)d4

−→

1 1 1 1 : 100 1 −2 0 : −40 0 1 0 : 30 0 5 2 : 23

d4−5d3

−→ 1 1 1 1 : 100 1 −2 0 : −4

0 0 1 0 : 30 0 0 2 : 8

VËy, hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi

x1 + x2 + x3 + x4 = 10

x2 − 2x3 = −4

x3 = 3

2x4 = 8

⇐⇒

x1 = 1

x2 = 2

x3 = 3

x4 = 4



50

2.8.4 Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph-¬ng tr×nh Ax = b víi A cã d¹ng bËc thang

Gi¶ sö (A|b) cã d¹ng (rankA = r).

b1b2

0 ...

br0 0 0 . . . 0 br+1...

... ...

... ...

...0 0 0 . . . 0 bm

...

....................

Tr-êng hîp 1: rankA = rank(A|b), hÖ v« nghiÖm. Tr-êng hîp 2: rankA = rank(A|b), hÖ cã nghiÖm.

Tr-êng hîp 2.1: rankA = rank(A|b) = sè Èn, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. Tr-êng hîp 2.2: rankA = rank(A|b) < sè Èn, hÖ cã v« sè nghiÖm.

Trong trêng hîp hÖ cã v« sè nghiÖm, ®Ó m« t¶ râ d¹ng cña nghiÖm, ta lµm nh sau:- X¸c ®Þnh r = rankA Èn chÝnh, ®ã lµ çc Èn mµ hÖ sè cña nã lËp thµnh ma trËn

tam gi¸c trªn víi çc phÇn tö trªn ®êng chÐo kh¸c kh«ng.- Çc Èn cßn l¹i gäi lµ Èn tù do. Sè lîng Èn tù do gäi lµ bËc tù do cña hÖ.- Cho çc Èn tù do nhËn gi¸ trÞ tuú ý trªn K, vµ gi¶i çc Èn chÝnh theo çc Èn tù do.

VÝ dô. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 = 3

3x1 + 4x2 + 3x3 + 4x4 = 4

BiÕn dæi s¬ cÊp theo dßng ma trËn hÖ sè më réng

(A|b) =

1 1 1 1 : 11 2 1 2 : 22 3 2 3 : 33 4 3 4 : 4

d2−d1d3−2d1−→d4−3d1

1 1 1 1 : 10 1 0 1 : 10 1 0 1 : 10 1 0 1 : 1

d3−d2d4−d2−→

d4−3d1

1 1 1 1 : 10 1 0 1 : 10 0 0 0 : 00 0 0 0 : 0

V× rankA = rank(A|b) = 2 < 4=sè Èn, nªn hÖ cã v« sè nghiÖm. HÖ ®· cho, khi



51

®ã, t¬ng ®¬ng víi

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

x2 + x4 = 1⇐⇒

x1 + x2 = 1 − x3 − x4

x2 = 1 − x4

⇐⇒

x1 = −t1

x2 = 1 − t2

x3 = t1

x4 = t2

2.8.5 T×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng ph-¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕntÝnh

Cho A ∈ MatK(n). Ta t×m ma trËn X tháa hÖ AX = I . Tøc lµ, gi¶i ®ång thêi n

hÖ ph¬ng tr×nh, n Èn. Sö dông ph¬ng ph¸p khö Gauss trªn (A|I ) ®Ó ®a A vÒd¹ng bËc thang. Ta cã biÖn luËn sauNÕu rankA < n, tøc lµ, ma trËn bËc thang cã Ýt nhÊt mét dßng b»ng kh«ng, th× A

kh«ng kh¶ nghÞch.NÕu rankA = n, th× dïng phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp dßng ®Ó ®a (A|I ) vÒ d¹ng (I |B).Khi ®ã A kh¶ nghÞch vµ A−1 = B .

VÝ dô. T×m ma trËn nghÞch ®¶o cu¶ A =

1 2 10 1 11 2 3

.

BiÕn ®æi s¬ cÊp trªn dßng cña ma trËn (A|I )

(A|I ) =

1 2 1 : 1 0 0

0 1 1 : 0 1 01 2 3 : 0 0 1

d3−d1

−→

1 2 1 : 1 0 0

0 1 1 : 0 1 00 0 2 : −1 0 1

.

1

2d3

−→

1 2 1 : 1 0 00 1 1 : 0 1 0

0 0 1 : −12 0 12

d2−d3d1−d3−→

1 2 0 : 3

2 0 −

1

2

0 1 0 : 1

2

1 −1

2

0 0 1 : −1

2 0

1

2



52

d1−2d2−→

1 0 0 :

1

2 −2 −

1

2

0 1 0 : 1

2 1 −

1

2

0 0 1 : −1

2 0

1

2

=⇒ A−1 =

1

2 −2 −

1

2

1

2 1 −

1

2

−1

2 0

1

2

2.8.6 HÖ Cramer

§Þnh nghÜa 12. HÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Ax = b, gäi lµ hÖ Cramer nÕu vµ

chØ nÕu A lµ ma trËn vu«ng vµ det A = 0.MÖnh ®Ò 16. HÖ Cramer Ax = b, A ∈ MatK(n), cã nghiÖm duy nhÊt. Çc thµnh

phÇn cña nghiÖm ®-îc cho bëi c«ng thøc

xi = det Ai

det A , i = 1, 2, . . . , n ,

trong ®ã Ai lµ ma trËn cã ®-îc tõ A b»ng çch thay cét i bëi cét b.

Chøng minh. Râ rµng hÖ Cramer cã nghiÖm duy nhÊt

x = A−1b = 1

det AAdj(A) · b.

Suy ra

xi det A =n

k=1

akibk =n

k=1

(−1)k+i det Akibk.

Tæng cuèi trong ®»ng thøc trªn chÝnh lµ c«ng thøc khai triÓn det Ai theo cét i.

VÝ dô. T×m ®a thøc bËc hai P (x) = a + bx + cx2, biÕt r»ng P (1) = 1, P (2) = 3,P (3) = 7.§iÒu kiÖn ®· cho t¬ng ®¬ng víi

a + b + c = 1

a + 2b + 4c = 3a + 3b + 9c = 7

§©y lµ hÖ Cramer v× ®Þnh thøc cña ma trËn hÖ sè lµ ®Þnh thøc Vandermonde1 1 11 2 22

1 3 32

= (2 − 1)(3 − 1)(3 − 2) = 2 = 0.



53

Tõ ®ã, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt

a = 1

2

1 1 13 2 47 3 9

= 1, b = 1

2

1 1 11 3 41 7 9

= −1, c = 1

2

1 1 11 2 31 3 7

= 1.

VËy ®a thøc cÇn t×m lµ P (x) = 1 − x + x2.





55

III. Kh«ng gian vector

1 Kh«ng gian vector

1.1 Çc ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô

§Þnh nghÜa 1. Cho K lµ trêng sè, V lµ tËp hîp kh¸c ∅ vµ hai phÐp to¸n trªn V

phÐp céng + : V × V −→ V (x, y) −→ x + y

phÐp nh©n víi sè · :K

× V −→ V (α, x) −→ αx

Bé ba (V, +, ·) gäi lµ mét kh«ng gian vector hay kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn KnÕu çc phÐp to¸n tháa çc tiªn ®Ò sau víi mäi x, y,z ∈ V , α, β ∈ K

(V 1) x + y = y + x (tÝnh giao ho¸n)(V 2) (x + y) + z = x + (y + z) (tÝnh kÕt hîp)(V 3) ∃ O ∈ V : x + O = x (O gäi lµ vector kh«ng)(V 4) ∃ − x ∈ V : −x + x = O (−x gäi lµ vector ®èi cña x)(V 5) (α + β )x = αx + βx

(V 6) α(x + y) = αx + αy(V 7) (αβ )x = α(βx)(V 8) 1x = x

Mçi phÇn tö x ∈ V gäi lµ vector. Ta gäi x + y lµ tæng cña x vµ y . Do (V 2) tacã thÓ ®Þnh nghÜa tæng cña k vector:

ki=1

xi = x1 + x2 + · · · + xk = (x1 + x2 + · · · + xk−1) + xk.

Tæng nµy kh«ng phô thuéc vµo thø tù çc h¹ng tö do (V 1). Tæng x + (−y) cßn

®îc viÕt lµ x − y vµ gäi lµ hiÖu cña x vµ y .NÕu K = R (t¬ng øng: C) th× V gäi lµ kh«ng gian vector thùc (t¬ng øng:phøc).

VÝ dô. 1) TËp hîp çc vector tù do trong kh«ng gian víi phÐp céng çc vector vµphÐp nh©n vector víi sè thùc lµ mét kh«ng gian vector thùc.2) Kh«ng gian vector MatK(m, n) víi phÐp céng hai ma trËn vµ phÐp nh©n ma



56

trËn víi mét sè.3) Kh«ng gian

Kn = {x = (x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ K, i = 1, . . . , n},

víi phÐp céng vµ phÐp nh©n víi sè ®îc ®Þnh nghÜa nh díi ®©y víi mäi x =(x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Kn, vµ α ∈ K:

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),αx = (αx1, αx2, . . . , α xn).

4) Kh«ng gian çc ®a thøc hÖ sè trªn K, ký hiÖu K[x], víi phÐp céng hai ®a thøc

vµ phÐp nh©n ®a thøc víi sè.MÖnh ®Ò 1. Cho V lµ mét kh«ng gian vector trªn K. Khi ®ã1) Vector kh«ng O lµ duy nhÊt. 2) Vecor ®èi lµ duy nhÊt. 3) Trong V cã luËt gi¶n íc: a + b = a + c =⇒ b = c. 4) αx = O ⇐⇒ α = 0 hoÆc x = O. 5) −(αx) = (−α)x = α(−x).

Chøng minh. 1) Gi¶ sö cã hai vector kh«ng O1 vµ O2. Khi ®ã

O1(V 3)= O1 + O2

(V 3)= O2.

2) Gi¶ sö vector x cã hai vector ®èi x vµ x. Khi ®ã

x (V 3)

= x + O (V 4)

= x + (x + x) (V 2)

= (x + x) + x (V 4)

= O + x (V 3)

= x.

3)a + b = a + c =⇒ −a + (a + b) = −a + (a + c)

(V 2)=⇒ (−a + a) + b = (−a + a) + c(V 4)=⇒ O + b = O + c

(V 3)=⇒ b = c.

4) ” ⇐ ”

αO = α(O + O) (V 6)

= αO + αO (3)=⇒ αO = O.

0x = (0 + 0)x (V 5)

= 0x + 0x (3)

=⇒ 0x = O.

” ⇒ ” Gi¶ sö αx = O vµ α = 0. Khi ®ã

x (V 8)

= 1 · x (V 3)

= (α−1α)x (V 7)

= α−1(αx) = α−1O = O.



57

5) Suy ra tõ

αx + (−α)x (V 5)

= (α + (−α))x = 0x (4)

= O

αx + α(−x) (V 6)

= α(x + (−x)) = αO (4)

= O.

1.2 Kh«ng gian vector con

§Þnh nghÜa 2. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K. Mét tËp hîp con kh¸c rçng W cña V ®îc gäi lµ kh«ng gian vector con cña V nÕu(1) x + y ∈ W , víi mäi x, y ∈ W .

(2) αx ∈ W , víi mäi α ∈ K, x ∈ W .

NhËn xÐt. 1) §iÒu kiÖn (1) vµ (2) t¬ng ®¬ng víi

∀α, β ∈ K, ∀x, y ∈ W =⇒ αx + βy ∈ W.

2) Mäi kh«ng gian vector con ®Òu chøa vector O.

VÝ dô. 1) Mäi kh«ng gian vector V ®Òu chøa hai kh«ng gian vector con tÇmthêng lµ {O} vµ V .2) TËp con Kn[x] = {P ∈ K[x] | deg P ≤ n} lµ kh«ng gian vector con cña K[x].3) TËp nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh Ax = 0, A ∈ MatK(m, n), lµ kh«ng gian

vector con cña Kn.MÖnh ®Ò 2. Giao cña mét hä kh«ng gian vevctor con lµ kh«ng gian vector con

Chøng minh. Gi¶ sö {W i}i∈I lµ mét hä çc kh«ng gian vector con cña V . XÐtmäi α, β ∈ K, vµ x, y ∈ ∩

i∈I W i. Khi ®ã, αx + β y ∈ W i, ∀i ∈ I . Tøc lµ,

αx + βy ∈ ∩i∈I

W i.

NhËn xÐt. Hîp hai kh«ng gian vector con nãi chung kh«ng lµ kh«ng gian vectorcon. VÝ dô, W 1 = {(x, 0) | x ∈ R}, W 2 = {(0, y) | y ∈ R} lµ hai kh«ng gianvector con cña R2. Nhng W 1 ∪ W 2 = {(0, x), (y, 0) | x, y ∈ R} kh«ng lµ kh«nggian vector con cña R2.

1.3 Kh«ng gian con sinh bëi mét tËp hîp

§Þnh nghÜa 3. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ A lµ mét tËp con kh¸c rçng cña V . Kh«ng gian con L(A) cña V ®îc x¸c ®Þnh bëi

L(A) :=

{W | W lµ kh«ng gian con cña V chøa A}



58

gäi lµ lµ kh«ng gian con cña V sinh bëi tËp A.

NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa cña L(A) ta thÊy ngay r»ng a) A ⊆ L(A) vµ b)L(A) ⊆ W , víi mäi kh«ng gian con W chøa A. Nh vËy L(A) lµ kh«ng giancon nhá nhÊt cña V chøa A.

MÖnh ®Ò 3. NÕu V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ A lµ mét tËp con kh¸c rçng cña V , th×

L(A) =

ai∈A

xiai | xi ∈ K vµ chØ cã h÷u h¹n xi = 0

.

§Æc biÖt, nÕu A = {a1, a2, . . . , an}, th×

L(A) = L(a1, a2, . . . , an) =

ni=1

xiai | xi ∈ K

.

Chøng minh. Gäi H lµ vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trªn. NÕu x, y ∈ H vµ α, β ∈ K,th× râ rµng αx + βy ∈ H . VËy H lµ kh«ng gian con cña V . V× H hiÓn nhiªnchøa A nªn theo nhËn xÐt ë trªn ta cã L(A) ⊆ H .

Ngîc l¹i, nÕu x ∈ H , th× x =ai∈A

xiai, víi h÷u h¹n xi = 0. Tõ ®ã, x thuéc mäi

kh«ng gian vector con cña V chøa A, tøc lµ, x ∈ L(A). VËy, H ⊆ L(A).

1.4 C¬ së- Sè chiÒu- Täa ®é

Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ A lµ mét tËp con kh¸c rçng cña V . NÕuV = L(A) th× ta nãi kh«ng gian V ®îc sinh bëi A hay A lµ hÖ sinh cña V .Kh«ng gian V gäi lµ h÷u h¹n chiÒu nÕu nã cã hÖ sinh h÷u h¹n. Trong trêng

hîp ngîc l¹i gäi lµ v« h¹n chiÒu. tõ ®©y trë vÒ sau, ta chØ h¹n chÕ xÐt çc kh«ng gian vector h÷u h¹n chiÒu.

1.4.1 §éc lËp tuyÕn tÝnh-Phô thuéc tuyÕn tÝnh

§Þnh nghÜa 4. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K.Vector x ∈ V gäi lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh hay biÓu diÔn tuyÕn tÝnh cña hÖ vectora1, a2, . . . , an, nÕu x cã d¹ng

x = x1a1 + x2a2 + · · · + xnan, trong ®ã x1, . . . , xn ∈ K.



59

HÖ vector a1, a

2, . . . , an ∈ V gäi lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh nÕu tån t¹i çc sè

x1, x2 . . . , xn ∈ K kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho

x1a1 + x2a2 + · · · + xnan = O.

HÖ vector a1, a2, . . . , an ∈ V gäi lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu nã kh«ng phô thuéctuyÕn tÝnh, tøc lµ

x1a1 + x2a2 + · · · + xnan = O =⇒ x1 = x2 = . . . = xn = 0.

NhËn xÐt. 1) Cho a1, . . . , an, x ∈ Kn. Khi ®ã,x lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña a1, . . . , an ⇐⇒ HÖ x1a1 + · · · + xnan = x cã nghiÖm.

HÖ a1, . . . , an phô thuéc tuyÕn tÝnh ⇐⇒ HÖ x1a1 + · · · + xnan = O cã nghiÖmkh¸c kh«ng ⇐⇒ det(a1 a2 . . . an) = 0 .HÖ a1, . . . , an déc lËp tuyÕn tÝnh ⇐⇒ HÖ x1a1 + · · · + xnan = O chØ cã nghiÖmkh«ng ⇐⇒ det(a1, a2, . . . , an) = 0.2) HÖ a1, . . . , an phô thuéc tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi trong hÖ cã mét vector lµ tæhîp tuyÕn tÝnh cña çc vector cßn l¹i.3) Mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh kh«ng thÓ chøa vector O.4) Mét hÖ con cña mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh.

1.4.2 C¬ së

§Þnh nghÜa 5. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K. TËp B ⊂ V gäi lµ c¬ së cñaV nÕu(1) B lµ hÖ sinh cña V , tøc lµ V = L(B).(2) B lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh.

VÝ dô. 1) Kn cã c¬ së

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1),

gäi lµ c¬ së chÝnh t¾c cña K.2) Kn[x] cã c¬ së lµ hÖ çc ®¬n thøc {1, x , x2, . . . , xn}.3) MatK(m, n) cã c¬ së chÝnh t¾c

{E ij , i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n},

trong ®ã E ij lµ m × n−ma trËn mµ phÇn tö ë dßng i cét j b»ng 1, çc phÇn tö kh¸c b»ng 0.



60

§Þnh lý 1. Cho V = {O} lµ kh«ng gian vector trªn K. Khi ®ã1) Tån t¹i mét c¬ së cña V . 2) Mäi c¬ së cña V ®Òu cã cïng sè lîng vector.

Chøng minh. 1) Gi¶ sö V cã hÖ sinh h÷u h¹n A = {a1, a2, . . . , an}.NÕu A ®éc lËp tuyÕn tÝnh, th× A lµ c¬ së. NÕu A kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh, th×tån t¹i ai lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña çc vector cßn l¹i trong A. §Æt A1 = A \ {ai},khi ®ã, A1 lµ hÖ sinh cña V .LËp l¹i lý luËn trªn cho A1. Sau mét sè h÷u h¹n (< n) bíc, ta cã c¬ së B ⊂ A.2) ViÖc chøng minh 2) suy ra tõ bæ ®Ò sau

Bæ ®Ò 1. NÕu B = {e1, e2, . . . , en} lµ c¬ së cña V vµ f 1, f 2, . . . , f m lµ mét hÖ

vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh, th× m ≤ n.

Chøng minh Bæ ®Ò 1. Do f 1 ∈ L(e1, e2, . . . , en), f 1 = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen.V× f 1 = O, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ thiÕt x1 = 0. Khi ®ã

e1 = 1

x1f 1 −

x2

x1e2 − · · · −

xn

x1en.

Suy ra, L(e1, e2, . . . , en) = L(f 1, e2, . . . , en).Do f 2 ∈ L(f 1, e2, . . . , en), f 2 = y1f 1 + y2e2 + · · · + ynen. V× f 1, f 2 ®éc lËp tuyÕntÝnh, nªn tån t¹i i ≥ 2 sao cho yi = 0. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gØa thiÕt y2 = 0.

Khi ®ãe2 =

1

y2f 2 −

y1

y2f 1 −

y3

y2e2 − · · · −

yny2

en.

Suy ra, L(e1, e2, . . . , en) = L(f 1, f 2, e3, . . . , en).TiÕp tôc lËp luËn t¬ng tù, ë bíc thø k ta sÏ thay thÕ ®îc f 1, . . . , f k vµo B ®Ó®îc kÕt qu¶ L(e1, e2, . . . , en) = L(f 1, . . . , f k, ek+1, . . . , en). Ta ph¶i cã m ≤ n,v× nÕu kh«ng, ë bíc thø n, ta nhËn ®îc

V = L(e1, e2, . . . , en) = L(f 1, f 2, . . . , f n) vµ f n+1 ∈ L(f 1, f 2, . . . , f n).

§iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña f 1, f 2, . . . , f m.

§Þnh nghÜa 6. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K. Sè chiÒu cña V , ký hiÖudimKV , ®îc x¸c ®Þnh bëi

dimKV =

sè vector trong mét c¬ së cña V nÕu V = {O},

0 nÕu V = {O}.



61

VÝ dô. 1) dimKKn = n.

2) dimKMatK(m, n) = m × n.3) dimKKn[x] = n + 1.4) dimRC = 2 (víi c¬ së {1, i}).

MÖnh ®Ò 4. Cho V lµ kh«ng gian vector n chiÒu trªn K. Khi ®ã1) Mäi hÖ trong V gåm nhiÒu h¬n n vector ®Òu phô thuéc tuyÕn tÝnh. 2) Mäi hÖ trong V gåm n vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh ®Òu lµ c¬ së. 3) Mäi hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V gåm Ýt h¬n n vector ®Òu cã thÓ bæ sung thµnh mét c¬ së. 4) NÕu W lµ kh«ng gian vector con cña V , th× dimW ≤ dimV , vµ dÊu = x¶y rakhi vµ chØ khi W = V .

Chøng minh. 1) Suy ra tõ Bæ ®Ò 1 trong chøng minh cña MÖnh ®Ò 1.2) Gi¶ sö B = {e1, e2, . . . , en} lµ mét hÖ n vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V . Ta chØra B lµ hÖ sinh cña V . ThËt vËy, víi mäi vector x ∈ V , hÖ B = {e1, e2, . . . , en, x}gåm n + 1 vector nªn phô thuéc tuyÕn tÝnh. Do e1, . . . , en ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªnx biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua B .3) Gi¶ sö B0 = {e1, e2, . . . , em} lµ mét hÖ m vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V ,m < n. V× B0 kh«ng lµ hÖ sinh cña V nªn ph¶i cã Ýt nhÊt mét vector em+1 = Otrong V kh«ng biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua B. Khi ®ã, nhËn ®îc hÖ ®éc lËp tuyÕntÝnh

B1 = {e1, e2, . . . , em, em+1}.

NÕu n = m + 1, th× theo 2), B1 lµ c¬ së.NÕu m + 1 < n, tu¬ng tù trªn, cã mét vector em+2 = O trong V kh«ng biÓu diÔntuyÕn tÝnh qua B1 vµ nhËn ®îc hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh

B2 = {e1, e2, . . . , em, em+1, em+2}.

TiÕp tôc lËp luËn nh trªn, sau n − m bíc, ta nhËn ®îc c¬ së Bn−m cña V chøaB0.4) Gi¶ sö dimW = m, tøc lµ, W cã c¬ së lµ mét hÖ gåm m vector ®éc lËptuyÕn tÝnh trong W ⊂ V . Tõ Bæ ®Ò 1 trong chøng minh cña MÖnh ®Ò 1, suy ram ≤ n = dimV . NÕu dimW = dimV , th× mét c¬ së B cña W còng lµ c¬ së cña

V . Tõ ®ã, W = L(B) = V .

MÖnh ®Ò 5. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ B = {e1, e2, . . . , en} lµ mét hÖ vector trong V . Khi ®ã, hai ®iÒu sau ®©y lµ t¬ng ®¬ng 1) B lµ c¬ së cña V . 2) Mäi vector x ∈ V ®Òu cã biÓu diÔn duy nhÊt

x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen.



62

Chøng minh. 1) ⇒ 2). ViÖc x lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña e1, e

2, . . . , en lµ do B lµ

hÖ sinh. TÝnh duy nhÊt cña x1, x2, . . . , xn lµ do B ®éc lËp tuyÕn tÝnh.2) ⇒ 1. HiÓn nhiªn, B lµ hÖ sinh cña V . Gi¶ sö x1e1 + x2e2 + · · · + xnen = O.MÆt kh¸c, 0e1 + 0e2 + · · · + 0en = O. Do O ∈ V cã biÔu diÔn duy nhÊt, suy rax1 = x2 = . . . = xn = 0 VËy, hÖ B ®éc lËp tuyÕn tÝnh.

1.4.3 Täa ®é

§Þnh nghÜa 7. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ B = (e1, e2, . . . , en) lµc¬ së ®îc s¾p thø tù cña V . Khi ®ã, theo MÖnh ®Ò 5, víi mäi x ∈ V , tån t¹iduy nhÊt (x1, x2, . . . , xn) ∈ Kn sao cho x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen. Ký hiÖu,

xB = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Kn

, vµ gäi lµ täa ®é cña vector x theo c¬ së B.

Ta còng thêng viÕt xB díi d¹ng ma trËn dßng hoÆc cét

xB =

x1 x2 . . . xn

=

x1

x2...

xn

.

MÖnh ®Ò 6. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ B = (e1, e2, . . . , en) lµ c¬ së V . Khi ®ã, víi mäi x, y ∈ V , α ∈ K, ta cã

(x + y)B = xB + yB vµ (αx)B = αxB.

Chøng minh. Suy ra dÔ dµng tõ ®Þnh nghÜa.

NhËn xÐt. Khi cè ®Þnh mét c¬ së B cña mét kh«ng gian vector n chiÒu V trªnK, ta cã t¬ng øng 1 − 1: V −→ K, x −→ xB. Bëi MÖnh ®Ò trªn, phÐp t¬ngøng nµy cho phÐp ®a viÖc tÝnh to¸n trªn V vÒ tÝnh to¸n trªn Kn.

2 Tæng- TÝch- Th¬ng çc kh«ng gian vector

2.1 Tæng çc kh«ng gian con- Tæng trùc tiÕp

§Þnh nghÜa 8. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ V 1, V 2, . . . , V s lµ çc kh«ng gian vector con cña V . Khi ®ã, ký hiÖu

si=1

V i = V 1 + · · · + V s = {x = x1 + · · · + xs | xi ∈ V i, i = 1, . . . , s},



63

vµ gäi lµ tæng cña çc kh«ng gian con V 1

, V 2

, . . . , V s.

Tæng trªn gäi lµ tæng trùc tiÕp, ký hiÖu V 1 ⊕ · · · ⊕ V s =s

⊕i=1

, nÕu

V j ∩i= j

V i = {O}, ∀ j ∈ {1, . . . , s}.

MÖnh ®Ò 7. Tæng V 1 + · · · + V s lµ tæng trùc tiÕp khi vµ chØ khi víi mäi vector

x ∈s

i=1

V i, cã biÓu diÔn duy nhÊt x = x1 + . . . + xs, víi xi ∈ V i.

Chøng minh. Gi¶ sö x =

si=1 xi =

si=1 yi, víi xi, yi ∈ V i. Khi ®ã, víi mäi

j ∈ {1, . . . , s} ta cã x j − y j =i= j

(yi − xi) ∈ V j ∩i= j

V i = {0}. Suy ra x j = y j .

Ngîc l¹i, gi¶ sö x ∈ V j ∩i= j

V i. Khi ®ã, ta cã x = x j =i= j

xi. Tõ ®ã, x cã

çc biÓu diÔn

x = O + · · · + O + x j + O + · · · + O = x1 + · · · + x j−1 + O + x j+1 + · · · + xs.

Do tÝnh duy nhÊt, ta cã x1 = x2 = . . . = xs = O. Tøc lµ, x = O. VËy,

V j ∩ i= j

V i = {O}.

MÖnh ®Ò 8. Víi mçi kh«ng gian con V 1 cña V tån t¹i kh«ng gian con V 2 sao choV = V 1 ⊕ V 2. Khi ®ã, V 2 ®îc gäi lµ phÇn bï ®¹i sè cña V 1.

Chøng minh. Gäi B1 lµ mét c¬ së cña V 1. Bæ sung B1 ®Ó cã c¬ së B cña V . Khi®ã, V 2 = L(B \ B1) lµ phÇn bï ®¹i sè cña V 1.

NhËn xÐt. PhÇn bï ®¹i sè cña V 1 kh«ng duy nhÊt, tuy nhiªn, mÖnh ®Ò sau ®©ycho thÊy chiÒu cña mäi phÇn bï ®¹i sè lµ nh nhau. Ta gäi chiÓu cña phÇn bï ®¹isè cña V 1 lµ ®èi chiÒu cña V 1 trong V , vµ ký hiÖu codim(V 1).

MÖnh ®Ò 9. Cho V lµ mét kh«ng gian vector vµ V 1, V 2 lµ çc kh«ng gian concña V . Khi ®ã

dim(V 1 + V 2) = dim(V 1) + dim(V 2) − dim(V 1 ∩ V 2).

Suy ra, dim(V ) = dim(V 1) + codim(V 1).



64

Chøng minh. Gäi {a1, . . . , am} lµ c¬ së cña (V

1∩ V

2). Bæ sung vµo c¬ së nµy ®Ò

cã çc c¬ së cña V 1, V 2 lÇn lît lµ

{a1, . . . , am, b1, . . . , bn1} vµ {a1, . . . , am, c1, . . . , cn2}.

Ta sÏ chøng minh B = {a1, . . . , am, b1, . . . , bn1, c1, . . . , cn2} lµ c¬ së cña V 1 + V 2.Râ rµng B lµ hÖ sinh cña V 1 + V 2. §Ó chØ ra B ®éc lËp tuyÕn tÝnh, ta xÐt

mi=1

αiai +n1 j=1

β jb j +n2k=1

γ kck = 0.

Suy ra

n2k=1

γ kck ∈V 2

= −

mi=1

αiai −

n1 j=1

β jb j ∈V 1

∈ V 1 ∩ V 2 = L(a1, . . . , am).

VËyn2k=1

γ kck(1)=

ms=1

δsas(2)= −

mi=1

αiai −n1 j=1

β jb j .

Tõ (1), do {a1, . . . , am, c1, . . . , cn2} ®éc lËp tuyÕn tÝnh, ta cãγ k = 0, k = 1, . . . , n2 (3)

δs = 0, s = 1, . . . , m (4)

Tõ (2) vµ (4), do {a1, . . . , am, b1, . . . , bn1} ®éc lËp tuyÕn tÝnh, ta cãβ j = 0, j = 1, . . . , n1 (5)

αi = 0, i = 1, . . . , m (6)

Tõ (3), (5), (6) suy ra B ®éc lËp tuyÕn tÝnh.

2.2 TÝch çc kh«ng gian vector

§Þnh nghÜa 9. Cho V 1, . . . , V s lµ çc kh«ng gian vector trªn K. TÝch cña çc V i,

ký hiÖus

i=1V i = V 1 × · · · × V s, lµ kh«ng gian vector

V 1 × · · · × V s = {(x1, . . . , xs) | xi ∈ V i, i = 1, . . . , s},

víi phÐp céng vµ phÐp nh©n ®îc ®Þnh nghÜa nh sau:

(x1, . . . , xs)+(y1, . . . , ys) = (x1+y1, . . . , xs+ys) α(x1, . . . , xs) = (αx1, . . . , α xs).



65

MÖnh ®Ò 10. Cho V 1, . . . , V s lµ çc kh«ng gian vector trªn K. Khi ®ã

dims

i=1

V i =s

i=1

dimV i.

Chøng minh. Ta chøng minh cho s = 2. Trêng hîp tæng qu¸t t¬ng tù.NÕu e1, . . . , en lµ c¬ së cña V 1 vµ f 1, . . . , f m lµ c¬ së cña V 2, th× dÔ kiÓm tra(e1, O), . . . , (en, O), (O, f 1), . . . , (O, f m) lµ c¬ së cña V 1 × V 2.

2.3 Kh«ng gian th¬ng

Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K

vµ W lµ kh«ng gian vector con cña V . TrªnV xÐt quan hÖ ®ång d modulo W nh sau

x, y ∈ V, x ≡ y(modW ) ⇐⇒ x − y ∈ W.

DÔ kiÓm tra ®©y lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng trªn V , nã ph©n ho¹ch V thµnh çclíp t¬ng ®¬ng

[x] = x + W = {y ∈ V | y ≡ x(modW )}.

Trªn tËp th¬ng V /W = {[x], x ∈ V } x¸c ®Þnh phÐp céng vµ phÐp nh©n nh sau

[x] + [y] = [x + y], α[x] = [αx].

Çc phÐp to¸n ®îc ®Þnh nghÜa ®óng ®¾n, tøc lµ kh«ng phô thuéc vµo phÇn tö ®¹idiÖn. ThËt vËy nÕu [x] = [x], [y] = [y], th× x − x, y − y ∈ W . Do W lµ kh«nggian con, ta cã

(x + y) − (x + y) = (x − x) + (y − y) ∈ W vµ αx − αx = α(x − x) ∈ W.

Tõ ®ã, suy ra [x + y] = [x + y], [αx] = [αx].DÔ kiÓm chøng hai phÐp to¸n trªn V/W tháa 8 tiªn ®Ò cña kh«ng gian vector,trong ®ã vector kh«ng lµ [O] = W . Kh«ng gian V /W , khi ®ã, gäi lµ kh«ng gianth¬ng cña V theo W .

§Þnh lý 2. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K

vµ W lµ kh«ng gian vector concña V . Khi ®ãdimV /W = dimV − dimW = codimW.

Chøng minh. Gäi e1, . . . , em lµ c¬ së cña phÇn bï ®¹i sè cña W . Khi ®ã,[e1], . . . , [em] lµ c¬ së cña V/W . ThËt vËy, mäi x ∈ V , cã biÓu diÔn duy nhÊtx = x1e1 + · · · + xmem + y, víi y ∈ W . Ta cã [y] = [O] ∈ V/W , suy ra mäi[x] ∈ V /W cã biÓu diÔn duy nhÊt [x] = x1[e1] + · · · + xm[em].



66

3 ¸

nh x¹ tuyÕn tÝnh3.1 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh

§Þnh nghÜa 10. Cho V ,V lµ hai kh«ng gian vector trªn trêng sè K. ¸nh x¹f : V −→ V gäi lµ K- tuyÕn tÝnh nÕu víi mäi x, y ∈ V, α ∈ K ta cã(L1) f (x + y) = f (x) + f (y),(L2) f (αx) = αf (x).

Ta ký hiÖu LK(V, V ) lµ tËp tÊt c¶ çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tõ V vµo V vµ ®ÆtLK(V ) = LK(V, V ).

NhËn xÐt. 1) §iÒu kiÖn (L1) vµ (L2) t¬ng ®¬ng víi ®iÒu kiÖn sau

(L) f (αx + βy) = αf (x) + βf (y), ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ K.

2) LK(V, V ) còng cã cÊu tróc kh«ng gian vector trªn K, víi phÐp c«ng ¸nh x¹vµ phÐp nh©n anh x¹ víi sè th«ng thêng

(f + g )(x) = f (x) + g (x) vµ (αf )(x) = αf (x), ∀f, g ∈ LK(V, V ), α ∈ K.

VÝ dô. 1) ¸nh x¹ kh«ng O : V −→ V , O(x) = O vµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt idV lµçc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.

2) Víi A ∈ MatK(m, n), ¸nh x¹ LA : Kn −→ Km, LA(x) = Ax, lµ ¸nh x¹ tuyÕntÝnh. §Æc biÖt

A =

λ1 0

0 λ2

=⇒ LA lµ phÐp co d·n çc trôc.

A =

1 0

0 −1

=⇒ LA lµ phÐp ®èi xøng qua trôc Ox1.

A =

−1 0

0 1

=⇒ LA lµ phÐp ®èi xøng qua trôc Ox2.

A =

−1 0

0 −1 =⇒ LA lµ phÐp ®èi xøng gèc O.

MÖnh ®Ò 11. Cho V ,V , V lµ çc kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈ LK(V, V ),g ∈ LK(V , V ). Khi ®ã1) f (OV ) = OV , trong ®ã OV , OV lµ çc vector kh«ng cña V ,V .

2) f (

ni=1

αixi) =

ni=1

αif (xi), ∀xi ∈ V , αi ∈ K, i = 1, . . . , n.

3) g ◦ f ∈ LK(V, V ).



67

Chøng minh. 1) Suy ra tõ (L2): f (OV ) = f (0 · OV ) = 0 · f (OV ) = OV .2) Víi n = 2 lµ hiÓn nhiªn, sau ®ã, quy n¹p theo n.3) Víi mäi x, y ∈ V vµ α, β ∈ K ta cã

(g ◦ f )(αx + βy) = g [f (αx + βy)] = g (αf (x) + βf (y))= αg (f (x)) + βg (f (y)) = α(g ◦ f )(x) + β (g ◦ f )(y)

.

Do ®ã, g ◦ f lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.

MÖnh ®Ò 12. Gi¶ sö {e1, . . . , en} lµ c¬ së cña V vµ f 1, . . . , f n lµ çc vectorbÊt kú cña V . Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt f ∈ LK(V, V ) sao cho f (ei) = f i,i = 1, . . . , n.

Chøng minh. DÔ dµng kiÓm chøng ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh cÇn t×m lµ

f (x) = f (n

i=1

xiei) =ni=1

xif i.

§Ó chøng minh tÝnh duy nhÊt, gi¶ sö tån t¹i g ∈ LK(V, V ) sao cho g (ei) = f i,

i = 1, . . . , n. Khi ®ã, víi mäi x =

ni=1

xiei ∈ V ta cã

f (x) = f (

ni=1 xiei) =

ni=1 xif (ei) =

ni=1 xig (ei) = g (

ni=1 xiei) = g (x).

VÝ dô. Trong R3 xÐt c¬ së chÝnh t¾c e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1).T×m ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f : R3 −→ R2 sao cho f (e1) = (1, 1), f (e2) = (2, 3),f (e3) = (4, 5).Víi mçi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 ta cã x = x1e1 + x2e2 + x3e3. Suy ra

f (x) = f (x1e1+x2e2+x3e3) = x1

11

+x2

23

+x3

45

=

x1 + 2x2 + 4x3

x1 + 3x2 + 5x3

MÖnh ®Ò 13. Cho V ,V

lµ çc kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈ LK(V, V

).1) NÕu W lµ kh«ng gian con cña V , th× f (W ) lµ kh«ng gian con cña V . 2) NÕu W lµ kh«ng gian con cña V , th× f −1(W ) lµ kh«ng gian con cña V .

Chøng minh. 1) Gi¶ sö y1, y2 lµ hai phÇn tö bÊt kú cña f (W ). Khi ®ã, tån t¹ix1, x2 ∈ W sao cho y1 = f (x1), y2 = f (x2). Víi mäi α, β ∈ K Ta cã

αy1 + βy2 = αf (x1) + βf (x2) = f (αx1 + βx2).



68

V× W lµ kh«ng gian con nªn αx1 + βx

2 ∈ W . Tõ ®ã αy

1 + βy

2 ∈ f (W ). Suy ra

f (W ) lµ kh«ng gian con cña V .2) Gi¶ sö x1, x2 lµ hai phÇn tö bÊt kú cña f −1(W ). Khi ®ã, f (x1), f (x2) ∈ W .Do W lµ kh«ng gian con nªn víi mäi α, β ∈ K ta cã

f (αx1 + βx2) = αf (x1) + βf (x2) ∈ W .

Tõ ®ã αx1 + βx2 ∈ f −1(W ). VËy f −1(W ) lµ kh«ng gian con.

3.2 ¶nh-Nh©n cña x¹ tuyÕn tÝnh

§Þnh nghÜa 11. Cho V ,V

lµ çc kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈ LK(V, V

). Khi ®ã1) Kerf = f −1(O) = {x ∈ V | f (x) = O} lµ mét kh«ng gian con cña V gäi lµnh©n cña f vµ dimKerf gäi lµ sè khuyÕt cña f . 2) Imf = f (V ) = {f (x) | x ∈ V } lµ mét kh«ng gian con cña V gäi lµ ¶nh cñaf vµ dimImf gäi lµ h¹ng cña f .

MÖnh ®Ò 14. Cho V ,V lµ çc kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈ LK(V, V ). Khi®ã çc ®iÒu sau lµ t¬ng ®¬ng 1) f lµ ®¬n ¸nh.

2) Kerf = {O}. 3) NÕu hÖ {e1, . . . , es} lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V , th× hÖ {f (e1), . . . , f (es)}®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V .

Chøng minh. 1) ⇒ 2). Gi¶ sö f lµ ®¬n ¸nh. XÐt bÊt kú x ∈ Kerf , ta cãf (x) = O = f (O). Do f ®¬n ¸nh nªn suy ra x = O. VËy Kerf = {O}.

2) ⇒ 3). Gi¶ sö cã ®¼ng thøcs

i=1

λif (ei) = O. Suy ra f (s

i=1

λiei) = O. Do ®ã,

s

i=1

λiei ∈ Kerf = {O}. Tøc lµ,s

i=1

λiei = O. Tõ tÝnh ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña

{e1, . . . , es} suy ra λ1 = . . . = λs = 0.

3) ⇒ 1). XÐt B = {u1, u2, . . . un} lµ mét c¬ së cña V vµ x =

ni=1

xiui, y =



69

ni=1

yiui lµ hai vector trong V . T a cã

f (x) = f (y) =⇒ f (ni=1

xiui) = f (ni=1

yiui)

=⇒ni=1

xif (ui) =ni=1

yif (ui) =⇒ni=1

(xi − yi)f (ui) = O

=⇒ xi − yi = 0, i = 1, . . . , n (do çc f (ui) ®éc lËp tuyÕn tÝnh)=⇒ xi = yi, i = 1, . . . , n =⇒ x = y.

VËy, f lµ ®¬n ¸nh.

MÖnh ®Ò 15. Cho V ,V lµ çc kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈ LK(V, V ). Khi®ã çc ®iÒu sau lµ t¬ng ®¬ng 1) f lµ toµn ¸nh. 2) Imf = V . 3) NÕu V = L(e1, . . . , es), th× V = L(f (e1), . . . , f (es)).

Chøng minh. DÔ dµng suy ra rõ ®Þnh nghÜa toµn ¸nh vµ hÖ sinh.

§Þnh lý 3. Cho V ,V lµ çc kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈ LK(V, V ). Khi ®ã

dimImf + dimKerf = dimV.Chøng minh. Gi¶ sö Kerf cã c¬ së lµ {e1, . . . , es}. Bæ sung vµo c¬ së nµy ®Ó{e1, . . . , es, es+1, . . . , en} lµ c¬ së cña V . §Ó cã c«ng thøc trªn, ta chØ cÇn chøngminh {f (es+1), . . . , f (en)} lµ c¬ së cña Imf .HÖ sinh. Mäi y ∈ Imf , tån t¹i x = x1e1 + · · · + xses + xs+1es+1 + · · · + xnen ∈ V sao cho

y = f (x) = f (x1e1, . . . , xses ∈Kerf

) + f (xs+1es+1, . . . , xnen)

= f (xs+1es+1 + · · · + xnen) = xs+1f (es+1) + · · · + xnf (en).

VËy, y ∈ L(es+1), . . . , f (en). Tõ ®ã, Imf = L(es+1), . . . , f (en).

§éc lËp tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö n

i=s+1

xif (ei) = O. Khi ®ã, f (n

i=s+1

xiei) = O. Tøc

lµ,n

i=s+1

xiei ∈ Kerf = L(e1, . . . , es). VËy,n

i=s+1

xiei =s

i=1

xiei. Tõ tÝnh ®éc lËp

tuyÕn tÝnh cña {e1, . . . , en} suy ra xs+1 = . . . = xn = 0.



70

3.3 §¼ng cÊu tuyÕn tÝnh

§Þnh nghÜa 12. Cho V ,V lµ çc kh«ng gian vector trªn K. ¸nh x¹ f : V −→ V

gäi lµ ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh nÕu f lµ song ¸nh vµ f, f −1 lµ çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Hai kh«ng gian V ,V gäi lµ ®¼ng cÊu nÕu tån t¹i mét ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh gi÷achóng. Mét ®¼ng cÊu tõ V lªn chÝnh nã gäi lµ tù ®¼ng cÊu hay phÐp biÕn ®æituyÕn tÝnh.

NhËn xÐt. f : V −→ V song ¸nh vµ tuyÕn tÝnh, th× f −1 : V −→ V tuyÕn tÝnh.ThËt vËy, xÐt mäi y1, y2 ∈ V , α, β ∈ K. Gäi x1, x2 ∈ V sao cho f (x1) = y1,f (x2) = y2. Khi ®ã

f

−1

(αy1 + βy2) = f

−1

(αf (x1) + βf (x2) = f

−1f (αx1 + βx2)= αx1 + βx2 = αf −1(y1) + βf −1(y2).

§Þnh lý 4. Hai kh«ng gian vector h÷u h¹n chiÒu trªn cïng trêng K ®¼ng cÊukhi vµ chØ khi chóng cïng chiÒu. §Æc biÖt: Mäi kh«ng gian vector n chiÒu V trªn K ®Òu ®¼ng cÊu víi Kn

Chøng minh. Gi¶ sö V vµ V ®¼ng cÊu. Bëi MÖnh ®Ò 14, 15, c¬ së cña V chuyÓnthµnh c¬ së cña V qua phÐp ®¼ng cÊu. Tõ ®ã, dimV = dimV .Ngîc l¹i, gi¶ sö dimV = dimV = n. Cè ®Þnh mét c¬ së B cña V . Khi ®ã ta cã®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh f : V −→ Kn, x −→ xB.

NhËn xÐt. §Þnh lý trªn cho phÐp ta khi nghiªn cøu çc tÝnh chÊt vÒ cÊu tróc tuyÕntÝnh cña kh«ng gian vecor n chiÒu V , chØ cÇn lµm viÖc trªn Kn, råi phiªn dÞchçc kÕt qña sang V .

3.4 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn

3.4.1 Ma trËn biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh

Cho V ,V lµ çc kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈ LK(V, V ). Gi¶ sö B ={e1, . . . , en}, B = {f 1, . . . , f m} lµ çc c¬ së cña V , V t¬ng øng. Ta muèn t×mmét biÓu thøc täa ®é cña f trong c¬ së B, B, tøc lµ khi y = f (x), h·y t×m qui

luËt gi÷a çc täa ®é xB vµ yB. Tríc hÕt, ta ®· biÕt r»ng mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnhhoµn toµn x¸c ®Þnh bëi gi¸ trÞ cña nã trªn c¬ së (MÖnh ®Ò 12). V× vËy, ta cÇnkh¶o s¸t täa ®é cña çc vector f (ei), i = 1, . . . , n theo c¬ së B.

§Þnh nghÜa 13. Ta gäi ma trËn ®Þnh nghÜa sau ®©y

M B

B (f ) =

f (e1)B f (e2)B · · · f (en)B

= ma trËn víi cét thø i lµ to¹ ®é f (ei)B



71

lµ ma trËn biÓu diÔn f trong c¬ së B, B.

MÖnh ®Ò 16. Cho f ∈ LK(V, V ) vµ M B

B (f ) lµ ma trËn biÓu diÔn f trong c¬ së B, B cña V , V . Khi ®ã

y = f (x) ⇐⇒ yB = M B

B (f )xB.

Chøng minh. Gi¶ sö f (e j) =mi=1

aijf i, tøc lµ f (e j)B =

a1 j

...amj

, j = 1, . . . , n.

Cho x =

n j=1

x je j , tøc lµ xB = x1

...xn

vµ y =

mi=1

yif i, tøc lµ yB = y1

...yn

.

Khi ®ã ta cã

y = f (x) ⇐⇒mi=1

yif i = f n j=1

x je j

=n

j=1

x jf (e j) =ni=1

m j=1

aijx j

f i.

⇐⇒ yi =m

j=1

aijx j, i = 1, . . . , m .

⇐⇒ y1y2...

yn

= a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

... ... . . . ...am1 am2 . . . amn

x1

x2

...xn

⇐⇒ yB = M B

B (f )xB

3.4.2 Quan hÖ gi÷a ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn

MÖnh ®Ò 17. Cho V , V , V lµ çc kh«ng gian vector trªn K vµ B , B , B lµ çcc¬ së t¬ng øng. Gi¶ sö f, g ∈ LK(V, V ) vµ h ∈ LK(V , V ) vµ α ∈ K. Khi ®ã

M B

B (f + g ) = M B

B (f ) + M B

B (g )

M B

B (αf ) = αM B

B (f )M B

B (h ◦ f ) = M B

B (h)M B

B (f )

Chøng minh. Gi¶ sö B = {e1, . . . , en}, B = {e1, . . . , em}, B = {e1, . . . , e p}.Khi ®ã hai ®¼ng thøc ®Çu suy ra tõ

(f + g )(e j)B =

f (e j) + g (e j)B

= f (e j)B + g (e j)B vµ (αf )(e j)B = αf (e j)B .



72

Gi¶ sö f (e j) =

mk=1

bkjek, h(ek) =

pi=1

aikei vµ h ◦ f (e j) =

pi=1

cijei . Khi ®ã

h ◦ f (e j) = h mk=1

bkjek

=mk=1

bkjh(ek) =

pi=1

mk=1

aikbkjei .

VËy, cij =mk=1

aikbkj . Suy ra ®¼ng thøc cuèi.

§Þnh lý 5. Cho V lµ kh«ng gian n chiÒu trªn K víi c¬ së B vµ V lµ kh«ng gianm chiÒu trªn K víi c¬ së B. Khi ®ã ¸nh x¹

M : LK(V, V ) −→ MatK(m, n), f −→ M(f ) = M B

B (f ),

lµ mét ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh.

Chøng minh. TÝnh tuyÕn tÝnh suy ra tõ MÖnh ®Ò 17, cßn tÝnh song ¸nh suy ra tõ MÖnh ®Ò 12.

NhËn xÐt. §inh lý trªn cho phÐp qui çc tÝnh to¸n trªn ¸nh x¹ tuyÕn vÒ çc tÝnhto¸n trªn ma trËn cña nã. TÊt nhiªn, nÕu ma trËn cµng ®¬n gi¶n th× viÖc tÝnh to¸ncµng dÔ dµng. Do vËy, ta muèn t×m mét c¬ së tèt ®Ó mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh cãma trËn biÓu diÔn d¹ng ®¬n gi¶n, ch¼ng h¹n nh d¹ng ®êng chÐo. VÊn ®Ò ®Æt ra

lµ, ®èi víi mçi phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh, liÖu cã t×m ®îc mét c¬ së ®Ó ma trËnbiÓu diÔn trong c¬ së ®ã cã d¹ng ®êng chÐo? T×m c¬ së ®ã nh thÕ nµo? MôctiÕp theo sÏ nghiªn cøu lêi gi¶i.

4 PhÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh vµ chÐo hãa

4.1 §æi c¬ së- C«ng thøc ®æi täa ®é

Cho B = (e1, . . . , en), C = (f 1, . . . , f n) lµ çc c¬ së cña kh«ng gian vector V vµx ∈ V . Chóng ta muèn t×m quan hÖ gi÷a xB vµ xC.

4.1.1 Ma trËn chuyÓn c¬ së

§Þnh nghÜa 14. Ma trËn chuyÓn c¬ së B sang C ®îc ký hiÖu vµ ®Þnh nghÜa bëi

M B→C =

(f 1)B . . . (f n)B

= Ma trËn víi cét i lµ täa ®é cña f i ®èi víi c¬ së B.



73

NhËn xÐt. 1) NÕu viÕt B nh lµ ma trËn víi cét i lµ vector ei, vµ t¬ng tù ®èi víiC , th× ta cã (f 1 . . . f n) = (e1 . . . en)M B→C hay C = BM B→C .2) M B→C = M BC (idV ).3) Do M CB(idV )M BC (idV ) = M CC (idV ) = I , nªn M B→C lµ ma trËn kh¶ nghÞch vµ(M B→C)−1 = M C→B .4) NÕu V = Kn, th× cã thÓ t×m M B→C bëi çc phÐp biÕn ®æ s¬ cÊp trªn ma trËn

(e1 · · · en | f 1 · · · f n) −→ (I | M B→C).

4.1.2 C«ng thøc ®æi täa ®é

MÖnh ®Ò 18. Cho B, C lµ hai c¬ së trªn kh«ng gian vector V vµ x ∈ V . Khi ®ãxB = M B→C · xC

Chøng minh. Suy ra tõ xB = (idV (x))B = M BC (idV )xC.

4.1.3 Ma trËn biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh trong çc c¬ së kh¸c nhau

MÖnh ®Ò 19. Cho f ∈ LK(V, V ). Gäi B, C lµ hai c¬ së cña V vµ B, C lµ haic¬ së cña V . Khi ®ã

M C

C (f ) = (M B→C )−1M B

B (f )M B→C

Chøng minh. Tõ quan hÖ gi÷a hîp ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ tÝch ma trËn ta cã

M C

C (idV ◦ f ◦ idV ) = M C

B (idV )M B

B (f )M BC (idV ) = (M B→C )−1M B

B (f )M B→C .

4.2 Ma trËn ®ång d¹ng- ChÐo hãa

§Þnh nghÜa 15. Hai ma trËn A, B ∈ MatK(n) gäi lµ ®ång d¹ng nÕu tån t¹i matrËn kh¶ nghÞch P sao cho B = P −1AP .

Ma trËn A ∈ MatK(n) gäi lµ chÐo ho¸ ®îc nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i mét ma trËnkh¶ nghÞch P sap cho P −1AP cã d¹ng chÐo.

Cho V lµ kh«ng gian n chiÒu trªn K. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f : V −→ V gäi lµ chÐoho¸ ®îc trªn K nÕu tån t¹i c¬ së B cña V sao cho ma trËn biÓu diÔn f trong c¬ së B cã d¹ng chÐo.



74

4.3 Gi¸ trÞ riªng-Vector riªng

§Þnh nghÜa 16. Cho V lµ kh«ng gian n chiÒu trªn K, f ∈ LK(V, V ) vµ A ∈MatK(n). Sè λ ∈ K gäi lµ gi¸ trÞ riªng cña f nÕu tån t¹i x ∈ V , x = 0, sao cho f (x) = λx. Sè λ ∈ K gäi lµ gi¸ trÞ riªng cña A nÕu tån t¹i x ∈ K

n, x = 0, sao cho Ax = λx. Khi ®ã x gäi lµ vector riªng øng víi gi¸ trÞ riªng λ.

MÖnh ®Ò 20. Cho A ∈ MatK(n). Khi ®ã1) λ ∈ K lµ gi¸ trÞ riªng cña A khi vµ chØ khi det(A − λI ) = 0. 2) x ∈ Kn lµ vector riªng øng víi gi¸ trÞ riªng λ khi vµ chØ khi x lµ nghiÖm kh¸ckh«ng cña hÖ ph¬ng tr×nh (A − λI )x = 0.

Chøng minh. λ ∈ K lµ gi¸ trÞ riªng cña A khi vµ chØ khi hÖ (A − λI )x = 0 cãnghiÖm kh¸c kh«ng. §iÒu nµy t¬ng ®¬ng víi det(A − λI ) = 0.

P A(λ) = det(A − λI ) gäi lµ ®a thøc ®Æc trng vµ det(A − λI ) = 0 gäi lµph¬ng tr×nh ®Æc trng cña ma trËn A.

NhËn xÐt. 1) NÕu A ®ång d¹ng víi B, th× P A(λ) = P B(λ). ThËt vËy, Gi¶ sö B = P −1AP , víi P kh¶ nghÞch. Khi ®ã

P B(λ) = det(P −1AP − λI ) = det(P −1(A − λI )P )

= det P −1

det(A − λI )det P = det(A − λI ) = P A(λ)

.

2) Víi mäi λ ∈ K, E (λ) = {x ∈ Kn | (A − λI )x = 0} lµ kh«ng gian vector concña Kn cã chiÒu b»ng n −rank(A−λI ), c¬ së cña kh«ng gian ®ã lµ hÖ nghiÖm c¬ së , tøc lµ hÖ çc nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh, cña hÖ ph¬ng tr×nh (A − λI )x = 0.

4.4 Tiªu chuÈn chÐo ho¸

§Þnh lý 6. Ma trËn A ∈ MatK(n) chÐo ho¸ ®îc trªn K khi vµ chØ khi hai ®iÒukiÖn sau ®îc tháa(1) Ph¬ng tr×nh ®Æc trng det(A−λI ) = 0 cã s nghiÖm kh¸c nhau λ1, λ2, . . . , λs ∈

K víi béi n1, n2, . . . , ns t¬ng øng sao cho n1 + n2, · · · + ns = n.(2) Víi mçi i ∈ {1, . . . , s}, ph¬ng tr×nh (A − λiI )x = 0 cã ni nghiÖm ®éc lËptuyÕn tÝnh trong Kn (gäi lµ nghiÖm c¬ së).

Chøng minh. Ta cÇn bæ ®Ò sau

Bæ ®Ò 2. NÕu λ1, λ2, . . . , λs ∈ K lµ çc gi¸ trÞ kh¸c nhau cña A, th× çc hÖ çcvector riªng e1, e2, . . . , es ∈ Kn øng víi çc gi¸ trÞ riªng ®ã lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh.



75

Chøng minh bæ ®Ò. Ta chøng minh b»ng qui n¹p theo s. Víi s = 1, bæ ®Ò hiÓnnhiªn ®óng v× mäi vector riªng ®Òu kh¸c O . Gi¶ sö bæ ®Ò ®óng víi s − 1.

Gi¶ sö αi ∈ K,sao cho: α1e1 + α2e2 + · · · + αses = O. (A)Nh©n A vµo hai vÕ cña (A): α1λ1e1 + α2λ2e2 + · · · αsλses = O, (B)

Thùc hiÖn λs(A)−(B): α1(λs−λ1)e1+α2(λs−λ2)e2+· · ·+αs−1(λsλs−1es−1 = O.Bëi gi¶ thiÕt qui n¹p vµ λs = λi, suy ra α1 = . . . = αs−1 = O (C ).Tõ (A) vµ (C ) suy ra αs = 0. VËy, e1, e2, . . . , es ®éc lËp tuyÕn tÝnh.Chøng minh ®Þnh lý. Gi¶ sö tån t¹i P kh¶ nghÞch sao cho

P −1AP = D = diag(λ1, . . . , λ1

n1

, . . . , λs, . . . , λs

ns

).

Khi ®ã, P A(λ) = P D(λ) = (−1)ns

i=1

(λ − λi)ni . Suy ra kh¼ng ®Þnh 1).

Tõ AP = P D suy raAp1 Ap2 . . . Apn

=

λ1 p1 . . . λ1 pn1 . . . λs pn

,

trong ®ã, pi lµ cét thø i cña ma trËn P . Tøc lµ, mçi cét cña P lµ lµ mét vectorriªng cña A. Do det P = 0, çc cét cña P lµ çc vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Nãiriªng, cã ni çc vector riªng ®éc lÊp tuyÕn tÝnh øng víi gi¸ trÞ riªng λi.Ngîc l¹i, tõ 1) suy ra A cã çc gi¸ trÞ riªng λ1, . . . , λs kh¸c nhau. Tõ 2) suyra mçi gi¸ trÞ riªng λi cã ni vector riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnh: ei1, . . . , eini. Theo

bæ ®Ò, hÖ e11, . . . , e1n1 , . . . , es1, . . . , esns ®éc lËp tuyÕn tÝnh, h¬n n÷a, theo 2) hÖ gåm

n1+n2, · · · +ns = n vector, nªn nã lµ mét c¬ së cña Kn. §Æt P =

e11 . . . esns

.Khi ®ã P kh¶ nghÞch vµ

AP = P diag(λ1, . . . , λ1 n1

, . . . , λs, . . . , λs ns

).

Tøc lµ P −1AP lµ ma trËn chÐo.

HÖ qu¶ 1. NÕu mäi gi¸ trÞ riªng cña ma trËn A ∈ MatK(n) thuéc K vµ kh¸cnhau tõng ®«i mét, th× A chÐo ho¸ ®îc.

4.5 ThuËt to¸n chÐo ho¸ ma trËn A ∈ MatK(n)

Bíc 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng det(A − λI ) = 0, ®Ó t×m gi¸ trÞ riªng- NÕu kh«ng ®ñ n nghiÖm (kÓ c¶ béi) thuéc K, th× kh«ng chÐo ho¸ ®îc.- NÕu ®ñ n nghiÖm λ1, λ2, . . . , λs ∈ K víi béi n1, n2, . . . , ns, th× qua bíc 2. Bíc 2. Víi mçi i = 1, . . . , s, gi¶i hÖ (A − λiI )x = 0, ®Ó t×m vector riªng.



76

- NÕu tån t¹i i sao cho rank(A − λiI ) = n − ni, th× kh«ng chÐo ho¸ ®îc.- NÕu víi mäi i sao cho rank(A − λiI ) = n − ni, th× x¸c ®Þnh ni vector ®éc lËptuyÕn tÝnh ei1, . . . , eini . Bíc 3. §Æt P =

e11 . . . esns

. Khi ®ã P kh¶ nghÞch vµ

AP = P diag(λ1, . . . , λ1 n1

, . . . , λs, . . . , λs ns

).

4.6 ThuËt to¸n chÐo ho¸ ¸nh x¹ K-tuyÕn tÝnh f : V −→ V

Bíc 1. Cè ®Þnh mét c¬ së B cña V vµ x¸c ®Þnh A = M BB (f ).

Bíc 2. ChÐo hãa A, tøc lµ t×m P sao cho P −1

AP = D lµ ma trËn chÐo. Bíc 3. Khi ®ã c¬ së C = BP tháa M CC (f ) = D. ThËt vËy, ta cã

M BP BP (f ) = (M B→BP )−1M B

B (f )M B→BP

MÆt kh¸c, do BP = B · M B→BP vµ B kh¶ nghÞch, suy ra P = M B→BP .

5 D¹ng song tuyÕn tÝnh - D¹ng toµn ph¬ng

5.1 D¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng

§Þnh nghÜa 17. Cho V lµ mét kh«ng gian vector trªn K. Mét d¹ng song tuyÕntÝnh trªn V lµ ¸nh x¹ q : V × V −→ K, nÕu q tuyÕn tÝnh theo tõng biÕn, tøc lµcã tÝnh chÊt sau ®©y víi mäi x, x, y , y ∈ V vµ α, β ∈ K

(B1) q(x + x, y) = q(x, y) + q(x, y)q(αx,y) = αq(x, y)

(B2) q(x, y + y) = q(x, y) + q(x, y)q(x,αy) = αq(x, y).

D¹ng q gäi lµ ®èi xøng nÕu q(x, y) = q(y, x), ∀x, y ∈ V . D¹ng q gäi lµ ph¶n xøng nÕu q(x, y) = −q(y, x), ∀x, y ∈ V .

VÝ dô. 1) §Þnh thøc det: K2 × K2 −→ K, (a1, a2) −→ det(a1 a2) lµ mét d¹ngsong tuyÕn tÝnh ph¶n xøng.2) TÝch v« híng , : Kn × Kn −→ K, x, y =t xy = x1y1 + · · · + xnyn, trong®ã, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Kn, lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng.



77

5.2 Ma trËn biÓu diÔn d¹ng song tuyÕn tÝnh

5.2.1 Ma trËn biÓu diÔn trong mét c¬ së

Gi¶ sö B = {e1, . . . , en} lµ c¬ së cña V vµ q lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn V . Khi

®ã, víi mäi x =ni=1

xiei,n

j=1

y je j ∈ V , ta cã

q(x, y) = q ni=1

xiei,n

j=1

y je j

=n

i,j=1

q(ei, e j)xiy j .

Ma trËn A = (aij) = q(ei, e j) ∈ MatK(n) gäi lµ ma trËn biÓu diÔn cña q trongc¬ së B.NhËn xÐt. q lµ ®èi xøng khi vµ chØ khi A lµ ma trËn ®èi xøng.

VÝ dô. D¹ng song tuyÕn tÝnh sinh bëi ma trËn A = (aij) ∈ MatK(n)

qA : Kn × Kn −→ K, qA(x, y) =t xAy =

ni,j=1

aijxix j,

cã ma trËn biÓu diÔn trong c¬ së chÝnh t¾c lµ A.

5.2.2 Ma trËn biÓu diÔn trong çc c¬ së kh¸c nhau

Cho q lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn V . Gi¶ sö A lµ ma trËn biÓu diÔn q trong c¬ së B vµ A lµ ma trËn biÓu diÔn q trong c¬ së C . Khi ®ã, ta cã

A = tM B→C · A · M B→C .

ThËt vËy, víi x, y ∈ V ta cã xB = M B→CxC vµ yB = M B→CyC . Tõ dã

q(x, y) = txB · A · yB = txCtM B→C · A · M B→C · yC.

Suy ra mèi quan hÖ gi÷a A vµ A.

§Þnh nghÜa 18. H¹ng cña d¹ng song tuyÕn tÝnh q trªn V , ký hiÖu rank(q), lµ h¹ng cña ma trËn biÓu diÔn A cña q trong mét c¬ së nµo ®ã. Ta nãi q kh«ng suy biÕnnÕu rank(q) = dimV .



78

5.3 D¹ng toµn ph¬ng

§Þnh nghÜa 19. Cho q lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn K-kh«ng gian vector V .D¹ng toµn ph¬ng sinh bëi q lµ ¸nh x¹ Q : V −→ K, Q(x) = q(x, x).

NhËn xÐt. Cã thÓ cã nhiÒu d¹ng song tuyÕn tÝnh sinh ra cïng mét d¹ng toµnph¬ng. VÝ dô, çc d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn R2,

q(x1, x2; y1, y2) = x1y1 + ax1y2 + bx2y1 + x2y2, víi a + b = 1,

cïng sinh ra mét d¹ng toµn ph¬ng Q(x1, x2) = q(x1, x2; x1, x2) = x21+x1x2+x2

2.

MÖnh ®Ò 21. Mäi d¹ng toµn ph¬ng Q ®Òu cã duy nhÊt mét d¹ng song tuyÕntÝnh ®èi xøng sinh ra Q. Tøc lµ, cã mét song ¸nh gi÷a d¹ng toµn ph¬ng vµ d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng.

Chøng minh. Gi¶ sö d¹ng toµn ph¬ng Q ®îc sinh bëi q. §Æt

q(x, y) = 1

2

q(x, y) + q(y, x)

.

Khi ®ã, q lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng sinh ra Q. Tõ q ®èi xøng, ta cã

q(x + y, x + y) = q(x, x) + q(y, y) + 2q(x, y)

Suy ra, q ®îc x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi c«ng thøc

q(x, y) = 1

2

Q(x + y) − Q(x) − Q(y)

Ta gäi d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng cña q sinh ra d¹ng toµn ph¬ng Q lµ d¹ngcùc cña cña Q. Ma trËn biÓu diÔn d¹ng toµn ph¬ng Q trong mét c¬ së lµ matrËn biÓu diÔn cña q trong c¬ së ®ã. Nh vËy, nÕu V lµ kh«ng gian vector víi c¬ së B = {e1, . . . , en}, th× d¹ng toµn ph¬ng Q cã biÓu thøc to¹ ®é lµ ®a thøc thuÇnnhÊt bËc 2:

Q(x) = Q(ni=1

xiei) =n

i,j=1

q(ei, e j)xix j =n

i,j=1

aijxix j,

víi ma trËn biÓu diÔn trong c¬ së B lµ ma trËn ®èi xøng A = (aij).



79

5.4 D¹ng chÝnh t¾c cña d¹ng toµn ph¬ng

Còng nh ®èi víi phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh, ta muèn t×m mét c¬ së tèt B ®Ó métd¹ng toµn ph¬ng Q trªn kh«ng gian vector n chiÒu V cã ma trËn biÓu diÔn d¹ng®¬n gi¶n, ch¼ng h¹n nh d¹ng ®êng chÐo. Khi ®ã, biÓu thøc täa ®é cña nã cãd¹ng tæng b×nh ph¬ng

Q(x) = a1x21 + · · · + anx2

n,

víi mäi x ∈ V vµ xB = (x1, . . . . xn).

§Þnh nghÜa 20. Cho Q lµ d¹ng toµn ph¬ng V . C¬ së B = {e1, . . . , en} cña V

gäi lµ c¬ së Q-chÝnh t¾c nÕu vµ chØ nÕu ma trËn biÓu diÔn Q trong c¬ së B cãd¹ng chÐo, tøc lµ biÓu thøc täa ®é cña Q trong c¬ së ®ã cã d¹ng chÝnh t¾c

Q(x) = λ1x21 + · · · + λnx2

n.

NhËn xÐt. Gi¶ sö d¹ng toµn ph¬ng Q trªn V cã ma trËn biÓu diÔn trong c¬

së B lµ A = (aij). Tøc lµ, biÓu thøc to¹ ®é cña Q cã d¹ng Q =n

i,j=1

aijxix j ,

trong ®ã xB = (x1, . . . , xn). ViÖc t×m d¹ng chÝnh t¾c cña Q, tøc lµ t×m mét c¬ së Q-chÝnh t¾c C t¬ng ®¬ng víi viÖc t×m ma trËn chuyÓn c¬ së M B→C saocho A = tM B→C · A · M B→C cã d¹ng chÐo. Khi ®ã víi phÐp biÕn ®æi täa ®éxB = M B→C · xC, biÓu thøc täa ®é cña Q trong c¬ së C cã d¹ng chÝnh t¾c

Q = λ1y21 + · · · + λny2

n,

trong ®ã, xC = (y1, . . . , yn).

5.4.1 Ph¬ng ph¸p Lagrange t×m d¹ng chÝnh t¾c

§Þnh lý 7. Mäi d¹ng toµn ph¬ng Q trªn V ®Òu cã thÓ ®a vÒ d¹ng chÝnh t¾c,

Chøng minh. (ThuËt to¸n Lagrange) Gi¶ sö trong c¬ së B = {e1, . . . , en} d¹ng

toµn ph¬ng Q cã d¹ng Q(x) =n

i,j=1

aijxix j , víi xB = (x1, . . . , xn).

Ta chØ cÇn chøng minh trêng hîp tån t¹i i ®Ó aii = 0. V× nÕu kh«ng, th× ph¶i cã



80

i = j sao cho aij = 0. Khi ®ã, ®Æt

xi = ui + u j

x j = ui − u j

xk = uk ∀k = i, j

vµ P =

1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0...

... . . . ... . . .

... . . . ...

0 0 . . . 1 . . . 1 . . . 0...

... . . . ... . . .

... . . . ...

0 0 . . . −1 . . . 1 . . . 0...

... . . . ... . . .

... . . . ...

0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1

Khi ®ã, det P = 0. §Æt C = BT , ta cã P = M B→BP . Trong c¬ së C , biÓu thøctäa ®é cña Q cã d¹ng Q = 2aiju2i + . . .

Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, cã thÓ gi¶ thiÕt a11 = 0. Khi ®ã, Q ®îc viÕt l¹i nh sau

Q = a11(x21 + 2a12

a11x1x2 + · · · + 2

a1n

a11x1xn) +

ni,j=2

aijxix j

= a11x1 +

a12

a11x2 + · · · +

a1n

a11xn

2+

ni,j=2

aijxix j − a11a12a11

x2 + · · · + a1n

a11xn

2

R(x2,...,xn)

§Æt

x1 = x1 +

a12

a11x2 + · · · +

a1n

a11xn

xi = xi, ∀i = 2, . . . , n .⇐⇒

x1 = x

1 + a12

a11x2 + · · · +

a1n

a11xn

xi = xi, ∀i = 2, . . . , n .

XÐt ma trËn

T =

1 −a12

a11. . . −

a1n

a11

0 1 . . . 0...

... . . . ...

0 0 . . . 1

Khi ®ã, det T = 0. §Æt B = BT , ta cã T = M B→BT . Trong c¬ së B , biÓu thøc

täa ®é cña Q cã d¹ng

Q = a11x21 + R(x2, . . . , xn).

LËp luËn t¬ng tù, ®a R(x2, . . . , xn) vÒ d¹ng R = a2x22 + S ((x2, . . . , xn). TiÕptôc qu¸ tr×nh trªn, sau mét sè h÷u h¹n bíc, ta ®îc d¹ng chÝnh t¾c.



81

5.4.2 Ph¬ng ph¸p Jacobi t×m d¹ng chÝnh t¾c

Cho ma trËn A = (aij)1≤i,j≤n ∈ MatK(n). Gäi Dk = det(aij)1≤i,j≤k , ®Þnh thøct¹o thµnh tõ k dßng, k cét ®Çu tiªn cña A, lµ ®Þnh thøc con chÝnh cÊp k cña A.

§Þnh lý 8. Cho d¹ng toµn ph¬ng Q trªn V cã ma trËn biÓu diÔn trong c¬ së B = {e1, . . . , en} lµ A = (aij) ∈ MatK(n). Gi¶ sö, çc ®Þnh thøc con chÝnh Dk

cña A, k = 1, . . . , n − 1, ®Òu kh¸c 0. Khi ®ã tån t¹i mét c¬ së Q-chÝnh t¾cC = {u1, . . . , un} sao cho biÓu thøc täa ®é cña Q trong c¬ së ®ã cã d¹ng chÝnht¾c

Q = D1y21 +

D2

D1y22 + · · · +

Dn

Dn−1y2n,

trong ®ã, xC = (y1, . . . , yn).

Chøng minh. Gäi q lµ d¹ng cùc cña Q. Víi mçi k = 2, 3, . . . , n, xÐt hÖ

k−1 j=1

aijα jk + aik = 0

i = 1, 2, . . . , k − 1.

§©y lµ hÖ Cramer v× ma trËn hÖ sè cña nã cã ®Þnh thøc lµ Dk−1 = 0. Tõ ®ã, hÖ

cã nghiÖm αik = aki

Dk−1

, i = 1, . . . , k − 1, trong ®ã, aki lµ phÇn bï ®¹i sè cña aki

trong Dk.

§Æt u1 = e1 vµ uk =k−1 j=1

α jke j + ek, k = 2, . . . , n. Khi ®ã, C = {u1, . . . , uk} lµ

c¬ së tháa

q(ui, u j) =

D1 nÕu i = j = 1,Di

Di−1nÕu 2 ≤ i = j ≤ n,

0 nÕu i = j .

Nh vËy, C lµ c¬ së Q-chÝnh t¾c vµ cã biÓu thøc täa ®é cña Q trong c¬ së C nh

®· nªu.

5.5 D¹ng x¸c ®Þnh

§Þnh nghÜa 21. Cho d¹ng toµn ph¬ng Q trªn kh«ng gian vector thùc V . Khi®ãQ gäi lµ x¸c ®Þnh d¬ng, ký hiÖu Q > 0, nÕu Q(x) > 0 víi mäi x = O.



82

Q gäi lµ x¸c ®Þnh ©m, ký hiÖu Q < 0, nÕu Q(x) < 0 víi mäi x = O.Q gäi lµ kh«ng x¸c ®Þnh nÕu tån t¹i x, y sao cho Q(x) < 0, Q(x) < 0.

Víi ký hiÖu nh trong ®Þnh lý 8 ta cã

§Þnh lý 9. (Tiªu chuÈn Sylvester)

Q > 0 ⇐⇒ Dk > 0, ∀k = 1, . . . , n .Q < 0 ⇐⇒ (−1)kDk > 0, ∀k = 1, . . . , n .

Chøng minh. Suy ra tõ ®Þnh lý 8.



83

IV. PhÐp tÝnh vi ph©n hµm mét biÕn thùc

1 Sè thùc

XuÊt ph¸t tõ sè tù nhiªn N, do çc nhu cÇu kh¸c nhau, ng-êi ta më réng thµnhtËp sè nguyªn Z vµ tËp sè h÷u tØ Q. Trong phÇn nµy ta x©y dùng tËp sè thùc R,b»ng çch bæ sung vµo Q çc sè v« tØ.

1.1 Sè h÷u tØ

Nh¾c l¹i: N = {1, 2, 3, . . .} vµ Z = {0, ±1, ±2, . . .}. Ng-êi ta ®Þnh nghÜa sè h÷utØ

Q = { p

q | q ∈ Z, q ∈ N}.

VËy mçi sè h÷u tØ lµ tØ sè cña hai sè nguyªn, vµ cã nhiÒu biÔu diÔn kh¸c nhau.

Ch¼ng h¹n, −9

12 vµ

−6

8 cïng biÓu diÔn sè

−3

4 . Ta l-u ý r»ng mçi sè h÷u tØ ®Òu

cã thÓ viÕt d-íi d¹ng thËp ph©n: ±a0, a1a2a3 . . ., trong ®ã, a0 lµ mét sè nguyªnkh«ng ©m, cßn a1, a2, a3, . . . lµ çc ch÷ sè tõ 0 ®Õn 9.NÕu chØ cã h÷u h¹n çc ak kh¸c kh«ng, th× ta nãi sè thËp ph©n ®ã lµ h÷u h¹n.Çc sè h÷u tØ mµ mÉu sè cña nã chØ chøa thõa sè 2 hoÆc 5 ®Òu cã biÓu diÔn lµ sè

thËp ph©n h÷u h¹n. BiÓu diÔn thËp ph©n cña mét sè h÷u tØ cã thÓ v« h¹n nh-ngtuÇn hoµn (v× phÐp chia cho mét sè q > 1 chØ cã thÓ cã q sè d- kh¸c nhau). PhÇnthËp ph©n lËp l¹i nµy gäi lµ chu kú, th-êng viÕt gän trong ngoÆc ®¬n.

VÝ dô.23

20 = 1, 50000 . . .

19

22 = 0, 8636363 . . . = 0, 8(63).

89

= 1, 888 . . . = 0, (8).

Mçi sè thËp ph©n h÷u h¹n hay v« h¹n tuÇn hoµn ®Òu biÓu diÔn mét sè h÷u tØ. §Ó t×msè h÷u tØ cã biÓu diÔn thËp ph©n h÷u h¹n cho tr-íc ta chØ viÖc nh©n vµ chia mét lòy

thõa thÝch hîp cña 10. Ch¼ng h¹n 1, 254 = 1254

1000. Víi çc sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn

hoµn ta xÐt riªng phÇn tuÇn hoµn. Ch¼ng h¹n t×m sè h÷u tØ cã biÓu diÔn thËp ph©n



84

lµ 2, 2(81). §Æt x = 0, 0(81), suy ra 1000x = 81, (81) = 81 + 0, (81) = 81+10x.

Tõ ®ã, x = 81

990 =

9

110. VËy,

2, 2(81) = 2, 2 + 0, 0(81) = 22

10 +

9

110 =

251

110.

1.2 Sè thùc

Sè v« tØ: Ta l-u ý r»ng tËp sè h÷u tØ kh«ng ®ñ ®Ó biÔu diÔn çc ®¹i l-îng thùc tÕ.Ch¼ng h¹n, xÐt h×nh vu«ng c¹nh 1. Theo ®Þnh lý Pythagore, ®é dµi x cña ®-êngchÐo tháa x2 = 2. Nh-ng,

MÖnh ®Ò 1. Kh«ng cã sè h÷u tØ nµo mµ x2 = 2.

Chøng minh. ThËt vËy, gi¶ sö cã p

q, víi p, q nguyªn tè cïng nhau, tháa x2 = 2.

Ta cã p2 = 2q2 nªn p lµ ch½n, tøc lµ p = 2k. Nh-ng khi ®ã 2q2 = 4k2 nªn q còngch½n. §iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn.

NÕu ta ®-a vµo sè √

2 sao cho (√

2)2 = 2, th× √

2 kh«ng thÓ biÓu diÔn thµnh sè thËp ph©n h÷u h¹n hoÆc v« h¹n tuÇn hoµn.

§Þnh nghÜa 1. Ta gäi tÊt c¶ çc sè thËp ph©n v« h¹n kh«ng tuÇn hoµn lµ çc sè

v« tØ. TËp R gåm tÊt c¶ çc sè h÷u tØ vµ v« tØ gäi lµ sè thùc.

Tõ ®Þnh nghÜa, , mçi sè thùc cã d¹ng ±a0, a1a2a3 . . ., víi a0 lµ mét sè nguyªnkh«ng ©m, cßn a1, a2, a3, . . . lµ çc ch÷ sè tõ 0 ®Õn 9. Sè kh«ng lµ sè mµ biÓudiÔn thËp ph©n chØ chøa ch÷ sè 0; sè d-¬ng lµ çc sè øng víi dÊu +, sè ©m øngvíi dÊu −. Hai sè chØ kh¸c nhau phÇn dÊu ± gäi lµ ®èi nhau.

Trªn tËp sè thùc R ta x©y dùng quan hÖ thø tù nh- sau: Víi hai sè thùc d-¬nga, b ta nãi a < b nÕu trong biÔu diÔn thËp ph©n cña chóng, t¹i vÞ trÝ cã ch÷ sè kh¸cnhau ®Çu tiªn, ch÷ sè cña a nhá h¬n cña b. Ch¼ng h¹n, 1, 23187 . . . < 1, 23206 . . .Víi a, b ©m, ta nãi a < b nÕu

−b <

−a, trong ®ã

−a,

−b ký hiÖu sè ®èi cña a, b

t-¬ng øng. NÕu a ©m, b d-¬ng ta qui -íc a < 0, 0 < b. Ngoµi ra ta nãi a ≤ bnÕu a < b hoÆc a = b. §Þnh nghÜa nµy cho mét quan hÖ thø tù trªn R tháa çctÝnh chÊt:

§Þnh lý 1. (a) Víi a, b ∈ R, chØ x¶y ra mét trong çc kh¶ n¨ng sau

a < b hoÆc a = b hoÆc b < a.



85

(b) (B¾c cÇu) Cho a, b, c∈R, khi ®ã

a < b

b < c=⇒ a < c.

(c) (Trï mËt) Cho a, b ∈ R víi a < b. Khi ®ã tån t¹i mét sè h÷u tØ x vµ mét sè v« tØ y sao cho a < x, y < b.

1.3 Çc phÐp to¸n sè häc

Ta c«ng nhËn r»ng cã thÓ thùc hiÖn hai phÐp to¸n céng vµ nh©n çc sè thùc d-íi

d¹ng thËp ph©n sao cho khi çc biÓu diÔn nµy h÷u h¹n hoÆc v« h¹n tuÇn hoµn th×çc phÐp to¸n ®ã trïng víi çc phÐp to¸n trªn tËp çc sè h÷u tØ ®· biÕt. Hai phÐpto¸n ®ã cÇn çc tÝnh chÊt sau ®©y víi mäi a, b, c ∈ R , mµ còng lµ çc tiªn ®Ò khix©y dùng tËp sè thùc b»ng tiªn ®Ò:

PhÐp céng: PhÐp nh©n:C 1 : a + b ∈ R. N 1 : ab ∈ R.C 2 : (a + b) + c = a + (b + c). N 2 : (ab)c = a(bc).C 3 : a + b = b + a. N 3 : ab = ba.C 4 : a + 0 = a. N 4 : 1 · a = a.C 4 :

∃ −a

∈R : a + (

−a) = 0. N 5 :

∃a−1

∈R : aa−1 = 1.

P : (a + b)c = ac + bc.

1.4 CËn trªn vµ cËn díi

Cho tËp ∅ = E ⊂ R.Sè thùc M gäi lµ cËn trªn cña E nÕu ∀x ∈ E =⇒ x ≤ M . Mét tËp cã cËn trªngäi lµ bÞ chÆn trªn.Sè thùc m gäi lµ cËn díi cña E nÕu ∀x ∈ E =⇒ x ≥ m. Mét tËp cã cËn trªngäi lµ bÞ chÆn díi.

TËp E gäi lµ bÞ chÆn nÕu nã võa bÞ chÆn trªn võa bÞ chÆn d-íi.Râ rµng, nÕu mét tËp cã cËn trªn (hoÆc cËn d-íi), th× sÏ cã v« sè cËn trªn (hoÆccËn d-íi). Tõ ®ã ta cã ®Þnh nghÜa:Gi¶ sö E bÞ chÆn trªn, ta gäi cËn trªn nhá nhÊt trong tÊt c¶ çc cËn trªn cña E lµ cËn trªn ®óng hay supremum cña E , ký hiÖu: sup E . NÕu sup E ∈ E , th× tanãi E cã gi¸ trÞ lín nhÊt vµ ký hiÖu max E thay cho sup E .Gi¶ sö E bÞ chÆn d-íi, ta gäi cËn d-íi lín nhÊt trong tÊt c¶ çc cËn d-íi cña E



86

lµ cËn díi ®óng hay infimum cña E , ký hiÖu: inf E . NÕu inf E ∈

E , th× ta nãiE cã gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ ký hiÖu min E thay cho inf E .

§Þnh lý 2. (TÝnh ®Çy ®ñ cña R) Mäi tËp con E kh¸c rçng cña tËp sè thùc R bÞchÆn trªn ( díi) ®Òu cã cËn trªn ®óng (cËn díi ®óng).

Víi tËp E kh«ng bÞ chÆn trªn ta qui -íc sup E = +∞, cßn nÕu E kh«ng bÞ chÆnd-íi, th× inf E = −∞.

2 D·y sè thùc

2.1 Kh¸i niÖm d·y sè

Mçi ¸nh x¹ f : N −→ R, n −→ f (n) gäi lµ mét d·y sè . Ta th-êng ký hiÖuan = f (n), khi ®ã d·y sè th-êng ®-îc viÕt gän lµ {an} hoÆc liÖt kª çc phÇn tö cña d·y

a1, a2, . . . , an, . . .

PhÇn tö an gäi lµ sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y. Râ rµng mét d·y hoµn toµn x¸c

®Þnh nÕu biÕt sè h¹ng tæng qu¸t cña nã. Ch¼ng h¹n d·y {1

n} lµ

1,

1

2 ,

1

3 , . . . ,

1

n , . . .

Cho d·y sè thùc {an}. Víi mçi d·y çc sè tù nhiªn t¨ng dÇn

n1 < n2 < · · · < nk < · · · ,

d·y sè {ank} = an1, an2 , . . . , ank , . . . gäi lµ d·y con cña {an}. Ch¼ng h¹n, d·y{(−1)n} cã mét d·y con lµ 1, 1, . . . , 1, . . . øng víi d·y çc sè ch½n cña chØ sè n.Râ rµng, mäi d·y ®Òu lµ d·y con cña chÝnh nã.

2.2 D·y bÞ chÆn- D·y ®¬n ®iÖu§Þnh nghÜa 2. Ta nãi d·y sè {an} lµ

• bÞ chÆn trªn nÕu tån t¹i M sao cho an ≤ M , víi mäi n.• bÞ chÆn díi nÕu tån t¹i m sao cho an ≥ m, víi mäi n.• bÞ chÆn hoÆc giíi néi nÕu tån t¹i K > 0 sao cho |an| ≤ K , víi mäi n ( tøc

lµ võa bÞ chÆn trªn võa bÞ ch©n díi).



87

VÝ dô. a) D·y {

(−

1)n

} bÞ chÆn.

b) D·y {n sin 1

n} bÞ chÆn v× ta lu«n cã | sin x| ≤ |x|.

c) D·y {(−1)nn} kh«ng bÞ chÆn.

§Þnh nghÜa 3. Ta nãi d·y sè {an} lµ• ®¬n ®iÖu t¨ng nÕu an ≤ an+1, víi mäi n.• ®¬n ®iÖu gi¶m nÕu an ≥ an+1, víi mäi n.

D·y ®¬n ®iÖu t¨ng hay ®¬n ®iÖu gi¶m gäi chung lµ ®¬n ®iÖu.

VÝ dô. a) D·y { n

n + 1} ®¬n ®iÖu t¨ng.

b) D·y {(

−1)n

n } kh«ng ®¬n ®iÖu t¨ng còng kh«ng ®¬n ®iÖu gi¶m. Çc sè h¹ngcña nã dao ®éng hai phÝa cña 0.

2.3 Giíi h¹n d·y sè

§Þnh nghÜa 4. Ta nãi d·y {an} héi tô ®Õn sè L khi n dÇn ®Õn ∞ nÕu

∀ > 0, ∃N ∈ N : |an − L| < , ∀n > N.

Sè L gäi lµ giíi h¹n cña d·y {an} , vµ ký hiÖu

limn→∞

an = L hoÆc an →

L (n→ ∞

).

D·y tiÕn ra v« cïng: Ký hiÖu lim

n→∞an = +∞ nÕu ∀E > 0, ∃N ∈ N : n > N =⇒ an > E .

Ký hiÖu limn→∞

an = −∞ nÕu ∀E > 0, ∃N ∈ N : n > N =⇒ an < −E .

D·y kh«ng cã giíi h¹n hoÆc cã giíi h¹n v« cïng gäi lµ d·y ph©n kú.

VÝ dô. 1) limn→∞

n

n + 1 = 1. ThËt vËy, xÐt |an − 1| =

1

n + 1. Víi mäi > 0 cho

tr-íc ta cã

|an − 1| = 1

n + 1 < nÕu chän n >

1

.

1) D·y {(−1)n} kh«ng cã giíi h¹n. ThËt vËy, nÕu d·y dã cã giíi h¹n L, th× víin ®ñ lín ta cã |(−1)n − L| < 1. Cho n nhËn çc gi¸ trÞ ch½n lÎ kh¸c nhau ta cã

|1 − L| < 1 vµ | − 1 − L| < 1.

§iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn v×

2 = |1 − L − (−1 − L)| ≤ |1 − L| + | − 1 − L| < 2.



88

3) D·y çc h»ng sè an

= C , víi mäi n héi tô vÒ chÝnh h»ng sè ®ã.4) lim

n→∞2n = +∞. ThËt vËy, víi mäi E > 0 cho tr-íc ta cã

|an| = 2n > E nÕu chän n > log2 E.

2.4 Çc tÝnh chÊt vµ phÐp to¸n

MÖnh ®Ò 2. Giíi h¹n cña d·y sè (nÕu cã) lµ duy nhÊt.

Chøng minh. Gi¶ sö d·y {an} cã hai giíi h¹n L1 = L2. NÕu ®Æt = |L1 − L2|,th× víi n ®ñ lín ta cã

|(an − L1| < vµ |(an − L2| < .

§iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn v×

|L1 − L2| = |an − L2 − (an − L1)| ≤ |an − L2| + |an − L1| < 2 < .

MÖnh ®Ò 3. NÕu d·y {an} cã giíi h¹n th× nã bÞ chÆn.

Chøng minh. Gi¶ sö d·y {an} cã hai giíi h¹n L. Khi ®ã tån t¹i N ∈ N sao chovíi mäi n > N ta cã

|an

−L1

|< 1. Suy ra

|an| = |an − L + L| ≤ |an − L| + |L| < 1 + |L|.§Æt K = max{|a1|, |aN +1|, 1 + |L|}. Suy ra |an| ≤ K , víi mäi n.

NhËn xÐt. §iÒu ng-îc l¹i kh«ng ®óng. Ch¼ng h¹n xÐt d·y {(−1)n}.

MÖnh ®Ò 4. NÕu mét d·y héi tô th× mäi d·y con cña nã còng héi tô vµ cã cïng giíi h¹n víi d·y ®ã.

Chøng minh. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa.

§Þnh lý 3. Gi¶ sö {an}, {bn} lµ hai d·y héi tô (cã giíi h¹n h÷u h¹n). Khi ®ãtæng, hiÖu, tÝch th¬ng (víi mÉu kh¸c 0) còng héi tô vµ1) lim

n→∞(an + bn) = lim

n→∞an + lim

n→∞bn.

2) limn→∞

(anbn) = limn→∞

an limn→∞

bn.

3) limn→∞

anbn

= limn→∞

limn→∞

an

limn→∞

bn(víi gi¶ thiÕt lim

n→∞bn = 0).



89

MÖnh ®Ò 5. Gi¶ sö {

an}

, {

bn}

lµ hai d·y héi tô vµ an ≤

bn

, ∀

n. Khi ®ã

limn→∞

an ≤ limn→∞

bn.

MÖnh ®Ò 6. NÕu ba d·y {an}, {bn}, {cn} tháa

an ≤ bn ≤ cn, ∀n vµ limn→∞

an = limn→∞

cn = L,

th× tån t¹i limn→∞

bn = L.

MÖnh ®Ò 7. 1) NÕu d·y {an} héi tô vÒ L, th× d·y {|an|} héi tô vÒ |L|. 2) NÕu d·y

{|an

|} héi tô vÒ 0, th× d·y

{an

} héi tô vÒ 0.

2.5 Çc ®iÒu kiÖn héi tô

§Þnh lý 4. Mäi d·y ®¬n ®iÖu vµ bÞ chÆn th× héi tô.

§Þnh lý kh¼ng ®Þnh sù tån t¹i nh-ng kh«ng chØ ra giíi h¹n b»ng bao nhiªu. Thùcra,• NÕu mét d·y ®¬n ®iÖu t¨ng vµ bÞ chÆn trªn, th× lim

n→∞an = sup{an}.

• NÕu mét d·y ®¬n ®iÖu gi¶m vµ bÞ chÆn d-íi, th× limn→∞ an = inf {an}.

Ta nãi d·y çc ®o¹n ∆n = [an, bn] lµ lång nhau nÕu ∆n+1 ⊂ ∆n, vµ gäi lµ th¾tl¹i nÕu limn→∞

(bn − an) = 0.

Bæ ®Ò 1. Mäi d·y lång nhau vµ th¾t l¹i ®Òu tån t¹i duy nhÊt mét ®iÓm chung.

Chøng minh. Gäi d·y ®o¹n ®ã lµ [an, bn], khi ®ã d·y sè {an} ®¬n ®iÖu t¨ngvµ bÞ chÆn trªn, cßn d·y sè {an} ®¬n ®iÖu gi¶m vµ bÞ chÆn d-íi nªn chóng héitô. Do tÝnh th¾t l¹i, hai giíi h¹n nµy b»ng nhau vµ lµ ®iÓm chung thuéc mäi ®o¹n.

Ta l-u ý r»ng mäi d·y bÞ chÆn cã thÓ kh«ng héi tô, nh-ng:

§Þnh lý 5. (Bolzano- Weierstrass) Mäi d·y bÞ chÆn cã chøa Ýt nhÊt mét d·y con

héi tô.

VÝ dô. D·y {(−1)n} bÞ chÆn cã çc d·y con {an = 1}, {an = −1} héi tô.

§Þnh lý 6. (Tiªu chuÈn Cauchy) D·y {an} héi tô khi vµ chØ khi {an} lµ d·yCauchy, tøc lµ

∀ > 0, ∃N ∈ N sao cho ∀m, n > N =⇒ |am − an| < .



90

§iÒu kiÖn Cauchy cã thÓ ph¸t biÓu mét çch t-¬ng ®-¬ng nh- sau

∀ > 0, ∃N ∈ N sao cho ∀n > N, ∀ p ∈ N =⇒ |an − an+ p| < .

VÝ dô. 1) D·y víi sè h¹ng an = cos1

12 +

cos 2

22 + · · · cos n

n2 lµ héi tô. ThËt vËy, ta

cã

|an − an+ p| =

cos(n + 1)

(n + 1)2 + · · · cos(n + p)

(n + p)2

≤ 1

(n + 1)2 + · · · 1

(n + p)2

≤ 1

n(n + 1) +

· · · 1

(n + p − 1)(n + p) =

1

n − 1

n + p) <

1

n.

VÕ ph¶i cã thÓ lµm bÐ h¬n > 0 tuú ý víi mäi p nªn d·y ®· cho lµ d·y Cauchy.

2) D·y víi sè h¹ng an = cos1

12 +

cos 2

22 + · · · cos n

n2 lµ ph©n kú. ThËt vËy, ta cã

|an+n − an| = 1

n + 1 + · · · 1

2n ≥ n · 1

2n =

1

2.

VÕ ph¶i kh«ng thÓ lµm cho nhá h¬n = 1

4.

2.6 Sè e vµ logarithm tù nhiªn

XÐt d·y

1 +

1

n

n, n ≤ 1. Sö dông khai triÓn nhÞ thøc Newton, ta cã

an = (1 + 1

n)n = 1 + n · 1

n +

· · · n(n − 1) · · · 1

n! · 1

nn

= 2 + 1

2!

1 − 1

n

+ · · · +

1

n!

1 − 1

n

· · ·

1 − n − 1

n

.

Tõ ®ã ta cã

an < 2 +

1

2! + · · · 1

n! < 2 +

1

2 + · · · 1

2n−1 + · · · = 3.

VËy, d·y {an} bÞ chÆn trªn. Ngoµi ra ta cã

an+1 = 2 + 1

2!

1 − 1

n + 1

+ · · · +

1

n!

1 − 1

n + 1

· · ·

1 − n − 1

n + 1

+ 1

(n + 1)!

1 − 1

n + 1

· · ·

1 − n

n + 1

.



91

B»ng çch so s¸nh çc sè h¹ng trong an

vµ an+1

, suy ra an

< an+1

. VËy, d·y{an} lµ d·y t¨ng. Tõ ®ã, d·y {an} héi tô. Ký hiÖu

e = limn→∞

1 +

1

n

n

.

Ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng e lµ sè v« tØ, e = 2, 71828 . . .. Logarithm c¬ sè e cña x gäi lµ logarithm Nepe cña x, ký hiÖu lµ ln x.

3 Hµm mét biÕn thùc

Trong môc nµy ta nh¾c l¹i vµ bæ tóc mét sè kh¸i niÖm vÒ hµm sè mét biÕn sè thùc.

3.1 Kh¸i niÖm hµm sè

Cho tËp ∅ = D ⊂ R, mçi ¸nh x¹ f : D −→ R gäi lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn D.TËp D gäi lµ tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè f , x gäi lµ biÕn sè ®éc lËp, gi¸ trÞ y = f (x)gäi lµ gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i x. TËp hîp:

f (D) :=

{y

∈R

| ∃x

∈D : y = f (x)

},

®-îc gäi lµ tËp gi trÞ cña hµm sè f trªn D.

TËp hîp tÊt c¶ çc ®iÓm M (x, f (x)), víi x ∈ D, ®-îc gäi lµ ®å thÞ cña hµm sè f . Nãi chung, ®©y lµ mét ®-êng cong trong mÆt ph¼ng Oxy.

NhËn xÐt. §Ó x¸c ®Þnh mét hµm sè ta ph¶i chØ ra tËp x¸c ®Þnh vµ qui t¾c x¸c®Þnh hµm sè ®ã. Th«ng th-êng, ng-êi ta cho hµm sè b»ng biÓu thøc gi¶i tÝch vµch-a chØ ra miÒn x¸c ®Þnh. Khi ®ã ta hiÓu miÒn x¸c ®Þnh lµ tËp tÊt c¶ çc gi¸ trÞcña biÕn sè x mµ f (x) tån t¹i.

3.2 Çc phÐp to¸n

Cho hai hµm sè f vµ g , ta nãi hai hµm sè nµy b»ng nhau, viÕt lµ f = g , nÕuchóng cã cïng miÒn x¸c ®Þnh D vµ víi mäi x ∈ D ta cã f (x) = g (x). Ng-îc l¹ita nãi chóng kh¸c nhau vµ ký hiÖu f = g .



92

VÝ dô. 1) Hai hµm sè f (x) = 2ln|x| vµ g (x) = ln x2 lµ b»ng nhau.

2) Hai hµm sè f (x) = (x − 1)

x+1x−1 vµ g (x) =

(x − 1)(x + 1) lµ kh¸c nhau.

Ta nãi hµm sè f lín h¬n g trªn tËp D, ký hiÖu lµ f > g , nÕu f (x) > g (x) víimäi x ∈ D.Cho hai hµm sè f vµ g víi miÒn x¸c ®Þnh t-¬ng øng lµ D1 vµ D2. §Æt D :=D1 ∩ D2 = ∅. Khi ®ã ta cã thÓ ®Þnh nghÜa tæng, hiÖu, tÝch vµ th-¬ng cña chóngnh- sau:

(f ± g )(x) = f (x) ± g (x)(f.g )(x) = f (x).g (x)

(f

g )(x) =

f (x)

g (x)

trong ®ã tæng, hiÖu, tÝch cña f vµ g x¸c ®Þnh trªn D, th-¬ng f/g x¸c ®Þnh trªnD \ {x | g (x) = 0}.

3.3 Çc lo¹i hµm sè víi tÝnh chÊt ®Æc biÖt

1) Hµm bÞ chÆn: Ta nãi hµm sè f :

• bÞ chÆn trªn trªn D, nÕu ∃M sao cho: f (x) ≤ M, ∀x ∈ D.

• bÞ chÆn díi trªn D, nÕu ∃m sao cho: f (x) ≥ m, ∀x ∈ D.

• bÞ chÆn trªn D, nÕu ∃K > 0 sao cho: |f (x)| ≤ K, ∀x ∈ D (tøc lµ võa bÞchÆn trªn, võa bÞ chÆn d-íi).

VÝ dô. a) Hµm sè f (x) = sin x bÞ chÆn trªn R.b) Hµm sè y = x2 bÞ chÆn d-íi trªn R, nh-ng kh«ng bÞ chÆn trªn, do ®ã kh«ngbÞ chÆn trªn R.

2) Hµm ®¬n ®iÖu: Cho hµm sè f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng D. Ta nãi hµm sè f lµ

• ®¬n ®iÖu t¨ng nÕu: x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

• t¨ng nghiªm ngÆt nÕu x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).

• ®¬n ®iÖu gi¶m nÕu: x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

• gi¶m nghiªm ngÆt nÕu x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).



93

§¬n ®iÖu t¨ng hay gi¶m gäi chung lµ ®¬n ®iÖu.

VÝ dô. a)Hµm f (x) = x3 t¨ng (nghiªm ngÆt) trªn R.b) Hµm Dirichlet

D(x) =

1 nÕu x h÷u tû

0 nÕu x v« tû

kh«ng ®¬n ®iÖu trªn bÊt kú kho¶ng nµo.3) Hµm ch½n, hµm lÎ:

TËp con D ⊂ R ®-îc gäi lµ ®èi xøng nÕu ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.Cho hµm sè f (x) cã miÒn x¸c ®Þnh lµ D. Ta nãi:

• f lµ hµm ch½n nÕu D ®èi xøng vµ f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.

• f lµ hµm lÎ nÕu D ®èi xøng vµ f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.

VÝ dô. a)Hµm f (x) = x2 lµ hµm ch½n.b) Hµm g (x) =

√ x + 3 kh«ng ch½n, kh«ng lÎ.

c) Hµm h»ng f (x) ≡ 0 võa ch½n, võa lÎ.

MÖnh ®Ò 8. Tæng cña hai hµm cïng ch½n lµ mét hµm ch½n, tæng cña hai hµmcïng lÎ lµ mét hµm lÎ. TÝch cña hai hµm cïng ch½n hoÆc cïng lÎ lµ mét hµmch½n, tÝch cña mét hµm ch½n vµ mét hµm lÎ lµ mét hµm lÎ.

NhËn xÐt. §å thÞ cña hµm ch½n nhËn trôc tung lµm trôc ®èi xøng; ®å thÞ cñahµm lÎ nhËn gèc to¹ ®é lµm t©m ®èi xøng.4) Hµm tuÇn hoµn: Cho hµm sè f x¸c ®Þnh trªn D ⊂ R. Ta nãi f lµ hµm tuÇnhoµn nÕu:

∃T = 0 sao cho: ∀x ∈ D ⇒ x + T ∈ D

f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ D

Sè T 0 > 0, bÐ nhÊt trong çc sè T tho¶ ®iÒu kiÖn trªn ®-îc gäi lµ chu kú cñahµm tuÇn hoµn f . Ch¼ng h¹n hµm f (x) = cos x tuÇn hoµn chu kú T 0 = 2π. HµmDirichlet tuÇn hoµn nh-ng kh«ng cã chu kú.

3.4 Hµm hîp - Hµm ngîc

a) Hµm hîp: XÐt çc tËp sè X, Y , Z ⊂ R vµ çc hµm sè f : X −→ Y ,g : Y −→ Z . Khi ®ã, hµm sè

h : X −→ Z x −→ h(x) := g (f (x))



94

®-îc gäi lµ hµm hîp cña hai hµm f vµ g , ký hiÖu h = g ◦

f .

VÝ dô. Cho hai hµm f (x) = x2 vµ g (x) =√

1 + x. Khi ®ã

(g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g (x2) =√

1 + x2,

(f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (√

1 + x) = 1 + x.

NhËn xÐt. Nãi chung g ◦ f = f ◦ g , tøc lµ phÐp hîp hai hµm kh«ng giao ho¸n.Tuy nhiªn nã cã tÝnh kÕt hîp.b) Hµm ngîc: XÐt hµm sè f : X −→ Y . Gi¶ sö f (víi t- çch lµ ¸nh x¹ tõ X vµo Y ) lµ mét song ¸nh. Khi ®ã tån t¹i hµm sè f −1 : Y

−→X x¸c ®Þnh nh-

sau: víi mçi y ∈ Y ta cho t-¬ng øng víi gi¸ trÞ (duy nhÊt) x ∈ X mµ f (x) = y.Hµm sè f −1 x¸c ®Þnh nh- trªn ®-îc gäi lµ hµm ng-îc cña f vµ:

y = f (x) ⇐⇒ x = f −1(y)

NhËn xÐt. Cho hai hµm sè f : X −→ Y vµ g : Y −→ X . Khi ®ã

f, g lµ hµm ng-îc cña nhau ⇐⇒

(g ◦ f )(x) = x, ∀x ∈ X,

(f ◦ g )(y) = x, ∀y ∈ Y.

VÒ mÆt h×nh häc, ®å thÞ cña hai hµm ng-îc nhau ®èi xøng qua ®-êng ph©n gi¸c

cña gãc phÇn t- thø nhÊt.

MÖnh ®Ò 9 (§iÒu kiÖn tån t¹i hµm ngîc). Gi¶ sö hµm sè f : D −→ R t¨ng (gi¶m) nghiªm ngÆt trªn D. Khi ®ã ¸nh x¹ f : D −→ f (D) lµ mét song ¸nh vµtån t¹i hµm ngîc cña f còng t¨ng (gi¶m) nghiªm ngÆt trªn f (D).

3.5 Çc hµm s¬ cÊp

Ta gäi hµm s¬ cÊp c¬ b¶n lµ hµm thuéc mét trong çc líp hµm sau:1) Hµm luü thõa: y = xα

MiÒn x¸c ®Þnh cña hµm luü thõa tuú thuéc vµo sè thùc α. NÕu α ∈ N th×

MX§ lµ R, nÕu α v« tû th× MX§ qui -íc lµ (0, +∞).2) Hµm mò: y = ax (a > 0)

Hµm mò cã MX§ lµ R vµ tËp gi¸ trÞ lµ (0, +∞). NÕu a > 1 th× hµm mòy = ax t¨ng nghiªm ngÆt; nÕu 0 < a < 1 th× hµm mò y = ax gi¶m nghiªm ngÆttrªn R.3) Hµm logarithm: y = loga x (0 < a = 1)



95

Hµm logarithm y = loga

x lµ hµm ng-îc cña hµm mò y = ax, nã cã MX§ lµ(0, +∞) vµ tËp gi¸ trÞ lµ R. T-¬ng tù hµm mò, hµm logarithm t¨ng nghiªm ngÆtnÕu a > 1 vµ gi¶m nghiªm ngÆt nÕu 0 < a < 1.4) Çc hµm lîng gi¸c c¬ b¶n: Çc hµm y = cos x, y = sin x x¸c ®Þnh trªn toµnR, cã tËp gi¸ trÞ lµ [−1, 1] vµ tuÇn hoµn chu kú 2π.

Hµm y = tgx = sin x

cos x x¸c ®Þnh víi x = π

2 + kπ , tËp gi¸ trÞ lµ R, tuÇn hoµn chu

kú π.

Hµm y = cotgx = cos x

sin x x¸c ®Þnh víi x = kπ, tËp gi¸ trÞ lµ R, tuÇn hoµn chu kú

π.5) Çc hµm lîng gi¸c ngîc: Ta xÐt hµm sè y = sin x trªn ®o¹n [−π/2, π/2].

Trªn ®o¹n nµy hµm sin x ®¬n ®iÖu t¨ng thùc sù tõ −1 −→ 1 nªn tån t¹i hµmng-îc, ký hiÖu lµ y = arcsin x.Hµm y = arcsin x cã miÒn x¸c ®Þnh lµ [−1, 1], miÒn gi¸ trÞ lµ [−π/2, π/2], ®¬n®iÖu t¨ng (xem h×nh ??).T-¬ng tù, hµm sè y = cos x trªn ®o¹n [0, π] ®¬n ®iÖu gi¶m tõ 1 ®Õn −1, do ®ãtån t¹i hµm ng-îc y = arccos x x¸c ®Þnh trªn [−1, 1] víi tËp gi¸ trÞ [0, π] vµ còng®¬n ®iÖu gi¶m.Hµm tgx cã hµm ng-îc lµ y = arctgx, x¸c ®Þnh trªn R víi miÒn gi¸ trÞ(−π/2, π/2), vµ ®¬n ®iÖu t¨ng.Hµm cotgx cã hµm ng-îc lµ y = arccotgx, x¸c ®Þnh trªn R víi miÒn gi¸ trÞ(0, π), vµ ®¬n ®iÖu t¨ng.

4 Giíi h¹n hµm sè

Trong ch-¬ng tr-íc ta ®· nghiªn cøu giíi h¹n cña d·y sè thùc mµ thùc chÊt lµhµm x¸c ®Þnh trªn tËp rêi r¹c N. Mét çch tù nhiªn, ta më réng kh¸i niÖm ®ã chohµm víi ®èi sè thùc, x¸c ®Þnh trªn mét kho¶ng nµo ®ã cña tËp sè thùc R.

4.1 Kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè

Gi¶ sö D ⊂ R lµ mét l©n cËn cña ®iÓm a vµ f (x) lµ hµm sè x¸c ®Þnh trªn D (cãthÓ kh«ng cÇn x¸c ®Þnh t¹i a).

§Þnh nghÜa 5. Ta nãi f (x) dÇn ®Õn giíi h¹n l khi x dÇn ®Õn a nÕu

víi mäi d·y {xn} ⊂ D \ {a} sao cho xn → a th× f (xn) → l. (1)

Khi ®ã ta ký hiÖu limx→a

f (x) = l, hoÆc f (x) → l khi x → a.



96

VÝ dô. 1)Cho hµm sè f (x) =

x2

−1

x − 1 (x = 1). Khi ®ã víi mäi d·y {xn} dÇn ®Õn1 nh-ng xn = 1, ta cã

f (xn) = xn + 1 → 2.

Do ®ã limx→1

f (x) = 2.

2) Hµm sè f (x) = sin 1

x kh«ng cã giíi h¹n khi x dÇn ®Õn 0. ThËt vËy, víi çc

d·y {xn} vµ {xn} chän nh- d-íi ®©y, ta cã

xn := 1

nπ → 0 th× f (xn) = sin nπ = 0 → 0

xn := 12nπ + π/2

→ 0 th× f (xn) = sin(2nπ + π/2) = 1 → 1.

§Þnh nghÜa 6. (Ng«n ng÷ ε − δ) Ta nãi sè l lµ giíi h¹n cña f (x) khi x dÇn ®Õna nÕu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho: ∀x ∈ D mµ 0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − l| < ε. (2)

VÝ dô. NÕu f (x) ≡ C th× limx→a

f (x) = C , víi a tuú ý. ThËt vËy, |f (x)−C | = 0 < ε

lµ ®óng víi mäi ε > 0.

MÖnh ®Ò 10. Hai ®Þnh nghÜa (5) vµ (6) lµ t¬ng ®¬ng.

4.2 Çc tÝnh chÊt vµ qui t¾c tÝnh giíi h¹n

Giíi h¹n hµm sè cã çc tÝnh chÊt t-¬ng tù nh- giíi h¹n d·y sè.

MÖnh ®Ò 11. Giíi h¹n cña hµm sè (nÕu tån t¹i) lµ duy nhÊt.

Chøng minh. Gi¶ sö khi x → a f (x) cã hai giíi h¹n l1 < l2. Theo ®Þnh nghÜa,

víi ε = l2 − l1

2 , tån t¹i çc sè δ1δ2 > 0 sao cho:

0 < |x − a| < δ1 =⇒ |f (x) − l1| < ε,

0 < |x − a| < δ2 =⇒ |f (x) − l2| < ε.

Chän δ := min{δ1, δ2}, khi ®ã víi 0 < |x − a| < δ, ta cã

|l2 − 1| ≤ |f (x) − l1| + |l2 − f (x)| < 2ε.

§iÒu nµy v« lý.

Ta ph¸t biÓu mét tiªu chuÈn tån t¹i giíi h¹n, ®-îc gäi lµ tiªu chuÈn Cauchy:



97

§Þnh lý 7. Gi¶ sö f (x) x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn D cña ®iÓm a (cã thÓ trõ t¹i®iÓm a). Khi ®ã, ∃ lim

x→af (x) khi vµ chØ khi

∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x, x ∈ D : 0 < |x − a| < δ

0 < |x − a| < δ

=⇒ |f (x) − f (x)| < ε.

§Þnh lý 8. (Qui t¾c tÝnh giíi h¹n) Gi¶ sö f (x) vµ g (x) cã giíi h¹n khi x dÇn ®Õna: lim

x→af (x) = A, lim

x→ag (x) = B . Khi ®ã tæng, hiÖu, tÝch, th¬ng (víi B = 0) cña

f vµ g còng cã giíi h¹n khi x dÇn ®Õn a vµ:

i) limx→a[f (x)

±g (x)] = A + B. (3)

ii) limx→a

[f (x)g (x)] = AB. (4)

iii) limx→a

f (x)

g (x) =

A

B. (5)

Chøng minh. Ta chøng minh i), çc tr-êng hîp cßn l¹i dµnh cho ®éc gi¶. Víiε > 0, tån t¹i δ1, δ2 > 0 sao cho:

|f (x) − A| < ε/2 , víi mäi x tho¶ 0 < |x − a| < δ1.|g (x) − B| < ε/2 , víi mäi x tho¶ 0 < |x − a| < δ2.

Khi ®ã, víi 0 < |x − a| < min{δ1, δ2} ta cã:|f (x) ± g (x) − (A ± B)| ≤ |f (x) − A| + |g (x) − B| < ε.

HÖ qu¶ 1. a) limx→a

αf (x) = α limx→a

f (x), α ∈ R.

b) limx→x0

(anxn + · · · + a1x + a0) = anxn0 + · · · + a1x0 + a0.

§Þnh lý 9. (Qua giíi h¹n bÊt ®¼ng thøc) Gi¶ sö f (x) ≤ g (x), víi mäi x thuécl©n cËn nµo ®ã cña a (cã thÓ trõ t¹i a). NÕu tån t¹i çc giíi h¹n: lim

x

→a

f (x) = A

vµ limx→a g (x) = B th× A ≤ B.

Chøng minh. Gi¶ sö ng-îc l¹i A > B. Khi ®ã víi ε = A − B

2 > 0, tån t¹i

δ1, δ2 > 0 sao cho:

A − ε < f (x) < A + ε, víi mäix tho¶ 0 < |x − a| < δ1,vµ B − ε < g (x) < B + ε, víi mäi x tho¶ 0 < |x − a| < δ2.



98

Khi x tho¶ 0 <|x

−a|

< min{

δ1, δ

2} ta cã

g (x) < B + ε = A − ε < f (x).

M©u thuÈn víi gi¶ thiÕt.

§Þnh lý 10. (Qua giíi h¹n bÊt ®¼ng thøc) Gi¶ sö f (x) ≤ g (x) ≤ h(x), víimäi x thuéc l©n cËn nµo ®ã cña a (cã thÓ trõ t¹i a). NÕu tån t¹i çc giíi h¹n:limx→a

f (x) = l = limx→a

h(x) th× tån t¹i giíi h¹n cña g (x) vµ

limx→a

g (x) = l.

Chøng minh. Víi ε > 0 tuú ý, tån t¹i δ1, δ2 > 0 sao cho:

l − ε < f (x) < l + ε , víi mäi x tho¶ 0 < |x − a| < δ1,vµ l − ε < h(x) < l + ε , víi mäi x tho¶ 0 < |x − a| < δ2.

Khi x tháa 0 < |x − a| < min{δ1, δ2} ta cã

l − ε < f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) < l + ε.

Tõ ®ã ta cã kÕt luËn.

VÝ dô. limx→0

sin x

x = 1. ThËt vËy, xÐt x > 0 ®ñ bÐ ta cã

dt(OAB) < dt(h×nh qu¹t OAB) < dt(OAT ),

Haysin x

2 <

x

2 <

tgx

x .

Tõ ®ã suy ra:

cos x < sin x

x < 1.

BÊt ®¼ng thøc nµy còng ®óng khi x < 0. Cho x → 0 vµ ¸p dông ®Þnh lý 10 ta cã

kÕt luËn.

HÖ qu¶ 2. a) NÕu limx→a

f (x) = l th× limx→a

|f (x)| = |l|.b) NÕu lim

x→a|f (x)| = 0 th× lim

x→af (x) = 0.

Chøng minh. Suy tõ ®Þnh lý 10.



99

4.3 Giíi h¹n mét phÝa.

NhiÒu hµm sè chØ x¸c ®Þnh mét phÝa ®èi víi ®iÓm a nµo ®ã (ch¼ng h¹n f (x) =√

x)vµ nh- vËy giíi h¹n mét phÝa cña hµm sè cÇn ®-îc xÐt ®Õn.

§Þnh nghÜa 7. Cho hµm sè f (x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng D = (a, b) (t.. D = (c, a)). Ta nãi f (x) cã giíi h¹n ph¶i (t.. giíi h¹n tr¸i) lµ l khi x dÇn ®Õn a nÕu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho: ∀x ∈ D mµ 0 < x − a < δ ⇒ |f (x) − l| < ε(t.. ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho: ∀x ∈ D mµ 0 < a − x < δ ⇒ |f (x) − l| < ε).

Çc giíi h¹n trªn (nÕu tån t¹i) ®îc gäi lµ giíi h¹n mét phÝa cña f (x) t¹i a vµ®îc ký hiÖu lµ

f (a + 0) = limx→a+ f (x) = l,(t.. f (a − 0) := lim

x→a−f (x) = l).

Sù liªn hÖ gi÷a giíi h¹n vµ çc giíi h¹n mét phÝa cho bëi mÖnh ®Ò sau.

MÖnh ®Ò 12. Tån t¹i limx→a

f (x) = l ⇔ tån t¹i limx→a+

f (x), limx→a−

f (x) vµ c¶ hai giíi

h¹n nµy ®Òu b»ng l.

VÝ dô. XÐt hµm sè f (x) = x|x| (víi x = 0, cßn gäi lµ hµm dÊu cña x vµ ký hiÖu

sign(x), xem h×nh ??). Ta cã

limx→0

+f (x) = lim

x→a+

1 = 1 limx→0

−f (x) = lim

x→a−

(

−1) =

−1

VËy kh«ng tån t¹i limx→0

f (x).

4.4 Giíi h¹n v« cïng - Giíi h¹n ë v« cïng

Ta sÏ tæng qu¸t ho¸ kh¸i niÖm giíi h¹n cho tr-êng hîp hµm sè kh«ng bÞ chÆn vµkhi x dÇn ®Õn v« cùc.

§Þnh nghÜa 8. Hµm f (x) cã giíi h¹n ∞ khi x dÇn ®Õn a, ký hiÖu limx→a

f (x) = ∞,

nÕu:

∀M > 0, ∃δ > 0 sao cho:

0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M. Hµm f (x) cã giíi h¹n lµ −∞ khi x dÇn ®Õn a, ký hiÖu lim

x→af (x) = −∞, nÕu:

∀M > 0, ∃δ > 0 sao cho: 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M.

Hµm f (x) cã giíi h¹n lµ l khi x dÇn ®Õn ∞, ký hiÖu limx→∞

f (x) = l, nÕu:

∀ > 0, ∃∆ > 0 sao cho: x > ∆ ⇒ |f (x) − l| < .



100

Çc giíi h¹n v« cïng kh¸c ®-îc ®Þnh nghÜa t-¬ng tù.

VÝ dô. 1)limx→0

1

x2 = ∞.

2) limx→1+

1

1 − x3 = −∞, trong khi lim

x→1−

11−x3 = ∞

VÝ dô. 1) limx→∞

xx+1 = 1 = lim

x→−∞x

x+1 .

2) Ta dÔ kiÓm tra r»ng limx→+∞

x√ x2 + 1

= 1, trong khi limx→−∞

x√ x2 + 1

= −1.

4.5 V« cïng bÐ - V« cïng lín

§Þnh nghÜa 9. §¹i lîng α(x) ®îc gäi lµ v« cïng bÐ (viÕt t¾t VCB) khi x → anÕu lim

x→af (x) = 0.

§¹i lîng α(x) ®îc gäi lµ v« cïng lín (viÕt t¾t VCL) khi x → a nÕu limx→a

|f (x)| =∞.

NhËn xÐt. Mét sè ®¹i l-îng cã thÓ lµ VCB hoÆc VCL khi x → a nh-ng cã thÓ®iÒu ®ã kh«ng ®óng khi x → b, víi b = a. V× thÕ ta ph¶i ®Þnh râ mét ®¹i l-înglµ VCB hay VCL ®èi víi qu¸ tr×nh nµo.

VÝ dô. α(x) = x sin 1

x lµ VCB khi x → 0 nh-ng kh«ng lµ VCB khi x → 1.

MÖnh ®Ò 13. Çc tÝnh chÊt sau ®©y suy tõ çc phÐp to¸n giíi h¹n (çc ®¹i lîng ®Ò cËp ®Õn trong cïng qu¸ tr×nh):

a) Tæng, hiÖu, tÝch cña hai VCB lµ mét VCB.

b) TÝch (tæng) cña hai VCL (cïng dÊu) lµ mét VCL.

c) NghÞch ®¶o cña VCL lµ VCB; ngîc l¹i nghÞch ®¶o cña VCB kh¸c 0 lµVCL.

d) TÝch cña mét ®¹i lîng bÞ chÆn vµ mét VCB lµ VCB; tæng cña mét ®¹i

lîng bÞ chÆn vµ mét VCL lµ VCL.Çc tr-êng hîp kh¸c cña çc phÐp to¸n dÉn ®Õn çc tr-êng hîp sau, ®-îc gäi lµçc d¹ng v« ®Þnh:

0

0;

∞∞ 0.∞; ∞ − ∞.

Thªm vµo ®ã ta cã çc d¹ng v« ®Þnh kh¸c sinh ra do ®Þnh nghÜa hµm mò:00, 1∞, ∞0. §Ó tÝnh giíi h¹n khi gÆp d¹ng v« ®Þnh ta t×m çch khö d¹ng v«



101

®Þnh. Tuú theo bµi to¸n cô thÓ mµ ta cã çch khö thÝch hîp.

VÝ dô. 1) TÝnh limx→0

1−cosxx2

. Giíi h¹n cã d¹ng v« ®Þnh 00

. Ta cã

limx→0

1 − cos x

x2 = lim

x→0

2sin2 x/2x2

= limx→0

1

2

sin x/2

x/2

2

= 1

2

2) TÝnh limx→+∞

(√

x2 + x − x). Giíi h¹n cã d¹ng v« ®Þnh ∞ − ∞. Khö b»ng çch

nh©n víi l-îng liªn hîp

√ x2 + x − x = (√ x2 + x − x)(√ x2 + x + x)√ x2 + x + x

= x√ x2 + x + x

.

Suy ra

limx→+∞

(√

x2 + x − x) = limx→+∞

x√ x2 + x + x

= limx→+∞

1 1 + 1/x + 1

= 1.

• Ph©n lo¹i VCB. Cho hai VCB α(x) vµ β (x) khi x → a. Gi¶ sö tån t¹i

limx→a

α(x)

β (x) = k.

Ta nãi α(x) lµ VCB bËc cao h¬n β (x) nÕu k = 0, ký hiÖu α = o(β ; α(x) lµ VCBcïng bËc víi β (x) nÕu k = 0 vµ h÷u h¹n. §Æc biÖt, nÕu k = 1 ta nãi α(x) vµβ (x) lµ t-¬ng ®-¬ng khi x → a vµ ký hiÖu lµ α ∼ β .DÔ kiÓm tra r»ng quan hÖ ∼ lµ quan hÖ t-¬ng ®-¬ng. Trong khi tÝnh to¸n giíi h¹n,ta cã thÓ thay thÕ VCB bëi mét VCB t-¬ng ®-¬ng víi nã ®Ó tÝnh to¸n ®¬n gi¶n h¬n.

VÝ dô. DÔ thÊy x4 − 2x5 ∼ x4 khi x → 0. Ngoµi ra 1 − cos x ∼ x2

2 khi x → 0(xem vÝ dô 4.5). Do ®ã:

limx→0

(1 − cos x)2

x4 − 2x5 = lim

x→0

x4/4

x4 = 1/4.

5 Hµm liªn tôc

Trong líp çc hµm x¸c ®Þnh trªn kho¶ng më D, ta xÐt çc hµm mµ giíi h¹n cñanã t¹i ®iÓm x0 ∈ D bÊt kú lu«n lu«n tån t¹i vµ b»ng chÝnh gi¸ trÞ cña hµm t¹i®iÓm ®ã. Líp hµm nµy cã nhiÒu tÝnh chÊt ®Æc s¾c vµ cã nhiÒu øng dông trongçc bµi to¸n thùc tiÔn.



102

5.1 Kh¸i niÖm hµm liªn tôc

Cho hµm sè x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a, b), xÐt x0 ∈ (a, b).

§Þnh nghÜa 10. Ta nãi hµm f (x) liªn tôc t¹i x0 nÕu limx→x0

f (x) = f (x0). Hµm sè

f (x) ®îc gäi lµ liªn tôc trªn (a, b) nÕu nã liªn tôc t¹i mäi x0 ∈ (a, b).

Kh¸i niÖm liªn tôc ®-îc diÔn ®¹t theo \ng«n ng÷" ε − δ nh- sau: f (x) liªn tôct¹i x0 nÕu víi mäi ε > 0 cho tr-íc, ta cã

|f (x) − f (x0)| < ε, miÔn lµ |x − x0| < δ, víi δ > 0 nµo ®ã.

VÝ dô. 1) Hµm h»ng trªn kho¶ng (a, b) liªn tôc trªn kho¶ng ®ã.2) Cho hàm sè f (x) = x sin

1

x, víi f (0) = A. Ta cã lim

x→0f (x) = 0. Do ®ã nÕu

A = 0, th× f (x) liªn tôc t¹i x = 0.

MÖnh ®Ò 14. Gi¶ sö çc hàm sè f (x) vµ g (x) liªn tôc t¹i x0. Khi ®ã,

f (x) ± g (x), f (x).g (x) vµ f (x)

g (x) (víi g (x0) = 0)

còng liªn tôc t¹i x0.

MÖnh ®Ò 15. Gi¶ sö hàm sè y = f (x) liªn tôc t¹i x0 vµ z = g (y) liªn tôc t¹iy0 := f (x0). Khi ®ã, hµm hîp g ◦ f liªn tôc t¹i x0.

5.2 Liªn tôc mét phÝa-§iÓm gi¸n ®o¹n

NÕu trong ®Þnh nghÜa hµm liªn tôc ta chØ xÐt çc giíi h¹n mét phÝa th× kh¸i niÖm®ã ®-îc gäi lµ liªn tôc mét phÝa. Cô thÓ: f (x) ®-îc gäi lµ

• liªn tôc ph¶i t¹i x0 nÕu:

f (x0 + 0) := limx→x+

0

f (x) = f (x0).

• liªn tôc tr¸i t¹i x0 nÕu:

f (x0 − 0) := limx→x−

0

f (x) = f (x0).

MÖnh ®Ò 16. Hµm f (x) liªn tôc t¹i x0 ⇐⇒ liªn tôc tr¸i vµ liªn tôc ph¶i t¹i x0.



103

NÕu hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x0

th× ®-îc gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i x0; khi ®ã ta còng

nãi x0 lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f (x).Theo ®Þnh nghÜa, ta cã thÓ chia çc ®iÓm gi¸n ®o¹n thµnh hai lo¹i nh- sau:

• §iÓm gi¸n ®o¹n x0 ®-îc gäi lµ lo¹i I nÕu cã tån t¹i (h÷u h¹n) çc giíi h¹nhai phÝa t¹i x0.

• §iÓm gi¸n ®o¹n x0 ®-îc gäi lµ lo¹i II kh«ng ph¶i lo¹i I.

Trong tr-êng hîp hµm gi¸n ®o¹n t¹i x0 nh-ng çc giíi h¹n hai phÝa tån t¹ivµ b»ng nhau th× x0 ®-îc gäi lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n khö ®-îc. Trong tr-êng hîpnµy b»ng çch xª dÞch gi¸ trÞ cña hµm t¹i x0 ta cã thÓ thu ®-îc hµm liªn tôc t¹i x0.

VÝ dô. Hµm sè y = e1/x gi¸n ®o¹n t¹i 0. Ngoµi ra, limx→0+ f (x) = +∞ vµlimx→0−

f (x) = 0 nªn x = 0 lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n lo¹i II cña hµm.

Ta nãi hµm f (x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] nÕu f (x) liªn tôc t¹i mäi x ∈ (a, b), liªntôc ph¶i t¹i a vµ liªn tôc tr¸i t¹i b. Ch¼ng h¹n, hµm f (x) =

√ x + 2 +

√ 1 − x

(x¸c ®Þnh vµ) liªn tôc trªn [−2, 1].

Ta cã ®Þnh lý quan träng sau ®©y kh¼ng ®Þnh tÝnh liªn tôc cña mét líp réng çchµm

§Þnh lý 11. TÊt c¶ çc hµm s¬ cÊp liªn tôc trªn miÒn x¸c ®Þnh cña nã.

VÝ dô.

• Hµm sè tgx liªn tôc t¹i x = π 2

+ kπ,k ∈ Z.

• Hµm dÊu f (x) =

1 nÕu x > 00 nÕu x = 0−1 nÕu x < 0

. Hµm nµy x¸c ®Þnh trªn toµn R nh-ng

kh«ng liªn tôc t¹i 0.

5.3 Çc tÝnh chÊt cña hµm liªn tôc trªn ®o¹n.

Trong tiÓu môc nµy ta nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt ®Æc tr-ng cña hµm liªn tôctrªn mét ®o¹n.

§Þnh lý 12. 1) Hµm liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] th× bÞ chÆn trªn ®o¹n ®ã. 2) Hµm liªn tôc trªn [a, b] th× ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ bÐ nhÊt trªn ®o¹n ®ã.



104

NhËn xÐt. L-u ý r»ng çc tÝnh chÊt 1) vµ 2) trong ®Þnh lý trªn kh«ng ®óngkhi thay ®o¹n [a, b] bëi çc kho¶ng hoÆc nöa kho¶ng. Ch¼ng h¹n, xÐt hµm sè f (x) = 1/x, hµm nµy liªn tôc trªn (0, 1] nh-ng kh«ng bÞ chÆn vµ còng kh«ng ®¹tgi¸ trÞ lín nhÊt.

§Þnh lý 13. (Bolzano-Cauchy) (§Þnh lý gi¸ trÞ trung gian) Hµm liªn tôc trªn ®o¹n[a, b] th× nhËn mäi gi¸ trÞ trung gian gi÷a gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt. §ÆcbiÖt ¶nh cña ®o¹n [a, b] qua ¸nh x¹ liªn tôc còng lµ mét ®o¹n.

Theo ®Þnh lý 12 cã tån t¹i m = min{f (x)/x ∈ [a, b]} vµ M = max{f (x)/x ∈[a, b]}. §Þnh lý nµy kh¼ng ®Þnh r»ng víi mäi y ∈ [m, M ], lu«n tån t¹i Ýt nhÊt métgi¸ trÞ x ∈ [a, b] sao cho f (x) = y.

HÖ qu¶ 3. NÕu f (x) liªn tôc trªn [a, b] vµ f (a).f (b) < 0 th× tån t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0. Nãi çch kh¸c ph¬ng tr×nh f (x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trªn (a, b).

VÝ dô. Ph-¬ng tr×nh ex = 3 − x cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thùc. ThËt vËy, xÐt hµmsè f (x) = ex + x − 3. §©y lµ hµm liªn tôc trªn R vµ

f (0) = −2 < 0, f (1) = e + 1 − 3 > 0

Theo hÖ qu¶ trªn, ph-¬ng tr×nh f (x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc (0, 1).

6 §¹o hàm

Trong môc này ta nghiªn cøu ®¹o hàm, vi ph©n hàm mét biÕn cïng víi çc øngdông cña nã.

6.1 Kh¸i niÖm ®¹o hàm

Xét hàm sè y = f (x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a, b), x0 ∈ (a, b). Cho x0 mét sè gia∆x ®ñ bÐ sao cho x = x0 + ∆x ∈ (a, b). Gäi ∆y là sè gia t-¬ng øng cña hàm sè øng víi ∆x:

∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0)

§Þnh nghÜa 11. NÕu tån t¹i giíi h¹n lim∆x→0

∆y

∆x, th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ ®¹o

hàm cña hàm sè y = f (x) t¹i ®iÓm x0, và ký hiÖu:

y(x0) := f (x0) := lim∆x→x0

∆y

∆x = lim

x→x0

f (x) − f (x0)

x − x0. (6)



105

VÝ dô. 1) Hàm h»ng trªn(a, b) cã ®¹o hàm b»ng 0 t¹i mäi ®iÓm trªn kho¶ng nµy.2) TÝnh ®¹o hàm cña hàm s? y = √ x t¹i ®iÓm x0 > 0. Ta cã

y(x0) = limx→x0

√ x−√ x0x−x0

= limx→x0x−x0

(√ x+

√ x0)

= 12√ x0

.

Trong ®Þnh nghÜa ®¹o hàm, nÕu ta xÐt çc giíi h¹n mét phÝa, th× çc giíi h¹n ®ã®-îc gäi lµ ®¹o hàm mét phÝa:

§Þnh nghÜa 12. (§¹o hàm mét phÝa) Çc giíi h¹n sau ®©y ®îc gäi lµ ®¹o hàmtr¸i, ®¹o hàm ph¶i t¬ng øng cña hàm sè y = f (x).

f −(x0) = limx→x−0

f (x) − f (x0)

x − x0,

f +(x0) = limx→x+0

f (x) − f (x0)

x − x0,

Tõ phÐp tÝnh giíi h¹n ta suy ra

MÖnh ®Ò 17. Hàm sè f (x) cã ®¹o hàm t¹i x0 khi vµ chØ khi f (x) có các ®¹ohàm mét phÝa t¹i x0 và chóng b»ng nhau.

VÝ dô. Hàm sè y = |x| kh«ng cã ®¹o hàm t¹i x0 = 0. ThËt vËy,

f ±(0) := limx→0±

|x|x

= ±1

MÖnh ®Ò 18. NÕu f (x) cã ®¹o hàm t¹i x0, th× liªn tôc t¹i x0.

Chøng minh. Víi x = x0, ta cã

f (x) − f (x0) = f (x) − f (x0)

x − x0.(x − x0).

Cho x → x0 ta thÊy vÕ ph¶i dÇn ®Õn 0, nªn limx→x0 f (x) = f (x0) và do ®ã f (x)liªn tôc t¹i x0.

NhËn xÐt. §iÒu ng-îc l¹i cña mÖnh ®Ò 18 là kh«ng ®óng. Trong vÝ dô trªn, hàmy = |x| liªn tôc t¹i 0 nh-ng kh«ng cã ®¹o hàm t¹i ®iÓm này.



106

6.2 ý

nghÜa h×nh häc và c¬ häc cña ®¹o hàmGi¶ sö ®-êng cong (C ) là ®å thÞ cña hàm sè y = f (x). Cè ®Þnh ®iÓm M 0(x0, y0) ∈(C ). Gäi M (x, y) ∈ (C ), víi x gÇn x0. Khi M thay ®æi và dÇn vÒ M 0, çt tuyÕnM 0M quay quanh M 0. Ta gäi vÞ trÝ giíi h¹n (nÕu cã) cña çt tuyÕn M 0M khi M dÇn ®Õn M 0 là tiÕp tuyÕn cña ®-êng cong (C ) t¹i M 0. Gäi k là hÖ sè gãc cñatiÕp tuyÕn này, tõ ®Þnh nghÜa cña ®¹o hàm ta cã:

k = tgϕ = limM →M 0

NM

M 0M = lim

x→x0

f (x) − f (x0)

x − x0= f (x0).

KÕt luËn: HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M 0(x0, y0)∈

(C ) b»ng ®¹o hàm t¹i(hoành ®é) tiÕp ®iÓm M 0.

XÐt chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh s = s(t), trong ®ã s(t) là qu¶ng®-êng ®i ®-îc theo thêi gian t. XÐt t¹i thêi ®iÓm t0 và kho¶ng thêi gian ∆t = t−t0,gäi qu¶ng ®-êng ®i ®-îc trong kho¶ng thêi gian này là ∆s = s(t) − s(t0). Khi

®ã tØ sè ∆s

∆t là vËn tèc trung b×nh cña chuyÓn ®éng trong kho¶ng thêi gian ∆t.

Cho ∆t → 0, ta thÊy vËn tèc tøc thêi vttcña chuyÓn ®éng t¹i thêi ®iÓm t0 là:

vtt(t0) = s(t0).

6.3 Çc ®Þnh lý và qui t¾c tÝnh ®¹o hàm

§Þnh lý 14. (Çc phÐp to¸n) Gi¶ sö çc hàm sè u(x) và v(x) cã ®¹o hàm t¹ix ∈ (a, b). Khi ®ã tæng, hiÖu, tÝch, th¬ng (v(x) = 0) cña chóng còng cã ®¹ohàm t¹i ®iÓm này, và:

(1) (u ± v) = u ± v.(2) (u.v) = uv + uv, (αu) = αu, (α là h»ng sè ).

(3)

u

v

= uv − vu

v2 ,

1

v

= − v

v2.

Chøng minh. Là hÖ qu¶ cña phÐp tÝnh giíi h¹n.

§Þnh lý 15. (§¹o hàm hàm hîp) Gi¶ sö hàm sè y = f (x) cã ®¹o hàm t¹i x0 vàz = g (y) có ®¹o hàm t¹i y0 = f (x0). Khi ®ã hàm hîp h(x) = g ◦ f (x) cã ®¹ohàm t¹i x0 và:

(g ◦ f )(x0) = g (y0).f (x0).



107

Chøng minh. Cho x0

sè gia ∆x, tõ gi¶ thiÕt suy ra

∆z

∆y = g (y0) + α(∆y), và

∆y

∆x = f (x0) + β (∆x)

trong ®ã α, β là çc VCB. Nh©n hai ®¼ng thøc theo vÕ, råi cho ∆x → 0, ta cã kÕtluËn.

§Þnh lý 16. (§¹o hàm hàm ngîc) Gi¶ sö hàm sè f (x) liªn tôc và ®¬n ®iÖu thùcsù trong l©n cËn cña x0. Khi ®ã nÕu f (x) cã ®¹o hàm f (x0) = 0, th× hàm ngîcx = g (y) còng cã ®¹o hàm t¹i y0 = f (x0) và

g (y0) = 1f (x0)

.

Chøng minh. Ta cã, víi x = x0 và ®ñ gÇn x0:

g (y) − g (y0)

y − y0=

x − x0

f (x) − f (x0) =

1

f (x) − f (x0)

x − x0

.

Cho y → y0, ta cã kÕt luËn.

§¹o hàm mét sè hàm s¬ cÊp: Dùa vào çc tÝnh chÊt và qui t¾c tÝnh ®¹o hàm,ta suy ra ®-îc çc c«ng thøc tÝnh ®¹o hàm mét sè hàm s¬ cÊp sau ®©y:

(1) (xα) = αxα−1.

(2) (ax) = ax ln a, (§Æc biÖt (ex) = ex.

(3) loga x) = 1

ln a, (§Æc biÖt (ln x) =

1

x.

(4) (cos x) = − sin x, (sin x) = cos x,

(tgx) = 1

cos2

x

, (cotgx) =

−

1

sin2

x

(5) (arcsinx) = 1√ 1 − x2

, (arccosx) = − 1√ 1 − x2

,

(arctgx) = 1

1 + x2, (arccotgx) = − 1

1 + x2



108

Chøng minh. Ta chøng minh mét sè c«ng thøc trªn:

(3) Ta cã loga(x∆x) − loga x

∆x = 1

x loga

1 + ∆xx

x

∆x . Cho ∆x → 0 ta cã kÕt luËn.

(4) §Ó ý r»ng hàm ax là hàm ng-îc cña hàm loga x, nªn

(ax) = 1

(loga y)y =

11

y lna

= ax ln a.

(1) Ta cã (xα) = (eα lnx) = eα lnx(α ln x) = αxα−1.(4) Dïng ®Þnh nghÜa.(5) Dïng c«ng thøc tÝnh ®¹o hàm hàm ng-îc.

7 Vi ph©n

7.1 §Þnh nghÜa

Cho hàm sè y = f (x) x¸c ®Þnh trªn (a, b) chøa x0. NÕu sè gia cña hàm t¹i x0 cãd¹ng:

∆y = A.∆x + ◦(∆x)

(trong ®ã A kh«ng phô thuéc vào ∆x) th× ta nãi f (x) kh¶ vi t¹i x0, và biÓu thøcA.∆x ®-îc gäi lµ vi ph©n cña f (x) t¹i x0. Ta ký hiªu vi ph©n là dy hoÆc df , và®Ó ý r»ng

dx = ∆x.

MÖnh ®Ò 19. f (x) kh¶ vi t¹i x0 khi vµ chØ khi nã cã ®¹o hàm t¹i x0 và

dy = f (x0)dx.

Chøng minh. Ta cã

f (x) kh¶ vi t¹i x0 ⇐⇒ ∆y

∆x = A +

◦(∆x)

∆x .

f (x) cã ®¹o hàm t¹i x0 ⇐⇒ ∆y

∆x = f (x0) +

◦(∆x)

∆x

.

Cho ∆x→

0 suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.

7.2 ø ng dông cña vi ph©n

Tõ ®Þnh nghÜa vi ph©n ta suy ra r»ng ∆y ≈ dy và sù sai kh¸c này là rÊt bÐ khi sos¸nh víi ∆x (là VCB bËc cao h¬n ∆x). Do ®ã:

f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f (x0)∆x.



109

VÝ dô. TÝnh gÇn ®óng ln 1.01 nhê vi ph©n. XÐt hàm sè f (x) = ln(1 + x) t?i

x0 = 1, víi ∆x = 0.01. Ta cã f (x) = 1

1 + x, suy ra f (1) = 1/2. Do ®ã

ln 1.01 ≈ ln 1 + 1.01

2 = 0.005.

7.3 Çc qui t¾c tÝnh vi ph©n

T-¬ng tù nh- ®¹o hàm ta cã çc qui t¾c tÝnh vi ph©n sau ®©y:

§Þnh lý 17. NÕu çc hàm sè u, v kh¶ vi, th× tæng, hiÖu, tÝch, th¬ng (v = 0) cña

chóng còng kh¶ vi và(1) d(u ± v) = du ± dv

(2) d(uv) = udv + vdu, d(αu) = αdu

(3) du

v

=

vdu − udv

v2

Vi ph©n hàm hîp-TÝnh bÊt biÕn cña vi ph©n: Gi¶ sö y = f (u) là hàm kh¶ vitheo biÕn u. Khi ®ã ta cã

dy = f (u)du.

B©y giê gi¶ sö u = u(x) là hàm cña x. XÐt hàm hîp y = F (x) = f (u(x)) theobiÕn x. Theo c«ng thøc tÝnh ®¹o hàm hàm hîp ta cã:

dy = F (x)dx = f (u)u(x)dx = f (u)du.

Çc hÖ thøc trªn chøng tá r»ng biÓu thøc cña vi ph©n kh«ng phô thuéc vào biÕnlÊy vi ph©n là biÕn ®éc lËp hay biÕn phô thuéc.

7.4 §¹o hàm và vi ph©n cÊp cao

Gi¶ sö f (x) cã ®¹o hàm t¹i ∀x ∈ (a, b). Khi ®ã f (x) là mét hàm sè x¸c ®Þnh

trªn (a, b) và ta cã thÓ nãi ®Õn ®¹o hàm cña hàm sè này. Mét çch qui n¹p ta®Þnh nghÜa:

§Þnh nghÜa 13.

§¹o hàm cÊp 2: f (x) = ((f (x)).§¹o hàm cÊp n: f (n)(x) = ((f (n−1)(x)).Qui -íc: f (0) = f (x).



110

VÝ dô. 1) Hàm sè ex cã ®¹o hàm mäi cÊp và (ex)(n) = ex.2) §a thøc P (x) = anxn + · · · + a1x + a0 cã ®¹o hàm mäi cÊp và

P (n)(x) = n!an, P (k)(x) = 0, ∀k > n.

§Þnh lý 18. NÕu u, v là çc hàm cã ®¹o hàm cÊp n, th×

(1) (u ± v)(n) = u(n) ± v(n).

(2) (αu)(n) = αu(n).

(3) (uv)(n) = nk=0 C knu(k)v(n−k), trong ®ã C kn =

n!

k!(n−

k)!.

C«ng thøc (3) ®-îc gäi lµ c«ng thøc Leibnitz và cã thÓ chøng minh b»ng quin¹p.

VÝ dô. TÝ nh (exx2)(50). Dïng c«ng thøc Leibnitz, ta cã

(exx2)(50) =50

k=0 C k50(x2)(k)(ex)(50−k)

= ex(x2 + 100x + 2450).

Vi ph©n cÊp cao ®-îc ®Þnh nghÜa hoàn toàn t-¬ng tù:

d

2

y = d(dy) = f (x)dx

2

, d

n+1

y = d(d

n

y) = f

(n)

(x)dx

n

.Ta l-u ý r»ng, vi ph©n cÊp cao kh«ng cã tÝnh bÊt biÕn. Ch¼ng h¹n, vi ph©n cÊp haicña hàm hîp phô thuéc vào biÕn lÊy vi ph©n là biÕn ®éc lËp hay phô thuéc. ThËtvËy, gi¶ sö y = f (u), víi u là biÕn ®éc lËp. Khi ®ã, d2y = f (u)du2. Nh-ng nÕuu = u(x), th×

d2y =

f (u(x)

dx2 = f (u)du2 + f (u)d2u.

V× vËy, chóng kh«ng gièng nhau trong hai tr-êng hîp.

8 Çc ®Þnh lý c¬ b¶n cña phÐp tÝnh vi ph©n

8.1 Çc ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh

Cùc trÞ ®Þa ph¬ng:Cho hàm sè f (x) x¸c ®Þnh trªn (a, b). Ta nãi ®iÓm x0 ∈ (a, b) là ®iÓm cùc ®¹i (t.-.



111

cùc tiÓu) ®Þa ph-¬ng cña hàm sè f (x) nÕu tån t¹i l©n cËn (x0−

δ, x0

+ δ)⊂

(a, b)sao cho

∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), f (x) ≤ f (x0), (t.-. f (x) ≥ f (x0)).

Çc ®iÓm cùc ®¹i, cùc tiÓu ®Þa ph-¬ng gäi chung là cùc trÞ (®Þa ph-¬ng).

Bæ ®Ò 2. (Fermat) NÕu f (x) kh¶ vi và ®¹t cùc trÞ t¹i x0 ∈ (a, b), th× f (x0) = 0.

Chøng minh. Gi¶ sö f (x) ®¹t cùc ®¹i t¹i x0, suy ra f (x) ≤ f (x0) khi x gÇn x0.Ta cã

f +(x0) = limx→x

+0

f (x) − f (x0)

x − x0 ≤0,

f −(x0) = limx→x−

0

f (x) − f (x0)

x − x0≥ 0.

Do f (x) kh¶ vi nªn f +(x0) = f −(x0) = f (x0). VËy f (x0) = 0.

NhËn xÐt. Bæ ®Ò Fermat cho ta ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó mét hàm kh¶ vi ®¹t cùc trÞ. Çc®iÓm mà t¹i ®ã ®¹o hàm b»ng kh«ng ®-îc gäi lµ çc ®iÓm dõng (hoÆc ®iÓm nghingê cùc trÞ).

§Þnh lý 19 (Rolle). Gi¶ sö f (x) liªn tôc trªn [a, b], kh¶ vi trªn (a, b) và tháa

f (a) = f (b). Khi ®ã, tån t¹i c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.

Chøng minh. V× f (x) liªn tôc trªn [a, b] nªn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt và gi¸ trÞ bÐ nhÊttrªn ®o¹n này. NÕu cã hai gi¸ trÞ f max và f min ®¹t t¹i hai ®Çu mót a, b, th2 f (x)là hàm h»ng v× theo gi¶ thiÕt f (a) = f (b); khi ®ã f (x) ≡ 0. Ng-îc l¹i, f (x) sÏ®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm c ∈ (a, b). Theo bæ ®Ò Fermat, f (c) = 0.

ý nghÜa h×nh häc: VÒ mÆt h×nh häc, ®Þnh lý Rolle kh¼ng ®Þnh r»ng trªn ®å thÞcña hàm y = f (x), tån t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm mà tiÕp tuyÕn t¹i ®ã song song víitrôc hoành.

§Þnh lý 20 (Lagrange). Gi¶ sö f (x) liªn tôcc trªn [a, b] và kh¶ vi trªn (a, b). Khi®ã, tån t¹i c ∈ (a, b) sao cho:

f (b) − f (a)

b − a = f (c).



112

Chøng minh. XÐt hàm sè

ϕ(x) := f (x) − f (a) − f (b) − f (a)

b − a (x − a).

Hàm này liªn tôc trªn [a, b], kh¶ vi trªn (a, b) và tháa ϕ(a) = 0 = ϕ(b). Theo®Þnh lý Rolle, tån t¹i c ∈ (a, b) sao cho ϕ(c) = 0. Tõ ®ã suy ra kÕt luËn.

ý nghÜa h×nh häc: NÕu çc gi¶ thiÕtt cña ®Þnh lý Lagrange tháa m·n th× trªn

cung

AB tån t¹i Ýt nhÊtt mét ®iÓm mà tiÕp tuyÕn t¹i ®ã song song víi d©y AB .

NhËn xÐt. Trong ®Þnh lý Lagrange, nÕu ®Æt a = x0, b = x0 + h (víi h > 0) th× c

cã d¹ng: c = x0 + θh víi 0 < θ < 1. Tõ ®ã ta thu ®-îc c«ng thøc sau ®©y, gäilà c«ng thøc sè gia giíi néi:

f (x0 + h) − f (x0) = f (x0 + θh).h

NÕu |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ (a, b) th×:

|f (b) − f (a)| ≤ M |b − a|.

VÝ dô. Chøng minh r»ng víi mäi a, b ∈ R ta cã |arctgb − arctga| ≤ |b − a|. §Óchøng minh ®iÒu nµy ta xÐt hàm sè f (x) = arctgx trªn ®o¹n [a, b] (nÕu a > b, th×xÐt

[b, a]). Ta cã

f (x) = 1

1 + x2.

Suy ra |f (x)| ≤ 1, ∀x ∈ R. Tõ ®ã ta cã bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh.

§Þnh lý 21 (Cauchy). Gi¶ sö f (x), g (x) liªn tôc trªn [a, b] và kh¶ vi trªn (a, b)và g (x) = 0 víi mìi x ∈ (a, b). Khi ®ã, tån t¹i c ∈ (a, b) sao cho:

f (b) − f (a)

g (b) − g (a) =

f (c)

g (c).

Chøng minh. T-¬ng tù chøng minh ®Þnh lý Lagrange, ta ®Æt

ϕ(x) := f (x) − f (a) − f (b) − f (a)

g (b) − g (a)[g (x) − g (a)].

Khi ®ã ϕ tháa tÊt c¶ çc gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý Rolle. Do vËy, tån t¹i c ∈ (a, b) saocho ϕ(c) = 0. Tõ ®ã ta cã kÕt luËn.



113

§Þnh lý 22 (Qui t¾c LHospital). Gi¶ sö f (x), g (x) kh¶ vi trªn (a, b), g (x)= 0

(cã thÓ trõ ra ®iÓm x0 ∈ (a, b)) và tháa

limx→x0

f (x) = 0 = limx→x0

g (x) ho?c limx→x0

f (x) = ∞ = limx→x0

g (x).

Khi ®ã, ta cã

limx→x0

f (x)

g (x) = lim

x→x0

f (x)

g (x),

nÕu giíi h¹n ë vÕ ph¶i tån t¹i (hòu h¹n hoÆc v« h¹n).

Chøng minh. Ta chøng minh cho tr-êng hîp limx→x0

f (x) = 0 = limx→x0

g (x), và

x > x0 (çc tr-êng hîp cßn l¹i làm t-¬ng tù). NÕu ®Æt f (x0) = g (x0) = 0, th× f và g tháa çc gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý Cauchy trªn [x0, x]. Khi ®ã, tån t¹i c ∈ (x0, x)sao cho:

f (x)

g (x) =

f (x) − f (x0)

g (x) − g (x0) =

f (c)

g (c).

Cho x → x0, kÐo theo c → x0, ta cã

limx→x0

f (x)

g (x) = lim

x→x0

f (c)

g (c) = lim

x→x0

f (x)

g (x).

NhËn xÐt. Qui t¾c LHospital vÉn ®óng cho tr-êng hîp giíi h¹n v« tËn, ë v« tËnvà giíi h¹n mét phÝa.

VÝ dô. 1) TÝnh limx→0

tgx − x

x − sin x (d¹ng v« ®Þnh

0

0). Ta cã

limx→0

tgx − x

x − sin x

LH = lim

x→0

1

cos2 x − 1

1 − cos x = lim

x→0

1 − cos2 x

(1 − cos x)cos2 x = lim

x→0

1 + cos x

cos2 x = 2.

2) TÝnh limx→0+

x ln x (d¹ng 0.∞). Ta cã

limx→0+

x ln x = limx→0+

ln x1/x

L

H = limx→0+

1/x−1/x2 = 0.

3) TÝnh limx→+∞xn

ex (d¹ng ∞∞). ¸p dông nhiÒu lÇn qui t¾c LHospital ta ®-îc:

limx→+∞

xn

exLH = lim

x→+∞nxn−1

exLH = · · · LH = lim

x→+∞n!

ex = 0.



114

8.2 Khai triÓn Taylor

§Þnh lý 23. (C«ng thøc khai triÓn Taylor) Gi¶ sö f (x) cã ®¹o hàm ®Õn cÊp n + 1trªn (a, b) chøa x0. Khi ®ã, víi mäi x ∈ (a, b) ta cã

f (x) = f (x0) + f (x0)

1! (x−x0) + · · · +

f (n)(x0)

n! (x−x0)n +

f (n+1)(c)

(n + 1)! (x− x0)n+1,

trong ®ã c n»m gi÷a x0 và x.

Trong vÕ ph¶i cña (23), sè h¹ng cuèi ®-îc gäi lµ phÇn d- cña khai triÓn Taylort¹i x0 cña hàm f (x):

Rn(x) = f (n+1)(c)

(n + 1)! (x − x0)n+1.

PhÇn d- còng th-êng ®-îc viÕt d-íi d¹ng sau, ®-îc gäi lµ d¹ng Lagrange:

Rn(x) = f (n+1)(x0 + θh)

(n + 1)! hn+1, víi h := x − x0.

PhÇn cßn l¹i là mét ®a thøc bËc n, ®-îc gäi lµ ®a thøc Taylor bËc n t¹i x0 cñahàm sè f (x):

T (x) = f (x0) + f (x0)

1! (x − x0) + · · · +

f (n)(x0)

n! (x − x0)n.

Chøng minh. XÐt hàm sè

F (t) = f (t) − T (t) − A(t − x0)n+1, v?i A := f (x) − T (x)

(x − x0)n+1 .

Khi ®ã F (x0) = F (x0) = · · · = F (n)(x0) = 0. Ta cã F (x) = F (x0) = 0, F (t)tháa çc gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý Rolle trªn ®o¹n [x0, x] nªn tån t¹i x1 gi÷a x0 và xsao cho F (x1) = 0.L¹i ¸p dông ®Þnh lý Rolle trªn [x0, x1], tån t¹i x2 gi÷a x0 và x1 sao cho F (x2) = 0.TiÕp tôc qu¸ tr×nh, tån t¹i xn+1 = c gi÷a x0 và xn sao cho F (n+1)(c) = 0. Tøc là

f (n+1)(c) = A(n + 1)!. Tõ ®ã ta cã A = f (n+1)(c)

(n + 1)! . Vì v?y,

f (x) − T (x) = f (n+1)(c)

(n + 1)! (x − x0)n+1.

NÕu x0 = 0, th× khai triÓn Taylor t¹i 0 ®-îc gäi lµ khai triÓn MacLaurin.Khai triÓn MacLaurin mét sè hàm so cÊp: B»ng çch tÝnh ®¹o hàm çc cÊp t¹ix0 = 0, ta thu ®-îc çc khai triÓn sau:



115

(1) ex = 1 + x

1! + x2

2! +

· · ·+ xn

n! + xn+1

(n+1)!eθx, víi 0 < θ < 1.

(2) ln(1 + x) = x − x2

2 + x3

3 − · · · + (−1)n−1 x

n

n + xn+1

n+1(−1)n

(1+θx)n+1 , víi x > −1.

(3) (1 + x)α = 1 + α1!x + α(α−1)

2! x2 + · · · + α(α−1)...(α−n+1)n! xn + α(α−1)...(α−n)

(n+1)! (1 +

θx)α−n−1xn+1, víi x > −1, 0 < θ < 1.

(4) sin x = x − x3

3! + x5

5! − · · · + (−1)k−1 x

2k−1

(2k−1)! + R(x),

víi R(x) = (−1)k x2k+1

(2k+1)! cos θx, 0 < θ < 1.

(5) cos x = 1

−x2

2! + x4

4!

− · · ·+ (

−1)k x

2k

(2k)! + R(x),

víi R(x) = (−1)k+1 x2k+2

(2k + 2)! cos θx, 0 < θ < 1.

Áp dông: §Ó tÝnh gÇn ®óng sè e, ta khai triÓn hàm ex vµ lÊy x = 1:

e = 1 + 1

1! +

1

2! + · · · +

1

n! +

eθ

(n + 1)!, víi 0 < θ < 1.

C«ng thóc này cho phÐp tÝnh e = 1 + 1

1! +

1

2! + · · ·+

1

n! víi sai sè Ýt h¬n

3

(n + 1)!.

Víi n = 6, ta cã e = 2 +

1

2! +

1

3! +

1

4! +

1

5! +

1

6! +

eθ

7! = 2 +

517

720 +

eθ

7! . V×

0 < θ < 1 nªn 1

7! <

eθ

7! <

3

7!. Tõ ®ã

2 + 517

720 +

1

7! < e < 2 +

517

720 +

3

7!.

KÕt qu¶ cho 2, 718253 < e < 2, 718652. VËy e ≈ 2, 718 víi ®é chÝnh x¸c ®Õn 3chØ sè thÆp ph©n.

9 ø

ng dông ®¹o hàm kh¶o s¸t hàm sè 9.1 TÝnh t¨ng gi¶m-Cùc trÞ

Nh¾c l¹i r»ng hµm sè f (x) ®¬n ®iÖu t¨ng trªn (a, b) nÕu

x,x2 ∈ (a, b) : x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2)



116

và f (x) ®-îc gäi lµ gi¶m trªn (a, b) nÕu

x,x2 ∈ (a, b) : x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

NÕu çc dÊu b»ng trong çc bÊt ®¼ng thøc trªn kh«ng x¶y ra, th× ta nãi f (x) t¨ng(hoÆc gi¶m) nghiªm ngÆt . Víi c«ng cô ®¹o hàm ta cã thÓ kh¶o s¸t tÝnh ®¬n ®iÖucña çc hàm kh¶ vi nh- sau:

§Þnh lý 24. Cho f (x) là hàm kh¶ vi trªn (a, b). Khi ®ã

• f (x) ®¬n ®iÖu t¨ng trªn (a, b) ⇐⇒ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b).

• f (x) ®¬n ®iÖu gi¶m trªn (a, b) ⇐⇒ f (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b).NÕu trong çc ®iÒu kiÖn trªn, dÊu \=" trong bÊt ®¼ng thøc f (x) ≥ 0 hayf (x) ≤ 0 chØ x¶y ra t¹i h÷u h¹n ®iÓm, th× hàm t¨ng (hoÆc gi¶m) nghiªm ngÆt trªn (a, b).

Chøng minh. Gi¶ sñ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b). Khi ®ã víi x1 < x2 ta cã

f (x2) − f (x1) = f (c)(x2 − x1) ≥ d9ooco.

VËy f (x) ®¬n ®iÖu t¨ng.Ng-îc l¹i, nÕu f (x) ®¬n ®iÖu t¨ng, xÐt x

∈(a, b) tïy ý và h > 0 ®ñ bÐ. Khi ®ã,

x < x + h =⇒ f (x) ≤ f (x + h) =⇒ f (x + h) − f (x)

h ≥ 0.

Cho h → 0, ta cã f (x) = f +(x) = limh→0f (x+h)−f (x)

h ≥ 0.

PhÇn cßn l¹i chøng minh t-¬ng tù hoÆc xÐt hàm −f (x).

Muèn t×m cùc trÞ cña çc hàm kh¶ vi, ta sö dông bæ ®Ò Fermat ®Ó t×m çc ®iÓmdõng (®iÓm nghi ngê cùc trÞ). Sau ®ã sö dông ®iÒu kiÖnn ®ñ cho trong ®Þnh lý sau®©y.

§Þnh lý 25. Gi¶ sñ f (x) kh¶ vi trªn (a, b) chøa x0 và f (x0) = 0. Khi ®ã• NÕu f (x) ®æi dÊu tõ + sang − khi qua x0, th× x0 là cùc ®¹i.

• NÕu f (x) ®æi dÊu tõ − sang + khi qua x0, th× x0 là cùc tiÓu.

• NÕu f (x) kh«ng ®æi dÊu khi qua x0, th× x0 kh«ng ph¶i cùc trÞ.



117

VÝ dô. T×m kho¶ng t¨ng gi¶m và cùc trÞ cña hàm sè y = x(1 + x)3.Hàm sè này kh¶ vi trªn R, cã ®¹o hàm

y = (1 + x)3 + x.3(1 + x)2 = (1 + x)2(1 + 4x).

Çc ®iÓm nghi ngê cùc trÞ là x = −1 và x = −1/4. XÐt dÊu ®¹o hàm

x −∞ −1 −1/4 +∞y − 0 − 0 +y CT

Tõ ®ã ta thÊy hàm sè chØ cã mét cùc tiÓu t¹i x =

−1/4. Hàm sè gi¶m nghiªm

ngÆt trªn (−∞, −1/4), t¨ng nghiªm ngÆt trªn (−1/4, +∞).

Víi nh÷ng hàm kh¶ vi cÊp cao ta cã ®iÒu kiÖn ®ñ sau ®©y.

§Þnh lý 26. Gi¶ sö f (x) kh¶ vi cÊp n−1 trªn (a, b) và kh¶ vi cÊp n t¹i x0 ∈ (a, b)vµ

f (x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0, f (n)(x0) = 0.

Khi ®ã

• NÕu n ch½n, th× x0 là cùc trÞ: f (n)(x0) > 0 : x0 là cùc tiÓu.

f (n)(x0) < 0 : x0 là cùc ®¹i.

• NÕu n lÎ, th× x0 kh«ng ph¶i là cùc trÞ.

Chøng minh. Sö dông khai triÓn Taylor t¹i x0 ®Õn cÊp cÇn thiÕt.

9.2 TÝnh låi lâm - §iÓm uèn

Cho hàm sè y = f (x) kh¶ vi trªn (a, b).

• Ta nãi ®-êng cong y = f (x) låi trªn1(t.-. låi díi) trªn (a, b) nÕu tiÕptuyÕn víi ®-êng cong t¹i mét ®iÓm bÊt k× trªn kho¶ng này n»m phÝa trªn

(t.-. phÝa d-íi) ®-êng cong.

• §iÓm M trªn ®-êng cong ng¨n çch hai kho¶ng låi trªn, låi d-íi ®-îc gäilµ ®iÓm uèn cña ®-êng cong.

§Þnh lý 27. Cho hàm sö f (x) kh¶ vi cÊp 2 trªn (a, b).

1Mét sè tài liÖu gäi låi trªn là låi, cßn låi d-íi là lâm.



118

• NÕu f (x) > 0,

∀x

∈(a, b), th× ®êng cong y = f (x) låi díi trªn (a, b).

• NÕu f (x) < 0, ∀x ∈ (a, b), th× ®êng cong y = f (x) låi díi díi (a, b).

• NÕu f (x) ®æi dÊu khi qua x0, th× M 0(x0, f (x0)) là ®iÓm uèn.

Chøng minh. Ta chøng minh kh¼ng ®Þnh ®Çu tiªn. Ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i®iÓm M 0(x0, y0) bÊt k× là

Y − y0 = f (x0)(X − x0).

Víi X = x, ta xÐt hiÖu

y − Y = f (x) − y0 − f (x0)(x − x0) dl Lagrange

= f (c)(x − x0) − f (x0)(x − x0).

Víi c n»m gi÷a x0 và x. V× f (x) > 0 nªn f (x) là hàm ®¬n ®iÖu t¨ng. Do ®ã

y − Y = [f (c) − f (x0)](x − x0) > 0, ∀x = x0.

VËy tiÕp tuyÕn n»m phÝa d-íi ®-êng cong.

VÝ dô. T×m kho¶ng låi, lâm và ®iÓm uèn cña ®-êng cong y = x(1 + x)3. Ta cã

y = (1 + x)2(1 + 4x),y = 2(1 + x)(1 + 4x) + 4(1 + x)2 = 3(1 + x)(1 + 2x).

x −∞ −1 −1/2 +∞y + 0 − 0 +y lâm §. uèn låi §. uèn lâm



119

V. PhÐp tÝnh tÝch ph©n hµm mét biÕn

Trong ch¬ng này ta nghiªn cøu phÐp tÝnh tÝch ph©n hàm mét biÕn cïng víi çcøng dông cña nã.

1 Nguyªn hàm - TÝch ph©n bÊt ®Þnh

1.1 Nguyªn hàm

VÊn ®Ò: T×m hàm sè biÕt ®¹o hàm cña nã.

§Þnh nghÜa 1. Cho hàm sè f (x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a, b). NÕu tån t¹i hàmsè F (x) sao cho

F (x) = f (x), ∀x ∈ (a, b),

th× ta nãi F (x) là mét nguyªn hàm cña f (x) trªn kho¶ng (a, b).

VÝ dô. Cho f (x) = x2, dÔ thÊy F (x) = x3

3 là mét nguyªn hàm cña f (x) trªn R.

Ngoài ra nã cßn cã nguyªn hàm d¹ng x3

3 + C , víi C là h»ng sè tïy ý.

NhËn xÐt. NÕu F (x) là mét nguyªn hàm cña f (x) trªn kho¶ng (a, b) nào ®ã th×F (x) + C còng là mét nguyªn hàm. Nh vËy nÕu hàm sè cã nguyªn hàm F (x),th× sÏ cã v« sè nguyªn hàm và tÊt c¶ çc nguyªn hàm cña nã cã d¹ng F (x) + C .

§Þnh nghÜa 2. Gi¶ sö hàm sè f (x) cã nguyªn hàm là F (x). Khi ®ã, hä çc hµmF (x) + C (víi C là h»ng sè tïy ý) ®-îc gäi lµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh cña f (x) vàký hiÖu

f (x)dx = F (x) + C,

trong ®ã f (x)dx ®-îc gäi là biÓu thøc d-íi dÊu tÝch ph©n, vi ph©n dx ®Ó chØ ®¹ohàm theo biÕn x.

VÝ dô. 1)

x2dx =

x3

3 + C.

2)

1√

1 + x2dx = ln(x +

√ 1 + x2) + C.

V× (ln(x +√

1 + x2))x = (x +

√ 1 + x2)

x +√

1 + x2=

1 + x√ 1 + x2

x +√

1 + x2=

1√ 1 + x2



120

1.2 B¶ng çc tÝch ph©n cña çc hàm s¬ cÊp

1.

0dx = C.

2.

dx = x + C.

3.

xαdx =

xα+1

α + 1, (α = −1).

4. dx

x = ln |x|+ C.

5.

axdx =

ax

ln ax + C (0 < a = 1),

exdx = ex + C.

6.

sin xdx = − cos x + C.

7.

cos xdx = sin x + C.

8. dx

x2 + 1 = arctgx + C,

dx

x2 + a2 =

1

aarctg

x

a + C, (a > 0).

9.

dx

x2 − a2 =

1

2a ln

x− a

x + a

+ C, (a > 0).

10.

dx√

1 − x2= arcsinx + C,

dx√

a2 − x2= arcsin

x

a + C.

11.

dx

sin2 x = −cotgx + C.

12. dx

cos2 x = tgx + C.

Mét sè hàm sè cã nguyªn hàm nhng nguyªn hµm ®ã kh«ng viÕt ®îc díi d¹ng

hàm s¬ cÊp. Ch¼ng h¹n:

ex

2

dx.



121

1.3 Çc tÝnh chÊt

TÝnh chÊt 1:

[f (x) + g (x)]dx =

f (x)dx +

g (x)dx.

TÝnh chÊt 2:

αf (x)dx = α

f (x)dx.

TÝnh chÊt 3: d

dx

f (x)dx = f (x).

TÝnh chÊt 4:

f (x)dx = f (x) + C.

NhËn xÐt. Hai tÝnh chÊt ®Çu tiªn chØ tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh cña phÐp tÝnh tÝch ph©n;hai tÝnh chÊt cßn l¹i biÓu thÞ viÖc lÊy ®¹o hàm và tÝch ph©n là hai phÐp to¸n ngîcnhau.VÝ dô.

1)

√ x(x− 1)2dx =

(x5/2 − 2x3/2 + x1/2)dx =

2

7x7/2 − 4

5x5/2 +

2

3x3/2 + C.

2)

cos2 xdx =

1 + cos 2x

2 dx =

x

2 +

sin2x

4 + C .

1.4 Çc ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n

1.4.1 §æi biÕn

Gi¶ sö f (x) cã nguyªn hàm và x = ϕ(t) là mét hàm kh¶ vi. Khi ®ã f (x)dx =

f (ϕ(t))ϕ(t)dt (1)

VÝ dô. 1) TÝnh I =

x√

x2 + 3dx.

§Æt t = x2 + 3, =⇒ dt = 2xdx. Tõ ®ã

I = 1

2

√ tdt =

1

3t3/2 + C =

1

3

(x2 + 3)3 + C.

2) TÝnh I = √ a2 − x2dx, (a > 0).

§Æt x = a cos t, =⇒ dx = −a sin tdt,√

a2 − x2 = a sin t. Tõ ®ã

I =

a sin t(−a sin t)dt = a2

cos2t− 1

2 dt

= a2

4 sin2t− a2

2 t + C.



122

Ta cã sin t = √ 1 − cos2

t =

1

a√ a2

− x2

. Suy ra

sin2t = 2 sin t cos t = 2x

a2

√ a2 − x2.

Thay vào biÓu thøc cuèi cïng ta ®îc

I = x

2

√ a2 − x2 − a2

2 arccos

x

a + C.

1.4.2 C«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn

udv = uv −

vdu (2)


x sin xdx.

§Æt

u = x =⇒ du = dx

dv = sin xdx =⇒ v = − cos x. Do ®ã

I = −x cos x +

cos xdx = −x cos x + sin x + C.

2) TÝnh I =

arctgxdx.

§Æt

u = arctgx =⇒ du =

dx

1 + x2

dv = dx =⇒ v = x. Do ®ã

I = xarctgx−

xdx

1 + x2 = xarctgx− 1

2 ln(1 + x2) + C.

2 TÝch ph©n mét sè líp hàm th«ng dông

2.1 TÝch ph©n çc hàm h÷u tØ

XÐt hàm h÷u tØ P (x)

Q(x), trong ®ã P (x), Q(x) ∈ R[x]. NÕu bËc cña tö lín h¬n hay

b»ng bËc cña mÉu th× b»ng çch chia ®a thøc ta cã thÓ viÕt hàm ®ã díi d¹ngtæng cña ®a thøc và ph©n thøc h÷u tØ víi bËc ë tö nhá h¬n bËc cña mÉu. Ta gäi



123

chóng là çc ph©n thøc h÷u tØ thùc s. Ta nh¾c l¹i kÕt qu¶ sau ®©y (xem I.7.2): Mäi ph©n thøc h÷u tØ thùc sù ®Òu ph©n tÝch ®-îc thành tæng cña çc ph©n thøcc¬ b¶n d¹ng:

A

(x− a)k, hoÆc

Bx + C

(x2 + px + q)k, víi p2 − 4q < 0

§Ó ph©n tÝch, ta tiÕn hành ph©n tÝch ®a thøc Q(x) thành tÝch cña çc nhÞ thøc vàçc tam thøc bËc hai víi biÖt thøc ∆ < 0.

Q(x) = A(x− a1)k1 . . . (x− as)ks(x2 + p1x + q1)m1 . . . (x2 + prx + qr)mr .

Khi ®ã

P (x)Q(x)

= A1

x− a1+ · · · + Ak1

(x− a1)k1+ · · ·

+ B1x + C 1

x2 + p1x + q1+ · · ·+

Bm1x + C m1

(x2 + p1x + q1)m1+ · · ·

Çc hÖ sè A1, B1, C 1, . . . ®îc t×m b»ng çch quy ®ång mÉu sè vÕ ph¶i råi c©nb»ng hai vÕ (ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh).Thñ tôc trªn ®a viÖc tÝnh tÝch ph©n çc hàm h÷u tØ vÒ tÝnh çc tÝch ph©n sau:

(a)

dx

x− a = ln |x− a|+ C,

(b) dx

(x− a)k

= 1

(1− k)(x− a)k−1

+ C, (k > 1)

(c)

Bx + C

(x2 + px + q)kdx =

B

2

2x + p

(x2 + px + q)kdx+

C − B p

2

d(x + p/2)

((x + p/2)2 + a2)k

Víi a2 := q − p2

4 . Ta cã

Bx + C

(x2 + px + q)kdx =

ln(x2 + px + q) + C nÕu k = 1,1

(1− k)(x2 + px + q)k−1 + C nÕu k > 1.

V× vËy, ta chØ quan t©m ®Õn tÝch ph©n (víi t := x + p/2)

I k :=

dt(t2 + a2)k

.

TÝch ph©n tõng phÇn:u =

1

(t2 + a2)k, =⇒ du = − 2ktdt

(t2 + a2)k+1,

dv = dt, =⇒ v = t.



124

Do ®ã

I k = t

(t2 + a2)k + 2k

t2

(t2 + a2)k+1dt

= t

(t2 + a2)k + 2k

t2

(t2 + a2)kdt− 2ka2

dt

(t2 + a2)k

= t

(t2 + a2)k + 2kI k − 2ka2I k+1.

Tõ ®ã ta thu ®îc c«ng thøc truy håi ®Ó tÝnh I k là

I k+1 = 1

2ka2

·

t

(t2 + a2)k +

2k − 1

2ka2 I k,

trong ®ã I 1 =

dt

t2 + a2 =

1

aarctg

x

a + C .


dx

(x + 1)(x2 − 1).

Ta cã

1

(x + 1)(x2 − 1) =

1

(x + 1)2(x− 1) =

A

x + 1 +

B

(x + 1)2 +

C

x− 1.

§ång nhÊt tö thøc:

1 ≡ A(x + 1)(x− 1) + B(x− 1) + C (x + 1)2

Cho x = 1 ⇒ C = 1/4, x = −1 ⇒ B = −1/2, suy ra A = −1/4. Tõ ®ã,

I = −1/4 dx

x + 1 − 1/2

dx

(x + 1)2 + 1/4

dx

x− 1

= −1/4 ln |x + 1|+ 1

2(x + 1) + 1/4 ln |x− 1|+ C.

2) TÝnh I =

2 − 3x

(x + 3)(x2 + 2)dx.

Ta cã2− 3x

(x + 3)(x2 + 2) = A

x + 3 + Bx + C

x2 + 2 .

B»ng çch ®ång nhÊt hai tö và c©n b»ng hÖ sè ta t×m ®îc A = 1, B = −1, C = 0.Tõ ®ã,

I =

dx

x + 3 −

x

x2 + 2dx = ln |x + 3| − 1

2 ln(x2 + 2) + C.



125

2.2 TÝch ph©n çc hàm v« tØ

Ph¬ng ph¸p chung ®Ó tÝch ph©n çc hàm v« tØ là t×m çch ®a vÒ tÝch ph©n çchàm h÷u tØ. Sau ®©y ta xÐt mét sè d¹ng cã thÓ ®a vÒ tÝch ph©n cña hàm h÷u tØ.

1) TÝch ph©n d¹ng:

R

x,

ax + b

cx + d

m1

n1 · · ·

ax + b

cx + d

ms

ns

dx,

trong ®ã R là biÓu thøc h÷u tØ cña çc biÕn. Víi tÝch ph©n này, ta ®æi biÕn:

tn = ax + b

cx + d,

trong ®ã, n là BSCNN cña çc mÉu sè n1, . . . , ns.

VÝ dô. TÝnh I =

√ x

1 + 4√

xdx.

§Æt t4 = x,⇒ dx = 4t3dt. Tõ ®ã,

I = t24t3dt

t3 + 1 = 4 t2 − t2

t3 + 1 dt

= 43

t3 − 43

d(t3 + 1)

t3 + 1 = 4

3t3 − 4

3 ln |t3 + 1| + C.

Cuèi cïng thay t = 4√

x ta ®îc kÕt qu¶.

2) TÝch ph©n d¹ng: R(x,

√ ax2 + bx + c)dx.

Muèn tÝnh tÝch ph©n này ta dïng çc phÐp ®æi biÕn sau (gäi là çc phÐp thÕ Euler®Ó ®a vÒ tÝch ph©n çc hàm h÷u tØ.

• NÕu tam thøc bËc hai ax2 + bx + c cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt α và β ,th× ®Æt

t =

√ ax2 + bx + c

x− α .

Khi ®ã t2 = ax− β

x− α là hàm h÷u tØ theo x.



126

• NÕu tam thøc kh«ng cã nghiÖm thùc, khi ®ã a > 0, th× ta ®Æt:

√ ax2 + bx + c = t ±√ ax.

Khi ®ã x = t2 − c

b∓√ at và ®©y là hàm h÷u tØ theo t.

• NÕu c > 0, cã thÓ ®Æt:

√ ax2 + bx + c = tx ±√ c.

VÝ dô. TÝnh I =

dx

x +√ x2 − x + 1 .Dïng phÐp thÕ Euler thø hai:

√ x2 − x + 1 = t − x, ta cã

x = t2 − 1

2t − 1 =⇒ dx = 2

t2 − t + 1

(2t − 1)2 dt.

Tï ®ã ta cã

I =

2t2 − 2t + 2

t(2t− 1)2 dt =

2

t − 3

2t− 1 +

3

(2t− 1)2

dt

= 2 ln

|t

| −

3

2

ln

|2t

−1

| −

3

2(2t − 1)

+ C.

Cuèi cïng thay t = x +√

x2 − x + 1.3) TÝch ph©n d¹ng:

xm(a + bxn) pdx, víi m,n,p inQ.

§Æt xn = t ta ®a tÝch ph©n vÒ d¹ng:

tq(a + bt) pdt, víi q := m + 1

n − 1.

NÕu cã Ýt nhÊt mét trong ba sè p, q và p + q là sè nguyªn th× tÝch ph©n trªn cã thÓbiÓu diÔn díi d¹ng hàm s¬ cÊp. Cô thÓ

• NÕu p nguyªn, ta ®Æt x = ts, v?i s là MSC cña m và n.

• NÕu p = r

s kh«ng nguyªn và

m + 1

n nguyªn, ta ®Æt a + bxn = ts.



127

• NÕu p =

r

s và

m + 1

n kh«ng nguyªn, nhng p +

m + 1

n nguyªn, ta ®Ætax−n + b = ts.

Chó ý. Chebychev chøng minh r»ng, trong çc trêng hîp cßn l¹i, ®iÒu kh¼ng®Þnh trªn là kh«ng ®óng.

VÝ dô. 1) I =

xdx

1 + 3√

x2. Ta ®Æt: t2 = 1 + 3

√ x2.

2) I = dx

x2

(1 + x2)3. Ta ®Æt: t2 =

1

x2 + 1.

2.3 TÝch ph©n çc hàm lîng gi¸c

Ta quan t©m nhiÒu nhÊt ®Õn tÝch ph©n çc hàm lîng gi¸c d¹ng: R(cos x, sin x)dx,

trong ®ã R là mét biÓu thøc h÷u tØ cña çc biÕn.Mét phép thÕ (®îc xem là \v?n nang") ®Ó ®a tÝch ph©n vÒ tÝch ph©n çc hàmh÷u tØ là

t := tgx

2 =⇒ dx =

2dt

1 + t2.

Khi ®ã tÝch ph©n trë thành: R

1− t2

1 + t2,

2t

1 + t2

2dt

1 + t2.

VÝ dô. TÝnh I =

dx

sin x.

Ta ®Æt t = tgx

2, suy ra sin x =

2t

1 + t2 và dx =

2dt

1 + t2. Tõ ®ã

I =

dt

t = ln |t|+ C = ln |tgx

2|+ C.

Trong mét sè trêng hîp ta cã thÓ dïng çc phÐp ®æi biÕn ®¬n gi¶n h¬n. VÝ dô.I =

sin2 x

cos6 xdx.

§Æt t = tgx, ta cã dt = dx

cos2 x. Do ®ã:

I =

t2(1 + t2)dt =

t3

3 +

t5

5 + C =

tg3x

3 +

tg5x

5 + C.



128

3 TÝch ph©n x¸c ®Þnh3.1 Bài to¸n diÖn tÝch h×nh thang cong

Cho hàm sè y = f (x) liªn tôc, kh«ng ©m trªn ®o¹n [a, b]. Ta xÐt h×nh ph¼ng (H )giíi h¹n bëi trôc Ox, çc ®êng th¼ng x = a, x = b và ®å thÞ hàm sè y = f (x).H×nh này cã d¹ng nh h×nh thang vu«ng cã m«t c¹nh bªn là ®êng cong, và tagäi là h×nh thang cong.§Ó tÝnh diÖn tÝch cña (H ), ta chia ®o¹n [a, b] thành n ®o¹n con bëi çc ®iÓm chiaa = x0 < x1 < · · · < xn = b (gäi là mét phÐp ph©n ho¹ch σ). Trªn mçi ®o¹ncon, ta chän ®iÓm ξ i ∈ [xi−1, xi] tïy ý. Khi ®ã diÖn tÝch h×nh thang cong con øng

víi ®o¹n này xÊp xØ b»ng f (ξ i).∆xi, víi ∆xi := xi− xi−1 là ®é dài ®o¹n con thø i. V× vËy, ta cã

dt(H) ≈ Sn :=

ni=1

f(ξ i).∆xi.

ViÖc xÊp xØ càng chÝnh x¸c nÕu |σ| := maxi=1,n

∆xi càng bÐ. Mét çch tù nhiªn, ta

®Þnh nghÜa diÖn tÝch cña h×nh thang cong (H ) nh là giíi h¹n cña gi¸ trÞ xÊp xØtrªn:

dt(H) = lim|σ|→0

Sn, (3)

nÕu giíi h¹n ë vÕ ph¶i tån t¹i (h÷u h¹n) mét çch kh«ng phô thuéc vào çch ph©nho¹ch [a, b] và çch chän çc ®iÓm ξ i.NhiÒu bài to¸n thùc tÕ kh¸c dÉn ®Õn viÖc tÝnh giíi h¹n cña mét tæng cã d¹ng (3).Tõ ®ã, dÉn ®Õn kh¸i niÖm tÝch ph©n x¸c ®Þnh.

3.2 §Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh

Cho hàm sè f (x) x¸c ®Þnh trªn [a, b]. Ta ph©n ho¹ch ®o¹n này thành n ®o¹n conbëi phÐp ph©n ho¹ch σ gåm çc ®iÓm chia a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Gäi∆xi là ®é dài ®o¹n con thø i và ®Æt |σ| := max

i=1,n∆xi (®îc gäi lµ ®é mÞn cña

ph©n ho¹ch). Trªn mçi ®o¹n con, chän ξ i ∈ [xi−1, xi] và lËp tæng tÝch ph©n

S n :=ni=1

f (ξ i).∆xi.

§Þnh nghÜa 3. NÕu tån t¹i (h÷u h¹n) lim|σ|→0

S n mét çch kh«ng phô thuéc vào ph©n

ho¹ch σ và çch chän çc ®iÓm ξ i th× giíi h¹n ®ã ®-îc gäi lµ tÝch ph©n x¸c



129

®Þnh cña hàm f (x) trªn ®o¹n [a, b]. Ký hiÖu:

ba

f (x)dx = lim|σ|→0

S n.

Trong ký hiÖu trªn a, b là çc cËn, f (x)dx ®îc gäi lµ biÓu thøc díi dÊu tÝchph©n. Trêng hîp a = b hoÆc a > b ta ®Þnh nghÜa: a

a

f (x)dx = 0,

ba

f (x)dx = − ab

f (x)dx.

NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa ta suy ra gi¸ trÞ tÝch ph©n x¸c ®Þnh chØ phô thuéc vào

hàm f (x) và hai cËn, kh«ng phô thuéc vào biÕn lÊy tÝch ph©n: ba

f (x)dx =

ba

f (t)dt.

3.3 Çc líp hàm kh¶ tÝch

Hàm sè f (x) ®îc gäi lµ kh¶ tÝch (theo nghÜa Riemann) trªn ®o¹n [a, b] nÕu tån

t¹i

ba

f (x)dx.

MÖnh ®Ò 1. (§iÒu kiÖn cÇn) NÕu hàm sè kh¶ tÝch trªn mét ®o¹n th× bÞ chÆn trªn®o¹n này.

NhËn xÐt. §iÒu kiÖn này chØ là cÇn chø kh«ng ®ñ. ThËt vËy, hàm Dirichlet

f (x) =

1, nÕu x h÷u tØ

0, nÕu x v« tØ

bÞ chÆn trªn ®o¹n [0, 1], nhng kh«ng kh¶ tÝch trªn ®o¹n này.

§Þnh lý 1. NÕu f (x) liªn tôc trªn [a, b] th× kh¶ tÝch trªn ®o¹n này.

§Þnh lý sau ®©y më réng líp hàm kh¶ tÝch kh«ng chØ gåm çc hàm liªn tôc:

§Þnh lý 2. 1) NÕu f (x) bÞ chÆn trªn [a, b] và chØ cã h÷u h¹n ®iÓm gi¸n ®o¹n th× kh¶ tÝch trªn ®o¹n này.

2) NÕu f (x) bÞ chÆn và ®¬n ®iÖu trªn [a, b] th× kh¶ tÝch trªn ®o¹n này.



130

Kh¼ng ®Þnh thø hai trong ®Þnh lý kh«ng h¹n chÕ víi nh÷ng hàm cã v« sè ®iÓmgi¸n ®o¹n. Ch¼ng h¹n xÐt hàm sè sau trªn [0, 1]

f (x) =

0 nÕu x = 0,1

n nÕu

1

n + 1 < x ≤ 1

n.

Hàm này ®¬n ®iÖu t¨ng và bÞ chÆn nªn kh¶ tÝch tuy r»ng nã cã v« sè ®iÓm gi¸n

®o¹n (t¹i çc ®iÓm 1

n).

NhËn xÐt. NÕu thay ®æi gi¸ trÞ cña mét hàm kh¶ tÝch t¹i h÷u h¹n ®iÓm th× hàm

míi còng kh¶ tÝch và cã cïng gi¸ trÞ tÝch ph©n x¸c ®Þnh nh hàm ban ®Çu.

3.4 Çc tÝnh chÊt cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh

TÝnh chÊt 1: Hàm h»ng f (x) ≡ C kh¶ tÝch và

ba

Cdx = C (b− a).

TÝnh chÊt 2: NÕu f (x), g (x) kh¶ tÝch trªn [a, b] và α ∈ R th× f ± g và αf còngkh¶ tÝch và b

a

[f (x)± g (x)]dx =

ba

f (x)dx± ba

g (x)dx,

ba

αf (x)dx = α

ba

f (x)dx.

TÝnh chÊt 3: NÕu f (x) kh¶ tÝch trªn [a, b] và c ∈ [a, b] th× f (x) kh¶ tÝch trªn [a, c]và [c, b]. Ngîc l¹i, nÕu f (x) kh¶ tÝch trªn hai ®o¹n con th× kh¶ tÝch trªn [a, b] và

ba

f (x)dx =

c a

f (x)dx +

bc

f (x)dx.

TÝnh chÊt 4: NÕu f (x), g (x) kh¶ tÝch trªn [a, b] và f (x) ≤ g (x), ∀x ∈ [a, b], th×

ba

f (x)dx ≤ ba

g (x)dx.

TÝnh chÊt 5: NÕu f (x) kh¶ tÝch trªn ®o¹n [a, b] và tho¶ m ≤ f (x) ≤ M , th×

m(b− a) ≤ ba

f (x)dx ≤ M (b − a).



131

TÝnh chÊt 6: NÕu f (x) kh¶ tÝch trªn [a, b], th×|f (x)

|còng kh¶ tÝch trªn ®o¹n này,

và ba

f (x)dx

≤ ba

|f (x)|dx.

TÝnh chÊt 7: (Gi¸ trÞ trung b×nh) NÕu f (x) kh¶ tÝch trªn [a, b] và m ≤ f (x) ≤ M khi x ∈ [a, b], th× tån t¹i sè µ ∈ [m, M ] sao cho:

ba

f (x)dx = µ(b− a).

§Æc biÖt, nÕu f (x) liªn tôc, th× tån t¹i c ∈ [a, b] sao cho:

f (c) = 1

b− a

ba

f (x)dx.

3.5 Liªn hÖ gi÷a tÝch ph©n x¸c ®Þnh và nguyªn hàm-C«ng thøc

Newton-Leibnitz

Cho hàm sè f (x) kh¶ tÝch trªn [a, b], víi mçi x ∈ [a, b] hàm f (t) kh¶ tÝch trªn®o¹n [a, x]. Khi ®ã hàm sè sau (®îc gäi lµ hàm cña cËn trªn) ®îc x¸c ®Þnh víimçi x ∈ [a, b]:

Φ(x) = xa f (t)dt.

§Þnh lý 3. Gi¶ sö f (x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b]. Khi ®ã Φ(x) kh¶ vi trªn [a, b] và

Φ(x) = d

dx

xa

f (t)dt = f (x), ∀x ∈ [a, b].

(tøc là hàm cña cËn trªn là mét nguyªn hàm cña f (x)).

Chøng minh. Cho x sè gia ∆x, ta cã ∆Φ(x) = Φ(x+∆x)−Φ(x) =

x+∆x

f (t)dt.

V× f (x) liªn tôc nªn theo ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh cña tÝch ph©n, tån t¹i ξ ∈[x, x + ∆x] sao cho x+∆x

f (t)dt = f (ξ )∆x.

Tõ ®ã ∆Φ

∆x = f (ξ ). Cho ∆x → 0 và do f (x) liªn tôc, ta cã ®iÒu ph¶i chøng

minh.



132

§Þnh lý 4. (C«ng thøc Newton-Leibnitz) Gi¶ sö f (x) liªn tôc trªn [a, b] và F (x)là mét nguyªn hàm cña f (x) trªn ®o¹n này. Khi ®ã:

ba

f (x)dx = F (x)ba

:= F (b)− F (a) (4)

VÝ dô. TÝnh I =

10

2x + 1

x2 + 1dx.

Ta cã

I =

10

2x

x2 + 1dx +

10

1

x2 + 1dx

= ln(x2

+ 1)10 + arctgx

10

= ln 2 + π

4.

3.6 Çc ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh

T¬ng tù nh tÝch ph©n bÊt ®Þnh, hai ph¬ng ph¸p thêng dïng ®Ó tÝnh tÝch ph©nx¸c ®Þnh là ®æi biÕn và tõng phÇn.

1) Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn: T¬ng tù nh tÝch ph©n bÊt ®Þnh, chØ chó ý thªm làph¶i ®æi cËn lÊy tÝch ph©n theo biÕn míi.

MÖnh ®Ò 2. Gi¶ sö f (x) kh¶ tÝch trªn [a, b] và x = ϕ(t) là hàm kh¶ vi liªn tôctrªn [α, β ] tho¶ ϕ(α) = a, ϕ(β ) = b và ¶nh cña [α, β ] qua ϕ lµ ®o¹n [a, b]. Khi®ã b

a

f (x)dx =

β α

f (ϕ(t))ϕ(t)dt.

VÝ dô. TÝnh I =

a0

√ a2 − x2dx.

§Æt x = a sin t, suy ra dx = a cos tdt. Ta cã t 0 −→ π/2

x 0 −→ a

Khi ®ãI =

π/20

a cos t.a cos tdt = a2

π/20

1 + cos 2t

2 dt

= a2

t

2 +

sin 2t

4

π/20

= πa2

4 .

2) Ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn:



133

Víi tÝch ph©n x¸c ®Þnh, c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn chØ thªm çc cËn:

ba

udv = uvba− ba

vdu. (5)

VÝ dô. Tính I =

10

x sin πx

2 dx. TÝch ph©n tõng phÇn

u = x =⇒ du = dx,

dv = sin πx

2 dx =⇒ v = − 2

π cos

πx

2

Do ®ã,

I = −2x

π cos

πx

2

10

+

10

2

π cos

πx

2 dx

= π2

4 sin

πx

2

10

= 4

π2.

3.7 - ng dông h×nh häc cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh

1) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng: diÖn tÝch h×nh ph¼ng H giíi h¹n bëi 2 ®êng

th¼ng x = a, x = b và çc ®êng cong y = f (x), y = g (x) trªn ®o¹n [a, b] là

dt(H ) =

ba

|f (x)− g (x)|dx.

VÝ dô. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng D giíi h¹n bëi çc ®êng cong y = x2 và®êng th¼ng y + x = 2.Hoành ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng và ®êng cong là nghiÖm cña hÖ

y = x2

x + y = 2 ⇐⇒ x = 1, x = −2.

Tõ ®ã

dt(D) =

1−2

(2− x− x2)dx = (2x − x2

2 − x3

3 )1−2

= 9

2.

2) TÝnh ®é dài cung: Gi¶ sö cung

AB là ®å thÞ hàm sè y = f (x) trªn [a, b]. Ta

chia cung

AB thành n ®o¹n con bëi çc ®iÓm chia A = M 0, M 1, . . . , M n = B



134

theo thø tù ®ã. Khi ®ã ®é dài ®êng gÊp khóc M 0

M 1

. . . M n

xÊp xØ víi ®é dài

cung

AB.

l AB≈

ni=1

(xi − xi−1)2 + [f (xi)− f (xi−1)]2.

Theo ®Þnh lý Lagrange, vÕ ph¶i b»ngni=1

(xi − xi−1)

1 + +[f (ci)]2. Theo ®Þnh

nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh:

l AB

= b

a 1 + f 2(x)dx.

NÕu ®êng cong (C ) cho bëi ph¬ng tr×nh tham sè: x = x(t)y = y(t)

, α ≤ t ≤ β

(x(t), y(t) là nh÷ng hàm kh¶ vi) th× ®é dài cña (C ) là:

l(C ) =

β α

[x(t)]2 + [y(t)]2dt.

VÝ dô. TÝnh chu vi ®êng trßn b¸n kÝnh R.Xem ®êng trßn C cã t©m là gèc täa ®é x2 + y2 = R2. Tham sè hãa x = R cos ty = R sin t

, 0 ≤ t ≤ 2π.

Khi ®ã lC =

2π 0

R2 sin2 t + R2 cos2 tdt = 2πR.

3) TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay: XÐt vËt thÓ V nhËn ®îc b»ng çch quay®êng cong y = f (x) (víi x ∈ [a, b]) quanh trôc Ox. Khi ®ã thÓ tÝch cña V chobëi c«ng thøc:

tt(V ) = π ba

[f (x)]2dx.

NÕu quay ®êng cong x = g (y) (víi y ∈ [c, d]) quanh trôc Oy th× thÓ tÝch là

tt(V ) = π

dc

[g (y)]2dy.



135

4 TÝch ph©n suy réngTrong bài này ta më réng tÝch ph©n x¸c ®Þnh mét líp nh÷ng hàm kh«ng bÞ chÆnvà còng kh«ng giíi h¹n ®o¹n lÊy tÝch ph©n ph¶i là h÷u h¹n. Çc tÝch ph©n nhuvËy ®îc gäi lµ tÝch ph©n suy réng.

4.1 TÝch ph©n suy réng lo¹i I (cËn v« h¹n)

4.1.1 §Þnh nghÜa-VÝ dô

Cho hàm sè f (x) kh¶ tÝch trªn [a, b], víi mçi b > a. Khi ®ã ta ®Þnh nghÜa tÝch

ph©n suy réng cña f (x) trªn [a, +∞) nh sau: +∞a

f (x)dx = limb→+∞

ba

f (x)dx.

NÕu giíi h¹n ë vÕ ph¶i tån t¹i h÷u h¹n ta nãi tÝch ph©n suy réng

+∞ a

f (x)dx héi

tô và gi¸ trÞ cña tÝch ph©n là giíi h¹n ®ã. Ngîc l¹i, ta nãi tÝch ph©n suy réng+∞

a

f (x)dx ph©n kú.

Mét çch t¬ng t ta ®Þnh nghÜa: a−∞

f (x)dx := limb→−∞

ab

f (x)dx,

+∞−∞

f (x)dx :=

a−∞

f (x)dx +

+∞a

f (x)dx,

víi a chän tïy ý (nÕu çc tÝch ph©n ë vÕ ph¶i héi tô th× tæng cña chóng kh«ngphô thuéc vào a).

VÝ dô. 1) XÐt sù héi tô cña tÝch ph©n+∞ 1

dx

x2.

Víi mçi b > 1, ta cã b1

dx

x2 = 1 − 1

b.



136

Do ®ã +∞

1

dxx2

= limb→+∞

(1− 1b

) = 1.

VËy tÝch ph©n ®· cho là héi tô, gi¸ trÞ b»ng 1.

2) XÐt sù héi tô cña tÝch ph©n

+∞ 0

cos xdx. Ta cã

b0

cos xdx = sin b.

V× limb→+∞ sin b kh«ng tån t¹i nªn tÝch ph©n ®· cho ph©n kú.

NhËn xÐt. NÕu F (x) là mét nguyªn hàm cña f (x) th× cã thÓ viÕt: +∞a

f (x)dx = F (x)+∞a

= F (+∞)− F (a),

víi F (+∞) := limx→+∞

F (x). Tuong tù,

a

−∞

f (x)dx = F (x)a

−∞= F (a)− F (−∞),

+∞−∞

f (x)dx = F (x)+∞−∞

= F (+∞)− F (−∞).

VÝ dô.

+∞ −∞

dx

x2 + 1 = arctgx

+∞−∞

= π/2− (−π/2) = π.

4.1.2 Çc tÝnh chÊt

TÝnh chÊt 1: NÕu tÝch ph©n

+∞

a

f (x)dx héi tô, th× víi mçi b > a, tÝch ph©n

+∞ b

f (x)dx còng héi tô.



137

TÝnh chÊt 2: NÕu f (x) kh¶ tÝch trªn [a, b], th× çc tÝch ph©n

+∞ a

f (x)dx và

+∞ b

f (x)dx cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú. Khi héi tô, ta cã

+∞a

f (x)dx =

ba

f (x)dx +

+∞b

f (x)dx.

TÝnh chÊt 3: NÕu çc tÝch ph©n

+∞

a

f (x)dx,

+∞

a

g (x)dx héi tô, th× çc tÝch ph©n

ë vÕ tr¸i díi ®©y còng héi tô và +∞a

[f (x)± g (x)]dx =

+∞a

f (x)dx± +∞a

g (x)dx, +∞a

αf (x)dx = α

+∞a

f (x)dx.

4.2 TÝch ph©n suy réng lo¹i I cña çc hàm kh«ng ©m

Cho çc hàm f , g x¸c ®Þnh trªn [a, +∞) vµ kh«ng ©m. Ta cã mét sã dÊu hiÖuhéi tô sau

MÖnh ®Ò 3. (§iÒu kiÖn cÇn và ®ñ) +∞a

f (x)dx héi tô ⇐⇒ φ(b) =

ba

f (x)dx bÞ chÆn trªn.

Chøng minh. HiÓn nhiªn, v× φ(b) là hàm ®¬n ®iÖu kh«ng gi¶m trªn [a, +∞), nªn

nÕu φ(b) =

ba

f (x)dx bÞ chÆn trªn th× nã cã giíi h¹n h÷u h¹n t¹i +∞.

Tõ mÖnh ®Ò này ta dÔ dàng suy ra ®Þnh lý sau, cßn gäi là dÊu hiÖu so s¸nh.

§Þnh lý 5. 1) Gi¶ sö 0 ≤ f (x) ≤ g (x),∀x ≥ a. Khi ®ã

NÕu

+∞ a

g (x)dx héi tô, th×

+∞a

f (x)dx héi tô.

NÕu

+∞ a

f (x)dx ph©n kú, th×

+∞a

g (x)dx ph©n kú.



138

2) Gi¶ sö limx→+∞

f (x)

g (x) = K . Khi ®ã

NÕu K < +∞, th×

+∞a

g (x)dx héi tô suy ra

+∞a

f (x)dx héi tô.

NÕu K > 0, th×

+∞a

g (x)dx ph©n kú suy ra

+∞a

f (x)dx ph©n kú.

NÕu 0 < K < +∞, th×

+∞a

g (x)dx vµ

+∞a

g (x)dx cïng héi tô hoÆc cïng

ph©n kú.

Ta thêng so s¸nh mét tÝch ph©n suy réng ®ang kh¶o s¸t víi tÝch ph©n suy réngmà sù héi tô hay ph©n kú cña nã ®· ®îc x¸c lËp tríc. B»ng çch tÝnh to¸n trùc

tiÕp, víi a > 0, tÝch ph©n +∞

a

dxxs

khi vµ chØ khi s > 1.

VÝ dô. XÐt sù héi tô cña tÝch ph©n

+∞ 1

dx

x√

x + cos x.

§Ó ý r»ng hàm díi dÊu tÝch ph©n lu«n lu«n d¬ng. Ta cã

limx→+∞

1

x√

x + cos x1

x3/2

= limx→+∞

x3/2

x√

x + cos x = 1.

So s¸nh víi tÝch ph©n héi tô

+∞ 1

dx

x3/2 suy ra tÝch ph©n ®· cho héi tô.

4.3 Héi tô tuyÖt ®èi

XÐt hàm f (x) cã dÊu bÊt kú. Dùa vào tiªu chuÈn Cauchy cho giíi h¹n hàm sè taph¸t biÓu ®iÒu kiÖn cÇn và ®ñ ®Ó tÝch ph©n suy réng héi tô nh sau:

§Þnh lý 6. (§iÒu kiªn cÇn và ®ñ) +∞

a

f (x)dx héi tô ⇐⇒ ∀ε > 0,∃M > a : ∀b, b > M =⇒ b

b

f (x)dx

< ε

TÝch ph©n suy réng

+∞ a

f (x)dx ®îc gäi lµ héi tô tuyÖt ®èi nÕu

+∞ a

|f (x)|dx héi

tô. Dùa vào ®iÒu kiÖn cÇn và ®ñ,suy ra r»ng



139

MÖnh ®Ò 4. Héi tô tuyÖt ®èi suy ra héi tô.

Lu ý r»ng ®iÒu ngîc l¹i kh«ng ®óng, tøc là, cã thÓ tÝch ph©n suy réng

+∞ a

f (x)dx

héi tô nhng

+∞ a

|f (x)|dx ph©n kú. Khi ®ã ta nãi

+∞ a

f (x)dx b¸n héi tô.

VÝ dô. 1) TÝch ph©n

+∞1

cos x

x2 dx héi tô tuyÖt ®èi. ThËt vËy, ta cã

cos x

x2 ≤

1

x2 .

Tõ

+∞1

1

x2dx héi tô suy ra

+∞1

cos x

x2

dx héi tô.

2) TÝch ph©n

+∞1

sin x

x dx b¸n héi tô. ThËt vËy, víi b > 1 ta cã

b1

sin x

x dx = −cos x

x

b1

+

b1

cos x

x2 dx.

Cho b → +∞, ta cã

+∞1

sin xx

dx = cos 1 + +∞1

cos xx2

dx.

Theo vÝ dô trªn,+∞ 1

cos x

x2 dx héi tô. V× vËy

+∞1

sin x

x dx héi tô. Nhng sô héi

tô kh«ng tuyÖt ®èi. ThËt vËy, víi x > 1, ta cãsin x

x

≥ sin2 x

x =

1

2x − cos 2x

2x .

Do ®ã

+∞

1

sin2 x

x dx =

+∞

1

1

2xdx−

+∞

1

cos2x

2x dx.

DÔ kiÓm tra r»ng

+∞ 1

cos2x

2x dx héi tô. VÕ ph¶i là tæng cña mét tÝch ph©n héi

tô và mét tÝch ph©n ph©n kú nªn ph©n kú. VËy

+∞ 1

sin2 x

x dx ph©n kú, tõ ®ã,



140

+∞ 1

sin xx

dx ph©n kú.

4.4 TÝch ph©n suy réng lo¹i II (hàm kh«ng bÞ chÆn)

Cho hàm sè f (x) kh¶ tÝch trªn [a, c], víi mçi a ≤ c < b vµ limx→b+

= ∞ (®iÓm b

nh thÕ gäi lµ ®iÓm kú dÞ). Khi ®ã ta ®Þnh nghÜa tÝch ph©n suy réng lo¹i II ba

f (x)dx = limε→0+

b−εa

f (x)dx,

nÕu giíi h¹n ë vÕ ph¶i tån t¹i.NÕu giíi h¹n trªn h÷u h¹n, th× ta nãi tÝch ph©n suy réng héi tô; ngîc l¹i gäi lµph©n kú.T¬ng tù ta ®Þnh nghÜa tÝch ph©n suy réng lo¹i II víi ®iÓm kú dÞ t¹i a hoÆc t¹i c¶hai ®iÓm a, b nh sau: b

a

f (x)dx = limε→0+

ba+ε

f (x)dx. ba

f (x)dx =

c a

f (x)dx +

bc

f (x)dx, c ∈ (a, b).

VÝ dô. XÐt sù héi tô cña tÝch ph©n

1 0

dx√ 1 − x

. Ta cã

1−ε 0

dx√ 1− x

= −2√

1− x1−ε0

= 1− 2√

ε.

V× vËy, tÝch ph©n

1 0

dx√ 1 − x

= limε→0+

(1 − 2√

ε) = 1, tõ ®ã, héi tô.

Liªn hÖ gi÷a tÝch ph©n suy réng lo¹i I vµ II: XÐt tÝch ph©n suy réng lo¹i

II: b

a

f (x)dx, víi ®iÓm kú dÞ t¹i a. Trong tÝch ph©n b

a+ε

f (x)dx, ®æi biÕn

x = a + 1/y th× thu ®îc

ba+ε

f (x)dx = − 1

b− a1

ε

f (a + 1/y)dy

y2 =

1

ε1

b− a

ϕ(y)dy



141

Cho ε→

0+, ta ®îc b

a

f (x)dx =

+∞

1

b−a

ϕ(y)dy.

Dùa vào liªn hÖ này, ta cã thÓ thiÕt lËp ®îc çc tÝnh chÊt và dÊu hiÖu héi tô cñatÝch ph©n suy réng lo¹i I cho tÝch ph©n suy réng lo¹i II.

§Þnh lý 7. Cho hàm sè f (x), g (x) x¸c ®Þnh trªn (a, b]. Khi ®ã1) Gi¶ sö 0 ≤ f (x) ≤ g (x),∀x ≥ a. Khi ®ã

NÕu

b a

g (x)dx héi tô, th×

ba

f (x)dx héi tô.

NÕub

a

f (x)dx ph©n kú, th×

ba

g (x)dx ph©n kú.

2) Gi¶ sö limx→+∞

f (x)

g (x) = K . Khi ®ã

NÕu K < +∞, th×

ba

g (x)dx héi tô suy ra

ba

f (x)dx héi tô.

NÕu K > 0, th×

ba

g (x)dx ph©n kú suy ra

ba

f (x)dx ph©n kú.

NÕu 0 < K < +∞

, th× b

a

g (x)dx vµ b

a

g (x)dx cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú.

§Þnh lý này còng ®îc gäi là ®Þnh lý so s¸nh. Ta thêng sö dông ®Ó so s¸nh víitÝch ph©n suy réng sau ®©y:

ba

dx

(x− a)s =

+∞ nÕu s ≥ 1 (ph©n kú),1

(1− s)(b− a)s−1 nÕu s < 1 (héi tô).

VÝ dô. XÐt sù héi tô cña tÝch ph©n I =

10

dx

x2 + 3√

x. Ta cã

limx→0

1

x2 + 3√ x13√

x

= limx→0

3√ xx2 + 3

√ x

= 1.

So s¸nh víi tÝch ph©n suy réng héi tô

1 0

dx3√

x, suy ra tÝch ph©n ®· cho héi tô.





143

VI. Lý thuyÕt chuçi

1 Chuçi sè

Chuçi sè là sù më réng tù nhiªn cña tæng cho tr-êng hîp v« h¹n sè h¹n.

1.1 Çc ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô

§Þnh nghÜa 1. Cho d·y sè thùc (an)n∈N. Khi ®ã tæng h×nh thøc v« h¹n

∞k=0

ak = a0 + a1 + · · · + ak + · · · (1)

gäi lµ chuçi sè (thùc).

Sè ak gäi lµ sè h¹ng tæng qu¸t thø n cña chuçi (1). Tæng h÷u h¹n

S n =n

k=0

ak = a0 + a1 + · · · + an

gäi lµ tæng riªng thø n cña chuçi.

NÕu limn→∞

S n = S h÷u h¹n, th× ta nãi chuçi (1) héi tô. Khi ®ã, S gäi lµ tæng cña

chuçi, vµ viªt

S =∞k=0

ak = a0 + a1 + · · · + an + · · ·

Tr-êng hîp ng-îc l¹i, tøc lµ limn→∞

S n = ±∞ hoÆc kh«ng tån t¹i limn→∞

S n, th× ta

nãi chuçi (1) ph©n kú.

VÝ dô. 1) XÐt chuçi h×nh häc

∞k=0

xk = 1 + x + x2 + · · · xk + · · ·

Ta cã S n = 1 + x + x2 + · · · xn =

1 − xn+1

1 − x nÕu x = 1

n + 1 nÕu x = 11 − (−1)n+1

2 nÕu x = −1



144

VËy, nÕu | x |≥ 1, th× chuçi

∞k=0

xk ph©n kú.

nÕu | x |< 1, th× chuçi∞k=0

xk héi tô, vµ

∞k=0

xk = 1 + x + x2 + · · · xk + · · · = 1

1 − x

2) XÐt chuçi ®iÒu hßa∞

k=0

1

k = 1 +

1

2 +

1

3 + · · · 1

k + · · ·

Tr-íc hÕt ta cã bÊt ®¼ng thøcn−1 n

dx

x ≤ 1

n − 1, ∀n ≥ 2.

ThËt vËy, víi n − 1 ≤ x ≤ n, n ≥ 2, ta cã 1

n ≤ 1

x ≤ 1

n − 1. Tõ ®ã

n−1 n

dx

x ≤

n−1 n

dx

n − 1 =

1

n − 1

Suy ra,

S n = 1 + 1

2 + · · · +

1

n ≥

2 1

dx

x +

3 2

dx

x + · · · +

n+1 n

dx

x =

n+1 1

dx

x = ln(n + 1)

VËy, limn→∞

S n = ∞. Do ®ã, chuçi∞k=0

1

k ph©n kú.

3) XÐt chuçi∞

k=1

1

k(k

−1)

= 1

1

·2

+ 1

2

·3

+ · · · 1

k(k + 1) + · · ·

Ta cãS n =

1

1 · 2 +

1

2 · 3 + · · · +

1

n(n + 1)

= 1 − 1

2 +

1

2 − 1

3 + · · · +

1

n − 1

n + 1 = 1 − 1

n + 1.

Suy ra, limn→∞

S n = 1 . VËy, chuçi∞k=1

1

k(k − 1) héi tô vµ cã tæng b»ng 1.



145

1.2 Tiªu chuÈn héi tô

D·y tæng riªng héi tô khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy. Tõ ®ã, ta cã tiªu chuÈnsau

§Þnh lý 1. (Tiªu chuÈn Cauchy) Chuçi (??) héi tô khi và chØ khi

∀ε > 0, ∃N ∈ N sao cho ∀n > N, ∀ p ∈ N : |an+1 + · · · + an+ p| < ε.

HÖ qu¶ 1. (§iÒu kiÖn cÇn )NÕu chuçi (??) héi tô, th× lim

n→∞

an = 0.

VÝ dô. 1) Chuçi∞n=0

(−1)n = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · víi an = (−1)n là ph©n kú v×

limn→∞

an.

2) Chuçi∞n=1

1

n mÆc dï tháa lim

n→∞

an = 0 nh-ng ph©n kú. Ta dïng tiªu chuÈn

Cauchy ®Ó chøng minh sù ph©n kú cña chuçi ®iÒu hoµ. Ta cã

|an+1 + · · · + an+ p| = 1

n + 1 + · · · +

1

n + p

> p

n + p

= 1/2; nÕu chän p = n.

Do vËy, chuçi này ph©n kú v× kh«ng tháa tiªu chuÈn Cauchy víi ε = 1/2.

1.3 Çc tÝnh chÊt cña chuçi

§Þnh lý 2. (TÝnh tuyÕn tÝnh) Cho∞k=0

ak,∞k=0

bk lµ çc chuçi héi tô vµ α ∈ R.

Khi ®ã, çc chuçi∞k=1

(ak + bk),∞k=1

αak còng héi tô vµ

∞k=0

(ak + bk) =∞k=0

ak +∞k=1

bk

∞k=0

αak = α

∞k=0

ak.

Chøng minh. Suy ra trùc tiÕp tõ tÝnh chÊt cña giíi h¹n d·y.



146

§Þnh lý 3. (TÝnh kÕt hîp) Gi¶ sö chuçi

∞k=0

ak héi tô vµ cã tæng lµ S . XÐt chuçi

∞k=0

bk cã çc sè h¹ng

b0 = a0 + a1 + · · · + an0b1 = an0+1 + an0+2 + · · · + an1

...bk = ank−1+1 + ank−1+2 + · · · + ank

Khi ®ã, chuçi∞k=0

bk còng héi tô vµ cã tæng b»ng S .

Chøng minh. Ta cã S i = b0 + b1 + · · · bi = a0 + · · · + ani = S ni . VËy, d·y çc

tæng riªng cña chuçi∞k=0

bk lµ d·y con cña d·y çc tæng riªng cña chuçi∞k=0

ak .

Tõ sù héi tô mét d·y suy ra sù héi tô cña çc d·y con vµ chóng cã cïng gi¸ trÞgiíi h¹n víi d·y ®ã , ta cã ®iÒu ph¶i chømg minh.

2 Chuçi d-¬ngTrong phÇn này ta xÐt çc chuçi mà tÊt c¶ çc sè h¹ng ®Òu d-¬ng.

2.1 Chuçi d¬ng

Chuçi∞n=1

an ®-îc gäi lµ chuçi d-¬ng nÕu an > 0, víi mäi n.

Râ ràng chuçi d-¬ng cã d·y çc tæng riªng {S n} ®¬n ®iÖu t¨ng nªn sÏ héi tô nÕutháa thªm ®iÒu kiÖn bÞ chÆn trªn.

§Þnh lý 4. Chuçi d-¬ng ∞n=1

an héi tô khi vµ chØ khi d·y çc tæng riªng {S n} bÞ

chÆn trªn.

Tõ ®ã suy ra chuçi d-¬ng∞n=1

an ph©n kú khi và chØ khi limn→∞

S n = +∞.



147

2.2 Çc dÊu hiÖu héi tô cña chuçi d¬ng

§Þnh lý 5. (Tiªu chuÈn so s¸nh) Cho hai chuçi d-¬ng∞n=1

an vµ∞n=1

bn.

1) Gi¶ sö an ≤ bn, ∀n ∈ N. Khi ®ã

a) NÕu∞n=1

bn héi tô, th×∞n=1

an héi tô.

b) NÕu∞n=1

an ph©n kú, th×∞n=1

bn ph©n kú.

2) Gi¶ sö limn→∞

anbn

= K . Khi ®ã

a) NÕu K < +∞, th×∞n=1

bn héi tô suy ra∞n=1

an héi tô.

b) NÕu K > 0, th×∞n=1

bn ph©n kú suy ra∞n=1

an ph©n kú.

c) NÕu 0 < K < +∞, th×∞n=1

bnvµ∞n=1

an hoÆc cïng héi tô hoÆc cïng ph©n

kú.

Chøng minh. 1) Tõ gi¶ thiÕt suy ra d·y çc tæng riªng {S (a)n } và {S

(b)n } cña çc

chuçi∞n=1

an và∞n=1

bn còng tháa bÊt ®¼ng thøc S (a)n ≤ S (b)n . Tõ ®ã, nÕu∞n=1

bn

héi tô, th× {S (b)n } bÞ chÆn trªn, kÐo theo {S

(a)n } còng bÞ chÆn trªn. Do ®ã

∞n=1

an

héi tô. Tr-êng hîp cßn l¹i lý luËn t-¬ng tù.2) Sö dông 1).

VÝ dô. 1) XÐt sù héi tô cña chuçi∞n=0

1

2n + sin2 n. §©y là chuçi d-¬ng. Ta cã

12n + sin2 n

≤ 12n

, ∀n ∈ N.

So s¸nh víi chuçi héi tô∞n=0

1

2n, suy ra chuçi ®· cho héi tô.



148

2) XÐt sù héi tô cña chuçi

∞n=1

1

n + √ n . Ta cã

limn→∞

anbn

= limn→∞

1

n +√

n1

n

= 1

So s¸nh víi chuçi (ph©n kú, xem vÝ dô tr-íc)∞n=1

1

n suy ra chuçi ®· cho ph©n kú.

Khi dïng tiªu chuÈn so s¸nh ta th-êng so s¸nh víi chuçi

∞n=1

1

ns , s ∈ R (®-îc gäi

lµ chuçi Dirichlet) mà sù héi tô cña nã ®-îc cho bëi:

MÖnh ®Ò 1. Chuçi∞n=1

1

ns héi tô khi vµ chØ khi s > 1.

§Þnh lý 6. (DÊu hiÖu Cauchy) Gi¶ sö

an lµ chuçi d-¬ng vµ limn→∞

n√

an = K .

Khi ®ã1) NÕu K < 1, th× chuçi

an héi tô.

2) NÕu K > 1, th× chuçi an ph©n kú.

Chó ý r»ng nÕu K = 1 ta ch-a thÓ kÕt luËn g× vÒ sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi.


2n

n2 ph©n kú v×

K = limn→∞

n√

an = limn→∞

2n√

n2= 2 > 1.

2) Chuçi

∞n=1

(1 − 1/n)n2

héi tô v×

c = limn→∞

n√

an = limn→∞

(1 − 1/n)n = e−1 = 1/e < 1.

§Þnh lý 7. (DÊu hiÖu D Alembert) Gi¶ sö

an lµ chuçi d-¬ng vµ limn→∞

an+1

an=

K . Khi ®ã



149

1) NÕu K < 1, th× chuçi an

héi tô.

2) NÕu K > 1, th× chuçi

an ph©n kú.

Còng nh- dÊu hiÖu Cauchy, khi K = 1 ta ch-a cã th«ng tin vÒ sù héi tô hay ph©nkú cña chuçi.

VÝ dô. Chuçi∞n=1

n!

nn héi tô v× ta cã an+1 =

(n + 1)!

(n + 1)n+1 vµ

d = limn→∞

an+1

an= lim

n→∞ n

n + 1n

= limn→∞

1

(1 + 1/n)n = 1/e < 1.

§Þnh lý 8. (DÊu hiÖu tÝch ph©n) Cho hàm sè f (x) > 0 và ®¬n ®iÖu gi¶m trªn[1, ∞). §Æt an = f (n), khi ®ã

∞n=1

an và

+∞1

f (x)dx

hoÆc cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú.

VÝ dô. 1) XÐt chuçi∞

n=2

1

n ln n. Çc sè h¹ng an chÝnh là f (n), víi hàm f (x) =

1

x ln x xÐt trªn [2, +∞). Ta cã

+∞2

1

x ln xdx = ln(ln x)

+∞2

= ∞

VËy tÝch ph©n

+∞1

f (x)dx ph©n kú. Do ®ã chuçi ph©n kú.

2) XÐt chuçi Dirichlet (xem mÖnh ®Ò 1)∞n=1

1

ns. Chuçi này héi tô khi và chØ khi

+∞1

1

xsdx héi tô. Ta có

+∞1

1

xsdx =

ln x∞1

nÕu s = 1

x1−s

1 − s

∞1

nÕu s = 1

Tõ ®ã suy ra chuçi Dirichlet héi tô khi s > 1, ph©n kú khi s ≤ 1.



150

3 Chuçi víi dÊu bÊt kúTrong bài này ta xÐt chuçi víi sè h¹ng tæng qu¸t cã dÊu tïy ý.

3.1 Chuçi ®an dÊu

Chuçi ®an dÊu là chuçi cã d¹ng

∞n=0

(−1)nan = a0 − a1 + a2 − a3 + · · · (1)

trong ®ã an > 0, ∀n (hoÆc an < 0).

§Þnh lý 9. (DÊu hiÖu Leibnitz) Gi¶ sö chuçi ®an dÊu (1) cã an > 0, ∀n. Khi ®ãnÕu d·y {an} ®¬n ®iÖu gi¶m và lim

n→∞

an = 0 th× chuç ®an dÊu (1) héi tô.

VÝ dô. XÐt chuçi∞n=1

(−1)n

n . §©y là chuçi ®an dÊu víi an = 1/n. D·y này ®¬n

®iÖu gi¶m và dÇn ®Õn 0 nªn theo tiªu chuÈn Leibnitz nã héi tô.

3.2 Héi tô tuyÖt ®èi§Þnh nghÜa 2. Ta nãi chuçi sè

∞n=1

an héi tô tuyÖt ®èi nÕu chuçi (d-¬ng)∞n=1

|an|héi tô

MÖnh ®Ò 2. NÕu mét chuçi héi tô tuyÖt ®èi th× héi tô.

Chøng minh. Sö dông tiªu chuÈn Cauchy ®Ó mét chuçi héi tô.

NhËn xÐt. §iÒu ng-îc l¹i cña ph¸t biÓu trong mÖnh ®Ò là kh«ng ®óng. Ch¼ng

h¹n, chuçi ®iÒu hoà ®an dÊu

∞n=1

(

−1)n−1

n héi tô nh-ng kh«ng héi tô tuyÖt ®èi.

Mét chuçi héi tô nh-ng chuçi trÞ tuyÖt ®èi ph©n kú th× ta nãi chuçi ®ã b¸n héitô.

§Þnh lý 10. (Ho¸n vÞ çc sè h¹ng) NÕu mét chuçi héi tô tuyÖt ®èi th× khi ho¸nvÞ tïy ý çc sè h¹ng ta ®-îc chuçi míi còng héi tô tuyÖt ®èi và cã cïng tæng nh- chuçi ban ®Çu.



151

Trong dÞnh lý trªn, gi¶ thiÕt héi tô tuyÖt ®èi là ®iÒu kiÖn tiªn quyÕt, nhu sÏthÊy trong ®Þnh lý sau ®©y:

§Þnh lý 11. (Riemann) Trong mét chuçi b¸n héi tô, b»ng çch ho¸n vÞ çc sè h¹ng cã thÓ làm cho chuçi míi hoÆc cã tæng b»ng mét sè cho tr-íc bÊt kú hoÆc

ph©n kú.

4 Chuçi hàm

Trong bài này ta nghiªn cøu chuçi mà çc sè h¹ng là çc hàm sè x¸c ®Þnh trªn

tËp D ⊂R

nào ®ã.

4.1 Kh¸i niÖm chuçi hàm - Sù héi tô và héi tô ®Òu

Cho d·y hàm sè {un(x)}∞n=1 x¸c ®Þnh trªn tËp D ⊂ R. Tæng h×nh thøc:

∞n=1

un(x) = u1(x) + · · · + un(x) + · · · (2)

®-îc gäi lµ chuçi hàm x¸c ®Þnh trªn D víi sè h¹ng tæng qu¸t un(x). Tæng (h÷uh¹n) cña n sè h¹ng ®Çu tiªn ®-îc gäi lµ tæng riªng thø n:

S n(x) := u1(x) + · · · + un(x).

§Þnh nghÜa 3. Ta nãi chuçi hàm (2) héi tô t¹i x0 ∈ D nÕu d·y {S n(x0)} héi tô.Nãi çch kh¸c, d·y çc tæng riªng héi tô tíi x0. Ta nãi chuçi hàm (2) héi tô (tõng ®iÓm) trªn D vÒ hàm S (x) nÕu nã héi tô t¹i mçi ®iÓm x0 ∈ D và tæng t-¬ng øng là S (x0).

VÝ dô. Chuçi hàm∞n=1

xn = x + x2 + x3 + · · · héi tô trªn kho¶ng (−1, 1) vÒ

hàm S (x) =

x

1 − x (tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n!). Chuçi này ph©n kú trªn{|x| ≥ 1}.

Mét chuçi∞n=1

un(x) héi tô trªn D vÒ hàm S (x) cã thÓ diÔn ®¹t nh- sau:

∀x ∈ D, ∀ε > 0, tån t¹i sè tù nhiªn N (ε, x) sao cho |S n(x) − S (x)| < ε.



152

§Þnh nghÜa 4. (Sù héi tô ®Òu) Trong ®Þnh nghÜa trªn nÕu cã thÓ chän ®-äc sè tù nhiªn N kh«ng phô thuéc vào x ∈ D th× sù héi tô ®ã ®-îc gäi lµ héi tô ®Òu.

Theo ®Þnh nghÜa, tiªu chuÈn Cauchy cho sù héi tô ®Òu ph¸t biÓu nh- sau:

§Þnh lý 12. Chuçi∞n=1

un(x) héi tô ®Òu trªn D khi và chØ khi:

∀ε > 0, ∃N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀ p ∈ N : |un+1(x) + · · · + un+ p(x)| < ε, ∀x ∈ D.

VÝ dô. Chuçi∞

n=1

cos nx

n(n + 1) h?i t? d?u trên R. ThËt vËy, ta cã

|un+1(x) + · · · + un+ p(x)| = | cos(n + 1)x

(n + 1)(n + 2) + · · · +

cos(n + p)x

(n + p)(n + p + 1)|

≤ 1

(n + 1)(n + 2) + · · · +

1

(n + p)(n + p + 1), ∀x ∈ R

= 1

n + 1 − 1

n + 2 + · · · +

1

n + p − 1

n + p + 1

= 1

n + 1 − 1

n + p + 1 <

1

n + 1.

BiÓu thøc cuèi cïng cã thÓ làm cho bÐ h¬n ε > 0 tuú ý miÔn là n ®ñ lín víi bÊt

kú p ∈ N và víi mçi x ∈ R.

§Þnh lý 13. (DÊu hiÖu Weierstrass) Gi¶ sö

supx∈D

|un(x)| ≤ an, ∀n ∈ N.

Khi ®ã nÕu chuçi sè ∞n=1

an héi tô, th× chuçi hàm∞n=1

un(x) héi tô ®Òu trªn D.

4.2 Çc tÝnh chÊt cña chuçi hàm héi tô ®Òu§Þnh lý 14. (TÝnh liªn tôc cña tæng) NÕu chuçi hàm gåm çc hàm liªn tôc trªnD héi tô ®Òu vÒ hàm S (x) th× S (x) liªn tôc trªn D.

§Þnh lý này là mét ®iÒu kiÖn cÇn cho sù héi tô ®Òu cña chuçi çc hàm liªn tôc.



153

VÝ dô. XÐt chuçi hàm x +

∞n=1

xn(x − 1) gåm çc hàm liªn tôc trªn D = [0, 1].

Tæng riªng thø n cña chuçi này là S n(x) = xn. Do ®ã d·y çc tæng riªng héi tô

vÒ hàm (kh«ng liªn tôc) S (x) =

0 0 ≤ x < 1

1 x = 1. VËy sù héi tô là kh«ng ®Òu.

§Þnh lý 15. (TÝch ph©n qua chuçi) NÕu chuçi hàm∞n=1

un(x) gåm çc hàm liªn

tôc trªn [a, b] héi tô ®Òu trªn ®o¹n này, th× chuçi tÝch ph©n∞

n=1

ba

un(x)dx héi

tô và ba

∞n=1

un(x)dx =

∞n=1

ba

un(x)dx.

(Tøc là cã thÓ tÝch ph©n tõng sè h¹ng cña chuçi).

VÝ dô. TÝnh tæng cña chuçi∞n=0

xn+1

n + 1 v?i |x| < 1.

Cè ®Þnh x víi |x| < 1, xÐt chuçi∞n=0

tn trªn [0, x] (nÕu x ≤ 0 th× xÐt ®o¹n [x, 0]).

Chuçi này héi tô ®Òu trªn [0, x] vÒ hàm 1

1 − t . Ta cã

∞n=0

xn+1

n + 1 =

∞n=0

x0

tndt

=

x0

∞n=0

tndt =

x0

dt

1 − t = − ln(1 − x).

§Þnh lý 16. (§¹o hàm qua chuçi) Cho chuçi hàm∞n=1

un(x) gåm çc hàm kh¶

vi liªn tôc trªn [a, b]. NÕu chuçi này héi tô tíi x0

∈ [a, b] nào ®ã và chuçi çc

®¹o hàm∞n=1

un(x) héi tô ®Òu trªn [a, b] th× chuçi hàm∞n=1

un(x) còng héi tô ®Òu

trªn [a, b] vÒ hàm S (x) kh¶ vi và ta cã

S (x) =

∞n=1

un(x)

=

∞n=1

un(x).



154

5 Chuçi lòy thõa5.1 Kh¸i niÖm chuçi lòy thõa - B¸n kÝnh héi tô

Chuçi hàm d¹ng sau ®©y ®-îc gäi lµ chuçi lòy thõa∞n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + · · · (3)

hoÆc, mét çch tæng qu¸t, chuçi lòy thõa t¹i x0 cã d¹ng:∞

n=0

an(x

−x0)n = a0 + a1(x

−x0) + a2(x

−x0)2 +

· · · (4)

Çc an ®-îc gäi lµ çc hÖ sè. Chuçi (4) dÔ dàng ®-a vÒ (3) b»ng çch ®ÆtX := x − x0.

TËp çc ®iÓm x mà chuçi lòy thõa (3) héi tô ®-îc gäi lµ miÒn héi tô cña nã.MiÒn héi tô cña chuçi lòy thõa lu«n kh¸c rçng (v× Ýt nhÊt, chuçi lòy thõa héi tôt¹i 0).

MÖnh ®Ò 3. NÕu chuçi lòy thõa (3) héi tô t¹i x0 = 0 th× nã héi tô tuyÖt ®èi trªn(−|x0|, |x0|).

Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt chuçi sè ∞n=0

anxn0 héi tô, nªn lim

n→∞

anxn0 = 0. Do

®ã, tån t¹i sè M > 0 sao cho

|anxn0 | ≤ M, ∀n ∈ N

Víi x ∈ (−|x0|, |x0|) cè ®Þnh, xÐt hai chuçi d-¬ng∞n=0

|anxn| và∞n=0

M

x

x0

n

.

Ta cã

|anxn| = |anxn0 |

x

x0

n

≤ M

x

x0

n

.

Mà chuçi∞n=0

M x

x0

n héi tô (cÊp sè nh©n lïi v« h¹n) nªn chuçi∞n=0

|anxn| còng

héi tô. VËy chuçi∞n=0

anxn héi tô tuyÖt ®èi trªn (−|x0|, |x0|).

Tõ mÖnh ®Ò này ta dÔ dàng suy ra ®Þnh lý sau ®©y m« t¶ miÒn héi tô cña chuçilòy thõa.



155

§Þnh lý 17. Víi mçi chuçi lòy thõa (3) lu«n tån t¹i duy nhÊt sè R ∈

[0, +∞

] saocho chuçi héi tô tuyÖt ®èi khi |x| < R và ph©n kú khi |x| > R.

Sè R trong ®Þnh lý trªn ®-îc gäi lµ b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa.

NhËn xÐt. NÕu R = 0, th× miÒn héi tô chØ gåm ®iÓm 0, trong khi nÕu R = ∞ th×miÒn héi tô là R. NÕu R > 0 h÷u h¹n th× miÒn héi tô cã mét trong bèn d¹ng sau:

[−R, R], [−R, R), (−R, R], (−R, R).

MÖnh ®Ò 4. (C«ng thøc tÝnh b¸n kÝnh héi tô) Ta cã

R = limn→∞

1n

|an| = limn→∞

|an||an+1|

(nÕu tån t¹i çc giíi h¹n).


xn

n! cã b¸n kÝnh héi tô là

R = limn→∞

1n

1/n!

= +∞.

VËy chuçi héi tô kh¾p n¬i.

2) Chuçi∞n=0

| xn

n + 1 cã b¸n kÝnh héi tô là

R = limn→∞

|an||an+1| = lim

n→∞

n + 2

n + 1 = 1.

Ngoài ra, chuçi héi tô t¹i x = −1, ph©n kú t¹i x = 1. Do ®ã, miÒn héi tô cñachuçi dã cho là [−1, 1).

5.2 Çc tÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa

§Þnh lý 18. (Abel) Gi¶ sö R > 0 là b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa∞n=0

anxn.

Khi ®ã chuçi héi tô ®Òu trªn ®o¹n [α, β ] ⊂ (−R, R) bÊt kú.

HÖ qu¶ 2. Tæng cña chuçi lòy thõa liªn tôc trªn (−R, R).



156

§Þnh lý 19. (§¹o hàm chuçi lòy thõa) Cho chuçi lòy thõa

∞n=0

anxn víi b¸n kÝnh

héi tô R. Khi ®ã chuçi çc ®¹o hàm còng cã b¸n kÝnh héi tô R và cã thÓ ®¹ohàm tõng tõ:

∞n=0

anxn

= a1 + 2a2x + 3a3x2 + · · ·

HÖ qu¶ 3. Tæng cña chuçi lòy thõa lµ kh¶ vi v« vµ chuçi çc ®¹o hàm cÊp m tïy ý cña nã cã cïng b¸n kÝnh héi tô víi chuçi ban ®Çu.

§Þnh lý 20. (TÝch ph©n chuçi lòy thõa) Cho chuçi lòy thõa

∞n=0 anx

n

víi b¸n kÝnhhéi tô R > 0. Khi ®ã chuçi çc tÝch ph©n còng cã b¸n kÝnh héi tô R và cã thÓ tÝch ph©n tõng tõ:

x0

∞n=0

antn

dt =

∞n=0

ann + 1

xn+1.

VÝ dô. Chuçi∞n=0

xn cã b¸n kÝnh héi tô là R = 1. V?i |x| < 1 ta có

1

1 − x =

∞n=0

xn = 1 + x + x2 + · · ·

Thay x b?i −x và −x2 ta du?c

1

1 + x = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)nxn + · · ·

1

1 + x2 = 1 − x2 + x4 − x6 + · · · + (−1)2nx2n + · · ·

Tích phân các chu?i này, ta thu du?c các khai tri?n

ln(1 + x) =

x0

dt

1 + t = x − x2

2 +

x3

3 − · · · + (−1)n

xn+1

n + 1 + · · ·

arctgx =

x0

dt

1 + t2 = x − x3

3 +

x5

5 − · · · + (−1)n

x2n+1

2n + 1 + · · ·



157

5.3 Khai triÓn hàm thành chuçi lòy thõa

Ta nãi hàm sè f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa trªn kho¶ng (a, b) nÕuf (x) là tæng cña mét chuçi lòy thõa héi tô trªn (a, b). Nãi çch kh¸c,

f (x) =∞n=0

anxn, ∀x ∈ (a, b).

§Þnh lý 21. NÕu f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa∞n=0

anxn trªn (−R, R)

(v?i R > 0) th× f (x) kh¶ vi v« h¹n trªn (−R, R) và

an = f (n)(0)

n!

Nh- vËy, nÕu hàm sè khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa th× chuçi lòy thõa®ã chÝnh là chuçi Taylor cña nã. Tuy nhiªn, hàm sè kh¶ vi v« h¹n ch-a ch¾c khaitriÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa, tøc là chuçi Taylor cã thÓ kh«ng héi tô vÒ hàm

sè ®ã. Ch¼ng h¹n hàm sè f (x) =

e−1/x

2

nÕu x = 0

0 nÕu x = 0cã f (n)(0) = 0, ∀n, nªn

chuçi MacLaurin là∞

n=0

0 = 0 = f (x).

§Þnh lý 22. NÕu f (x) kh¶ vi v« h¹n và tån t¹i M > 0 sao cho

|f (n)(x)| ≤ M, ∀x ∈ (−R, R), ∀n,

th× f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa trªn (−R, R)

5.4 Khai triÓn thành chuçi lòy thõa mét sè hàm s¬ cÊp

1) Hàm mò: f (x) = ex

ex = 1 + x1!

+ x2

2! + · · · + xn

n! + · · ·

Khai triÓn này ®óng ∀x ∈ R.2) Hàm logarithm: f (x) = ln(1 + x) (xem vÝ dô tr-íc)

ln(1 + x) =

x0

dt

1 + t = x − x2

2 +

x3

3 − · · · + (−1)n

xn+1

n + 1 + · · ·



158

MiÒn héi tô là (−

1, 1].3) Hàm lòy thõa: f (x) = (1 + x)α, α ∈ R

(1 + x)α = 1 +

∞n=1

α(α − 1) . . . (α − n + 1)

n! xn.

Chuçi khai triÓn héi tô víi |x| < 1, ngoài ra cã thÓ héi tô t¹i hai ®Çu mót tuú theoα cô thÓ.4) Hàm cos x:Víi mçi x ∈ R ta cã:

cos x = 1 − x

2

2! + x

4

4! − · · · + (−1)n x

2n

(2n)! + · · ·

5) Hàm sin x:Víi mçi x ∈ R ta cã:

sin x = x − x3

3! +

x5

5! − · · · + (−1)n

x2n+1

(2n + 1)! + · · ·

6 Khai triÓn Fourier

Trong phÇn này ta xÐt khai triÓn hàm sè thành chuçi çc hàm l-îng gi¸c là lo¹ichuçi hàm ®-îc dïng nhiÒu trong çc bài to¸n vËt lý kü thuËt.

6.1 Chuçi lîng gi¸c

Chuçi hàm cã d¹ng sau ®-îc gäi lµ chuçi l-îng gi¸c

a0

2 +

∞n=1

(an cos nx + bn sin nx) (5)

trong ®ã a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . ®-îc gäi lµ çc hÖ sè.

Ta nãi hàm f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi l-îng gi¸c nÕu nã là tæng cña métchuç çc hµm l-îng gi¸c d¹ng (5) héi tô trªn R. HiÓn nhiªn çc hàm l-îng gi¸ctrong hÖ hàm sau cã khai triÓn (tÇm th-êng) thành chuçi hàm l-îng gi¸c:

H := {cos mx, sin nx}, víi m = 0, ∞, n = 1, ∞



159

MÖnh ®Ò 5. HÖ hàm H trùc giao trªn ®o¹n [−

π, π], theo nghÜa: π −π

cos mx sin nxdx = 0, ∀m,n, π −π

cos mx cos nxdx = 0, ∀m,n, π −π

sin mx sin nxdx = 0, ∀m = n,

Vµ

π −π

cos2 nxdx =

π −π

sin2 nxdx = π, ∀n ≥ 1;

π −π

dx = 2π.

Chøng minh. KiÓm tra trùc tiÕp.

MÖnh ®Ò 6. NÕu f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi l-îng gi¸c th× çc hÖ sè cñakhai triÓn (còng gäi là çc hÖ sè Fourier) cho bëi c«ng thøc:

am = 1

π

π −π

f (x)cos mxdx, m = 0, 1, 2, . . .

bn = 1

π

π −π

f (x)sin nxdx, n = 1, 2, . . .

§Ó ý r»ng nÕu f (x) kh¶ tÝch trªn [

−π, π] th× çc hÖ sè Fourier cña nã là tån

t¹i, tøc là thiÕt lËp ®-îc chuçi Fourier cña f (x). Tuy nhiªn chuçi này ch-a ch¾chéi tô vÒ hàm f (x). §Þnh lý sau minh häa nhËn xÐt này.

§Þnh lý 23. (Dirichlet) Gi¶ sö f (x) là hàm tuÇn hoàn chu kú 2π, ®¬n ®iÖu tõng khóc vµ bÞ chÆn trªn mçi chu kú. Khi ®ã tæng cña chuçi Fourier cña nã t¹i x0

b»ng

1

2

limx→x−

0

f (x) + limx→x+

0

f (x)

.

HÖ qu¶ 4. Víi çc gi¶ thiÕt trong ®Þnh lý Dirichlet, f (x) b»ng tæng cña chuçi Fourier cña nã t¹i nh÷ng ®iÓm liªn tôc.

6.2 Khai triÓn Fourier cña hàm ch½n, hàm lÎ

Râ ràng, nÕu f (x) là hàm lÎ th× çc hÖ sè Fourier am = 0; trong khi nÕu f (x) làhàm ch½n th× çc hÖ sè Fourier bn = 0. V× vËy, Chuçi Fourier cña çc hàm ch½nkh«ng chøa çc hàm sin, trong khi chuçi Fourier cña çc hàm lÎ th× kh«ng chøaçc hàm cosin.



160

6.3 Khai triÓn Fourier cña hàm tuÇn hoàn cã chu kú kh¸c 2π

Gi¶ sö f (x) tuÇn hoàn chu kú 2L víi L = π. XÐt phÐp biÕn ®æi

t = xπ

L .

Khi ®ã hàm sè g (t) := f (tL

π ) cã chu kú là 2π vµ khai triÓn Fourier cña f (x) là:

f (tL

π ) = g (t) =

a0

2 +

∞n=1

(an cos nt + bn sin nt).

V× vËy:

f (x) = a0

2 +

∞n=1

(an cos nπx

L + bn sin n

nπx

L ).

Çc hÖ sè cña khai triÓn cho bëi c«ng thøc sau:

an = 1

π

π −π

g (t)cos ntdt = 1

L

L−L

f (x)cos nπx

L dx, n = 0, 1, 2, . . .

bn = 1

π

π −π

g (t)sin ntdt = 1

L

L−L

f (x)sin nπx

L dx, n = 1, 2, . . .

6.4 Th¸c triÓn tuÇn hoàn

Víi çc hàm sè ®-îc cho trªn mét ®o¹n [a, b] nào ®ã, ta cã thÓ më réng thànhmét hàm sè tuÇn hoàn trªn c¶ trôc sè R. C«ng viÖc ®ã ®-îc gäi lµ th¸c triÓntuÇn hoàn mét hàm sè . NÕu hàm sè ®-îc cho trªn [−π, π], ta th¸c triÓn tuÇnhoàn b»ng çch ®Æt

f (x) =

f (x) nÕu − π < x ≤ π

f (π) nÕu x = −π

f (x − k2π) nÕu − π + k2π < x ≤ π + k2π, k ∈ Z.

NÕu hàm sè chØ ®-îc cho trªn [0, π], ta cã thÓ më réng hàm f (x) thành hàm x¸c®Þnh trªn [−π, π] b»ng çch sau ®©y:

Th¸c triÓn ch½n: Víi x ∈ [−π, 0], ta ®Æt f (x) = f (−x).

Th¸c triÓn lÎ: Víi x ∈ [−π, 0], ta ®Æt f (x) = −f (−x).



161

Khi ®ã ta thu ®-îc çc hàm ch½n hoÆc lÎ t-¬ng øng trªn [−

π, π].NÕu hàm sè cho trªn kho¶ng bÊt kú, ta cã thÓ ®-a vÒ ®o¹n [0, π], hoÆc [−π, π]b»ng çch \co gi·n" ®o¹n này.

VÝ dô. Khai triÓn hàm sè f (x) = π − x

2 thành chuçi Fourier trªn [0, 2π]. Th¸c

triÓn tuÇn hoàn hàm sè ®· cho lªn toàn trôc sè ta ®-îc mét hàm tuÇn hoàn chukú 2π, và là hàm lÎ. Ta tÝnh çc hÖ sè:

a0 = 1

π

2π 0

π − x

2 dx = 0,

an = 1

π 2π

0

π − x

2

cos nxdx = 0,

bn = 1

π

2π 0

π − x

2 sin nxdx =

1

n.

V× vËyπ − x

2 =

∞n=1

sin nx

n .

Khai triÓn này ®óng t¹i çc ®iÓm liªn tôc cña hàm th¸c triÓn. T¹i x = 0 hayx = 2π, vÕ ph¶i b»ng kh«ng và kh¸c vÕ tr¸i.

6.5 TÝch ph©n FourierGi¶ sö f (x) là hàm tuÇn hoàn chu k? 2π cã khai triÓn Fourier:

f (x) = a0

2 +

∞k=1

(ak cos nx + bk sin kx)

víi çc hÖ sè:

ak = 1

π

π −π

f (x)cos kxdx, k = 0, 1, 2, . . .

bk = 1

π π

−π

f (x)sin kxdx, k = 1, 2, . . .

NÕu f (x) là hàm kh¶ tÝch tuyÖt ®èi trªn R th× çc hÖ sè cã thÓ liªn tôc ho¸

thành hàm x¸c ®Þnh trªn R:

a(s) = 1

π

+∞−∞

f (x)cos sxdx

b(s) = 1

π

+∞−∞

f (x)sin sxdx



162

Çc tÝch ph©n ë vÕ ph¶i ®-îc gäi lµ biÕn ®æi Fourier cosin và sin t-¬ng øng cñahàm f (x).



Tµi liÖu tham kh¶o

[1] NguyÔn §×nh TrÝ, T¹ V¨n §Ünh, NguyÔn Hå Quúnh, To¸n häc cao cÊp, TËp 1, 2, 3,NXB GD 1998.

[2] Danco P.E, Popov AS.G, Kozehevnikova T.YA., Higher mathematics in problems andexcercises, Part 1, Part 2, English translation, Mir Publishers 1983.

[3] G.M Fichtengon, C¬ së gi¶i tÝch to¸n häc, TËp I, II, NXB §H&THCN, Hµ Néi - 1972.

[4] Y.Y. Liasko &..., Gi¶i tÝch to¸n häc - Çc vÝ dô vµ çc bµi to¸n, TËp I, II, NXB §H&HCN, Hµ Néi - 1979.

[5] Jean-Marie Monier, Gi¶i tÝch 1, 2, 3, 4, NXB GD 2001.

[6] H. Cartan, PhÐp tÝnh vi ph©n- Çc d¹ng vi ph©n, NXB §H&THCN, Hµ Néi 1980.

[7] M. Spivak, Gi¶i tÝch trªn ®a t¹p, NXB §H&THCN, Hµ Néi 1985.

[8] R.Goderment, Algebra, Hermann 1968.

[9] Sze-Tsen Hu, §¹i sè tuyÕn tÝnh vµ ph− ¬ng tr×nh vi ph©n, NXB §H&THCN 1979.

[10] S.Lang, Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Company 1970.

[11] J-M.Monier, §¹i sè 1, NXB GD 2000.

Documents

Bài giảng Toán cao cấp B1 - Đỗ Nguyên Sơn - Trịnh Đức Tài