Baigiang_Toan Ky Thuat

Giơi thiêu va cân biêt

Môn hoc Toan ky thuât

Bai giang Toan ky thuât – Khoa Điên & Điên tử – ĐHBKTPHCM 2

I. Nôi dung: Gôm 3 phân

Phân thư nhât: Giai tich Fourier

Chương 0: Ôn tâp sô phưc.

Chương 1: Chuôi Fourier.

Chương 2: Biên đôi Fourier.



Phân thư hai: Toan tử Laplace

Chương 3: Biên đôi Laplace.

Chương 4: Biên đôi Laplace ngươc.

Chương 5: Ưng dung biên đôi Laplace vao ODE.

Chương 6: Ưng dung biên đôi Laplace vao giai tich mach.



Phân thư ba: Ham phưc va ưng dung.

Chương 7: Ham phưc giai tich.

Chương 8: Tich phân đương phưc.

Chương 9: Chuôi ham phưc.

Chương 10: Ly thuyêt thăng dư.

Chương 11: Ưng dung ly thuyêt thăng dư.

Chương 12: Anh xa bao giac.


II. Tai liêu tham khao:

2. Advanced Modern Engineering Mathematics, 4ed, Glyn James, Prentice Hall, 2011.

5. Complex Analysis with Applications, Dennis G. Zill, Jones and Bartlett Publishers, 2003.

4. Advanced Engineering Mathematics, K. A. Stroud – Dexter J. Booth, Palgrave Macmillan, 2003.

3. Advanced Engineering Mathematics, 10ed, Erwin Kreyszig, John Wiley & Son, 2011.

6. Complex Variables, David Mc Mahon, Mc Graw Hill, 2008.

1. Advanced Engineering Mathematics, 7ed, Peter V.O’Neil, Cengage Learning, 2012.


II. Tai liêu tham khao:

11.Bai giang Toan chuyên nganh, Lê Ba Long , Hoc viên công nghê bưu chinh viễn thông, 2006.

12. Giao trình Nhâp môn ham phưc, Ta Lê Lơi, Đai Hoc Đa Lat, 2004.

9. Phép biên đôi Laplace, Nguyễn Kim Đinh, ĐHQG TPHCM, 2008.

10.Ham phưc va ưng dung, Nguyễn Kim Đinh, ĐHQG TPHCM, 2007.

8. Laplace Transform, Murray R. Spiegel, Mc Graw Hill, 1965.

7. Electric Circuits (8e), James W. Nilsson and Susan Riedel , Prentice Hall ,2008.


III.May tinh tay:

Casio FX570MS & Casio FX570ES .


IV. Đanh gia môn hoc:

i. Middle Exam: Ch1 + Ch2 / Problems / Closed book / Formular Sheet is given / (20%)

ii. Final Exam: Ch3 -> Ch12 / Problems / Closed book / Formular Sheet is given / (80%)


V. Course Outcomes:

When you have completed this course, you will be able to:

1) Understand and be able to work with Fourier series and Fourier Transform .

2) Understand and be able to work with Laplace Transform .

3) Be able to use Laplace Transform to solve differential equations and to work with electric circuit analysis .

4) Understand elementary complex functions and be able to compute complex integrals .


V. Course Outcomes:

When you have completed this course, you will be able to:

5) Be able to expand a complex function into Taylor and Laurent series .

6) Be able to compute the residue of a complex function at a singular point .

7) Be able to compute some special definite and improper integrals using residue theory .

8) Be able to use MATLAB to solve some engineering problems .

Giai tich Fourier

Phân I:


Nôi dung phân I:

Phân nay gôm có 3 chương.

Chương 0: Ôn tâp Sô Phưc.

Chương 1: Chuôi Fourier.

Chương 2: Biên đôi Fourier.


Chương 0: Ôn tâp Sô phưc

0.1 Đinh nghia.

0.2 Cac tinh chât đai sô.

0.3 Biên đô va liên hơp.

0.4 Dang cưc cua sô phưc.

0.5 Nhân va chia sô phưc dang cưc.

0.6 Căn bâc n cua sô phưc.

0.7 Miên trong măt phăng phưc.


0.1 Đinh nghia:

H0.1

° Sô phưc z = (x, y); x R, y R.° C =° Điêm z(x, y) biêu diễn SP z.° Vectơ biêu diễn SP z.° x = Rez = Phân Thưc cua z.° y = Imz = Phân ao cua z.° Truc x(y) la truc thưc (ao).° SP z = (0,y) la Sô Ao.

(x,y)| x R,y R

x yz xa ya

Sư tương ưng 1 – 1:

(0.1)Điêm z(x, y) Sô Phưc z = x + iy Vectơ x yz xa ya


0.1 Đinh nghia: (tiêp theo)

(0.2) Sư băng nhau: 1 2 1 2 1 2z z x x vaøy y

z z (x x ,y y ) 1 2 1 2 1 2 Toan công: (0.3)

z z (x x y y ,x y x y ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 Toan nhân: (0.4)

Cac phép toan +, –, , đươc lam như sô thưc, vơi điêu kiên thay:

Nêu viêt (x,0) = x va ky hiêu i = (0,1) (0.5)

Thì: z = x + iy (Dang vuông góc) (0.6)

i2 = –1 (0.7)


VD 0.1.1: Đinh nghia sô phưc

Cho 2 sô phưc : z1 = 8 + 3i va z2 = 9 – 2i. Xac đinh phân thưc, phân ao, tông va tich hai sô phưc trên ?

Phân thưc: Re(z1) = 8 Re(z2) = 9

Phân ao: Im(z1) = 3 Im(z2) = – 2

Tông: z1 + z2 = (8 + 3i) + (9 – 2i) = 17 + i

Tich: z1 . z2 = (8 + 3i)(9 – 2i) = 72 – 16i + 27i + 6

z1 . z2 = 78 + 11i


0.2 Cac tinh chât đai sô:

Phân tử đơn vi cua toan công la (0,0) = 0, cua toan nhân la (1,0) = 1

(0.8) Sô Đôi cua z = x + iy la: –z = –x – iy

Sô nghich đao cua z = x + iy la :

12 2 2 2

x yz i

x y x y

(0.9)


0.3 Biên đô va liên hơp:

Biên đô cua sô phưc z la Chiêu dai cua Vectơz

2 2 z z r x y (0.10)

Khoang cach tư z1 đên z2 la: |z1 – z2| (0.11)

Phương trình cua vong tron tâm z0, ban kinh R la:

0 | | z z R (0.12)

1 2 1 2 | | | | | | z z z z Có: (0.13)

1 2 1 2 | | | | | | z z z z Có: (0.14)

Sô phưc liên hơp cua z = x + iy la: z x iy (0.15)


VD 0.3.1: Sô phưc liên hơp va đinh ly

Tinh:

Đinh ly cân nhơ:

Cho 2 sô : z1 = 4 + 3i va z2 = 2 + 5i. Tinh: 1 11 2 1 2

2 2

z zz z ; z z ; ;

z z

Kêt luân ?

1 2z z (4 3i)(2 5i) ( 7 26i) 7 26i

1 2z z (4 3i)(2 5i) (4 3i)(2 5i) 7 26i

23 14 23 141 2 29 29 29 29

z / z (4 3i) /(2 5i) i i 23 14

1 2 29 29z / z (4 3i) / (2 5i) (4 3i) /(2 5i) i

1 2 1 2z z z z 1 1

2 2

z z

z z


0.4 Dang cưc cua sô phưc:

(r, ) la Toa đô cưc cua điêm z(x,y).

1. Đinh nghia:

la môt góc (argumen) cua Sô phưc z = x + iy: = argz.

la góc chinh cua sô phưc z: = Argz.

(0.16)0 2hoaëc ! arg(z) có vô sô tri: argz = Argz + 2n; nZ.

iθ z re rDang cưc: (0.17)

2. Phương trình thông sô cua Vong tron: Vong tron tâm O, ban kinh R: iz Re (0 2 )

Vong tron tâm z0, ban kinh R: i0z z Re (0 2 )


VD 0.4.1: Sô phưc dang cưc

Chuyên vê dang cưc:

Ta có:

Cho sô phưc z = 1 + i. Tinh |z|, arg(z) va Arg(z) ?

πi4z 1 i 2e

| z | r 2

arg(z) n24

A rg(z)4


0.5 Nhân va chia sô phưc dang cưc:

1. Qui tăc:

2. Chu y: Cac đăng thưc:

(0.18)

1

1 2 1 2 1 2

2

ii i i( ) i( )1 1

1 2 1 2 i22

r e rr e r e r r e ; e

rr e

1 2 1 2 1 2 1 2arg(z z ) argz argz ;arg(z /z ) argz argz (0.19)

Phai hiêu la: nêu cho môt gia tri cua argz1 va môt gia tri cua

argz2, ta se tìm đươc 1 gia tri cua arg(z1z2) va 1 gia tri cua

arg(z1/z2) sao cho (0.19) đươc thoa.

3. Công thưc De Moivre:

n(cosθ isinθ) cosn isinn (0.20)


VD 0.5.1: Nhân va chia sô phưc

3

j. a 3

8 1b. j

101 j 3

1 j 3 c.

4k 4k+1

4k+2 4k+3

j ? ; j ?

j ? ;

d.

j ?

Tinh cac sô phưc, cho kêt qua dang đai sô (dang vuông góc) ?

j8

16

1 3

2 2j

1; j; 1; j

Tra lơi:


0.6 Căn bâc n cua sô phưc:

1. Giơi thiêu măt phăng (MP) z (H0.2) va măt phăng w (H0.3):

x = Rez, y = Imzr = |z|, = argz, = Argz

u = Rew, v = Imw |w| , argw, Argw

(H0.2) (H0.3)

Măt phăng w(u, v, , , , w, w)Măt phăng z (x, y, r, , , z, z)


2. Đinh nghia căn bâc n cua sô phưc:

Cho 1 Sô phưc z 0 va 1 sô nguyên dương n = 2, 3, 4, …. Nêu có 1 Sô phưc w sao cho:

thì w goi la môt Căn bâc n cua z.

wn = z (0.21)

Đinh ly: Nêu z 0 thì z co đung n căn bâc n.

Ky hiêu:

1/n0n 1n kn n 1 nz w ,w ,...,w ,...w ,

trong đó wkn la căn bâc n thư (k+1) cua z (k = 0, 1,…, n–1)

(0.22)

Đê đơn gian, nêu không sơ nhâm lân, ta se ky hiêu:

1/n0 1 n 1z = w ,w ,...w (0.23)


3. Cac bươc tìm z1/n:

B1. Tinh r = |z| va: Argz (0 2 )

0n r vaø /n B2. Tinh:

k k( / n) 0 2 (vơi k = 0, 1, …, n – 1)B3. Đăt:

(0.24)kik k kw e (cos i sin )

(k = 0, 1, ... , n – 1)

B4. Có:


4. Biêu diễn hình hoc cua z1/n: (H0.4)

H0.4

(0.25) oi i /nn0w e re

Đinh đâu tiên w0 có toa đô cưc (, 0)

w0, w1,…. wn–1 la n đinh liên tiêp cua

môt n – giac đêu nôi tiêp trong vong tron tâm O, ban kinh trong măt phăng w.

n r


5. Căn bâc n cua sô 1: (H0.5)

(0.26) Nêu đăt: i2 /nn e cos(2 /n) i sin(2 /n)

thì : 1/n 2 n 1n n n1 1, , ,...., (0.27)

(H0.5)

1/n 2 n 10 0 n 0 n 0 nz w ,w ,w ,....,w Kêt luân: (0.28)


VD 0.6.1: Căn bâc n cua sô phưc

Tinh cac sô phưc, cho kêt qua dang đai sô (dang vuông góc) ?

3a. j

4b. 1 Tra lơi:

3 j 3 j

2 2 2 2; ; j

1; j; 1; j


0.7 Miên trong măt phăng phưc:

(0.29) Cân cua z0 : 0 0D(z , ) z : z z

' 0 0D (z , ) z :0 z z Cân Vô tâm cua z0 : (0.30)

z0 la Điêm Trong cua S nêu: 0D(z , ) S

z0 la Điêm Ngoai cua S nêu: 0D(z , ): D S

z0 la Điêm Biên cua S nêu: 0 1 2D(z , ) coùchöùaz S vaøz S

!Lưu y: Điêm biên không phai Điêm trong ma cung không phai Điêm Ngoai.


0.7 Miên trong măt phăng phưc: (tiêp theo)

Biên cua S (ky hiêu S) la tâp tât ca Điêm Biên cua S.

S Hơ nêu S không chưa Điêm Biên moi z0 cua S la Điêm Trong.

S Kin nêu S chưa tât ca Điêm Biên.

Bao Kin cua S (ky hiêu laS) S S S

!Lưu y: S có thê không hơ va không kin. Vi du: 0 1 S z : z

!Lưu y: C vưa hơ vưa kin (vì C không có Điêm Biên).

S Liên Thông nêu z1, z2 S, Đương đa giac [z1...z2] S.

S la 1 Miên nêu S hơ va liên thông.


0.7 Miên trong măt phăng phưc: (tiêp theo)

S Bi chăn nêu R > 0 : S D (0, R).

z0 la Điêm Tu cua S nêu moi D'(z0, ) có chưa it nhât môt z1S.

S kin S chưa moi Điêm Tu cua nó.

Đia Hơ: D(z ,r) z : z z r 0 0 (0.31)

Đia Hơ Vô Tâm: D (z ,r) z : z z r ' 0 00 (0.32)

Đia Kin: D(z ,r) z : z z r 0 0 (0.33)

Vong Tron: C(z ,r) z : z z r 0 0 (0.34)

Vanh Tron: A(z ,r ,r ) z : r z z r 0 1 2 1 0 2 (0.35)


Chương 1: Chuôi Fourier

1.1 Ham tuân hoan.

1.2 Chuôi Fourier cua ham tuân hoan.

1.3 Cac công thưc khac tinh hê sô Fourier.

1.4 Khai triên ban ky.

1.5 Cac dang khac cua chuôi Fourier.

1.6 Ưng dung cua chuôi Fourier.


1.1 Ham tuân hoan

Đinh nghia 1.1:

Ham f tuân hoan, chu ky T, tân sô cơ ban 0 = 2/T nêu thoa:

f(t T) f(t) t (1.1)

Phân loai: tuân hoan sin va không sin.

Lưu y: cach xây dưng ham toan hoc mô ta f(t) trong môt chu ky .


VD1.1.1: Tìm chu ky T cua tin hiêu tuân hoan

6 ms

5 ms


1.2 Chuôi Fourier cua môt ham tuân hoan

Chuôi Fourier cua môt ham tuân hoan f, chu ky T la:

Vôùi : n = 1,2 …0 = 2/T = taàn soá cô baûn

a0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chuỗi Fourier .

10 n 0 n 02

1

f(t) a a cos(nω t) b sin(nω t)n

(1.2)


Cac hê sô chuôi Fourier:

(1.3)0

0

2a f(t)dt

T

T

n 0

0

2a f(t)cos(nω t)dt

T

T

(1.4)

n 0

0

2b f(t)sin(nω t)dt

T

T

(1.5)


Điêu kiên tôn tai:

Đinh nghia 1.2:

Môt ham f thoa điêu kiên Dirichlet trên môt khoang I nêu va chi nêu f bi chăn va cung lăm la có môt sô hưu han điêm cưc đai va cưc tiêu va môt sô hưu han điêm gian đoan trên I.

Đinh ly 1.1: (Đinh ly Dirichlet)

Nêu ham f tuân hoan chu ky T va thoa điêu kiên Dirichlet trên môt khoang I thì chuôi Fourier cua f hôi tu vê :

● f(t) nêu f liên tuc tai t.● ½[f(tk

+) + f(tk-)] nêu f gian đoan tai t.


VD1.2.1: Tìm chuôi Fourier

a) Xac đinh chuôi Fourier ?b) Kiêm lai dung MATLAB ?

GiaiChu ky va tân sô cơ ban:

Cac hê sô chuôi Fourier: a0 = 2,


VD1.2.1: Kiêm lai dung MATLAB

pi = 3.14159; N = 100; T = 3; a0 = 1;w0 = 2*pi/T;t = linspace(0,2*T,600);for n=1:N a(n)= (3/(n*pi))*sin(4*n*pi/3); b(n)= (3/(n*pi))*(1 - cos(4*n*pi/3));endfor i=1:length(t) f(i) = a0; for n=1:length(a) f(i) = f(i) + a(n)*cos(n*w0*t(i)) + b(n)*sin(n*w0*t(i)); endendplot(t,f,'black');xlabel('t(s)');ylabel('f(t)');


1.3 Cac công thưc khac tinh hê sô chuôi Fourier

1.3.1 Bươc nhay cua môt ham:

Đinh nghia 1.3:

Bươc nhay cua môt ham f tai tk la: Jk = f(tk+) – f(tk

-) (1.6)

1.3.2 Hai công thưc lăp đê tinh hê sô chuôi Fourier:


Đinh ly 1.2:

Nêu f la ham tuân hoan chu ky T, thoa điêu kiên Dirichlet va có m bươc nhay J1, J2, …, Jm tai m điêm gian đoan t1 < t2 < … < tm trong môt khoang chu ky nửa hơ [a, a + T) thì:

0

m1 1'

n n k 0 knω nπk 1

a b J sin(nω t )

( n = 1, 2, … )

(1.7)

( bn’ = hê sô chuôi Fourier cua ham f’)


Đinh ly 1.3:

Nêu f la ham tuân hoan chu ky T, thoa điêu kiên Dirichlet va có m bươc nhay J1, J2, …, Jm tai m điêm gian đoan t1 < t2 < … < tm trong môt khoang chu ky nửa hơ [a, a + T) thì:

( n = 1, 2, … )

(1.8)

( an’ = hê sô chuôi Fourier cua ham f’)

0

m1 1'

n n k 0 knω nπk 1

b a J cos(nω t )


1.3.3 Tôc đô tiên vê 0 cua cac hê sô chuôi Fourier Đinh ly 1.4:

1. Khi n , cac hê sô an va bn trong chuôi Fourier cua ham tuân hoan f thoa điêu kiên Dirichlet tiên đên 0 it nhât cung nhanh như c/n, vơi c = hăng sô không phu thuôc n.

2. Nêu trong 1), f gian đoan trong [a, a + T) thì an hoăc bn, va thương la ca hai, không thê 0 nhanh hơn c/n.

3. Nêu f, f’, …, f(k) thoa điêu kiên Dirichlet va liên tuc khăp nơi thì an va bn 0 it nhât cung nhanh như c/nk+2.

4. Nêu trong 3), f gian đoan trong [a, a + T) thì an hoăc bn, va thương la ca hai, không thê 0 nhanh hơn c/nk+2.


1.3.4 Đao ham va tich phân cua chuôi Fourier Đinh ly 1.5:

Tich phân cua môt ham f thoa điêu kiên Dirichlet có thê tìm băng cach lây tich phân cua tưng sô hang chuôi Fourier cua nó.

Đinh ly 1.6:

Cho môt ham f tuân hoan thoa điêu kiên Dirichlet va liên tuc khăp nơi; nêu f’ cung thoa điêu kiên Dirichlet; va nêu f’(t) tôn tai thì nó có thê tìm băng cach lây đao ham tưng sô hang chuôi Fourier cua ham f.


VD1.3.1: Tìm chuôi Fourier = công thưc lăp

Xac đinh f’(t), tk va Jk:

Xac đinh cac hê sô chuôi Fourier dung công thưc lăp ?

Giai

0

10

2

f(t)

0

T

2

f’(t)

0

T

t1

10

2t2

f(t) tk t2 = t1 = 0

Jk 10 – 10


VD1.3.1: Tìm chuôi Fourier = công thưc lăp

Xac đinh cac hê sô chuôi Fourier:

Xac đinh cac hê sô chuôi Fourier dung công thưc lăp ?

Giai

0

10

2

f(t)

0

0

1( ) 5

2

Taf t dt

T

1n nπ

a [10.sin(0) 10sin( )] 0n

1 20(n:odd)n nπ nπ

b [10.cos(0) 10cos( )]n


1.4 Khai triên ban ky

1.4.1 Chuôi Fourier côsin:

Đinh ly 1.7:

Nêu f la ham tuân hoan chăn, thoa điêu kiên Dirichlet thì chuôi Fourier cua nó có dang:

10 n 02

n 1

f(t) a a cos(nω t)

(1.9)

T/2

n 0

0

4a f(t)cos(nω t)dt

T (1.10)Vơi:


1.4.2 Chuôi Fourier sin:

Đinh ly 1.8:

Nêu f la ham tuân hoan le, thoa điêu kiên Dirichlet thì chuôi Fourier cua nó có dang:

n 0n 1

f(t) b sin(nω t)

(1.11)

T/2

n 0

0

4b f(t)sin(nω t)dt

T (1.12)Vơi:


1.4.3 Chuôi Fourier cua ham chi xac đinh trên [0,T/2]:

Đinh ly 1.9:

Nêu f la ham chi xac đinh trên khoang kin [0, T/2] va thoa điêu kiên Dirichlet thì nó có thê đươc khai triên thanh chuôi Fourier côsin (1.9) vơi an cho bơi (1.10); hoăc thanh chuôi Fourier sin (1.11) vơi bn cho bơi (1.12).

Kêt luân:

(1.9) = goi la chuôi côsin ban ky.(1.11) = goi la chuôi sin ban ky.Ca hai goi chung la khai triên ban ky.


VD1.4.1: Chuôi Fourier cho tin hiêu đôi xưng

Ta biêu diễn f(t) theo g(t):

g(t) la tin hiêu đôi xưng le nên có chuôi Fourier:

Giai

Cho ham f(t) đinh nghia bơi : f(t) = t + ( – < t < ) va f(t) = f(t + 2). Xac đinh chuôi Fourier biêu diễn cho f(t) ?

f(t) = + g(t)

T = 2; 0 = 1; g(t) = t (0 < t < )


VD1.4.1: Chuôi Fourier cho tin hiêu đôi xưng

Giai

Cho ham f(t) đinh nghia bơi : f(t) = t + ( – < t < ) va f(t) = f(t + 2). Xac đinh chuôi Fourier biêu diễn cho f(t) ?

π π

0 0n 0 2

0 00 0 0

tcos(nω t) sin(nω t)4 2 2b tsin(nω t)dt cos(nπ)

2 nω (nω ) n

Chuôi Fourier cua g(t): nn 1

g(t) b sin(nt)

Chuôi Fourier cua f(t): n 1

cos(n )f(t) 2 sin(nt)

n


VD1.4.2: Khai triên ban ky

Giai

Cho ham f(t) đinh nghia bơi : f(t) = t + 3 ( 0 < t < 2). Xac đinh chuôi Fourier sin biêu diễn cho f(t) ?

bn = 2

nπ(3 5cos )n

Thiêt lâp ham le va xac đinh:

Do đó chuôi Fourier sin:

16 π 2 π 16 π 1 π

π 2 π 2 3π 2 π 2f(t) sin( t) sin(2 t) sin(3 t) sin(4 t)...


1.5 Cac dang khac cua chuôi Fourier

1.5.1 Chuôi Fourier dang sóng hai:

Đăt:1 2 2

0 0 n n n2

1 1n n n n n n

A a ; A a b ;

α tan (b /a ); β tan (a /b )

(1.13)

(1.14)

(1.15)0 n 0 n1

f(t) A A cos(nω t α )n

Dang sóng hai côsin cua chuôi Fourier:

(1.16)0 n 0 n1

f(t) A A sin(nω t β )n

Dang sóng hai sin cua chuôi Fourier:


1.5.2 Dang mu phưc cua chuôi Fourier

Đăt:1 n n n n

0 0 n n n2

a ib a ibc a ; c ; c c

2 2

(1.17)

(1.18)

Ta có dang mu phưc cua chuôi Fourier:

0inω tnf(t) c e

n

0

/ 2inω t

n

/ 2

1c f(t).e

T

T

dtT

Vôùi soá phöùc cn : (1.19)


1.5.3 Quan hê giưa cac hê sô an, bn, An, cn :

0 0 n n n n

n n n n

a 2c ; a c c 2Re{c };

b i(c c ) 2 Im{c }

(1.20)

1 12 20 0 n n n n n2 2

c A ; |c | | c | a b A (1.21)

1n n n n

1n n n n

arg{c } tan (b /a ) α ;

arg{c } tan (b /a ) α

(1.22)

n n1 1iα iα0 0 n n n n2 2

c A ; c A e ; c A e (1.23)


1.5.4 Phô biên đô cua chuôi Fourier:

2π0 T

ω (1.24)Goi tân sô cơ ban la :

2nπn 0 T

ω nω (1.25)Va tân sô cua sóng hai bâc n la :

(1.26)0inω t

nf(t) c en

0

/ 2inω t

n

/ 2

1c f(t).e

T

T

dtT

(1.27)

Dưa vao chuôi Fourier mu phưc :

Phô biên đô con goi la phô tân sô hay tân phô.

Đinh nghia 1.4: Phô biên đô cua chuôi Fourier mu phưc cua ham tuân hoan f la đô thi cac điêm (n0, |cn|). (1.28)


VD1.5.1: Cac dang khac cua chuôi Fourier

Tinh cac hê sô:

Giai

Xac đinh chuôi Fourier dang mu phưc biêu diễn cho v(t) ?

Xac đinh cac thông sô: 6T 30

2

0

2

1( ) 2

6C v t dt

0

4 1 1 2nπ nπ nπi t i t i tinω t 3 3 3

n

2 2 1 1

1 1C v(t).e 4 2 4

6 6

dt e dt e dt e dt


VD1.5.1: Cac dang khac cua chuôi Fourier

Rut gon:

Giai

Xac đinh chuôi Fourier dang mu phưc biêu diễn cho v(t) ?

2nπ nπ nπ nπ nπ 2nπi i i i i i

3 3 3 3 3 3n

1C 4 4 2 2 4 4

i2nπ

e e e e e e

n

1 2C 4sin 2sin

n 3 3

n n

Chuôi dang mu phưc: nπi t

3

nn 0

1 2v(t) 2 4sin 2sin

n 3 3

n n

e


1.6 Ưng dung cua chuôi Fourier1.6.1 Tri hiêu dung cua ham tuân hoan:

Nêu môt ham tuân hoan f chu ky T đươc khai triên lân lươt thanh chuôi Fourier dang chuân (1.2), dang sóng hai côsin (1.15), hoăc sin (1.16) va dang mu phưc (1.18) thì tri hiêu dung (RMS value) fhd cua ham f lân lươt la:

(1.29) 2

2 20hd n n

n 1

a 1f a b

4 2

(1.30)12 2hd 0 n2

n 1

f A A

(1.31)2 2hd 0 n

n 1

f c 2 |c |


1.6.2 Tai vơi nguôn ap tuân hoan:

Nêu môt tai (tâp hơp cac phân tử R, L, C nôi vơi nhau môt cach bât ky) đươc câp điên bơi môt nguôn ap v(t) tuân hoan chu ky T, thì muôn tìm thanh phân xac lâp i(t) cua dong qua tai do v(t) tao ra, ta thưc hiên cac bươc sau:

(1.32)0 n 0 n

1

v(t) V V cos(nω t α )n

B1. Khai triên v(t) thanh chuôi Fourier dang sóng hai.

0 n1

v(t) V v (t)n

(1.33)

B2. Tìm thanh phân môt chiêu I0 cua i(t) do thanh phân môt chiêu V0 cua v(t) tao ra (dung PP giai mach môt chiêu).


1.6.2 Tai vơi nguôn ap tuân hoan: (tiêp theo)

(1.35)0 n 0 n n

1

i(t) I I cos(nω t α )n

B4. Dung nguyên ly xêp chông viêt lai kêt qua:

0 n1

i(t) I i (t)n

(1.34)

B3. Tìm lân lươt cac thanh phân xoay chiêu in(t) cua i(t) do tưng thanh phân xoay chiêu vn(t) cua v(t) tao ra (dung PP giai mach xoay chiêu – vi du phương phap vectơ biên đô phưc).


1.6.3 Giai PTVP có vê hai la ham tuân hoan:

Xét phương trình vi phân (PTVP) câp hai, tuyên tinh, hê sô hăng, có điêu kiên đâu:

B1. Tìm nghiêm tông quat cua phương trình không vê hai liên kêt vơi (1.36):

(1.36)ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = f(t) (ham tuân hoan)

y(0) = y0; y’(0) = y’0 (1.37)

(1.38)ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = 0

Nghiêm tông quat nay có dang:

yc(t) = c1y1(t) + c2y2(t)


B2. Khai triên f(t) thanh chuôi Fourier:

Gia sử ta khai triên f(t) thanh chuôi Fourier, vi du dang chuân (1.2) :

(1.41)Vơi: f0(t) = ½a0; fn(t) = ancos(n0t) + bnsin(n0t)

10 n 0 n 02

1

f(t) a a cos(nω t) b sin(nω t)n

(1.39)

nn 0

f(t) f (t)

(1.40)


B3. Lân lươt giai cac PTVP:

(1.42)ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = fn(t)

Vơi n = 0, 1, 2, … đê tìm cac nghiêm ypn(t) cua chung.

Trong đó, ypn(t) = la thanh phân thư n cua nghiêm riêng yp(t) cua PTVP (1.36).


B4. Dung nguyên ly xêp chông:

Nghiêm riêng cua (1.36) có dang :

p pnn 0

y (t) y (t)

(1.43)

B5. Nghiêm tông quat cua (1.36):

y(t) = yc(t) + yp(t)

1 1 2 2 pnn 0

y(t) c y (t) c y (t) y (t)

(1.44)


B6. Dung cac điêu kiên đâu: đê tinh c1 va c2

B7. Nghiêm cua PTVP:

1 1 2 2 pn 0n 0

y(0) c y (0) c y (0) y (0) y

(1.45)

1 1 2 2 pn 0n 0

y'(0) c y' (0) c y' (0) y' (0) y'

(1.46)

Giai hê (1.45) & (1.46) ta có c1 va c2.

Thay c1 va c2 vao (1.44), ta có y(t) la nghiêm cua PTVP (1.36) & (1.37)


VD1.6.1: Ưng dung cua chuôi Fourier

Giai

Tin hiêu ap trên môt nhanh cho bơi: v(t) = – 2 + 10cos(4t) + 8cos(6t) + 6cos(8t) – 5sin(4t) – 3sin(6t) – sin(8t) V. Xac đinh: (a) Chu ky cua v(t) ? (b) Tri trung bình cua v(t) (c) Tri hiêu dung cua v(t) ?

a) Xac đinh T: Có:

b) Tri trung bình cua v(t): – 2

c) Tri hiêu dung cua v(t):

4T = k26T = l28T = m2

l = 3k/2

m = 2k

k = 2l = 3

m = 4T =

12 2 2 2 2 2 2hd 2

V ( 2) [10 8 6 5 3 1 ] 11,023


Chương 2: Tich phân va biên đôi Fourier

2.1 Tich phân Fourier.

2.2 Phép biên đôi Fourier.


2.1 Tich phân Fourier

Chuôi Fourier: dung phân tich cac tac đông la tin hiêu tuân hoan lên cac mach điên va hê thông.

Tich phân Fourier: dung phân tich cac tac đông la tin hiêu không tuân hoan lên cac mach điên va hê thông.


2.1.1 Tich phân Fourier mu phưc:

Xét ho ham tuân hoan fT(t), chu ky T ma đinh nghia trong khoang (-T/2, T/2) la :

T

0 T/2 t 1

f (t) 1 1 t 1

0 1 t T/2

(2.1)

Đăt: (2.2)2π

Tω

Va: (2.3)2nπn T

ω n ω Thì chuôi Fourier côsin cua fT(t) la:

nsin(ω )2T π

n 1

f (t) cos ωn

nt

(2.4)


2.1.1 Tich phân Fourier mu phưc: (tiêp theo)

Nêu đinh nghia Ham biên đô A() la:2

π

2 sin

π

ω 0A(ω)

ω 0

(2.5)

Thì: nsin(ω )2T π

n 1

f (t) cos ωn

nt

(2.6)

T nn 1

f (t) A(ω )cos ωnt

(2.7)

Khi T thì vê trai cua (2.6) có giơi han la xung cô lâp:0 |t| 1

f(t)1 |t| 1

(2.8)


2.1.1 Tich phân Fourier mu phưc: (tiêp theo)

Măt khac vê phai cua (2.7) có giơi han la:

2 sin cos

π 0 t d

(2.9)

0A(ω)cosωtdω

(2.10)

Vây ta có thê tiên đoan răng :

2 sin cos

π0 0

0 |t| 1A(ω)cosωtdω

1 |t| 1t d

(2.11)

Chưng minh tương tư ta đươc :


Đinh ly 2.1:

Nêu f(t) thoa điêu kiên Dirichlet trên moi khoang hưu han, va nêu :

|f(t)|dt

hôi tu thì:

1 1iωt i t +

2π 2f(t)e dt e dω f(t ) f(t )

(2.12)

Nêu đinh nghia ham C() bơi: 1 iωt

2πC(ω) f(t)e dt

(2.13)

Thì f(t) đươc biêu diễn bơi tich phân Fourier mu phưc::

i tf(t) C(ω)e dω

(2.14)


2.1.2 Tich phân Fourier dang chuân:

Nêu đinh nghia cac ham hê sô A() va B() bơi:

(2.15)1

A(ω) f(t) cos(ωt)dt

1B(ω) f(t)sin(ωt)dt

(2.16)

0

f(t) [A(ω)cos( ) B(ω)sin( )]t t d

(2.17)

Thì f(t) đươc biêu diễn bơi tich phân Fourier dang chuân:


2.1.3 Tich phân Fourier côsin va sin:

a) Nêu f(t) chăn , ta có :

(2.18)0

2A(ω) f(t) cos(ωt)dt

0

f(t) [A(ω)cos( )]t d

(2.19)

Thì f(t) đươc biêu diễn bơi tich phân Fourier côsin:

b) Nêu f(t) le, ta có :

(2.20)0

2B(ω) f(t)sin(ωt)dt


2.1.3 Tich phân Fourier côsin va sin: (tiêp theo)

0

f(t) [B(ω)sin(ωt)]d

(2.21)

Va f(t) đươc biêu diễn bơi tich phân Fourier sin:

Đinh ly 2.2:

Nêu ham f(t) 0 khi t < 0 thì vê phai cua (2.19) va (2.21) lân lươt băng hai lân sô hang thư nhât va thư hai trong tich phân Fourier dang chuân (2.17) cua f(t).


2.1.4 Tôc đô tiên vê 0 cua cac ham A() & B():

Khi , ta có môt đinh ly vê tôc đô tiên vê 0 cua cac ham hê sô A() va B() trong tich phân Fourier tương tư như Đinh ly 1.4 vê tô đô tiên vê 0 cua cac hê sô an va bn trong chuôi Fourier khi n .


2.1.5 Ưng dung tich phân Fourier :

Ta đê câp ưng dung đê tich tich phân suy rông. Xét xung cô lâp f(t) cho bơi (2.8):

0 |t| 1f(t)

1 |t| 1

(2.22)

Vì f(t) chăn nên ham hê sô A() cua nó cho bơi (2.18):

(2.23)1

2 2 sin

π π0

A(ω) cos(ωt)dt

Va f(t) đươc biêu diễn bơi tich phân Fourier côsin (2.19):

0

2 sin cosf(t)

td

(2.24)


2.1.5 Ưng dung tich phân Fourier : (tiêp theo)

Ap dung Đinh ly 2.1 ta đươc :

0

1 |t| 12 sin cos

1/2 |t| 1

0 |t| 1

td

(2.25)

Cho t = 0, ta có :

0

sin

2d

(2.26)


2.1.5 Ưng dung tich phân Fourier : (tiêp theo)

Nêu đinh nghia ham tich phân sin, ky hiêu Si, bơi :

x

0

sinSi(x) d

(2.27)

Ta có : Si() = /2. (2.28)

Cho t = 1, ta đươc:

0

sin cos

4d

(2.29)


VD2.1.1: Tich phân Fourier

Biêu diễn ham f(t) dươi dang tich phân Fourier?

t ( )f(t)

0 ( | | )

t

t

Giai

f(t) la ham le:0 0

2 2B(ω) f(t)sin(ωt) t.sin(ωt)

dt dt

2

/ 2 (t )2sin(ωπ) 2 t ( )

/ 2 (t )πω0 ( |t| )0

f(t) cos( ) sin(ωt)

td

2

2 sin(ωπ)

π ωcos( )

Biêu diễn f(t) dung tich phân Fourier:


VD2.1.2: Tich phân Fourier côsin

Giai

Biêu diễn ham f(t) dươi dang tich phân Fourier côsin ?

1 (0 1)f(t)

0 (1 )

t

t

Xac đinh:1

0 0

2 2A(ω) f(t) cos(ωt) cos(ωt)

dt dt

2sin(ω)

πω

2sin(ω)

πω0

f(t) cos(ωt)

d

Biêu diễn f(t) dung tich phân Fourier côsin:


2.2 Phép biên đôi Fourier

2.2.1. Căp biên đôi Fourier phưc:

Xét căp tich phân phưc (2.13) va (2.14), đăt:

F() = 2.C() (2.30)

Ta có căp biên đôi Fourier phưc mơi:

iωtF(ω) f(t).e dt

(2.31)

iωt1f(t) F(ω).e

2d

(2.32)


Đinh nghia 2.1:

Goi f(t) la ham thoa man điêu kiên Dirichlet trên moi khoang hưu han va :

|f(t)|dt

: hôi tu.

Phép biên đôi Fourier la ham có miên xac đinh la tâp hơp cac ham f(t) va miên gia tri la tâp hơp cac ham F() xac đinh bơi:

iωtF(ω) {f(t)} f(t).e dt

F (2.33)

Ham F() = biên đôi Fourier cua f(t): F() = [f(t)] (2.34)

Va f(t) = biên đôi Fourier ngươc: f(t) = –1[F()] (2.35)

Căp ham f(t) va F() = Căp biên đôi Fourier phưc.


2.2.2 Căp biên đôi Fourier côsin va sin:

1. Nêu f(t) chăn thì tư căp tich phân Fourier côsin (2.18) & (2.19) ta có căp Biên đôi Fourier côsin :

CF (ω) f(t).cos( )t dt

(2.36)

C

2f(t) F (ω).cos( t)d

(2.37)


2. Nêu f(t) la le :

Thì tư căp tich phân Fourier sin (2.20) & (2.21) ta có căp Biên đôi Fourier sin :

SF (ω) f(t).sin( )t dt

(2.38)

S

2f(t) F (ω).sin( t)d

(2.39)


Kêt luân:

Nêu ky hiêu phép Biên đôi Fourier côsin la C, ta viêt :

(2.40)FC() = C[f(t)]; f(t) = C–1[FC( )]

Nêu ky hiêu phép Biên đôi Fourier sin la S, ta viêt :

(2.41)FS() = S[f(t)]; f(t) = S–1[FS( )]

FC() = Biên đôi Fourier côsin cua f(t).

FS() = Biên đôi Fourier sin cua f(t).

f(t) = Biên đôi Fourier côsin ngươc cua FC().

f(t) = Biên đôi Fourier sin ngươc cua FS().

Trong đó:


VD2.2.1: Biên đôi Fourier phưc

Tìm biên đôi Fourier phưc cua ham f(t) ? te ( 0)f(t)

0 ( 0)

t

t

Giai

Dung đinh nghia:

(1 iω)tiωt (1 iω)t

0 0

F(ω) f(t).e(1 iω)

e

dt e dt

1F(ω)

1 iω


2.2.3 Cac tinh chât cua phép biên đôi Fourier

Đinh ly 2.3: (Tuyên tinh)

(2.42)[c1f1(t) + c2f2(t)] = c1F1() + c2F2()

Đinh ly 2.4: (Đôi xưng)

(2.43)[f(t)] = F() thì [F(t)] = 2f(–)

Đinh ly 2.5: (Đôi thang thơi gian)

(2.44)1

[f(at)] F| a | a

F

Đinh ly 2.6: (Dơi trong miên thơi gian)

(2.45) 0i t0[f(t t )] F e F


Lưu y:

(2.46) 0i t10[F e ] f(t t ) F

Nêu viêt (2.45) dươi dang:

Thì ta có thê tìm biên đôi Fourier ngươc cua ham G() có thưa sô exp(–it0) băng 3 bươc:

B1. Xóa thưa sô exp(–it0) trong G(), ta con lai F().

B2. Tìm –1[F()] = f(t).

B3. Thay t bơi (t – t0) trong f(t).


VD2.2.2: Biên đôi Fourier phưc

a) Dung đinh nghia:

a) Tìm biên đôi Fourier phưc cua ham f(t) dung đinh nghia?

b) Suy ra [g(t)] dung tinh chât biên đôi ?

Giai

1

0

f(t)

ta/2-a/2

1

0

g(t)

ta

2sin( / 2)F(ω)

ω

a

iωa/2 iωa/22sin( / 2)G(ω) F(ω)e e

ω

a

b) Dung tinh chât dơi ơ miên t: do g(t) = f(t – a/2) nên :


Đinh ly 2.7: (Dơi miên tân sô)

Thì ta có thê tìm biên đôi Fourier ngươc cua môt ham G() có dang F( – 0) băng 3 bươc:

B1. Thay ( – 0) bơi , ta có ham mơi F().

B2. Tìm –1[F()] = f(t).

B3. Nhân f(t) vơi exp(i0t)).

(2.47) 0i t0[e .f(t)] F F

Nêu viêt (2.47) dươi dang: (2.48) 0i t10[F ] e .f(t) F


VD2.2.3: Dơi miên tân sô

a) Dung đinh nghia:2sin( )

F(ω)ω

b) Có [sin(2t).f(t)] = [(ei2t – e–i2t).f(t)]/2i = G()


b) Suy ra G() = [sin(2t).f(t)] dung tinh chât dơi tân sô ?

1

0

f(t)

t1- 1

1 2sin( 2) 2sin( 2)

2i ω 2 ω 2G(ω)

sin( 2) sin( 2)

ω 2 ω 2G(ω) i


Đinh ly 2.8: (Đao ham theo thơi gian)

B1. Tinh đao ham câp n cua f(t).

B2. Tìm biên đôi Fourier cua ham mơi.

B3. Chia cho (i)n.

Nêu f(n – 1)(t) liên tuc va f(n)(t) it ra la liên tuc tưng đoan trên (, ) va nêu : (n 1) (n)|f (t)|dt & |f (t)|dt

: hôi tu.

Thì : (2.49)[f(n)(t)] = (i)nF()

Nêu viêt (2.49) dươi dang: F() = [f(n)(t)]/(i)n thì ta có thê tìm biên đôi Fourier cua f(t) băng 3 bươc :

(2.50)


VD2.2.4: Đao ham theo thơi gian


b) Suy ra G() = [g(t)] dung tinh chât đao ham theo thơi gian ?

g(t)10

4 – 4

t(s)

0

f(t)

2,5

4 – 4

t(s)

0

-2,5

a) Dung đinh nghia:5

iωF(ω) [cos(4 ) 1]

b) Do g() = 0 va g’(t) = f(t) nên:

(iω)G(ω) F(ω)

2

5

ωG(ω) [1 cos(4 )]


Cac hê luân cơ ban:

Hê luân 2.1: (2.51)C[f’(t)] = S[f(t)] – f(0) = FS() – f(0)

Hê luân 2.2: (2.52)S[f’(t)] = – C[f(t)] = – FC()

Hê luân 2.3:

(2.53)C[f’’(t)] = – 2C[f(t)] – f’(0) = – 2FC() – f’(0)

Hê luân 2.4:

(2.54)S[f’’(t)] = – 2S[f(t)] + f(0) = – 2FS() + f(0)


Đinh ly 2.9: (Đao ham theo tân sô)

B1. Tinh đao ham câp n cua F().

B2. Tìm biên đôi Fourier ngươc cua ham mơi.

B3. Nhân vơi in/tn .

(2.55)[tnf(t)] = inF(n)()

Nêu viêt (2.55) dươi dang:

thì ta có thê tìm biên đôi Fourier ngươc cua F() băng 3 bươc :

(2.56)n 1 (n)

1n

i [F ( )]f(t) [F( )]

t

F

F


VD2.2.5: Đao ham theo tân sô

a) Dung đinh nghia: iω1 e

iωF(ω)

b) Do g(t) = t.f(t) nên: G(ω) iF'(ω)


b) Suy ra G() = [g(t)] dung tinh chât đao ham theo tân sô ?

g(t)1

1

t(s)

0

f(t)1

1

t(s)

0

iω iω iω iω

2 2

ie .iω i(1 e ) iωe e 1)

ω ωG(ω) i


2.2.4 Tich châp (convolution)

Đinh nghia 2.2:

(2.57)t

0f (t) g(t) f (x)g(t x)dx

1. Tich châp môt phia: cua f(t) vơi g(t)

(2.58)f (t) g(t) f (x)g(t x)dx

2. Tich châp hai phia: cua f(t) vơi g(t)


Đinh ly 2.10: (Châp tân sô)

Nêu f(t) va g(t) thoa điêu kiên Dirichlet trên moi khoang hưu han va kha tich tuyêt đôi trên (, ) thì :

(2.59)1 1

[f (t).g(t)] F( ) G( ) F(x)G( x)dx2 2

F

Đinh ly 2.11: (Đinh ly biên đô Parseval)

(2.60)2 21[f (t)] dt | F( ) | d

2


Đinh ly 2.12: (Châp thơi gian)

Nêu f(t) = g(t) 0 khi t < 0 thì :

(2.61)1[F( ).G( )] f (t) g(t) f (x)g(t x)dx

F

Hê luân 2.5: (Châp thơi gian môt phia)

(2.62)t1

0[F( ).G( )] f (t) g(t) f (x)g(t x)dx F


VD2.2.6: Đinh ly Parseval

Tinh vê trai:

5

3+iωV(ω)

Kiêm chưng đinh ly Parseval vơi tin hiêu:

3t5 ( 0)v(t)

0 ( 0)

e t

t

6 252 6

6 60 0( ) 25 25

tetv t dt e dt

Biên đôi Fourier:

Tinh vê phai:

2

1 1 25 25 1 ω 252 1

2 2 3 3 6ω 9 0| V(ω)| dω tan

d Đinh ly đa đươc kiêm chưng.

Toan Tử Laplace

Phân II:


Nôi dung phân II:


Chương 3: Phép Biên đôi Laplace thuân .

Chương 4: Phép Biên đôi Laplace ngươc.

Chương 5: Ưng dung biên đôi Laplace vao ODE.

Chương 6: Ưng dung biên đôi Laplace vao giai tich mach.


Chương 3: Phép biên đôi Laplace thuân

3.1 Đinh nghia

3.2 Cac căp biên đôi Laplace quan trong.

3.3 Cac tinh chât cua biên đôi Laplace.

3.4 Cac căp biên đôi Laplace thông dung.

3.5 Tinh tich phân suy rông.


3.1 Đinh nghia:

3.2 Cac căp biên đôi Laplace quan trong: ( Bang 3.1)

0

F(s) f(t) f(t)

ste dtL (3.1)


3.2 Cac căp biên đôi Laplace quan trong: (tt)


3.2 Cac căp biên đôi Laplace quan trong: (tt)


VD 3.2.1: Tìm biên đôi Laplace dung bang

01

( ) stF s es

F(s) = 1/s

F(s) = E/s

F(s) = E/(s+a)

2 2 2 2( ) cos( ) sin( )

sF s A

s s

2 2( )F s A

s

F(s) = (E/s).e-st0

F(s) = A/s2 + B/s

d. f(t) = E.e-at

c. f(t) = E (nguôn DC)

b. f(t) = u(t – t0)

a. f(t) = u(t)

h. f(t) = At + B

g. f(t) = Asin(t + ) (AC)

f. f(t) = Asin(t)

e. f(t) = E.u(t - t0)

Tìm anh Laplace cua cac ham sau dung cac căp biên đôi:


3.3 Cac tinh chât cua biên đôi Laplace: (Bang 3.2)


Bang 3.2: (tiêp theo)

3.4 Cac căp biên đôi Laplace thông dung: ( Bang 3.1)

3.5 Tinh tich phân suy rông:

os to o oo

I e f(t)dt F(s ) (s ) (3.2)


VD 3.3.1: Tìm F(s) dung tinh chât biên đôi

Tìm anh Laplace cua cac ham sau dung tinh chât biên đôi:

a) f(t) = e-2t.cos(3t).u(t)

b) f(t) = 2t.u(t) + 5e-3(t-2).u(t-2)

c) f(t) = 2e-(t-1).u(t)

d) f(t) = (t + 4).u(t)

2

( 2)F(s)

( 2) 9

s

s

22

1 1F(s) e

( 3)s

s s

2F(s)

( 1)

e

s

2

1 4F(s)

s s


VD 3.3.2: Tìm F(s) dung tinh chât biên đôi

b) Ta có: 2

2

s 4sin(2t)u(t)

L

Va: 2 2

2 2 2 2 2 3

d 2 d 4s 12s 162 2

dsds s 4 (s 4) (s 4)t .sin(2t)u(t) ( 1)

L

Tìm anh Laplace cua cac ham sau dung tinh chât biên đôi:

a) f(t) = e–tsinh(5t).u(t) b) f(t) = t2sin(2t).u(t)

a) Ta có: 2

5

s 25sinh(5t)u(t)

L

2

5t

(s 1) 25e sinh(5t)u(t)

LVa:


VD 3.3.3: Tìm F(s) cua tin hiêu xung

Tìm anh Laplace cua tin hiêu xung g(t):

Ta biêu diễn: g(t) = 10[u(t – 2) – u(t – 3)]

Ap dung tinh chât dơi theo t:

st0e

0 s10u(t t 10

L

2s 3se e

s sg(t) 10[ ]

L


VD 3.3.4: Tìm F(s) cua tin hiêu tuân hoan

Ta tìm biên đôi Laplace trong 1 chu ky cua f(t):

f1(t) = 2t[u(t) – u(t – 1)] = 2t.u(t) – 2(t – 1)u(t – 1) – 2u(t – 1)

Ap dung tinh chât dơi theo t:s s

2 2 2

2 2e 2e 2 s s1 ss s s

F (s) (1 e se )

1Ts 2 2s

F (s) 2 s s

1 e s (1 e )f (t) (1 e se )

L

Tìm anh Laplace cua tin hiêu tuân hoan f(t) ?

Anh Laplace cua tin hiêu tuân hoan:


Chương 4: Phép biên đôi Laplace ngươc

4.1 Đinh nghia.

4.2 Cac tinh chât cua biên đôi Laplace ngươc.

4.3 Tich châp.

4.4 Biên đôi Laplace ngươc cua ho ham hưu ty.


4.1 Đinh nghia biên đôi Laplace ngươc:

(4.1) 1( ) f(t) f(t) ( ) F s F sL L

1L : la toan tử biên đôi Laplace ngươc.

Vì nên: 3 1e

3

t

sL 1 31

e3

t

sL

f(t) va F(s) : la môt căp biên đôi .

1 ( ) f(t) F sL : la duy nhât .


4.2 Cac tinh chât cua biên đôi Laplace ngươc:


VD 4.2.1 Tìm L–1 dung tinh chât biên đôi

1 2t 2t2

6 4 6.e cos4t 2.e sin4t

4 20

s

s sL

2 2 2 2

6 4 6( 2) 8 ( 2) 46 2

4 20 ( 2) 16 ( 2) 16 ( 2) 16

s s s

s s s s s

Ta phân tich:

12

6 4 ?

4 20

s

s sL


VD 4.2.2 Tìm L–1 dung tinh chât biên đôi

Dung bang tinh chât:

3

2 2

2 3 3 1f(t) ? s se e

s s sLTìm Biêu diễn f(t) theo t ?

f(t) 2 ( ) 3( 1) ( 1) 3( 3) ( 3)u t t u t t u t Biêu diễn theo t & đô thi: 2 (0 1)

2 3( 1) 3 1 (1 3)2 3( 1) 3( 3) 8 (3 )

f(t)t

t t tt t t


4.3 Tich châp:

t

0f(t) g(t) f(x)g(t x)dx (4.2)

Đinh nghia:

Đinh ly:

1 F(s)G(s) f(t)*g(t) L (4.3)

Phương trình tich phân:

t

oy(t) K (t x)y(x)dx f(t) (4.3)


VD 4.3.1 Tìm L–1 dung tich châp

2 2

1 1 1

( 1)s ( 1) s. ( ). ( )

ssF s G s

f(t) t; g(t) te

( )

0 0 0h(t) f ( ) ( )

t t tt x t xx g t x dx xe dx e xe dx

001

t tx x x t txe dx xe e te e h(t) [ 1] 1t t t te te e t e

Tìm 2

1 1

( 1)h(t)

s sL dung tich châp ?

Có:


4.4 Biên đôi Laplace ngươc ho ham hưu ty:

m m 1m m 1 1 o

n n 1n n 1 1 o

b s b s .... b s bP(s)F(s)

Q(s) a s a s ..... a s a

Cân tìm biên đôi Laplace ngươc cua F(s), vơi s phưc, ai & bi thưc va m < n.

(4.3)

a) Đinh ly:

Q(s) có đung n nghiêm, có tinh nghiêm bôi.


b) Bôn dang nghiêm cua Q(s):


c) Bôn dang thưa sô sơ câp cua Q(s):


d) Bôn dang ham hưu ty sơ câp:


e) Bôn dang thanh phân cua F(s):


f) Bôn dang thanh phân cua f(t):


g) Tam loai thanh phân cua f(t) Tam loai nghiêm cua Q(s):


VD 4.4.1: Ham hưu ty thưc, đơn

Tìm 1

2

3 7 ?

2 3

s

s sL

1 3t t2

3 7 4.e e

2 3

s

s sL

Có:

2

3 7 3 7

2 3 ( 3)( 1) ( 3) ( 1)

s s A B

s s s s s s

Nhân 2 vê vơi (s - 3), sau đó thê s = 3, ta có: A = 4.

Nhân 2 vê vơi (s + 3), sau đó thê s = -1, ta có: B = - 1.


VD 4.4.2: Ham hưu ty căp phưc, đơn

Có: 21 2 2

2 2

A A s10( 119)

( 5)( 10 169) ( 5) ( 10 169)

Bs

s s s s s s

Nhân 2 vê vơi (s + 5), va thay s = – 5, ta có: A1 = 10.

Thay s = 0 ơ ca 2 vê, ta có: B2 = – 100.

Nhân 2 vê vơi s, va tinh lim(s∞), ta có: A1 + A2 = 10.

Vây A2 = 0.

2 1

2

10( 119) ?

( 5)( 10 169)

s

s s s

LTìm:


VD 4.4.2: Ham hưu ty căp phưc, đơn (t. theo)2

12

10( 119) ?

( 5)( 10 169)

s

s s s

LTìm:

2

2 2

10( 119) 10 100

( 5)( 10 169) ( 5) ( 10 169)

s

s s s s s s

2

2 2

10( 119) 10 100 12

( 5)( 10 169) ( 5) 12 [( 5) 144]

s

s s s s s

2 1 5 5

2

10( 119) 10e 8.33 sin(12 )

( 5)( 10 169)t ts

e ts s s

L


Chương 5: Ưng dung biên đôi Laplace vao PTVP

5.1 Phương trình vi phân (PTVP) câp 1.

5.2 Phương trình vi phân câp 2.

5.3 Hê phương trình vi phân câp 1.

5.4 Ưng dung vao cơ hoc.


5.1 Phương trình vi phân câp 1:

a) Đinh nghia:

Xét PTVP câp 1 tuyên tinh, hê sô hăng, có vê hai, có điêu kiên đâu.

(5.1a)

o

y(t) ay(t) f(t)

y(0) y

'(5.1b)

Trong đó t la biên đôc lâp, y(t) la ham ân miên t, f(t) la ham vê hai (kich thich), a va y0 la hăng sô, y(0) la gia tri đâu cua y(t).


b) Cac bươc giai dung biên đôi Laplace:

(s + a)Y(s) = y0 + F(s)B1. Chuyên sang miên s.

B2. Giai trong miên s. oy F(s)Y(s)

s a s a

( ) ( ) ( )c pY s Y s Y s (5.2)

hay o 1 1Y(s) y Y (s) F(s)Y (s) (5.3)

vơi 11

Y (s)s a

(5.4)


B3. Chuyên ngươc vê miên t:

c py(t) y (t) y (t) (5.5)

o 1 1y(t) y y (t) f(t) y (t)hay (5.6)

atpy (t) f(t) e

tat ax

oe f(x)e dx

Va:

atc oy (t) y evơi (5.7)

tp 1 o

1

f(x)y (t) y (t) dx

y (x) hay (5.8)


c) So sanh vơi cac bươc giai trong miên t:

B1. Tìm nghiêm tông quat yc(t) cua phương trình không vê hai va có điêu kiên đâu liên kêt vơi (5.1a).

y(t) ay(t) 0 ' (5.9)

Đó la:at

c 1 1 1y (t) C e C y (t) (5.10)

B2. Tìm môt nghiêm riêng yp(t) cua phương trình có vê hai va không có điêu kiên đâu (5.1a).

B3. Suy ra nghiêm tông quat y(t) cua phương trình có vê hai (5.1a).

y(t) = yc(t) + yp(t) (5.11)

y(t) = C1y1(t) + yp(t)hay (5.12)


B4. Xac đinh hê sô C1:

Thê t = 0, ta có phương trình xac đinh hê sô C1.

p1

1

y(0) y (0)C

y (0)

(5.13)

Lưu y:

yc(t) = goi la Đap ưng tư nhiên, ky hiêu yn(t).

yp(t) = goi la Đap ưng cương bưc, ky hiêu yf(t).


VD 5.1.1: Giai PTVP bâc 1

2

26

4( ) 6 3 ( )

ssY s Y sB1: Biên đôi Laplace:

2

2 2 2

6 50 8 2 6

3( 3)( 4) ( 4) ( 4)Y( )

s s

ss s s ss

B2: Giai trong miên s :

1 3y(t) {Y( )} 8 2cos(2 ) 3sin(2 ) ts e t tL

B3: Tìm biên đôi ngươc:

Dung biên đôi Laplace giai PTVP sau: y’ + 3y = 13sin(2t). Biêt điêu kiên biên : y(0) = 6 ?


5.2 Phương trình vi phân câp 2:

a) Đinh nghia:

Xét PTVP câp 2 tuyên tinh, hê sô hăng, có vê hai, có điêu kiên đâu.

Trong đó t la biên đôc lâp, y(t) la ham ân miên t, f(t) la ham vê hai (kich thich), a, b, c, y0 va y’0 la hăng sô, y(0) va y’(0) la gia tri đâu cua y(t).

(5.14a)

(5.14b)

" '

'o o

ay (t) by (t) cy(t) f(t)

y(0) y ;y (0) y'



B1. Chuyên sang miên s.

B2. Giai trong miên s.

2o o o(as bs c)Y(s) ay s by ay' F(s)

(5.15)2 2

As B F(s)Y(s)

as bs c as bs c

hay (5.16)Y(s) = Yc(s) + Yp(s)

y(t) = yc(t) + yp(t) (5.17)

B3. Chuyên ngươc vê miên t:


c) Cac dang ham cua yc(t):

(5.18)c 2

As B P(s)Y (s)

Q(s)as bs c

Ta có:

Cac trương hơp nghiêm cua Q(s) cho trong Bang 5.1.Bang 5.1


d) Dang cua y(t):

(5.19)c py(t) y (t) y (t)

Vơi: c 1 1 2 2 ny (t) C y (t) C y (t) y (t) (5.20)

p fy (t) y (t)Va: (5.21)


VD 5.2.1: Giai PTVP bâc 2

2

12 ( ) 2 ( ) s

s Y s s Y sB1: Biên đôi Laplace:

2 2 2 2 2 2

1 2 1 3

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)Y( )

s s

s s s s s ss

B2: Giai trong miên s :

1y(t) {Y( )} cos 3sin s t t tLB3: Tìm biên đôi ngươc:

Dung biên đôi Laplace giai PTVP sau: y’’ + y = t. Biêt điêu kiên biên : y(0) = 1, y’(0) = - 2 ?


5.3 Hê phương trình vi phân câp 1:

a) Đinh nghia:

Xét hê PTVP câp 1 tuyên tinh, hê sô hăng, có vê hai, có điêu kiên đâu.

(5.22a)

(5.22b)

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 10 2 20

x (t) a x (t) a x (t) f (t)

x (t) a x (t) a x (t) f (t)

x (0) x ; x (0) x

'

'

(5.22c)



B1. Chuyên sang miên s.

B2. Giai trong miên s.

B3. Chuyên ngươc vê miên t: x1(t) va x2(t) có dang (5.17)

11 1 12 2 10 1

21 1 22 2 20 2

(s a )X (s) a X (s) x F (s)

a X (s) (s a )X (s) x F (s)

10 1 12

20 2 121

11 12

21 22

x F (s) a

x F (s) s aX (s) ;

s a a

a s a

11 10 1

21 20 22

11 12

21 22

s a x F (s)

a x F (s)X (s)

s a a

a s a

X1(s) va X2(s) có dang (5.15).


VD 5.3.1: Giai Hê PTVP bâc 1

Giai hê:' 2 3

' 2

x x y

y y x

(0) 8

(0) 3

x

yBiêt:

B1: Biên đôi Laplace:8 2 3

3 2

sX X Y

sY Y X

B2: Giai trong miên s : 2

8 17 5 3

1 43 4

s

s ss sX

2

3 22 5 2

1 43 4

s

s ss sY

B3: Tìm biên đôi ngươc: 1 4x(t) {X( )} 5 3 t ts e eL 1 4y(t) {Y( )} 5 2 t ts e eL


5.4 Ưng dung vao cơ hoc:

a) Bai toan vât ly:

P la chât điêm có khôi lương m, hoanh đô x(t), vân tôc v(t) va chiu tac đông cua 3 lưc (H5.1) :

H5.1

f1 = –kx (k > 0) la lưc hương tâm.

f2 = –v ( 0) la lưc ma sat (lưc lam tăt dân).

f3 = f3(t) la ngoai lưc, chi phu thuôc thơi gian.

Vao luc t = 0, P có hoanh đô đâu xo va vân tôc đâu vo.


b) Mô hình toan:

(5.23a)

0 0

mx" x' kx f(t)

x(0) x ; x'(0) v (5.23a)

(5.24a)

(5.24a)

" ' 2n n n n

n 0 n 0

mx 2 x x 0

x (0) x ; v (0) v

2m

nkm

va (5.25)

Gia sử n cho trươc, ta biên luân theo (mưc đô ma sat) như Bang 5.2.

Nghiêm miên s la:o o o

n 2 2n

x s v 2 x P(s)X (s)

Q(s)s 2 s

(5.26)

c) Đap ưng tư nhiên:


Bang 5.2:


Chương 6: Ưng dung biên đôi Laplace vao giai tich mach điên.

6.1 Đai cương.

6.2 Ho ham bât thương.

6.3 Biên đôi Laplace cua ho ham bât thương.

6.4 Quan hê ap – dong miên t.

6.5 Đinh luât Kirchhoff miên t.

6.6 Quan hê ap – dong miên s.

6.7 Đinh luât Kirchhoff miên s.

6.8 Tông trơ va tông dân miên s.

6.9 Cac bươc giai mach dung biên đôi Laplace.

6.10 Ham truyên.

6.11 Giai mach dung ham truyên khi điêu kiên đâu khac 0.


6.1 Đai cương:

Giai mach miên t: Hê phương trình vi phân.

Giai mach miên s: Hê phương trình đai sô.

Nguôn sin: Tông trơ phưc , chi dung tinh đap ưng cương bưc.

Nguôn bât ky, kê ca nguôn bât thương : Tông trơ miên s, Z(s). Phương phap nay tìm đươc đap ưng tông gôm có đap ưng tư nhiên va đap ưng cương bưc.


6.2 Ho ham bât thương:

1. Ho ham bươc:

Ham bươc đơn vi:0 0

1 0

tu(t)

t(6.1)

Ham bươc đơn vi trễ t0 giây:

00

0

0

1

t tu(t t )

t t(6.2)

Ham loc hay ham công:

0 1 u(t t ) u(t t ) (6.3)


2. Ho tich phân ham bươc:

Ham dôc đơn vi: (6.4)0

r(t) u( ) tu(t)

t

d

t tp(t) r( )d u(t)

!

2

0 2(6.5)

3

0

tc(t) p( ) u(t)

3!

td (6.6)

n

n n-10

tp (t) p ( ) u(t)

n!

td (6.7)

Ham parabôn đơn vi:

Ham bâc ba đơn vi:

Ham bâc n đơn vi:


3. Ho đao ham ham bươc:

Ham xung đơn vi (xung Dirac):

Ham xung đơn vi châm t0 giây: (t – t0).

Ham xung đôi đơn vi:

(6.8) du(t)

(t)dt

H6.1

(6.9)0 0

0

(t )(t)

(t ) (6.10)

1

(t)dt (6.11)

tu(t) ( )d (6.12)

'

d (t)(t)

dt(6.13)


4. Tinh chât cua ho ham bât thương:

Qui tăc tich ham xung:

Tinh chât sang cua ham xung:

(6.14) f(t) liên tuc tai 0: f(t)(t) = f(0)(t). f(t) liên tuc tai t0: f(t)(t – t0) = f(t0) (t – t0). (6.15)

0

f (t) (t)dt f ( ) (6.16)

f (t) (t t )dt f (t )

0 0 (6.17)

1 0

(n) n (n)f (t) (t)dt ( ) f ( ) (6.18)

(n) n nf (t) (t t )dt ( ) f (t )

0 01 (6.19)


c) Cac qui tăc đao ham va tich phân:

(6.20) d

costu(t) sintu(t) (t)dt

(6.21)

t dcos u( ) d costu(t)

d


VD 6.2.1: Tinh cac ham bât thương

a) Dung tinh chât ham xung Dirac:

f(t) = 5cos(t).(t – 2) = 5cos(2).(t – 2)

b) Dung tinh chât ham xung Dirac: 2 2

t 0,5 t 0,5I (t 2t 3) (t 2t 3) 2,25 4,25 6,5

c) Ta có:f’(t) = 10[(t + 2) – (t – 2)]

a) Tìm f(t) = 5cos(t).(t – 2) .

b) Tinh: 1 2

1I (t 2t 3)[ (t 0,5) (t 0,5)]

dt

c) Tìm f’(t) biêt f(t) = 10[u(t + 2) – u(t – 2)]. Ve dang f(t) va f’(t).


6.3. Biên đôi Laplace cua ho ham bât thương:

1. Ky hiêu ho ham bât thương theo (t) :

Ho ham bât thương la:

21 2 3

2 ( ) ( ) ( ) t

(t) u(t); (t) tu(t); (t) u(t)!

nt( n) ( n ) t(t) ( )d u(t)

(n )!

1

1

0 1

(6.22) (n)(t);n Z


2. Biên đôi Laplace cua ho ham bât thương:

(6.23) (n) n(t) s ,n ZL

0

0

0

0

10

0

st

ts

u(t t )e

ts

L (6.24)

0

00

0

0 0

0

st

t(t t )

e tL (6.25)


Lưu y:

1 P (s)P(s)

F(s) E(s)Q(s) Q(s)

1 f (t) e(t) f (t)

Biên đôi Laplace cua ham hưu ty có bâc tử bâc mâu:

(6.26)1 0 1 pp

P(s)F(s) c s c s c F (s)

Q(s)

1 0 1 '(p)pf (t) c (t) c (t) c (t) f (t) (6.27)


VD 6.3.1: Tìm F(s) cac nguôn xung

Biêu diễn: f(t) = (Et/T)[u(t) – u(t – T)]

Tìm F(s) biêt f(t) có dang nguôn xung:

Ef(t) t. ( ) ( ). ( ) . ( )

T

Eu t t T u t T E u t T

TViêt lai:

2

1( ) 1 sT sTE E

F s e eT s s

Dung tinh chât biên đôi Laplace:


6.4 Quan hê ap – dong miên t:

° Phân tử hai cưc trong miên t (H6.2)

Chê đô lam viêc cua phân tử trong miên t: H6.2

(6.28)Căp ham (v(t), i(t))

° Công suât tưc thơi tiêu thu bơi phân tử:

° Điên năng tiêu thu bơi phân tử tư t1 đên t2:

p(t) = v(t).i(t) (6.29)

221 1

tt

t tW p(t)dt (6.30)


6.4 Quan hê ap – dong miên t: (tiêp theo)

H6.3 (6.31)v(t) = vg(t), i(t)

(6.32)i(t) = ig(t), v(t)

H6.5

H6.4

1. Nguôn ap đôc lâp (H6.3):

2. Nguôn dong đôc lâp (H6.4):

3. Phân tử điên trơ (H6.5): (6.33a)vR(t) = R.iR(t), R = điên trơ

(6.33b)iR(t) = R.vR(t), G = điên dân


6.4 Quan hê ap – dong miên t: (tiêp theo)

4. Phân tử điên cam (H6.6):

H6.6

H6.7

(6.34a)LL

di (t)v (t) L ;L Ñieän Caûm

dt

tL L L0

1i (t) v ( )d i (0 )

L (6.34b)

5. Phân tử điên dung (H6.7):

CC

dv (t)i (t) C ;C Ñieän Dung

dt

tC C C0

1v (t) i ( )d v (0 )

C

(6.35a)

(6.35b)


6.5 Đinh luât Kirchhoff miên t:

1. Đinh luât Kirchhoff dong miên t (H6.8):

H6.8

(6.36) Tô�ng dong vao nut = 0

2. Đinh luât Kirchhoff ap miên t (H6.8):

(6.37)Tông ap doc theo vong = 0

° Vi du nut a: –i1 – i3 + i2 + i6 = 0

° Vi du viêt cho Vong 1452: +v1 – v4 + v5 + v2 = 0


6.6 Quan hê ap – dong miên s :

° Phân tử hai cưc trong miên s (H6.9)

Chê đô lam viêc cua phân tử trong miên s:

1. Nguôn ap đôc lâp (H6.10):

2. Nguôn dong đôc lâp (H6.11):

H6.9

(6.38)Căp ham (V(s), I(s))

H6.10

(6.39)V(s) = Vg(s), I(s)

(6.40)I(s) = Ig(s), V(s)H6.11


6.6 Quan hê ap – dong miên s : (tiêp theo)

3. Phân tử điên trơ (H6.12):

4. Phân tử điên cam (H6.13):

H6.12

H6.13

(6.42) L L LV (s) sLI (s) Li (0 )

(6.43)

LL L

i (0 )1I (s) V (s)

sL s

(6.41a)VR(s) = RIR(s)

IR(s) = GVR(s) (6.41b)


6.6 Quan hê ap – dong miên s : (tiêp theo)

5. Phân tử điên dung (H6.14):

(6.44)CC C

v (0 )1V (s) I (s)

sC s

(6.45)C C CI (s) sCv (s) Cv (0 )

H6.14


VD 6.6.1: Quan hê ap – dong miên s

1( ) u t

s

1 H sL s

1 1 3

3 F

sC s

Chuyên mach điên đa cho sang miên s, gia sử cac điêu kiên đâu (vC(0-), iL(0-)) cho băng 0 ?

Do: Mach miên s:


6.7 Đinh luât Kirchhoff trong miên s :

1. Đinh luât Kirchhoff dong miên s (H6.8):

2. Đinh luât Kirchhoff ap miên s (H6.8):

Vi du tai nut a : –I1 – I3 + I2 + I6 = 0

Vi du trong vong 1452: +V1 – V4 + V5 + V2 = 0

H6.8

Phat biêu tương tư ơ miên t: “ Tông anh Laplace cua dong vao nut băng 0”.

Phat biêu tương tư ơ miên t: “ Tông anh Laplace cua ap trong vong kin băng 0”.


6.8 Tông trơ va tông dân miên s :

1. Mang môt cửa thu đông (Tai) (H6.15):

La tâp hơp cac phân tử R, L, C nôi vơi nhau; chi co hai đâu ra; va iL(0–) = vC(0–) = 0

° Tông trơ miên s cua T la:

H6.15

L Ci (0 ) v (0 ) 0

V(s)Z(s)

I(s)

(6.46)

L Ci (0 ) v (0 ) 0

I(s)Y(s)

V(s)

(6.47)

° Tông dân miên s cua T la:


6.8 Tông trơ va tông dân miên s : (tiêp theo)

2. Tông trơ va tông dân miên s cua R, L, C:

(6.48a)R L CZ (s) R; Z (s) sL; Z (s) 1/sC

R L cY (s) G; Y (s) 1/sL; Y (s) sC (6.48b)

Z(s) va Y(s) cua môt tai đươc tìm băng cac Phép biên đôi tương đương (Ghép nôi tiêp, Ghép Song Song, Biên đôi Y ) tương tư như điên trơ.

3. Cach tìm Z(s) va Y(s):

4. Đinh luât Ohm miên s:V(s) = Z(s)I(s)

I(s) = Y(s)V(s)

(6.49a)

(6.49b)


VD 6.8.1: Tông trơ va tông dân miên s

20,5Z 0,5

12

0,5s

ss 2

Z 0,51

ss

Xac đinh tông trơ tương đương cua mach trong miên s ?

Dung cac phép biên đôi tương đương:


6.9 Cac bươc giai mach dung biên đôi Laplace:

Cho mach miên t gôm 5 loai phân tử: vg(t); ig(t); R; L; C.

Giai mach miên t la tìm ap v(t) va dong i(t) cua tưng phân tử. Giai mach dung biên đôi Laplace gôm 3 bươc:

B1. Chuyên sang mach miên s dung biên đôi Laplace, tư (H6.2, 3, 4, 5, 6, 7) (H6.9, 10, 11, 12, 12, 14).

B2. Giai mach miên s băng cac đinh luât Ohm, Kirchhoff đê tìm cac Ham ân miên s la V(s) va I(s).

B3. Chuyên ngươc vê miên t băng phép biên đôi Laplace ngươc.

1 1( ) ( ) ; ( ) ( ) v t V s i t I sL L (6.50)


VD 6.9.1: Giai mach dung biên đôi Laplace

Tìm i1(t) trong mach dung biên đôi Laplace, gia sử cac điêu kiên đâu băng 0 ?

2

2

1/ ( 5 3)1 1 ( ) [ 8 18]

s s s

Z s s s sI

Chuyên mach sang miên s: Tinh I1(s):

1 5 1 1 4 41 1 6 6 3 2

i ( ) {I (s)} cos( 2 ) sin( 2 ) A t tt e t e tL

Chuyên vê miên t:


6.10 Ham truyên:

Cho mach miên t vơi điêu kiên đâu = 0: iL(0–) = vC(0–) = 0.

1. Mach chi có 1 nguôn: vg(t) hoăc ig(t).

Goi x(t) = vg(t) hoăc ig(t) : Ham vao.

y(t) = v(t) hoăc i(t) trên môt phân tử : Ham ra.

Ham truyên:

L ci (0 ) v (0 ) 0

Y(s)H(s)

X(s)(6.51)

Nêu biêt x(t), ta tìm y(t) theo sơ đô sau:

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x t X s Y s H s X s y tL L (6.52)


2. Mach có n Nguôn: vg(t) hoăc ig(t)

Goi xk(t) = vgk(t) hoăc igk(t) : Ham vao thư k, k =1, 2, …, n .

y(t) = v(t) hoăc i(t) trên môt phân tử : Ham ra.

Khi tât ca n nguôn xk(t) cung lam viêc, tìm y(t) theo sơ đô sau :

Cho nguôn xk(t) lam viêc, tât ca nguôn khac nghi

(k = 1, 2,…. n).

Xac đinh: (6.53)

L C

kk

k i (0 ) v (0 ) 0

Y (s)H (s)

X (s)

(6.54) 1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n

k k k k k kk

x t X s Y s H s X s Y s Y s y tL L


VD 6.10.1: Giai mach dung ham truyên

a) Chuyên mach sang miên s:

2 2 1

1i( ) { }

s st L

Chuyên vê miên t:

i(t) {2 2 }u(t) A te

Cho R = 1 , L = 1 H, iL(0-) = 0. (a) Tìm ham truyên H(s) = I(s)/E(s) ? (b) Xac đinh i(t) nêu e(t) = 2u(t) V dung ham truyên ?

1 1

1H( )

R sL ss

b) Tìm i(t):

Do E(s) = 2/s nên:

2

(1 )I(s) H( )E(s)

s ss

2 2

1I(s)

s s


6.11 Giai mach dung ham truyên & điêu kiên đâu:

Cho mach miên t vơi điêu kiên đâu iL(0–), vC(0–) tương ưng vơi năng lương tich luy.

Tâp nguôn đôc lâp: Vg(s), Ig(s) (H6.10 va H6.11).

2 21 10 0 0 0

2 2L L C CW ( ) Li ( ) vaøW ( ) Cv ( )

(0 ) (0 ) / ( 6.13); (0 ) / (0 ) ( 6.14)L L C CLi hay i s H v s hay Cv H

B1. Ve mach miên s, gôm 2 tâp nguôn:

Tâp nguôn điêu kiên đâu:


6.11 Giai mach dung ham truyên & điêu kiên đâu: (tt)

B2. Chi cho tâp nguôn đôc lâp lam viêc, dung Ham truyên đê tìm Đap ưng cương bưc vf(t) hay if(t).

B3. Chi cho tâp nguôn điêu kiên đâu lam viêc, tìm Đap ưng tư nhiên vn(t) hay in(t).

B4. Khi ca hai tâp nguôn cung lam viêc, Đap ưng tông hơp:

v(t) = vf(t) + vn(t) hay i(t) = if(t) + in(t)

Ham Phưc va Ưng dung

Phân III:


Nôi dung phân III:


Chương 7: Ham giai tich.

Chương 8: Tich phân phưc.

Chương 9: Chuôi ham phưc.

Chương 10: Ly thuyêt thăng dư.

Chương 11: Ưng dung ly thuyêt thăng dư.

Chương 12: Phép biên đôi bao giac.


Chương 7: Ham giai tich

7.1 Đinh nghia ham biên phưc

7.2 Giơi han va liên tuc.

7.3 Đao ham.

7.4 Điêu kiên Cauchy – Riemann.

7.5 Cac tinh chât cua ham giai tich.

7.6 Cac ham phưc sơ câp.


7.1 Đinh nghia ham biên phưc:

Goi P la măt phăng z va P' la măt phăng w. Cho S P. Ham biên phưc la môt Anh xa f : S P‘.

(7.1) Cach cho ham biên phưc:

u u(x,y)w f(z)

v v(x,y)

Nêu A, C, D la Điêm, Đương, Miên trong P thì :

' ' 'f(A) A , f(C) C , f(D) D

°

(x,y)

(x,y)

u u(r, )

v v(r, )

° °

(r, )

(r, )...

Va cac cach cho khac:


VD 7.1.1: Ham biên phưc

u(x,y) 1 x y

v(x,y) x y 1

Đăt z = x + jy, ta có:

f(z) i(x iy) (x iy) 1 i 1 x y i(x y 1)

f(z) iz z 1 i Tìm phân thưc va phân ao cua ham phưc:

Cac thanh phân :


7.2 Giơi han va liên tuc:

1. Đinh nghia:

Cho f : D P' va z0 D. Sô w0 goi la Giơi han cua f(z) khi z tiên

đên z0 nêu :

> 0, > 0: z D va 0 < |z – z0| < |f(z) – w0| <

(7.2)

00

z zlim f(z) w Ky hiêu:

00

z zlim f(z) f(z ) (7.3) f liên tuc tai z0 nêu :

f liên tuc trong D nêu f liên tuc tai moi z cua D.


2. Đinh ly:

Tông, Hiêu, Tich, Thương cua 2 ham liên tuc thì cung liên tuc (mâu 0).

Ham hơp cua 2 ham liên tuc cung liên tuc.

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) liên tuc u(x, y) va v(x, y) liên tuc.

f(z) liên tuc tai z0 va f(z0) 0 D(z0,) trong đó f(z) 0.

f(z) liên tuc trong D kin va bi chăn M > 0: |f(z)|< M, zD.


7.3 Đao ham:

1. Đinh nghia:

Đao ham cua w = f(z) tai z0 la (H7.1) :

(7.4)

' ' 0 0

0 0 0z 0

f(z z) f(z )dw(z ) f (z ) w (z ) lim

dz z

H 7.1a H 7.1b


2. Cac tinh chât cua đao ham:

1 2 1 2( ) 'w w w w ' '

(7.5)1 2 1 2 1 2( ) 'w w w w w w ' '

1 2 1 1 22

2 2

w w w w w

w w

' ' '

w f(z) z Ham không kha vi tai bât cư điêm nao.


3. Ham giai tich:

f(z) Giai tich tai z0 nêu nó có Đao ham (Kha Vi) trong miên D(z0, ).

Nêu f(z) giai tich tai z0 thì z0 la Điêm Thương cua f(z).

Nêu f(z) không kha vi tai z0 nhưng nêu có D'(z0, ) trong đó f(z) kha vi thì z0 la 1 Điêm bât thương cô lâp cua f(z).

f(z) Giai Tich trong D nêu nó giai tich tai moi z cua D.


VD 7.3.1: Đao ham ham phưc

2 2 2f (z z) f (z) z 2z z z z

2 2 2

z 0 z 0

z 2z z z zf '(z) lim lim(2z z) 2z

z

Cho ham phưc f(z) = z2, tìm đao ham f’(z) dung đinh nghia đao ham cua ham phưc ?

Ta có:

Thê vao công thưc tinh đao ham:


7.4 Điêu kiên Cauchy – Riemann (CR):

1. Đinh ly: f(z) giai tich trong D u, v, ux, uy, vx, vy Liên tuc trong D va thoa điêu kiên Cauchy – Riemann.

x xf (z) u iv ' (7.7)

f(z) z° không kha vi tai bât cư điêm nao.

° chi kha vi tai z0 = 0.

° f(z) = z2 kha vi tai moi z, va

° kha vi tai moi z; va

2f(z) z

xf(z) e (cosy i siny) f (z) f(z)'

f (z) 2z'

(7.6a)x yu v (CR1)

(7.6a)y xu v (CR2)


2. Điêu kiên CR va đao ham trong toa đô cưc:

f(z) u(r, ) iv(r, ) Nêu thì điêu kiên CR la:

(7.8a)r1

u v (CR1)r

r1

v u (CR2)r (7.8b)

f sin i cos ff '(z) cos i sin

r r

Va:

(7.9)


VD 7.4.1: Điêu kiên CR

Chưng to răng ham phưc f(z) = z2 giai tich vơi moi z (con goi la ham nguyên (ham toan phân)) ?

Ta có:

Suy ra:

Nhân thây ux = vy va vx = – uy vơi moi x, y.

Kêt luân : f(z) giai tich vơi moi z.


7.5 Cac tinh chât cua ham giai tich:

1. Ham điêu hoa: Nêu f(z) giai tich trong D, va nêu uva v có cac đao ham câp hai liên tuc trong D, thì u va vla hai Ham điêu hoa. (7.10)xx yy xx yyu u u 0; v v v 0

v goi la Ham điêu hoa liên hơp cua u.

3. Chi chưa z: Nêu f(z) giai tich trong D va nêu thay

2 2 0x (z z)/ ; y (z z)/ i thì f / z

(z, z)

(f chi chưa z)

Goi la Toa đô liên hơp cua điêm z. !

2. Quy đao trưc giao: Nêu f(z) giai tich trong D thì hai ho đương

c ku(x,y) c (C ) vaøv(x,y) k ( )

la hai Ho Đương Trưc Giao.

(7.11)


VD 7.5.1: Tinh chât ham giai tich

Chưng to răng u = cosh(x).sin(y) la ham điêu hoa ? Tìm ham điêu hoa liên hơp v(x, y) thoa v(0,0) = 0 ? Biêu diễn f(z) theo z ?

u

xsinh x.sin y

Kiêm lai:2

2

u

xcosh x.sin y

u

ycosh x.cos y

2

2

u

ycosh x.sin y

2 2

2 2

u u

x y0

Tìm v: u v

x ysinh x.sin y

v sinh x.cos y C(x) v u

x ycosh x.cos y C'(x) cosh x.cos y

Tìm f(z): f (x, y) cosh x.sin y isinh x.cos y f (x,0) isinh x

v sinh x.cos y C sinh x.cos y

f (z) isinh z


7.6 Cac ham phưc sơ câp:

7.6.1 Ham mu phưc:

1. Đinh nghia: (7.12)z xw e e (cosy i sin y)

° ez giai tich khăp nơi va

°

°

°

°

°

'z z(e ) exe vaø y

ze , z 0

ie cos i sin

1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z z ze e e ; e /e e ; 1/e e z n nz(e ) e (n Z)

2. Tinh chât:

z 2 i ze e Có tinh tuân hoan: (7.13)


7.6.2 Ham lương giac phưc :

1. Đinh nghia:

2. Tinh chât:(7.14)

iz iz iz ize e e ecosz ;sinz

2 2i

° cosz va sinz giai tich khăp nơi va

° ° ° ° ° °

2 2cos z sin z 1

1 2 1 2 1 2sin(z z ) sinz cosz cosz sinzcosiy coshy;siniy i sinhy cos(x iy) cosx coshy i sinx sinhy sin(x iy) sinx coshy i cosx sinhy

' '(cosz) sinz; (sinz) cosz

1 2 1 2 1 2cos(z z ) cosz cosz sinz sinz

(7.15)

(7.16)

(7.17)

(7.18)

(7.19)

(7.20)

(7.21)

(7.22)sin z cosz 1 1

tan z ;cot z ;secz ;coseczcos z sin z cos z sin z

3. Va:


7.6.3 Ham Hypebôn phưc :

1. Đinh nghia:

2. Tinh chât:(7.23)

z z z ze e e ecoshz ,sinhz

2 2

(7.24)

(7.25)

(7.26)

(7.27)

(7.28)

(7.29)

(7.30)

° coshz va sinhz giai tich khăp nơi va

°

°

°

°

°

°

(coshz) sinhz; (sinhz) coshz ' '

2 2cosh z sinh z 1

1 2 1 2 1 2cosh(z z ) coshz coshz sinhz sinhz

1 2 1 2 1 2sinh(z z ) sinhz coshz coshz sinhz coshiy cosy; sinhiy i siny

cosh(x iy) coshx cosy isinhx siny

sinh(x iy) sinhx cosy i coshx siny

(7.31)

3. Va:sinhz cosh z 1 1

tanhz ;coth z ;sechz ;cosechzcoshz sinh z coshz sinhz


7.6.4 Ham Logarit phưc :

2. Cach tìm lnz: (H 7.2) va (H 7.3)

1. Đinh nghia: Cho z ≠ 0, (7.32) wlnz w: e z

H 7.2 H 7.3

B1. Tinh o ou ln|z| lnr vaøv Argz ( )

B2. Nhanh Chinh: oLnz ln z lnr i

B3. Nhanh thư n: nln z Lnz i2n lnr i i2n

(7.33)

(7.34)


3. Tinh chât:

(7.35)

(7.36)

(7.37)

lnz lnr i i2n (n Z)

lnz ln| z| i argzLnz ln| z| iArgz

(7.38)

(7.39)

(7.40)

1 2 1 2ln(z z ) lnz lnz

1 2 1 2ln(z /z ) lnz lnz

mlnz mlnz

4. Đao ham: Trong măt phăng z vơi Đương căt la nửa truc thưc không dương x 0 (H7.4), ta có:

H7.4

2 2n

1 yln z ln(x y ) iarctg

2 x(7.41)

nd 1

(ln z)dz z

Va: (7.42)


7.6.5 Ham luy thưa tông quat :

1. Đinh nghia: Cho z ≠ 0 va s C. (H7.5)

H7.5 H7.6

(7.43) s slnzw z e


2. Cach tìm zs : iz re (r 0, );s iĐăt:

lnz lnr i( 2n ) (n Z) nlnz lnr i

n 2n

Ta có:

Hay:

Vơi:

(7.44)

(7.45)

(7.46)

nslnz ( i )(lnr i ) n n( lnr ) i( lnr )Vây:

Nhanh thư n cua Ham luy thưa tông quat w = zs: n nlnr i( lnr )s

n nw (z ) e .e ni

n nw e nlnr

n e

n nlnr

Hay:

Vơi:

Va:

(7.47)

(7.48)

(7.49)


3. Tinh chât cua day {n}:

lnr 2 n 2 n nn o oe .e (e ) q

{n} la 1 Câp sô nhân vơi Công bôi 2q e

4. Tinh chât cua day {n} :

n o olnr 2 n n(2 ) np

n la 1 Câp sô công vơi Công sai p 2


5. Vi tri cua day điêm {wn}: (H7.7) va (H7.8)

Ta có nhiêu trương hơp tuy theo ( < 0, = 0, > 0; < 0, = 0, > 0)

0 1 0 0(q ) vaø (p ) H 7.8

0 1 0 0(q ) vaø (p )

H 7.7


7.6.6 Ham lương giac va Hypebôn ngươc :

1. Ham lương giac ngươc:

2. Ham Hypebôn ngươc:

(7.50) 1 2 1/2cos z i ln z (z 1)

1 2 1/2sin z i ln iz (1 z )

1 i i z

tan z ln2 i z

(7.51)

(7.52)

1 2 1/2sinh z ln z (z 1)

1 1 1 z

tanh z ln2 1 z

(7.53)

(7.54)

(7.55)

arccoshz = ln[z +(z2-1)1/2 ]


VD 7.6.1: Tinh cac ham phưc sơ câp

Tinh toan cac ham phưc va cho kêt qua dang đai sô ?

2 i ea) 2e 1 3.99 6.218i 2 i3 eb) 2 2e 3 e 7.389 i3

i3

|e |

Re

c

{e

)

}

0e 1 cos(3) 0.99

z e 2 zd) ln 2 i( k2 )



Tinh toan cac ham phưc va cho kêt qua dang đai sô ?

cosa) h(5i) 5i 5ie e 1 5 1 5

2 20.2837

sinh( )c 1 i 2) / 1 i / 2 1 i / 2 1e e i[e e ]

2 21.5431i

sinh(z) i zd) 2

i[ k2 ]

3

2 sinh(ib ))

i3 / 2 i3 / 2e e i i

2 2i



j j j

ln( 3) ln 3 j 1 j(ln 3) /( 3) e e e

jln 3 ln 31( 3) e cos jsin

j

( 3) 0.3456 j0.126

Tinh tri chinh cua ham luy thưa tông quat:j

( 3) ?

Theo công thưc (7.43):



Dung MATLAB, hay viêt ham my_log(z0) tra vê kêt qua cua ham phưc log(z0) ? Cho biêt tri chinh ? So sanh kêt qua vơi ham log(z0) cua MATLAB ?% ex7_4: Tinh log(z0)z0 = 5 + i*12; syms n real ; roh = abs(z0); theta = angle(z0);x = vpa(log(roh),5); y = vpa(theta + n*2*pi,5);xdot = x + i*y ; disp('******** Answer **********'); disp(xdot);disp('******** Principal value **********');value = double(subs(xdot,'n',0));disp(value); disp('******** Compare with MATLAB **********'); tolerance = (log(5+i*12)-value)/log(5+i*12)*100; fprintf('Tolerance = %5.3f \n ',tolerance);

******** Answer ********** 1.176*i + 6.2832*i*n + 2.5649 ******** Principal value ********** 2.5649 + 1.1760i******** Compare with MATLAB **********Tolerance = 0.002


Chương 8: Tich phân phưc

8.1 Tich phân đương phưc.

8.2 Tich phân đương thưc không phu thuôc đương đi.

8.3 Đinh ly Cauchy va cac hê qua.

8.4 Công thưc tich phân Cauchy va cac hê qua.

8.5 Công thưc tich phân Poisson.


8.1 Tich phân đương phưc:

° A, B = hai điêm trong miên D

° Cung trơn tưng đoan

° sư phân chia C

° = dây cung

° = cung

°

° f(z) = ham liên tuc trong D

C AB

kz 1

k k k 1z z z

k k 1 ks z z

k k k ki ñieåmtreân s

D

1. Đinh nghia:

H8.1

Tich phân đương phưc cua f(z) doc theo C, tư A đên B, la:

(8.1)1

n

k kn kC

f (z)dz lim f( ) z


8.1 Tich phân đương phưc: (tiêp theo)

(8.2)Nêu A B, C la Đương kin, ta có Tich phân chu tuyên: C

f(z)dz2. Đinh ly: (Vê chăn trên cua tich phân đương phưc)

3. Cach tinh tich phân đương phưc:

° f(z) LT trên C; ; L la chiêu dai cua C: f (z) M, z C

Cf(z)dz ML (8.3)

° C cho bơi PT Thông sô z(t) = x(t) + iy(t); to t t1

1

0

t

C tf(z)dz f z(t) z'(t)dt (8.4)

f(z) u(x,y) iv(x,y)°

C C Cf(z)dz udx vdy i vdx udy (8.5)


4. Tinh chât cua tich phân đương phưc:

(8.6) 1 0

0 1

z z

z zf(z)dz f(z)dz●

(8.7) 1 1

0 0

z z

z zkf(z)dz k f(z)dz●

(8.8) 1 1 1

0 0 0

z z z

z z zf(z) g(z) dz f(z)dz g(z)dz●

(8.9) 1 2 1

0 0 2

z z z

z z zf(z)dz f(z)dz f(z)dz●


5. Vi du quan trong: (H 8.2)

(8.10)

n 1C

0

2 i (n 0)dz

0 (n 0)(z z )

C = vong tron C (zo,r)

H8.2


VD 8.1.1: Tinh tich phân phưc

4 42 3 2

C 1 1zdz (3t it )(3 i2t)dt [(2t 9t) i3t ]dt

4 2 4 4t 9t 3

2 1C 1zdz i t 195 65i

2 2z 3t it f (z) z 3t it

2z 3t it z' 3 i2t;

Tinh:C

zdz nêu C cho bơiphương trình thông sô :

[x = 3t; y = t2; – 1 t 4 ]

Ta có:

Ap dung công thưc:



Tinh:C

zdz

-1 10

(C)

nêu C la nửa đương tron.

Czdz i

C cho bơi phương trình thông sô:itz e ; t 0

it it z ' ie ; f (z) z e 0 it it

Czdz (e )(ie )dt i

Thê vao công thưc:


8.2 Tich phân đương thưc không phu thuôc đương đi:

D la Miên đơn liên hoăc Đa liên có biên C trơn tưng đoan (H8.3) :

(8.11)

C D

Q PPdx Qdy dxdy

x y

H8.3

P(x, y), Q(x, y), P/y, Q/x liên tuc trong D

1. Đinh ly:


2. Nguyên ham cua dang vi phân:

Nêu trong D, Tich Phân đương thưc không phu thuôc đương đi, thì ham:

(8.12) 0 0

(x,y)

(x ,y )(x,y) P( , )d Q( , )d

la Nguyên ham cua dang vi phân Pdx + Qdy; tưc la:

P(x,y) vaø Q(x,y)x y

(8.13)


3. Điêu kiên:

Đê Tich Phân đương thưc không phu thuôc đương đi, ta cân phai có :

0 0

(x,y)

(x ,y )P( , )d Q( , )d : không phu thuôc đương đi

(8.14)Q P

taïi (x,y) D (ñôn lieân)x y

Tưc la:


8.3 Đinh ly Cauchy va cac hê qua:

D la Miên đơn liên (H8.4) hoăc Đa liên (H8.5) có biên C trơn tưng đoan.

1. Đinh ly Cauchy:

H8.4 H8.5

f(z) giai tich va f '(z) liên tuc trong thì:D (8.15)Cf(z)dz 0

Vơi = Điêm bât thương cua f(z).


2. Nguyên ly biên dang chu tuyên:

Nêu C1 có thê biên dang liên tuc thanh C2 (H8.5) ma không vươt qua bât ky điêm bât thương nao cua f(z) thì:

3. Tich phân đương phưc không phu thuôc đương đi:

(8.16) 1 2C Cf(z)dz f(z)dz

° D = miên đơn liên (H8.6)

° f(z) giai tich trong D

° 1 va 2 nôi z0 vơi z

H8.60 0

1 2

z z

z zf( )d f( )d

(doïc theo ) (doïc theo )

(8.17)


4. Nguyên ham cua ham giai tich:

5. Công thưc Newton-Leibnits :

° (z) = Nguyên ham cua f(z). Tâp tât ca NH cua f(z) la:

(8.18)

° D = miên đơn liên (H8.6)° f(z) giai tich trong D

z

z(z) f ( )d ; z D

0°

(z) giai tich trong D va '(z) = f(z)

° D = Miên đơn liên (H8.7)° f(z) giai tich trong D° F(z) la 1 nguyên ham cua f(z)

(8.20) 1

0

z1 0z

f(z)dz F(z ) F(z )

H8.7

F(z) = (z) + C; C = hăng sô phưc (8.19)


6. Cach tìm ham điêu hoa liên hơp cua u(x,y):

H8.8

° u(x,y) la Ham điêu hoa trong D.

(8.22) 0 0

(x,y)y x(x ,y )

v(x,y) u dx u dy

° HĐHLH v(x,y) cua u(x,y) trong D la:

xx yyu u u 0 (x,y) D (8.21)

HĐHLH u(x, y) la phân thưc cua Ham giai tich: f(z) = u(x,y) + iv(x,y) trong D

Nêu cho 1 ho đương cong CC: u(x, y) = c phu thuôc thông sô c, thì ta tìm đươc Ho Qui Đao Trưc Giao k: v(x,y) = k cua ho CC.



3 31 i1 i z (1 i) 2 222 3 3 3 30 0

I z dz i

2

2 2I i

3 3

1 i

2 0 I f (z)db) z ?

Cho ham phưc f(z) = z2. Tinh: 1 |z| 1 I f (z)dza)

a) Ta có : f(z) giai tich vơi moi z trong miên |z| = 1 nên :

1 |z| 1I f (z)dz 0

b) Ta xac đinh đươc môt nguyên ham cua f(z) la : F(z) = z3/3nên :


8.4 Công thưc tich phân Cauchy va cac hê qua:

1. Công thưc tich phân Cauchy:

(8.23) 0

0C

1 f(z)f(z ) dz

2 i z z

H8.92. Ap dung đê tinh Tich Phân Chu Tuyên:

Nêu (z) có dang f(z)/(z – z0) trong đó f(z) giai tich trong va z0 D thì :

D

0C(z)dz 2 if(z ) (8.24)

° D = miên đơn liên có biên C (H8.9).

° f(z) giai tich trong D va z0 D.


3. Đao ham câp n cua ham giai tich:

4. Ap dung đê tinh Tich Phân Chu Tuyên:

Nêu D la miên đơn liên có biên C; f(z) giai tich trong ; va nêu z0 D thì f(z) co Đao ham moi câp trong D va:

D

(8.25) (n)

0 n 1C0

n! f(z)f (z ) dz

2 i (z z )

(8.26)

Nêu (z) có dang f(z)/(z – z0)n+1 trong đó f(z) giai tich

trong va z0 D thìD

(n)0

C

f (z )(z)dz 2 i

n!5. Đinh ly Morera: Nêu f(z) liên tuc trong môt miên D va nêu

vơi moi đương kin đơn C trong D thì f(z) giai tich trong D.

Cf(z)dz 0


6. Bât đăng thưc Cauchy:

7. Đinh ly Môđun cưc đai:

Nêu f(z) GT trong (H8.10) va nêu M la GTLN cua |f(z)| trên C(z0,r) thì :

0D(z ,r)

(8.28) 0 0 0| f(z )| M, z D(z ,r)

(8.27) (n)0 n

n!M| f (z )| (n 0,1, 2...)

r

H8.10

° D = miên kin có biên C (H8.11).

° f(z) GT trong D va khac Ham hăng.

|f(z)| không thê đat cưc đai tai z0D.

GTLN cua |f(z)| xay ra trên C.H8.11

8. Đinh ly Môđun cưc tiêu: tương tư như trên, vơi ĐK f(z) ≠ 0.



Tinh: 2

z

(4 z )(z i / 2)Cdz

vơi C = đương tron đơn vi hương theo chiêu dương.

2

f (z) i / 2 4

(z i / 2) 174 (i / 2)Cdz 2 i.f (i / 2) 2 i

Ta đăt: 2

z

4 zf (z)

Có f(z) = giai tich bên trong C (z = ±2 năm bên ngoai đương tron).

a = i/2 la 1 điêm bên trong C. Dung công thưc tich phân Cauchy (8.24).



Ta đăt: f(z) = ez.

Có f(z) = giai tich bên trong C.

a = – 1 la 1 điêm bên trong C. Dung công thưc tich phân Cauchy (8.26).

Tinh: vơi C = đương tron |z – 1| = 3 hương theo chiêu dương.

z

2

e

(z 1)C dz

1

2

f (z) f '( 1) e 2 i

1! 1! e(z 1)Cdz 2 i 2 i


8.5 Công thưc tich phân Poisson:

1. Đôi vơi Hình Tron: ° f(z) giai tich trong (H8.12)

°

°

iz re D(0,R) (0 r R) iRe C(0,R)

D(0,R)

H8.12

2 2 2i i

2 20

1 R rf(re ) f(Re )d

2 R 2Rr cos( ) r

(8.29)

2 2 2

2 20

1 R ru(r, ) u(R, )d

2 R 2Rr cos( ) r

Nêu u(r,) la 1 Ham điêu hoa trong thì gia tri cua nó trong D(0,R) đươc tinh theo gia tri trên C(0,R):

D(0,R)

HĐH u(r,) thoa PT Laplace: rr r 2

1 1u u u 0

r r(8.30)


2. Đôi vơi nửa măt phăng trên:

H8.13

P° = Nửa MP Trên (H8.13)

z x iy : y 0° f(z) = u(x, y) + iv(x, y) GT trong

°

° C = truc thưc = biên cua

° z = x + iy P+; = + i0 C

P

kk 0,M 0:| z f(z)| M, z P

P

u(x, y) la 1 Ham điêu hoa trong . Gia tri cua nó trong đươc tinh theo gia tri trên C:

PP

(8.31)

2 2

1 yu(x,y) u( ,0)d (y 0)

( x) y


Chương 9: Chuôi ham phưc

9.1 Đinh nghia.

9.2 Cac điêu kiên hôi tu cua chuôi ham phưc.

9.3 Vai tinh chât cua chuôi hôi tu.

9.4 Chuôi ham phưc hôi tu đêu.

9.5 Cac tinh chât cua chuôi ham phưc hôi tu đêu.

9.6 Chuôi luy thưa.

9.7 Chuôi Taylor.

9.8 Cach tìm chuôi MacLaurin va Chuôi Taylor.

9.9 Chuôi Laurent.

9.10 Cach tìm chuôi Laurent.


9.1 Đinh nghia:

1. Hôi tu (HT), Phân ky (PK), Miên hôi tu (MHT):

° D = 1 miên (H9.1)

° day HP xac đinh trên D

°

° = Day tông riêng

nf (z) 1

n 1 nS (z) f (z) f (z); n 1,2,...

nS (z)H9.1

(9.1)

nn 1

f (z) Cô đinh z0D. Chuôi Ham Phưc (HP):

nêu Day sô phưc hôi tu vê sô phưc S(z0): n 0S (z )

0 0 n 00, N( ,z ):| S(z ) S (z )| n N

Hôi tu (Đơn) tai z0 vê Tông S(z0),


9.1 Đinh nghia: (tiêp theo)

2. Hôi tu tuyêt đôi (HTTĐ): Xét chuôi sô thưc dương:

Chuôi (9.1) PK tai z0 nêu Day sô phưc PK. n 0S (z )

Miên Hôi Tu (Đơn) cua (9.1) la:(9.2) 0 9 1E z D:( . ) Hoäi Tuï(Ñôn)

S(z) = f(z) la Ham Tông cua (9.1), xac đinh trong E.

Chuôi (9.1) HTTĐ tai z0 nêu Chuôi (9.3) HT.

n n nn n

f (z ) u (x ,y ) v (x ,y )

2 2

0 0 0 0 01 1

(9.3)

3. Ban hôi tu (BHT - hôi tu có điêu kiên): Chuôi (9.1) BHT nêu (9.1) HT nhưng (9.3) PK.! Nêu (9.3) HT thì (9.1) HT. ! Nêu 1 Chuôi HP Hôi tu tuyêt đôi thì Hôi tu.


9.2 Cac điêu kiên hôi tu cua chuôi ham phưc:

1. Hôi tu cua chuôi phân thưc va chuôi phân ao:

Va xét hai chuôi ham thưc cua hai biên thưc:

! (9.1) hôi tu (9.5) hôi tu. Luc đó, nêu đăt:

(9.4)Đăt: n n nf (z) u (x,y) iv (x,y)

1 1n n

n n

u (x,y) vaø v (x,y)

(9.5)

1 1n n

n n

u (x,y) u(x,y) vaø v (x,y) v(x,y)

(9.6)

thì : nn 1

f (z) f(z) u(x,y) iv(x,y)

(9.7)


2. Phép thử ti sô:

(9.8)Đăt: n 1n

n nn

f (z)lim lim k (z) k(z) r(x,y)

f (z)

° (9.1) HTTĐ tai z(x, y) thoa r(x, y) < 1 .

° (9.1) PK tai z(x, y) thoa r(x, y) > 1.

° (9.1) có thê HT hoăc PK tai z(x, y)

thoa r(x, y) = 1.H9.2


VD 9.2.1: Điêu kiên hôi tu

n 1 2 nn 1

2 n 1 nn

f z (n) 2 z

f 2(n 1) 2 zn nlim lim 1

z 2 Xét riêng trương hơp z = 2, ta thây chuôi hôi tu.

Kêt luân: Chuôi hôi tu tai cac điêm bên trong va trên đương tron tâm O, ban kinh la 2.

Vơi gia tri nao cua z thì chuôi hôi tu ?n

2 nn 1

z

n 2

Dung phép thử ti sô:


VD 9.2.2: Điêu kiên hôi tu

Xét riêng trương hơp z – i = 3, ta thây chuôi phân ky¥.

Kêt luân: Chuôi hôi tu tai cac điêm bên trong đương tron tâm tai z = i, ban kinh la 3.

Dung phép thử ti sô:

Vơi gia tri nao cua z thì chuôi hôi tu ?n

nn 1

(z i)

3

n 1 n 1n 1

n nn

f (z i) 3 z i

f 33 (z i)n n nlim lim lim 1

z i 3


9.3 Vai tinh chât cua chuôi ham phưc hôi tu:

1. Tông hay hiêu cua hai chuôi ham phưc hôi tu:

Trong miên hôi tu chung E = E1E2 cua hai chuôi (9.1), tông

hay hiêu có thê tìm băng cach công trư tưng sô hang.

2. Tich cua hai chuôi ham phưc hôi tu:

Trong miên hôi tu chung E = E1E2 cua hai chuôi (9.1), tich

cua hai chuôi hôi tu có thê tìm băng cach nhân kiêu đa thưc hoăc dung tich Cauchy.


9.4 Chuôi ham phưc hôi tu đêu (HTĐ):

1. Đinh nghia:° D = Miên HT Chung cua {fn(z)}.

° E = Miên HT Đơn cua (9.1).

n0, N( ): f(z) S (z)

n N( ) vaø z F

° f(z) goi la Ham Tông cua (9.1).° D E F

H9.3

(9.1) HT Đêu vê f(z) trong F nêu:


2. Phép thử M – Weierstrass:

Nêu có 1 Day sô thưc dương {Mn} sao cho:

n nf (z) M n vaø z F °

Chuôi sô thưc dương hôi tu. ° nn 1

M

thì Chuôi ham phưc (9.1) Hôi tu đêu trong F.


9.5 Cac tinh chât cua chuôi ham phưc hôi tu đêu:

1. Nhân cho ham bi chăn:

Nêu (9.1) HTĐ trong F va nêu g(z) la 1 ham bi chăn trong F thì

nn 1

g(z)f (z)

chuôi cung HTĐ trong F.

2. Tinh liên tuc(LT):

Nêu môi fn(z) LT trong F va nêu (9.1) HTĐ vê Ham tông f(z) thì f(z) cung LT trong F:

00

z zlim f(z) f(z )z0F:

! Vây có thê lây lim tưng sô hang, hay hoan vi lim vơi .

(9.9)

0 0n n 0 n

z z z zn 1 n 1 n 1

lim f (z) f (z ) lim f (z)


3. Tinh kha tich: (KT)

Nêu môi fn(z) KT trong F va nêu (9.1) HTĐ vê Ham tông f(z) thì f(z) cung KT trong F:

(9.10)

n nC C Cn 1 n 1

C F : f(z)dz f (z) dz f (z)dz

! Vây có thê lây tich phân tưng sô hang, hay hoan vi vơi .

! Nêu môi fn(z) GT trong F thì f(z) cung GT trong F.C


4. Tinh kha vi (tinh giai tich – GT):

Nêu môi fn(z) GT trong F va nêu (9.1) HTĐ vê Ham tông f(z) thì f(z) cung GT trong F:

(9.11)zF:

''

n nn 1 n 1

f (z) f (z)

! Vây có thê lây đao ham tưng sô hang, hay hoan vi vơi .ddz


VD 9.5.1: Tinh chât chuôi hôi tu

a) Theo tinh chât chuôi phưc hôi tu:

Biêt ham phưc g(z) = 1/(1 – z) có thê biêu diễn dươi dang chuôi nhi thưc: 1 n

1 zn 0

g(z) z

trong miên F: |z| < 1.

Tìm biêu diễn chuôi cua cac ham phưc: a) f1(z) = 1/(1 – z)2

b) f2(z) = 1/(1 – z)3

2

1 n 11 (1 z)

n 1

f (z) g '(z) nz

trong miên |z| < 1.

b) Tương tư: 3

2 n 2 n

(1 z)n 2 n 0

g ''(z) n(n 1)z (n 1)(n 2)z

trong miên |z| < 1.3

1 1 n2 2(1 z)

n 0

f (z) (n 1)(n 2)z


9.6 Chuôi luy thưa (không âm):

1. Đinh nghia:

H9.4

Cho a = môt sô phưc (H9.4)

° {an} = 1 day sô phưc

° Chuôi luy thưa (CLT) la:

(9.12)n

nn 0

a (z a)


2. Ban kinh hôi tu:

Hôi tu tuyêt đôi trong Đia hơ D(a, R) (H9.4).

Phân ky ngoai D(a, R).

Có thê HTTĐ, BHT, hoăc PK trên C(a, R).

R = ban kinh HT; D(a, R) = Đia HT, C(a, R) = Vong HT

(9.13)n n 1n

R lim a /a

Vơi môi CLT (9.12), có 1 sô R (0 R ) sao cho (9.12):


3. Tinh chât cua Chuôi luy thưa:

H9.5

° 0 < r < R (9.12) HTĐ trong

° (9.12) HTTĐ

(9.12) HTTĐ va Đêu trong

1z C (a, R):

D(a,r).

D(a,R).

Đăt:

n

nn 1

f(z) a (z a) ; z D(a,R)

Ta đươc 1 ham mơi xac đinh trong D(a, R). Ta có:

° 0z D(a,R):

0

nn 0

z z n 0

lim f(z) a (z a)


3. Tinh chât cua Chuôi luy thưa: (tiêp theo)

° f(z) la 1 Ham Giai Tich trong D(a, R).

° Trong D(a, R) có thê lây tich phân hoăc đao ham (9.12) nhiêu lân liên tiêp, va tât ca Chuôi luy thưa mơi có cung Ban Kinh Hôi Tu như (9.12).

0

z n 1 n 1n0 0z

n 0

az,z D(a,R): f( )d (z a) (z a)

n 1°

z D(a,R)°

' n 1

nn 1

f (z) na (z a)


9.7 Chuôi Taylor :

1. Đinh ly Taylor:

H9.6

(9.14)(k) nn 1

knC

k 0

f (a) (z a) f( )df(z) (z a)

k! 2 i ( a) ( z)

= Đa thưc Taylor bâc (n –1) + Phân Dư Rn(z).

Nêu f(z) giai tich trong va nêu a D, z D (H9.6) thì:D


2. Miên hôi tu cua chuôi Taylor :

Nêu f(z) giai tich trong đia hơ D(a, r) thì nó đươc biêu diễn bơi chuôi Taylor: (n)

n

n 0

f (a)f(z) (z a) ;z D(a,r)

n!

(9.15)

Vì chuôi Taylor la chuôi luy thưa (9.12) vơi :(n)

na f (a)/n!

nên miên hôi tu cua nó la đia hơ D(a, R); vơi R tinh băng 2 cach:

ii. Cach 2: Goi {z1, z2,…} la tâp cac Điêm bât thương cua f(z) va đăt Rk = |zk – a| = khoang cach tư điêm khai triên a đên điêm bât thương zk thì:

i. Cach 1: dung (9.16) (n)n

(n 1)n nn 1

a f (a)R lim lim(n 1)

a f (a) (9.16)

R = min{Rk} = khoang cach tư a đên Điêm bât thương gân a nhât

(9.17)


3. Chuôi MacLaurin :

Nêu a = 0, f(z) đươc khai triên thanh Chuôi Mac Laurin.

(9.18)(n)

n

n 0

f (0)f(z) z ; z D(0,R)

n!

(n)

(n 1)n

f (0)R lim(n 1)

f (0)

R = min{Rk} vơi Rk = |zk|

(9.19)

(9.20)

4. Đinh ly Liouville:

Nêu f(z) GT khăp nơi va Bi chăn khăp nơi thì f(z) = hăng sô.

Môt ham f(z) GT khăp nơi goi la Ham nguyên. Môt ham nguyên f(z) khac ham hăng không thê Bi chăn khăp nơi M 0: z C : f(z) M


9.8 Cach tìm chuôi MacLaurin va chuôi Taylor:

1. Cac chuôi MacLaurin quan trong: Dung (9.18), (9.19) hoăc (9.20) , ta có:

(9.21)n

z

n 0

ze

n!

° |z|< n

n 0

1z

1 z

|z|< 1 ° (9.26)

|z|< 2n

n

n 0

zcosz ( 1)

(2n)!

° (9.22)

2n 1n

n 0

zsinz ( 1)

(2n 1)!

|z|< ° (9.23)

2n 1

n 0

zsinhz

(2n 1)!

|z|< ° (9.25)

2n

n 0

zcoshz

(2n)!

|z|< ° (9.24)


2. Đinh ly duy nhât:

Nêu f(z) đươc khai triên thanh chuôi luy thưa cua (z–a):

thì khai triên nay la duy nhât.

(9.27)nn

n 0

f(z) a (z a) ; z D(a,R)

Có thê tìm an băng cach khac, không nhât thiêt dung công thưc.

3. Biêu diễn cac ham hưu ty băng chuôi Taylor:

Ta phân tich Ham hưu ty f(z) = P(z)/Q(z) thanh tông cua nhiêu Ham hưu ty sơ câp, rôi dung Chuôi nhi thưc, chăng han:

4. Ap dung đê tinh f(n)(a):Nêu tìm đươc (9.27), ta suy ra:

n

n 0

1w(z) ;| w(z)| 1

1 w(z)

(9.28)

(n)nf (a) n!a (9.29)


VD 9.8.1: Biêu diễn chuôi Taylor ham hưu ty

Tìm chuôi Taylor biêu diễn ham 1

f (z)(z 2)(z 3)

quanh điêm z0 = 1. Xac đinh ban kinh hôi tu (RoC)?

Phân tich f(z) = tông cac ham hưu ty sơ câp:1 1 1

(z 2)(z 3) (2 z) (3 z)

Dung chuôi nhi thưc:

1 1 2 n

(2 z) 1 (z 1)1 (z 1) (z 1) ... (z 1) ...

(RoC :| z 1| 1) Ban kinh hôi tu:


VD 9.8.1: ( tiêp theo)

Tìm chuôi Taylor biêu diễn ham 1

f (z)(z 2)(z 3)

quanh điêm z0 = 1. Ban kinh hôi tu ?

Dung chuôi nhi thưc:n

n

1 1 1 1 1 1 (z 1) 1 (z 1)z 1(3 z) 2 (z 1) 2 2 2 2 2 212

... ...


n

n 1

1 1 1 3 1(z 1) (z 1)

(2 z) (3 z) 2 4 2f (z) ... (1 ) ...

Cuôi cung chuôi Taylor biêu diễn f(z) :



VD 9.8.2: Biêu diễn chuôi Taylor ham hưu ty

Tìm chuôi Taylor biêu diễn ham 2i

f (z)(4 iz)

quanh điêm z0 = – 3i . Xac đinh ban kinh hôi tu R ?

Đê phân tich f(z) thanh chuôi luy thưa cua (z + 3i) ta viêt lai:2i 2i 2i 2i 1

i(4 iz) 4 i(z 3i) 3 7 i(z 3i) 7 1 (z 3i)7

f (z)

Dung chuôi nhi thưc: n1 n

i1 (z 3i) 07

i( 1) (z 3i)

7

i

| (z 3i) | 17

Miên hôi tu:


VD 9.8.2: (tiêp theo)

Tìm chuôi Taylor biêu diễn ham 2i

f (z)(4 iz)

quanh điêm z0 = – 3i . Xac đinh ban kinh hôi tu R ?

Do đó chuôi Taylor biêu diễn f(z) quanh z0 có dang :

n n 1

n 1

n2i i 2( 1) in n n

7 7 70 0

f (z) ( 1) (z 3i) (z 3i)

i| (z 3i) | 17

Miên hôi tu: hay: | (z 3i) | 7

Ban kinh hôi tu R = 7.


9.9 Chuôi Laurent :

H9.7

° a = Điêm khai triên (H9.7)

° z1,...zn = Điêm bât thương cua f(z).

° A(a, z1, r2) = Hình vanh hơ

= {z : r1 < |z – a| < r2}

° = Hình vanh kin.

° C = Đương kin đơn trong A va bao

quanh C1(a, r1).

1 2A(a, r , r )

1 2z : r | z a| r


1. Khai triên Laurent :

Nêu f(z) giai tich trong va nêu thì:A z A

(9.30)n

nn

f(z) a (z a) (n Z)

2. Đinh ly duy nhât:

Nêu f(z) đươc khai triên thanh chuôi Laurent (9.30) trong A (a, r1, r2) thì khai triên nay la duy nhât.

Có thê tìm an băng cach khac, không nhât thiêt dung công thưc (9.31).

n n 1

C

1 f( )da (n Z)

2 i ( a) (9.31)


3. Chuôi Laurent cua f(z) khi a la điêm bât thương z1:

R2 = |z2 – z1| = Khoang cach tư điêm khai triên z1 đên Điêm bât thương z2 gân z1 nhât.

° z1,…,zn = Điêm bât thương cua f(z) (H9.8)

° a = z1 = Điêm khai triên.

(9.32)nn 1 1 2

n

f(z) a (z z ) (0 z z R )

H9.8

Chuôi (9.32) la Chuôi Laurent cua f(z) quanh z1.


VD 9.9.1: Chuôi Laurent cua f(z)

Tìm chuôi Laurent biêu diễn ham f(z) = cos(z)/z5 quanh điêm bât thương z = 0.

Miên hôi tu cua chuôi: 0 < |z| < (vơi moi z khac 0).

Ta có thê khai triên cos(z) dang chuôi (công thưc 9.22):2n

n

n 0

zcosz ( 1)

(2n)!

Chuôi Laurent biêu diễn f(z) :n

5

cos(z) ( 1) 2n 5

(2n)!zn 0

f (z) z

5 3

1 1 1 1 1 1 1 3

2 24 z 720 40320z zf (z) z z ...


9.10 Cach tìm chuôi Laurent:

1. f(z) la ham hưu ty P(z)/Q(z):

Ta phân tich Ham hưu ty f(z) = P(z)/Q(z) thanh tông cua nhiêu Ham hưu ty sơ câp, rôi dung Chuôi nhi thưc, chăng han:

2. f(z) la ham hơp (H9.9):

n

n 0

1w(z) ;| w(z)| 1

1 w(z)

(9.33)

Nêu f(z) = [w(z)] va nêu (w) đươc khai triên thanh Chuôi Taylor (chăng han) trong D', ta se có Chuôi Laurent cua f(z) trong D.

H9.9(a) H9.9(b)


VD 9.10.1: Biêu diễn Laurent ham hưu ty

Dung chuôi nhi thưc vơi Miên hôi tu: |z + 1| < 1 :2 1 2 3

(z 2) 1 (z 1)2 2[1 (z 1) (z 1) (z 1) ...]

Tìm chuôi Laurent biêu diễn ham

quanh điêm z0 = – 1. Miên hôi tu ?

z

(z 1)(z 2)f (z)

Phân tich f(z) = tông cac ham hưu ty sơ câp:z 1 2

(z 1)(z 2) (z 1) (z 2)f (z)

Cuôi cung chuôi Laurent biêu diễn f(z) :

Miên hôi tu cua chuôi: 0 < |z + 1| < 1 (hình vanh khăn).

1 2

(z 1)f (z) 2 2(z 1) 2(z 1) ...


Chương 10: Ly thuyêt thăng dư

10.1 Phân loai cac điêm bât thương.

10.2 Thăng dư.

10.3 Đinh ly thăng dư.

10.4 Thăng dư tai cưc.

10.5 Zero câp m.

10.6 Quan hê giưa zero câp m va cưc câp m.

10.7 Cưc đơn cua P(z)/Q(z).


10.1 Phân loai cac điêm bât thương:

1. Điêm bât thương cô lâp (H10.1):

z1, z2, … = Điêm bât thương cua f(z).

Nêu có D(z1, r) sao cho trong D không có Điêm bât thương nao khac thì z1 la Điêm bât thương cô lâp cua f(z).

f(z) đươc khai triên thanh chuôi Laurent quanh a = z1.

(10.1)nm 1

o 1 nm

a af(z) a a (z a) a (z a)

z a(z a)

(10.1) có gia tri trong Đia hơ vô tâm D'(a, R2) vơi

R2 = |z – a| la Khoang cach tư a đên Điêm bât thương gân a nhât.

H10.1


2. Cưc câp m (bâc m):

a = cưc cua f(z) nêu (10.1) chi chưa 1 sô hưu han Luy thưa âm.

a = cưc câp m cua f(z) nêu m la Luy thưa âm cao nhât .

Phân chinh cua f(z) quanh cưc a câp m :

(10.2)m 2 1m 2

a a ag(z)

z a(z a) (z a)

3. Điêm bât thương chu yêu: a la Điêm bât thương chu yêu cua f(z) nêu (10.1) chưa vô sô Luy thưa âm.

4. Điêm bât thương khử (bo) đươc: a la Điêm bât thương khử đươc cua f(z) nêu (10.1) không chưa Luy thưa âm.


VD 10.1.1: Phân loai điêm bât thương

Chi ra cac điêm bât thương va cho biêt loai cua chung :2

3

z

(z 1) a)

3

2

2z z 1

(z 4) (z j)(z 1 2 j)b)

2

sin(mz)

(z 2z 2)c)

1 cos z

z d)

a) z = -1 : cưc bâc 3.

b) z = 4: cưc bâc 2; z = j va 1 – 2j : cưc đơn.

c) z = – 1 + j va – 1– j : cưc đơn.

d) z = 0 : điêm bât thương khử đươc .


10.2 Thăng dư:

1. Đinh nghia:

a = Điêm bât thương cua f(z).

(10.1) la khai triên Laurent cua f(z) trong cân D’(a, R2).

a–1 goi la Thăng dư cua f(z) tai Điêm bât thương a.

(10.3) 1a Res f(z); a

2. Tinh Tich Phân Chu Tuyên Băng Thăng Dư:

° a = Điêm bât thương cua f(z) (H10.2).

° C = D'(a, R2) đương kin đơn bao quanh a.

! Trong (9.31), lây n = –1 rôi thay bơi z:

H10.2

Cf(z)dz 2 i Res f(z); a (10.4)


VD 10.2.1: Xac đinh thăng dư

Khai triên f(z) quanh điêm z = 0. Dung chuôi:

Dung chuôi Laurent, xac đinh Res{f(z); 0} biêt :3

zf (z) ze

2 33 1 3 1 33/ z

z 2! z 3! ze 1 ...

Theo khai niêm thăng dư:

23 91 2! 2

Res{f ;0} a

2 3

2

1 3 1 33/ z

2! z 3! zf (z) ze z 3 ...


10.3 Đinh ly thăng dư:

H10.3

(10.5) n

kCk 1

f(z)dz 2 i Res f(z); z

° C = Đương kin đơn (chu tuyên).

° z1,…, zn = n ĐBT cua f(z) trong C.


VD 10.3.1: Dung đinh ly thăng dư

Chi tôn tai điêm bât thương z = 0 bên trong |z| = 4.

Theo VD 10.2.1 ta đa tinh đươc:23 9

1 2! 2Res{f ;0} a

Dung đinh ly thăng dư, tinh biêt :3

zf (z) ze|z| 4

f (z)dz

Theo đinh ly thăng dư :

n

k|z| 4k 1

9f (z)dz 2 i Res f (z); z 2 i 9 i

2


10.4 Thăng dư tai cưc:

1. Nhân dang cưc câp m:

(10.6)0m

(z) giaûi tích taïi a(z)f(z) ;

(a)(z a)

a la cưc câp m cua f(z)

2. Thăng dư tai cưc câp m:

(10.7)m 1 (m 1)

mm 1z a

1 d (a)Res{f(z); a} lim (z a) f(z)

(m 1)! (m 1)!dz

3. Thăng dư tai cưc đơn:

(10.8) z a

a cöïcñôn Res f(z);a lim (z a)f(z) (a)


VD 10.4.1: Tinh thăng dư tai cưc

i. z = 3 : cưc đơn va ta dung công thưc:

2

1 1

4(z 1)z 3 z 3Res{f (z),3} lim{(z 3)f (z)} lim

ii. z = 1 : cưc bâc 2 , ta dung công thưc:

2 1 2

2 1 2 2

1 d (z 1) 1 1

(2 1)! 4dz (z 1) (z 3) (z 3)z 1 z 1Res{f (z),1} lim lim

2

1

(z 1) (z 3)f(z)

Xac đinh thăng dư tai cac cưc cua ham


10.5 Zero câp m:

1. Đinh nghia zero câp m:

Xét f(z) giai tich tai a. Điêm a la Zero câp m cua f(z) nêu:

(10.9)1 0 0(m ) (m)f(a) f (a) f (a) vaøf (a) '

2. Nhân dang zero câp m:

(10.10)a la zero câp m cua f(z) 0

m (z) giaûi tích taïi af(z) (z a) (z);

(a)

VD 10.5.1: Cho ham phưc: 2

(z 1)

(z 2)(z 3)f (z)

Theo đinh nghia ta có z = 1: zero đơn cua f(z).


10.6 Quan hê giưa zero câp m va cưc câp m:

Cho ham f(z) = P(z)/Q(z), vơi P(z) va Q(z) giai tich tai a.

Nêu a la zero câp m cua Q(z) va P(a) 0 thì a la cưc câp m cua ham phưc f(z).

(10.11)P(a) 0; Q(a) = … = Q(m–1)(a) = 0; Q(m)(a) 0

VD 10.6.1: Xac đinh cac cưc va zero cua ham phưc:

4 2

(z 1)

z (1 i)z if (z)

Theo đinh nghia ta có z = 2: zero đơn cua f(z).

Cac cưc cua f(z) la nghiêm: z4 – (1+i)z2 + i = 0(z2–1)(z2–i) = 01 i 1 i

2 2z 1, 1, , la cac cưc đơn cua f(z).


VD 10.6.2: Thăng dư tinh tich phân phưc

z = 0 & z = 2 : cac cưc đơn, năm bên trong C.

Thăng dư tai z = 0 la:(5z 2)

(z 2)z 0lim 1

Thăng dư tai z = 2 la:(5z 2)

zz 2lim 4

(5z 2)

z(z 2)Cdz 2 i.[1 4] 10 i

Cho C = đương tron tâm O, ban kinh 3, hương theo chiêu dương. Tinh: (5z 2)

z(z 2)Cdz = ?


10.7 Cưc đơn cua f(z) = P(z)/Q(z):

1. Nhân dang cưc đơn:

2. Thăng dư tai cưc đơn:

(10.12)P(a) 0; Q(a) = 0; Q'(a) 0

P(z) P(a)Res ;a

Q(z) Q'(a)

(10.13)


VD 10.7.1: Tinh thăng dư tai cưc đơn

4

1

(z 1)f(z)

Xac đinh thăng dư tai cac cưc cua ham

Ta thây f(z) có 4 điêm cưc đêu la cưc đơn: z = 1/4, 13/4 , 15/4 , 17/4 . Trong trương hơp nay thăng dư tai cac cưc đơn xac đinh tiên lơi khi dung công thưc:

3

P 1 1 0

Q' 4 3 / 44zRes{f (z),1 / 4} 0.25 135

3

P 1 1 0

Q' 4 9 / 44zRes{f (z),1 3 / 4} 0.25 45

3

P 1 1 0

Q' 4 15 / 44zRes{f (z),1 5 / 4} 0.25 45

3

P 1 1 0

Q ' 4 21 / 44zRes{f (z),1 7 / 4} 0.25 135


Chương 11: Ưng dung cua thăng dư

11.1 Tinh tich phân xac đinh ham lương giac.

11.2 Tinh tich phân suy rông ham hưu ty.

11.3 Tìm biên đôi Fourier.

11.4 Tìm biên đôi Laplace ngươc.


11.1 Tinh tich phân xac đinh ham lương giac:

Goi F(cos, sin) la 1 Ham hưu ty cua (cos, sin) hưu han trên khoang kin = [0, 2] (H11.1a)

1. Đinh nghia: (11.1)

2

0I F(cos ,sin )d

H11.1(a) H11.1(b)


2. Cach tinh tich phân xac đinh ham lương giac:

Đôi biên , ta có:iz e 2 2z 1 z 1 dz

cos ;sin ;d2z 2iz iz

Đông thơi, đương tich phân biên thanh Vong Đơn Vi C : |z| = 1 (H11.1b)

Đăt:2 2z 1 z 1 dz

F ; f(z)dz2z 2iz iz

(11.2)

n

k kCk 1

I f(z)dz 2 i Res f(z); z (| z | 1)


3. Cac bươc đê tinh I :

B1. Tinh f(z) tư phân 2.; f(z) la Ham Hưu Ty P(z)/Q(z).

B2. Chon cac cưc zk cua f(z) có biên đô |zk| < 1 .

B3. Tinh Thăng Dư tai môi cưc đó.

B4. Tinh tông Thăng Dư rôi nhân cho 2i .


VD 11.1.1: Tinh tich phân ham lương giac2 d

24 8cos0 I

Dung thăng dư, tinh tich phân:

2dz z 1

iz 2zd & cos Xac đinh f(z):

2 2 2

d dz dz i dz

24 8cos 4z 1 i[24z 4z 4] [z 6z 1]iz[24 4 ]

z

f (z)dz

1z 3 2 2 Cưc f(z) bên trong VTĐV:

Tinh thăng dư:1

i 1 i1 4 [2z 6] 16 2

Res{f (z);z }

i

16 2 8 2I 2 i Cuôi cung:


11.2 Tinh tich phân suy rông ham hưu ty:

Goi f(x) = P(x)/Q(x) la 1 Ham hưu ty sao cho bâc P bâc Q + 2 va Q(x) không co nghiêm thưc.

1. Đinh nghia: (11.3)I f(x)dx

2. Cach tinh: Theo (H11.2)

H11.2

° Goi C = Biên cua Nửa MP Trên.

CI f(z)dz

n

k kk 1

2 i Res f(z);z (Imz 0)

(11.4)


3. Cac bươc đê tinh I:

B1. Chon cac cưc zk cua f(z) có Phân ao Im(zk) > 0.

B2. Tính Thăng Dư tai môi cưc đó.

B3. Tính Tông Thăng Dư rôi nhân cho 2i .

(11.4) vân đung nêu f(z) thoa cac Điêu kiên sau:

i. f(z) giai tich trong trư ơ môt sô hưu han cưc zk không năm trên truc thưc Im(z) > 0.

P : Imz 0,

ii. zf(z) Hôi tu đêu vê zero khi z trong .P


VD 11.2.1: Tinh tich phân ham hưu ty

Dung thăng dư, tinh tich phân: 2

4

x

1 x I dx

Cuôi cung:

o o

2I 2 i[0.25 45 0.25 135 ]

Thoa đk hôi tu. Cac cưc ơ nửa trên mp phưc:

31 24 4

z 1 ;z 1

Tinh thăng dư tai cac cưc:21

31

z o1 4z

Res{f ,z ) 0.25 45 2232

z o2 4z

Res{f ,z ) 0.25 135


11.3 Tìm biên đôi Fourier:

Goi f(x) = ham như trong 11.2..

1. Đinh nghia:

° Biên đôi Fourier côsin cua f(x) la:

° Biên đôi Fourier sin cua f(x) la:

(11.7)C S k1

F (a) F (a) 2 Res{ f(z); } (Imz 0)

n

iazk

k

i i e z

2. Cach tinh:

{ ( )} ( ) ( )sina

S Sf x F a f x xdxF (11.6)

{ ( )} ( ) ( )cosa

C Cf x F a f x xdxF (11.5)


3. Cac bươc đê tinh FC(a) va FS(a):

B1. Chon cac cưc zk cua f(z) có Phân ao Im(zk) > 0.

B2. Tính Thăng Dư cua (z) = eiazf(z) tai môi cưc đó.

B3. Tính Tông Thăng Dư rôi nhân cho 2i, ta có sô phưc A + iB .

Cưc cua f(z) va cưc cua (z) giông nhau vì ham eiaz :

i. Giai tich khăp nơi (không có cưc).

B4. Suy ra FC(a) = A va FS(a) = B .

ii. Khac không khăp nơi (không có zero).


VD 11.3.1: Tinh tich phân Fourier

Thoa đk hôi tu. Cac cưc ơ nửa trên mp phưc: z1 = i.

Dung thăng dư, tinh tich phân: 2

cos x

(x 1) I dx

Tinh thăng dư tai z1 cua (z) = eiz.f(z) :i ( i ) 1e e

1 2(i) 2iRes{f (z),z }

Cuôi cung:1

2

cos x e

2i ex 1I dx Re{2 i }

Dễ thây: 1

2

sin x es 2ix 1

I dx Im{2 i } 0


11.4 Tìm biên đôi Laplace ngươc:

1. Tich phân Laplace ngươc:

° Biên đôi Laplace thuân cua ham f(t) cua biên thưc t la (H11.3a).

(11.8) 0

f(t) F(s) f(t) ste dtL

! Tich Phân Suy Rông đươc lây doc theo tia 0 < t < trong măt phăng t.

H11.3(a) H11.3(b)


1. Tich phân Laplace ngươc: (tiêp theo)

° Ngươc lai, nêu F(s) la môt Ham biên phưc có môt sô hưu han ĐBT s1, ... , sn thì BĐ Laplace Ngươc cua F(s)

đươc cho bơi Tich Phân Laplace Ngươc (H11.3b).

(11.9) 1 1

{F(s)} f(t) F(s)2

a ist

a i

e dsi

L

! Tich phân Đương Phưc đươc lây doc theo Đương Thăng Đưng = a năm vê phia phai cua tât ca cac ĐBT s1, … , sn cua

ham F(s).


2. Cach tìm Laplace ngươc băng thăng dư:

Gia sử Ham biên phưc F(s) thoa cac điêu kiên sau:

i. F(s) giai tich ngoai trư tai n cưc s1, s2, … , sn.

ii. sF(s) bi chăn khi s trong Nửa Măt Phăng Trai Re(s) = 0.

(11.10) 1

1

F(s) f(t) Res F(s) ;

nst

kk

e sL

Nêu F(s) la Ham Hưu Ty P(s)/Q(s) vơi bâc P(s) < bâc Q(s) thì ta cân 3 Bươc đê tìm f(t).


Ba bươc tìm Laplace ngươc băng thăng dư:

B1. Tìm cac zero s1, s2, …, sn cua Q(s). Đó chinh la cưc cua F(s).

B2. Tìm Res{F(s).est; sk} = fk(t).

(11.11) B3. Tính Tông : n

kk 1

f(t) f (t)

! fk(t) la Thanh Phân thư k cua f(t); sơ hưu bơi sk.


VD 11.4.1: Tinh biên đôi Laplace ngươc

Cac cưc cua F(s): s1 = 2i ; s2 = – 2i .

Tinh thăng dư tai s1 va s2:

Dung thăng dư, tìm f(t) biêt anh Laplace: 2

1

s 4F(s)

i 2 test

4iResidue{F(s)e , 2i}

j2 test

4iResidue{F(s)e , 2i}

Cuôi cung: j2 t j2 tn

e e sin(2t )sti 4i 2

i 1

Res{F(s).e ,s }

sin(2t ) 1

2{F(s)} L


Chương 12: Phép biên đôi bao giac12.1 Biêu diễn hình hoc cua ham biên phưc.

12.2 Phép biên đôi w = z2 va w = zn.

12.3 Phép biên đôi w = ez .

12.4 Phép biên đôi bao giac.

12.5 Phép biên đôi Mobius.

12.6 Phép biên đôi Mobius biên (z1, z2, z3) thanh (w1, w2, w3).

12.7 Biên nửa măt phăng trên thanh đia đơn vi.

12.8 Tìm phép biên đôi biên thanh ’.


12.1 Biêu diễn hình hoc cua ham biên phưc

Măt phăng z (x, y, r, q, Q, z, Măt phăng w (u, v, r, f, F, w,

H12.1(a) H12.1(b)

z) w)

(Sô phưc z Sô phưc w)

Điêm A Điêm A'

Chu tuyên C Chu tuyên C'

(Điêm z Điêm w)

Đương Đương '

Miên D Miên D'


VD 12.1.1: Biêu diễn hình hoc cua ham phưc

Tìm anh cua cac điêm A(z = – 2 + i) va B(z = 3 + 4i) thông qua phép biên đôi w = 2iz + 3 ? Minh hoa trên măt phăng phưc ?

Điêm A(z = -2 + i) A’(w = 2i(-2 + i) + 3 = 1 – 4i )

Điêm B(z = 3 + 4i) B’(w = 2i(3 + 4i) + 3 = – 5 + 6i )


12.2 Phép biên đôi w = z2

1. Khao sat trong Toa Đô Vuông Góc (H12.2 va 12.3):

(12.1)2 2 2w z u x y ;v 2xy

H12.2(a) H12.2(b)

Ho Đương Toa Đô Cc: x = c Ho Parabôn ' 2 2 2cC u c v /4c

Ho Đương Toa Đô k: y = k Ho Parabôn : ' 2 2 2k u v /4c c


1. Khao sat trong Toa Đô Vuông Góc (H12.2 va 12.3): (tiêp theo)

H12.3(a) H12.3(b)

Ho Hypebôn Dc: x2 – y2 = c Ho Đương Toa Đô cD u c' :

Ho Hypebôn k: 2xy = k Ho Đương Toa Đô k v k ' :

vơi moi c va moi k.c k c kC vaøD , ' '


2. Khao sat trong Toa Đô cưc (H12.4):

(12.2)2 2 2 w z r vaø

H12.4(a) H12.4(b)


2. Khao sat trong Toa Đô cưc (H12.4): (t.theo)


VD 12.2.1: Phép biên đôi w = z2

Tìm anh cua đoan AB thông qua phép biên đôi w = z2 ?

Đâu tiên ta tìm anh cua biên:

Điêm A(z = 2) A’(w = 22 = 4)

Điêm B(z = 2i) B’(w = (2i)2 = – 4)

Tiêp theo: w = z2 → u = x2 – y2 ; v = 2xy Tư: y = 2 – x → u = x2 – (2-x)2 = 4x – 4 ; v = 2x(2-x) = 4x -2x2

→ x = (u+4)/4 → v = (u+4) – (u+4)2/8 → v = – u2/8 + 2


VD 12.2.2: Phép biên đôi w = z2

Thê z = x + ib vao w = z2 → u = x2 – b2 ; v = 2xb

Tìm anh cua đương y = b thông qua phép biên đôi w = z2 ? Minh hoa trên măt phăng phưc ?

Có: u + b2 = v2/4b2 → u = v2/(4b2) – b2

Anh cua đương y = b la parabôn. Minh hoa trên măt phăng phưc:


12.3 Phép biên đôi w = ez

(12.3)z xw e e vaø y

H12.5(a) H12.5(b)


12.3 Phép biên đôi w = ez (tiêp theo)


VD 12.3.1: Phép biên đôi w = ez

Thê z = a + iy vao w = ez :

Tìm anh cua cac đương thăng x = a va y = b thông qua phép biên đôi w = ez ? Biêu diễn trên măt phăng phưc ?

u + iw = ea.eiy |w| = ea : đương tron ban kinh ea .

Biêu diễn trên mp phưc:

Thê z = x + ib vao w = ez :

u + iw = ex.eib arg(w) = b : tia, tao góc b (rad) vơi truc thưc.


VD 12.3.2: Phép biên đôi w = ez

Theo tinh chât phép biên đôi ez:

Tìm anh cua hình chư nhât ABCD (0,5i, 1 + 0,5i, 1 + i, i) thông qua phép biên đôi w = ez ? Biêu diễn trên măt phăng phưc ?

x = 0 ĐT |w| = e0 = 1. x = 1 |w| = e1 = e.

y = 0,5 Tia arg(w) = 0,5. y = 1 Tia arg(w) = 1.

Biêu diễn trên măt phăng phưc:


12.4 Phép biên đôi bao giac:

1. Điêm thương va Điêm tơi han cua f(z) Giai tich tai z0 (H12.6):

f '(z0) 0: z0 la Điêm Thương cua Phép biên đôi w = f(z).

f '(z0) = 0: z0 la Điêm Tơi Han cua Phép biên đôi w = f(z).

H12.6(a) H12.6(b)

Nêu z0 la 1 Điêm Thương cua f(z) thì > 0 sao cho nêu D' la anh

cua Đia hơ D (z0, ) thì se có 1 Ham Ngươc Đơn Tri f –1: D' D


2. Biên đôi cua chiêu dai, góc va diên tich vi phân:

Tai 1 điêm thương z0 cua phép biên đôi w = f(z), đăt:

(12.4) '' ' 0iArgf (z ) i0 0f (z ) f (z ) e ke (k 0; )

H12.7(a) H12.7(b)

Chiêu dai cua Vectơ VP đươc nhân cho k: d = kdr.dzWWWWWWWWWWWWWW

Góc cua Vectơ VP đươc công vơi : = + .dzWWWWWWWWWWWWWW

Diên tich cua VP dS quanh z0 đươc nhân cho k2: dS’ = k2dS.


3. Tinh chât bao giac:Nêu f(z) G.tich va f '(z) 0 trong D thì P b.đôi w = f(z) Bao Giac trong D (góc giưa hai đương đươc giư nguyên Đô lơn va Chiêu)

H12.8(a) H12.8(b) ' '1 0 1 2 0 2 1 1 2 2dw f (z )dz ; dw f (z )dz ;

(12.5)2 1 2 1 4. Trương hơp z0 la điêm tơi han cua f(z):

Nêu z0 la 1 zero câp n cua f(z) thì góc giưa C1 va C2 đươc nhân n lân.


12.5 Phép biên đôi Mobius (song tt, psô tt):

1. Đinh nghia: Đó la ho Phép biên đôi

(12.6)az b

w f(z) (ad bc 0)cz d

2. Ba phép biên đôi Mobius sơ câp:

Phép biên đôi Mobiüs la Ham Hơp cua nhiêu Phép biên đôi sơ câp.

w = T(z) = z + z0 (12.7)

w = S(z) = z (12.8)

1w I(z)

z (12.9)


3. Phép biên đôi w = T(z) = z + z0 : (H12.9)

Chông măt phăng w lên măt phăng z va xem w = T(z) la môt Phép biên đôi điêm trong măt phăng z.

H12.9 (12.10)

° Sô phưc zo Vectơ

° Sô phưc z Vectơ

° Sô phưc z + zo Vectơ

° o ow z z w z z

oz

z

oz z

Điêm z biên thanh điêm w qua Phép Tinh Tiên theo vectơ.

T(z) biên Đương Thăng thanh Đương Thăng;

Vong tron thanh Vong tron.


4. Phép biên đôi w = S(z) = µz : (H12.10)

Điêm w suy tư Điêm z băng tich cua Hai PBĐ Điêm:

H12.10

(12.11)

°

!

° Điêm z có TĐC (r, ).

° Điêm w1 có TĐC (kr, ) .

° Điêm w có TĐC (kr, + ).

!

i i iz re ; ke ; w e kr;

1H(O, k) R(O, )z w w

i. Phép vi tư H(O, k) biên Điêm z thanh Điêm w1.

ii. Phép Quay R(O, ) biên Điêm w1 thanh Điêm w.

Điêm z biên thanh Điêm w qua Phép Đông Dang S(O, k, ).


4. Phép biên đôi w = S(z) = µz : (tiêp theo) S(z) biên Đương Thăng thanh Đương Thăng; Vong Tron thanh Vong Tron.

Chưng Minh: Goi (z, la Toa Đô Liên Hơp cua điêm z; va A, B, D la 3 sô phưc thoa điêu kiên:

z)

(12.12)BB (A A)(D D) Phương Trình tông quat cua 1 Vong Tron C trong MP z la:

va Phương Trình cua đương biên đôi C’ cua C la:

Có cung dang như C, nên C' la Vong Tron.

(A A)zz Bz Bz (D D) 0 (12.13)

(A A)ww (B )w (B )w (D D) 0 (12.14)

Nêu thì “Vong Tron” trơ thanh Đương Thăng.A A


5. Phép nghich đao đ/v môt vong tron: (H12.11)

= Vong Tron tâm O, ban kinh a.

Trên tia OP, lây P' sao cho:

(12.15)2OP.OP a'

H12.11

P' la Điêm biên đôi cua P qua Phép Nghich Đao I(O, a) đôi vơi .

Cac Điêm P0 trên la cac Điêm Bât Đông cua Phép Nghich Đao.

Đương Thăng không qua O Vong Tron qua O.

Vong Tron qua O Đương Thăng không qua O.

Đương Thăng qua O Đương Thăng qua O.

Vong Tron không qua O Vong Tron không qua O.


6. Phép Biên Đôi w = 1/z : (H12.12)

Điêm w suy tư Điêm z băng Tich 2 PBĐ Điêm:

(12.16)

i i i1z re ;w e e

r °

!

° Điêm z có Toa Đô Cưc (r, ).

° Điêm w1 có Toa Đô Cưc (1/r, )

° Điêm w có Toa Đô Cưc (1/r, –)

!

1;

r

I(0,1) T1z w w H12.12

i. Phép Nghich Đao I(0,1) đôi vơi VĐV biên z thanh w1.

ii. Phép Đôi Xưng T qua truc thưc biên w1 thanh w.


6. Phép Biên Đôi w = 1/z : (tiêp theo) Trong phép biên đôi w = 1/z. Đương Thăng không qua O Vong Tron qua O.

Vong Tron qua O Đương Thăng không qua O.

Đương Thăng qua O Đương Thăng qua O.

Vong Tron không qua O Vong Tron không qua O.

Chưng Minh: Nêu A, B, D thoa (12.12) thì Đương Biên Đôi C’ cua vong tron C (12.13) se có phương trình:

Vây C' cung la môt Vong Tron.

(Nêu = 0 thì C la “Đương Thăng”.A A

(12.17)(D D)ww Bw Bw (A A) 0


7. Tinh chât quan trong cua phép Biên Đôi Mobius:

Phép biên đôi Mobiius biên Vong Tron thanh Vong Tron .(12.18)

Anh cua đương tron |z – 3| = 2 xac đinh theo:

VD 12.5.1: Tìm anh cua đương tron |z – 3| = 2 thông qua phép biên đôi w = 1/z ? Minh hoa trên măt phăng phưc ?

1

w3 2

2 2 2 2

1 6u

u v u v9 4

2 23 9 1 22

5 25 5 5u v

Anh la đương tron.

2 2

u iv

u v3 2

2 2 2 2

2 2u v

u v u v3 4

2 25(u v ) 6u 1 0


VD 12.5.2: Phép Biên Đôi song tuyên tinh

Tư phép biên đôi, ta có: z = (iw + i)/(1 – w)

Tìm anh cua đương tron |z| = 2 thông qua phép biên đôi song tuyên tinh w = (z – i)/(z + i) ? Minh hoa trên măt phăng phưc ?

iw i

1 w2

Anh cung la đương tron .

v i(u 1) 2 | (1 u) iv |

102 2

3u v u 1 0

Anh cua đương tron |z| = 2 trên măt phăng w :2 2 2 2v (1 u) 4[(1 u) v ]

2 25 42

3 3u v

Ta con thây miên |z| < 2 tương ưng miên bên ngoai đương tron trên mp w nhơ điêm thử z = 0.


12.6 Phép BĐ Mobius biên (z1, z2, z3) thanh (w1,w2, w3):

1. Ty chéo: Ty chéo cua 4 sô phưc z1, z2, z3,z4 la:

(12.19) 1 2 3 41 2 3 4

1 4 3 2

(z z )(z z )z ,z ,z ,z

(z z )(z z )

2. PBĐ Mobiüs biên (z1, z2, z3) thanh (w1, w2, w3):

1 2 3 1 2 3

1 3 2 1 3 2

(w w )(w w) (z z )(z z)(w w)(w w ) (z z)(z z )

(12.20)

3. Trương hơp 1 trong 6 sô z1, z2, z3, w1, w2, w3 la : Xoa cac thưa sô co chưa trong (12.20).

PBĐ Mobiüs biên (, z2, z3) thanh (w1, w2, w3) la:

1 2 3 3

1 3 2 3 2

(w w )(w w) z z(w w)(w w ) z z

(12.21)


VD 12.6.1: BĐ Mobius biên 3 điêm thanh 3 điêm

Tìm phép biên đôi song tuyên tinh biên 3 điêm z = – 1, 0, 1 lân lươt thanh ba điêm w = 0 ,i ,3i .

Dung công thưc (12.20) ta có:

0 i 3i w 1 0 1 z

0 w 3i i 1 z 1 0

Hay:3 iw 1 z

2iw 1 z

Giai theo w, ta có:

z 1

z 3w 3i


12.7 Biên nửa măt phăng trên thanh đia đơn vi (ĐĐV):

1. Bai toan: (H12.13), Tìm Ho PBĐ Mobius sao cho:

i. Nửa MP Hơ Trên : Imz > 0 Đia Hơ ĐV ’: |w| < 1.

ii. Truc Thưc (Biên cua ): Imz = 0 VTĐV ’:|w| = 1.

2. Ho Phép Biên Đôi Mobiüs cân tìm:

(12.22)

i o

oo

z zw e ( R,Imz 0)

z z

H12.13(a) H12.13(b)


3. Phép Biên Đôi M(z) : (H12.14)

H12.14(a) H12.14(b)

i zw M(z)

i z

(12.23)

NMPT:

x

y 0

GPT I:

0 x

0 y

ĐĐV:0 1

0 2

NĐTĐV:0 1

0


4. Phép Biên Đôi N(z) : (H12.15)

H12.15(a) H12.15(b)

ĐĐV:

0 r 1

0 2NMPT:

u

v 0

NĐTĐV:

0 r 1

0GPT I:

0 u

0 v

(12.24)

1 zw N(z) i

1 z


12.8 Tìm Phép Biên Đôi biên thanh ’:

1. Biên Hình quat vô han thanh Đia đơn vi: (H12.16)

H12.16(a) H12.16(b) H12.16(c)

HQVH:0 r

0 /4

ĐĐV:

'

0 1

0 2


Cac bươc cua Phép Biên Đôi biên thanh ’:

B1. Dung Phép biên đôi luy thưa w1 = z4.

HQVH:0 r

0 /4

NMPT:

11

1

0

0

B2. Dung Phép biên đôi w = M(w1) = (i – w1)/(i + w1).

NMPT:

11

1

0

0ĐĐV:

'

0 1

0 2

B3. Phép biên đôi hơp cân tìm la:

(12.25)

4

1 4

i zw M w (z)

i z


2. Biên Hình quat hưu han thanh Nửa măt phăng:

HQHH:0 r 1

0 /3

NMPT:

'

0

0

H12.17

w2

w


Cac bươc cua Biên Đôi HQHH thanh NMPT:

B1. Dung Phép biên đôi luy thưa w1 = z3.

B2. Dung Phép biên đôi w2 = N(w1) = i(1 – w1)/(1 + w1).

B4. Phép biên đôi hơp cân tìm la:

HQHH:

0 r 1

0 /3NTĐĐV:

11

1

0 1

0

NTĐĐV:

11

1

0 1

0GPT I:

22

2

0

0 /2

B3. Dung Phép biên đôi luy thưa w = w22.

GPT I:

22

2

0

0 /2NMPT:

'

0

0

(12.26) 2 3 22 1

1 3 21

1 w (1 z )w N w (z) i

1 w (1 z )

Documents

Baigiang_Toan Ky Thuat