Bai tap co luong tu

Tiểu luận

DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

A. Dao động tử điều hòa trong cơ học cổ điển và theo lý thuyết Bohr

1) Dao động tử điều hòa trong cơ học cổ điển:

Trong cơ học cổ điển, chuyển động của hạt dọc theo một trục nào đó dưới tác dụng của một lực đàn hồi gọi là dao động tử điều hòa một chiều.

+ Năng lượng của dao động tử điều hòa trong cơ học cổ điển có thể nhận các giá trị liên tục, dương và không đổi.

+ Tần số bức xạ trùng với tần số dao động cơ học của dao động tử điều hòa.

+ Trong vật lý cổ điển tồn tại miền cấm mà xác suất tìm hạt tại đó bằng không.

2) Dao động tử điều hòa trong lý thuyết N. Bohr:

Năng lượng của dao động tử điều hòa chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn ( ). Sự bức xạ hay hấp thụ chỉ có thể xảy ra trong các phép dời chuyển của dao động tử từ mức năng lượng này sang mức năng lượng khác. Điều này hoàn toàn khác với cơ học cổ điển, năng lượng của dao động tử là bất biến, không đổi theo thời gian. Song khi số lượng tử chính n = 0 thì hạt có năng lượng bằng không.

Chúng ta sẽ cùng nhau kiểm tra các kết luận này trong cơ học lượng tử.

B. Dao động tử điều hòa trong cơ học lượng tử:

Giả sử thế năng của hạt có một cực tiểu tại điểm x = 0. Khi đó ta có thể khai triển thế năng thành chuỗi lũy thừa:

Trong đó x là độ lệch ra khỏi vị trí cân bằng, được xác định bởi điều kiện (do

U đạt giá trị cực tiểu tại x = 0).

Nếu hạt có khối lượng là m thực hiện những dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng thì trong chuỗi trên ta có thể giữ lại hai số hạng đầu tiên và trong trường hợp này ta nói hạt dao động điều hòa; còn các hệ tương ứng ta gọi là dao động tử điều hòa.

Nếu gốc thế năng tại U(0) thì thế năng của dao động tử điều hòa bằng:

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Hoa

Trong đó: và (tần số của dao động tử điều hòa được tính theo cơ học

cổ điển).

Phương trình Schrodinger cho bài toán dao động tử điều hòa có dạng:

(1)

Trong biểu diễn, trạng thái lượng tử của hệ được mô tả bởi hàm sóng:

(2)

Do đó phương trình (1) trở thành:

(3)

Ta chuyển sang biến số không có thứ nguyên bằng cách đặt:

Và (4a) Với

Lưu ý:

Suy ra: (4b)

Biểu diễn toán tử Hamilton dưới dạng: (5)(H là toán tử Hamilton của dao động tử điều hòa)

Với (6)

Thật vậy, vì:

Mà

Ta tìm nghiệm của phương trình trị riêng:

2

Sinh viên thực hiện: Bùi Nguyễn Ngọc Thúy - Vật Lý K31


(7)

Trong đó trị riêng có thể nhận các giá trị gián đoạn hoặc liên tục (chỉ số i để phân

biệt giữa các vectơ trạng thái riêng trực giao có thể ứng với cùng một trị riêng ).

Ta đặt:

: toán tử hủy

Và : toán tử sinh. (*)

( a

là toán tử liên hợp Hermite của toán tử a . Chú ý vì là các toán tử trong cơ học

lượng tử nên chúng là các toán tử Hermite; do đó: và )

Ta biểu diễn các toán tử qua các tử a và a

:

(**)

Giao hoán tử giữa các toán tử a và a

:

= 1

(Mối quan hệ này tương đương với )

Ta có:

(8)

3



Từ (6) và (8) suy ra:

Và

Suy ra:

Ta định nghĩa toán tử số hạt N dưới dạng:

( là toán tử Hermite vì: , chú ý: ))

Suy ra:

Do và giao hoán nhau nên vectơ riêng của cũng là vectơ riêng của toán tử số hạt

.

Áp dụng công thức ta có các giao hoán tử giữa toán tử số

hạt và các toán tử sinh, hủy:

Ta sử dụng các toán tử để nghiên cứu dao động tử điều hòa một chiều

* Xét phương trình trị riêng của toán tử :

Ta đã chứng minh các vectơ riêng của toán tử số hạt cũng là vectơ riêng của toán

tử Hamilton H của dao động tử điều hòa ứng với trị riêng:

(9)

4



Thật vậy ta có:

Với H và có chung vectơ riêng

Phương trình trị riêng của toán tử H:

Vì là toán tử số hạt Trị riêng của toán tử là có giá trị

Để dễ hiểu ta thay trong công thức (9) bằng n:

Với n = 0, 1, 2, 3… là số lượng tử chính.

Như vậy năng lượng của dao động tử điều hòa gián đoạn (bị lượng tử hóa)

+ Năng lượng tối thiểu của dao động tử điều hòa khi n = 0 là: là phù hợp với

nguyên lý bất định Heisenberg. Điều này khác với lý thuyết cổ điển và lý thuyết N. Bohr cho rằng năng lượng này bằng 0.

+ Sự tồn tại các dao động không chứng tỏ không thể thực hiện được trường hợp vi hạt rơi xuống đáy của giếng thế.

+ Mặt khác, từ công thức (9) ta suy ra rằng năng lượng của tất cả các hệ thực hiện dao động điều hòa bị lượng tử hóa thành các lượng tử nhỏ

* Vectơ riêng của toán tử H:

Trước tiên ta tìm vectơ riêng và hàm riêng của toán tử

Xét dao động tử điều hòa trong biểu diễn ( là hệ vectơ riêng của ), vectơ

liên kết với n = 0 là vectơ trạng thái cơ bản ứng với mức năng lượng và

phải thỏa mãn phương trình trị riêng:

(10)

5



Giả sử đã được chuẩn hóa: .

Vectơ trạng thái ứng với mức năng lượng (n = 1) nhận được do tác dụng của toán

tử lên trạng thái :

(11)

Từ điều kiện chuẩn hóa của vectơ :

Lưu ý rằng là vectơ riêng đã chuẩn hóa của toán tử số hạt ứng với trị riêng

bằng 0 nên . Ta tìm được:

Như vậy, tác dụng của toán tử lên trạng thái cơ bản sẽ biến đổi trạng thái đó

thành trạng thái ứng với mức năng lượng .

(12)

Tương tự ta có thể xác định trạng thái nhờ tác dụng của toán tử lên trạng thái :

(13)

Và đòi hỏi được chuẩn hóa với điều kiện chọn pha của thừa số là thực, dương.

Chú ý:

Suy ra: (14)

Do đó ta có:

6



Lập luận tương tự như trên, trạng thái thu được do tác dụng của toán tử lên trạng

thái :

(15)

Vì: (16)

nên trạng thái có thể nhận được do tác dụng liên tục toán tử lên trạng thái cơ bản

.

(17)

Từ biểu thức (17) ta thấy rằng nếu thay , ta được tác dụng trong không gian vectơ

(18)

Tương tự, nhân hai vế của (15) với toán tử hủy hạt và sử dụng (16), ta thu được:

(19)

{Do là toán tử số hạt nên ta có:

Suy ra: }

Từ định nghĩa của toán tử ở (*) và (**) ta có thể biểu diễn qua các toán tử tọa độ và

xung lượng :

Do đó phương trình trị riêng của toán tử đối với dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản (n = 0) có dạng:

7



(20)

Trong biểu diễn tọa độ phương trình (20) biến đổi thành:

(21)

Trong đó: (22)

Do vậy nghiệm tổng quát của phương trình (21) có dạng:

(23)

Với C là hằng số tích phân và có thể xác định nhờ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng :

(***)

Áp dụng công thức: I=

{Thật vậy: nếu ta đổi biến số

Tích phân I được viết lại:

(chú ý ta đã áp dụng tích phân Poison )}

(***)

Vậy:

8



Để tìm hàm sóng liên kết với các trạng thái dừng khác của dao động tử

điều hòa, ta cần sử dụng biểu thức (17) và dạng của toán tử trong biểu diễn tọa độ

(24)

Và ta tìm được:

là hàm riêng của toán tử ứng với trị riêng

Ví dụ: Các hàm sóng ứng với các mức năng lượng và (n = 1 và n = 2) là:

Từ đây ta suy ra hàm riêng của toán tử H ứng với trị riêng là:

Đặt , ta có:

9



* Nhận xét:

- Những điểm tại đó gọi là nút của hàm sóng, số nút bằng số lượng tử n.

- Xác suất tìm thấy hạt trong khoảng dx xung quanh điểm x là ; xác suất tìm

thấy hạt ở ngoài giới hạn cổ điển tuy rất nhỏ nhưng vẫn khác không (xác suất cổ điển tỉ lệ nghịch với vận tốc nên cực đại ở giới hạn và cực tiểu ở vị trí cân bằng). Khi thì xác suất lượng tử tiến tới xác suất cổ điển.

- Năng lượng của dao động tử điều hòa bị lượng tử hóa. Điều đó gây nên do đòi hỏi tự nhiên về tính giới nội của hàm sóng trong toàn không gian. Các mức năng lượng cách đều nhau một khoảng .

- Năng lượng cực tiểu của dao động tử , chứng tỏ ngay khi nhiệt độ tuyệt đối bằng không năng lượng của dao động tử vẫn khác không. Đó là hệ quả của hệ thức bất định Heisenberg, ta có thể chứng minh điều đó:

Theo hệ thức bất định:

Ta có:

Với và

Từ đó:

Năng lượng:

Hay

Từ điều kiện

Ta tìm được:

10


Documents

Bai tap co luong tu