Upload
gin
View
91
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
BAYES YAKLAŞIMI…. Kesikli Olaylar için Bayes Kuralı. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
BAYES YAKLAŞIMI…Kesikli Olaylar için Bayes Kuralı
Anakütlenin üç kategoriye göre sınıflandırıldığı varsayılsın.
İlk grup sağlıklı olanlar, ikinci grup astımı olanlar ve
üçüncü grupta tüberküloz (TB) hastası olanlar olsun. Bu
anakütlede %90 bireyin sağlıklı, %9’unun astım ve %1’in
de tüberküloz hastası olduğu bilinsin. Rastsal seçilen bir
birey için aşağıdaki olaylar tanımlanabilir:
A1: Bireyin sağlıklı olması olayı A2: Bireyin astımı olması olayı
A3: Bireyin tüberküloz hastası olma olayı
1P A 0.90
2P A 0.09
3P A 0.01
(A.1)
2
…BAYES YAKLAŞIMI…Seçilen birey tüberküloz hastası olup olmadığını anlamak
için röntgen çektirsin.Sağlık araştırmalarından alınan
bilgiye göre, röntgen cihazlarının sağlıklı insan için
tüberküloz teşhisi koyma olasılığı 0.03dür. Astımı olan
bir hastaya tüberküloz teşhisi koyma olasılığı 0.2 ve
gerçekte tüberküloz hastası olan bir kişiye tüberküloz
teşhisi koyma olasılığı 0.95dir. B olayı seçilen bir kişi
için röntgen cihazıyla konan teşhisin pozitif olma olayı
olsun. 1P B A 0.03 2P B A 0.2 3P B A 0.95
olasılıklar “şartlı olasılıklar” dır. Bireyin sağlıklı iken röntgen
cihazının TB teşhisi koyma olasılığı 0.03dür. Bu olasılıklar
birey röntgen çektirmeden önce verilmektedir. Röntgen
cihazına bağlı elde edilen sonuçlardır.
(A.2)
3
3 3 3
3
P A B P B A .P A
=P A B .P B
3 3
3
P B A .P AP A B
P B Bayes kuralı
…BAYES YAKLAŞIMI…
(A.3)
(A.4)
Örnek bilgisi
Ön bilgi
Röntgen cihazından önce bireyin TB olma olasılığı(ön olasılık)
3P A 0.01
3P B A 0.95 örnek bilgisi
Bireyin tüberküloz hastası iken röntgen cihazının TB teşhisi
koyma olasılığı 0.95dir.(örnek bilgisi) Bu olasılık birey
röntgen çektirmeden önce verilmektedir.
Birey TB iken, röntgen çektirdikten sonra birey için TB lu çıkma olasılığı örnek sonrası olasılıkdır.
4
1 2 3
1 1 2 2 3 3
P B P B A P B A P B A
= P B A .P A P B A .P A P B A .P A
= 0.03 0.9 0.2 0.09 0.95 0.01
=0.0545
3 33
P B A .P A 0.95 0.01P A B 0.17
P B 0.0545
…BAYES YAKLAŞIMI…
(A.5)
Ön olasılıkdan örnek sonrası olasılığa geçiş (röntgen
cihazı sonrası) nasıl olacaktır.
3P A
Ön olasılıkdan Örnek sonrası olasılığa geçiş
Birey TB iken, röntgen cihazının birey için TB teşhisi
koyma olasılığı 0.17dir. Olasılık 0.01’den 0.17’ye yükseldiği
için birey daha da endişe edebilir.
5
Sürekli Dağılımlarda Bayes Kuralı (Varyansın Bilindiği Durum)
Hanehalkı gıda harcaması örneği ile çalışılsın.
2t t ty e e N 0,
,hakkında bilgi edinmeye çalışılan ortalama gıda
harcamasıdır. Bireyin TB olup olmaması ile değil de ’nın olası
değerleri için olasılıklar ile ilgilenilsin.
2bilinmektedir.
…BAYES YAKLAŞIMI…
(B.1)
6
•Tecrübelerden veya uzmanlardan elde edilen ön bilgiler;
’nın ön olasılık yoğunluk fonksiyonu f() ile
özetlenebilir. Bu yoğunluk fonksiyonu, örnek alınmadan
önce ile ilgili düşünceleri ifade etmektedir.
f() ile ilgili farklı iki ön bilgi incelensin. İlk olarak, örnek
bilgisi nasıl ifade edilebilir?
Röntgen ile hastalığın teşhisi örneğine dönülürse
olasılığı; anakütle özellikleri verildiğinde röntgen
cihazının hastalık için pozitif teşhis koyma olasılığıdır.
Burada, anakütle özellikleri ile özetlenmektedir ve verilen
’ya göre örnek verileri için gıda harcaması olasılık
yoğunluk fonksiyonu bulunmaya çalışılmaktadır.
iP B A
…BAYES YAKLAŞIMI…
7
1
22 2t t2
1f y 2 exp y
2
Fonksiyon(B.2), verildiğinde belli bir aralıkta hanehalkı gıda harcamasının olasılığını bulmak için kullanılabilir.
tf y tf y sabitken anlamına gelir . yerine daha çok
sabit iken bütün gözlemler için (benzerlik fonksiyonu) olasılık yoğunluk fonksiyonu;
1 2 T
1 2 T
T T 22 2t2
t 1
f y f y , y ,...., y
= f y .f y ......f y
1 = 2 exp y
2
…BAYES YAKLAŞIMI…
(B.2)
(B.3)
tercih edilmektedir.
8
(B.3) eşitliğindeki ikinci satır, örneğin gözlemlerinin
bağımsız olduğunu ifade etmektedir.
1 2 Ty , y ,...., y
Örnek sürecinde β sabitken f() yoğunluk fonksiyonu ile β nın
belirsizliği ifade edilmektedir. [f()] ön yoğunluk fonksiyonu
’nın rastsal olduğu olasılık yoğunluk fonksiyonu [f( /y)] de
’nın belirsizliğini ifade etmektedir. (Örnek sonrası yoğunluk
fonksiyonu)
…BAYES YAKLAŞIMI…
9
…BAYES YAKLAŞIMI…
f y örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu nasıl elde edilebilir?
f y kesikli olaylardaki 3P A B olasılığına benzemektedir.
B örnek bilgisi ve A3 ilgilenilen bilinmeyen kısımdır (birey
TB hastası). Benzer şekilde;
(B4)
Röntgen cihazının TB teşhisi koyma olasılığı idi.
10
i bulmak için Bayes kuralı ile sürekli olasılık
yoğunluk fonksiyonu kullanılırsa:
f y
f y ff y
f y
= f y f
= x örnek bilgisi x ön bilgi
yoğunluk fonksiyonu
3 3
3
P B A .P AP A B
P B
f y
1
Y’ler gözlenen değerler olduğu
için fonksiyon değildir, sabittir.
Örnek bilgisi ile ortak yoğunluk fonksiyonu
…BAYES YAKLAŞIMI…
11
…BAYES YAKLAŞIMI…Örnek alındıktan sonra fonksiyonu artık fonksiyon
değil sabit bir sayı olmaktadır. f y
f y
1
şeklinde yazılabilir. Eşitlik hesaplanırken ilk olarak
ile yoğunluk fonksiyonları çarpılır. Bu çarpım sonucu,
örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu ’nin şeklini verir.
değeri, olasılık yoğunluk fonksiyonunun değerini bir yapacak
bir değer olarak seçilmelidir. normalleştirme sabitidir.
f y
f
f y
f y ff y
f y
= f y f
= x örnek bilgisi x ön bilgi
(B4)
Son olasılık yoğunluk fonksiyonu; ön oyf ile benzerlik fonksiyonun çarpımının bir oranıdır.
12
…BAYES YAKLAŞIMI…
Bilgi Verici Olmayan Ön Dağılım
Ortalama harcama ile ilgili ön bilgiye sahip olmadığı
varsayılsın. Herhangi bir değeri ve aralığında olabilir.
Ortalama harcama negatif olamaz ve ortalama harcamanın
değeri için üst bir sınır konulabilir. Buda kısaca dur. Tam
bilgisizliği ifade eden bir yoğunluk fonksiyonu elde edilmek
istenirse ile ilgili tam belirsizliği göstermek için, örneklem
öncesi uniform yoğunluk fonksiyonu kullanılmaktadır.
1 f (B.5)
Ön bilgi
…BAYES YAKLAŞIMI…
1
22 2t t2
1f y 2 exp y
2
f y ff y
f y
= f y f
= x örnek bilgisi x ön bilgi
1 2 T
1 2 T
T T 22 2t2
t 1
f y f y , y ,...., y
= f y .f y ......f y
1 = 2 exp y
2
(B.2)
(B.4)
(B.3)
Fonksiyon(B.2), verildiğinde belli bir aralıkta hanehalkı gıda harcamasının olasılığını bulmak için kullanılabiliyordu.
…BAYES YAKLAŞIMI…
14
Bayes kuralını uygulamak için eşitlik (B.6) da, (B.2) ve (B5) yerine konulursa:
/2 222
1
| |
12 exp .1
2
TT
tt
f y f y f
y
(B.6)
15
…BAYES YAKLAŞIMI…Bir sonraki adım (B.6) eşitliğini için yoğunluk fonksiyonu
olarak yeniden yazmaktır. e’nin üzerinde yer alan ifade
aşağıdaki gibi yazabilir: örneklem ortalaması bir eklenip bir
çıkarılırsa
22
1 1
2 2
1 1 1
2 2
1
2
T T
t tt t
T T T
t tt t t
T
tt
y y y y
y y y y y y
y y T y
(B.7)
Bu ifade eşitlik (B.6)’da fonksiyonunda yerine konulursa; |f y
y
Gözlemlerin örnek ortalamasından farkı sıfır olduğu için
0
16
…BAYES YAKLAŞIMI…
/2 2 222
1
/2 2 222 2
1
12 exp
2
12 exp exp
2 2
TT
tt
TT
tt
y y T y
Ty y y
(B.8)
/2 222
1
| |
12 exp .1
2
TT
tt
f y f y f
y
(B.6)
2 2 2
1 1
T T
t tt t
y y y T y
(B.7)
Tekrar yazarsak;
Yerine koyarsak
2
1 2exp
2
Tc y
/2 221 2
1
12 exp
2
TT
tt
c y y
(B.9)
Eşitlik (B.8)’deki yoğunluk fonksiyonu ne çeşit bir yoğunluk
fonksiyonudur?
İlk olarak c1, ’a bağlı değildir. için olasılık yoğunluk
fonksiyonudur.
|f y
…BAYES YAKLAŞIMI…
1t 1
22 2t2
1f y
12 exp y y
2
sabiti yoğunluk fonksiyonunun altındaki alanı 1’e eşit yapmak
zorunda olan ölçeklendirme sabitidir. Normal dağılımın altındaki
alan 1 olduğu için sabit düzenlendiğinde (B9) da yerine
konduğunda 18
…BAYES YAKLAŞIMI…
Bu olasılık yoğunluk fonksiyonunun şekli aşağıdadır:
2
2exp
2
Ty
(B.10)
Bu ifade ile tanımlanan yoğunluk fonksiyonu ortalamalı
ve 2/T varyanslı bir normal dağılımdır.
y
2
,N yT
1c
1/221 2 /c T
(B.11)
olarak elde edilir
19
1
22 2t t2
1f x 2 exp x
2
2
1 2exp
2
Tf y c y
x N , 2
N y,T
2
Benzer şekilde;
…BAYES YAKLAŞIMI…
idi.
1/221 2 /c T
20
1/2 222
| 2 / exp2
Tf y T y
…BAYES YAKLAŞIMI…
(B.12)
Bu bölümün amaçlarından biri örnekten önce ve sonra bir
normal dağılımın ortalaması ile ilgili belirsizliği ifade
etmenin yolunu bulmaktır. Kısım 1 de, ortalama ( ile ilgili
belirsizlik olmasına karşın varyans (2) biliniyordu. Örnek
bilgisi mevcut olduğunda belirsizlik ile ilgili ifadenin
değiştirilmesinde ve ile ilgili tam belirsizliğin ifade
edilmesinde bir yöntem bulunmaya çalışıldı. Kısım 1 de,
eşitlik (B.12)’da verilen ’nin elde edilmesi ile örnek
sonrası belirsizlik ifadesini tanımlamak için sezgisel
yaklaşımlar kullanıldı.
|f y
için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu; 1/22
1 2 /c T
21
…BAYES YAKLAŞIMI…
Bilgi Verici Ön Dağılım
Bir pilot araştırması şeklindeki örnek öncesi bilgisinin mevcut
olduğu Bayes kuralının uygulamasına dönülsün. ’nin bilindiği
varsayımı burada da geçerlidir. Örnek öncesi bilgisinin
normal yoğunluk fonksiyonu:
2
2
00
,N yT
0y pilot çalışmadan elde edilen örnek ortalaması
0T pilot çalışmasındaki örnek hacmidir.
0y ’a bağlı olan örnek öncesi bilgisi için aşağıdaki eşitlik ele alınmaktadır
(18)
t ty e (B.1)
22
Bu yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilmektedir:…BAYES YAKLAŞIMI…
1/2 22 00 0 02
| 2 / exp2
Tf f y T y
Örnek öncesi yoğunluk fonksiyonundan, örnek sonrası
yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için; (B.14) nolu eşitlik
ve eşitlik (B.3)’de verilen örnek bilgisi, eşitlik (B.4)’de
Bayes kuralı formülü içerisinde yerine yazılmaktadır. Bu
işlem aşağıdaki gibi sonuçlanmaktadır
|f y
0 1
/2 222
1
1/2 22 00 02
212 0 10 1 2
| | , |
12 exp
2
2 / exp2
2 / exp2
TT
tt
f y f y y f y f
y
TT y
T TT T
(B.15)
(B.14)
23
…BAYES YAKLAŞIMI…
(B.15)’de elde edilen fonksiyon, örnek sonrası yoğunluk
fonksiyonudur. Kısım 3.1 de sezgisel yolla elde edilmiştir. 2
0 1
,NT T
Kısım 3.1 de sezgisel yolla elde edilen argüman, temel örnekten
hareketle yapılan pilot çalışması ile elde edilen bilginin
ağırlıklandırılması için uygun bir plan yapmaya dayanmaktadır.
Eşitlik (B.15)’in de gerekli işlemler yapılarak eşitlik (B.16)’de
verilen sonuç elde edilebilir.
(B.16)
h y h y T y T y
h h T T
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1
Örneklemin ortalaması y1 ve ön dağılımın ortalaması y0 nın ağırlıklı ortalamasıdır.
24
Varyans Bilinmediği Durumda Sürekli Dağılımlar için Bayes Kuralı:
…BAYES YAKLAŞIMI…
Varyansın bilindiği durumdan çok, varyansın bilinmediği
durumlarla daha sık karşılaşılmaktadır. Bu durumda Bayes
Kuralı ’nın bilinmeyen ortalaması türünden
yazılmamaktadır. Gerçekte 2 bilinmeyendir ve Bayes
kuralının ifadesine dahil edilmelidir. Bu durumda Bayes
kuralı aşağıdaki gibi yazılabilir:
2 2
2
2 2
| , ,, |
| , ,
f y ff y
f y
f y f
(C.1)
25
…BAYES YAKLAŞIMI…
2 2
2
2 2
| , ,, |
| , ,
f y ff y
f y
f y f
İlk olarak, fonksiyonu;
ve 2 için örnek öncesi olasılık yoğunluk fonksiyonunu
göstermektedir.
Örnek alınmadan önce ve 2 ile ilgili bilginin, bu örnek
öncesi yoğunluk fonksiyonu ile elde edilebileceği
varsayılmaktadır. 2 için örnek öncesi bilginin nasıl elde
edilebileceği sorusuna yanıt aranmalıdır. 2 değerinin
hanehalkı gıda harcamalarının yer alacağı uygulanabilir
aralığı belirlediği hatırlanmalıdır.
2,f
(C.2)
26
…BAYES YAKLAŞIMI…
Normal dağılımdan gelen çoğu gözlem, ortalamanın
aralığında yer almaktadır. Böylece, normal dağılım olduğu
varsayılarak, haftalık gıda harcamalarının güven aralığı
bilgisine sahip olunursa, 2 varyans bilgisine de sahip
olunmaktadır.
3
2,f için örnek öncesi gösterim verildiğinde, bir sonraki
adım örnek bilgisi ’i ifade etmektir. Böyle bir ifade
eşitlik (9)’de yer alan ifade ile özdeş olmaktadır. Burada tek
fark 2’in önemli olduğunu belirtmek için yerine
’in yazılmasıdır.
2| ,f y
|f y 2| ,f y
/2 22 22
1
1| , 2 exp
2
TT
tt
f y y
(C.3)
27
…BAYES YAKLAŞIMI…
sabiti önceki gibi aynı anlamı taşımaktadır. Bu sabit, örnek
sonrası olasılık yoğunluk fonksiyonu altında toplam alanın
1’e eşit olmasını gerektirmektedir. (C.1) eşitliğindeki son
ifade
2, |f y dir.
Bu fonksiyon ortak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu
olmaktadır. Örnek alındıktan sonra ve 2 ile ilgili bilgi
durumunu ifade etmektedir.
Eğer asıl ilgilenilen 2 yerine ile ilgili bilgiyi tanımlamak ise,
o zaman 2’i, ortak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan
çıkarmak gerekmektedir. Böylece elde edilmektedir |f y
TAHMİN VE YORUMLAMA İÇİN BAYES YAKLAŞIMI: BAZI TEMEL TANIMLAR,
KAVRAMLAR VE UYGULAMALAR[1]
[1] Bu konu, Griffiths, W., Hill, R.C., Judge, G.G., (1993), Learning and Practicing Econometrics kitabı Bölüm 25’ten alınmıştır.
Bu bölümde ve izleyen bölümde, bilinmeyen parametresi
hakkında belirsizliği ifade etmek ve yorumlar yapabilmek için
alternatif yaklaşımlarla ilgilenilecektir.
Bayes yaklaşımı olarak bilinen alternatif yaklaşımının önemli
özelliği parametreye ilişkin belirsizliğin ifadesinde, bilinmeyen
parametresine ilişkin olasılık hesapları kullanılmasıdır.
29
Bayes yaklaşımında olasılık hesapları, sadece örnek
sonuçları için değil aynı zamanda bilinmeyen sabit
parametreler için de kullanılmaktadır
Olasılık yoğunluk fonksiyonlarının farklı türleri:
1) örnek alınmadan önce parametre hakkındaki belirsizliği
ifade etmek (örnek öncesi olasılık yoğunluk
fonksiyonu),
2) belirli örnek sonuçlarının olabilirliğini tanımlamak,
3) örnek alındıktan sonra parametre hakkındaki belirsizliği
ifade etmek(örnek sonrası olasılık yoğunluk fonksiyonu)
için kullanılabilir.
Giriş…
30
Klasik regresyon modellerinde hakkında yorumlama
yapmak için sadece örnek bilgisi kullanılır. Bu iki bölümde
kesin olmayan veya belirsiz örnek dışı bilgi ele alınacaktır.
Parametre hakkındaki belirsizlik örnek dışı bilginin olması ve
kayıplardan herhangi birinin hesaba katılmasından
kaynaklanan yanlış bir kararın alınmasına sebep olabilecektir.
Bu bölümde, tahmin ve yorumlama ele alınacaktır. Bir ekonomik problem kapsamında aşağıdaki sorular ele alınabilir:
1. Örnek alınmadan önce ve sonra, hipotezler veya parametreler hakkındaki belirsizlik ifade edilebilir mi?
2. Örnek öncesi bilgi, örnek almadan veya deneylere dayanan bilgi ile nasıl birleştirilir?
3. Karar sonuçlarını göz önünde tutan bir çerçeve var mıdır?
…Giriş……
31
Örnek toplamadan önce:
Örneğin ortalama gıda harcamasının ne olabileceği
konusunda bir bilgiye sahip olunmadığı varsayılsın. ’nın
değeri hakkında tam anlamıyla belirsizlik olduğu söylenebilir.
gibi 40 tane gözlem içeren örnek olsun. 4021 ,,, yyy
Örnek ortalaması için nokta tahmini olsun. y
Bu durumda hakkında belirsizlik azalmıştır .
Ana kütlenin tamamı gözlenmemiş, sadece 40 gözlemden
oluşan bir örnek ele alınmıştır .
…Giriş…
32
Örnek gözlendikten sonra elde edilen bilgi, örnekten önce
sahip olunan bilgiye göre daha kesin veya daha belirgindir.
İlk soru: Örnekten önce ve sonra hakkındaki belirsizliği
ifade edebilir miyiz? Yorum için ne kullanılmalıdır?
İkinci soru; Örnek ile sağlanan bilgiden başka bilgi var
mıdır?
Örnek alınmadan önce;
Haftalık ortalama gıda harcaması hakkında tam anlamıyla
belirsizlik olmadığını ve onun değeri hakkında bir bilgiye
sahip olunduğu varsayılsın:
…Giriş…
33
Ön bilgi (apriori bilgi), daha önce alınan örneklerden elde
edilen bilgiler ve edindiğimiz deneyimlerdir.
Ön bilgi nasıl gösterilebilir? Örnek alındıktan ve hakkında
ek bir bilgi elde ettikten sonra bilgi nasıl güncellenebilir? Bilgi
toplama süreci nasıl tanımlanıp, kullanıma hazır hale
getirilebilir? Ekonomik teori araştırmacıya bu konuda birçok
ön bilgi sağlamaktadır .
Eğer bir bilgiye sahip olmadan çalışmaya başlanırsa, örnekten
önce ve sonra ortalama harcama hakkındaki belirsizlik nasıl
ifade edilecektir?
…Giriş…
34
Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Hanehalkı gıda harcaması verisi için istatistiksel model veya
örnekleme süreci :
. 1,2, ,t ty e t T
ty t.nci hanehalkı için yapılmış gıda harcaması
bilinmeyen parametre , et ise gözlemlenemeyen rastsal değişkendir
et ’nin ortalaması “0” ve varyansı ile gösterilmektedir.
Herbir yt’nin çekimi diğer çekimlerden bağımsızdır ve
herhangi iki çekim arasındaki kovaryans sıfırdır (yt ve ys).
Benzer şekilde et ve es arasındaki kovaryans da sıfıra eşittir.
(1)
35
E e 0 'TE ee I2
),(~ 2TIxNy ),0(~ 2
TINe veya
Bayesçi yorumlamanın temelinde varyans parametresi 2’nin
bilindiği varsayılmaktadır.
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Örnek Sonrası Bilgi
hakkında bir bilgiye sahip olunmadığı ve belirsizlik
içinde olunduğu varsayılsın.
40 tane rasgele hanehalkı seçerek haftalık gıda harcamaları
gözlensin.
exy (2)
(3)
x tüm elemanları bire eşit olan T boyutlu bir vektördür. x = (1, 1, ….,1)
36
),,, 4021 yyy örnek ortalaması y
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
5945.23yTablo 1 s.77 den görüldüğü gibi
5945.23y örnek bilgisidir.
Örnek bilgisi elde edildikten sonra hakkındaki belirsizlik durumu olasılıkla ifade edilir:
’ nın olasılık yoğunluk fonksiyonu:
Örnek alınmadan önce örnek ortalaması olasılık
yoğunluk fonksiyonunun bir tahmincisidir
y
TNy /,~ 2 (4)
37
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Tablo 1: Haftalık Hanehalkı Gıda Harcamaları Örneği
9.46 10.56 14.81 21.71 22.79 18.19 22.00 18.12
23.13 19.00 19.46 17.83 32.81 22.13 23.46 16.81
21.35 14.87 33.00 25.19 17.77 22.44 22.87 26.52
21.00 37.52 21.69 27.40 30.69 19.56 30.58 41.12
15.38 17.87 25.54 39.00 20.44 30.10 20.90 48.71
38
bilgisi ile yoğunluk fonksiyonu, örnek
ortalamasının olasılığını belirli herhangi aralık içinde
tanımlamaktadır. (4)’den olduğu
bilinmektedir. Bu nedenle;
ve 2
)/,0(~)( 2 TNy
~ (0,1)/
yz N
T
(5)
z değişkeni rastsal değişken
y rastsal değişkendir
z veya ’nın olasılık ifadeleri, için hipotez testleri veya aralık tahminleri oluşturmak için kullanılmaktadır. parametresi sabit olarak ele alınmıştır.
y
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
TNy /,~ 2 (4)
39
’nın olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplarken (5) eşitliği ile başlanır:
~ (0,1)/
yz N
T
(5)
yz
T
z T
y
z T y
Tz
T
y
T
zT
y
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
40
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
y T/ve
, z’nin doğrusal fonksiyonudur.
Normal rastsal değişkenlerin doğrusal fonksiyonları, normal
rastsal değişkenlerdir. normal dağılıma sahiptir.
Ortalaması:
sabittir.
yzET
yE
zT
y
Tz
T
22
)var()var(
)/,(~ 2 TyN (6) nın olasılık yoğunluk fonksiyonu
0
1
41
Bu fonksiyon örnek alındıktan sonra hakkındaki
belirsizliği ifade etmek için kullanılmaktadır. Çünkü eşitlik
(6) normal olasılık yoğunluk fonksiyonudur ve aşağıdaki gibi
gösterilebilir:
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
2
2
2/1
2 2exp
2)/( y
TTyf
(7)
)/( yf örnek bilgisi y gözlemlendikten sonra
hakkındaki belirsizliğin ifadesini gösterir.
yerine kullanılmaktadır.
f ( )
Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu
42
Örnek Öncesi Bilginin Güncellenmesi
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
’nın dağılımı hakkındaki bilgisizliği ifade etmek için
spesifikasyon seçimi ve örnek öncesi yoğunluk fonksiyonu
olarak bilinmektedir. Bu yoğunluk fonksiyonu ve
aralığında uniform yoğunluk fonksiyonudur.
)(f
Thomas Bayes, yoğunluk fonksiyonunu örnekten bilgi
sağlamak şartı ile güncellemiştir.
Güncellenen dağılım fonksiyonudur ve “örnek sonrası
yoğunluk fonksiyonu” olarak isimlendirilir ve (7) eşitliğindeki
normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.
)/( yf
)(f
5945.23y
Örnek seçildikten sonra
bilindiği varsayılsın. Bu durumda dağılım tam olarak belirlenebilir. 6.572
44.140/6.57/2 T
hakkındaki bilgi aşağıdaki gibidir:
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
)44.1,5945.23(~ N(8)
)/,(~ 2 TyN
44
Ortalama Harcama İçin Olasılık İfadeleri
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Yaklaşık olarak 21$ ve 26$ değerleri arasında yer
almaktadır. Ortalama harcamanın ne kadar olduğu
hakkında herhangi bir fikre sahip olunmadığında bir
örnek alınması önem taşımaktadır.
962.0
)0046.21621.2(
44.1
5945.2326
44.1
5945.2321)2621(
zP
zPP
Bu sonuç, haftada ortalama gıda harcamasının 21$ ve
26$ arasında olma olasılığının %96.2 olduğunu
göstermektedir
5945.23y
44.140/6.57/2 T
45
Şekil 1: örnek sonrası yoğunluk fonkisyonu
20 22 24 26 28
f y
0.1
0.2
0.3
0.4
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
46
Aralık Tahmini
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Belirli bir olasılık değeri ile ’yı kapsayacak güven aralığı ne
olacaktır?
95.0)( 21 aaP
ifadesini sağlayan bir çok aralık vardır. Seçilecek aralık en
çok bilgiyi ifade etmeli ve en dar olmalıdır.
23.5945P 1.96 1.96 0.95
1.44
P 23.5945 1.96 1.44 23.5945 1.96 1.44 0.95
P(21.24 25.95) 0.95
47
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Bu sonuca göre haftalık gıda harcaması 0.95 olasılıkla
21.24$ ile 25.95$ arasında yer almaktadır.
Elde edilen bu aralık tekrarlı örneklem teorisi ile aynıdır.
Bu bölümde farklı yorumlar gösterilecektir:
Örneğin gözlendiği ve bir olasılık yoğunluk fonksiyonu
açısından ile ilgili belirsizliğin söz konusu olduğu durumda
%95 olasılıkla ’i içeren aralık ne şekilde olacaktır? Aralığın
sınırları verilmiş ve bilinmemektedir.
Bu bölümdeki fark, sonuçların olasılık ifadesi olarak
açıklanmasıdır. Güven aralıkları ile birlikte olasılık
teknikleri kullanılmaktadır.
48
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Hipotezlerin Karşılaştırılması
CEO, kuruluştan ve yeni perakende mağaza yönetiminden,
maliyetler ve gelir ile ilgili bilgileri toplamış olsun. Eğer
ortalama gıda harcaması hafta başına 22$ ise, yeni bir
perakende mağaza açmanın faydalı olacağına karar
verecektir. Bu durumda hipotezler:
22:
22:
1
0
H
H(9)
Örnek alındıktan sonra, örnek sonrası yoğunluk
fonksiyonu
olarak her bir hipotezin olasılığını
hesaplamak için kullanılacaktır.
~ (23.5945, 1.44)N
49
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
092.0)3288.1(
44.1
5945.2322)22()( 0
zP
zPPHP
908.0
221221
PPHP
Hafta başına ortalama, en az 22$ harcama olasılığı 0.908 dir.
Fark oranı10K
87.9092.0
908.0
)(
)(
0
110
HP
HPK
H1 hipotezi, H0 hipotezine göre yaklaşık olarak 10 kat daha fazla olasılıkla doğrudur.
(10)
50
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
İstatistiksel karar teorisi, eşitlik (10) da verilen fark oranına
bağlı olarak H0 ve H1 i seçmekle ve yanlış karar
verilmesiyle ortaya çıkan kayıplarla ilgilenmektedir. Daha
önceki konularda H0 hipotezinin kabul yada red kuralları
tanımlanmıştı. Bu kurallar örnek ortalaması ’nın H0
hipoteziyle uyumlu olup olmamasına bağlıdır. Bu yaklaşım
yanlış karar ile ortaya çıkan kayıpları açıkça
önlememektedir.
y
51
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Kayıp Fonksiyonu:
İyi bir tahminci,
• Bir parametreyi gerçek değerine yakın olarak tahmin etmelidir.
• İyi bir tahmin edici için, tahmin hatası ortalama seviyede 0’a
yakın olmalıdır.
Herhangi bir parametresinin tahmini olsun.
Böyle bir tahmin ve dolayısıyla tahmin hatası yapmaktan dolayı
ortaya çıkan kaybı önlemek için bir fonksiyona ihtiyaç vardır.
ˆL , Bu fonksiyon kayıp fonksiyonu olarak adlandırılsın.
52
Doğal olarak, arasındaki uzaklık ne kadar büyükse, ’nın değeri de o kadar büyük olacaktır.
ˆL ,
Kayıp Fonksiyonu:
ˆ ve ˆL ,
Bir tahmincinin iyi olup olmadığını test etmek için istatistiksel
bir ölçüye gereksinim vardır.
Eldeki her farklı y örneğinden hareketle elde edilecek kayıp
fonksiyonlarının ortalaması ( ya da beklenen değeri) böyle bir
ihtiyaca cevap verebilir.
53
Risk fonksiyonu, kayıp fonksiyonunun beklenen değeri olarak tanımlanır ve aşağıdaki gibi hesaplanır
Kayıp Fonksiyonu:
ˆ b olduğu durum için
2
2 2
L ,b c b
E L ,b E c b L ,b f y d c b f y d
Bir istatistikçinin yukarıdaki beklenen değeri minimum
kılacak şekilde bir tahminde bulunması gerekmektedir. Bu
şekilde elde edilecek tahmin edici, literatürde ’nın bir Bayes
tahmin edicisi olarak ifade edilmektedir.
c sabittir ve ilgilenilen duruma göre farklılık göstermektedir.
54
Kayıp Fonksiyonu:
ˆ ˆL( , ) 0olduğunda
Kayıp Fonksiyon Türleri:
1. Karesel Kayıp Fonksiyonu:
ˆL( , ) c b 2
2. Mutlak Kayıp Fonksiyonu:
ˆL( , ) b
3. Sıfır – Bir Kayıp Fonksiyonu:, Eğer b aˆL( , )
, Eğer b a
0
1
olur.
55
Nokta Tahmini …
’nın bir tahmini olsun:ˆ,
’nın aşırı tahmini:
’nın eksik tahmini:
durumlarında ortaya çıkar.
56
Nokta Tahmini …
’nın örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu
ortalamalı ’lı lı olsun.
Bu durumda en iyi nokta tahmini, kayıp fonksiyonundan
elde edilen beklenen kaybı minimum yapan tahmindir.
E var
a.varˆ E2
örnek sonrası ortalama artık en iyi değildir.
Çünkü eksik tahminleme, aşırı tahminlemeden daha az
risklidir.
E
57
E y .23 5945
var T .2 1 44
a = 2,
ve
olsun.
Ortalama gıda harcamasının en iyi nokta tahmini
x .ˆ . .2 1 44
23 5945 22 15452
…Nokta Tahmini…
a.varˆ E2
58
…Bilgi Toplama…
Belirsizlik altındaki karar problemlerinde, geçerli olan tüm
bilgiden yararlanmalı ve bu bilgiler toplanmalıdır. Örneğin,
örnek öncesi elde edilen sonuçlar geçerli olabilir ve basitçe
ortalama harcama hakkında fikirlere sahip olunabilir.
Örneklem alınmadan önce ile ilgili belirsizlik düzeyi veya
bilgi durumu nasıl ifade edilir?
Örneklemi gözlemledikten sonra, sahip olunan bilgi nasıl
güncellenebilir veya belirsizlik düzeyindeki azalış nasıl
tanımlanabilir? Diğer bir değişle bilgi süreci için ne
uygulanır?
59
Ön Bilginin Dahil Edilmesi
…Bilgi Toplama…
İstatistiksel model
Gözlemleri kullanarak gıda üzerindeki ortalama harcama
hakkında bilgi edinmeye devam edilsin. Burada et lar
bağımsız
dağılışı göstermektedir. bilinmektedir.
.t ty e
),0(~ 2Net2
60
…Bilgi Toplama…
hakkındaki örnek öncesi veya başlangıç bilgisi; örnek
öncesinden, sahip olunan bilgiden veya uzmanların
görüşünden elde edilebilmektedir.
Bu kısımda da küçük bir örnek ile pilot çalışması yapılarak
ön bilgi elde edilmeye çalışılacaktır. (T0)
61
…Bilgi Toplama…
40 gözlem içeren örneklemden önce altı hanehalkını içeren küçük bir pilot çalışması yapılsın.
s.87. Tablo 2
6
10 475.25
6
1
ttyy 27187.53)(
5
1ˆ
6
1
20
20
tt yy
5945.231 y 84738.66ˆ 21
Sıfır indisi altı haneyi,
bir indisi 40 haneyi göstermektedir.
To pilot çalışma örnek büyüklüğü ;
T1 büyük örnek büyüklüğüdür.
Örnek bilgisi
62
Tablo 2 pilot çalışmasındaki altı hane için haftalık gıda harcaması
30.00 23.69 29.04
11.48 30.83 27.81
…Bilgi Toplama…
63
…Bilgi Toplama…
2 nin bilindiği varsayılsın.
0
2
0 ,~T
yN ~ N( . , . )25 475 9 6
İlk olarak pilot çalışmadan elde edilen bilgi (ön bilgi), örnek
sonrası yoğunluk fonksiyonu tarafından kullanılabilmektedir.
İkinci olarak bir sonraki adım örneklemi büyütmektir. Yani,
bilgiyi arttırmak-güncellemek için, 40 gözlem içeren örnek
alınırsa;
40 gözlem ele alındığında,
5945.231 y 21/ 57.6 / 40 1.44T
20/ 57.6 / 6 9.6T
64
Ön bilgi ihmal edilirse, olasılık yoğunluk fonksiyonu ile ilgili yeni örnek bilgisi:
…Bilgi Toplama…
1
2
1 ,~T
yN ~ N(23.5945, 1.44)
Üçüncü olarak iki bilgi nasıl birleştirilecektir.
Say.89 Şekil 4 .
65
f y
Şekil 4: 2 biliniyorken iki örnekten için yoğunluk fonksiyonları
…Bilgi Toplama…
y y020 30 35
…Bilgi Toplama…
Pilot çalışmadan elde edilen yoğunluk fonksiyonu, T1
gözlemli örnekten elde edilen yoğunluk
fonksiyonuna göre daha fazla yayılmaktadır. İlave yayılma,
hakkındaki ilave belirsizliği göstermektedir.
f ( / y )1
f ( / y ) 0 dan elde edilen %95 güven aralığı
P 19.40 31.55 0.95
f ( / y ) 1 dan elde edilen %95 güven aralığı
P 21.24 25.95 0.95
İkinci güven aralığı daha dardır.
67
Yukarıdaki iki bilgi Bayes kuralı ile birleştirilebilir. Örnek
sonrası yoğunluk fonksiyonu için notasyon
…Bilgi Toplama…
),/( 10 yyf
Bu fonksiyon ortalama ve varyans ile normal
dağılmaktadır.
2
Burada ön bilgi, örnek bilgisi ile güncellenerek örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu elde edilir.
68
…Bilgi Toplama…
),(~ 2 N
2 0y 1yve ve T0 ve T1 den hareketle nasıl hesaplanır
Örnek sonrası örnek ortalaması
1yve0y
,,
ortalamalarına bağlıdır.
üzerindeki bilginin güvenirlik hesaplamaları, duyarlılıkları ile
yapılabilir. Bu duyarlılık, yoğunluk fonksiyonundaki varyansın
tersidir.
69
Her bir bilgi kaynağının duyarlılığı aşağıdadır:12
00 2
0
60.10417
57.6
Th
T
121
1 21
400.69444
57.6
Th
T
Büyük örnek daha fazla duyarlılığa sahiptir.
0y 1yh0 ve h1 duyarlılıkları ile ile in ağırlıklı ortalamasıdır.
8398.23406
)5945.23(40)475.25(6
10
1100
10
1100
TT
yTyT
hh
yhyh
h0 ve h1 duyarlılıkları ile 0y ile 0y 1y0y
…Bilgi Toplama…
ele alındığında birleştirilmiş bilginin duyarlılığı
basit olarak her bilgi kaynağının duyarlılığının toplamına
eşittir.
70
2 ,h
79861.069444.010417.010 hhh
25217.1406
6.57111
10
2
21
2010
2
TTTThhh
Duyarlılık , örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun varyansının tersidir. Varyans azaldıkça duyarlılık 1’e yaklaşmaktadır.
h
…Bilgi Toplama…
y .1 23 5945y .0 25 47523.8398, ve arasında yer
almaktadır. 1y e yakındır.
71
Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan sağlanan bilgi;
)25217.1,8398.23(~ N
Şekil 5 (sayfa 90).Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu diğer
iki dağılımdan daha az varyansa yani yayılıma sahiptir.
Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun, her iki örneği
birleştirerek elde edilen birleştirilmiş örnek sonuçları ile aynı
olduğu görülecektir (46 gözlemli).
…Bilgi Toplama…
72
…Bilgi Toplama…
0 1f ( | y , y )
0f ( | y )
f ( | y)
1f ( | y )
1y 0y
20 30 35
Şekil 5: 2 biliniyorken, iki kaynaktan bilginin birleştirilmesi
73
8398.23406
)5945.23(40)475.25(6
10
1100
10
1100
TT
yTyT
hh
yhyh
idi. Yukarıdaki eşitlik aşağıdaki gibi yeniden yazılırsaT T
t st s
y yT y T y
T T T T
0 1
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1
T T0 1 örnek hacminden elde edilen örnek sonrası yoğunluk
fonksiyonun varyansı
25217.1406
6.57111
10
2
21
2010
2
TTTThhh
ile aynı olacaktır.
…Bilgi Toplama…
20 1/ ( )T T olacaktır.Yani
74
Bu bölümdeki amaç;
2 biliniyorken nın normal populasyon ortalaması hakkında
bilgi edinmektir.
için ortalamalı ve varyanslı örnek
öncesi ya da örnek dışı bilgi ile ortalamalı ve
varyanslı normal yoğunluk fonksiyonlu örnek bilgisi varsa
için normal yoğunluk fonksiyonu
y0 T20
y1 T21
T y T y T T 0 0 1 1 0 1 ortalamalı
T T20 1 varyanslı olacaktır. (Şekil 5)
…Bilgi Toplama
75
İkinci soru grubu, ön bilginin tanımlanması ve
kullanılması ile ilgilidir:
İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Ön bilgi nasıl gösterilebilir?
Örnek alındıktan ve hakkında ek bir bilgi elde ettikten
sonra bilgi durumu nasıl güncellenebilir?
Bilgi toplama süreci nasıl tanımlanıp, kullanıma hazır hale
getirilebilir?
76
… İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Louisiana Fried Chicken’da (LCF) haftalık satışların
ortalama ve 2 =4 varyans ile normal dağıldığı varsayılsın.
Haftalık satışlar: y
)4,(~ 2 Ny
LFC satış mağazasının haftalık satışları ile ilgilenilmektedir.
Bu nedenle, haftalık satışların ortalaması hakkında bilgi
toplasın.
Örnekleme teorisine göre, haftalık satışlara ait örnek alınır.
Böylece burada 10 gözlemli örnek alınsın. (Örnek Bilgisi)
Ön bilgi
77
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…'y (y , y , , y )
( . , . , . , . , . , . , . , . , . , . )1 2 10
4 74 7 11 5 31 6 28 6 09 8 52 2 78 7 38 5 44 5 72
Örneklem ortalaması nokta tahmini olarak kullanılırsa:
937.510/10
1
t
tyy
%95 güvenle aralık tahmini:
y . / T . . /
( . , . )
1 96 5 937 1 96 2 10
4 697 7 177
Haftalık satışların ortalaması (5900$); 4700$ ile 7200$ arasındadır.
78
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Ön Bilgi
Tavuk üzerine hazır gıda satışı yapan bir mağazada daha
önceden haftalık tavuk satışları ile ilgili bazı fikirlerin olduğu
varsayılsın. %95 olasılıkla ortalama haftalık satışların 5000$
ile 11000$ arasında olduğuna inanılmaktadır:
95.0)115( P
Olası değerleri ile ilgili subjektif ön yoğunluk fonksiyonu,
ortalama ve varyansa sahip ve normal dağılım
göstermektedir.
2
),(~ 2 N
79
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
? 2 ?
Normal dağılımın özelliğini kullanarak aşağıdaki eşitlik yazılabilir:
95.0115
)115(
PP
z
standart normal dağılımdır. N(0,1) dir.
95.096.196.1
P
11
96.15
96.1 ve
3427.25306.18 2 ve
80
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Eğer normal dağılım hakkındaki ön bilgiyi ifade etmek için
uygunsa, ön yoğunluk fonksiyonu olur. f ( )
N , . 8 2 3427
Daha önceden yapılmış pilot çalışması için ön bilgi ise
aşağıdaki gibi yazılmaktaydı:
0
2
0 ,~T
yN Slayt 64
Slayt 79
LFC örneğinde ön bilgi aşağıdaki gibidir:
2,~ N
81
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Bu olayda pilot çalışması yoktur. Bununla beraber bir önceki
hipotetik örnekten geliyormuş gibi ifadesindeki
bilgi kullanılır.
2,~ N
y0 T
22
0
Bu değerleri hesaplayabilmek için a ihtiyaç vardır.
y0 0 ve T
80 y 3427.24 2
00
2
TT
7074.13427.2
40 T
Varsayılan örneklemin hacmi 1.7074 tür. Bu değer tam değer
olmayıp işlem için geçerli değildir.
slayt 79
82
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…Ön Bilginin Güncellenmesi
Kısım 3’te, normal olasılık yoğunluk fonksiyonu biçiminde
ifade edilen örnek öncesi bilgi ile normal olasılık
yoğunluk fonksiyonundan gelen örnek bilgisi
birleştirildiğinde, elde edilen sonucun, ortalama ve
varyans ile birlikte normal örnek sonrası olasılık
yoğunluk fonksiyonu olduğu ifade edilmişti.
10
1100
TT
yTyT
10
22
TT
Sonuçlar;
4937.58107074.1 21010 yyTT
937.510/10
1
t
tyyslayt.76-77
83
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
238.6107074.1
)937.5)(10()8)(7074.1(
10
1100
TT
yTyT
3417.0107074.1
42
10
22
TT
Haftalık ortalama satışlar için örnek sonrası olasılık yoğunluk fonksiyonu
)3417.0,238.6(~ N
Örnek öncesi ve sonrası olasılık yoğunluk fonksiyonları Şekil
6 dadır. Grafikler incelendiğinde örnek bilgisinin etkisi
görülmektedir. Örnek bilgisi, dağılımı sola kaydırmıştır.
84
f ( | y)
f ( )
f ( )
f ( | y)
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Şekil 6: biliniyorken için ön ve örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları
85
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Aralık Tahmini
Örnek sonrası olasılık fonksiyonundan haftalık
ortalama satışlar için aralık tahmini gerçekleştirilmektedir.
)3417.0,238.6(~ N
)1,0(~3417.0
238.6N
%95 olasılıkla aralık tahmini;
95.096.13417.0
238.696.1
P
95.0)384.7092.5( P
veya
86
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Hipotez Testi
Tek yönlü hipotez testi:
5:0 H
5:1 H
LFC örneği kapsamında hipotez tavuk ürünleri satış
mağazasının satın alınıp alınmayacağı ile ilgili olsun. Eğer
H1 hipotezi doğru ise mağazayı satın almak karlı olacaktır. Tam
tersi ise satın almak yanlış olacaktır. Yapılacak ilk adım ilgili
test istatistiğini hesaplamaktır.
482.110/2
5937.5
/
5ˆ
Tz
Mağazayı satın almak karlı değildir.
Mağazayı satın almak karlıdır.
87
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
%5 anlamlılık düzeyinde kritik tablo değeri
tir. olduğu için H0 reddedilemez. Bu nedenle satış
mağazasını satın almak karlı olmayacaktır.
Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu kullanıldığında;
645.105.0 z 645.1482.1 z
017.0
)12.2(
3417.0
238.65
)5()( 0
zP
zP
PHP
983.0)5()( 1 PHP
)3417.0,238.6(~ N
88
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
H0 ın fark oranı:
H1 ın fark oranı:
0173.0983.0/017.0)(/)( 1001 HPHPK
8.57017.0/983.0)(/)( 0110 HPHPK
H1 hipotezi H0 hipotezine göre 57 kat olabilirlikle daha
doğrudur. Bu örnek iki çıkarsamaya ilişkin sonuçların nasıl
farklı olduğunu göstermektedir. Bu farklılık için elde edilen
ön bilgiye bağlı olmaktadır.