Bài giảng Toán cao cấp C2 Tác giả: Đỗ Nguyên Sơn - Trịnh Đức Tài, Trường Đại học Đà Lạt, 2008

8/21/2019 Bài giảng Toán cao cấp C2 Tác giả: Đỗ Nguyên Sơn - Trịnh Đức Tài, Trường Đại học Đà Lạt, 2008

http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-toan-cao-cap-c2-tac-gia-do-nguyen-son-trinh-duc 1/71

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏTKHOA TOAÙN - TIN HOÏC

ÑOÃ NGUYEÂN SÔN - TRỊNH ĐỨ C TÀI

TOAÙN CAO CAÁP C2(Baøi Giaûng Toùm Taét)

-- Löu haønh noäi boä -- Ña Lat 2 8

WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



Mục lục

I. Lý thuyÕt chuçi

1. Çc ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô ...................................................................................................11.1 Chuçi sè ..................................................................................................................11.2 Tiªu chuÈn héi tô .....................................................................................................31.3 Çc tÝnh chÊt cña chuçi ............................................................................................3

2. Chuçi d− ¬ng ....................................................................................................................42.1 Chuçi d− ¬ng ............................................................................................................42.2 Çc dÊu hiÖu héi tô cña chuçi d− ¬ng ......................................................................5

3. Chuçi víi dÊu bÊt kú .......................................................................................................83.1 Chuçi ®an dÊu .........................................................................................................83.2 Chuçi héi tô tuyÖt ®èi ..............................................................................................8

4. Chuçi hµm .......................................................................................................................9

4.1 Kh¸i niÖm chuçi hµm, sù héi tô, héi tô ®Òu ............................................................94.2 Çc tÝnh chÊt cña chuçi hµm héi tô ®Òu ................................................................10

5. Chuçi luü thõa ...............................................................................................................125.1 Kh¸i niÖm chuçi luü thõa, b¸n kÝnh héi tô ............................................................125.2 Çc tÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa ...........................................................................135.3 Khai triÓn hµm thµnh chuçi lòy thõa .....................................................................155.4 Khai triÓn mét sè hµm s¬ cÊp thµnh chuçi lòy thõa ..............................................15

6. Khai triÓn Fourier ..........................................................................................................166.1 Chuçi l− îng gi¸c ...................................................................................................166.2 Khai triÓn Fourier cña hµm ch½n, hµm lÎ ..............................................................176.3 Khai triÓn Fourier cña hµm tuÇn hoµn cã chu kú kh¸c 2Π ............................... 186.4 Th¸c triÓn tuÇn hoµn ..............................................................................................186.5 TÝch ph©n Fourier ..................................................................................................19

II. Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n

1. Kh¸i niÖm ph− ¬ng tr×nh vi ph©n ....................................................................................211.1 Vµi m« h×nh dÉn ®Õn ph− ¬ng tr×nh vi ph©n ...........................................................211.2 Çc kh¸i niÖm .......................................................................................................221.3 Bµi to¸n Cauchy ....................................................................................................23

2. Gi¶i mét sè ph− ¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 ........................................................................242.1 Ph− ¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly ...........................................................................242.2 Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt ...........................................................................262.3 Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn .............................................................................282.4 Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 ...................................................................292.5 Ph− ¬ng tr×nh Bernoully .........................................................................................332.6 Ph− ¬ng tr×nh Clairaut ............................................................................................342.7 Ph− ¬ng tr×nh Lagrange ..........................................................................................35WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



3. Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 ...........................................................................363.1 Kh¸i niÖm ph− ¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 ..................................................................363.2 NghiÖm cña ph− ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 ..............................................373.3 NghiÖm cña ph− ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt ...........................393.4 Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 hÖ sè h»ng ................................................41

4. HÖ ph− ¬ng tr×nh vi ph©n ................................................................................................444.1 Çc kh¸i niÖm .......................................................................................................444.2 HÖ ph− ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 hÖ sè h»ng ...........................................45

III. Ph− ¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng

1. Ph− ¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 1 ...............................................................491.1 Kh¸i niÖm ph− ¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng ................................................................491.2 Ph− ¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 1 .......................................................501.3 Ph− ¬ng ph¸p ®Æc tr− ng ..........................................................................................51

2. Ph− ¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 ...............................................................522.1 Çc ®Þnh nghÜa ......................................................................................................522.2 Ph©n lo¹i ph− ¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2.........................................532.3 D¹ng chÝnh t¾c ......................................................................................................54

3. Çc ph− ¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 c¬ b¶n .............................................573.1 Bµi to¸n gi¸ trÞ biªn vµ gi¸ trÞ ban ®Çu ..................................................................573.2 Ph− ¬ng ph¸p t¸ch biÕn gi¶i ph− ¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng ......................................583.3 Ph− ¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt mét chiÒu .....................................................................593.4 Ph− ¬ng tr×nh truyÒn sãng mét chiÒu .....................................................................613.4 Ph− ¬ng tr×nh Laplace ............................................................................................65

WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



1

I. Lý thuyÕt chuçi

1 Chuçi sè

Chuçi sè là sù më réng tù nhiªn cña tæng cho tr-êng hîp v« h¹n sè h¹n.

1.1 Çc ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô

§Þnh nghÜa 1. Cho d·y sè thùc (an)n∈N. Khi ®ã tæng h×nh thøc v« h¹n

∞k=0

ak = a0 + a1 + · · · + ak + · · · (1)

gäi lµ chuçi sè (thùc).

Sè ak gäi lµ sè h¹ng tæng qu¸t thø n cña chuçi (1). Tæng h÷u h¹n

S n =n

k=0

ak = a0 + a1 + · · · + an

gäi lµ tæng riªng thø n cña chuçi.

NÕu limn→∞

S n = S h÷u h¹n, th× ta nãi chuçi (1) héi tô. Khi ®ã, S gäi lµ tæng cña

chuçi, vµ viªt

S =∞k=0

ak = a0 + a1 + · · · + an + · · ·

Tr-êng hîp ng-îc l¹i, tøc lµ limn→∞

S n = ±∞ hoÆc kh«ng tån t¹i limn→∞

S n, th× ta

nãi chuçi (1) ph©n kú.

VÝ dô. 1) XÐt chuçi h×nh häc

∞k=0

xk = 1 + x + x2 + · · · xk + · · ·

Ta cã S n = 1 + x + x2 + · · · xn =

1 − xn+1

1 − x nÕu x = 1

n + 1 nÕu x = 11 − (−1)n+1

2 nÕu x = −1WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



2

VËy, nÕu | x |≥ 1, th× chuçi

∞k=0

xk ph©n kú.

nÕu | x |< 1, th× chuçi∞k=0

xk héi tô, vµ

∞k=0

xk = 1 + x + x2 + · · · xk + · · · = 1

1 − x

2) XÐt chuçi ®iÒu hßa∞

k=0

1

k = 1 +

1

2 +

1

3 + · · · 1

k + · · ·

Tr-íc hÕt ta cã bÊt ®¼ng thøcn−1 n

dx

x ≤ 1

n − 1, ∀n ≥ 2.

ThËt vËy, víi n − 1 ≤ x ≤ n, n ≥ 2, ta cã 1

n ≤ 1

x ≤ 1

n − 1. Tõ ®ã

n−1 n

dx

x ≤

n−1 n

dx

n − 1 =

1

n − 1

Suy ra,

S n = 1 + 1

2 + · · · +

1

n ≥

2 1

dx

x +

3 2

dx

x + · · · +

n+1 n

dx

x =

n+1 1

dx

x = ln(n + 1)

VËy, limn→∞

S n = ∞. Do ®ã, chuçi∞k=0

1

k ph©n kú.

3) XÐt chuçi∞

k=1

1

k(k

−1)

= 1

1

·2

+ 1

2

·3

+ · · · 1

k(k + 1) + · · ·

Ta cãS n =

1

1 · 2 +

1

2 · 3 + · · · +

1

n(n + 1)

= 1 − 1

2 +

1

2 − 1

3 + · · · +

1

n − 1

n + 1 = 1 − 1

n + 1.

Suy ra, limn→∞

S n = 1 . VËy, chuçi∞k=1

1

k(k − 1) héi tô vµ cã tæng b»ng 1.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



3

1.2 Tiªu chuÈn héi tô

D·y tæng riªng héi tô khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy. Tõ ®ã, ta cã tiªu chuÈnsau

§Þnh lý 1. (Tiªu chuÈn Cauchy) Chuçi (??) héi tô khi và chØ khi

∀ε > 0, ∃N ∈ N sao cho ∀n > N, ∀ p ∈ N : |an+1 + · · · + an+ p| < ε.

HÖ qu¶ 1. (§iÒu kiÖn cÇn )NÕu chuçi (??) héi tô, th× lim

n→∞

an = 0.

VÝ dô. 1) Chuçi∞n=0

(−1)n = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · víi an = (−1)n là ph©n kú v×

limn→∞

an.

2) Chuçi∞n=1

1

n mÆc dï tháa lim

n→∞

an = 0 nh-ng ph©n kú. Ta dïng tiªu chuÈn

Cauchy ®Ó chøng minh sù ph©n kú cña chuçi ®iÒu hoµ. Ta cã

|an+1 + · · · + an+ p| = 1

n + 1 + · · · +

1

n + p

> p

n + p

= 1/2; nÕu chän p = n.

Do vËy, chuçi này ph©n kú v× kh«ng tháa tiªu chuÈn Cauchy víi ε = 1/2.

1.3 Çc tÝnh chÊt cña chuçi

§Þnh lý 2. (TÝnh tuyÕn tÝnh) Cho∞k=0

ak,∞k=0

bk lµ çc chuçi héi tô vµ α ∈ R.

Khi ®ã, çc chuçi∞k=1

(ak + bk),∞k=1

αak còng héi tô vµ

∞k=0

(ak + bk) =∞k=0

ak +∞k=1

bk

∞k=0

αak = α

∞k=0

ak.

Chøng minh. Suy ra trùc tiÕp tõ tÝnh chÊt cña giíi h¹n d·y. WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



4

§Þnh lý 3. (TÝnh kÕt hîp) Gi¶ sö chuçi

∞k=0

ak héi tô vµ cã tæng lµ S . XÐt chuçi

∞k=0

bk cã çc sè h¹ng

b0 = a0 + a1 + · · · + an0b1 = an0+1 + an0+2 + · · · + an1

...bk = ank−1+1 + ank−1+2 + · · · + ank

Khi ®ã, chuçi∞k=0

bk còng héi tô vµ cã tæng b»ng S .

Chøng minh. Ta cã S i = b0 + b1 + · · · bi = a0 + · · · + ani = S ni . VËy, d·y çc

tæng riªng cña chuçi∞k=0

bk lµ d·y con cña d·y çc tæng riªng cña chuçi∞k=0

ak .

Tõ sù héi tô mét d·y suy ra sù héi tô cña çc d·y con vµ chóng cã cïng gi¸ trÞgiíi h¹n víi d·y ®ã , ta cã ®iÒu ph¶i chømg minh.

2 Chuçi d-¬ngTrong phÇn này ta xÐt çc chuçi mà tÊt c¶ çc sè h¹ng ®Òu d-¬ng.

2.1 Chuçi d¬ng

Chuçi∞n=1

an ®-îc gäi lµ chuçi d-¬ng nÕu an > 0, víi mäi n.

Râ ràng chuçi d-¬ng cã d·y çc tæng riªng S n ®¬n ®iÖu t¨ng nªn sÏ héi tô nÕutháa thªm ®iÒu kiÖn bÞ chÆn trªn.

§Þnh lý 4. Chuçi d-¬ng ∞n=1

an héi tô khi vµ chØ khi d·y çc tæng riªng S n bÞ

chÆn trªn.

Tõ ®ã suy ra chuçi d-¬ng∞n=1

an ph©n kú khi và chØ khi limn→∞

S n = +∞.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



5

2.2 Çc dÊu hiÖu héi tô cña chuçi d¬ng

§Þnh lý 5. (Tiªu chuÈn so s¸nh) Cho hai chuçi d-¬ng∞n=1

an vµ∞n=1

bn.

1) Gi¶ sö an ≤ bn, ∀n ∈ N. Khi ®ã

a) NÕu∞n=1

bn héi tô, th×∞n=1

an héi tô.

b) NÕu∞n=1

an ph©n kú, th×∞n=1

bn ph©n kú.

2) Gi¶ sö limn→∞

anbn

= K . Khi ®ã

a) NÕu K < +∞, th×∞n=1

bn héi tô suy ra∞n=1

an héi tô.

b) NÕu K > 0, th×∞n=1

bn ph©n kú suy ra∞n=1

an ph©n kú.

c) NÕu 0 < K < +∞, th×∞n=1

bnvµ∞n=1

an hoÆc cïng héi tô hoÆc cïng ph©n

kú.

Chøng minh. 1) Tõ gi¶ thiÕt suy ra d·y çc tæng riªng S (a)n và S

(b)n cña çc

chuçi∞n=1

an và∞n=1

bn còng tháa bÊt ®¼ng thøc S (a)n ≤ S (b)n . Tõ ®ã, nÕu∞n=1

bn

héi tô, th× S (b)n bÞ chÆn trªn, kÐo theo S

(a)n còng bÞ chÆn trªn. Do ®ã

∞n=1

an

héi tô. Tr-êng hîp cßn l¹i lý luËn t-¬ng tù.2) Sö dông 1).

VÝ dô. 1) XÐt sù héi tô cña chuçi∞n=0

1

2n + sin2 n. §©y là chuçi d-¬ng. Ta cã

12n + sin2 n

≤ 12n

, ∀n ∈ N.

So s¸nh víi chuçi héi tô∞n=0

1

2n, suy ra chuçi ®· cho héi tô.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



6

2) XÐt sù héi tô cña chuçi

∞n=1

1

n + √ n . Ta cã

limn→∞

anbn

= limn→∞

1

n +√

n1

n

= 1

So s¸nh víi chuçi (ph©n kú, xem vÝ dô tr-íc)∞n=1

1

n suy ra chuçi ®· cho ph©n kú.

Khi dïng tiªu chuÈn so s¸nh ta th-êng so s¸nh víi chuçi

∞n=1

1

ns , s ∈ R (®-îc gäi

lµ chuçi Dirichlet) mà sù héi tô cña nã ®-îc cho bëi:

MÖnh ®Ò 1. Chuçi∞n=1

1

ns héi tô khi vµ chØ khi s > 1.

§Þnh lý 6. (DÊu hiÖu Cauchy) Gi¶ sö

an lµ chuçi d-¬ng vµ limn→∞

n√

an = K .

Khi ®ã1) NÕu K < 1, th× chuçi

an héi tô.

2) NÕu K > 1, th× chuçi an ph©n kú.

Chó ý r»ng nÕu K = 1 ta ch-a thÓ kÕt luËn g× vÒ sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi.


2n

n2 ph©n kú v×

K = limn→∞

n√

an = limn→∞

2n√

n2= 2 > 1.

2) Chuçi

∞n=1

(1 − 1/n)n2

héi tô v×

c = limn→∞

n√

an = limn→∞

(1 − 1/n)n = e−1 = 1/e < 1.

§Þnh lý 7. (DÊu hiÖu D Alembert) Gi¶ sö

an lµ chuçi d-¬ng vµ limn→∞

an+1

an=

K . Khi ®ãWWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



7

1) NÕu K < 1, th× chuçi an

héi tô.

2) NÕu K > 1, th× chuçi

an ph©n kú.

Còng nh- dÊu hiÖu Cauchy, khi K = 1 ta ch-a cã th«ng tin vÒ sù héi tô hay ph©nkú cña chuçi.

VÝ dô. Chuçi∞n=1

n!

nn héi tô v× ta cã an+1 =

(n + 1)!

(n + 1)n+1 vµ

d = limn→∞

an+1

an= lim

n→∞ n

n + 1n

= limn→∞

1

(1 + 1/n)n = 1/e < 1.

§Þnh lý 8. (DÊu hiÖu tÝch ph©n) Cho hàm sè f (x) > 0 và ®¬n ®iÖu gi¶m trªn[1, ∞). §Æt an = f (n), khi ®ã

∞n=1

an và

+∞1

f (x)dx

hoÆc cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú.

VÝ dô. 1) XÐt chuçi∞

n=2

1

n ln n. Çc sè h¹ng an chÝnh là f (n), víi hàm f (x) =

1

x ln x xÐt trªn [2, +∞). Ta cã

+∞2

1

x ln xdx = ln(ln x)

+∞2

= ∞

VËy tÝch ph©n

+∞1

f (x)dx ph©n kú. Do ®ã chuçi ph©n kú.

2) XÐt chuçi Dirichlet (xem mÖnh ®Ò 1)∞n=1

1

ns. Chuçi này héi tô khi và chØ khi

+∞1

1

xsdx héi tô. Ta có

+∞1

1

xsdx =

ln x∞1

nÕu s = 1

x1−s

1 − s

∞1

nÕu s = 1

Tõ ®ã suy ra chuçi Dirichlet héi tô khi s > 1, ph©n kú khi s ≤ 1.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



8

3 Chuçi víi dÊu bÊt kúTrong bài này ta xÐt chuçi víi sè h¹ng tæng qu¸t cã dÊu tïy ý.

3.1 Chuçi ®an dÊu

Chuçi ®an dÊu là chuçi cã d¹ng

∞n=0

(−1)nan = a0 − a1 + a2 − a3 + · · · (1)

trong ®ã an > 0, ∀n (hoÆc an < 0).

§Þnh lý 9. (DÊu hiÖu Leibnitz) Gi¶ sö chuçi ®an dÊu (1) cã an > 0, ∀n. Khi ®ãnÕu d·y an ®¬n ®iÖu gi¶m và lim

n→∞

an = 0 th× chuç ®an dÊu (1) héi tô.

VÝ dô. XÐt chuçi∞n=1

(−1)n

n . §©y là chuçi ®an dÊu víi an = 1/n. D·y này ®¬n

®iÖu gi¶m và dÇn ®Õn 0 nªn theo tiªu chuÈn Leibnitz nã héi tô.

3.2 Héi tô tuyÖt ®èi§Þnh nghÜa 2. Ta nãi chuçi sè

∞n=1

an héi tô tuyÖt ®èi nÕu chuçi (d-¬ng)∞n=1

|an|héi tô

MÖnh ®Ò 2. NÕu mét chuçi héi tô tuyÖt ®èi th× héi tô.

Chøng minh. Sö dông tiªu chuÈn Cauchy ®Ó mét chuçi héi tô.

NhËn xÐt. §iÒu ng-îc l¹i cña ph¸t biÓu trong mÖnh ®Ò là kh«ng ®óng. Ch¼ng

h¹n, chuçi ®iÒu hoà ®an dÊu

∞n=1

(

−1)n−1

n héi tô nh-ng kh«ng héi tô tuyÖt ®èi.

Mét chuçi héi tô nh-ng chuçi trÞ tuyÖt ®èi ph©n kú th× ta nãi chuçi ®ã b¸n héitô.

§Þnh lý 10. (Ho¸n vÞ çc sè h¹ng) NÕu mét chuçi héi tô tuyÖt ®èi th× khi ho¸nvÞ tïy ý çc sè h¹ng ta ®-îc chuçi míi còng héi tô tuyÖt ®èi và cã cïng tæng nh- chuçi ban ®Çu.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



9

Trong dÞnh lý trªn, gi¶ thiÕt héi tô tuyÖt ®èi là ®iÒu kiÖn tiªn quyÕt, nhu sÏthÊy trong ®Þnh lý sau ®©y:

§Þnh lý 11. (Riemann) Trong mét chuçi b¸n héi tô, b»ng çch ho¸n vÞ çc sè h¹ng cã thÓ làm cho chuçi míi hoÆc cã tæng b»ng mét sè cho tr-íc bÊt kú hoÆc

ph©n kú.

4 Chuçi hàm

Trong bài này ta nghiªn cøu chuçi mà çc sè h¹ng là çc hàm sè x¸c ®Þnh trªn

tËp D ⊂R

nào ®ã.

4.1 Kh¸i niÖm chuçi hàm - Sù héi tô và héi tô ®Òu

Cho d·y hàm sè un(x)∞n=1 x¸c ®Þnh trªn tËp D ⊂ R. Tæng h×nh thøc:

∞n=1

un(x) = u1(x) + · · · + un(x) + · · · (2)

®-îc gäi lµ chuçi hàm x¸c ®Þnh trªn D víi sè h¹ng tæng qu¸t un(x). Tæng (h÷uh¹n) cña n sè h¹ng ®Çu tiªn ®-îc gäi lµ tæng riªng thø n:

S n(x) := u1(x) + · · · + un(x).

§Þnh nghÜa 3. Ta nãi chuçi hàm (2) héi tô t¹i x0 ∈ D nÕu d·y S n(x0) héi tô.Nãi çch kh¸c, d·y çc tæng riªng héi tô tíi x0. Ta nãi chuçi hàm (2) héi tô (tõng ®iÓm) trªn D vÒ hàm S (x) nÕu nã héi tô t¹i mçi ®iÓm x0 ∈ D và tæng t-¬ng øng là S (x0).

VÝ dô. Chuçi hàm∞n=1

xn = x + x2 + x3 + · · · héi tô trªn kho¶ng (−1, 1) vÒ

hàm S (x) =

x

1 − x (tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n!). Chuçi này ph©n kú trªn|x| ≥ 1.

Mét chuçi∞n=1

un(x) héi tô trªn D vÒ hàm S (x) cã thÓ diÔn ®¹t nh- sau:

∀x ∈ D, ∀ε > 0, tån t¹i sè tù nhiªn N (ε, x) sao cho |S n(x) − S (x)| < ε.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



10

§Þnh nghÜa 4. (Sù héi tô ®Òu) Trong ®Þnh nghÜa trªn nÕu cã thÓ chän ®-äc sè tù nhiªn N kh«ng phô thuéc vào x ∈ D th× sù héi tô ®ã ®-îc gäi lµ héi tô ®Òu.

Theo ®Þnh nghÜa, tiªu chuÈn Cauchy cho sù héi tô ®Òu ph¸t biÓu nh- sau:

§Þnh lý 12. Chuçi∞n=1

un(x) héi tô ®Òu trªn D khi và chØ khi:

∀ε > 0, ∃N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀ p ∈ N : |un+1(x) + · · · + un+ p(x)| < ε, ∀x ∈ D.

VÝ dô. Chuçi∞

n=1

cos nx

n(n + 1) h?i t? d?u trên R. ThËt vËy, ta cã

|un+1(x) + · · · + un+ p(x)| = | cos(n + 1)x

(n + 1)(n + 2) + · · · +

cos(n + p)x

(n + p)(n + p + 1)|

≤ 1

(n + 1)(n + 2) + · · · +

1

(n + p)(n + p + 1), ∀x ∈ R

= 1

n + 1 − 1

n + 2 + · · · +

1

n + p − 1

n + p + 1

= 1

n + 1 − 1

n + p + 1 <

1

n + 1.

BiÓu thøc cuèi cïng cã thÓ làm cho bÐ h¬n ε > 0 tuú ý miÔn là n ®ñ lín víi bÊt

kú p ∈ N và víi mçi x ∈ R.

§Þnh lý 13. (DÊu hiÖu Weierstrass) Gi¶ sö

supx∈D

|un(x)| ≤ an, ∀n ∈ N.

Khi ®ã nÕu chuçi sè ∞n=1

an héi tô, th× chuçi hàm∞n=1

un(x) héi tô ®Òu trªn D.

4.2 Çc tÝnh chÊt cña chuçi hàm héi tô ®Òu§Þnh lý 14. (TÝnh liªn tôc cña tæng) NÕu chuçi hàm gåm çc hàm liªn tôc trªnD héi tô ®Òu vÒ hàm S (x) th× S (x) liªn tôc trªn D.

§Þnh lý này là mét ®iÒu kiÖn cÇn cho sù héi tô ®Òu cña chuçi çc hàm liªn tôc.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



11

VÝ dô. XÐt chuçi hàm x +

∞n=1

xn(x − 1) gåm çc hàm liªn tôc trªn D = [0, 1].

Tæng riªng thø n cña chuçi này là S n(x) = xn. Do ®ã d·y çc tæng riªng héi tô

vÒ hàm (kh«ng liªn tôc) S (x) =

0 0 ≤ x < 1

1 x = 1. VËy sù héi tô là kh«ng ®Òu.

§Þnh lý 15. (TÝch ph©n qua chuçi) NÕu chuçi hàm∞n=1

un(x) gåm çc hàm liªn

tôc trªn [a, b] héi tô ®Òu trªn ®o¹n này, th× chuçi tÝch ph©n∞

n=1

ba

un(x)dx héi

tô và ba

∞n=1

un(x)dx =

∞n=1

ba

un(x)dx.

(Tøc là cã thÓ tÝch ph©n tõng sè h¹ng cña chuçi).

VÝ dô. TÝnh tæng cña chuçi∞n=0

xn+1

n + 1 v?i |x| < 1.

Cè ®Þnh x víi |x| < 1, xÐt chuçi∞n=0

tn trªn [0, x] (nÕu x ≤ 0 th× xÐt ®o¹n [x, 0]).

Chuçi này héi tô ®Òu trªn [0, x] vÒ hàm 1

1 − t . Ta cã

∞n=0

xn+1

n + 1 =

∞n=0

x0

tndt

=

x0

∞n=0

tndt =

x0

dt

1 − t = − ln(1 − x).

§Þnh lý 16. (§¹o hàm qua chuçi) Cho chuçi hàm∞n=1

un(x) gåm çc hàm kh¶

vi liªn tôc trªn [a, b]. NÕu chuçi này héi tô tíi x0

∈ [a, b] nào ®ã và chuçi çc

®¹o hàm∞n=1

un(x) héi tô ®Òu trªn [a, b] th× chuçi hàm∞n=1

un(x) còng héi tô ®Òu

trªn [a, b] vÒ hàm S (x) kh¶ vi và ta cã

S (x) =

∞n=1

un(x)

=

∞n=1

un(x).WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



12

5 Chuçi lòy thõa5.1 Kh¸i niÖm chuçi lòy thõa - B¸n kÝnh héi tô

Chuçi hàm d¹ng sau ®©y ®-îc gäi lµ chuçi lòy thõa∞n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + · · · (3)

hoÆc, mét çch tæng qu¸t, chuçi lòy thõa t¹i x0 cã d¹ng:∞

n=0

an(x

−x0)n = a0 + a1(x

−x0) + a2(x

−x0)2 +

· · · (4)

Çc an ®-îc gäi lµ çc hÖ sè. Chuçi (4) dÔ dàng ®-a vÒ (3) b»ng çch ®ÆtX := x − x0.

TËp çc ®iÓm x mà chuçi lòy thõa (3) héi tô ®-îc gäi lµ miÒn héi tô cña nã.MiÒn héi tô cña chuçi lòy thõa lu«n kh¸c rçng (v× Ýt nhÊt, chuçi lòy thõa héi tôt¹i 0).

MÖnh ®Ò 3. NÕu chuçi lòy thõa (3) héi tô t¹i x0 = 0 th× nã héi tô tuyÖt ®èi trªn(−|x0|, |x0|).

Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt chuçi sè ∞n=0

anxn0 héi tô, nªn lim

n→∞

anxn0 = 0. Do

®ã, tån t¹i sè M > 0 sao cho

|anxn0 | ≤ M, ∀n ∈ N

Víi x ∈ (−|x0|, |x0|) cè ®Þnh, xÐt hai chuçi d-¬ng∞n=0

|anxn| và∞n=0

M

x

x0

n

.

Ta cã

|anxn| = |anxn0 |

x

x0

n

≤ M

x

x0

n

.

Mà chuçi∞n=0

M x

x0

n héi tô (cÊp sè nh©n lïi v« h¹n) nªn chuçi∞n=0

|anxn| còng

héi tô. VËy chuçi∞n=0

anxn héi tô tuyÖt ®èi trªn (−|x0|, |x0|).

Tõ mÖnh ®Ò này ta dÔ dàng suy ra ®Þnh lý sau ®©y m« t¶ miÒn héi tô cña chuçilòy thõa.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



13

§Þnh lý 17. Víi mçi chuçi lòy thõa (3) lu«n tån t¹i duy nhÊt sè R ∈

[0, +∞

] saocho chuçi héi tô tuyÖt ®èi khi |x| < R và ph©n kú khi |x| > R.

Sè R trong ®Þnh lý trªn ®-îc gäi lµ b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa.

NhËn xÐt. NÕu R = 0, th× miÒn héi tô chØ gåm ®iÓm 0, trong khi nÕu R = ∞ th×miÒn héi tô là R. NÕu R > 0 h÷u h¹n th× miÒn héi tô cã mét trong bèn d¹ng sau:

[−R, R], [−R, R), (−R, R], (−R, R).

MÖnh ®Ò 4. (C«ng thøc tÝnh b¸n kÝnh héi tô) Ta cã

R = limn→∞

1n

|an| = limn→∞

|an||an+1|

(nÕu tån t¹i çc giíi h¹n).


xn

n! cã b¸n kÝnh héi tô là

R = limn→∞

1n

1/n!

= +∞.

VËy chuçi héi tô kh¾p n¬i.

2) Chuçi∞n=0

| xn

n + 1 cã b¸n kÝnh héi tô là

R = limn→∞

|an||an+1| = lim

n→∞

n + 2

n + 1 = 1.

Ngoài ra, chuçi héi tô t¹i x = −1, ph©n kú t¹i x = 1. Do ®ã, miÒn héi tô cñachuçi dã cho là [−1, 1).

5.2 Çc tÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa

§Þnh lý 18. (Abel) Gi¶ sö R > 0 là b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa∞n=0

anxn.

Khi ®ã chuçi héi tô ®Òu trªn ®o¹n [α, β ] ⊂ (−R, R) bÊt kú.

HÖ qu¶ 2. Tæng cña chuçi lòy thõa liªn tôc trªn (−R, R).WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



14

§Þnh lý 19. (§¹o hàm chuçi lòy thõa) Cho chuçi lòy thõa

∞n=0

anxn víi b¸n kÝnh

héi tô R. Khi ®ã chuçi çc ®¹o hàm còng cã b¸n kÝnh héi tô R và cã thÓ ®¹ohàm tõng tõ:

∞n=0

anxn

= a1 + 2a2x + 3a3x2 + · · ·

HÖ qu¶ 3. Tæng cña chuçi lòy thõa lµ kh¶ vi v« vµ chuçi çc ®¹o hàm cÊp m tïy ý cña nã cã cïng b¸n kÝnh héi tô víi chuçi ban ®Çu.

§Þnh lý 20. (TÝch ph©n chuçi lòy thõa) Cho chuçi lòy thõa

∞n=0 anx

n

víi b¸n kÝnhhéi tô R > 0. Khi ®ã chuçi çc tÝch ph©n còng cã b¸n kÝnh héi tô R và cã thÓ tÝch ph©n tõng tõ:

x0

∞n=0

antn

dt =

∞n=0

ann + 1

xn+1.

VÝ dô. Chuçi∞n=0

xn cã b¸n kÝnh héi tô là R = 1. V?i |x| < 1 ta có

1

1 − x =

∞n=0

xn = 1 + x + x2 + · · ·

Thay x b?i −x và −x2 ta du?c

1

1 + x = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)nxn + · · ·

1

1 + x2 = 1 − x2 + x4 − x6 + · · · + (−1)2nx2n + · · ·

Tích phân các chu?i này, ta thu du?c các khai tri?n

ln(1 + x) =

x0

dt

1 + t = x − x2

2 +

x3

3 − · · · + (−1)n

xn+1

n + 1 + · · ·

arctgx =

x0

dt

1 + t2 = x − x3

3 +

x5

5 − · · · + (−1)n

x2n+1

2n + 1 + · · ·WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



15

5.3 Khai triÓn hàm thành chuçi lòy thõa

Ta nãi hàm sè f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa trªn kho¶ng (a, b) nÕuf (x) là tæng cña mét chuçi lòy thõa héi tô trªn (a, b). Nãi çch kh¸c,

f (x) =∞n=0

anxn, ∀x ∈ (a, b).

§Þnh lý 21. NÕu f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa∞n=0

anxn trªn (−R, R)

(v?i R > 0) th× f (x) kh¶ vi v« h¹n trªn (−R, R) và

an = f (n)(0)

n!

Nh- vËy, nÕu hàm sè khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa th× chuçi lòy thõa®ã chÝnh là chuçi Taylor cña nã. Tuy nhiªn, hàm sè kh¶ vi v« h¹n ch-a ch¾c khaitriÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa, tøc là chuçi Taylor cã thÓ kh«ng héi tô vÒ hàm

sè ®ã. Ch¼ng h¹n hàm sè f (x) =

e−1/x

2

nÕu x = 0

0 nÕu x = 0cã f (n)(0) = 0, ∀n, nªn

chuçi MacLaurin là∞

n=0

0 = 0 = f (x).

§Þnh lý 22. NÕu f (x) kh¶ vi v« h¹n và tån t¹i M > 0 sao cho

|f (n)(x)| ≤ M, ∀x ∈ (−R, R), ∀n,

th× f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa trªn (−R, R)

5.4 Khai triÓn thành chuçi lòy thõa mét sè hàm s¬ cÊp

1) Hàm mò: f (x) = ex

ex = 1 + x1!

+ x2

2! + · · · + xn

n! + · · ·

Khai triÓn này ®óng ∀x ∈ R.2) Hàm logarithm: f (x) = ln(1 + x) (xem vÝ dô tr-íc)

ln(1 + x) =

x0

dt

1 + t = x − x2

2 +

x3

3 − · · · + (−1)n

xn+1

n + 1 + · · ·WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



16

MiÒn héi tô là (−

1, 1].3) Hàm lòy thõa: f (x) = (1 + x)α, α ∈ R

(1 + x)α = 1 +

∞n=1

α(α − 1) . . . (α − n + 1)

n! xn.

Chuçi khai triÓn héi tô víi |x| < 1, ngoài ra cã thÓ héi tô t¹i hai ®Çu mót tuú theoα cô thÓ.4) Hàm cos x:Víi mçi x ∈ R ta cã:

cos x = 1 − x

2

2! + x

4

4! − · · · + (−1)n x

2n

(2n)! + · · ·

5) Hàm sin x:Víi mçi x ∈ R ta cã:

sin x = x − x3

3! +

x5

5! − · · · + (−1)n

x2n+1

(2n + 1)! + · · ·

6 Khai triÓn Fourier

Trong phÇn này ta xÐt khai triÓn hàm sè thành chuçi çc hàm l-îng gi¸c là lo¹ichuçi hàm ®-îc dïng nhiÒu trong çc bài to¸n vËt lý kü thuËt.

6.1 Chuçi lîng gi¸c

Chuçi hàm cã d¹ng sau ®-îc gäi lµ chuçi l-îng gi¸c

a0

2 +

∞n=1

(an cos nx + bn sin nx) (5)

trong ®ã a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . ®-îc gäi lµ çc hÖ sè.

Ta nãi hàm f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi l-îng gi¸c nÕu nã là tæng cña métchuç çc hµm l-îng gi¸c d¹ng (5) héi tô trªn R. HiÓn nhiªn çc hàm l-îng gi¸ctrong hÖ hàm sau cã khai triÓn (tÇm th-êng) thành chuçi hàm l-îng gi¸c:

H := cos mx, sin nx, víi m = 0, ∞, n = 1, ∞WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



17

MÖnh ®Ò 5. HÖ hàm H trùc giao trªn ®o¹n [−

π, π], theo nghÜa: π −π

cos mx sin nxdx = 0, ∀m,n, π −π

cos mx cos nxdx = 0, ∀m,n, π −π

sin mx sin nxdx = 0, ∀m = n,

Vµ

π −π

cos2 nxdx =

π −π

sin2 nxdx = π, ∀n ≥ 1;

π −π

dx = 2π.

Chøng minh. KiÓm tra trùc tiÕp.

MÖnh ®Ò 6. NÕu f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi l-îng gi¸c th× çc hÖ sè cñakhai triÓn (còng gäi là çc hÖ sè Fourier) cho bëi c«ng thøc:

am = 1

π

π −π

f (x)cos mxdx, m = 0, 1, 2, . . .

bn = 1

π

π −π

f (x)sin nxdx, n = 1, 2, . . .

§Ó ý r»ng nÕu f (x) kh¶ tÝch trªn [

−π, π] th× çc hÖ sè Fourier cña nã là tån

t¹i, tøc là thiÕt lËp ®-îc chuçi Fourier cña f (x). Tuy nhiªn chuçi này ch-a ch¾chéi tô vÒ hàm f (x). §Þnh lý sau minh häa nhËn xÐt này.

§Þnh lý 23. (Dirichlet) Gi¶ sö f (x) là hàm tuÇn hoàn chu kú 2π, ®¬n ®iÖu tõng khóc vµ bÞ chÆn trªn mçi chu kú. Khi ®ã tæng cña chuçi Fourier cña nã t¹i x0

b»ng

1

2

limx→x−

0

f (x) + limx→x+

0

f (x)

.

HÖ qu¶ 4. Víi çc gi¶ thiÕt trong ®Þnh lý Dirichlet, f (x) b»ng tæng cña chuçi Fourier cña nã t¹i nh÷ng ®iÓm liªn tôc.

6.2 Khai triÓn Fourier cña hàm ch½n, hàm lÎ

Râ ràng, nÕu f (x) là hàm lÎ th× çc hÖ sè Fourier am = 0; trong khi nÕu f (x) làhàm ch½n th× çc hÖ sè Fourier bn = 0. V× vËy, Chuçi Fourier cña çc hàm ch½nkh«ng chøa çc hàm sin, trong khi chuçi Fourier cña çc hàm lÎ th× kh«ng chøaçc hàm cosin.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



18

6.3 Khai triÓn Fourier cña hàm tuÇn hoàn cã chu kú kh¸c 2π

Gi¶ sö f (x) tuÇn hoàn chu kú 2L víi L = π. XÐt phÐp biÕn ®æi

t = xπ

L .

Khi ®ã hàm sè g (t) := f (tL

π ) cã chu kú là 2π vµ khai triÓn Fourier cña f (x) là:

f (tL

π ) = g (t) =

a0

2 +

∞n=1

(an cos nt + bn sin nt).

V× vËy:

f (x) = a0

2 +

∞n=1

(an cos nπx

L + bn sin n

nπx

L ).

Çc hÖ sè cña khai triÓn cho bëi c«ng thøc sau:

an = 1

π

π −π

g (t)cos ntdt = 1

L

L−L

f (x)cos nπx

L dx, n = 0, 1, 2, . . .

bn = 1

π

π −π

g (t)sin ntdt = 1

L

L−L

f (x)sin nπx

L dx, n = 1, 2, . . .

6.4 Th¸c triÓn tuÇn hoàn

Víi çc hàm sè ®-îc cho trªn mét ®o¹n [a, b] nào ®ã, ta cã thÓ më réng thànhmét hàm sè tuÇn hoàn trªn c¶ trôc sè R. C«ng viÖc ®ã ®-îc gäi lµ th¸c triÓntuÇn hoàn mét hàm sè . NÕu hàm sè ®-îc cho trªn [−π, π], ta th¸c triÓn tuÇnhoàn b»ng çch ®Æt

f (x) =

f (x) nÕu − π < x ≤ π

f (π) nÕu x = −π

f (x − k2π) nÕu − π + k2π < x ≤ π + k2π, k ∈ Z.

NÕu hàm sè chØ ®-îc cho trªn [0, π], ta cã thÓ më réng hàm f (x) thành hàm x¸c®Þnh trªn [−π, π] b»ng çch sau ®©y:

Th¸c triÓn ch½n: Víi x ∈ [−π, 0], ta ®Æt f (x) = f (−x).

Th¸c triÓn lÎ: Víi x ∈ [−π, 0], ta ®Æt f (x) = −f (−x).WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



19

Khi ®ã ta thu ®-îc çc hàm ch½n hoÆc lÎ t-¬ng øng trªn [−

π, π].NÕu hàm sè cho trªn kho¶ng bÊt kú, ta cã thÓ ®-a vÒ ®o¹n [0, π], hoÆc [−π, π]b»ng çch \co gi·n" ®o¹n này.

VÝ dô. Khai triÓn hàm sè f (x) = π − x

2 thành chuçi Fourier trªn [0, 2π]. Th¸c

triÓn tuÇn hoàn hàm sè ®· cho lªn toàn trôc sè ta ®-îc mét hàm tuÇn hoàn chukú 2π, và là hàm lÎ. Ta tÝnh çc hÖ sè:

a0 = 1

π

2π 0

π − x

2 dx = 0,

an = 1

π 2π

0

π − x

2

cos nxdx = 0,

bn = 1

π

2π 0

π − x

2 sin nxdx =

1

n.

V× vËyπ − x

2 =

∞n=1

sin nx

n .

Khai triÓn này ®óng t¹i çc ®iÓm liªn tôc cña hàm th¸c triÓn. T¹i x = 0 hayx = 2π, vÕ ph¶i b»ng kh«ng và kh¸c vÕ tr¸i.

6.5 TÝch ph©n FourierGi¶ sö f (x) là hàm tuÇn hoàn chu k? 2π cã khai triÓn Fourier:

f (x) = a0

2 +

∞k=1

(ak cos nx + bk sin kx)

víi çc hÖ sè:

ak = 1

π

π −π

f (x)cos kxdx, k = 0, 1, 2, . . .

bk = 1

π π

−π

f (x)sin kxdx, k = 1, 2, . . .

NÕu f (x) là hàm kh¶ tÝch tuyÖt ®èi trªn R th× çc hÖ sè cã thÓ liªn tôc ho¸

thành hàm x¸c ®Þnh trªn R:

a(s) = 1

π

+∞−∞

f (x)cos sxdx

b(s) = 1

π

+∞−∞

f (x)sin sxdxWWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



20

Çc tÝch ph©n ë vÕ ph¶i ®-îc gäi lµ biÕn ®æi Fourier cosin và sin t-¬ng øng cñahàm f (x).

WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



21

II. Ph-¬ng tr×nh vi ph©n

1 Kh¸i niÖm ph-¬ng tr×nh vi ph©n

Trong rÊt nhiÒu lÜnh vùc øng dông, chuyÓn ®éng cña mét hÖ ®-îc m« h×nh hãabëi çc ph-¬ng tr×nh vi ph©n, tøc là ph-¬ng tr×nh cã chøa çc ®¹o hàm cña Ènhàm cÇn t×m. Ch¼ng h¹n, trong c¬ häc cæ ®iÓn (®Þnh luËt Newton), trong thiªnv¨n häc (sù chuyÓn ®éng cña çc hành tinh), trong hãa häc (çc ph¶n øng ho¸häc), trong sinh häc (sù ph¸t triÓn cña d©n sè), trong ®iÖn tö... Trong hÇu hÕt çclÜnh vùc nhu thÕ, bài to¸n chung nhÊt là m« t¶ nghiÖm cña çc ph-¬ng tr×nh này

(c¶ vÒ ®Þnh tÝnh lÉn vÒ ®Þnh l-îng).

1.1 Vài m« h×nh dÉn ®Õn ph-¬ng tr×nh vi ph©n

• Sù r¬i tù do. XÐt mét vËt cã khèi l-îng m ®-îc th¶ r¬i tù do trong khÝ quyÓngÇn mÆt ®Êt. Theo ®Þnh luËt II Newton, chuyÓn ®éng cña vËt ®ã cã thÓ m« t¶ bëiph-¬ng tr×nh

F = ma, (1)

trong ®ã F là hîp lùc t¸c ®éng lªn vËt và a là gia tèc chuyÓn ®éng. Hîp lùc F cã thÓ gi¶ thiÕt chØ bao gåm lùc hÊp dÉn (tØ lÖ víi khèi l-îng cña vËt và h-íng

xuèng) và lùc c¶n (tØ lÖ víi vËn tèc chuyÓn ®éng và h-íng lªn trªn). Ngoài ra,

do gia tèc chuyÓn ®éng a = dv

dt nªn (1) cã thÓ viÕt d-íi d¹ng

mdv

dt = mg − γv, (2)

trong ®ã g ≈ 9, 8m/s2 là gia tèc träng tr-êng, còn γ là hÖ sè c¶n. VËy vËn tèc vcña vËt r¬i tù do tháa m·n ph-¬ng tr×nh (2) víi sù xuÊt hiÖn cña ®¹o hàm cña v.Nh÷ng ph-¬ng tr×nh nh- vËy ta sÏ gäi là ph-¬ng tr×nh vi ph©n.

• Dung dÞch hãa häc. Gi¶ sö t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu t = t0 mét thïng chøa x0kg muèi hßa tan trong 1000 lÝt n-íc. Ta cho ch¶y vào thïng mét lo¹i n-íc muèinång ®é a (kg/lÝt) víi l-u l-îng r (lÝt/phót) và khuÊy ®Òu. §ång thêi, cho hçnhîp ®ã ch¶y ra khái thïng cïng víi tèc ®é nh- trªn. Gäi x = x(t) là l-îng muèitrong thïng t¹i thêi ®iÓm bÊt kú. Râ ràng tØ lÖ thay ®æi l-îng muèi trong thïngdx

dt b»ng hiÖu cña tØ lÖ muèi ch¶y vào ar(kg/phót) trõ ®i tØ lÖ muèi ch¶y ra t¹iWWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



22

thêi diÓm ®ang xÐt

rx

1000 (kg/phót). VËy ta cã ph-¬ng tr×nh vi ph©n

dx

dt = ar − rx

1000, (3)

víi d÷ kiÖn ban ®Çux(t0) = x0.

1.2 Çc kh¸i niÖm.

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n là ph-¬ng tr×nh cã d¹ng

F (x,y,y, y, . . . , y(n)) = 0, (4)

trong ®ã y = y(x) là Èn hàm cÇn t×m và nhÊt thiÕt ph¶i cã sù tham gia cña ®¹ohàm (®Õn cÊp nào ®ã) cña Èn.Trong tr-êng hîp Èn hàm cÇn t×m là hàm nhiÒu biÕn (xuÊt hiÖn çc ®¹o hàm riªng)th× ph-¬ng tr×nh vi ph©n cßn gäi là ph-¬ng tr×nh ®¹o hàm riªng. §Ó ph©n biÖt,ng-êi ta th-êng gäi ph-¬ng tr×nh víi Èn hàm là hàm mét biÕn là ph-¬ng tr×nhvi ph©n th-êng và là ®èi t-îng chÝnh cña ch-¬ng này.Ta nãi mét ph-¬ng tr×nh vi ph©n cã cÊp n nÕu n là cÊp lín nhÊt cña ®¹o hàm cñaÈn xuÊt hiÖn trong ph-¬ng tr×nh.

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n th-êng cÊp 1 cã d¹ng tæng qu¸t

F (x,y,y) = 0, (5)

trong ®ã F (x,y,z) ®-îc gi¶ thiÕt liªn tôc cïng víi çc ®¹o hàm riªng cña nã trªnmiÒn G ⊂ R

3. Víi mét sè gi¶ thiÕt thÝch hîp (xem ®Þnh lý hàm Èn), ph-¬ng tr×nhvi ph©n cÊp 1 cã thÓ viÕt ®-îc d-íi d¹ng sau (gäi là d¹ng gi¶i ra ®-îc ®èi víi®¹o hàm)

y = f (x, y), (6)

víi f (x, y) liªn tôc trong miÒn D ⊂ R2 nào ®ã.

VÝ dô. Çc ph-¬ng tr×nhey + y2 cos x = 1

y2 − 2xy = ln x

∂ 2u

∂x2 +

∂ 2u

∂y2 = 0WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



23

lÇn l-ît là ph-¬ng tr×nh vi ph©n th-êng cÊp 1, cÊp 3 và ph-¬ng tr×nh ®¹o hàmriªng cÊp 2.

XÐt ph-¬ng tr×nh (4). Hàm sè φ : I → R (víi I = (a, b) là kho¶ng nào ®ã cñaR) ®-îc gäi lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (4) nÕu nã cã çc ®¹o hàm liªn tôc ®ÕncÊp m trªn I và tháa m·n

F (x, φ(x), φ(x), φ(x), . . . , φ(m))(x) = 0, víi mçi x ∈ I. (7)

Trong tr-êng hîp ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1, nghiÖm là mét hàm thùc mét biÕny = φ(x) mà khi thay vào (5) hoÆc (6), ta ®-îc mét ®¼ng thøc d¹ng.

VÝ dô. DÔ kiÓm tra r»ng hÖ hàm (phô thuéc vào hai tham sè tuú ý)

y = C 1 cos x + C 2 sin x

là nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n

y + y = 0.

VÝ dô. (S¨n måi và måi) Sù ph¸t triÓn cña hai quÇn thÓ sinh vËt (ch¼ng h¹n,x = x(t) là sè con mÌo và y = y(t) là sè con chuét) theo thêi gian ®-îc m« t¶bëi (hÖ) ph-¬ng tr×nh Volterra

−Lotka sau ®©y

y = y(α− βx), x = x(γy − δ) (8)

víi α, β,γ và δ là nh÷ng h»ng sè ®Æc tr-ng cho sù t¨ng tr-ëng cña çc quÇn thÓ.Xem y nh- là hàm theo x, ph-¬ng tr×nh cã thÓ viÕt d-íi d¹ng

(γy − δ)

y dy =

(α− βx)

x dx.

NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh này cho bëi

γy

−δ ln y = α ln x

−βx + C

trong ®ã C là h»ng sè tuú ý.

1.3 Bài to¸n Cauchy

Ta nhËn xÐt r»ng nghiÖm cña mét ph-¬ng tr×nh vi ph©n nãi chung phô thuéc vàomét hay nhiÒu h»ng sè tïy ý nào ®ã. §Ó x¸c ®Þnh mét nghiÖm cô thÓ, ta cÇn thªmWWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



24

mét hay vài d÷ kiÖn nào ®ã vÒ nghiÖm (tïy theo cÊp cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n).

Ch¼ng h¹n, y = x3

3 + C là nghiÖm (tæng qu¸t) cña ph-¬ng tr×nh y = x2. DÔ thÊy

y = x3

3 + 1 là nghiÖm (duy nhÊt) tháa ®iÒu kiÖn y(0) = 1.

Ta xÐt bài to¸n sau ®©y ®Æt ra ®èi víi ph-¬ng tr×nh (5), gäi là bài to¸n Cauchy(hay bài to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu):

B i to¸n: T×m nghiÖm y(x) tháa:

y = f (x, y)

y(x0) = y0

(9)

trong ®ã (x0, y0) ∈ D ®-îc gäi lµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu.

C©u hái tù nhiªn ®Æt ra là bài to¸n (9) cã hay kh«ng và cã bao nhiªu lêi gi¶i. Tal-u ý r»ng kh«ng ph¶i lóc nào bài to¸n Cauchy còng cã nghiÖm, và khi cã nghiÖmcòng kh«ng nhÊt thiÕt cã duy nhÊt nghiÖm. Ch¼ng h¹n, ph-¬ng tr×nh y = x2,y(0) = 0 cã duy nhÊt mét nghiÖm là y = x3/3. Ph-¬ng tr×nh xy = y , y(0) = 1kh«ng cã nghiÖm nào; cßn ph-¬ng tr×nh y = y1/3, y(0) = 0 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm

là là y ≡ 0 và y2 = 8

27x3.

§Þnh lý 1. NÕu hàm sè f (x, y) cïng víi ®¹o hàm riªng f y liªn tôc trªn D

(x0, y0) th× bài to¸n Cauchy (9) cã duy nhÊt nghiÖm.

2 Gi¶i mét sè ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I

2.1 Ph-¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 d¹ng

M (x)dx + N (y)dy = 0 (10)

®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly (hay cßn gäi ph-¬ng tr×nh t¸chbiÕn).Çch gi¶i: Çc hàm M (x), N (y) ®-îc gi¶ thiÕt liªn tôc trªn çc kho¶ng nào ®ã.Khi ®ã chØ cÇn tÝch ph©n hai vÕ cña (10) ta thu ®-îc tÝch ph©n tæng qu¸t cña nãlà

M (x)dx +

N (y)dy = C.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



25

VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nhy2y = x(1 + x2). Ph-¬ng tr×nh này cã d¹ng t¸ch biÕn

y2dy − x(1 + x2)dx = 0

TÝch ph©n hai vÕ ta thu ®-îc nghiÖm tæng qu¸t là:

y3

3 − x2

2 − x4

4 = C

NhËn xÐt. Ph-¬ng tr×nh d¹ng

M 1(x)N 1(y)dx + M 2(x)N 2(y) = 0 (11)

còng ®-a ®-îc vÒ d¹ng (10) víi biÕn sè ph©n ly, b»ng çch chia hai vÕ choM 2(x)N 1(y) (víi gi¶ thiÕt biÓu thøc này kh¸c 0)

M 1(x)

M 2(x)dx +

N 2(y)

N 1(y)dy = 0.

Do ®ã tÝch ph©n tæng qu¸t là M 1(x)

M 2(x)dx +

N 2(y)

N 1(y)dy = C.

VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0. Chia hai vÕ cho(1 + x2)(1 + y2) ta ®-îc

xdx

1 + x2 +

ydy

1 + y2 = 0.

TÝch ph©n hai vÕ ta ®-îc xdx

1 + x2 +

ydy

1 + y2 = C.

tøc là1

2 ln(1 + x2) +

1

2 ln(1 + y2) = C :=

1

2 ln C 1.

VËy tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là (1 + x2)(1 + y2) = C 1, trong®ã C 1 là h»ng sè d-¬ng tïy ý.

WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



26

2.2 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt

Hàm sè f (x, y) ®-îc gäi lµ thuÇn nhÊt bËc d nÕu víi mçi t ∈ R ta cã

f (tx,ty) = tdf (x, y).

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n y = f (x, y) ®-îc gäi lµ thuÇn nhÊt (hay cßn gäi ®¼ngcÊp) nÕu hàm sè ë vÕ ph¶i là hàm thuÇn nhÊt bËc 0, tøc là f (tx,ty) = f (x, y)víi mäi t.

Çch gi¶i: §Æt u := y

x, ta cã f (x, y) = f (x,xu) = f (1, u), dy = xdu + udx. Tõ

®ã

x

du

dx + u =

dy

dx = f (1, u),

hoÆ d-íi d¹ng t¸ch biÕndu

f (1, u)− u =

dx

x .

TÝch ph©n hai vÕ ta ®-îc du

f (1, u)− u = ln

x

C

,

hay

x = C exp du

f (1, u)− u víi C = 0.

Thay u = y

x vào biÓu thøc trªn ta t×m ®-îc tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh

thuÇn nhÊt.

VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh (x2 + y2)dx + xydy = 0. Ta cã thÓ viÕt ph-¬ng tr×nh®· cho d-íi d¹ng

dy

dx = −y

x− x

y.

VÕ ph¶i cña ph-¬ng tr×nh này là hàm thuÇn nhÊt. §Æt y = xu ta cã

xdu

dx + u + u +

1

u = 0,

Hay t-¬ng ®-¬ng víidx

x = − udu

1 + 2u2.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



27

TÝch ph©n ph-¬ng tr×nh này ta ®-îc

ln x

C

= −1

4 ln(1 + 2u2).

Thay u = y

x vào ®¼ng thøc này ta ®-îc nghiÖm

x4 = C 4x2

x2 + 2y2, C = 0.

Ph-¬ng tr×nh ®-a vÒ thuÇn nhÊt: Çc ph-¬ng tr×nh d¹ng

dy

dx = f (

ax + by + c

a1x + b1y + c1)

cã thÓ ®-a vÒ d¹ng thuÇn nhÊt b»ng phÐp biÕn ®æi x = ξ + x0

y = η + y0

trong ®ã x0 và y0 là nghiÖm cña hÖ:

ax0 + by0 + c = 0a1x0 + b1y0 + c1 = 0

Khi ®ãdη

dξ = f

aξ + bη

a1ξ + b1η

= f

a + b

η

ξ

a1 + b1η

ξ

= g

η

ξ

và ®©y chÝnh là ph-¬ng tr×nh d¹ng thuÇn nhÊt.

VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh (2x−

4y + 6)dx + (x + y−

3)dy = 0. Tr-íc hÕt ta xÐt

hÖ ph-¬ng tr×nh sau 2x0 − 4y0 + 6 = 0x0 + y0 − 3 = 0

HÖ này cã nghiÖm là x0 = 1, y0 = 2. TiÕp ®Õn ta thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn x = ξ + 1y = η + 2WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



28

Khi ®ã ph-¬ng tr×nh ®· cho ®-îc biÕn ®æi thành ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt:

(2ξ − 4η)dξ + (ξ + η)dη = 0

§Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh này ta ®Æt η = uξ vµ thu ®-îc

(2− 3u + u2)dξ + ξ (1 + u)du = 0.

Ph-¬ng tr×nh này chÊp nhËn nghiÖm u = 1 và u = 2. §Ó t×m nghiÖm tæng qu¸tta chia 2 vÕ cho 2 − 3u + u2:

dξ

ξ +

(1 + u)du

2−

3u + u2 = 0

⇐⇒ dξ

ξ +

3

u− 2 − 2

u− 1

du = 0

TÝch ph©n 2 vÕ ta ®-îc

ln |ξ |+ ln |u− 2|3(u− 1)2

= ln C 1

hay ξ (u− 2)3

(u− 1)2 = C

Trë l¹i biÕn x, y ban ®Çu ta cã nghiÖm tæng qu¸t

(y − 2x)3 = C (y− x− 1)2,

cïng vãi hai nghiÖm y = x + 1 và y = 2x t-¬ng øng víi u = 1 và u = 2.

2.3 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n d¹ng

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (12)

®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn nÕu vÕ tr¸i cña nã là vi ph©n toànphÇn cña hàm nào ®ã, tøc là tån t¹i hàm U (x, y) sao cho

dU (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Khi ®ã tÝch ph©n tæng qu¸t cña (12) cho bëi

U (x, y) = C.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



29

NhËn xÐt. Gi¶ sö çc hàm P, Q cïng víi çc ®¹o hàm riªng liªn tôc trªn D. Khi®ã ph-¬ng tr×nh (12) là ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn khi và chØ khi

∂P

∂y =

∂Q

∂x.

Hàm U (x, y) lóc nµy cã thÓ t×m d-íi d¹ng:

U (x, y) =

xx0

P (x, y)dx +

y y 0

Q(x0, y)dy.

hay U (x, y) = x

x0

P (x, y0)dx + y

y 0

Q(x, y)dy,

(13)

trong ®ã (x0, y0) ∈ D là mét ®iÓm nào ®ã sao cho çc tÝch ph©n trªn tån t¹i.

VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh (x3 + xy2)dx + (x2y + y3)dy = 0. Ta cã

P (x, y) = x3 + xy2 vµ Q(x, y) = x2y + y3

vµ∂P

∂y = 2xy =

∂Q

∂x.

HÖ thøc này chøng tá r»ng ph-¬ng tr×nh ®· cho là ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇnvíi hàm U (x, y) cã thÓ chän là

U (x, y) =

x0

(x3 + xy2)dx +

y 0

(0.y + y3)dy,

hay U (x, y) = x4

4 +

x2y2

2 +

y4

4 .

VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh dã cho là

(x2 + y2)2 = 4C 1 := C 2

hayx2 + y2 = C víi C ≥ 0

Thõa sè tÝch ph©n: Cã nh÷ng tr-êng hîp ph-¬ng tr×nh (12) ch-a ph¶i là ph-¬ngtr×nh vi ph©n toàn phÇn, nh-ng cã thÓ t×m ®-îc hàm sè µ(x, y) sao cho ph-¬ngtr×nh sau trë thành ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn:

µ(x, y)P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



30

Hàm µ(x, y) nhu thÕ ®-îc gäi lµ thõa sè tÝch ph©n cña ph-¬ng tr×nh (12). §iÒukiÖn ®Ó µ là thõa sè tÝch ph©n là µ ph¶i tháa m·n ph-¬ng tr×nh:

∂

∂y(µP ) =

∂

∂x(µQ)

Hay t-¬ng ®-¬ng

Q∂µ

∂x− P

∂µ

∂y = µ

∂P

∂y − ∂Q

∂x

. (14)

Kh«ng cã ph-¬ng ph¸p tæng qu¸t ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh ®¹o hàm riêng này. Tuynhiªn trong mét vài tr-êng hîp ®Æc biÖt ta cã thÓ t×m ®-îc µ.

Tr-êng hîp I: µ

chØ phô thuéc vào x

.Gi¶ sö µ > 0, khi ®ã chia hai vÕ cña (14) cho µ, ta ®-îc

d ln µ

dx =

∂P

∂y − ∂Q

∂xQ

= ϕ.

VËy tr-êng hîp này chØ tháa m·n khi vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trªn kh«ng phô thuécvào y. Víi ®iÒu kiÖn này, thõa sè tÝch ph©n cho bëi:

µ(x) = exp

ϕ(x)dx

.

Tr-êng hîp II: µ chØ phô thuéc vào y.Làm t-¬ng tù nh- trªn, thõa sè tÝch ph©n cho bëi:

µ(y) = exp

ψ(y)dy

,

trong ®ã ψ(y) :=

∂Q

∂x − ∂ P

∂y

P ®-îc gi¶ thiÕt kh«ng phô thuéc vào x.

VÝ dô. T×m thõa så tÝch ph©n råi gi¶i ph-¬ng tr×nh (2xy + x2y + y3/3)dx + (x2 +

y2)dy = 0. Ta cã

P (x, y) = 2xy + x2y + y3/3 và Q(x, y) = x2 + y2.

Tõ ®ã∂P

∂y − ∂ Q

∂xQ

= 2x + x2 + y2 − 2x

x2 + y2 = 1.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



31

Do ®ã cã thÓ chän µ(x) = exp(

dx) = ex

®Ó cho ph-¬ng tr×nh

ex[(2xy + x2y + y3/3)dx + (x2 + y2)dy] = 0

là ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn. TÝch ph©n ph-¬ng tr×nh này theo c«ng thøc(13) ta ®-îc nghiÖm tæng qu¸t

yex(x2 + y2/3) = C.

2.4 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp I

Trong môc này ta xÐt líp çc ph-¬ng tr×nh vi ph©n mà biÓu thøc là tuyÕn tÝnh ®èivíi Èn và ®¹o hàm cña nã. Çc ph-¬ng tr×nh nhu thÕ ®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nhvi ph©n tuyÕn tÝnh. D¹ng tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp I là

y + p(x)y = q(x), (15)

trong ®ã p(x), q(x) là çc hàm x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a, b) nào ®ã.NÕu q(x) ≡ 0, ta cã ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt :

y + p(x)y = 0. (16)

§Þnh lý 2. Gi¶ sö p(x) và q(x) liªn tôc trªn (a, b) chøa x0. Khi ®ã, víi mçi gi¸

trÞ y0, ph-¬ng tr×nh (16) cã mét nghiÖm duy nhÊt tháa y(x0) = y0.

Çch gi¶i : §Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh (15) tr-íc hÕt ta gi¶i ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊtt-¬ng øng (16). Thùc ra, ®©y là ph-¬ng tr×nh t¸ch biÕn

dy

y + p(x)dx = 0.

NghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh này là:

y(x) = Ae−

p(x)dx

, (17)

trong ®ã A là h»ng sè tïy ý.

Ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange: Ta sÏ t×m nghiÖm tæng qu¸t cña(15) d-íi d¹ng tÝch

y = A(x)e−

p(x)dx

, (18)WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



32

tøc là xem h»ng sè A trong biÓu thøc nghiÖm (17) nh- là hàm theo biÕn x (ph-¬ngph¸p biÕn thiªn h»ng sè). Thay vào ph-¬ng tr×nh (15) ta ®-îc

Ae−

p(x)dx

= q(x). (19)

Tõ ®ã,

A(x) =

q(x)e

p(x)dx

dx + C.

Thay vào (18), ta thu ®-îc nghiÖm tæng qu¸t cña (15) là:

y = e−

p(x)dx

q(x)e

p(x)dx

dx + C

(20)

trong ®ã C là h»ng sè tïy ý.

VÝ dô. T×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n y + 3xy = x ®i qua ®iÓm (0, 4).

Ta cã p(x) = 3x nªn

p(x)dx = 3x2/2. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là

y = e−3x2/2

xe3x2/2dx + C

= e−3x2/2

1

3e3x

2/2 + C

=

1

3 + Ce−3x2/2

Thay x = 0 và y = 4 vào ®¼ng thøc trªn, ta t×m ®-îc C = 11

3 và nghiÖm riªng

cÇn t×m là:

y = 1

3 +

11

3 e−3x2/2.

HÖ qu¶ 1. NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (15) víi ®iÒu kiÖn y(x0) = y0 cho bëi c«ng

thøc

y(x) =

xx0

q(t)µ(t)dt + y0

µ(x) ,

trong ®ã µ(x) := e

xx0

p(t)dt.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



33

2.5 Ph-¬ng tr×nh Bernoully

Ph-¬ng tr×nh cã d¹ngy + p(x)y = q(x)yα, (21)

trong ®ã α là sè thùc nào ®ã, ®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nh Bernoully.1

§Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh này ta ®-a vÒ gi¶i ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (15) ®· xÐt trongmôc tr-íc. Râ ràng víi α = 0 hay α = 1 th× (21) ®· có d¹ng ph-¬ng tr×nh tuyÕntÝnh.NÕu α = 0 và α = 1, th× ®Æt

z = y1−α.

Khi ®ãz = (1− α)y−αy

Chia hai vÕ cña (21) cho yα, råi thay biÓu thøc cña z và z vào ®¼ng thøc ®ã ta®-îc ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh theo z :

z + (1− α) p(x)z = (1 − α)q(x). (22)

NhËn xÐt. Chó ý r»ng ta ph¶i xÐt riªng tr-êng hîp y = 0 tr-íc khi chia hai vÕ cho yα ®Ó tr¸nh làm mÊt nghiÖm này.

VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh xy−4y = x2√ y. Râ ràng ®©y là ph-¬ng tr×nh Bernoully

víi α = 1/2 và y = 0 là mét nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®· cho. Gi¶ sö y = 0, chiahai vÕ cho xy1/2 ta ®-îc

y−1/2y − 4

xy

1

2 = x.

§Æt z = y

1

2 ta cã z = 1

2y−1/2y. Khi ®ã, ph-¬ng tr×nh ®· cho trë thành ph-¬ng

tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt

z

− 2

xz =

x

2 .

Gi¶i ph-¬ng tr×nh này, ta t×m ®-îc nghiÖm

z = x2

1

2 ln |x|+ C

.

1I.Bernoully (1667 1746) là nhà to¸n häc Thôy sÜ.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



34

Do ®ã ph-¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm tæng qu¸t là

y = x4

1

2 ln |x|+ C

2

và nghiÖm y = 0.

2.6 Ph-¬ng tr×nh Clairaut

Ph-¬ng tr×nh Clairaut 2 là líp çc ph-¬ng tr×nh vi ph©n d¹ng:

y = xy + f (y), (23)

trong ®ã, nãi chung, f là mét hàm phi tuyÕn.Çch gi¶i: §Æt p = y . Khi ®ã

y = px + f ( p).

Vi ph©n hai vÕ ®¼ng thøc này, víi chó ý r»ng dy = pdx ta ®-îc

pdx = pdx + (x + f ( p))dp,

hay (x + f ( p))dp = 0.

Tõ ®ã ta suy ra dp = 0 hay x + f

( p) = 0.NÕu dp = 0 th× p = C , thay vào (23) ta ®-îc nghiÖm tæng qu¸t

y = C x + f (C ). (24)

§©y là mét hä ®-êng th¼ng.NÕu x + f ( p) = 0, cïng víi (23), ta thu ®-îc mét nghiÖm cho d-íi d¹ng tham sè

x = −f ( p),y = − pf ( p) + f ( p).

Ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng nÕu f ( p) liªn tòc và kh¸c kh«ng th× nghiÖm cho

d-íi d¹ng tham sè là bao h×nh cña hä ®-êng th¼ng (24).

VÝ dô. XÐt ph-¬ng tr×nh y = (x − 1)y − y2. §©y là ph-¬ng tr×nh Clairaut víif (t) = −t2 − t. Thay thÕ y bëi C ta ®-îc nghiÖm tæng qu¸t là hä ®-êng th¼ng

y = C (x− 1)− C 2.

2Alexis Claude Clairaut (1713-1765) là nhà khoa häc næi tiÕng ngêi Ph¸p.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



35

§Ó t×m nghiÖm kú dÞ, tøc là bao h×nh cña hä ®-êng th¼ng trªn ta xÐt hÖ x = 2C + 1,y = C (x− 1)− C 2.

Khö C tõ hÖ ph-¬ng tr×nh này ta ®-îc bao h×nh là parabol y = (x− 1)2

4 .

2.7 Ph-¬ng tr×nh Lagrange

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I tuyÕn tÝnh ®èi víi x và y d¹ng:

y = ϕ(y)x + ψ(y), (25)

®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nh Lagrange3.Çch gi¶i: Gi¶ sö ϕ(y) = y, nÕu kh«ng ph-¬ng tr×nh ®· cho là ph-¬ng tr×nhClairaut mà ta ®· xÐt trªn ®©y. Còng t-¬ng tù nh- tr-êng hîp ph-¬ng tr×nhClairaut, ta ®Æt p = y. Khi ®ã ph-¬ng tr×nh (25) trë thành

y = ϕ( p)x + ψ( p). (26)

Vi ph©n hai vÕ theo x ta ®-îc

p = dydx

= ϕ( p) + [ϕ( p)x + ψ( p)] dpdx

Xem p là biÕn sè ®éc lËp ta cã ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh mà Èn là x = x( p) nh- sau:

dx

dp +

ϕ( p)

ϕ( p) − px =

ϕ( p)

p − ϕ( p).

TÝch ph©n ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh này theo ph-¬ng ph¸p ®· biÕt ta ®-îc nghiÖmtæng qu¸t x = h( p, C ), víi C là tham sè tïy ý.KÕt hîp víi (26) ta cã nghiÖm tæng qu¸t cña (25) cho d-íi d¹ng tham sè (thamsè hãa theo tham sè p):

y = ϕ( p)h( p, C ) + ψ( p),x = h( p, C ).

NhËn xÐt. Chó ý r»ng øng víi çc gi¸ trÞ cña tham sè p = pi (trong ®ã pi lànghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ϕ( p)− p = 0) ta còng nhËn ®-îc çc nghiÖm cña ph-¬ng

3J.L.Lagrange (1736 - 1813) là nhà to¸n häc næi tiÕng ngêi Ph¸p.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



36

tr×nh (25). Tïy theo tõng tr-êng hîp nghiÖm này cã thÓ là nghiÖm kú dÞ hoÆckh«ng.

VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh y = xy2 − y. §Æ t p = y , khi ®ã

y = xp2 − p.

Vi ph©n hai vÕ cña ®¼ng thøc này theo x víi chó ý dy = pdx, sau khi thu gän ta®-îc

( p2 − p)dx + (2 px− 1)dp = 0.

Gi¶ sö p2 − p = 0 ta cã

dx

dp + 2

p − 1 x = 1

p( p − 1) .

Gi¶i ph-¬ng tr×nh này ta ®-îc:

x = C + p − ln p

( p− 1)2

Thay vào biÓu thøc cña y ta ®-îc nghiÖm tæng qu¸t d¹ng tham sè:

x = C + p− ln p

( p− 1)2

y = (C + p − ln p) p2

( p− 1)2 − p.

Çc nghiÖm øng víi p = 0 và p = 1 là y = 0 và y = x − 1 t-¬ng øng.

3 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai

3.1 Kh¸i niÖm ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai

D¹ng tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp II là

F (x,y,y, y) = 0. (27)

D¹ng ®· gi¶i ra ®èi víi ®¹o hàm cÊp hai:

y = f (x,y,y). (28)

Bài to¸n Cauchy cho ph-¬ng tr×nh (28) ®-îc ph¸t biÓu nhu sau: T×m nghiÖm cñaph-¬ng tr×nh (28) tháa ®iÒu kiÖn:

y(x0) = y0, y(x0) = y.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



37

§Þnh lý 3. NÕu trong miÒn G

(x0, y

0, y

0) hàm sè f (x,y,y) liªn tôc cïng víi

çc ®¹o hàm riªng f y , f y th× bài to¸n Cauchy cã mét nghiÖm duy nhÊt.

Ta hiÓu nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai là nghiÖm chøa 2 h»ngsè C 1 và C 2 tïy ý. Ch¼ng h¹n ph-¬ng tr×nh y + y = 0 cã nghiÖm tæng qu¸t lày = C 1 cos x + C 2 sin x.NghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n là nghiÖm suy tõ nghiÖm tæng qu¸t øngvíi çc gi¸ trÞ cô thÓ cña h»ng sè.

3.2 NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai

Ta gäi ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai lµ ph-¬ng tr×nh cã d¹ng:

y + p(x)y + q(x)y = f (x), (29)

trong ®ã p(x), q(x) và f (x) là çc hàm liªn tôc trªn kho¶ng (a, b) nào ®ã. NÕuf (x) ≡ 0

y + p(x)y + q(x)y = 0, (30)

ta gäi là ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt:

§Þnh lý 4. NÕu φ1(x) và φ2(x) là hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (30) th× C 1φ1(x)+C 2φ2(x) còng là nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (30). Nãi çch kh¸c, tËp nghiÖm cña

ph-¬ng tr×nh (30) cã cÊu tróc kh«ng gian vector.Chøng minh. KiÓm tra trùc tiÕp.

HÖ nghiÖm c¬ b¶n:Hai hàm φ1(x) và φ2(x) ®-îc gäi lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn (a, b) nÕu:

α1φ1(x) + α2φ2(x) = 0,∀x ∈ (a, b) =⇒ α1 = 0 và α2 = 0.

Ng-îc l¹i, nÕu hai hàm kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh th× ta nãi phô thuéc tuyÕn tÝnh.

VËy φ1(x) và φ2(x) phô thuéc tuyÕn tÝnh trªn (a, b) khi và chØ khi tØ sè φ1

φ2là

h»ng sè trªn (a, b).

VÝ dô. HÖ hàm cos x, sin x ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn R.§Þnh thøc Wronski: Cho hai hàm kh¶ vi φ1(x) và φ2(x), ta gäi ®Þnh thøc sau®©y là ®Þnh thøc Wronski cña φ1(x) và φ2(x):

W [φ1, φ2](x) =

φ1 φ2

φ

1 φ

2

(31)WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



38

§Þnh lý 5. NÕu hai hàm kh¶ vi φ1(x) và φ

2(x) phô thuéc tuyÕn tÝnh trªn (a, b)

th× W [φ1, φ2](x) ≡ 0, trªn (a, b).

Nhu vËy, nÕu ®Þnh thøc Wronski cña hai hàm kh¸c kh«ng t¹i x0 ∈ (a, b) th×chóng ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn kho¶ng này.

§Þnh lý 6. Gi¶ sö W (x) là ®Þnh thøc Wronski cña hai nghiÖm φ1(x) và φ2(x)cña ph-¬ng tr×nh (30). Khi ®ã

W (x) = W (x0)e−

xx0

p(x)dx, v?i x0

∈(a, b).

Chøng minh. Dành cho b¹n ®äc.

HÖ gåm hai nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña ph-¬ng tr×nh (30) ®-îc gäi lµ hÖnghiÖm c¬ b¶n cña ph-¬ng tr×nh ®ã.

§Þnh lý 7. Gi¶ sö φ1(x) và φ2(x) là hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (30) víi çchÖ sè liªn tôc trªn (a, b). Khi ®ã

φ1(x), φ2(x) là hÖ nghiÖm c¬ b¶n ⇔ W (x) = 0, víi mçi x ∈ (a, b).

§Þnh lý 8. Gi¶ sö φ1(x), φ2(x) là hÖ nghiÖm c¬ b¶n cña ph-¬ng tr×nh (30) víiçc hÖ sè liªn tôc trªn (a, b). Khi ®ã, nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh (30) là:

y = C 1φ1(x) + C 2φ2(x).

VÝ dô. Ph-¬ng tr×nh y + y = 0 có hai nghiÖm φ1 = cos x, φ2 = sin x. HainghiÖm này ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn R. Do vËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh®· cho là:

y = C 1 cos x + C 2 sin x.

T-¬ng tù, ph-¬ng tr×nh y−y = 0 cã hai nghiÖm φ1 = ex, φ2 = e−x. Hai nghiÖmnày ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn R. Do vËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cholà:

y = C 1ex + C 2e−x.

MÖnh ®Ò 1. NÕu φ1 = 0 là mét nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (30) th× mét nghiÖm®éc lËp tuyÕn tÝnh víi nã cho bëi:

φ2 = φ1

e

−

p(x)dx

φ21

dx.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



39

VÝ dô. T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh

2x2y + 3xy − y = 0

trªn (0, +∞) biÕt nã cã mét nghiÖm là φ1(x) = 1/x.Theo c«ng thøc trªn, nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh víi φ1 cho bëi

φ2(x) = 1

x

x2e

−

3

2xdx

dx.

TÝnh to¸n tÝch ph©n, ta thu ®-îc

y2(x) = 2/3x1/2.

VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cho trªn (0, +∞) là

y(x) = C 1

x + C 2

√ x.

3.3 NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇnnhÊt

Ta l-u ý r»ng, gièng nh- çc kÕt qu¶ trong ®¹i sè tuyÕn tÝnh, nghiÖm cña ph-¬ngtr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt cã quan hÖ chÆt chÏ víi nghiÖm cñaph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt t-¬ng øng. Cô thÓ, ta cã thÓ kiÓm tradÔ dàng çc tÝnh chÊt sau:

i) HiÖu hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt làmét nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t-¬ng øng.

ii) Tæng cña mét nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt và mét nghiÖmcña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t-¬ng øng là nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ngthuÇn nhÊt.

H¬n thÕ n÷a, ®Þnh lý sau m« t¶ cÊu tróc nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇnnhÊt.

§Þnh lý 9. Gi¶ sö çc hàm hÖ sè trong ph-¬ng tr×nh (29) liªn tôc trªn (a, b). Khi®ã nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt (29)b»ng tæng cña mét nghiÖm riªng nào ®ã cña nã và nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t-¬ng øng.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



40

VÝ dô. Cho ph-¬ng tr×nh y + 4y = 5ex. DÔ thÊy cos2x và sin2x là hai nghiÖm®éc lËp tuyÕn tÝnh cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t-¬ng øng y + 4y = 0. MétnghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là yr = ex. Do ®ã nghiÖm tæng qu t cñaph-¬ng tr×nh ®· cho là

y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x + ex,

trong ®ã C 1, C 2 là hai h»ng så tïy ý.

Ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange t×m nghiÖm riªng cña ph-¬ngtr×nh kh«ng thuÇn nhÊt:Gi¶ sö nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt (30) là:

y = C 1φ1(x) + C 2φ2(x)

Ta xem C 1, C 2 nhu là çc hàm theo x và t×m nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nhkh«ng thuÇn nhÊt d-íi d¹ng:

yr = C 1(x)φ1(x) + C 2(x)φ2(x).

Ta cã

yr = C 1(x)φ

1(x) + C 2(x)φ

2(x) + C 1(x)φ1(x) + C 2(x)φ2(x).

Cho C 1(x)φ1(x) + C 2(x)φ2(x) = 0 và tiÕp tôc tÝnh ®¹o hàm cÊp hai råi thay vàoph-¬ng tr×nh (29) ta ®-îc:

C 1(x)φ

1(x) + C 2(x)φ

2(x) = f (x).

VËy C 1 và C 2 là nghiÖm cña hÖ: C 1(x)φ1(x) + C 2(x)φ2(x) = 0,C 1(x)φ

1(x) + C 2(x)φ

2(x) = f (x).

HÖ ph-¬ng tr×nh này cã ®Þnh thøc kh¸c kh«ng nªn cã nghiÖm duy nhÊt C 1 vàC 2. Tõ ®ã , b»ng çch tÝch ph©n ta cã thÓ t×m C 1(x) và C 2(x). VÝ dô. T×m mét

nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh

y + y = 1

sin x.

Ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t-¬ng øng y + y = 0 cã nghiÖm tæng qu¸t là y =C 1 cos x + C 2 sin x. NghiÖm riªng cã d¹ng

yr = C 1(x)cos x + C 2(x)sin x,WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



41

trong ®ã C 1, C

2 tháa hÖ ph-¬ng tr×nh

C 1 cos x + C 2 sin x = 0,

−C 1 sin x + C 2 cos x = 1

sin x.

Tõ ®ã, C 1 = −1 và C 2 = cos x

sin x = (ln | sin x|). VËy mét nghiÖm riªng thu ®-îc

làyr = −x cos x + ln | sin x|. sin x.

Khi ®ã nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là:

y = C 1 cos x + C 2 sin x +

−x cos x + ln

|sin x

|. sin x

3.4 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai hÖ sè h»ng

Trong tiÓu môc này ta xÐt tr-êng hîp çc hàm hÖ sè p(x) và q(x) là çc h»ng sè thùc:

y + py + qy = f (x) (32)

y + py + qy = 0 (33)

Çc tÝnh chÊt và ®Þnh lý trong môc tr-íc ®-îc vËn dông trong tr-êng hîp này. TanhÊn m¹nh r»ng trong tr-êng hîp này, nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh thuÇnnhÊt (33) lu«n lu«n thiÕt lËp ®-îc. ThËt vËy, ta t×m nghiÖm d-íi d¹ng

y = eλx

Thay vào ph-¬ng tr×nh thu?n nh?t (33) ta ®-îc:

λ2 + pλ + q = 0. (34)

§©y là ph-¬ng tr×nh bËc hai, ®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cña ph-¬ngtr×nh (33). Ta xÐt ∆ = p2 − 4q víi çc tr-êng hîp sau:

∆ > 0: Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt λ1 và λ2. Khi ®ãph-¬ng tr×nh vi ph©n (33) cã hÖ nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh là eλ1x, eλ2x.Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là:

y = C 1eλ1x + C 2eλ2x

∆ = 0: Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cã nghiÖm (thùc) kÐp λ0. Khi ®ã, ph-¬ng tr×nh viph©n (33) cã hÖ nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh là eλ0x, xeλ0x. Do ®ã nghiÖmtæng qu¸t là:

y = [C 1 + C 2x]eλ0x.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



42

∆ < 0: Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng có 2 nghiÖm phøc liªn hîp α±

iβ . Khi ®ã, t¸chphÇn thùc và phÇn ¶o ta thÊy ph-¬ng tr×nh vi ph©n (33) cã hÖ nghiÖm ®éclËp tuyÕn tÝnh là cos βxeα, sin βxαx. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là:

y = [C 1 cos βx + C 2 sin βx]eαx.

VÝ dô.

• Ph-¬ng tr×nh y + y = 0 cã ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng λ2 + 1 = 0. Ph-¬ngtr×nh này cã 2 nghiÖm phøc ±i. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là

y = C 1 cos x + C 2 sin x.

• Ph-¬ng tr×nh y + y − 6y = 0 cã ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng λ2 + λ − 6 = 0.Ph-¬ng tr×nh này cã hai nghiÖm thùc là 2 và −3. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸tlà:

y = C 1e2x + C 2e−3x.

• Ph-¬ng tr×nh y + 4y + 4y = 0 cã ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng λ2 + 4λ + 4 = 0.Ph-¬ng tr×nh này cã nghiÖm kÐp là −2. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là:

y = [C 1 + C 2x]e−2x.

Ph-¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh t×m nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇnnhÊt: Trong tr-êng hîp ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng kh«ng thuÇnnhÊt mà f (x) cã d¹ng ®Æc biÖt ta cã thÓ x¸c ®Þnh d¹ng cña nghiÖm riªng. Tõ ®ãcã thÓ t×m ®-îc chÝnh x¸c nghiÖm riªng này.

Tr-êng hîp 1: f (x) = eaxP (x) , víi P (x) là ®a thøc bËc n nào ®ã.

• NÕu a kh«ng là nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng (34) th×:

yr = eaxQ(x),

víi Q(x) là mét ®a thøc cïng bËc víi P (x).

• NÕu a là nghiÖm béi k cña ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng (34) th×:

yr = xkeaxQ(x),

víi Q(x) là mét ®a thøc cïng bËc víi P (x).WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



43

Tr-êng hîp 2: f (x) = eax[P 1(x)cos bx + P

2(x)sin bx], víi P

1(x) và P

2(x) là

hai ®a thøc bËc nào ®ã.

• NÕu a + ib kh«ng là nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng (34) th×:

yr = eax[Q1(x)cos bx + Q2(x)sin bx],

víi Q1(x), Q2(x) là çc ®a thøc cã bËc b»ng bËc lín nhÊt cña P 1(x)và P 2(x).

• NÕu a + ib là nghiÖm phøc cña ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng (34) th×:

yr = xeax[Q1(x)cos bx + Q2(x)sin bx]

víi Q1(x), Q2(x) nh- trªn.

VÝ dô. T×m nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh

y − 3y + 2y = (3− 4x)ex

Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng làλ2 − 3λ + 2 = 0

cã hai nghiÖm là λ1 = 1 và λ2 = 2, trong ®ã α = 1 là nghiÖm ®¬n cña nã nªnnghiÖm riªng cã d¹ng

yr = xex(Ax + B).

Thay vào ph-¬ng tr×nh ®· cho và c©n b»ng çc hÖ sè ta thu ®-îc

−2A = 4,2A−B = 1,

Gi¶i ra ta ®-îc A = 2 và B = 1, khi ®ã nghiÖm riªng là yr = xex(2x + 1). Cuèicïng, nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là y = C 1ex+C 2e2x+xex(2x+1).

VÝ dô. T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh y + y = 4x sin x. Ph-¬ng tr×nh®Æc tr-ng cã nghiÖm là ±i và a + ib = i. Khi ®ã nghiÖm riªng cã d¹ng:

yr = x[(Ax + B)cos x + (Cx + D)sin x].

Thay vào ph-¬ng tr×nh ®· cho và c©n b»ng çc hÖ sè ta ®-îc

−

2A = 2

C − B = 0D + A = 02C = 0

⇔

A =

−1

B = 0C = 0D = 1.

V× thÕ, nghiÖm riªng là yr = x(−x cos x +sin x) và nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ngtr×nh ®· cho là

y = C 1 cos x + C 2 sin x + x(sin x− x cos x).WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



44

4 HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n4.1 Çc kh¸i niÖm

HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I hai Çn y1(x), y2(x) tæng qu¸t cã d¹ng F 1(x, y1, y2, y1, y2) = 0F 2(x, y1, y2, y1, y2) = 0,

hoÆc d¹ng chÝnh t¾c (®· gi¶i ra ®èi víi ®¹o hàm):

y1 = f 1(x, y1, y2)

y

2 = f 2(x, y1, y2).

(35)

Mçi ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai:

y = f (x,y,y)

®Òu cã thÓ viÕt thành mét hÖ bËc nhÊt b»ng çch ®Æt y = y1, y = y2: y1 = y2

y2 = f (x, y1, y2).

Ng-îc l¹i, mçi hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I hai Èn ®Òu cã thÓ ®-a vÒ ph-¬ng

tr×nh vi ph©n cÊp II. Tõ ®ã, ta cã thÓ gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh b»ng çch ®-a vÒ gi¶iph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp II. VÝ dô. Gi¶i hÖ sau

dx

dt = y,

dy

dt = x.

§¹o hàm hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh ®Çu råi kÕt hîp víi ph-¬ng tr×nh sau ta ®-îcph-¬ng tr×nh

d2x

dt2 − x = 0.

Tõ ®ã nghiÖm tæng qu¸t là

x = x(t) = C 1e−

t + C 2et.

Tõ ph-¬ng tr×nh thø nhÊt ta tÝnh ®-îc

y = y(t) = −C 1e−t + C 2et.

NhËn xÐt. HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n gåm hai Èn nãi chung cã nghiÖm phô thuéc vàohai h»ng sè tïy ý. NghiÖm nh- thÕ ta còng gäi là nghiÖm tæng qu¸t. NghiÖm suyWWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



45

ra tõ nghiÖm tæng qu t víi çc gi¸ trÞ cô thÓ cña tham sè ®-îc gäi lµ nghiÖm riªng.

Bài to¸n Cauchy cho hÖ ph-¬ng tr×nh (35) ph¸t biÓu nh- sau: T×m nghiÖm cña hÖ(35) tháa ®iÒu kiÖn:

y1(x0) = ξ 1, y2(x0) = ξ 2.

Víi mét sè gi¶ thiÕt thÝch hîp, ch¼ng h¹n çc hàm f 1, f 2 trong (35) liªn tôc cïngvíi çc ®¹o hàm riªng cña chóng theo y1, y2 trong miÒn chøa (x0, ξ 1, ξ 2) th× bàito¸n Cauchy cã nghiÖm duy nhÊt.

4.2 HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp I hÖ sè h»ng

Xem t là biÕn sè ®éc lËp, hÖ tuyÕn tÝnh hai Èn hÖ sè h»ng là hÖ cã d¹ng: x = ax + by + g 1(t)y = cx + dy + g 2(t)

NÕu çc hàm g 1 và g 2 ®Òu b»ng kh«ng th× ta gäi là hÖ thuÇn nhÊt. CÊu tróc nghiÖmcña hÖ thuÇn nhÊt và kh«ng thuuÇn nhÊt t-¬ng tù nh- trong môc tr-íc hoÆc cãthÓ thiÕt lËp b»ng çch ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp II.

Ta t×m nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt d-íi d¹ng hàm mòxy

=

v1

v2

eλt.

Khi ®ã λ và v = (v1, v2) chÝnh là gi¸ trÞ riªng và vector riªng t-¬ng óng cña matrËn

A =

a bc d.

Hai nghiÖm φ1(t) =

φ11(t)φ21(t)

và φ2(t) =

φ12(t)φ22(t)

cña hÖ thuÇn nhÊt ®-îc gäi

lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn t

∈(a, b) nÕu ma trËn (φij) kh«ng suy biÕn.

§Þnh lý 10. NÕu φ1(t) và φ2(t) là hai nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña hÖ thuÇnnhÊt th× nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ là

xy

= C 1φ1 + C 2φ2.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



46

Cuèi cïng ®Ó cã nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt, ta lÊy mét nghiÖmriªng nào ®ã cña nã céng víi nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng.

VÝ dô. Gi¶i hÖ

dx

dt = −x− 2y

dy

dt = 3x + 4y.

§©y là hÖ thuÇn nhÊt víi ma trËn A =

−1 −23 4

. Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng

−1− λ −23 4− λ = λ2 − 3λ + 2 = 0

cã çc nghiÖm là λ1 = 1, λ2 = 2.

ø ng víi λ1 = 1 ta cã hÖ −2γ 1 − 2γ 2 = 03γ 1 + 3γ 2 = 0.

Chän nghiÖm γ 1 = 1, γ 2 = −1 ta ®-îc mét nghiÖm

x1 = et, y1 =

−et.

T-¬ng tù, víi λ2 = 2 ta còng t×m ®-îc nghiÖm

x2 = e2t, y2 = −3

2e2t.

VËy nghiÖm tæng qu¸t là x = C 1et + C 2e2t

y = −C 1et − 3

2C 2e2t,

trong ®ã C 1, C 2 là çc h»ng sè tuú ý.

WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



49

III. Ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng

1 Ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp mét

1.1 Kh i niÖm ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng

§Þnh nghÜa 1. Ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng là ph-¬ng tr×nh mà Èn cÇn t×m làmét hàm nhiÒu biÕn và nhÊt thiÕt ph¶i cã sù hiÖn diÖn cña ®¹o hµm riªng cña Èntrong ph-¬ng tr×nh.

VÝ dô. Çc ph-¬ng tr×nh sau ®©y là ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng∂ 2u

∂x∂y = x − y.

∂ 2u

∂x2 +

∂ 2u

∂y2 = f (x, y).

x∂u

∂y + y

∂u

∂x

2

= 0.

• D¹ng tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng là

F (x , y , . . . , u , ux, uy , . . .) = 0, (1)

trong ®ã x, y , . . . là çc biÕn ®éc lËp và u là hàm cña çc biÕn này và là Çnhàm cÇn t×m.

• Ta gäi nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng (1) là tÊt c¶ çc hàm u màtháa m·n ®¼ng thøc này. Ch¼ng h¹n, ph-¬ng tr×nh ®Çu tiªn trong vÝ dô trªncã nghiÖm là

u(x, y) = 1

2(x2y − xy2).

DÜ nhiªn nã còng cã nghiÖm là

u(x, y) = 1

2(x2y − xy2) + f (x) + g (y) ,

trong ®ã f và g là hai hàm tïy ý.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



50

• NghiÖm phô thuéc vào çc hàm tïy ý ®-îc gäi là nghiÖm tæng qu¸t cñaph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. NghiÖm riªng là nghiÖm nhËn ®-îc tõ nghiÖmtæng qu¸t víi çc biÓu thøc cô thÓ cña çc hàm tïy ý. NghiÖm kú dÞ lànghiÖm mà kh«ng chøa trong nghiÖm tæng qu¸t.

• Ta gäi cÊp cña ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng là cÊp cao nhÊt cña ®¹o hàm cãmÆt trong ph-¬ng tr×nh ®ã. Trong çc vÝ dô trªn, cÊp cña ph-¬ng tr×nh thø ba là mét, trong khi çc ph-¬ng tr×nh cßn l¹i cÊp hai.

• Ta nãi ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng (1) là tuyÕn tÝnh nÕu F là tuyÕn tÝnhtheo Èn hàm và çc ®¹o hàm riªng cña Èn hàm. Trong vÝ dô trªn, ph-¬ngtr×nh thø ba kh«ng tuyÕn tÝnh, trong khi çc ph-¬ng tr×nh cßn l¹i là tuyÕn

tÝnh.

1.2 Ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh c©p I

• D¹ng tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp I là:

a(x, y)ux + b(x, y)uy = c0(x, y)u + c1(x, y), (2)

trong ®ã çc hàm hÖ sè x¸c ®Þnh trªn miÒn D nào ®ã.

• Tæng qu¸t h¬n, nÕu sù phô thuéc vào u là phi tuyÕn, ta cã d¹ng tæng qu¸t

cña ph-¬ng tr×nh tùa tuyÕn tÝnh:a(x,y,u)ux + b(x,y,u)uy = c(x,y,u). (3)

VÝ dô. XÐt ph-¬ng tr×nhux = ku + d(x, y),

víi k là mét h»ng sè. NÕu xem y là tham sè, ta cã thÓ xÐt ph-¬ng tr×nh trªn nh- là ph-¬ng tr×nh vi ph©n th-êng theo x. NghiÖm tæng qu¸t khi ®ã cã d¹ng:

u(x, y) = ekx

C (y) +

e−kxd(x, y)dx

.

Ta cã thÓ xÐt bài to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu:

u(0, y) = f (y).

Khi ®ã nghiÖm riªng cã d¹ng:

u(x, y) = ekx

f (y) +

x0

e−ksd(s, y)ds

.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



51

NhËn xÐt. NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tïy vào ®iÒu kiÖn ban ®Çu cãthÓ kh«ng tån t¹i hoÆc nÕu tån t¹i cã thÓ kh«ng duy nhÊt. Ch¼ng h¹n, xÐt ph-¬ngtr×nh trªn khi d ≡ 0 víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu:

u(x, 0) = x.

NghiÖm cÇn t×m cã d¹ng u(x, y) = ekxC (y). Tõ ®ã

C (0) = xe−kx.

§iÒu này kh«ng thÓ v× vÕ tr¸i là h»ng sè trong khi vÕ ph¶i là hàm kh¸c h»ng sè.NÕu ®iÒu kiÖn ban ®Çu là:

u(x, 0) = e

kx

,th× C (0) = 1. Ta thÊy cã v« sè hàm C (y) tháa ®iÒu kiÖn nµy. Nãi çch kh¸c, bàito¸n víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu nhu vËy cã v« sè nghiÖm.

1.3 Phuong ph¸p ®Æc tr-ng

XÐt ph-¬ng tr×nh tùa tuyÕn tÝnh (3), gi¶ sö u = u(x, y) là mét nghiÖm cña nã.Khi ®ã ta gäi mÆt S trong kh«ng gian Oxyu cho bëi ph-¬ng tr×nh:

F (x,y,u) := u(x, y)− u = 0

là mÆt tÝch ph©n cña ph-¬ng tr×nh (3).Ta cã vector gradient cña F là ∇F = [ux, uy ,−1] trùc giao víi vector (a,b,c) v×:

∇F, (a,b,c) = aux + buy − c = 0.

V× vËy vector (a,b,c) ph¶i n»m trong mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt S t¹i nh÷ng®iÓm (x,y,u) mà vector gradient ∇F = 0.H-íng cña vector (a,b,c) ®-îc gäi lµ h-íng ®Æc tr-ng, chóng t¹o nªn mét tr-êngçc h-íng trªn mÆt S và cã thÓ m« t¶ hä ®-êng cong x¸c ®Þnh bëi chóng nh- sau: Gi¶ sö tham sè hãa ®-êng cong là

Γ : x = x(s), y = y(s), u = u(s).

Khi ®ã, x(s), y(s) và u(s) ph¶i tháa hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n:

dx

dt = a(x,y,u),

dy

dt = b(x,y,u),

du

dt = c(x,y,u). (4)

Çc ®-êng cong cho bëi hÖ ph-¬ng tr×nh (4) ®-îc gäi lµ ®êng cong ®Æc trng.§Ó x¸c ®Þnh mét ®-êng cong ®Æc tr-ng nào ®ã ta cÇn ®iÒu kiÖn ban ®Çu (x0, y0, u0)WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



52

và ta gäi ®ã lµ ®-êng cong ®Æc tr-ng ban ®Çu.V× mçi ®-êng cong ®Æc tr-ng (x(t), y(t), u(t)) di qua çc ®iÓm kh¸c nhau cña®-êng cong ban ®Çu Γ(s), nªn ta sÏ viÕt x = x(t, s), y = y(t, s), u = u(t, s). Khi®ã ®iÒu kiÖn ban ®Çu cã thÓ viÕt l¹i:

x(0, s) = x0(s), y(0, s) = y0(s), u(0, s) = u0(s) (5)

Xem s là tham sè, t là biÕn lÊy ®¹o hàm, ta cÇn gi¶i bài to¸n Cauchy sau ®©y:

xt = a(x,y,u), yt = b(x,y,u), ut = c(x,y,u),

víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu (5). NÕu ph-¬ng tr×nh là tuyÕn tÝnh, th× a, b kh«ng phô

thuéc vào u.

VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh

ux + uy = 2, tháa ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = x2.

Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng

xt(t, s) = 1, ytt(t, s) = 1, ut(t, s) = 2,

víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu tham sè hãa:

x(0, s) = s, y(0, s) = 0, u(0, s) = s2.

Tõ ®ã ta cã

x(t, s) = t + h1(s), y(t, s) = t + h2(s), u(t, s) = 2t + h1(s).

Çc hàm hi(t) ®-îc t×m tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu cho kÕt qña:

x(t, s) = t + s, y(t, s) = t, u(t, s) = 2t + s2.

VËy nghiÖm cÇn t×m làu(x, y) = 2y + (x− y)2.

2) Gi¶i ph-¬ng tr×nh u

x = 1 tho¶ ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(0, y) = g (y).Hoàn toàn t-¬ng tù nh- trªn, ta cã nghiÖm u(x, y) = x + g (y).

WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



53

2 Ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp II2.1 Çc ®Þnh nghÜa

Ta quan t©m ®Æc biÖt ®Õn líp çc ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp IIhai biÕn v× tÇm quan träng cña chóng trong çc øng dông thùc tiÔn. D¹ng tængqu¸t cña líp çc ph-¬ng tr×nh nhu vËy là

A∂ 2u

∂x2 + B

∂ 2u

∂x∂y + C

∂ 2u

∂y2 + D

∂u

∂x + E

∂u

∂y + F u = G, (6)

trong ®ã A, B , . . . là çc hàm theo x và y nh-ng kh«ng phô thuéc vào u. NÕuG = 0 ta gäi chóng là ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt, nÕu ng-îc l¹i, ta gäi ph-¬ng tr×nhkh«ng thuÇn nhÊt.

§Þnh lý 1 (Nguyªn lý chång chÊt nghiÖm). NÕu u1, u2, . . . là çc nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t-¬ng øng víi (6) th×

u1 + u2 + · · ·

còng là nghiÖm nÕu nã héi tô.

VÝ dô. XÐt ph-¬ng tr×nh ut = uxx, víi mçi n ∈ N, ta dÔ dàng kiÓm tra r»ng

un(x, t) = ane−n2t

sin nx là nghiÖm. VËy chuçi sau còng là nghiÖm, miÔn là nãhéi tô:∞n=1

ane−n2t sin nx

2.2 Ph©n lo¹i ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp II

Víi ph-¬ng tr×nh (6), ta xÐt biÖt thøc ∆ ®Þnh nghÜa bëi

∆(x, y) = B2 − 4AC. (7)

§Þnh nghÜa 2. Ph-¬ng tr×nh (6) ®-îc gäi lµ cã kiÓu

(H) Hyperbolic t¹ i (x0, y0) nÕu ∆(x0, y0) > 0,

(P) Parabolic t¹i (x0, y0) nÕu ∆(x0, y0) = 0,

(E) Elliptic t¹i (x0, y0) nÕu ∆(x0, y0) < 0.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



54

VÝ dô. 1) (Ph-¬ng tr×nh truyÒn sãng mét chiÒu)

utt = c2uxx (8)

(c2 gäi lµ hÖ sè truyÒn) là ph-¬ng tr×nh kiÓu (H) nÕu c = 0 và là kiÓu (P) nÕuc = 0.2) (Ph-¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt mét chiÒu)

ut = kuxx (9)

(k gäi là hÖ sè khuÕch t¸n nhiÖt) là ph-¬ng tr×nh kiÓu (P).3) (Ph-¬ng tr×nh Laplace)

∂ 2u

∂x2 +

∂ 2u

∂y2 = 0 (10)

là ph-¬ng tr×nh kiÓu (E) t¹i mçi d®iÓm (x, y).

2.3 D¹ng chÝnh t¾c

§èi víi ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp hai trong mÆt ph¼ng, lu«n tån t¹i çcphÐp biÕn ®æi b¶o toàn kiÓu cña ph-¬ng tr×nh ®Ó ®-a nã vÒ d¹ng ®¬n gi¶n nh?t.Çc d¹ng này ®-îc gäi lµ d¹ng chÝnh t¾c.

Trêng hîp hyperbolic ∆(x, y) > 0:Gi¶ sö ph-¬ng tr×nh dang xÐt tháa ∆(x, y) > 0,

∀(x, y)

∈Ω

⊂R2. XÐt phÐp ®æi

biÕn ξ = ξ (x, y)η = η(x, y),

trong ®ã çc hàm ξ và η cã çc ®¹o hàm riªng cÊp II liªn tôc trong Ω. Ta cã

ux = uξξ x + uηηx,uy = uξξ y + uηηy .

TiÕp tôc tÝnh çc ®¹o hàm riªng cÊp hai:

uxx = (uξξξ x + uξηηx)ξ x + uξξ xx + (uηξξ x + uηηηx)ηx + uηηxx

= uξξξ 2x + 2uξηηxξ x + uηηη2x + uξξ xx + uηηxx.

uxy = (uξξξ y + uξηηy )ξ x + uξξ xy + (uηξξ y + uηηηy )ηx + uηηxy

= uξξξ xξ y + uξη(ηxξ y + ηy ξ x) + uηηηxηy + uξξ xy + uηηxy .

uyy = (uξξξ y + uξηηy )ξ x + uξξ yy + (uηξξ y + uηηηy )ηy + uηηyy

= uξξξ 2y + 2uξηηy ξ y + uηηη2y + uξξ yy + uηηyy .WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



55

Thay vào (6) ta ®-îc ph-¬ng tr×nh:

a1(ξ, η)uξξ + 2b1(ξ, η)uξη + c1(ξ, η)uηη + F (ξ,η,u,uξ, uη) = 0, (11)

víi çc hÖ sè ®-îc tÝnh cô thÓ nh- sau:

a1(ξ, η) = aξ 2x + 2bξ xξ y + cξ 2y ,

b1(ξ, η) = aξ xηx + b(ξ xηy + ξ y ηx) + cξ y ηy ,

c1(ξ, η) = aη2x + 2bηxηy + cη2y .

BiÖt thøc cña ph-¬ng tr×nh míi liªn hÖ víi ph-¬ng tr×nh ®· cho bëi c«ng thøc

∆1(ξ, η) =

D(ξ, η)

D(x, y)

2∆(x, y). (12)

NÕu phÐp ®æi biÕn là kh«ng suy biÕn trªn Ω, tøc là

J := D(ξ, η)

D(x, y) =

ξ x ξ y ηx ηy

= ξ xηy − ξ y ηx = 0,

th× dÊu cña ∆ và ∆1 là gièng nhau. Nãi çch kh¸c, kiÓu cña ph-¬ng tr×nh kh«ngthay ®æi. C©u hái tù nhiªn là chän phÐp biÕn ®æi nào ®Ó cho (11) cã d¹ng ®¬n

gi¶n nhÊt.

MÖnh ®Ò 1. Gi¶ sö hàm z = ϕ(x, y) là mét nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh

az2x + 2bzxzy + cz2y = 0. (13)

Khi ®ã, hÖ thøc ϕ(x, y) = C (víi C là h»ng sè tïy ý) là nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n th-êng

ady2 − 2bdydx + cdx2 = 0. (14)

Ng-îc l¹i nÕu ϕ(x, y) = C là mét nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh (14), th× z = ϕ(x, y) là mét nghiÖm riªng cña (13).

Chøng minh. Dành cho b¹n ®äc.

Theo mÖnh ®Ò trªn, ta xÐt ph-¬ng tr×nh

ay2− 2by + c = 0.WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



56

Do ∆ = b2− ac > 0 nªn ta thu ®-îc y

= b±√

∆

a . Gi¶ sö hai nghiÖm tæng qu¸tt-¬ng øng cña nã là

ϕ1(x, y) = C 1 và ϕ2(x, y) = C 2.

V× r»ng

−ϕix

ϕiy = y (x) =

b±√

∆

a (i = 1, 2),

nªn ta cãD(ϕ1, ϕ2)

D(x, y) =

ϕ1x ϕ1y

ϕ2x ϕ2y

= 0; ∀(x, y) ∈ Ω.

Do ®ã nÕu ®Æt ξ = ϕ1(x, y)η = ϕ2(x, y),

th× J = 0 víi mçi (x, y) ∈ Ω (phÐp biÕn ®æi kh«ng suy biÕn) và trong (11) ta cãa1 = 0 = c1.§Ó ý r»ng khi ®ã ∆1 > 0 nªn b1 = 0. Tõ ®ã, (11) cã thÓ viÕt l¹i d-íi d¹ng chÝnht¾c

uξη = G(ξ,η,u,uξ, uη). (15)

§©y là d¹ng chÝnh t¾c cña ph-¬ng tr×nh hyperbolic trong mÆt ph¼ng.

Trong (15), nÕu tiÕp tôc ®æi biÕn ξ = α + β η = α − β

th× thu ®-îc ph-¬ng tr×nh

uαα − uββ = G(α,β,u,uα, uβ ). (16)

§©y còng là mét d¹ng chÝnh t¾c cña ph-¬ng tr×nh hyperbolic.

VÝ dô. 1) §-a ph-¬ng tr×nh sau vÒ d¹ng chÝnh t¾c:

∂ 2u∂x2

− 2sin x ∂ 2u∂x∂y

− cos2 x ∂ 2u∂y2

− cos x∂u∂y

= 0.

Trêng hîp parabolic ∆(x, y) = 0:Gi¶ sö ∆(x, y) = b2 − ac = 0 víi mçi (x, y) ∈ Ω. NÕu a = 0 ph-¬ng tr×nh viph©n (14) chØ cã mét nghiÖm là

y = b

a.WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



57

Gi¶i ph-¬ng tr×nh này ta t×m ®-îc mét hä nghiÖm tæng qu¸t là

ϕ(x, y) = C.

§Ó cã phÐp ®æi biÕn ta t×m thªm mét hàm ψ(x, y) kh¶ vi liªn tôc cÊp II sao cho

D(ϕ, ψ)

D(x, y) = 0 ∀(x, y) ∈ Ω.

Khi ®ã, víi phÐp ®æi biÕn ξ = ϕ(x, y)η = ψ(x, y),

ta cã J = 0 và a1 = 0.Bëi v× ∆1 = J 2∆ = 0 nªn b1 = 0 (và do ®ã c1 = 0). Chia hai vÕ cña (11) cho c1ta ®-îc ph-¬ng tr×nh

uηη = G(ξ,η,u,uξ, uη). (17)

Ph-¬ng tr×nh này ®-îc gäi lµ d¹ng chÝnh t¾c cña ph-¬ng tr×nh parabolic trongmÆt ph¼ng. Râ ràng nÕu a = 0, ta cã ngay d¹ng (17).2) §-a ph-¬ng tr×nh

x2∂ 2u

∂x2 + 2xy

∂ 2u

∂x∂y + y2

∂ 2u

∂y2 = 0

vÒ d¹ng chÝnh t¾c råi gi¶i nã víi ®iÒu kiÖn biªn

u(x, 0) = 0∂u

∂y(x, 0) = 1 +

1

x

3 Çc ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp

II c¬ b¶n

3.1 Bài to¸n gi¸ trÞ biªn và gi¸ trÞ ban ®Çu

T-¬ng tù nh- ph-¬ng tr×nh vi ph©n th-êng, ta t×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®¹ohµm riªng tháa mét sè ®iÒu kiÖn nào ®ã. Ch¼ng h¹n, nÕu xÐt nghiÖm u = u(x, t)cña çc ph-¬ng tr×nh (8) và (9), th× biÕn t cã thÓ xem nhu thêi gian và x cã thÓxem nh- vÞ trÝ. Khi ®ã çc ®iÒu kiÖn d¹ng sau ®©y cã ý nghÜa nhÊt ®Þnh øng víitªn gäi cña chóng.

• u(0, t) = ϕ(t) : ®iÒu kiÖn biªn t¹i x = 0,WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



58

• u(L, t) = ψ(t) : ®iÒu kiÖn biªn t¹i x = L (L > 0),

• u(x, 0) = f (x) : ®iÒu kiÖn ban ®Çu t¹i t = 0,

• ∂u

∂t(x, 0) = g (x) : ®iÒu kiÖn (vËn tèc) ban ®Çu t¹i t = 0.

NÕu çc hàm ë vÕ ph¶i b»ng kh«ng, th× ta cã ®iÒu kiÖn biªn thuÇn nhÊt. Bài to¸nt×m ngiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tháa çc ®iÒu kiÖn biªn ®-îc gäi lµbài to¸n gi¸ trÞ biªn; tháa çc ®iÒu kiÖn ban ®Çu ®-îc gäi lµ bài to¸n gi¸ trÞban ®Çu (hay bài to¸n Cauchy). Bài to¸n t×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®¹o hµmriªng tháa võa ®iÒu kiÖn biªn võa ®iÒu kiÖn ban ®Çu ®-îc gäi lµ bài to¸n hçn hîp.

VÝ dô. XÐt ph-¬ng tr×nh ∂u

∂t =

∂u

∂x. NghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh này là

(dïng ph-¬ng ph¸p t¸ch biÕn)

u(x, t) = AeB(x+t).

Víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = 2e−x, ta cã nghiÖm là

u(x, t) = 2e−(x+t).

3.2 Ph-¬ng ph¸p t¸ch biÕn gi¶i ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªngTrong rÊt nhiÒu tr-êng hîp, nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (6) cã thÓ cho d-íi d¹ngu(x, y) = X (x)Y (y), trong ®ã X (x) và Y (y) là nh÷ng hàm mét biÕn.

VÝ dô. T×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh sau b»ng ph-¬ng ph¸p t¸ch biÕn:

∂u

∂x +

∂ u

∂y = 0.

Xem nghiÖm u(x, y) = X (x)Y (y), thay vµo ph-¬ng tr×nh ®· cho

X (x)Y (y) + Y (y)X (x) = 0.

Kh«ng xÐt tr-êng hîp tÇm th-êng, ph-¬ng tr×nh cã thÓ viÕt d-íi d¹ng

X (x)

X (x) = −Y (y)

Y (y).WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



59

Mçi vÕ là hàm theo mét biÕn ®éc lËp kh¸c nhau nªn ®¼ng thøc chØ x¶y ra khitõng vÕ là h»ng sè; ký hiÖu là λ. Khi ®ã ta cã hÖ

X (x)

X (x) = λ,

Y (y)

Y (y) = −λ.

Çc ph-¬ng tr×nh này cã nghiÖm là

X = Aeλx, Y = Be−λy .

VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là

u(x, y) = C eλ(x−y ).

3.3 Ph-¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt mét chiÒu

XÐt thanh dÉn nhiÖt cã chiÒu dài L, víi hÖ sè truyÒn khuÕch t¸n k > 0. Gäi nhiÖt®é t¹i vÞ trÝ x và thêi ®iÓm t là u(x, t). Gi¶ sö nhiÖt ®é t¹i hai ®Çu mót cña thanhb»ng kh«ng. Khi ®ã, u tháa:

∂u

∂t = k∂ 2u

∂x2 , 0 < x < L t > 0

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 t > 0

u(x, 0) = f (x),

(18)

trong ®ã f (x) là ph©n bè nhiÖt ®é ban ®Çu cña thanh.Ta t×m nghiÖm u(x, t) cña bài to¸n này d-íi d¹ng t¸ch biÕn u(x, t) = X (x)T (t).Thay vào ph-¬ng tr×nh ta ®-îc

kX (x)T (t) = X (x)T (t),

hay X (x)

X (x) =

T (t)

kT (t).

Lý luËn nh- trªn, c¶ hai vÕ ph¶i là h»ng sè. Gäi h»ng sè này là −λ, ta cã

X + λX = 0, (19)

T + kλT = 0. (20)WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



60

NÕu λ = 0, ph-¬ng tr×nh (19) cã nghiÖm là ®-êng th¼ng, nh-ng t¹i hai ®Çu mótX (0) = 0 = X (L), nªn nghiÖm ®ã tÇm th-êng . Ta lo¹i tr-êng hîp này. NÕuλ < 0, ph-¬ng tr×nh (20) cã nghiÖm là T (t) = C e−kλt. Khi ®ã u(x, t) →∞ khit →∞; ®iÒu này kh«ng phï hîp víi hiÖn t-îng thùc tÕ.VËy λ > 0 và khi ®ã ph-¬ng tr×nh (19) cã nghiÖm là

X (x) = C 1 cos√

λx + C 1 sin√

λx.

Tõ ®iÒu kiªn biªn X (0) = 0 = X (L), ta cã

λn = n2π2/L2, n = 1, 2, . . .

t-¬ng øng víi nghiÖm

X n(x) = cn sin(nπx/L).§ång thêi nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (20) là

T n(t) = dne−kn2π 2t/L2

.

Theo nguyªn lý chång chÊt nghiÖm, nghiÖm tháa ®iÒu kiªn biªn cña bài to¸n (18)là

u(x, t) =∞n=1

bne−kn2π 2t/L2

sin(nπx/L).

Çc hÖ sè bn ®-îc t×m nhê ®iÒu kiªn ban ®Çu u(x, 0) = f (x); và thùc chÊt chónglà hÖ sè Fourier cña khai triÓn Fourier cña hàm f (x) trªn ®o¹n [

−L, L]

f (x) =∞n=1

bn sin(nπx/L). (21)

C«ng thóc tÝnh bn là

bn = 2

L

L 0

f (x)sin(nπx/L)dx (22)

NhËn xÐt. NÕu cho tr-íc khai triÓn Fourier cña f , ®Æc biÖt nÕu f cã d¹ng tæhîp cña çc hàm sin(nπx/L), th× ®Ó t×m bn ta cã thÓ ®ång nhÊt çc hÖ sè trong (21).

VÝ dô. Gi¶i bài to¸n hçn hîp

∂u

∂t =

∂ 2u

∂x2, 0 < x < π , t > 0

u(0, t) = 0 = u(π, t),

u(x, 0) = sin x cos xWWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



61

Gi¶i: LËp l¹i çc b-íc trªn víi L = π và k = 1, ta thu ®-îc b2

= 1/2, bn

=0,∀n = 2. VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là

u(x, t) = 1

2e−4t sin2x.

NhËn xÐt. NÕu ®iÒu kiÖn biªn và ®iÒu kiÖn ban ®Çu thay ®æi, ta còng cã thÓ gi¶ibài to¸n hçn hîp víi cïng ph-¬ng ph¸p nhu trªn. Ch¼ng h¹n ®èi víi thanh dÉncã hai ®Çu çch nhiÖt, ®iÒu kiÖn biªn ph¸t biÓu nh- sau

∂u

∂x(0, t) = 0,

∂u

∂x(L, t) = 0 , t > 0.

Dïng ph-¬ng ph¸p t¸ch biÕn, ta thu ®-îc nghiÖm

X (x) = C 1 cos√

λx + C 1 sin√

λx ,

víi ®iÒu kiÖnX (0) = 0, X (L) = 0.

Lý luËn t-¬ng tù nh- tr-êg hîp trªn, ta cã

λn = n2π2/L2, n = 0, 1, 2, . . .

và X n(x) = cos(nπx/L).

VËy nghiÖm cã d¹ng

u(x, t) = a0

2 +

∞n=1

ane−kn2π 2t/L2

cos(nπx/L) .

Çc hÖ sè an ®-îc t×m nhê vào ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = f (x) và chóng chÝnhlà çc hÖ sè Fourier cña f (x) khai triÓn theo hàm cosin:

an = 2L

L 0

f (x)cos(nπx/L)dx (23)

WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



62

3.4 Ph-¬ng tr×nh truyÒn sãng mét chiÒu

XÐt mét d©y ®µn håi cã chiÒu dài L buéc chÆt ë hai ®Çu. Gi¶ sö d©y n»m ngang,ta sÏ m« t¶ chuyÓn ®éng cña d©y trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng tõ vÞ trÝ c©n b»ngt¹i thêi ®iÓm t = 0.Chän trôc x làm trôc täa ®é, gäi u(x, t) là chuyÓn dÞch cña d©y và T (x, t) là søcc¨ng cña d©y t¹i vÞ trÝ x và thêi ®iÓm t. XÐt mét ®o¹n d©y ®ñ nhá gi÷a x vàx + ∆x. Gi¶ thiÕt d©y ®àn håi, khi ®ã çc lùc t¸c ®éng lªn d©y bao gåm søc c¨ngdäc theo d©y (cã ph-¬ng tiÕp xóc víi d©y) và träng lùc. HÖ sè gãc cña d©y chobëi

tan θ = lim∆x→0

u(x + ∆x, t)− u(x, t)

∆x =

∂u

∂x.

Tæng çc lùc t¸c ®éng lªn ®o¹n d©y là

T (x + ∆x, t)sin θ(x + ∆x, t)− T (x, t)sin θ(x, t) + ρ(x)∆xQ(x, t),

trong ®ã ρ là khèi l-îng riªng cña d©y và Q(x, t) là thành phÇn th¼ng ®øng cñaträng lùc trªn mçi ®¬n vÞ khèi l-îng. Theo ®Þnh luËt Newton:

F = ma = ρ(x)∆x∂ 2u

∂t2,

ta cã

ρ(x)utt = ∂ ∂x

[T (x, t)sin θ(x, t)] + ρ(x)Q(x, t).

NÕu gãc θ nhá, ta cã sin θ ≈ tan θ và gi¶ sö søc c¨ng T (x, t) ∼= T 0, ®ång thêiQ(x, t) ∼= 0, ta cã thÓ viÕt ph-¬ng tr×nh trªn d-íi d¹ng

utt = c2uxx, (24)

víi c2 := T 0

ρ ®-îc gäi lµ hÖ sè truyÒn.

Ph-¬ng tr×nh (24) ®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nh truyÒn sãng. Trong tr-êng hîp haichiÒu, nã cã d¹ng

∂ 2

u∂t2

= c2∂ 2

u∂x2 + ∂

2

u∂y2 .

§iÒu kiÖn biªn: Trong khi gi¶i ph-¬ng tr×nh truyÒn sãng, ta th-êng x¸c dÞnh çc®iÒu kiÖn biªn hoÆc ®iÒu kiÖn ban ®Çu. NÕu d©y bÞ buéc chÆt t¹i mét ®Çu mót víi®é lÖch kh«ng, ta cã ®iÒu kiÖn biªn

u(0, t) = 0 hay u(L, t) = 0. (25)WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



63

Ta còng cã thÓ xÐt çc ®iÒu kiÖn ban ®Çu

u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g (x). (26)

Hai ®iÒu kiÖn này m« t¶ chuyÓn vÞ cña d©y và vËn tèc ban ®Çu cña d©y t¹i thêi®iÓm ban ®Çu t = 0.a) Gi¶i bài to¸n Cauchy- C«ng thøc D'Alembert:Ta t×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (24) tháa (26). Trong (24) ta ®-a vào hai biÕn®éc lËp míi

ξ := x − ct ; η := x + ct.

Khi ®ã ph-¬ng tr×nh (24) ®-a vÒ d¹ng chÝnh t¾c:

∂ 2u

∂ξ∂η(ξ, η) = 0 .

VËy nghiÖm tæng qu¸t làu = ϕ(ξ ) + ψ(η) ;

hay, víi biÕn cò, ta cã

u(x, t) = ϕ(x− ct) + ψ(x + ct) .

§iÒu kiÖn ban ®Çu cho ta

ϕ(x) + ψ(x) = f (x) và − ϕ(x) + ψ(x) = 1

cg (x) .

Tõ çc ®¼ng thøc này cã thÕ t×m ®-îc ϕ và ψ theo f và g .Cô thÓ ta cã

ϕ(x) = 1

2

f (x)− 1

c

x0

g (s)ds

,

ψ(x) = 1

2

f (x) +

1

c

x0

g (s)ds

.

Do ®ã nghiÖm cña bài to¸n Cauchy cho bëi c«ng thøc (D'Alembert) sau ®©y

u(x, t) = 1

2[f (x− ct) + f (x + ct)] +

1

2c

x+ct0

g (s)ds− x−ct0

g (s)ds

.

b) Gi¶i bài to¸n hçn hîp: Trong phÇn này ta xÐt bài to¸n m« t¶ s- dao ®éngcña d©y cè ®Þnh hai ®Çu víi dÞch chuyÓn ban ®Çu kh¸c kh«ng. Cô thÓ h¬n, xÐtWWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



64

bài to¸n

∂ 2u∂t2

= c2∂ 2u∂x2

, 0 < x < L, t > 0

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0

u(x, 0) = f (x), ∂u

∂t(x, 0) = g (x), x ∈ [0, L]

(27)

Ta dïng ph-¬ng ph¸p t¸ch biÕn ®Ó gi¶i bài to¸n này. Tr-íc hÕt gi¶ sö g (x) ≡ 0(tøc là vËn tèc ban ®Çu cña d©y b»ng kh«ng). Gi¶ sö

u(x, t) = X (x)T (t) .

Thay vào (27), ta thu ®-îcX

X =

T

c2T = −λ,

trong ®ã λ là h»ng sè. Tõ ®ã, çc hàm X (x) và T (t) tháa ph-¬ng tr×nh

X + λX = 0 (28)

T + c2λT = 0, (29)

víi çc ®iÒu kiÖn

X (0) = 0, X (L) = 0 và T

(0) = 0 .

Gi¶i ph-¬ng tr×nh (28), cïng víi çc ®iÒu kiÖn biªn, råi gi¶i ph-¬ng tr×nh (29)víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu T (0) = 0, ta thu ®-îc

λn = n2π2/L2, n = 1, 2, 3, . . .

và

X n(x) = cn sin(nπx/L), T n(t) = dn cos nπct

L .

VËy nghiÖm cña bài to¸n cã d¹ng

u(x, t) =∞n=1

An sin nπxL

cos nπctL

.

Çc hÖ sè An ®-îc tÝnh to¸n nhê vào dÞch chuyÓn ban ®Çu

u(x, 0) =

∞n=1

An sin nπx

L = f (x),WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



65

và ta thu ®-îc c«ng thøc

An = 2

L

L 0

f (x)sin nπx

L dx (30)

Tr-êng hîp dÞch chuyÓn ban ®Çu f = 0, nh-ng vËn tèc ban ®Çu g = 0, bàito¸n ®-îc gi¶i quyÕt hoàn toàn t-¬ng tù nh-ng víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu T (0) = 0.NghiÖm cña bài to¸n cã d¹ng

u(x, t) =∞

n=1 Bn

sin nπx

L sin

nπct

L ,

trong ®ã çc Bn ®-îc tÝnh to¸n dùa vào vËn tèc ban ®Çu

∂u

∂t(x, 0) =

∞n=1

Bnnπc

L sin

nπx

L = g (x) .

Do ®ã

Bnnπc

L =

2

L

L 0

g (x)sin(nπx/L)dx (31)

NhËn xÐt. Trong tr-êng hîp tæng qu¸t, f và g ®Òu kh¸c kh«ng, ta cã thÓ t¸chthành hai bài to¸n t-¬ng øng víi f = 0, g = g và f = f , g = 0 råi lÊy tæng çcnghiÖm cña hai bài to¸n này.

VÝ dô. Gi¶i bài to¸n hçn hîp

∂ 2u

∂t2 = 4

∂ 2u

∂x2, 0 < x < π, t > 0

u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t > 0

u(x, 0) = 0, ∂u

∂t (x, 0) = sin x, x ∈ [0, π]

Gi¶i: Trong vÝ dô này L = π , c2 = 4 f = 0 và g = sin x. LËp l¹i çc b-íc trªnta cã nghiÖm

u(x, t) =∞n=1

Bn sin nx sin2nt .WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



66

Khi ®ã∂u

∂t(x, 0) =

∞n=1

Bn2n sin nx = sin x.

Tõ ®ã B1 = 1/2, Bn = 0, víi n > 1. VËy nghiÖm cña bài to¸n là

u(x, t) = 1

2 sin x sin2t . (32)

3.5 Ph-¬ng tr×nh Laplace:

Trong phÇn này ta xÐt ph-¬ng tr×nh Laplace

∂ 2u

∂x2 +

∂ 2u

∂y2 = 0, (33)

trong miÒn D ⊂ R2 víi çc ®iÒu kiÖn biªn cho trªn biªn cña D.

NÕu bài to¸n víi ®iÒu kiÖn biªn là gi¸ trÞ cña nghiÖm trªn biªn cña D, th× ta gäilà bài to¸n Dirichlet; nÕu ®iÒu kiÖn biªn là gi¸ trÞ cña® ¹o hàm cña nghiÖm trªnbiªn cña D, ta gäi là bài to¸n Neumann. Sau ®©y ta chØ xÐt bài to¸n Dirichlettrªn miÒn D cã d¹ng ®Æc biÖt.

a) Bài to¸n Dirichlet trªn h×nh ch÷ nhËt:

XÐt ph-¬ng tr×nh (33) trªn h×nh ch÷ nhËt 0 < x < a, 0 < y < b víi çc ®iÒu kiÖnbiªn

u(x, 0) = 0,

u(0, y) = 0,

u(x, b) = 0,

u(a, y) = g (y),

0 < x < a,

0 y b.

Dïng ph-¬ng ph¸p t¸ch biÕn u(x, y) = X (x)Y (y), ta thu ®-îc

X

X = −Y

Y = λ,

trong ®ã λ là h»ng så. Tõ ®ã ta cã çc ph-¬ng tr×nh vi ph©n

X − λX = 0, (34)Y + λY = 0. (35)

Gi¶i ph-¬ng tr×nh (35) víi ®iÒu kiÖn Y (0) = 0 = Y (b) ta thu ®-îc

λn = n2π2/b2, n = 1, 2, 3, . . . ; Y n(y) = γ n sin nπy

b .WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



67

Gi¶i ph-¬ng tr×nh (34) víi λ võa t×m ®-îc và ®iÒu kiÖn X (0) = 0 ta thu ®-îc 1

X n(x) = β n sinh nπx

b .

VËy nghiÖm cña bài to¸n cho bëi

u(x, y) =∞n=1

C n sinh nπx

b sin

nπy

b ,

trong ®ã çc hÖ sè C n ®-îc x¸c ®Þnh nhê ®iÒu kiÖn biªn cuèi cïng

u(a, y) =∞n=1

C n sinh nπab

sin nπyb

= g (y).

V× vËy

C n sinh nπa

b =

2

b

b 0

g (y)sin nπy

b dy (36)

NhËn xÐt. Víi ®iÒu kiÖn biªn kh¸c kh«ng g cho trªn çc c¹nh kh¸c cña h×nh ch÷ nhËt ta còng xö lý hoàn toàn t-¬ng tù.

VÝ dô. Gi¶i bài to¸n Dirichlet cho ph-¬ng tr×nh Laplace trªn h×nh ch÷ nhËt0 < x < π, 0 < y < π, víi ®iÒu kiÖn

u(x, 0) = 0,

u(0, y) = 0,

u(x, π) = 0,

u(π, y) = sin y,

0 < x < π,

0 y π.

Gi¶i: LËp l¹i çc b-íc trªn ta t×m ®-îc çc hÖ sè C n nh- sau

C n sinh nπ = 2

π

π 0

sin y sin nydy =

0, n = 11, n = 1

VËy nghiÖm cña bài to¸n là

u(x, y) = 1

sinh π sinh x sin y

1Hàm sè sinh(x) (®äc là sin-hyperbolic) ®Þnh nghÜa bë i sinh(x) = ex− e

−x

2 .WWW D

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M



68

b) Bài to¸n Dirichlet trong h×nh trßn:XÐt ph-¬ng tr×nh Laplace trªn h×nh trßn t©m O(0, 0), b¸n kÝnh ρ. Gi¶ sö ®iÒukiÖn biªn trªn biªn cña h×nh trßn này cho bëi

ux2+y 2=ρ2

= u(ρ, θ) = f (θ) , 0 ≤ θ ≤ 2π ; (37)

trong ®ã f (θ) ®-îc gi¶ thiÕt là hàm tuÇn hoàn víi chu kú 2π.Trong täa ®é cùc (r, θ), ph-¬ng tr×nh Laplace (33) cã d¹ng

∂ 2u

∂r2 +

1

r

∂u

∂r +

1

r2∂ 2u

∂θ2 = 0 .

Dïng ph-¬ng ph¸p t¸ch biÕn

u(r, θ) = R(r)Θ(θ),

ta thu ®-îc

RΘ + 1

rRΘ +

1

r2RΘ = 0.

Lý luËn hoàn toàn t-¬ng tù nh- trªn, ta cã

r2R

R + r

R

R = −Θ

Θ = λ ,

trong ®ã λ là h»ng så. Cuèi cïng, ta thu ®-îc çc ph-¬ng tr×nh

r2R + rR − λR = 0 (38)

Θ + λΘ = 0. (39)

Víi gi¶ thiÕt r»ng nghiÖm u(r, θ) cña bài to¸n bÞ chÆn trªn h×nh trßn và là hàmtuÇn hoàn theo θ víi chu kú 2π, hàm Θ(θ) còng ph¶i tuÇn hoàn cïng chu kú vàR(r) còng ph¶i bÞ chÆn. §iÒu kiÖn tuÇn hoàn cña nghiÖm cña (39) cho ta

λ = λn = n2; n = 0, 1, 2, . . . ,

øng víi nghiÖmΘn = cn cos nθ + dn sin nθ.

Trong khi ®ã, (39) là ph-¬ng tr×nh Euler cã nghiÖm là

R(r) = αnrn + β nr−n,WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



69

øng víi n > 0 và là tæ hîp cña h»ng sè và ln r nÕu n = 0. VËy, vêi λn

ë trªn,nghiÖm bÞ chÆn cã d¹ng tæng qu¸t là

u(r, θ) = a0

2 +

∞n=0

rn(an cos nθ + bn sin nθ) (40)

Çc hÖ sè an, bn ®-îc x¸c ®Þnh nhê vào ®iÒu kiÖn trªn biªn

u(ρ, θ) = a0

2 +

∞n=0

ρn(an cos nθ + bn sin nθ) = f (θ) .

§Æc biÖt, nÕu xÐt khai triÓn Fourier trªn [0, π] th× çc hÖ sè này cho bëi c«ng thøc

ρnan = 1

π

2π 0

f (θ)cos nθdθ, n = 0, 1, 2, . . .

ρnbn = 1

π

2π 0

f (θ)sin nθdθ, n = 1, 2, . . .

VÝ dô. Gi¶i bài to¸n Dirichlet trong h×nh trßn t©m O, b¸n kÝnh ρ = 2

∂ 2u

∂x2 +

∂ 2u

∂y2 = 0, u

x2+y 2=22

= −4xy2.

Gi¶i: §æi biÕn x = r cos t, y = r sin t. Khi ®ã nghiÖm tæng qu¸t cho bëi

u(r, t) = a0

2 +

∞n=0

rn(an cos nt + bn sin nt).

Dùa vào ®iÒu kiÖn biªn

u(2, t) = −4xy2 = −32 cos t sin2 t = 8(cos 3t− cos t) ,

ta t×m ®-îcbk = 0, ∀k, a3 = 1, a1 = −4, a j = 0, j = 1, 3.

Do ®ã, ta ®-îc nghiÖm

u(r, t) = r3 cos3t− 4r cos t .

Trë vÒ biÕn ban ®Çu ta ®-îc u(x, y) = x3 − x(4 + 3y2).WWW D YK

EMQUYN

HON UCO

Z COM



Tµi liÖu tham kh¶o

[1] NguyÔn §×nh TrÝ, T¹ V¨n §Ünh, NguyÔn Hå Quúnh, To¸n häc cao cÊp, TËp 1, 2, 3,NXB GD - 1998.

[2] Danco P.E, Popov AS.G, Kozehevnikova T.YA., Higher mathematics in problems andexcercises, Part 1, Part 2, English translation, Mir Publishers-1983.

[3] Hoµng H÷u §− êng, Vâ §øc T«n, NguyÔn ThÕ Hoµn, Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n, NXB§H&THCN 1967.

[4] NguyÔn Thõa Hîp, Gi¸o tr×nh ph− ¬ng tr×nh §¹o hµn riªng, TËp 1, NXB §H&THCN1975.

[5] Jean-Marie Monier, Gi¶i tÝch 2, 3, 4, NXBGD 2001.

[6] H. Cartan, PhÐp tÝnh vi ph©n - Çc d¹ng vi ph©n, NXB §H&THCN, Hµ Néi 1980.

[7] M. Spivak, Gi¶i tÝch trªn ®a t¹p, NXB §H&THCN, Hµ Néi 1985.

[8] R.Goderment, Algebra, Hermann 1968.

[9] Sze-Tsen Hu, §¹i sè tuyÕn tÝnh vµ ph− ¬ng tr×nh vi ph©n, NXB §H&THCN 1979.

[10] S.Lang, Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Company 1970.

[11] J-M.Monier, §¹i sè 1, NXB GD 2000.

YKEMQ

UYNHON

UCOZ CO

M

Documents

Bài giảng Toán cao cấp C2 Tác giả: Đỗ Nguyên Sơn - Trịnh Đức Tài, Trường Đại học Đà Lạt, 2008