Bài tập hình học 12 ôn thi vào đại học

TRAÀN SÓ TUØNG

---- �� & �� ----

BAØI TAÄP

OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC

Naêm 2010

Trần Sĩ Tùng Khối đa diện

Trang 1

1. Hai đường thẳng song song

a) Định nghĩa: a b Pa ba b, ( ) ⊂⇔ ∩ = ∅

P

b) Tính chất

•

( ) ( ) ( )( ) ( ) , ,( ) ( )( ) ( )

P Q RP Q a a b c ñoàng quiP R b a b cQ R c

≠ ≠ ∩ = ⇒ ∩ =

∩ =P P •

( ) ( )( ) ,( )

( )

P Q dd a bP a Q bd a d ba b

∩ = ⊃ ⊃ ⇒ ≡ ≡

P P

P

• ,

a b a ba c b c

≠ ⇒

PP P

2. Đường thẳng và mặt phẳng song song a) Định nghĩa: d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅ b) Tính chất

• ( ), ' ( ) ( )'

d P d P d Pd d

⊄ ⊂ ⇒

PP • ( )( ) ,( ) ( )d P d aQ d Q P a

⇒ ⊃ ∩ =P P

• ( ) ( )( ) ,( )P Q d d aP a Q a

∩ = ⇒

PP P

3. Hai mặt phẳng song song a) Định nghĩa: (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ b) Tính chất

• ( ) ,

( ) ( )( ), ( )

P a ba b M P Qa Q b Q

⊃∩ = ⇒

P

P P •

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

P QP R P QQ R

≠⇒

P PP

• ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

Q RP Q a a bP R b

∩ = ⇒

∩ =

PP

4. Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng 1 trong các cách sau: • Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh

song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …) • Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. • Áp dụng các định lí về giao tuyến song song. b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh ( )d PP , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một

đường thẳng d′ nào đó nằm trong (P). c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai

đường thẳng trong mặt phẳng kia.

CHƯƠNG 0 ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

I. QUAN HỆ SONG SONG

Khối đa diện Trần Sĩ Tùng

Trang 2

1. Hai đường thẳng vuông góc a) Định nghĩa: a ⊥ b ⇔ ¶( ) 0, 90a b = b) Tính chất • Giả sử ur là VTCP của a, vr là VTCP của b. Khi đó . 0a b u v⊥ ⇔ =

r r .

• b c a ba c

⁄⁄ ⇒ ⊥ ⊥

2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc a) Định nghĩa: d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) b) Tính chất

• Điều kiện để đường thẳng ⊥ mặt phẳng: a b P a b O d Pd a d b, ( ), ( )

, ⊂ ∩ = ⇒ ⊥ ⊥ ⊥

• a b P bP a

( )( )

⇒ ⊥ ⊥P • a b a b

a P b P( ), ( ) ≠ ⇒ ⊥ ⊥

P

• P Q a Qa P( ) ( ) ( )

( ) ⇒ ⊥ ⊥

P • P Q P QP a Q a

( ) ( ) ( ) )( ) ,( )

≠ ⇒ ( ⊥ ⊥P

• a P b ab P

( )( )

⇒ ⊥ ⊥P • a P a P

a b P b( ) ),( )

⊄ ⇒ ( ⊥ ⊥P

• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

• Định lí ba đường vuông góc Cho ( ), ( )a P b P⊥ ⊂ , a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ 3. Hai mặt phẳng vuông góc

a) Định nghĩa: (P) ⊥ (Q) ⇔ ·( ) 090P Q( ),( ) = b) Tính chất

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: ( ) ( ) ( )( )

P a P Qa Q

⊃ ⇒ ⊥ ⊥

• ( ) ( ),( ) ( ) ( )( ),

P Q P Q c a Qa P a c

⊥ ∩ = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥ •

( ) ( )( ) ( ), ( )

P QA P a Pa A a Q

⊥∈ ⇒ ⊂

∋ ⊥

• ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

P Q aP R a RQ R

∩ =⊥ ⇒ ⊥

⊥

4. Chứng minh quan hệ vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d a⊥ , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau: • Chứng minh góc giữa a và d bằng 900. • Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau. • Chứng minh d b⊥ mà b aP . • Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a. • Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC


Trang 3

• Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …). b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: • Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P). • Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P). • Chứng minh d // a và a ⊥ (P). • Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q). • Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P). c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: • Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q). • Chứng minh ·( ) 0( ),( ) 90P Q =

1. Góc

a) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b' ⇒ ¶( ) ·( ), ', 'a b a b=

Chú ý: 00 ≤ ¶( )a b, ≤ 900 b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng: • Nếu d ⊥ (P) thì ·( ),( )d P = 900.

• Nếu ( )d P⊥ thì ·( ),( )d P = ·( ), 'd d với d′ là hình chiếu của d trên (P).

Chú ý: 00 ≤ ·( ),( )d P ≤ 900

c) Góc giữa hai mặt phẳng ·( ) ¶( )( ) ( ),( ) ,( )

a P P Q a bb Q

⊥ ⇒ = ⊥

• Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng ( ),( ),

a P a cb Q b c

⊂ ⊥ ⊂ ⊥

⇒ ·( ) ¶( )( ),( ) ,P Q a b=

Chú ý: ·( )0 00 ( ),( ) 90P Q≤ ≤ d) Diện tích hình chiếu của một đa giác Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H)

trên (Q), ϕ = ·( )( ),( )P Q . Khi đó: S′ = S.cosϕ 2. Khoảng cách a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông

góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng). b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một

điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng. c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì

trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng: • Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. • Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia

và song song với đường thẳng thứ nhất. • Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song

song với đường thẳng kia.

III. GÓC – KHOẢNG CÁCH


Trang 4

1. Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.

• 2 2 2AB AC BC+ = • 2 2AB BC BH AC BC CH. , .= = • 2 2 2

1 1 1AH AB AC

= +

• AB BC C BC B AC C AC B.sin .cos .tan .cot= = = = b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính

đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p. • Định lí hàm số cosin: 2 2 2 2 2 22 22 2 2a =b c 2bc cosA; b c a ca B c a b ab C– . .cos ; .cos+ = + − = + −

• Định lí hàm số sin: RC

cB

bA

a 2sinsinsin

===

• Công thức độ dài trung tuyến:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 4 2 4 2 4a b c

b c a c a b a b cm m m; ;+ + +

= − = − = −

2. Các công thức tính diện tích a) Tam giác:

• cba hchbhaS .21.

21.

21

=== • CabBcaAbcS sin21sin.

21sin

21

===

• R

abcS4

= • prS = • ( )( )( )S p p a p b p c= − − −

• ∆ABC vuông tại A: 2S AB AC BC AH. .= =

• ∆ABC đều, cạnh a: 2 34

aS =

b) Hình vuông: S = a2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: S = đáy × cao = ·AB AD sinBAD. .

e) Hình thoi: · 12

S AB AD sinBAD AC BD. . .= =

f) Hình thang: ( )hbaS .21

+= (a, b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: 12

S AC BD.=

IV. Nhắc lại một số công thức trong Hình học phẳng


Trang 5

1. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V abc= với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. 2. Thể tích của khối chóp:

13 ñaùyV S h.= với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp

3. Thể tích của khối lăng trụ: ñaùyV S h.= với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ 4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích bằng công thức • Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … • Sử dụng công thức để tính thể tích. b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể

tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính. c) Tính thể tích bằng cách bổ sung Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm

vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích. d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích Ta có thể vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B'

trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:

OABC

OA B C

V OA OB OCV OA OB OC' ' '

. .' ' '

=

* Bổ sung • Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên • Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với

diện tích các đáy. Baøi 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa

mặt bên và mặt đáy bằng α (450 < α < 900). Tính thể tích hình chóp.

HD: Tính h = 12

a tanα ⇒ V a31 tan6

= α

Baøi 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a 5 . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C′ và D′. Tính thể tích của khối đa diện ADD′.BCC′.

HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD

⇒ aV

35 36

=

Baøi 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích hình chóp theo x và y.

HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)

CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG


Trang 6

⇒ xy

V x y2 2412

= − −

Baøi 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính thể tích tứ diện theo a, b, c.

HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của

PQ, QR, RP. Chú ý: VAPQR = 4VABCD = 16

AP AQ AR. .

⇒ V a b c b c a c a b2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( )( )( )12

= + − + − + −

Baøi 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.

HD: 22

21625

SAMN

SABC

V SA SM SN SAV SA SB SC SB

. .

= = =

⇒ aV

33 350

=

Baøi 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB = 7 3 cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Baøi 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC = 4cm. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Baøi 8. Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.

a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD). b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Baøi 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có mp(ABC′) tạo với đáy một góc 450 và

diện tích ∆ABC′ bằng 49 6 cm2. Tính thể tích lăng trụ. Baøi 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với

mp(ABCD) và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Trên Bx và Dy lần lượt lấy các điểm M, N và gọi BM = x, DN = y. Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y.

Baøi 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a 2 , SA ⊥ (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC.

a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM. b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Baøi 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC).

Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.


Trang 7

Baøi 1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và ·ASB α= . a) Tính diện tích xung quanh hình chóp.

b) Chứng minh chiều cao của hình chóp bằng 2 12 2a cot α

−

c) Tính thể tích khối chóp.

HD: a) Sxq = 22

a cot α c) V = 3 21 16 2

a cot α−

Baøi 2. Cho hình chóp SABC có 2 mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy. Đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, trung tuyến AD = a. Cạnh bên SB tạo với đáy góc α và tạo với mp(SAD) góc β.

a) Xác định các góc α, β. b) Chứng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2. c) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp. HD: a) · ·SBA BSD;α β= =

c) Stp = 2 2

2 2 2 2

1 2 22

a a sin(sin sin )cos sin cos sin

βα β

α β α β+ +

− −

V = 3

2 23a sin .sin

(cos sin )

α β

α β−

Baøi 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là một điểm di động trên đường thẳng BC.

a) Chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD. b) Tìm tập hợp các hình chiếu của S lên DM. c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM.

HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD c) SK = 2 2

2 27 4 4

2a a ax x

a x

− +

+

Baøi 4. Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a. Gọi B′, D′ là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB′D′) cắt SC tại C′. Tính thể tích khối chóp SAB′C′D′.

HD: 815

SAB C

SABC

VV

′ ′ = ⇒ VSAB′C′D′ = 316

45a

Baøi 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại A′, B′, C′, D′. Chứng minh:

SA SC SB SDSA SC SB SD

+ = +′ ′ ′ ′

HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp Baøi 6. Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SH. a) Chứng minh SA ⊥ BC. b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC.

ÔN TẬP KHỐI ĐA DIỆN


Trang 8

c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

HD: b) V = 3 212

a ; Stp = 2 3a .

Baøi 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy bằng a.

a) Tính thể tích khối chóp. b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và

hình chóp.

HD: a) V = 3 66

a b) S = 2 33

a

Baøi 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là α.

a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo α và h. b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).

HD: a) Sxq = 2

24

1h tan

tan

α

α −; V =

3

24

3 1h

(tan )α −

Baøi 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 ≤ x ≤ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0).

a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc. b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC). c) Tính thể tích khối chóp SABCM. d) Với giả thiết 2 2 2x y a+ = . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích với SABCM. e) I là trung điểm của SC. Tìm quĩ tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên

đoạn AD.

HD: b) d = 22

x c) V = 16

ay x a( )+ d) Vmax = 31 324

a

Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc α và hợp với mặt bên SAB một góc β.

a) Chứng minh: SC2 = 2

2 2a

cos sinα β−.

b) Tính thể tích khối chóp.

HD: b) V = 3

2 23a sin .sin

(cos sin )

α β

α β−

Baøi 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp. b) Hạ AE ⊥ SB, AF ⊥ SD. Chứng minh SC ⊥ (AEF).

Baøi 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD.

Baøi 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ⊥ (ABCD) và SD = a . a) Chứng minh ∆SBC vuông. Tính diện tích ∆SBC. b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).


Trang 9

Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ⊥ (ABCD), SD 3a= . Từ trung điểm E của DC dựng EK ⊥ SC (K ∈ SC). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ⊥ (EBK).

Baøi 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy. a) Tính diện tích tam giác SBD. b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a.

Baøi 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD ⊥ SB và AE ⊥ SC. Biết AB = a, BC = b, SA = c. a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE. b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB).

Baøi 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên BCC′B′ hợp với mặt bên ABB′A′ một góc α.

a) Xác định góc α.

b) Chứng minh thể tích lăng trụ là: 3

33 3

8a sin

sin

α

α.

HD: a) ·C BI′ ′ với I′ là trung điểm của A′B′ Baøi 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′, chiều cao h. Mặt phẳng (A′BD) hợp với

mặt bên ABB′A′ một góc α. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.

HD: V = 3 2 1h tan α − , Sxq = 2 24 1h tan α − .

Baøi 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA′ đến mặt bên BCC′B′ bằng a, mp(ABC′) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc α.

a) Dựng AH ⊥ BC, CK ⊥ AC′. Chứng minh: AH = a, ·CAC′ = α, CK = b. b) Tính thể tích lăng trụ. c) Cho a = b không đổi, còn α thay đổi. Định α để thể tích lăng trụ nhỏ nhất.

HD: b) V = 3

2 2 22

ab

b asin sinα α− c) α = arctan 2

2

Baøi 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A′B′C′D′ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC′ và đáy là 600. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.

HD: V = a3 6 ; Sxq = 4a2 6 Baøi 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 mặt

bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là α. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.

HD: Sxq = 4h2 1 coscos

αα

− .

Baøi 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A′B′C′, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC′) hợp với mp(BCC′B′) một góc α. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC′.

a) Chứng minh ·AJI = α. b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.

HD: b) V = 3

2

3

4 3

a

tan α −; Sxq = 3a2

23

3tan α −.

Baøi 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy là tam giác đều cạnh a, AA′ = A′B = A′C = b.


Trang 10

a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ A′. Chứng minh mặt bên BCC′B′ là hình chữ nhật.

b) Định b theo a để mặt bên ABB′A′ hợp với đáy góc 600. c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm được.

HD: b) b = a 712

c) Stp = 2

7 3 216

a ( )+

Baøi 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên ABB′A′ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên ACC′A′ hợp với đáy góc nhị diện có số đo α (0 < α < 900).

a) Chứng minh: ·A AB′ = α. b) Tính thể tích lăng trụ. c) Xác định thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ. d) Gọi β là góc nhọn mà mp(BCC′B′) hợp với mặt phẳng đáy. Chứng minh: tanβ = 2 tanα.

HD: b) V = 12

a3sinα c) Sxq = a2(1 + sinα + 21 sin α+ )

Baøi 25. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A′ lên mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Cho ·BAA′ = 450.

a) Tính thể tích lăng trụ. b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.

HD: a) V = 2 28

a b) Sxq = a2(1 + 22

).

Baøi 26. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hình chiếu của C′ lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC′ là d và số đo nhị diện cạnh CC′ là 2ϕ.

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′. b) Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (ABB′A′) và (ABC) (0 < α < 900). Tính ϕ biết α + ϕ = 900.

HD: a) V = 3 3

2

2

3 1

d tan

tan

ϕ

ϕ − b) tanα =

2

1

3 1tan ϕ −; ϕ = arctan 2

2

Baøi 27. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Mặt bên ABBA′ là hình thoi, mặt bên BCC′B′ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc α.

a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC′B′). Xác định góc α. b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ .

HD: a) 32

a . Gọi AK là đường cao của ∆ABC; vẽ KH ⊥ BB′. ·AHK = α.

b) V = 33

2a cotα .

Baøi 28. Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo ACC′A′, BDD′B′ là S1, S2.

a) Tính diện tích xung quanh hình hộp. b) Biết ·BA D′ = 1v. Tính thể tích khối hộp.


Trang 11

HD: a) Sxq = 2 2 2

1 2S S+ b) V = 1 22 242 1

22

S S

S S.

−

Baøi 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, đường chéo AC′ = d hợp với đáy ABCD một góc α và hợp với mặt bên BCC′B′ một góc β.

a) Chứng minh: · ·CAC vaø AC Bα β′ ′= = .

b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sinα.sinβ cos( ).cos( )α β α β+ − c) Tìm hệ thức giữa α, β để A′D′CB là hình vuông. Cho d không đổi, α và β thay đổi mà

A′D′CB luôn là hình vuông, định α, β để V lớn nhất.

HD: c) 2(cos2α – sin2β) = 1 ; Vmax = 3 232

d khi α = β = 300 (dùng Côsi).

Baøi 30. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, µA = 600. Chân đường vuông góc hà từ B′ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của đáy. Cho BB′ = a.

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy. b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.

HD: a) 600 b) V = 33

4a ; Sxq = a2 15 .

Baøi 31. Cho hình hộp xiên ABCD.A′B′C′D′, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ·BAD = 600; A′A = A′B = A′D và cạnh bên hợp với đáy góc α.

a) Xác định chân đường cao của hình hộp vẽ từ A′ và góc α. Tính thể tích hình hộp. b) Tính diện tích các tứ giác ACC′A′, BDD′B′.

c) Đặt β = ·( )ABB A ABCD,′ ′ . Tính α biết α + β = 4π .

HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD.

b) SBDD′B′ = 2 3

3asinα

; SACC′A′ = a2tanα c) α = arctan 17 34

−

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. [email protected]

mailto:[email protected]

Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng

Trang 12

I. Mặt cầu – Khối cầu: 1. Định nghĩa • Mặt cầu: { }S O R M OM R( ; ) = = • Khối cầu: { }V O R M OM R( ; ) = ≤ 2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)). • Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và

bán kính 2 2r R d= − . • Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S)) • Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung. Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính

bằng R đgl đường tròn lớn. 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆. Gọi d = d(O; ∆). • Nếu d < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt. • Nếu d = R thì ∆ tiếp xúc với (S). (∆ đgl tiếp tuyến của (S)). • Nếu d > R thì ∆ và (S) không có điểm chung. 4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều

nằm trên mặt cầu Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu

Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu

Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ

Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón

Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón

5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện • Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì

tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó. • Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. – Xác định trục ∆ của đáy (∆ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm

đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy). – Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên. – Giao điểm của (P) và ∆ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. II. Diện tích – Thể tích

Cầu Trụ Nón

Diện tích 24S Rπ= 2xqS Rhπ=

2tp xq ñaùyS S S= + xqS Rlπ=

tp xq ñaùyS S S= +

Thể tích 343

V Rπ= 2V R hπ= 213

V R hπ=

CHƯƠNG II KHỐI TRÒN XOAY

Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay

Trang 13

VẤN ĐỀ 1: Mặt cầu – Khối cầu Baøi 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và )(ABCSA ⊥ .

a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A,

B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính 2

SCR = .

b) Cho SA = BC = a và 2aAB = . Tính bán kính mặt cầu nói trên. Baøi 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngồi d. Một góc xAy di

động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.

b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3, · 00BAC 6= . Baøi 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, )(ABCDSA ⊥ và

3aSA = . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC. a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB. b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.

Baøi 4. Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết 3aCD = . a) Tính AB. b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.

Baøi 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 600. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường trung trực của cạnh SA, cắt SO tại K. a) Tính SO, SA. b) Chứng minh SMK SOA∆ ∆∼ ( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS. c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC. d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Baøi 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp. a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.

b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng 3RIS =

Baøi 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.

Baøi 8. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.

Baøi 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.

Baøi 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R = 5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính


Trang 14

khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác. Baøi 11. Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Baøi 12. Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và

đáy bằng 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Baøi 13. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và đường cao h. Gọi O là tâm của

ABCD và H là trung điểm của BC. Đường phân giác trong của góc SHO cắt SO tại I. Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Tính bán kính mặt cầu này.

Baøi 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC. a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu. b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

Baøi 15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 7a và SA ⊥ (ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

VẤN ĐỀ 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ Baøi 1. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên

đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện OO′AB bằng 8 cm3. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.

Baøi 2. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO′ hợp với mặt phẳng đáy một góc 060 . Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.

Baøi 3. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB.

Baøi 4. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 300. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.

Baøi 5. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm. Một thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện.

Baøi 6. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO′ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai

đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi ( )2 24h a h R> < + . a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi. b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.

Baøi 7. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên. b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó.


Trang 15

Baøi 8. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.

Baøi 9. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng 3R ; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.

Baøi 10. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy (O, R) và (O′, R) sao cho OA và O′B hợp với nhau một góc bằng x và và hai đường thẳng AB, O′O hợp với nhau một góc bằng y. a) Tính bán kính R theo h, x, y. b) Tính Sxq, Stp và thể tích V của hình trụ theo h, x, y.

Baøi 11. Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a. OA và OB’ là hai bán kính của hai đường tròn đáy (O), (O’) sao cho góc của OA và OB’ bằng 300. a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’. b) Tính tang của góc giữa AB’ và OO’. c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’.

Baøi 12. Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính R và có đường cao 2Rh = . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn

tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B. a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ.

b) Gọi ( )α là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và mặt phẳng ( )α .

c) Chứng minh rằng ( )α là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng 2

2R .

VẤN ĐỀ 3: Mặt nón – Hình nón – Khối nón

Baøi 1. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a.

Biết rằng O′ là tâm của A′B′C′D′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ và đáy (C).

Baøi 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a. Biết rằng O′ là tâm của A′B′C′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ và đáy (C).

Baøi 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 060 . Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy (C).

Baøi 4. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 300 và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành. b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay tạo thành.


Trang 16

Baøi 5. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này.

Baøi 6. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và · 00SAO 3 = , · 00SAB=6 . Tính độ dài đường sinh của hình nón theo a.

Baøi 7. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

Baøi 8. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’.

Baøi 9. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình và thể tích của khối nón.

Baøi 10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và mặt đáy là α . Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC, Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và α .

Baøi 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và ·SAB α= (α > 450). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Baøi 12. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1 và góc giữa đường sinh và đáy là α . a) Tình diện tích xung quanh và thể tích của khối nón.

b) Gọi I là điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho ( )10 <<= kkSOSI . Tính diện

tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục.


Trang 17

Baøi 1. Cho một tứ diện đều có cạnh là a. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng. Baøi 2. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc

060 . a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng. Baøi 3. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là α. a) Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp. b) Tính giá trị của tanα để các mặt cầu này có tâm trùng nhau. Baøi 4. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD)

và (BCD) vuông góc với nhau. a) Chứng minh tam giác ACD vuông. b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Baøi 5. Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS′. Một mặt phẳng vuông góc với

SS′ cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn này. Đặt SH = x (0 < x < 2R). a) Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R, x. b) Xác định x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh rằng các đường thẳng S′A, S′B, S′C đôi một vuông góc với nhau.

Baøi 6. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R. a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính diện tích của mặt cầu đó. b) Co SA = 3a . Tính diện tích của tứ giác APQR.

Baøi 7. Cho một đoạn thẳng IJ có chiều dài c. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại I ta lấy hai điểm A, A′ đối xứng qua I và IA = IA′ = a. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại J và không song song với AA′ ta lấy hai điểm B, B′ đối xứng qua J và JB = JB′ = b. a) Chứng minh rằng tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA′B′B nằm trên đường thẳng IJ. b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA′B′B theo a, b, c.

Baøi 8. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và · 090BDC = . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Baøi 9. Cho hình cầu bán kính R. Từ một điểm S bất kỳ trên mặt cầu, dựng ba cát tuyến bằng nhau, cắt mặt cầu tại A, B, C sao cho: · · ·ASB ASC =BSC α= = . Tính thể tích V của tứ diện SABC theo R và α .

Baøi 10. Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a) · 090BAC = b) · 060BAC = , b = c c) · 0120BAC = , b = c. Baøi 11. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định

tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.

ÔN TẬP KHỐI TRÒN XOAY


Trang 18

Baøi 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính Sxq và Stp của hình trụ. b) Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho. Baøi 13. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao 3R . A và B là 2 điểm trên 2 đường

tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 030 . a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của hình trụ. b) Tính Sxq và Stp của hình trụ. c) Tính thể tích khối trụ tương ứng. Baøi 14. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh

liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng chứa hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc

045 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó. Baøi 15. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông

bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b) Tính thể tích khối nón tương ứng. Baøi 16. Cho hình nón có đường cao SO = h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên đoạn OS,

đặt OM = x (0 < x < h). a) Tính diện tích thiết diện (C) vuông góc với trục tại M. b) Tính thể tích V của khối nón đỉnh O và đáy (C) theo R, h và x. Xác định x sao cho V

đạt giá trị lớn nhất. Baøi 17. Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h và đường sinh bằng đường kính đáy. Một

hình cầu có tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc với đáy hình nón. a) Xác định giao tuyến của mặt nón và mặt cầu. b) Tính diện tích của phần mặt nón nằm trong mặt cầu. c) Tính S mặt cầu và so sánh với diện tích toàn phần của mặt nón. Baøi 18. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD nội

tiếp, cạnh bằng a. Biết rằng · 0 02 0 45ASB , ( )α α= < < . Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón.

Baøi 19. Cho hình nón có bán kính đáy bằng R và góc ở đỉnh là 2α . Trong hình nón có một hình trụ nội tiếp. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, biết rằng thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông.

Baøi 20. Cho hình nón có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là α . Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón một khoảng h, cắt hình nón theo đường tròn (C). Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h và α .


Trang 19

Baøi 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và

SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt ·ACM = α , hạ SH vuông góc với đường thẳng CM.

a) Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC. b) Hạ AI ⊥ SC, AK ⊥ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI.

HD: a) Quĩ tích điểm H là một cung tròn. MaxVSAHC=3

12a

b) AK =21

asin

sin

α

α+,

SK =

21

a

sin α+, V =

3

22

24 1a sin( sin )

α

α+

Baøi 2. Cho ∆ABC cân tại A có AB = AC = a và góc ·BAC 2= α . Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Hạ AH ⊥ SI.

a) Chứng minh AH ⊥ (SBC). Tính độ dài AH theo a, α.

b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt AKx

AI= . Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc

với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác này.

HD: a) AH = 2

2

4

a.cos

cos

α

α + b) SMNPQ = 24 1a x x a( – )sin .

Baøi 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x

20 < x < 2

và AC = AD = BC = BD = 1.

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. a) Chứng minh AB ⊥ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn

nhất đó.

HD: b) V = 2 22 1 2

3x x− ; MaxV = 2

9 3 khi x = 3

3

Baøi 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O. Trên các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.

a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuông tại O là: 22xy a= .

b) Giả sử M, N thay đổi sao cho OMN vuông tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác

định x, y để thể tích tứ diện này bằng 3a

4.

HD: a) MN = 2 22a x y( )+ − b) V = 3

6a

x y( )+ , (x, y) = 2a

a;

hoặc 2a

a;

.

Baøi 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S. Gọi

ÔN TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN


Trang 20

α là góc nhọn tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp SABCD. a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABCD theo a và α. b) Xác định đường vuông góc chung của SA và CD. Tính độ dài đường vuông góc chung

đó theo a và α.

HD: a) V = 3

6a tanα , Stp = 2 11a

cosα

+

b) d = a tancos

αα

Baøi 6. Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R lấy một điểm C tùy ý. Dựng CH vuông góc với AB (H thuộc đoạn AB) và gọi I là trung điểm của CH. Trên nửa đường thẳng It vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I lấy điểm S sao cho góc ·ASB = 90o.

a) Chứng minh tam giác SHC là tam giác đều. b) Đặt AH = h. Tính thể tích V của tứ diện SABC theo h và R.

HD: b) V = ( )32

Rh 2R h–

Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua trung điểm I của cạnh AB và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm E sao cho IE = a. M là điểm thay đổi trên cạnh AB, hạ EH ⊥ CM. Đặt BM = x.

a) Chứng minh điểm H di động trên một đường tròn. Tính độ dài IH. b) Gọi J là trung điểm của đoạn CE. Tính độ dài JM và tìm giá trị nhỏ nhất của JM.

HD: a) IH = 2 2

2

4

a x a

a x

−

+ b) JM =

2 252 4a ax

− +

MinJM = 5

2a

khi x = 2a

Baøi 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' và điểm M trên cạnh AD. Mặt phẳng (A'BM) cắt đường chéo AC' của hình hộp tại điểm H.

a) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh AD thì đường thẳng MH cắt đường thẳng A'B tại một điểm cố định.

b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện tạo bởi mặt phẳng A'BM cắt hình hộp trong trường hợp M là trung điểm của cạnh AD.

c) Giả sử AA' = AB và MB vuông góc với AC. Chứng minh rằng mặt phẳng A'BM vuông góc với AC' và điểm H là trực tâm của tam giác A'BM.

HD: a) MH cắt A′B tại trung điểm I của A′B. b) 1

2

111

VV

=

Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. I là trung điểm AB. Qua I dựng đường vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và trên đó lấy điểm S sao cho 2IS = a 3 .

a) Chứng minh rằng tam giác SAD là tam giác vuông. b) Tính thể tích khối chóp S.ACD rồi suy ra khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD).

HD: b) V = 3

312a

, d = 32

a

Baøi 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a. a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.

b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỷ số 3AMMD

= . Hãy tính khoảng cách từ điểm

M đến mặt phẳng (AB’C). c) Tính thể tích tứ diện AB’D’C.

HD: a) d(AD′, B′C) = a b) d(M, (AB′C)) = 2a c) V =

323a

Baøi 11. Trong mặt phẳng (P), cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất


Trang 21

kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a. b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M ∈ CB, N ∈ CD) và đặt

CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một góc 45°.

HD: a) V = 3a 6π b) ( ) 022a 2 m n a mn– + + =

Baøi 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD⊥ và

2SA a= .Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc · α=ACM . Hạ SN CM⊥ . a) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo

a và α . b) Hạ AH SC⊥ , AK SN⊥ . Chứng minh rằng ( )SC AHK⊥ và tính độ dài đoạn HK.

HD: a) N thuộc đường tròn đường kính AC cố định, V = 3 2 26

a sin α

b) HK = cos21 sin

α

α+

a

Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc. Đặt SA = a, SB = b, SC = c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c. b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N.

i) Chứng minh rằng 3AB ACAM AN

+ = .

ii) Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C có tâm O thuộc mặt phẳng (P). Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c khi mặt phẳng (P) song song với BC

HD: a) SG = 1 2 2 23

+ +a b c b) V = 19

abc

Baøi 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc · 60= °SCB .

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD. b) Gọi (α ) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích

thiết diện tạo bởi (α ) và hình chóp S.ABCD.

HD: a) d(BC, SD) = 63

a b) S = 2 64

a

Baøi 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x (0 ≤ x ≤ a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0).

a) Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SBC). b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC). c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x. d) Biết rằng x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.

HD: b) d(M, (SAC)) = 22

x c) V = 1 ( )6

ya a x+

d) MaxV = 3 38

a khi x = 2a

Baøi 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; · 030ABC = ; SBC là tam


Trang 22

giác đều cạnh a. Mặt bên SAB vuông góc với đáy ABC. M là trung điểm SB. a) Chứng minh AM là đoạn vuông góc chung của SB và AC. Tính cosin góc giữa 2 mặt

phẳng (SAC) và (ABC). b) Tính thể tích của hình chóp S.ABC.

HD: a) · 13

SABcos = b) V = 3 224

a

Baøi 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc µ 0120A = , BD = a > 0. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng (P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp.

HD: 1

2

112

VV

=

Baøi 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ = 2

3a và góc

· 060BAD = . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

HD: V = 33

16a

Baøi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o. Trên cạnh SA lấy

điểm M sao cho AM = 3

3a . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích

khối chóp S.BCNM .

HD: V = 27

310 3a

Baøi 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc · 060BAD = , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.

HD: V = 18

33a



Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian

Trang 23

1. Định nghĩa và các phép toán • Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn

tương tự như trong mặt phẳng. • Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC+ =

uuur uuur uuur

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC+ =uuur uuur uuur

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: AB AD AA AC' '+ + =

uuur uuur uuur uuuur

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. Ta có: 0IA IB+ =

uur uur r; 2OA OB OI+ =

uuur uuur uur

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có: 0 3GA GB GC OA OB OC OG;+ + = + + =

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurr

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có: 0 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG;+ + + = + + + =

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurr

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: 0a vaø b cuøng phöông a k R b ka( ) ! :≠ ⇔ ∃ ∈ =rr rr r r

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý.

Ta có: 1

OA kOBMA kMB OM

k; −

= =−

uuur uuuruuur uuur uuur

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ • Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b c, ,

rr r , trong đó a vaø brr không cùng

phương. Khi đó: a b c, ,rr r đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c ma nb= +

rr r • Cho ba vectơ a b c, ,

rr r không đồng phẳng, xr tuỳ ý. Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x ma nb pc= + +

rr r r 3. Tích vô hướng của hai vectơ • Góc giữa hai vectơ trong không gian: · ·0 00 180AB u AC v u v BAC BAC, ( , ) ( )= = ⇒ = ≤ ≤

uuur uuurr r r r • Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho 0u v, ≠

rr r . Khi đó: u v u v u v. . .cos( , )=r r r r r r + Với 0 0u hoaëc v= =

r rr r . Qui ước: 0u v. =r r

+ 0u v u v.⊥ ⇔ =r r r r

+ 2u u=r r

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng

Trang 24

1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi

i j k, ,r r r

là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

Chú ý: 2 2 2

1i j k= = =r r r

và 0i j i k k j. . .= = =r r r r r r

. 2. Tọa độ của vectơ: a) Định nghĩa: ( )u x y z u xi y j zk; ;= ⇔ = + +

r r r r r

b) Tính chất: Cho 1 2 3 1 2 3a a a a b b b b k R( ; ; ), ( ; ; ),= = ∈r r

• 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b( ; ; )± = ± ± ±rr

• 1 2 3ka ka ka ka( ; ; )=r

• 1 1

2 2

3 3

a ba b a b

a b

== ⇔ = =

r r

• 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1i j k( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )= = = =r rr r

• ar

cùng phương 0b b( )≠r rr

⇔ a kb k R( )= ∈r r

1 1

31 22 2 1 2 3

1 2 33 3

0a kb aa aa kb b b b

b b ba kb, ( , , )

=⇔ = ⇔ = = ≠ =

• 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b. . . .= + +rr • 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b⊥ ⇔ + + =

r r

• 2 2 2 21 2 3a a a a= + +

r • 2 2 21 2 2a a a a= + +

r

• 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

a b a b a ba ba b

a b a a a b b b

.cos( , )

. .

+ += =

+ + + +

rrrr rr (với 0a b, ≠rrr )

3. Tọa độ của điểm: a) Định nghĩa: M x y z OM x y z( ; ; ) ( ; ; )⇔ =

uuur (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0 • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 b) Tính chất: Cho A A A B B BA x y z B x y z( ; ; ), ( ; ; )

• B A B A B AAB x x y y z z( ; ; )= − − −uuur

• 2 2 2B A B A B AAB x x y y z z( ) ( ) ( )= − + − + −

• Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): 1 1 1

A B A B A Bx kx y ky z kzM

k k k; ;

− − −

− − −

• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 2 2 2

A B A B A Bx x y y z zM ; ;

+ + +

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

3 3 3

A B C A B C A B Cx x x y y y z z zG ; ;

+ + + + + +

• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN


Trang 25

4 4 4A B C D A B C D A B C Cx x x x y y y y z z z z

G ; ; + + + + + + + + +

4. Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao) a) Định nghĩa: Cho 1 2 3a a a a( , , )=

r, 1 2 3b b b b( , , )=

r.

[ ] ( )2 3 3 1 1 22 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a a a a a aa b a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b, ; ; ; ;

= ∧ = = − − −

r rr r

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất: • [ ]i j k j k i k i j, ; , ; , = = =

r r rr r r r r r • a b a a b b[ , ] ; [ , ]⊥ ⊥

r r r r r r

• ( )a b a b a b[ , ] . .sin ,=r r r rr r • a b,

r r cùng phương 0a b[ , ]⇔ =

r r r

c) Ứng dụng của tích có hướng: • Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b,

r r và c

r đồng phẳng ⇔ 0a b c[ , ]. =

r r r

• Diện tích hình bình hành ABCD: ABCDS AB AD, = Y

uuur uuur

• Diện tích tam giác ABC: 12ABCS AB AC,∆

= uuur uuur

• Thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′: ABCD A B C DV AB AD AA. ' ' ' ' [ , ]. '=uuur uuur uuur

• Thể tích tứ diện ABCD: 16ABCDV AB AC AD[ , ].=

uuur uuur uuur

Chú ý: – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc,

tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối

tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

[ ][ ]

00

0

a b a ba vaø b cuøng phöông a ba b c ñoàng phaúng a b c

.,

, , , .

⊥ ⇔ =⇔ =⇔ =

r rr rrr rr r

r rr r r r

5. Phương trình mặt cầu: • Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: 2 2 2 2x a y b z c R( ) ( ) ( )− + − + − =

• Phương trình 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + = với 2 2 2 0a b c d+ + − > là phương trình

mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = 2 2 2a b c d+ + − .


Trang 26

VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. Baøi 1. Viết tọa độ của các vectơ sau đây: 2a i j= − +

r rr ; 7 8b i k= −r rr

; 9c k= −rr ; 3 4 5d i j k= − +

r rr r

Baøi 2. Viết dưới dạng xi yj zk+ +rr r

mỗi vectơ sau đây:

10 22

a ; ;

=

r ; 4 5 0b ( ; ; )= −r

; 4 103 3

c ; ;

=

r ; 1 13 5

d ; ;π

=

r

Baøi 3. Cho: ( ) ( ) ( )2 5 3 0 2 1 1 7 2a b c; ; ; ; ; ;, ,− −= = =rr r . Tìm toạ độ của các vectơ ur với:

a) 14 32

u a b c= − +rr r r b) 4 2u a b c= − −

rr r r c) 243

u b c= − +rr r

d) 3 5u a b c= − +rr r r e) 1 4 2

2 3u a b c= − −

rr r r f) 3 24 3

u a b c= − −rr r r

Baøi 4. Tìm tọa độ của vectơ xr , biết rằng: a) 0a x+ =

rr r với ( )1 2 1a ; ;= −r b) 4a x a+ =

r r r với ( )0 2 1a ; ;= −r

c) 2a x b+ =rr r với ( )5 4 1a ; ;= −

r , ( )2 5 3b ; ;= −r

Baøi 5. Cho 1 3 4a ( ; ; )= −r .

a) Tìm y và z để 2b y z( ; ; )=r

cùng phương với ar . b) Tìm toạ độ của vectơ cr , biết rằng a vaø cr r ngược hướng và 2c a=r r .

Baøi 6. Cho ba vectơ ( ) ( ) ( )1 1 1 4 0 1 3 2 1a b c; ; , ; ; , ; ;= − = − = −rr r . Tìm:

a) ( )a b c.rr r b) ( )2a b c.

rr r c) 2 2 2a b b c c a+ +r rr r r r

d) ( ) 23 2a a b b c b.− +r r rr r r e) 2 24 5a c b c. + −

rr r r Baøi 7. Tính góc giữa hai vectơ ar và b

r:

a) ( ) ( )4 3 1 1 2 3a b; ; , ; ;= = −rr b) ( ) ( )2 5 4 6 0 3a b; ; , ; ;= = −

rr

c) 2 1 2 0 2 2a b( ; ; ), ( ; ; )= − = −rr d) 3 2 2 3 3 2 3 1a b( ; ; ), ( ; ; )= = −

rr

e) 4 2 4 2 2 2 2 0a b( ; ; ), ( ; ; )= − = −rr f) 3 2 1 2 1 1a b( ; ; ), ( ; ; )= − = −

rr Baøi 8. Tìm vectơ ur , biết rằng:

a) 2 1 3 1 3 2 3 2 45 11 20

a b ca u u b u c

( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ). , . , .

= − = − = − = − = − =

rr rrr r r r r b) 2 3 1 1 2 3 2 1 1

6a b cu a u b u c

( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), , .

= − = − = − ⊥ ⊥ = −

rr rrr r r r r

c) 2 3 1 1 2 1 2 4 33 4 2

a b ca u b u c u

( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ). , . , .

= = − − = − = = =

rr rrr r r r r d) 5 3 2 1 4 3 3 2 4

16 9 4a b ca u b u c u

( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ). , . , .

= − = − = − = = = −

rr rrr r r r r

e) 7 2 3 4 3 5 1 1 15 7

a b ca u b u c u

( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ). , . ,

= = − = − = − = − ⊥

rr rrr r r r r

Baøi 9. Cho hai vectơ a b,rr . Tìm m để:

a) 2 1 2 0 2 22 3

a bu a mb vaø v ma b vuoâng goùc

( ; ; ), ( ; ; ) = − = −= + = −

rrr rr r r r b) 3 2 1 2 1 1

3 3 2a bu ma b vaø v a mb vuoâng goùc

( ; ; ), ( ; ; ) = − = − = − = +

rrr rr r r r

c) 3 2 1 2 1 13 3 2

a bu ma b vaø v a mb cuøng phöông

( ; ; ), ( ; ; ) = − = − = − = +

rrr rr r r r

Baøi 10. Cho hai vectơ a b,rr . Tính X, Y khi biết:


Trang 27

a) 4 6a b a b

X a b, , = = ⊥

= −

r rr rrr b) 2 1 2 6 4a b a b

Y a b( ; ; ), , = − − = − =

= +

r rr rrr

c) ( ) 04 6 120a b a bX a b Y a b

, , ,,

= = =

= − = +

r rr rr rr r d) ( ) 02 1 2 6 60a b a b

X a b Y a b( ; ; ), , ,

, = − − = =

= − = +

r rr rr rr r

Baøi 11. Cho ba vectơ a b c, ,rr r . Tìm m, n để [ ]c a b,=

rr r : a) ( ) ( ) ( )3 1 2 1 2 5 1 7a b m c; ; , ; ; , ; ;= − − = =

rr r b) ( ) ( ) ( )6 2 5 3 6 33 10a m b n c; ; , ; ; , ; ;= − = − =

rr r c) ( ) ( ) ( )2 3 1 5 6 4 1a b c m n; ; , ; ; , ; ;= = =

rr r Baøi 12. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a b c, ,

rr r trong mỗi trường hợp sau đây: a) ( ) ( ) ( )1 1 1 0 1 2 4 2 3a b c; ; , ; ; , ; ;= − = =

rr r b) ( ) ( ) ( )4 3 4 2 1 2 1 2 1a b c; ; , ; ; , ; ;= = − =rr r

c) ( ) ( ) ( )3 1 2 1 1 1 2 2 1a b c; ; , ; ; , ; ;= − − = = −rr r d) ( ) ( ) ( )4 2 5 3 1 3 2 0 1a b c; ; , ; ; , ; ;= = =

rr r e) 2 3 1 1 2 0 3 2 4a b c( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )= = − = −

rr r f) 5 4 8 2 3 0 1 7 7a b c( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )= − = − = −rr r

g) 2 4 3 1 2 2 3 2 1a b c( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )= − = − = −rr r h) 2 4 3 1 3 2 3 2 1a b c( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )= − = − − = −

rr r Baøi 13. Tìm m để 3 vectơ a b c, ,

rr r đồng phẳng: a) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 0 2 2a m b m c m; ; , ; ; , ; ;= = + = −

rr r b) 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2a m m b m m c m m( ; ; ); ( ; ; ), ( ; ; )= + − = + + = +

rr r c) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2a m m m b m m m c; ; , ; ; , ; ;= + − = − + =

rr r d) ( ) ( ) ( )1 3 2 1 2 1 0 2 2a b m m m c m; ; , ; ; , ; ;= − = + − − = −

rr r Baøi 14. Cho các vectơ a b c u, , ,

rr r r . Chứng minh ba vectơ a b c, ,rr r không đồng phẳng. Biểu diễn vectơ

ur theo các vectơ a b c, ,rr r :

a) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 1 2 2 2 13 7 7

a b cu

; ; , ; ; , ; ;( ; ; )

= = − = − = −

rr rr b) ( ) ( ) ( )1 7 9 3 6 1 1 7

4 13 6a b c 2u

; ; , ; ; , ; ;( ; ; )

= − = − = − = − −

rr rr

c) ( ) ( ) ( )1 0 1 0 1 1 1 1 08 9 1

a b cu

; ; , ; ; , ; ;( ; ; )

= = − = = −

rr rr d) ( ) ( ) ( )1 0 2 2 3 0 0 3 4

1 6 22a b cu

; ; , ; ; , ; ;( ; ; )

= = − = − = − −

rr rr

e) ( ) ( ) ( )2 3 1 1 2 5 2 2 63 1 2

a b cu

; ; , ; ; , ; ;( ; ; )

= − = − = − =

rr rr f) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 3 2 3 2 2

4 3 5a b cu

; ; , ; ; , ; ;( ; ; )

= − = − = − − = −

rr rr

Baøi 15. Chứng tỏ bốn vectơ a b c d, , ,r rr r đồng phẳng:

a) ( ) ( ) ( )2 6 1 4 3 2 4 2 2 2 11 1a b c d; ; , ; ; , ; ; , ( ; ; )= − − = − − = − − = − −r rr r

b) ( ) ( ) ( )2 6 1 2 1 1 4 3 2 2 11 1a b c d; ; , ; ; , ; ; , ( ; ; )= − = − = − = −r rr r

Baøi 16. Cho ba vectơ a b c, ,rr r không đồng phẳng và vectơ d

r. Chứng minh bộ ba vectơ sau không

đồng phẳng: a) b c d ma nb, , = +

r r rr r (với m, n ≠ 0) b) a c d ma nb, , = +r rr r r (với m, n ≠ 0)

c) a b d ma nb pc, , = + +r r rr r r , (với m, n, p ≠ 0) d) b c d ma nb pc, , = + +

r r rr r r , (với m, n, p ≠ 0) e) a c d ma nb pc, , = + +

r rr r r r , (với m, n, p ≠ 0)


Trang 28

VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích.

– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. – Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt. – Tính chất hình học của các điểm đặc biệt: • A, B, C thẳng hàng ⇔ AB AC,

uuur uuur cùng phương ⇔ AB k AC=

uuur uuur ⇔ 0AB AC, =

uuur uuur r

• ABCD là hình bình hành ⇔ AB DC=uuur uuur

• Cho ∆ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngồi của góc A của ∆ABC

trên BC. Ta có: ABEB EC

AC.= −

uuur uuur, AB

FB FCAC

.=uuur uuur

• A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB AC AD, ,uuur uuur uuur

không đồng phẳng ⇔ 0AB AC AD, . ≠ uuur uuur uuur

Baøi 1. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M: • Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz • Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a) 1 2 3M( ; ; ) b) 3 1 2M( ; ; )− c) 1 1 3M( ; ; )− − d) 1 2 1M( ; ; )− e) 2 5 7M( ; ; )− f) 22 15 7M( ; ; )− g) 11 9 10M( ; ; )− h) 3 6 7M( ; ; ) Baøi 2. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M′ đối xứng với điểm M: • Qua gốc toạ độ • Qua mp(Oxy) • Qua trục Oy a) 1 2 3M( ; ; ) b) 3 1 2M( ; ; )− c) 1 1 3M( ; ; )− − d) 1 2 1M( ; ; )− e) 2 5 7M( ; ; )− f) 22 15 7M( ; ; )− g) 11 9 10M( ; ; )− h) 3 6 7M( ; ; ) Baøi 3. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau: a) 1 3 1 0 1 2 0 0 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) b) 1 1 1 4 3 1 9 5 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − c) 10 9 12 20 3 4 50 3 4A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − d) 1 5 10 5 7 8 2 2 7A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − Baøi 4. Cho ba điểm A, B, C. • Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. • Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC. • Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. • Xác định toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngồi của góc A của ∆ABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó. • Tính số đo các góc trong ∆ABC. • Tính diện tích ∆ABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ∆ABC. a) 1 2 3 0 3 7 12 5 0A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− b) 0 13 21 11 23 17 1 0 19A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− c) 3 4 7 5 3 2 1 2 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − d) 4 2 3 2 1 1 3 8 7A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − e) 3 1 2 1 2 1 1 1 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − f) 4 1 4 0 7 4 3 1 2A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − g) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 0 1 2 1 1A B C; ; , ; ; , ; ; h) 1 2 6 2 5 1 1 8 4A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − Baøi 5. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm:

a) 3 1 0A( ; ; ) , 2 4 1B( ; ; )− b) 1 2 1 11 0 7A B( ; ; ), ( ; ; )− c) 4 1 4 0 7 4A B( ; ; ), ( ; ; )− d) 3 1 2 1 2 1A B( ; ; ), ( ; ; )− − e) 3 4 7 5 3 2A B( ; ; ), ( ; ; )− − − f) 4 2 3 2 1 1A B( ; ; ), ( ; ; )− −

Baøi 6. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm: a) 1 1 1 1 1 0 3 1 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − b) 3 2 4 0 0 7 5 3 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − c) 3 1 2 1 2 1 1 1 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − d) 0 13 21 11 23 17 1 0 19A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− e) 1 0 2 2 1 1 1 3 2A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − f) 1 2 6 2 5 1 1 8 4A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −

Baøi 7. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M. • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? • Tìm tọa độ điểm M.


Trang 29

a) ( ) ( )2 1 7 4 5 2A B; ; , ; ;− − b) 4 3 2 2 1 1A B( ; ; ), ( ; ; )− − c) 10 9 12 20 3 4A B( ; ; ), ( ; ; )− d) 3 1 2 1 2 1A B( ; ; ), ( ; ; )− − e) 3 4 7 5 3 2A B( ; ; ), ( ; ; )− − − f) 4 2 3 2 1 1A B( ; ; ), ( ; ; )− −

Baøi 8. Cho bốn điểm A, B, C, D. • Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. • Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. • Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD. • Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. • Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A.

a) 2 5 3 1 0 0 3 0 2 3 1 2A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − b) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ;− − c) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 2 1 1 0 2 1 1 1A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; d) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 0 0 4 0 0 0 6 2 4 6A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; e) 2 3 1 4 1 2 6 3 7 5 4 8A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − f) 5 7 2 3 1 1 9 4 4 1 5 0A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − g) 2 4 1 1 0 1 1 4 2 1 2 1A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − h) 3 2 4 2 5 2 1 2 2 4 2 3A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − i) 3 4 8 1 2 1 5 2 6 7 4 3A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − k) 3 2 6 2 4 4 9 9 1 0 0 1A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − −

Baøi 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. • Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. • Tính thể tích khối hộp. a) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2 1 2 1 1 1 4 5 5A B D C; ; , ; ; , ; ; , ' ; ;− − b) 2 5 3 1 0 0 3 0 2 3 1 2A B C A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )− − − −

c) 0 2 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0A B D A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ;), '( ; ; )− − d) 0 2 2 0 1 2 1 1 1 1 2 1A B C C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )− − − Baøi 10. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB). b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều. c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH. Baøi 11. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4). a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB). b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều. c) Vẽ SH ⊥ (ABC). Gọi S′ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh S′ABC là tứ diện đều. Baøi 12. Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp.

a) Phân tích các vectơ OI AG,uur uuur

theo các vectơ OA OC OD, ,uuur uuur uuur

.

b) Phân tích vectơ BIuur

theo các vectơ FE FG FI, ,uuur uuur uur

. Baøi 13. Cho hình lập phương ABCD.EFGH.

a) Phân tích vectơ AEuuur

theo các vectơ AC AF AH, ,uuur uuur uuur

.

b) Phân tích vectơ AGuuur

theo các vectơ AC AF AH, ,uuur uuur uuur

. Baøi 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB′. Chứng

minh rằng MN ⊥ A′C. Baøi 15. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB′, CD, A′D′ lần

lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B′M = CN = D′P = x (0 < x < 1). Chứng minh AC′ vuông góc với mặt phẳng (MNP).


Trang 30

VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu. Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: (S): 2 2 2 2x a y b z c R( ) ( ) ( )− + − + − = Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A: Khi đó bán kính R = IA. Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:

– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: 2 2 2

A B A B A BI I I

x x y y z zx y z; ;

+ + += = = .

– Bán kính R = IA = 2

AB .

Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + = (*). – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình. – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S). Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự như dạng 4. Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác định tâm J và bán kính R′ của mặt cầu (T). – Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S). (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngồi) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + = với 2 2 2 0a b c d+ + − >

thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = 2 2 2a b c d+ + − . Baøi 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a) 2 2 2 8 2 1 0x y z x y+ + − + + = b) 2 2 2 4 8 2 4 0x y z x y z+ + + + − − =

c) 2 2 2 2 4 4 0x y z x y z+ + − − + = d) 2 2 2 6 4 2 86 0x y z x y z+ + − + − − =

e) 2 2 2 12 4 6 24 0x y z x y z+ + − + − + = f) 2 2 2 6 12 12 72 0x y z x y z+ + − − + + =

g) 2 2 2 8 4 2 4 0x y z x y z+ + − + + − = h) 2 2 2 3 4 0x y z x y+ + − + =

i) 2 2 23 3 3 6 3 15 2 0x y z x y z+ + + − + − = k) 2 2 2 6 2 2 10 0x y z x y z+ + − + − + = Baøi 2. Xác định m, t, α, … để phương trình sau xác định một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của

các mặt cầu đó: a) 2 2 2 22 2 4 2 5 9 0x y z m x my mz m( )+ + − + + − + + =

b) 2 2 2 22 3 2 1 2 2 7 0x y z m x m y mz m( ) ( )+ + − − − + − + + =

c) 2 2 2 2 1 4 2 2 7 0x y z x y z(cos ) cos . cosα α α+ + + + − − + + =

d) 2 2 2 2 22 3 2 4 1 2 4 8 0x y z x y z( cos ) (sin ) cosα α α+ + + − + − + + + =

e) 2 2 2 2 2 6 3 8 0x y z t x y z tln . ln+ + − + − + + =

f) 2 2 2 22 2 4 2 1 5 8 0x y z t x t y t z t( ln ) ln . (ln ) ln+ + + − + + + + + = Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:

a) 1 3 5 3I R( ; ; ),− = b) 5 3 7 2I R( ; ; ),− = c) 1 3 2 5I R( ; ; ),− = d) 2 4 3 3I R( ; ; ),− =


Trang 31

Baøi 4. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A: a) 2 4 1 5 2 3I A( ; ; ), ( ; ; )− b) 0 3 2 0 0 0I A( ; ; ), ( ; ; )− c) 3 2 1 2 1 3I A( ; ; ), ( ; ; )− − d) 4 4 2 0 0 0I A( ; ; ), ( ; ; )− − e) 4 1 2 1 2 4I A( ; ; ), ( ; ; )− − −

Baøi 5. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) 2 4 1 5 2 3A B( ; ; ), ( ; ; )− b) 0 3 2 2 4 1A B( ; ; ), ( ; ; )− − c) 3 2 1 2 1 3A B( ; ; ), ( ; ; )− − d) 4 3 3 2 1 5A B( ; ; ), ( ; ; )− − e) 2 3 5 4 1 3A B( ; ; ), ( ; ; )− − f) 6 2 5 4 0 7A B( ; ; ), ( ; ; )− −

Baøi 6. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: a) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 2 1 1 0 2 1 1 1A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; b) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 0 0 4 0 0 0 6 2 4 6A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; c) 2 3 1 4 1 2 6 3 7 5 4 8A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − d) 5 7 2 3 1 1 9 4 4 1 5 0A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − e) 6 2 3 0 1 6 2 0 1 4 1 0A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − f) 0 1 0 2 3 1 2 2 2 1 1 2A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −

Baøi 7. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho trước, với:

a) 1 2 0 1 1 3 2 0 1A B CP Oxz( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )

( ) ( ) − − ≡

b) 2 0 1 1 3 2 3 2 0A B CP Oxy( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )

( ) ( ) ≡

Baøi 8. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với:

a) 2 2 25 1 1

2 4 6 5 0IT x y z x y z( ; ; )

( ) : −

+ + − + − + = b) 2 2 2

3 2 22 4 8 5 0

IT x y z x y z( ; ; )

( ) : −

+ + − + − + =

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) và S2(I2, R2). • 1 2 1 2I I R R< − ⇔ (S1), (S2) trong nhau • 1 2 1 2I I R R> + ⇔ (S1), (S2) ngồi nhau

• 1 2 1 2I I R R= − ⇔ (S1), (S2) tiếp xúc trong • 1 2 1 2I I R R= + ⇔ (S1), (S2) tiếp xúc ngồi

• 1 2 1 2 1 2R R I I R R− < < + ⇔ (S1), (S2) cắt nhau theo một đường tròn.

Baøi 1. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu:

a) 2 2 2

2 2 28 4 2 4 04 2 4 5 0

x y z x y zx y z x y z

+ + − + − − =

+ + + − − + = b)

2 2 2

2 2 21 2 3 9

6 10 6 21 0x y z

x y z x y z( ) ( ) ( ) + + − + − =

+ + − − − − =

c) 2 2 2

2 2 22 4 10 5 04 6 2 2 0


+ + − + − + =

+ + − − + − = d)

2 2 2

2 2 28 4 2 15 04 12 2 25 0


+ + − + − − =

+ + + − − + =

e) 2 2 2

2 2 22 6 4 5 06 2 4 2 0


+ + − − + + =

+ + − + − − = f)

2 2 2

2 2 24 2 2 3 06 4 2 2 0


+ + + − + − =

+ + − + − − =

Baøi 2. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt cầu:

a) 2 2 2

2 2 2 22 1 3 644 2 3 2

x y zx y z m

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

− + − + + =

− + + + − = + b)

2 2 2

2 2 2 23 2 1 811 2 3 3

x y zx y z m

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

− + + + + =

− + − + − = −

c) 2 2 2

2 2 2 22 2 1 251 2 3 1

x y zx y z m

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+ + − + − =

+ + + + + = − d)

2 2 2

2 2 2 23 2 1 161 2 3 3

x y zx y z m

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+ + + + + =

− + − + − = +


Trang 32

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu 1. Tập hợp điểm là mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đó. – Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M. Chẳng hạn có dạng: 2 2 2 2x a y b z c R( ) ( ) ( )− + − + − =

hoặc: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + = – Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có). 2. Tìm tập hợp tâm mặt cầu

– Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn: x f ty g tz h t

( )( )( )

==

= (*)

– Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm. – Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có). Baøi 1. Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:

a) 2 2 30MA MB+ = b) 2MAMB

= c) 2 2 2 0MA MB k k( )+ = >

Baøi 2. Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:

a) 2 2 124MA MB+ = b) 32

MAMB

= c) · 090AMB =

d) MA = MB e) 2 2 22 1 0MA MB k k( ) ( )+ = + > Baøi 3. Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau khi m thay đổi:

a) 2 2 2 4 6 2 3 19 2 0x y z x y m z m( )+ + − − + − + − =

b) 2 2 2 2 2 4 2 2 4 0x y z m x y z m( )+ + + − + − + + =

c) 2 2 2 22 4 2 1 2 6 0x y z x y m z m( )+ + + − + + + + =

d) 2 2 2 4 2 2 5 2 6 2 1 0x y z m x m y z m( cos ) ( sin ) cos+ + − + − + − + + =

e) 2 2 2 22 3 4 2 4 1 4 5 2 0x y z m x m y z m( cos ) ( sin ) sin+ + + − − + − − − =


Trang 33

1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng • Vectơ 0n ≠

rr là VTPT của (α) nếu giá của nr vuông góc với (α). • Hai vectơ a b,

rr không cùng phương là cặp VTCP của (α) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (α).

Chú ý: • Nếu nr là một VTPT của (α) thì knr (k ≠ 0) cũng là VTPT của (α). • Nếu a b,

rr là một cặp VTCP của (α) thì [ ]n a b,=rr r là một VTPT của (α).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 2 2 20 0Ax By Cz D vôùi A B C+ + + = + + > • Nếu (α) có phương trình 0Ax By Cz D+ + + = thì n A B C( ; ; )=

r là một VTPT của (α). • Phương trình mặt phẳng đi qua 0 0 0 0M x y z( ; ; ) và có một VTPT n A B C( ; ; )=

r là:

0 0 0 0A x x B y y C z z( ) ( ) ( )− + − + − = 3. Các trường hợp riêng

Chú ý: • Nếu trong phương trình của (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứa

trục tương ứng.

• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 1x y za b c

+ + =

(α) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình: (α): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + =

(β): 2 2 2 2 0A x B y C z D+ + + =

• (α), (β) cắt nhau ⇔ 1 1 1 2 2 2A B C A B C: : : :≠

• (α) // (β) ⇔ 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C DA B C D

= = ≠ • (α) ≡ (β) ⇔ 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C DA B C D

= = =

• (α) ⊥ (β) ⇔ 1 2 1 2 1 2 0A A B B C C+ + = 5. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0

( ) 0 0 00 2 2 2

Ax By Cz Dd M

A B C, ( )α

+ + +=

+ +

III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Các hệ số Phương trình mặt phẳng (α) Tính chất mặt phẳng (α) D = 0 0Ax By Cz+ + = (α) đi qua gốc toạ độ O A = 0 0By Cz D+ + = (α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox B = 0 0Ax Cz D+ + = (α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy C = 0 0Ax By D+ + = (α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz A = B = 0 0Cz D+ = (α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy) A = C = 0 0By D+ = (α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz) B = C = 0 0Ax D+ = (α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz)


Trang 34

VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT của nó. Dạng 1: (α) đi qua điểm ( )0 0 0M x ; y ; z có VTPT ( )n A; B;C=

r:

(α): ( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = Dạng 2: (α) đi qua điểm ( )0 0 0M x ; y ; z có cặp VTCP a b,

rr :

Khi đó một VTPT của (α) là [ ]n a b,=rr r .

Dạng 3: (α) đi qua điểm ( )0 0 0M x ; y ; z và song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0: (α): ( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = Dạng 4: (α) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C: Khi đó ta có thể xác định một VTPT của (α) là: n AB AC, =

uuur uuurr Dạng 5: (α) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M: – Trên (d) lấy điểm A và VTCP ur . – Một VTPT của (α) là: n AM u, =

uuurr r Dạng 6: (α) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d): VTCP ur của đường thẳng (d) là một VTPT của (α). Dạng 7: (α) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2: – Xác định các VTCP a b,

rr của các đường thẳng d1, d2. – Một VTPT của (α) là: [ ]n a b,=

rr r . – Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 ⇒ M ∈ (α). Dạng 8: (α) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định các VTCP a b,


rr r . – Lấy một điểm M thuộc d1 ⇒ M ∈ (α). Dạng 9: (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2: – Xác định các VTCP a b,


rr r . Dạng 10: (α) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (β): – Xác định VTCP ur của (d) và VTPT nβ

r của (β).

– Một VTPT của (α) là: n u n, β = r r r .

– Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α). Dạng 11: (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ): – Xác định các VTPT n n,β γ

r r của (β) và (γ).

– Một VTPT của (α) là: n u n,β γ = r r r .

Dạng 12: (α) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước: – Giả sử (α) có phương trình: 0Ax By Cz+D+ + = ( )2 2 2 0A B C+ + ≠ . – Lấy 2 điểm A, B ∈ (d) ⇒ A, B ∈ (α) (ta được hai phương trình (1), (2)). – Từ điều kiện khoảng cách d M k( ,( ))α = , ta được phương trình (3). – Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại). Dạng 13: (α) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H: – Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R. – Một VTPT của (α) là: n IH=

uurr Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở

lớp 11.


Trang 35

Baøi 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT nr cho trước:

a) ( ) ( )= −M 3;1;1 , n 1;1;2r b) ( ) ( )− =M 2;7;0 , n 3;0;1

r c) ( ) ( )− − =M 4; 1; 2 , n 0;1;3r

d) ( ) ( )− =M 2;1; 2 , n 1;0;0r e) ( ) ( )= − −M 3;4;5 , n 1; 3; 7

r f) ( ) ( )= −M 10;1;9 , n 7;10;1r

Baøi 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với: a) 2 1 1 2 1 1A B( ; ; ), ( ; ; )− − b) 1 1 4 2 0 5A B( ; ; ), ( ; ; )− − c) 2 3 4 4 1 0A B( ; ; ), ( ; ; )− −

d) 1 1A ; 1;0 , B 1; ;5

2 2 − −

e) 2 1 1A 1; ; , B 3; ;1

3 2 3 −

f) 2 5 6 1 3 2A B( ; ; ), ( ; ; )− − −

Baøi 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP a b,rr cho trước, với:

a) 1 2 3 2 1 2 3 2 1M a b( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− = = −rr b) 1 2 3 3 1 2 0 3 4M a b( ; ; ), ; ; ), ( ; ; )− = − − =

rr c) 1 3 4 2 7 2 3 2 4M a b( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− = =

rr d) 4 0 5 6 1 3 3 2 1M a b( ; ; ), ( ; ; ); ( ; ; )− = − =rr

Baøi 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng ( )β cho trước, với: a) ( ) ( ) ( )2 1 5M Oxy; ; , β = b) ( ) ( )1 2 1 2 3 0M x y; ; , :β− − + =

c) ( ) ( )1 1 0 2 10 0M x y z; ; , :β− − + − = d) ( ) ( )3 6 5 1 0M x z; ; , :β− − + − = e) 2 3 5 2 5 0M x y z( ; ; ), ( ) :β− + − + = f) 1 1 1 10 10 20 40 0M x y z( ; ; ), ( ) :β − + − = Baøi 5. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng

toạ độ, với: a) ( )2 1 5M ; ; b) ( )1 2 1M ; ;− c) ( )1 1 0M ; ;− d) ( )3 6 5M ; ;−

e) 2 3 5M( ; ; )− f) 1 1 1M( ; ; ) g) 1 1 0M( ; ; )− h) 3 6 5M( ; ; )− Baøi 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với:

a) 1 2 4 3 2 1 2 1 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − b) 0 0 0 2 1 3 4 2 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − c) 1 2 3 2 4 3 4 5 6A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − d) 3 5 2 1 2 0 0 3 7A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − e) 2 4 0 5 1 7 1 1 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − f) 3 0 0 0 5 0 0 0 7A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −

Baøi 7. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm B, C cho trước, với: a) 1 2 4 3 2 1 2 1 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − b) 0 0 0 2 1 3 4 2 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − c) 1 2 3 2 4 3 4 5 6A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − d) 3 5 2 1 2 0 0 3 7A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − e) 2 4 0 5 1 7 1 1 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − f) 3 0 0 0 5 0 0 0 7A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −

Baøi 8. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với:

a) ( )3 1 1 2 1 4

2 3 1 0A B

x y z( ; ; ), ( ; ; )

:β − − − + − =

b) ( )2 1 3 4 2 12 3 2 5 0

A Bx y z

( ; ; ), ( ; ; ):β

− − − + − + =

c) ( )2 1 3 4 7 9

3 4 8 5 0A B

x y z( ; ; ), ( ; ; )

:β − − − + − − =

d) ( )3 1 2 3 1 2

2 2 2 5 0A B

x y z( ; ; ), ( ; ; )

:β − − − − − + =

Baøi 9. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (β), (γ) cho trước, với: a) ( ) ( )1 2 5 2 3 1 0 2 3 1 0M x y z x y z( ; ; ), : , :β γ− − + − + = − + + =

b) ( ) ( )1 0 2 2 2 0 3 0M x y z x y z( ; ; ), : , :β γ− + − − = − − − =

c) ( ) ( )2 4 0 2 3 2 5 0 3 4 8 5 0M x y z x y z( ; ; ), : , :β γ− + − + = + − − =

d) ( ) ( )5 1 7 3 4 3 6 0 3 2 5 3 0M x y z x y z( ; ; ), : , :β γ− + + = − + − = Baøi 10. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)

cho trước, với: a) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 5 0 3 2 5 1 0M P x y z Q : x y z; ; , : ,− − + − = − + − =


Trang 36

b) ( ) ( ) ( )2 1 1 4 0 3 1 0M P x y z Q : x y z; ; , : ,− − + − = − + − =

c) ( ) ( ) ( )3 4 1 19 6 4 27 0 42 8 3 11 0M P x y z Q : x y z; ; , : ,− − + = − + + =

d) ( ) ( ) ( )0 0 1 5 3 2 5 0 2 1 0M P x y z Q x y z; ; , : , :− + − = − − − = Baøi 11. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời

song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) 2 4 0 3 0 2 0P y z Q x y z R x y z( ) : , ( ) : , ( ) :+ − = + − − = + + − = b) 4 2 5 0 4 5 0 2 19 0P x y z Q y z R x y( ) : , ( ) : , ( ) :− + − = + − = − + = c) 3 2 0 4 5 0 2 7 0P x y z Q x y R x z( ) : , ( ) : , ( ) :− + − = + − = − + =

Baøi 12. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) 2 3 4 0 2 3 5 0 2 3 2 0P x y Q y z R x y z( ) : , ( ) : , ( ) :+ − = − − = + − − = b) 2 4 0 3 0 2 0P y z Q x y z R x y z( ) : , ( ) : , ( ) :+ − = + − + = + + − = c) 2 4 0 2 5 0 2 3 6 0P x y z Q x y z R x y z( ) : , ( ) : , ( ) :+ − − = + + + = − − + = d) 3 2 0 4 5 0 2 7 0P x y z Q x y R x z( ) : , ( ) : , ( ) :− + − = + − = − + =

Baøi 13. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước một khoảng bằng k, với: a) 2 0 5 13 2 0 1 2 3 2P x y Q x y z M k( ): , ( ) : , ( ; ; ),− − = − + = =

VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Baøi 1. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:

a) 2 3 2 5 03 4 8 5 0

x y zx y z

+ − + = + − − =

b) 3 4 3 6 03 2 5 3 0

x y zx y z

− + + = − + − =

c) 5 5 5 1 03 3 3 7 0

x y zx y z

+ − − = + − + =

d) 6 4 6 5 012 8 12 5 0

x y zx y z

− − + = − − − =

e) 2 2 4 5 0

255 5 10 02

x y z

x y z

− − + = − − + =

f) 3 2 6 23 03 2 6 33 0

x y zx y z

− − − = − − + =

Baøi 2. Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau: • song song • cắt nhau • trùng nhau

a) 3 2 7 07 6 4 0

x my znx y z

+ − − = + − + =

b) 5 2 11 03 5 0

x y mz x ny z

− + − = + + − =

c) 2 3 5 06 6 2 0

x my znx y z

+ + − = − − + =

d) 3 9 02 2 3 0x y mzx ny z

− + − = + + − =

e) 2 3 5 06 6 2 0

x y zmx y z

+ + − = − − − =

f) 3 5 3 02 3 1 0

x y mzx y z

− + − = + − + =

g) 2 02 4 3 0x my z

x y nz + − + = + + − =

h) 2 2 1 03 2 0

x ny zx y mz

− + − = − + − =

i) 3 3 2 5 02 2 10 0

x m y zm x y mz

( )( )

− − + − = + − + − =

Baøi 3. Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau

a) 2 7 2 03 2 15 0x y mzx y z

− + + = + − + =

b) 2 1 3 2 3 01 4 5 0

m x my zmx m y z

( )( )

− − + + = + − + − =

c) 2 12 07 0

mx y mzx my z

+ + − = + + + =

d) 3 3 2 5 02 2 10 0

x m y zm x y mz

( )( )

− − + − = + − + − =

e) 4 3 3 02 7 1 0x y z

mx y z − − = + − − =

f) 3 5 3 03 2 5 0

x y mzx y z

− + − = + + + =


Trang 37

VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng. • Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0

( ) 0 0 00 2 2 2

Ax By Cz Dd M

A B C, ( )α

+ + +=

+ +

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

• Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P) ⇔ MH n cuøng phöôngH P

,( )

∈

uuuur r

• Điểm M′ đối xứng với điểm M qua (P) ⇔ 2MM MH′ =uuuuur uuuur

Baøi 1. Cho mặt phẳng (P) và điểm M. • Tính khoảng cách từ M đến (P). • Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên (P). • Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua (P).

a) 2 2 6 0 2 3 5P x y z M( ) : , ( ; ; )− + − = − b) 5 14 0 1 4 2P x y z M( ) : , ( ; ; )+ + − = − − c) 6 2 3 12 0 3 1 2P x y z M( ) : , ( ; ; )− + + = − d) 2 4 4 3 0 2 3 4P x y z M( ) : , ( ; ; )− + + = − e) 4 0 2 1 1P x y z M( ) : , ( ; ; )− + − = − f) 3 2 0 1 2 4P x y z M( ) : , ( ; ; )− + − =

Baøi 2. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

a) 2 3 1 02 3 5 0x y z

x y z − + + = − + + =

b) 6 2 1 06 2 3 0

x y zx y z

− + + = − + − =

c) 2 4 5 03 5 1 0

x y zx y z

− + + = + − − =

d) 4 8 1 04 8 5 0

x y zx y z

− + + = − + + =

e) 2 4 5 03 5 1 0

x y zx y z

− + + = + − − =

f) 3 6 3 7 02 1 0

x y zx y z

+ − + = + − + =

Baøi 3. Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng một khoảng bằng k cho trước: a) 6 3 2 7 0 3x y z k,− + − = = b) 3 2 6 5 0 4x y z k,− − + = = c) 6 2 3 12 0 2x y z k,− + + = = d) 2 4 4 14 0 3x y z k,− + − = =

Baøi 4. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:

a) 2 3 1 02 3 5 0x y z

x y z − + + = − + + =

b) 6 2 1 06 2 3 0

x y zx y z

− + + = − + − =

c) 2 4 5 03 5 1 0

x y zx y z

− + + = + − − =

d) 4 8 1 04 8 5 0

x y zx y z

− + + = − + + =

e) 2 4 5 03 5 1 0

x y zx y z

− + + = + − − =

f) 3 6 3 7 02 1 0

x y zx y z

+ − + = + − + =

Baøi 5. Tìm tập hợp các điểm có tỷ số các khoảng cách đến hai mặt phẳng bằng k cho trước:

a) 2 2 10 0

2 4 4 3 023

x y zx y z

k

+ − − = + − + = =

b) 6 2 1 06 2 3 0

12

x y zx y z

k

− + + = − + − = =

c) 6 3 2 1 02 2 6 0

47

x y zx y z

k

+ − − = + − + = =

Baøi 6. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều điểm N và mặt phẳng (P): a) 2 2 5 0 1 2 2P x y z N( ) : , ( ; ; )+ + − = − b) 5 14 0 1 4 2P x y z N( ) : , ( ; ; )+ + − = − − c) 6 2 3 12 0 3 1 2P x y z N( ) : , ( ; ; )− + + = − d) 2 4 4 3 0 2 3 4P x y z N( ) : , ( ; ; )− + + = − e) 4 0 2 1 1P x y z N( ) : , ( ; ; )− + − = − f) 3 2 0 1 2 4P x y z N( ) : , ( ; ; )− + − =

Baøi 7. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều hai mặt phẳng:

a) 1 05 0

x y zx y z

+ − + = − + − =

b) 2 2 1 02 2 5 0x y z

x y z + − + = + + − =

c) 2 4 5 04 2 1 0

x y zx y z

− + + = + − − =


Trang 38

d) 4 8 1 04 8 5 0

x y zx y z

− + + = − + + =

e) 2 4 5 03 5 1 0

x y zx y z

− + + = + − − =

f) 3 6 3 7 02 1 0

x y zx y z

+ − + = + − + =

Baøi 8. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (Q) cho trước. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q): a) ( )1 2 3 2 4 4 0A Q x y z; ; – , ( ) : − − + = . b) ( )3 1 2 6 2 3 12 0A Q x y z; ; – , ( ) : − + + = .

Baøi 9. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm A một khoảng k cho trước: a) 2 2 5 0 2 1 4 4Q x y z A k( ) : , ( ; ; ),+ − + = − = b) 2 4 4 3 0 2 3 4 3Q x y z A k( ) : , ( ; ; ),− + + = − =

Baøi 10. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng k: a) 3 2 3 0 14Q x y z k( ) : ,− + − = = b) 4 3 2 5 0 29Q x y z k( ) : ,+ − + = =

VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình: (α): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + =

(β): 2 2 2 2 0A x B y C z D+ + + = Góc giữa (α), (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT 1 2n n,r r .

( ) 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2

n n A A B B C C

n n A B C A B C

.cos ( ),( )

. .α β

+ += =

+ + + +

r rr r

Chú ý: • ·( )0 00 90( ),( )α β≤ ≤ . • 1 2 1 2 1 2 0A A B B C C( ) ( )α β⊥ ⇔ + + =

Baøi 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng:

a) 1 05 0

x y zx y z

+ − + = − + − =

b) 2 2 1 02 2 5 0x y z

x y z + − + = + + − =

c) 2 4 5 04 2 1 0

x y zx y z

− + + = + − − =

d) 4 4 2 7 02 4 5 0

x y zx z

+ − + = + − =

e) 2 2 3 02 2 12 0x y z

y z − − + =

+ + = f) 3 3 3 2 0

4 2 4 9 0x y z

x y z − + + =

+ + − =

Baøi 2. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng α cho trước:

a) 0

2 1 3 2 3 01 4 5 0

90

m x my zmx m y z( )

( )α

− − + + = + − + − = =

b) 0

2 12 07 0

45

mx y mzx my zα

+ + − = + + + = =

c) 0

2 2 5 03 2 3 0

90

m x my mzmx m y z( )

( )α

+ + − + = + − + − = =

d) 0

3 02 1 1 1 6 0

30

mx y mzm x m y m z( ) ( ) ( )

α

− + + = + + − + − − = =

Baøi 3. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi γβα ,, lần lượt là các góc hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC). Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng: a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) 1coscoscos 222 =++ γβα


Trang 39

VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

Cho mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R. • (α) và (S) không có điểm chung ⇔ d I R( ,( ))α > • (α) tiếp xúc với (S) ⇔ d I R( ,( ))α = ((α) là tiếp diện) Khi đó tiếp điểm H của (α) và (S) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P). • (α) cắt (S) theo một đường tròn ⇔ d I R( ,( ))α < Khi đó tâm H của đường tròn giao tuyến là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

Bán kính r của đường tròn giao tuyến: 2 2r R IH= −

Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):

a) 2 2 22 2 1 0

6 2 4 5 0P x y zS x y z x y z

( ) :( ) :

+ + − =

+ + − − + + = b) 2 2 2

2 3 6 9 01 3 2 16

P x y zS x y z

( ) :( ) : ( ) ( ) ( )

− + − =

− + − + + =

c) 2 2 22 11 0

2 4 2 2 0P x y zS x y z x y z

( ) :( ) :

+ − − =

+ + + − − + = d) 2 2 2

2 2 5 06 4 8 13 0

P x y zS x y z x y z

( ) :( ) :

− + + =

+ + − − − + =

e) P x y zS x y z x y z2 2 2

( ) : 2 2 0( ) : 6 2 2 10 0

+ + =

+ + − + − + = f) P z

S x y z x y z2 2 2( ) : 3 0( ) : 6 2 16 22 0

− =

+ + − + − + =

Baøi 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): a) 2 2 22 2 4 0 2 1 4 4 8 0P x y z S x y z m x my z m( ) : ; ( ) : ( )− − − = + + − − + + + =

b) 2 2 2 24 2 4 5 0 1 2 3 1P x y z S x y z m( ) : ; ( ) : ( ) ( ) ( ) ( )− + − = − + + + − = −

c) 2 2 2 23 2 6 7 0 2 1 1 2P x y z S x y z m( ) : ; ( ) : ( ) ( ) ( ) ( )+ − + = − + − + + = +

d) 2 2 2 22 3 6 10 0 4 2 1 2 3 5 4 0P x y z S x y z mx m y z m m( ) : ; ( ) : ( )− + − = + + + − + − + + + − = Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước: a) 3 5 2 2 3 1 0I P x y z( ; ; ), ( ) :− − − − + = b) 1 4 7 6 6 7 42 0I P x y z( ; ; ), ( ) : + − + = c) 1 1 2 2 2 3 0I P x y z( ; ; ), ( ) : + + + = d) 2 1 1 2 2 5 0I P x y z( ; ; ), ( ) :− + − + = Baøi 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước: a) S x y z2 2 2( ) : ( 3) ( 1) ( 2) 24− + − + + = tại 1 3 0M( ; ; )−

b) S x y z x y z2 2 2( ) : 6 2 4 5 0+ + − − + + = tại 4 3 0M( ; ; )

c) 2 2 21 3 2 49S x y z( ) : ( ) ( ) ( )− + + + − = tại 7 1 5M( ; ; )−

d) 2 2 2 2 2 2 22 0S x y z x y z( ) : + + − − − − = và song song với mặt phẳng 3 2 6 14 0x y z− + + = .

e) 2 2 2 6 4 2 11 0S x y z x y z( ) : + + − + + − = và song song với mặt phẳng 4 3 17 0x z+ − = .

f) 2 2 2 2 4 4 0S x y z x y z( ) : + + − − + = và song song với mặt phẳng 2 2 5 0x y z+ + + = .

g) 2 2 2 2 6 2 8 0S x y z x y z( ) : + + − + + + = và chứa đường thẳng 4 4 3 1 1d x t y t z t: , ,= + = + = + h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1),

D(4; 1; 0). i) Tiếp xúc với mặt cầu: 011326210222 =−++−++ zyxzyx và song song với 2 đường

thẳng: 15 1 13

2 3 2x y z

d : + − += =

−, 1

7 1 83 2 0

x y zd : + + −

= =−

.


Trang 40

Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng

Baøi 1. Cho tứ diện ABCD. • Viết phương trình các mặt của tứ diện. • Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện. • Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện. • Viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và vuông góc với (BCD). • Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện. • Tìm toạ độ các điểm A′, B′, C′, D′ lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C, D qua các mặt đối diện. • Tính khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện. • Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm I và bán kính R của (S). • Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các đỉnh A, B, C, D của tứ diện. • Viết phương trình các tiếp diện của (S) song song với các mặt của tứ diện.

a) ( ) ( ) ( ) ( )5 1 3 1 6 2 5 0 4 4 0 6A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; b) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 2 1 1 0 2 1 1 1A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; c) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 0 0 4 0 0 0 6 2 4 6A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; d) 2 3 1 4 1 2 6 3 7 5 4 8A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − e) 5 7 2 3 1 1 9 4 4 1 5 0A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − f) 0 1 0 2 3 1 2 2 2 1 1 2A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − Baøi 2. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt cắt ba trục toạ độ tại các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0),

C(0; 0; –3) và E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1). a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q). b) Tính độ dài đường cao của hình chóp O.ABC. c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q). Baøi 3. Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3). a) Chứng minh ABCD là một tứ diện đều. b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc. c) Tìm phương trình tổng quát của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD). d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD).


Trang 41

1. Phương trình tham số của đường thẳng • Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) và có VTCP

1 2 3a a a a( ; ; )=r :

1

2

3

o

o

o

x x a td y y a t t R

z z a t( ) : ( )

= + = + ∈ = +

• Nếu 1 2 3 0a a a ≠ thì 0 0 0

1 2 3

x x y y z zd

a a a( ) :

− − −= = đgl phương trình chính tắc của d.

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d′ có phương trình tham số lần lượt là:

0 1

0 2

0 3

x x tad y y ta

z z ta: = + = + = +

và 0 1

0 2

0 3

x x t ad y y t a

z z t a:

′ ′ ′ = +′ ′ ′ ′= + ′ ′ ′= +

• d // d′ ⇔ 0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

a a cuøng phöôngx ta x t a

heä y ta y t a aån t t voâ nghieämz ta z t a

,

( , )

′ ′ ′ ′ + = + ′ ′ ′ ′+ = + ′ ′ ′+ = +

r r

⇔ 0 0 0 0

a a cuøng phöôngM x y z d,

( ; ; )′

′∉

r r ⇔

0 0

a a cuøng phöônga M M khoâng cuøng phöông

,,

′ ′

r ruuuuuurr ⇔

[ ]0 0

00

a aa M M,,

′ = ′ ≠

rr ruuuuuur rr

• d ≡ d′ ⇔ 0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

x ta x t aheä y ta y t a aån t t coù voâ soá nghieäm

z ta z t a( , )

′ ′ ′ + = + ′ ′ ′ ′+ = + ′ ′ ′+ = +

⇔ 0 0 0 0

a a cuøng phöôngM x y z d,

( ; ; )′

′∈

r r ⇔ 0 0a a M M ñoâi moät cuøng phöông, ,′ ′

uuuuuurr r

⇔ [ ] 0 0 0a a a M M, , ′ ′= = uuuuuur rr r r

• d, d′ cắt nhau ⇔ hệ 0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

x ta x t ay ta y t az ta z t a

′ ′ ′ + = + ′ ′ ′+ = + ′ ′ ′+ = +

(ẩn t, t′) có đúng một nghiệm

⇔ 0 0

a a khoâng cuøng phöônga a M M ñoàng phaúng

,, ,

′ ′ ′

r ruuuuuurr r ⇔

[ ][ ] 0 0

00

a aa a M M

,, .

′ ≠ ′ ′ =

rr ruuuuuurr r

• d, d′ chéo nhau ⇔ 0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

a a khoâng cuøng phöôngx ta x t a

heä y ta y t a aån t t voâ nghieämz ta z t a

,

( , )

′ ′ ′ ′ + = + ′ ′ ′ ′+ = + ′ ′ ′+ = +

r r

⇔ 0 0a a M M khoâng ñoàng phaúng, ,′ ′uuuuuurr r ⇔ [ ] 0 0 0a a M M, .′ ′ ≠

uuuuuurr r • d ⊥ d′ ⇔ a a′⊥

r r ⇔ 0a a. ′ =r r

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG


Trang 42

3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (α): 0Ax By Cz D+ + + = và đường thẳng d: 0 1

0 2

0 3

x x tay y taz z ta

= + = + = +

Xét phương trình: 0 1 0 2 0 3 0A x ta B y ta C z ta D( ) ( ) ( )+ + + + + + = (ẩn t) (*) • d // (α) ⇔ (*) vô nghiệm • d cắt (α) ⇔ (*) có đúng một nghiệm • d ⊂ (α) ⇔ (*) có vô số nghiệm 4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu

Cho đường thẳng d: 0 1

0 2

0 3

x x tay y taz z ta

= + = + = +

(1) và mặt cầu (S): 2 2 2 2x a y b z c R( ) ( ) ( )− + − + − = (2)

Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*). • d và (S) không có điểm chung ⇔ (*) vô nghiệm ⇔ d(I, d) > R • d tiếp xúc với (S) ⇔ (*) có đúng một nghiệm ⇔ d(I, d) = R • d cắt (S) tại hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ d(I, d) < R 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP ar và điểm M.

0M M ad M d

a

,( , )

=

uuuuur r

r

6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. d1 đi qua điểm M1 và có VTCP 1ar , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP 2ar

1 2 1 21 2

1 2

a a M Md d d

a a

, .( , )

,

=

uuuuuurr r

r r

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng (α) chứa d2 và song song với d1.

7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với nó bằng khoảng cách từ một

điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (α). 8. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP 1 2a a,r r . Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa 1 2a a,r r .

( ) 1 21 2

1 2

a aa a

a a

.cos ,

.=

r rr r

r r

9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP 1 2 3a a a a( ; ; )=r và mặt phẳng (α) có VTPT n A B C( ; ; )=

r . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d′ của

nó trên (α).

·( ) 1 2 32 2 2 2 2 2

1 2 3

Aa Ba Cad

A B C a a asin ,( )

.α

+ +=

+ + + +


Trang 43

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó. Dạng 1: d đi qua điểm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) và có VTCP 1 2 3a a a a( ; ; )=r :

1

2

3

o

o

o

x x a td y y a t t R

z z a t( ) : ( )

= + = + ∈ = +

Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B: Một VTCP của d là AB

uuur.

Dạng 3: d đi qua điểm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) và song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d // ∆ nên VTCP của ∆ cũng là VTCP của d. Dạng 4: d đi qua điểm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: Vì d ⊥ (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d. Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q): • Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.

– Tìm toạ độ một điểm A ∈ d: bằng cách giải hệ phương trình PQ

( )( )

(với việc chọn giá trị

cho một ẩn) – Tìm một VTCP của d: P Qa n n, =

r r r

• Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. Dạng 6: d đi qua điểm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2:

Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên một VTCP của d là: 1 2d da a a, =

r r r

Dạng 7: d đi qua điểm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) , vuông góc và cắt đường thẳng ∆. • Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng ∆.

0

HM H a

∈ ∆ ⊥ V

uuuuur r

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0, H. • Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và

chứa d. Khi đó d = (P) ∩ (Q) Dạng 8: d đi qua điểm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) và cắt hai đường thẳng d1, d2: • Cách 1: Gọi M1 ∈ d1, M2 ∈ d2. Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm được M1, M2. Từ đó

suy ra phương trình đường thẳng d. • Cách 2: Gọi (P) = 0 1M d( , ) , (Q) = 0 2M d( , ) . Khi đó d = (P) ∩ (Q). Do đó, một VTCP của d

có thể chọn là P Qa n n, = r r r .

Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2: Tìm các giao điểm A = d1 ∩ (P), B = d2 ∩ (P). Khi đó d chính là đường thẳng AB. Dạng 10: d song song với ∆ và cắt cả hai đường thẳng d1, d2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và d1, mặt phẳng (Q) chứa ∆ và d2. Khi đó d = (P) ∩ (Q). Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:

• Cách 1: Gọi M ∈ d1, N ∈ d2. Từ điều kiện 1

2

MN dMN d

⊥ ⊥

, ta tìm được M, N.

Khi đó, d là đường thẳng MN. • Cách 2:


Trang 44

– Vì d ⊥ d1 và d ⊥ d2 nên một VTCP của d có thể là: 1 2d da a a, =

r r r .

– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1, bằng cách: + Lấy một điểm A trên d1. + Một VTPT của (P) có thể là:

1P dn a a, = r r r .

– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d2. Khi đó d = (P) ∩ (Q). Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (P): • Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách: – Lấy M ∈ ∆. – Vì (Q) chứa ∆ và vuông góc với (P) nên Q Pn a n,∆ =

r r r . Khi đó d = (P) ∩ (Q). Dạng 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2: • Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2. Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm được N. Khi đó, d là đường thẳng MN. • Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1. – Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2. Khi đó d = (P) ∩ (Q). Baøi 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP ar cho trước: a) M a(1;2; 3), ( 1;3;5)− = −

r b) M a(0; 2;5), (0;1;4)− =r c) M a(1;3; 1), (1;2; 1)− = −

r d) M a(3; 1; 3), (1; 2;0)− − = −

r e) M a(3; 2;5), ( 2;0;4)− = −r f) M a(4;3; 2), ( 3;0;0)− = −

r Baøi 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước: a) ( ) ( )2 3 1 1 2 4A , B; ; ; ;− b) ( ) ( )1 1 0 0 1 2A , B; ; ; ;− c) ( ) ( )3 1 5 2 1 1A , B; ; ; ;− − d) ( ) ( )2 1 0 0 1 2A , B; ; ; ; e) ( ) ( )1 2 7 1 2 4A , B; ; ; ;− f) ( ) ( )2 1 3 4 2 2A , B; ; ; ;− − Baøi 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng

∆ cho trước: a) ( )3 2 4A , Ox; ; ∆− ≡ b) ( )2 5 3 5 3 2 2 1 2A ñi qua M N; ; , ( ; ; ), ( ; ; )∆− −

c) 2 3

2 5 3 3 45 2

x tA y t

z t( ; ; ), :∆

= −− = +

= − d) 2 5 24 2 2

4 2 3x y z

A( ; ; ), :∆+ − −

− = =

e) 3 4

1 3 2 2 23 1

x tA y t

z t( ; ; ), :∆

= +− = −

= − f) 3 1 25 2 3

2 3 4x y z

A( ; ; ), :∆+ − +

− = =

Baøi 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:

a) ( )2 4 3 2 3 6 19 0A , (P) x y z; ; :− − + + = b) ( )1 1 0A , P caùc mp toaï ñoä; ; ( ) :− c) ( )3 2 1 2 5 4 0A P x y; ; , ( ) : − + = d) 2 3 6 2 3 6 19 0A P x y z( ; ; ), ( ) :− − + + = Baøi 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho

trước:

a) 6 2 2 3 03 5 2 1 0

P x y zQ x y z

( ) :( ) :

+ + + = − − − =

b) 2 3 3 4 02 3 0

P x y zQ x y z

( ) :( ) :

− + − = + − + =

c) 3 3 4 7 06 2 6 0

P x y zQ x y z

( ) :( ) :

+ − + = + + − =

d) 2 3 01 0

P x y zQ x y z

( ) :( ) :

+ − + = + + − =

e) 1 02 0

P x zQ y

( ) :( ) :

+ − = − =

f) 2 1 01 0

P x y zQ x z

( ) :( ) :

+ + − = + − =


Trang 45

Baøi 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) 1 2

1 2 11 0 5 3 2 2

1 1 3

= + = − = − = +

= + = −

x t x tA d y t d y t

z t z t

'( ; ; ), : , : '

' b) 1 2

1 1 32 1 1 2 2

3 3

= + = + − = − + = − +

= = +


z z t

'( ; ; ), : , : '

'

c) 1 2

1 11 2 3 2 2 2

3 3 3

= − = − = − − = − +

= − = +

x t xA d y t d y t

z t z t( ; ; ), : , : '

' d) 1 2

7 3 14 1 4 4 2 9 2

4 3 12

= − + = + = − = − +

= + = − −


z t z t

'( ; ; ), : , : '

'

e) 1 2

1 3 22 1 3 1 3 4

2 2 2

= + = − − = + = − +

= − + = −


z t z t

'( ; ; ), : , : '

' f) 1 23 1 4 1 1 2

2 0

= = − = − = −

= − =


z t z

'( ; ; ), : , : '

Baøi 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng ∆ cho trước:

a) 1 2 2 12

x tA y t

z t( ; ; ), :∆

=− = −

= b)

3 24 2 4 1

1 4

x tA y t

z t( ; ; ), :∆

= − +− − = −

= − +

c) 1 3

2 1 3 12 2

x tA y t

z t( ; ; ), :∆

= +− − = +

= − + d) 3 1 4 1

2

x tA y t

z t( ; ; ), :∆

=− = −

= −

e) 1

1 2 3 2 23 3

x tA y t

z t( ; ; ), :∆

= −− = − −

= − f)

12 1 1 2

3

x tA y t

z( ; ; ), :∆

= +− = − +

=

Baøi 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) 1 2

1 2 11 0 5 3 2 2

1 1 3

= + = − = − = +

= + = −


z t z t

'( ; ; ), : , : '

' b) 1 2

1 1 32 1 1 2 2

3 3

= + = + − = − + = − +

= = +


z z t

'( ; ; ), : , : '

'

c) 1 2

1 3 2 24 5 3 3 2 1 3

2 1 5

= − + = + − − = − − = − +

= − = −


z t z t

'( ; ; ), : , : '

' d) 1 2

1 32 1 1 2 4

3 5 2

= + = − − = − + =

= − + =


z t z t

'( ; ; ), : , : '

'

e) 1 2

2 4 32 3 1 1 2 1

1 3 2 3

= + = − + − = − = +

= + = − +


z t z t

'( ; ; ), : , : '

' f) 1 2

3 3 3 23 2 5 1 4 1

2 2 2 3

= − + = + − = + = −

= + = −


z t z t

'( ; ; ), : , : '

'

Baøi 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) 1 2

2 021 4 2

1 1 4 1

P y zx tx y z

d d y tz

( ) :

: , :

+ = = −− = = = + − =

b) 1 2

6 2 2 3 01 2 13 2 21 1 3

+ + + = = + = − = − = + = + = −

P x y zx t x t

d y t d y tz t z t

( ) :'

: , : ''

c) 1 2

2 3 3 4 07 3 1

4 2 9 24 3 12

− + − = = − + = + = − = − + = + = − −

P x y zx t x t

d y t d y tz t z t

( ) :'

: , : ''

d) 1 2

3 3 4 7 01 1

2 2 23 3 3

+ − + = = − = = − − = − + = − = +

P x y zx t x

d y t d y tz t z t

( ) :

: , : ''

Baøi 10. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng ∆ và cắt cả hai

đường thẳng d1, d2 cho trước:


Trang 46

a) 1

2

1 12 1 2

1 11 2 1

2 1 33 2 1

x y z

x y zd

x y zd

:

:

:

∆ − −

= = − + −= =

−− + + = =

b) 1

2

1 53 1 1

1 2 21 4 3

4 75 9 1

x y z

x y zd

x y zd

:

:

:

∆ − −

= = − − + −= =

+ + = =

c) 1

2

1 2 2:1 4 3

1 2 2:1 4 3

4 7:5 9 1

− + −∆ = =

− + − = =

+ + = =

x y z

x y zd

x y zd

d) 1

2

1 3 23 2 1

2 2 13 4 1

7 3 91 2 1

x y z

x y zd

x y zd

:

:

:

∆ + + −

= = − − − + −= =

− − − = = −

Baøi 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 cho trước:

a) 1 2

3 2 2 31 4 4

2 4 1 2

x t x td y t d y t

z t z t

': , : '

'

= − = + = + = −

= − + = − b) 1 2

1 2 2 33 1 2

2 3 4 4

x t x td y t d y t

z t z t

': , : '

'

= + = − + = − + = +

= + = − +

c) 1 2

2 2 11 33 1 2

x t x td y t d y t

z t z t

': , : '

'

= + = + = + = +

= − = + d) 1 2

2 3 1 23 1 2

1 2 2

x t x td y t d y t

z t z t

': , : '

'

= + = − + = − − = −

= + = +

Baøi 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng ∆ trên mặt phẳng (P) cho trước:

a) 2 3 1

2 1 32 2 3 0

x y z

P x y z

:

( ) :

∆ + − − = = − − + + =

b) 3 2 2

1 2 33 4 2 3 0

x y z

P x y z

:

( ) :

∆ − − + = = − + − + =

c) 1 1 3

1 2 22 2 3 0

x y z

P x y z

:

( ) :

∆ + − − = = − − + − =

d) 1

2 1 11 0

x y z

P x y z

:

( ) :

∆ − = = − + − + =

e) 2 2 1

3 4 12 3 4 0

x y z

P x y z

:

( ) :

∆ − + − = = + + + =

f) 1 2

1 2 12 3 5 0

x y z

P x y z

:

( ) :

∆ − − = = − − − − + =

g) 5 4 2 5 0

2 2 02 1 0

x y zx z

P x y z

:

( ) :

∆ − − − = + − = − + − =

h) 1 0

2 2 02 1 0

x y zx z

P x y z

:

( ) :

∆ − − − = + − = + − − =

Baøi 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 cho trước:

a) 1 2

11 20 1 13 1 1 1

xx y zA d d y t

z t( ; ; ), : , :

= −− −= = =

= +

b) 1 2

21 11 1 1 1 22 1 1 1

xx y zA d d y t

z t( ; ; ), : , :

=− += = = +

− = − −

c) 1 21 4 1 1 31 2 3

6 2 3 3 2 5x y z x y z

A d d( ; ; ), : , :+ − − + −− − = = = =

− − −

Baøi 14. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau:


Trang 47

a) Chứa các cạnh của tứ diện tứ diện ABCD. b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD). c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD.

Baøi 15. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến: 1

32

623 :)( 1

−=

−=

−− zyxd ,

12

42

14 :)( 2

−=

−−

=− zyxd . Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau:

a) Chứa các cạnh của tam giác ABC. b) Đường phân giác trong của góc A. Baøi 16. Cho tam giác ABC có 3 1 1 1 2 7 5 14 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − − . Viết phương trình tham số của

các đường thẳng sau: a) Trung tuyến AM. b) Đường cao BH. c) Đường phân giác trong BK. d) Đường trung trực của BC trong ∆ABC. Baøi 17. Cho bốn điểm 1 2 1 3 4 1 1 4 1 3 2 1S A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − . a) Chứng minh S.ABC là một hình chóp. b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. c) Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC. Baøi 18. Cho bốn điểm 1 2 3 2 2 3 1 1 3 1 2 5S A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − . a) Chứng minh S.ABC là một tứ diện. b) Viết phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC).


Trang 48

VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường

thẳng. • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) {1 21 2 4 1 2 3

2 1 3x y z

d d x t y t z t: ; : ; ;− + −= = = − + = − = − +

−

b) { {1 25 2 1 5 3 2 3 1d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= + = − = − = + = − − = −

c) { {1 22 2 1 1 1 1 3= + = − + = = = + = −d x t y t z d x y t z t: ; ; ; : ; '; '

d) 1 21 2 3 7 6 5

9 6 3 6 4 2x y z x y z

d d: ; :− − − − − −= = = =

e) 1 21 5 3 6 1 3

2 1 4 3 2 1x y z x y z

d d: ; :− + − − + += = = =

f) 1 22 1 7 2

4 6 8 6 9 12x y z x y z

d d: ; :− + − −= = = =

− − −

g) 1 22 2 2 0 2 2 0

2 2 4 0 2 1 0x y z x y zd d

x y z x y z: ; : − + − = + − + = + − + = − + − =

h) {1 22 3 3 9 09 5 3

2 3 0x y zd x t y t z t d

x y z: ; ; ; : − − − == = = − − + + =

Baøi 2. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng:

a) { {1 21 2 3 2 3 2 1 3 2= − = + = − − = = + = −d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '

b) { {1 21 2 2 2 2 5 3 4= + = − = − = = − =d x t y t z t d x t y t z: ; ; ; : '; ';

c) { {1 23 2 1 4 4 2 2 3 4 1 2= − = + = − = + = − = −d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '

d) 1 22 1 1 1

3 2 2 1 2 4− + − +

= = = =−

x y z x y zd d: ; :

e) 1 27 3 9 3 1 1

1 2 1 7 2 3− − − − − −

= = = =− −

x y z x y zd d: ; :

f) 1 22 1 3 3 1 1

2 1 2 2 2 1− − − − + −

= = = =− −

x y z x y zd d: ; :

g) 1 22 2 2 0 2 2 0

2 2 4 0 2 1 0 − + − = + − + = + − + = − + − =

x y z x y zd dx y z x y z

: ; :

Baøi 3. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2: a) { {1 21 2 3 1 2 4d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= = − = + = + = = +

b) { {1 21 2 4 3 1 2 3d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= = + = − − = + = − + = −

c) { {1 22 3 8 5 2 7 2d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : ; ;= = + = − − = + = − − =

d) 1 22 1 0 3 3 0

1 0 2 1 0x y x y zd d

x y z x y: ; : + + = + − + = − + − = − + =

Baøi 4. Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Khi đó tìm toạ độ giao điểm của chúng: a) { {1 21 1 2 1 2 2 3d x mt y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= + = = − + = − = + = −


Trang 49

b) { {1 21 3 2 2 1 2 3d x t y t z m t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= − = + = + = + = + = −

c) 1 22 4 0 2 3 0

3 0 2 6 0x y z x y mzd d

x y x y z: ; : + − − = + + − = + − = + + − =

VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt

phẳng. • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng. Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm (nếu có) của

chúng: a) { 2 1 3 10 0d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ) := = − = + + + − =

b) { 3 2 1 4 4 5 4 3 6 5 0d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ) := − = − = − − − − =

c) 12 9 1 3 5 2 04 3 1

x y zd P x y z: ; ( ) :− − −

= = + − − =

d) 11 3 3 3 2 5 02 4 3

x y zd P x y z: ; ( ) :+ −

= = − + − =

e) 13 1 4 2 4 1 08 2 3

x y zd P x y z: ; ( ) :− − −

= = + − + =

f) 3 5 7 16 0 5 4 02 6 0x y zd P x zx y z

: ; ( ) : + + + = − − = − + − =

g) 2 3 6 10 0 4 17 05 0

x y zd P y zx y z

: ; ( ) : + + − = + + = + + + =

Baøi 2. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để: i) d cắt (P). ii) d // (P). iii) d ⊥ (P). iv) d ⊂ (P).

a) 1 2 3 3 2 5 02 1 2

x y zd P x y z

m m: ; ( ) :− + +

= = + − − =−

b) 1 3 1 3 2 5 02 2

x y zd P x y z

m m: ; ( ) :+ − −

= = + + − =−

c) 3 2 3 0 2 3 2 04 3 4 2 0x y zd P x y m zx y z

: ; ( ) : ( ) − + + = − + + − = − + + =

d) { 3 4 1 4 3 1 2 4 9 0d x t y t z t P m x y z n: ; ; ; ( ) : ( )= + = − = − + − + − + − =

e) { 3 2 5 3 2 2 2 3 3 5 0d x t y t z t P m x n y z: ; ; ; ( ) : ( ) ( )= + = − = − + + + + − = Baøi 3. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để: a) { 2 3d x m t y t z t: ; ;= + = − = cắt 2 5 0P x y z( ) : − + − = tại điểm có tung độ bằng 3.

b) 2 3 02 5 0

x ydy z

: − − = + + =

cắt 2 2 2 0P x y z m( ) : + + − = tại điểm có cao độ bằng –1.

c) 2 3 03 2 7 0x ydx z

: + − = − − =

cắt 0P x y z m( ) : + + + =


Trang 50

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính. • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu. Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S). Tìm giao điểm (nếu có) của chúng:

a) 2 2 21 2 2 4 1 02 1 1x y z

d S x y z x z: ; ( ) :− −= = + + − + + =

−

b) 2 2 22 1 0 1 2 162 3 0

x y zd S x y zx z

: ; ( ) : ( ) ( ) + − − = − + − + = − − =

c) 2 2 22 1 0 2 2 14 02 0

x y zd S x y z x yx y

: ; ( ) : − − − = + + − + − = + + =

d) 2 2 22 1 0 4 2 10 8 02 0

x y zd S x y z x y zx y

: ; ( ) : − − − = + + + − − − = + + =

e) { 2 2 22 3 2 4 2 2 0d x t y t z t S x y z x y z: ; ; ; ( ) := − − = = − + + − − + − =

f) { 2 2 21 2 2 3 2 4 6 2 0d x t y t z t S x y z x y z: ; ; ; ( ) := − = + = + + + − − + − =

g) { 2 2 21 2 4 2 4 6 2 0d x t y t z S x y z x y z: ; ; ; ( ) := − = − = + + − − + − = Baøi 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S):

a) 2 2 22 0 1 2 1 82 0

x y z md S x y zx y

: ; ( ) : ( ) ( ) ( ) − − + = − + − + + = + + =

b) { 2 2 21 2 2 4 1 0d x t y m t z t S x y z x z: ; ; ; ( ) := − = + = + + + − + + =

c) 2 2 22 3 0 2 2 4 02 1 0x yd S x y z x y z m

x z: ; ( ) : − − = + + + − + + = + − =

Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d: a) {1 2 1 1 4 3 2 4 2I d x t y t z t( ; ; ); : ; ;− = + = − = −

b) {1 2 1 1 2 2I d x t y z t( ; ; ); : ; ;− = − = =

c) 2 1 14 2 12 1 2

x y zI d( ; ; ); : − + −

− = =

d) 1 21 2 12 1 3

x y zI d( ; ; ); : − −

− = =−

e) 2 1 01 2 11 0

x yI dz

( ; ; ); : − − =− − =

Baøi 4. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của (S), biết:

a) d đi qua A(0; 0; 5) ∈ (S) và có VTCP 1 2 2a ( ; ; )=r .

b) d đi qua A(0; 0; 5) ∈ (S) và vuông góc với mặt phẳng: 3 2 2 3 0x y z( ) : .α − + + = Baøi 5. Cho tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện, với: a) A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3). b) A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0). c) A(3; 2; 1), B(1; –2; 1), C(–2; 2; –2), D(1; 1; –1). d) A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2).


Trang 51

VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách 1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d • Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP ar .

0M M ad M d

a

,( , )

=

uuuuur r

r

• Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d. – d(M,d) = MH. • Cách 3: – Gọi N(x; y; z) ∈ d. Tính MN2 theo t (t tham số trong phương trình đường thẳng d). – Tìm t để MN2 nhỏ nhất. – Khi đó N ≡ H. Do đó d(M,d) = MH. 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. • Cách 1: d1 đi qua điểm M1 và có VTCP 1ar , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP 2ar

1 2 1 21 2

1 2

a a M Md d d

a a

, .( , )

,

=

uuuuuurr r

r r

• Cách 2: Gọi A ∈ d1, B ∈ d2.

AB là đường vuông góc chung ⇔ 1

2

AB aAB a

⊥

⊥

uuur ruuur r . Từ đó ta tìm được A, B.

1 2d d d AB( , ) = Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt

phẳng (α) chứa d2 và song song với d1. 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường

thẳng này đến đường thẳng kia. 4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với nó bằng khoảng cách từ một

điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (α). Baøi 1. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d:

a) 1 4

2 3 1 2 24 1

x tA d y t

z t( ; ; ), :

= −= +

= − b)

2 21 2 6 1

3

x tA d y t

z t( ; ; ), :

= +− = −

= −

c) 2 11 0 01 2 1

x y zA d( ; ; ), : − −

= = d) 2 1 12 3 11 2 2

x y zA d( ; ; ), : + − +

= =−

e) 2 1 11 1 11 2 2

x y zA d( ; ; ), : + − +

− = =−

f) 2 1 02 3 13 2 2 0

x y zA dx y z

( ; ; ), : + − − =− + + + =

Baøi 2. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng: a) { {1 21 2 3 2 3 2 1 3 2d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= − = + = − − = = + = −

b) { {1 21 2 2 2 2 5 3 4d x t y t z t d x t y t z: ; ; ; : '; ';= + = − = − = = − =

c) { {1 23 2 1 4 4 2 2 3 4 1 2d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= − = + = − = + = − = −

d) 1 22 1 1 1

3 2 2 1 2 4x y z x y z

d d: ; :− + − += = = =

−

e) 1 27 3 9 3 1 1

1 2 1 7 2 3x y z x y z

d d: ; :− − − − − −= = = =

− −


Trang 52

f) 1 2

2 1 3 3 1 12 1 2 2 2 1

x y z x y zd d: ; :− − − − + −

= = = =− −

g) 1 22 2 2 0 2 2 0

2 2 4 0 2 1 0x y z x y zd d

x y z x y z: ; : − + − = + − + = + − + = − + − =

Baøi 3. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 song song với nhau. Tính khoảng cách giữa chúng: a) { {1 23 2 4 3 2 4 4 5 6 3 2= + = + = + = + = + = +d x t y t z t d x t y t z t: , , ; : ', ', '

b) 1 21 2 3 2 3 1

2 6 8 3 9 12x y z x y z

d d: ; :− + − + − += = = =

− − −

c) 1 13 1 2 1 5 1

2 1 3 4 2 6x y z x y z

d d: ; :− − + + + −= = = =

d) 1 27 5 92 2 10 0

22 0 3 1 4x y zx y zd d

x y z: ; : + − − + − − = = = − − − = −

Baøi 4. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Tính khoảng cách giữa chúng: a) { 3 2 1 4 4 5 4 3 6 5 0d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ) := − = − = − − − − =

b) { 1 2 2 2 8 0d x t y t z t P x z: ; ; ; ( ) := − = = + + + =

c) 2 1 0 2 2 4 5 02 3 0x y zd P x y z

x y z: ; ( ) : − + + = − + + = + − − =

d) 3 2 3 0 2 2 2 04 3 4 2 0x y zd P x y zx y z

: ; ( ) : − + + = − − − = − + + =

VẤN ĐỀ 6: Góc 1. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP 1 2a a,r r . Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa 1 2a a,r r .

( ) 1 21 2

1 2

a aa a

a a

.cos ,

.=

r rr r

r r

2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP 1 2 3a a a a( ; ; )=r và mặt phẳng (α) có VTPT n A B C( ; ; )=

r . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d′ của

nó trên (α).

·( ) 1 2 32 2 2 2 2 2

1 2 3

Aa Ba Cad

A B C a a asin ,( )

.α

+ +=

+ + + +

Baøi 1. Tính góc giữa hai đường thẳng: a) { {1 21 2 1 3 4 2 1 3 4 2= + = + = + = = + = +d x t y t z t d x t y t z t: , – , ; : – ', – ', '

b) 1 21 2 4 2 3 4

2 1 2 3 6 2x y z x y z

d d: ; :− + − + − += = = =

− −

c) {1 22 3 3 9 0 9 5 3

2 3 0x y zd d x t y t z t

x y z: ; : ; ; – − − − = = = = + − + + =

d) {1 22 2 0 2 3 1 4

7 3 17 0x zd d x t y z t

x y z: ; : ; – ; – − + = = + = = − + − =


Trang 53

e) 1 2

1 2 2 2 1 02 3 2 03 1 4

x y z x y zd dx z

: ; :− + + + − − == = + − =

f) 13 1 2

2 1 1x y z

d : + − −= = và d2 là các trục toạ độ.

g) 1 24 0 2 3 1 0

2 1 0 0x y z x y zd d

x y z x y z: ; : − + − = − + − = − + + = + + =

h) 1 22 3 4 0 2 3 03 2 7 0 4 3 7 0


: ; : − + − = + − + = + − + = − + + =

Baøi 2. Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:

a) 1 27 2 15 0 7 07 5 34 0 3 4 11 0

x z x y zd dy z x y

: ; : − − = − − − = + + = − − =

b) Baøi 3. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng sau bằng α:

a) { { 01 21 2 2 2 1 2 2 60α= − + = − = + = + = + = + =d x t y t z t d x t y t z mt: ; ; ; : '; ' ; '; .

b) Baøi 4. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)::

a) 1 1 3 2 2 10 01 2 3

x y zd P x y z: ; ( ) : – – –− − +

= = =−

.

b) { 4 41 2 5 3 5 4 0d x y t z t P x z: ; ; ; ( ) := = + = + + + =

c) 4 2 7 0 3 1 03 7 2 0x y zd P x y zx y z

: ; ( ) : – + − + = + + = + − =

d) 2 3 0 3 4 2 5 02 3 5 0x y zd P x y z

x y z: ; ( ) : – – + − + = + = − + + =

Baøi 5. Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1). a) Chứng minh các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau. b) Tính góc giữa AD và mặt phẳng (ABC). c) Tính góc giữa AB và trung tuyến AM của tam giác ACD. d) Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính thể tích của tứ diện ABCD. Baøi 6. Cho tứ diện SABC có S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5). a) Viết phương trình của các mặt phẳng (ABC), (SAB), (SAC). b) Tính góc tạo bởi SC và (ABC) và góc tạo bởi SC và AB. c) Tính các khoảng cách từ C đến (SAB) và từ B đến (SAC). d) Tính khoảng cách từ C đến AB và khoảng cách giữa SA và BC. Baøi 7. Cho tứ diện SABC có S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5). a) Tìm phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC). b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tính góc tạo bởi SM và NP và góc tạo

bởi SM và (ABC). c) Tính các khoảng cách giữa SM và NP, SP và MN.


Trang 54

VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác 1. Viết phương trình mặt phẳng • Dạng 1: Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d: – Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C. – Một VTPT của (P) là: n AB AC, =

uuur uuurr . • Dạng 2: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d1, d2: – Xác định VTCP ar của d1 (hoặc d2). – Trên d1 lấy điểm A, trên d2 lấy điểm B. Suy ra A, B ∈ (P). – Một VTPT của (P) là: n a AB, =

uuurr r . • Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau d1, d2: – Lấy điểm A ∈ d1 (hoặc A ∈ d2) ⇒ A ∈ (P). – Xác định VTCP ar của d1, b

r của d2.

– Một VTPT của (P) là: [ ]n a b,=rr r .

• Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):

– Xác định các VTCP a b,rr của các đường thẳng d1, d2.

– Một VTPT của (P) là: [ ]n a b,=rr r .

– Lấy một điểm M thuộc d1 ⇒ M ∈ (P). • Dạng 5: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2: – Xác định các VTCP a b,

rr của các đường thẳng d1, d2. – Một VTPT của (P) là: [ ]n a b,=

rr r . 2. Xác định hình chiếu H của một điểm M lên đường thẳng d • Cách 1: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d. – Khi đó: H = d ∩ (P)

• Cách 2: Điểm H được xác định bởi: d

H dMH a

∈ ⊥uuuur r

3. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua đường thẳng d • Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên d. – Xác định điểm M′ sao cho H là trung điểm của đoạn MM′. • Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM′. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M′.

– Khi đó toạ độ của điểm M′ được xác định bởi: dMM aH d

' ⊥

∈

uuuuur r.

4. Xác định hình chiếu H của một điểm M lên mặt phẳng (P) • Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P). – Khi đó: H = d ∩ (P)

• Cách 2: Điểm H được xác định bởi: P

H PMH n cuøng phöông

( ),

∈uuuur r

5. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua mặt phẳng (P) • Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên (P). – Xác định điểm M′ sao cho H là trung điểm của đoạn MM′. • Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM′. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M′.

– Khi đó toạ độ của điểm M′ được xác định bởi: P

H PMH n cuøng phöông

( ),

∈uuuur r .


Trang 55

Baøi 1. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d:

a) 4 2

2 3 1 2 33

x tA d y t

z t( ; ; ), :

= +− = −

= + b)

21 4 3 1 2

1 3

x tA d y t

z t( ; ; ), :

= −− = − +

= −

c) 1 2 54 2 33 4 2

x y zA d( ; ; ), : − + −

− = = d) 3 2 12 1 52 1 3

x y zA d( ; ; ), : + + −

− = =

e) 2 1 02 1 42 2 5 0

x y zA dx y z

( ; ; ), : − + − =− + + + = f) 3 2 1 03 2 4

2 3 0x y zA d

x y z( ; ; ), : + − + =− − + − =

Baøi 2. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d1, d2:

a) {1 22 1 32 3 4 2 1

3 2 1x y z

d x t y t z t d: ; ; ; : + − += + = + = − = =

b) 1 21 3 2 2 1 4

2 3 4 2 3 4x y z x y z

d d: , :− + − + − −= = = =

c) 1 21 2 3 2 3 1

2 6 8 3 9 12x y z x y z

d d: ; :− + − + − += = = =

− − −

d) 1 23 1 2 1 5 1

2 1 3 4 2 6x y z x y z

d d: ; :− − + + + −= = = =

Baøi 3. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng cắt nhau d1, d2: a) { {1 23 1 2 3 1 2 4d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= = − = + = + = = +

b) {1 23 0 1 2 3

2 1 0x y zd d x t y t z t

x y: ; : ; ; + + + = = + = − + = − − + =

c) 1 22 4 0 2 0

2 6 0 2 7 0x y z x zd d

x y z y z: ; : − − − = − − = + + + = + + =

d) 1 22 1 0 3 3 0

1 0 2 1 0x y x y zd d

x y z x y: ; : + + = + − + = − + − = − + =

Baøi 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2:

a) { {1 21 2 3 2 3 2 1 3 2= − = + = − − = = + = −d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '

b) { {1 21 2 2 2 2 5 3 4= + = − = − = = − =d x t y t z t d x t y t z: ; ; ; : '; ';

c) { {1 23 2 1 4 4 2 2 3 4 1 2= − = + = − = + = − = −d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '

d) 1 22 1 1 1

3 2 2 1 2 4− + − +

= = = =−

x y z x y zd d: ; :

e) 1 27 3 9 3 1 1

1 2 1 7 2 3− − − − − −

= = = =− −

x y z x y zd d: ; :

f) 1 22 1 3 3 1 1

2 1 2 2 2 1− − − − + −

= = = =− −

x y z x y zd d: ; :

g) 1 22 2 2 0 2 2 0

2 2 4 0 2 1 0 − + − = + − + = + − + = − + − =


: ; :

Baøi 5. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d:

a) 2 2

1 2 6 13

x tM d y t

z t( ; ; ), :

= +− = −

= − b)

1 42 3 1 2 2

4 1

x tM d y t

z t( ; ; ), :

= −= +

= −


Trang 56

c)

22 1 3 1

1 2

x tM d y t

z t( ; ; ), :

=− = −

= − + d)

21 2 1 1 2

3

x tM d y t

z t( ; ; ), :

= −− = +

=

e) 1 2 21 2 12 1 2

x y zM d( ; ; ), : − + −

− = = f) 1 2 32 5 22 2 1

x y zM d( ; ; ), : + + −

= =−

g) 2 02 1 32 5 0x y zM d

x y z( ; ; ), : − − =− + − − =

h) 4 02 1 32 2 0y zM d

x y z( ; ; ), : + − =− − − + =

Baøi 6. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P) và điểm M′ đối xứng với M qua mặt phẳng (P): a) 2 2 6 0 2 3 5P x y z M( ) : , ( ; ; )− + − = − b) 5 14 0 1 4 2P x y z M( ) : , ( ; ; )+ + − = − − c) 6 2 3 12 0 3 1 2P x y z M( ) : , ( ; ; )− + + = − d) 2 4 4 3 0 2 3 4P x y z M( ) : , ( ; ; )− + + = − e) 4 0 2 1 1P x y z M( ) : , ( ; ; )− + − = − f) 3 2 0 1 2 4P x y z M( ) : , ( ; ; )− + − =

BÀI TẬP ÔN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Baøi 1. Tìm trên trục Ox điểm M cách đều đường thẳng ∆ :2

221

1 +==

− zyx và mặt phẳng

2 2 0x y z( ) :α − − = . Baøi 2. Cho 2 điểm A(1; 0; 0) và B(0; 2; 0). Viết phương trình của mp )(α qua AB và tạo với

mp(Oxy) một góc 60 0 . Baøi 3. Viết phương trình của đường thẳng (d) qua A(3; –1; 1) nằm trong mp )(α : x – y + z – 5 = 0

và hợp với đường thẳng ∆ : 22

21

zyx=

−= một góc 045 .

Baøi 4. Gọi )(α là mặt phẳng qua A(2; 0; 1) và B(–2; 0; 5) và hợp với mp(Oxz) một góc 45 0 . Tính khoảng cách từ O đến mp )(α .

Baøi 5. Chứng minh rằng 2 đường thẳng 1∆ :4

532

21 −

=−+

=− zyx và 2∆ :

−−=+=+=

tztytx

312237

cùng nằm

trong một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng ấy.

Baøi 6. Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng 1 2 23 2 2

x y zd : + − −

= =−

a) Chứng minh rằng đường thẳng d và đường thẳng AB cùng thuộc một mặt phẳng. b) Tìm điểm I thuộc d sao cho IA + IB nhỏ nhất. Baøi 7. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3). 1) Chứng minh ABCD là một tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó. 2) Tìm điểm M sao cho : 2 2 3 0MA MB MC MD+ − + =

uuur uuur uuur uuuur r.

3) Xác định toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD. 4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, BC. 5) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với trục Oz. 6) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và B và vuông góc với mặt phẳng 2 3 0x y z– + = . 7) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng 2x + 3y – z = 0, x + 2y – 3z = 0. 8) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại

các điểm I , J, K sao cho thể tích tứ diện OIJK nhỏ nhất. 9) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại


Trang 57

các điểm I , J, K sao cho OI + OJ + OK nhỏ nhất. 10) Viết phương trình mặt phẳng đi qua C, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng

x + 2y – 3z = 0. 11) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và qua giao tuyến của hai mặt phẳng : (P): 4 0x y z –+ + = , (Q): 3 1 0x y z– –+ = .

12) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng : 1 3 13 4 2

x y z− − += =

−.

13) Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d: 2 1 13 2 1

x y z+ + −= = và tính khoảng

cách từ A đến đường thẳng d. 14) Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (P): 3 10 3 0x y+ + = . 15) Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với mặt phẳng (P): 4 0x y z– – – = và

vuông góc với đường thẳng ∆: 1 3 12 1 3

x y z+ − −= = .

16) Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc và cắt đường thẳng: 32 4x y

z= = + .

17) Tìm điểm P thuộc mặt phẳng (P): 2 3 2 0x y z– – + = sao cho PA + PB nhỏ nhất.

18) Chứng minh rằng đường thẳng AB và đường thẳng d : 3 13 1 3x y z− −

= = cùng thuộc một mặt

phẳng. Tìm điểm N thuộc d sao cho NA + NB nhỏ nhất.

19) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với đường thẳng d1: 3 1

1 2 1x y z− −

= = và

cắt đường thẳng d2: 1 53 3

x y t z t; ;

= − = − + =

.

20) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P): 3 0x y z–+ = . 21) Tính góc tạo bởi đường thẳng AB với mặt phẳng (BCD). 22) G là trọng tâm ∆ABC, G’ là một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P): 2 3 3 0x y z– + + = .

Chứng minh rằng: 2 2 2G A G B G C′ ′ ′+ + nhỏ nhất khi và chỉ khi G' là hình chiếu của G lên (P). Tìm toạ độ điểm G’.

23) Lập phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm thuộc mp(Oxy) 24) Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 6 5 0x y z x y z+ + − − − − = tại B. 25) Lập phương trình mặt phẳng qua A, B và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2 4 2 6 5 0x y z x y z+ + − + − + = . 26) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.


Trang 58

Để giải các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp. Bước 2: Dựa vào giả thiết bài toán xác định tọa độ các điểm có liên quan. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán. Chú ý: Thông thường ta dựa vào các yếu tố đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chọn hệ

trục Oxyz sao cho dễ xác định toạ độ các điểm liên quan.

Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là hình chiếu

của O trên (ABC). 1. Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn. 2. Chứng minh H là trực tâm ∆ABC.

3. Chứng minh 2 2 2 2

1 1 1 1OH OA OB OC

= + + .

4. Gọi ·( ) ·( ) ·( )OAB ABC OBC BCA OAC ACB( ),( ) , ( ),( ) , ( ),( )α β γ= = = .

Chứng minh 2 2 2 1cos cos cos .α β γ+ + =

Giải: Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c > 0) 1. Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn:

Ta có 20 0 0AB AC a b a c a. ( ; ; )( ; ; )= − − = >uuur uuur

·BAC⇒ nhọn

Tương tự: · ·ABC ACB, nhọn. Vậy ∆ABC có ba góc nhọn. 2. Chứng minh H là trực tâm ∆ABC: Ta có phương trình mp (ABC):

1 0x y zbcx acy abz abc

a b c+ + = ⇔ + + − =

OH ABCOH ABC u n bc ac ab( )( ) ( ; ; )⊥ ⇒ = =r r

⇒ Phương trình đường thẳng OH: x bcty act t Rz abt

( ) = = ∈ =

Thay x, y, z vào phương trình mp(ABC): 2 2 2 2 2 2b c a c a b t abc( )+ + =

V. GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

MỘT SỐ VÍ DỤ

C

B

A x

z

y H O


Trang 59

2 2 2 2 2 2abc

ta b b c c a

⇒ =+ +

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ab c a bc a b cH

a b b c c a a b b c c a a b b c c a; ;

⇒ + + + + + +

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

aAH ab ac bc b c

a b b c c abBH ac a b bc a c

a b b c c a

( ; ; )

( ; ; )

= − −

+ +⇒ = − − + +

uuur

uuur

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

0 0

0 0

aAH BC ab ac bc b c b c

a b b c c abBH AC ac a b bc a c a c

a b b c c a

. ( ; ; )( ; ; )

. ( ; ; )( ; ; )

= − − − =

+ +⇒ = − − − = + +

uuur uuur

uuur uuur

AH BCBH AC

⊥⇒ ⇒ ⊥ H là trực tâm ∆ABC.

3. Chứng minh 2 2 2 2

1 1 1 1OH OA OB OC

= + +

2 2 2 2 2 2

abcOH d O ABC

a b b c c a( , ( ))

−= =

+ +

2 2 2 2 2 2

2 2 2 21 a b b c c a

OH a b c

+ +⇒ =

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 a b b c c a

OA OB OC a b c a b c

+ ++ + = + + =

2 2 2 2

1 1 1 1OH OA OB OC

⇒ = + + .

4. Chứng minh 2 2 2 1cos cos cos .α β γ+ + =

Nhận xét: ·( ) ( )OAB ABCOAB ABC n n( ) ( )cos cos ( ), ( ) cos ,α = = r r

Gọi ABCn n bc ac ab( ) ( ; ; )= =r r

1 2 30 0 1 1 0 0 0 1 0OAB OBC OACn n k n n i n n j( ) ( ) ( )( , , ); ( , , ); ( , , )= = = = = = = = =r r rr r r r r r

2 2 2 2 2 21 2 3n n n n n ncos cos cos cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )α β γ⇒ + + = + +

r r r r r r

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b b c a c

a b b c c a a b b c c a a b b c c a= + +

+ + + + + +

Vậy: 2 2 2 1cos cos cos .α β γ+ + =


Trang 60

Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a. Gọi O là trung điểm AH. Trên đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O, lấy điểm S sao cho OS = 2a. 1. Tính cosin của góc ϕ tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAC). 2. Trên đoạn OH lấy điểm I. Đặt OI = m (0 < m < a). Mặt phẳng (α) qua I, vuông góc với

AH cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. a. Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x. b. Tìm m để diện tích MNPQ lớn nhất.

Giải: Gọi D là trung điểm AB

3 42 3

14 3

OD OHBC a

AH BC

aOD BC

⇒ ⊥

= ⇒ =

⇒ = =

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 23

aO D H a S a( ; ; ), ; ; , ( ; ), ( ; ; )

2 20 0 0 03 3a a

A a B a C a( ; ; ), ; ; , ; ;

⇒ − −

1. Tính cosϕ :

Vẽ BE SA⊥ tại E CE SA⇒ ⊥ (vì ·SA BCE BEC( )) ϕ⊥ ⇒ =

0 2 0 1 2SA a a a( ; ; ) ( ; ; )= =uur

Phương trình đường thẳng SA: 0

2

xy a t t Rz t

( ) = = − + ∈ =

Phương trình mp(BCE): ( ) 0y a 2z – + =

Thay x, y, z vào phương trình (BCE), ta được: 22 4 05a

a t t t− + + = ⇒ =

3 405 5a a

E ; ;

⇒ −

2 8 4 2 5 4 3 2 35 53 5 3

2 8 4 2 5 4 3 2 35 53 5 3

a a a aEB

a a a aEC

; ; ( ; ; )

; ; ( ; ; )

−= = −

⇒ = − − = − −

uuur

uuur

2

2 2 5 4 3 2 3 5 4 3 2 335 73 385 172 85 85

3

a a

EB ECa

. ( ; ; )( ; ; )cos cos( , )ϕ

− − −⇒ = = = =

uuur uuur

Vậy 717

cosϕ = .

2. Ta có: I(0; m; 0), 0 1 0OH a( ; ; )=uuur

⇒ phương trình mp(MNPQ): y – m = 0

z S

E

A

D x M B

y H

C

P

N

I m

Q O

a

ϕ

2a


Trang 61

a. Tính SMNPQ: Ta có:

2 22 0 1 3 03 3a a

AB a; ; ( ; ; )

= =

uuur; 2 22 0 1 3 0

3 3a a

AC a; ; ( ; ; )

= − = − −

uuur

2 2 2 3 2 33 3a a

SB a a; ; ( ; ; )

= − = −

uur; 2 2 2 3 2 3

3 3a a

SC a a; ; ( ; ; )

= − − = − −

uur

Phương trình đường thẳng AB: 30

x ty a t t Rz

( ) = = − + ∈ =

03

a mM AB MNPQ M m( ) ; ;

+= ∩ ⇒

Phương trình đường thẳng AC: 30

x ty a t t Rz

( ) = = − − ∈ =

03

a mN AC MNPQ N m( ) ; ;

− −= ∩ ⇒

Phương trình đường thẳng SB: 2

32 2 3

x ty t t Rz a t

( ) = = ∈ = −

2 2 23m

Q SB MNPQ Q m a m( ) ; ;

= ∩ ⇒ −

Phương trình đường thẳng SC: 2

32 2 3

x ty t t Rz a t

( ) = = − ∈ = +

2 2 23m

P SC MNPQ P m a m( ) ; ;

= ∩ ⇒ − −

⇒ 3 2 20 2 2 0 2 2 0 03 3 3

m a a m a mMQ a m MP a m MN; ; ; ; ; ; ; ;

− − − − −= − = − =

uuur uuur uuuur

( )2 2

2 2 22

2 2

121 8 4 40 0 0 02 3 3

1 8 4 4 6 4 22 3 3 3 3 3

2 3 23

MNPQ

MNPQ

S MQ MP MP MN

m m a m a

m a m a m a am m

S m am a

[ , ] [ , ]

( ); ; ; ;

( )

( )

= +

− − = + − −

= + = − + +

⇒ = − + +

uuur uuur uuur uuuur

b/ Tìm m để (SMNPQ)max: Bảng xét dấu:


Trang 62

m –∞ 3a +∞

2 23 2m am a− + + –∞

243a

–∞

2 22 4 8

33 3 3MNPQa a

S .⇒ ≤ =

Vậy 28

33 3MNPQa a

S khi mmax( ) .= =

Cách khác:

2

23 82 3 2 33 2 3 3MNPQ coâsi

aa m ma aS a m m

( )

( )( )

− + + = − + ≤ =

28

3 33 3MNPQa a a

S a m m mmax( ) .⇒ = ⇔ − = + ⇔ =

Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. OA= a, OB = b, OC = c. 1. Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp (S) của OABC. Tính bán kính r của (S). 2. Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (OMN) và

(OMP) vuông góc 2 2 2

1 1 1a b c

⇔ = + .

Giải: Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) 1. Tính r: Ta có: I AOB I OBC I OCA I ABC OABCV V V V V. . . .+ + + =

3 6OAB OBC OCA ABCr abc

S S S S( ) .∆ ∆ ∆ ∆⇒ + + + =

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

121 0 0212

16 6

ABCS AB AC

a b a c

a b b c c a

r abcab bc ca a b b c c a

[ , ]

[( ; ; ), ( ; ; )]

( ) ( )

∆ =

= − −

= + +

⇒ + + + + + =

uuur uuur

Vậy 2 2 2 2 2 2

abcr

ab bc ca a b b c c a=

+ + + + +

2. Chứng minh (OMN) ⊥ (OMP)2 2 2

1 1 1a b c

⇔ = +

Ta có: 0 0 02 2 2 2 2 2b c a c a b

M N P; ; , ; ; , ; ;

4 4 4OMNbc ac ab

n OM ON( ) [ , ] ; ;

= = −

uuur uuurr

C z

y

x

B

A

O

a b

P

c M

N


Trang 63

4 4 4OMPbc ac ab

n OM OP( ) [ , ] ; ;

= = − −

uuur uuurr

0OMN OMPOMN OMP n n( ) ( )( ) ( ) .⇒ ⊥ ⇔ =r r

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 22 2 2

1 1 1016 16 16

b c a c a ba c b b c

a b c( ) .⇔ − + + = ⇔ + = ⇔ = +

Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD = 2a. Trên tia Az ABCD( )⊥ lấy điểm S. Mặt phẳng

(α) qua CD cắt SA, SB lần lượt tại K và L. 1. Cho SA = 2a, AK = k 0 2k a( )≤ ≤ a. Tính diện tích tứ giác CDKL . Tính k theo a để SCDKL lớn nhất, nhỏ nhất. b. Chứng tỏ khoảng cách giữa hai đường thẳng KD và BC không đổi. c. Tính k theo a để (α) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SC, SD. Tìm quỹ tích giao điểm I của AN, BM khi S di

động trên tia Az.

Giải:

1. Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), D(0; 2a; 0), S(0; 0; 2a)

0 0 0 2

0 2AK k K k k an KC KD a k a

( ; ; ),[ , ] ( ; ; )α

= ⇒ ≤ ≤= =

uuur uuurr

Phương trình 2 2 0 2 2 0k y a az ky az ak( ) : ( )α − + = ⇔ + − =

1 0 2SB a( ; ; )= −uur

Phương trình đường thẳng SB: 02

x a ty t Rz t

( ) = +

= ∈ = −

02k

SB L L a k( ) ; ;α

∩ = ⇒ −

a/ SCDKL = S∆CKL + S∆CKD:

( )

2 2 2 2 2 2

121 2 2 2 0 02 21 2 44 4 42 2 4

CK CL CK CD

ka a k a k a a k a

a k a ka k a a k a k

[ , ] [ , ]

[( ; ; , ; ; ] [( ; ; ,( ; ; )]

= +

= − − − − + − − −

− −

= + + + = +

uuur uuur uuur uuur

Xét 2 2

2 22 2

4 2 4 44 04 4 4

a k k ak af k a k f k

k a

/( ) ( )− − + −= + ⇒ = <

+

Bảng biến thiên: k –∞ 0 2a +∞ f/(k) – f(k) 2a2 2 2a

z

S

B

x C

y D

N

M K

L

a 2a A k

I


Trang 64

Vậy: 22 0S a kmax = ⇔ =

2 2 2S a k amin .= ⇔ =

b/ d(KD, BC) 0 2 0 2 0 0 0

0 2 0 2 0KD BC DC a k a a

a k aKD BC

[ , ] [ ; ; ), ( ; ; )]( ; ; )[ ; ; ), ( ; ; ][ , ]

−= =

−

uuur uuur uuur

uuur uuur = a (không đổi)

* Chú ý: CD là đoạn vuông góc chung của KD và BC.

c/ Tính k để 12S CDKL S ABCDV V. .=

Ta có: 2

2 2

4 2

4

a akd Sk a

( , ( ))α −=

+

3

3

1 2 43 61 43 3

2 4 46 6

3 5 2

S CDKL CDKL

S ABCD ABCD

a a k a kV d S S

aV SA S

a a k a k a

k a do k a

.

.

( )( , ( )).

.

( )( )

( ) ( )

α− −

⇒ = =

= =

− −⇒ =

⇔ = − ≤

2. Quỹ tích I:

0 0 0 02 2 2a s s

S Az S s s M a N a( ; ; ), ; ; , ; ;

∈ ⇒ > ⇒

1 12 0 22 2

BM a a s AN a s( ; ; ); ( ; ; )= − − − =uuur uuur

⇒ Phương trình đường thẳng BM: 1

1 1

1

2x a aty at t Rz st

( ) = + = − ∈ = −

Phương trình đường thẳng AN: 2 2

2

02

xy at t Rz st

( ) = = ∈ =

0 2I AN BM I a s( ) ( ) ( ; ; )= ∩ ⇒

Ta có: 0 0ID s ID AS( ; ; ) / / .= − ⇒uur uur uur

Vậy quỹ tích I là nửa đường thẳng Dt ABCD( )⊥ (trừ điểm D, do s > 0). Ví dụ 5:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy ·2a ASB; .α= 1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp. 3. Tìm α để tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp trùng nhau.

Giải: Ta có: AC = BD = 2a. Gọi SO là đường cao và SO= h. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),S(0; 0; h)


Trang 65

0 0 0 0C a D a( ; ; ), ( ; ; )⇒ − − 1. Tâm I và R của (S) ngoại tiếp chóp S.ABCD Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên 00 0I OS I z( ; ; )∈ ⇒

Phương trình mặt cầu (S): 2 2 202 0x y z z z d+ + − + =

2

202

2 2

0

2 2 2 2 2 2

02 0

2

0 02 2 2

a dA S Sh z h d

d ah az

h

h a h a h aI R a

h h h

, ( )

; ; ,

+ =∈ ⇒ − + =

= −⇒ −=

− − +⇒ = + =

Mặt khác: 2

2 2 2 20 0SA SB a h a h h

SA SB a h a h

. ( ; ; )( ; ; )cos

.α

− −= = =

+ +

uur uur

2

1a

hcoscos

αα

⇒ =−

(α nhọn do ∆SAB cân tại S).

Vậy: 2 1

aRcos ( cos )α α

=−

2 12 1

aOI ( cos )cos ( cos )

α

α α

−=

−

2. Tâm J và r của (S/) nội tiếp chóp S.ABCD: Ta có: 0 0J OS J r OJ r( ; ; ),∈ ⇒ =

22

2 2

2 2 2

2

2 2 2

1 223 3 3

14 4 22

2 2

11

S ABCD tp S ABCD

xp SAB

tp xp ABCD

r a hV S V h a

S S SA SB a h

S S S a h a

aa hra a h

. .. ; . ( )

. . sin ( )sin

( )sin

cos ( cos )sin cos( )sin

∆ α α

α

α αα αα

= = =

= = = +

⇒ = + = + +

−⇒ = =

+ −+ +

Vậy: 11

aOJ r

cos ( cos ) .sin cos

α αα α

−= =

+ −

3. Tìm α để I ≡ J

12 1

12 12 1 1 2 1

aaI J OI OJcos ( cos )( cos )

sin coscos ( cos )( cos )( sin cos ) cos ( cos )

α ααα αα α

α α α α α

−−≡ ⇔ = ⇔ =

+ −−⇔ − + − = −

1 2 0 1 0

1 045o

sindodo nhoïn)

( cos ) (sin cos ) (sin cos )(sin cos )sin cos ( sin cos )

(

α α α α α α α αα α α α

α α

⇔ − + − = ⇔ − − + =⇔ = + − >⇔ =

Vậy 45oI J .α≡ ⇔ =

z S

x A 2 3 B y

C D

O

h

a

α


Trang 66

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = b, SA = 2a

vuông góc với đáy. Trên cạnh SA lấy điểm M, AM = m ( 0 2m a)≤ ≤ 1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì. Tính diện tích thiết diện? 2. Tìm vị trí M để diện tích thiết diện lớn nhất. 3. Tìm vị trí M để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), S(0; 0; 2a)

0 0 0 0 2C a b M m m a( ; ; ), ( ; ; ) ( )⇒ ≤ ≤ .

Ta có: 0MBCn MB MC b m a( ) [ , ] ( ; ; )= =uuur uuurr . 0 2SD b a( ; ; )= −

uuur

⇒ Phương trình mặt phẳng (MBC): 0mx az ma+ − =

Phương trình đường thẳng SD: 0

2

xy b bt t Rz at

( ) =

= + ∈ = −

Gọi 202

ab mbN SD MBC N m

a( ) ; ;

−= ∩ ⇒

1. Hình tính và diện tích BCMN

Ta có: 20 0 0 0 02

ab mbMN BC b MB a m

a; ; ; ( ; ; ); ( ; ; )

−= = = −

uuuur uuur uuur

MN BC BCMNBC MB

⇒ ⇒ ⊥P là hình thang vuông.

2 2

2 22 42 2 2 4BCMN

MB a m ab mb ab mbS MN BC b a m

a a( )

+ − −= + = + = +

2. Tìm vị trí M để SBCNM lớn nhất:

Ta có: 2 244mb

S a m m aa( ) ( )= − +

2 2

2 22 2 2 2

4 2 44 4mb a m m b m am a

S m aa am a m a

/( )

( ) . − − + −

⇒ = − + + = + +

2 202m

aS m/

( )( )±

= ⇔ =

m –∞ 0 2 22

a( )− 2 22

a( )+ 2a +∞

mS/( ) – 0 + 0 –

mS( )

ab 71 8 28

ab +

71 8 2

8ab − 5

2ab

a b

D y

x B

S

z

2a

M

m A

C

N


Trang 67

71 8 2 2 2

8 2ab aS mmax

( )+ +⇒ = ⇔ =

71 8 2 2 28 2

ab aS mmin( )− −

= ⇔ =

3. Tìm vị trí M để 12S BCNM S ABCDV V. .=

Ta có: 2

2 2

2a mad S MBCm a

( , ( )) −=

+

22 2

2 2

2

1 2 4 4 23 4 12

1 223 3

S BCNM

S ABCD

a ma ab mb b a m a mV m aam a

a bV a ab

.

.

( )( ). .

. . .

− − − −⇒ = + =

+

= =

Yêu cầu bài toán 24 24

a m a ma

( )( )− −⇔ =

2 26 4 0 3 5m am a m a (vì m 2a)( )⇔ − + = ⇔ = − ≤

Vậy 3 5AM a( ) .= − Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a.

1. Chứng minh A C AB D/ / /( )⊥ . Tính góc ϕ giữa (DA′C) và (ABB′A′).

2. Trên cạnh AD/, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k 0 2k a( )< < . a. Chứng minh MN // (A/D/BC) b. Tìm k để MNmin. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD′, DB.

Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a)

AM = DN = k 0 02 2 2 2

k k k kM N a; ; , ; ;

⇒ −

1. Chứng minh A C AB D/ / /( )⊥ :

Ta có: 00

A C a a a

AB a a

AD a a

/

/

/

( ; ; )

( ; ; )

( ; ; )

= − =

=

uuuuruuuuruuuur

2 2 2

2 2 2 0AB D

AB D

AB D

n AB AD a a a

A C n a a a a a a

A C n

/ /

/ /

/ /

/ /( )

/( )

/( )

, ( ; ; )

, ( ; ; ), ( ; ; )

⇒ = = − −

= − − − = ⇒

uuuur uuuurruuuur rr

uuuur rP

Vậy A C AB D/ / /( )⊥

z A/ D/

B/ C/

A D

B C

k y

z a

N

M k


Trang 68

Cách khác: 0

0A C AB A C AB A C AB D

A C ADA C AD

/ / / // / /

/ // /. ( ).

= ⊥⇒ ⇒ ⊥ ⊥=

uuuur uuuuruuuur uuuur

Tính ϕ: 2 21 0n DA DC a a/[ , ] ( ; ; )= =

uuuurr uuur

2 0 1 0ABB An n j/ /( ) ( ; ; )= = =r r r

2

1 22

1 2

222

n n a

an n

.cosϕ⇒ = = =

r rr r .

Vậy 45o.ϕ = 2. a. Chứng minh MN // (A/D/BC):

2

1 2 22

1 0 1A D BC

MN k a k k

n n BA BC a/ //

( )

( ; ; )

[ , ] ( ; ; )

= − −

= = = −

uuuur

uuuur uuurr r

Ta có: 2

02

aMN n k k. ( )−

= − =uuuur r

MN A D BC do M A D BC/ / / /( ) ( ( )⇒ ∉P ) b/ Tìm k để MNmin:

Ta có: 2 2 21 6 4 2 22

MN k ak a( )= − +

k –∞ 0 23

a 2a +∞

MN2

2

3a

233

a aMN kmin⇒ = ⇔ =

Khi 23

ak = thì 1 1 1

3a

MN ( ; ; )= −uuuur

1 1 1 0 0

31 1 1 0 0

3

aMN AD a a

MN ADa MN BDMN BD a a

//. ( ; ; )( ; ; )

. ( ; ; )( ; ; )

= − = ⊥⇒ ⇒

⊥ = − − =

uuuuruuuur

uuuur uuur

Vậy MN là đoạn vuông góc chung của AD/ và BD. Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm của hình

vuông ADD/A/. 1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) đi qua 4 điểm C, D/, M, N. 2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S/) đi qua A/, B/, C, D. 3. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (CMN) và hình lập phương.


Trang 69

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a)

0 0 02 2 2a a a

M N; ; , ; ;

⇒

1. Tính R:

Phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 2 2 2 0x y z x y z dα β γ+ + − − − + =

C D M N S/, , , ( )∈ , suy ra:

2

2

2

2

2 2 2 0 12 2 2 0 2

0 34

0 42

a a a da a a d

a a d

a a a d

( )( )

( )

( )

α ββ γ

α

β γ

− − + =

− − + = − + =

− − + =

(1) – (2) suy ra: α = γ (2) – (4) suy ra: d = a2

534

44

a

a

( )

( )

α γ

β

⇒ = =

⇒ =

⇒ Phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 25 5 02 2 2a a a

x y z x y z a+ + − − − + =

2 22 2

2 25 5 354 4 4 16a a a a

R a

= + + − =

Vậy 354a

R .=

2. Tính r:

Phương trình mặt cầu (S′): 2 2 2 22 2 2 0x y z x y z d/ / / /α β γ+ + − − − + =

A B C D S/ / / /, , , ( ),∈ suy ra:

2

2

2

2

2 02 0

3 2 2 2 02 0

a a da a da a a a d

a a d

/ /

/ /

/ / / /

/ /

γαα β γ

β

− + = − + =

− − − + = − + =

02a

d/ / / /,α β γ⇒ = = = =

2 2 2 0S x y z ax ay az/( ) :⇒ + + − − − = và bán kính 32

aR/ =

Dễ thấy C(a; a; 0) S C C/( ) ( )∈ ⇒ ∈

Gọi I I J/, , là tâm của (S), (S/) và (C)

A/ D/

C/ B/

A D

C B

y

x

z

N

a

K

L

M

I/

R/

C (C)

(S)

I R

J r


Trang 70

5 5

4 4 4 2 2 2a a a a a a

I I /; ; , ; ;

⇒

Ta có: JC II /⊥

II CI

r d C IIII

//

/[ , ]

( , )⇒ = =

uur uur

3 3 3 54 4 4 4 4 4a a a a a a

II CI/ ; ; ; ; − −

= − =

uur uur

21 3 2

4a

II CI/[ , ] ( ; ; )⇒ = −uur uur

1419

r a⇒ =

3. Tính S:

2

2 1 34CMN

an CM CN( ) [ , ] ( ; ; )= = − −

uuur uuurr

⇒ Phương trình mặt phẳng (CMN): 2 3 0x y z a− + − =

Phương trình đường thẳng AA′: 00

xy t Rz t

( ) =

= ∈ =

Phương trình đường thẳng DD′: 0x

y a t Rz t

( ) =

= ∈ =

Gọi K CMN AA L CMN DD/ /( ) , ( )= ∩ = ∩

( )

20 0 03 3

121 20 02 2 3 3 3

CMKL

a aK L a

S S CM CK CK CL

a a a aa a a a a a

; ; , ; ;

[ , ] [ , ]

; ; , ; ; ; ; , ; ;

⇒

⇒ = = +

= − − − − + − − −

uuur uuur uuur uuur

2 14

4a

S .⇒ =


Trang 71

BÀI TẬP

Baøi 1. Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC= 3a , (a>0) và đường

cao OA= 3a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.

HD: Chọn hệ trục tọa độ sao cho: 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0O A a B a C a( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) .

⇒15

5a

d AB OM( ; ) =

Baøi 2. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.

HD: Chọn hệ trục tọa độ sao cho: 0 0 0 0 0 0 0 0 0O A a B b C c( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) .

⇒ 1 2 3 1273

Va b cmin = ⇔ = = =

Baøi 3. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ABC∆ vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC).

HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) và H(1;0;0). Baøi 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình

chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ∆ABC. Đặt SG = x (x > 0). Xác định giá trị của x để góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng 60o.

HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0), 03 3 2 2a a a a

G S x; ; , ; ;

.

⇒3a

x .=

Baøi 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích ∆AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).

HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), 3

3aA ; 0; 0

(SO = h).

⇒ 2 2

2 5 1 10012 2 16

AMN SBC AMNa a

AMN SBC n n h S AM AN( ) ( )( ) ( ) . ,∆ ⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

r r uuur uuur

Baøi 6. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'.

HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho:

3 3 3 30 0 0 0 0 0 02 2 2 2 2 2 2 2a a a a a a a a

A B C A a B a C a( ; ; ), ; ; , ; ; , '( ; ; ), ' ; ; , ' ; ;

− −

⇒ ( ) 217

ad A B B C' ; ' ' .=

Baøi 7. Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3, AC = AD = 4. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).

HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0). Baøi 8. Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đều bằng 1, O là trọng tâm của tam giác ∆ABC. I là

trung điểm của SO. a. Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ số thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC.

b. H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. Chứng minh rằng IH qua trọng tâm G của ∆SAC.


Trang 72

HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: O(0; 0; 0), 3 0 0

3A ; ;

; 3 1 06 2

B ; ;

− −

; 3 1 06 2

C ; ;

−

;

60 03

S ;

; 60 06

I ; ;

.

14

SBCM

SABC

V

V( )

( )⇒ =

Baøi 9. Cho hình lăng trụ ABCD. A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. AA1 = 2a và vuông góc

với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB1; M di động trên cạnh AA1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MC1D.

HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: A(0;0;0), B(0;a;0), A1 (0;0;2a), 13 2

2 2a aC a; ;

, D(0;a;a)

⇒ Giá trị lớn nhất 1

2 154DC M

aS = khi M ≡ A

Baøi 10. Cho tứ diện SABC có đáy là ∆ABC vuông cân tại B, AB = a, SA ABC( )⊥ và SA = a. AH SB⊥ tại H, AK SC⊥ tại K.

a. Chứng minh HK SC.⊥ b. Gọi I HK BC.= ∩ Chứng minh B là trung điểm CI. c. Tính sin góc ϕ giữa SB và (AHK). d. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC.

ĐS: a/ 0HK SC. ;=uuur uur

c/ 26

; d/ 32

aSJ JC R,= =

Baøi 11. Cho tứ diện SABC có đáy là ∆ABC vuông cân tại B, AB = a, SA ABC( )⊥ và 2SA a= . Gọi D là trung điểm của AC.

a. Chứng minh khoảng cách từ A đến (SBC) gấp đôi khoảng cách từ D đến (SBC). b. Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc SC, (α) cắt SC và SB tại M và N. Tính thể tích hình

chóp SAMN. c. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

ĐS: a/ 6 63 6A B

a ad d;= = b/

3 218

a d/ 33

Baøi 12. Cho ∆ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d ABC( )⊥ tại A lấy điểm S, SA = h. a. Tính d(A, (SBC)) theo a và h. b. Đường thẳng SBC( )∆ ⊥ tại trực tâm H của ∆SBC, chứng tỏ ∆ luôn qua điểm cố định khi

S di động trên d. c. ∆ cắt d tại S/. Tính h theo a để SS/ nhỏ nhất.

ĐS: a/ 2 2

3

3 4

ah

a h;

+ b/ Trọng tâm ∆ABC d/ 22

2a

a h; .=

Baøi 13. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA ABCD( )⊥ và 2SA a= . Mặt phẳng (P) qua A và SC( )α ⊥ ; (P) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.

a. Chứng minh AH SB AK SD, .⊥ ⊥ b. Chứng minh BD // (α) và BD // HK.


Trang 73

c. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC. d. Tính VS.AHMK.

ĐS: a/ 0AH SB AK SD. .= =uuur uur uuur uuur

b/ 302

BD n BD HK. ;α = =uuur r uuur uuur

;

c/ HG GK/ / ; d/ 3 218

a .

Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, SA ABCD( )⊥ và ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = 2a. N là trung điểm SD.

a. Tính d(A, (BCN)), d(SB, CN). b. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).

c. Gọi M là trung điểm SA. Tìm điều kiện a và b để · 13

CMNcos = .

Trong trường hợp đó tính VS.BCNM.

ĐS: a/ 2 2

2 22 4 5

a ab

a b; ;

+ b/

2 220 5

b

a b;

+ c/

3

4a

a b V; .= =

Baøi 15. Trong mp(P) cho hình vuông ABCD. Trên tia Az ( )α⊥ lấy điểm S. Đường thẳng

1 SBC( ) ( )∆ ⊥ tại S cắt (P) tại M, 2 SCD( ) ( )∆ ⊥ tại S cắt (P) tại N. Gọi I là trung điểm MN. a. Chứng minh A, B, M thẳng hàng; A, D, N thẳng hàng. b. Khi S di động trên Az, chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định. c. Vẽ AH SI⊥ tại H. Chứng minh AH là đường cao tứ diện ASMN và H là trực tâm SMN. d. Cho OS = 2, AB = 1. Tính VASMN.

ĐS: a/ 2 2MA h AB NA h AD, ;= =uuur uuur uuur uuur

b/ 2 2

02 2

h hI AC; ; ;

− − ∈

c/ AH SMN MN SH SM AH( ); ; ;⊥ ⊥ ⊥ d/ 163

.

Baøi 16. Cho hình chóp S.ABCD có SA ABCD( )⊥ , đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Trên các cạnh BC, CD lấy lần lượt các điểm M, N. Đặt CM = x, CN= y (0 < x, y < a).

a. Tìm hệ thức giữa x và y để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) bằng 45o. b. Tìm hệ thức giữa x và y để SAM SMN( ) ( )⊥

ĐS: a/ 4 3 2 24 4 2 0a a x y axy x y x y( ) ( )− + + + − = b/ 2 0x ax ay− + =

Baøi 17. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng 2a , đường cao SO, cạnh bên bằng 5a .

a. Tính thể tích hình chóp. Xác định tâm I và bán kính R của hình cầu (S) nội tiếp hình chóp. b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AD, SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD tại Q và R.

Tính diện tích thiết diện. c. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (MNP) chia hình chóp ra hai phần có thể tích bằng nhau.

ĐS: a/ 34

3 2a a

V OI R;= = = b/ 2 2a c/ 32

3a .

Baøi 18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, đường cao SO. Mặt bên tạo với đáy góc 060 . Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và tạo với đáy góc 030 cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N.

a. Tính góc giữa AN với (ABCD) và BD.


Trang 74

b. Tính khoảng cách giữa AN và BD. c. Tính thể tích hình khối ABCDMN.

ĐS: a/ 313

sinϕ = b/ 322

a c/ 35 348

a .

Baøi 19. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a tâm O. Trên tia Oz ABCD( )⊥ lấy điểm S, mặt phẳng (SAD) tạo với đáy góc α.

a. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD. b. Mặt phẳng (β) qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể

tích hai phần đó.

ĐS: a/ 2a .sinα b/ 2cos .α Baøi 20. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB= 2, AD = 4, AA′ = 6. Gọi I, J là trung

điểm AB, CD′. Gọi M, N thỏa AM mAD BN mBB/,= =uuuuruuur uuur uuur

0 1m( )≤ ≤ a. Tính khoảng cách từ A đến (BDA′). b. Chứng minh I, M, J, N đồng phẳng. c. Xác định tâm K và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp ABDA′. d. Tính bán kính r của đường tròn giao của (S) và (BDA′).

ĐS: a/ 127

b/ 0IN IJ IM[ , ]. =uur uur uuur

c/ 1 2 3 14K R( ; ; ), ;= d/ 5 267

.

Baøi 21. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có các cạnh bằng 2. Gọi M, N là trung điểm AB và DD′.

a. Chứng minh MN // (BDC′). Tính MN và d(MN, (BDC′)). b. Gọi P là trung điểm C′D′ . Tính VC.MNP và góc giữa MN và BD. c. Tính bán kính R của đường tròn (A/BD).

ĐS: a/ 30 63

MN n MN d. ; ; ;= = =uuuur r

b/ 1 30oV ; ;ϕ= = c/ 2 63

.

Baøi 22. Cho lăng trụ OAB.O′A′D đáy ∆OAB vuông tại O, OA= a, OB = b, OO/ = h. Mặt phẳng (P) qua O vuông góc AB′.

a. Tìm điều kiện a, b, h để (α) cắt cạnh AB, AA/ tại I, J (I, J không trùng A, B, A/). b. Với điều kiện trên hãy tính: S∆OIJ và tỉ số thể tích 2 phần do thiết diện chia lăng trụ.

ĐS: a/ a h< b/ 3 2 2 2 4

12 2 2 2 2 2 4

22 3 3

Va b a b h aSVh a b a h b h a

;( )

+ += =

+ + −

Baøi 23. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại A, SC ABC( )⊥ và SC = AB = AC =

2a . Các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a. Tính độ dài đoạn MN, tìm t để đoạn MN ngắn nhất. b. Khi MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của BC và SA.

ĐS: a/ 2 2 6 23 4 23 3

a aMN t at a t; min ,= − + = = b/ MN AM MN CN, .⊥ ⊥

Baøi 24. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, có AB= 3, BC = 4. Cạnh bên SA ABC( )⊥ và SA = 4.

a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC. b. Trên AB lấy 1 điểm E với AE = x. Mặt phẳng (P) qua E song song với SA và BC cắt hình

chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện. Tìm x để diện tích này lớn nhất.


Trang 75

ĐS: a/ 41

2SI IC R;= = b/ 34

2S xmax , .= =

Baøi 25. Cho tam giác đều SAD và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc nhau. Gọi I là trung điểm của AD, M là trung điểm của AB, F là trung điểm của SB.

a. Chứng minh rằng mặt phẳng CMF SIB( ) ( )⊥ . b. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD giữa CM và SA.

ĐS: b/ 3 32 4

a a; .

Baøi 26. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc · 60oBAD = . Gọi M là trung điểm cạnh AA′ và N là trung điểm cạnh CC′.

a. Chứng minh rằng 4 điểm B′, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. b. Tính cạnh AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.

ĐS: b/ 2a .



Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng

Trang 76

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Baøi 1. (TN 2006–pb) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3 . 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

ĐS: 1) V a31 23

= 2) IB = IC = ID = IS.

Baøi 2. (TN 2007–pb) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

ĐS: V = a3

6.

Baøi 3. (TN 2007–pb–lần 2) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

ĐS: V = a3 23

.

Baøi 4. (TN 2008–pb) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

1. Chứng minh SA vuông góc với BC. 2. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.

ĐS: 1) BC ⊥ AI, BC ⊥ SI ⇒ BC ⊥ SA 2) V = a3 1124

.

Baøi 5. (TN 2008–pb–lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, BC = a 3 và SA = 3a.

1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.

ĐS: 1) V = a3 32

2) BI = a 132

.

Baøi 6. (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết ·BAC 0120= , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

ĐS: V = a3 236

.

Baøi 7. (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 060 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

ĐS: V = a3 66

.

Baøi 8. (TN 2011) ĐS:

I. KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY

Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trang 77

ĐỀ THI ĐẠI HỌC Baøi 1. (ĐH 2002A) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a.

Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

ĐS: 2 1016

aS =

Baøi 2. (ĐH 2002B) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a. 1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D. 2. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa hai

đường thẳng MP và C1N.

ĐS: 1) 66

a 2) 1MP C N.⊥

Baøi 3. (ĐH 2002D) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).

ĐS: 6 3417

.

Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = 1, AC = b, AD = c và · · ·BAC CA DAB 0D 60= = = .

ĐS: Baøi 5. (ĐH 2002A–db2) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường

thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 060 . Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.

ĐS: Baøi 6. (ĐH 2002B–db1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE.

ĐS: Baøi 7. (ĐH 2002B–db2) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với

nhau. Gọi α, β, γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh rằng: cos cos cos 3α β γ+ + ≤ .

ĐS: Baøi 8. (ĐH 2002D–db1) Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh a 6 2= . Hãy xác định độ dài

đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC. ĐS: Baøi 9. (ĐH 2002D–db2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng

(SBC) theo a, biết rằng SA = a 62

.

ĐS: Baøi 10. (ĐH 2003A) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính số đo của góc phẳng nhị

diện [B, A′C, D]. ĐS: 120o Baøi 11. (ĐH 2003B) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy ABCD là một hình thoi

cạnh a, góc · 60oBAD = . Gọi M là trung điểm cạnh AA/ và Nlà trung điểm cạnh CC/. Chứng minh rằng bốn điểm B/, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA/ theo a để tứ giác B/MDN là hình vuông.


Trang 78

ĐS: 2a . Baøi 12. (ĐH 2003D) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là

đường thẳng D. Trên D lấy hai điểm A, B với AB= a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với D và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.

ĐS: 3 22 2

a aR AH; .= =

Baøi 13. (ĐH 2003A–db1) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc ·B C 0D 90= . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.

ĐS: Baøi 14. (ĐH 2003A–db2) Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác cân với AB = AC

= a và góc ·BAC 0120= , cạnh bên BB′ = a. Gọi I là trung điểm của CC′. Chứng minh tam giác AB′I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′I).

ĐS: Baøi 15. (ĐH 2003B–db1) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tìm điểm M thuộc cạnh

AA′ sao cho mặt phẳng (BD′M) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất.

ĐS: Baøi 16. (ĐH 2003B–db2) Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy

một góc bằng ϕ 0 0(0 90 )ϕ< < . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).

ĐS: Baøi 17. (ĐH 2003D–db1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,

BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.

ĐS: 222AMBS a∆ = .

Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng abc a b c2S ( )≥ + + .

ĐS: Baøi 19. (ĐH 2004B) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh

bên và mặt đáy bằng ϕ ( 0 00 90( )ϕ< < . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ.

ĐS: 3 226

aV. tan ; . tanϕ ϕ=

Baøi 20. (ĐH 2004B–db1) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA ⊥ (ABC). Tam giác ABC có AB = BC = 2a, góc ·ABC 0120= . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

ĐS: Baøi 21. (ĐH 2004D–db2) Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a. Trên các nửa đường thẳng

Ax, By vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), lần lượt lấy các điểm M, N sao cho tam giác MNC vuông tại M. Đặt AM = m, BN = n. Chứng minh rằng m n m a2( )− = và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang ABNM.

ĐS:


Trang 79

Baøi 22. (ĐH 2006A): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB.

ĐS: 33

12a

V =

Baøi 23. (ĐH 2006B): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, 2aAD = , SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là

giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

ĐS: 3 236

aV =

Baøi 24. (ĐH 2006D): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích của hình chóp A.BCMN.

ĐS: 33 3

50a

V =

Baøi 25. (ĐH 2006A–db1): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a,

AA' = 32

a và · 060BAD = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'.

Chứng minh AC' ⊥ (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

ĐS: 33

16a

V =

Baøi 26. (ĐH 2006A–db2): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600.

Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 33

a . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N.

Tính thể tích khối chóp S.BCNM.

ĐS: 310 327

V a=

Baøi 27. (ĐH 2006B–db1): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, · 060BAD = , SA ⊥ (ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.

ĐS: 3 318

aV =

Baøi 28. (ĐH 2006B–db2): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tanα và thể tích khối chóp A'.BB'C'C.

ĐS: tanα = 2 22 3b aa

− ; 2 2 23

6a b aV −

=

Baøi 29. (ĐH 2006D–db1): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.


Trang 80

ĐS: 3

2 2

23 16

a bV

a b.=

−

Baøi 30. (ĐH 2006D–db2): Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K

thuộc cạnh CC′ sao cho CK = 23

a . Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD, chia

khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.

ĐS: 3 3

1 22

3 3a a

V V;= =

Baøi 31. (ĐH 2007A): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM ⊥ BP và tính thể tích khối CMNP.

ĐS: 33

96a

V =

Baøi 32. (ĐH 2007B): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN ⊥ BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

ĐS: 24

ad =

Baøi 33. (ĐH 2007D): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với · · 090ABC BAD= = , BC = BA = a, AD = 2a. SA⊥(ABCD), 2aSA = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD).

ĐS: 3a

d =

Baøi 34. (ĐH 2007A–db1): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 52a

và · 0120BAC = . Gọi M là trung điểm CC1. Chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách d từ A đến (A1BM).

ĐS: 53

ad =

Baøi 35. (ĐH 2007A–db2): Cho hình chóp SABC có góc ·( ) 060SBC ABC( ),( ) = , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).

ĐS: 313a

d =

Baøi 36. (ĐH 2007B–db1): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). AB = a, 2aSA = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh SC⊥(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK.

ĐS: 32

27a

V =

Baøi 37. (ĐH 2007B–db2): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P)

tại A lấy điểm S sao cho ·( ) 060(SAB) SBC, ( ) = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A


Trang 81

trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC.

ĐS: 3 612

RV =

Baøi 38. (ĐH 2007D–db1): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = 2a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích của tứ diện MA1BC1.

ĐS: 3 212

aV =

Baøi 39. (ĐH 2007D–db2): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C.

ĐS: 3010

ad =

Baøi 40. (ĐH 2008A) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’.

ĐS: 3 1

2 4a

V ; cosϕ= =

Baøi 41. (ĐH 2008B): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN.

ĐS: 3 3 53 5

aV ; cosϕ= =

Baøi 42. (ĐH 2008D): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B′C.

ĐS: 32 7

2 7a a

V d;= =

Baøi 43. (CĐ 2008): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, · ·BAD ABC 090= = , AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a.

ĐS: V = a3

3.

Baøi 44. (ĐH 2009A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 060 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

ĐS: V = 33 15

5a .

Baøi 45. (ĐH 2009B) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có BB′ = a, góc giữa đường


Trang 82

thẳng BB′ và mặt phẳng (ABC) bằng 060 ; tam giác ABC vuông tại C và · 060BAC = . Hình chiếu vuông góc của điểm B′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A′.ABC theo a.

ĐS: V = 39

208a .

Baøi 46. (ĐH 2009D) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA′ = 2a, A′C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A′C′, I là giao điểm của AM và A′C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).

ĐS: V = 34

9a , d = 2 5

5a .

Baøi 47. (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.

ĐS: V = a3 648

.

Baøi 48. (ĐH 2010A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

ĐS: V = a35 324

; d = a2 319

.

Baøi 49. (ĐH 2010B) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC) bằng 060 . Gọi G là trọng tâm tam giác A′BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

ĐS: V = a33 38

; R = a712

.

Baøi 50. (ĐH 2010D) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn

AC, AH = AC4

. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm

của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

ĐS: V = a3 1448

.

Baøi 51. (CĐ 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

ĐS: V = a3 56

.

Baøi 52. (ĐH 2011A) ĐS: Baøi 53. (ĐH 2011B) ĐS: Baøi 54. (ĐH 2011D) ĐS:


Trang 83

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Baøi 1. (TN 2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α : x y z –1 0+ + =

và đường thẳng (d): 11 1 1x y z −

= =−

.

1. Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng ( )α với các mặt phẳng tọa độ. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của mặt phẳng ( )α với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; còn D là giao điểm của (d) với mặt phẳng tọa độ Oxy.

2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).

ĐS: 1) 2) Baøi 2. (TN 2003) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi

các hệ thức: A(2;4;-1), 4OB i j k= + −uuur r r r

, C(2;4;3), 2 2OD i j k= + −uuur r r r

. 1. Chứng minh rằng AB AC, AC AD, AD AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

2. Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và

CD. Tính góc giữa và mặt phẳng (ABD). 3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện (α) của (S) song song với mặt phẳng (ABD).

ĐS: 1) V = 43

2) ∆: xy tz t

24 21

== −

= − +; 5sin

5ϕ =

3) x y z x y z2 2 2 3 6 2 7 0+ + − − − + = ; z z1 221 2 21 2( ) : 0; ( ) : 0

2 2α α

− ++ = − = .

Baøi 3. (TN 2004) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; –1; 2), B(1; 3; 2), C4; 3; 2), D(4; –1; 2). 1. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.

2. Gọi A′ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A′, B, C, D.

3. Viết phương trình tiếp diện () của mặt cầu (S) tại điểm A’.

ĐS: 2) x y z x y z2 2 2 5 2 2 1 0+ + − − − + = 3) x y z3 4 2 1 0+ + + = . Baøi 4. (TN 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và hai đường thẳng

lần lượt phương trình:

(S): x y z x y z2 2 2 2 2 4 3 0+ + − + + − = , (∆1): x yx z

2 2 02 0

+ − = − =

, (∆2): x y z1

1 1 1−

= =− −

.

1. Chứng minh (∆1) và (∆1) chéo nhau. 2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường

thẳng (∆1) và (∆2). ĐS: 2) P y z P y z1 2( ) : 3 3 2 0; ( ) : 3 3 2 0+ + + = + + − = Baøi 5. (TN 2006–kpb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; −1), B(1; 2;

1), C(0; 2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. 1. Viết phương trình đường thẳng OG. 2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C. 3. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt

II. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN


Trang 84

cầu (S).

ĐS: 1) x y zOG :

1 2 0= = 2) x y z x y2 2 2 2 2 0+ + − − = 3) x y2 3 10 0+ − ± = .

Baøi 6. (TN 2006–pb) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6).

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC. b) Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG. ĐS: a) ABC x y z( ) : 3 2 6 0+ + − = ; ABCS 3 14∆ =

b) x y z2 2

21 1 49( 1)3 2 36

− + − + − =

.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(–1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4). a) Chứng minh ∆ABC vuông. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. b) Gọi M là điểm sao cho MB MC2= −

uuur uuur. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông

góc với đường thẳng BC.

ĐS: a) {AB x t y z t: 1 ; 1; 2= − + = = − b) x y z283 03

− + − =

Baøi 7. (TN 2007–kpb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương

trình: x y z2 1 11 2 3− + −

= = và mặt phẳng (P) có phương trình: x y z3 2 0− + + = .

1. Tìm toạ độ giao điểm M của đường thẳng d với mặt phẳng (P). 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P). ĐS: 1) M(1; –3; –2) 2) x z3 5 0− − = . Baøi 8. (TN 2007–pb) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(–1; –1; 0) và mặt phẳng (P) có

phương trình: x y z2 4 0+ − − = . a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P). b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng

(P). Tìm toạ độ giao điểm H của đường thẳng d với mặt phẳng (P). ĐS: a) (Q): x y z2 2 0+ − + = b) {x t y t z t1 ; 1 ; 2= − + = − + = − ; H(0; 0; –2). 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng (P) có phương

trình: x y z2 2 6 0+ − + = . a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ O và tiếp xúc với mặt phẳng (P). b) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm E và vuông góc với (P). ĐS: a) x y z2 2 2 4+ + = b) {x t y t z t: 1 ; 2 2 ; 3 2∆ = + = + = − . Baøi 9. (TN 2007–kpb–lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d và

d′ lần lượt có phương trình: x y zd

1 2 1:1 2 1− + −

= = và x t

d y tz t

1: 1 2

1 3

= − +′ = − = − +

.

1. Chứng minh rằng hai đường thẳng d và d′ vuông góc với nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm K(1; –2; 1) và vuông góc với đường thẳng d′. ĐS: 2) x y z2 3 8 0− + − = . Baøi 10. (TN 2007–pb–lần 2) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E(1; –4; 5) và F(3; 2; 7). a) Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E. b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF. ĐS: a) x y z2 2 2( 1) ( 4) ( 5) 44− + + + − = b) x y z3 5 0+ + − = . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) và đường


Trang 85

thẳng d có phương trình: x ty tz t

1 23

6

= += − +

= −.

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N. ĐS: a) x y z2 0+ − = b) {x t y t z t1 2 ; ; 2 3= + = = + . Baøi 11. (TN 2008–kpb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và mặt

phẳng (P) có phương trình: x y z2 3 6 35 0− + + = . 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P). 2. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P). Tìm toạ độ điểm N thuộc trục Ox sao

cho độ dài đoạn thẳng NM bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

ĐS: 1) x y z1 2 32 3 6− − −

= =−

2) d M P( ,( )) 7= ; N(7; 0; 0) hoặc N(–5; 0; 0).

Baøi 12. (TN 2008–pb) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; –2; –2) và mặt phẳng (P) có

phương trình: x y z2 2 1 0− + − = . a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) sao

cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P)

ĐS: a) x ty tz t

3 22 22

= += − −

= − +

b) d A P7( ,( ))3

= ; Q x y z( ) : 2 2 6 0− + + = hoặc Q x y z( ) : 2 2 8 0− + − = .

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; –1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; –1).

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. b) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. ĐS: a) y z2 2 0+ − = b) D(1; 2; –5). Baøi 13. (TN 2008–kpb–lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(–2; 1; –2) và

đường thẳng d có phương trình: x y z1 12 1 2− +

= =−

.

1. Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với đường thẳng d. 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. ĐS: 2) x y z2 2 9 0− + + = . Baøi 14. (TN 2008–pb–lần 2) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1; –2; 0), N(–3; 4; 2) và mặt

phẳng (P) có phương trình: x y z2 2 7 0+ + − = . a) Viết phương trình đường thẳng MN. b) Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P).

ĐS: a) x y zMN

1 2:2 3 1− +

= =−

b) d I P( ,( )) 2= .

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –1; 3) và mặt phẳng (P) có phương trình: x y z2 2 10 0− − − = .

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). ĐS: a) d A P( ,( )) 4= b) {x t y t z t2 ; 1 2 ; 3 2= + = − − = − . Baøi 15. (TN 2009)


Trang 86

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: (S): x y z2 2 2( 1) ( 2) ( 2) 36− + − + − = và (P): x y z2 2 18 0+ + + = .

a) Xác định toạ độ tâm T và bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến (P). b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm toạ

độ giao điểm của d và (P). ĐS: a) T(1; 2; 2), R = 6 b) {x t y t z t1 ; 2 2 ; 2 2= + = + = + ; H(–2; –4; –4). 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có

phương trình: x y z1 2 32 1 1+ − +

= =−

.

a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với d. b) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A,

tiếp xúc với d. ĐS: a) x y z2 3 0+ − + = b) d A d( , ) 5 2= ; x y z2 2 2( 1) ( 2) ( 3) 50− + + + − = . Baøi 16. (TN 2010) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3). a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. b) Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

ĐS: a) (P): y z2 3 0− + = b) I1 3;1;2 2

.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình:

x y z1 12 2 1

+ −= =

−.

a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆. b) Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng ∆. ĐS: a) d O( , ) 1∆ = b) (P): x y z2 2 0+ + = . Baøi 17. (TN 2011) ĐS:


Trang 87

ĐỀ THI ĐẠI HỌC Baøi 1. (ĐH 2002A) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai đường

thẳng: 12 4 02 2 4 0

x y zx y z

:∆ − + − = + − + =

và 2

121 2

x ty tz t

:.

∆ = +

= + = +

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2.

2. Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.

ĐS: 1) 2 0P x z( ) : − = 2) 2 3 3H( ; ; ). Baøi 2. (ĐH 2002D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y2 – 2 0+ =

và đường thẳng dm: 2 1 1 1 02 1 4 2 0

m x m y mmx m z m( ) ( )

( ) + + − + − = + + + + =

(m là tham số). Xác định m để đường

thẳng dm song song với mặt phẳng (P).

ĐS: 12

m .= −

Baøi 3. (ĐH 2002A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho đường

thẳng d: x y zx y z2 2 1 0

2 2 4 0 − − + = + − − =

và mặt cầu (S): x y z x y m2 2 2 4 6 0+ + + − + = . Tìm m để

đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 8. ĐS: Baøi 4. (ĐH 2002A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai

đường thẳng x az ady z1

0:1 0

− − = − + =

và ax ydx z2

3 3 0:3 6 0

+ − = + − =

.

1. Tìm a để hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau. 2. Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 và song song với d1. Tính khoảng

cách giữa d1 và d2 khi a = 2. ĐS: Baøi 5. (ĐH 2002B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ và mặt

phẳng (P) lần lượt có phương trình: ∆: x y zx y z2 1 0

2 0 + + + = + + + =

, (P): x y z4 2 1 0− + − = . Viết

phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ trên mặt phẳng (P). ĐS: Baøi 6. (ĐH 2002B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương

trình: x y z 3 0− + + = và hai điểm A B( 1; 3; 2), ( 5;7;12)− − − − . 1. Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). 2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS: Baøi 7. (ĐH 2003A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A′B′C′D′ có A trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A′(0; 0; b) (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC′.

1. Tính thể tích khối tứ diện BDA′M theo a và b.

2. Xác định tỷ số ab

để hai mặt phẳng (A′BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

ĐS: 1) VBDA′M = a b2

4 2) a

b1= .

Baøi 8. (ĐH 2003B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8)


Trang 88

và điểm C sao cho AC (0;6;0)=uuur

. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

ĐS: d(I, OA) = 5. Baøi 9. (ĐH 2003D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng dk có phương

trình: x ky zkx y z

3 2 01 0

+ − + = − + + =

. Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P) có

phương trình: x y z2 5 0− − + = . ĐS: k = 1. Baøi 10. (ĐH 2003A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2

lần lượt có phương trình: x y zd1

1:1 2 1

+= = và x zd

x y23 1 0:2 1 0

− + = + − =

.

1. Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau. 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song

song với đường thẳng ∆: x y z1 7 31 4 2− − −

= =−

.

ĐS: Baøi 11. (ĐH 2003A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với

A(2;3;2) , B(6; 1; 2)− − , C( 1; 4;3)− − , D(1;6; 5)− . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.

ĐS: Baøi 12. (ĐH 2003B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện OABC với

( )A a0;0; 3 , B a( ; 0;0) , ( )C a0; 3;0 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.

ĐS: Baøi 13. (ĐH 2003B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I (0;0;1) ,

K(3;0;0) . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng Oxy

một góc bằng 030 . ĐS: Baøi 14. (ĐH 2003D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương

trình: x y z m m22 2 3 0+ + − − = và mặt cầu (S): x y z2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 9− + + + − = . Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m vừa tìm được hãy xác định toạ độ tiếp điểm của (P) và (S).

ĐS: Baøi 15. (ĐH 2003D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1) ,

B(0; 1;3)− và đường thẳng d: x yy z3 2 11 0

3 8 0 − − = + − =

.

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Chứng minh rằng d vuông góc với IK.

2. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (Q) có phương trình: x y z 1 0+ − + = .

ĐS: Baøi 16. (ĐH 2004A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), ( )S 0;0;2 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.


Trang 89

2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.

ĐS: 1) d SA BM2 6( , )

3= 2) S ABMN S ABM S AMNV V V. . .

2 2 2 23 3

= + = + = .

Baøi 17. (ĐH 2004B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường

thẳng d: x ty tz t

3 21

1 4

= − += −

= − +. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc

với đường thẳng d.

ĐS: ∆: x y z4 2 43 2 1+ + −

= =−

.

Baøi 18. (ĐH 2004D) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết A(a;

0; 0), B(–a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(–a; 0; b) với a > 0, b > 0. a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a và b. b) Cho a, b, thay đổi, nhưng luôn thoả mãn a b 4+ = . Tìm a, b để khoảng cách giữa

hai đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và

mặt phẳng (P): x y z 2 0+ + − = . Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

ĐS: 1a) abd B C AC

a b1 1 2 2

( , ) =+

1b) d khi a bmax 2 2= = =

2) x y z2 2 2( 1) ( 1) 1− + + − = . Baøi 19. (ĐH 2004A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc toạ độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), ( )A1 0;0; 2 . 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A1, B, C và viết phương trình hình

chiếu vuông góc của đường thẳng B1D1 trên mặt phẳng (P). 2. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C. Tính diện tích thiết diện của hình

chóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q). ĐS: Baøi 20. (ĐH 2004A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có

đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết ( )A 2; 1;0− − ,

( )B 2; 1;0− , S(0; 0; 3). 1. Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với hai đường

thẳng AD, SC. 2. Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của

hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P). ĐS: Baøi 21. (ĐH 2004B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(4; 2; 2), B(0; 0; 7) và

đường thẳng d: x y z3 6 12 2 1− − −

= =−

. Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng

thuộc một mặt phẳng. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho ∆ABC cân tại đỉnh A. ĐS: Baøi 22. (ĐH 2004B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), M(1;

1; 1). 1. Tìm toạ độ điểm O′ đối xứng với O qua đường thẳng AM. 2. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua đường thẳng AM, cắt các trục Oy, Oz lần


Trang 90

lượt tại các điểm B, C. Giả sử B(0; b; 0), C(0; 0; c), với b > 0, c > 0. Chứng minh rằng: bc

b c2

+ = . Xác định b, c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

ĐS: Baøi 23. (ĐH 2004D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(2;

2; 0), C(0; 0; 2). 1. Tìm toạ độ điểm O′ đối xứng với gốc toạ độ O qua mặt phẳng (ABC). 2. Cho điểm S di chuyển trên trục Oz, gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường

thẳng SA. Chứng minh rằng diện tích tam giác OBH nhỏ hơn 4. ĐS: Baøi 24. (ĐH 2004D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 1) và đường

thẳng d: x yx z

02 2 0

+ = − − =

. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường

thẳng d. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc B′ của điểm B(1; 1; 2) trên mặt phẳng (P). ĐS: Baøi 25. (ĐH 2005A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng

(P) lần lượt có phương trình: x y zd

1 3 3:1 2 1− + −

= =−

, (P): x y z2 2 9 0+ − + = .

1. Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. 2. Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham

số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.

ĐS: 1) I I1 2( 3;5;7), (3; 7;1)− − 2) A(0; –1; 4), ∆: x tyz t

14

== −

= +.

Baøi 26. (ĐH 2005B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; –3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4).

1. Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1).

2. Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN.

ĐS: 1) A1(0; –3; 4), C1(0; 3; 4), (S): x y z2 2 2 576( 3)25

+ + + =

2) (P): x y z4 2 12 0+ − + = , MN = 172

.

Baøi 27. (ĐH 2005D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

d1: x y z1 2 1

3 1 2− + +

= =−

và d2: x y zx y

2 03 12 0

+ − − = + − =

.

1. Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2.

2. Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ).

ĐS: 1) (P): x y z15 11 17 10 0+ − − = 2) S = 5. Baøi 28. (ĐH 2005A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;1;0), B(0; 2;

0), C(0; 0; 2). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC. Tìm tọa độ

giao điểm của AC với mặt phẳng (P). 2. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp tứ

diện OABC.


Trang 91

ĐS: 1) (P): y z 0− = , M2 2 2; ;3 3 3

2) (S): x y z2 2 2( 1) ( 1) 2+ − + − = .

Baøi 29. (ĐH 2005A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(2; 0; 0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4).

1. Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S.

2. Tìm tọa độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC. ĐS: 1) B(2; 4; 0), (S): x y z2 2 2( 1) ( 2) ( 2) 9− + − + − = 2) A1(–2; 4; 4). Baøi 30. (ĐH 2005B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

x y zd1 :

1 1 2= = và

x td y t

z t2

1 2:

1

= − − = = +

( t là tham số )

1. Xét vị trí tương đối của d1 và d2. 2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song

với mặt phẳng (P) : x y z 0− + = và độ dài đọan MN = 2 .

ĐS: 1) d1, d2 chéo nhau. 2) M N4 4 8 1 4 3; ; , ; ;7 7 7 7 7 7

−

.

Baøi 31. (ĐH 2005B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; – 3) và mặt phẳng (P) : x y z2 2 – 1 0+ + = .

1. Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P). Xác định tọa độ điểm M1 và tính độ dài đọan MM1.

2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng: x y z1 1 52 1 6− − −

= =−

.

ĐS: 1) M1(1; –2; –1), MM1 = 6 2) (Q): x y z4 10 0+ + − = . Baøi 32. (ĐH 2005D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lăng trụ đứng

OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4). 1. Tìm tọa độ các điểm A1, B1. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O1. 2. Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A và cắt OA,

OA1 lần lượt tại N, K . Tính độ dài đọan KN.

ĐS: 1) A1(2; 0; 4), B1(0; 4; 4), (S): x y z2 2 2( 1) ( 2) ( 2) 9− + − + − = 2) KN = 2 53

.

Baøi 33. (ĐH 2005D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2).

1. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) vuông góc với nhau.

2. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 (N ≠ A) tới 2 mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.

ĐS: 1) C(2; 2; 0), D(0; 2; 0), A1(0; 0; 2), B1(2; 0; 2), C1(2; 2; 2) 2) dd

1

2

22

= .

Baøi 34. (ĐH 2006A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A′(0; 0; 1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′C và MN. 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa A′C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α, biết

1cos6

α = .


Trang 92

ĐS: 1) d = 12 2

2) (Q1): x y z2 1 0− + − = , (Q2): x y z2 1 0− − + = .

Baøi 35. (ĐH 2006B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường

thẳng: d1: x y z1 12 1 1

− += =

−, d2:

x ty tz t

11 2

2

= += − −

= +.

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2. 2. Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng. ĐS: 1) (P): x y z3 5 13 0+ + − = 2) M(0; 1; –1), N(0; 1; 1). Baøi 36. (ĐH 2006D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường

thẳng: d1: x y z2 2 3

2 1 1− + −

= =−

, d2: x y z1 1 1

1 2 1− − +

= =−

.

1. Tìm toạ độ điểm A′ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1. 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.

ĐS: 1) A′(–1; –4; 1) 2) ∆: x y z1 2 31 3 5− − −

= =− −

.

Baøi 37. (ĐH 2006A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A′(0; 0; 2).

1. Chứng minh A′C vuông góc với BC. Viết phương trình mặt phẳng (ABC′). 2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B′C′ trên mp(ABC′).

ĐS: 1) (ABC′): y z 0− = 2) x y zy z

4 00

+ + − = − =

.

Baøi 38. (ĐH 2006A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: x y z3 2 4 0+ − + = và hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

1. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). 2. Xác định toạ độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời K cách đều

gốc toạ độ O và mặt phẳng (P).

ĐS: 1) M(–12; 16; 0) 2) K1 1 3; ;4 2 4

−

.

Baøi 39. (ĐH 2006B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1, ∆2 có

phương trình: ∆1: x ty tz

11

2

= += − −

=, ∆2:

x y z3 11 2 1

− −= =

−.

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2. 2. Xác định điểm A trên ∆1 và điểm B trên ∆2 sao cho đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất. ĐS: 1) (P): x y z 2 0+ − + = 2) A(1; –1; 2), B(3; 1; 0). Baøi 40. (ĐH 2006B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương

trình: x y z2 5 0+ − + = và các điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0). 1. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P). 2. Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

ĐS: (A′B′): x y zx y z

2 2 5 02 3 4 0

− + + = − + − =

2) (S): x y z x y z2 2 2 2 2 4 0+ + − − − = .

Baøi 41. (ĐH 2006D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: x y z4 3 11 26 0− + − = và hai đường thẳng lần lượt có phương trình:

d1: x y z3 11 2 3

− += =

−, d2:

x y z4 31 1 2− −

= = .


Trang 93

1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), đồng thời cắt cả d1 và d2.

ĐS: 2) ∆: x y z2 7 55 8 4+ − −

= =− −

.

Baøi 42. (ĐH 2006D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3).

1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC). 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng

khoảng cách từ C đến (P).

ĐS: 1) ∆: x y z6 3 4

= = 2) (P1): x y z6 3 4 0− + + = , (P2): x y z6 3 4 0+ − = .

Baøi 43. (ĐH 2007A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

d1: x y z1 22 1 1

− += =

− và d2:

x ty tz

1 213

= − += +

=.

1. Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau. 2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x y z7 4 0+ − = và cắt

hai đường thẳng d1, d2.

ĐS: 2) x y z2 17 1 4− +

= =−

.

Baøi 44. (ĐH 2007B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình: (S): x y z x y z2 2 2 2 4 2 3 0+ + − + + − = , (P): x y z2 2 14 0− + − =

1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.

ĐS: 1) y z2 0− = 2) M(–1; –1; –3). Baøi 45. (ĐH 2007D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2;

4) và đường thẳng ∆: x y z1 21 1 2− +

= =−

.

1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA MB2 2+ nhỏ nhất.

ĐS: 1) x y zd

2 2:2 1 1

− −= =

− 2) M(–1; 0; 4).

Baøi 46. (ĐH 2007A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(–1; 3; –2), B (–3; 7; –18) và mặt phẳng (P): x y z2 1 0− + + = .

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P). 2. Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. ĐS: 1) x y z2 5 11 0+ + − = 2) M(2; 2; –3). Baøi 47. (ĐH 2007A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0); B(0;

4; 0); C(2; 4; 6) và đường thẳng (d): x y zx y z

6 3 2 06 3 2 24 0

− + = + + − =

.

1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau. 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (d) và cắt các đường AB, OC.

ĐS: 2) ∆: x y zx y z

6 3 2 12 03 3 0

+ + − = − + =

.

Baøi 48. (ĐH 2007B–db1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–3; 5; –5),


Trang 94

B(5; –3; 7) và mặt phẳng (P): x y z 0+ + = . 1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). 2. Tìm điểm M ∈ (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất. ĐS: 1) I(–1; 3; –2) 2) M ≡ O(0; 0; 0). Baøi 49. (ĐH 2007B–db2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0); M(0;

–3; 6). 1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P): x y2 – 9 0+ = tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính

MO. Tìm tọa độ tiếp điểm. 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương

ứng B, C sao cho VOABC = 3.

ĐS: 1) I(3; 3; 6) 2) (Q1): x y z 12 3 3

+ + = , (Q2): x y z2 12 3 6

− − = .

Baøi 50. (ĐH 2007D–db1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt

phẳng (P) lần lượt có phương trình: d: x y z3 2 12 1 1− + +

= =−

, (P): x y z 2 0+ + + = .

1. Tìm toạ độ giao điểm M của d và (P). 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) sao cho ∆ ⊥ d và khoảng cách từ M

đến ∆ bằng 42 .

ĐS: 1) M(1; –3; 0) 2) ∆1: x y z5 2 5

2 3 1− + +

= =−

, ∆2: x y z3 4 5

2 3 1+ + −

= =−

.

Baøi 51. (ĐH 2007D–db2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):

x y z– 2 2 –1 0+ = và các đường thẳng x y zd1

1 3:2 3 2− −

= =−

và x y zd2

5 5:6 4 5− +

= =−

.

1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q) ⊥ (P). 2. Tìm các điểm M ∈ d1, N ∈ d2 sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2. ĐS: 1) (Q): x y z2 2 8 0+ + − = 2) M1(3; 0; 2), N1(–1; –4; 0) hoặc M2(1; 3; 0), N2(5; 0; –5). Baøi 52. (ĐH 2008A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường

thẳng d: x y z1 22 1 2− −

= = .

1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. 2. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất. ĐS: 1) H(3; 1; 4) 2) (α): x y z4 3 0− + − = . Baøi 53. (ĐH 2008B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2;

1), C(–2; 0; 1). 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. 2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z2 2 3 0+ + − = sao cho MA = MB = MC. ĐS: 1) x y z2 4 6 0+ − + = 2) M(2; 3; –7). Baøi 54. (ĐH 2008D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0;

3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3). 1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. 2. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. ĐS: 1) x y z x y z2 2 2 3 3 3 0+ + − − − = 2) H(2; 2; 2). Baøi 55. (ĐH 2008A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;

0), C(0; 0; 2) . 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC. Tìm tọa độ

giao điểm của AC với mặt phẳng (P). 2. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp


Trang 95

tứ diện OABC.

ĐS: 1) P y z( ) : 0− = , 2 2 2, ,3 3 3

M

2) ( ) ( )2 22 1 1 2x y z+ − + − = .

Baøi 56. (ĐH 2008A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; 0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4).

1. Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S.

2. Tìm tọa độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC. ĐS: 1) B(2; 4; 0), x y z2 2 2( 1) ( 2) ( 2) 9− + − + − = 2) A1( 2;4;4)− . Baøi 57. (ĐH 2008B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1x y z: 1 1 2

d = = và 2

1 2:

1

x td y t

z t

= − − = = +

( t là tham số ).

1. Xét vị trí tương đối của d1 và d2 . 2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song

với mặt phẳng (P): 0x y z− + = và độ dài đọan MN = 2 .

ĐS: 1) d1 và d2 chéo nhau 2) M N4 4 8 1 4 3; ; , ; ;7 7 7 7 7 7

−

.

Baøi 58. (ĐH 2008B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(5; 2; – 3) và mặt phẳng (P): 2 2 1 0x y z+ − + = .

1. Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác định tọa độ điểm M1 và tính độ dài đọan MM1.

2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng x y z

d1 1 5:

2 1 6− − −

= =−

.

ĐS: 1) M1(1; 2; 1)− − , MM1 = 6 2) (Q): 4 10 0x y z+ + − = . Baøi 59. (ĐH 2008D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lăng trụ đứng

OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4). 1. Tìm tọa độ các điểm A1, B1. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O1. 2. Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A và cắt OA,

OA1 lần lượt tại N, K. Tính độ dài đoạn KN.

ĐS: 1) A1(2; 0; 4), B1(0; 4; 4), S x y z2 2 2( ) : ( 1) ( 2) ( 2) 9− + − + − = 2) KN2 5

3= .

Baøi 60. (ĐH 2008D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2).

1. Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) vuông góc nhau.

2. Chứng minh rằng tỉ số khỏang cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N ≠ A ) đến 2 mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.

ĐS: 1) C(2; 2; 0), D(0;2;0), A1(0; 0; 2), B1(2; 0; 2), C1(2; 2; 2) 2) dd

1

2

22

= .

Baøi 61. (CĐ 2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng

d có phương trình: x y z 11 1 2

−= =

−.

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. 2. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.


Trang 96

ĐS: 1) (P): x y z2 6 0− + − = 2) M(1; 1;3)− hoặc M5 5 7; ;3 3 3

− −

.

Baøi 62. (ĐH 2009A) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z2 2 4 0− − − = và mặt

cầu (S): x y z x y z2 2 2 2 4 6 11 0+ + − − − − = . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z2 2 1 0− + − = và hai

đường thẳng ∆1: x y z1 9

1 1 6+ +

= = , ∆2: x y z1 3 1

2 1 2− − +

= =−

. Xác định toạ độ điểm M

thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.

ĐS: 1) H(3; 0; 2), r = 4 2) M(0; 1; –3), M18 53 3; ;35 35 35

.

Baøi 63. (ĐH 2009B) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1; 2; 1), B(–2;

1; 3), C(2; –1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z2 2 5 0− + − = và hai điểm A(–3; 0; 1), B(1; –1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.

ĐS: 1) P x y z( ) : 4 2 7 15 0+ + − = , (P): x z2 3 5 0+ − = 2) x y z3 1:26 11 2

∆+ −

= =−

Baøi 64. (ĐH 2009D) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và

mặt phẳng (P): x y z 20 0+ + − = . Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x y z2 21 1 1+ −

= =−

và mặt

phẳng (P): x y z2 3 4 0+ − + = . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆.

ĐS: 1) D5 1; ; 12 2

−

2)

x td y t

z t

3: 1 2

1

= − += −

= −.

Baøi 65. (CĐ 2009) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P1): x y z2 3 4 0+ + + = và

(P2): x y z3 2 1 0+ − + = . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2).

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B(0; 2; 1) và trọng tâm G(0; 2; –1). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

ĐS: 1) (P): x y z4 5 2 1 0− + − = 2) ∆: x ty tz

134

= − += +

= −.

Baøi 66. (ĐH 2010A)

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x y z1 22 1 1− +

= =−

và mặt

phẳng (P): x y z2 0− + = . Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính


Trang 97

khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6 . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; –2) và đường thẳng ∆ có

phương trình: x y z2 2 52 3 2+ − +

= = . Tính khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt

cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.

ĐS: 1) d M P1( ,( ))6

= 2) d A( , ) 3∆ = ; S x y z2 2 2( ) : ( 2) 25+ + + = .

Baøi 67. (ĐH 2010B) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c),

trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y z 1 0− + = . Xác định b, c biết mặt phẳng (ABC)

vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 13

.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x y z12 1 2

−= = . Xác định toạ

độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng OM.

ĐS: 1) b c12

= = 2) M(–1; 0; 0) hoặc M(2; 0; 0).

Baøi 68. (ĐH 2010D) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x y z 3 0+ + − = và (Q):

x y z 1 0− + − = . Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1: x ty tz t

3 = +=

= và ∆2:

x y z2 12 1 2− −

= = . Xác định toạ độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2

bằng 1. ĐS: 1) (R): x z 2 2 0− ± = 2) M(4; 1; 1) hoặc M(7; 4; 4). Baøi 69. (CĐ 2010) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –2; 3), B(–1; 0; 1) và mặt

phẳng (P): x y z 4 0+ + + = . a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P)

b) Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng 6

AB , có tâm thuộc đường thẳng AB

và (S) tiếp xúc với (P).

ĐS: a) H( 1; 4;1)− − b) (S1) : x y z2 2 2 1( 4) ( – 3) ( 2)3

+ + + + =

hoặc (S2): x y z2 2 2 1( 6) ( 5) ( 4)3

+ + − + + =

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 12 1 1x y z−

= =−

và mặt

phẳng (P): x y z2 2 2 0− + − = . a) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P). b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P). ĐS: a) x y2 – 2 0+ = b) M(0;1;0) .

Documents

Bài tập hình học 12 ôn thi vào đại học