BAYES YAKLAŞIMI…

  • View
    59

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

BAYES YAKLAŞIMI…. Kesikli Olaylar için Bayes Kuralı. - PowerPoint PPT Presentation

Text of BAYES YAKLAŞIMI…

  • BAYES YAKLAIMIKesikli Olaylar iin Bayes Kural Anaktlenin kategoriye gre snflandrld varsaylsn. lk grup salkl olanlar, ikinci grup astm olanlar ve nc grupta tberkloz (TB) hastas olanlar olsun. Bu anaktlede %90 bireyin salkl, %9unun astm ve %1in de tberkloz hastas olduu bilinsin. Rastsal seilen bir birey iin aadaki olaylar tanmlanabilir:A1: Bireyin salkl olmas olay A2: Bireyin astm olmas olay

    A3: Bireyin tberkloz hastas olma olay(A.1)

  • *BAYES YAKLAIMISeilen birey tberkloz hastas olup olmadn anlamak iin rntgen ektirsin.Salk aratrmalarndan alnan bilgiye gre, rntgen cihazlarnn salkl insan iin tberkloz tehisi koyma olasl 0.03dr. Astm olan bir hastaya tberkloz tehisi koyma olasl 0.2 ve gerekte tberkloz hastas olan bir kiiye tberkloz tehisi koyma olasl 0.95dir. B olay seilen bir kii iin rntgen cihazyla konan tehisin pozitif olma olay olsun. olaslklar artl olaslklar dr. Bireyin salkl iken rntgen cihaznn TB tehisi koyma olasl 0.03dr. Bu olaslklar birey rntgen ektirmeden nce verilmektedir. Rntgen cihazna bal elde edilen sonulardr. (A.2)

  • *Bayes kuralBAYES YAKLAIMI(A.3)(A.4)rnek bilgisin bilgiRntgen cihazndan nce bireyin TB olma olasl(n olaslk)rnek bilgisiBireyin tberkloz hastas iken rntgen cihaznn TB tehisi koyma olasl 0.95dir.(rnek bilgisi) Bu olaslk birey rntgen ektirmeden nce verilmektedir.Birey TB iken, rntgen ektirdikten sonra birey iin TB lu kma olasl rnek sonras olaslkdr.

  • *BAYES YAKLAIMI(A.5) n olaslkdan rnek sonras olasla gei (rntgen cihaz sonras) nasl olacaktr.n olaslkdan rnek sonras olasla geiBirey TB iken, rntgen cihaznn birey iin TB tehisi koyma olasl 0.17dir. Olaslk 0.01den 0.17ye ykseldii iin birey daha da endie edebilir.

  • *Srekli Dalmlarda Bayes Kural (Varyansn Bilindii Durum)Hanehalk gda harcamas rnei ile allsn.b,hakknda bilgi edinmeye allan ortalama gda harcamasdr. Bireyin TB olup olmamas ile deil de bnn olas deerleri iin olaslklar ile ilgilenilsin. s2bilinmektedir.BAYES YAKLAIMI(B.1)

  • *Tecrbelerden veya uzmanlardan elde edilen n bilgiler; bnn n olaslk younluk fonksiyonu f(b) ile zetlenebilir. Bu younluk fonksiyonu, rnek alnmadan nce ile ilgili dnceleri ifade etmektedir. f(b) ile ilgili farkl iki n bilgi incelensin. lk olarak, rnek bilgisi nasl ifade edilebilir? Rntgen ile hastaln tehisi rneine dnlrse olasl; anaktle zellikleri verildiinde rntgen cihaznn hastalk iin pozitif tehis koyma olasldr. Burada, anaktle zellikleri b ile zetlenmektedir ve verilen bya gre rnek verileri iin gda harcamas olaslk younluk fonksiyonu bulunmaya allmaktadr.BAYES YAKLAIMI

  • *Fonksiyon(B.2), b verildiinde belli bir aralkta hanehalk gda harcamasnn olasln bulmak iin kullanlabilir. b sabitken anlamna gelir . yerine daha okb sabit iken btn gzlemler iin (benzerlik fonksiyonu) olaslk younluk fonksiyonu;BAYES YAKLAIMI(B.2)(B.3)tercih edilmektedir.

  • *(B.3) eitliindeki ikinci satr, rnein gzlemlerinin bamsz olduunu ifade etmektedir. rnek srecinde sabitken f() younluk fonksiyonu ile nn belirsizlii ifade edilmektedir. [f()] n younluk fonksiyonu nn rastsal olduu olaslk younluk fonksiyonu [f( /y)] de nn belirsizliini ifade etmektedir. (rnek sonras younluk fonksiyonu)BAYES YAKLAIMI

  • *BAYES YAKLAIMIrnek sonras younluk fonksiyonu nasl elde edilebilir? kesikli olaylardaki olaslna benzemektedir. B rnek bilgisi ve A3 ilgilenilen bilinmeyen ksmdr (birey TB hastas). Benzer ekilde;(B4)Rntgen cihaznn TB tehisi koyma olasl idi.

  • * i bulmak iin Bayes kural ile srekli olaslk younluk fonksiyonu kullanlrsa: younluk fonksiyonuYler gzlenen deerler olduu iin fonksiyon deildir, sabittir.rnek bilgisi ile ortak younluk fonksiyonuBAYES YAKLAIMI

  • *BAYES YAKLAIMIrnek alndktan sonra fonksiyonu artk fonksiyon deil sabit bir say olmaktadr. eklinde yazlabilir. Eitlik hesaplanrken ilk olarak ile younluk fonksiyonlar arplr. Bu arpm sonucu, rnek sonras younluk fonksiyonu nin eklini verir. deeri, olaslk younluk fonksiyonunun deerini bir yapacak bir deer olarak seilmelidir. normalletirme sabitidir. (B4)Son olaslk younluk fonksiyonu; n oyf ile benzerlik fonksiyonun arpmnn bir orandr.

  • *BAYES YAKLAIMIBilgi Verici Olmayan n Dalm Ortalama harcama b ile ilgili n bilgiye sahip olmad varsaylsn. Herhangi bir deeri ve aralnda olabilir. Ortalama harcama negatif olamaz ve ortalama harcamann deeri iin st bir snr konulabilir. Buda ksaca dur. Tam bilgisizlii ifade eden bir younluk fonksiyonu elde edilmek istenirse ile b ilgili tam belirsizlii gstermek iin, rneklem ncesi uniform younluk fonksiyonu kullanlmaktadr. (B.5)n bilgi

  • BAYES YAKLAIMI(B.2)(B.4)(B.3)Fonksiyon(B.2), b verildiinde belli bir aralkta hanehalk gda harcamasnn olasln bulmak iin kullanlabiliyordu.

  • BAYES YAKLAIMI*Bayes kuraln uygulamak iin eitlik (B.6) da, (B.2) ve (B5) yerine konulursa:(B.6)

  • *BAYES YAKLAIMIBir sonraki adm (B.6) eitliini b iin younluk fonksiyonu olarak yeniden yazmaktr. enin zerinde yer alan ifade aadaki gibi yazabilir: rneklem ortalamas bir eklenip bir karlrsa(B.7)Bu ifade eitlik (B.6)da fonksiyonunda yerine konulursa;Gzlemlerin rnek ortalamasndan fark sfr olduu iin0

  • *BAYES YAKLAIMI(B.8)(B.6)(B.7)Tekrar yazarsak;Yerine koyarsak

  • (B.9)Eitlik (B.8)deki younluk fonksiyonu ne eit bir younluk fonksiyonudur? lk olarak c1, ba bal deildir. b iin olaslk younluk fonksiyonudur. BAYES YAKLAIMI

  • sabiti younluk fonksiyonunun altndaki alan 1e eit yapmak zorunda olan leklendirme sabitidir. Normal dalmn altndaki alan 1 olduu iin sabit dzenlendiinde (B9) da yerine konduunda*BAYES YAKLAIMIBu olaslk younluk fonksiyonunun ekli aadadr:(B.10)Bu ifade ile tanmlanan younluk fonksiyonu ortalamal ve s2/T varyansl bir normal dalmdr. (B.11)olarak elde edilir

  • *Benzer ekilde;BAYES YAKLAIMIidi.

  • *BAYES YAKLAIMI(B.12)Bu blmn amalarndan biri rnekten nce ve sonra bir normal dalmn ortalamas ile ilgili belirsizlii ifade etmenin yolunu bulmaktr. Ksm 1 de, ortalama (b) ile ilgili belirsizlik olmasna karn varyans (s2) biliniyordu. rnek bilgisi mevcut olduunda belirsizlik ile ilgili ifadenin deitirilmesinde ve b ile ilgili tam belirsizliin ifade edilmesinde bir yntem bulunmaya alld. Ksm 1 de, eitlik (B.12)da verilen nin elde edilmesi ile rnek sonras belirsizlik ifadesini tanmlamak iin sezgisel yaklamlar kullanld. b iin rnek sonras younluk fonksiyonu;

  • *BAYES YAKLAIMIBilgi Verici n Dalm Bir pilot aratrmas eklindeki rnek ncesi bilgisinin mevcut olduu Bayes kuralnn uygulamasna dnlsn. nin bilindii varsaym burada da geerlidir. rnek ncesi bilgisinin normal younluk fonksiyonu: pilot almadan elde edilen rnek ortalamas pilot almasndaki rnek hacmidir. a bal olan rnek ncesi bilgisi iin aadaki eitlik ele alnmaktadr (18)(B.1)

  • *Bu younluk fonksiyonu aadaki gibi yazlabilmektedir:BAYES YAKLAIMIrnek ncesi younluk fonksiyonundan, rnek sonras younluk fonksiyonunu elde etmek iin; (B.14) nolu eitlik ve eitlik (B.3)de verilen rnek bilgisi, eitlik (B.4)de Bayes kural forml ierisinde yerine yazlmaktadr. Bu ilem aadaki gibi sonulanmaktadr (B.15)(B.14)

  • *BAYES YAKLAIMI (B.15)de elde edilen fonksiyon, rnek sonras younluk fonksiyonudur. Ksm 3.1 de sezgisel yolla elde edilmitir. Ksm 3.1 de sezgisel yolla elde edilen argman, temel rnekten hareketle yaplan pilot almas ile elde edilen bilginin arlklandrlmas iin uygun bir plan yapmaya dayanmaktadr. Eitlik (B.15)in de gerekli ilemler yaplarak eitlik (B.16)de verilen sonu elde edilebilir.(B.16)rneklemin ortalamas y1 ve n dalmn ortalamas y0 nn arlkl ortalamasdr.

  • *Varyans Bilinmedii Durumda Srekli Dalmlar iin Bayes Kural: BAYES YAKLAIMIVaryansn bilindii durumdan ok, varyansn bilinmedii durumlarla daha sk karlalmaktadr. Bu durumda Bayes Kural bnn bilinmeyen ortalamas trnden yazlmamaktadr. Gerekte s2 bilinmeyendir ve Bayes kuralnn ifadesine dahil edilmelidir. Bu durumda Bayes kural aadaki gibi yazlabilir: (C.1)

  • *BAYES YAKLAIMIlk olarak, fonksiyonu; b ve s2 iin rnek ncesi olaslk younluk fonksiyonunu gstermektedir. rnek alnmadan nce b ve s2 ile ilgili bilginin, bu rnek ncesi younluk fonksiyonu ile elde edilebilecei varsaylmaktadr. s2 iin rnek ncesi bilginin nasl elde edilebilecei sorusuna yant aranmaldr. s2 deerinin hanehalk gda harcamalarnn yer alaca uygulanabilir aral belirledii hatrlanmaldr. (C.2)

  • *BAYES YAKLAIMINormal dalmdan gelen ou gzlem, ortalamann aralnda yer almaktadr. Bylece, normal dalm olduu varsaylarak, haftalk gda harcamalarnn gven aral bilgisine sahip olunursa, s2 varyans bilgisine de sahip olunmaktadr. iin rnek ncesi gsterim verildiinde, bir sonraki adm rnek bilgisi i ifade etmektir. Byle bir ifade eitlik (9)de yer alan ifade ile zde olmaktadr. Burada tek fark s2in nemli olduunu belirtmek iin yerine in yazlmasdr. (C.3)

  • *BAYES YAKLAIMI sabiti nceki gibi ayn anlam tamaktadr. Bu sabit, rnek sonras olaslk younluk fonksiyonu altnda toplam alann 1e eit olmasn gerektirmektedir. (C.1) eitliindeki son ifade

    dir.Bu fonksiyon ortak rnek sonras younluk fonksiyonu olmaktadr. rnek alndktan sonra b ve s2 ile ilgili bilgi durumunu ifade etmektedir. Eer asl ilgilenilen s2 yerine b ile ilgili bilgiyi tanmlamak ise, o zaman s2i, ortak rnek sonras younluk fonksiyonundan karmak gerekmektedir. Bylece elde edilmektedir

  • TAHMN VE YORUMLAMA N BAYES YAKLAIMI: BAZI TEMEL TANIMLAR, KAVRAMLAR VE UYGULAMALAR[1][1] Bu konu, Griffiths, W., Hill, R.C., Judge, G.G., (1993), Learning and Practicing Econometrics kitab Blm 25ten alnmtr.Bu blmde ve izleyen blmde, bilinmeyen b parametresi hakknda belirsizlii