Bài giảng Xác suất thống kê Tác giả: Phạm Trí Cao, Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM, 2009

ThS. Phaïm Trí Cao * Giôùi thieäu

1

1

CHÖÔNG TRÌNH HOÏCXAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

HEÄ ÑAÏI HOÏC CHÍNH QUY

Soá tieát: 60

Soá buoåi: 12

2

TAØI LIEÄU THAM KHAÛO* Baøi taäp XSTK. Leâ Khaùnh Luaän & Nguyeãn Thanh Sôn& Phaïm Trí Cao. NXB ÑH Quoác Gia 2009.

Quyeån hoïc chính

* Saùch XSTK. Leâ Khaùnh Luaän & Nguyeãn Thanh Sôn.NXB Thoáng keâ 2007.

* Saùch XSTK. Boä moân Toaùn kinh teá, ÑH Kinh teáTP.HCM 2007.

* Saùch XSTK luyeän thi cao hoïc. Boä moân Toaùn kinh teá,ÑH Kinh teá TP.HCM 2007.

* Caùc saùch veà XSTK (daønh cho khoái ngaønh kinh teá).

Treân lôùp daïy lyù thuyeát “döøa ñuû xoaøi” ñeå laøm baøi taäp.

3

CHÖÔNG TRÌNH HOÏC

Phaàn 1: XAÙC SUAÁT

Chöông 0: Giaûi tích toå hôïp

Chöông 1: Xaùc suaát cuûa bieán coá

Chöông 2: Ñaïi löôïng ngaãu nhieân vaø haøm cuûaÑLNN

Chöông 3: Caùc quy luaät phaân phoái xaùc suaát

Chöông 4: Ñaïi löôïng ngaãu nhieân 2 chieàu

4

CHÖÔNG TRÌNH HOÏC (tt)

Phaàn 2: THOÁNG KEÂ

Chöông 5: Maãu vaø tham soá maãu

Chöông 6: Öôùc löôïng tham soá cuûa ÑLNN

*Öôùc löôïng giaù trò trung bình

* Öôùc löôïng tyû leä

* Öôùc löôïng phöông sai

www.daykemquynhon.ucoz.com

ThS. Phaïm Trí Cao * Giôùi thieäu

2

5

CHÖÔNG TRÌNH HOÏC (tt)

Chöông 7: Kieåm ñònh giaû thieát thoáng keâ

KIEÅM ÑÒNH THAM SOÁ

*Kieåm ñònh giaù trò trung bình

*Kieåm ñònh tyû leä

*Kieåm ñònh phöông sai

KIEÅM ÑÒNH PHI THAM SOÁ

*Kieåm ñònh quy luaät phaân phoái xaùc suaát

*Kieåm ñònh tính ñoäc laäp6

HÌNH THÖÙC TÍNH ÑIEÅM

Kieåm tra giöõa kyø: 30% ñieåmThi keát thuùc hoïc phaàn: 70% ñieåm

Ngaøy kieåm tra cuï theå, noäi dung kieåm tra seõñöôïc thoâng baùo tröôùc 1 tuaàn.

Trong quaù trình hoïc, neáu sinh vieân traû lôøi caùccaâu hoûi vaø laøm baøi taäp ñuùng thì seõ coäng ñieåmvaøo phaàn 30%.


ThS. Phaïm Trí Cao * Bình loaïn XSTK 2007

1

BÌNH LOAÏN XSTK

Caùc baïn thaân meán!

Baïn ñang xem taäp baøi giaûng XSTK, version 2.1 cuûa toâi. Taäp baøi giaûng naøy ñöôïc bieân

soaïn laàn ñaàu vaøo 4/1/2007, luùc ñaàu toâi chæ döï ñònh bieân soaïn nhöõng noäi dung chính ñeå giaûng

daïy maø thoâi. Nhöng trong quaù trình giaûng daïy thì chính nhöõng thaéc maéc, caâu hoûi cuûa caùc baïn,

vaø caû nhöõng ñieàu ngoä nhaän cuûa caùc baïn veà lyù thuyeát khieán toâi quyeát ñònh boå sung theâm caùc

thí duï nhaèm giuùp caùc baïn phaàn naøo hieåu roõ hôn lyù thuyeát. Toâi mong muoán soaïn taäp baøi giaûng

naøy theo höôùng sao cho baïn coù theå töï ñoïc hieåu noù ôû nhaø maø khoâng caàn phaûi tôùi lôùp hoïc, neáu

coù baïn naøo laøm ñöôïc vieäc naøy thì ñoù chính laø ñieàu haïnh phuùc nhaát ñoái vôùi toâi!

Trong quaù trình bieân soaïn khoâng traùnh khoûi nhöõng thieáu soùt, nhaát laø sai soùt daïng

copy.com, raát mong nhaän ñöôïc söï goùp yù cuûa caùc baïn, söï ñoùng goùp yù kieán cuûa caùc baïn seõ giuùp

cho caùc version sau ngaøy caøng hoaøn thieän hôn. Coù baïn thaéc maéc taïi sao toâi cöù update file baøi

giaûng lieân tuïc vaäy, toâi cuõng khoâng bieát laø baøi giaûng seõ “phình to” ra tôùi ñaâu, tuy nhieân coù moät

ñieàu chaéc chaén laø noù caøng phình to ra thì baïn ñoïc noù seõ caøng deã hieåu hôn! He he.

Moät soá baïn thaéc maéc laø taïi sao toâi khoâng ñöa ra ñeà thi maãu roài giaûi, coù baïn noùi raèng coù

ngöôøi phaùt bieåu “chæ caàn hoïc 6 buoåi giaûng ñeà thi maãu XSTK laø ñuû”, vaø taïi sao toâi khoâng laøm

theo höôùng ñoù. Neáu coù ai laøm ñöôïc ñieàu ñoù thì ñuùng laø baäc cao nhaân ñaéc ñaïo roài! Xin baùi laøm

sö ... toå!

Baïn ôi, baïn haõy xem XSTK nhö cuoäc ñôøi vaäy, noù ñoøi hoûi baïn phaûi “töï caûm nhaän” noù

chöù khoâng phaûi laøm theo moät khuoân maãu naøo heát. Neáu baïn laø ngöôøi ñaõ traûi qua nhöõng thaêng

traàm cuûa cuoäc ñôøi thì baïn seõ caûm nhaän cuoäc ñôøi moät caùch saâu saéc, töông töï vaäy, baïn haõy laøm

nhieàu baøi taäp XSTK vaø caûm nhaän noù nhö baïn caûm nhaän cuoäc ñôøi. Vaø toâi tin chaéc raèng noù seõ

khoâng bao giôø “phuï” baïn heát!

Ñaây khoâng haún laø baøi giaûng toâi bieân soaïn laàn ñaàu, vaøo thôøi trai treû boàng boät toâi ñaõ bieân

soaïn taäp baøi giaûng XSTK daïng file Word cho sinh vieân. Baây giôø, sau khi ñaõ soáng hôn nöõa ñôøi

ngöôøi, traûi qua caùc thaêng traàm cuûa cuoäc ñôøi (maëc duø chæ coù traàm maø thoâi! He he), ñaõ caûm

nhaän “hæ, noä, aùi, oá” cuûa cuoäc ñôøi, ñaõ hieåu caùc “ngoùc ngaùch, laét leùo” cuûa cuoäc ñôøi, ñaõ thaám

nhuaàn tö töôûng nhöõng chuyeän “thaáy vaäy chöù khoâng phaûi vaäy, maø laïi laø vaäy”, nhìn laïi thôøi trai

treû thì caûm thaáy mình ñuùng laø quaù daïi khôø! Chính nhöõng thaêng traàm cuûa cuoäc ñôøi giuùp cho toâi

caûm nhaän XSTK toát hôn, vaø toâi tin baïn cuõng seõ nhö vaäy!

Qua kinh nghieäm giaûng daïy toâi thaáy raèng ña soá sinh vieân hoïc XSTK laïi thích söu taàm

daïng toaùn “ñoäc”, vaø cho raèng mình “laøm ñöôïc” caùc daïng toaùn naøy laø hay roài. Neáu baïn nhìn

XSTK döôùi goùc nhìn “voõ hieäp” thì baïn seõ thaáy raèng ñoù chæ laø nhöõng “ñoäc chieâu” maø thoâi, ñoù

khoâng phaûi laø neàn taûng voõ coâng vöõng chaéc cho baïn. Neáu baïn chæ hoïc ñoäc chieâu maø thoâi,

khoâng naém vöõng caùc kieán thöùc cô baûn (maø baïn xem thöôøng noù) thì baïn chæ ñaùnh baïi ñöôïc

nhöõng keû coù voõ coâng khoâng vöõng vaøng, coøn khi baïn gaëp ngöôøi coù voõ coâng vöõng chaéc thì coù

theå luùc ñaàu ngöôøi ta bôû ngôõ vôùi caùc chieâu ñoäc cuûa baïn, nhöng sau ñoù ngöôøi ta deã daøng hoùa

giaûi. Baïn coù bieát vì sao haèng ñeâm Quaùch Tænh laïi moät mình naèm treân phieán ñaù luyeän coâng

phu “thôû ñieàu khí” do Maõ ñaïo tröôûng chæ daïy, vaø baïn coù bieát nhôø ñoù maø sau naøy Quaùch ñaïi

hieäp coù voõ coâng truøm thieân haï. Baïn coù bieát taïi sao haèng ñeâm Leänh Hoà Xung luyeän kieám döôùi

aùnh traêng, taäp ñi taäp laïi caùc chieâu thöùc raát bình thöôøng moät caùch nhuaàn nhuyeãn. Khoâng phaûi

töï nhieân maø Leänh Hoà thieáu hieäp deã daøng caûm nhaän ñöôïc “kieám yù” do Phong Thanh Döôngwww.daykemquynhon.ucoz.com

ThS. Phaïm Trí Cao * Bình loaïn XSTK 2007

2

truyeàn daïy, chính nhöõng baøi taäp cô baûn ñaõ giuùp Leänh Hoà Xung töï caûm nhaän ñöôïc “khaåu

quyeát” maø Phong tieân sinh chaân truyeàn. Neáu baïn chæ chaêm chaêm vaøo vieäc tìm caùc baøi toaùn

ñoäc thì baïn ñaõ sa vaøo “kieám chieâu” roài. Nguïy quaân töû Nhaïc Baát Quaàn moät ñôøi ñi tìm kieám

chieâu roài cuoái cuøng cuõng khoâng vang danh thieân haï, chæ töï huyeãn hoaëc mình maø thoâi.

Baïn muoán ñöôïc nhö Leänh Hoà ñaïi hieäp ö, moãi laàn xuaát kieám thì töï nhieân nhö nöôùc chaûy,

maây troâi, yù tôùi ñaâu thì kieám tôùi ñoù (nhìn baøi toaùn laø bieát giaûi lieàn!, chöù khoâng phaûi laø “bieát

cheát lieàn!”, He he). Chæ coù moät caùch duy nhaát laø baïn phaûi khoå luyeän caùc voõ coâng cô baûn ñaõ,

khi ñaõ coù voõ coâng cô baûn vöõng vaøng roài thì baïn seõ deã daøng “ngoä” (töï caûm nhaän) ñöôïc söï vi

dieäu cuûa voõ hoïc (töï ñoïc hieåu ñöôïc caùc saùch!).

Toâi vaø baïn, ai cuõng mong ñaït ñöôïc trình ñoä voõ hoïc xuaát thaàn nhaäp hoùa nhö Leänh Hoà

ñaïi hieäp, haønh hieäp giang hoà, tröø gian dieät aùc! Tuy nhieân moân phaùi “ÑH Kinh teá TP.HCM” chæ

yeâu caàu baïn naém vöõng voõ coâng cô baûn laø baïn seõ ñöôïc xaâm “Thanh Long, Baïch Hoå”, chöùng

nhaän baïn ñuû tö caùch xuoáng nuùi haønh hieäp giang hoà (thi ñaït), sau naøy trong quaù trình haønh hieäp

giang hoà (hoïc caùc moân hoïc khaùc coù söû duïng kieán thöùc XSTK) baïn seõ töï caûm nhaän ñöôïc söï vi

dieäu cuûa voõ hoïc töø nhöõng kieán thöùc voõ hoïc cô baûn maø baïn ñaõ khoå luyeän. Baïn neân luyeän theâm

moân voõ coâng thöôïng thöøa “Kinh teá löôïng” ñeå caûm nhaän söï vi dieäu ñoù.

Thöïc teá cho thaáy, coù nhöõng baïn ñöôïc khaûo thí 3 laàn nhöng vaãn chöa xuoáng nuùi ñöôïc

(thi tröôït), khoâng vöôït qua ñöôïc “ñoàng nhaân traän” (ñeà thi chuaån) laø do maát caên baûn voõ hoïc,

maø laïi chæ thích hoïc ñoäc chieâu thoâi, nghó raèng caùc ñoäc chieâu naøy seõ giuùp mình vang danh thieân

haï! Khoâng xuoáng nuùi ñöôïc thì laøm sao maø vang danh thieân haï!

Moät laàn nöõa toâi chaân thaønh khuyeân baïn raèng, khoâng coù moân phaùi voõ naøo maø chæ luyeän

vaøi ngaøy laø thaønh coâng caû, taát caû ñeàu ñoøi hoûi baïn phaûi coù quaù trình khoå luyeän ñeå ñaït tôùi moät

caûnh giôùi nhaát ñònh. Neáu baïn hy voïng chæ luyeän vaøi ngaøy maø thaønh coâng thì baïn chæ coù theå

luyeän caùc moân “taø ñaïo” maø thoâi, luùc ñoù baïn seõ töï huûy hoaïi mình ñeå ñaït muïc ñích baèng moïi

giaù! Nhaïc Baát Quaàn do coá chaáp, sai laàm ngay töø ñaàu (do chæ chaêm chaêm vaøo kieám chieâu) maø

voõ coâng khoâng theå tieán trieån ñöôïc, noân noùng luyeän voõ coâng taø ñaïo thöôïng thöøa “Tòch Taø kieám

phoå - Quyønh Hoa baûo ñieån” (baèng caùch ñoaïn tuyeät ... quaù khöù!) maø sa vaøo con ñöôøng taø ñaïo,

trôû thaønh keû baùn nam baùn nöõ. Hy voïng laø baïn seõ khoâng rôi vaøo tình caûnh nhö vaäy!

Neáu baïn caûm thaáy moät mình luyeän XSTK khoù thaønh coâng thì baïn haõy tìm cho mình

moät Nhaäm Doanh Doanh (neáu baïn laø nam), hoaëc Leänh Hoà Xung (neáu baïn laø nöõ), ngöôøi saún

saøng soáng cheát vì baïn. Baïn khoâng neân tìm Nhaïc Linh San hoaëc Laâm Bình Chi luyeän chung,

bôûi vì chöa luyeän xong thì baïn ñaõ bò “taåu hoûa nhaäp ma” roài (chuyeän gì ñeán thì seõ ñeán, baïn

bieát roài coøn hoûi! He he). Neáu baïn gaëp ñoøn theá naøo khoù luyeän (daïng toaùn khoù) thì baïn haõy taïm

queân noù ñi, baïn töï thö giaõn baèng caùch nhìn maây bay gioù thoåi, nhìn sao nhìn traêng,..., haõy ñeå

taâm hoàn baïn hoaøn toaøn trôû veà vôùi thieân nhieân, luùc ñoù baïn seõ ngoä ra ñöôïc nhieàu ñieàu (voõ hoïc

cuõng xuaát phaùt töø thieân nhieân maø ra, nhö voõ Haàu, voõ Hoå,..., nhaát laø Thaùi Cöïc Quyeàn xuaát phaùt

töø söï tuaàn hoaøn cuûa vuõ truï!). Vaø luùc ñoù baïn seõ thaáy cuoäc ñôøi ñaùng yeâu bieát nhöôøng naøo! Toâi

chaân thaønh khuyeân baïn laø khi baïn luyeän chung vôùi “yù trung nhaân” thì neân ngoä ra caùi “neân

ngoä”, chöù khoâng phaûi ngoä ra caùi “khoâng neân ngoä”, vaø laàm töôûng laø mình “ñaõ ngoä” (lung tung

quaù! He he). Neáu baïn ngoä ra caùi khoâng neân ngoä thì baïn maõi maõi khoâng xuoáng nuùi ñöôïc, vaø

caøng luyeän thì caøng deã taåu hoûa nhaäp ma!

Chuùc baïn khoå luyeän thaønh coâng, xuoáng nuùi haønh hieäp giang hoà! Mong laém thay!www.daykemquynhon.ucoz.com

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0

1

1

CHÖÔNG 0:

GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP

Chöông naøy hoïc moät soá quy taéc ñeám thoâng duïng

PHAÀN 1:XAÙC SUAÁT

2

I) NGUYEÂN LYÙ NHAÂNMoät coâng vieäc ñeå thöïc hieän coù 2 giai ñoaïn A, B.

Giai ñoaïn A coù m caùch thöïc hieän, giai ñoaïn B coù n caùch thöïc

hieän

Hoûi coù bao nhieâu caùch thöïc hieän xong coâng vieäc?

ÖÙng vôùi moãi caùch cuûa giai ñoaïn A, ta coù n caùch thöïc hieän giai

ñoaïn B

A

1 2 ....... m

B B

1 2 .... n ..... 1 2 ...... n

Vaäy: Coù m*n caùch ñeå thöïc hieän coâng vieäc

3

Ví duï 1: Moät ngöôøi coù 6 caùi aùo, 5 caùi quaàn. Hoûi coù baonhieâu caùch maëc ñoà?

HD: coâng vieäc maëc ñoà coù 2 giai ñoaïn ta phaûi thöïc hieänlaàn löôït laø: maëc aùo, maëc quaàn.

Maëc aùo: coù 6 caùch

Maëc quaàn: coù 5 caùch

Vaäy ta coù: 6*5=30 caùch

Môû roäng: moät coâng vieäc ñeå thöïc hieän coù nhieàu giaiñoaïn.

4

Ví duï 2: Moät ngöôøi coù 4 caùi aùo, 3 caùi quaàn, 3 caùi noùn.Hoûi coù bao nhieâu caùch maëc ñoà vaø ñoäi noùn?

HD: Coâng vieäc maëc ñoà vaø ñoäi noùn coù 3 giai ñoaïn taphaûi thöïc hieän laàn löôït laø: maëc aùo, maëc quaàn, ñoäinoùn.

Maëc aùo: coù 4 caùch

Maëc quaàn: coù 3 caùch

Ñoäi noùn: coù 3 caùch

Vaäy ta coù: 4*3*3=36 caùch



2

5

II) CHÆNH HÔÏP Ví duï: Coù 5 böùc tranh vaø 7 caùi moùc treo treân töôøng. Coù

bao nhieâu caùch treo 5 böùc tranh naøy (moãi moùc chæ treo 1böùc tranh)?

HD: coâng vieäc treo tranh coù 5 giai ñoaïn sau:

gñ1: treo böùc tranh thöù 1. Ta choïn ra 1 moùc treo töø 7 caùimoùc treo, coù 7 caùch choïn. (coøn laïi 6 moùc treo)

gñ2: ........ 2............... 6 caùch ..... Coøn 5 moùc

gñ3: ......... 3............... 5 caùch ..... Coøn 4 moùc

gñ4: ......... 4.............. 4 caùch ..... Coøn 3 moùc

gñ5: ......... 5.............. 3 caùch .....

Theo nguyeân lyù nhaân ta coù: 7*6*5*4*3=2520 caùch treo6

Nhaän xeùt Moãi caùch treo 5 böùc tranh laø moät caùch laáy 5 caùi

moùc treo töø 7 caùi moùc treo. Ñaây laø caùch laáy coù thöùtöï, bôûi vì traät töï laáy caùc moùc khaùc nhau seõ cho tacaùc caùch treo tranh khaùc nhau.

Vaäy soá caùch laáy coù thöù töï 5 phaàn töû töø 7 phaàn töûñöôïc tính nhö theá naøo?

7

ÑN: Moät chænh hôïp n chaäp k (chænh hôïp chaäp k cuûa n) laø 1

caùch laáy k phaàn töû khaùc nhau (coù ñeå yù thöù töï, traät töï saép

xeáp) töø n phaàn töû khaùc nhau.

Soá chænh hôïp :

A(k,n)=)!(

!kn

nknA

Vôùi n!=1*2*3*...*n , quy öôùc 0!=1

Ví duï: Theo ví duï treân ta coù: Moät caùch treo 5 böùc tranh laø

1 caùch choïn ra 5 moùc treo khaùc nhau töø 7 moùc treo (coù ñeå

yù ñeán vò trí cuûa chuùng)

Moãi caùch treo laø 1 chænh hôïp 7 chaäp 5:

A(5,7)=7*6*5*4*3 8

NX: moãi k phaàn töû laáy ra töø n phaàn töû taïo thaønh 1nhoùm.

Caùc nhoùm khaùc nhau do:

-caùc phaàn töû trong nhoùm khaùc nhau

Vd: 1234 khaùc 3456

-thöù töï, traät töï saép xeáp cuûa caùc phaàn töû trong nhoùmkhaùc nhau

Vd: 1234 khaùc 3412



3

9

3) Hoaùn vò:

Coù n phaàn töû khaùc nhau. Moät hoaùn vò cuûa n phaàn töû naøy laø 1 caùch saép xeáp n

phaàn töû naøy theo 1 thöù töï xaùc ñònh. NX: Ta thaáy hoaùn vò laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa chænh

hôïp, vôùi k=n ? Soá hoaùn vò: P(n)=n! (=A(n,n))

Ví duï: Coù 4 ngöôøi. Coù bao nhieâu caùch xeáp 4 ngöôøi naøy: a)ngoài thaønh haøng daøi b)ngoài thaønh voøng troøn c)ngoài vaøo baøn troøn coù ñaùnh soá

10

HD:a) A B C D

1 2 3 4

Moãi caùch xeáp 4 ngöôøi naøy laø 1 hoaùn vò cuûa 4 ngöôøi naøy => coù

4! Caùch

b) 1

2

Choïn ra 1 ngöôøi laøm moác, ta thaáy vò trí baét ñaàu cuûa ngöôøi naøy

khoâng quan troïng (ví duï: A laøm moác, A ôû vò trí 1 cuõng töông

töï nhö A ôû vò trí 2)

Chæ saép xeáp 3 ngöôøi coøn laïi : coù 3! Caùch

c) 4!

11

4) Toåû hôïp:

Moät toå hôïp n chaäp k laø 1 caùch laáy k phaàn töû khaùc nhau

(khoâng ñeå yù thöù töï saép xeáp) töø n phaàn töû khaùc nhau

Soá toå hôïp :

C(k,n)=)!(!

!knk

nknC

VD: Moät phoøng laøm vieäc cuûa 1 coâng ty coù 30 nhaân vieân.

a) Coù bao nhieâu caùch giaùm ñoác choïn ra BLÑ phoøng goàm

3 ngöôøi.

b) BLÑ phoøng goàm: tröôûng phoøng, phoù phoøng, thö kyù.

Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ra BLÑ phoøng. 12

HD:

a) Moät BLÑ phoøng laø 1 caùch choïn 3 ngöôøi töø 30 ngöôøi(choïn tuøy yù, khoâng quan taâm thöù töï saép xeáp) => Moãicaùch choïn laø 1 toå hôïp. Soá caùch choïn laø C(3,30)

b) Caùch 1: Vì 3 ngöôøi trong BLÑ coù chöùc vuï roõ raøng:TP, PP, TK => coù ñeå yù thöù töï saép xeáp

Soá caùch choïn laø A(3,30)

Caùch 2: coâng vieäc choïn BLÑ phoøng coù 3 giai ñoaïn:

gñ1: choïn TP: coù 30 caùch

gñ2: choïn PP: coù 29 caùch

gñ3: choïn TK: coù 28 caùch

Vaäy coù: 30*29*28 caùch



4

13

Caùch 3: Chia thaønh 2 gñ:

gñ1: choïn tuøy yù 3 ngöôøi töø 30 ngöôøi: coù C(3,30) caùch

gñ2: öùng vôùi 3 ngöôøi ñöôïc choïn, chæ ñònh 1 ngöôøi laømTP, 1 ngöôøi laøm PP, 1 ngöôøi laøm TK: coù 3! Caùch

Vaäy coù: C(3,30)*3! Caùch

NX: A(k,n)=C(k,n)*k!

NX:

Toå hôïp: caùc nhoùm khaùc nhau do caùc phaàn töû trongnhoùm khaùc nhau

14

Bình loaïn:

Qua VD naøy baïn coù caûm nhaän ñöôïc söï “voâ thöôøng” cuûacuoäc ñôøi! Ta coù 2 caùch choïn:

C1: Choïn 3 ngöôøi coù chæ ñònh chöùc vuï ngay töø ñaàu.

C2: Choïn tuøy yù 3 ngöôøi, sau ñoù môùi chæ ñònh chöùc vuïcho töøng ngöôøi.

Theo baïn thì 2 caùch choïn naøy coù cho cuøng keát quaû nhönhau?!

Döôùi goùc ñoä khoa hoïc töï nhieân: c1 vaø c2 cho cuøng 1 keátquaû.

15

Bình loaïn: tieáp theo

Döôùi goùc ñoä khoa hoïc xaõ hoäi: c1 vaø c2 cho keát quaû khaùcnhau “1 trôøi 1 vöïc”! Taïi sao ö?!

Khi GÑ choïn ra 3 ngöôøi, trong thôøi gian chuaån bò chæñònh chöùc vuï cho töøng ngöôøi thì caùc ngöôøi naøy ñaõ lo“vaän ñoäng haäu tröôøng” cho chöùc vuï cuûa mình roài, aivaän ñoäng “maïnh hôn” thì seõ ñöôïc laøm TP.

Baïn seõ noùi: “Khôø quaù! Ai laïi ñeå cho c2 xaõy ra. Khi GÑchæ môùi döï ñònh choïn BLÑ thoâi thì phaûi lo vaän ñoäng chochöùc vuï TP roài chöù”.

???????!!!!!!!

ÖØ! Khôø thieät!16

5) Chænh hôïp laëp:

Ví duï: Tín hieäu Moùc coù ñoä daøi laø 4 tín aâm. Moãi tínaâm laø Tít (T) hoaëc te (t)

Vd: TTTT, TTTt, tTTT, TTtt, Tttt, tttt...

Hoûi coù bao nhieâu tín hieäu Moùc ñöôïc taïo thaønh?

HD:

Taâ1 Taâ2 Taâ3 Taâ4

2 2 2 2

Vaäy coù: 2*2*2*2=24 tín hieäu Moùc



5

17

• ÑN: Moät chænh hôïp laëp n chaäp k laø 1 caùch

choïn ra k phaàn töû ( coù ñeå yù thöù töï) töø n phaàn

töû khaùc nhau. Moãi phaàn töû coù theå laëp laïi

nhieàu laàn (toái ña laø k laàn)

• Soá chænh hôïp laëp: A*(k,n)= knA

~=nk

• NX: k coù theå lôùn hôn n

18

6) Hoaùn vò laëp:

Nhaéc laïi: Soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû khaùc nhau laø:P(n)=n!

Ta coùù n phaàn töû, trong ñoù coù:

n1 phaàn töû coù cuøng tính chaát A1

n2 phaàn töû coù cuøng tính chaát A2

..................

nk phaàn töû coù cuøng tính chaát Ak

vôùi n1+n2+...+nk=n

Soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû naøy laø: n! /(n1! n2! ...nk!)

19

Ví duï: Coù 10 ngöôøi ñònh cö vaøo 3 nöôùc: Anh, Phaùp,Myõ.

Nöôùc Anh nhaän 3 ngöôøi, nöôùc Phaùp nhaän 3 ngöôøi,nöôùc Myõ nhaän 4 ngöôøi

Hoûi coù bao nhieâu caùch saép xeáp?

HD: Ta coù 10 ngöôøi, trong ñoù coù:

3 ngöôøi coù cuøng tính chaát A1 (cuøng ñònh cö ôû Anh)

3 ngöôøi coù cuøng tính chaát A2 (cuøng ñònh cö ôû Phaùp)

4 ngöôøi coù cuøng tính chaát A3 (cuøng ñònh cö ôû Myõ)

Vaäy coù: 10! / (3! 3! 4!) Caùch

Caùch 2: duøng nguyeân lyù nhaân?

20

Caùch 2: Chia thaønh 3 gñ:

gñ1: Saép 3 ngöôøi vaøo nöôùc Anh (khoâng chuù yù traät töïsaép xeáp cuûa 3 ngöôøi naøy): coù C(3,10) caùch => coøn laïi7 ngöôøi saép xeáp vaøo 2 nöôùc Phaùp, Myõ

gñ2: Saép 3 ngöôøi (trong 7 ngöôøi coøn laïi) vaøo nöôùcPhaùp: coù C(3,7) caùch

gñ3: Saép 4 ngöôøi (trong 4 ngöôøi coøn laïi) vaøo nöôùcMyõ: coù C(4,4)=1 caùch

Vaäy coù: C(3,10)*C(3,7)*C(4,4) caùch



6

21

TOÙM LAÏI Toång keát caùc quy taéc ñeám. Ta coù baøi toaùn toång quaùt sau: coù n phaàn töû, choïn ra k phaàn töû.

Caùc tröôøng hôïp: a)neáu khoâng ñeå yù thöù töï: toå hôïp b)Neáu coù ñeå yù thöù töï: b1)Neáu k=n: *Neáu n phaàn töû khaùc nhau: hoaùn vò *Neáu trong n phaàn töû coù caùc phaàn töû coù cuøng tính chaát:

hoaùn vò laëp b2)Neáu k≠n vaø neáu k phaàn töû laáy ra khaùc nhau: chænh hôïp b3)Neáu caùc phaàn töû coù theå laëp laïi (toái ña k laàn): chænh hôïp

laëpNeáu ta khoâng aùp duïng ñöôïc caùc quy taéc: chænh hôïp, chænhhôïp laëp, toå hôïp, hoaùn vò, hoaùn vò laëp: duøng quy taéc nhaân(chia coâng vieäc ra thaønh 1 soá giai ñoaïn)

22

Baøi taäp 1 Lôùp coù 30 sv, coù 20 nam. Trong 1 buoåi khieâu vuõ,

coù bao nhieâu caùch:

a)Choïn ra 1 ñoâi (1nam vaø 1 nöõ)

b)Choïn ra 3 nam, 3 nöõ

c)Choïn ra 3 ñoâi

23

Hd1: a)Coù C(1,20)*C(1,10) caùch

b)Coù C(3,20)*C(3,10) caùch

c)Chia thaønh 2 gñ:

gñ1: choïn ra 3 nam, 3 nöõ: coù C(3,20)*C(3,10)caùch

gñ2: öùng vôùi 3 nam, 3 nöõ vöøa choïn => baét ñoâi (coáñònh nöõ, cho 3 nam choïn 3 nöõ) => moãi caùch baétñoâi laø 1 hoaùn vò cuûa 3 nam => coù 3! Caùch baét ñoâi

Vaäy coù: C(3,20)*C(3,10)*3! Caùch

24

bt2 Ñeå baùo tín hieäu treân bieån ngöôøi ta duøng 5 côø vôùi 7

maøu khaùc nhau

(Vd: Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ laø tín hieäu SOS, T V T X T)

Hoûi coù bao nhieâu tín hieäu, coù:

a)5 maøu khaùc nhau

b)coù maøu tuøy yù

c)2 côø keá nhau khoâng ñöôïc cuøng maøu



7

25

Hd2:

a)Coù A(5,7) tín hieäu

B) 75 tín hieäu

c) Ñ X Ñ V T Ñ T X V Ñ

c1 c2 c3 c4 c5 c1 c2 c3 c4 c5

Côø 1: coù 7 caùch choïn maøu

2: coù 6 caùch

3: coù 6

4: coù 6

5:coù 6

Vaäy coù: 7*6*6*6*6*6 tín hieäu

NX: söï khaùc nhau giöõa caâu b vaø c 26

Bt3: Moät maõ teân nhaân vieân (MTNV) goàm coù 3 chöõ soá.

Vd: 000, 001, 023, 345,...

Hoûi:

a)Coù bao nhieâu MTNV ñöôïc taïo ra töø 3 chöõ soá?

b)Coù bao nhieâu MTNV coù 3 chöõ soá khaùc nhau

c)Coù bao nhieâu MTNV coù 3 chöõ soá truøng nhau

d)Coù bao nhieâu MTNV coù 2 chöõ soá truøng nhau

27

Hd3: Caùc chöõ soá laáy töø taäp A={0,1,2,...,9} a) cs1 cs2 cs3 10 10 10 Vaäy coù : 103=1000 MTNV b)Coù A(3,10) MTNV c)Coù 10 MTNV d)Chia thaønh 3 gñ: gñ1: Choïn ra 2 chöõ soá khaùc nhau (tuøy yù) töø taäp A: coù

C(2,10) caùch gñ2: Töø 2 chöõ soá ñaõ choïn, choïn ra 1 chöõ soá laøm chöõ soá

truøng: coù C(1,2) caùch =>ta coù 3 chöõ soá (trong ñoù coù 2 chöõsoá truøng)

gñ3: Saép xeáp 3 chöõ soá naøy ñeå taïo thaønh caùc MTNV khaùcnhau: coù 3!/ 2! Caùch

Vaäy coù: C(2,10)*C(1,2)* 3!/2! MTNV Caùch2: caâu d)= caâu a) –caâu b) –caâu c) 28

Bt4: Coù caùc chöõ soá : 1,2,3,4,5

Coù bao nhieâu caùch saép xeáp 5 chöõ soá naøy sao chonhoùm chöõ soá chaún vaø nhoùm chöõ soá leû taùch bieätnhau?

Td: 13524, 15324, 42351, 24351

Khoâng xeùt: 21354



8

29

Hd4: Coâng vieäc coù 3 gñ: Gñ1: chia caùc chöõ soá thaønh 2 nhoùm: nhoùm CS chaún,

nhoùm CS leû. Saép xeáp 2 nhoùm naøy: coù 2! Caùch. (TD:13524, 24135)

Gñ2: saép xeáp caùc CS leû trong nhoùm CS leû: coù 3!Caùch. (TD: 135,531,351)

Gñ3: saép xeáp caùc CS chaún trong nhoùm CS chaún: coù 2!Caùch.

Theo NLN, ta coù 2! 3! 2! = 2*6*2= 24 caùch

30

Phuï luïc: Caùc haøm tính toaùn thoâng duïng trong EXCEL

COMBIN(8,2) = 28

C , PERMUT(100,3) = 3100

A

FACT(5) = 5! , POWER(5,2) = 25

~A = 52

MULTINOMIAL(4,2,3) =!3!2!4

!9

LN(e) = 1 , LN(5) = 1,6094

LOG10(5) = log10(5) = lg(5) = 0,6990

LOG10(10) = 1

31

Quy öôùc: Quyeån (*) laø quyeån:

BAØI TAÄP XSTK, ThS. Leâ Khaùnh Luaän & GVC.Nguyeãn Thanh Sôn & ThS. Phaïm Trí Cao, NXBThoáng keâ 2009.

Xem theâm 1 soá daïng baøi taäp veà quy taéc ñeám ôûquyeån (*).

32

Môøi gheù thaêm trang web:

http://kinhteluong.ungdung.googlepages.com

http://xacsuatthongke.googlepages.com

http://toiuuhoa.googlepages.com

http://diemthi.caopt.googlepages.com

http://phamtricao.googlepages.com

www37.websamba.com/phamtricao

www.phamtricao.web1000.com



1

1

CHÖÔNG 1:XAÙC SUAÁT CUÛA BIEÁN COÁ

2

I/Pheùp thöû ngaãu nhieân vaø bieán coá ngaãu nhieân:

Pheùp thöû ngaãu nhieân: laø vieäc thöïc hieän 1 thí

nghieäm/thöïc nghieäm, hoaëc vieäc quan saùt 1 hieän

töôïng töï nhieân trong 1 soá ñieàu kieän nhaát ñònh. Noù

coù theå daãn ñeán keát cuïc naøy hoaëc keát cuïc khaùc (coù ít

nhaát 2 keát cuïc). Vaø vieäc laøm naøy coù theå thöïc hieän

bao nhieâu laàn cuõng ñöôïc.

3

Vd1: Tung 1 ñoàng tieàn saáp ngöõa (caân ñoái, ñoàng chaát),

xeùt xem maët naøo xuaát hieän (maët naøo ñöôïc laät leân).

Ñaây laø 1 pheùp thöû ngaãu nhieân?

Vd2: Neùm hoøn ñaù xuoáng nöôùc, xeùt xem hoøn ñaù chìm

hay noåi.


Vd3: Hai vôï choàng caõi nhau. Xeùt xem hoï coù ly dò nhau

khoâng.


Töø ñaây trôû ñi khi ta noùi pheùp thöû thì coù nghóa laø pheùp thöû

NN.4

Caùc keát cuïc cuûa pheùp thöû NN goïi laø caùc bieán coá.

Coù 3 loaïi bieán coá: bc ngaãu nhieân, bc chaéc chaén, bc

khoâng theå coù

BcNN: laø bc coù theå xaõy ra hoaëc khoâng xaõy ra khi thöïc

hieän pheùp thöû. Kyù hieäu A, B, C,…

Bc cc: laø bc luoân xaõy ra khi thöïc hieän pheùp thöû. Kyù hieäu

Bc khoâng theå coù: laø bc khoâng theå xaõy ra khi thöïc hieän

pheùp thöû. Kyù hieäu

Ta chæ nghieân cöùu bcNN maø thoâi.



2

5

Vd1: Tung 1 con xuùc xaéc caân ñoái, ñoàng chaát (caùc maët

ñöôïc ñaùnh soá nuùt töø 1->6) , xeùt xem maët naøo xuaát hieän.

Ñaët: A= bc xuaát hieän maët coù soá nuùt <=6

B=bc xuaát hieän maët coù soá nuùt >7

C=bc xuaát hieän maët coù soá nuùt laø soá chaún

Bieán coá naøo laø bieán coá chaéc chaén, bc ktc, bcNN?

6

VD2: Xeùt 1 gia ñình coù 2 con.

Ñaët: A = bc gia ñình coù 1 trai, 1 gaùi.

B = bc gia ñình coù 2 con.

C = bc gia ñình coù 3 con.

Bc naøo laø bccc, bcktc, bcNN?

7

Vd3: hoäp coù 8 bi: 6 bi Traéng, 2 bi Xanh. Laáy ra 3 bixem maøu.

Ñaët A= bc laáy ñöôïc 3 bi T

B= bc laáy ñöôïc 3 bi X

C= bc laáy ñöôïc 3 bi

Bc naøo laø bccc, bcNN, bcktc?

8

II) QUAN HEÄ GIÖÕA CAÙC BIEÁN COÁ

Thoâng thöôøng sinh vieân coi nheï phaàn naøy, cho raèng“chuyeän nhoû nhö con thoû”, “khoâng coù gì maø aàm æ”.Phaûi tính xaùc suaát caùi naøy, xaùc suaát caùi kia thì môùi“xöùng danh ñaïi anh huøng”! Hoïc xaùc suaát maø “khoângthaáy xaùc suaát ñaâu”, hoïc caùc quan heä naøy thì chaùn cheát!

Tuy nhieân khi gaëp baøi toaùn xaùc suaát ñoøi hoûi phaûi bieátcaùch töï phaân tích, töï ñaët caùc bieán coá, dieãn taû caâu hoûi ñeàcho theo caùc bieán coá ñaõ ñaët thì laïi khoâng laøm ñöôïc,hoaëc dieãn taû khoâng ñuùng!

Hoaëc ñoïc baøi giaûng trong saùch thì laïi khoâng hieåu taïisao ngöôøi ta bieán ñoåi ñöôïc nhö vaäy!

Neáu ñaõ hieåu roõ veà caùc quan heä giöõa caùc bieán coá thì caùcvaán ñeà treân ñuùng laø “chuyeän nhoû nhö con thoû”!

Vaäy baïn thích “con thoû” naøo !?



3

9

II/QUAN HEÄ GIÖÕA CAÙC BIEÁN COÁ:

1)Keùo theo: bc A goïi laø keùo theo bc B neáu bc A xaõyra thì daãn ñeán bc B xaõy ra, khi thöïc hieän pheùp thöû.Kyù hieäu: AB hay A=>B

Vd1: Moät sv mua 1 tôø veù soá.Ñaët A=bc sv naøy truùng soá ñoäc ñaéc

B=bc sv naøy truùng soáAB hay BA ?

Duøng bieåu ñoà Venn minh hoïa?10

1)KEÙO THEO

VD2: xeùt 1 gia ñình coù 2 con.

Ñaët A= bc gia ñình coù con trai.

B= bc gia ñình coù 2 con trai.

AB hay BA ?

VD3: Xeùt 1 hoïc sinh ñi thi ñaïi hoïc khoái A.

Ñaët A= bc hoïc sinh naøy thi ñaäu

B= bc hoïc sinh naøy coù ñieåm Toaùn laø 10

AB hay BA ?

11

2) TÖÔNG ÑÖÔNG (BAÈNG NHAU):

bc A goïi laø baèng bc B neáu bc A xaõy ra thì bc Bxaõy ra, vaø ngöôïc laïi bc B xaõy ra thì bc A xaõy ra,khi thöïc hieän pheùp thöû. Kyù hieäu A=B hay AB

Vaäy A=B neáu AB vaø BA

Vd1: Tung 1 con xuùc xaéc.Ñaët A=bc con xx xh maët coù soá nuùt chaún

B=bc con xx xh maët coù soá nuùt laø: 2,4,6C= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø: 2,4

A=B? A=C?

12

2)TÖÔNG ÑÖÔNG

Vd2: hoäp coù 8 bi: 6T, 2 X. laáy 2 bi ra xem maøu.



C= bc laáy ñöôïc 3 bi T

D= bc laáy ñöôïc bi T

A=B? A=C? A=D?



4

13

2)TÖÔNG ÑÖÔNG

Vd3: hoäp coù 8 bi: 4T, 2X, 2Ñoû. laáy 2 bi ra xemmaøu.



A=B?

14

3)TOÅNG (HÔÏP):

bc C goïi laø toång cuûa 2 bc A vaø B, kyù hieäu C=A+Bhay C=AB.

C xaõy ra neáu coù ít nhaát 1 trong 2 bc A hoaëc B xaõy ra,khi thöïc hieän pheùp thöû.

Caâu hoûi: Vaäy A vaø B cuøng xaõy ra khi thöïc hieän pheùpthöû ñöôïc hoâng?

15

3)HÔÏP

Vd1: tung 1 con xuùc xaéc. Xeùt xem maët naøo xuaáthieän.

Ñaët C= bc con xx xh maët coù soá nuùt chaún.

B= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 2

A= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 4,6

D= bc con xxxh maët coù soá nuùt laø 2,4

C=A+B? C=A+D?

16

3)HÔÏP

Vd2: Lôùp coù 50 sv, trong ñoù coù: 20 sv gioûi AV, 15sv gioûi PV, 7 sv gioûi caû 2 ngoaïi ngöõ treân.

Choïn NN 1 sv trong lôùp.

Ñaët A=bc sv naøy gioûi Anh

B=bc sv naøy gioûi Phaùp

C=bc sv naøy gioûi ít nhaát 1 ngoaïi ngöõ.

D=bc sv naøy gioûi caû 2 ngoaïi ngöõ

C=A+B? D=A+B?

Duøng bieåu ñoà Venn minh hoïa?



5

17

Toång quaùt: C= A1+A2+...+An .

C xaõy ra neáu coù ít nhaát 1 bc Ai xaõy ra, khi thöïc hieänpheùp thöû

Vd: Kieåm tra chaát löôïng n saûn phaåm.

Ñaët Ai=bc sp thöù i xaáu.

C=bc coù ít nhaát 1 sp xaáu

C= A1+A2+...+An

Vaäy “hieåu” daáu + giöõa caùc bieán coá nghóa laø gì?

18

4)TÍCH (GIAO):

bc C goïi laø tích cuûa 2 bc A vaø B, kyù hieäu C=A.Bhay C=AB

C xaõy ra neáu caû 2 bc A vaø B cuøng xaõy ra, khithöïc hieän pheùp thöû.

19

4)TÍCH

Vd1: tung 1 con xx. Xeùt xem maët naøo xh.

Ñaët A= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 2,4

B= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 2,6

C= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 2

D= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 2,4,6

C=A.B? C=A.D?

20

4) TÍCH

Vd2: Choïn NN 1 laù baøi töø boä baøi taây 52 laù.

Ñaët A=bc coù ñöôïc laù giaø.

B=bc coù ñöôïc laù cô

C=bc coù ñöôïc laù giaø cô.

C=A.B?



6

21

4)TÍCH

Vd3: Lôùp coù 50 sv, trong ñoù coù: 20 sv gioûi AV,15 sv gioûi PV, 7 sv gioûi caû 2 ngoaïi ngöõ treân.

Choïn NN 1 sv trong lôùp.

Ñaët A=bc sv naøy gioûi Anh


C=bc sv naøy gioûi caû 2 ngoaïi ngöõ

C=A.B?

22

4)TÍCH

Toång quaùt: C =A1.A2...An.

C xaõy ra neáu taát caû caùc Ai cuøng xaõy ra, khithöïc hieän pheùp thöû

Vd: Kieåm tra chaát löôïng n sp.

Ñaët Ai=bc sp thöù i toát

C=bc taát caû caùc sp ñeàu toát

C =A1.A2...An

Vaäy “hieåu” daáu . giöõa caùc bieán coá nghóa laø gì?

23

5)XUNG KHAÉC:

A vaø B goïi laø xung khaéc neáu A vaø B khoâng ñoàng thôøixaõy ra, khi thöïc hieän pheùp thöû. Kyù hieäu A.B=

Vôùi 2 bieán coá A, B thì ta coù 4 tröôøng hôïp:

A xr, Bxr

A xr, Bkxr

A kxr, Bxr

A kxr, Bkxr

Vaäy tröôøng hôïp naøo öùng vôùi xung khaéc?

24

5)XUNG KHAÉC

Vd 1: Tung 1 con xuùc xaéc.

ñaët A=bc ñöôïc maët coù soá nuùt chaün.

B=bc ñöôïc maët coù soá nuùt laø 2.

C=bc ñöôïc maët coù soá nuùt leû.

D=bc ñöôïc maët coù soá nuùt 1,3

Xaùc ñònh A.B? A.C?

A,B xung khaéc? A,C xk? A,D xk?



7

25

5)XUNG KHAÉC

Ví duï 2: Hoäp phaán coù: 9 vieân phaán traéng, 2 vieân phaánñoû. Laáy NN 1 vieân phaán ra xem maøu.

Ñaët T=bc ñöôïc vieân phaán T.

Ñ=bc ñöôïc vieân phaán Ñ.

A=bc laáy ñöôïc 1 vieân phaán

T,Ñ xung khaéc? T,A xk?

26

5)XUNG KHAÉC

Ví duï 3: Hoäp phaán coù: 9 vieân phaán traéng, 2 vieânphaán ñoû. Laáy NN 2 vieân phaán ra xem maøu.

Ñaët A=bc ñöôïc 1 vieân phaán T.

B=bc ñöôïc 1 vieân phaán Ñ.

C=bc ñöôïc 2 vieân phaán T

D=bc laáy ñöôïc vieân phaán T

A,B xung khaéc? A,C xk? B,D xk?

27

5)Xung khaéc

VD4: Lôùp coù 50 sv, trong ñoù coù 7 sv toùc highlight 7 maøu(ñoû, xanh, vaøng, luïc, lam, chaøm, ñen), 15 sv toùc highlightmaøu vaøng, caùc sv coøn laïi toùc maøu ñen. Choïn NN 1 svtrong lôùp.

A= bc sv naøy coù toùc maøu ñen

B= bc sv naøy coù toùc maøu vaøng

A, B xung khaéc?

VD5: giaû thieát gioáng VD4. Laáy NN 2 sinh vieân.

A= bc 2 sv naøy coù toùc maøu ñen

B= bc 2 sv naøy coù toùc maøu vaøng

A, B xung khaéc?

VD6: gioáng VD5. Nhöng lôùp chæ coù 1 sv coù toùc 7 maøu.28

5)Xung khaéc

VD7: Boä baøi taây coù 52 laù. Laáy ngaãu nhieân ra 1 laù.

A=bc laáy ñöôïc laù aùch

B=bc laáy ñöôïc laù cô

A, B xung khaéc?

VD8: Boä baøi taây coù 52 laù. Laáy ngaãu nhieân ra 2 laù.

A=bc laáy ñöôïc 2 laù aùch

B=bc laáy ñöôïc 2 laù cô

A, B xung khaéc?



8

29

6)ÑOÁI LAÄP:

A, B goïi laø ñoái laäp neáu A vaø B khoâng ñoàng

thôøi xaõy ra, vaø 1 trong 2 bc A hoaëc B phaûi

xaõy ra, khi thöïc hieän pheùp thöû. Kyù hieäu:

bieán coá ñoái laäp cuûa A kyù hieäu laø A hay A*

Vôùi 2 bc A,B ta coù 4 tröôøng hôïp xaõy ra:

A xr, Bxr

A xr, Bkxr

A kxr, Bxr

A kxr, Bkxr

Vaäy tröôøng hôïp naøo öùng vôùi ñoái laäp? 30

6)ÑOÁI LAÄP

Nhaän xeùt sau ñuùng hay sai?

A, A* ñoái laäp A+A* =

vaø A.A* =

Nhaän xeùt sau ñuùng hay sai?

A,B xung khaéc --> A,B ñoái laäp.

31

6)ÑOÁI LAÄP

Vd1: Tung 1 con xuùc xaéc.

A=bc xuaát hieän maët coù soá nuùt chaún

B=bc xuaát hieän maët coù soá nuùt leû

C=bc xuaát hieän maët coù soá nuùt laø : 2 hoaëc 4

A,B ñoái laäp? B,C ñoái laäp?

32

6)ÑOÁI LAÄP


Ñaët T=bc ñöôïc vieân phaán T.

Ñ=bc ñöôïc vieân phaán Ñ.

A=bc laáy ñöôïc 1 vieân phaán

T,Ñ ñoái laäp? T,A ñoái laäp?



9

33

6)ÑOÁI LAÄP


Ñaët B=bc ñöôïc 2 vieân phaán T.

C=bc ñöôïc 2 vieân phaán Ñ.

A=bc laáy ñöôïc nhieàu nhaát 1 vieân phaán Ñ

D=bc laáy ñöôïc vieân phaán T

B,C ñoái laäp? A,C ñoái laäp? C,D ñoái laäp?

34

6) ÑOÁI LAÄP

Baøi taäp: xeùt 2 ngöôøi (1 nam, 1 nöõ) ñöôïc cho laøñang yeâu nhau thaém thieát.

A= anh yeâu em

B= em yeâu anh

Xeùt yù nghóa cuûa caùc quan heä sau:

A=B ? A=>B ? B=>A ?

A+B ? A.B ?

A,B xk ? A,B ñoái laäp ?

35

7)NHOÙM BIEÁN COÁ XUNG KHAÉC TÖØNG ÑOÂI:

Nhoùm (hoï) n bieán coá A1,A2,...,An goïi laø xung khaéctöøng ñoâi neáu hai bieán coá baát kyø trong nhoùm laø xungkhaéc nhau (nghóa laø Ai.Aj=, vôùi moïi ij)

36

7)NHOÙM BIEÁN COÁ XUNG KHAÉC TÖØNG ÑOÂI:

VD1: tung 1 con xuùc xaéc

Ñaët A= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 1,2

B= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 4,6

C= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 5

D= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø leû

A,B,C xktñ? A,B,D xktñ?



10

37

7)XKTÑ

Vd2: Hoäp phaán coù: 9 vieân phaán traéng, 2 vieân phaánñoû, 3 vieân phaán Xanh. Laáy NN 1 vieân phaán ra xemmaøu.

T=bc ñöôïc vieân phaán T

Ñ=bc ñöôïc vieân phaán Ñ

X=bc ñöôïc vieân phaán X

T,Ñ,X xktñ?

38

7)XKTÑ

Vd3: Hoäp phaán coù: 9 vieân phaán traéng, 2 vieân phaánñoû. Laáy NN 2 vieân phaán ra xem maøu.

A=bc ñöôïc 2 vieân phaán T

B=bc ñöôïc 2 vieân phaán Ñ

C=bc ñöôïc 1 vieân phaán T

A,B,C xktñ?

39

7)XKTÑ

Ví duï 4: Khoái töù dieän coù 4 maët: 1 maët sôn xanh, 1 maëtsôn traéng, 1 maët sôn vaøng, maët coøn laïi ½ sôn xanh vaø½ sôn vaøng. Choïn ngaãu nhieân 1 maët cuûa töù dieän ñeåxem maøu.

T=bc choïn ñöôïc maët coù sôn T

X=bc choïn ñöôïc maët coù sôn X

V=bc choïn ñöôïc maët coù sôn V

X,T,V xk tñ?40

8)NHOÙM BC ÑAÀY ÑUÛ:

Nhoùm n bieán coá A1,A2,...,An goïi laø ñaày ñuû neáuA1+A2+...+An =

Vd: tung moät con xuùc xaéc

A=bc maët 1,2 xh

B=bc maët 3,4 xh

C=bc maët 4,5,6 xh

D= bc maët leû xh

A,B,C ññ? A,B,D ññ?



11

41

9)NHOÙM BC DAÀY ÑUÛ VAØ XUNG KHAÉCTÖØNG ÑOÂI:

A1,A2,...,An goïi laø nhoùm bc ññ vaø xktñ neáuA1,A2,...,An laø nhoùm bc ññ vaø laø nhoùm bc xktñ

Nhaän xeùt: A, A* laø nhoùm bc ñaày ñuû vaø xung khaéc.

42

9)NHOÙM BC ÑÑ VAØ XKTÑ

Vd1: tung moät con xuùc xaécA=bc maët 1,2 xhB=bc maët 3,4 xhC=bc maët 4,5,6 xhD=bc maët 5,6 xhE=bc maët 5 xh

A,B,C ññ vaø xktñ?A,B,D ññ vaø xktñ?A,B,E ññ vaø xktñ?

43


Vd2: Hoäp phaán coù: 9 vieân phaán traéng, 2 vieân phaán ñoû,3 vieân phaán Xanh. Laáy NN 1 vieân phaán ra xem maøu.

T=bc ñöôïc vieân phaán T

Ñ=bc ñöôïc vieân phaán Ñ

X=bc ñöôïc vieân phaán X

T,Ñ,X laø nhoùm bc ññ vaø xktñ?

44


Vd3: Hoäp phaán coù: 5 vieân phaán traéng, 3 vieân phaánXanh. Laáy NN 2 vieân phaán ra xem maøu.

A=bc ñöôïc 2 vieân phaán T

B=bc ñöôïc 2 vieân phaán X

C=bc ñöôïc 1 vieân phaán X.

A,B,C laø nhoùm bc ññ vaø xktñ?



12

45

10)BIEÁN COÁ SÔ CAÁP:

Bc sô caáp laø bc khoâng theå phaân chia (cheû nhoû) thaønhcaùc bieán coá khaùc.

Taäp hôïp caùc bc sc taïo thaønh khoâng gian caùc bc sc,hay kg maãu. Kyù hieäu

Bc sc coøn ñöôïc goïi laø keát cuïc toái giaûn

Bieán coá sô caáp ñoàng khaû naêng: Caùc bieán coá sô caápgoïi laø ñoàng khaû naêng xaûy ra neáu khaû naêng xaûy ra cuûacaùc bieán coá laø nhö nhau khi thöïc hieän pheùp thöû.

46

10) BIEÁN COÁ SÔ CAÁP

Vd1: Tung 1 con xuùc xaéc, xeùt xem maët naøo xuaáthieän.

Ai=bc xuaát hieän maët coù soá nuùt laø i, i=1,6 B=bc xhmaët coù soá nuùt chaún

Ta coù: Ai, i=1,6 laø caùc bc sc

B khoâng laø bcsc vì: B=A2+A4+A6

={A1,A2,...,A6} : kg maãu

47

10)BC SÔ CAÁP

Vd2: xeùt gia ñình coù 2 con.

Haõy xaùc ñònh caùc bc sô caáp (ñkn) vaø kg maãu?

48

10)BC SÔ CAÁP

Giaûi vd2:

= {TT,TG,GT,GG}

Vd3: tung 1 ñoàng xu saáp ngöõa (caân ñoái, ñoàng chaát) 2laàn.

haõy xaùc ñònh caùc bc sô caáp (ñkn) vaø kg maãu?



13

49

10)BC SÔ CAÁP

Giaûi VD3:

={SS,SN,NS,NN}

BT1: tung 1 ñoàng xu saáp ngöõa 3 laàn.

haõy xaùc ñònh caùc bcsc (ñkn) vaø kg maãu.

hoång giaûi!

50

10)BC SÔ CAÁP

BT2: hoäp coù 3 bi T, 2 bi X. laáy töø hoäp ra 2 bi xemmaøu. Coù 3 caùch laáy:

caùch 1: laáy NN 2 bi (laáy 1 laàn, vaø laàn ñoù laáy caû 2 bi)

caùch 2: laáy laàn löôït 2 bi (laáy 2 laàn, moãi laàn 1 bi. Laàn1 laáy 1 bi ra xem maøu roài boû bi ñoù ra ngoaøi luoân,sau ñoù laáy 1 bi nöõa laàn 2)

caùch 3: laáy coù hoaøn laïi (noùi hoaøng gia) (hoaëc boûlaïi-noùi daân giaû) 2 bi (laáy 2 laàn, moãi laàn 1 bi. Laàn 1laáy 1 bi ra xem maøu roài boû bi ñoù trôû laïi hoäp, sau ñoùlaáy tieáp 1 bi nöõa laàn 2)

Haõy xaùc ñònh caùc bcsc (ñkn), kg maãu öùng vôùi töøngcaùch laáy.

51

HDBT2:

C1: coù C(2,5)= 10 bcsc

C2: coù A(2,5)= 20 bcsc

C3: coù 52= 25 bcsc

Töï nghæ caùch ghi caùc bcsc naøy, raát thuù vò!

52

III)TÍNH CHAÁT



14

53

III)TÍNH CHAÁT

Vd1: Kieåm tra chaát löôïng 4 saûn phaåm.

Ñaët Ak=bc sp thöù k toát. Bieåu dieãn caùc bc sau theo Ak:

A=bc caû 4 sp ñeàu toát

B=bc coù 3 sp toát , C=bc coù ít nhaát 1 sp xaáu

D=bc coù ít nhaát 1 sp toát , E=bc coù toái ña 1 sp xaáu

Giaûi: A=A1.A2.A3.A4

B= A1*.A2.A3.A4+ A1.A2*.A3.A4

+A1.A2.A3*.A4+ A1.A2.A3.A4*

C= A* , C= A1*+A2*+A3*+A4*

D= A1+A2+A3+A4

E= A+B

54

Tính chaát:

VD2: Coù 2 sinh vieân ñi thi.

A=bc sv 1 thi ñaäu , B=bc sv 2 thi ñaäu

Haõy dieãn taû caùc bc sau theo A, B :

1)caû hai sv ñeàu thi ñaäu

2)khoâng coù ai thi ñaäu

3)coù ít nhaát moät ngöôøi thi ñaäu

4)chæ coù sv 1 thi ñaäu

5)sv 1 thi ñaäu

6)chæ coù moät sv thi ñaäu

7)coù nhieàu nhaát moät ngöôøi thi ñaäu

8)coù sv thi ñaäu

55

Giaûi:

1)AB

2)A*B*

3)A+B

4)AB*

5)A

6)AB*+A*B

7)A*B*+A*B+AB*= (AB)*

8)A+B

56

Baøi taäp 1:Coù 3 sv ñi thi. A, B, C laàn löôït laø bc sv 1, 2, 3 thi ñaäu.

Haõy dieãn taû caùc bc sau theo A, B, C :

1)caû 3 ñeàu thi ñaäu

2)khoâng coù ai thi ñaäu

3)coù 2 ngöôøi thi ñaäu

4)coù 1 ngöôøi thi ñaäu

5)coù ít nhaát 1 ngöôøi thi ñaäu

6)coù nhieàu nhaát 1 ngöôøi thi ñaäu

7)coù nhieàu nhaát 1 ngöôøi thi rôùt

8)coù nhieàu nhaát 2 ngöôøi thi rôùt

9)chæ coù sv 1 thi ñaäu

10)chæ coù sv 1 thi rôùt

11)sv 1 thi ñaäu



15

57

BT2:

Hoäp coù 3 bi T, 2 bi X. Laáy laàn löôït 2 bi töø hoäp.

Ti= bc laáy ñöôïc bi T ôû laàn laáy thöù i, i=1,2

Bieåu dieãn caùc bieán coá sau theo caùc Ti (xeùt cho 2 bi laáyra):

1)laáy ñöôïc 0 bi T



4)laáy ñöôïc ít nhaát 1 bi T

5)laáy ñöôïc 2 bi cuøng maøu

6)laáy ñöôïc nhieàu nhaát 1 bi T

7)laáy ñöôïc bi T 58

Giaûi:

1)T1*T2*

2)T1T2*+T1*T2

3)T1T2

4)T1+T2

5)T1T2+T1*T2*

6)(T1T2)*

7)T1+T2

59

BT3:

Hoäp 1 coù: 2 bi T, 3 bi X. Hoäp 2 coù: 2 bi T, 2 bi X. Laáy 1bi töø hoäp 1 boû sang hoäp 2, roài sau ñoù laáy ngaãu nhieân 2 bitöø hoäp 2 ra.

A=bc laáy ñöôïc bi T töø hoäp 1

Bi=bc laáy ñöôïc i bi T töø hoäp 2, i=0,2

Bieåu dieãn caùc bieán coá sau theo A, Bi (xeùt cho 3 bi laáyra):





5)laáy ñöôïc bi T 60

Giaûi:

1)AB2

2)AB0+A*B1

3)AB1+A*B2

4)A*B0

5)(A*B0)*= A+B0*= A+B1+B2



16

61

BT4: Hoäp 1 coù: 3 bi T, 2 bi X. Hoäp 2 coù: 3 bi T, 3 bi X.

Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp ra 2 bi.

Ai=bc laáy ñöôïc i bi T töø hoäp 1, i=0,2

Bi=bc laáy ñöôïc i bi T töø hoäp 2, i=0,2

Haõy dieãn taû caùc bc sau theo Ai, Bi (xeùt cho 4 bi laáy ra):

1)laáy ñöôïc 4 bi X





6)laáy ñöôïc ít nhaát 1 bi T

7)laáy ñöôïc nhieàu nhaát 2 bi T



62

Giaûi:

1)A0B0

2)A1B0+A0B1

3)A0B2+A2B0+A1B1

4)A2B1+A1B2

5)A2B2

6)(A0B0)*

7) = 1)+2)+3)

8)= 2)+4)

9) = 1)+5)

63

Bình loaïn:

Qua VD treân baïn coù thaáy ñöôïc lôïi ích cuûa vieäc hoïcXaùc suaát?!

Moät naøng tröôùc khi “trao thaân gôûi phaän” cho chaøngluoân muoán chaøng höùa laø: chaøng yeâu naøng vaø khoâng yeâuai khaùc nöõa!

Neáu naøng khoâng hoïc XS thì seõ noùi: “anh coù höùa yeâuem khoâng” (luùc ñoù chaøng möøng thaàm trong buïng!)

Neáu naøng ñaõ hoïc XS thì seõ noùi: “anh coù höùa chæ yeâumoät mình em khoâng” (luùc ñoù chaøng oâm buïng khoùcthaàm!)

64

IV/ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT:

1)Khaùi nieäm: Xaùc suaát cuûa 1 bc laø 1 con soá ñaëctröng cho khaû naêng xaõy ra cuûa bc ñoù khi thöïchieän pheùp thöû.

2)Ñn coå ñieån: Thöïc hieän 1 pheùp thöû NN. Giaû söûcoù n keát cuïc toái giaûn (bc sô caáp) xaõy ra.

Caùc keát cuïc naøy goïi laø ñoàng khaû naêng xaõy raneáu khoâng coù keát cuïc naøo öu tieân hay xaõy ra hônkeát cuïc naøo (caùc keát cuïc naøy coù khaû naêng xaõy ranhö nhau khi thöïc hieän pheùp thöû).

Keát cuïc maø khi noù xaõy ra keùo theo bc A xaõy ragoïi laø keát cuïc thuaän lôïi cho bc A.



17

65

2)ÑN COÅ ÑIEÅN

P(A)= soá keát cuïc toái giaûn thuaän lôïi cho A /

soá kc toái giaûn ñoàng khaû naêng xaõy ra

= soá bc sc thuaän lôïi cho A /

soá bc sc ñkn xaõy ra

= |A| / ||

Tính chaát:

0<= P(A) <=1 vôùi A laø bc baát kyø.

P()= || / || = 0/ ||=0 , P()= || / || =1

66

2)ÑN COÅ ÑIEÅN

Vd1: Tung 1 con xuùc xaéc, xeùt xem maët naøo xh.

Ai=bc xh maët coù soá nuùt i

B=bc xh maët coù soá nuùt chaün

C=bc xh maët coù soá nuùt laø: 2 hoaëc 3

D=bc xh maët coù soá nuùt leû

E=bc xh maët coù soá nuùt laø: 4 hoaëc 6

Ta coù: Ai laø bc sc, ={A1, A2, A3, A4, A5, A6}

P(Ai)=1/6

P(B)=3/6=1/2 , P(C)=2/6=1/3 ,

P(D)=3/6=1/2 , P(E)=2/6=1/3

67

2)ÑNCÑ (NHAÄN XEÙT VD1)

C,E xung khaéc. P(C+E)=4/6=2/3

C+E= bc xh maët coù soá nuùt laø:2,3,4,6

vaäy 4/6= P(C+E) = P(C)+P(E) = 2/6+2/6

B,D ñoái laäp: P(B)+P(D)= ½+ ½ = 1

=> P(D) = 1- P(B) hay P(B*)= 1-P(B)

B,C khoâng xung khaéc

B.C=bc xh maët coù soá nuùt laø 2 , P(B.C)=1/6

B+C= bc xh maët coù soá nuùt laø: 2,3,4,6

P(B+C)=4/6=2/3

P(B+C)=P(B)+P(C)-P(B.C)

68

2)ÑNCÑ

Vd2: Hoäp coù 10 bi T, 4 bi X. Laáy ngaãu nhieân 2 bi (laáymoät laàn 2 bi) ra xem maøu.

Tính xs :

a) Laáy ñöôïc 2 bi T

b) Laáy ñöôïc 1 bi T, 1 bi X

c) Laáy ñöôïc 2 bi X



18

69

2)ÑNCÑ

Giaûi VD2: Pheùp thöû: laáy ngaãu nhieân 2 bi töø 14 bi => CoùC(2,14) caùch laáy => ||=C(2,14)

a) A=bc laáy ñöôïc 2 bi T

Trong C(2,14) caùch laáy treân, ta thaáy coù C(2,10) caùchlaáy ñöôïc 2 bi T => |A|=C(2,10)

Vaäy P(A)=|A|/ ||=C(2,10)/ C(2,14)= 45/91

b) B=bc laáy ñöôïc 1 bi T, 1 bi X

Trong C(2,14) caùch laáy treân, ta thaáy coù C(1,10)*C(1,4)caùch laáy ñöôïc 1 bi T, 1 bi X

=> |B|=C(1,10)*C(1,4)

Vaäy P(B)=|B|/ ||=C(1,10)*C(1,4)/ C(2,14)

= 10*4/ 91 = 40/91 70

2)ÑNCÑ (GIAÛI VD2 -TIEÁP)

c) C=bc laáy ñöôïc 2 bi X

P(C) = C(2,4) / C(2,14) = 6/91

Caùch khaùc:

C laø bieán coá ñoái laäp vôùi A+B neân:

P(C)= 1-P(A+B)

A,B laø 2 bieán coá xung khaéc neân:

P(A+B)= P(A)+P(B)= 45/91 + 40/91 = 85/91

Vaäy P(C)= 1- 85/91= 6/91

71

2)ÑNCÑ

NX: Ñeå tính xs cuûa bc A ta thöïc hieän 2 böôùc sau:

B1) Töø giaû thieát baøi toaùn (vieäc thöïc hieän pheùp thöû) tatính soá bc sc ñkn xaõy ra => ||

B2) Trong caùc bc sc ñkn xaõy ra, ta tính soá bc sc thuaänlôïi cho bc A => |A|

Xaùc suaát cuûa bc A laø: P(A)= |A|/ ||

72

BT1: Theo baïn laäp luaän sau ñuùng hay sai, taïi sao?

Xeùt moät gia ñình coù 2 con.

Ta coù 3 tröôøng hôïp:

A=gia ñình coù 0 con trai (2 con gaùi)

B=gia ñình coù 1 con trai

C=gia ñình 2 con trai

Ta coù 3 tröôøng hôïp xaõy ra neân :

P(A)= P(B)= P(C)= 1/3



19

73

BT2: Theo baïn laäp luaän sau ñuùng hay sai, taïi sao?

Hoäp coù 3 bi T, 2 bi X. laáy ngaãu nhieân töø hoäp ra 2 bixem maøu.

Ta coù 3 tröôøng hôïp xaûy ra:

A=laáy ñöôïc 0 bi T (2 bi X)

B=laáy ñöôïc 1 bi T (1 bi X)

C=laáy ñöôïc 2 bi T

Ta coù 3 tröôøng hôïp xaûy ra neân:

P(A)= P(B)= P(C)= 1/3

74

3)ÑN XAÙC SUAÁT THEO THOÁNG KEÂ:

P(A)=|A| / ||

Haïn cheá cuûa ñònh nghóa coå ñieån?

75

3)ÑNTKTa thaáy: Trong 1 soá tröôøng hôïp thöïc teá, ta khoâng theå

tính ñöôïc |A|Ví duï1: Moät loâ haøng coù N saûn phaåm söõa hoäp. Laáyngaãu nhieân n (n<N) sp cuûa loâ haøng.Ñaët: A=bc coù m (m<=n) pheá phaåm trong n sp laáy ra.

Muoán tính P(A) ta phaûi bieát soá sp xaáu (M) cuûa loâhaøng laø bao nhieâu:

P(A)=C(m,M)*C(n-m,N-M)/ C(n,N)Ñeå bieát loâ haøng coù bao nhieâu pheá phaåm ta phaûi kieåmtra ( môû naép) töøng hoäp söõa, ñieàu naøy laø khoâng theåchaáp nhaän ñöôïc => soá pheá phaåm M cuûa loâ haøng laøkhoâng bieát ñöôïc => P(A) khoâng theå tính ñöôïc 76

3)ÑNTK

Ví duï 2: Xeùt troø chôi: tung ñoàng xu saáp ngöõa ôû caùcnôi côø gian baïc laän. Ñoàng xu khoâng caân ñoái vaø ñoàngchaát, hoaëc khi tung coù ñeå thanh nam chaâm keá beân!Ta khoâng theå noùi khaû naêng ñöôïc maët saáp vaø maëtngöõa laø baèng nhau, vaø baèng ½ => Pheùp thöû (tung 1ñoàng xu, xem saáp hay ngöõa) coù caùc keát cuïc khoângñoàng khaû naêng xaõy ra.



20

77

3)ÑNTK

Vd3: xeùt nhöõng ngöôøi ñeán sieâu thò trong 1 ngaøy naøo ñoù.

A= bc coù 500 ngöôøi nöõ ñeán sieâu thò trong ngaøy.

Ta coù xaùc ñònh ñöôïc |A|, ||?

78

3)ÑNTK

Taàn suaát: Thöïc hieän 1 pheùp thöû T n laàn. Goïi m laø soálaàn xuaát hieän bc A quan taâm trong n laàn thöû.

Tyû soá fn(A)= m/n goïi laø taàn suaát xuaát hieän cuûa bc A(trong n laàn thöû)

Ta nhaän xeùt thaáy: khi soá pheùp thöû n caøng lôùn thì fn(A)caøng tieán gaàn ñeán 1 giaù trò p naøo ñoù, nghóa laø

lim fn(A)= p , khi n -->

Ñn: p goïi laø xs cuûa bc A theo thoáng keâ: P(A)=p

Trong thöïc teá ta hay duøng fn(A) nhö laø xs cuûa bc A khin lôùn

79

3)ÑNTK

Vd1: ñeå xaùc ñònh xaùc suaát 1 caëp vôï choàng sau khicöôùi nhau thì seõ ly dò thöïc teá laø bao nhieâu. Ngöôøi tañieàu tra thôøi gian vöøa qua thaáy coù trong 10000 caëpcöôùi nhau, coù 500 caëp ly dò. Vaäy coù theå xem xaùc suaátñeå 1 caëp sau khi cöôùi nhau seõ ly dò laø:

500 / 10000 = 0,05 (!)

80

3)ÑNTK

Vd2: caùc keát quaû thoáng keâ cho thaáy taàn suaát sinh contrai töï nhieân laø 0,513 ( 0,5). Vaäy thì khaû naêng 1ngöôøi phuï nöõ sinh con trai trong 1 laàn sinh hoång phaûilaø 0,5. coù nghóa laø bieán coá sinh con trai coù xaùc suaát0,5.

Löu yù: tuy nhieân trong baøi taäp xaùc suaát ngöôøi tavaãn giaû ñònh xaùc suaát sinh con trai trong 1 laàn sinhlaø 0,5 (ngöôøi ta ñôn giaûn cho raèng ngöôøi phuï nöõkhi sinh chæ coù 2 tröôøng hôïp: coù hoaëc khoâng coù contrai, maø khoâng xeùt ñeán caùc yeáu toá aûnh höôûngkhaùc. Hay vì lyù do naøo ñoù maø ctmb!)



21

81

3)ÑNTK:

Tuy nhieân ñònh nghóa thoáng keâ vaãn coù 1 soá haïn cheá:

• *Chæ aùp duïng ñöôïc cho caùc pheùp thöû NN coù theå laëplaïi nhieàu laàn 1 caùch ñoäc laäp trong caùch ñieàu kieängioáng heät nhau.

• *ñeå cho keát quaû chính xaùc thì soá laàn thöïc hieän pheùpthöû n phaûi ñuû lôùn. Ñieàu naøy trong thöïc teá khoâng phaûiluùc naøo cuõng laøm ñöôïc.

82

3)ÑNTK (HAÏN CHEÁ-TIEÁP)

Vd1: taàn suaát sinh con trai töï nhieân laø 0,513. tuy nhieânôû Trung quoác aùp duïng chính saùch sinh 1 con thì hieän taïitaàn suaát sinh trai (hoång töï nhieân!) ôû Trung quoác lôùnhôn 0,513 (theo baùo chí!).

Vd2: khi nghieân cöùu 1 con gaø ñeû tröùng thì ta coù theånghieân cöùu n laàn ñöôïc. Nhöng khi “nghieân cöùu” 1ngöôøi phuï nöõ sinh con thì ta khoâng theå nghieân cöùu nlaàn ñöôïc (khoâng theå yeâu caàu ngöôøi ta haõy sinh n laàncho toâi ñeå toâi nghieân cöùu!!!)

83

3)ÑNTK

Ngoaøi ra ngöôøi ta coøn ñònh nghóa xaùc suaát theophöông phaùp hình hoïc. Tuy nhieân pp hình hoïc vaãn coùhaïn cheá cuûa noù.

Ñònh nghóa xaùc suaát 1 caùch chaët cheõ laø ñònh nghóatheo tieân ñeà xaùc suaát. Moät ñònh nghóa khoâng laáy gìlaøm thuù vò cho laém ñoái vôùi chuùng ta!

84

V/CAÙC COÂNG THÖÙC TÍNH XAÙC SUAÁT:

1)Coâng thöùc coäng:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A.B)

Neáu A.B= (A,B xung khaéc) thì:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Moät Caâu hoûi lôùn: caùi khoù khaên nhaát khi aùp duïngcoâng thöùc coäng laø gì?



22

85

1)CT COÄNG

Traû lôøi: khoâng xaùc ñònh ñöôïc 2 bc A, B coù xung khaécnhau hay khoâng, trong baøi taäp cuï theå.

86

1)CT COÄNG

Vd1: Lôùp coù 50 sv, trong ñoù coù 20 sv gioûi Anh, 15 svgioûi Phaùp, 7 sv gioûi caû 2 ngoaïi ngöõ. Choïn NN 1 sv.

Tính xs:

a) Choïn ñöôïc 1 sv gioûi ít nhaát 1 ngoaïi ngöõ

b) Choïn ñöôïc 1 sv khoâng gioûi ngoaïi ngöõ naøo heát

HD:

a) A=bc sv naøy gioûi Anh


C=bc sv naøy gioûi ít nhaát 1 ngoaïi ngöõ

C=A+B ? A,B xung khaéc?

87

1)CTCOÄNG (VD1)

A,B khoâng xung khaéc vì coù sinh vieân gioûi caû 2 ngoaïingöõ.

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=20/50 + 15/50 –7/50= 28/50

b) D= bc sv naøy khoâng gioûi NN naøo heát

P(D)=P(A*.B*)=P[(A+B)*]

=P(C*)=1-P(C)=1-28/50 =22/50

88

1)Coâng thöùc coäng

VD2: giaû thieát gioáng VD1.

a)Tính xaùc suaát: sv naøy chæ gioûi AV?

b)Tính xaùc suaát : sv naøy chæ gioûi ñuùng 1 ngoaïi ngöõ?

VD3: giaû thieát gioáng VD1. nhöng thay vì choïn 1 sv thìta choïn ngaãu nhieân 2 sv. Tính xaùc suaát:

a)Caû 2 sv ñeàu gioûi caû 2 ngoaïi ngöõ?

b)Caû 2 sv gioûi ít nhaát 1 ngoaïi ngöõ?

c)Caû 2 sv chæ gioûi AV?

d)Caû 2 sv chæ gioûi 1 ngoaïi ngöõ?

e)Caû 2 sv khoâng gioûi ngoaïi ngöõ naøo heát?



23

89

1)Coâng thöùc coäng

VD2:

a)P(AB*)= P(A)-P(AB)

b)P(AB*+A*B)= P(A)+P(B)-P(AB)

VD3: ||= C(2,50)

a)soá sv gioûi caû 2 NN: 7

b) soá sv gioûi ít nhaát 1 NN: 13+7+8= 28

c)soá sv chæ gioûi AV: 20-7= 13

d) soá sv gioûi chæ gioûi moät NN: 13+8= 21

e) soá sv gioûi khoâng gioûi NN naøo heát: 50-28= 22

Baøi taäp: Giaûi laïi VD1, 2 baèng caùch giaûi ôû VD3.

90

1)CT COÄNG

Vd4: Hoäp coù 10 caây vieát bic, trong ñoù coù 3 caây vieátxaáu. Laáy ngaãu nhieân 2 caây. Tính xs laáy ñöôïc ít nhaát 1caây vieát toát

HD: A=bc laáy ñöôïc 1 caây vieát toát

B=bc laáy ñöôïc 2 caây vieát toát

C=bc laáy ñöôïc ít nhaát 1 caây vieát toát.

C=A+B? A,B xung khaéc?

91

1)CT COÄNG (VD4)

A,B xung khaéc, vì ta chæ laáy coù 2 caây. Hoaëc ta ñöôïc 1caây vieát toát hoaëc ta ñöôïc 2 caây vieát toát. Khoâng theåñöôïc caû 2 tröôøng hôïp. Ta chæ ñöôïc caû 2 tröôøng hôïp khilaáy 4 caây.

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)

=C(1,7)*C(1,3)/ C(2,10)+C(2,7)/ C(2,10)

92

1)CTCOÄNG

VD5: Laáy ngaãu nhieân 2 laù baøi töø boä baøi taây 52 laù

Ñaët: A=bc laáy ñöôïc 2 laù aùch

B=bc laáy ñöôïc 2 laù cô

A,B xung khaéc?

Tính P(A+B)?



24

93

1)CTCOÄNG

Giaûi VD5:

A,B xung khaéc vì 1 boä baøi bình thöôøng khoâng theå coù2 laù Aùch cô.

P(A+B)= P(A)+P(B)

= C(2,4)/C(2,52)+C(2,13)/C(2,52)

94

1)CTCOÄNG

Toång quaùt: Naém caùch ghi nha!

*P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

-P(AB)-P(AC)-P(BC)

+P(ABC)

Neáu A,B,C xk töøng ñoâi thì:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

*P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)

-P(AB)-P(AC)-P(AD)-P(BC)-P(BD)-P(CD)

+P(ABC)+P(ABD)+P(ACD)+P(BCD)

-P(ABCD)

Neáu A,B,C,D xk töøng ñoâi thì:

P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)

95

2)CT XAÙC SUAÁT COÙ ÑIEÀU KIEÄN:

Vd1: Hoäp coù 5 vieân bi ñoû, 7 bi traéng. Laáy laàn löôït 2 bi(laáy khoâng hoaøn laïi)

Bieát raèng laàn 1 laáy ñöôïc bi T, tính xs laàn 2 laáy ñöôïc biT?

Giaûi:

Ti=bc laàn i laáy ñöôïc bi T , i=1,2

Ta coù theå vieát laïi caâu hoûi nhö sau: Bieát raèng T1 xaõyra, tính xs T2 xaõy ra

96

2)CT XSCÑKGiaûi VD1:T1 xaõy ra: Laàn 1 laáy ñöôïc bi T => hoäp chæ coøn

laïi 11 bi (coù 6 bi T) => ÔÛ laàn laáy thöù 2 (choïn 1 bi trong11 bi) : soá tröôøng hôïp ñkn laø 11, soá tröôøng hôïp thuaän lôïicho T2 laø 6 => xaùc suaát cuûa T2 (vôùi ñieàu kieän T1 xaõyra) laø 6/11.

Ta vieát: P(T2/T1): xaùc suaát cuûa T2 vôùi ñieàu kieän T1 xaõyra

Ta coù: P(T2/T1)=6/11

Toång quaùt: P(A/B) : xaùc suaát cuûa bc A vôùi ñieàu kieän bcB ; B goïi laø bc ñieàu kieän

Coâng thöùc: P(A/B)=P(AB) / P(B)



25

97

2)CTXSCÑK

Vd2: Moät toå ñieàu tra daân soá vaøo thaêm 1 gia ñình coù 2con

a) Tính xaùc suaát gia ñình naøy coù 2 con trai

b) Ñang noùi chuyeän thì coù 1 caäu con trai ra chaøokhaùch. Tính xs gia ñình naøy coù 2 con trai

98

2)CTXSCÑKGiaûi VD2: Vôùi 1 gñình coù 2 con, ta coù 4 tröôøng hôïp xaõy ra:

TT TG GT GG

¼ ¼ ¼ ¼

a) goïi A=bc gia ñình naøy coù 2 trai

A=TT => P(A)=P(TT)= ¼

b) goïi B=bc gia ñình naøy coù con trai

B=TG+GT+TT => P(B)= ¾

Söï kieän caäu con trai ra chaøo khaùch => bc B xaõy ra => xs giañình naøy coù 2 trai laø: P(A/B)

Ta coù: A.B=TT.(TG+GT+TT)=TT => P(AB)= ¼

Vaäy P(A/B)=P(AB)/P(B)= ¼ / ¾ = 1/3

Ta thaáy: Khi bc B chöa xaõy ra thì xs cuûa A laø P(A)= ¼ .

Tuy nhieân khi bc B xaõy ra thì khaû naêng xaõy ra cuûa

bc A taêng leân laø P(A/B)= 1/3

99

3)CT NHAÂN31) BIEÁN COÁ ÑOÄC LAÄP:

Bc A ñoäc laäp ñoái vôùi bc B neáu bc B xaõy ra hay khoângxaõy ra khoâng aûnh höôûng ñeán khaû naêng xaõy ra cuûa A,nghóa laø P(A/B)=P(A)

Neáu A ñoäc laäp ñv B thì B cuõng ñoäc laäp ñv A, nghóa laøP(B/A)=P(B). Luùc ñoù ta noùi A,B ñoäc laäp ñoái vôùi nhau.

Vd1: Xeùt laïi ví duï 2 (gia ñình coù 2 con)

Ta coù P(A/B)= 1/3 P(A)= ¼ neân A,B khoâng ñoäc laäp100

31)BC ÑOÄC LAÄP

Vd2: Tung ñoàng thôøi 2 con xuùc xaéc.

A=bc con xx thöù nhaát xuaát hieän maët coù soá nuùt laø1

B=bc con xx thöù 2 xuaát hieän maët coù soá nuùt leû.

Xeùt xem A, B coù ñoäc laäp?



26

101

31)BC ÑOÄC LAÄP

Tung 1 con xuùc xaéc thì coù 6 keát cuïc toái giaûn => Tung 2con xx thì coù 6*6=36 keát cuïc toái giaûn.

Ñaët Ci=bc con thöù 1 xh maët coù soá nuùt laø i

Di=bc con thöù 2 xh maët coù soá nuùt laø i

Khoâng gian maãu ={C1D1,C1D2, ...,C1D6,

C2D1,C2D2, ...,C2D6,

....

C6D1,C6D2, …, C6D6}

P(A)=6/36=1/6 , P(B)=18/36=1/2 , P(AB)=3/36=1/12=> P(A/B)=P(AB) / P(B) = 1/12 / ½ = 1/6

=> P(A)=P(A/B) => A,B ñoäc laäp

102

31)BC ÑOÄC LAÄP

Löu yù: Trong thöïc teá ta khoù coù theå duøng coâng thöùcP(A/B)=P(A) ñeå xaùc ñònh A,B ñoäc laäp (moät caùch chaëtcheõ) cho moïi baøi toaùn.

Chuû yeáu döïa vaøo giaû thieát baøi toaùn vaø suy luaän: neáukhaû naêng xaõy ra cuûa bc A khoâng phuï thuoäc vaøo bc B(khoâng bò aûnh höôûng bôûi bc B) thì ta noùi A ñoäc laäpñoái vôùi B.

103

32)COÂNG THÖÙC NHAÂN:

P(AB)=P(A/B).P(B)=P(B/A).P(A)

Neáu A,B ñoäc laäp thì:

P(A/B)=P(A) => P(AB)=P(A).P(B)

nhaän xeùt: CT nhaân vaø CT xs coù ñieàu kieän?

1)Caâu hoûi lôùn: caùi khoù nhaát khi aùp duïng coâng thöùcnhaân laø gì?

2)caâu hoûi hôi lôùn: khi naøo thì ta xeùt bc ñieàu kieän laø bcA hoaëc bc B? 104

32)CT NHAÂN

Traû lôøi:

1) laø xaùc ñònh xem A,B coù ñoäc laäp khoâng

2) Neáu ta deã tính P(A/B) hôn laø P(B/A) thì ta neân choïnbc ñieàu kieän laø B.

VD1: hoäp coù 4 bi T, 3 bi X. laáy laàn löôït 2 bi.

ñaët Ti= bc laàn i laáy ñöôïc bi T, i=1,2

tính xaùc suaát laáy ñöôïc 2 bi T?

HD: ta thaáy P(T2/T1) deã tính hôn P(T1/T2)

do ñoù: P(T2.T1)= P(T2/T1).P(T1)

= (3/6).(4/7)



27

105

32)CT NHAÂN

VD1: P(T1/T2) khoù tính nhöng coù tính ñöôïc hoâng?

Traû lôøi:

Tính ñöôïc. Xin xem coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, coângthöùc Bayes seõ roõ!

106

32)CT NHAÂN

VD2: Coù 2 ngöôøi A vaø B vôùi khaû naêng thi ñaäu moânXSTK laàn löôït laø 60%, 80%. Khaû naêng thi ñaäu cuûaA vaø B laø ñoäc laäp nhau.

Bieát raèng coù ít nhaát 1 ngöôøi thi ñaäu, haõy tính xaùcsuaát ngöôøi A thi ñaäu?

107

Giaûi VD2:

Ñaët caùc bieán coá sau:

A= bc ngöôøi A thi ñaäu

B= bc ngöôøi B thi ñaäu

C= bc coù ít nhaát 1 ngöôøi thi ñaäu

C=A+B

P(AC)= P[A(A+B)]= P(A+AB)

= P(A.+AB)= P[A(+B)]= P(A.)= P(A) = 0,6

P(C)= P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB)

= P(A)+P(B)-P(A)P(B)= 0,6+0,8-0,6*0,8

Hoaëc P(C)= P(A+B)= 1-P(A*B*)

P(A/C)= P(AC)/P(C)108

32)CT NHAÂN

Löu yù: Tính xung khaéc vaø tính ñoäc laäp cuûa 2 bc A,B.

A.B= (A,B xk) P(A.B) = P() = 0

P(A) 0, P(B) 0

Vaäy P(A).P(B) P(A.B)

A,B xk A, B khoâng ñoäc laäp



28

109

32)CT NHAÂN

*Nhoùm 3 bieán coá ñoäc laäp töøng ñoâi:

A,B,C ñoäc laäp töøng ñoâi neáu A,B ñl; A,C ñl; B,C ñl

*Nhoùm 3 bieán coá ñoäc laäp toaøn theå:

A,B,C ñoäc laäp tt neáu A,B ñl; A,C ñl; B,C ñl

vaø A,BC ñl; B,AC ñl; C,AB ñl

Hay:

P(AB)=P(A)P(B) ; P(AC)=P(A)P(C) ; P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

110

32)CT NHAÂN

*Nhoùm n bc ñoäc laäp toaøn theå:

A1,...,An ñoäc laäp toaøn theå neáu moãi bieán coá trongnhoùm ñoäc laäp ñoái vôùi moät tích baát kyø caùc bieán coá coønlaïi

NX: Ñoäc laäp toaøn theå => ñoäc laäp töøng ñoâi

111

32)CT NHAÂN (ÑOÄC LAÄP TT)

Vd2: Quan saùt 1 gia ñình coù 2 con

A=bc sinh con trai laàn I, A=TT+TG

B=bc sinh con trai laàn II, B=TT+GT

C=bc chæ coù 1 laàn sinh con trai, C=TG+GT.

Xeùt xem A,B,C coù ñoäc laäp (toaøn theå)?

HD: *) P(AB) = P(TT)= ¼ = P(A)P(B)= ½ . ½

P(AC) = P(TG) = ¼ = P(A)P(C) = ½ . ½

P(BC) = P(GT)= ¼ = P(B)P(C) = ½ . ½

=> A,B,C ñoäc laäp töøng ñoâi

*) ABC= => P(ABC) = 0 1/8 = P(A)P(B)P(C)

=> A,B,C khoâng ñoäc laäp toaøn theå

112

32)CT NHAÂN

Vd3: Tung 3 laàn 1 con xuùc xaéc.

Ai=bc laàn tung i xuaát hieän maët coù soá nuùt chaún, i=1,3

Ta coù: A1,A2,A3 ñoäc laäp toaøn theå



29

113

32)CT NHAÂNToång quaùt:

*P(ABC) = P(A/BC).P(BC)

= P(A/BC).P(B/C).P(C)

Neáu A,B,C ñoäc laäp toaøn theå thì

P(ABC)=P(A).P(B).P(C)

*P(ABCD)= P(A/BCD).P(BCD)

= P(A/BCD).P(B/CD).P(CD)

= P(A/BCD).P(B/CD).P(C/D).P(D)

Neáu A,B,C,D ñoäc laäp toaøn theå thì

P(ABCD)=P(A).P(B).P(C).P(D)

Caâu hoûi: naém caùch ghi CT nhaân chöa?114

5)COÂNG THÖÙC XAÙC SUAÁT ÑAÀY ÑUÛ:

Xeùt 1 pheùp thöû T. Giaû söû A1,...,An laø 1 nhoùm caùc bc

ññ vaø xktñ

F laø 1 bieán coá lieân quan tôùi pheùp thöû T (khi bc F

xaõy ra thì chæ coù 1 bc Ai cuøng xaõy ra)

Cho bieát caùc xaùc suaát P(Ai) , P(F/Ai)

Tính P(F)

Ta coù: P(F)=P(F/A1)P(A1)+.... +P(F/An)P(An)

115

5)COÂNG THÖÙC XAÙC SUAÁT ÑAÀY ÑUÛ:

Thật vậy: =A1+A2+…+An

F= F= F(A1+A2+…+An)= FA1+FA2+…+FAn

=> P(F)=P(FA1+FA2+…+FAn)

=P(FA1)+P(FA2)+…+P(FAn)

=P(F/A1)P(A1)+P(F/A2)P(A2)+…+P(F/An)P(An)

Caâu hoûi lôùn: Khoù khaên khi aùp duïng coâng thöùc xsññ laøgì?

Caâu hoûi hôi lôùn: coù baét buoäc caùc Ai phaûi laø caùc bieán coásô caáp khoâng? 116

5)CTXSÑÑ

Vd1: Hoäp coù 5 bi T, 4 bi X. Laáy laàn löôït 2 bi (laáy ngaãu

nhieân khoâng hoaøn laïi)

Tính xaùc suaát laàn 2 laáy ñöoïc bi X?

HD: Ta thaáy khaû naêng laáy ñöôïc bi X ôû laàn 2 phuï thuoäc

vaøo laàn 1: laáy ñöôïc bi X hay bi T => coù 2 tröôøng hôïp xaõy

ra => ta coù nhoùm bc goàm 2 bc , xeùt xem chuùng coù ñaày ñuû

vaø xung khaéc ?



30

117

5)CTXSÑÑ

VD1:

*F=bc laàn 2 laáy ñöôïc bi X

A1=bc laàn 1 laáy ñöôïc bi T

A2=bc laàn 1 laáy ñöôïc bi X

A1,A2 laø nhoùm bc ññ vaø xk

*P(A1)= 5/9 , P(A2)=4/9

*P(F/A1)= 4/8 , P(F/A2)=3/8

P(F)=P(F/A1)P(A1)+P(F/A2)P(A2)= 4/8.5/9+ 3/8.4/9

= 4/9118

5)CTXSÑÑ

Vd2: Xí nghieäp buùt bi Thieân long coù 3 phaân xöôûngsaûn xuaát.

PX1: saûn xuaát 50% sp cuûa toaøn XN ; PX2: 30% ;PX3: 20%

Tyû leä pheá phaåm tính treân soá sp do töøng PX saûn xuaátlaø: 1%, 2%, 3%

Moät sinh vieân mua 1 caây buùt bi Thieân long. Tính xaùcsuaát mua phaûi caây vieát xaáu?

119

5)CTXSÑÑ

HDVD2: Caây vieát xaáu coù theå do: PXI sx, PXII sx, PXIIIsx => coù 3 tröôøng hôïp xaõy ra => ta coù nhoùm bc goàm 3bc , xeùt xem chuùng coù ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi?

*Ñaët Ai=bc vieát do PXi saûn xuaát, i=1,3

F=bc mua phaûi vieát xaáu

A1,A2,A3 taïo thaønh nhoùm bc ññ vaø xktñ

*P(A1)=50%=0,5 P(A2)=0,3 P(A3)=0,2

*P(F/A1)=1%=0,01 P(F/A2)=0,02 P(F/A3)=0,03

P(F)=P(F/A1)P(A1)+ P(F/A2)P(A2)+ P(F/A3)P(A3)

=0,017=1,7%

Vaäy xaùc suaát mua phaûi 1 caây vieát xaáu laø 1,7%120

5)CTXSÑÑ

Caâu hoûi : Bieát raèng mua phaûi caây vieát xaáu, tính xscaây vieát naøy do PXI saûn suaát?



31

121

5)CTXSÑÑTa coù: P(A1/F)=P(FA1)/ P(F)= P(F/A1)P(A1) / P(F)

= 0,01*0,5/ 0,017=0.294Ta thaáy: Tröôùc khi mua caây vieát thì xs caây vieát do PXI

saûn xuaát laø 0,5 (P(A1)=0,5) , nhöng khi bc F xaõy ra(mua phaûi caây vieát xaáu) thì khaû naêng caây vieát do PXIsaûn xuaát giaûm ñi (P(A1/F)=0,294) .

Vaäy: *Tröôùc khi thöïc hieän thí nghieäm (mua 1 caây vieát,xem toát hay xaáu) ta tính tröôùc raèng : xs caây vieát do PXIsx laø P(A1)=0,5 , goïi laø xaùc suaát tieàn/tieân nghieäm

*Sau khi thöïc hieän thí nghieäm , bc F xaõy ra => ta coù xscaây vieát do PXI sx laø P(A1/F)=0,294 , goïi laø xaùc suaáthaäu nghieäm

P(Ai/F) =? Goïi laø coâng thöùc Bayes.122

5)CTXSÑÑ

Nhaän xeùt: thöôøng ta duøng sô ñoà ñeå bieåu dieãn caùc tröôøng

hôïp cuûa ctxsññ nhö sau:

Vôùi VD1:

F

A1 A2

123

5)CTXSÑÑVD3: hoäp coù 4 bi T, 5 bi X. laáy laàn löôït 3 bi töø hoäp ra.

Tính xaùc suaát laàn 3 laáy ñöôïc bi T?

F=bc laàn 3 laáy ñöôïc bi T

Ti= bc laàn i laáy ñöôïc bi T, i=1,2

Xi= bc laàn i laáy ñöôïc bi X, i=1,2

F

T2 X2

T1 X1 T1 X1

Vaäy ta coù 4 tröôøng hôïp: A1=T1T2, A2=T1X2,

A3=X1T2, A4=X1X2. {A1, A2, A3, A4}

coù laø nhoùm bc ññ vaø xktñ?124

5)CTXSÑÑ. VD3

P(A1)=P(T1T2)=P(T2/T1)P(T1)= 3/8 .4/9 =3/18

P(A2)=P(T1X2)=P(X2/T1)P(T1)=5/8 .4/9 =5/18

P(A3)=P(X1T2)=P(T2/X1)P(X1)=4/8 .5/9 =5/18

P(A4)=P(X1X2)=P(X2/X1)P(X1)=4/8 .5/9 =5/18

P(F/A1)=2/7 , P(F/A2)=3/7 ,

P(F/A3)=3/7 , P(F/A4)=4/7

P(F)=P(F/A1)P(A1)+…+P(T/A4)P(A4)

=2/7 . 3/18+3/7 .5/18+3/7 .5/18+4/7 .5/18



32

125

6)Coâng thöùc Bayes:

Laáy laïi giaû thieát trong coâng thöùc xs ñaày ñuû

Tính xaùc suaát cuûa bc Ai vôùi ñieàu kieän bc F ñaõ xaõy ra

P(Ai/F)= P(FAi)/ P(F)= P(F/Ai)P(Ai) / P(F)

= [P(F/Ai)P(Ai)] / [P(F/Ai)P(Ai)]

126

6)CTBAYES

Vd1: Coù 2 hoäp phaán loaïi I, 1 hoäp phaán loaïi II. Hoäploaïi I coù 8 vieân phaán T, 2 vieân phaán X; hoäp loaïi IIcoù 9 vieân phaán T, 1 vieân phaán X. Laáy ngaãu nhieân 1hoäp, roài töø hoäp ñoù laáy ngaãu nhieân 1 vieân phaán raxem maøu. Tính xs vieân phaán laáy ra thuoäc hoäp loaïi I,bieát raèng noù laø vieân phaán T?

127

6)CTBAYES

HDVd1: Ta thaáy: vieân phaán xem maøu coù theå thuoäc:hoäp loaïi I hoaëc hoäp loaïi II => coù 2 tröôøng hôïp xaõy ra

*F=bc laáy ñöôïc vieân phaán T

Hi=bc laáy hoäp loaïi i, i=1,2

*P(F)= P(F/H1)P(H1)+P(F/H2)P(H2)

= 8/10 . 2/3+ 9/10 . 1/3= 5/6

*P(H1/F)= P(FH1)/P(F)=P(F/H1)P(H1)/ P(F)

= [8/10 . 2/3] / 5/6 = 8/15 / 5/6= 48/75

NX: Caâu hoûi khoâng yeâu caàu tính P(F) , nhöng khilaøm baøi ta neân tính tröôùc P(F) 128

6)CT BAYES

VD2: Vd3 muïc 5

Bieát raèng laàn 3 laáy ñöôïc bi T, tính xaùc suaát laàn 2 laáyñöôïc bi T?

P(T2/F)=?

HD:

P(T2/F)= P(T2.F) /P(F)

P(F) ñaõ bieát



33

129

6)CT BAYES VD2

P(T2.F)= P(F.T2.)=P[F.T2.(T1+X1)]

= P(F.T2.T1+F.T2.X1)

= P(F.T2.T1)+P(F.T2.X1)

= P(F/T2T1)P(T2/T1)P(T1)+P(F/T2X1)P(T2/X1)P(X1)

= 2/7 . 3/8 . 4/9+ 3/7 . 4/8 . 5/9

Caâu hoûi: bieát raèng laàn 3 laáy ñöôïc bi T, tính xaùc suaát laàn1 laáy ñöôïc bi T?

P(T1/F)=?

HD:

P(F.T1)= P[F.T1.(T2+X2)] 130

Bình loaïn: Qua coâng thöùc xsññ vaø Bayes baïn coù caûmthaáy söï “voâ thöôøng” cuûa cuoäc ñôøi! Trong cuoäc ñôøi, aicuõng ñaõ töøng ít nhaát 1 laàn thoát leân caâu: “giaù nhö…”! Thíduï: “giaù nhö bieát laáy choàng ñöôïc sung söôùng thì toâi ñaõlaáy choàng sôùm roài”, “giaù nhö bieát laáy vôï seõ chòu ñau khoåthì toâi ñaõ khoâng laáy roài”, “giaù nhö toâi chaêm hoïc theâm tyùnöõa thì toâi ñaõ thi ñaäu roài”,…Giaû söû tröôùc khi laáy vôï baïnöôùc tính xaùc suaát baïn seõ bò ñau khoå laø P(A)=50%; vaø saukhi baïn laáy vôï, moät ngöôøi vôï ñöôïc moïi ngöôøi cho laø“hieän ñaïi”, baïn tính ñöôïc xaùc suaát baïn bò ñau khoå laøP(A/F)=80%. Luùc ñoù baïn mong öôùc phaûi chi F ñöøng xaûyra, nhöng baïn chæ bieát F xaûy ra khi baïn ñaõ thöïc hieän“pheùp thöû” laáy vôï. Ñaây laø 1 pheùp thöû maø baïn chæ

thöïc hieän 1 laàn laø “quaù ñuû”!

131

7)NGUYEÂN LYÙ BIEÁN COÁ HIEÁMMoät bieán coá A coù xaùc suaát P(A) nhoû thì khi thöïc hieän 1

pheùp thöû ta xem nhö noù khoâng xaõy ra. Ta goïi A laø bieáncoá hieám.

Vaäy P(A) baèng bao nhieâu laø nhoû? Tuøy theo thöïc teá, tuøytheo töøng ngöôøi maø P(A) ñöôïc xem laø nhoû hay khoâng.

Thí duï: Neáu baïn yeâu 1 ngöôøi maø ngöôøi ñoù haàu nhökhoâng yeâu baïn, baïn chæ coù 1/106 hy voïng laø ngöôøi ñoùyeâu baïn. Vôùi hy voïng ñoù thì baïn coù theå chôø ñôïi caû ñôøi(töø luùc toùc ñen, da mòn cho ñeán luùc toùc baïc, da nhaên).Thaäm chí tröôùc khi cheát baïn chæ caàn ngöôøi ñoù noùi 1 caâuyeâu baïn thì baïn ñaõ maõn nguyeän xuoáng suoái vaøng ruøi(Y nhö phim!) Vaäy thì 1/106 khoâng nhoû chuùt naøo heát! 132

NGUYEÂN LYÙ BIEÁN COÁ HIEÁM (tieáp theo)

Thí duï: xaùc suaát 1 ngöôøi ñua xe bò cheát laø 1/100. Ñoáivôùi caùc “yeâu huøng xa loä” thì con soá naøy chaúng nghóa lyùgì caû! Noù chæ coù nghóa ñoái vôùi ngöôøi bình thöôøng maøthoâi.

Thí duï: nhaø coù giaáy pheùp xaây döïng 2 taàng, neáu töï yù xaâytheâm 1 taàng nöõa thì khaû naêng bò saäp laø 1/100. Ñoái vôùinhöõng ngöôøi “caån thaän” thì ñoù laø con soá khoâng nhoû,nhöng ñoái vôùi nhöõng ngöôøi “aåu, lieàu” thì con soá ñoù“chaúng laø caùi ñinh” gì caû!

Trong xaùc suaát thöôøng ngöôøi ta xem 1%, 5% laø nhoû.



34

133

MOÄT SOÁ LÖU YÙ

A,B xung khaéc => P[(A+B)/C]=P(A/C)+P(B/C)

P(A*/B)=1-P(A/B) ; P(A/ B*) ≠ 1-P(A/B)

A,B xung khaéc => P(C/A*B)=P(C/B)

A,B ñoäc laäp =//=> A, BC ñoäc laäp

A,B ñoäc laäp ; A,C ñoäc laäp =//=> A, BC ñoäc laäp

A,B ñoäc laäp =//=> P[(AB)/C]=P(A/C).P(B/C)

A,C ñoäc laäp =//=> P(A/BC)=P(A/B)

134

BAØI TAÄP 1:

Ta coù 3 bieán coá A,C,B baát kyø.

“Neáu A,C ñoäc laäp

P(AC/B)= P(A/B). P(C/B)”

Ñieàu naøy ñuùng hay sai?

135

Giaûi:

Xeùt ={1,2,3,4}

A={1,2} C={1,3}, B={1,4}

P(A)= 2/4 , P(C)= 2/4 , P(AC)= P({1})= ¼

Vaäy: P(AC)=P(A).P(C) neân A,C ñoäc laäp.

P(AC/B)= P(ACB) /P(B) = (1/4)/(2/4)= ½

P(A/B)= P(AB)/P(B)= (¼)(2/4)= ½

P(C/B)= P(CB)/P(B)= (¼)(2/4)= ½

Vaäy P(AC/B) ≠ P(A/B).P(C/B)

Vaäy ñieàu kieän gì thì daáu “=“ xaõy ra?136

Baøi taäp 2:

A1, A2 laø hoï bieán coá ñaày ñuû vaø xung khaéc

B, C laø bieán coá baát kyø

Ta coù 2 coâng thöùc sau:

P(C)= P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)

P(C/B)= (A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)

1) Theo baïn thì coâng thöùc naøo ñuùng?

2) Haõy chöùng minh coâng thöùc ñuùng 1 caùch“ñöôøng ñöôøng, chính chính”, nghóa laø ñuùng chobieán coá baát kyø chöù hoång phaûi chæ ñuùng qua 1 thíduï caù bieät?



35

137

Giaûi:

1) ={1,2,3,4,5,6}

A1={1,2} , A2={3,4,5,6}, B={2,3,4}, C={2}

P(C)= 1/6

P(A1/B)= P(A1B)/P(B)= (1/6)/(3/6)= 1/3

P(A2/B)= P(A2B)/P(B)= (2/6)/(3/6)= 2/3

P(C/A1B)= P(CA1B)/P(A1B)= (1/6)/(1/6)= 1

P(C/A2B)= P(CA2B)/P(A2B)= 0/(1/6)= 0

Ta coù: P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)

= (1/3)(1)+(2/3)(0)= 1/3

P(C/B)= P(CB)/P(B)= (1/6)/(3/6)= 1/3

2) Baïn haõy töï chöùng minh, ñaây laø 1 baøi taäp raát thi vò!138

TOÙM LAÏI:

Ta coù ñònh nghóa xaùc suaát cuûa bieán coá theo coå ñieån

Caùc coâng thöùc tính xaùc suaát:

Coâng thöùc coäng

Coâng thöùc xaùc suaát coù ñieàu kieän

Coâng thöùc nhaân

Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû

Coâng thöùc Bayes

139

Tuy nhieân trong baøi taäp ngöôøi ta khoâng nôõ ñeå caùcdaïng toaùn naøy moät caùch “coâ ñôn, buoàn chaùn”.Thöôøng ngöôøi ta “hôïp hoân” nhieàu coâng thöùc tính xaùcsuaát trong moät baøi toaùn. Ñieàu naøy ñoøi hoûi ta phaûi bieátphaân bieät khi naøo thì neân duøng coâng thöùc naøo, caùchkeát hôïp caùc coâng thöùc naøy nhö theá naøo, … vaø coøn hôntheá nöõa!

Söï “hôïp hoân” naøy coù “hoaøn haûo” hay khoâng laø do tacoù “kheùo tay hay laøm” khoâng!

140

BAØI TAÄP

Baøi taäp 1: Hoäp coù 4 vieân bi ñoû, 3 vieân bi traéng. Laáyra 2 bi töø hoäp.

Tính xs laáy ñöôïc 2 bi T trong 3 caùch laáy sau:

a) Laáy ngaãu nhieân 2 bi (laáy 1 laàn 2 bi)

b) Laáy laàn löôït 2 bi (khoâng hoaøn laïi)

c) Laáy coù hoaøn laïi 2 bi



36

141

HDBT1:

A=bc laáy ñöôïc 2 bi T

a) P(A)= C(2,3)/C(2,7)= 3/21

b) P(A)= P(T1.T2)= P(T2/T1)P(T1)=(3/7).(2/6)

= 6/42 = 3/21

c) Do choïn coù hoaøn laïi neân ôû laàn choïn thöù 2 ta cuõng coùgiaû thieát y nhö ôû laàn choïn 1 (Hoäp coù 7 bi , coù 4 bi ñoû, 3bi traéng) => T1 vaø T2 ñoäc laäp

=> P(A)= P(T1.T2)= P(T1).P(T2)= (3/7).(3/7)= 9/49

Nhaän xeùt: caâu a vaø b coù xaùc suaát baèng nhau.142

Nhaän xeùt baøi taäp 1:

Ta tính xaùc suaát P(A) theo ñònh nghóa coå ñieån:

Neáu laáy ngaãu nhieân 2 bi: P(A)= |A|/|| = 3/21

Neáu laáy laàn löôït 2 bi: P(A)= |A|/|| = 6/42 = 3/21

Neáu laáy coù hoaøn laïi 2 bi: P(A)= |A|/|| = 9/49

Vôùi C1 vaø C2 thì maëc duø || khaùc nhau nhöng xaùc suaátvaãn baèng nhau.

143

BT2:Hoäp vieát bic coù 10 caây vieát, trong ñoù coù 3 caây vieát xaáu.

Laáy laàn löôït 2 caây (laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi). a)Tính xaùc suaát laàn 1 laáy ñöôïc caây vieát toát b)Bieát raèng laàn 1 laáy ñöôïc vieát toát, tính xaùc suaát laàn 2

laáy ñöôïc vieát toát c)Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 2 caây vieát toát d)Tính xaùc suaát laàn 2 laáy ñöôïc vieát toát e) Bieát raèng laàn 2 laáy ñöôïc vieát toát, tính xaùc suaát laàn 1

laáy ñöôïc vieát xaáu f)Tính xaùc suaát khoâng laáy ñöôïc caây vieát toát naøo g)Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1 caây vieát toát h)Tính xaùc suaát laáy ñöôïc ít nhaát 1 caây vieát toát i) Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 2 caây vieát cuøng tính chaát

(cuøng toát hoaëc cuøng xaáu)144

BT3:Hoäp vieát bic coù 10 caây vieát, trong ñoù coù 4 caây vieát xaáu. Laáy laànlöôït 3 caây (laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi).a)Tính xaùc suaát laàn 2 laáy ñöôïc vieát xaáu (X)b)Bieát raèng 2 laàn ñaàu laáy ñöôïc vieát X, tính xs laàn 3 laáy ñöôïcvieát Xc)Tính xaùc suaát laàn 3 laáy ñöôïc vieát xaáud)Bieát raèng laàn 3 laáy ñöôïc vieát X, tính xs 2 laàn ñaàu laáy ñöôïcvieát Xe) Bieát raèng laàn 1 laáy ñöôïc vieát X, tính xs laàn 3 laáy ñöôïc vieát Xf) Bieát raèng laàn 2 laáy ñöôïc vieát X, tính xs laàn 3 laáy ñöôïc vieát Xg) Bieát raèng laàn 3 laáy ñöôïc vieát X, tính xs laàn 1 laáy ñöôïc vieát Xh) Bieát raèng laàn 3 laáy ñöôïc vieát X, tính xs laàn 2 laáy ñöôïc vieát Xi)Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1 caây vieát xaáuj) Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 2 caây vieát xaáuk)Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 3 caây vieát xaáu



37

145

BT4:

Coù 2 hoäp: hoäp I coù 2 bi T, 1 bi X ; hoäp II coù 3 bi T, 2 biX.

Laáy ngaãu nhieân 1 bi töø hoäp I boû sang hoäp II. Troän ñeàucaùc bi trong hoäp II, roài laáy ngaãu nhieâu 1 bi ra xemmaøu.

a)Tính xaùc suaát bi boû töø hoäp I sang hoäp II laø bi X b)Bieát raèng bi boû töø hoäp I sang hoäp II laø bi T, tính xaùc

suaát bi laáy ra töø hoäp II laø bi X c)Tính xaùc suaát bi laáy ra töø hoäp II laø bi T d)Bieát raèng bi laáy ra töø hoäp II laø bi T, tính xaùc suaát bi

laáy töø hoäp I boû sang hoäp II laø bi T146

BT5:Coù 2 hoäp: hoäp I coù 2 bi T, 1 bi X; hoäp II coù 3 bi T, 2 bi X.

Laáy ngaãu nhieân 1 bi töø hoäp I boû sang hoäp II. Troän ñeàucaùc bi trong hoäp II, roài laáy ngaãu nhieâu 1 bi töø hoäp II boûsang hoäp I.

a)Bieát raèng bi boû töø hoäp I sang hoäp II laø bi T, tính xaùcsuaát bi boû töø hoäp II sang hoäp I laø bi T

b)Tính xaùc suaát bi boû töø hoäp II sang hoäp I laø bi X

(Sau khi boû caùc bi töø hoäp naøy sang hoäp kia xong)

c)Tính xaùc suaát hoäp I coù 1 bi T, coù 2 bi T, coù 3 bi T, coù 4bi T

d)Tính xaùc suaát hoäp II coù 1 bi T, coù 2 bi T, coù 3 bi T, coù4 bi T

e)Bieát raèng hoäp I coù 2 bi T, tính xs bi boû töø hoäp II

sang hoäp I laø bi T

147

Baøi taäp 6 (daønh taëng chò em phuï nöõ!):

Moät ngöôøi thoûa thuaän vôùi vôï saép cöôùi nhö sau: Anh tachæ caàn coù con trai, vaø neáu vôï anh sanh cho anh ñöôïc1 ñöùa con trai thì laäp töùc döøng laïi lieàn, khoâng sinhnöõa. Giaû söû 1 ngöôøi phuï nöõ coù theå sinh toái ña n laàn,vaø xaùc suaát sinh con trai ôû moãi laàn sinh laø ½ (khaûnaêng sinh con trai ôû caùc laàn sinh khoâng aûnh höôûngñeán nhau).

a)Hoûi khaû naêng anh naøy coù con trai laø bao nhieâu? b)Hoûi n phaûi laø bao nhieâu ñeå khaû naêng anh naøy coù

con trai >=99% ?

148

HDbt6: a) Goïi Ti =bc sinh con trai ôû laàn sinh i , Gi=bc sinh con gaùi ôû laàn sinh i, T=bc anh naøy coù con traiT=T1+G1T2+G1G2T3+...+G1G2...Gn-1Tn

=> P(T)= P(T1+G1T2+G1G2T3+...+G1G2...Gn-1Tn)= P(T1)+P(G1T2)+...+P(G1G2...Tn)= P(T1)+P(G1)P(T2) +...+P(G1)P(G2)...P(Tn)= ½ +( ½ ).( ½ )+...+( ½ )n = 1-( ½ )n

Ta thaáy P(T)<1 b) P(T)= 1-( ½ )n >= 0,99 => 0,01>=( ½ )n

n>= ln(0,01)/ln(½) n>= 6,644

Vaäy n>=7 , ñaùng ñeå chò em suy nghó !!



38

149

Quy öôùc: Quyeån (*) laø quyeån:

BAØI TAÄP XSTK, ThS. Leâ Khaùnh Luaän & GVC.Nguyeãn Thanh Sôn & ThS. Phaïm Trí Cao, NXBThoáng keâ 2009.

Xem theâm 1 soá daïng baøi taäp veà xaùc suaát cuûa bieán coáôû quyeån (*).

150

MÔØI GHEÙ THAÊM TRANG WEB:










1

1

CHÖÔNG 2:

ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN

2

I) ÑÒNH NGHÓA:

*Ñaïi löôïng ngaãu nhieân (bieán ngaãu nhieân), vieát taét laø ÑLNN, coù

theå ñöôïc xem nhö laø moät ñaïi löôïng maø caùc giaù trò soá cuûa noù laø

keát quaû cuûa caùc thí nghieäm, thö ïc nghieäm ngaãu nhieân; giaù trò cuûa

noù laø ngaãu nhieân, khoâng döï ñoaùn tröôùc ñöôïc. Ñaïi löôïng ngaãu

nhieân ñöôïc chia thaønh hai loaïi: ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc vaø

ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân luïc. ÑLNN rôøi raïc laáy caùc giaù trò höõu

haïn hoaëc voâ haïn ñeám ñöôïc. ÑLNN lieân tuïc laáy baát kyø giaù trò

treân moät soá khoaûng cuûa truïc soá thöïc. ÑLNN thöôøng ñöôïc kyù

hieäu laø X,Y,Z,…

*Ñònh nghóa moät caùch chaët cheõ, ÑLNN X laø moät aùnh xaï thoûa:

X: R , vôùi laø khoâng gian maãu caùc bieán coá sô caáp.)( X

Taäp }:)({)( XX laø taäp caùc giaù trò coù theå coù cuûa X.

3

I)Ñònh nghóa (tt)

VD1: tung moät ñoàng xu saáp ngöõa (ñoàng xu coù 2 maët, 1maët saáp vaø 1 maët ngöõa) 2 laàn.Goïi X= soá laàn ñöôïc maët saáp. X coù laø ÑLNN?

VD2: Tung 1 con xuùc xaéc.Goïi X= soá nuùt xuaát hieän cuûa con xuùc xaéc. X laø ÑLNN?

VD3: Ño chieàu cao cuûa 1 ngöôøi.Goïi X= chieàu cao cuûa ngöôøi ñoù. X laø ÑLNN?

VD4: Khaûo saùt soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong 1 ngaøy.Goïi X= soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong ngaøy. X laø ÑLNN?

4

I)Ñònh nghóa

VD5: Nghieân cöùu baõo ôû Vieät Nam trong naêm.

Goïi X= soá côn baõo ñoå boä vaøo VN trong naêm. X laøÑLNN?

VD6: Khaûo saùt tieàn löông cuûa 1 nhaân vieân nhaø nöôùctrong naêm.

Goïi X= tieàn löông cuûa ngöôøi naøy trong thaùng. X laøÑLNN?

VD7: Moät ngöôøi laáy vôï. Xeùt xem ngöôøi naøy laáy phaûingöôøi vôï coù tính tình gioáng Taám hay Caùm (Taám maëcaùo töù thaân chöù khoâng phaûi Taám maëc aùo 2 daây!).

Goïi X= tính tình cuûa ngöôøi vôï naøy. X laø ÑLNN?



2

5

VD8: Trong ñôøi 1 nam nhaân, coù ngöôøi khoâng bao giôøcoù vôï, coù ngöôøi coù raát nhieàu vôï. Khaûo saùt 1 ngöôøinam.

Goïi X= soá vôï thöïc teá cuûa ngöôøi naøy. X laø ÑLNN?

VD9: Trong ñôøi 1 ngöôøi, coù theå khoâng coù con hoaëccoù raát nhieàu con.

Goïi X= soá con thöïc teá cuûa 1 ngöôøi nam. X laø ÑLNN?

Goïi Y= soá con thöïc teá cuûa 1 ngöôøi nöõ. Y laø ÑLNN?

VD10: Hoäp coù 10 bi, trong ñoù coù 6 bi Traéng. Laáyngaãu nhieân 2 bi töø hoäp.

Goïi X= soá bi Traéng laáy ñöôïc. X laø ÑLNN?6

II)BIEÅU DIEÃN ÑLNN

ÑLNN rôøi raïc: duøng baûng phaân phoái xaùc suaát

ÑLNN lieân tuïc: duøng haøm maät ñoä xaùc suaát (moätsoá saùch duøng haøm phaân phoái xaùc suaát).

Phaàn quan troïng nhaát cuûa chöông naøy laø laäp ñöôïcbaûng ppxs (luaät ppxs) cuûa ÑLNN rôøi raïc.

7

II)BIEÅU DIEÃN ÑLNN

1)ÑLNN rôøi raïc:

Duøng baûng phaân phoái xaùc suaát:

X x1 … xi … xn

P p1 … pi … pn

xi (i=1...n) laø caùc giaù trò khaùc nhau coù theå coù cuûa X

pi = P(X = xi) : xaùc suaát X nhaän giaù trò xi

Tính chaát: 0 pi 1 ,

n

i ip1=1

Caâu hoûi: ñeå laäp ñöôïc baûng ppxs cuûa X ta caàn laøm gì?8

Traû lôøi:

*xaùc ñònh caùc giaù trò coù theå coù xi cuûa X

*Tính caùc xaùc suaát pi töông öùng vôùi caùc giaù trò xi



3

9

II)Bieåu dieãn ÑLNN (rôøi raïc)

VD1: tung moät ñoàng xu saáp ngöõa 2 laàn. Goïi X= soá laàn ñöôïc maët

saáp. Laäp baûng ppxs cho X?

Giaûi VD1:

*X coù theå coù caùc giaù trò: 0,1,2

*ta coù 4 tröôøng hôïp xaõy ra khi tung ñoàng xu SN 2 laàn:

SS,SN,NS,NN

P(X=0)= P(NN) = ¼ , P(X=1)= P(SN+NS )= 2/4 ,

P(X=2)= P(SS)= ¼

X 0 1 2

P ¼ 2/4 ¼

Thoâng thöôøng ta ñaët ra caùc bieán coá roài tính xaùc suaát p i thoâng qua

caùc bieán coá naøy. 10

VD2: hoäp coù 6 bi, trong ñoù coù 4 bi T, 2 bi Ñ. laáy ngaãu

nhieân 2 bi töø hoäp. Goïi X= soá bi T laáy ñöôïc. Laäp baûng ppxs

cho X?

Giaûi VD2:

*X coù theå coù caùc giaù trò 0,1,2

*ta tính xaùc suaát nhö sau:

Ñaët A=bc laáy ñöôïc 0 bi T (2 bi Ñ)

B=bc laáy ñöôïc 1 bi T ; C=bc laáy ñöôïc 2 bi T

P(X=0)= P(A)= C(2,2) /C(2,6) = 1/15.

P(X=1)= P(B)= C(1,4).C(1,2) /C(2,6) = 8/15

P(X=2)= P(C)= C(2,4) /C(2,6) = 6/15

X 0 1 2

P 1/15 8/15 6/15

11

Löu yù:

*ta phaûi kieåm tra laïi xem toång xaùc suaát coù baèng 1khoâng

*khoâng ñöôïc laøm:

P(X=2)= 1-P(X=0)-P(X=1) ñeå tính P(X=2)

*khoâng ñöôïc tính xaùc suaát ra soá thaäp phaân neáu pheùpchia khoâng heát, neáu coù giaûn öôùc phaân soá thì ñeå cuøngmaãu soá.

12

VD3: giaû thieát gioáng VD2, nhöng ta laáy ra 3 bi (chöùkhoâng phaûi 2 bi). Laäp luaät ppxs cho X?



4

13

Giaûi VD3:

X 1 2 3

P C(1,4).C(2,2) /C(3,6) C(2,4).C(1,2) /C(3/6) C(3,4) /C(3/6)

14

VD4: Coù 3 hoäp, trong ñoù coù 2 hoäp loaïi 1 vaø 1 hoäploaïi 2. hoäp loaïi 1 coù: 3 bi T, 2 bi V. hoäp loaïi 2 coù: 3 biT, 3 bi V. choïn ngaãu nhieân 1 hoäp roài töø hoäp ñoù laáyNN ra 2 bi. Goïi X= soá bi T laáy ñöôïc. Laäp baûng ppxscho X?

15

Giaûi VD4:

Ñaët Hi=bc laáy ñöôïc hoäp loaïi i, i=1,2

P(H1)= 2/3 , P(H2)= 1/3

X 0 1 2

P 2/15 9/15 4/15

P(X=0)= P(X=0/H1)P(H1)+P(X=0/H2)P(H2)

= [C(2,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3)= 2/15

P(X=1)= P(X=1/H1)P(H1)+P(X=1/H2)P(H2)

=[C(1,3).C(1,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(1,3).C(1,3)/C(2,6)].(1/3)

= 9/15

P(X=2)= P(X=2/H1)P(H1)+P(X=2/H2)P(H2)

= [C(2,3)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3) = 4/15 16

VD5: hoäp 1 coù: 2 bi T, 3 bi V. hoäp 2 coù: 3 bi T, 2 biV. laáy NN 2 bi töø hoäp 1 boû sang hoäp 2, roài laáy NN 2bi töø hoäp 2 ra xem maøu. Goïi X= soá bi T laáy ñöôïc(trong 2 bi laáy ra töø hoäp 2). Laäp baûng ppxs cho X?



5

17

Giaûi VD5:

Ñaët Ai=bc laáy ñöôïc i bi T töø hoäp 1, i=0,1,2.

P(A0)= C(2,3)/C(2,5)=3/10 , P(A1)= C(1,2).C(1,3)/C(2,5)= 6/10,

P(A2)=C(2,2)/C(2,5)= 1/10

X 0 1 2

P

P(X=0)=P(X=0/A0)P(A0)+P(X=0/A1)P(A1)+P(X=0/A2)P(A2)

=[C(2,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,3)/C(2,7)].(6/10)

+[C(2,2)/C(2,7)].(1/10)


=[C(1,3).C(1,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(1,4).C(1,3)/C(2,7)].(6/10)

+[C(1,5).C(1,2)/C(2,7)].(1/10)


=[C(2,3)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,4)/C(2,7)].(6/10)

+[C(2,5)/C(2,7)].(1/10) 18

VD6:Coù 2 kieän haøng. Kieän 1 coù 3 saûn phaåm toát, 2 xaáu. Kieän2 coù 2 saûn phaåm toát, 3 xaáu. Laáy ngaãu nhieân töø kieän 1ra 2 saûn phaåm vaø töø kieän 2 ra 1 saûn phaåm. Laäp luaätppxs cuûa soá sp toát trong 3 sp laáy ra.

19

Giaûi VD6:Ai=bc laáy ñöôïc i sp toát töø kieän 1, i=0,2

Bi=bc laáy ñöôïc i sp toát töø kieän 2, i=0,1

X=soá sp toát trong 3 sp laáy ra

P(X=0)= P(A0B0)= P(A0).P(B0)= C(2,2)/C(2,5). (3/5)= 0,06

P(X=1)= P(A1B0+A0B1)= P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)

= C(1,3)C(1,2)/C(2,5). (3/5) + C(2,2)/C(2,5). (2/5)= 0,4

P(X=2)= P(A1B1+A2B0)= 0,42 ; P(X=3)= P(A2B1)= 0,12

X 0 1 2 3

P 0,06 0,40 0,42 0,1220

Bình loaïn: Ña soá sinh vieân raát “ngaïi” khi gaëp daïng toaùnlaäp baûng ppxs! Hoï khoâng bieát raèng ñaây laø moät daïng toaùnraát quen thuoäc maø hoï xem laø “chuyeän thöôøng ngaøy ôûhuyeän”, ñoù laø daïng toaùn tính xaùc suaát cuûa bieán coá.

Baïn haõy töôûng töôïng C1 laø WindowsXP, coøn C2 chæ laøWinXP coù veû ngoaøi “haøo nhoaùng, hoaøng gia” cuûaWindows Vista maø thoâi (coù daïng P(X=k)), do coù caøi theâmVista Transformation Pack. “Boä caùnh” hoaøng gia naøykhoâng che daáu ñöôïc baûn chaát queâ muøa, lam luõ, chòuthöông chòu khoù … cuûa WinXP (thöïc chaát btoaùn laäp baûngppxs laø btoaùn tính xs cuûa bieán coá, nhöng xeùt cho taát caû caùctröôøng hôïp coù theå xaûy ra). Phaøm thì con ngöôøi ta deã bò veûhaøo nhoaùng beân ngoaøi laøm cho “khieáp sôï, kieâng deø”!

Baïn haõy nhìn ra baûn chaát chôn chaát, thaät thaø, xuø xì, thoâkeäch,… cuûa C1 maø töø ñoù suy ra caùch laøm cho C2.



6

21

II)Bieåu dieãn ÑLNN (lieân tuïc)

2)ÑLNN lieân tuïc:

Ta duøng haøm maät ñoä ñeå bieåu dieãn.

Haøm maät ñoä xaùc suaát f(x) laø haøm thoûa caùc ñieàu kieän sau:

1. f:IRIR

2. f(x) 0, x

3.

IRdxxfdxxf 1)()( (tích phaân suy roäng).

Tính chaát:

2

121

x

xdxxfxXxP

22

Thí duï: Haøm maät ñoä Gauss

2

21exp

2

1)()( xxxf

laø haøm maät ñoä cuûa phaân phoái chuaån taéc N(0,1).

x=– x=+

YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñieàu kieän 3: Dieän tích cuûa hình (giôùi

haïn bôûi caùc ñöôøng: ñöôøng cong haøm maät ñoä f(x) vaø truïc

hoaønh, ñöôøng thaúng x=–, x=+) laø 1.

2

1

x0

1

23

YÙ nghóa hình hoïc cuûa tính chaát haøm maät ñoä xaùc suaát :

Xaùc suaát ñeå ÑLNN X coù giaù trò naèm trong khoaûng (x1, x2) chính

laø dieän tích cuûa vuøng ñöôïc toâ maøu trong hình

x2x1

x0

f(x)

2

121

x

xdxxfxXxP

24

VD: Cho

]1,0[,0

]1,0[,1)(

x

xxf

f(x) coù laø haøm maät ñoä cuûa moät ÑLNN lieân tuïc

X?

Giaûi:

*f:RR

*f(x)>=0, x

*

1

)(1

0)(

0)()( dxxfdxxfdxxfdxxf

1

011

0.1 xdx

Vaäy f laø haøm maät ñoä xaùc suaát.



7

25

III)HAØM PHAÂN PHOÁI

1)ÑLNN RÔØI RAÏC

X x1 ... xi ... xn

P p1 ... pi ... pn

F:RR

F(x) = P(X<x)

26

VD:

X -1 0 1 3

P 0,1 0,3 0,4 0,2

x≤-1: F(x)= P(X<x) = 0

-1<x≤0: F(x)= P(X<x)=P(X=-1)= 0,1

0<x≤1: F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=0)=0,1+0,3=0,4

1<x≤3: F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=0,1+0,3+0,4=0,8

3<x: F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=3)=0,1+0,3+0,4+0,2=1

27 28

2)ÑLNN lieân tuïc VD: Cho

]1,0[,0

]1,0[,1)(

x

xxf

F(x)=P(X<x)=

xdxxf )(

x≤0: F(x)=

xdxxf )( =

xdx0 = 0

0<x≤1: F(x)= xxxx

dxdxx

dxxf

00

100)(

1<x: F(x)=

xdxxf )( = 11

010

1

01

00

xx

dxdxdx



8

29 30

Caùc tính chaát cuûa haøm phaân phoái:

1)0≤F(x)≤1

2)Haøm F(x) laø haøm khoâng giaûm

Heä quaû:

1)P(a≤X<b)= F(b)-F(a)

2)X laø ÑLNN lieân tuïc thì P(X=x0)= 0, x0

3)F(-)=0 , F(+)=1

Ñònh lyù:

F(x), f(x) laàn löôït laø haøm phaân phoái, haøm maät ñoä cuûa

ÑLNN lieân tuïc X.

Ta coù: F’(x)= f(x)

F(x)=

xdxxf )(

31

III)HAI ÑLNN ÑOÄC LAÄP

*Nhaéc laïi 2 bieán coá ñoäc laäp:

A, B ñoäc laäp P(AB)=P(A).P(B)

*Xeùt 2 ÑLN X, Y coù baûng ppxs:

X x1 … xi … xn

P p1 … pi … pn

Y y1 … yj … ym

P p1 … pj … pm

2 bieán coá (X=xi) vaø (Y=yj) ñoäc laäp

P[(X=xi).(Y=yj)]= P(X=xi,Y=yj)= P(X=xi).P(Y=yj)

X,Y ñoäc laäp P(X=xi,Y=yj)= P(X=xi).P(Y=yj), i,j

Thöïc haønh: neáu khi thöïc hieän pheùp thöû maø vieäc X nhaän caùc giaù

trò xi khoâng aûnh höôûng ñeán khaû naêng Y nhaän caùc giaù trò yj, vaø

ngöôïc laïi, thì ta noùi X, Y ñoäc laäp. 32

VD1: Tung 1 con xuùc xaéc 2 laàn. Goïi X= soá nuùt xuaáthieän ôû laàn tung 1, Goïi Y= soá nuùt xuaát hieän ôû laàn tung 2.

X,Y ñoäc laäp?



9

33

Giaûi VD1:

Ñaët Ci=bc xh maët coù soá nuùt laø i ôû laàn tung 1.

Di=bc xh maët coù soá nuùt laø i ôû laàn tung 2.

Khoâng gian maãu ={C1D1,C1D2,...,C1D6,

C2D1,... , C2D6,

....

C6D1,... C6D6}

X 1 2 3 4 5 6

P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Y 1 2 3 4 5 6

P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

P(X=1,Y=1)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=1)

P(X=1,Y=2)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=2)

Töông töï: P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi).P(Y=yj) ,i,j

Vaäy X,Y ñoäc laäp. 34

Thöïc haønh: ta thaáy keát quaû ôû laàn tung thöù 1 khoângaûnh höôûng ñeán keát quaû ôû laàn tung thöù 2, vaø ngöôïc laïineân X,Y ñoäc laäp.

VD2: tung 1 ñoàng xu SN 2 laàn. Goïi X=soá laàn ñöôïcmaët S. Goïi Y=soá laàn ñöôïc maët N.

X,Y ñoäc laäp?

35

Giaûi VD2:

X 0 1 2

P ¼ 2/4 ¼

Y 0 1 2

P ¼ 2/4 ¼

Ta thaáy X+Y = 2 neân X, Y khoâng ñoäc laäp.36

IV)CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA ÑLNN

1)Kyø voïng:

Kyø voïng cuûa X, kyù hieäu E(X), ñöôïc tính baèng coâng thöùc:

X x1 … xi … xn

P p1 … pi … pn

E(X) = xipi (neáu X laø ÑLNN rôøi raïc),

Hoaëc

dxxfxXE )(.)( (neáu X laø ÑLNN lieân tuïc).

Kyø voïng toaùn coù caùc tính chaát:

E(c)= c

E(aX)= a.E(X)

E(X±Y)= E(X)±E(Y)

E(XY)= E(X).E(Y) neáu X, Y ñoäc laäp.

vôùi a laø haèng soá, c laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân haèng.



10

37

VD: Lôùp hoïc coù 100 sinh vieân. Ñieåm soá moân XSTK cuûa lôùp nhö

sau:

Ñieåm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Soá sv 1 3 5 8 23 25 15 7 8 3 2

1) tính ñieåm trung bình moân XSTK cuûa lôùp?

2)Choïn NN 1 sinh vieân trong lôùp ra xem ñieåm thi. Goïi X laø

ñieåm soá cuûa sv naøy. Laäp baûng ppxs cho X? tính kyø voïng EX?38

Giaûi VD:

1) ñieåm tb x= (1/100).[0*1+1*3+….+10*2] = 5,04 ñieåm

2)X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02

EX= 0*0,01+1*0,03+2*0,05+…+10*0,02

= (1/100)[0+1*3+….+10*2] = 5,04 = x

Vaäy EX chính laø ñieåm soá trung bình.

Töông töï:

Neáu X laø troïng löôïng thì EX laø troïng löôïng trung bình.

X laø chieàu cao thì EX laø chieàu cao trung bình.

X laø naêng suaát thì EX laø naêng suaát tr ung bình, …

39

VD: Cho

]1,0[,0

]1,0[,1)(

x

xxf

1

)(1

0)(

0)()( dxxxfdxxxfdxxxfdxxxfEX

1

0 2

11

022

.1. xdxx

40

2)Phöông sai:

Phöông sai xaùc ñònh baèng coâng thöùc:

D(X)= var(X)= 2XEXE

Vôùi ÑLNN rôøi raïc :

var(X)= ipi

XEix2

Vôùi ÑLNN lieân tuïc :

var(X)

dxxfXEx )(.2

Ta cuõng coù theå aùp duïng coâng thöùc bieán ñoåi cuûa phöông sai:

var(X)= E(X2)[E(X)]2

vôùi E(X2)= xi2pi hoaëc

dxxfxXE )(.2)2( .



11

41

Phöông sai coù caùc tính chaát sau:

var(c)= 0

var(X) ≥0, X ; var(X)=0 <=> X=c

var(aX)= a2.var(X)

var(X ± c)= var(X)

var(X ± Y)= var(X) + var(Y), neáu X, Y ñoäc laäp.

Vôùi c laø ÑLNN haèng, a laø haèng soá

42

YÙ nghóa phöông sai:

Xeùt thí duï ñieåm soá ôû treân. Ta muoán xem lôùp coù hoïc“ñeàu” khoâng, nghóa laø caùc ñieåm soá xi coù taäp trung gaànñieåm trung bình EX khoâng, ta xeùt |xi-EX|. Ñeå xeùt taát caûcaùc giaù trò cuøng luùc ta xeùt |xi-EX|pi. Ta mong muoán noùcaøng nhoû caøng toát. Tuy nhieân haøm |x| khoâng phaûi luùcnaøo cuõng coù ñaïo haøm, neân ta thay baèng haøm x2.

Vaäy ta xeùt: (xi-EX)2pi vaø mong muoán noù caøng nhoûcaøng toát.

Ta goïi varX=(xi-EX)2pi. Neáu varX nhoû thì ta noùi caùc xi

taäp trung quanh EX, varX lôùn ta noùi caùc xi phaân taùn raxa EX.

43

VD:X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02

E(X2)=02*0.01+12*0.03+…+102*0.02 = 29,26

varX= E(X2)- (EX)2= 29,26-(5,04)2= 3,8584

Löu yù raèng ñôn vò ño cuûa phöông sai baèng ñôn vò ño

cuûa X bình phöông. Ta hay gaëp kyù hieäu cho giaù trò

phöông sai laø 2.44

VD: Cho

]1,0[,0

]1,0[,1)(

x

xxf

dxxfxXE )(2)2(

1

)(21

0)(20

)(2 dxxfxdxxfxdxxfx

1

0 3

11

033

.1.2 xdxx

varX= E(X2)-(EX)2 = (1/3)-(1/2)2 = 1/12



12

45

3) Ñoä leäch chuaån

*Ñoä leäch chuaån ñöôïc tính baèng caên baäc hai

cuûa phöông sai, vaø coù cuøng ñôn vò ño vôùi

X.

SD(X)= Xvar =

VD : = 8584,3 = 1,9643

*Ñoä leäch chuaån coù yù nghóa gioáng phöông

sai46

4)mode (giaù trò tin chaéc nhaát) cuûa X:

Giaù trò tin chaéc nhaát cuûa X, kyù hieäu modX.

ÑLNN rôøi raïc : laø giaù trò xi öùng vôùi xaùc suaát pi lôùn nhaát trong

baûng phaân phoái xaùc suaát

ÑLNN lieân tuïc: hoaëc laø giaù trò cuûa X öùng vôùi ñieåm cöïc ñaïi cuûa

haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X.

Giaù trò modX coù theå khoâng duy nhaát.

VD1:X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02

ta thaáy p6=0,25 lôùn nhaát neân modX= 5.

47

VD2: tung 1 ñoàng xu SN 3 laàn. Goïi X= soá laàn

ñöôïc maët S

X 0 1 2 3

P 1/8 3/8 3/8 1/8

modX= 1 hoaëc 2. ghi laø modX=1, 2

VD3: haøm maät ñoä Gauss coù modX=0

VD4: Cho

]1,0[,0

]1,0[,1)(

x

xxf

modX laø moïi ñieåm naèm treân ñoaïn [0,1]

48

5)Trung vò (median)

X rôøi raïc hoaëc lieân tuïc

m = med(X) P(X < m)½ vaø P(X > m)½

Vaäy med(X) laø ñieåm phaân ñoâi khoái löôïng xaùc

suaát thaønh 2 phaàn baèng nhau.

Löu yù: med(X) khoâng duy nhaát.



13

49

VD1:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02

P(X<5)= 0.01+0.03+0.05+0.08+0.23 = 0.4 < ½

P(X>5)= 0.15+0.07+0.08+0.03+0.02 = 0.35 < ½

Vaäy medX=5

50

VD2:

X 0 1 2 3

P 1/8 3/8 3/8 1/8

*P(X<1)= 1/8 < ½

P(X>1)= 3/8+1/8 = ½

Vaäy medX= 1

*P(X<2)= 1/8+3/8 = ½

P(X>2) = 1/8 < ½

Vaäy medX=2

*m(1,2)

P(X<m) = 1/8+3/8 = ½

P(X>m) = 3/8+1/8 = ½

Vaäy medX= m

KL: medX= [1,2]

51

6. Moment baäc (caáp) k:

Ñaët a=E(X)

*X rôøi raïc

mk = E(Xk) =

n

i ipk

ix

1: moment goác caáp k cuûa X

tk = E(X-a)k =

n

i ipka

ix

1)( : moment quy taâm caáp k

cuûa X

*X lieân tuïc

mk = E(Xk) =

dxxfkx )(

tk = E(X-a)k =

dxxfkax )()(

52

7. Heä soá baát ñoái xöùng:

33

tS , vôùi )()( XDX

S = 0: Phaân phoái ñoái xöùng

S > 0: Phaân phoái leäch beân phaûi (so vôùi EX)

S < 0: Phaân phoái leäch beân traùi



14

53

8. Heä soá nhoïn (ñoä nhoïn)

44

tK , 4)(

4aXEt

K caøng lôùn thì phaân phoái coù ñoä nhoïn caøng lôùn

(thöôøng so saùnh K vôùi ñoä nhoïn cuûa phaân phoái chuaån

taéc (coù haøm maät ñoä Gauss), laø 3)

K>3: phaân phoái laø nhoïn

K<3: phaân phoái laø beït (khoâng nhoïn)

54

Baøi 1: Tung moät ñoàng xu saáp ngöõa 2 laàn ñoäc laäp.

Goïi X laø soá laàn ñöôïc maët saáp.

Tính heä soá baát ñoái xöùng, heä soá nhoïn.

Giaûi:

X 0 1 2

P ¼ 2/4 1/4

E(X) = 0.(1/4)+ 1.(2/4) + 2.(1/4) = 1

var(X)= (0–1)2.(1/4)+(1–1)2.(2/4)+(2–1)2.(1/4)= ½

55

t3=E(X–1)3=(0–1)3.(¼)+(1–1)3.(2/4)+(2–1)3.(¼)= 0

21)var()( XX

03

033

tS :Phaân phoái ñoái xöùng qua giaù trò EX=1

t4=E(X-1)4=(0-1)4.(1/4)+(1-1)4.(2/4)+(2-1)4.(1/4)= ½

24)2/1(

2/144

tK <3 : phaân phoái hôi beït.

56

V)HAØM CUÛA ÑLNN

1)haøm 1 bieán

X laø ÑLNN. Neáu f(x) laø haøm 1 bieán lieân tuïc thì f(X) laøÑLNN.

VD : X2, |X| laø caùc ÑLNN

Löu yù: ta khoâng caàn ñieàu kieän “maïnh” laø f lieân tuïc, tachæ caàn f laø “haøm ño ñöôïc”. Khaùi nieäm naøy ñoøi hoûiphaûi coù kieán thöùc veà xaùc suaát lyù thuyeát. Ñieàu naøychaúng coù gì thích thuù caû!

2)haøm 2 bieán

X,Y laø 2 ÑLNN. Neáu f(x,y) laø haøm 2 bieán lieân tuïc thìf(X,Y) laø ÑLNN.

VD: X+Y, X.Y laø caùc ÑLNN



15

57

VD1: Cho

X -1 0 1 2

P 1/7 3/7 1/7 2/7

1)Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cho |X|

2)Tính E(|X|), var(|X|).58

1) Giaûi VD1:

|X| |-1| |0| |1| |2|

P71

73

71

72

Z=|X| 0 1 2

P73

72

72

2) E(Z)= 0.73 + 1.

72 + 2.

72 =

76

var(Z)= (0–76 )2.

73 + (1–

76 )2.

72 + (2–

76 )2.

72 = 34/49

Caùch khaùc: E(Z2)= 02.73 + 12.

72 + 22.

72 =

710

var(Z)= E(Z2) – (EZ)2 =7

10 – (76 )2 = 34/49

59

VD2: Vôùi X ôû VD1.

X -1 0 1 2

P 71

73

71

72

1) Laäp baûng phaân phoái xaùc

suaát cho X2

2) Tính E(X2), var(X2)=D(X2).60

Giaûi VD2:

X2 (1)2 02 12 22 Z=X2 0 1 4

P 71

73

71

72

P 73

72

72

E(Z) = 0.73 + 1.

72 + 4.

72 =

710

var(Z)=(0–7

10)2.73+(1–

710)2.

72+(4–

710)2.

72

= 138/49



16

61

VD3: Cho X, Y ñoäc laäp.

X 0 1 Y 0 1 2

P ½ ½ P ¼ 2/4 ¼

1) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cho X+Y.

2) Tính E(X+Y) , D(X+Y).

3) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X.Y

4) Tính E(X.Y), D(X.Y).

62

Giaûi VD3:

1) Ta laäp baûng sau: Z = X + Y

Y

X0 1 2

0 Z=0 Z=1 Z=2

1 Z=1 Z=2 Z=3

Caùc soá trong baûng laø toång cuûa 2 soá ôû doøng, coät

töông öùng

X + Y 0 1 2 3

P 1/8 3/8 3/8 1/8

63

Giaûi VD3 (tt)

P(X + Y = 0) = P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) .P(Y = 0)

= ½. ¼ = 1/8

P(X+Y = 1) = P [(X = 0,Y = 1) +(X = 1, Y = 0)]

= P(X =0,Y = 1) +P(X = 1,Y =0)

= P(X = 0) P(Y = 1) + P(X =1) P(Y = 0)

= ½.42 + ½. ¼ = 3/8

P(X + Y = 2) = P(X = 0) P(Y = 2) + P(X = 1) P(Y = 1)

= ½ . ¼ + ½ .42 = 3/8

P(X + Y = 3) = P(X = 1) P (Y = 2) = ½ . ¼ = 1/8 64

Giaûi VD3 (tt)

2) E(Z) = 0.81 + 1.

83 + 2.

83 + 3.

81 = 3/2

D(Z) = (0 –23)2.

81+ (1–

23)2

. 83+(2–

23)2

. 83+(3–

23)2.

81 = ¾

Caùch khaùc: E[Z2] = 02.81+ 12.

83 + 22.

83 + 32.

81 = 3

D(Z) = E[Z2] – (EZ)2 = 3 – (23)2 = ¾

Löu yù: Neáu ta aùp duïng tính chaát cuûa kyø voïng, phöông sai

thì ta laøm nhö sau:

E(X + Y) = E(X) + E(Y) = ½ + 1 = 3/2

D(X + Y) = D(X) + D(Y) = ¼ + ½ = ¾



17

65











1

1

CHÖÔNG 3:CAÙC QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT

2

Trong cuoäc soáng coù nhöõng “ñieàu, caùi” tuaân theo moätquy luaät naøo ñoù, hoaëc khoâng coù quy luaät. Coù quy luaätchuùng ta bieát, nhöng cuõng coù quy luaät maø chuùng ta chöabieát. Nhöõng caùi maø chuùng ta bieát quy luaät chæ chieám soálöôïng nhoû nhoi so vôùi voâ soá nhöõng caùi maø chuùng ta chöabieát.

Vaäy tình yeâu coù quy luaät khoâng? Ngöôøi noùi coù (choraèng quy luaät muoân ñôøi cuûa tình yeâu laø giaän hôøn, ñaukhoå, bò ngaên caám,... roài môùi ñöôïc haïnh phuùc. Y nhöphim!), ngöôøi noùi khoâng (cho raèng heå thaáy thích nhau,hôïp nhaõn..., vaø coøn vì ñieàu gì nöõa thì chæ ctmb, laø yeâu.Khoâng caàn bieát “seõ ra sao ngaøy sau”. Thí duï nhö coâ gaùi20 laáy oâng giaø 60, hay chaøng trai 26 laáy baø giaø 62, haygaëp nhau treân maïng,.... Y nhö kòch!). CTMB!

3

ÔÛ ñaây ta chæ nghieân cöùu 1 soá quy luaät phaân phoáithoâng duïng trong xaùc suaát (ñöôïc öùng duïng nhieàutrong kinh teá), vaø ta coù theå ñònh löôïng noù ñöôïc.Khoâng nghieân cöùu veà “tình yeâu”, vaø caøngkhoâng lyù thuyeát suoâng.

4

Caùc quy luaät thoâng duïng seõ hoïc:

Ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc

Quy luaät pp sieâu boäi

Quy luaät pp nhò thöùc

Quy luaät pp Poisson

Ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc

Quy luaät pp chuaån (chuaån taéc)

Quy luaät pp Chi bình phöông

Quy luaät pp Student

Quy luaät pp Fisher



2

5

I)QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI SIEÂU BOÄI

VD: Hoäp coù 10, trong ñoù coù 4 bi T. choïn ngaãu nhieân 3bi töø hoäp. Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 2 bi T?

Giaûi:

Goïi X laø soá bi T laáy ñöôïc (trong 3 bi laáy ra).

Tính P(X=2)=?

P(X=2)= C(2,4)*C(1,6) /C(3,10)

Nhaän xeùt gì töø thí duï naøy?

6

Toång quaùt: Ta coù 1 taäp hôïp coù N phaàn töû, trong ñoùcoù M phaàn töû coù tính chaát A quan taâm. Laáy NN nphaàn töû töø taäp. Tính xaùc suaát coù k phaàn töû coù tínhchaát A trong n phaàn töû laáy ra?

Giaûi: Goïi X= soá phaàn töû coù tính chaát A trong n phaàn töû laáy

ra. P(X=k)= C(k,M)*C(n-k,N-M) /C(n,N)

Luùc ñoù X goïi laø coù quy luaät pp sieâu boäi.Kyù hieäu XH(N,M,n)

7

Sô ñoà

nk

N-M

A*

M

A

N 8

Tính chaát:XH(N,M,n) EX= np , vôùi p=M/N varX= npq (N-n)/(N-1)

(N-n)/(N-1) goïi laø heä soá hieäu chænh.

VD: ÔÛ VD treân thì N=10, M=4, tính chaát A quan taâm laølaáy ñöôïc bi T. n=3, k=2. XH(10,4,3).Caâu hoûi:1) tính soá bi T laáy ñöôïc trung bình?2) tính phöông sai cuûa soá bi T laáy ñöôïc?Giaûi:1)p=M/N= 4/10EX= np= 3(4/10)= 12/102)q=1-p= 6/10varX= npq (N-n)/(N-1)= 3(4/10)(6/10) (10-3)/(10-1)



3

9

Vaäy quy luaät phaân phoái sieâu boäi laø 1 caùi gì ñoù raát gaànguõi, thaân thöông vôùi chuùng ta. Ñoù laø baøi toaùn “boác bi töøhoäp”. ÔÛ chöông 2, ta chöa bieát quy luaät pp sieâu boäi thìta vaãn laøm “ñaøng hoaøng” ñaáy thoâi. Tuy nhieân ta thaáynoù tuaân theo 1 quy luaät ppxs naøo ñoù, vaø ta cuï theå noùthaønh quy luaät sieâu boäi. Ñoù chính laø “Haõy ñaët teân choem, haõy cho em moät danh phaän” (Thuyeát “Chính Danh”cuûa Khoång Töû).

10

II)QUY LUAÄT PP NHÒ THÖÙC

VD1: Tung 1 con xuùc xaéc 3 laàn.

Goïi X= soá laàn xuaát hieän maët 1 trong 3 laàn tung

Laäp baûng ppxs cho X?

11

Giaûi VD1:

Goïi Ai laø bc laàn tung thöù i ñöôïc maët 1, i=1,3

p= P(Ai)= 1/6, q=1-p= P(Ai*)= 5/6

P(X=0)= P(A1*A2*A3*)= P(A1*)P(A2*)P(A3*)

= (5/6)(5/6)(5/6) = C(0,3) p0q3-0

P(X=1)= P(A1A2*A3*+ A1*A2A3*+ A1*A2*A 3)

= P(A1)P(A2*)P(A3*)+ P(A1*)P(A2)P(A3*)

+P(A1*)P(A2*)P(A3)

= (1/6)(5/6)(5/6)+ (5/6)(1/6)(5/6)+ (5/6)(5/6)(1/6)

= 3(1/6)(5/6)(5/6)= C(1,3)p1q3-1

P(X=2)= P(A1)P(A2)P(A3*)+ P(A1)P(A2*)P(A3)

+ P(A1*)P(A2)P(A3)

= (1/6)(1/6)(5/6)+ (1/6)(5/6)(1/6)+ (5/6)(1/6)(1/6)

= 3(1/6)(1/6)(5/6)= C(2,3)p2q3-2

P(X=3)= P(A1)P(A2)P(A3)

= (1/6)(1/6)(1/6) = C(3,3) p3q3-3

Nhaän xeùt gì?

12

Nhaän xeùt:

Ta thaáy moãi laàn tung 1 con xuùc xaéc thì khaû naêng ñöôïc maët 1 laø

p=1/6, khaû naêng ñöôïc caùc maët coøn laïi laø q=5/6.

Ta tung 3 laàn con xuùc xaéc.

*Muoán cho X=0 thì trong 3 laàn tung ta coù 0 laàn ñöôïc maët 1. Töùc

laø choïn C(0,3) laàn ñöôïc ñöôïc maët 1 trong 3 laàn tung. Xaùc suaát

ñöôïc maët 1 trong moãi laàn tung laø p. vaäy xaùc suaát khoâng ñöôïc

ñöôïc maët 1 trong 3 laàn tung laø p 0q3-0.

*Muoán cho X=1 trong 3 laàn tung ta choïn ra 1 laàn ñöôïc maët 1,

töùc laø C(1,3) caùch choïn. Xaùc suaát ñöôïc moät laàn maët 1 trong 3

laàn tung laø p1q3-1.

Vaäy xaùc suaát X=1 laø C(1,3) p1q3-1.

Töông töï cho X=2, X=3.

Luùc ñoù ta noùi X coù quy luaät phaân phoái nhò thöùc.



4

13

Nhaän xeùt:

ta thaáy caùc laàn tung laø ñoäc laäp nhau, coù nghóa laø keátquaû ôû caùc laàn tung khoâng aûnh höôûng laãn nhau.

ÔÛ moãi laàn tung thì ta quan taâm ñeán vieäc coù ñöôïc maët1 hay khoâng - bieán coá A quan taâm, vaø xaùc suaát cuûa Alaø khoâng ñoåi qua caùc laàn tung vaø baèng p.

14

Toång quaùt:

*ta thöïc hieän pheùp thöû T n laàn, kyù hieäu laø T1, T2,...Tn. Moãi laàn

thöïc hieän T ta quan taâm bieán coá A coù xaõy ra hay khoâng.

*caùc T1, T2,...Tn goïi laø daõy pheùp thöû ñoäc laäp neáu keát quaû xaõy

ra ôû caùc laàn thöû khoâng aûnh höôûng laãn nhau.

*xaùc suaát p=P(A) laø coá ñònh qua caùc laàn thöû.

Luùc ñoù ta goïi: X= soá laàn bieán coá A xaõy ra trong n laàn thöû.

Thì X coù quy luaät phaân phoái nhò thöùc, kyù hieäu XB(n,p).

Xaùc suaát X nhaän giaù trò k (coù k laàn bieán coá A xaõy ra trong n laàn

thöû) laø:

P(X=k) = C(k,n)pkqn-k, vôùi q=1-p

15

VD1: Vôùi VD ôû baøi treân thì XB(3, 1/6).

Tính chaát: XB(n,p)

EX= np

varX= npq

np-q modX np+p

VD1:

Xaùc ñònh EX, varX, modX?

Giaûi VD1:

XB(3, 1/6)

EX= 3(1/6)= 3/6 , varX= 3(1/6)(5/6)

(3/6)-(5/6) modX (3/6)+(1/6) --> -2/6 modX 4/6

--> modX= 0

16

löu yù quan troïng:

quy luaät phaân phoái nhò thöùc raát deã aùp duïng! nhöng ñieàu khieán

cho sinh vieân laøm sai laø:

-khoâng phaân bieät ñöôïc laø caùc pheùp thöû coù ñoäc laäp khoâng

-vaø P(A) coù coá ñònh khoâng.

VD2: Coù 3 maùy thuoäc 3 ñôøi (vers ion) khaùc nhau. Cho moãi maùy

saûn xuaát ra 1 saûn phaåm. Tyû l eä saûn phaåm toát do töøng maùy saûn

xuaát laàn löôït laø 0,7 ; 0,8 ; 0,9. Tính xaùc suaát trong 3 saûn phaåm

saûn xuaát ra thì coù 2 saûn phaåm toát?



5

17

Giaûi VD2:

Ta khoâng theå aùp duïng quy luaät pp nhò thöùc cho baøi toaùn naøy, taïi

sao? Cmkb!

Neáu ta khoâng bieát quy luaät ppxs thì sao, khoâng leû botay.com aø!?

Ta haõy trôû veà moät caùch laøm gaàn guõi vaø cô baûn nhaát laø: ñaët bieán

coá, xaùc ñònh giaù trò cuûa X thoâng qua caùc bieán coá.

Goïi X= soá saûn phaåm toát trong 3 saûn phaåm.

Ñaët Ai= bc maùy i saûn xuaát ra saûn phaåm toát.

P(X=2)= P(A3*A2A1)+P(A3A2*A1)+ P(A3A2A1*)

= P(A3*)P(A2)P(A1)+P(A3)P(A2*)P(A1)+P(A3)P(A2)P(A1*)

= (0,1)(0,8)(0,7)+(0,9)(0,2)(0,7)+(0,9)(0,8)(0,3) 18

Baøi taäp: Trong caùc ÑLNN sau, ÑL naøo coù quy luaät ppnhò thöùc, ÑL naøo khoâng coù? Taïi sao?

Tung moät ñoàng xu saáp ngöõa 3 laàn.

Goïi X= soá laàn ñöôïc maët ngöõa.

Hoäp coù 4 bi T, 3 bi X. Laáy töø kieän ra 3 bi.

Goïi X= soá bi X laáy ñöôïc. Xeùt cho 3 caùch laáy:

C1: laáy ngaãu nhieân 3 bi

C2: laáy laàn löôït 3 bi

C3: laáy coù hoaøn laïi 3 bi

Moät maùy saûn xuaát ra saûn phaåm coù tyû leä pheá phaåm laø2%. Cho maùy saûn xuaát ra (laàn löôït) 10 saûn phaåm.

Goïi X= soá pheá phaåm coù ñöôïc.

19

Baøi taäp (tt): Trong caùc ÑLNN sau, ÑL naøo coù quy luaätpp nhò thöùc, ÑL naøo khoâng coù? Taïi sao?

Moät xaï thuû baén 3 phaùt ñaïn vaøo bia. ÔÛ laàn baén sau seõruùt kinh nghieäm caùc laàn baén tröôùc neân xaùc suaát truùngcuûa töøng phaùt laàn löôït laø: 0,7 ; 0,8 ; 0,9.

Goïi X= soá phaùt baén truùng.

Moät ngöôøi laáy laàn löôït 4 vôï. Do ruùt kinh nghieäm ôû caùclaàn laáy tröôùc neân khaû naêng ly dò vôï ôû caùc laàn laáy laànlöôït laø: 0,9 ; 0,8 ; 0,6 ; 0,5.

Goïi X= soá laàn ly dò vôï.

Xaùc suaát ñeå moät chieác duø khoâng bung ra khi nhaûy duølaø 0,001. Chieác duø ñöôïc duøng 3 laàn (coù theå vôùi 3 ngöôøikhaùc nhau! Hic hic).

Goïi X= soá laàn duø khoâng bung.20

III)QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI POISSON

VD1: Xeùt soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong 1 thaùng. Moätthaùng coù 30 ngaøy.

Goïi X= soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong 1 ngaøy.

Ta thaáy: trong 1 ngaøy coù theå coù 0, 1, 2, .... ñeán sieâu thòneân X coù caùc giaù trò laø 0, 1, 2, ....

Ta khoâng ñoaùn bieát chính xaùc trong 1 ngaøy naøo ñoù seõcoù bao nhieâu ngöôøi ñeán. Nhöng ta bieát soá ngöôøi trungbình ñeán sieâu thò trong moät ngaøy laø =600 ngöôøi. Luùcñoù ta noùi X laø ÑLNN coù quy luaät pp Poisson.



6

21

VD2: Coù moät mieàn A, trong mieàn A coù nhieàu vuøng A1,A2,...Baén 1 phaùt ñaïn ñaïi baùc vaøo mieàn A. ta xeùt khaûnaêng coù k maûnh ñaïn rôi vaøo vaøo vuøng A1.

Goïi X= soá maûnh ñaïn rôi vaøo vuøng A1.

Ta thaáy soá maûnh ñaïn coù theå rôi vaøo vuøng A1 coù theå laø0, 1, 2,...

Ta bieát soá maûnh ñaïn trung bình rôi vaøo vuøng A1 laø=2,5.

Thì luùc ñoù X laø ÑLNN coù quy luaät phaân phoái Poisson.

22

Toång quaùt:X laø ÑLNN rôøi raïc coù caùc giaù trò laø k= 0, 1, 2,... vôùi giaù

trò trung bình laø , vaø xaùc suaát töông öùng laø:P(X=k)= exp(-). k /k!Thì ta noùi X coù quy luaät pp Poisson. Kyù hieäu XP().

Tính chaát: XP()EX= varX= -1 modX

23

VD1:

Ta bieát trung bình trong 1 ngaøy coù 600 ngöôøi ñeán sieâuthò.

1)tính xaùc suaát trong ngaøy 1/1/2007 coù 700 ngöôøi ñeánsieâu thò?

2)Xaùc ñònh soá ngöôøi chaéc chaén nhaát coù theå ñeán sieâu thòtrong ngaøy 1/1/2007?

Giaûi:

Goïi X = soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong ngaøy 1/1/2007

ta coù XP(600)

1) P(X=700)= exp(-600). 600700/700!

2) 600-1 modX 600 --> modX = 599 hoaëc 60024

VD2:

XP(2,5)

1)tính xaùc suaát coù 3 maûnh ñaïn rôi vaøo vuøng A1?

2)xaùc ñònh soá maûnh ñaïn chaéc chaén nhaát coù theå rôivaøo vuøng A1?

3)tính xaùc suaát coù ít nhaát 5 maûnh ñaïn rôi vaøo vuøngA1?



7

25

Giaûi VD2:

1)P(X=3)= exp(-2,5). 2,53/3!

2)2,5-1 modX 2,5 --> modX = 2

3)P(X5)= 1-P(X4)

=1-

4

0)(

kkXP =1-

4

0!/)5,2()5,2exp(

kkk

Caâu hoûi:

Gôïi yù cuûa baøi toaùn ñeå coù theå aùp duïng quy

luaät pp Poisson laø gì? 26

IV)PHAÂN PHOÁI CHUAÅN

Moät ÑLNN lieân tuïc coù haøm maät ñoä nhö sau ñöôïc goïi laø coù quy

luaät pp chuaån. Kyù hieäu XN(,2)

Haøm maät ñoä :

2

21

21)(

x

exf

Tính chaát 1: XN(,2)

E(X) =

D(X) = 2

mod(X) = med(X) =

ñaëc bieät: neáu =0 vaø =1 thì XN(0,1): goïi laø pp chuaån taéc. PP

chuaån taéc coù haøm maät ñoä laø haøm maät ñoä Gauss:

)221exp(

2

1)( xx

27

Tính chaát 2: XN(,2)

)()()(

XP

)(21)(

XP

)(21)(1)(

XPXP

)(2)|(| XP

)()()|(|

XP

Vôùi x

dttx0

)()(

Löu yù: (x) laø haøm leû, töùc laø: (-x)= -(x) ; (+)= 0,5

Caùc giaù trò cuûa (x) ñöôïc tính saún thaønh baûng, laø baûng F.

Tính chaát 3 (Qui taéc k–sigma):

XN(,2)

)(2).|(| kkXP

28

VD1: Chieàu daøi cuûa moät loaïi chi tieát maùy coù quy luaätphaân phoái chuaån vôùi chieàu daøi thieát keá laø = 30cm, ñoäleäch chuaån laø =2cm.

1) Moät chi tieát maùy ñöôïc xem laø ñaït yeâu caàu khi saûnxuaát ra coù chieàu daøi naèm trong khoaûng 28 ñeán 31. choïnNN 1 chi tieát maùy, tính xaùc suaát chi tieát naøy ñaït yeâucaàu?

2) Moät chi tieát maùy ñöôïc xem laø “quaù daøi” khi chieàudaøi cuûa noù lôùn hôn 34,5cm. choïn NN 1 chi tieát maùy,tính xaùc suaát chi tieát naøy “quaù daøi”?

3) Moät chi tieát maùy ñöôïc xem laø “quaù ngaén” khi chieàudaøi cuûa noù nhoû hôn 20cm. choïn NN 1 chi tieát maùy, tínhxaùc suaát chi tieát naøy “quaù ngaén”?



8

29

Giaûi VD1:

Goïi X laø chieàu daøi cuûa chi tieát maùy saûn xuaát ra.

XN(,2)

Theo ñeà baøi thì XN(30cm,(2cm)2)

1) P(28<X<31)= [(31-30)/2]-[(28-30)/2]

= (0,50)+(1,00)= 0,1915+0,3413

2) P(X>34,5)= 0,5-[(34,5-30)/2]

= 0,5-(2,25)= 0,5-(2,25)= 0,5-0,4878

3) P(X<20)= 0,5+[(20-30)/2]= 0,5-(5,00) 0,5-0,5 = 0

Caâu hoûi:

Ruùt ra ñöôïc caùch laøm cuûa baøi toaùn veà quy luaät phaânphoái chuaån chöa? 30

VD2: Caùc voøng bi do moät maùy töï ñoäng saûn xuaát rañöôïc coi laø ñaït tieâu chuaån neáu ñöôøng kính cuûa noù saileäch so vôùi ñöôøng kính thieát keá khoâng quaù 0,7mm. Bieátraèng ñoä sai leäch naøy laø bieán ngaãu nhieân phaân phoáichuaån vôùi = 0 vaø = 0,4mm. Tìm tyû leä voøng bi ñaïttieâu chuaån cuûa maùy ñoù?

31

Giaûi VD2:

Ta thaáy raèng tyû leä voøng bi ñaït tieâu chuaån chính laø xaùc suaát ñeå

laáy ngaãu nhieân moät voøng bi thì ñöôïc voøng bi ñaït tieâu chuaån.

Goïi X = ñoä sai leäch giöõa ñöôøng kính cuûa voøng bi ñöôïc saûn xuaát

ra so vôùi ñöôøng kính thieát keá.

XN(0mm ; (0,4mm)2)

Ta coù: P(|X|<0,7) = P(|X-0|< 0,7)

= 2(0,7/0,4)= 2(1,75)= 0,9198

Vaäy tyû leä voøng bi ñaït tieâu chuaån cuûa maùy laø 91,98%.

Löu yù: coù theå aùp duïng caùc coâng thöùc khaùc ñeå tính P(|X|<0,7)32

V)CAÙC COÂNG THÖÙC XAÁP XÆ

1) X coù phaân phoái sieâu boäi H(N,M,n)

Khi n << N ta xaáp xó : X B(n, p) vôùi p = M/N

2) X coù phaân phoái nhò thöùc B(n,p)

a) Khi n lôùn, p nhoû gaàn 0 thì ta xaáp xó: X P(np)

b) Khi n lôùn, p khoâng quaù gaàn 0 vaø 1 thì ta duøng coâng thöùc

xaáp xó chuaån:

X N(np, npq)

npq

npknpq

kXP 1)( (coâng thöùc Moire-Laplace)

npq

npk

npq

npkkXkP 12)21

( (ct tích phaân Laplace)

Vôùi (x) laø haøm maät ñoä Gauss, ñöôïc cho saún trong baûng E.

Löu yù: (x) laø haøm chaún, töùc laø: (-x)= (x)



9

33

VD1: moät loâ haøng coù 1000 saûn phaåm, trong ñoù coù 600 saûn phaåm

loaïi I. choïn NN 10 saûn phaåm töø loâ haøng. Tính xaùc suaát trong 10

sp laáy ra coù 6 sp loaïi I?

Giaûi VD1:

Goïi X = soá sp loaïi I trong 10 sp laáy ra.

XH(1000, 600, 10)

Ta thaáy n=10 << N=1000 neân ta xaáp xæ: XB(n,p)

Vôùi p= 600/1000 =0,6

vaäy XB(10; 0,6)

P(X=6)= C(6,10)(0,6)6(0,4)4 34

VD2: saûn phaåm do 1 maùy töï ñoäng saûn xuaát ra. Tyû leä saûn phaåm

hoûng do maùy saûn xuaát laø 1%. Khaûo saùt 100 saûn phaåm do maùy

saûn xuaát. Tính xaùc suaát coù 30 sp hoûng?

Giaûi VD2:

Goïi X= soá sp hoûng trong 100 sp do maùy saûn xuaát.

XB(100; 0,01)

n=100 lôùn, p=0,01 nhoû gaàn 0 neân ta xaáp xæ XP()

vôùi =np=100(0,01)=1

Vaäy XP(1)

P(X=30)= exp(-1) 130/30!

35

VD3: Saûn phaåm do moät maùy töï ñoäng saûn xuaát ra.Tyû leä pheá phaåm do maùy saûn xuaát ra laø 0,4667. laáy100 saûn phaåm do maùy saûn xuaát ra ñeå kieåm tra.

1)Tính xaùc suaát trong 100 sp naøy coù 50 pheá phaåm?

2)Tính xaùc suaát coù ít nhaát 60 pheá phaåm?

36

Giaûi VD3:

Goïi X = soá pheá phaåm trong 100 saûn phaåm kieåm tra

X B(100; 0,4667)

Ta thaáy n=100 lôùn vaø p khoâng quaù gaàn 0 vaø 1 neân ta xaáp xæ

XN(np, npq)

Vaäy XN(46,67 ; 24,8891)

1)

)4667.01(*4667.0*100

4667.0*10050

)4667.01(*4667.0*100

1)50( XP

= 0.06393187.0*2004.0)67.0(8891.24

1 (tra baûng E)

2) )67.2()69.10(24.8891

46.6760

24.8891

46.67100)10060(

XP

= 0.5–0.4962 =0.0038 (tra baûng F)



10

37

VI)QUY LUAÄT PP CHI BÌNH PHÖÔNG

Giaû söû Xi (i =1, .., n) laø caùc ÑLNN ñoäc laäp tuaân theo quy luaät

phaân phoái chuaån taéc N(0,1). Ñaët:

2 =

n

i iX1

2

thì 2 tuaân theo quy luaät Chi bình phöông vôùi n baäc töï do, kyù

hieäu 2 ~ 2(n).

Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa ÑLNN 2 xaùc ñònh bôûi:

0,0

0,2.1

2.)(

x

xx

en

xCxf

vôùi :2/2).2/(

1nn

C

; 0

1)( dxxex , > 0.

Tính chaát : 2 ~ 2(n)

E(2)= n, var(2)=2n.

Löu yù : Ta khoâng xeùt baøi taäp cho quy luaät Chi bình phöông.

38

VII)PHAÂN PHOÁI T-STUDENT

Giaû söû hai ÑLNN ñoäc laäp X coù phaân phoái chuaån taéc N(0,1) vaø Y

coù phaân phoái theo quy luaät Chi bình phöông vôùi n baäc töï do

2(n). Khi ñoù :

nY

Xt/

coù phaân phoái t-student vôùi n baäc töï do (Degrees of freedom), kyù

hieäu t ~ t(n). Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa t-student xaùc ñònh bôûi

bieåu thöùc:

21

)2

1.()(

n

nxCxf Vôùi

)2/(.

)2

1(

nn

n

C

Tính chaát: t ~ t(n)

-E(t)= 0, var(t)=2n

n

-Ñoà thò phaân phoái xaùc suaát cuûa t ñoái xöùng qua truïc tung. Khi

baäc töï do n taêng leân thì phaân phoái t-student xaáp xæ vôùi

phaân phoái chuaån taéc N(0,1).

Löu yù : Ta khoâng xeùt baøi taäp cho quy luaät Student.

39

VIII)Phaân phoái Fisher (F)

X1, X2 laø caùc ÑLNN lieân tuïc ñoäc laäp coù phaân phoái Chi bình

phöông, trong ñoù X12(n1), X2

2(n2).

Ñaët

2/

2

1/

1nX

nXF F(n1,n2)

Ta noùi F coù phaân phoái Fisher vôùi hai baäc töï do, trong ñoù baäc töï

do thöù nhaát laø n1, baäc töï do thöù hai laø n2. Haøm maät ñoä cuûa phaân

phoái F xaùc ñònh baèng bieåu thöùc:

40

0,0

0,

221

)12

(

221

.)(

x

xnn

xnn

nn

xCxf

Vôùi)

22().

21(

2/22

.2/11

).2

21(

nn

nnnnnn

C

Tính chaát: F F(n1,n2)

22

2)(

n

nFE ,

)42

(2)22

(1

)2221

(22

2)var(

nnn

nnnF



11

41

CAÙC ÑÒNH LYÙ

X1 , X2 laø 2 ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp

1) X1 B(n1, p) , X2 B(n2, p)

X1+X2 B(n1+n2, p)

2) X1 P(1) , X2 P(2)

X1+X2 P(1+2)

3) X1 N(1, 21

) , X2 N(2, 22

)

X1+X2 N(1+2, 22

21

)

4) X1 2(n1) , X2

2(n2)

X1+X2 2 (n1+n2)

5) X1 N(0,1) , X2 N(0,1)

22

21

XX 2(2)42

IX)CAÙC MÖÙC PHAÂN VÒ CUÛA QLPP

Phaân vò möùc , /2 cuûa phaân phoái chuaån taéc

Phaân vò möùc , /2 cuûa phaân phoái Student

Phaân vò möùc , /2 cuûa phaân phoái Chi bình phöông

43

PHAÂN VÒ MÖÙC /2 CUÛA PP CHUAÅN TAÉC

44

PHAÂN VÒ MÖÙC CUÛA PP CHUAÅN TAÉC



12

45

PHAÂN VÒ MÖÙC /2 CUÛA PP STUDENT

46

PHAÂN VÒ MÖÙC CUÛA PP STUDENT

47

PHAÂN VÒ MÖÙC /2 CUÛA PP CHI BÌNHPHÖÔNG

48

PHAÂN VÒ MÖÙC CUÛA PP CHI BÌNHPHÖÔNG



13

49

X)BAØI TAÄP

Trong thöïc haønh, ngöôøi ta ít khi xeùt caùc quy luaät ppmoät caùch « leû loi moät mình », ngöôøi ta thöôøng « hôïphoân » 2 hoaëc 3 quy luaät vôùi nhau trong 1 baøi toaùn.Ñieàu naøy ñoøi hoûi ngöôøi laøm phaûi bieát :

phaân bieät caùc quy luaät pp

khi naøo thì aùp duïng caùc quy luaät pp naøo ñöôïc

vaø aùp duïng nhö theá naøo

Cuoäc « hôïp hoân » naøy coù hoaøn haûo hay khoâng laø do tacoù « kheùo tay hay laøm » khoâng!

50

Baøi 11: Moät soït cam coù 1000 traùi trong ñoù coù 400traùi hö. Laáy ngaãu nhieân ra 3 traùi.

Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 3 traùi hö

Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1 traùi hö

51

Giaûi baøi 11:

Goïi X laø soá traùi hö trong 3 traùi laáy ra.

X H(1000, 400, 3)

Ta thaáy n = 3 << N = 1000 neân ta xaáp xó :

X B(3; 0,4)

vôùi p = 400/1000 = 0,4

P(X = 3)= 06.034.033

C

P(X = 1) = 26.014.013

C 52

Baøi 10: Saûn phaåm sau khi hoaøn taát ñöôïc ñoùng thaønhkieän, moãi kieän goàm 10 saûn phaåm vôùi tyû leä thöù phaåm laø20%. Tröôùc khi mua haøng, khaùch haøng muoán kieåm trabaèng caùch töø moãi kieän choïn ngaãu nhieân 3 saûn phaåm.

1) Tìm luaät ppxs cuûa soá sp toát trong 3 sp laáy ra.

2) Neáu caû 3 sp ñöôïc laáy ra ñeàu laø sp toát thì khaùchhaøng seõ ñoàng yù mua kieän haøng ñoù. Tính xaùc suaát ñeåkhi kieåm tra 100 kieän:

a) Coù ñuùng 50 kieän haøng ñöôïc mua.

b) Coù ít nhaát 60 kieän ñöôïc mua.



14

53

Giaûi baøi 10:

1) X = soá sp toát trong 3 saûn phaåm laáy ra. X ~ H(10,8,3)

P(mua) = P(X=3) = p = 0,4667

2) Y = soá kieän ñöôïc mua trong 100 kieän

Y ~ B (100 ; p ) = B(100; 0,4667) N(np, npq)

a)

)4667.01(*4667.0*100

4667.0*10050

)4667.01(*4667.0*100

1)50( XP

= 0.06393187.0*2004.0)67.0(8891.24

1 (tra baûng E)

b) )67.2()69.10(24.8891

46.676024.8891

46.67100)10060(

YP

= 0.5–0.4962 =0.0038 (tra baûng F) 54

Baøi 17: Xaùc suaát ñeå moät aán coâng laønh ngheà saép laàmmoät maãu töï laø 0,002. Tính gaàn ñuùng xaùc suaát ñeåtrong 2000 maãu töï thì aán coâng saép laàm:

1) Ñuùng 1 maãu töï

2) Ít hôn 5 maãu töï

3) Khoâng laàm maãu töï naøo.

55

Giaûi baøi 17:

Goïi X laø soá maãu töï maø aán coâng saép laàm trong

2000 maãu töï.

X B(2000; 0,002)

n = 2000 khaù lôùn vaø p = 0,002 khaù beù

AÙp duïng coâng thöùc gaàn ñuùng theo Poisson

Ta coù : X P() vôùi = np = 2000 0,002 = 4

1) P(X = 1) = 0733,0!1

14.4

e

2) P(0 X 4) = 0,6288

3) P(X = 0)56

Baøi 12: ÔÛ moät toång ñaøi ñieän thoaïi, caùc cuù ñieän thoaïigoïi ñeán xuaát hieän ngaãu nhieân, ñoäc laäp vôùi nhau vaø toácñoä trung bình 2 cuoäc goïi trong 1 phuùt . Tìm xaùc suaátñeå:

1) Coù ñuùng 5 cuù ñieän thoaïi trong 2 phuùt

2) Khoâng coù cuù naøo trong khoaûng thôøi gian 30 giaây

3) Coù ít nhaát moät cuù trong khoaûng thôøi gian 10 giaây.



15

57

Giaûi baøi 12:

1) X= soá cuù ñieän thoaïi xuaát hieän trong khoaûng thôøigian 2 phuùt. X ~ P(4)

P(X=5) = e-4 45/5! = 0,156

2) X = soá cuù ñieän thoaïi xuaát hieän trong khoaûng thôøigian 30 giaây . X ~ P(1)

P (X=0) = e-1 = 0,3679

3) X = soá cuù ñieän thoaïi xuaát hieän trong khoaûng thôøigian 10 giaây . X ~ P(1/3)

P (X 1) = 1 – P (X=0) = 1-e-1/3 = 0,2835

58

Baøi 27: Troïng löôïng cuûa 1 loaïi traùi caây coù quy

luaät phaân phoái chuaån vôùi troïng löôïng trung bình

laø 250g, ñoä leäch chuaån veà troïng löôïng laø 5g.

1) Moät ngöôøi laáy 1 traùi töø trong soït traùi caây ra.

Tính xaùc suaát ngöôøi naøy laáy ñöôïc traùi loaïi 1

(traùi loaïi 1 laø traùi coù troïng löôïng > 260 g )

2) Neáu laáy ñöôïc traùi loaïi 1 thì ngöôøi naøy seõ

mua soït ñoù. Ngöôøi naøy kieåm tra 100 soït, tính

xaùc suaát mua ñöôïc 6 soït.

59

Giaûi:

1) X= troïng löôïng cuûa loïai traùi caây naøy (g)

X ~ N (250g , (5g)2 )

P (X > 260)= 0,5–(2) = 0,0228

2) Y= soá soït ñöôïc mua.

Y ~B (100 ; 0,0228) P (2,28)

P(Y=6) =!6

628,228,2e60

Baøi 26: Ñoä daøi cuûa moät chi tieát ñöôïc tieän ra coù phaânphoái chuaån N( cm ; (0,2cm)2). Saûn phaåm coi laø ñaït neáuñoä daøi sai leäch vôùi ñoä daøi trung bình khoâng quaù 0,3cm.

1) Tính xaùc suaát ñeå choïn ngaãu nhieân 1 saûn phaåm thìñöôïc sp ñaït yeâu caàu.

2) Choïn ngaãu nhieân 3 saûn phaåm. Tính xaùc suaát coù ít nhaát2 sp ñaït yeâu caàu.

3) Neáu saûn phaåm toát maø bò loaïi trong kieåm tra thì maécphaûi sai laàm loaïi 1, neáu saûn phaåm khoâng ñaït maø ñöôïcnhaän thì maéc phaûi sai laàm loaïi 2 . Giaû söû khaû naêng maécsai laàm loaïi 1, loaïi 2 laàn löôït laø 0,1 vaø 0,2. Tính xaùc suaátñeå trong 3 laàn kieåm tra hoaøn toaøn khoâng nhaàm laàn.



16

61

Giaûi baøi 26:

1) Goïi X laø ÑLNN bieåu thò chieàu daøi cuûa chi tieát.

X N( cm , (0,2cm)2)

p(ñaït) = p(| X – | 0,3 ) = 0,866

2) Goïi Y laø soá saûn phaåm ñaït yeâu caàu trong soá 3 saûnphaåm ñöôïc choïn ra. Ta coù Y B(3 ; 0,866)

P(Y 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3)

3) Choïn moät saûn phaåm, goïi T laø bieán coá gaëp saûn phaåmtoát vaø H laø bieán coá gaëp saûn phaåm hoûng. Goïi F laø bieáncoá nhaàm laãn trong kieåm tra saûn phaåm naøy.

P(F)= P(T)P(F/T)+P(H)P(F/H)= 0,8660,1+0,1340,2

Goïi Z laø soá saûn phaåm bò nhaàm laãn trong 3 laàn kieåm tra.

Ta coù Z B(3 ; P(F))

P(caû 3 laàn khoâng nhaàm laãn) = P(Z = 0)62

MÔØI GHEÙ THAÊM TRANG WEB:









ThS. Phạm trí Cao * Chương 4

1

1

CHÖÔNG IV:ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN HAI CHIEÀU

2

I.ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN 2 CHIEÀU (rôøi raïc)

ÑLNN 2 chieàu (veùctô ngaãu nhieân 2 chieàu) laø 1 boä 2 ñaïi löôïng

ngaãu nhieân X,Y. Kyù hieäu V=(X,Y).

Baûng phaân phoái xaùc suaát doàng thôøi cuûa (X,Y) coù daïng:

Y

X

y1 yj yn

x1 p11 p1j p1n

xi pi1 pij pin

xm pm1 pmj pmn

Trong ñoù: X nhaän caùc giaù trò x1, x2 ,…, xm

Y nhaän caùc giaù trò y1, y2 ,…, yn

Xaùc suaát X nhaän giaù trò xi , Y nhaän giaù trò yj laø:

pij = P(X=xi ,Y = yj )

3

Löu yù: Ta khoâng xeùt ÑLNN 2 chieàu lieân tuïc.

Tính chaát: 0≤ pij ≤1 , i,j

1 ijpji

44

Ví duï: Cho ÑLNN 2 chieàu V=(X,Y) coù baûng phaân phoái xaùc suaát

ñoàng thôøi

Y

X

1 2 3 4

2 1/8 2/8 0 0

4 1/8 0 1/8 2/8

6 0 0 1/8 0



2

55

II.PHAÂN PHOÁI LEÀ (PHAÂN PHOÁI BIEÂN DUYEÂN)

1) Phaân phoái leà cuûa X

Ví duï:

X 2 4 6

P 3/8 4/8 1/8

P (X =2) = P[(X=2).(Y=1)+(Y=2)+(Y=3)+(Y=4)]

= P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=2,Y=3)+P(X=2,Y=4)

8300

82

81

P(X=4)= P(X=4,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=4,Y=3)+P(X=4,Y=4)

=84

82

810

81

Töông töï cho P(X=6) 66

X 2 4 6

P 3/8 4/8 1/8

Kyø voïng: E(X) = i ixXPix )( =

27

816

844

832

Phöông sai: D(X) = 2)( EXi ix .P (X=xi)

=47

81.2)

276(

84.2)

274(

83.2)

272(

77

Nhaän xeùt: Ñeå xaùc ñònh phaân phoái leà ñôn giaûn, ta laäp

baûng sau:

Y

X

1 2 3 4

2 1/8 2/8 0 0 3/8

4 1/8 0 1/8 2/8 4/8

6 0 0 1/8 0 1/8

2/8 2/8 2/8 2/8 1 88

2) Phaân phoái leà cuûa Y:

Ví duï:

Y 1 2 3 4

P 2/8 2/8 2/8 2/8

P(Y=1)= P(X=2)+(X=4)+(X=6).(Y=1)]

=P(X=2,Y=1)+P(X=4,Y=1)+P(X=6,Y=1)=820

81

81

Töông töï cho P(Y=2) , P(Y=4) , P(Y=6)

Kyø voïng: E(Y) = j jyYPjy )( =

25

824

823

822

821

Phöông sai: D(Y) = j

(yj -EY)2 . P(Y=yj)

=45

82.2)

254(

82.2)

253(

82.2)

252(

82.2)

251(



3

99

III.ÑOÄC LAÄP VEÀ XAÙC SUAÁT CUÛA X,Y .

X,Y ñoäc laäp P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) i,j

Ví duï: P(X=2, Y=1) =82.

83

81 = P(X = 2).P(Y = 1)

Vaäy X,Y khoâng ñoäc laäp

1010

IV. LAÄP BAÛNG PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT CHO X.Y ,

TÍNH E(X.Y)

Ví duï:

XY 2 4 6 8 12 16 18

P 1/8 3/8 0 0 1/8 2/8 1/8

P(XY=2) = P(X=2, Y=1) = 1/8

P(XY=4) = P(X=2, Y=2) + P(X=4, Y = 1) = 2/8+1/8=3/8

P(XY=6)= P(X=6,Y=1)+P(X=2,Y=3)= 0+0= 0

E(XY) = 2.(1/8)+4(3/8)+12.(1/8)+16.(2/8)+18.(1/8)= 19/2

11

Baøi taäp:

laäp baûng ppxs cho X+Y?

Tính E(X+Y), var(X+Y)?

1212

V.PHAÂN PHOÁI COÙ ÑIEÀU KIEÄN

Giaû söû bieán coá F ñaõ xaõy ra vaø P(F) > 0

Phaân phoái cuûa X theo ñieàu kieän F laø: P(X=xi /F)

=)(

),(

FP

Fi

xXP =

iFP

Ví duï: Xeùt F = (Y=1)

Phaân phoái coù ñieàu kieän cuûa X theo F laø:

XF 2 4 6

PiF ½ 1/2 0



4

1313

P(X=2/Y=1) =21

828

1

)1()1,2(

YPYXP = P1F

P(X=4/Y=1) =21

828

1

)1()1,4(

YPYXP = P2F

P(X=6/Y=1) = 0

820

)1()1,6(

YPYXP = P3F

1414

Phaân phoái cuûa Y theo ñieàu kieän F laø:

P(Y=yj /F) =)(

),(

FP

Fj

yYP = PFj

Ví duï: Xeùt F = (X=4)

YF 1 2 3 4

PFj ¼ 0 ¼ 2/4

P(Y=1/X=4) =41

84

81

)4()1,4(

XPYXP

Tính chaát: piF 0, i , i iF

p 1

pFj 0, j , j Fj

p 1

1515

VI.KYØ VOÏNG TOAÙN COÙ ÑIEÀU KIEÄN,

PHÖÔNG SAI COÙ ÑIEÀU KIEÄN

1. Xeùt cho X:

E(XF)=E(X/F) = i iF

pi

x neáu bieát baûng phaân

phoái XF

Neáu chöa bieát baûng XF thì:

E(XF) =

i i FP

Fi

xXP

ixF

ixXP

ix

)(

),()/(

var(XF) = var(X/F) = i iF

pF

XEi

x 2))((1616

Ví duï: F=(Y=1)

E(X/F) = 2.p1F +4.p2F +6.p3F = 306214

212

Neáu ta chöa coù baûng phaân phoái XF thì tính nhö

sau:

E(XF) =

)1()1,6(6

)1()1,4(4

)1()1,2(2

YPYXP

YPYXP

YPYXP

= 382

0682814

82812

Töông töï : E(X/Y=2)=2 , E(X/Y=3)=5 ,

E(X/Y=4)=4

var(XF) = (2–3)2 p1F +(4–3)2 p2F +(6–3)2 p3F

= 1.(1/2)+1.(1/2)+9.(0) = 1



5

1717

YÙ nghóa cuûa E(X/F): laø trung bình coù ñieàu kieän

cuûa X, ñieàu kieän laø F

2. Xeùt cho Y:

E(YF)=E(Y/F) = j Fj

pj

y neáu bieát baûng phaân

phoái YF

Neáu chöa bieát baûng YF thì:

E(YF) =

j j FP

Fj

yYP

jyF

jyYP

jy

)(

),()/(

var(YF) = var(Y/F) = j Fj

pF

YEj

y 2))((1818

Ví duï: F=(X=4)

E(Y/F) = 1.pF1 +2.PF2 +3.pF3+4.pF4

=1(1/4)+2(0)+3(1/4)+4(2/4)=3

Neáu ta chöa coù baûng phaân phoái YF thì tính nhö

sau: E(YF) =

)4()3,4(3

)4()2,4(2

)4()1,4(1

XPYXP

XPYXP

XPYXP

3848/24

8/4813

8/40.2

84811

)4()4,4(4

XPYXP

Töông töï : E(Y/X=2)= 5/3 , E(Y/X=6)=3

var(YF)=(1–3)2(1/4)+(2–3)2.(0)+(3–3)2(1/4)

+(4–3)2(2/4) =3/2

1919

VIII. HIEÄP PHÖÔNG SAI, HEÄ SOÁ TÖÔNG

QUAN, MA TRAÄN HIEÄP PHÖÔNG SAI ,

MA TRAÄN TÖÔNG QUAN

Neáu E(Y/X=xi)=E(Y/xi)=a+bxi hoaëc

E(X/Y=yj)=E(X/yj)=c+dyj thì ta noùi X,Y coù

töông quan tuyeán tính.

1) Hieäp phöông sai

Cov(X,Y)

=E EYEXXYEYEYXEX

)())(())((

Vôùi E(XY) =i j ij

pj

yi

x2020

Cov(X,Y) ño möùc ñoä phuï thuoäc töông quan

tuyeán tính giöõa X vaø Y.

Cov(X,Y) phuï thuoäc ñôn vò ño cuûa X,Y

Ví duï: E(X.Y)= i j ij

pj

yi

x )0403822

811(2

+ )048130201(6)

824

8130.2

811(4 =19/2

Cov(X,Y) = E(XY)–EX.EY =43

25

27

219

Neáu coù baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa XY thì ta

deã daøng tính E(XY). Xem muïc IV



6

2121

Tính chaát:

Cov(X,Y) = Cov(Y,X)

Cov (X,Y) > 0 : X, Y töông quan thuaän

Cov (X,Y) < 0 : X, Y töông quan nghòch

Cov (X+ Z, Y) = Cov (X,Y) + Cov (Z,Y)

Cov (aX,bY) = ab cov (X,Y) , a,b R

D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2 cov(X,Y) ,

D(X-Y) = D(X)+D(Y)–2 cov(X,Y)

D(aX bY) = a2DX+b2DY2ab.cov(X,Y)

22

Neáu X,Y ñoäc laäp thì :

E(X.Y)= EX.EY cov(X,Y)= E(XY)-EX.EY= 0

Vaäy : X,Y ñoäc laäp X,Y khoâng töông quan

Ñieàu ngöôïc laïi khoâng ñuùng

Neáu X,Y coù phaân phoái chuaån thì ñieàu ngöôïc laïi ñuùng.

23

Baát ñaúng thöùc Cauchy–Schwartz:

|cov(X,Y)| )().( YDXD

Daáu “=” ñaït ñöôïc khi : P(Y=aX+b) = 1, a 0

2) Heä soá töông quan:

YX

YX

DYDX

YXRXY .

),cov(

.

),cov(

RXY ño möùc ñoä töông quan tuyeán tính giöõa X

vaø Y

RXY khoâng phuï thuoäc ñôn vò ño cuûa X,Y24

Ví duï: RXY =353

45

4743

Tính chaát:

- RXY = RYX = R = R(X,Y)

- R cuøng daáu vôùi cov(X,Y)

- |RXY| 1

- R(aX+b, cY + d) = R(X,Y) a,b,c,d R

- Neáu Y = aX + b thì R(X,Y) = 1

- Neáu |R| caøng gaàn 1 thì möùc ñoä phuï thuoäc

tuyeán tính giöõa X, Y caøng chaët.

- Neáu |R| caøng gaàn 0 thì möùc ñoä phuï thuoäc

tuyeán tính giöõa X, Y caøng loûng.



7

25

- Neáu |R| = 1 thì Y=aX+b vôùi xaùc suaát 1 .

Töùc laø : P (Y=aX+b) = 1

- Neáu R = 0: ta noùi X,Y khoâng töông quan.

Tính chaát:

- E(X+Y)2 = E(X2) + 2E(XY) + E(Y2)

- E(X-Y)2 = E(X2) - 2E(XY) + E(Y2)26

Löu yù: r>0 : neáu X taêng thì Y seõ taêng

r<0 : neáu X taêng thì Y seõ giaûm

Neáu phaùt bieåu nhö vaäy thì coù ñuùng khoâng?

27

3) Ma traän hieäp phöông sai:

)(),cov(

),cov()(

YDXY

YXXD

Ví duï: Ma traän hieäp phöông sai cuûa X,Y laø:

4/54/3

4/34/7

4) Ma traän töông quan:

1

1

YXR

XYR

Ví duï: Ma traän töông quan cuûa X, Y laø:

135/3

35/31

28

Moät soá thí duï:

Baøi 1: Coù hai hoäp, moãi hoäp ñöïng 6 bi. Trong hoäp 1 coù: 1 bi

mang soá 1, 2 bi mang soá 2, 3 bi mang soá 3 . Trong hoäp 2 coù:

2 bi mang soá 1, 3 bi mang soá 2 , 1 bi mang soá 3. X laø soá ghi

treân bi ruùt ra töø hoäp 1, Y laø soá ghi treân bi ruùt ra töø hoäp 2.

Ruùt töø moãi hoäp 1 bi.

1) Haõy laäp baûng phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi cuûa V=(X,Y)

2) Baûng phaân phoái xaùc suaát leà cuûa X, Y

3) Kyø voïng, phöông sai cuûa X,Y



8

2929

Giaûi

1) Baûng phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi

Y

X

1 2 3

1 2/36 3/36 1/36 1/6

2 4/36 6/36 2/36 2/6

3 6/36 9/36 3/36 3/6

2/6 3/6 1/6 1

2)

X 1 2 3 Y 1 2 3

P 1/6 2/6 3/6 P 2/6 3/6 1/6

3) EX = 7/3 , EY = 11/6 DX =5/9 , DY = 17/363030

Baøi 10: Coù hai loaïi coå phieáu A, B ñöôïc baùn

treân thò tröôøng chöùng khoaùn vaø laõi suaát cuûa

chuùng laø hai bieán ngaãu nhieân X,Y töông öùng.

Giaû söû (X,Y) coù baûng phaân boá xaùc suaát nhö sau:

Y

X

–2 0 5 10

0 0 0,05 0,05 0,1

4 0,05 0,1 0,25 0,15

6 0,1 0,05 0,1 0

3131

1) Neáu ñaàu tö toaøn boä coå phieáu A thì laõi suaát

kyø voïng vaø möùc ñoä ruûi ro laø bao nhieâu?

2) Neáu muïc tieâu laø nhaèm ñaït ñöôïc laõi suaát kyø

voïng laø lôùn nhaát thì neân ñaàu tö vaøo caû hai

loaïi coå phieáu treân theo tyû leä naøo?

3) Muoán haïn cheá ruûi ro veà laõi suaát ñeán möùc

thaáp nhaát thì neân ñaàu tö vaøo hai loaïi coå phieáu

treân theo tyû leä naøo?3232

Giaûi:

1)Ta phaûi tìm EX vaø X

Töø baûng phaân boá xaùc suaát cuûa (X,Y) ta suy ra

baûng phaân boá xaùc suaát cuûa X laø:

X 0 4 6

P 0,2 0,55 0,25

EX=3,7(%) ; Var(X)=4,11;(X)= 11,4 = 2,0273



9

33

2)Neáu kyù hieäu (0<=<=1) laø tyû leä ñaàu tö vaøo

coå phieáu A thì ta coù tyû leä ñaàu tö vaøo coå phieáu B

laø (1–).

Ta phaûi tìm sao cho:E(X+(1–)Y) max

Ta coù : E (X + (1–) Y) = EX + (1–) EY

Laøm töông töï nhö ñoái vôùi X ta tính ñöôïc :

EY = 4,2 vaø Var(Y) = 17,96

Do ñoù: E(X+(1–)Y)= 3,7+(1–).4,2

=4,2– 0,5

E (X + (1 - ) Y) = max khi = 0. Töùc laø

muoán ñaït ñöôïc laõi suaát kyø voïng laø lôùn nhaát thì

ta phaûi ñaàu tö vaøo mua toaøn boä coå phieáu B. 34

3)Xaùc ñònh sao cho : Var(X+(1–)Y) min

Ta coù : Var(X+(1–)Y)

= 2Var(X)+(1–)2 Var(Y)+2(1–)cov(X,Y)

Vaø cov(X,Y)= xiyjpij – EX.EY

= 12,4 – 3,7 * 4,2 = –3,14

Vaäy var(X+(1–)Y)

= 4,112+17,96(1–)2+ 2(1–)(–3,14)

= 28,352– 42,2 + 17,96 = f() min

f/() = 56,7 – 42,2 = 0 = 0,7443

f//() = 56,7 > 0 neân chính laø giaù trò cöïc tieåu

caàn tìm.

Keát luaän : Neáu ñaàu tö vaøo coå phieáu A vaø B

theo tyû leä 74,43% vaø 25,57% seõ coù möùc ñoä ruûi

ro laø thaáp nhaát.

35











1

1

CHÖÔNG 5:LYÙ THUYEÁT MAÃU

2

1. MAÃU VAØ PHÖÔNG PHAÙP MAÃU

Giaû söû ta caàn nghieân cöùu moät taäp hôïp coù raát nhieàuphaàn töû, vì moät soá lyù do maø ta khoâng theå khaûo saùttoaøn boä taäp lôùn naøy (khaûo saùt taát caû caùc phaàn töû),nhöng ta laïi muoán coù keát quaû treân taäp lôùn. Ta coù theågiaûi quyeát nhö sau: töø taäp hôïp lôùn laáy ra moät taäp hôïpnhoû hôn ñeå nghieân cöùu, ta thu ñöôïc keát quaû treân taäpnhoû, töø keát quaû treân taäp nhoû ta suy ra keát quaû cho taäplôùn. Phöông phaùp laøm vieäc nhö vaäy goïi laø phöôngphaùp maãu. Taäp lôùn goïi laø toång theå hay ñaùm ñoâng, soáphaàn töû cuûa taäp lôùn goïi laø kích thöôùc toång theå/ñaùmñoâng, kyù hieäu laø N. Taäp nhoû goïi laø maãu, soá phaàn töûcuûa maãu goïi laø kích thöôùc maãu hay côõ maãu, kyù hieäun.

3

Caùc lyù do khoâng theå nghieân cöùu toaøn boä toång theå:

Giôùi haïn veà thôøi gian, taøi chính… Thí duï muoán khaûo saùtxem chieàu cao trung bình cuûa thanh nieân Vieät Namhieän nay coù taêng leân so vôùi tröôùc ñaây khoâng, ta phaûi ñochieàu cao cuûa toaøn boä thanh nieân Vieät nam (giaû söû xaápxæ N=40 trieäu ngöôøi), ñieàu naøy tuy laøm ñöôïc nhöng roõraøng toán nhieàu thôøi gian, tieàn baïc, coâng söùc…. Ta coù theåkhaûo saùt khoaûng 1 trieäu thanh nieân vaø töø chieàu caotrung bình cuûa n=1 trieäu ngöôøi naøy, ta suy ra chieàu caotrung bình cuûa toaøn boä thanh nieân VN.

Phaù vôõ toång theå nghieân cöùu. Thí duï nhö ta caát vaøo khoN=10000 hoäp saûn phaåm, muoán bieát tyû leä hoäp hö trongkho sau 1 thôøi gian baûo quaûn. Ta phaûi kieåm tra töønghoäp ñeå xaùc ñònh soá hoäp hö M=300, thì tyû leä hoäp hötrong kho laø M/N. Moät saûn phaåm sau khi ñöôïc kieåm trathì bò maát phaåm chaát, khi ta kieåm tra xong caû kho thìcuõng “tieâu” luoân caùi kho! Ta coù theå laáy ngaãu nhieânn=100 hoäp ra kieåm tra, giaû söû coù m=9 hoäp hö.Töø tyû leä hoäp hö 9% ta suy ra tyû leä hoäp hö cuûa caû kho.

4

Khoâng xaùc ñònh ñöôïc chính xaùc toång theå. Thí duï nhömuoán khaûo saùt xem tyû leä nhöõng ngöôøi bò nhieãm HIVqua ñöôøng tieâm chích ma tuùy laø bao nhieâu phaàn traêm.Trong tình huoáng naøy thì toång theå chính laø nhöõng ngöôøibò nhieãm HIV, nhöng ta khoâng theå xaùc ñònh chính xaùctaát caû nhöõng ngöôøi bò nhieãm HIV vì chæ coù nhöõng ngöôøitöï nguyeän ñeán trung taâm xeùt nghieäm, beänh vieän thìmôùi bieát ñöôïc, coøn nhöõng ngöôøi khoâng ñi xeùt nghieämthì khoâng bieát ñöôïc. Do ñoù ta chæ bieát moät phaàn cuûatoång theå, laø nhöõng ngöôøi ñaõ ñi xeùt nghieäm. Ngoaøi ra soángöôøi bò nhieãm môùi HIV vaø bò cheát do HIV coù theå thayñoåi töøng giaây neân soá phaàn töû cuûa toång theå thay ñoåitöøng giaây.



2

5

Muoán töø keát quaû cuûa maãu suy ra keát quaû cho toång theåtoát thì maãu phaûi ñaïi dieän ñöôïc cho toång theå, muoánvaäy thì maãu phaûi ñöôïc laáy moät caùch ngaãu nhieân.Trong phaïm vi baøi giaûng naøy khoâng ñeà caäp ñeán kyõthuaät laáy maãu (maãu giaûn ñôn, maãu heä thoáng, maãuchuøm, maãu phaân toå, maãu nhieàu caáp). Ta quy öôùc laømaãu ñöôïc laáy theo caùch coù hoaøn laïi.

Maãu goàm coù: maãu ngaãu nhieân vaø maãu cuï theå. Caànphaân bieät roõ maãu ngaãu nhieân vaø maãu cuï theå.

6

Toång theå ñöôïc ñaëc tröng bôûi daáu hieäu nghieân cöùu X,laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân. Do ñoù khi noùi veà X töùclaø noùi veà toång theå.

Maãu ngaãu nhieân (coù côõ maãu n) ñöôïc kyù hieäuWX=(X1,…,Xn) laø moät veùctô coù n thaønh phaàn, moãithaønh phaàn Xi laø moät ÑLNN. Caùc ÑLNN naøy ñoäc laäpnhau vaø coù cuøng quy luaät phaân phoái gioáng vôùi X.

Maãu cuï theå (coù côõ maãu n) ñöôïc kyù hieäu Wx=(x1,…,xn)laø moät veùctô coù n thaønh phaàn, moãi thaønh phaàn xi laømoät giaù trò (con soá) cuï theå.

ÖÙng vôùi moät maãu ngaãu nhieân thì coù nhieàu maãu cuïtheå töông öùng vôùi keát quaû cuûa caùc pheùp thöû ngaãunhieân khaùc nhau.

7

VD: Moät keä chöùa caùc ñóa nhaïc vôùi giaù nhö sau:

Giaù (ngaøn ñ) 20 25 30 34 40

Soá ñóa 35 10 25 17 13

Xeùt toång theå veà maët ñònh löôïng:

Laáy ngaãu nhieân 1 ñóa nhaïc trong keä.

Goïi X= giaù cuûa ñóa nhaïc naøy. Ta thaáy X coù quy

luaät ppxs nhö sau:

X 20 25 30 34 40

P 0,35 0,10 0,25 0,17 0,138

Laáy ngaãu nhieân (coù hoaøn laïi) 4 ñóa nhaïc töø keä.

Goïi Xi= giaù cuûa ñóa nhaïc thöù i laáy ñöôïc, i=1,4

Ta thaáy caùc Xi ñoäc laäp vaø coù cuøng quy luaät ppxsgioáng nhö X.

Laäp WX=(X1,X2,X3,X4), goïi laø maãu ngaãu nhieân.



3

9

Baây giôø ta xem giaù cuï theå cuûa töøng ñóa laáy ra,

thaáy nhö sau:

Ñóa 1: giaù 20 ngaøn ñ




Laäp Wx=(x1,x2,x3,x4) = (20,30,20,40), goïi laø

maãu cuï theå. 10

Baây giôø ta xeùt toång theå veà maët ñònh tính:

Ñóa coù giaù döôùi 25 ngaøn ñ laø ñóa “laäu”. Laáy ngaãu

nhieân 1 ñóa töø keä. Goïi X= soá ñóa laäu laáy ñöôïc.

X 0 1

P 0,65 0,35

Laáy ngaãu nhieân (coù hoaøn laïi) 4 ñóa nhaïc töø keä.

Goïi Xi= soá ñóa laäu laáy ñöôïc khi laáy 1 ñóa ôû laàn laáy

thöù i, i=1,4

Ta thaáy caùc Xi ñoäc laäp vaø coù cuøng quy luaät ppxs

gioáng nhö X.

Laäp WX=(X1,X2,X3,X4), goïi laø maãu ngaãu nhieân.

11

Baây giôø ta xem giaù cuï theå cuûa töøng ñóa laáy ra,

thaáy nhö sau:

Ñóa 1: giaù 20 ngaøn ñ --> x1=1




Laäp Wx=(x1,x2,x3,x4) = (1,0,1,0), goïi laø maãu

cuï theå. 12

Caùc ñaëc tröng soá cô baûn cuûa toång theå:

Ta xeùt toång theå veà maët ñònh löôïng: Toång theå ñöôïcñaëc tröng bôûi daáu hieäu nghieân cöùu X, X laø ÑLNN.Ta coù EX=µ laø trung bình toång theå. varX=2 laøphöông sai toång theå. laø ñoä leäch chuaån cuûa toång theå.

Ta xeùt toång theå veà maët ñònh tính: toång theå coù kíchthöôùc N, trong ñoù coù M phaàn töû coù tính chaát A quantaâm. p=M/N goïi laø tyû leä toång theå.



4

13

II) Caùc ñaëc tröng soá cô baûn cuûa maãu (daïng ngaãu nhieân):

Ñònh löôïng:

Trung bình maãu: i

XnX 1

Phöông sai maãu (chöa hieäu chænh):2)(12ˆ X

iXnS

Phöông sai maãu (ñaõ hieäu chænh): 2)(1

12

Xi

Xn

S

Ñoä leäch chuaån maãu (chöa hieäu chænh): 2ˆˆ SS

Ñoä leäch chuaån maãu (ñaõ hieäu chænh): 2SS

ta coù1

ˆ

n

nSS

Ñònh tính:

Tyû leä maãu: F=

n

i iXn

1

1

Xi coù quy luaät phaân phoái xaùc suaát (khoâng-moät):

Xi 0 1

P q p

14

II) Caùc ñaëc tröng soá cô baûn cuûa maãu (daïng cuï theå):

Ñònh löôïng:

Trung bình maãu: i

xnx 1

Phöông sai maãu (chöa hieäu chænh):2)(12ˆ x

ixns

Phöông sai maãu (ñaõ hieäu chænh): 2)(1

12

xi

xn

s

Ñoä leäch chuaån maãu (chöa hieäu chænh): 2ˆˆ ss

Ñoä leäch chuaån maãu (ñaõ hieäu chænh): 2ss

ta coù1

ˆ

n

nss

Ñònh tính:

Tyû leä maãu: f=

n

i ixn

1

1 =m/n

n: côõ maãu

m: soá phaàn töû coù tính chaát A quan taâm trong maãu

15

Trong thöïc haønh: Ta xaùc ñònh trung bình maãu,

phöông sai maãu nhö sau:

xi ni

x1 n1

... ...

xi ni

... ...

xk nk

n=n1+...+nk

ixinn

x 1

2)(2

112 xnixin

ns

Maãu daïng

ñieåm

16

Baøi 1: Ñieàu tra naêng suaát luùa treân dieän tích 100

hecta troàng luùa cuûa moät vuøng, ta thu ñöôïc baûng

soá lieäu sau:

Naêng suaát (taï / ha) 41 44 45 46 48 52 54

Soá ha coù naêng suaát

töông öùng

10 20 30 15 10 10 5

1) Tính trung bình maãu, phöông sai maãu chöa

hieäu chænh, phöông sai maãu hieäu chænh

2) Nhöõng thöûa ruoäng coù naêng suaát töø 48 taï trôû

leân laø nhöõng thöûa ruoäng coù naêng suaát cao.

Tính tyû leä thöûa ruoäng coù naêng suaát cao

3) Tính trung bình maãu, phöông sai maãu hieäu

chænh (ñieàu chænh) cuûa nhöõng thöûa ruoäng coù

naêng suaát cao



5

17

Giaûi:

1) Ta laäp baûng nhö sau

xi ni nixi nixi2

41

44

45

46

48

52

54

10

20

30

15

10

10

5

410

880

1350

690

480

520

270

16.810

38.720

60.750

31.740

23.040

27.040

14.580

Toång n = 100 4600 212680 18

Töø keát quaû tính ôû baûng treân ta coù

Naêng suaát trung bình 461004600x taï/ha

Phöông sai (ñaõ hieäu chænh) cuûa naêng suaát

909,10246*1002126801100

12

s

Caùch khaùc:

Phöông sai (chöa hieäu chænh) cuûa naêng suaát

8,102)46(100

2126802ˆ s

Phöông sai ñieàu chænh cuûa naêng suaát

s2 =1100

100

10,8 = 10,909

19

2) Tyû leä maãu laø f = 25,0100

51010

3) Laäp baûng sau

xi ni ni.xi ni.xi2

48 10 480 23040

52 10 520 27040

54 5 270 14580

Toångn = 25 1270 64660

8,5025

1270x

s2 = 6]2)8,50*(2564660[125

1

20

Baøi 2: Quan saùt tuoåi thoï cuûa moät soá ngöôøi ta coù

baûng soá lieäu sau :

Tuoåi (naêm) Soá ngöôøi

20 – 30

30 – 40

40 – 50

50 – 60

5

14

25

6

1) Tính x , s2.

2) Nhöõng ngöôøi soáng döôùi 40 tuoåi laø "cheát

treû". Tìm tyû leä ngöôøi cheát treû.

Maãu daïng

khoaûng



6

21

Ñöa veà daïng ñieåm, sau ñoù laäp baûng tính nhö baøi

1.

xi ni

25

35

45

55

5

14

25

6

1) x = 41,40

s2 = 68,4082

2) f= (5+14)/ 50 = 0,3822

Quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa ñaëc tröng maãu NN:

Ñònh löôïng: Ta coù X N(, 2)

)2

,(~ nNX )1,0(~/

Nn

X

Do ñoù: )()()( nanbbXaP

)(2)|(| nXP

Neáu chöa bieát 2, ta coù: )1(~/

nTnS

X

)1(2~2

2)1( nSn

Ñònh tính: i

XnF 1 , vôùi Xi coù quy luaät ppxs 0-1.

pFE )( , npqF )var(

Neáu n lôùn (p khoâng quaù gaàn 0 vaø 1) thì:

),( npqpNF )1,0(

/N

npqpF

23

Baøi 3: Chieàu cao thanh nieân cuûa vuøng M laø bieán ngaãu

nhieân phaân boá chuaån vôùi = 165 cm, 2 = 102 cm2 . Ngöôøi

ta ño ngaãu nhieân chieàu cao cuûa 100 thanh nieân vuøng ñoù.

1) Xaùc suaát ñeå chieàu cao trung bình cuûa 100 thanh nieân

ñoù seõ sai leäch so vôùi chieàu cao trung bình cuûa thanh nieân

vuøng M khoâng vöôït quaù 2 cm laø bao nhieâu?

2) Khaû naêng chieàu cao trung bình cuûa soá thanh nieân treân

vöôït quaù 168 cm laø bao nhieâu?

3) Neáu muoán chieàu cao trung bình ño ñöôïc sai leäch so vôùi

chieàu cao trung bình cuûa toång theå (cuûa taát caû thanh nieân

vuøng M) khoâng vöôït quaù 1cm vôùi xaùc suaát (ñoä tin caäy ) laø

0,99 thì chuùng ta phaûi tieán haønh ño chieàu cao cuûa bao nhieâu

thanh nieân?

24

Giaûi:

1) 9544,0)2(2)100/10

2(2)2|(| XP

2)0013,04987,05,0)3(5,0

)10010

165168(5,0)168(

XP

3) Tìm n sao cho: 99,0)1|(| XP

Ta coù

)575,2(495,0)1,0(

99,0)101(2)1|(|

n

nXP

0,1 n = 2,575 n= 663,0625 664 (laøm troøn leân)



7

25








ThS. Phaïm Trí Cao * Chöông 6

1

1

CHÖÔNG 6:LYÙ THUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG

2

Toång theå ñöôïc ñaëc tröng bôûi daáu hieäu nghieân cöùu X, laøñaïi löôïng ngaãu nhieân. Toång theå coù ba ñaëc tröng soáquan troïng laø: E(X)=: trung bình toång theå var(X)=2: phöông sai toång theå p: tyû leä toång theå (tyû leä soá phaàn töû coù tính chaát A

quan taâm trong toång theå, p= P(A)= M/N, trong ñoù Mlaø soá phaàn töû coù tính chaát A, N laø soá phaàn töû cuûatoång theå).

Ta goïi chung caùc ñaëc tröng soá cuûa toång theå laø . laømoät giaù trò soá coá ñònh nhöng chöa bieát cuûa toång theå, taphaûi döï ñoaùn (öôùc löôïng) noù. Coù hai daïng öôùc löôïng côbaûn laø öôùc löôïng ñieåm vaø öôùc löôïng khoaûng.

3

1) Öôùc löôïng ñieåm

Töø keát quaû khaûo saùt cuûa maãu, ta coù theå ñöa ra moät

ñaïi löôïng ñeå öôùc löôïng cho . khi ñoù ñöôïc goïi laø

öôùc löôïng ñieåm (coù theå coù caùc tính chaát: khoâng

cheäch, hieäu quaû, vöõng, hôïp lyù toái ña …) cuûa . Löu yù

raèng laø moät bieán ngaãu nhieân öùng vôùi maãu ngaãu

nhieân, vaø laø moät giaù trò cuï theå öùng vôùi maãu cuï theå.

Thí duï: ngöôøi ta hay duøng trung bình maãu x ñeå öôùc

löôïng trung bình toång theå , duøng phöông sai maãu s2

ñeå öôùc löôïng phöông sai ñaùm ñoâng 2, duøng tyû leä

maãu f ñeå öôùc löôïng tyû leä ñaùm ñoâng p. 4

Öôùc löôïng ñieåm: ),...,

1()(ˆ

nXXfX

Wf goïi laø moät thoáng keâ.

Neáu duøng ñeå öôùc löôïng thì goïi laø haøm öôùc

löôïng cuûa . laø ÑLNN.

Öôùc löôïng khoâng cheäch (khoâng leäch):

)ˆ(E goïi laø UL khoâng cheäch cuûa

)ˆ(E goïi laø UL cheäch cuûa

Öôùc löôïng hieäu quaû:

vaø ' laø 2 ULKC cuûa .

Neáu var( )<var( ' ) thì ta noùi laø UL cho

toát hôn ' .

Neáu var( ) laø nhoû nhaát trong taát caû ULKC

cuûa thì ta noùi laø UL hieäu quaû cuûa .



2

5

Öôùc löôïng ñieåm:VD1:

Xeùt maãu WX=(X1,X2)

E(X)= µ, var(X)= 2

Xeùt = )21

(2

1 XXX , ' =23

213

1 XX

E( )=µ , E( ' )=µ

Var( )= ½ 2 < var( ' )= 5/9 2

VD2:

2)(1

12 Xi

Xn

S , E (S2)= 2

2)(12ˆ Xi

XnS , E( 2S )= nn 1 2

6

2) Öôùc löôïng khoaûng

Töø keát quaû khaûo saùt maãu, ta ñöa ra khoaûng (1 ,

2 ), vôùi

mong muoán laø tham soá toång theå seõ thuoäc vaøo khoaûng

naøy vôùi moät xaùc suaát nhaát ñònh naøo ñoù, nghóa laø:

P(1 <<

2 )= P[(

1 ,

2 )]= 1

thì (1 ,

2 ) goïi laø khoaûng tin caäy, khoaûng öôùc löôïng hay

öôùc löôïng khoaûng cuûa .

(1) ñöôïc goïi laø ñoä tin caäy cuûa khoaûng öôùc löôïng.

7

Löu yù raèng1 ,

2 laø nhöõng bieán ngaãu nhieân öùng vôùi

maãu ngaãu nhieân, vaø coù giaù trò cuï theå öùng vôùi maãu cuï

theå.

Khi ñöa ra öôùc löôïng khoaûng (1 ,

2 ) töø maãu thì coù hai

tröôøng hôïp xaûy ra:

Khoaûng öôùc löôïng naøy thöïc söï chöùa , töùc laø ta öôùc

löôïng ñuùng.

Khoaûng öôùc löôïng naøy khoâng chöùa , töùc laø ta öôùc

löôïng sai.

Xaùc suaát öôùc löôïng sai laø = P[(1 ,

2 )], goïi laø xaùc

suaát maéc sai laàm khi öôùc löôïng. 8

Ta coù caùc daïng öôùc löôïng cô baûn sau:-Öôùc löôïng giaù trò trung bình-öôùc löôïng tyû leä-öôùc löôïng phöông sai

Trong thöïc haønh, ngöôøi ta caên cöù vaøo côõ maãu n vaøphöông sai varX=2 ñeå ñöa ra phöông phaùp öôùclöôïng töông öùng.



3

9

I) Öôùc löôïng kyø voïng toaùn: X~N(µ,2)

G ),...,1

()( nXXfX

Wf

Ta tìm 1, 2 sao cho: 1+2=

Ta tìm g1, g2 : P(G<g1)= 1, P(G>g2)= 2

Luùc ñoù ta coù P(g1 <G< g2)= 1-

10

11

1) bieát :

Choïn G=n

XT/

)(

, T~N(0,1)

Ta tìm ñöôïc 2 giaù trò 1, 2 sao cho: 1+2=

Vaø ta tìm t1, t2 : P(T<t1)= 1, P(T>t2)= 2

Luùc ñoù ta coù P(t1 <T< t2)= 1-

neáu 1=2=/2 thì ta choïn: t2= - t1 (kyù hieäu = t)

ta coù khoaûng tin caäy ñoái xöùng:

P(-t <T< t)= 1- P(-t <n

X/

)(

< t)= 1-

P( X -<µ< X +)= 1-

Vôùin

t goïi laø ñoä chính xaùc (sai soá) cuûa UL

12

Öôùc löôïng giaù trò trung bình:

2) chöa bieát : laøm töông töï nhö treân.

ChoïnnS

XT/

)(

T N(0,1) neáu côõ maãu lôùn (n>=30).

T~T(n-1) neáu côõ maãu nhoû (n<30).



4

13

A. ÖÔÙC LÖÔÏNG GIAÙ TRÒ TRUNG BÌNH

1. n 30 , bieát 2

ntx hay

ntx

ntx

tra baûng G hoaëc F

Neáu khoâng bieát : thay baèng s

nstx

2. n < 30, bieát 2 (X coù phaân phoái chuaån)

ntx

3. n < 30, khoâng bieát 2 (X coù phaân phoái chuaån)

nsntx )1(

hayn

sntxn

sntx )1()1(

tra baûng H, baäc töï do n–1 14

Baøi 2: Ñieåm trung bình moân toaùn cuûa 100 thí

sinh döï thi vaøo ÑHKT laø 5 vôùi ñoä leäch chuaån

maãu (ñaõ hieäu chænh) s = 2,5.

1) Öôùc löôïng ñieåm trung bình moân toaùn cuûa

toaøn theå thí sinh vôùi ñoä tin caäy laø 95%.

2) Vôùi sai soá 0,25 ñieåm. Haõy xaùc ñònh ñoä tin

caäy.

15

Giaûi

1) n = 100 ; x = 5 ; s = 2,5

AÙp duïng tröôøng hôïp n 30 , chöa bieát :

= 95% t = 1,96

=nst

x =100

5,2*96,15 = 5 0,5

Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95% khoaûng öôùc löôïng

ñieåm trung bình moân toaùn cuûa toaøn theå thí sinh

döï thi vaøo ÑHKT laø (4,5 ; 5,5) ñieåm.

2) = 0,25 t = sn = 0,25*10/2,5 = 1

(t)= (1,00)= 0,3413 (tra baûng F)

= 2(t) = 0,6826 = 68,26% 16

Baøi 3: Tuoåi thoï cuûa moät loaïi boùng ñeøn ñöôïc bieát

theo quy luaät chuaån vôùi ñoä leäch chuaån 100 giôø.

1) Choïn ngaãu nhieân 100 boùng ñeå thöû nghieäm, thaáy

moãi boùng tuoåi thoï trung bình laø 1000 giôø. Haõy

öôùc löôïng tuoåi thoï trung bình cuûa boùng ñeøn xí

nghieäp A saûn xuaát vôùi ñoä tin caäy 95%

2) Vôùi ñoä chính xaùc laø 15 giôø. Haõy xaùc ñònh ñoä tin

caäy.

3) Vôùi ñoä chính xaùc laø 25 giôø vaø ñoä tin caäy laø 95%

thì caàn thöû nghieäm bao nhieâu boùng.



5

17

AÙp duïng tröôøng hôïp n 30, ñaõ bieát

1) n = 100 ; 1000x ; = 95% ; = 100

= 95% t = 1,96

= 6,191000 n

tx

Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95% tuoåi thoï trung bình cuûa boùng ñeøn

thuoäc xí nghieäp A vaøo khoaûng (980,4 ; 1019,6) giôø

2) = 15 , n = 100

5,1

nt (1,50) = 0,4332 (tra baûng F)

= 2(t) = 0,8662 = 86,62%

3) = 25 , = 95% , = 100

= 95% t = 1,96

62466,61225

21002

96,1

2

22

tn (laøm troøn leân)18

Nhaän xeùt:

Daïng toaùn:

Coù 3 tham soá : n, , =1– (bieát bieát t )

Caùc tham soá maãu: x , s

1) Bieát n, = ?

2) Bieát n, = ?

3) Bieát , n = ?

Duøng coâng thöùcn

t hay

nst

19

Baøi 4 : Troïng löôïng caùc bao boät mì taïi moät cöûa haøng

löông thöïc theo quy luaät chuaån. Kieåm tra 20 bao,

thaáy troïng löôïng trung bình cuûa moãi bao boät mì laø

48kg, vaø phöông sai maãu hieäu chænh laø s2 = (0,5kg)2.

1) Vôùi ñoä tin caäy 95% haõy öôùc löôïng troïng löôïng

trung bình cuûa moät bao boät mì thuoäc cöûa haøng.

2) Vôùi ñoä chính xaùc 0,26 kg, xaùc ñònh ñoä tin caäy.

3) Vôùi ñoä chính xaùc 160 g ; ñoä tin caäy 95%, tính côû

maãu n.20

1) n = 20 ; 48x ; s = 0,5 ; = 95%

AÙp duïng tröôøng hôïp X coù phaân phoái chuaån, n < 30

= 95% t(n – 1) = 2,0930 (tra baûng H)

234,048).19(

05,0 n

stx

Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình cuûa moät bao

boät mì thuoäc cöûa haøng vaøo khoaûng (47,766 ; 48,234) kg

2) t(n–1) = t(19) = 325,25,0

20)26,0( 2,3457

(2,3457 laø giaù trò gaàn 2,325 nhaát trong baûng tra).

= 0,97 = 97% (tra baûng H)

3) = 0,16 kg , = 95% t =1,96

125,616,05,0)96,1(

.

stn n = (6,125)2 = 37,51 38

Löu yù: Do n chöa bieát, ta xaáp xó : tnt )1(



6

21

B. ÖÔÙC LÖÔÏNG TYÛ LEÄ p : vôùi n 30

nfftfp )1(

hay nfftfpn

fftf )1()1(

Ñieàu kieän aùp duïng :

10)1.(

10.

fn

fn

Daïng toaùn:

Cuõng coù 3 daïng toaùn gioáng öôùc löôïng trung bình

Tham soá maãu: f

Duøng coâng thöùc nfft )1( 22

Baøi 5 : Ñeå öôùc löôïng tyû leä saûn phaåm xaáu cuûa moät

kho ñoà hoäp, ngöôøi ta kieåm tra ngaãu nhieân 100 hoäp

thaáy coù 11 hoäp xaáu.

1) Öôùc löôïng tyû leä saûn phaåm xaáu cuûa kho ñoà hoäp .

2) Öôùc löôïng tyû leä saûn phaåm xaáu cuûa kho ñoà hoäp

vôùi ñoä tin caäy 94%.

3) Vôùi sai soá cho pheùp = 3%, haõy xaùc ñònh ñoä tin

caäy.

23

Giaûi

1) n = 100 , 11,010011 f

Vaäy tyû leä hoäp xaáu cuûa kho laø 11%

2) = 94% = 0,94 t =1,8808 (tra baûng G)

n

fftfp

)1( =

100

)11,01(11,08808,111,0

= 0,11 0,059

Vaäy vôùi ñoä tin caäy 94%, tyû leä saûn phaåm xaáu c uûa kho ñoà hoäp

vaøo khoaûng (0,051 ; 0,169) 5,1% < p < 16,9%

3) = 3% = 0,03

96,0)1(

ffnt

(0,96) = 0,3315 = 2(0,96)= 0,663 = 66,3%24

Baøi 6: Loâ traùi caây cuûa moät chuû haøng ñöôïc ñoùng thaønh soït

moãi soït 100 traùi. Kieåm tra 50 soït thaáy coù 450 traùi khoâng

ñaït tieâu chuaån.

1) Öôùc löôïng tyû leä traùi caây khoâng ñaït tieâu chuaån cuûa loâ

haøng vôùi ñoä tin caäy 95%.

2) Muoán öôùc löôïng tyû leä traùi caây khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi

ñoä chính xaùc 0,5% thì ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø bao nhieâu?


ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc 1% thì caàn kieåm tra bao

nhieâu soït?


ñoä tin caäy 99,70% thì ñoä chính xaùc ñaït ñöôïc laø bao

nhieâu?



7

25

1) Goïi p laø tyû leä traùi caây khoâng ñaït tieâu chuaån, ta caàn

öôùc löôïng p vôùi ñoä tin caäy 95%.

Ta coù = 95% t =1,96

09,05000450 f

008,05000

)09,01(09,096,1

khoaûng öôùc löôïng cuûa p laø: 0,082 < p < 0,098

2) Töø coâng thöùc

nff

t)1(

Suy ra 24,1)09,01(09,0

5000005,0)1(

ff

nt

= 2 (t) = 2 0,3925 = 0,785. (tra baûng F)

Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc 78,5%. 26

3) Ta caàn xaùc ñònh kích thöôùc maãu n thoûa maõn ñoä

chính xaùc 1% vaø ñoä tin caäy 99% khi öôùc löôïng p.

Ta coù = 99% t = 2,58 (tra baûng G)

AÙp duïng coâng thöùc2

)1(2

fftn

Ta coù 54522)01,0(

)09,01(09,0258,2 n (traùi)

Vì moãi soït coù 100 traùi neân ta caàn kieåm tra 55 soït.

4) Ta caàn xaùc ñònh ñoä chính xaùc vôùi ñoä tin caäy

99,70% (öùng t = 2,9677) vôùi kích thöôùc maãu n = 5000.

Ta coù : 012,05000

)09,01(09,09677,2

)1(

n

fft

Vaäy ñoä chính xaùc ñaït ñöôïc 1,2%.

27

Caâu hoûi:

Qua 2 thí duï treân baïn ruùt ra ñöôïc caùc ñieàu caàn löu yùchöa?

“Chuyeän nhoû nhöng neáu khoâng bieát laïi laø chuyeänlôùn” (nhaïc Rap VN)!

28

Baøi 7 : Moät loâ haøng coù 5000 saûn phaåm. Choïn

ngaãu nhieân 400 saûn phaåm töø loâ haøng ñeå kieåm tra

thì thaáy coù 360 saûn phaåm loaïi A.

1)Haõy öôùc löôïng soá saûn phaåm loaïi A coù trong loâ

haøng vôùi ñoä tin caäy 96%?

2)Neáu muoán öôùc löôïng soá saûn phaåm loaïi A cuûa

loâ haøng ñaït ñöôïc ñoä chính xaùc 150 saûn phaåm

vaø ñoä tin caäy 99% thì phaûi kieåm tra bao nhieâu

saûn phaåm?



8

29

1) n = 400, f = 360 / 400 = 0,9, = 96% t = 2,0537

p = f t nff )1( = 0,9 2,0537

400

1,0.9,0

400

1,0.9,00537,29,0400

1,0.9,00537,29,0 p

0,8692 < p < 0,9308

Goïi M laø soá saûn phaåm loaïi A coù trong loâ haøng:

0,8692* 5000 < M < 0,9308 * 5000

2) Vôùi = 150 / 5000 = 0,03

= 99% t = 2,5758

= t

fft

nnff 1

2)1(

666665,640203,01,0.9,0258,2 n saûn phaåm

30

(Chöùng minh: goïi laø ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng

khoaûng öùng vôùi 400 saûn phaåm, vaø ' laø ñoä chính

xaùc cuûa öôùc löôïng khoaûng öùng vôùi 5000 saûn

phaåm.

Ta coù fp öùng vôùi öôùc löôïng tyû leä cuûa 400

saûn phaåm. NNfNp laø öôùc löôïng öùng vôùi N=

5000 saûn phaåm, vaø ñoä chính xaùc laø '= N= 150.

Vaäy = '/N= 150/5000 = 0,03 )

31

Caâu hoûi:

Baïn ñaõ ruùt ra ñöôïc ñieàu caàn löu yù töø thí duï naøy chöa?

Haõy ñeå chuyeän nhoû maõi maõi laø chuyeän nhoû!

32

Baøi 8 : Ñieàu tra naêng suaát luùa treân dieän tích 100

hecta troàng luùa cuûa moät vuøng, ta thu ñöôïc baûng soá

lieäu sau:

Naêng suaát (taï/ha) 41 44 45 46 48 52 54

Soá ha coù naêng suaát

töông öùng

10 20 30 15 10 10 5

1) Haõy öôùc löôïng naêng suaát luùa trung bình cuûa

vuøng ñoù vôùi ñoä tin caäy 95%?

2) Nhöõng thöûa ruoäng coù naêng suaát töø 48taï/ha trôû

leân laø nhöõng thöûa coù naêng suaát cao. Haõy öôùc löôïng

tyû leä dieän tích coù naêng suaát cao trong vuøng vôùi ñoä

tin caäy 97%.



9

33

1) Ta laäp baûng nhö sau

xi ni nixi ni2ix

41

44

45

46

48

52

54

10

20

30

15

10

10

5

410

880

1350

690

480

520

270

16.810

38.720

60.750

31.740

23.040

27.040

14.580

Toång n = 100 4600 21268034

Töø keát quaû tính ôû baûng treân ta coù

Naêng suaát trung bình 461004600x taï/ha

Phöông sai cuûa naêng suaát

910,10246*1002126801100

12

s

s= 3,303

= 95% t = 1,96

647,046nst

x

Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95%, naêng suaát luùa trung bình cuûa

vuøng ñoù vaøo khoaûng (45,353 ; 46,647) ñôn vò tính taï.

35

2) 25,010025 f

= 0,97 t = 2,1701 (tra baûng G)

094,025,0)1(

n

fftfp

Vaäy vôùi ñoä tin caäy 97%, tyû leä dieän tích

luùa coù naêng suaát cao trong vuøng vaøo

khoaûng (0,156 ; 0, 344).36

C. ÖÔÙC LÖÔÏNG PHÖÔNG SAI 2 CUÛA ÑLNN

X COÙ PHAÂN PHOÁI CHUAÅN

1.Bieát kyø voïng toaùn EX =

Choïn thoáng keâ2

2)(12

i

XnnG ~ 2(n)

Ta coù theå tìm 1+2 =

Vaø tìm )(21n

vaø )(2

21n

sao cho:

P(2 < )(21n

) = 1 , P(2 > )(2

21n

) = 2

P( )(21n

< 2 < )(2

21n

) = 1-



10

37 38

Laáy 1 = 2 = /2

P( )(22/n

< 2 < )(2

2/1n

) = 1-

P( )(22/n

<

2

2)(1

i

Xnn< )(2

2/1n

) = 1-

P()(2

2/

2)(2

)(221

2)(

ni

X

ni

X

) = 1-

Trong thöïc haønh:

)(22/

2)(2

)(221

2)(

ni

xi

n

ni

xi

n

tra baûng I , baäc töï do n

39

Laøm töông töï treân, ta coù:

2.Khoâng bieát kyø voïng toaùn EX =

)1(22/

2)1(2)1(2

21

2)1(

n

sn

n

sn

tra baûng I, baäc töï do (n–1)

40

Baøi 12: Möùc hao phí nguyeân lieäu cho moät ñôn vò saûn

phaåm laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân X phaân phoái theo quy luaät

chuaån. Quan saùt 28 saûn phaåm ta thu ñöôïc keát quaû sau :

Löôïng nguyeân lieäu hao phí (gr) 19 19,5 20,0 20,5

Soá saûn phaåm 5 6 14 3

Vôùi ñoä tin caäy 90% haõy öôùc löôïng phöông sai cuûa X trong

2 tröôøng hôïp

1) Bieát E(X) = 20 gr

2) Chöa bieát E(X)



11

41

1) Ta öôùc löôïng D(X) = 2 trong tröôøng hôïp ñaõ bieát

E(X).

Ñeå tính ni(xi – )2 ta laäp baûng tính sau :

xi ni (xi – 20) ni(xi – 20)2

19,0

19,5

20,0

20,5

5

6

14

3

–1

–0,5

0

0,5

5

1,5

0

0,75

Toång n = 28 7,2542

Tra baûng I vôùi baäc töï do n = 28 vaø /2 = 0,05)

ta ñöôïc 9279,16205,0

22/

,

3372,41295,0

22/1

Vôùi ñoä tin caäy 90%, khoaûng tin caäy cuûa 2 laø

)(22/1

2)20(

ni

xi

n

< 2 <

)(22/

2)20(

ni

xi

n

9,1625,72

3,4125,7

2) Tröôøng hôïp naøy khoaûng tin caäy cuûa 2 seõ laø

)1(22/

2)1(2)1(2

2/1

2)1(

n

sn

n

sn

22/1

; 22/

laø caùc phaân vò 2 vôùi n – 1 = 27 baäc

töï do. 22/1

1,40295,0

22/

2,16205,0

43

Ñeå tính s2 ta laäp baûng tính sau

xi ni nixi2i

xi

n

19,0

19,5

20,0

20,5

5

6

14

3

95,0

117,0

280,0

61,5

1805,00

2281,50

5600,00

1260,75

Toång n = 28 553,5 10947,25

2126,02

285,553

2825,10947

27282

s

KTC cuûa 2 laø:2,162126,0272

1,40)2126,0(27

hay 0,143 < 2 < 0,354 44

NHAÉC LAÏI: KHOAÛNG TIN CAÄY 2

PHÍA

ntX

ntX

: ULTB, bieát

nSntX

nSntX )1()1( :

ULTB, chöa bieát (n<30)

nff

tfn

fftf

)1()1(

:

UL tyû leä (n>=30)

)(22/

2)(2

)(22/1

2)(

ni

xi

n

ni

xi

n

:

UL phöông sai, bieát µ

)1(22/

2)1(2)1(2

2/1

2)1(

n

sn

n

sn

:

UL phöông sai, chöa bieát µ



12

45

V) CAÙC ÖÔÙC LÖÔÏNG 1 PHÍA

1) KTC beân phaûi

n

tX2

: ULTB, bieát

n

SntX )1(2

: ULTB, chöa bieát (n<30)

n

fftf )1(2

: UL tyû leä (n>=30)

2

)(21

2)(

ni

xi

n: UL phöông sai, bieát µ

2)1(2

1

2)1(

n

sn : UL phöông sai, chöa bieát µ46

2) KTC beân traùi

ntX

2

: ULTB, bieát

nSntX )1(

2

: ULTB, chöa bieát (n<30)

nfftf )1(

2

: UL tyû leä (n>=30)

)(2

2)(20

ni

xi

n

: UL phöông sai, bieát µ

)1(2

2)1(20

n

sn

: UL phöông sai, chöa bieát µ

47









1

1

CHÖÔNG 7:KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THIEÁT THOÁNG KEÂ

Trong thöïc teá ta thöôøng gaëp vaán ñeà: phaûikieåm tra xem 1 ñieàu gì ñoù ñuùng hay sai,noäi dung thoâng tin maø ta nhaän ñöôïc töø caùcnguoàn cung caáp (1 ngöôøi, 1 cô quan, 1 tôøbaùo, 1 toå chöùc,...) coù ñaùng tin caäy khoâng.Coâng vieäc kieåm tra laïi noäi dung thoâng tinmaø ta nhaän ñöôïc xem coù ñaùng tin caäykhoâng chính laø baøi toaùn kieåm ñònh.

2

Thí duï 1: Moät toå chöùc cho raèng chieàu cao trung bìnhhieän nay cuûa thanh nieân VN laø 1.65m. Haõy laäp giaûthieát ñeå kieåm chöùng keát quaû naøy?

HD:

H0:=1.65

H1:≠1.65

: chieàu cao TB thöïc teá cuûa thanh nieân hieän nay

0= 1.65: chieàu cao TB cuûa thanh nieân hieän nay theolôøi toå chöùc naøy

H0 goïi laø giaû thieát thoáng keâ (giaû thieát khoâng)

H1 goïi laø giaû thieát ñoái

3

Ta tieán haønh kieåm ñònh (kieåm tra) nhö sau:

Thu thaäp soá lieäu thöïc teá (laáy maãu): ño chieàu caocuûa khoaûng 1 trieäu ngöôøi

Duøng 1 quy taéc kieåm ñònh töông öùng vôùi giaû thieátñang xeùt (kieåm ñònh giaù trò trung bình) ñeå quyeátñònh: chaáp nhaän hay baùc boû H0

Chaáp nhaän H0: toå chöùc naøy baùo caùo ñuùng. Con soá1.65m laø ñaùng tin caäy.

Baùc boû H0: toå chöùc naøy baùo caùo sai.

4

Thí duï 2: Moät hoïc vieân luyeän thi cao hoïc cho raèng tyû leähoïc vieân thi ñaït moân XSTK laø 50%. Haõy laäp giaû thieátthoáng keâ ñeå kieåm chöùng ñieàu naøy?

HD:

H0: p=0.5

H1: p≠0.5

p: tyû leä hoïc vieân thöïc teá thi ñaït moân XSTK

p0= 0.5 : tyû leä hoïc vieân thi ñaït moân XSTK theo lôøingöôøi naøy.



2

5

Thí duï 3: Moät coâ gaùi ñöôïc cho laø thuøy mò, neát na, ñaèmthaém, dòu daøng, ngaên naép, chu ñaùo, …noùi chung laø heát…yù! Vaø ta muoán ñeå yù!

Ta phaûi kieåm tra ñieàu naøy! Tuy nhieân ta seõ khoângquyeát ñònh ñöôïc laäp giaû thieát thoáng keâ nhö theá naøo, bôûivì sai laàm naøo cuõng ñau khoå caû! Vaø ta khoâng theå töïmình tieán haønh kieåm ñònh ñöôïc!

Baøi toaùn loaïi naøy ta khoâng theå xeùt ñöôïc, bôûi vì khoângcoù quy taéc quyeát ñònh chung. Ctmb quyeát ñònh nhö theánaøo!

6

Ñeå xeùt xem chaáp nhaän hay baùc boû H0 thì ta

phaûi laáy maãu, vaø ñöa ra quyeát ñònh döïa treân

maãu. Trong quaù trình laøm, coù 4 tröôøng hôïp

sau:

Quyeát ñònh

Chuû quan

Thöïc teá

khaùch quan

H0 sai H0 ñuùng

H0 sai Ñuùng Sai laàm loaïi 2

H0 ñuùng Sai laàm loaïi 1 Ñuùng

P(sll1)= P(baùc boû H0/H0 ñuùng) ,

P(sll2)= P(chaáp nhaän H0/H0 sai)

7

Ta khoâng theå laøm giaûm P(sll1) vaø P(sll2) xuoáng cuøngluùc ñöôïc (côõ maãu coá ñònh), neáu laøm giaûm P(sll1) thìseõ laøm taêng P(sll2), vaø ngöôïc laïi. Chæ coù theå laømgiaûm caû P(sll1) vaø P(sll2) cuøng luùc baèng caùch taêngcôõ maãu leân.

Veà maët khaùch quan thì caû 2 loaïi sai laàm ñeàu nguyhieåm, tuy nhieân veà maët chuû quan thì ta coi sai laàmloaïi 1 laø nguy hieåm hôn sai laàm loaïi 2. Do ñoù ngöôøita laäp giaû thieát sao cho sai laàm loaïi 1 laø nguy hieåmhôn.

8

VD1: Moät ngöôøi bò nghi ngôø laø aên troäm.

Ta laäp giaû thieát:

H0: ngöôøi naøy laø voâ toäi

H1: ngöôøi naøy laø coù toäi

(Trong xaõ hoäi vaên minh, daân chuû thì luoân mong muoánñieàu toát ñeïp xaõy ra!)

Coâng an ñi thu thaäp chöùng côù ñeå baùc boû H0, neáu coùñuû chöùng côù thì keát luaän ngöôøi naøy coù toäi (baùc boûH0), neáu khoâng ñuû chöùng côù thì vaãn phaûi keát luaänngöôøi naøy voâ toäi (chaáp nhaän H0).



3

9

Ta coù 2 loaïi sai laàm sau:

Trong thöïc teá ngöôøi naøy voâ toäi, nhöng do söï taéctraùch cuûa CA hoaëc do bò haõm haïi maø ngöôøi naøy bòkeát luaän laø coù toäi BAÉT OAN (sll1).

Trong thöïc teá ngöôøi naøy coù toäi, nhöng do laø SIEÂUTROÄM neân CA khoâng tìm ñöôïc chöùng côù neân phaûithaû ra THAÛ LAÀM (sll2).

Ta thaáy BAÉT OAN nguy hieåm hôn THAÛ LAÀM, neáucoù thaû laàm thì ta hy voïng raèng “Löôùi trôøi loàng loäng,tuy thöa maø khoù loït, loït laàn naøy thì chöa chaéc seõ loïtlaàn khaùc!” (Bao Coâng)

10

VD 2: Moät ngöôøi ñi khaùm beänh xem coù bò ung thöphoåi khoâng, ta ñaët giaû thieát sau:

H0: ngöôøi naøy coù beänh ung thö phoåi.

Ta coù hai loaïi sai laàm töông öùng:

sai laàm loaïi I laø ngöôøi naøy coù beänh nhöng baùc sókeát luaän khoâng coù.

sai laàm loaïi II laø ngöôøi naøy khoâng coù beänh nhöngbaùc só keát luaän coù.

Ta thaáy sai laàm loaïi I laø nguy hieåm hôn.

11

Do ñoù ta ñöa ra quy taéc kieåm ñònh sao cho:

P(sll1) <=, vôùi laø 1 con soá cho tröôùc, goïi laømöùc (coù) yù nghóa cuûa kieåm ñònh.

P(sll2) beù nhaát coù theå ñöôïc.

12

CAÙC DAÏNG KIEÅM ÑÒNH:

Kieåm ñònh tham soá

Kieåm ñònh giaù trò trung bình

Kieåm ñònh tyû leä

Kieåm ñònh phöông sai

Kieåm ñònh tham soá coù 2 daïng:

2 phía

1 phía (phaûi, traùi)

Kieåm ñònh phi tham soá

Kieåm ñònh quy luaät phaân phoái xaùc suaát

Kieåm ñònh tính ñoäc laäp cuûa 2 daáu hieäu



4

13

PHÖÔNG PHAÙP KIEÅM ÑÒNH

Phöông phaùp khoaûng tin caäy

Phöông phaùp giaù trò tôùi haïn

Phöông phaùp p-value

14

PHAÀN I: KIEÅM ÑÒNH THAM SOÁ

KIEÅM ÑÒNH GIAÙ TRÒ TRUNG BÌNH

KIEÅM ÑÒNH TYÛ LEÄ

KIEÅM ÑÒNH PHÖÔNG SAI

15

1) KIEÅM ÑÒNH GIAÙ TRÒ TRUNG BÌNH:

: trung bình ñaùm ñoâng

0: 1 con soá caàn kieåm ñònh xem ñuùng hay sai

a) Kieåm ñònh 2 phía

H0: =0 ; H1: 0

b) Kieåm ñònh moät phía

Phía phaûi: H0: =0 ; H1: >0

Phía traùi: H0: =0 ; H1: <0

16

KIEÅM ÑÒNH HAI PHÍA:






5

17

III) Kieåm ñònh giaù trò trung bình

H0: µ= µ0 , H1: µ µ0

WX=(X1, …,Xn)

G=f(WX,µ0) : tieâu chuaån kieåm ñònh.

Neáu giaû thieát H0 ñuùng thì ta bieát ñöôïc quy luaät ppxs

cuûa G.

Ta tìm mieàn W sao cho: P(GW/H0) =

W goïi laø mieàn baùc boû giaû thieát H0, goïi laø möùc yù

nghóa cuûa kieåm ñònh.

Caùch 1: phöông phaùp KTC (ít thoâng duïng)

Ta tìm KTC cuûa µ. Neáu µ0 thuoäc KTC naøy thì ta

chaáp nhaän giaû thieát H0.18

Caùch 2: pp giaù trò tôùi haïn

Choïnn

XTG

/

)0

(

Neáu giaû thieát H0 ñuùng thì T~N(0,1)

ta tìm ñöôïc t sao cho:

P(GW/H0) = = P(|T|>t)

Do ñoù ta coù mieàn baùc boû 2 phía laø:

W={n

XT

/

)0

(

,|T|>t}

Trong thöïc haønh:

Tínhn

xt

/

)0

(

|t|> t: baùc boû H0

19

1. n 30 , bieát 2:

nx

t)

0(

t (tra baûng G)

|t| < t : chaáp nhaän H0

|t| t : baùc boû H0 , chaáp nhaän H1

Trong tröôøng hôïp baùc boû H0 :

+ Neáu ox thì > 0

+ Neáu ox thì < 020

Neáu khoâng bieát 2: thay baèng s

snx

t)

0(

, t (tra baûng G)


|t| t : baùc boû H0 , chaáp nhaän H1



6

21

1. n < 30, bieát 2 (X coù phaân phoái chuaån)

nx

t)

0(

, t (tra baûng G)


|t| t : baùc boû H0

2. n < 30, khoâng bieát 2 (X coù phaân phoái

chuaån)

snox

t)(

, t (n–1) (tra baûng H)

|t| < t(n–1) : chaáp nhaän H0

|t| t(n–1) : baùc boû H022

Baøi 1 : Giaùm ñoác moät xí nghieäp cho bieát löông

trung bình cuûa 1 coâng nhaân thuoäc xí nghieäp hieän

nay laø 600 ngaøn ñoàng/thaùng.

Choïn ngaãu nhieân 36 coâng nhaân thaáy löông trung

bình laø 520 ngaøn ñoàng/thaùng, vôùi ñoä leäch chuaån

= 40 ngaøn ñoàng/thaùng. Lôøi baùo caùo cuûa giaùm

ñoác coù tin caäy ñöôïc khoâng, vôùi möùc coù yù nghóa

laø = 5%.

23

Giaû thieát H0 : = 600 ; H1: 600

: laø tieàn löông trung bình thöïc söï cuûa coâng nhaân hieän nay

o = 600 : laø tieàn löông trung bình cuûa coâng nhaân theo lôøi giaùm ñoác

x= 520 , n = 36 > 30 , = 40 , = 5%

= 5% = 1 – = 0,95 t = 1,96

Ta coù 1240

36)600520()(

noxt

|t|= 12 > 1,96= t : baùc boû H0

Keát luaän : vôùi möùc yù nghóa laø 5%, khoâng tin vaøo lôøi cuûa giaùm ñoác.

Löông trung bình thöïc söï cuûa coâng nhaân beù hôn 600 ngaøn ñoàng /

thaùng (do ox 600520 ). 24

Chuù yù quan troïng:

Tröôùc tieân phaûi ñaët giaû thieát thoáng keâ ruøi muoán laømgì thì laøm!

Neáu khoâng ñaët giaû thieát thoáng keâ maø coù tính toaùnñuùng thì cuõng hoång ñöôïc ñieåm.

Tính toaùn, tra baûng ñuùng nhöng keát luaän sai thì cuõnghoång ñöôïc ñieåm. “Uoång ôi laø uoång!”



7

25

Baøi 3 : Moät cöûa haøng thöïc phaåm nhaän thaáy thôøi gian vöøa qua

trung bình moät khaùch haøng mua 25 ngaøn ñoàng thöïc phaåm trong

ngaøy. Nay cöûa haøng choïn ngaãu nhieân 15 khaùch haøng thaáy trung

bình moät khaùch haøng mua 24 ngaøn ñoàng trong ngaø y vaø phöông

sai maãu hieäu chænh laø s2 = (2 ngaøn ñoàng)2.

Vôùi möùc yù nghóa laø 5% , thöû xem coù phaûi söùc mua cuûa khaùch

haøng hieän nay coù thay ñoåi so vôùi tröôùc ñaây.26

Giaûi

Giaû thieát H0 : = 25 H1: 25

: laø söùc mua cuûa khaùch haøng hieän nay

o = 25 : laø söùc mua cuûa khaùch haøng tröôùc ñaây

n = 15 ; x = 24 , s = 2 , = 5%

= 5% = 0,95

t(n–1) = t0,05(14) = 2,1448 (tra baûng H)

9364,12

15)2524()(

s

noxt

|t| =1,9364 < t(n– 1) = 2,1448 : Chaáp nhaän H0

Keát luaän : vôùi möùc coù yù nghóa laø 5%, söùc mua cuûa khaùch

haøng hieän hay khoâng thay ñoåi so vôùi tröôùc ñaây.

27

Caùch 3: duøng p-value

Bieát : T ~ N(0,1)

p-value= P(T n

x

/

|0

|

) = 0,5-(

n

x

/

|0

|

)

tra baûng F

Chöa bieát (n<30) : T ~ T(n-1)

p-value= P(T ns

x

/

|0

| )

tra baûng H vôùi (n-1) baäc töï do

quy taéc quyeát ñònh:

*) bieát : 2*p-value < : baùc boû H0

*) khoâng bieát : 2*p-value < 0,05 : baùc boû H028

Baøi 1:

Caùch 1: KTC

067,1336

4096,1 n

t

x = 52013,067 506,933 <µ< 533,067

µ0= 600 (506,933 ; 533,067) : baùc boû H0

caùch 3: p-value

p-value= 0,5-

4036|600520| = 0,5-(12) 0

2*p-value < =0,05 : baùc boû H0



8

29

KIEÅM ÑÒNH TYÛ LEÄ

H0: p=p0 ; H1: pp0

Caùch 1: pp KTC

Xaùc ñònh KTC cuûa p. neáu p0 thuoäc KTC naøy thì ta

chaáp nhaän H0.

Caùch 3: p-value

p–value = 0,5– ()

01(

0

|0

|

pp

npf

)

Quy taéc quyeát ñònh:

*) bieát : 2*p–value < : baùc boû H0

*) kg bieát : 2*p–value < 0,05 : baùc boû H0

30

Caùch 2: pp giaù trò tôùi haïn

31

Kieåm ñònh veà tyû leä: khi n 30

Giaû thieát thoáng keâ : H0 : p = p0

Giaû thieát ñoái : H1 : p p0

)0

1(0

)0

(

pp

npft

t (tra baûng G)

|t| t : baùc boû H0


Ñieàu kieän aùp duïng :

5)0

1.(

50

.

pn

pn


+ Neáu f > p0 thì p > p0

+ Neáu f < p0 thì p < p0

32

Löu yù: caàn nhôù kyõ caùi gì?

Baøi 4 : Theo moät nguoàn tin thì tæ leä hoä daân thích

xem daân ca treân Tivi laø 80%. Thaêm doø 36 hoä

daân thaáy coù 25 hoä thích xem daân ca.

Vôùi möùc coù yù nghóa laø 5%. Kieåm ñònh xem

nguoàn tin naøy coù ñaùng tin caäy khoâng?



9

33

Giaûi

Giaû thieát H0 : p = 0,8 ; H1 : p 0,8

p : laø tyû leä hoä daân thöïc söï thích xem daân ca

po = 0,8 : laø tyû leä hoä daân thích xem daân ca theo nguoàn tin

n = 36 , f = 25/36= 0,69 , = 5%

= 5% = 1 – = 0,95 t = 1,96

65,18,02,0

36)8,069,0(

)1(

)(

opop

nopft

|t| = 1,65 < t = 1,96 : Chaáp nhaän H0

keát luaän : vôùi möùc coù yù nghóa 5%, nguoàn tin treân ñaùng tin

caäy.34

Baøi 5 : Moät maùy saûn xuaát töï ñoäng, luùc ñaàu tyû leä saûn phaåm

loaïi A laø 20%. Sau khi aùp duïng moät phöông phaùp saûn xuaát

môùi, ngöôøi ta laáy 40 maãu, moãi maãu goàm 10 saûn phaåm ñeå kieåm

tra. Keát quaû kieåm tra cho ôû baûng sau :

Soá saûn phaåm loaïi A trong maãu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Soá maãu 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0

Vôùi möùc yù nghóa 5% . Haõy cho keát luaän veà phöông phaùp saûn

xuaát môùi naøy.

35

Giaûi

H0:p=20% ; H1:p 20% ; = 0,05 thì t = 1,96.

Trong ñoù p laø tyû leä saûn phaåm loaïi A cuûa maùy sau khi aùp

duïng phöông phaùp saûn xuaát môùi.

Theo soá lieäu ôû baûng treân thì tyû leä saûn phaåm loaïi A cuûa maãu

laø

5375,0400215

40091857461058463412

f

Vaäy 875,16)2,01(2,0

400)2,05375,0(

t

|t| = 16,875 > t = 1,96 : baùc boû H0 . Do f=0,5375>po=0,2 neân

ta keát luaän pp saûn xuaát môùi laøm taêng tyû leä saûn phaåm loaïi A.36

Baøi 4:

Caùch 1: KTC

151,036

)69,01(69,096,1

151,069,0 fp 0,539 < p < 0,841

p0= 0,8 (0,539 ; 0,841) : chaáp nhaän H0

caùch 3: p-value

p-value= 0,5-

8,0*2,0

|8,069,0| = 0,5-(1,65) = 0,5-0,4505 = 0,0495

2*p-value = 0.099 > 0,05: chaáp nhaän H0



10

37


X coù quy luaät phaân phoái chuaån. X N(, 2 )

Giaû thieát thoáng keâ H0 : 2 = 2o ; H1 : 2 2

o

2

2)1(2

o

sn

Neáu )1(2

2n < 2 < )1(2

21

n : chaáp nhaän H0

Neáu )1(2

2n > 2 , hoaëc )1(2

21

n < 2 : baùc boû H0


+ Neáu s2 > 2o thì 2 > 2

o

+ Neáu s2 < 2o thì 2 < 2

o38

Baøi 8: Neáu maùy moùc hoaït ñoäng bình thöôøng thì

kích thöôùc cuûa moät loaïi saûn phaåm (cm) laø ñaïi

löôïng ngaãu nhieân phaân phoái theo quy luaät chuaån

vôùi phöông sai 2=25 cm2 . Nghi ngôø maùy hoaït

ñoäng khoâng bình thöôøng, ngöôøi ta ño thöû 20 saûn

phaåm vaø tính ñöôïc s2 = 27,5cm2 .

Vôùi = 0,02 , haõy keát luaän veà ñieàu nghi ngôø

naøy?

39

Giaûi:

H0 : 2 = 25 H1 : 2 25

2 : phöông sai cuûa kích thöôùc saûn phaåm hieän nay

2520 : phöông sai cuûa kích thöôùc saûn phaåm khi maùy hoaït

ñoäng bình thöôøng

Tra baûng I ta coù )19(201,0

= 7,6327 ; )19(299,0

= 36,1908

Ta coù 9,2025

5,271920

2)1(2

sn

)19(201,0

< 2 < )19(299,0

: chaáp nhaän H0 .

Vaäy maùy laøm vieäc bình thöôøng40

KIEÅM ÑÒNH MOÄT PHÍA:






11

41

I. KIEÅM ÑÒNH TRUNG BÌNH

1.Phía phaûi:

Giaû thieát H0 : = 0

Giaû thieát ñoái H1 : > 0

ÔÛ baøi toaùn naøy ta tin 1 caùch tieân quyeát raèng 0 ,

do ñoù chæ caàn phaûi löïa choïn hai khaû naêng: =0 hay

>0

a. n 30 , bieát :

Tính t = nx )

0(

, tra baûng tìm t2

t > t2 : baùc boû H0

t t2 : chaáp nhaän H0

Neáu chöa bieát : thay baèng s

t = snx )

0( 42

b. n < 30, ñaõ bieát (X coù quy luaät phaân phoái chuaån)

Tính t = nx )0

( , tra baûng tìm t2


c. n < 30, chöa bieát (X coù quy luaät phaân phoái

chuaån)

Tính t = snx )

0(

, tra baûng tìm t2(n1)

t > t2(n-1) : baùc boû H0

43

2.Phía traùi:

Giaû thieát H0 : = 0

Giaû thieát ñoái H1 : < 0

Gioáng nhö phía phaûi, chæ thay ñoåi:

Tính t = nx)0

( hoaëc t = s

nx)0

(

44

II. KIEÅM ÑÒNH TYÛ LEÄ

Côõ maãu n 30

1.Phía phaûi:

H0 : p = p0

H1 : p > p0

Tính t =)

01(

0

)0

(

pp

npf





12

45

2.Phía traùi:

H0 : p = p0

H1 : p < p0

Tính t =)

01(

0

)0

(

pp

nfp



Ñieàu kieän aùp duïng (kieåm ñònh phía traùi vaø phaûi) :

5)0

1.(

50

.

pn

pn46

III. KIEÅM ÑÒNH PHÖÔNG SAI

1.Phía phaûi:

H0 : 20

2 ; H1 : 20

2

Tính 2 = 2

0

2)1( sn , tra baûng tìm )1(21

n

2 > )1(21

n

: baùc boû H0

2.Phía traùi:

H0 : 20

2 ; H1 : 20

2

Tính 2 = 2

0

2)1( sn , tra baûng tìm )1(2 n

2 < )1(2 n : baùc boû H0

47

Baøi 1: Moät coâng ty coù 1 heä thoáng maùy tính coù theå

xöû lyù 1200 hoùa ñôn trong 1 giôø. Coâng ty vöøa nhaäp 1

heä thoáng maùy tính môùi. Heä thoáng naøy khi chaïy kieåm

tra trong 40 giôø cho thaáy soá hoùa ñôn ñöôïc xöû lyù

trung bình trong 1 giôø laø 1260 vôùi ñoä leäch chuaån laø

215.

1) Vôùi = 5% haõy nhaän xeùt xem heä thoáng môùi coù

toát hôn heä thoáng cuõ hay khoâng?

2) Vôùi = 1% haõy nhaän xeùt xem heä thoáng môùi coù

toát hôn heä thoáng cuõ hay khoâng?48

Giaûi:

H0 : = 1200 (HT môùi toát baèng HT cuõ)

H1 : > 1200 (HT môùi toát hôn HT cuõ)

67,1215

40)12001260()0

(

s

nxt

1) = 5% t2 = 1,6449

t > t2 : baùc boû H0. Vaäy HT môùi toát

hôn HT cuõ.

2) = 1% t2 = 2,3263

t < t2 : chaáp nhaän H0. Vaäy HT môùi

khoâng toát hôn HT cuõ.

Caâu hoûi: Theo baïn thì coù maâu thuaãn gì

khoâng giöõa keát luaän cuûa caâu 1 vaø 2?



13

49

Baøi 4: Moät baùo caùo noùi raèng 18% gia ñình ôû thaønh

phoá HCM coù maùy tính caù nhaân ôû nhaø. Ñeå kieåm tra

ngöôøi ta choïn ngaãu nhieân 80 gia ñình trong thaønh

phoá coù treû em ñang ñi hoïc vaø thaáy raèng coù 22 gia

ñình coù maùy tính. Vôùi möùc yù nghóa 2%, haõy kieåm

ñònh xem lieäu trong caùc gia ñình coù treû em ñang ñi

hoïc, tyû leä gia ñình coù maùy tính cao hôn tyû leä chung

hay khoâng?50

Giaûi:

H0 : p = 0,18

H1 : p > 0,18

f = 22/80 = 0,275

21,282,018,0

80)18,0275,0(

)0

1(0

)0

(

pp

npft

= 2% t2 = 2,0537


Vaäy trong caùc gia ñình coù treû em ñi hoïc, tyû leä gia

ñình coù maùy tính cao hôn tyû leä chung.

51

Baøi 5: Ño ñöôøng kính 12 saûn phaåm cuûa 1 daây

chuyeàn saûn xuaát, ngöôøi kyõ sö kieåm tra chaát löôïng

tính ñöôïc s = 0,3 . Bieát raèng neáu ñoä bieán ñoäng cuûa

caùc saûn phaåm lôùn hôn 0,2 thì daây chuyeàn saûn xuaát

phaûi duøng laïi ñeå ñieàu chænh.Vôùi möùc yù nghóa 5%,

ngöôøi kyõ sö coù keát luaän gì? 52

Giaûi:

H0 : 2 = (0,2)2 = 0,04

H1 : 2 > 0,046752,19)11(2

95,0)11(2

05,01)1(2

1

n

75,2404,0

2)3,0).(112(20

2)1(2

sn

2 > )11(295,0

: baùc boû giaû thieát H0

Daây chuyeàn caàn ñieàu chænh vì ñoä bieán ñoäng lôùn hôn

möùc cho pheùp.



14

53

Kieåm ñònh giaù trò trung bình, moät phía


Bieát : T ~ N(0,1)

p-value= P(T n

x

/

)0

(

) = 0,5-(

n

x

/

)0

(

)

tra baûng F

Chöa bieát (n<30) : T ~ T(n-1)

p-value= P(T ns

x

/

)0

( )

tra baûng H vôùi (n-1) baäc töï do


*) bieát : p-value < : baùc boû H0

*) khoâng bieát : p-value < 0,05 : baùc boû H054

Kieåm ñònh tyû leä, moät phía


Bieát : T ~ N(0,1)

p-value= P(Tnpp

pf

/)01(0

)0

(

)

= 0,5-()01(0

)0

(

pp

npf

) tra baûng F


*) bieát : p-value < : baùc boû H0

*) khoâng bieát : p-value < 0,05 : baùc boû

H0

55

VD:

Xem caùc baøi taäp ôû trang 129

Quyeån saùch baøi taäp XSTK, 2007

56

Xaùc suaát maéc sai laàm loaïi 1 vaø loaïi 2.

P(sll1) = P(baùc boû H0/H0 ñuùng)

P(sll2) = P(chaáp nhaän H0/H0 sai) =

Trong lyù thuyeát kieåm ñònh, ta giaû thieát H0 ñuùng, roài

töø ñoù ta ñöa ra caùc quy taéc kieåm ñònh. Thí duï nhö

quy taéc kieåm ñònh giaù trò trung bình, tyû leä.

Tính xaùc suaát maéc sai laàm loaïi 1: chính laø giaù trò

p-value maø ta tính ñöôïc trong caùc kieåm ñònh ôû treân.



15

57

Tính xaùc suaát maéc sai laàm loaïi 2:

1) kieåm ñònh trung bình:

1a) 2 phía: H0: µ= µ0 , H1: µ µ0

Neáu giaù trò thöïc teá cuûa µ laø µ1 thì

s

nt 10

21

1– goïi laø löïc kieåm ñònh58

Kieåm ñònh vôùi , cho tröôùc

Neáu muoán xaùc suaát maéc sai laàm loaïi 1 laø vaø xaùc

suaát maéc sai laàm loaïi 2 khoâng vöôït quaù cho tröôùc,

vôùi giaù trò thöïc 1 cuûa sai leäch so vôùi 0 khoâng

vöôït quaù cho tröôùc thì côõ maãu laø:

2

2)2

(2

tt

n vôùi |1–0|

t 1 ,

2

21 t

Tröôøng hôïp:0 10 thì2

2)22

(2

tt

n

59

1b) 1 phía: H0: µ= µ0 , H1: µ > µ0 hoaëc H1: µ < µ0

)|

10|

2(

21

sn

t




vôùi giaù trò thöïc 1 cuûa sai leäch so vôùi 0 khoâng

vöôït quaù cho tröôùc thì côõ maãu laø:

2

2)22

(2

tt

n vôùi |1–0| 60

Baøi 2 : Trong thaäp nieân 80, troïng löôïng trung bình

cuûa thanh nieân laø 48kg. Nay ñeå xaùc ñònh laïi troïng

löôïng aáy, ngöôøi ta choïn ngaãu nhieân 100 thanh nieân

ño troïng löôïng ñöôïc troïng löôïng trung bình laø 50kg

vaø phöông sai maãu hieäu chænh s2 = (10kg)2.

1) Thöû xem troïng löôïng thanh nieân hieän nay phaûi

chaêng coù thay ñoåi, vôùi möùc coù yù nghóa laø 1%.

2) Neáu troïng löôïng thöïc teá cuûa thanh nieân laø 1 =

51kg thì xaùc suaát maéc sai laàm loaïi 2 laø bao nhieâu



16

61

Baøi 2 :

3) Neáu muoán xaùc suaát maéc sai laàm loaïi 1 laø 1% vaø

xaùc suaát maéc sai laàm loaïi 2 khoâng vöôït quaù 5% thì

phaûi ño troïng löôïng cuûa bao nhieâu thanh nieân neáu

troïng löôïng trung bình thöïc teá cuûa thanh nieân hieän

nay khoâng vöôït quaù 52kg

4) Neáu muoán xaùc suaát maéc sai laàm loaïi 1 laø 1% vaø

xaùc suaát maéc sai laàm loaïi 2 khoâng vöôït quaù 5% thì

phaûi ño troïng löôïng cuûa bao nhieâu thanh nieân neáu

troïng löôïng trung bình thöïc teá cuûa thanh nieân hieän

nay trong khoaûng (44 ; 52) kg. 62

Giaûi

1) Giaû thieát H0 : = 48 H1 : 48

: laø troïng löôïng trung bình cuûa thanh nieân hieän

nay

o = 48 : laø troïng löôïng trung bình cuûa thanh nieân

trong thaäp nieân 80

n = 100 > 30 ; x = 50 , s = 10 , = 1%

= 1% = 1 – = 0,99 t = 2,58

Ta coù 210

100)5048()(

s

noxt

|t|= 2 < t = 2,58 : Chaáp nhaän H0

Keát luaän : vôùi möùc coù yù nghóa laø 1%, troïng löôïng

trung bình thanh nieân hieän nay thöïc söï khoâng thay

ñoåi so vôùi thaäp nieân 80.

63

2)

)10

100|5148|58,2(21

)|

10|

(21

s

nt

= 0,5 – (0,42) = 0,5 – 0,1628 = 0,3372

: xaùc suaát maéc sai laàm loaïi 2

Löïc kieåm ñònh laø 1– = 0,6628

64

3) = 0,01 t2 = t0,02 = 2,32

= 0,05 t2 = t0,1 = 1,65 (Neáu tra baûng G thì

nhìn = 0,90 . Neáu tra baûng F thì nhìn doøng 1.6 vaø

coät 5)

0 ≤ 1 –0 = 52 – 48 = 4 ≤ = 4

2

2)22

(2

ttsn =

24

2)65,132,2(210 = 98,01 99

thanh nieân

4) = 0,01 t = t0,01 = 2,58

= 0,05 t2 = t0,1 = 1,65

|0–1| |48–52| = 4 =

2

2)2

(2

tts

n = 11283,11124

2)65,158,2(210

thanh nieân



17

65

2) kieåm ñònh tyû leä:

1a) 2 phía: H0: p= p0 , H1: p p0

Neáu giaù trò thöïc teá cuûa p laø p1 thì

)1(10

21

ff

nppt

1– goïi laø löïc kieåm ñònh

66




vôùi giaù trò thöïc p1 cuûa p sai leäch so vôùi p0 khoâng vöôït

quaù cho tröôùc thì côõ maãu laø:

2

2)2

(2

tt

n vôùi |p1–p0|

221

1

t

t

67

1b) 1 phía: H0: p= p0 , H1: p > p0 hoaëc H1: p < p0

))1(

|10

|

2(

21

ff

nppt




vôùi giaù trò thöïc p1 cuûa p sai leäch so vôùi p0 khoâng vöôït

quaù cho tröôùc thì côõ maãu laø:

2

2)22

(2

tt

n vôùi |p1–p0| 68

PHAÀN II: KIEÅM ÑÒNH PHI THAM SOÁ

KIEÅM ÑÒNH QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI XAÙCSUAÁT

KIEÅM ÑÒNH TÍNH ÑOÄC LAÄP



18

69

Trong thöïc teá ta thöôøng gaëp vaán ñeà laø ta phaûi kieåmtra xem moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñang xeùt coù moätquy luaät phaân phoái naøo ñoù khoâng. VD nhö chieàu caocuûa moät loaïi caây coù quy luaät phaân phoái chuaånkhoâng? Troïng löôïng moät loaïi saûn phaåm coù quy luaätphaân phoái chuaån?...

70

PHAÀN II.1: KIEÅM ÑÒNH QUY LUAÄT PHAÂN

PHOÁI XAÙC SUAÁT

TIEÂU CHUAÅN K.PEARSON

( TIEÂU CHUAÅN 2 )

Cho baûng taàn soá cuûa ÑLNN X :

X x1 x2 xk

Taàn soá n1 n2 nk

ni : taàn soá quan saùt (taàn soá thöïc nghieäm)

n = n1 + n2 +…+ nk : côõ maãu

Laäp giaû thieát

H0 : X phaân phoái theo quy luaät A

H1 : X khoâng phaân phoái theo quy luaät A

71

1. X laø ÑLNN rôøi raïc

pi = P(X= xi) : theo quy luaät A

Ta xeùt X coù quy luaät phaân phoái nhò thöùc, Poisson

2. X laø ÑLNN lieân tuïc

pi = P(xi-1 < X < xi) hoaëc pi = P(xi < X < xi+1)

Ta xeùt X coù quy luaät chuaån72

3. Quy taéc kieåm ñònh

inp

inp

ink

i

2

1

2

Vôùi möùc yù nghóa

121

rk

trong ñoù:

r = soá tham soá chöa xaùc ñònh cuûa quy luaät X

k laø soá ñieåm (khoaûng) chia caùc giaù trò cuûa X


121

2 rk

: baùc boû H0

121

2 rk

: chaáp nhaän H0



19

73

I.2 CAÙC QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI CÔ

BAÛN CAÀN KIEÅM ÑÒNH

1. Nhò thöùc

X ~ B(n,p)

n, p bieát r= 0

n bieát, p chöa bieát r = 1

n, p chöa bieát r= 2

2. Poisson

X ~ P()

chöa bieát, thay baèng x r=1

3. Chuaån

X ~ N(, 2)

Neáu , 2 chöa bieát. Thay = x , 2 = s2

(hoaëc 2s ) r = 2

74

Löu yù: Ñieàu kieän ñeå aùp duïng tieâu chuaån phuø

hôïp 2 theo K.Pearson

Caùc taàn soá quan saùt n i 5 . Neáu caùc n i quaù nhoû

thì phaûi gheùp caùc giaù trò hay caùc khoaûng giaù trò

cuûa maãu laïi ñeå taêng n i leân

75

Baøi 1: Quan saùt 1 ñoái töôïng trong 100 ngaøy.

Goïi X laø soá laàn xuaát hieän cuûa ñoái töôïng trong 1

ngaøy, ta coù:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Soá ngaøy 5 10 19 29 21 6 9 0 0 1 0

Vôùi =5%, haõy xeùt xem X ~B (10 ; 0,3) ?76

Giaûi:

H0: X coù quy luaät phaân phoái nhò thöùc B(10; 0,3)

H1: X khoâng coù quy luaät phaän phoái nhò thöùc

B(10; 0,3)

Tröôùc heát, ta thu ngoïn maãu ñeå cho thoûa ni khoâng

quaù nhoû: ni 5

X 0 1 2 3 4 5 6

ni 5 10 19 29 21 6 10

Neáu giaû thieát H0 ñuùng, ta tính ñöôïc caùc xaùc suaát:

pi=P(X=xi)= xixiCxi 10)7,0()3,0(10

xi= 0,1,2,...,6

Ví duï: p1= P(X=0)= 0282,010)7,0(0)3,0(010

C



20

77

Ta laäp baûng sau:

xi ni pi npi

inp

inp

in

2

0

1

2

3

4

5

6

5

10

19

29

21

6

10

0,0282

0,1211

0,2335

0,2668

0,2001

0,1029

0,0474

2,82

12,11

23,35

26,68

20,01

10,29

4,74

1,6852

0,3676

0,8104

0,2017

0,0490

1,7885

5,8370

Toång n=100 1 10,7394 78

Löu yù: Ñeå

7

1ipi= 1 thì p7 = 1–

6

1iPi = 0,0474

Vaäy 2 = 10,7394

k=7 , r=0 , =0,05

5916,12)6(295,0

)17(205,01

)6(295,0

2 : chaáp nhaän H0

79

Baøi 2: Trong daân gian löu truyeàn 1 quan nieäm

raèng: 1 loaïi thöùc aên A naøo ñoù laøm taêng khaû naêng

sinh con trai. Ñeå kieåm tra quan nieäm naøy ngöôøi

ta cho 1 nhoùm phuï nöõ duøng thöùc aên A roài xem

xeùt 80 tröôøng hôïp coù 3 con trong thôøi gi an duøng

loaïi thöùc aên A ñoù. Keát quaû cho trong baûng sau:

X: soá beù trai 3 2 1 0

ni: soá phuï nöõ 14 36 24 6

Vôùi möùc yù nghóa 5%, kieåm ñònh xem lieäu loïai

thöùc aên A coù taùc duïng ñeán vieäc sinh con trai

khoâng? 80

Giaûi:

H0 : loaïi thöùc aên A khoâng coù taùc duïng ñeán giôùi

tính cuûa baøo thai.

Neáu H0 ñuùng thì soá beù trai trong gia ñình coù 3 con

laø 1 ÑLNN coù qluaät nhò thöùc vôùi n=3, p= ½

Goïi X laø soá con trai trong 1 gia ñình coù 3 con

H0 : X~B(3, ½)

Ñaët : Bk = bieán coá trong 3 ñöùa treû coù k ñöùa laø

con trai.



21

81


xi ni pi npi

inp

inp

in

2

3

2

1

0

14

36

24

6

1/8

3/8

3/8

1/8

10

30

30

10

1,6

1,2

1,2

1,6

Toång n = 80 1 5,6 82

Neáu H0 ñuùng thì:

p1 = P(B0) =83

3

211

3)

1(

2,

81

3

210

3

CBPpC

81

3

213

3)

3(

4,

83

3

212

3)

2(

3

CBppCBPp

Vaäy 2 = 5,6

=0,05 , k=4 , r=0

8147,7)3(295,0

)1(21

rk

)3(295,0


Soá lieäu ñaõ cho chöa cho pheùp ta khaúng ñònh

loaïi thöùc aên A coù aûnh höôûng ñeán giôùi tính.

83

Baøi 3: Saûn phaåm ñöôïc saûn xuaát ra treân moät daây

chuyeàn töï ñoäng ñöôïc ñoùng goùi moät caùch ngaãu

nhieân theo quy caùch: 3 saûn phaåm/hoäp. Tieán

haønh kieåm tra 200 hoäp ta ñöôïc keát quaû:

Soá sp loaïi I coù trong hoäp 0 1 2 3

Soá hoäp 6 14 110 70

Vôùi = 2% , coù theå xem soá sp loaïi I coù trong hoäp

laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù quy luaät phaân phoái

nhò thöùc khoâng? 84

Giaûi:

Goïi X laø soá sp loaïi I coù trong moät hoäp.

XB(3, p)

Ta xaáp xæ p baèng:

74,0200*3

70*3110*214*1 f

H0: X B(3 ; 0,74)



22

85


xi ni pi npi

inp

inp

in

2

0

1

2

3

6

14

110

70

0,017576

0,150072

0,427128

0,405224

3,5152

30,0144

85,4256

81,0448

1,75644

8,5446

7,06932

1,50519

Toång n = 200 1 18,8755

2= 18,8755 > )114(298,0

= 7,8241 : baùc boû H086

Baøi 4: Moät nhaø maùy saûn xuaát maùy in noùi raèng soá

loãi in trong 1 cuoán saùch daøy 300 trang cuûa maùy

in laø 1 ÑLNN coù quy luaät phaân phoái Poisson vôùi

tham soá =4,7 . Kieåm tra 300 trang saùch in cuûa

50 maùy in cuøng loaïi, ta thu ñöôïc:

Soá loãi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Soá maùy 1 1 8 6 13 10 5 5 1 0

Vôùi möùc yù nghóa 1%, hoûi lôøi tuyeân boá cuûa nhaø

saûn xuaát coù ñuùng khoâng?

87

Giaûi: Goïi X= soá loãi trong 300 trang in

H0: X ~ P(4,7)

P1 = P(X 2)

= e-4,7 1523,0)!2

2)7,4(!1

1)7,4(!0

0)7,4((

P2 = P(X=3) = e-4,7

!3

3)7,4( = 0,1574

P3= P(X=4)= e-4,7

!4

4)7,4( = 0,1849

P4 = P(X=5) = e-4,7

!5

5)7,4( = 0,1738

P5 = P(X=6) = e-4,7

!6

6)7,4( = 0,1362

P6 = P(X 7) = 1– 1954,0)(6

0

kXp

k

88

xi ni pi npi

inp

inp

in

2

2

3

4

5

6

7

10

6

13

10

5

6

0,1523

0,1574

0,1849

0,1738

0,1362

0,1954

7,6150

7,8692

9,2463

8,6915

6,8083

9,7697

0,7470

0,4440

1,5239

0,1970

0,4803

1,4546

Toång n =50 1 4,8468

= 0,01, k = 6, r = 0 0863,15)5(299,0

2 = 4,8468 < )5(299,0

: chaáp nhaän H0. tin lôøi tuyeân boá treân.



23

89

Löu yù: Neáu ñeà khoâng cho bieát = 4,7 thì ta laøm

nhö sau:

24,4)6*75*610*513*46*310*2(501

6

1

1

i

xi i

nnx

Thay baèng x = 4,24 . Xem X~P(4,24)

Tra baûng )4(299,0

)116(299,0

90

Baøi 6: Quan saùt chieàu cao cuûa 120 caây khuynh dieäp ôû 1 naêm

tuoåi ta ñöôïc baûng soá lieäu:

Chieàu cao (cm) 50-80 80-100 100-110 110-120 120-130

Soá caây 10 9 13 14 21

Chieàu cao 130-140 140-150 150-160 160-170

Soá caây 15 12 13 13

Vôùi möùc yù nghóa 5%, haõy kieåm ñònh giaû thieát: chieàu cao caây

khuynh dieäp coù phaân phoái chuaån?

91

Goïi X = chieàu cao cuûa caây khuynh dieäp (cm)

H0 : X coù phaân phoái chuaån N(, 2)

ix

innx 1

1201 [65*10+90*9+105*13+115*14

+125*21+135*15+145*12+155*13 + 165*13]

= 124,875

6649,776)2)875,124(1201963675(1120

1

)2)(2(1

12

xni

xi

nn

s

8687,276649,776 s

Xem X ~ N (124,875 ; (27,8687)2 )92

i

xi

x , ni pi npi (ni-npi)2

inp

inp

in

2

(–, 80)

(80, 100)

(100, 10)

(110, 120)

(120, 130)

(130, 140)

(140, 150)

(150, 160)

(160, +)

10

9

13

14

21

15

12

13

13

0,0537

0,1330

0,1114

0,1344

0,1389

0,1340

0,1105

0,0803

0,1038

6,444

15,96

13,368

16,128

16,668

16,08

13,26

9,636

12,456

12,6451

48,4416

0,1354

4,5284

18,7662

1,1664

1,5876

11,3165

0,2959

1,9623

3,0352

0,0101

0,2808

1,1259

0,0725

0,1197

1,1744

0,0238

Toång n =120 1 7,8047



24

93

p1= P(X< 80)= 0,5+

8687,27

875,12480

= 0,5 (1,61) = 0,5-0,4463 = 0,0537

p2= P(80<X<100)

=

8687,27

875,124100 –

8687,27

875,12480

=(0,89)+(1,61)= – 0,3133+0,4463 = 0,1330

p3 = P (100<X<110)= –(0,53)+(0,89)

= – 0,2019+0,3133 = 0,1114

p4= P (110 < X < 120)= –(0,17) + (0,53)

= –0,0675 + 0,2019 = 0,1344

p5 = P (120 < X < 130) = (0,18) + (0,17)

= 0,0714 + 0,0675 = 0,1389

p6 = P (130 < X < 140) = (0,54) - (0,18)

= 0,2054 – 0,0714 = 0,1340

94

p7 = P (140 < X < 150 ) = (0,90) - (0,54)

= 0,3159 – 0,2054 = 0,1105

p8 = P (150 < X < 160 ) = (1,26) - (0,90)

= 0,3962 – 0,3159 = 0,0803

p9 = P (X>160 ) = 0,5 - (1,26)

= 0,5 – 0,3962 = 0,1038

Hay p9 = 1–(p1 + . . . + p8) = 0,1038

= 0,05, k = 9, r = 2

5916,12)6(295,01

)129(205,01

2 = 7,8047 < 295,0

(6) : chaáp nhaän H0

Vaäy coù theå xem X~N(124,875 ; (27,8687)2)

95

Löu yù:

* Neáu ñeà cho tröôùc = 25 thì r = 1

P(xi< X < xi+1)

=

)25

875,1241( i

x )

25

875,124(

i

x

* Neáu ñeà cho tröôùc = 120, = 25 thì r= 0

P( xi < X < xi+1)

=

)25

1201( i

x )

25

120(

i

x96

PHAÀN II.2 : KIEÅM ÑÒNH TÍNH ÑOÄC LAÄP

Moät phaàn töû cuûa ñaùm ñoâng coù theå coù caùc daáu hieäu

ñònh löôïng. Ví duï con ngöôøi coù: chieàu cao, troïng

löôïng. Moät phaàn töû cuûa ñaùm ñoâng coøn coù daáu hieäu

ñònh tính. Ví duï con ngöôøi coù: maøu toùc, maøu maét.

Ta khaûo saùt 3 tröôøng hôïp:

*Tính ñoäc laäp cuûa 2 daáu hieäu ñònh tính.

*Tính ñoäc laäp cuûa 1 daáu hieäu ñònh tính vaø 1 daáu

hieäu ñònh löôïng.

*Tính ñoäc laäp cuûa 2 daáu hieäu ñònh löôïng.



25

97

I. KIEÅM ÑÒNH TÍNH ÑOÄC LAÄP CUÛA 2 DAÁU HIEÄU ÑÒNH TÍNH

Ta coù baûng lieân hôïp caùc daáu hieäu sau:

B

A

B1 B2 ……. Bk Toång

A1 n11 n12 n1k n10

A2 n21 n22 n2k n20

…..

Ar nr1 nr2 nrk nr0

Toång n01 n02 ….. n0k n

k

j ijn

in

10,

k

i ijn

jn

10,

r

i

k

j ojn

inn

1 10: côõ maãu 98

Giaû thieát H0: Hai daáu hieäu A vaø B ñoäc laäp

H1: Hai daáu hieäu A vaø B khoâng ñoäc laäp

nij : taàn soá quan saùt

i j j

ni

nij

nn )1

0.

0

2(2

)1)(1(21

rk


2 > )1)(1(21

rk

: baùc boû H0

99

Ví duï: Ñeå nghieân cöùu xem quy moâ cuûa moät coâng ty coù aûnh höôûng

ñeán hieäu quaû quaûng caùo ñoái vôùi khaùch haøng hay khoâng, ngöôøi ta

tieán haønh phoûng vaán 356 khaùch haøng vaø thu ñöôïc keát quaû sau:

Hieäu quaû quaûng

caùo

Quy moâ coâng tyMaïnh Vöøa phaûi Yeáu Toång

Nhoû 20 52 32 104

Vöøa 53 47 28 128

Lôùn 67 32 25 124

Toång 140 131 85 356

Vôùi möùc yù nghóa 5%, coù theå cho raèng quy moâ cuûa coâng ty coù aûnh

höôûng ñeán hieäu quaû cuûa quaûng caùo ñoái vôùi khaùch haøng hay khoâng?100

Giaûi

H0: Quy moâ khoâng aûnh höôûng hieäu quaû quaûng caùo

1124*85225

124*131232

124*140267

128*85228

128*131247

128*140253

104*85232

104*131252

104*140220

3562

= 29,638 > 4877,9)4(295,0

)13)(13(205,01

:

baùc boû H0

Töùc quy moâ coâng ty coù aûnh höôûng ñeán hieäu quaû

cuûa quaûng caùo



26

101

II. KIEÅM ÑÒNH TÍNH ÑOÄC LAÄP CUÛA 1 DAÁU

HIEÄU ÑÒNH TÍNH VAØ 1 DAÁU HIEÄU ÑÒNH

LÖÔÏNG

Tieâu chuaån phuø hôïp 2 noùi treân coøn coù theå aùp duïng

ñeå kieåm ñònh tính ñoäc laäp cuûa 1 daáu hieäu ñònh tính A

vaø 1 daáu hieäu ñònh löôïng X. Khi ñoù ta caàn chia

mieàn giaù trò cuûa X thaønh k khoaûng B1, B2, Bk , vaø

neáu caù theå coù soá ño xj rôi vaøo khoaûng Bj thì ta xem

caù theå ñoù coù daáu hieäu Bj102

Ví duï: Moät con cua bieån coù theå coù maøu voû laø xanh, hoaëc

hoàng. Soá vaïch treân voû cuûa noù coù theå laø 0, 1, 2, 3, 4, 5. ÔÛ ñaây

daáu hieäu A (maøu voû) laø daáu hieäu ñònh tính, coøn soá vaïch treân

voû X laø daáu hieäu ñònh löôïng (hay X laø ÑLNN rôøi raïc).

Xeùt ngaãu nhieân 169 con cua bieån, ta thu ñöôïc:

Soá vaïch

Maøu voû

0 1 hoaëc 2 3 hoaëc 4 5 Toång

Xanh 35 19 36 25 115

Hoàng 14 14 16 10 54

Toång 49 33 52 35 169

Vôùi = 5%, xeùt xem: A vaø X coù ñoäc laäp?

103

Giaûi

H0: hai daáu hieäu A vaø X ñoäc laäp

13,2)154*35210.....

115*33219

115*49235(1692

= 0,05 , r=2 , k=4

8147,7)3(295,0

)14)(12(205,01

)3(295,0


III. KIEÅM ÑÒNH TÍNH ÑOÄC LAÄP CUÛA 2 DAÁU

HIEÄU ÑÒNH LÖÔÏNG

Töông töï nhö vaäy, ta coù theå duøng tieâu chuaån 2 noùi

treân ñeå kieåm tra tính ñoäc laäp cuûa 2 ÑLNN X vaø Y

(löu yù raèng neáu X vaø Y khoâng töông quan: RXY = 0 thì

chöa chaéc X,Y ñoäc laäp. Ta phaûi kieåm tra môùi khaúng

ñònh ñöôïc). Muoán vaäy, ta chia mieàn giaù trò cuûa X

thaønh k khoaûng B1 , B2, Bk coøn mieàn giaù trò cuûa Y

thaønh r khoaûng A1, A2, Ar . Neáu caù theå coù soá ño (y,x)

Ai x Bj thì ta coi caù theå ñoù coù daáu hieäu Ai vaø Bj



27

105

Ví duï: Giaû söû X vaø Y (pound) töông öùng laø soá ño huyeát aùp vaø

troïng löôïng cuûa treû em 14 tuoåi. Laáy 1 maãu ngaãu nhieân goàm

200 treû, ta coù:

H. aùp

T. löôïng

X 99 99<X110 110<X120 X > 120 Toång

Y 102 10 20 11 5 46

Y >102 6 48 50 50 154

Toång 16 68 61 55 200

Vôùi : 1 pound = 0,454 kg

Vôùi =1%, xeùt xem: X,Y coù ñoäc laäp.106

Giaûi

H0: hai daáu hieäu X vaø Y ñoäc laäp

= 0,01 , r= 2 , k= 4

345,11)3(299,0

)14)(12(201,01

53,22)1154*55250....

46*68220

46*16210(2002

)3(295,0

2 : baùc boû H0

Vaäy giöõa huyeát aùp vaø troïng löôïng (treû 14 tuoåi) coù söï phuï

thuoäc laãn nhau.

107








ThS. Phaïm Trí Cao * OÂn taäp thoáng keâ

1

1

BAØI TAÄP OÂNTHOÁNG KEÂ

Phaàn naøy chæ oân laïi moät soá daïngtoaùn cô baûn thöôøng gaëp.

Caùc daïng toaùn coøn laïi hoïc vieântöï xem trong quyeån baøi taäp XSTK.

2

BAØI 1:

Nhaø tröôøng muoán ñaùnh giaù soá giôø töï hoïc cuûa sinh

vieân trong tuaàn. Ñeå bieát ñieàu naøy, phoøng ñaøo taïo

choïn ngaãu nhieân 25 sinh vieân vaø nhaän ñöôïc keát quaû

sau:

9 8 7 6 7

8 9 4 7 6

6 4 11 5 4

3 7 8 8 7

6 2 2 8 6

3

1) Öôùc löôïng soá giôø töï hoïc trung bình cuûa sinh vieân

trong tuaàn?

2) Cho bieát soá giôø töï hoïc trung bình cuûa sinh vieân

trong tuaàn laø bao nhieâu, vôùi ñoä tin caäy 95%? (Giaû

thieát soá giôø töï hoïc cuûa sinh vieân trong tuaàn tuaân

theo luaät phaân phoái chuaån)

3) Moät baùo caùo trong quaù khöù noùi raèng: soá giôø töï

hoïc trung bình cuûa sinh vieân trong tuaàn laø 8. Vôùi

möùc yù nghóa 5%, haõy so saùnh keát quaû môùi ñieàu tra

naøy vôùi keát quaû trong quaù khöù?4

Höôùng daãn :

Soá giôø töï hoïc 2 3 4 5 6 7 8 9 11

Soá sinh vieân 2 1 3 1 5 5 5 2 1

Ta coù:

n = 25, nixi = 158 , nixi2= 1118 , x = i

xi

nn1 = 158/25 = 6,32

s2=

)2)(.2(1

1 xni

xi

nn

= (1118–25(6,32)2)/24 = 4,9767

s= 2s = 2,2309

1) Goïi laø soá giôø töï hoïc trung bình cuûa sinh vieân trong tuaàn cuûa

toaøn tröôøng. Ta duøng x ñeå öôùc löôïng

Vaäy soá giôø töï hoïc trung bình trong tuaàn cuûa sinh vieân laø 6,32 giôø



2

5

2) n = 25 < 30, chöa bieát

= 95% =1–= 5% t(n–1)= t0,05(24) = 2,064

= t (n–1)ns = (2,064)(2,2309)/ 25 = 0,9209

Khoaûng tin caäy laø (5,3991 ; 7,2409)

Vaäy soá giôø töï hoïc TB cuûa sinh vieân laø (5,3991 giôø ; 7,2409 giôø )

3) Laäp giaû thieát H0 : = 8 ; H1: 8

: soá giôø töï hoïc TB cuûa sinh vieân trong tuaàn hieän nay

0 = 8: soá giôø töï hoïc TB cuûa sinh vieân trong tuaàn trong quaù khöù

= 5% t0,05(24) = 2,064

snx

t)

0(

= (6,32 – 8) 25/ 2,2309 = 3,7653

Ta coù: |t| > t0,05(24) : baùc boû giaû thieát H0

Vaäy soá giôø töï hoïc TB cuûa sinh vieân trong tuaàn hieän nay

ít hôn trong quaù khöù ( do x = 6,32 < 0 = 8)

6

BAØI 2

Soá lieäu thoáng keâ veà doanh soá baùn cuûa 1 sieâu thò trong

moät soá ngaøy cho ôû baûng sau:

Doanh soá (trieäu ñ/ ngaøy) Soá ngaøy

24 5

30 12

36 25

42 35

48 24

54 15

60 12

65 10

70 6

7

1) Öôùc löôïng doanh soá baùn TB trong 1 ngaøy cuûa sieâu thò, vôùi ñoä tin caäy 95%?

2) Nhöõng ngaøy coù doanh soá baùn töø 60 trieäu ñ trôû leân laø nhöõng ngaøy "baùn ñaét

haøng". Haõy öôùc löôïng tyû leä nhöõng ngaøy baùn ñaét haøng cuûa sieâu thò?

3) öôùc löôïng tyû leä nhöõng ngaøy "baùn ñaét haøng" cuûa sieâu thò, vôùi ÑTC 99%?

4) Öôùc löôïng doanh soá baùn TB cuûa 1 ngaøy "baùn ñaét haøng" ôû sieâu thò, vôùi ñoä

tin caäy 95%? (Giaû thieát doanh soá baùn cuûa nhöõng ngaøy baùn ñaét haøng laø ñaïi

löôïng ngaãu nhieân phaân phoái theo quy luaät chuaån)

5) Tröôùc ñaây doanh soá baùn TB cuûa sieâu thò laø 35 trieäu ñ/ngaøy. Soá lieäu ôû baûng

treân ñöôïc thu thaäp sau khi sieâu thò aùp duïng 1 phöông thöùc baùn haøng môùi.

Haõy cho nhaän xeùt veà phöông thöùc baùn haøng môùi, vôùi möùc yù nghóa 5%?8

Höôùng daãn :

Ta coù n = 144 , nixi = 6602 , nixi2 = 321706,

x = 45,8472 , s2 = 133,0275 , s = 11,5338

1) Goïi laø doanh soá baùn trung bình trong 1 ngaøy cuûa sieâu thò

Ta coù n = 144 > 30 , chöa bieát

= 95% t = 1,96

=nst = (1,96) (11,5338) / 144 = 1,8839

Khoaûng tin caäy (43,9633 < < 47,7311)

2) Tyû leä nhöõng ngaøy baùn ñaét haøng theo maãu:

f = (12+10+6)/ 144 = 0,1944

Goïi p laø tyû leä nhöõng ngaøy baùn ñaét haøng cuûa sieâu thò

Vaäy tyû leä nhöõng ngaøy baùn ñaét haøng cuûa sieâu thò laø 19,44%



3

9

3) = 99% t = 2,58

=n

fft )1( = (2,58) )1944,01()1944,0( / 144

= 0,0851

Khoaûng tin caäy (0,1093 ; 0,2795)

hay 10,93% < p < 27,95%

4) Laäp baûng sau:

Doanh soá 60 65 70

Soá ngaøy 12 10 6

Ta coù n = 28 , nixi = 1790 , nixi2 = 114850,

x = 1790/28 = 63,9286

s2= (114850–28(63,9286)2)/27 = 15,4724

s = 3,9335

10

4) Goïi ’ laø doanh soá baùn TB trong 1 ngaøy baùn ñaét haøng cuûa sieâu thò

t0,05(27) = 2,052

= (2,052).(3,9335)/ 28 = 1,5254

Khoaûng tin caäy (62,4032 < ’ < 65,454)

Vaäy doanh soá baùn trung bình cuûa 1 ngaøy baùn ñaét haøng laø:

62,4032 trieäu < ’ < 65,454 trieäu

5) Laäp giaû thieát H0 : = 35 H1 : 35

: doanh soá baùn trung bình hieän nay

0 = 35: doanh soá baùn trung bình tröôùc ñaây

= 5% t = 1,96

t = (45,8472–35) 144/ 11,5338 = 11,2856

Ta coù |t| > t : baùc boû giaû thieát H0

Vaäy phöông thöùc baùn haøng môùi toát hôn (do x= 45,8472 > 0 = 35)

11

Baøi 3

Cho X laø naêng suaát luùa ôû 1 khu vöïc (ñôn vò tính

taï/ha). Ñieàu tra ôû 1 soá thöûa ruoäng ta coù:

X 30 – 35 35 – 40 40 – 45 45 – 50 50 – 55

N 6 18 28 40 16

N: soá thöûa ruoäng.

Ví duï: coù 18 thöûa ruoäng, naêng suaát cuûa moãi thöûa laø

(35 – 40) taï/ha 12

1) Haõy öôùc löôïng naêng suaát luùa TB cuûa toaøn vuøng, vôùi ÑTC 96%?

2) Nhöõng thöûa ruoäng ñaït naêng suaát treân 45 taï/ha laø nhöõng thöûa

ruoäng ñaït naêng suaát cao. Haõy öôùc löôïng tyû leä nhöõng thöûa ruoäng

ñaït naêng suaát cao cuûa vuøng naøy, vôùi ñoä tin caäy 95%?

3) Neáu muoán öôùc löôïng naêng suaát luùa TB cuûa toaøn vuøng ñaït ñöôïc

ñoä chính xaùc laø 1,4 taï /ha thì ñoä tin caäy laø bao nhieâu?

4) Ngöôøi ta nhaän ñònh tyû leä nhöõng thöûa ruoäng ñaït naêng suaát cao

chieám 50%. Theo baïn nhaän ñònh ñoù ñuùng khoâng, = 5%?

5) Neáu muoán öôùc löôïng naêng suaát luùa TB vôùi ñoä chính xaùc 0,5

taï/ha vaø ñoä tin caäy 99% döïa treân maãu ñaõ cho thì phaûi

ñieàu tra theâm bao nhieâu thöûa ruoäng nöõa?



4

13

Höôùng daãn :


X 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5

N 6 18 28 40 16

Ta coù n = 108, nixi = 4800, nixi2 = 216575 ,

x = 44,4444 , s2 = 30,2999 , s = 5,5045

= 96% t = 2,054

= (2,054) (5,5045) / 108 = 1,0879

Khoaûng tin caäy (43,3565 ; 45,5323)

2) Tyû leä thöûa ruoäng ñaït naêng suaát cao theo maãu:

f = (40+16)/108 = 0,5185

Goïi p laø tyû leä thöûa ruoäng ñaït naêng suaát cao cuûa vuøng

= 95% t = 1,96

= (1,96) )5185,01()5185,0( / 108 = 0,0942


14

3) t = sn = (1,4) 108/5,5045 = 2,6432

(t)= 0,4959 = 2(t)=2(0,4959)= 0,9918= 99,18%

4) Laäp giaû thieát H0 : p = 0,5 H1: p 0,5

p : tyû leä thöûa ruoäng ñaït naêng suaát cao

p0 = 0,5: tyû leä nhöõng thöûa ruoäng ñaït naêng suaát cao theo nhaän ñònh

= 5% t = 1,96

t =)1(

)(

opop

nopf

= (0,5185 – 0,5 ) 108/ )5,01()5,0( = 0,3845

Ta coù |t| < t : chaáp nhaän giaû thieát H0 . Vaäy nhaän ñònh treân ñuùng

5) = 99% t = 2,58

n =2

2

st= (2,58 5,5045)2 / (0,5)2 = 806,7429 807

Vaäy caàn ñieàu tra theâm 807–108 = 699 thöûa ruoäng nöõa

15

BAØI 10.

Ñeå thaêm doø nhu caàu veà moät loaïi haøng ôû moät TP,

ngöôøi ta ñaõ tieán haønh phoûng vaán 500 hoä gia ñình thì

thaáy coù 200 hoä coù nhu caàu veà loaïi haøng naøy.

1) Haõy öôùc löôïng soá hoä gia ñình coù nhu caàu veà maët

haøng naøy ôû thaønh phoá, vôùi ñoä tin caäy 96%? (Bieát

toång soá hoä gia ñình cuûa thaønh phoá laø 20 000 hoä)

2) Neáu muoán öôùc löôïng tyû leä hoä gia ñình coù nhu

caàu veà maët haøng naøy ñaït ñöôïc ñoä chính xaùc 4% thì

ñoä tin caäy laø bao nhieâu?

3) Neáu muoán öôùc löôïng tyû leä hoä gia ñình coù nhu

caàu veà maët haøng naøy ñaït ñöôïc ñoä chính xaùc 5% vaø

ñoä tin caäy 99% thì caàn ñieàu tra bao nhieâu hoä?

16

Höôùng daãn :

1) Tyû leä hoä coù nhu caàu veà loaïi haøng naøy theo maãu

f = 200/500 = 0,4

Goïi p laø tyû leä hoä coù nhu caàu veà loaïi haøng naøy ôû TP

= 96% t = 2,054

= 2,054 )4,01(4,0 / 500= 0,045 . Vaäy 0,355 < p < 0,445

Do ñoù: Soá hoä gia ñình coù nhu caàu veà loaïi haøng naøy ôû TP laø:

0,355 20 000 < Soá hoä < 0,445 20 000

2) t = 0,04 500 / )4,01(4,0 = 1,8257

(t) = 0,4664

3) n= (2,58)2(0,4)(1–0,4) / (0,05)2= 639,014 640 hoä



5

17

Baøi 14. (MAÃU 2 CHIEÀU)

X(%) vaø Y(kg/mm2) laø 2 chæ tieâu chaát löôïng cuûa 1

loaïi saûn phaåm. Ñieàu tra ôû 1 soá saûn phaåm veà (X,Y)

ta coù keát quaû:

(2,5) (8,15) (4,15) (4,10) (2,10) (8,25)

(2,5) (6,10) (4,10) (8,20) (6,10) (8,15)

(6,10) (6,15) (4,15) (6,15) (8,20) (6,15)

(6,20) (6,10) (6,20) (6,15) (6,25) (8,20)

(6,15) (6,20) (8,15) (6,15) (8,25) (8,15)18

2) Öôùc löôïng trung bình chæ tieâu Y , vôùi ñoä tin caäy 98%?

3) Coù taøi lieäu noùi: Trung bình chæ tieâu X laø 6,5% . Cho

nhaän xeùt vôùi möùc yù nghóa 5%?

4) Quy öôùc: Saûn phaåm coù chæ tieâu Y <= 15(kg/mm2) vaø

X <= 6(%) laø saûn phaåm loaïi A. Öôùc löôïng trung bình chæ

tieâu Y cuûa saûn phaåm loaïi A, vôùi möùc yù nghóa 1%? (Bieát

raèng chæ tieâu Y coù quy luaät phaân phoái chuaån)

5) Öôùc löôïng tyû leä saûn phaåm loaïi A, vôùi = 5%?

19

Höôùng daãn :


Y

X 5 10 15 20 25

2 2 1

4 2 2

6 4 6 3 1

8 4 3 2

Ta coù baûng taàn soá cuûa X vaø Y nhö sau:

X 2 4 6 8 Y 5 10 15 20 25

n 3 4 14 9 n 2 7 12 6 320

n = 30 , nxx = 178 , nxx2 = 1156 , nyy = 455,

nyy2 = 7725 , x= 5,9333 , y= 15,1667

sy2 =

11n

[nyy2–n( y)2 ] = 28,4185 , sy = 5,3309

= 98% t = 2,326

=nyst = 2,326 5,3309 / 30 = 2,2639

Vaäy khoaûng tin caäy (12,9028 ; 17,4306)

3) Laäp giaû thieát H0 : = 6,5 H1 : 6,5

= 5% t = 1,96

n = 30 , sx2 =

11n

[nxx2 – n (x)2 ] = 3,4441 , sx = 1,8558

t = (5,9333 – 6,5) 30 / 1,8558 = 1,6726




6

21


Y

X 5 10 15

2 2 1

4 2 2

6 4 6

Ta coù n = 17 , nyy = 200 , nyy2 = 2550 ,

y = 11,7647 , sy2 = 12,3163 , sy = 3,5095

Ta coù n = 17 < 30, chöa bieát

= 1% t0,01(16) = 2,921

= 2,9213,5095/ 17 = 2,4863 KTC (9,2784 ; 14,251)

5) Tyû leä saûn phaåm loaïi A theo maãu

f = 17/30 = 0,5667

= 5% t = 1,96

= 1,96 )5667,01(5667,0 / 30 = 0,1773


22

Caùc baïn thaân meán!

Baïn ñaõ “thöôûng thöùc” xong XSTK. Baïn caûmthaáy coøn “thoøm theøm, chöa ñaõ” ö!

Vaäy coøn chaàn chôø gì nöõa! Haõy ñoïc ngayquyeån (*) !

MOÄT PHUÙT DAØNH CHO QUAÛNG CAÙO !!!

23










Baøi taäp ñeà nghò – XSTK * OÂn thi Cao hoïc 2009

1

BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ – XSTK

(Döïa theo caùc taøi lieäu tham khaûo)

Neáu caùc baïn laøm ñöôïc heát caùc baøi taäp naøy thì caùc baïn ñaït ñaúng caáp Pro !!!

Neáu caùc baïn laøm ñöôïc heát caùc baøi taäp naøy vaø caùc baøi taäp trong cuoán Baøi taäp XSTK cuûa

LKL – NTS - PTC thì caùc baïn ñaït ñaúng caáp Idol !!!

A. PHAÀN XAÙC SUAÁT

CHÖÔNG 1

Baøi 1.1 Moät ngöôøi goïi ñieän thoaïi nhöng queân maát 3 soá cuoái cuûa soá maùy caàn goïi maø chæ nhôù laø 3 soá

ñoù taïo thaønh moät con soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau vaø laø soá chaün. Tính xaùc suaát ngöôøi ñoù baám ngaãu

nhieân moät laàn ñöôïc ñuùng soá caàn goïi?

Thí duï: Soá ñieän thoaïi goàm 7 soá: 0873.032 , 9199.018 , 8815.230 , …

( Caâu hoûi theâm: Tính xaùc suaát ngöôøi naøy laáy ngaãu nhieân 1 soá ñieän thoaïi thì ñoù laø soá ñieän thoaïi coù

3 chöõ soá cuoái taïo thaønh soá chaún vaø 3 chöõ soá naøy khaùc nhau? )

Baøi 1.2 Xeáp ngaãu nhieân 10 ngöôøi thaønh moät haøng ngang. Tính xaùc suaát ñeå hai ngöôøi A vaø B:

a) Ñöùng caïnh nhau; b) Khoâng ñöùng caïnh nhau;

c) Ñöùng caùch nhau 1 ngöôøi; d) Ñöùng caùch nhau 5 ngöôøi;

Baøi 1.3 Xeáp ngaãu nhieân 8 ngöôøi vaøo 10 toa xe löûa. Tính caùc xaùc suaát:

a) 8 ngöôøi ôû cuøng moät toa;

b) 8 ngöôøi ôû 8 toa khaùc nhau;

c) A, B ôû cuøng toa ñaàu;

d) A, B ôû cuøng moät toa;

e) A, B ôû cuøng moät toa, ngoaøi ra khoâng coù ai khaùc.

Baøi 1.4 Moät phaân xöôûng coù 60 coâng nhaân, trong ñoù coù 40 nöõ vaø 20 nam. Tyû leä coâng nhaân nöõ toát

nghieäp phoå thoâng trung hoïc (trong 40 nöõ) laø 15%; coøn tyû leä naøy ñoái vôùi nam laø 20%.

a) Gaëp ngaãu nhieân moät coâng nhaân cuûa phaân xöôûng. Tìm xaùc suaát ñeå gaëp ngöôøi coâng nhaân toát

nghieäp phoå thoâng trung hoïc?


ThS. Phaïm Trí Cao * http://phamtricao.googlepages.com

2

b) Gaëp ngaãu nhieân 2 coâng nhaân cuûa phaân xöôûng. Tìm xaùc suaát ñeå coù ít nhaát moät ngöôøi toát

nghieäp phoå thoâng trung hoïc trong soá 2 ngöôøi gaëp?

Baøi 1.5 Ba sinh vieân cuøng laøm baøi thi. Xaùc suaát laøm ñöôïc baøi cuûa sinh vieân A laø 0,8 ; cuûa sinh vieân

B laø 0,7 ; cuûa sinh vieân C laø 0,6 . Tìm xaùc suaát cuûa caùc bieán coá sau:

a) Coù hai sinh vieân laøm ñöôïc baøi.

b) Neáu coù hai sinh vieân laøm ñöôïc baøi, tìm xaùc suaát ñeå sinh vieân A khoâng laøm ñöôïc baøi?

Baøi 1.6 Moät hoäp ñöïïng 3 bi ñoû vaø 7 bi xanh. Laáy ngaãu nhieân töø hoäp ra moät bi. Neáu bi laáy ra maøu ñoû

thì boû vaøo hoäp 1 bi maøu xanh, neáu bi laáy ra maøu xanh thì boû vaøo hoäp 1 bi maøu ñoû. Sau ñoù töø hoäp ta

laáy tieáp ra moät bi.

a) Tìm xaùc suaát ñeå bi laáy ra laàu sau laø bi ñoû?

b) Neáu hai bi laáy ra (laáy laàn thöù nhaát vaø laàn thöù hai) cuøng maøu, tìm xaùc suaát ñeå hai bi naøy

cuøng maøu xanh?

Baøi 1.7 Moät loâ haøng coù 40 saûn phaåm loaïi A vaø 10 saûn phaåm loaïi B. Laáy ngaãu nhieân 10 saûn phaåm

töø loâ haøng ñoù ñeå kieåm tra thì thaáy caû 10 saûn phaåm laáy ra kieåm tra ñeàu laø loaïi A. Tìm xaùc suaát coù ít

nhaát moät saûn phaåm loaïi B trong soá 5 saûn phaåm laáy ngaãu nhieân töø 40 saûn phaåm coøn laïi chöa kieåm

tra?

( Giaûi baøi taäp sau tröôùc khi giaûi baøi 7:

Hoäp coù 8 bi traéng, 7 bi xanh.

a) Laáy töø hoäp ra 1 bi ñeå xem maøu thì thaáy ñoù laø bi traéng. Tính xaùc suaát ñeå laáy tieáp 1 bi nöõa thì bi

naøy laø maøu traéng?

b) Laáy töø hoäp ra 3 bi ñeå xem maøu thì thaáy ñoù laø 3 bi traéng. Tính xaùc suaát ñeå laáy tieáp 2 bi nöõa thì 2

bi naøy ñeàu maøu xanh? )

Baøi 1.8 Hoäp thöù nhaát coù 10 saûn phaåm (trong ñoù coù 8 saûn phaåm loaïi A vaø 2 saûn phaåm loaïi B); Hoäp

thöù 2 coù 8 saûn phaåm (trong ñoù coù 5 saûn phaåm loaïi A vaø 3 saûn phaåm loaïi B). Laáy ngaãu nhieân töø moãi

hoäp ra 2 saûn phaåm.

a) Tính xaùc suaát coù 3 saûn phaåm loaïi A trong 4 saûn phaåm laáy ra?

b) Neáu trong 4 saûn phaåm laáy ra coù 1 saûn phaåm loaïi B, tìm xaùc suaát saûn phaåm loaïi B cuûa hoäp thöù

nhaát?

Baøi 1.9 Coù 3 hoäp phaán. Hoäp thöù nhaát coù 5 vieân phaán traéng vaø 5 vieân phaán vaøng. Hoäp thöù 2 coù 5

vieân phaán vaøng vaø 5 vieân phaán ñoû. Hoäp thöù 3 coù 10 vieân phaán traéng. Choïn ngaãu nhieân moät vieân

phaán ôû hoäp thöù nhaát boû sang hoäp thöù hai, sau ñoù töø hoäp thöù hai ta laáy ngaãu nhieân moät vieân phaán boû



3

sang hoäp thöù ba. Sau cuøng, töø hoäp thöù 3 ta laáy ngaãu nhieân moät vieân phaán boû vaøo hoäp thöù nhaát. Tìm

xaùc suaát ñeå hoäp thöù nhaát coù 5 vieân phaán traéng vaø 5 vieân phaán vaøng sau khi boû vieân phaán töø hoäp

thöù ba vaøo hoäp thöù nhaát?

Baøi 1.10 Coù 3 lôùp A, B, C cuøng hoïc Anh vaên. Lôùp A coù 45 sinh vieân; lôùp B coù 47 sinh vieân; lôùp C

coù 50 sinh vieân. Soá sinh vieân nöõ cuûa caùc lôùp A, B, C töông öùng laø: 10, 15, 20. Choïn ngaãu nhieân

moät sinh vieân trong soá caùc sinh vieân cuûa 3 lôùp. Tính caùc xaùc suaát sau:

a) Sinh vieân naøy cuûa lôùp A.

b) Sinh vieân naøy laø nöõ cuûa lôùp A.

c) Bieát sinh vieân naøy laø nöõ, tính xaùc suaát ñeå sinh vieân naøy ôû lôùp A hay C.

Baøi 1.11 Haøng saûn xuaát xong ñöôïc ñoùng thaønh töøng kieän. Moãi kieän coù 10 saûn phaåm. Kieän loaïi I coù

5 saûn phaåm loaïi A; Kieän loaïi II coù 3 saûn phaåm loaïi A. Moät ngöôøi mua haøng tieán haønh kieåm tra

theo caùch nhö sau: Laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi töø moãi kieän ra ba saûn phaåm ñeå kieåm tra. Neáu

thaáy coù ít nhaát 2 saûn phaåm loaïi A trong soá 3 saûn phaåm laáy ra kieåm tra thì keát luaän ñoù laø kieän loaïi I;

Neáu xaûy ra tröôøng hôïp ngöôïc laïi thì keát luaän laø kieän loaïi II. Giaû söû tieán haønh kieåm tra 100 kieän

(trong ñoù coù 60 kieän loaïi I vaø 40 kieän loaïi II). Tính xaùc suaát maéc phaûi sai laàm khi kieåm tra moät

kieän ñöôïc laáy ngaãu nhieân töø 100 kieän?

Baøi 1.12 * Hoäp thöù nhaát coù 10 bi ñoû. Hoäp thöù hai coù 5 bi ñoû vaø 5 bi xanh. Hoäp thöù 3 coù 10 bi xanh.

Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi ra 2 bi thì ñöôïc 2 bi xanh.

Sau ñoù cuõng töø hoäp naøy laáy ngaãu nhieân ra moät bi. Tính xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc bi xanh?

Baøi 1.13 * Coù hai loâ saûn phaåm. Loâ thöù nhaát coù tyû leä saûn phaåm loaïi I laø 90%; Loâ thöù hai coù tyû leä

saûn phaåm loaïi I laø 70%. Choïn ngaãu nhieân moät loâ roài töø loâ ñoù laáy ngaãu nhieân ra moät saûn phaåm thì

ñöôïc saûn phaåm loaïi I. Traû laïi saûn phaåm ñoù vaøo loâ haøng ñaõ choïn roài cuõng töø loâ ñoù laáy tieáp moät saûn

phaåm nöõa. Tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm laáy laàn thöù hai laø loaïi I?

Baøi 1.14 * Coù 3 kieän haøng, moãi kieän coù 10 saûn phaåm. Kieän thöù nhaát coù 9 saûn phaåm loaïi I; Kieän

thöù hai coù 8 saûn phaåm loaïi I; Kieän thöù ba coù 6 saûn phaåm loaïi I.

a) Töø moãi kieän laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi ra 2 saûn phaåm ñeå kieåm tra, neáu caû 2 saûn phaåm

laáy ra kieåm tra ñeàu laø loaïi I thì mua kieän haøng ñoù. Tìm xaùc suaát ñeå coù ít nhaát moät kieän haøng ñöôïc

mua?

b) Choïn ngaãu nhieân moät kieän, roài töø kieän ñaõ choïn laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi ra 2 saûn

phaåm thì ñöôïc hai saûn phaåm loaïi I, neáu cuõng töø kieän ñoù laáy tieáp moät saûn phaåm thì xaùc suaát ñeå laáy

ñöôïc saûn phaåm loaïi I laø bao nhieâu?

Baøi 1.15 * Hoäp thöù nhaát coù 7 saûn phaåm loaïi I vaø 3 saûn phaåm loaïi II. Hoäp thöù hai coù 5 saûn phaåm

loaïi I vaø 3 saûn phaåm loaïi II. Laáy ngaãu nhieân moät saûn phaåm ôû hoäp thöù nhaát boû vaøo hoäp thöù hai, roài



4

sau ñoù töø hoäp thöù hai laáy ngaãu nhieân ra moät saûn phaåm thì ñöôïc saûn phaåm loaïi I. Tìm xaùc suaát ñeå

saûn phaåm laáy ra töø hoäp thöù hai laø saûn phaåm cuûa hoäp thöù nhaát boû vaøo (ñaõ bieát noù laø saûn phaåm loaïi

I)?

CHÖÔNG 2

Baøi 2.1 Moät xaï thuû coù 4 vieân ñaïn. Anh ta baén laàn löôït töøng vieân cho ñeán khi truùng muïc tieâu hoaëc

heát caû 4 vieân thì thoâi. Tìm qui luaät phaân phoái xaùc suaát (baûng phaân phoái xaùc suaát) cuûa soá vieân ñaïn

ñaõ baén? Bieát xaùc suaát baén truùng muïc tieâu cuûa moãi vieân laø 0,7.

( Caâu hoûi theâm: Goïi Y= soá vieân ñaïn baén truùng. Laäp baûng ppxs cho Y? )

Baøi 2.2 Moät hoäp ñöïng 5 chai thuoác trong ñoù coù moät chai thuoác giaû. Ngöôøi ta laàn löôït kieåm tra töøng

chai cho ñeán khi phaùt hieän ra chai thuoác giaû thì ngöøng kieåm tra (giaû söû caùc chai thuoác phaûi qua

kieåm tra môùi xaùc ñònh laø chai thuoác giaû hay chai thuoác toát). Tìm qui luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa soá

chai thuoác ñöôïc kieåm tra?

Baøi 2.3 Coù 3 hoäp, moãi hoäp ñöïng 10 saûn phaåm. Soá pheá phaåm coù trong moãi hoäp töông öùng laø: 1, 2, 3.

a) Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp ra moät saûn phaåm. Tìm qui luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa soá saûn

phaåm toát coù trong 3 saûn phaåm laáy ra?

b) Choïn ngaãu nhieân moät hoäp, roài töø hoäp ñaõ choïn laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi ra 3 saûn

phaåm. Tìm qui luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa soá pheá phaåm coù trong 3 saûn phaåm laáy ra?

Baøi 2.4 Moät hoäp coù 10 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi B coù trong hoäp. Cho bieát baûng phaân

phoái xaùc suaát cuûa X nhö sau:

X 1 2 3

P 0,2 0,5 0,3

Laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi töø hoäp ra 3 saûn phaåm. Goïi Y laø soá saûn phaåm loaïi B coù trong 3

saûn phaåm laáy ra.

a) Tìm qui luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa Y?

b) Tính E(Y) , var(Y)?

Baøi 2.5 Hoäp thöù nhaát coù 1 bi traéng vaø 4 bi ñoû; Hoäp thöù hai coù 4 bi traéng. Ruùt ngaãu nhieân 2 bi töø

hoäp thöù nhaát boû sang hoäp thöù hai, sau ñoù töø hoäp thöù hai laáy ngaãu nhieân 3 bi boû vaøo hoäp thöù nhaát.

Goïi X1, X2 töông öùng laø soá bi traéng coù ôû hoäp thöù nhaát, thöù hai sau khi thöïc hieän pheùp thöû. Tìm qui

luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa X1, X2?



5

Baøi 2.6 Theo taøi lieäu thoáng keâ veà tai naïn giao thoâng ôû moät khu vöïc thì ngöôøi ta thaáy tyû leä xe maùy

bò tai naïn laø 0,0055 (vuï/toång soá xe/naêm). Moät coâng ty baûo hieåm ñeà nghò taát caû caùc chuû xe phaûi

mua baûo hieåm xe maùy vôùi soá tieàn laø 30.000 ñ/xe vaø soá tieàn baûo hieåm trung bình cho moät vuï tai

naïn laø 3.000.000ñ. Hoûi lôïi nhuaän coâng ty kyø voïng thu ñöôïc ñoái vôùi moãi hôïp ñoàng baûo hieåm laø bao

nhieâu? Bieát raèng chi phí cho quaûn lyù vaø caùc chi phí khaùc chieám 30% soá tieàn baùn baûo hieåm.

Baøi 2.7 Moät kieän haøng coù 12 saûn phaåm, trong ñoù coù 7 saûn phaåm loaïi I vaø 5 saûn phaåm loaïi II. Neáu

baùn ñöôïc saûn phaåm loaïi I thì ñöôïc lôøi 3 ngaøn ñoàng, neáu baùn ñöôïc saûn phaåm loaïi II thì ñöôïc lôøi 2

ngaøn ñoàng. Laáy ngaãu nhieân töø kieän ra 3 saûn phaåm ñeå baùn.

a) Tìm qui luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa soá tieàn lôøi thu ñöôïc do baùn 3 saûn phaåm ñoù?

b) Tính kyø voïng toaùn, phöông sai vaø giaù trò tin chaéc nhaát cuûa soá tieàn lôøi thu ñöôïc do baùn 3 saûn

phaåm?

Baøi 2.8 Moät kieän haøng coù 13 saûn phaåm. Trong ñoù coù 6 saûn phaåm loaïi I; 4 saûn phaåm loaïi II vaø 3 saûn

phaåm loaïi III. Giaù baùn saûn phaåm loaïi I, loaïi II, loaïi III töông öùng laø 8, 7, 6 ngaøn ñ/saûn phaåm. Laáy

ngaãu nhieân töø kieän ra 2 saûn phaåm ñeå baùn.

a) Tìm qui luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa soá tieàn thu ñöôïc do baùn 2 saûn phaåm?

b) Tính kyø voïng toaùn, phöông sai vaø giaù trò tin chaéc nhaát cuûa soá tieàn thu ñöôïc?

Baøi 2.9 Coù 3 kieän haøng, moãi kieän coù 10 saûn phaåm. Soá saûn phaåm loaïi I coù trong moãi kieän töông öùng

laø: 6, 7, 8.

a) Töø moãi kieän laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi ra 2 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Neáu caû hai saûn

phaåm laáy ra kieåm tra ñeàu laø loaïi I thì mua kieän haøng ñoù. Tìm xaùc suaát ñeå coù ít nhaát moät kieän ñöôïc

mua?

b) Choïn ngaãu nhieân moät kieän roài töø kieän ñaõ choïn laáy ngaãu nhieân ra 2 saûn phaåm. Tìm qui luaät

phaân phoái xaùc suaát cuûa soá saûn phaåm loaïi I coù trong 2 saûn phaåm laáy ra?

Baøi 2.10 Coù 2 hoäp. Hoäp thöù nhaát coù 5 saûn phaåm loaïi I, 4 saûn phaåm loaïi II vaø 1 saûn phaåm III. Hoäp

thöù hai coù 4 saûn phaåm loaïi I, 3 saûn phaåm loaïi II vaø 3 saûn phaåm loaïi III. Soá tieàn lôøi thu ñöôïc do baùn

saûn phaåm loaïi I, loaïi II, loaïi III töông öùng laø 3, 2, 1 ngaøn ñ/saûn phaåm. Töø moãi hoäp laáy ngaãu nhieân

ra moät saûn phaåm ñeå baùn.

a) Tìm qui luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa soá tieàn lôøi thu ñöôïc do baùn 2 saûn phaåm ñoù?

b) Tìm kyø voïng toaùn, phöông sai vaø giaù trò tin chaéc nhaát cuûa soá tieàn lôøi?

Baøi 2.11 Coù 3 kieän haøng. Kieän thöù nhaát coù 8 saûn phaåm loaïi A vaø 2 saûn phaåm loaïi B; Kieän thöù hai

coù 6 saûn phaåm loaïi A vaø 4 saûn phaåm loaïi B; Kieän thöù ba coù 3 saûn phaåm loaïi A vaø 7 saûn phaåm loaïi

B.



6

a) Choïn ngaãu nhieân töø moãi kieän ra moät saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå coù ít nhaát moät saûn phaåm

loaïi A trong 3 saûn phaåm laáy ra?

b) Choïn ngaãu nhieân hai kieän, roài töø hai kieän ñaõ choïn laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi töø moãi

kieän ra moät saûn phaåm. Tìm quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn

phaåm laáy ra?

Baøi 2.12 * Coù 3 kieän haøng. Kieän thöù nhaát coù 9 saûn phaåm loaïi A vaø 1 saûn phaåm loaïi B; Kieän haøng

thöù hai coù 5 saûn phaåm loaïi A vaø 5 saûn phaåm loaïi B; Kieän thöù ba coù 1 saûn phaåm loaïi A vaø 9 saûn

phaåm loaïi B.

a) Choïn ngaãu nhieân moät kieän, roài töø kieän ñaõ choïn laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi ra 2 saûn

phaåm thì ñöôïc 2 saûn phaåm loaïi A. Laáy tieáp töø kieän ñaõ choïn ra 2 saûn phaåm. Tìm qui luaät phaân phoái

xaùc suaát cuûa soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn phaåm laáy ra laàn sau?

b) Choïn ngaãu nhieân 2 kieän, roài töø 2 kieän ñaõ choïn laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi töø moãi kieän

ra 1 saûn phaåm. Tìm qui luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn phaåm laáy

ra?

Baøi 2.13 * (Xem baøi 2.12) Coù 3 kieän haøng. Kieän thöù nhaát coù 8 saûn phaåm loaïi A vaø 2 saûn phaåm loaïi

B; Kieän haøng thöù hai coù 5 saûn phaåm A vaø 5 saûn phaåm loaïi B; Kieän haøng thöù ba coù 3 saûn phaåm loaïi

A vaø 7 saûn phaåm loaïi B.

a) Choïn ngaãu nhieân moät kieän, roài töø kieän ñaõ choïn laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi ra 2 saûn

phaåm thì ñöôïc 2 saûn phaåm loaïi A. Laáy tieáp töø kieän ñaõ choïn ra 3 saûn phaåm. Tìm qui luaät phaân phoái

xaùc suaát cuûa soá saûn phaåm loaïi A coù trong 3 saûn phaåm laáy ra laàn sau?

b) Choïn ngaãu nhieân 2 kieän, roài töø hai kieän ñaõ choïn laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi töø moãi kieän

ra 1 saûn phaåm. Tìm qui luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn phaåm laáy

ra?

Baøi 2.14 ** Coù hai kieän haøng, moãi kieän coù 5 saûn phaåm. Kieän thöù nhaát coù 2 saûn phaåm loaïi A; Kieän

thöù hai coù 3 saûn phaåm loaïi A. Laáy ngaãu nhieân moät saûn phaåm töø kieän thöù nhaát boû vaøo kieän thöù hai,

tieáp theo töø kieän thöù hai laáy ngaãu nhieân hai saûn phaåm boû sang kieän thöù nhaát. Sau ñoù choïn ngaãu

nhieân moät kieän, roài töø kieän ñaõ choïn laáy ngaãu nhieân ra moät saûn phaåm.

a) Tìm xaùc suaát ñeå saûn phaåm naøy laø loaïi A?

b) Cho bieát saûn phaåm laáy ra töø kieän ñaõ choïn laø saûn phaåm loaïi A. Neáu cuõng töø kieän ñoù laáy tieáp

moät saûn phaåm nöõa, tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm naøy laø loaïi A?

CHÖÔNG 3

Baøi 3.1 Moät ngöôøi ñi khaùm beänh ôû beänh vieän. Baùc syõ chuaån ñoaùn ngöôøi naøy maéc beänh A vôùi xaùc

suaát 0,5; beänh B vôùi xaùc suaát laø 0,3; beänh C vôùi xaùc suaát 0,2. Ñeå laøm roõ hôn ngöôøi ta tieán haønh xeùt

nghieäm sinh hoùa. Bieát raèng maét beänh A thì xaùc suaát phaûn öùng döông tính laø 0,12; maét beänh B thì



7

xaùc suaát phaûn öùng döông tính laø 0,25; maét beänh C thì xaùc suaát phaûn öùng döông tính laø 0,85. Qua 3

laàn xeùt nghieäm thaáy coù phaûn öùng döông tính 2 laàn, luùc ñoù Baùc syõ keát luaän ngöôøi naøy maéc beänh C.

Tính xaùc suaát ñeå baùc syõ keát luaän ñuùng?

Baøi 3.2 Trong moät laàn thi traéc nghieäm, moãi thí sinh nhaän moät ñeà thi goàm 10 caâu hoûi. Moãi caâu hoûi

coù 4 caùch traû lôøi, trong ñoù chæ coù moät caùch traû lôøi ñuùng. Keát quaû traû lôøi caùc caâu hoûi khoâng aûnh

höôûng laãn nhau. Ñieåm baøi thi baèng toång soá caâu traû lôøi ñuùng.

a) Thí sinh A khoâng thuoäc baøi vaø traû lôøi caùc caâu hoûi moät caùch ngaãu nhieân (traû lôøi moät caùch

caàu may). Tính xaùc suaát thí sinh naøy ñaït yeâu caàu? (töø 5 ñieåm trôû leân).

b) Thí B traû lôøi ñuùng ñöôïc 3 caâu. Caùc caâu coøn laïi traû lôøi moät caùch ngaãu nhieân (caàu may). Tìm

xaùc suaát ñeå thí sinh naøy ñaït yeâu caàu?

Baøi 3.3 Moät nhaø maùy coù 3 phaân xöôûng cuøng saûn xuaát ra moät loaïi saûn phaåm. Tyû leä saûn phaåm loaïi II

cuûa caùc phaân xöôûng töông öùng laø:10%; 20%; 30%. Töø moät loâ haøng goàm 10.000 saûn phaåm (trong

ñoù coù 3000 saûn phaåm cuûa phaân xöôûng 1; 4000 saûn phaåm cuûa phaân xöôûng 2 vaø 3000 saûn phaåm cuûa

phaân xöôûng 3) ngöôøi ta choïn ngaãu nhieân ra 100 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Neáâu thaáy coù khoâng quaù 24

saûn phaåm loaïi II trong soá 100 saûn phaåm kieåm tra thì mua loâ haøng ñoù. Tìm xaùc suaát ñeå loâ haøng

ñöôïc mua?

Baøi 3.4 Moät phaân xöôûng coù 3 maùy cuøng saûn xuaát moät loaïi saûn phaåm. Tyû leä saûn phaåm loaïi A cuûa

maùy thöù nhaát, thöù hai, thöù ba töông öùng laø: 70%, 80%, 90%. Caùc saûn phaåm do phaân xöôûng saûn

xuaát ñöôïc ñoùng thaønh töøng hoäp, moãi hoäp coù 10 saûn phaåm (trong ñoù coù 3 saûn phaåm do maùy thöù nhaát

saûn xuaát, 4 saûn phaåm do maùy thöù hai saûn xuaát vaø 3 saûn phaåm do maùy thöù ba saûn xuaát). Tieán haønh

kieåm tra loâ haøng do phaân xöôûng saûn xuaát theo caùch sau: Töø loâ haøng choïn ngaãu nhieân (khoâng hoaøn

laïi) ra 100 hoäp, roài töø moãi hoäp ñaõ choïn laáy ngaãu nhieân ra moät saûn phaåm ñeå kieåm tra. Neáu thaáy coù

töø 80 saûn phaåm loaïi A trôû leân (trong 100 saûn phaåm kieåm tra) thì nhaän loâ haøng. Tính xaùc suaát ñeå

nhaän loâ haøng?

Baøi 3.5 Saûn phaåm cuûa moät nhaø maùy sau khi saûn xuaát xong ñöôïc ñoùng thaønh töøng hoäp. Moãi hoäp coù

10 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi I coù trong moãi hoäp. Cho bieát X coù phaân phoái xaùc suaát nhö

sau:

X 7 8 9 10

P 0,2 0,3 0,3 0,2

Tieán haønh kieåm tra 300 hoäp theo caùch sau:

Moãi hoäp choïn ngaãu nhieân ra 3 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Neáu thaáy caû 3 saûn phaåm laáy ra kieåm tra

ñeàu laø saûn phaåm loaïi I thì nhaän hoäp ñoù.

a) Tìm xaùc suaát ñeå soá hoäp ñöôïc nhaän thuoäc khoaûng [170; 190]?

b) Tìm soá hoäp ñöôïc nhaän coù khaû naêng lôùn nhaát?



8

Baøi 3.6 Coù ba loâ haøng, moãi loâ coù 1000 saûn phaåm. Tyû leä saûn phaåm loaïi I cuûa töøng loâ töông öùng laø:

90%, 80%, 70%. Ngöôøi ta laáy ngaãu nhieân töø moãi loâ ra 10 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Neáu trong 10 saûn

phaåm laáy ra kieåm tra coù töø 8 saûn phaåm loaïi I trôû leân thì mua loâ haøng ñoù.

a) Tìm xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 2 loâ haøng ñöôïc mua?

b) Neáu chæ coù moät loâ ñöôïc mua, tìm xaùc suaát ñeå ñoù laø loâ coù tyû leä saûn phaåm loaïi I laø 70%?

Baøi 3.7 Tuoåi thoï cuûa moät loaïi saûn phaåm laø bieán ngaãu nhieân phaân phoái theo qui luaät chuaån vôùi tuoåi

thoï trung bình laø 11 naêm vaø ñoä leäch chuaån laø 2 naêm.

a) Neáu qui ñònh thôøi gian baûo haønh laø 10 naêm thì tyû leä baûo haønh laø bao nhieâu?

b) Neáu muoán tyû leä saûn phaåm phaûi baûo haønh laø 10% thì phaûi qui ñònh thôøi gian baûo haønh laø bao

nhieâu naêm?

Baøi 3.8 Moät ngöôøi nuoâi hai loaïi gaø ñeû goàm 2 con gaø loaïi I vaø 3 con gaø loaïi II. Trong moät ngaøy xaùc

suaát ñeå gaø loaïi I ñeû tröùng laø 70% vaø gaø loaïi II ñeû tröùng laø 60%.

a) Goïi X1, X2 töông öùng laø soá tröùng do gaø loaïi I, loaïi II ñeû trong moät ngaøy. Laäp baûng phaân

phoái xaùc suaát cuûa X1, X2?

b) Tính xaùc suaát ñeå trong ngaøy thu ñöôïc ít nhaát 3 tröùng?

c) Moãi tröùng gaø baùn ñöôïc 800 ñoàng. Chi phí tieàn thöùc aên cho gaø loaïi I moãi con 300 ñ/ngaøy, gaø

loaïi II moãi con 250 ñ/ngaøy. Tìm qui luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa soá tieàn lôøi thu ñöôïc trong ngaøy?

Baøi 3.9 Moät kieän haøng coù 10 saûn phaåm, trong ñoù coù 4 saûn phaåm loaïi I. Moät maùy saûn xuaát saûn

phaåm vôùi xaùc suaát saûn xuaát ra saûn phaåm loaïi I laø 20%. Laáy khoâng hoaøn laïi töø kieän ra 2 saûn phaåm

vaø cho maùy saûn xuaát 2 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi I trong 4 saûn phaåm ñoù.

a) Tìm qui luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa X?

b) Tính E(X) vaø var(X)?

Baøi 3.10 Moät coâng ty kinh doanh maët haøng A döï ñònh seõ aùp duïng moät trong hai phöông aùn kinh

doanh. Kyù hieäu X1 laø lôïi nhuaän thu ñöôïc neáu aùp duïng phöông aùn thöù nhaát; X2 laø lôïi nhuaän thu

ñöôïc neáu aùp duïng phöông aùn thöù hai. (X1 vaø X2 ñeàu ñöôïc tính theo ñôn vò: trieäu ñoàng/thaùng).

Cho X1 ~ N(140; 2500) ; X2 ~ N(180; 3600). Bieát raèng, ñeå coâng ty toàn taïi vaø phaùt trieån thì lôïi

nhuaän thu ñöôïc töø vieäc kinh doanh maët haøng A phaûi ñaït ít nhaát 80 trieäu ñoàng/thaùng. Haõy cho bieát

coâng ty neân aùp duïng phöông aùn naøo ñeå kinh doanh maët haøng A? Vì sao?

Baøi 3.11 Hoäp thöù nhaát coù 10 saûn phaåm (trong ñoù coù 8 saûn phaåm loaïi A vaø 2 saûn phaåm loaïi B); Hoäp

thöù hai coù 8 saûn phaåm (trong ñoù coù 5 saûn phaåm loaïi A vaø 3 saûn phaåm loaïi B).

1 – Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp ra hai saûn phaåm.

a) Tìm xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc 3 saûn phaåm loaïi A?



9

b) Neáu laáy ñöôïc moät saûn phaåm loaïi B vaø 3 saûn phaåm loaïi A, tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm loaïi

B laø cuûa hoäp thöù nhaát?

2 – Choïn ngaãu nhieân moät hoäp, roài töø hoäp ñaõ choïn ta laáy ngaãu nhieân ra 4 saûn phaåm.

a) Tìm xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc 3 saûn phaåm loaïi A?

b) Neáu laáy ñöôïc moät saûn phaåm loaïi B vaø 3 saûn phaåm loaïi A, tìm xaùc suaát ñeå saûn phaåm

loaïi B laø cuûa hoäp thöù nhaát?

Baøi 3.12 * Moät hoäp coù 10 saûn phaåm (trong ñoù coù 6 saûn phaåm loaïi I) vaø moät loâ haøng coù tyû leä saûn

phaåm loaïi I laø 60%. Laáy khoâng hoaøn laïi töø hoäp ra 2 saûn phaåm vaø laáy coù hoaøn laïi töø loâ haøng ra 2

saûn phaåm.

a) Tìm xaùc suaát ñeå soá saûn phaåm loaïi I coù trong 2 saûn phaåm laáy ra töø hoäp baèng soá saûn phaåm

loaïi I coù trong 2 saûn phaåm laáy ra töø loâ haøng?

b) Neáu trong 4 saûn phaåm laáy ra (töø hoäp vaø töø loâ haøng) coù 2 saûn phaåm loaïi I, tìm xaùc suaát ñeå 2

saûn phaåm loaïi I ñoù ñeàu laø cuûa loâ haøng?

c) Laáy ra 2 saûn phaåm töø hoäp vaø laáy coù hoaøn laïi töø loâ haøng ra n saûn phaåm. n phaûi toái thieåu laø

bao nhieâu ñeå xaùc suaát coù ít nhaát moät saûn phaåm loaïi I trong soá caùc saûn phaåm laáy ra (töø hoäp vaø töø loâ

haøng) khoâng beù hôn 99%?

Baøi 3.13 * Moät phaân xöôûng coù 12 maùy goàm: 5 maùy loaïi A; 4 maùy loaïi B vaø 3 maùy loaïi C. Xaùc suaát

saûn xuaát ñöôïc saûn phaåm ñaït tieâu chuaån cuûa maùy loaïi A, loaïi B, loaïi C töông öùng laø 98%, 96%,

90%.

a) Choïn ngaãu nhieân moät maùy vaø cho maùy ñoù saûn xuaát 3 saûn phaåm. Tìm qui luaät phaân phoái xaùc

suaát cuûa soá saûn phaåm ñaït tieâu chuaån trong soá 3 saûn phaåm do maùy saûn xuaát?

b) Neáu 3 saûn phaåm do maùy saûn xuaát ñeàu ñaït tieâu chuaån, ta cho maùy naøy saûn xuaát tieáp 3 saûn

phaåm nöõa. Tìm xaùc suaát ñeå 3 saûn phaåm do maùy saûn xuaát laàn sau ñeàu ñaït tieâu chuaån?

Soáng trong ñôøi soáng

caàn coù moät taám loøng

Ñeå laøm gì

em bieát khoâng ?

Ñeå gioù cuoán ñi ... …

Trònh Coâng Sôn



10

B. PHAÀN THOÁNG KEÂ

Baøi 1. Khaûo saùt chæ tieâu X - thu nhaäp bình quaân moät ngöôøi trong hoä cuûa moät soá hoä gia ñình ôû TP

naêm 1997, ngöôøi ta thu ñöôïc caùc soá lieäu cho ôû baûng sau:

Thu nhaäp bình quaân

(trieäu ñ/ngöôøi-naêm)Soá hoä

Thu nhaäp bình quaân

(trieäu ñ/ngöôøi-naêm)Soá hoä

2,0 – 3,0

3,0 – 3,5

3,5 – 4,0

4,0 – 4,5

4,5 – 5,0

5

8

18

30

24

5,0 – 5,5

5,5 – 6,0

6,0 – 7,0

7,0 – 9,0

16

10

6

4

a) Öôùc löôïng trung bình cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä tin caäy 95% vaø noùi roõ yù nghóa cuûa keát quaû?

b) Nhöõng hoä coù möùc thu nhaäp treân 500 ngaøn ñ/ngöôøi-thaùng laø nhöõng hoä coù thu nhaäp cao. Haõy

öôùc löôïng tyû leä hoä coù thu nhaäp cao cuûa TP vôùi ñoä tin caäy 96%?

c) Öôùc löôïng trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng hoä coù thu nhaäp cao vôùi ñoä tin caäy 95% (giaû

thieát chæ tieâu X cuûa nhöõng hoä coù thu nhaäp cao laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân phaân phoái theo qui luaät

chuaån)

d) Neáu noùi raèng trung bình cuûa chæ tieâu X laø 5 trieäu ñ/ngöôøi-naêm thì coù ñaùng tin caäy khoâng vôùi

möùc yù nghóa laø 5%?

Baøi 2. Moät coâng ty tieán haønh phoûng vaán 400 hoä gia ñình veà nhu caàu tieâu duøng moät loaïi haøng ôû moät

thaønh phoá thì thaáy coù 288 hoä gia ñình coù nhu caàu veà maët haøng naøy.

a) Neáu muoán öôùc löôïng tyû leä nhöõng hoä gia ñình coù nhu caàu veà maët haøng naøy ôû thaønh phoá vôùi

ñoä chính xaùc 5% thì ñoä tin caäy seõ ñaït ñöôïc bao nhieâu %?

b) Neáu muoán ñoä chính xaùc khi öôùc löôïng tyû leä nhöõng hoä gia ñình coù nhu caàu veà maët haøng naøy

laø 4% vaø ñoä tin caäy 98% thì phaûi phoûng vaán theâm bao nhieâu hoä gia ñình nöõa?

c) Haõy öôùc löôïng soá hoä gia ñình coù nhu caàu veà maët haøng naøy cuûa toaøn thaønh phoá vôùi ñoä tin caäy

96%. Bieát toång soá hoä gia ñình cuûa thaønh phoá naøy laø 600.000.

Baøi 3. Khaûo saùt veà thu nhaäp vaø tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc ôû moät soá hoä gia ñình treân ñòa baøn

thaønh phoá ngöôøi ta thu ñöôïc caùc soá lieäu cho trong baûng döôùi ñaây:

X

Y

10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 35

200 – 400 40 60

400 – 600 90 80

600 – 800 30 50 20

800 – 1200 20 10



11

Trong ñoù: X laø tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc (tính theo %)

Y laø thu nhaäp bình quaân moät ngöôøi trong hoä (ñôn vò: ngaøn ñ/thaùng).

a) Öôùc löôïng tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc trung bình cuûa moät hoä gia ñình ôû thaønh phoá vôùi

ñoä tin caäy 95%?

b) Nhöõng hoä gia ñình coù thu nhaäp bình quaân moät ngöôøi treân 800 ngaøn ñ/thaùng laø hoä coù thu

nhaäp cao. Neáu cho raèng tyû leä hoä coù thu nhaäp cao ôû thaønh phoá laø 10% thì coù tin caäy ñöôïc khoâng

(vôùi möùc yù nghóa 5%).

c) Ñeå öôùc löôïng tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc trung bình cuûa moät hoä gia ñình vôùi ñoä chính

xaùc 0,5% (vôùi soá lieäu ôû baûng treân) thì ñaûm baûo ñoä tin caäy laø bao nhieâu%?

d) Neáu muoán öôùc löôïng trung bình cuûa Y vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc 20 ngaøn ñ/thaùng

thì phaûi coù maãu kích thöôùc toái thieåu laø bao nhieâu?

Baøi 4. Kyù hieäu X (ñôn vò tính: %) vaø Y (ñôn vò tính: cm) laø hai chæ tieâu cuûa moät loaïi saûn phaåm.

Ñieàu tra moät maãu ta coù keát quaû cho ôû baûng sau:

Y

X

80 – 84 84 – 88 88 – 92 92 - 96

1 8

3 12 9 4 6

5 11 15 10

7 12 7 3

a) Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu Y treân 92 cm laø saûn phaåm loaïi A. Öôùc löôïng tyû leä saûn phaåm

loaïi A vôùi ñoä tin caäy 99%?

b) Coù taøi lieäu noùi raèng: trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa saûn phaåm loaïi A laø 6%. Cho nhaän xeùt veà

taøi lieäu naøy? (vôùi möùc yù nghóa 1% vaø giaû thieát X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân phaân phoái theo qui luaät

chuaån).

c) Giaû söû chæ tieâu Z ñöôïc xaùc ñònh bôûi coâng thöùc: Z = 10Y+4. Haõy öôùc löôïng trung bình vaø

phöông sai cuûa Z?

Baøi 5. Theo doõi möùc nhieân lieäu hao phí (löôïng nguyeân lieäu caàn duøng) ñeå saûn xuaát ra moät ñôn vò

saûn phaåm ôû moät nhaø maùy. Ngöôøi ta thu ñöôïc caùc soá lieäu quan saùt nhö sau: (ñôn vò tính: gr)

20; 22; 21; 20; 22; 22; 20; 19; 20; 22; 21; 19; 19;

20; 18; 19; 20; 20; 18; 19; 20; 20; 21; 20; 18; 19;

19; 21; 22; 21; 21; 20; 19; 20; 22; 21; 21; 22; 20;

20; 20; 19; 20; 21; 19; 19; 20; 21; 21; 22;



12

a) Tìm khoaûng öôùc löôïng veà soá tieàn trung bình duøng ñeå mua loaïi nguyeân lieäu naøy trong töøng

quí cuûa nhaø maùy vôùi ñoä tin caäy 98%? (Bieát giaù loaïi nguyeân lieäu naøy laø 800 ngaøn ñ/kg, vaø saûn

löôïng cuûa maùy trong moät quí laø 40.000 saûn phaåm)

b) Tröôùc ñaây, möùc hao phí loaïi nguyeân lieäu naøy trung bình laø 21gr/saûn phaåm. Soá lieäu cuûa maãu

treân ñöôïc thu thaäp sau khi nhaø maùy söû duïng coâng ngheä saûn xuaát môùi. Haõy cho nhaän xeùt veà coâng

ngheä saûn xuaát môùi vôùi möùc yù nghóa 4%?

c) Neáu muoán öôùc löôïng soá tieàn trung bình ñeå mua loaïi nguyeân lieäu naøy trong töøng quí cuûa

nhaø maùy ñaït ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc laø 10 trieäu ñoàng thì caàn maãu coù kích thöôùc bao nhieâu

saûn phaåm?

Baøi 6. Moät coâng ty tieán haønh khaûo saùt nhu caàu tieâu duøng veà moät loaïi saûn phaåm do coâng ty saûn

xuaát. Tieán haønh khaûo saùt 500 hoä gia ñình ôû moät thaønh phoá thì thaáy coù 400 hoä coù duøng loaïi saûn

phaåm do coâng ty saûn xuaát vôùi soá lieäu thoáng keâ cho ôû baûng sau:

Soá löôïng tieâu duøng (kg/thaùng) Soá hoä

0

0,5 – 1,0

1,0 – 1,5

1,5 – 2,0

2,0 – 2,5

2,5 – 3,0

3,0 – 4,0

100

40

70

110

90

60

30

a) Haõy öôùc löôïng soá löôïng saûn phaåm coâng ty tieâu thuï ñöôïc ôû thaønh phoá naøy trong moät thaùng

vôùi ñoä tin caäy 95%? (bieát toång soá hoä gia ñình ôû thaønh phoá laø 600.000 hoä)

b) Neáu muoán öôùc löôïng tyû leä hoä gia ñình coù nhu caàu veà loaïi saûn phaåm naøy vôùi ñoäi tin caäy

98% vaø ñoä chính xaùc 4% thì caàn khaûo saùt bao nhieâu hoä gia ñình?

c) Moät taøi lieäu noùi raèng: möùc tieâu thuï trung bình loaïi saûn phaåm naøy cuûa coâng ty ôû thaønh phoá

laø 750 taán/thaùng thì coù chaáp nhaän ñöôïc khoâng? (vôùi möùc yù nghóa 5%).

Baøi 7. Sau khi tieán haønh moät chieán dòch quaûng caùo, moät coâng ty tieán haønh khaûo saùt löôïng haøng

tieâu duøng veà maët haøng A cuûa 400 hoä gia ñình ôû moät thaønh phoá. Keát quaû ñieàu tra cho ôû baûng sau:

Löôïng haøng tieâu

duøng (kg/thaùng)

Soá hoä Löôïng haøng tieâu

duøng (kg/thaùng)

Soá hoä

0

0 – 2

2 – 4

4 – 6

25

40

85

120

6 – 8

8 – 10

10 - 12

80

30

20



13

Giaû söû thaønh phoá naøy coù 500.000 hoä

a) Öôùc löôïng tyû leä hoä gia ñình coù tieâu duøng maët haøng A cuûa thaønh phoá naøy vôùi ñoä tin caäy 96%

b) Löôïng haøng tieâu duøng trung bình veà maët haøng A tröôùc khi tieán haønh chieán dòch quaûng caùo

cuûa toaøn thaønh phoá laø 2100 taán/thaùng. Haõy cho bieát chieán dòch quaûng caùo cuûa coâng ty coù taùc duïng

nhö theá naøo ñoái vôùi möùc tieâu duøng cuûa saûn phaåm A? (keát luaän vôùi möùc yù nghóa 2%).

Baøi 8. Khaûo saùt möùc tieâu thuï ñieän cuûa 400 hoä gia ñình ôû moät thaønh phoá ta coù baûng soá lieäu sau:

Löôïng ñieän

tieâu thuï

(KW/thaùng)

Soá hoä Löôïng ñieän

tieâu thuï

(KW/thaùng)

Soá hoä

70 – 100

100 – 130

130 – 160

40

100

120

160 – 190

190 – 220

220 – 250

70

40

30

a) Haõy öôùc löôïng möùc tieâu duøng ñieän trung bình cuûa moät hoä gia ñình cuûa thaønh phoá vôùi ñoä tin

caäy 95%.

b) Nhöõng hoä gia ñình coù möùc tieâu thuï ñieän treân 190 KW/thaùng laø nhöõng hoä tieâu duøng ñieän

cao. Haõy öôùc löôïng tyû leä hoä tieâu duøng ñieän cao cuûa thaønh phoá vôùi ñoä tin caäy 96%.

c) Neáu muoán öôùc löôïng tyû leä hoä tieâu duøng ñieän cao cuûa thaønh phoá ñaït ñöôïc ñoä chính xaùc laø

3,5% vaø ñoä tin caäy 98% thì caàn khaûo saùt möùc tieâu duøng ñieän cuûa bao nhieâu hoä gia ñình nöõa?

Baøi 9. Soá lieäu thoáng keâ veà löôïng haøng baùn ñöôïc (Y) vaø giaù baùn (X) cuûa moät loaïi haøng ôû moät vuøng

cho ôû baûng sau:

yi (taán/thaùng) 34 35 36 36 35 37 38 40

xi (ngaøn ñ/kg) 6 5,9 5,7 5,7 6,2 6 5,6 5,5

yi (taán/thaùng) 40 40 39 39 39 38 38 38

xi (ngaøn ñ/kg) 5,2 5,3 5,4 5,3 5,2 6 5,8 5,6

a) Öôùc löôïng löôïng haøng baùn ñöôïc trung bình trong moät thaùng ôû vuøng naøy vôùi ñoä tin caäy 95%?

(Giaû thieát löôïng haøng baùn ñöôïc ôû vuøng naøy laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân phaân phoái theo qui luaät

chuaån).

b) Neáu cho raèng löôïng haøng baùn ñöôïc trung bình ôû vuøng naøy laø 37 taán/thaùng thì coù chaáp nhaän

ñöôïc khoâng? (vôùi möùc yù nghóa 5%).

d) Giaû söû X laø ÑLNN phaân phoái theo qui luaät chuaån. Neáu cho raèng phöông sai cuûa X laø 0,2 thì

coù chaáp nhaän ñöôïc khoâng? (vôùi möùc yù nghóa 5%).



14

Baøi 10. Ñieàu tra ngaãu nhieân thu nhaäp cuûa 400 coâng nhaân ôû Haø Noäi vaø TP Hoà Chí Minh, ngöôøi ta

thu ñöôïc keát quaû sau: (ñôn vò tính cuûa thu nhaäp laø trieäu ñoàng/naêm).

Thu nhaäp

Thaønh Phoá

< 10 10 – 20 > 20

Haø Noäi 36 50 38

TP Hoà Chí Minh 69 105 102

Vôùi möùc yù nghóa 5%, haõy keát luaän xem thu nhaäp cuûa coâng nhaân coù phuï thuoäc vaøo thaønh phoá

maø hoï laøm vieäc hay khoâng?

Neáu caùc baïn khoâng töï mình laøm baøi taäp maø chæ xem xem/ doøm doøm/ ngoù ngoù giaùo vieân

hoaëc baïn hoïc laøm baøi thì baïn seõ “mô veà nôi xa laém”, ôû nôi ñoù baïn môùi laø Idol !!!


ThS. Phạm Trí Cao * Bai tap de nghi - sao

1

1

BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒOÂN TAÄP LUYEÄN THI CAO HOÏC 2008

PHAÀN XAÙC SUAÁT

2

Baøi 1.12* xem theâm baøi 30-34, t182-188 quyeån (*)

Ai= bc choïn ñöôïc hoäp thöù i

F= bc laáy ñöôïc 2 bi xanh töø hoäp ñaõ choïn

P(F)= P(F/A1)P(A1)+ P(F/A2)P(A2)+ P(F/A3)P(A3)

= (1/3)[0+ C(2,5)/C(2,10) +1] = 11/27

P(Ai/F)= P(FAi)/P(F) = P(F/Ai)P(Ai)/P(F)

P(A1/F)= 0, P(A2/F)= 2/11, P(A3/F)= 9/11

H= bc bi laáy ra laàn sau laø bi xanh

P(H/F)= P(H/A1F)P(A1/F)+…+P(H/A3F)P(A3/F)

= 0+ (3/8)(2/11) + (1)(9/11) = 39/44

3

BAØI 1.12 (tt)

Caùch khaùc: coâng thöùc XSÑÑ quen thuoäc

Neáu F ñaõ xaûy ra, ta coù 3 tröôøng hôïp:

2 bi ñoù ôû hoäp 1: A ; P(A)= P(A1/F)= 0

2 bi ñoù ôû hoäp 2: B ; P(B)= P(A2/F)= 2/11

2 bi ñoù ôû hoäp 3: C ; P(C)= P(A3/F)= 9/11

P(H)= P(H/A)P(A)+P(H/B)P(B)+P(H/C)P(C)

= 0+ (3/8)(2/11) + (1)(9/11) = 39/44

4

Baøi 1.12 (tt)

CM coâng thöùc: A1, A2 laø hoï ñaày ñuû vaø xung khaéc

P(H/F)= P(H/A1F)P(A1/F)+P(H/A2F)P(A2/F)

Giaûi:

HF= HF.= HF.(A1+A2)= HFA1+HFA2

P(HF)= P(HFA1+HFA2)= P(HFA1)+P(HFA2)

P(HF)= P(H/A1F)P(A1F)+P(H/A2F)P(A2F)

P(H/F)P(F)= P(H/A1F)P(A1/F)P(F)

+ P(H/A2F)P(A2/F)P(F)

P(H/F)= P(H/A1F)P(A1/F)+P(H/A2F)P(A2/F)



2

5

Baøi 1.13*

Li= bc choïn ñöôïc loâ thöù i, i=1,2

F= bc laáy ñöôïc sp loaïi 1 ôû laàn laáy thöù 1

P(F)= P(F/L1)P(L1)+P(F/L2)P(L2)

= (1/2)[0,9+0,7] = 0,8

H= bc laáy ñöôïc sp loaïi 1 ôû laàn laáy thöù 2 (töø loâ ñaõchoïn)

P(L1/F)= 9/16

P(L2/F)= 7/16

P(H/F)= P(L1/F)P(H/L1F)+P(L2/F)P(H/L2F)

= (9/16)(0,9)+(7/16)(0,7) 6

Baøi 1.14*

A) Ai= bc kieän haøng thöù i ñöôïc mua

F= bc coù ít nhaát 1 kieän haøng ñöôïc mua

P(A1)= C(2,9)/C(2,10) ; P(A2)= C(2,8)/C(2,10)

F*= bc khoâng coù kieän naøo ñöôïc mua

P(F)= 1-P(F*)= 1-P(A1*A2*A3*)= 641/675

B) Ki= bc choïn ñöôïc kieän thöù i ; F=bc laáy ñöôïc 2 sp loaïi I

P(F)= P(F/K1)P(K1)+…+P(F/K3)P(K3)= 79/135

P(K1)= 1/3 ; P(F/K1)= C(2,9)/C(2,10)

P(K1/F)= P(F/K1)P(K1)/P(F)= 36/79

H= bc sp laáy laàn sau laø sp loaïi I

P(H/F)= P(H/K1F)P(K1/F)+…+P(H/K3F)P(K3/F)

= (7/8)(36/79)+(6/8)(28/79)+(4/8)(15/79)= 60/79

7

Baøi 1.15*

Saûn phaåm töø hoäp 1 boû sang hoäp 2 coù 2 tröôønghôïp:

Laø sp loaïi I

Laø sp loaïi II

A= bc sp laáy töø hoäp 1 boû sang hoäp 2 laø sp loaïi I

F= bc sp laáy töø hoäp 2 laø sp loaïi I

P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/A*)P(A*)

= (6/9)(7/10)+(5/9)(3/10)= 57/90

8

Baøi 1.15 (tt)

SP laáy ra töø hoäp 2 coù 2 tröôøng hôïp:

Laø sp töø hoäp 1 boû sang

Laø sp ñaõ coù saún ôû hoäp 2

K= bc sp laáy ra töø hoäp 2 laø sp töø hoäp 1 boû sang

P(K/F)= P(KF) / P(F)

P(KF)= P(F/K).P(K)= (7/10)(1/9)



3

9

BAØI 2.12* Xem theâm baøi 30-34, trang 182

A) F= bc choïn ñöôïc 2 sp loaïi A ôû laàn laáy ñaàu

X= soá sp loaïi A coù trong 2 sp laáy ra laàn sau (vôùi ñk F ñaõxaûy ra).

Ki= bc choïn ñöôïc kieän thöù i

P(F)= P(F/K1)P(K1)+…+P(F/K3)P(K3) = 46/135

P(F/K1)= C(2,9)/C(2,10) ; P(K1)= 1/3

P(K1/F)= P(F/K1).P(K1)/P(F)= 36/46

P(K2/F)= 10/46 , P(K3/F)= 0

F ñaõ xaûy ra, ta coù 3 tröôøng hôïp:

2 sp loaïi A naøy thuoäc kieän thöù 1: A ; P(A)= P(K1/F)

2 sp loaïi A naøy thuoäc kieän thöù 2: B ; P(B)= P(K2/F)

2 sp loaïi A naøy thuoäc kieän thöù 3: C ; P(C)= P(K3/F) 10

Baøi 2.12 (tt)

A)

P(X=0)= P(X=0/A)P(A)+ P(X=0/B)P(B)+ P(X=0/C)P(C)

= 50/644

P(X=1)= P(X=1/A)P(A)+ P(X=1/B)P(B)+ P(X=1/C)P(C)

= 201/644

Vôùi:

P(X=1/A)= C(1,7)C(1,1)/C(2,8)

P(X=1/B)= C(1,3)C(1,5)/C(2,8)

P(X=1/C)= 0

P(X=2)= 393/644

11

Baøi 2.12 (tt)

B) Y= soá sp loaïi A coù trong 2 sp laáy ra

K12, K13, K23= bc choïn ñöôïc kieän 1 vaø kieän 2,kieän 1 vaø kieän 3, kieän 2 vaø kieän 3

P(Y=0)= P(Y=0/K12)P(K12)+P(Y=0/K13)P(K13)

+P(Y=0/K23)P(K23)

= (1/3)[(1/10)(5/10)+(1/10)(9/10)+(5/10)(9/10)]

= 59/300

P(Y=1)= 182/300

P(Y=2)= 59/30012

BAØI 2.13* (xem baøi 2.12)

X 0 1 2 3

P 205/2296 531/2296 990/2296 570/2296

Y 0 1 2

P 59/300 162/300 79/300

b)

a)



4

13

Baøi 2.14**

A) X= soá sp loaïi A coù trong kieän thöù nhaát (sau caùc pheùpthöû)

P(X=1)= 2/75, P(X=2)= 25/75, P(X=3)= 39/75,

P(X=4)= 9/75 (laäp baûng ppxs cuûa X: xem baøi 2.5)

Y= soá sp loaïi A coù trong kieän thöù hai (sau caùc pheùp thöû)

X+Y = 5 (soá sp loaïi A) (laäp baûng ppxs cuûa Y:xem baøi 2.5)

Ki= bc choïn ñöôïc kieän thöù i

F= bc laáy ñöôïc sp loaïi A töø kieän ñaõ choïn

P(F)= P(F/K1)P(K1)+P(F/K2)P(K2)= 460/900= 23/45

P(K1) = P(K2) = ½14

BAØI 2.14 (tt)

A) Sau caùc pheùp thöû thì kieän thöù 1, thöù 2 coøn laïi 6, 4 sp.

(X=1), (X=2), (X=3), (X=4) laø hoï ññ vaø xktñ

P(F/K1)=

= P(F/X=1.K1)P(X=1/K1)+…+P(F/X=4.K1)P(X=4/K1)

= (1/6)(2/75)+(2/6)(25/75)+(3/6)(39/75)+(4/6)(9/75)

= 205/450

P(F/K2)=

= P(F/Y=1.K2)P(Y=1/K2)+…+P(F/Y=4.K2)P(Y=4/K2)

= (1/4)(9/75)+(2/4)(39/75)+(3/4)(25/75)+(4/4)(2/75)

= 170/300= 255/450

15

Baøi 2.14 (tt)B) Neáu F ñaõ xaûy ra, ta coù 2 tröôøng hôïp:

Sp naøy ôû kieän 1: A

Sp naøy ôû kieän 2: B

P(A)= P(K1/F)= P(F/K1)P(K1)/P(F)= 41/92

P(B)= P(K2/F)= 51/92

H= bc laáy tieáp ñöôïc sp loaïi A töø kieän ñaõ choïn.

P(H)= P(H/A)P(A)+P(H/B)P(B)= 5039/16560

P(H/A)= P(H/X=1.A)P(X=1/A)+…+P(H/X=4.A)P(X=4/A)

= (0/6)(2/75)+(1/6)(25/75)+(2/6)(39/75)+(3/6)(9/75)

= 130/450= 260/900

P(H/B)= P(H/Y=1.B)P(Y=1/B)+…+P(H/Y=4.B)P(Y=4/B)

= (0/4)(9/75)+(1/4)(39/75)+(2/4)(25/75)+(3/4)(2/75)

= 95/300= 285/900

16

Baøi 3.12*A) X1= soá sp loaïi I coù trong 2 sp laáy ra töø hoäp.

X1~H(10,6,2)

X2= soá sp loaïi I coù trong 2 sp laáy ra töø loâ haøng.

X2~B(2; 0,6) ; P(X1=X2)=

=P(X1=0)P(X2=0)+ P(X1=1)P(X2=1) +P(X1=2)P(X2=2)

B) F= bc coù 2 sp loaïi I trong 4 sp laáy ra

P(F)=

= P(X1=0)P(X2=2)+P(X1=2)P(X2=0)+P(X1=1)P(X2=1)

P(X2=2/F) = P(X1=0,X2=2)/ P(F)

C) Y= soá sp loaïi I coù trong n sp laáy ra töø loâ. Y~B(n; 0,6)

P(X1+Y>=1) >= 0,99 1-P(X1=0)P(Y=0) >= 0,99

1-C(2,4)/C(2,6) * C(0,n)(0,6)0(0,4)n >= 0,99 n= 3



5

17

Baøi 3.13*A) M1,2,3= bc choïn ñöôïc maùy loaïi A,B,C

X1,2,3= soá sp ñaït tieâu chuaån trong 3 sp (do maùy 1,2,3 saûnxuaát).

X1~B(3; 0,98) ; X2~B(3; 0,96) ; X3~B(3; 0,90)

X= soá sp ñaït tieâu chuaån trong 3 sp saûn xuaát

P(X=0)= P(X=0/M1)P(M1)+…+P(X=0/M3)P(M3)

P(X=0/M1)=P(X1=0)= C(0,3)(0,98)0(0,02)3 ; P(M1)= 5/12

B) F= bc 3 sp do maùy sx ñeàu ñaït tieâu chuaån

P(F)= P(X=3) ; P(M1/F)= P(F/M1)P(M1)/P(F)

P(F)= P(F/M1)P(M1)+…+P(F/M3)P(M3)

H= bc 3 sp do maùy ñoù saûn xuaát laàn sau ñaït tieâu chuaån

P(H/F)= P(H/M1F)P(M1/F)+…+P(H/M3F)P(M3/F)

P(H/M1F)= P(X1=3) ; P(F/M1)= P(X1=3)

18










ThS. Phạm Trí Cao * Bai tap de nghi TK

1

1

BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ:THOÁNG KEÂ

2

Baøi 1:

a) öôùc löôïng trung bình

b) öôùc löôïng tyû leä, f= 10/121

c) öôùc löôïng trung bình (nhöõng hoä coù thu nhaäpcao). Chuù yù tra baûng.

d) kieåm ñònh trung bình, 0= 5

3

Baøi 2:

A) öôùc löôïng tyû leä, daïng tìm ñoä tin caäy

B) öôùc löôïng tyû leä, daïng xaùc ñònh côõ maãu

C) öôùc löôïng tyû leä öôùc löôïng soá hoä giañình coù nhu caàu (baèng caùch nhaân 600.000)

4

Baøi 3:

A) öôùc löôïng trung bình cuûa X

B) kieåm ñònh tyû leä, f= 30/400, p0= 0,1

C) öôùc löôïng trung bình cuûa X, daïng tìm ñoä tincaäy. Chuù yù = 0,5

D) öôùc löôïng trung bình cuûa Y, daïng xaùc ñònhcôõ maãu. = 20



2

5

Baøi 4:

A) öôùc löôïng tyû leä

B) kieåm ñònh trung bình chæ tieâu X, 0= 6

C) Z= 10Y+4

EZ= 10.EY+4, varZ= 100.varY

z= 10 y+4 , 21002yszs

6

Baøi 5:

A) öôùc löôïng khoaûng trung bình möùc nguyeân lieäuhao phí (gr/sp) ULK cuûa soá tieàn (ngaøn ñ) (baèngcaùch nhaân 40.000*0,8)

B) kieåm ñònh trung bình, 0= 21 (gr/sp)

C) öôùc löôïng trung bình, daïng xaùc ñònh côõ maãu

’= 10 trieäu ñ = 10.000/ (40.000*0,8) (gr/sp)

7

Baøi 6:

A) öôùc löôïng löôïng haøng tieâu thuï trung bình cuûa1 hoä öôùc löôïng löôïng haøng tieâu thuï trung bìnhcuûa caû thaønh phoá (baèng caùch nhaân 600.000)

B) öôùc löôïng tyû leä, daïng xaùc ñònh côõ maãu

C) kieåm ñònh trung bình.

0= 750.000/600.000

8

Baøi 7:

A) öôùc löôïng tyû leä

B) kieåm ñònh trung bình

0= 2100.000/500.000



3

9

Baøi 8:

A) öôùc löôïng trung bình

B) öôùc löôïng tyû leä

C) öôùc löôïng tyû leä, daïng xaùc ñònh côõ maãu

10

Baøi 9:

A) öôùc löôïng trung bình chæ tieâu Y

B) kieåm ñònh trung bình chæ tieâu Y, 0= 37

C) kieåm ñònh phöông sai chæ tieâu X, 02= 0,2. töï

xem!

11

Baøi 10: töï xem!

Kieåm ñònh tính ñoäc laäp cuûa 2 daáu hieäu

12



http://xacsuatthongke.googlepages.comhttp://toiuuhoa.googlepages.com



www37.websamba.com/phamtricaowww.phamtricao.web1000.com


Documents

Bài giảng Xác suất thống kê Tác giả: Phạm Trí Cao, Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM, 2009