Embed Size (px)
Citation preview
p(x) P(x)
ab 1
0 0 m 1 x2
1
0 0 m 1 x
1
Hình.1.11: Phân bố đồng nhất có trung bình m
Bài 1.2.3
Do 15 điểm ngẫu nhiên thuộc khoảng (0:1) nên thuộc phân bố đồng nhất. do đó áp dụng công thức tính mean(m) ta có
M=E(x)= =(a+b)/2=1/2
Áp dụng công thức tính
σ 2=E [ ( x−m)2 ]=∫−∞
∞( x−m )2 p ( x )dx
σ 2=(b−a )2
12
=1/12
Hình vẽ biểu diễn
Nhận xét: nhìn vào công thức ta thấy công thức tính trung bình và Phương sai không phụ thuộc vào số điểm ngẫu nhiên từ đó
Với câu tiếp theo x= 10 điểm và x=5 điểm thì kết quả vẫn không đổi
Bài 1.2.7
Ta nhận thấy nhìn vào hình vẽ (fig 1.2.7) đây là phân bố đồng nhất
Áp dụng công thức tính hàm mật độ ta có:
p( x )= 1b−a
, a≤x≤b
= =1
b. áp dụng công thức tính hàm tích lũy ta có (average power)
P( x )=∫−∞
xp ( x )dx
=
Bài 1.4.6.
a) Ta có : x(n) = 0.8n . ejnπ/10
= 0.8n (cos nπ/10 + j sin nπ/10)
Ta có
+ Phần thực: xR=0.8ncos(n.π/10)
+ Phần ảo: xI = 0.8n sin(n. π/10)
Biên độ :
|x(n)|=√ xR2 (n )+xI
2 (n ) = 0.8n
Pha : Ф(n)=tan-1xI
xR
= π10
n
b) TA CÓ : x(n) = 0.8n . e -jnπ/10
= 0.8n (cos nπ/10 + j sin 11.nπ/10)
Ta có
+ Phần thực: xR=0.8ncos(n.π/10)
+ Phần ảo: xI = 0.8n sin(11n. π/10)
Biên độ :
|x(n)|=√ xR2 (n )+xI
2 (n ) = 0.8n
Pha : Ф(n)=tan-1xI
xR
=−π10
n
Bài 1.4.9
a) Với x(n)= u(n), ta có:
E2N= ∑n=−N
N
¿u (n )∨¿2 ¿
Do u(n) = 1, n≥0
0, n<0
Nên: E2N=N
P2N= 12− 14n+2
Vậy P= limN →+∞ ( 12− 1
4n+2 )=12b) Với x(n)= r(n), ta có:
E2N= ∑n=−N
N
¿ r (n )∨¿2 ¿
Do r(n) = n, n≥0
0, n<0
Nên:
|r(0)|2 = 0
|r(1)|2 = 1
|r(2)|2 = 22
…
|r(N)|2 = N2
E2N =∑
i=0
N
i2=N (N+1)(2N+1)
6
P2N=N ( N+1 )6
Vậy P= limN →+∞ (N (N+1)
6 )=+∞
Bài 1.5.1
a. with -3 ; = 0, otherwise
Solution:
The output:
c. with -3 ; = 0, otherwise
solution:
The output:
d. with -3 ; = 0, otherwise
solution:
The output:
Bài 1.5.5: vẽ sơ đồ khối
a) y(n)=-2x^2(n)+3x^2(n-1)+4x(n-2)-5x(n-1)(n-2)
Xn -2 Yn
-3
-5
4
b) yn=1/3x(n+1)+x^2(n)-2x(n-1)
-2
xn 1/3 yn
b) yn=1/3[x(n)+2x(n-1)+3x(n+1)]+1/5[y(n-1)+2y(n-2)]
xn 1/3
X
+
+
Z^-1
Z^-2
Z^-1
Z^-1
+
X
Z^-1
Z^-1
+ +
Z^+1
Z^-1 Z^-1
x(n)3
b(n)
a(n)
4
s(n)
z-1
z-1
+
3x
y(n)
2
3 2
2 1/5
c) yn=0.8y(n-1)-0.2y(n-2)+2x(n)=3x^2(n-1)
xn 2 0.2 yn
-3 0.8
Bài 1.5.6
a)
a(n) = x(n-1)
b(n) = x2(n)
y(n) = 2a(n) + 3b(n) = 2x(n-1) + 3x2(n)
b)
a(n) = x(n-1)
b(n) = x(n-1)
s(n) = 2x(n) + 3 a(n) + 4 b(n) = 2x(n) + 3x(n+1) +4x(n-1)
y(n) = 9s2(n) = 9[ (2x(n) + 3x(n+1) +4x(n-1) ]2
c)
a(n) = x(n -1)
b(n) = x(n -1)
c(n) = y(n-1)d(n)
4
2
-4c(n)
a(n)-2
z-1
z-1
+
z-1
z-1
x(n)
3
z-1+
x
x(n)
3
2
y(n)
b(n)
+
Z^-1
Z^-1Z^-1
++
X
d(n) = c(n -1) = y(n -2 )
y(n) = 2x(n) + 3a(n) +4b(n) – 4c(n) – 2d(n) = 2x(n) + 3x(n-1) + 4x(n-1) -4y(n-1) - 2y(n-2)
Bài 1.6.1
a) y(n)= ∑k=0
∞
x (n−k )
Thay y(n) =h(n) ta được biểu thức của hệ:
h(n) = ∑k=0
∞
(n−k )
ta có h(n) = 0 : n < 0 => hệ thống có tính nhân quả Nếu tín hiệu vào chậm k mẫu, tức vào tại x(n-k) thì ngõ ra là:
y(n-k)= ∑k=0
∞
x (n−k−k )
Nếu tín hiệu ngõ ra làm chậm k mẫu :
y’(n-k)= ∑k=0
∞
x (n−k−k )
y(n-k) = y’(n-k) => hệ thống bất biến Hai tín hiệu vào và ra riêng biệt là :
y1(n)=∑k=0
∞
x1 (n−k )
y2(n)=∑k=0
∞
x2 (n−k )
Sự kết hợp đầu vào được cho bởi:x(n) = a1x1(n) + a2x2(n)Ngõ ra là :
y(n)=∑k=0
∞
[a1x 1 (n−k )+a2x 2 (n−k )]=a1∑k=0
∞
x1 (n−k )+a2∑k=0
∞
x 2 (n−k )
= a1y1(n) + a2y2(n)=>hệ thống tuyến tính
c) y(n)=Ax(-n)
Thay y(n) = h(n) ta được:
h(n)= A (-n)
h(0)=A ¿0 => hệ thống không nhân quả Nếu tín hiệu vào chậm k mẫu, tức vào tại x(n-k) thì ngõ ra là:
y(n-k)=Ax(-n-k)Nếu tín hiệu ngõ ra làm chậm k mẫu : y’(n-k)=Ax(-(n-k))= Ax(-n+k)
y’(n-k) ¿ y(n-k) => hệ thống biến thiên thời gian
b(n)
Hai tín hiệu vào và ra riêng biệt là :y1(n)=Ax1(-n)y2(n)=Ax2(-n)
Sự kết hợp đầu vào được cho bởi:x(n) = a1x1(n) + a2x2(n)Ngõ ra là :y(n)=A[a1x1(n) + a2x2(n)]= Aa1x1(-n) + Aa2x2(n)= a1 y1(n)+ y2(n)a2
1. Hệ thống tuyến tính
f) y(n) = n2 x (n)
Thay y(n) = h(n) ta được:
h(n)= n2(n)h(n) = 0 : n < 0=> Hệ thống nhân quả
Nếu tín hiệu vào chậm k mẫu, tức vào tại x(n-k) thì ngõ ra là:
y(n-k) = n2 x (n−k )Nếu tín hiệu ngõ ra làm chậm k mẫu :
y’(n-k)=(n−k )2 x (n−k )
y’(n-k) ¿ y(n-k) => hệ thống biến thiên thời gian Hai tín hiệu vào và ra riêng biệt là :
y1(n)= n2 x1(n)
y2(n)= n2 x2(n)
Sự kết hợp đầu vào được cho bởi:x(n) = a1x1(n) + a2x2(n)Ngõ ra là :y(n)=n2 [a1x1(n) + a2x2(n)]= n2a1x1(n) + n2a2x2(n)= a1 y1(n) + a2 y2(n) Hệ thống tuyến tính
h) y(n)=nx(-n)
Thay y(n) = h(n) ta được:h(n)= n(−n)h(0)=0 : n< 0 => hệ thống nhân quả
Nếu tín hiệu vào chậm k mẫu, tức vào tại x(n-k) thì ngõ ra là:y(n-k)=nx(-n-k)Nếu tín hiệu ngõ ra làm chậm k mẫu :y’(n-k)=(n-k)x(-(n-k))
y’(n-k) ¿ y(n-k) => hệ thống biến thiên thời gian Hai tín hiệu vào và ra riêng biệt là :
y1(n)= n x1(-n)y2(n)= n x2(-n)
Sự kết hợp đầu vào được cho bởi:x(n) = a1x1(n) + a2x2(n)
Ngõ ra là :y(n)=n[a1x1(n) + a2x2(n)]= a1n x1(-n) + a2n x2(-n)= a1 y1(n) + a2 y2(n) Hệ thống tuyến tính
Bài 2.1.2
a) y(n) =13
[x(n-1) + x(n) + x(n+1)]
Thay x(n) bằng δ (n ) thì y(n) là h(n):
h(n) =13
[δ(n-1) + δ(n) + δ(n+1)]
Nhớ rằng δ (n )= 1 khi n = 0, và bằng 0 ở những giá trị khác, giả sử hệ thống nhân quả, có nghĩa h(n) = 0 với n < 0, ta có:
h(0) = 13
[δ(-1) + δ(0) + δ(1)] = 13
h(1) = 13
[δ(0) + δ(1) + δ(2)] = 13
h(2) = 13
[δ(1) + δ(2) + δ(3)] = 0
….
h(n) = 13
[δ(n-1) + δ(n) + δ ¿n+1)] = 0
Hệ thống là FIR và có dạng như hình:
c) y(n) = 0.8y(n-1) +3x(n) – 2x(n-1)
Thay x(n) bằng δ (n ) thì y(n) là h(n):h(n) =0.8h(n-1) + 3δ(n) - 2δ(n-1)
Nhớ rằng δ (n )= 1 khi n = 0, và bằng 0 ở những giá trị khác, giả sử hệ thống nhân quả, có nghĩa h(n) = 0 với n < 0, ta có:
h(0) =0.8h(-1) + 3δ(0) - 2δ(-1) = 3h(1) =0.8h(0) + 3δ(1) - 2δ(0) = 0.4h(2) =0.8h(1) + 3δ(2) - 2δ(1) = 0.32h(3) =0.8h(2) + 3δ(3) - 2δ(2) = 0.256….h(n) = 0.8n−1 x 0.4 n ≥ 1
Hệ thống là IIR va có dạng như hình:
d) y (n )=16
y ( n−1 )+ 16
y (n−2 )+x (n)
Ta có: h(0) = 1h(1) = 1/6
h(2) = 16
h (1 )+ 16
h (0 )= 7/36
h(n) = 16
h (n−1 )+ 16
h (n−2 )
Chuyển vế:
h (n )−16
h (n−1 )−16
h (n−2 )=0
Giải phương trình đặc trưng:
λ2−16
λ−16=0
Được 2 nghiệm thực:
{ x=12
x=−13
Vậy h(n) sẽ có dạng:h (n )=A ¿
Tìm A và B:¿
Giải hệ, ta được: A = 3/5, B = 2/5.Tóm lại:
h (n )=35
¿
Hệ thống là FIR và có dạng:
e) y (n )=1.2 y (n−1 )+0.32 y (n−2 )+ x (n )+2 x (n−1)
Ta có: h(0) = 1h(1) = 3.2 = 16/5
h(2) = 65
h (1 )+ 825
h (0 )= 4.16
h(n) = 65
h (n−1 )+ 825
h (n−2 )
Chuyển vế:
h (n )−65
h (n−1 )− 825
h (n−2 )=0
Giải phương trình đặc trưng:
λ2−65
λ− 825
=0
Được 2 nghiệm thực:
{ x=√68+610
x=−√68+610
Vậy h(n) sẽ có dạng:h (n )=A ¿
Tìm A và B:¿
Giải hệ, ta được: A = 26+√682√68 và B =
−26+√682√68 .
Tóm lại:
h (n )=26+√682√68
¿
Hệ thống là FIR và có dạng:
Bài 2.1.3 Determine the difference equation of a system given its impulse response
a. h(n)=5 (0.5)n u(n)
Giải:Với n=0 ta đượch(0)=5 (0.5)0=5
n=1=>h(1)=5 (0.5)1=5 0.5n=2=>h(2)=5 (0.5)2=5 0.52
n=3=>h(3)=5 (0.5)3=5 0.53
ta thấy:với n>0 => h(n)=0.5h(n-1)
suy ra h(n) có dạng h(n)= 0.5h(n-1)+k (n)
mà tại n=0 ta có h(0)=5=>0.5h(-1)+k (0)=5 =>k=5(do h(n)=0 khi n<0 và (n)=1 khi n=0 )
vậy h(n)= 0.5h(n-1)+5 (n)
c. h(n)=-0.8h(n-1)+2 (n)
Giải:Với n=0 ta được
h(0)=-0.8h(-1)+2 (0)=2
n=1=>h(1)=-0.8(0)+2 (1)=-0.8 2
n=2=>h(2)=-0.8h(1)+2 (2)=0.82 2
n=3=>h(3)=-0.8h(2)+ 2 (3)=-0.83 2ta thấy với n>0=>h(n)=(-0.8)n 2
suy ra h(n) có dạng h(n)=(-0.8)^n 2+ k (n)
mà tại n=0 ta có h(0)=2=>-0.80 2+k (0)=2 =>k=0 (do h(n)=0 khi n<0 và
(n)=1 khi n=0 )vậy h(n)= (-0.8)n
2
e. h(n)=3(0.8)n-1u(n)+5 (n)
Giải:Với n=0 ta được
h(0)=3(0.8)-1+5 (0)=3 0.8-1+5
n=1=>h(1)= 3(0.8)0+5 (1)=0.80 3
n=2=>h(2)= 3(0.8)1+5 (2)=0.81 3
n=3=>h(3)= 3(0.8)2+5 (3)=0.82 3ta thấy với n>0=>h(n)=0.8h(n-1)
suy ra h(n) có dạng h(n)= 0.8h(n-1)+ k (n)
mà tại n=0 ta có h(0)= 3 0.8^-1+5=> h(0)= 0.8h(-1)+ k (0)=37/5
vậy h(n)= 0.8h(n-1)+ 37/5 (n)
Bài 2.2.1 Tìm tín hiệu ngõ ra của hệ thống với tín hiệu ngõ vào cho trước:
Xét:
Xét:
Từ kết quả trên cho thấy, kết quả hoàn toàn giống nhau
Bài 2.2.2 Xác định tín hiệu ngõ ra và đạp ứng xung của hệ thống:
Với n= 0:
Với n=1:
Bài 2.3.2
Cho n = 0, thì h(-1) = 0; h(-2) = 0;
h(0) = b0
b0 = c0 + c1 +c2
Bài 2.3.6
a.
Đáp án:
b.
Bài 2.3.11 Give a hybrid system as in the Figure. Find the difference equation and impulse response: Hệ thống tương đương với 2 hệ thống mắc song song như hình: y1(n)
x(n) y(n)
y2(n)
Ta có: y1(n) = x(n) + ay1(n-1)
Ta tìm h1(n). Giả sử đây là 1 hệ thống nhân quả, thay thế y1(n) bởi h1(n) và x(n) bởi δ(n). Ta có : h1(n) = δ(n) + ah1(n-1) h1(0) = δ(0) + a.h1(-1) = 1 h1(1) = δ(1) + a.h1(0) = a h1(2) = δ(2) + a.h1(1) = a2
......................................... h1(n) = δ(n) + a.h1(n-1) = anu(n) Tương tự: y2(n) = x(n-1) – by2(n-1)
h2(n) = δ(n-1) - b.h2(n-1) h2(0) = δ(-1) - b.h2(-1) = 0 h2(1) = δ(0) - b.h2(0) = 1 h2(2) = δ(1) - b.h2(1) = -b
h1(n)
h2(n)
+
h2(3) = δ(2) - b.h2(2) = b2
.......................................
h2(n) = (-b)n-1.u(n-1) Từ đó ta có h(n) = h1(n) - h2(n) = anu(n) - (-b)n-1.u(n-1)
Phương trình y(n) khi đó là: ∞ y(n) = ∑ h(k).x(n - k) k=0 n = ∑ [ak u(k) – (- b)k-1u(k-1)].x(n - k) k=0 = x(n) + x(n-1).[a – 1] + x(n – 2).[a2 + b] + ...+ x(0).[ an – (-b)n-1]
Bài 2.4.1 Hệ thống đáp ứng xung :
h(n) = ( 1a )n
u(n – 1)
Tìm giá trị để hệ thống ổn định
n < 1 => n – 1 < 0 => u(n – 1) = 0 => h(n) = 0
vậy h(n) = 0 khi n < 1 (đây là hệ thống nhân quả)
n ≥ 1 => n – 1 ≥ 0 => u(n – 1) = 1 => h(n) = ( 1a )n
Điều kiện để hệ thống cân bằng là
∑n=1
∞ |( 1a )n|<∞
Đây là tổng vô hạn của cấp số nhân có công bội là 1a
Điều kiện để tổng này hữu hạn là |1a|<¿ 1 ¿
Vậy điều kiện để hệ thống cân bằng là a > 1 hoặc a < -1
Bài 2.5.1 A digital filter has impulse response: h( n)=(0 .75 )nu(n ) .
Find the output signal closed form for input signal.
a. Step signal: x (n )=u(n ).
b. Alternate step signal: x (n ) = (−1)n .u(n ).
c. A digital rectangular pulse: x (n )=u(n )−u(n−25 ).
Giải:
Giả sử hệ thống là LTI, mặc khác : h( n)=0 ,n<0⇒ Hệ thống là nhân quả..
a. x (n )=u(n )=0 ,n<0 ⇒ x (n ) là tính hiệu nhân quả.
y (n )=∑
k=0
n
h(k )x (n−k )=∑k=0
n
0 .75k .u(k ) .u( n−k )=∑k=0
n
0 .75k=1−0.75n+1
1−0.75=4−3 .0 .75n .
Khi n = 0 => đáp ứng là y(0) = 4-3 = 1.
Khi n=+∞ => đáp ứng là y(n) = 4, lúc đó đáp ứng đạt tới trạng thái ổn định.
b.x (n )=(−1)n .u(n )=0 ,n<0⇒ x (n )là tín hiệu nhân quả.
y (n )=∑k=0
n
h(k )x (n−k )=∑k=0
n
0 .75k u (k )(−1)n−k u( n−k )=∑k=0
n
0 .75k(−1)n−k=(−1)n∑k=0
n
(−0 .75 )k
¿(−1 )n1−(−0 .75)n+1
1−(−0 .75)=
(−1 )n
7[ 4+3(−0 .75 )n ] .
Khi n = 0 => y(0) = 1.
Khi n = +∞ => y(n) = ±47 . Hệ thống tiến tới ổn định tại n =
±47 .
c. x (n )=u(n )−u(n−25 )=0 , n<0⇒ x (n )là tín hiệu nhân quả.
y (n )=∑k=0
n
h(k )x (n−k )=∑k=0
n
h (k )[u(n−k )−u( n−k−25 )]=∑k=0
n
h (k )u(n−k )−∑k=0
n
h(k )u( n−k−25 )
=∑k=0
n
h(k )− ∑k=0
n−25
h( k )=∑k=0
n
0 .75k u(k )− ∑k=0
n−25
0 .75k u(k )
=∑
k=0
n
0 .75k− ∑k=0
n−25
0 .75k=[4−3 .0 .75n ]−[ 4−3 .0 .75n−25 ] .
=3 (0 .75n−25−0 .75n ).
Khi n = 0 => y(n) ¿3 .
Khi n = +∞ => y(n) = 0.
Bài 2.5.3 Find the step response of system knowing difference equation:
a). y (n )=0 .6 y (n−1 )−0 .08 y (n−2)+x (n) . (1)
b.) y (n )=0 .8 y (n−1 )−0 .1 y ( n−2 )+2x (n )−x (n−2). (2)
Giải:
Giả sử hệ thống đã cho là nhân quả. Và x (n )=δ (n)
a.
1.Xác định đáp ứng xung h(n) của hệ thống:
1.1 Giải phương trình hiệu số:
y (n )= yh (n )+ y p(n ) .
1.1.1 Giải yh (n) (homogeneous solution):
Giả sử: yh (n)=λn .và thế vào (1) ta được:
λn=0.6 λn−1−0 .08 λn−2⇒ λ1=0.2, λ2=0.4.
=>yh (n)=C1 .(0 .2)n+C2 .( 0.4 )
n . (*)
Từ điều kiện ban đầu (y (n )=0 , n<0; x (n )=δ(n )) ta được:
y (0 )=x (0 )=11.
y (1)=0 .6 . y (0 )+x (1 )=0 .6 .
Mặc khác từ (*) ta được :
và y (1)=0 .2C1+0 .4C2
=> C1+C2=1 và 0 .2C1+0 .4C2=0 .6
y (0 )=C 1+C2 .
=>C1=−1 và C2=2 .
=>yh (n)=[2(0 .4 )n−(0 .2)n ] (3)
1.1.2 Giải y p (n )(particular solution)
Vì x (n )=δ (n) => y p (n )=0. (4) 1.2 Kết luận:
Từ (3), (4)=>h(n)= y (n )= yh (n)=[2(0 .4 )n−(0 .2)n ] .u(n )
2.Tìm đáp ứng bậc s(n):
Từ h(n) ta suy ra đáp ứng bậc s(n) từ công thức:
s(n )= ∑
k=−∞
+∞h (k )=∑
k=0
n
h (k )(vì hệ thống và tín hiệu vào đều là nhân quả)
=>s(n )=∑
k=0
n
(2(0 .4 )k−(0 .2)k)u(k )=2∑k=0
n
0 .4k−∑k=0
n
0.2k=2 . 1−0 .4n+1
1−0 .4−1−0 .2
n+1
1−0 .2
=
103.(1−0 .4n+1 )−5
4(1−0.2n+1 ).
Vậy đáp ứng bậc của hệ thống là:
s(n) =
103.(1−0 .4n+1 )−5
4(1−0.2n+1 )
.
b.
1. Xác định đáp ứng xung h(n) của hệ thống:
1.1 Giải phương trình hiệu số:
y (n )= yh (n )+ y p(n ) .
1.1.1 Giải yh (n) (homogeneous solution):
Giả sử: yh (n)=λn .và thế vào (1) ta được:
λ
n
=0 .8 λn−1−0 .1 λn−2⇒ λ =4±√610
=>yh (n)=C1( 4+√6
10 )n
+C2( 4−√610 )
n
(**)
Từ điều kiện ban đầu (y (n )=0 , n<0; x (n )=δ(n )) ta được:
y(0) = 2 và y(1) = 1.6
Mặc khác từ (**):
y(0) = C1+C2 và y(1) = C1( 4+√610 )+C2( 4−√6
10 )
=> C1+C2=2 và C1( 4+√610 )+C2( 4−√6
10 )=1.6 =>
C1=√6+4√6
,C2=√6−4
√6
=> yh (n)=√6+4
√6.( 4+√610 )
n
+ √6−4√6
.( 4−√610 )
n
.(5)
1.1.2 Giải y p (n )(particular solution):
Vì x (n )=δ (n) => y p (n )=0. (6) Từ (5), (6) => h(n) = y(n) = z
yh (n)=[ √6+4√6.( 4+√610 )
n
+ √6−4√6
.( 4−√610 )
n]u (n)
2.Tìm đáp ứng bậc s(n):
Từ h(n) ta suy ra đáp ứng bậc s(n) từ công thức:
s(n )= ∑
k=−∞
+∞h (k )=∑
k=0
n
h (k )(vì hệ thống và tín hiệu vào đều là nhân quả)
s(n )=∑k=0
n [ √6+4√6.( 4+√610 )
k
+ √6−4√6
.( 4−√610 )
k]u (k )
=
√6+4√6 ∑
k=0
n
( 4+√610 )
k
+ √6−4√6 ∑
k=0
n
( 4−√610 )
k
=
√6+4√6 ( 1−( 4+√6
10 )n+1
1−4+√610
)+ √6−4√6 (1−( 4−√6
10 )n+1
1−4−√610
) Vậy đáp ứng bậc của hệ thống là:
s(n) =
√6+4√6 ( 1−( 4+√6
10 )n+1
1−4+√610
)+ √6−4√6 (1−( 4−√6
10 )n+1
1−4−√610
)Bài 2.5.6
h(n) = anu(n), -1 < a <1
Tìm đáp ứng từ đầu vào
x(n) = u(n + 5) – u(n – 10)
y(n) = h(n).[x(n) + x(n - 2)] (1)
Mà đề bài cho: h(n) = an.u(n) (2)
x(n) = u(n+5) – u(n-10) (3)
Lấy (2), (3) thay vào (1) ta có:
y(n) = an . u(n) . [u(n + 3) + u(n + 5) - u(n - 10) - u(n - 12)]
Bài 2.6.2 Một bộ lọc di chuyển trung bình
h(n)
+ y(n) x(n)
z-2 h(n)
y(n) = 14
[x(n – 1) + 2x(n) + x(n + 1)]
Tìm đáp ứng xung của nó. Đây là lọc FIR hay IIR?
y(n)=0.25[ x(n – 1) + 2x(n) + x(n + 1)]
Đặt y(n-1)= 0.25[ x(n – 2) + x(n – 1)] + 0.25[ x(n - 1) + x(n)]
Lấy y(n) – y(n – 1) = 0.25[x(n) – x(n – 1) –x(n – 2)]
Suy ra:
y(n)=y(n – 1) + 0.25[x(n) – x(n – 1) – x(n – 2)]
xung phản hồi được cho bởi:h(n)= h(n – 1) +0.25[ δ (n) – δ (n – 1) – δ (n – 2)]
từ đó ta tính được h(0) = h(1) = h(2) = 0.25
Đây là mạch lọc IIR filter.
Bài 2.8.1
Câu a. Tìm tương quan chéo
Ta có:
x1(n) = 1 3 -1 5
m=0 x2(n) = 7 -2 9 -4 R(0)= -28
m=1 x2(n-1) = 0 7 -2 9 R(1)= 68
m=2 x2(n-2) = 0 0 7 -2 R(2)= -32
m=3 x2(n-3) = 0 0 0 7 R(3)= -14
m=-1 x2(n+1) = -2 9 -4 0 R(-1)= 29
m=-2 x2(n+2) = 9 -4 0 0 R(-2)= -3
m=-3 x2(n+3) = -4 0 0 0 R(-3)= -4
Vậy kết quả cuối cùng là
Rx1x2 = [-4, -3, 29, -14, -32, 68, -28]
Câu b. Tìm tự tương quan
x1(n) = 1 3 -1 5
m=0 x1(n) = 1 3 -1 5 R(0)= 19
m=1 x1(n-1) = 0 1 3 -1 R(1)= -5
m=2 x1(n-2) = 0 0 1 3 R(2)= 14
m=3 x1(n-3) = 0 0 0 1 R(3)= 5
m=-1 x1(n+1) = 3 -1 5 0 R(-1)= -5
m=-2 x1(n+2) = -1 5 0 0 R(-2)= 14
m=-3 x1(n+3) = 5 0 0 0 R(-3)= 5
Vậy kết quả cuối cùng là
Rx1x1 = [5, 14, -5, 5, 14, -5, 19]
x2(n) = 7 -2 9 -4
m=0 x2(n) = 7 -2 9 -4 R(0)= 110
m=1 x2(n-1) = 0 7 -2 9 R(1)= -68
m=2 x2(n-2) = 0 0 7 -2 R(2)= 71
m=3 x2(n-3) = 0 0 0 7 R(3)= -28
m=-1 x2(n+1) = -2 9 -4 0 R(-1)= -68
m=-2 x2(n+2) = 9 -4 0 0 R(-2)= 71
m=-3 x2(n+3) = -4 0 0 0 R(-3)= -28
Vậy kết quả cuối cùng là
Rx2x2 = [-28, 71, -68, -28, 71, -68, 110]
Bài 2.8.6
Câu a : Ta có
Câu b:
Bài 3.5.9
y(n) = 0.5y(n-1) + 0.5x(n)
a/ vẽ phổ biên độ và phổ pha
b/ xác định tần số 3dB
c/ Tìm output khi input x(n) = (-1)^n u(n)
Giải
a/
chuyển sang miền tần số:
Y(exp(jw)) = 0.5exp(-jw)Y(exp(jw)) + 0.5X(exp(jw))
Y(exp(jw))(1-0.5exp(-jw)) = 0.5X(exp(jw))
Y(exp(jw)) 0.5H(jw) = =
X(exp(jw)) 1 - 0.5exp(-jw)
Nhân tử và mẫu cho liên hợp phức của mẫu
(1- 0.5exp(jw))0.5H(jw) =
(1- 0.5exp(jw))(1 – 0.5exp(-jw))
[1 – 0.5*cos(w) – j0.5sin(w)]*0.5=
1 – cos(w) + 0.25
0.5 - 0.25*cos(w)=> phần thực:
1- cos(w) + 0.25
0.25sin(w)=> phần ảo :
1- cos(w) + 0.25
0.5 |H(w)| =
(1 – cos(w) + 0.25) ^ ½
0.5sin(w)Pha = - arctan
0.5cos(w)
b/ Chưa làm được.
c/
x(n) = (-1)^n* u(n)
biến đổi x(n) thành X(w)
1X(w) =
1 + exp(-jw)Ta có:
0.5* X(exp(jw)) 0.5Y(w) = =
1 – 0.5exp(-jw) (1-0.5exp(-jw)) * (1+ exp(-jw))1/6 1/3
= + 1- 0.5exp(-jw) 3(1 + exp(-jw))
=> y(n) = 1/3*exp(-t) + 1/6(exp(t/2))
Bài 3.8.10
a) y (n)= 3y(n-1) - 2y(n-2) + x(n)
H(ԝ)= ∑−M
M
bk e− jωk
1−∑−M
M
ak e− jωk
=1−3cos ( w )+2cos (2w )− j(3sin (w )−2sin (2w))(1−3cosw+2sin 2w)2+(3sinw−2sin (2w))2
HR(w) = 1−3cosw+2cos2w
(1−3cosw+2sin 2w)2+(3sin w−2sin (2w))2
HI(w) = 3sinw−2sin 2w
(1−3cosw+2sin 2w)2+(3sin w−2sin (2w))2
Ф (w) = 3sinw−2sin 2w1−3cosw+2cosw
Bài 3.8.12
a) ta có :
X(2)(w) = 12 [X (w
2+X (w
2+π ))]
Với :
W= −π2
X(2)(w) = 12 [X (−π
4+X (−π
4+π ))] =
14
W= π2
X(2)(w) = 12 [X ( π
4+X ( π
4+π ))] =
14
W=0 X(2)(w) = 12
[ X (0+ X (0+π ) ) ] = 12
b) ta có :
X(3)(w) = 13 [X (w
2+X (w
2+π ))]
Với :
W= −π2
X(3)(w) = 13 [X (−π
4+X (−π
4+π))] =
13
W= π2
X(3)(w) = 13 [X ( π
4+X ( π
4+π ))] =
16
W=0 X(3)(w) = 13
[ X (0+ X (0+π ) ) ] = 16
Bài 3.9.5
a.
b.
Bài 4.1.1
a/ x(n)=0 .8¿ n∨¿ ¿
ta có X(z)=∑n=0
∞
x (n ) z−n=∑n=0
∞
0.8¿n∨¿ z−n ¿=∑n=0
∞
0.8n z−n khi với n>=0
= 1+ 0.81 z−1+0.82 z−2+ 0.83 z−3+………….+0.8n z−n
=1+(0.8 z¿¿−1)1+(0.8 z¿¿−1)2¿¿+(0.8 z¿¿−1)3 ¿+………….+(0.8 z¿¿−1)n¿
= 1
1−(0.8 z¿¿−1)¿=z
z−0.8
b/ x(n)=(0 .8n+0 .8−n )u (n)
tương tự ta có:
X(z)=∑n=0
∞
x (n ) z−n=∑n=0
∞
(0.8n+0.8−n )u (n)z−n=∑n=0
∞
(0.8n ) z−n+∑n=0
∞
(0.8−n ) z−n
mà ∑n=0
∞
(0.8n ) z−n= 11−(0.8 z¿¿−1)¿
∑n=0
∞
(0.8−n ) z−n=1
1−(0.8 z )−1
X(z)=1
1−(0.8 z¿¿−1)¿+1
1−(0.8 z )−1 =
zz−0.8
+ 0.8 z0.8 z−1
c/ x(n)=0 .5n n<0
X(z)=∑n=0
∞
x (n ) z−n=∑n=0
∞
(0.5−n ) z−n
Tương tự:
∑n=0
∞
(0.5−n ) z−n=1
1−(0.5 z )−1=0.5 z0.5 z−1
d/ x(n)=sin2n
ta có:
sin2n=1−cos2n2
=12− cos2n
2 X(z)=∑
n=0
∞
x (n ) z−n=∑n=1
∞
( 12−cos 2n
2)z−n=∑
n=0
∞12
z−n-
∑n=0
∞
( cos2n2 ) z−n
∑n=0
∞12
z−n=12∑n=0
∞
1 z−n=12
(1
1−(z¿¿−1)¿)
∑n=0
∞
( cos2n2 ) z−n=1
4∑n=0
∞
(e− j2n+e j2n ) z−n=¿¿ 12¿
= 12
(1
1−(z¿¿−1)−¿¿ (1−cos 2
1−2 z−1cos 2−z−2 ))
e/ x(n)=(cosω0n)u(n)
tương tự ta có:
X(z)=∑n=0
∞
x (n ) z−n=¿ ∑n=0
∞
(cosω0 )u (n ) z−n=∑n=0
∞
(cosω0 ) z−n=1−cosω0
1−2 z−1 cosω0−z−2
f/ x(n)= e−αn sinβn
ta có:
X(z)=∑n=0
∞
x (n ) z−n=X ( z )=∑n=0
∞
(e¿¿−αn sinβn)z−n ¿ (1)
Mà sin(βn) = j(e− jβn−e jβn)
Thay vào (1) => ∑n=0
∞
(e¿¿−αn j(e− jβn−e jβn))z−n¿ =
∑n=0
∞
e−αn j(e− jβn) z−n−∑n=0
∞
e−αn j(e jβn) z−n
∑n=0
∞
(e¿¿−αn j(e− jβn))z−n= j∑n=0
∞
(e¿¿(−α− jβ )¿ z−1)¿¿¿= j∑n=0
∞
(e¿¿(−α− jβ )z−1)n¿ = j
1
1−(e¿¿ (−α− jβ ) z−1)¿
∑n=0
∞
¿¿¿ = j∑n=0
∞
(e¿¿(−α + jβ)¿ z−1)¿¿= j∑n=0
∞
(e¿¿(−α + jβ) z−1)n ¿ = j
1
1−(e¿¿ (−α+ jβ ) z−1)¿
X (n )=¿= j1
1−(e¿¿ (−α− jβ ) z−1)¿ - j
1
1−(e¿¿ (−α+ jβ ) z−1)¿ = j¿¿
e−α z−1sin β1−2e−α z−1 cosβ−e−2α z−2
Bài 4.1.7
h1(n) = 0.25nu(n)
>> H1(z) = z/(z – 0.25)
x(n) = δ(n) + 0.5δ(n-1)
X(z) = 1 + 0.5z-1
y(n) = 10δ(n) - δ(n-1) Y(z) = 10-z-1
H2(z) = (10-z-1)/ (1+0.5z-1)
H(z) = H1(z)H2(z) = [z(10-z-1)] / [(z-0.25)(1+0.5z-1)]
Bài 4.1.14
a) h(n) = u(n) sin(0.5πn)
b) H(z) = [z-1 sin(0.5π)] / [1 – 2z-1cos(0.5π) + z-2]
Bài 4.2.5 Find the difference equation of the system from the equation of its transform
a) z2 Y(z) – a2 Y(z) = X(z) – z2 X(z)Ta có : Y(z) = X(z).H(z) do đó thế vào phương trình ta cóz2 X(z)H(z) – a2X(z)H(z) = X(z) – z2X(z) X(z)H(z).[z2 - a2] = X(z).[1 – z2] H(z).[z2 – a2] = 1 – z2
H(z) =(1 – z2) / (z2 – a2) = (z -2 - 1) / (1 – a2.z -2) y(n) = a2y(n-2) – x(n) + x(n-2)
b) z2Y(z) – 2z2Y(z) – zY(z) = 4z2X(z)Tương tự câu (a) ta có : Y(z) = X(n).H(n) thế vào phương trình ta có :
z2.X(z).H(z) – 2.z2.X(z).H(z) – z.X(z).H(z) = 4.z2.X(z) X(z).H(z).[z2 – 2.z2 –z] = 4.z2.X(z) H(z).[- z2 – z] = 4.z2
H(z) = 4.z2 / (-z2 –z) => H(z) = 4 / (-1 – z-1) H(z) = (-4)/ (1 – z-1) y(n) = -y(n) – 4.x(n)
Bài 4.2.6
a) 3y(n+3) – 2y(n-2) + y(n+1) = 4x(n-4)
áp dụng công thức 4.15a và 4.15 b:
3z3 Y(z) – 2z-2 Y(z) + z = 4z-4 X(z)
b) y(n) = -0.5y(n-1) + 0.6y(n-2) + 0.8y(n-3) – 0.7y(n-4)
áp dụng công thức 4.15a và 4.15 b:
Y(z) = - 0.5z-1Y(z) + 0.6z-2Y(z) + 0.8z-3Y(z) – 0.7z-4Y(z)
Bài 4.2.8 A hybrid system is shown in the Figure where:
h1(n) = ( 15 )n.u(n)
h2(n) = ( 12 )n.u(n)
h3(n) = ( 13 )n.u(n)
Using the z-transform to find the impulse response of the system:
Bài giải:
Trước hết ta tìm biến đổi z của từng đáp ứng xung thành phần:
h1 (n )=( 15 )n
u (n )⟹H 1 ( z )= z
z−15
h2 (n )=( 12 )n
u (n )⟹H 2 ( z )= z
z−12
h3 (n )=( 13 )n
u (n )⟹H 3 ( z )= z
z−13
Dựa vào sơ đồ khối ở trên, ta có:
y (n )=x (n )∗h1 (n )+h3 (n )∗[−x (n )∗h1 (n )+x (n )∗h2 (n ) ]
⇔ y (n )=x (n )∗{h1 (n )+h3 (n )∗[h2 (n )−h1 (n ) ]}
Qua biến đổi z ta có: Y ( z )=X ( z ){H1 ( z )+H3 ( z ) [ H2 ( z )−H1 ( z ) ] }
Tức là:
H ( z )=H 1 ( z )+H 3 ( z ) [ H 2 ( z )−H 1 (z ) ]= z
z−15
+ z
z−13 ( z
z−12
− z
z−15 )
Sau khi biến đổi, ta được: H ( z )= z
z−15
+ 310
z2
(z−12 )(z−13 )(z−15 )Bây giờ, ta dùng biến đổi ngược để tìm đáp ứng xung h(n)
theo yêu cầu đề bài: H ( z )= z
z−15
+
32
z−12
−
32
z−13
+
310
z−15
Để có dạng giống như 1 trong những dạng trong bảng 4.1 tr.4 chương 4, SGK, ta rút
z−1 từ 3 thừa số đứng sau, được:
H ( z )= z
z−15
+( 32 z
z−12
−32
z
z−13
+ 310
z
z−15 ) z−1
Rồi dùng công thức biến đổi ngược đã có trong bảng ta được kết quả cuối cùng:
h (n )=[ 32 ( 12 )n−1
−32 ( 13 )
n−1
+ 310 ( 15 )
n−1]u (n−1 )+( 15 )n
u(n)
Ta cũng có thể suy ra phương trình của y (n) từ phương trình của H (z ) ở trên.
Biến đổi H ( z ): H ( z )=1− 815
z−1+ 16
z−2
1−( 3130 z−1−13
z−2+130
z−3)
Từ đó ta suy ra:
y (n )=3130
y (n−1 )−13
y (n−2 )+ 130
y (n−3 )+x (n )− 815
x (n−1 )+ 16
x (n−2)
Rồi dùng phương trình sai phân tuyến tính để giải tìm h(n), kết quả thu được giống như trên.
Bài 4.6.1 X(z) =
2−2.05 z−1
(1−0 .8 z−1 )(1−1.25 z−1)
a) X(z) =
A
(1−0 .8 z−1 )+ B
1−1 .25 z−1 )
=
A (1−1 .25 z−1 )+B (1−0 .8 z−1 )(1−0 .8 z−1)(1−1.25 z−1)
A=1
B=1
X(z) =
1
1−0 .8 z−1+ 1
1−1 .25 z−1
h(n) = -0.8nu(n) + 1.25nu(n)
b)
X ( z )z
= 2 z2−2.05 zz (z2−2 .05 z+1)
= 2 z2−2.05 zz ( z−0 .8)( z−1 .25)
=
A0z
+A1
z−p1+
A2z−p2
A0= z
A1 = (z – 0.8)
X ( z )z
|z=0 .8=2 z2−2 .05 zz ( z−1 .25 )
|z=0.8=1
A2 = (z – 1.25)
X ( z )z
|z=1.25=2 z2−2 .05 zz ( z−0 .8)
|z=1.25=1
X(z) =
zz−0 .8
+ zz−1 .25
x(n) = 0.8n
u(n) + 1.25n
u(n) , |z|>1 .25
x(n) = 0.8n
u(n) + 1.25n
u(-n-1) , 0.8< |z|<1 .25
x(n) = -0.8n
u(-n-1) – 1.25n
u(-n-1) , |z|<0 .8
X(z) =
N ( z−1)D( z−1)
=N ( z−1 )
(1−p1z−1 )(1−p2z
−1 )(1−p3 z−1 ) .. .
=
A11−p1 z−1+
A21−p2 z−1+
A31−p3 z−1
.
. .
Ai = (1 - pi z−1
)X(z)|z=pi
Bài 4.6.7: H(z) =z
3 z2−4 z+1
H ( z )
z = 13[ A0z−1
+ A1
z−13
]
Xét { A 0+ A1=0– A 03
+−A 1=1 {A 0=−1 /2A 1=−3 /2
H(z) = 12[ z
z−1− z
z−13
]
a) 1 < |z| < ∞
Tra Bảng 1.4 Sgk ta có:
h(z) = ½ [ u(n) – (1/2)n u(n)]
b) 0 < |z| < 1/3 ( Đối Nhân Quả )
h(z) = ½ [ -u(-n – 1) + (1/3)n u(-n – 1)]
d) 1/3 < |z| < 1
h(z) = ½ [ -u(-n – 1) – (1 /3)n u(n) ]
Bài 4.6.10: A system has transfer Function
H(z) = (z3 - z2 + 0.88z – 0.8)/(z3 + 0.8z2)
a) Give the pole – zero plot and sketch the spectral magnitude and phase response.
b) Find the impluse response by taking the inverse transform.c) Write the difference equation and deduce the impluse response. Compare the
impluse response in b) and c)
a) N(z) = (z3 - z2 + 0.88z – 0.8) D(z) = (z3 + 0.8z2) Thus the zero of the system are (z3 - z2 + 0.88z – 0.8) = 0 => z = 0.96, z = 0.02 + j0.91, z = 0.02 – j0.91
And the poles are (z3 + 0.8z2) = 0 => z = -0.8, z = 0 (double)
b) Let’s write H(z) = (z3 - z2 + 0.88z – 0.8 ) / (z3 + 0.8z2) = Y(z) / X(z)
Crossmultiply the equation to get
Y(z) [ z2(z+0.8)] = X(z) (z3 - z2 + 0.88z – 0.8)
Or
z3Y(z) + 0.8z2Y(z) = z3X(z) - z2X(z) + 0.88zX(z ) – 0.8X(z)
Take the inverse transform
y(n + 3) + 0.8y(n + 2) = x(n + 3) - x(n + 2) + 0.88x(n + 1) - 0.8x(n)
then time-shit the terms :
y(n) + 0.8y(n – 1) = x(n) – x(n – 1) + 0.88x(n – 2) – 0.8x(n – 3)
or
y(n) = x(n) – x(n – 1) + 0.88x(n – 2) – 0.8x(n – 3) - 0.8y(n – 1)
Another way is to express the given H(z) in term of z-1 first and go through steps as above
Now we find the impulse response h(n) by putting x(n) = δ(n):
h(n) = δ(n) - δ(n – 1) + 0.88δ(n – 2) – 0.8δ(n – 3) – 0.8 h(n – 1)
Thus
h(0) = δ(0) - δ(-1) + 0.88δ(-2) – 0.8δ(-3) – 0.8h(-1) = 1
h(1) = δ(1) - δ(0) + 0.88δ( -1) – 0.8δ(-2) – 0.8h(0) = -0.2
h(2) = δ(2) - δ(1) + 0.88δ(0) – 0.8δ(-1) – 0.8h(1) = 2.48
h(3) = δ(3) - δ(2) + 0.88δ(1) – 0.8δ(0) – 0.8h(2) = -2.78
...
c) The difference equation is
y(n) + 0.8y(n – 1) = x(n) – x(n – 1) + 0.88x(n – 2) – 0.8x(n – 3)
=> the impulse response as the same as b)
Bài 4.5.1 Without using the partial fraction expansion:
a) H(z) =
Theo tính chất của biến đổi Z, ta biến đổi:
X(z) = Y(z4) với Y(z) =
=> y(n) = u(n)
Sử dụng tính chất lấy mẫu lên: x(n) =
Vậy x(n) =
b) H(z) =
Theo tính chất của biến đổi Z, ta biến đổi:
X(z) = Y(z4) với Y(z) =
=> y(n) = -u(n)
Sử dụng tính chất lấy mẫu lên: x(n) =
Vậy x(n) =
c) H(z) =
Theo tính chất của biến đổi Z, ta biến đổi:
X(z) = Y(z8) với Y(z) =
=> y(n) = u(n)
Sử dụng tính chất lấy mẫu lên: x(n) =
Vậy x(n) =
d) H(z) =
Theo tính chất của biến đổi Z, ta biến đổi:
X(z) = Y(z8) với Y(z) =
=> y(n) = -u(n)
Sử dụng tính chất lấy mẫu lên: x(n) =
Vậy x(n) =
Bài 4.5.2 Cho hệ thống: H(z) =
a) Tìm đáp ứng xung nhân quả không sử dụng cách khai triển thừa sốÁp dụng công thức cho recursive filters:
H(z) = để suy ra phương trình hiệu số:y(n) = y(n-7) + x(n) + x(n-1) + x(n-2) + x(n-3)
Thay y(n) = h(n), x(n) = δ(n):
h(n) = h(n-1) + δ(n) + δ(n-1) + δ(n-2) + δ(n-3)
Theo tính chất nhân quả: h(n) = 0, n<0, δ(n) = 1, n=0 nên:
h(0) = h(-7) + δ(0) + δ(-1) + δ(-2) + δ(-3) = 1;
h(1) = h(0) = h(1)=h(2)=h(3) =1;
h(4) = h(5) = h(6) = 0;
h(7) = h(8)=h(9) = 1;
...................................................................................
Vậy h(n) = [1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,1,1,…]
b) Tìm tín hiệu ngõ ra với ngõ vào là x(n) = [3,2,1]
Áp dụng Y(z) = H(z).X(z), với X(z) = 3+2z-1 + z-2
Y(z) = X(z)
Y(z) – z-7Y(z) = X(z) + z-1X(z) + z-2X(z) + z-3X(z)
Ta biến đổi thành phương trình hiệu số:
y(n) – y(n-7) = x(n) + x(n-1) + x(n-2) + x(n-3)
y(n) = y(n-7) + x(n) + x(n-1) + x(n-2) + x(n-3)
Thay x(n) vào rồi tính.
Bài 4.5.4 Cho biến đổi Z, trước tiên tim phương trình hiệu số, sau đó tìm đáp ứng xung bằng biến đổi ngược:
a) H(z) =
Ta có H(z) = nên được phương trình: z2Y(z) – zY(z) +0.5Y(z) = 2zX(z)
y(n+2) – y(n-1) +0.5y(n) = 2x(n+1)
Vì công thức này áp dụng cho mọi thời gian,nên ta có thể viết:
y(n) – y(n-1) + 0.5y(n-2) = 2x(n-1)
y(n) = y(n-1) - 0.5y(n-2) + 2x(n-1)
Vì đây là hệ thống nhân quả nên thay x(n) = δ(n), y(n) = h(n):
h(n) = h(n-1) – 0.5h(n-2) +2δ(n-1)
h(0) = 0;
h(1) = 2;
h(2) = 2;
h(3) = 1;
h(4) = 0;
h(5) = -0.5;
h(6) = -0.5;
h(7) = -0.25;
..........................................................
Vậy h(n) = [0,2,2,1,0,-0.5,-0.5,-0.25,…]
b) H ( z )= (z−0.8)z (z−1)(z+0.5)
Ta có H ( z )=Y ( z )X (z )
Hay : z3Y ( z )−0.5 z2Y ( z )−0.5 zY (z )=zX ( z )−0.8 X ( z )
↔ y (n+3 )−0.5 y (n+2 )−0.5 y ( n+1 )=x (n+1 )−0.8 x (n )
Vì công thức này áp dụng cho mọi thời gian,nên ta có thể viết:
y (n )−0.5 y (n−1 )−0.5 y (n−2 )=x (n−2 )−0.8 x (n−3 )
↔ y (n )=0.5 y (n−1 )+0.5 y (n−2 )+x (n−2 )−0.8x (n−3)
Vì đây là hệ thống nhân quả nên ta thay x (n )=δ (n ) v à y (n )=h (n ):
↔h (n )=0.5 h ( n−1 )+0.5h (n−2 )+δ (n−2 )−0.8δ(n−3)
h(0) = 0;
h(1) = 0;
h(2) = 1;
h(3) = -0.3;
h(4) = 0.35;
h(5) = 0.025;
h(6) = 0.1875;
.....................................................
Vậy h(n) = [0,1,-0.3,0.35,0.025,0.1875…..]
c) H(z) = z2−z+1
z2+1
Ta có H ( z )=Y ( z )X (z )
Hay : z2Y ( z )+Y ( z )=z2X ( z )−zX ( z )+X ( z )
↔ y (n+2 )+ y ( n )=x (n+2 )−x (n+1 )+x (n)
Vì công thức này áp dụng cho mọi thời gian,nên ta có thể viết:
y (n )+ y (n−2 )=x ( n )−x (n−1 )+x (n−2)
↔ y (n )=− y (n−2 )+ x (n )−x (n−1 )+x (n−2)
Vì đây là hệ thống nhân quả nên ta thay x (n )=δ (n ) v à y (n )=h (n ):
↔h (n )=−h (n−2 )+δ (n )−δ (n−1 )+δ(n−2)
h(0) = 1;
h(1) = -1;
h(2) = 0;
h(3) = 1;
h(4) = 0;
h(5) = -1;
h(6) = 0;
.............................................
Vậy h(n) = [1,-1,0,1,0,-1,0…..]
d) H ( z )= z2−z−2z2−1.3 z+0.4
Ta có H ( z )=Y ( z )X (z )
Hay : z2Y ( z )−1.3 zY ( z )+0.4Y ( z )=z2 X (z )−zX (z )−2 X (z )
↔ y (n+2 )−1.3 y (n+1 )+0.4 y (n )=x (n+2 )−x (n+1 )−2 x (n)
Vì công thức này áp dụng cho mọi thời gian,nên ta có thể viết:
y (n )−1.3 y (n−1 )+0.4 y (n−2 )=x (n )−x (n−1 )−2x (n−2)
↔ y (n )=1.3 y (n−1 )−0.4 y (n−2 )+x (n )−x (n−1 )−2 x (n−2)
Vì đây là hệ thống nhân quả nên ta thay x (n )=δ (n ) v à y (n )=h (n ):
↔h (n )=1.3h (n−1 )−0.4 h (n−2 )+δ (n )−δ (n−1 )−2δ (n−2)
h(0) = 1;
h(1) = 0.3;
h(2) = -2.01;
h(3) = -2.733;
h(4) = -2.7489;
h(5) = -2.4807;
h(6) = -2.12535;
.....................................
Vậy h(n) = [1,0.3,-2.01,-2.733,-2.7489,-2.4807,-2.12535…..]
