Ligjërata 3

Statistika përshkruese

Madhësitë mesatare dhe të variacionit

Në këtë kaptinë ju do të mësoni:

Të përshkruani karakteristikat e madhësive mesatare, variacionit dhe formën e shpërndarjes së të dhënave numerike.

Të llogaritni treguesit deskriptiv për mostër dhe populacion dhe të bëni dallimet në mes të tyre.

Të llogaritni treguesit relativ të variacionit

Të kuptoni se si përdoret Excel për llogaritjen e statistikave përshkruese.

Matësit e tendencës qendrore, variacionit dhe forma e shpërndarjes ◦ Mesatarja aritmetike, mediana, moda, mesatarja

gjeometrike

◦ Rangu, Rangu i interkuartilit, varianca dhe devijimi standard, koeficienti i variacionit

Përmbledhje e matësve të popullimit

◦ Mesatarja, varianca, dhe devijimi standard

◦ , etj

Mesatarja aritmetike

Mediana

Moda

Përshkrimi i të dhënave numerike

Varianca

Devijimi standard

Koeficienti i variacionit

Rangu

Interkuartili i rangut

Mesatarja gjeometrike

Asimetria

Tendenca qendrore Variacioni Forma e

shpërndarjes Kuartilet

Tendenca qendrore

Mes. aritmetike Mediana Moda Mes. gjeometrike

n

X

X

n

i

i 1

1 2( )nnG X X X

Vështrim

Vlera e mesit

e të dhënave

të renditura

Vlera e

shfaqur më

së shpeshti

Mesatarja aritmetike është treguesi më i shpeshtë që mat tendencën qendrore të dhënave ◦ Për mostër me madhësi n:

Madhësia e

mostrës

n

XXX

n

X

X n21

n

1i

i

Vlerat e vrojtuara

Matësi më i shpeshtë i tendencës qendrore

Mesataja = shuma e vlerava e ndarë për numrin e vlerave

E ndikuar nga vlerat ekstreme (outliers)

(vazhdim)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mesatarja = 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mesatarja = 4

35

15

5

54321

4

5

20

5

104321

Në një renditje të dhënave mediana është vlera e “mesit” ( 50% mbi dhe 50% nën)

Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Median = 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Median = 3

Vendi i medianës/Rangu i medianës/Pozita e medianës

◦ Nëse numri i të dhënave është tek, medianë është numri i

mesit.

◦ Nëse numri i të dhënave është qift, mediana është mesatare aritmetike e dy numrave të mesit

Veni re nuk është vlera e medianës, por

vetëm pozita e medianës në të dhënat e rregullura.

1

2

nPozitae medianes pozicioni ne te dhenat e renditura

2

1n

Matës i tendencës qendrore;

Vlera që paraqitet më së shpeshti;

Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme;

Përdoret për të dhënat numerike dhe nominale;

Mund të mos ketë modë;

Mund të ketë disa moda.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Moda = 9

0 1 2 3 4 5 6

Ska Mode

Ch

ap

3-

11

Pesë shtëpi afër plazhit

$2,000 K

$500 K

$300 K

$100 K

$100 K

Çmimet e shëpive:

$2,000,000

500,000

300,000

100,000

100,000

Mes. aritmetike: ($3,000,000/5) = $600,000

Mediana: Vlera e mesit e të

dhënave të rregulluara = $300,000

Moda: Vlera e shfaqur më së shpeshti = $100,000

Çmimet e shtëpive:

$2,000,000

500,000

300,000

100,000

100,000

Sum $3,000,000

Mes. Aritmetike në përgjithësi përdoret, edhe pse ekzistojnë vlerat ekstreme

Mediana shpesh përdoret, meqë mediana nuk është e ndieshme ndaj vlerave ekstreme.

◦ Shembull: Çmimi medial i shtëpive do të mund të

raportohej për regjionin- sepse është më pak e ndieshme ndaj vlerave ekstreme

14

E dobishme për gjetjen e ndryshimeve mesatare të përqindjeve, normave , indekseve dhe normës së rritjes përgjatë kohës.

Ka aplikim shumë të gjerë në biznes dhe ekonomi sepse ne jemi të interesuar në gjetjen e ndryshimeve në përqindje, ndryshimeve në shitje, paga ose në tregues të tjerë ekonomik si GDP të cilat ndërtohen prej një vit në një vit tjetër.

Mesatarja gjeometrike gjithmonë do të jetë më e vogël ose e barabartë me mesataren aritmetike.

Mesatarja gjeometrike e një grumbulli të dhënash definohet si rrënja e n të prodhimit të n vlerave.

Formula për mesataren gejometrike është :

1 2( )nnG X X X

Shembull:

Supozojmë se individi “X” ka rritje të pages 5% në këtë vit dhe 15% në vitin e ardhshëm. Rritja mesatare është 9.886% e jo 10%.

Vertetim:

Rritja e pare: 3000x0.05 = 150

Rritja e dytë: 3150x0.15 = 472

Gjithsej rritja= 150+472=622.50, kjo është ekuivalente me:

3000x0.9886=296.58

3296.58x 0.9886= 325.90

Gjithsej rritja: 296.58+ 325.90=622.48 =622.50

15

1.05 1.15 1.2075 1.09886 1 0.09886 100 9.886%

1.09886 100 109.886 100 9.886%

G x

ose

Një përdorim tjetër i mesatares gjeometrike është gjetja e normës mesatare të rritjes së shitjeve , prodhimit, apo ndonjë kategorie tjetër ekonomike prej një periudhe në një periudhë tjetër.

Formula për kësi lloj problemesh është:

16

1

1nn

NG

N

Të dhënat e periudhës së fundit

Të dhënat e periudhës së

fillimit Numri i viteve

17

Në vitin 1950 në Organizatën e Kombeve të Bashkuara kanë qenë të anëtarësuara 50 shtete. Në vitin 1996 ky numër është rritur në 185 shtete. Sa është norma mesatare vjetore e rritjes së anëtarësimit për këtë periudhë.

46185

1 0,0288550

G

Norma mesatare e shtimit është 2,885% 0,02885x100=2.885%

Mesatarja aritmetike e ponderuar Mesatarja aritmetike e ponderuar është rast

i veçantë i mesatares aritmetike dhe llogaritet në rastet kur ka disa vrojtime në të njejtën modalitet, gjegjësisht kur të dhënat grupohen në distribucionin e frekuencave.

Mesatarja aritmetike e ponderuar llogaritet në rastet ku përveç vlerave të X janë edhe të dhënat për denduritë, gjegjësisht kur frekuencat nuk janë të barabarta , ashtu që njëri modalitet peshon me shumë e tjetri më pak.

Mesatarja aritmetike e ponderuar quhet edhe mesatare aritmetike e “peshuar”

19

Formula për llogaritjen e mesatares aritmetike të ponderuar është:

Simbolet:

1

1

nf Xi i

iX nfi

i

(iks bar)-prezanton simbolin për mesataren

aritmetike të mostrës

f- frekuencat në çdo klasë

fx - është prodhimi i frekuencave me vlerat e x

X - prezanton vlerat individuale të çdo modaliteti

fx - prezanton shumën e përgjithshme të këtyre

produkteve.

X

Kompania ndërtimore paguan në orë punëtorët e

vet: $16.50, $19.00, ose $25.00 në orë. Gjithësej

janë të punësuar 26 punëtorë, 14 prej tyre

paguhen me $16.50 në orë, 10 prej tyre me

$19.00 në orë, dhe 2 prej tyre $25.00 ne orë.

Mesatarisht sa paguhen punëtorët e kësja firme?

20

14 16,5$ 10 19$ 2 26$ 47118.1154$

14 10 2 261

1

x x x

nf Xi i

iX nfi

i

21

Pagat ($)

(X)

Nr.i punëtorëve

(f)

(X)x(f)

16.5 14 231

19.0 10 190

25.0 2 50

Σ 26 471

1

1

47118,1154$ 18$

26

n

i i

i

n

i

i

X f

X

f

22

Pagat ($) (X) Nr.i

punëtorëve (f)

Frekuencat

.kumulative

16.5 14 14

19.0 10 24

25.0 2 26

Σ 26

Për gjetjen e Medianës duhet të gjejme frekuencat kumulative dhe pozitën e medianës

Rme=Σf/2+1= 26/2+1=14

Me = 16.5& $

Moda është vlera që përsëritet më së shpeshti. Ne rastin konkret Moda=16.5,$ sepse numri më i madh i punëtorëve merr ketë pagë

Mesatarja aritmetike

23

Eksporti ne

(000€) Nr. i firmave

Mesi i

intervalit (X)

0 deri4 25 2 50 4 deri 8 35 6 210 8 deri 12 42 10 420 12 deri16 35 14 490 16 deri 20 25 18 450

162 1620

X f

Se pari gjejme mesin e intervalit

Frekuencat Shumëzojmë frekuencat me mesin

e intervalit

1

1

162010$

162

n

i i

i

n

i

i

X f

X

f

X

Mediana, shembull

24

Eksporti ne

(000€) Nr. i firmave

Frekuencat

kumulative 0 deri4 25 25 4 deri 8 35 (w1) 60 8 deri 12 (fme ) 42 102 12 deri16 35 137 16 deri 20 25 162

162

Se pari ,gjejme Frekuencat kumulative Se dyti, gjejmë pozitën e medianës: Rme=Σf/2+1=162/2+1=82

Elementi i 82 gjindet në grupin 8 deri 12; X1 = 8; d= 4

Frekuencat

11

/ 2

81 608 4 10$

42

me

f wMe X d

f

Me

Formula për gjetjen e medianës

Pse duhet të studiohet variacioni? ◦ Madhësitë mesatare si mesatarja aritmetike ose

mediana , përshkruajnë vetëm qendrën e të dhënave. Kjo është e vlefshme nga ky këndvështrim, mirëpo neve nuk na tregon asgjë rreth shpërndarjes së të dhënave.

◦ Për shembull , nëse të dhënat ju thonë se thellësia mesatare e lumit është 3 këmbë thellë, a do të vendosni që të kaloni lumin këmbë. Sipas të gjitha gjasave jo. Ju doni të dini edhe informata shtesë rreth variacionit të thellësisë së lumit.

◦ Arsye e dytë për të studiuar dispersionin në një grumbull të dhënave është që të bëhet krahasimi i shpërndarjes në dy apo më shumë distribucione.

25

Chap 3-26

Qendra e njejtë,

Variacione te ndryshme

Variacioni

Varianca Devijimi

standard

Koeficienti i

variacionit

Rangu Rangu i

interkuartilit

Treguesit e variacionit

japin informata për

shpërndarjen e

variabilitetit të vlerave të

dhënave .

Treguesi më i thjeshtë i variacionit

Diferenca në mes të vlerës më të madhe dhe vlerës më të vogël në një grumbull të dhënash:

Rangu = Xmax – Xmin

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Rangu = 14 - 1 = 13

Shembull:

Nuk e përfill rregullin e renditjes së të dhënave

I ndieshëm ndaj vlerave ekstreme

7 8 9 10 11 12

Range = 12 - 7 = 5

7 8 9 10 11 12

Range = 12 - 7 = 5

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120

Range = 5 - 1 = 4

Range = 120 - 1 = 119

Mesatare (e përafërt ) e devijimeve të ngritura në katror të vlerave nga mesatarja e tyre.

◦ Varianca e mostrës:

1-n

)X(X

S

n

1i

2

i2

Ku = mesatarja aritmetike

n = madhësia e mostrës

Xi = ith vlerat e variablës X

S2 – simboli për variancë

X

Treguesi më i shpeshtë i matjes së variacionit;

Tregon variacionet rreth mesatares;

Është rrënja katrore e variancës;

Shprehet në njësi të njejta të matjes sikurse edhe të dhënat.

◦ Devijimi standard i mostrës:

1-n

)X(X

S

n

1i

2

i

Te dhënat e

Mostrës (Xi) : 10 12 14 15 17 18 18 24

n = 8 Mesatarja = X = 16

Matës i devijimeve “mesatare”

rreth mest. aritmetike.

Devijim standard i vogël

Devijim standard i madh

Mes. = 15.5

S = 3.338 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Të dhënat B

Të dhënat A

Mest. = 15.5

S = 0.926

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Mest. = 15.5

S = 4.567

Të dhënat C

35

Mat shumë mirë variabilitetin e të dhënave.

► Ka lidhje të ngusht me mesataren aritmetike.

► Është shumë i rëndësishëm për zhvillimin e teorisë statistikore.

► Gjindet lehtë përmes softverëve!

Matës i variacionit relativ

Gjithmonë shprehet në përqindje (%)

Tregon variacionin relativ në raport me

mesataren.

Mund të përdoret për krahasimin e dy apo

më shumë variabiliteve të shprehura në njësi

të ndryshme të matjes.

Fletëaksioni A:

◦ Çmimi mesatar vitin e kaluar= $50

◦ Devijimi standard= $5

Fletëaksioni B:

◦ Çmimi mesatar vitin e fundit = $100

◦ Devijimi standard = $5

Të dy

fletëaksionet

kanë devijim

standard të

njejtë, mirëpo

fletëaksioni B

është më pak

variabil rreth

çmimit të tij.

Statistikat deskriptive mund të gjinden përmes Microsoft® Excel

◦ Përdorni zgjedhjet e menysë:

Data / data analysis / descriptive statistics

◦ Shkruani detajet në kutinë e dialogut

Nëse në menynë Data nuk gjindet data

analysis, atëherë duhet të instaloni këtë meny sipas procedurave të prezantuara në fotot

vijuese sipas hapave 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8)

Pasi keni përfunduar me proceduren e instalimit (1 deri 8) në menynë “Data” do të paraqitet menyja e re “Data Analysis”, e cila ka shumë zgjedhje rreth metodave statistikore, per qëllime të statistikave përshkruese do të

zgjedhim “Descriptive statistics”

Përdorni menynë

kryesore:

Data / data analysis /

Descriptive statistics

Shkruani detajet ne kutine e dialogut

Kontrolloni kutinë për “Sumary Statistics”

Klikoni OK

(vazhdim)

Rezultati i statistikave

deskriptive

përmes Excel-it,

Shfrytëzimi i të dhënave për

çmimet e shtëpive:

Çmimet e shtëpive:

$2,000,000

500,000

300,000

100,000

100,000

Treguesit përmbledhës të populacionit quhen

parametera

Mesatarja e populimit është shuma e vlerave në

populacion e ndarë me madhësinë e populacionit

N

N

XXX

N

XN21

N

1i

i

μ = mesatarja e popullimit

N = Madhësia e popullimit

Xi = ith vlerat e variablës X

Ku

Mesatare e devijimeve të ngritura në katror të vlerave nga mesatarja e tyre.

◦ Varianca e populacionit:

N

μ)(X

σ

N

1i

2

i2

Ku σ2= Varianca e populimit

N = Madhësia e populimit

Xi = ith vlerat e variablës X

Matësi më I shpeshtë I variacionit

Tregon variacionet rreth mesatares

Është rrënja katrore e variancës së popullimit

Ka njësi të njejtë të matjes sikurse të dhënat origjinale

◦ Devijimi standard i populimit:

N

μ)(X

σ

N

1i

2

i

Populacioni Mostra

Madhësia N n

Mesatarja

Varianca

Devijimi

standard

Populacioni Mostra

Madhësia N n

Mesatarja

Varianca

Devijimi

standard

1

N

i

i

X

N

n

X

X

n

i

i 1

1-n

)X(X

S

n

1i

2

i

N

μ)(X

σ

N

1i

2

i2

1-n

)X(X

S

n

1i

2

i2

N

μ)(X

σ

N

1i

2

i

Përshkrimi i treguesve të tendencës qendrore

◦ Mesatarja aritmetike, mediana, moda, mesatarja

gjeometrike.

Përshkrimi i treguesve të variacionit

◦ Rangu, Rangu i interkuartilit, varianca dhe devijimi

standard, koeficienti i variacionit,

◦ Përdorimi i Excel-it për statistika përshkruese