İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAZI ORTOTROPİK PLAKLARIN SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

İnş. Müh. Memet YILDIRIM

Anabilim Dalı: İnşaat Mühendisliği Programı: Yapı Mühendisliği

Tez Danışmanı: Prof.Dr. Mehmet BAKİOĞLU

HAZİRAN 2007

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAZI ORTOTROPİK PLAKLARIN SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Memet YILDIRIM

501011082

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 7 Mayıs 2007 Tezin Savunulduğu Tarih : 13 Haziran 2007

Tez Danışmanı : Prof.Dr. Mehmet BAKİOĞLU

Diğer Jüri Üyeleri Prof.Dr. Hasan ENGİN (İ.T.Ü.)

Prof.Dr. Faruk YÜKSELER (Y.T.Ü.)

HAZİRAN 2007

i

ii

ÖNSÖZ

Sunulan bu tez ile ilgili olarak tüm çalışmam boyunca ilgi ve desteğini esirgemeyen,

sürekli olarak değerli bilgilerinden faydalandığım sayın hocam Prof. Dr. Mehmet

BAKİOĞLU’ na teşekkür ederim.

Tüm eğitim hayatımda bana destek olarak bugünlere gelmemi sağlayan aileme ve

özellikle ablam Yıldız YILDIRIM’ a şükranlarımı sunarım.

Bu tezin yazılmasında ve sunulmasında bana yol gösteren arkadaşım Araş. Gör. Dr.

Fatih SÜTCÜ’ ye yardımlarından dolayı teşekkürlerimi sunarım.

Mayıs 2007 İnş. Müh. Memet YILDIRIM

iii

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ........................................................................................................................ ii İÇİNDEKİLER .........................................................................................................iii SEMBOL LİSTESİ ................................................................................................... iv ŞEKİL LİSTESİ ........................................................................................................ vi TABLO LİSTESİ ....................................................................................................viii ÖZET.......................................................................................................................... xi SUMMARY ..............................................................................................................xii BÖLÜM 1.................................................................................................................... 1 GİRİŞ .......................................................................................................................... 1

1.1 GİRİŞ ........................................................................................................... 1 1.2 ÇALIŞMANIN AMACI ve KAPSAMI ...................................................... 4

BÖLÜM 2.................................................................................................................... 5 MALZEME SABİTLERİ ve PLAK DENKLEMLERİ ......................................... 5

2.1 MALZEME SABİTLERİ ve HOOKE YASALARI ................................... 5 2.2 İZOTROPİK PLAK DENKLEMLERİ...................................................... 12 2.3 ORTOTROPİK PLAK DENKLEMLERİ.................................................. 20

BÖLÜM 3.................................................................................................................. 30 ANALİTİK ÇÖZÜMLER ....................................................................................... 30

3.1 BASİT ÇOK TERİMLİ ÇÖZÜMLER ...................................................... 30 3.2 NAVİER ÇÖZÜMÜ .................................................................................. 34 3.3 LEVY YÖNTEMİ...................................................................................... 36

BÖLÜM 4.................................................................................................................. 38 SAYISAL ÇÖZÜMLER .......................................................................................... 38

4.1 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ ............................................................... 38 4.2 ORTOTROPİK DİKDÖRTGEN PLAK PROBLEMİNİN SONLU FARKLAR İLE FORMÜLE EDİLMESİ .............................................................. 43 4.3 SINIR ŞARTLARI VE DENKLEM SAYISI ............................................ 49 4.4 DOĞRUSAL DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ İÇİN DAİRESEL DÖNGÜ ................................................................................................................. 57 4.5 ORTOTROPİK DİKDÖRTGEN PLAK DENKLEMLERİNİN BOYUTSUZLAŞTIRILMASI............................................................................... 58 4.6 ORTOTROPİK DİKDÖRTGEN PLAK PROBLEMİNİN SONLU FARKLAR İLE ÇÖZÜMÜ.................................................................................... 61 4.7 ANALİTİK ÇÖZÜM İLE SAYISAL ÇÖZÜMÜN KARŞILAŞTIRILMASI...................................................................................... 112

BÖLÜM 5................................................................................................................ 118 SONUÇLAR VE TARTIŞMA .............................................................................. 118 KAYNAKLAR ....................................................................................................... 119 ÖZGEÇMİŞ………………………………………………………………………123

iv

SEMBOL LİSTESİ

zyx εεε ,, : x, y ve z doğrultularındaki birim uzamalar

zyx σσσ ,, : x, y ve z eksenlerine paralel normal gerilme bileşenleri

zzyyxx EEE ,, : x, y ve z doğrultularındaki Elastisite Modülleri uzamalar

1,,, DDDD xyyx : Plak eğilme rijitliği

yx II , : Plak atalet momentleri

G : Plak kayma modulleri

zyx ννν ,, : x, y ve z doğrultularındaki poisson oranları

h : Plak kalınlığı

w : Plağın z doğrultusundaki deplasmanı

ba, : Plağın net açıklığı

yx MM , : Plağın x ve y eksenlerine dik kesitlerinin birim boyuna gelen

eğilme momentleri

xyM : Plağın x eksenine dik kesitlerinin birim boyuna gelen

burulma momenti

yx QQ , : Plağın x ve y eksenlerine dik kesitlerinin birim boyuna gelen

z eksenine paralel kesme kuvvetleri

p : Plağa etkiyen yükün şiddeti

yx VV , : Plak mesnet tepkileri

R : Plak köşe kuvveti

v

yx λλ , : x ve y doğrultularındaki sonlu farklar ağı genişliği

α : Plağın x doğrultusundaki kenarın y doğrultusundaki kenara

oranı

yx rr , : Plak eğrilik yarıçapları

yzxzxy τττ ,, : xy, xz ve yz yüzeylerinde oluşan kayma gerilmeleri

vi

ŞEKİL LİSTESİ

Şekil 2.1: Sabit Kalınlıklı Plak ve Koordinat Eksenleri ............................................ 12

Şekil 2.2: Orta Düzlem Üzerindeki Bir A Noktasının Yer Değiştirmesi .................. 13

Şekil 2.3: Sonsuz Küçük Eleman .............................................................................. 14

Şekil 2.4: Düzlem Kesitin Deformasyonu................................................................. 14

Şekil 2.5: Sonsuz Küçük Plak Elemanının Dengesi .................................................. 16

Şekil 2.6: 0=x Noktasında Ankastre Mesnetlenmiş Plak ........................................ 18

Şekil 2.7: 0=x Noktasında Sabit Mesnetlenmiş Plak.............................................. 18

Şekil 2.8: Lx = Noktasında Serbest Kenar .............................................................. 19

Şekil 2.9: =x Sabit Kenarında xyM Değişimi ........................................................ 20

Şekil 2.10: x ve y Doğrultusunda Çelik Donatılar ile Donatılmış Betonarme Döşeme Plağı. ............................................................................................................ 23

Şekil 2.11: Dalgalı Sac Plak ...................................................................................... 25

Şekil 2.12: Eşit Aralıklı Takviye Levhaları ile Donatılmış Plak ............................... 26

Şekil 2.13: Tek Taraflı Eşit Aralıklı Nervürlerle Donatılmış Plak............................ 27

Şekil 2.14: Betonarme Izgara Sistem ........................................................................ 28

Şekil 3.1: Plak Ötelenmesi Hareketi.......................................................................... 30

Şekil 3.2: Eğik Ötelenme Hareketi ............................................................................ 31

Şekil 3.3: Dönme Hareketi ........................................................................................ 31

Şekil 3.4: Üniform Eğilme......................................................................................... 32

Şekil 3.5: Basit Burulma Durumunda Plak................................................................ 33

Şekil 3.6: Dört Kenarı Sabit Mesnetlenmiş Plak ....................................................... 34

Şekil 3.7: Karşılıklı İki Kenarı Sabit Mesnetlenmiş Ortotropik Dikdörtgen Plak..... 36

Şekil 4.1: Tek Boyutta Sonlu Farklar ........................................................................ 39

Şekil 4.2: Plaklarda Sonlu Farklar Ağı ...................................................................... 40

Şekil 4.3: Türev Fonksiyonları Katsayılar Şablonu................................................... 43

Şekil 4.4: Ortotrop Plaklar İçin Sonlu Farklar Katsayılar Şeması............................. 46

Şekil 4.5: Fiktif Yerdeğiştirmeler için Sonlu Farklar Ağının Plaklarda Uygulanması.................................................................................................................................... 52

Şekil 4.6: Verilen Şartlar Altında Oluşan Deplasmana Ait Grafik............................ 72

Şekil 4.7: Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plağın Çökmesi .......................................................................................................... 81

vii

Şekil 4.8: Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plağın Çökmesi ....................................................................................... 91

Şekil 4.9: Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plağın Çökmesi ...................................................... 101

Şekil 4.10: Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre İki Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plağın Çökmesi ...................................................................... 111

viii

TABLO LİSTESİ

Tablo 2.1 Plywood Plak İçin Elastik Sabitler. Birimler: GPa ................................... 25

Tablo 4.1 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş plakta yer değiştirmeler. ...... 54

Tablo 4.2 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı sabit mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler............................................................................. 54

Tablo 4.3 Sabit yayılı yükle yüklenmiş x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı sabit olarak mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler................. 55

Tablo 4.4 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler...................................................... 55

Tablo 4.5 Sabit yayılı yükle yüklenmiş x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler. .......... 56

Tablo 4.6 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş üçkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş bir kenarı boşta olan ortotropik plakta yer değiştirmeler. ................... 56

Tablo 4.7 Sabit yayılı yükle yüklenmiş x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş üçkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş bir kenarı boşta olan ortotropik plakta yer değiştirmeler............................................................................................................... 57

Tablo 4.8 Verilen Şartlar Altında Oluşan Deplasmanlar........................................... 62

Tablo 4.9 Verilen Şartlar Altında Oluşan Mx Momentleri ....................................... 63

Tablo 4.10 Verilen Şartlar Altında Oluşan My Momentleri ..................................... 64

Tablo 4.11 Verilen Şartlar Altında Oluşan Mxy Momentleri ................................... 65

Tablo 4.12 Verilen Şartlar Altında Oluşan Qx Kesme Kuvvetleri............................ 66

Tablo 4.13 Verilen Şartlar Altında Oluşan Qy Kesme Kuvvetleri............................ 67

Tablo 4.14 Verilen Şartlar Altında Oluşan Vx Mesnet Tepkileri ............................. 68

Tablo 4.15 Verilen Şartlar Altında Oluşan Vy Mesnet Tepkileri ............................. 69

Tablo 4.16 Verilen Şartlar Altında Oluşan R Köşe Kuvvetleri................................. 70

Tablo 4.17 Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plağa Uygulanan Sabit Yayılı Yükleme .......................................................................................................... 71

Tablo 4.18 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü, Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Deplasmanları ................................................................. 73

Tablo 4.19 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mx Momentleri............................................................... 74

Tablo 4.20 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz My Momentleri............................................................... 75

ix

Tablo 4.21 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mxy Momentleri............................................................. 76

Tablo 4.22 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qx Kesme Kuvvetleri ..................................................... 77

Tablo 4.23 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qy Kesme Kuvvetleri ..................................................... 78

Tablo 4.24 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Vx Ve Vy Mesnet Tapkileri ........................................... 79

Tablo 4.25 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Rxy Köşe Kuvvetleri ...................................................... 80

Tablo 4.26 Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plağa Uygulanan Sabit Yayılı Yükleme................................................................................................. 82

Tablo 4.27 Sabit Yayılı Yükle Yüklü, Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Deplasmanları ................................................................. 83

Tablo 4.28 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mx Momentleri............................................................... 84

Tablo 4.29 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz My Momentleri............................................................... 85

Tablo 4.30 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mxy Momentleri............................................................. 86

Tablo 4.31 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qx Kesme Kuvvetleri ..................................................... 87

Tablo 4.32 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qy Kesme Kuvvetleri ..................................................... 88

Tablo 4.33 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Vx Ve Vy Mesnet Tapkileri .......................................... 89

Tablo 4.34 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Rxy Köşe Kuvvetleri.......................................................................... 90

Tablo 4.35 İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve 2 Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plağa Uygulanan Sabit Yayılı Yükleme .................................................................... 92

Tablo 4.36 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz Deplasmanları .................................. 93

Tablo 4.37 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mx Momentleri ................................ 94

Tablo 4.38 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz My Momentleri ............................... 95

Tablo 4.39 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mxy Momentleri ............................. 96

Tablo 4.40 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qx Kesme Kuvvetleri ..................... 97

Tablo 4.41 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qy Kesme Kuvvetleri ...................... 98

x

Tablo 4.42 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olani Dikdörtgen Plak Boyutsuz Vx Ve Vy Mesnet Tapkileri............ 99

Tablo 4.43 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz Rxy Köşe Kuvvetleri...................... 100

Tablo 4.44 İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plağa Uygulanan Sabit Yayılı Yükleme .................................................................. 102

Tablo 4.45 Sabit Yayılı Yükle Yüklü, İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Deplasmanları .................................... 103

Tablo 4.46 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mx Momentleri .................................. 104

Tablo 4.47 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz My Momentleri .................................. 105

Tablo 4.48 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mxy Momentleri ................................ 106

Tablo 4.49 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qx Kesme Kuvvetleri ........................ 107

Tablo 4.50 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qy Kesme Kuvvetleri ........................ 108

Tablo 4.51 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Vx Ve Vy Mesnet Tapkileri.............. 109

Tablo 4.52 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Rxy Köşe Kuvvetleri ......................... 110

Tablo 4.53 İki Kenarı Ankastre ve İki Kenarı Sabit Olarak Mesnetlenmiş Plağın Analitik Çözümleri ile Sonlu Farklar Yöntemi ile Bulunan Çözümlerinin Karşılaştırılması. ...................................................................................................... 115

Tablo 4.54 Dörtkenarı Ankastre Olarak Mesnetlenmiş Plağın Analitik Çözümleri ile Sonlu Farklar Yöntemi ile Bulunan Çözümlerinin Karşılaştırılması. ...................... 116

Tablo 4.55 Dörtkenarı Sabit Olarak Mesnetlenmiş Plağın Analitik Çözümleri ile Sonlu Farklar Yöntemi ile Bulunan Çözümlerinin Karşılaştırılması ....................... 117

xi

ÖZET

Yüzeysel taşıyıcı sistemlerden biri olan plaklar, günümüzde yalnızca yapı

mühendisliğinde değil, uçak ve gemi mühendisliği gibi birçok alanda da kullanılan

sistemlerdir. Belirlenen kabullere göre modellenen plaklardan, denge denklemleri

kullanılarak, plak denklemlerinin diferansiyel formu elde edilir. Plak

denklemlerinden, basit diferansiyel denklem çözümleri yanında çeşitli analitik

yöntemler kullanılarak da kesin çözüm elde edilebilir. Analitik yöntemler

kullanılarak çözüme ulaşılamadığı veya çözümün zor olduğu durumlarda, sonlu

farklar yöntemi ve sonlu elemanlar yöntemi gibi sayısal çözüm yöntemlerine

başvurulur. Bu çalışmada, çeşitli mesnetlenme ve yükleme durumlarına göre

plakların malzeme bakımından özel bir hali olan bazı ortotropik dikdörtgen plakların

çözümü, sayısal bir çözüm yöntemi olan sonlu farklar yöntemi kullanılarak bilgisayar

ortamında yapılmıştır. Çalışmada sonlu farklar yöntemi kullanılarak elde edilen

sonuçlar, literatürde bulunan bazı izotropik ve ortotropik plakların analitik yöntemle

elde edilmiş sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Sonlu farklar yöntemi ile elde edilen

sonuçların, analitik yöntemler ile elde edilen sonuçlara çok yakın olduğu

gösterilmiştir.

xii

SUMMARY

Plates, as a special type of shell systems are widely used in not only structural

engineering field, but also many other fields such as naval or aerospace engineering.

For design purpose, plate equations can be obtained in a differential form by using

the equation of equilibrium evaluated from the plates modelled by suitable

assumptions. Besides simple differential equation solutions, exact solutions can be

evaluated from plate equations with the help of different analytical methods as well.

When it is impossible or hard to evaluate the results with analytical methods,

numerical solution methods e.g. finite differences or finite element method can be

used. In this study, orthotropic rectengular plate equations are solved on computer

for various supporting and loading conditions by using finite differences method.

Results are compared with the results of previous studies using analytical methods. It

was shown that there is a substantial correspondence between the compared results.

1

1 BÖLÜM 1

GİRİŞ

1.1 GİRİŞ

Kalınlıkları, taşıyıcı yöndeki boyutları yanında çok küçük olan sistemler yüzeysel

taşıyıcı sistemler olarak adlandırılırlar. Kalınlıkların orta noktalarını birleştiren yüzey

de orta yüzey olarak adlandırılır. Orta yüzey bir düzlem ise düzlemsel taşıyıcı

sistemler olarak adlandırılır. Dış yükler de orta düzleme dik olarak uygulanıyorsa

plak ismini alırlar.

Plaklar, yalnızca yapı mühendisliğinde kullanılmayıp, uçak ve gemi mühendisliği

gibi birçok mühendislik dalında da taşıyıcı düzlemlerin oluşturulmasında kullanılan

sistemlerdir.

Plak sistemlerin modellenmesi yapılırken göz önünde bulundurulması gereken

parametrelerden biri, kullanılan malzemedir. Tüm doğrultularda birbirinden bağımsız

özellikler gösteren malzemeler anizotropik, birbirlerine dik üç düzleme göre elastik

simetri özellikleri bulunan malzemelere ortotropik, tüm doğrultularda aynı özellikleri

gösteren malzemeler ise izotropik malzeme olarak adlandırılırlar. Bunun dışında

plaklar, geometrilerine göre, dikdörtgen plaklar ve dairesel plaklar olarak iki önemli

ve büyük grup oluştururlar. Mesnetlenme şekilleri ise, yapı amaç ve ihtiyaçlarına

göre, ankastre mesnet, sabit mesnet ve boşta kenar halinin kombinasyonlarından

meydana getirilir.

Anizotrop plakların ve kabukların analizi ile ilgili ilk çalışmalar ortotropi hali için

sınırlandırılmıştır. Bu konu ile ilgili olarak ilk çalışmayı Gehring 1860 yılında

yayınladığı, statik yükle yüklü durumlar için ortotropik plaklar teorisinde yapmıştır.

[1]. Ortotropik plakların titreşimini ise Hearmon dikdörtgen, ahşap ve plywood

plaklar için temel titreşim frekanslarını incelemiştir [2]. Çalışmasında Rayleigh-Ritz

metodunu kullanarak, çeşitli şekillerde sabit ve ankastre mesnetlenmiş plaklara

uygulayarak yapmış ve sonuçları deneysel sonuçlarla karşılaştırmıştır. Elastik

2

plakların serbest titreşimleri ile ilgili çalışmalar 1969 yılında Leissa tarafından

yapılmıştır [3].

Lechnitzky, klasik plak teorisini temel alan tek katmanlı anizotrop plak teorisi, özel

ortotropik plakların eğilme, stabilite ve titreşim problemlerini ele almak yoluyla

sunan geniş kapsamlı kitabını 1957 yılında yayınlamıştır [4]. Genel üniform yükle

yüklü ortotropik plakların çözümünü de Kantorovich’ in birinci iterasyon metodu ile

yapmıştır.

Stavsky, 1959 yılında anizotrop ince plaklar teorisini formülüze etmiştir [5]. 1961

yılında Reissner ve Stavsky, Smith ve Lechnitzky’ nin daha önce yapmış oldukları

gerilme-eğilme çiftinin etkilerini anizotrop ince plaklar için tekrar ele almışlardır [6].

Bu problemin örneklerini silindirik eğilme tipi için Stavsky’ de görülmektedir. Hoff

ile Stavsky’ nin beraber yapmış oldukları çalışmaları Dietz 1969 yılında “Composite

Engineering Laminates” adıyla yayınlamıştır [7-8].

Waddoups 1965 yılında, ince tabakalı özel ortotrop plakların titreşim karşısındaki

davranışlarını, hem deneysel hem de analitik olarak ele alarak incelemiştir [9]. 1967

yılından beri “Journal of Composite Materials” dergisi anizotropik ince plak

problemleri üzerinde yoğunlaşmıştır. 1968 yılında, bölümleri birçok araştırmacı

tarafından birleşik malzeme ve yapıların temel problemleri konusunda yapılan

çalışmaları Tsai tarafından bir araya getirilerek hazırlanan “Composite Materials

Workshop” kitabında yayınlanmıştır [10]. Ashton ve Anderson bor-epoksi levhaların

doğal titreşim modlarını Rayleigh-Ritz formülleri ile incelemiştir [11].

Whitney ve Leissa genel katmanlı anizotrop plakların temel denklemelerini Von

Karman plak denklemelerine paralel olarak formülüze etmişlerdir [12]. Bunu takiben

Whitney ve Leissa, benzer bir çalışmayı tam Fourier trigonometrik serileri kullanarak

yeniden yapmışlardır [13].

Ashton ve Waddoups, yine 1969 yılında tek katmanlı anizotrop plak problemleri için

bir enerji formulünü, doğrusal stabilize analizi; frekans ve mod şekili hesabı ve

düzlemsel yüklemelerden doğan yer değiştirmelerin analizini de göz önünde

bulundurarak sunmuştur [14].

3

Kicher ve Mandell yine 1969 yılında katmanlı plaklar için kritik burkulma yükünü

deneysel olarak incelemişlerdir [15]. Deneysel sonuçlarla karşılaştırma yapmak

amacı ile stabiliteyi; kalsik ortotropik plak denklemleri ile analiz etmişlerdir.

1970 yılında Ashton, anizotrop plakların sınır koşullarını incelemiştir [16]. Sonuç

olarak, Rayleigh-Ritz metodunu kullanılırken bir dizi karakteristik kiriş

fonksiyonunu kullanmanın, özel ortotropik plakların her durumu için mükemmel

sonuç verdiğini ortaya koymuştur. Ashton’un çalışmasının, burkulma yükü, doğal

frekans, mod şekilleri ve yer değiştirmelerin belirlenmesinde tatminkâr sonuçlar

verdiği fakat gerilmeler, momentler ve köşe reaksiyonları için iyi sonuç vermediği

görülmüştür.

Ankastre ve basit mesnetli, simetrik olmayan anizotrop ince plakların çapraz

yüklemeler altında hesabı için Whitney, Reissner ve Stavsky’nin temel denklemlerini

kullanmıştır [17].

Ümit Uzman, İstanbul Teknik Üniversitesinde 1985 yılında hazırladığı doktara

tezinde ortotrop malzemeden yapılmış ince dikdörtgen plakların düzlem içi dinamik

kenar yükleri etkisindeki davranışlarını incelemiş ve sayısal yöntemlerle elde ettiği

çözümler ile bir bilgisayar programı geliştirmiştir [18].

Zafer Kütüğ, 1992 yılında hazırladığı yüksek lisans tezinde izotrop plak

denklemlerinin en genel çözümlerini değişkenlerin ayrılması metodu’nu ve Fourier

serilerini kullanarak yapmıştır [19].

Batuhan Çalin, 1998 yılında hazırladığı yüksek lisans tezinde bazı izotrop plakların

çözümlerini sonlu farklar yöntemlerini kullanarak yapmıştır [20].

Ali Ergün, 1996 yılında hazırladığı yüksek lisans tezinde üniform yükle yüklü çeşitli

izotropik plakların çözümlerini sonlu elemalar yöntemi ile yapmış ve bunları analitik

yöntem sonuçları ile karşılaştırmıştır [21]. 2002 yılında yaptığı doktora çalışmasında

ise herhangi bir kuvvetler sisteminin başka kuvvetler sisteminden meydana gelen

yerdeğiştirme üzerinde yaptığı virtüel işin, ikinci kuvvetler sisteminin ilk kuvvetler

sisteminden meydana gelen yerdeğiştirme üzerinde yaptığı işe eşitliğini tanımlayan

Betti karşıtlık teoremi temel alınarak yeni bir sonlu fark operatörü çıkararak sonlu

farklar yöntemi ile yapmıştır [22].

4

1.2 ÇALIŞMANIN AMACI ve KAPSAMI

Belirlenen kabullere göre modellenen plaklardan, denge denklemleri kullanılarak,

plak denklemlerinin diferansiyel formu elde edilir. Plak denklemlerinden, basit

diferansiyel denklem çözümleri yanında, çift Fourier serileri (Navier yöntemi), tek

Fourier serileri (Levy yöntemi) gibi çeşitli analitik yöntemler kullanılarak kesin

çözüm elde edilebilir.

Analitik yöntemler kullanılarak çözüme ulaşılamadığı veya çözümün zor olduğu

durumlarda, sonlu farklar yöntemi ve sonlu elemanlar yöntemi gibi sayısal çözüm

yöntemlerine başvurulur. Bu yöntemler analitik yöntemlere çok yakın sonuçlar

verebilmektedirler. Özellikle bilgisayar teknolojisinin gelişmesi ve hızla bu

gelişimini devam ettirmesi de sayısal çözüm yöntemlerinin gelişmesini ve sıkça

kullanılmasını kolaylaştırmıştır.

Bu çalışmada, çeşitli mesnetlenme ve yükleme durumlarına göre bazı ortotropik

dikdörtgen plakların çözümü, sayısal bir çözüm yöntemi olan sonlu farklar yöntemi

kullanılarak bilgisayar ortamında yapılmıştır. Literatürde bulunan bazı izotropik ve

ortotropik plakların kapalı çözümleri ile sonlu farklar yöntemi ile elde edilen

sonuçlar ile karşılaştırıldı. Sonlu farklar yöntemi ile elde edilen sonuçların, analitik

yöntemler ile elde edilen sonuçlara çok yakın olduğu gösterilmiştir.

5

2 BÖLÜM 2

MALZEME SABİTLERİ ve PLAK DENKLEMLERİ

Bu bölümde malzeme sabitleri tanımlandıktan sonra çeşitli malzemeler için Hooke

yasaları elde edilecektir. Daha sonra da bu bağıntılardan yararlanarak önce izotropik

malzeme için plak denklemleri daha sonra da ortotropik malzeme için plak

denklemleri elde edilecektir. Son kısımda ise ortotropik plaklar için bazı analitik

çözümler elde edilecektir.

2.1 MALZEME SABİTLERİ ve HOOKE YASALARI

Bir malzemede gerilme şekil değiştirme bağıntılarını teorik olarak elde etmek şu an

için mümkün olmamaktadır. Malzemeler, kuvvet ve sıcaklık karşısında çok farklı

davranışlar gösterirler. Malzemelerin göstermiş oldukları bu davranışları matematik

olarak tek bir denklem veya denklem takımı ile açıklamak mümkün değildir. Bu

nedenle, çeşitli malzeme tipleri için ideal malzeme davranışı tanımlayan ayrı bir

takım denklemler kurma yoluna gidilir. Bu denklemlere bünye denklemeleri adı

verilir. Bu denklemler malzemenin fiziksel davranışlarını gözlem ve istatistiksel

yöntemlerle ortaya koyan matematik formüllerdir. Bu kısımda bünye denklemlerinde

bulunan sabitler hakkında bilgiler verilecektir.

Bir malzemede, yük ve şekil değiştirme arasında bağıntı doğrusal kabul edildiğinde,

gerilme ile şekil değiştirme tansörleri biribirlerine aşağıda verilen şekilde

bağlanabilir.

∑=

=3

1,lkklijklij c εσ (2.1)

Bu bağıntı toplama uylaşımı kulanılarak

klijklij c εσ = (2.2)

şeklinde yazılabilir. Burada; ijσ , gerilme tansörü, klε , Cauchy birim şekil

değiştirme tansörü ve ijklc ise elastik sabitlerin bulunduğu dördüncü mertebeden bir

6

tansördür. Bu tansöre elastik sabitler tansörü veya elastisite tansörü adı verilir.

Elastik sabitler tansöründe 81 sabit vardır. Fakat klε birim şekil değiştirme tansörü

simetrik olduğundan lkkl εε = dır. Bu durumda ijklc tansörünün bileşenleri k ve l ye

göre simetrik olurlar; dolayısıyla ijlkijkl cc = yazılabilir. Bu nedenle bağımsız

sabitlerin sayısı 27 azalır ve geriye 54 bağımsız sabit kalır. ijσ gerilme tansörü de

simetrik olduğundan ijklc katsayıları bu kez i ve j indislerine göre de simetrikdir;

yani; jiklijkl cc = yazılabilir. Dolayısyla bağımsız sabitlerin sayısı 18 azalarak geriye

36 bağımsız sabit kalır.

Gerilme ve şekil değiştirme tansörlerinin bağımsız altışar elemanları;

111 σσ = 222 σσ = 333 σσ =

423 σσ = 513 σσ = 612 σσ =

111 εε = 222 εε = 333 εε =

4232 εε = 5132 εε = 6122 εε = (2.3)

şeklinde tanımlanır ise (2.2) bağıntısı

jiji c εσ = (2.4)

şeklinde yazılabilir. Bu ifade matris formu aşağıda verilmektedir.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

εεεεεε

σσσσσσ

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

(2.5)

Yukarıda verilen bağıntılara genel Hooke Yasaları adı verilir. Enerji esaslarında da

yararlanıldığında (2.5) de görülen ijc matrisinin simetrik olduğu görülür. Sonuç

olarak jiij cc = bağıntısından dolayı, 21 bağımsız sabit kalır. Anizotrop

malzemelerde; yani hiçbir doğrultuda simetri özelliği olmayan malzemelerde gerilme

şekil değiştirme bağıntıları bu 21 sabit ile belirlenir ve bu sabitler deneylerle bulunur.

7

Bir malzemede genel halde 21 bağımsız elastik sabit olmasına karşın malzemede

düzleme ve/veya eksene göre malzeme simetrisi özelliği var ise bağımsız sabitlerin

sayısı azalır.

Monoklinik malzeme: Malzemede bir düzleme göre malzeme simetrisi varsa böyle

malzemelere monoklinik malzeme adı verilir. Monoklinik bir malzemede bağımsız

sabitlerin sayısı 13 dür. 21 xx − eksen takımına göre simetri olması halinde (2.5)

eşitliğinde bulunan matris aşağıda verilen şekilde yazılır.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

66636261

5554

4544

36333231

26232221

16131211

0000000000

000000

cccccccc

cccccccccccc

(2.6)

Ortotropik malzeme: Bir cisimde biribirine dik iki düzleme göre malzeme simetrisi

var ise malzeme sabitlerinin sayısı 9 dur. Bir cisimde biribirine dik iki düzleme göre

malzeme simetrisi var ise biribirine dik üç düzleme göre simetri şartları otomatik

olarak sağlanır. Dolayısıyla biribirine dik üç düzleme göre simetrisi olan cisimlerde

bağımsız malzeme sabitlerinin sayısı da dokuzdur. Bu tür malzemelere Ortogonalli

Anizotropik kelimelerinin kısaltılmışı olan Ortotropik malzeme adı verilir. 21 xx − ,

32 xx − ve 13 xx − , eksen takımlarına göre simetri olması halinde (2.5) eşitliğinde

bulunan matris aşağıda verilen matris şeklinde yazılır.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

66

55

44

333231

232221

131211

000000000000000000000000

cc

cccccccccc

(2.7)

Enine izotropik malzeme: Biribirine dik üç düzleme göre simetrik olan malzeme, bu

düzlemlerden birinde izotrop ise yani malzeme özellikleri bu düzlemde doğrultuya

göre değişmiyor ise bu tip malzemeye “enine izotrop” adı verilir. Enine izotrop

malzemede bağımsız değişken sayısı 5 dir. İzotropik düzleme dik doğrultu 1x olsun.

Bu durumda elastik sabitlerin bulunduğu matris aşağıda verilen şekle gelir.

8

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

55

55

1211

333131

131121

131211

0000000000

0021000

000000000

cc

)cc(

ccccccccc

(2.8)

İzotropik Malzeme: Tam izotropi halinde elastik sabitlerin bulunduğı matris;

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

)cc(

)cc(

)cc(

ccccccccc

1211

1211

1211

112121

121121

121211

2100000

0210000

0021000

000000000

(2.9)

şeklindedir. Burada görüldüğü gibi bağımsız elastik sabit sayısı 2 dir.

Hooke Yasaları: Yukarıda (2.4) ile verilen gerilme şekil değiştirme bağıntısı ters

dönüşüm ile

jiji s σε = (2.10)

şeklinde yazılabilir. Burada görülen ijs matrisi ijc matrisinin tersidir. Bu eşitliğin

matris formunda yazılışı aşağıda verilmiştir.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

σσσσσσ

εεεεεε

ssssssssssssssssssssssssssssssssssss

(2.11)

9

Bu bağıntı ortotropik malzeme için;

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

66

55

44

333231

232221

131211

6

5

4

3

2

1

000000000000000000000000

σσσσσσ

εεεεεε

ss

ssssssssss

(2.12)

şeklindedir. Yukarıdaki bağıntıda bulunan ijs elastik sabitleri, mühendislikte

kullanılan Young modulü ve Poisson oranına bağlı olarak aşağıda verilen şekilde

yazılır.

1111

1E

s = 22

2112 E

s ν−=

33

3113 E

s ν−=

11

1221 E

s ν−=

2222

1E

s = 33

3223 E

s ν−=

11

1331 E

s ν−=

22

2332 E

s ν−=

3333

1E

s =

2344

1G

s = 13

551

Gs =

1266

1G

s = (2.13)

Yukarıdaki gösterilimde; iiE sabitleri, i doğrultusunda çekme veya basınçtan elde

edilen Young modulüdür. Poisson oran ijν ise i doğrultusunda gerilme

uygulandığında j doğrultusundaki daralmadır; yani ijij εεν /−= dir. ijs matrisinin

simetrisinden dolayı aşagıda verilen bağıntılar bulunmaktadır.

11

12

22

21

EEνν

= 22

23

33

32

EEνν

= 33

31

11

13

EEνν

= (2.14)

Yukarıda yapılan tanımlar kullanılarak, ortotropik malzemede xyz eksen takımlarına

göre Hooke yasaları;

zzz

zxy

yy

yxx

xxx EEE

σνσν

σε −−=1

zzz

zyy

yyx

xx

xyy EEE

σν

σσν

ε −+−=1

10

zzz

yyy

yzx

xx

xzz EEE

σσν

σνε 1+−−=

xy

xyxy G

τγ =

yz

yzyz G

τγ =

zx

zxzx G

τγ = (2.15)

şeklinde yazılır. Yukarı verilen denklemlerde görülen xxE , yyE , zzE , xyν , yxν , yzν ,

zyν , zxν , xzν , xyG , yzG , zxG değerleri malzeme sabitleri olup toplam on iki sabittir,

fakat ijs matrisinin simetrisinden dolayı yazılan

yy

yx

xx

xy

EEνν

= zz

zx

xx

xz

EEνν

= zz

zy

yy

yz

EEνν

= (2.16)

eşitlikleri ile bağımsız malzeme sabiti sayısı dokuza iner. Malzeme sabitlerinden

xxE , yyE ve zzE değerleri malzemenin sıra ile x , y ve z doğrultularındaki elastisite

modulleri xyG , yzG ve zxG değerleri sıra ile malzemenin xy , yz ve zx

düzlemlerindeki kayma modulleridir. ),,,( zyxjiij =ν değerleri ise daha önceden

belirtildiği gibi i doğrultusunda gerilme uygulandığında j doğrultusundaki enine

birim uzamalar için Poisson oranıdır; yani ijij εεν /−= dir.

Ortotropik düzlem gerilme halinde, 1,2,3 doğrultuları sıra ile x,y,z doğrultusu alınıp

gerilme vektörlerinin x-y düzleminde bulunması halinde (2.15) bağıntısından Hooke

yasaları Young modülü ve Poisson oranı cinsinden;

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

τ

σσ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−

ν−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

γ

εε

xy

y

x

xy

yyxx

xy

yy

xy

xx

xy

y

x

G

EE

EE

100

01

01

(2.17)

şeklinde yazılır. Yukarıda verilen denklemlerde 5 sabit bulunmaktadır;

xxxyyyyx EE // νν = eşitliği kullanıldığında ortotropik düzlem gerilme halinde 4 sabit

yeterli olmaktadır. Yukarıda (2.17) ile verilen ifadenin ters dönüşümü yapıldığında

11

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

y

x

xy

yxxy

yy

yxxy

yyxy

yxxy

xxyx

yxxy

xx

xy

y

x

G

EE

EE

γ

εε

ννννν

ννν

νν

τ

σσ

00

011

011

(2.18)

bulunur. Bu ifade dört sabite bağlı olarak

yxyxxx EE εεσ += *

yyxxyy EE εεσ *+=

xyxyxy G γτ = (2.19)

şeklinde yazılır. Burada *xE , *

yE , xyE nin tanımları aşağıda verilmektedir.

yxxy

xxx

EEνν−

=1

* yxxy

yyy

EE

νν−=

1*

yxxy

yyxy

yxxy

xxyxyxxy

EEEE

ννν

ννν

−=

−==

11 (2.20)

Enine izotropi hali: xy düzleminde enine izotropi olsun. Bu izotropide

EEE yyxx == , ννν == yxxy ; xyGG = ve *GGG xzyz == yzxz νν = ve zxzy νν =

olacaktır. Bu durumda (2.15) bağıntıları;

zzz

zxyxx EEE

σνσνσε −−=1

zzz

zyyxy EEE

σν

σσνε −+−

=1

zzz

yyz

xxz

z EEEσσ

νσνε 1

+−−

=

Gxy

xy

τγ = *G

yzyz

τγ = *G

zxzx

τγ = (2.21)

şekline gelirler. Bu bağıntılarda E , zzE , ν , G , *G yzxz νν = ve zxzy νν = olmak

üzere yedi sabit bulunmaktadır. Bu sabitler arasında;

12

)1(2 ν+=

EG zz

zxyz

EEνν

= (2.22)

bağıntıları vardır. Dolayısıyla enine izotropik malzemede beş bağımsız sabit vardır.

2.2 İZOTROPİK PLAK DENKLEMLERİ

Yüzeysel taşıyıcı sistemler, kalınlıklarının ortasından geçen ve orta yüzey olarak

isimlendirilen yüzey ve bu yüzeyin her noktasında kalınlığın verilmesi ile tanımlanır.

Yüzeysel taşıyıcı sistemlerde kalınlık diğer iki boyutunun yanında küçüktür.

Plakta orta yüzey bir düzlemdir. Plak dış yükler etkisiyle eğildikten sonra orta

düzlemin meydana getirdiği yüzeye elastik yüzey adı verilir. Bu kısımda sabit

kalınlıklı izotropik plak denklemleri çıkarılacaktır. Plak denklemleri çıkartılırken;

orta düzleme dik düzlemlerin, şekil değiştirmeden sonrada düzlem kalıp elastik

yüzeye dik olacakları kabul edilecektir. Bu hipotez çubuklarda kullanılan Bernouilli-

Navier hipotezine karşı gelir ve Kirchoff-Love hipotezi olarak isimlendirilir.

Bir plağın orta düzlemi xy eksen takımı ile belirlensin; şekil 2.1 Sabit kalınlıklı bir

plakta plak malzemesi 2/hz ±= düzlemleri arasında bulunacaktır. Plak içindeki

herhangi bir noktanın ortalama düzleme olan uzaklığı z ile gösterelim.

x

yz

h/2h/2

Şekil 2.1: Sabit Kalınlıklı Plak ve Koordinat Eksenleri

Orta düzlem üzerinde bulunan bir A noktası yer değiştirme sonucunda, Şekil 2.2’ de

görüldüğü gibi 'A noktasına gelsin. A noktasının x ve y doğrultularında yer

değiştirmeleri ihmal edilerek wAA =' ve ),( yxww = kabul edilecektir.

13

y

x

C

C'A'

A0z

Şekil 2.2: Orta Düzlem Üzerindeki Bir A Noktasının Yer Değiştirmesi

Elastik yüzeyi A ’ noktasından geçen ve zx düzlemine paralel bir düzlemle keselim.

Şekil 2.2 de görülen arakesit C eğrisinin eğriliği;

2

21xw

rx ∂∂

−= (2.23)

dir. İkinci olarak elastik yüzeyi A ’ noktasından geçen ve zy düzlemine paralel bir

düzlemle keselim. Şekil 2.2 de görülen arakesit 'C eğrisinin eğriliği;

2

21yw

ry ∂∂

−= (2.24)

dir. ),( yxww = fonksiyonunun karışık türevi yüzeyin x ve y eksenlerine göre

burulması olarak tanımlanır ve buna ait eğrilik yarıçapı xyr aşağıda verilmeketedir.

yx

wrxy ∂∂

∂−=

21 (2.25)

Plaktan çıkarılan sonsuz küçük bir eleman üzerindeki gerilmeler Şekil 2.3’ de

görülmektedir.

14

x

y

z

h/2

σyτyz

τyx

h/2

dx

τxz

τxy σx

Orta Düzlemdy

dzz

Şekil 2.3: Sonsuz Küçük Eleman

Sonsuz küçük eleman üzerindeki gerilmelerin oluşturduğu birim uzunluğa gelen

eğilme momentleri xM , yM , burulma momentleri xyM , yxM ve kesme kuvvetleri

xQ , yQ ise aşağıda verilen şekilde yazılabilir.

∫−

=2/

2/

h

hxx zdzM σ ∫

−

=2/

2/

h

hyy zdzM σ ∫

−

−=2/

2/

h

hxyxy zdzM τ

∫−

=2/

2/

h

hyxyx zdzM τ ∫

−

=2/

2/

h

hxzx dzQ τ ∫

−

=2/

2/

h

hyzy dzQ τ (2.26)

x

z

0

52°

52°

yr d

z

ϕ

zh/2

h/2

1

Şekil 2.4: Düzlem Kesitin Deformasyonu

15

Bernoulli-Navier hipotezi geçerli olduğundan y doğrultusundaki birim uzama Şekil

2.4’ te görülen birim genişlikte alınan bir eleman üzerinde yazılan bağıntıdan

2

2)(ywz

rz

drdrdzr

yy

yyy ∂

∂−==

−+=

ϕϕϕ

ε (2.27)

elde edilir. Aynı şekilde x doğrultusunda birim genişlikte alınan bir elemanda

2

2)(xwz

rz

drdrdzr

xx

xxx ∂

∂−==

−+=

ϕϕϕ

ε (2.28)

yazılır. İzotropik cisimler için yazılan Hooke yasalarında şekil değiştirmeler yerine

w cinsinden değerleri yerlerine konulduğunda

)(1

.)(1 2

2

2

2

22 yw

xwzEE

yxx ∂∂

+∂∂

−−=+

−= ν

ννεε

νσ

)(1

.)(1 2

2

2

2

22 xw

ywzEE

xyy ∂∂

+∂∂

−−=+

−= ν

ννεε

νσ

yxwGzG xyxy ∂∂

∂−==

2

2γτ (2.29)

bağıntıları elde edilir. Bu bağıntılar (2.26) eşitliklerinde yerlerine konulup integraller

alındığında aşağıda verilen eşitlikler elde edilirler.

)( 2

2

2

2

yw

xwDM x ∂

∂+

∂∂

−= ν

)( 2

2

2

2

xw

ywDM y ∂

∂+

∂∂

−= ν

yxwDMM yxxy ∂∂

∂−=−=

2

)1( ν (2.30)

Burada )1(12 2

3

ν−=

EhD dir.

Plak Denge Denklemleri: Plak üzerinde alınan sonsuz küçük bir eleman Şekil 2.5’ te

gösterilmiştir.

16

Şekil 2.5:Sonsuz Küçük Plak Elemanının Dengesi

Şekil 2.5’de görülen elemanın z eksenine göre izdüşüm denge denklemi

yazıldığında

0),()()( =+−∂

∂++−

∂∂

+ dxdyyxpdxQdxdyy

QQdyQdydx

xQ

Q yy

yxx

x

0),( =+∂

∂+

∂∂

yxpy

Qx

Q yx (2.31)

denklemi elde edilir. Aynı elemana etkiyen kuvvetlerin sıra ile x ve y eksenlerine

paralel kenarlarına göre moment denge denklemleri yazıldığında;

+∂

∂++−

∂

∂+− dydx

xM

MdyMdxdyy

MMdxM xy

xyxyy

yy )()(

17

02

),()( =+∂

∂++

dydxdyyxpdydxdyy

QQ y

y

−−∂

∂++−

∂∂

+ dxMdxdyy

MMdyMdydx

xM

M yxyx

yxxx

x )()(

02

),()( =−∂∂

+−dxdxdyyxpdydxdx

xQ

Q xx (2.32)

eşitlikleri elde edilir. Bulunan bu eşitliklerde ikinci mertebe terimler ihmal

edildiğinde aşağıda verilen denklemler bulunur.

0=+∂

∂−

∂

∂y

yxy Qy

Mx

M (2.33)

0=−∂

∂+

∂∂

xyxx Q

yM

xM

(2.34)

Denge denklemlerinden elde edilen bu iki denklem ile daha önce yine denge

denklemlerinden elde edilen (2.31) denklemleri arasında, Mxy=-Myx olduğu göz

önüne alınarak xQ ve yQ yok edildiğinde izotropik plaklar için aşağıda verilen

diferansiyel denklem elde edilir.

Dyxp

yw

yxw

xw ),(2 4

4

22

4

4

4

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ (2.35)

Kesme kuvvetleri xQ ve yQ ifadeleri için (2.33) ve (2.34) denklemlerinde momenti

w cinsinden değerleri konulduğunda aşağıda verilen bağıntılar elde edilir.

)( 2

3

3

3

yxw

ywD

yM

xM

Q yxyy ∂∂

∂+

∂∂

−=∂

∂+

∂

∂−= (2.36)

)( 2

3

3

3

yxw

xwD

xM

yM

Q xyxx ∂∂

∂+

∂∂

−=∂∂

+∂

∂= (2.37)

Plak Sınır Şartları:

a)Ankastre Mesnet; 0=x da bir ankastre mesnet düşünelim. Şekil 2.6’ da ankastre

olarak mesnetlenmiş bir plak görülmektedir. Ankastre mesnette çökme ve dönme

olmayacağı için ankastre mesnette sınır şartları

18

00=

=xw 0

0

=∂∂

=xxw (2.38)

dır. Ayrıca bütün mesnet boyunca xw ∂∂ / olduğundan; 0/2 =∂∂∂ yxw olur.

Dolayısıyla ankastre mesnette

0)1(2

=∂∂

∂−=

yxwDM xy ν (2.39)

dır. Yani ankastre mesnette burulma momenti meydana gelmez.

z

x

y

Şekil 2.6: 0=x Noktasında Ankastre Mesnetlenmiş Plak

b)Sabit Mesnet; 0=x da bir sabit mesnet düşünelim; şekil 2.7 0=x noktasında

sabit mesnetlenmiş plak. Sabit mesnette çökme ve moment sıfır olacağından dolayı;

00=

=xw 0)( 2

2

2

2

0=

∂∂

+∂∂

−== y

wxwDM

xx ν (2.40)

z

x

y

Şekil 2.7: 0=x Noktasında Sabit Mesnetlenmiş Plak

dır. 0=x kenarı boyunca bütün mesnet boyunca 0/ =∂∂ yw olduğundan;

0/ 22 =∂∂ yw olur. Dolayısıyla sabit mesnette;

00=

=xw 02

2

=∂∂

xw (2.41)

şartları yazılır. Aynı şekilde 0=y kenarı sabit mesnet olduğunda

19

00=

=yw 0)( 2

2

2

2

0=

∂∂

+∂∂

−== x

wywDM

yy ν (2.42)

şartları yerine aşağıda yazılan şartlar kullanılır.

00=

=yw 02

2

=∂∂

yw (2.43)

c) Serbest Kenar; Lx = Noktasında serbest bir kenar düşünelim;

z

x

y

L

Şekil 2.8: Lx = Noktasında Serbest Kenar

Serbest kenarda çökme hariç diğer değerler yani moment, kesme kuvveti ve burulma

momenti sıfır olur.

0==axxM , 0=

=axxyM , 0==axxQ (2.44)

Üç sınır şartı fazla olduğundan dolayı xyM ve xQ birleştirilir. Birleştirmek için şekil

2.9 da görüldüğü gibi =x sabit kenarında xyM değişimini göz önüne alalılm. Sonsuz

küçük dy uzunluğuna etkiyen dyM xy momenti dy uzunluğunun kenarlarında

xyxy MdydyM =/ şeklinde iki kuvvete ayrılır. Sonsuz küçük dy uzuluğunun yanında

bulunan yine sonsuz küçük dy uzunluğunda ise burulma momentinin değeri

dyyMM xyxy )/( ∂∂+ dir. Bu moment ise iki kuvvete ayrıldığında her bir kuvvetin

şiddeti yMM xyxy ∂∂+ / dir. Kuvvet çiftlerinin aynı noktaya etkiyen kuvvetleri

toplandığında yM xy ∂∂ / kuvveti elde edilir. Bu kuvvet xQ ile birleştirildiğinde

20

Şekil 2.9: =x Sabit Kenarında xyM Değişimi

yM

QV xyxx ∂

∂−= (2.45)

elde edilir. Bu şekilde Burulma momenti ile kesme kuvveti birleştirilmiş olmakta ve

ax = da sınır şartları olarak

0==axxM , 0=

=axxV (2.46)

eşitlikleri kullanılacaktır. Bu şartlar w çökme fonksiyonu cinsinden

0)2( 2

3

3

3

=∂∂∂

−+∂∂

=axyxw

xw ν 02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

=axyw

xw ν (2.47)

şeklinde yazılır. Aynı durum by = kenarı içinde geçerlidir. Bu kenarda;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂−+

∂∂

−=∂

+=yx

wywD

xM

QV yxyy 2

3

3

3

)2( ν (2.48)

olduğundan by = kenarında aşağıda verilen şart yazılır.

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

=byxw

yw ν 0)2( 2

3

3

3

=∂∂

∂−+

∂∂

=byyxw

yw ν (2.49)

2.3 ORTOTROPİK PLAK DENKLEMLERİ

Bir önceki bölümde plak denklemleri, izotropik malzemeden yapılmış plaklar için

çıkartıldı. Plaklar, genellikle, her yönde farklı özellikler gösteren anizotrop

malzemelerden yapılır. İki doğrultuda farklı özellikler gösteren betonarme plaklar,

nervürlü plaklar, dalgalı sac plaklar, taşıyıcı ızgaralar gibi sistemler ortotrop

malzemeler olarak modellenir. Ortotropik plak denklemleri ise ortotrop malzemeler

için yazılan Hooke yasaları kullanılarak izotropik plak için izlenen yol aynen

21

izlenerek çıkartılır. İzotropik plaklarda, geometrik esaslardan ve denge

denklemlerinden yazılan bağıntılar değişmeyeceğinden, işlemler sırasında onlar

aynen kullanılır.

Hesaplarda, üçüncü doğrultuda gerilme ve şekil değişikliği olmadığı kabul

edildiğinden; ortotropik malzemelerde, düzlem gerilme haline ait Hooke yasaları

(2.19) den aşağıda verilen şekilde yazılır.

yxyxxx EE εεσ += *

yxxxyy EE εεσ *+=

xyxyxy G γτ = (2.50)

Burada; daha önce (2.20) da belirtildiği gibi;

yxxy

xxx

EE

νν−=

1*

yxxy

yyy

EE

νν−=

1*

yxxy

yyxy

yxxy

xxyxyxxy

EEEE

ννν

ννν

−=

−==

11 (2.51)

dir. Malzeme sabitlerinden xxE ve yyE değerleri malzemenin sıra ile x ve y

doğrultularındaki elastisite modulleri; xyG malzemenin xy düzlemindeki kayma

modulüdür. ),,,( zyxjiij =ν değerleri ise daha önceden belirtildiği gibi i

doğrultusunda gerilme uygulandığında j doğrultusundaki enine birim uzamalar için

Poisson oranıdır; yani ijij εεν /−= dir.

İzotropik plaklar için elde edilen

2

2

xwzx ∂

∂−=ε 2

2

ywzy ∂

∂−=ε

yxwzxy ∂∂

∂−=

2

2γ (2.52)

bağıntıları geometrik esaslardan hareket edilerek çıkartıldığı için ortotropik plaklar

için de geçerlidir. Bu bağıntılar (2.50) denklemlerinde yerlerine konulduğunda

)( 2

2

2

2*

ywE

xwEz xyxx ∂

∂+

∂∂

−=σ

22

)( 2

2

2

2*

xwE

ywEz xyyy ∂

∂+

∂∂

−=σ

yxwGzxy ∂∂

∂−=

2

2τ (2.53)

bağıntıları elde edilir. Moment ifadeleri ise yukarıda verilen gerilmeler z ile çarpılıp

plak kalınlığı boyunca integre edilerek;

)( 2

2

12

22/

2/ ywD

xwDzdzM

h

hxxx ∂

∂+

∂∂

−== ∫−

σ

)( 2

2

12

22/

2/ xwD

ywDzdzM

h

hyyy ∂

∂+

∂∂

−== ∫−

σ

yxwDzdzM

h

hxyxyxy ∂∂∂

=−= ∫−

22/

2/

2τ (2.54)

şeklinde elde edilirler. Burada xD , yD , xyD ve xyG ile gösterilen büyüklükler eğilme

ve burulma rijitliği olup aşağıda verilen şekilde tanımlanmıştır.

12

*3x

xEh

D = 12

*3y

y

EhD =

12

3

1xyEh

D = 12

3GhDxy = (2.55)

Yukarıda (2.54) ile verilen moment ifadeleri daha önce elde edilen ve (2.31),(2.33)

ve (2.34) denklemi ile verilen

),(22

2

2

2

2

yxpyx

MyM

xM xyyx −=

∂∂

∂−

∂

∂+

∂∂

(2.56)

denge denklemlerinde yerlerine konulduğunda ortotropik plak diferansiyel denklemi

aşağıda verilen şekilde elde edilir.

),(2 4

4

22

4

4

4

yxpywD

yxwH

xwD yx =

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ (2.57)

Burada:

xyDDH 21 += (2.58)

dir. Kesme kuvvetlerinin çökmeye bağlı ifadeleri daha önce denge denklemleri ile

elde edilen (2.33) ve (2.34)

23

yM

xM

Q xyxx ∂

∂+

∂∂

=

yM

xM

Q yxyy ∂

∂+

∂

∂−= (2.59)

ifadeleri kullanılarak aşağıda verilen şekilde bulunur.

)( 2

2

2

2

ywH

xwDQ x

xx ∂

∂+

∂∂

∂∂

−=

)( 2

2

2

2

xwH

ywDQ y

yy ∂

∂+

∂∂

∂∂

−= (2.60)

ÇEŞİTLİ ÖZEL DURUMLAR İÇİN PLAK RİJİTLİKLERİNİN HESABI

Rijitlikler için verilen (2.55) ifadeleri malzeme davranışlarının doğasından dolayı

çeşitli farklılıklar gösterirler. Bunlar için uygulamada sıkça kullanılan çeşitli

durumlara ait rijitlikler aşağıdaki gibidir.

Betonarme Plaklar: sE çelik çubuğun cE ise betonun Young Modülü, cν betonun

poisson oranı olmak üzere cs EEn /= olarak ifade edilirse (2.51) ifadelerinden

**yx

xyc

EE

E=ν (2.61)

olarak elde edilir.

y

x

z

Şekil 2.10: x ve y Doğrultusunda Çelik Donatılar ile Donatılmış Betonarme

Döşeme Plağı.

Şekil 2.10’ da görüldüğü gibi x ve y yönünde çift yönlü olarak donatılmış

betonarme plakta şu kabuller yapılır;

24

[ ]sxcxc

cx InI

ED )1(

1 2 −+−

=ν

[ ]sycyc

cy InI

ED )1(

1 2 −+−

=ν

yxc DDD ν=1

yxc

xy DDD2

1 ν−= (2.62)

Bu denklemlerde cxI plak elemanının x doğrultusundaki atalet momenti, sxI

sabitx = bölgesindeki tarafsız eksen civarında verilen donatının atalet momenti, cyI

ve syI ise sabity = bölgesindeki atalet momentleridir.

xyD için verilen ifadelerle birlikte;

yx DDH = (2.63)

olarak hesaplanır ve diferansiyel denklem;

),(2 4

4

22

4

4

4

yxpywD

yxwDD

xwD yyxx =

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ (2.64)

halini alır.

Yeni bir değişken olarak 41 / yx DDyy = ele alınarak (2.35) denklemi formuna

dönüştürülebilir.

Plywood: Üç veya beş tabakanın biribirlerine yapıştırılması ile elde edilen plaklardır.

Plak x aksı yüzey tanelerine paralel olması halinde Tablo 1 ile verilen sabitleri

kullanabiliriz.

25

Tablo 2.1 Plywood Plak İçin Elastik Sabitler. Birimler: GPa

Malzeme 'xE '

yE ''E G

Akçaağacı, 5-kat…………………….

Afara, 3-kat………………………….

Gabon (Okoumé), 3-kat……………..

Huş ağacı (Birch), 3-ve 5-kat……….

Bakalit mambranlar ile huş ağacı (Birch)

12.893

13.514

8.825

13.790

11.721

4.137

1.137

0.758

1.151

5.860

0.503

0.296

0.096

0.530

0.420

1.096

0.758

0.586

1.172

0.689

Dalgalı Sac: Kalınlığı h, elastisite modülü E ve Poisson oranı ν olan dalgalı sac

elemanın formu s bir yarım dalga yayının uzunluğu olmak üzere aşağıdaki ifadeler

ile belirlenir.

x

z

0

y

x

f

Şekil 2.11: Dalgalı Sac Plak

lxfz πsin= (2.65)

)1(12 2

3

ν−=

EhslDx

EIDy =

01 ≈D

26

)1(12

823

ν+==

Ehl

DH xy (2.66)

Burada;

)4

1( 2

22

lfls π

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−=

2

2

)2

(5,21

81,012

lf

hfI (2.67)

Tek Doğrultuda Eşit Aralıklı Takviye Levhaları ile Donatılmış Plak:

a1

hx

x0

y

z

Şekil 2.12: Eşit Aralıklı Takviye Levhaları ile Donatılmış Plak

Plak orta düzlemine göre simetrik olarak donatılmış bir plak şekil 2.12’ de

gösterilmiştir. Bu plakta;

)1(12 2

3

ν−==

EhHDx

1

'

2

3

)1(12 aIEEhD y

y +−

=ν

(2.68)

27

Elastisite modülü E ve poisson oranı ν olan plak elemanı ile Young modülü 'yE

olan ve atalet momenti I olan takviye levhası, plak kesitinin orta aksı üzerinde

birlikte alınmıştır.

Eşit Aralıklı İki Takım Takviye Levhaları İle Oluşturulmuş Nervürlü Plak:

Simetrik özellikleri sağlayan plakta;

1

1'

2

3

)1(12 bIEEhD x

x +−

=ν

1

2'

2

3

)1(12 aIEEhD y

y +−

=ν

)1(12 2

3

ν−=

EhH (2.69)

1I takviye levhasının atalet momenti, 1b x doğrultusundaki takviye levhaları

arasındaki net açıklık, 2I ve 1a y doğrultusundaki değerlerdir.

Tek Taraflı Eşit Aralıklı Nervürlerle Donatılmış Plak:

a1

hx

x0

y

zH

t

Şekil 2.13: Tek Taraflı Eşit Aralıklı Nervürlerle Donatılmış Plak

Şekil 2.13 te gösterildiği gibi bir plak elemanında, E plağı oluşturan elemanın

elastisite modülü, I 1a genişlikli T kesitin atalet momenti, Hh /=α olmak üzere

28

)(12 3

1

31

ttahEaDx α+−

=

1α

EIDy =

01 =D (2.70)

Formüllerin karşılıklı etkileşimleri ihmal edilerek burulma rijitliği son olarak şu

şekilde hesaplanır;

1

'

2aCDD xyxy += (2.71)

Burada 'xyD nervürsüz plağın burulma rijitliği C ise bir nervürün burulma rijitliğidir.

Betonarme Izgara Sistem:

x

y

b

a

b1

a1

(a) (b)

Mxyb1

Myxa 1

Şekil 2.14: Betonarme Izgara Sistem

Bu ızgara sistem x ve y doğrultularına paralel olarak konmuş ve kesişme yerlerinde

biribirlerine rijit olarak tesbit edilmiş iki kiriş sisteminden ibarettir. Kirişler uçlarında

mesnetlenmiş ve yük xy düzlemine dik olarak tatbik edilmiştir. Kirişler arasındaki

1a ve 1b uzaklıkları ızgaranın a ve b boylarına göre küçük ve kirişlerden her

birinin x eksenine paralel olan eğilme rijitliği 1B , y eksenine paralel olan eğilme

rijitliği 2B , ise;

1

1

bBDx =

1

2

aBDy = (2.72)

29

Konulabilir. Bu halde 1D değeri sıfırdır ve xyD değeri x eksenine paralel olan

eğilme rijitliği 1C , y eksenine paralel olan eğilme rijitliği 2C olarak ifade edilebilir.

Bu durumda şekil 2.10b’ nin burulmasını gözönüne alarak burulma momentleri ile

yxw ∂∂∂ /2 burulması arasında şu bağıntı yazılabilir;

yx

wbCM xy ∂∂

∂=

2

1

1 yx

waCM yx ∂∂

∂−=

2

1

2 (2.73)

Bu ifadeler (2.56) denkleminde yerine konularak şu denklem elde edilir;

),()( 4

4

1

222

4

1

2

1

14

4

1

1 yxpyw

aB

yxw

aC

bC

xw

bB

=∂∂

+∂∂

∂++

∂∂ (2.74)

30

3 BÖLÜM 3

ANALİTİK ÇÖZÜMLER

Ortotropik plaklara ait analitik çözümler çok azdır. Bunların bir kısmı mesnetlerden

yüklenen plaklara ait çözümlerdir. Bu tip çözümler tersden gidilerek çökme

fonksiyonu için belirli çok terimli kabulü yapılarak bunlara karşı gelen yükler

bulunur. İkinci grup çözümler ise izotropik basit mesnetli dikdörtgen plaklarda

kullanılan Navier çözümünün basit mesnetli ortotropik plaklara uygulanmasıdır.

Üçüncü grup çözümler ise Navier çözümünde olduğu gibi izotropik plakalara

uygulanan Levy çözümünün ortotrpik plaklarada uygulanmasıdır.

3.1 BASİT ÇOK TERİMLİ ÇÖZÜMLER

0=ΔΔw homojen denkleminin çözümünün fiziksel anlamı, yalnız kenar

kuvvetlerinin etkisindeki bir plağın ),( yxwh sehimlerinin bulunmasıdır. Problemin

türüne göre yer değiştirme fonksiyonu seçilmelidir.

a) sabitw = ;

Cw = olsun

w=C

Şekil 3.1: Plak Ötelenmesi Hareketi

Bu çözümler plak ötelenmesi hareketidir. xCwx .= , yCwy .= dir. 0'' == yx ww

Herhangi bir elastik yüzey meydana gelmez.

31

b) xCw .=

xCw .= olsun

w=C

ϕX

Şekil 3.2: Eğik Ötelenme Hareketi

Cwx =' , 0' =yw

0'' =xxw , 0'' =yyw , 0'' =xyw (3.1)

Bütün momentler sıfırdır. Bu da plak ötelenmesi hareketidir.

c) 2.xCw =

Şekil 3.3: Dönme Hareketi

Cxwx 2' = , 0' =yw

Cwxx 2'' = , 0'' =yyw

0''' =xxxw , 0''' =yyyw

0'' =xyw , 0''' =xxyw (3.2)

Bu çözüm 0=x kenarında ankaster ve ax = ucunda üniform bir Mo momenti

etkisinde olan sonsuz uzun konsol bir plağı gösterir.

a

M 0

z

x

32

)( 2

2

2

2

ywD

xwDM xyxx ∂

∂+

∂∂

−=

CDM xx 2−=

0MM x =

xDM

C2

0−=

20

2x

DM

wx

−=

)( 2

2

2

2

xwD

ywDM xyyy ∂

∂+

∂∂

−=

CDM xyy 2−=

0===== xyyxyx MVVQQ (3.3)

d) ).( 22 yxCw +=

Plakın tüm kenarlarına üniform 0M momentinin uygulanması halidir. Üniform

eğilme denir. Elastik yüzey dönel bir paraboldür.

Şekil 3.4: Üniform Eğilme

)( 22 yxCw +=

Cxwx 2' = , Cywy 2' =

Cwxx 2'' = , Cwyy 2'' =

0''' =xxxw , 0''' =yyyw

0''' =xxyw , 0''' =yyxw

M0M0

M0

M0

y

x

33

)22( CDCDM xyxx +−=

)22( CDCDM xyyy +−=

0===== xyyxyx MVVQQ

)22( yx

x

DDM

C+

−=

)()22(

220 yxDD

Mw

yx

++

−= (3.4)

e) yxCw ..=

Basit burulma durumudur. Asal eğilme momentleri xyn MM ±= olur.

Dörtkenarından sabit xyM momentinin etkisinde bir dikdörtgen plak ele alınırsa;

Şekil 3.5: Basit Burulma Durumunda Plak

Cywx =' , Cxwy =

'

0'' =xxw , 0'' =yyw

0''' =xxxw , 0''' =yyyw

0''' =xxyw , 0''' =yyxw

0== yx MM

CGyx

wGMM xyxyyxxy 222

−=∂∂

∂−=−=

3

)1(122 Eh

MG

MC xy

xy

xy μ+−=−=

y z

x

2a

2b

Rx=-ay=b

R

x=ay=-b

x=-ay=-b

x=ay=b

R

R

34

xyEh

Mw xy

3

)1(12 μ+−=

xyMR 2= (3.5)

3.2 NAVİER ÇÖZÜMÜ

Basit mesnetli dikdörtgen plaklara uygulanan bu çözümde dış yük ve w çökme

fonksiyonu çift trigonometrik serilere açılır. w çökme fonksiyonu sınır şartlarını

önceden sağladığı için diferansiyel denklemi sağlayacak şekilde çift katlı Fourier

serisinin terimleri bulunur.

z

x

y

a

b

Şekil 3.6: Dört Kenarı Sabit Mesnetlenmiş Plak

Kenarları a , b olan ve bütün kenarların sabit olarak mesnetlenmiş bir dikdörtgen

plagı göz önüne alalım; şekil 2.15 Plak dört kenarındaki mesnetler sabit mesnet

olduğundan sınır şartları

0=x ve ax = da 02

2

=∂∂

xw

0=y ve ay = da 02

2

=∂∂

yw (3.6)

dır. Plağın ),( yxp dış yükünü

∑∑∞

=

∞

=

=1 1

sinsin),(m n

mn byn

axmpyxp ππ (3.7)

şeklinde çift katlı Fourier serisine açalım. Burada görülen mnp katsayıları

dxdybyn

axmyxp

abp

a b

mn ∫ ∫=0 0

sinsin),(4 ππ (3.8)

35

şeklinde bulunur. Plağın ),( yxw çökme fonksiyonu ise

∑∑∞

=

∞

=

=1 1

sinsin),(m n

mn byn

axmwyxw ππ (3.9)

şeklinde çift Fourier serisi ile ifade edilsin. w fonksiyonunun x ve y ’ ye göre ikinci

türevleri

∑∑−=byn

axm

amww mnxx

πππ sinsin)( 2''

∑∑−=byn

axm

bnww mnyy

πππ sinsin)( 2'' (3.10)

dir. w fonksiyonunun x ve y ’ ye göre ikinci türevleri de sınır şartların sağlar. w

fonksiyonunun problemin diferansiyel denklemi

),(2 4

4

22

4

4

4

yxpywD

yxwH

xwD yx =

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ (3.11)

sağlatılarak mnw katsayıları bulunacaktır. ),( yxw ve ),( yxp fonksiyonlarının çift

Fourier serisine açılmış hali (2.68) denkleminde yerine konulduğunda aşağıda verilen

sonuç elde edilir.

)2( 4

4

22

22

4

4

yx

mnmn

DbnH

banmD

ammn

pw

++= (3.12)

Dış yükün sabit olması halinde dış yük p ve çökme w ;

∑ ∑∞

=

∞

=

=....5,3,1 ...5,3,1

20 sinsin116

m no b

yna

xmmn

qq ππ

π

∑ ∑∞

=

∞

=

=....5,3,1 ...5,3,1

sinsinm n

mn byn

axmww ππ (3.13)

Şeklinde çift Fourier serisine açıldığında mnw katsayıları aşağıda verilen şekilde elde

edilirler.

)2(

116

4

4

22

22

4

46

yx

omn

DbnH

banmD

ammn

qw

++=

π (3.14)

36

3.3 LEVY YÖNTEMİ

Şekil 3.7’de gösterildiği gibi karşılıklı iki kenarı 0=x da ve ax = da sabit

mesnetlenmiş 2/by ∓= de diğer iki kenarı herhangi bir şekilde mesnetlenmiş olan

ortotropik dikdörtgen plak çözümünü Levy yöntemi ile yaparız.

a

b/2

b/2

x

y

Şekil 3.7: Karşılıklı İki Kenarı Sabit Mesnetlenmiş Ortotropik Dikdörtgen Plak

Bu plak x ’e bağlı üniform olmayan bir yük ile yüklenince daha önceki bölümlerde

gösterilen;

),(2 4

4

22

4

4

4

yxpywD

yxwH

xwD yx =

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ (3.15)

ifadesinin homojen hali;

02 4

4

22

4

4

4

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yw

Dyx

wH

xw

D hy

hhx (3.16)

halini alır. Bu denklemin genel çözümü şu şekilde seçilir;

⎩⎨⎧

= ∑∞

= )/cos()/sin(

)(1 axm

axmyfw

mmh π

π (3.17)

Buradaki )(yfm fonksiyonunun 2/by ±= deki sınır koşullarını da sağlaması

gerekir. Levy yönteminin tanımında olduğu gibi 0=x da ve ax = da sabit

mesnetlenmiş dikdörtgen plak ele alınırsa (3.17) denklemi;

)sin()(1 a

xmyfwm

mhπ∑

∞

=

= (3.18)

37

olarak elde edilir. Sonuçların aynı zamanda x eksenine paralel sınırları da sağlaması

gerekir. Sonuca ulaşmak için fonksiyonu 2/by ±= deki rastgele seçilmiş olan

mesnetlenme koşullarını da sağlaması gerekir. (3.18) denkleminden ;

0sin)()(21

42

22

4

4

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= ∑

∞

= axmf

am

dyfd

am

dyfd

wm

mmm

hπππ (3.19)

Bu ifade (3.15) ifadesine uygulanırsa;

0)(2)( 4

4

2

224 =+−

dyfd

Ddy

fda

mHfa

mD my

mmx

ππ (3.20)

olur. Karakteristik denklemin kökleri ise;

)(1 24,3,2,1 yx

y

DDHHDa

m−= ∓∓ πλ (3.21)

Böylece homojen denklem çözümü;

∑∞

=

+++=1

4321 sin)( 4321

m

yyyyh a

xmeCeCeCeCw πλλλλ (3.22)

Sinüs serisi şeklinde yüklenen bir ortotropik dikdörtgen plak denkleminde yükleme;

a

xmpxpm

mπsin)(

,..2,1∑∞

=

= (3.23)

şeklindedir. (3.15) ve (3.18) ifadelerinin açılımından;

mm

ym

mx pdy

kdD

dykd

amHk

amD =+− 4

4

2

224 )(2)( ππ (3.24)

olarak elde edilir. Burada 4)/)(/( πmaDpk xmm = tür. Böylece pw ;

a

xmma

DP

wm x

mp

ππ

sin)( 4

1∑∞

=

= (3.25)

Olur. hw ve pw ’ nin birleştirilmesi ile çözüm;

∑∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++=

1

44321 sin)(4321

m x

myyyy

axm

ma

Dp

eCeCeCeCw ππ

λλλλ (3.26)

olarak elde edilir. Burada 1C , 2C , 3C ve 4C sınır şartlarının özel çözümü ile elde

edilen integrasyon sabitleridir.

38

4 BÖLÜM 4

SAYISAL ÇÖZÜMLER

Plak denkleminin, çok az sayıda değişik yükler ve geometriler için analitik çözümü

bulunmaktadır. Bulunan analitik çözümlerin önemli bir kısmı seriler ile ifade

edilmektedir. Seriler ile ifade edilen çözümlerde, sayısal sonuçlara varmak bazı

hallerde zor ve/veya uzun olabilir. Bu nedenle birçok yük ve geometri için plak

problemin çözümünde sayısal çözüm yöntemlerine başvurulur.

Bu çalışmada dikdörtgen bölgelerde plak denkleminin çözümünde sayısal çözüm

yöntemlerinden, sonlu farklar yöntemi kullanılacaktır

4.1 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ

Sonlu farklar yöntemi, bir problemin analitik çözümünde güçlüklerle

karşılaşıldığında başvurulan sayısal bir yöntemdir. Sonlu fark yönteminde

bilinmeyen fonksiyonun türev değerleri sonlu farklar yardımı ile fonksiyon

değerlerine bağlanarak diferansiyel denklem, cebrik denkleme dönüşür. Elde edilen

cebrik denklem çözülerek bilinmeyen fonksiyonun değerleri belli noktalarda

bulunarak bilinmeyen fonksiyon tablo şeklinde elde edilir.

Bu çalışmada, plak diferansiyel denklemini sonlu farklar yardımı ile cebirsel

denkleme dönüştürülerek plağın çökme fonksiyonu belirli noktalarda bulunacak ve

tablo şeklinde bulunan bu fonksiyondan yine sonlu farklar yardımı ile belirli

noktalarda moment, kesme kuvvetleri ve diğer büyüklükler elde edilecektir.

Bir değişkenli fonksiyonlarda türevlerin fonksiyon değerlerine bağlanması: )(xfy =

eğrisini ve x ekseni üzerinde xΔ aralıklı 2−mx , 1−mx , mx , 1+mx , 2+mx noktaları ile bu

noktalardaki 2−my , 1−my , my , 1+my , 2+my fonksiyon değerlerini göz önüne alalım.

39

Δx Δx Δx Δx

y

m-2 m-1 m m+1 m+2

y

x

m-1 m m+1y y

Şekil 4.1: Tek Boyutta Sonlu Farklar

Şekil 4.1’ de verilen )(xfy = eğrisinin m noktasındaki teğetinin eğimini yani;

mdxdy )/( değeri sonlu farklar cinsinden

mm xy

dxdy )()(

ΔΔ

≅ (4.1)

şeklinde yazılabilir. mxy )/( ΔΔ değeri sıra ile ileri, geri ve ortalama sonlu farklar

cinsinden aşağıda verilen şekilde yazılabilir.

mmm

xy

xyy

)(1

ΔΔ

=Δ−+ m

mm

xy

xyy

)(1

ΔΔ

=Δ− − m

mm

xy

xyy

)(2

11

ΔΔ

=Δ− −+ (4.2)

Yukarıda ortalama farklara ait formüllerden ikinci, üçüncü ve dördüncü türevler

aşağıdaki verilen şekilde elde edilirler.

mmm xy

xdxdy

dxd

dxyd )()()( 2

2

ΔΔ

ΔΔ

≅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ΔΔ

−ΔΔ

Δ=

ΔΔ

ΔΔ

−+ 11 )()(1)( mmm xy

xy

xxy

x

21111

2

2 2)(1)(

xyyy

xyy

xyy

xxy mmmmmmm

m Δ−−

=Δ−

−Δ−

Δ=

ΔΔ −+−+

40

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ+−

−Δ

+−Δ

=ΔΔ

ΔΔ −−++

221

212

2

2 222

1)(x

yyyx

yyyxx

yx

mmmmmmm

32112

3

3

222

)(x

yyyyxy mmmm

m Δ−+−

=ΔΔ −−++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

+ΔΔ

−ΔΔ

Δ=

ΔΔ

ΔΔ

−+ 12

2

2

2

12

2

22

2

2

2

)()(2)(1)( mmmm xy

xy

xy

xxy

xy

42112

4

4 464)(

xyyyyy

xy mmmmm

m Δ+−+−

=ΔΔ −−++ (4.3)

İki değişkenli fonksiyonlarda türevlerin fonksiyon değerlerine bağlanması: İki

değişkenli fonksiyonlarda kısmi türevler alınırken, değişkenlerden biri değişirken

diğer değişken sabit kabul edileceğinden, tek bir değişkene göre türevler için elde

edilen bağıntılar kısmi türevler için de geçerlidir

Δx

y

x

m-2 m-1 m m+1 m+2Δx

Δy

Δy

0

Δx Δx

0

Δy

Δy

Δy

Δy

n-2

n-1

n

n+1

n+2

x

y

Şekil 4.2: Plaklarda Sonlu Farklar Ağı

),( yxww = şeklinde iki değişkenli fonksiyonu göz önüne alalım. Fonksiyonun

değişim bölgesini şekil 4.2’ de görüldüğü gibi, bir ağ biçiminde xΔ ve yΔ

genişliğinde dilimlere ayıralım. Ağın ),( nm ile tanımlanan noktasındaki w

fonksiyonun ikinci, üçüncü ve dördüncü türev bağıntıları daha önce tek değişkenli

fonksiyonlar için elde edilen ikinci, üçüncü ve dördüncü türev bağıntılarından

yararlanarak

2,1,,1

,2

2

)(2

)(x

wwwxw nmnmnm

nm Δ

+−≅

∂∂ −+

41

21,,1,

,2

2

)(2

)(y

wwwyw nmnmnm

nm Δ

+−≅

∂∂ −+

3,2,1,1,2

,3

3

)(222

)(x

wwwwxw nmnmnmnm

nm Δ

−+−≅

∂∂ −−++

32,1,1,2,

,3

3

)(222

)(y

wwwwyw nmnmnmnm

nm Δ

−+−≅

∂∂ −−++

4,2,1,,1,2

4

4

)(464

)(x

wwwwwxw nmnmnmnmnm

m Δ

+−+−≅

∂∂ ++−−

42,1,,1,2,

4

4

)(464

)(y

wwwwwyw nmnmnmnmnm

m Δ

+−+−≅

∂∂ ++−− (4.4)

şeklinde bulunur. Karışık türev ifadelerinin bulunuşu ise aşağıda verilmiştir.

Ortalama fark bağıntısına göre;

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−∂∂

Δ=

∂∂

∂∂

=∂∂

∂−+ 1,1,,,

2

)()(2

1)()( nmnmnmnm xw

xw

yxw

yw

xyw

yx

wwwwxy

w nmnmnmnmnm ΔΔ

+−−=

∂∂∂ −−−++−++

4)( 1,11,11,11,1

,

2

(4.5)

İleriye doğru fark bağıntısına göre;

yx

wwwwxy

w nmnmnmnmnm ΔΔ

+−−=

∂∂∂ ++++ ,,11,1,1

,

2

)( (4.6)

Geriye doğru fark bağıntısına göre;

yxwwww

xyw nmnmnmnm

nm ΔΔ

+−−=

∂∂∂ −−−− 1,11,,1,

,

2

)( (4.7)

Üçüncü mertebeden karışık türevler ise;

21,1,11,11,1,11,1

,2

3

))((222

)(yx

wwwwwwyxw nmnmnmnmnmnm

nm ΔΔ

−+−+−=

∂∂∂ −−−+−−++++

21,11,1,11,11,1,1

,2

3

))((222

)(xy

wwwwwwxyw nmnmnmnmnmnm

nm ΔΔ

−+−+−=

∂∂∂ −−−−++−+++ (4.8)

42

Dördüncü mertebeden karışık türevler ise;

+ΔΔ

−+−−−=

∂∂∂ −++−+++

22,1,,11,11,1,1

,22

4

)()(2422

)(yx

wwwwwwyxw nmnmnmnmnmnm

nm

221,11,1,1

)()(2

yxwww nmnmnm

ΔΔ

+−+ −−−−+ (4.9)

Yukarıda verilen türevlerde fonksiyon değerlerinin katsayılarını hatırlamak ve bazı

uygulamalara yardımcı olması için Şekil 4.3’te verilen şablonlar kullanılır.

Şablonlarda tek dereceli türevlerde (birinci ve üçüncü türevler) ilgili eksenin yönü

önemli olduğundan, eksenin yönü şekilde gösterilmiştir. Eksen yönü olarak şekilde

gösterilen yönün tersi alındığında, değiştirilen eksen doğrultusundaki katsayıların

simetriğini almak gerekir. Buna ait örnek şekilde yxw ∂∂∂ /2 ve 33 / xw ∂∂ türevinde

gösterilmiştir.

43

Şekil 4.3: Türev Fonksiyonları Katsayılar Şablonu

4.2 ORTOTROPİK DİKDÖRTGEN PLAK PROBLEMİNİN SONLU FARKLAR İLE FORMÜLE EDİLMESİ

Ortotropik plak diferansiyel denklemi (2.57) eşitliği aşağıda tekrar yazılmıştır.

),(2 4

4

22

4

4

4

yxpywD

yxwH

xwD yx =

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ (4.10)

44

Bu ifade de bulunan türev değerleri yerine w fonksiyonun değerleri (4.4) ve (4.9)

ifadelerini kullanarak yazıldığında

+Δ

+−+− ++−−4

,2,1,,1,2

)(464

xwwwww

D nmnmnmnmnmx

+ΔΔ

+++−+ −−++

))(()(24

2 221,,1,11,,

yxwwwww

H nmnmnmnmnm

+ΔΔ

++++ −−−++−++

))((2 22

1,11,11,11,1

yxwwww

H nmnmnmnm

nmnmnmnmnmnm

y py

wwwwwD ,4

2,1,,1,2,

)(464

=Δ

+−+−+ ++−−

),(, mmnm yxpp = (4.11)

elde edilir. İfadeler nmw , ’ e göre düzenlenip ve α=ΔΔ yx / ile gösterilir ise

ortotropik dikdörtgen plaklar için, plak denkleminin sonlu farklarla ifadesi aşağıda

verilen şekildedir.

+Δ

−Δ

−Δ

−−−44

,144

,144

,2

)(4

)(4

)( ααα yw

Hy

wD

yw

D nmnmx

nmx

+Δ

−Δ

−Δ

+Δ

+Δ

+ ++24

,144

,14

,24

,44

,

)(4

)(4

)(6

)(8

)(6

αααα yw

Hy

wD

yw

Dyw

Hyw

D nmnmx

nmy

nmnmx

−Δ

−Δ

−Δ

−Δ

+Δ

+ −++++41,

241,

41,

42,

44,2

)(4

)(4

)(4

)()( yw

Dy

wH

yw

Dy

wD

yw

D nmy

nmnmy

nmy

nmx αα

+Δ

+Δ

+Δ

+Δ

+Δ

− +−−+++−−24

1,124

1,124

1,142,

241,

)(2

)(2

)(2

)()(4

αααα yw

Hy

wH

yw

Hy

wD

yw

H nmnmnmnmy

nm

nmnm p

yw

H ,241,1

)(2 =

Δ+ −−

α (4.12)

Bu ifadeleri nmw , parantezine alarak aşağıda gösterildiği gibi daha düzenli bir şekile

getirebiliriz.

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ −− 2444,144,2 )(

4)(4

)( ααα yH

yD

wyD

w xnm

xnm

45

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+Δ

+Δ

+ + 2444,142444, )(4

)(4

)(6

)(8

)(6

αααα yH

yD

wyD

yH

yD

w xnm

yxnm

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+ +++ 2441,42,44,2 )(4

)(4

)()( αα yH

yD

wy

Dw

yD

w ynm

ynm

xnm

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ

−++−− 241,142,2441, )(

2)()(

4)(

4αα y

Hwy

Dw

yH

yD

w nmy

nmy

nm

nmnmnmnm py

Hwy

Hwy

Hw ,241,1241,1241,1 )(2

)(2

)(2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ −−+−−+ ααα

(4.13)

nmw , katsayılarını kolaylık olması açısından farklı ifadelerle gösterebiliriz.

JyDx =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ 44)( α

Ty

Hy

Dx =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ−

2444 )(4

)(4

αα

SyD

yH

yD yx =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+Δ

+Δ 42444 )(

6)(

8)(

6αα

Zy

Dy =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ 4)(

Vy

HyDy =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ

−244 )(

4)(

4α

Ay

H=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ 24)(

2α

(4.14)

Bu katsayılar ile oluşturulan denklem aşağıdaki hali alır.

++++++++ −++++−− VwVwZwJwTwSwTwJw nmnmnmnmnmnmnmnm 1,,1,,2,,,2,1,,1,2

nmnmnmnmnmnm pAwAwAwAwZw ,1,,11,,11,,11,,12,, =+++++ −−+−−+++− (4.15)

Bu katsayılara göre ortotropik plaklar için sonlu farklar ağı aşağıda gösterilmiştir.

46

Y

X0

merkez noktası

Δx=α(Δy)

m,n=pΔx

Δy

Z

A V

J T S T J

Z

A

AA V

Şekil 4.4: Ortotrop Plaklar İçin Sonlu Farklar Katsayılar Şeması

Ortotropik plakların iç kuvvetlerinin, sonlu farklar ile w çökme fonksiyon

değerlerine bağlı olarak ifade edilişi aşağıda verilmiştir.

Moment İfadeleri:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+−−= −+−+

21,,1,

12,1,,1

)(2

)(2

)(y

Dx

DM nmnmnmnmnmnmxmnx

ωωωωωω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+−−= −+−+

2,1,,1

121,,1,

)(2

)(2

)(x

Dy

DM nmnmnmnmnmnmymny

ωωωωωω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

−−+= −++−−−++

))((42)( 1,11,11,11,1

yxDM nmnmnmnm

xymnxy

ωωωω (4.26)

47

λ=Δ=Δ yx olduğu durumlarda;

[ ] [ ]1,,1,21

,1,,12 22)( −+−+ +−−+−−= nmnmnmnmnmnmx

mnxDD

M ωωωλ

ωωωλ

[ ] [ ]nmnmnmnmnmnmy

mnyDD

M ,1,,121

1,,1,2 22)( −+−+ +−−+−−= ωωωλ

ωωωλ

[ ]1,11,11,11,122)( −++−−−++ −−+= nmnmnmnm

xymnxy

DM ωωωω

λ (4.17)

xQ ve yQ İfadeleri:

xy

wHxwD

ywH

xwDQ xx

xx ∂∂

∂−

∂∂

−=∂∂

+∂∂

∂∂

−= 2

3

3

3

2

2

2

2

)(

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−+−−= −−++

3,2,1,1,2

)(222

xwwww

DQ nmnmnmnmxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

−+−+−− −−−+−−++++

21,1,11,11,1,11,1

))((222

yxwwwwww

H nmnmnmnmnmnm (4.18)

λ=Δ=Δ yx olduğu durumlarda;

[ ]−−+−−= −−++ nmnmnmnmx

x wwwwD

Q ,2,1,1,23 222λ

[ ]1,1,11,11,1,11,13 222 −−−+−−++++ −+−+−− nmnmnmnmnmnm wwwwwwHλ

(4.19)

Aynı işlemler yQ içinde yapılırsa;

yxwH

ywD

xwH

ywDQ yy

yy ∂∂

∂−

∂∂

−=∂∂

+∂∂

∂∂

−= 2

3

3

3

2

2

2

2

)(

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−+−−= −−++

32,1,1,2.

)(222

ywwww

DQ nmnmnmnmyy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

−+−+−− −−−−++−+++

21,11,1,11,11,1,1

))((222

xywwwwww

H nmnmnmnmnmnm (4.20)

λ=Δ=Δ yx olduğu durumlarda;

[ ]−−+−−= −−++ 2,1,1,2.3 222 nmnmnmnm

yy wwww

DQ

λ

48

[ ]1,11,1,11,11,1,13 222 −−−−++−+++ −+−+−− nmnmnmnmnmnm wwwwwwHλ

(4.21)

xV ve yV ifadeleri;

2

3

2

3

3

3

2)(yxwD

xywH

xwD

yM

QV xyxxy

xx ∂∂∂

−∂∂

∂+

∂∂

−=∂

∂−=

2

3

13

3

2

3

2

3

13

3

)4(2)2(yxwDD

xwD

xywD

xywDD

xwD xyxxyxyx ∂∂

∂+−

∂∂

−=∂∂

∂−

∂∂∂

+−∂∂

−=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−+−−= −−++

3,2,1,1,2

)(222

xwwww

DV nmnmnmnmxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

−+−+−+− −−−+−−++++

21,1,11,11,1,11,1

1 ))((222

)4(yx

wwwwwwDD nmnmnmnmnmnm

xy (4.22)

λ=Δ=Δ yx olduğu durumlarda;

[ ]−−+−−= −−++ nmnmnmnmx

x wwwwD

V ,2,1,1,23 222λ

[ ]1,1,11,11,1,11,131 22

2)4(

−−−+−−++++ −+−+−+

− nmnmnmnmnmnmxy wwwwww

DDλ

(4.23)

Aynı işlemler yV içinde yapılırsa;

yxwD

yxwH

ywD

xM

QV xyyxy

yy ∂∂∂

−∂∂

∂+

∂∂

−=∂

∂−= 2

3

2

3

3

3

2)(

yxwDD

ywD

yxwD

yxwDD

ywD xyyxyxyy ∂∂

∂+−

∂∂

−=∂∂

∂−

∂∂∂

+−∂∂

−= 2

3

13

3

2

3

2

3

13

3

)4(2)2(

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−+−−= −−++

32,1,1,2,

)(222

ywwww

DV nmnmnmnmyy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

−+−+−+− −−−−++−+++

)()(222

)4( 21,11,1,11,11,1,1

1 yxwwwwww

DD nmnmnmnmnmnmxy (4.24)

49

λ=Δ=Δ yx olduğu durumlarda;

[ ]−−+−−= −−++ 2,1,1,2,3 222 nmnmnmnmy

yy wwwwD

DV

λ

[ ]1,11,1,11,11,1,131 22

2)4(

−−−−++−+++ −+−+−+

− nmnmnmnmnmnmxy wwwwww

DDλ

(4.25)

4.3 SINIR ŞARTLARI VE DENKLEM SAYISI

Bu bölümde, ortotropik plaklar için sınır şartları sonlu farklar cinsinden ifade

edilecektir.

a)Ankastre Mesnet: Ankastre mesnet için daha önce verilen (2.38) ifadesi sonlu

farklar cinsinden;

00=

=xw nmnm

nmnm

x

wwxww

xw

,1,1,1,1

0

02 −+

−+

=

=→=Δ

−=

∂∂ (4.26)

olur. (2.39) ile verilen ifade ise ortotropik plaklar için;

022

=∂∂

∂=

yxwDM xyxy

0))((4

2)( 1,11,11,11,1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

−−+= −++−−−++

yxwwww

DM nmnmnmnmxymnxy

0))((2

)( 1,11,11,11,1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

−−+= −++−−−++

yxwwww

DM nmnmnmnmxymnxy (4.27)

b)Sabit Mesnet: Sabit mesnet için verilen (2.40) ifadeleri ortotropik plaklar için;

00=

=xw

02

)(2

)( 21,,1,

12,1,,1 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+−−= −+−+

ywww

Dx

wwwDM nmnmnmnmnmnm

xmnx (4.28)

olur. (2.41) ifadeleri ise;

00=

=xw , 0

)(2

)( 2,1,,1

,2

2

=Δ

+−=

∂∂ −+

xwww

xw nmnmnm

nm nmnm ww ,1,1 −+ −= (4.29)

olur.

50

c) Serbest Kenar: Serbest kenar için verilen (2.46) ifadeleri ortotropik plaklar için;

0==axxM , 0=

=axxV

0)(

2)(

2)( 2

1,,1,12

,1,,1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+−−= −+−+

ywww

Dx

wwwDM nmnmnmnmnmnm

xmnx

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−+−−= −−++

3,2,1,1,2

)(222

)(x

wwwwDV nmnmnmnm

xmnx

0))((2

22)4( 2

1,1,11,11,1,11,11 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

−+−+−+− −−−+−−++++

yxwwwwww

DD nmnmnmnmnmnmxy

(4.30)

xM ifadeleri kullanılarak;

)

)(2

)(2

(

))(

())(

(

21

2

2,1,1

21,1,

1

,

yD

xD

xww

Dy

wwD

wx

nmnmx

nmnm

nm

Δ+

Δ

Δ

++

Δ

+

=

−+−+

olur. xV kullanılarak;

)))((

)4()(

(

)))((2

2)(4(

))(2

2(

21

3

21,11,11,1,11,1

1

3,2,1,2

,1

yxDD

xD

yxwwwww

DD

xwww

D

wxyx

nmnmnmnmnmxy

nmnmnmx

nm

ΔΔ

+−

Δ−

ΔΔ

−−+−++

+Δ

−−

=

−−+−−++++

−++

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+−+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

−+−+−+

=

−++

−−−+−−++++

−

3

3,1,1,2

21,1,11,11,1,11,1

1

,2

)(2

)(222

))((222

)4(

xD

xwww

D

yxwwwwww

DD

wx

nmnmnmx

nmnmnmnmnmnmxy

nm

(4.32)

olarak elde edilir.

51

Boşta kenarın y doğrultusunda olması durumunda yM ifadeleri kullanılarak;

))(

2)(

2(

))(

())(

(

21

2

21,1,

2,1,1

1

,

xD

yD

yww

Dx

wwD

wy

nmnmy

nmnm

nm

Δ+

Δ

Δ

++

Δ

+

=

−+−+

olur. yV kullanılarak;

)))((

)4()(

(

)))((2

2)(4(

))(2

2(

21

3

21,11,11,11,1,1

1

32,1,2,

1,

xyDD

yD

xywwwww

DD

ywww

D

wxyy

nmnmnmnmnmxy

nmnmnmy

nm

ΔΔ

+−

Δ

−ΔΔ

−−+−++

+Δ

−−

=

−−−++−+++

−++

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

+−+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

−+−+−+

=

−++

−−−−++−+++

−

3

31,1,2,

21,11,1,11,11,1,1

1

2,

)(2

)(222

))((222

)4(

yD

ywww

D

xywwwwww

DD

wy

nmnmnmy

nmnmnmnmnmnmxy

nm

(4.34)

Sonlu Fark Denklemlerinin Uygulanışı ve Denklem Sayısı: Üzerinde ),( yxp

yayılı yükü olan ve kenarlarından rastgele mesnetlenmiş bir ortotropik dikdörtgen

plak x ekseni yönünde m sayıda, y ekseni yönünde n sayıda eşit parçalara

bölününce x ekseni yönünde mesnetler dahil )1( +m sayıda, y ekseni yönünde

mesnetler dahil )1( +n sayıda düğüm noktası (yer değiştirme) oluşturulmuş olur.

Toplamda )1)(1( ++ nm adet düğüm noktası oluşur.

Plağın kenarlarındaki yer değiştirmeler bilindiğinden x ekseni yönünde bilinmeyen

yer değiştirme sayısı )1()21( −=−+ mm adet, y ekseni yönünde bilinmeyen yer

değiştirme sayısı )1()21( −=−+ nn adet olur. Toplamda bilinmeyen yer değiştirme

sayısı )1)(1( −− nm adet olur.

52

p0

p1

p2

x Şekil 4.5: Fiktif Yerdeğiştirmeler için Sonlu Farklar Ağının Plaklarda Uygulanması

Yer değiştirmeler plak dışında, sınır koşullarına bağlı kalarak fiktif olarak

genişletilir. Bu yerdeğiştirmeler sınırda verilen türev bağıntılarının ayrıklaştırılması

ile bulunur. Plakta ankastre mesnet halinde yerdeğiştirme ve birinci türev olarak

verilen eğim sıfırdır. Buna bağlı olarak fiktif yerdeğiştirmeler için birinci türev

bağıntısı ayrıklaştırılarak kullanılır. Örneğin şekil 4.5’ da verilen 0p noktasında

birinci türev merkezi farklar kullanılarak ayrıklaştırıldığında;

x

pupupxu

Δ−

=∂∂

2)()()( 21

0 → )(2)()( 021 pxuxpupu∂∂

Δ+= (4.35)

bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı ile plak dışındaki fiktif yerdeğiştirme değeri plak

üzerindeki iç nokta değerine bağlanmıştır. Şayet sınırdaki türev değeri ankastre

mesnette olduğu gibi, sıfır ise )()( 21 pupu = olarak bulunur.

Sabit mesnette olduğu gibi sınırda ikinci türev verildiğinde ikinci türevin merkezi

farklar kullanılarak ayrıklaştırılması ile;

2201

02

2

)()()(2)(

)(x

pupupup

xu

Δ+−

=∂∂

)()()()(2)( 02

22

201 pxuxpupupu

∂∂

Δ+−= (4.36)

bağıntısı elde edilir. Şayet sınırdaki ikinci türev ve fonksiyonun kendi değeri, sabit

mesnette olduğu gibi, sıfır ise )()( 21 pupu −= olarak bulunur.

53

Serbest kenarlarda olduğu gibi sınırlarda sadece yer değiştirmenin türevleri verilir ise

sınır noktalarındaki yer değiştirme değerleri de bilinmeyendir. Bu durumda merkez

nokta sınır noktalar üzerine uygulanarak ek denklemler elde edilir. Bu denklemlerde

verilen fonksiyon türevlerinin ayrıklaştırılması ile bulunur.

Sonuçta plak dışında oluşan fiktif yerdeğiştirmeler sabit mesnetler için plak

üzerindeki yer değiştirmelerin ters işaretlisi, ankastre mesnetler için aynı işaretlisidir.

Şekil 4.2’ de verilen sonlu farklar ağı şeması, plak üzerindeki yerdeğiştirmelerden

herhangi biri merkez alınarak yerleştirilip, ağ katsayıları ile bu katsayılara karşı gelen

yerdeğiştirmelerin çarpılması ile sonlu farklar denklemleri oluşturulmaya başlar. Plak

üzerinde mesnet noktaları hariç diğer tüm noktalarda bu işlemler yapılarak bütün

denklemler oluşturulmuş olur. Bu denklemler daha önce belirtildiği gibi

)1)(1( −− nm adettir. Bu denklemlerin çözülmesi ile yerdeğiştirmeler bulunmuş olur.

Plak kenarlarından birinin boşta kenar olması halinde, sonlu farklar ağı merkezi bu

kenar boyunca da yerleştirilerek bir sıra denklem takımı daha elde edilir. Bu takdirde

boşta kenar x ekseni yönünde tek mesnette olursa )1)(( −nm sayıda, iki mesnette

olursa )1)(1( −+ nm sayıda denklem oluşur. Boşta kenar y ekseni yönünde tek

mesnette olursa ))(1( nm − sayıda, iki mesnette olursa )1)(1( +− nm sayıda denklem

oluşur.

Bu çalışmada ortotropik dikdörtgen plak x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünerek

sonuca gidilmiştir. Tablo 4.1’ de bir ortotropik dikdörtgen plağın 10 eşit parçaya

ayrılması halinde oluşan yerdeğiştirmeler gösterilmiştir.

54

Tablo 4.1 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş plakta yer değiştirmeler.

Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf WfWf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf

Wf Wf W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 Wf WfWf Wf W12 W13 W14 W15 W16 W17 W18 W19 W20 W21 W22 Wf WfWf Wf W23 W24 W25 W26 W27 W28 W29 W30 W31 W32 W33 Wf WfWf Wf W34 W35 W36 W37 W38 W39 W40 W41 W42 W43 W44 Wf WfWf Wf W45 W46 W47 W48 W49 W50 W51 W52 W53 W54 W55 Wf WfWf Wf W56 W57 W58 W59 W60 W61 W62 W63 W64 W65 W66 Wf WfWf Wf W67 W68 W69 W70 W71 W72 W73 W74 W75 W76 W77 Wf WfWf Wf W78 W79 W80 W81 W82 W83 W84 W85 W86 W87 W88 Wf WfWf Wf W89 W90 W91 W92 W93 W94 W95 W96 W97 W98 W99 Wf WfWf Wf W100 W101 W102 W103 W104 W105 W106 W107 W108 W109 W110 Wf WfWf Wf W111 W112 W113 W114 W115 W116 W117 W118 W119 W120 W121 Wf Wf

Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf WfWf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf

Tablo 4.1’ e göre plakta 10=m ve 10=n olduğundan dolayı 121 adet yer

değiştirme ve 121 adet denklem oluşur.

Plak dışında kalan noktalarda oluşan fiktif yer değiştirmelerden ilki mesnetlenme

koşulundan elde edilen denklemler ile bulunur.

Tablo 4.1 ile verilen durumda, dörtkenarı sabit olarak mesnetlenmiş ise ortotropik

plak için indisler ile beraber tekrar düzenlenirse Tablo 4.2 elde edilir.

Tablo 4.2 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı sabit mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler.

0 Wf19 Wf20 Wf21 Wf22 Wf23 Wf24 Wf25 Wf26 Wf27 00 -W1 -W2 -W3 -W4 -W5 -W6 -W7 -W8 -W9 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Wf1 -W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 0 -W9 Wf10Wf2 -W10 0 W10 W11 W12 W13 W14 W15 W16 W17 W18 0 -W18 Wf11Wf3 -W19 0 W19 W20 W21 W22 W23 W24 W25 W26 W27 0 -W27 Wf12Wf4 -W28 0 W28 W29 W30 W31 W32 W33 W34 W35 W36 0 -W36 Wf13Wf5 -W37 0 W37 W38 W39 W40 W41 W42 W43 W44 W45 0 -W45 Wf14Wf6 -W46 0 W46 W47 W48 W49 W50 W51 W52 W53 W54 0 -W54 Wf15Wf7 -W55 0 W55 W56 W57 W58 W59 W60 W61 W62 W63 0 -W63 Wf16Wf8 -W64 0 W64 W65 W66 W67 W68 W69 W70 W71 W72 0 -W72 Wf17Wf9 -W73 0 W73 W74 W75 W76 W77 W78 W79 W80 W81 0 -W81 Wf18

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 -W73 -W74 -W75 -W76 -W77 -W78 -W79 -W80 -W81 00 Wf28 Wf29 Wf30 Wf31 Wf32 Wf33 Wf34 Wf35 Wf36 0

Tablo 4.2 den de görüleceği üzere 10=m ve 10=n olduğundan dolayı

81)1)(1( =−− nm adet yer değiştirme ve dolayısı ile 81 adet denklem oluşur.

Plak dışında kalan noktalarda oluşan fiktif yer değiştirmelerden ilki sabit

mesnetlenme koşulundan dolayı mesnete eşit uzaklıkta ve plak üzerinde bulunan

noktanın yer değiştirmesinin ters işaretlisi olur. İkinci fiktif yer değiştirme ise sonlu

55

farklar şablonunun merkezinin mesnet üzerine getirilmesi ile elde edilen denklemden

elde edilir.

Mesnetlenme ve yüklemelerdeki simetri özellikleri kullanılırsa 817391 wwww === ,

807482 wwww === ….. şeklinde olacağından indisleri yeniden düzenlenerek Tablo

4.2 den Tablo 4.3 elde edilir. Hesaplarda simetri özelliği kullanılmamıştır.

Tablo 4.3 Sabit yayılı yükle yüklenmiş x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı sabit olarak mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler.

0 Wf6 Wf7 Wf8 Wf9 Wf10 Wf9 Wf8 Wf7 Wf6 00 -W1 -W2 -W3 -W4 -W5 -W4 -W3 -W2 -W1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Wf1 -W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0 -W1 Wf1Wf2 -W6 0 W6 W7 W8 W9 W10 W9 W8 W7 W6 0 -W6 Wf2Wf3 -W11 0 W11 W12 W13 W14 W15 W14 W13 W12 W11 0 -W11 Wf3Wf4 -W16 0 W16 W17 W18 W19 W20 W19 W18 W17 W16 0 -W16 Wf4Wf5 -W21 0 W21 W22 W23 W24 W25 W24 W23 W22 W21 0 -W21 Wf5Wf4 -W16 0 W16 W17 W18 W19 W20 W19 W18 W17 W16 0 -W16 Wf4Wf3 -W11 0 W11 W12 W13 W14 W15 W14 W13 W12 W11 0 -W11 Wf3Wf2 -W6 0 W6 W7 W8 W9 W10 W9 W8 W7 W6 0 -W6 Wf2Wf1 -W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0 -W1 Wf1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 -W1 -W2 -W3 -W4 -W5 -W4 -W3 -W2 -W1 00 Wf6 Wf7 Wf8 Wf9 Wf10 Wf9 Wf8 Wf7 Wf6 0

Tablo 4.1 ile verilen durumda, dörtkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş ise ortotrop

plak için indisler ile beraber tekrar düzenlenirse Tablo 4.4 elde edilir.

Tablo 4.4 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler.

0 Wf19 Wf20 Wf21 Wf22 Wf23 Wf24 Wf25 Wf26 Wf27 00 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Wf1 W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 0 W9 Wf10Wf2 W10 0 W10 W11 W12 W13 W14 W15 W16 W17 W18 0 W18 Wf11Wf3 W19 0 W19 W20 W21 W22 W23 W24 W25 W26 W27 0 W27 Wf12Wf4 W28 0 W28 W29 W30 W31 W32 W33 W34 W35 W36 0 W36 Wf13Wf5 W37 0 W37 W38 W39 W40 W41 W42 W43 W44 W45 0 W45 Wf14Wf6 W46 0 W46 W47 W48 W49 W50 W51 W52 W53 W54 0 W54 Wf15Wf7 W55 0 W55 W56 W57 W58 W59 W60 W61 W62 W63 0 W63 Wf16Wf8 W64 0 W64 W65 W66 W67 W68 W69 W70 W71 W72 0 W72 Wf17Wf9 W73 0 W73 W74 W75 W76 W77 W78 W79 W80 W81 0 W81 Wf18

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 W73 W74 W75 W76 W77 W78 W79 W80 W81 00 Wf28 Wf29 Wf30 Wf31 Wf32 Wf33 Wf34 Wf35 Wf36 0

Tablo 4.4 den de görüleceği üzere sabit mesnetlenmede olduğu gibi 81 adet denklem

oluşur.

56

Plak dışında kalan noktalarda oluşan fiktif yer değiştirmelerden ilki ankastre

mesnetlenme koşulundan dolayı mesnete eşit uzaklıkta ve plak üzerinde bulunan

noktanın yer değiştirmesine eşit olur. İkinci fiktif yer değiştirme ise sabit

mesnetlenme koşulunda olduğu gibi sonlu farklar şablonunun merkezinin mesnet

üzerine getirilmesi ile elde edilen denklemden elde edilir.

Mesnetlenme ve yüklemelerdeki simetri özellikleri sabit olarak mesnetlenmiş olan

plaklarda olduğu gibi kullanılırsa Tablo 4.4 den Tablo 4.5 elde edilir.

Tablo 4.5 Sabit yayılı yükle yüklenmiş x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler.

0 Wf6 Wf7 Wf8 Wf9 Wf10 Wf9 Wf8 Wf7 Wf6 00 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Wf1 W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0 W1 Wf1Wf2 W6 0 W6 W7 W8 W9 W10 W9 W8 W7 W6 0 W6 Wf2Wf3 W11 0 W11 W12 W13 W14 W15 W14 W13 W12 W11 0 W11 Wf3Wf4 W16 0 W16 W17 W18 W19 W20 W19 W18 W17 W16 0 W16 Wf4Wf5 W21 0 W21 W22 W23 W24 W25 W24 W23 W22 W21 0 W21 Wf5Wf4 W16 0 W16 W17 W18 W19 W20 W19 W18 W17 W16 0 W16 Wf4Wf3 W11 0 W11 W12 W13 W14 W15 W14 W13 W12 W11 0 W11 Wf3Wf2 W6 0 W6 W7 W8 W9 W10 W9 W8 W7 W6 0 W6 Wf2Wf1 W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0 W1 Wf1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 00 Wf6 Wf7 Wf8 Wf9 Wf10 Wf9 Wf8 Wf7 Wf6 0

Tablo 4.1 ile verilen durumda, üçkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş bir kenarı ise

boşta olan ortotropik plak için indisler ile beraber tekrar düzenlenirse Tablo 4.6 elde

edilir.

Tablo 4.6 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş üçkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş bir kenarı boşta olan ortotropik plakta yer değiştirmeler.

0 Wf19 Wf20 Wf21 Wf22 Wf23 Wf24 Wf25 Wf26 Wf27 00 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Wf1 W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 0 W9 Wf10Wf2 W10 0 W10 W11 W12 W13 W14 W15 W16 W17 W18 0 W18 Wf11Wf3 W19 0 W19 W20 W21 W22 W23 W24 W25 W26 W27 0 W27 Wf12Wf4 W28 0 W28 W29 W30 W31 W32 W33 W34 W35 W36 0 W36 Wf13Wf5 W37 0 W37 W38 W39 W40 W41 W42 W43 W44 W45 0 W45 Wf14Wf6 W46 0 W46 W47 W48 W49 W50 W51 W52 W53 W54 0 W54 Wf15Wf7 W55 0 W55 W56 W57 W58 W59 W60 W61 W62 W63 0 W63 Wf16Wf8 W64 0 W64 W65 W66 W67 W68 W69 W70 W71 W72 0 W72 Wf17Wf9 W73 0 W73 W74 W75 W76 W77 W78 W79 W80 W81 0 W81 Wf18

0 0 0 W82 W83 W84 W85 W86 W87 W88 W89 W90 0 0 00 Wf28 Wf29 Wf30 Wf31 Wf32 Wf33 Wf34 Wf35 Wf36 00 Wf37 Wf38 Wf39 Wf40 Wf41 Wf42 Wf43 Wf44 Wf45 0

57

Tablo 4.6 dan da görüleceği üzere 10=m ve 10=n olmasına rağmen bir kenarın

boşta kenar olmasından dolayı 90))(1( =− nm adet yer değiştirme ve dolayısı ile 90

adet denklem oluşur.

Plak dışında kalan noktalarda oluşan fiktif yer değiştirmeler ise ankastre olarak

mesnetlenen kenarlarda ankastre mesnetlenme koşullarındaki gibi elde edilir. Boşta

kenardan sonra oluşan fiktif yer değiştirme ise boşta kenar koşullarından elde edilen

denklemlerden elde edilir.

Mesnetlenme ve yüklemelerdeki simetri özellikleri kullanılırsa Tablo 4.6 dan Tablo

4.7 elde edilir.

Tablo 4.7 Sabit yayılı yükle yüklenmiş x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş üçkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş bir kenarı boşta olan ortotropik plakta yer

değiştirmeler. 0 Wf10 Wf11 Wf12 Wf13 Wf14 Wf13 Wf12 Wf11 Wf10 00 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Wf1 W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0 W1 Wf1Wf2 W6 0 W6 W7 W8 W9 W10 W9 W8 W7 W6 0 W6 Wf2Wf3 W11 0 W11 W12 W13 W14 W15 W14 W13 W12 W11 0 W11 Wf3Wf4 W16 0 W16 W17 W18 W19 W20 W19 W18 W17 W16 0 W16 Wf4Wf5 W21 0 W21 W22 W23 W24 W25 W24 W23 W22 W21 0 W21 Wf5Wf6 W26 0 W26 W27 W28 W29 W30 W29 W28 W27 W26 0 W26 Wf6Wf7 W31 0 W31 W32 W33 W34 W35 W34 W33 W32 W31 0 W31 Wf7Wf8 W36 0 W36 W37 W38 W39 W40 W39 W38 W37 W36 0 W36 Wf8Wf9 W41 0 W41 W42 W43 W44 W45 W44 W43 W42 W41 0 W41 Wf9

0 0 0 W46 W47 W48 W49 W50 W49 W48 W47 W46 0 0 00 Wf15 Wf16 Wf17 Wf18 Wf19 Wf18 Wf17 Wf16 Wf15 00 Wf20 Wf21 Wf22 Wf23 Wf24 Wf23 Wf22 Wf21 Wf20 0

Bu çalışmada, oluşturulan doğrusal denklemler iterasyon yöntemi ile çözülmüştür.

Excel tablolarında bulunan döngüsel başvuru yardımı ile iterasyon yapılmıştır.

4.4 DOĞRUSAL DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ İÇİN DAİRESEL DÖNGÜ

Elektronik tablolarda bir hücreye yazılan formül diğer bir hücreye yazılmış olan bir

değere veya formüle referans verebilir. Bir hücreye yazılan formül doğrudan ya da

dolaylı olarak kendi hücresine referans verir ise buna döngüsel başvuru veya çevrimli

başvuru adı verilmektedir.

Döngüsel başvuru yapıldığında, mevcut verilere göre hesaplanan hücre değeri

değiştiğinde ilgili olduğu diğer hücre değerleri de değişir. İlgili hücrelerdeki

değerlerin değişmesi döngüsel başvuru yapılan hücre değerinin tekrar

58

hesaplanmasına sebep olur. Bu tekrar hesaplanmaya yineleme adı verilir. Yineleme,

daha önceden belirlenen yenileme sayısına eşit oluncaya kadar ya da hücrelerdeki

değerler arasındaki fark önceden belirlenen bir değerden küçük oluncaya kadar

devam eder.

Microsoft Excel kullanılarak yapılan bir programda, döngüsel başvuru yapıldığında

bu işlemin bir hata sonucunda yapılıp yapılmadığı ve bu konu hakkında yardım

istenip istenmediği bir iletişim kutusu ile kullanıcıya sorulur. Bu işlemin bilerek

yapıldığı kabul edilen seçenek butonuna basıldığında döngüsel başvuru program

tarafından kabul edilir.

Döngüsel başvuru yenileme sayısı ve hücreler arasında ki fark, Excel çalışma

sayfasının Araçlar-Seçenekler-Hesaplama kısmında belirtilir. Bu verilere göre

döngüsel başvuru işlemi tamamlanır.

Plak diferansiyel denklemi daha önce anlatıldığı şekilde kurulduktan sonra,

Microsoft Excel kullanılarak bir program hazırlanır. Bu programda, dikdörtgen plak

elektonik bir tablo haline getirilir. Bu plak üzerinde alınan her nokta bir hücre olarak

ifade edilir. Bir hücreye, plak denkleminde nmw , yalnız bırakılarak formülü girilir.

Bir hücreye girilen formülün diğer hücrelere kopyalanarak tüm tablo hazırlanmış

olur. Formül girişlerinin hemen arkasından program otomatik olarak döngüsel

başvuruyu başlatır ve belirlenen sınırlara ulaşıncaya kadar çalışmayı yinelemeye

devam eder. Belirlenen sınırlara ulaşıldığında çalışma durdurulur.

4.5 ORTOTROPİK DİKDÖRTGEN PLAK DENKLEMLERİNİN BOYUTSUZLAŞTIRILMASI

Bu kısımda ortotropik plak denklemleri, deplasmanlar, momentler, kesme kuvvetleri,

mesnet reaksiyonları ve köşe kuvvetleri boyutsuzlaştırılacaktır. Bu kuvvetleri

boyutsuzlaştırmalar için öncelikle (2.55) ve (2.58) ile verilen ortotropik plak

denklemlerine ait ifadelerin boyutsuzlaştırılması gerekir. Bunun için x ve y

doğrultularındaki uzunluklar ile beraber (2.55) ve (2.58) ifadeleri kullanılarak;

59

axx =

byy =

)12

(3*hE

DD

x

xx =

)12

(3*hE

DD

y

yy =

)

12(

3GhD

D xyxy =

)12

(3

11 hE

DDxy

= )2( 1 xyDD

HH+

= (4.37)

boyutsuz ifadeleri elde edilir. Elde edilen ifadelerin kontrolunü xD için yapacak

olursak;

BOYUTSUZKNMKNM

MMKNKNM

hED

Dx

xx ====

))(/()

12(

323* (4.38)

Yük ifadesinin de yayılı yükte olduğu gibi 0p yayılı yükün şiddetine bölünmesi ile;

0

),(),(p

yxpyxp = (4.39)

boyutsuz yük ifadesi elde edilmiş olur. Daha önce (2.57) ile verilen ortotropik plak

denklemi elde edilen boyutsuz ifadeler kullanılarak;

),(2 4

4

22

4

4

4

yxpywD

yxwH

xwD yx =

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ (4.40)

boyutsuz plak denklemi elde edilir. Burada bilinmeyenler sadece w boyutsuz

deplasmanlardır. Bunlarda program sonucu olarak elde edileceklerdir. Elde edilen

boyutsuz deplasmanlar kullanılarak;

)( 2

2

12

2

ywD

xwDM xx ∂

∂+

∂∂

−=

)( 2

2

12

2

xwD

ywDM yy ∂

∂+

∂∂

−=

yxwDM xyxy ∂∂

∂=

2

2

xywH

xwDQ xx ∂∂

∂−

∂∂

−= 2

3

3

3

60

yxwH

ywDQ yy ∂∂

∂−

∂∂

−= 2

3

3

3

2

3

13

3

)4(yxwDD

xwDV xyxx ∂∂

∂+−

∂∂

−=

yxwDD

ywDV xyyy ∂∂

∂+−

∂∂

−= 2

3

13

3

)4(

yxwDMR xyxy ∂∂

∂==

2

42 (4.41)

boyutsuz ifadeleri elde edilir. Elde edilen bu ifadeler sınır şartları içinde

kullanılarak;

a)Ankastre Mesnet:

00=

=xw 0

0

=∂∂

=xxw (4.42)

b)Sabit Mesnet:

00=

=xw

0)( 2

2

12

2

=∂∂

+∂∂

−=ywD

xwDM xx (4.43)

c) Serbest Kenar:

0==axxM , 0=

=axxV

0)( 2

2

12

2

=∂∂

+∂∂

−=ywD

xwDM xx

0)4( 2

3

13

3

=∂∂

∂+−

∂∂

−=yxwDD

xwDV xyxx (4.44)

boyutsuz sınır şartları elde edilmiş olur.

Programda sonuçlar boyutsuz olarak elde edileceğinden gerçek boyutlu değerlere

ulaşabilmek için verilerin gerçek değerlerinin katsayılara uygulanması ile elde edilir.

61

4.6 ORTOTROPİK DİKDÖRTGEN PLAK PROBLEMİNİN SONLU FARKLAR İLE ÇÖZÜMÜ

Bu bölümde, Microsoft Office Excel programı ile hazırlanan bilgisayar programı

kullanılarak çeşitli ortotropik plak problemleri ve ortotropinin özel hali olan

izotropik plak problemleri çözülecektir.

ORTOTROPİK PLAK PROBLEMLERİ: Bu bölümde Karl GIRKMANN’ ın

Yüzeysel Taşıyıcı Sistemler ( Çeviri: Prof. Dr. Sacit TAMEROĞLU) kitabının 395.

sayfasında verilen dört kenarı sabit olarak mesnetlenmiş olan ortotropik plak ve plak

sabitleri ile Zekai CELEP, Nahit KUMBASAR‘ ın Betonarme Yapılar kitabının

Örnek 2.1. bölümünde verilen hareketli yükler ve plak boyutları kullanılarak

çözülecektir. Bu veriler ve problemin çözümü;

GPamKNcmkgExx 15/000.000.15/000.150 22 ===

GPamKNcmkgEE xxyy 5,1/000.500.1/000.151,0 22 ====

GPamKNcmkgG 1/000.000.1/000.10 22 ===

4,0=xν

04,01,0 == xy νν

2/2 mKNq =

mlx 6,4= mly 6,3= mh 12,0= (4.45)

62

ÖR

NE

K 1

: OR

TO

TR

OPİ

K P

LA

K P

RO

BL

EMİ

Tab

lo 4

.8 V

erile

n Şa

rtlar

Altı

nda

Oluşa

n D

epla

sman

lar

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

00,

0000

0-0

,000

24-0

,000

44-0

,000

60-0

,000

69-0

,000

72-0

,000

69-0

,000

60-0

,000

44-0

,000

240,

0000

0-0

,10

0,00

013

0,00

000

-0,0

0013

-0,0

0025

-0,0

0033

-0,0

0038

-0,0

0040

-0,0

0038

-0,0

0033

-0,0

0025

-0,0

0013

0,00

000

0,00

013

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

-0,0

0025

-0,0

0013

0,00

000

0,00

013

0,00

025

0,00

033

0,00

038

0,00

040

0,00

038

0,00

033

0,00

025

0,00

013

0,00

000

-0,0

0013

-0,0

0025

0,20

-0,0

0044

-0,0

0024

0,00

000

0,00

024

0,00

044

0,00

060

0,00

069

0,00

072

0,00

069

0,00

060

0,00

044

0,00

024

0,00

000

-0,0

0024

-0,0

0044

0,30

-0,0

0059

-0,0

0032

0,00

000

0,00

032

0,00

059

0,00

079

0,00

092

0,00

096

0,00

092

0,00

079

0,00

059

0,00

032

0,00

000

-0,0

0032

-0,0

0059

0,40

-0,0

0067

-0,0

0036

0,00

000

0,00

036

0,00

067

0,00

091

0,00

105

0,00

110

0,00

105

0,00

091

0,00

067

0,00

036

0,00

000

-0,0

0036

-0,0

0067

0,50

-0,0

0070

-0,0

0038

0,00

000

0,00

038

0,00

070

0,00

094

0,00

109

0,00

115

0,00

109

0,00

094

0,00

070

0,00

038

0,00

000

-0,0

0038

-0,0

0070

0,60

-0,0

0067

-0,0

0036

0,00

000

0,00

036

0,00

067

0,00

091

0,00

105

0,00

110

0,00

105

0,00

091

0,00

067

0,00

036

0,00

000

-0,0

0036

-0,0

0067

0,70

-0,0

0059

-0,0

0032

0,00

000

0,00

032

0,00

059

0,00

079

0,00

092

0,00

096

0,00

092

0,00

079

0,00

059

0,00

032

0,00

000

-0,0

0032

-0,0

0059

0,80

-0,0

0044

-0,0

0024

0,00

000

0,00

024

0,00

044

0,00

060

0,00

069

0,00

072

0,00

069

0,00

060

0,00

044

0,00

024

0,00

000

-0,0

0024

-0,0

0044

0,90

-0,0

0025

-0,0

0013

0,00

000

0,00

013

0,00

025

0,00

033

0,00

038

0,00

040

0,00

038

0,00

033

0,00

025

0,00

013

0,00

000

-0,0

0013

-0,0

0025

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

0,00

013

0,00

000

-0,0

0013

-0,0

0025

-0,0

0033

-0,0

0038

-0,0

0040

-0,0

0038

-0,0

0033

-0,0

0025

-0,0

0013

0,00

000

0,00

013

1,20

0,00

000

-0,0

0024

-0,0

0044

-0,0

0060

-0,0

0069

-0,0

0072

-0,0

0069

-0,0

0060

-0,0

0044

-0,0

0024

0,00

000

(x/a

)

(y/b

)

63

Tab

lo 4

.9 V

erile

n Şa

rtlar

Altı

nda

Oluşa

n M

x M

omen

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

0,00

000

0,22

567

0,32

855

0,37

901

0,40

241

0,40

922

0,40

241

0,37

902

0,32

855

0,22

567

0,00

000

0,20

0,00

000

0,38

139

0,57

033

0,66

502

0,70

915

0,72

202

0,70

915

0,66

502

0,57

033

0,38

139

0,00

000

0,30

0,00

000

0,48

388

0,73

609

0,86

481

0,92

516

0,94

279

0,92

516

0,86

481

0,73

609

0,48

388

0,00

000

0,40

0,00

000

0,54

229

0,83

289

0,98

292

1,05

355

1,07

422

1,05

356

0,98

292

0,83

289

0,54

229

0,00

000

0,50

0,00

000

0,56

128

0,86

472

1,02

199

1,09

615

1,11

786

1,09

615

1,02

199

0,86

472

0,56

129

0,00

000

0,60

0,00

000

0,54

229

0,83

289

0,98

292

1,05

355

1,07

422

1,05

356

0,98

292

0,83

289

0,54

229

0,00

000

0,70

0,00

000

0,48

388

0,73

609

0,86

481

0,92

516

0,94

279

0,92

516

0,86

481

0,73

609

0,48

388

0,00

000

0,80

0,00

000

0,38

139

0,57

033

0,66

502

0,70

915

0,72

202

0,70

915

0,66

502

0,57

033

0,38

139

0,00

000

0,90

0,00

000

0,22

567

0,32

855

0,37

901

0,40

241

0,40

922

0,40

241

0,37

902

0,32

855

0,22

567

0,00

000

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

64

Tab

lo 4

.10

Ver

ilen Şa

rtlar

Altı

nda

Oluşa

n M

y M

omen

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

0,00

000

0,05

229

0,09

073

0,11

711

0,13

253

0,13

760

0,13

253

0,11

711

0,09

073

0,05

229

0,00

000

0,20

0,00

000

0,06

646

0,11

717

0,15

290

0,17

415

0,18

120

0,17

415

0,15

290

0,11

717

0,06

646

0,00

000

0,30

0,00

000

0,07

079

0,12

531

0,16

400

0,18

712

0,19

481

0,18

712

0,16

400

0,12

531

0,07

079

0,00

000

0,40

0,00

000

0,07

214

0,12

784

0,16

744

0,19

113

0,19

901

0,19

113

0,16

744

0,12

784

0,07

214

0,00

000

0,50

0,00

000

0,07

244

0,12

841

0,16

822

0,19

204

0,19

997

0,19

204

0,16

822

0,12

841

0,07

244

0,00

000

0,60

0,00

000

0,07

214

0,12

784

0,16

744

0,19

113

0,19

901

0,19

113

0,16

744

0,12

784

0,07

214

0,00

000

0,70

0,00

000

0,07

079

0,12

531

0,16

400

0,18

712

0,19

481

0,18

712

0,16

400

0,12

531

0,07

079

0,00

000

0,80

0,00

000

0,06

646

0,11

717

0,15

290

0,17

415

0,18

120

0,17

415

0,15

290

0,11

717

0,06

646

0,00

000

0,90

0,00

000

0,05

229

0,09

073

0,11

711

0,13

253

0,13

760

0,13

253

0,11

711

0,09

073

0,05

229

0,00

000

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

65

Tab

lo 4

.11

Ver

ilen Şa

rtlar

Altı

nda

Oluşa

n M

xy M

omen

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

2,30

966

2,13

524

1,71

186

1,17

994

0,59

934

0,00

000

-0,5

9934

-1,1

7994

-1,7

1186

-2,1

3524

-2,3

0966

0,10

2,08

396

1,93

284

1,55

876

1,07

861

0,54

904

0,00

000

-0,5

4903

-1,0

7861

-1,5

5876

-1,9

3284

-2,0

8396

0,20

1,59

109

1,48

427

1,20

976

0,84

314

0,43

087

0,00

000

-0,4

3086

-0,8

4314

-1,2

0976

-1,4

8427

-1,5

9110

0,30

1,05

557

0,98

801

0,81

044

0,56

749

0,29

077

0,00

000

-0,2

9077

-0,5

6749

-0,8

1044

-0,9

8801

-1,0

5557

0,40

0,52

402

0,49

134

0,40

439

0,28

391

0,14

568

0,00

000

-0,1

4568

-0,2

8391

-0,4

0439

-0,4

9134

-0,5

2402

0,50

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,60

-0,5

2402

-0,4

9134

-0,4

0439

-0,2

8391

-0,1

4568

0,00

000

0,14

568

0,28

391

0,40

439

0,49

134

0,52

402

0,70

-1,0

5557

-0,9

8801

-0,8

1044

-0,5

6749

-0,2

9077

0,00

000

0,29

077

0,56

749

0,81

044

0,98

801

1,05

557

0,80

-1,5

9109

-1,4

8427

-1,2

0976

-0,8

4314

-0,4

3087

0,00

000

0,43

086

0,84

314

1,20

976

1,48

427

1,59

110

0,90

-2,0

8396

-1,9

3284

-1,5

5876

-1,0

7861

-0,5

4904

0,00

000

0,54

903

1,07

861

1,55

876

1,93

284

2,08

396

1,00

-2,3

0966

-2,1

3524

-1,7

1186

-1,1

7994

-0,5

9934

0,00

000

0,59

934

1,17

994

1,71

186

2,13

524

2,30

966

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

66

Tab

lo 4

.12

Ver

ilen Şa

rtlar

Altı

nda

Oluşa

n Q

x K

esm

e K

uvve

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

1,74

450

1,48

159

1,01

723

0,64

323

0,31

233

0,00

000

-0,3

1233

-0,6

4323

-1,0

1723

-1,4

8159

-1,7

4451

0,20

2,31

334

1,98

748

1,39

664

0,89

610

0,43

897

0,00

000

-0,4

3896

-0,8

9610

-1,3

9664

-1,9

8748

-2,3

1334

0,30

2,54

279

2,18

954

1,54

415

0,99

167

0,48

606

0,00

000

-0,4

8606

-0,9

9167

-1,5

4415

-2,1

8954

-2,5

4279

0,40

2,64

105

2,27

519

1,60

465

1,02

919

0,50

399

0,00

000

-0,5

0398

-1,0

2919

-1,6

0465

-2,2

7519

-2,6

4106

0,50

2,66

926

2,29

967

1,62

167

1,03

948

0,50

880

0,00

000

-0,5

0879

-1,0

3948

-1,6

2167

-2,2

9968

-2,6

6927

0,60

2,64

105

2,27

519

1,60

465

1,02

919

0,50

399

0,00

000

-0,5

0398

-1,0

2919

-1,6

0465

-2,2

7519

-2,6

4106

0,70

2,54

279

2,18

954

1,54

415

0,99

167

0,48

606

0,00

000

-0,4

8606

-0,9

9167

-1,5

4415

-2,1

8954

-2,5

4279

0,80

2,31

334

1,98

748

1,39

664

0,89

610

0,43

897

0,00

000

-0,4

3896

-0,8

9610

-1,3

9664

-1,9

8748

-2,3

1334

0,90

1,74

450

1,48

159

1,01

723

0,64

323

0,31

233

0,00

000

-0,3

1233

-0,6

4323

-1,0

1723

-1,4

8159

-1,7

4451

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

67

Tab

lo 4

.13

Ver

ilen Şa

rtlar

Altı

nda

Oluşa

n Q

y K

esm

e K

uvve

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,90

360

1,33

446

1,55

557

1,66

220

1,69

401

1,66

220

1,55

557

1,33

446

0,90

360

0,00

000

0,10

0,00

000

0,74

936

1,13

211

1,33

061

1,42

612

1,45

452

1,42

612

1,33

062

1,13

211

0,74

936

0,00

000

0,20

0,00

000

0,49

015

0,77

713

0,93

002

1,00

344

1,02

517

1,00

344

0,93

002

0,77

713

0,49

015

0,00

000

0,30

0,00

000

0,30

163

0,49

313

0,59

812

0,64

879

0,66

376

0,64

879

0,59

813

0,49

313

0,30

163

0,00

000

0,40

0,00

000

0,14

442

0,24

020

0,29

380

0,31

984

0,32

754

0,31

984

0,29

381

0,24

020

0,14

442

0,00

000

0,50

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,60

0,00

000

-0,1

4442

-0,2

4020

-0,2

9380

-0,3

1984

-0,3

2754

-0,3

1984

-0,2

9380

-0,2

4020

-0,1

4442

0,00

000

0,70

0,00

000

-0,3

0163

-0,4

9313

-0,5

9812

-0,6

4879

-0,6

6376

-0,6

4879

-0,5

9812

-0,4

9313

-0,3

0163

0,00

000

0,80

0,00

000

-0,4

9015

-0,7

7713

-0,9

3002

-1,0

0344

-1,0

2517

-1,0

0344

-0,9

3002

-0,7

7713

-0,4

9015

0,00

000

0,90

0,00

000

-0,7

4936

-1,1

3211

-1,3

3061

-1,4

2612

-1,4

5452

-1,4

2612

-1,3

3062

-1,1

3211

-0,7

4936

0,00

000

1,00

0,00

000

-0,9

0360

-1,3

3446

-1,5

5557

-1,6

6220

-1,6

9401

-1,6

6220

-1,5

5557

-1,3

3446

-0,9

0360

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

68

Tab

lo 4

.14

Ver

ilen Şa

rtlar

Altı

nda

Oluşa

n V

x M

esne

t Tep

kile

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

2,99

842

-2,9

9842

0,20

3,79

757

-3,7

9757

0,30

4,03

368

-4,0

3368

0,40

4,10

322

-4,1

0323

0,50

4,11

834

-4,1

1835

0,60

4,10

322

-4,1

0323

0,70

4,03

368

-4,0

3368

0,80

3,79

757

-3,7

9757

0,90

2,99

842

-2,9

9842

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

69

Tab

lo 4

.15

Ver

ilen Şa

rtlar

Altı

nda

Oluşa

n V

y M

esne

t Tep

kile

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

1,66

196

2,41

689

2,78

583

2,95

626

3,00

579

2,95

626

2,78

584

2,41

689

1,66

196

0,00

000

0,10

0,00

000

0,00

000

0,20

0,00

000

0,00

000

0,30

0,00

000

0,00

000

0,40

0,00

000

0,00

000

0,50

0,00

000

0,00

000

0,60

0,00

000

0,00

000

0,70

0,00

000

0,00

000

0,80

0,00

000

0,00

000

0,90

0,00

000

0,00

000

1,00

0,00

000

-1,6

6196

-2,4

1689

-2,7

8583

-2,9

5626

-3,0

0579

-2,9

5626

-2,7

8584

-2,4

1689

-1,6

6196

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

70

Tab

lo 4

.16

Ver

ilen Şa

rtlar

Altı

nda

Oluşa

n R

Köş

e K

uvve

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

4,61

933

-4,6

1933

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

-4,6

1933

4,61

933

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

71

Tab

lo 4

.17

Dör

t Ken

arı S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lağa

Uyg

ulan

an S

abit

Yayılı

Yük

lem

e

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,10

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,20

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,30

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,40

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,50

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,60

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,70

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,80

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,90

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

72

1 4 7

10 S1 S3 S5 S7 S9 S11

0,00000

0,00020

0,00040

0,00060

0,00080

0,00100

0,00120

x/a y/b

deplasmanlar

0,00000-0,000200,00020-0,000400,00040-0,000600,00060-0,000800,00080-0,001000,00100-0,00120

Şekil 4.6: Verilen Şartlar Altında Oluşan Deplasmana Ait Grafik

73

ÖR

NE

K 2

: D

ÜZ

GÜ

N Y

AY

ILI Y

ÜK

LE

YÜ

KL

Ü,

DÖ

RT

KE

NA

RI S

ABİT

ME

SNE

TLİ D

İKD

ÖR

TG

EN

İZ

OT

RO

PİK

PL

AK

PR

OB

LE

Mİ

Tab

lo 4

.18

Düz

gün

Yayılı

Yük

le Y

üklü

, D

ört K

enarı S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z D

epla

sman

ları

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

00,

0000

0-0

,000

71-0

,001

41-0

,001

93-0

,002

25-0

,002

36-0

,002

25-0

,001

93-0

,001

41-0

,000

710,

0000

0-0

,10

0,00

044

0,00

000

-0,0

0044

-0,0

0081

-0,0

0109

-0,0

0126

-0,0

0132

-0,0

0126

-0,0

0109

-0,0

0081

-0,0

0044

0,00

000

0,00

044

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

-0,0

0071

-0,0

0044

0,00

000

0,00

044

0,00

081

0,00

109

0,00

126

0,00

132

0,00

126

0,00

109

0,00

081

0,00

044

0,00

000

-0,0

0044

-0,0

0071

0,20

-0,0

0141

-0,0

0081

0,00

000

0,00

081

0,00

151

0,00

203

0,00

235

0,00

246

0,00

235

0,00

203

0,00

151

0,00

081

0,00

000

-0,0

0081

-0,0

0141

0,30

-0,0

0193

-0,0

0109

0,00

000

0,00

109

0,00

203

0,00

274

0,00

319

0,00

333

0,00

319

0,00

274

0,00

203

0,00

109

0,00

000

-0,0

0109

-0,0

0193

0,40

-0,0

0225

-0,0

0126

0,00

000

0,00

126

0,00

235

0,00

319

0,00

370

0,00

387

0,00

370

0,00

319

0,00

235

0,00

126

0,00

000

-0,0

0126

-0,0

0225

0,50

-0,0

0236

-0,0

0132

0,00

000

0,00

132

0,00

246

0,00

333

0,00

387

0,00

406

0,00

387

0,00

333

0,00

246

0,00

132

0,00

000

-0,0

0132

-0,0

0236

0,60

-0,0

0225

-0,0

0126

0,00

000

0,00

126

0,00

235

0,00

319

0,00

370

0,00

387

0,00

370

0,00

319

0,00

235

0,00

126

0,00

000

-0,0

0126

-0,0

0225

0,70

-0,0

0193

-0,0

0109

0,00

000

0,00

109

0,00

203

0,00

274

0,00

319

0,00

333

0,00

319

0,00

274

0,00

203

0,00

109

0,00

000

-0,0

0109

-0,0

0193

0,80

-0,0

0141

-0,0

0081

0,00

000

0,00

081

0,00

151

0,00

203

0,00

235

0,00

246

0,00

235

0,00

203

0,00

151

0,00

081

0,00

000

-0,0

0081

-0,0

0141

0,90

-0,0

0071

-0,0

0044

0,00

000

0,00

044

0,00

081

0,00

109

0,00

126

0,00

132

0,00

126

0,00

109

0,00

081

0,00

044

0,00

000

-0,0

0044

-0,0

0071

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

0,00

044

0,00

000

-0,0

0044

-0,0

0081

-0,0

0109

-0,0

0126

-0,0

0132

-0,0

0126

-0,0

0109

-0,0

0081

-0,0

0044

0,00

000

0,00

044

1,20

0,00

000

-0,0

0071

-0,0

0141

-0,0

0193

-0,0

0225

-0,0

0236

-0,0

0225

-0,0

0193

-0,0

0141

-0,0

0071

0,00

000

(x/a

)

(y/b

)

74

Tab

lo 4

.19

Düz

gün

Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z M

x M

omen

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

0,00

000

0,00

833

0,01

272

0,01

514

0,01

637

0,01

675

0,01

637

0,01

514

0,01

272

0,00

833

0,00

000

0,20

0,00

000

0,01

409

0,02

229

0,02

696

0,02

935

0,03

009

0,02

935

0,02

696

0,02

229

0,01

409

0,00

000

0,30

0,00

000

0,01

787

0,02

889

0,03

535

0,03

871

0,03

974

0,03

871

0,03

535

0,02

889

0,01

787

0,00

000

0,40

0,00

000

0,02

003

0,03

275

0,04

035

0,04

433

0,04

557

0,04

433

0,04

035

0,03

275

0,02

003

0,00

000

0,50

0,00

000

0,02

073

0,03

402

0,04

201

0,04

621

0,04

751

0,04

621

0,04

201

0,03

402

0,02

073

0,00

000

0,60

0,00

000

0,02

003

0,03

275

0,04

035

0,04

433

0,04

557

0,04

433

0,04

035

0,03

275

0,02

003

0,00

000

0,70

0,00

000

0,01

787

0,02

889

0,03

535

0,03

871

0,03

974

0,03

871

0,03

535

0,02

889

0,01

787

0,00

000

0,80

0,00

000

0,01

409

0,02

229

0,02

696

0,02

935

0,03

009

0,02

935

0,02

696

0,02

229

0,01

409

0,00

000

0,90

0,00

000

0,00

833

0,01

272

0,01

514

0,01

637

0,01

675

0,01

637

0,01

514

0,01

272

0,00

833

0,00

000

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

75

Tab

lo 4

.20

Düz

gün

Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z M

y M

omen

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

0,00

000

0,00

833

0,01

409

0,01

787

0,02

003

0,02

073

0,02

003

0,01

787

0,01

409

0,00

833

0,00

000

0,20

0,00

000

0,01

272

0,02

229

0,02

889

0,03

275

0,03

402

0,03

275

0,02

889

0,02

229

0,01

272

0,00

000

0,30

0,00

000

0,01

514

0,02

696

0,03

535

0,04

035

0,04

201

0,04

035

0,03

535

0,02

696

0,01

514

0,00

000

0,40

0,00

000

0,01

637

0,02

935

0,03

871

0,04

433

0,04

621

0,04

433

0,03

871

0,02

935

0,01

637

0,00

000

0,50

0,00

000

0,01

675

0,03

009

0,03

974

0,04

557

0,04

751

0,04

557

0,03

974

0,03

009

0,01

675

0,00

000

0,60

0,00

000

0,01

637

0,02

935

0,03

871

0,04

433

0,04

621

0,04

433

0,03

871

0,02

935

0,01

637

0,00

000

0,70

0,00

000

0,01

514

0,02

696

0,03

535

0,04

035

0,04

201

0,04

035

0,03

535

0,02

696

0,01

514

0,00

000

0,80

0,00

000

0,01

272

0,02

229

0,02

889

0,03

275

0,03

402

0,03

275

0,02

889

0,02

229

0,01

272

0,00

000

0,90

0,00

000

0,00

833

0,01

409

0,01

787

0,02

003

0,02

073

0,02

003

0,01

787

0,01

409

0,00

833

0,00

000

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

76

Tab

lo 4

.21

Düz

gün

Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z M

xy M

omen

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,03

057

0,02

832

0,02

281

0,01

578

0,00

804

0,00

000

-0,0

0804

-0,0

1578

-0,0

2281

-0,0

2832

-0,0

3057

0,10

0,02

832

0,02

635

0,02

137

0,01

485

0,00

758

0,00

000

-0,0

0758

-0,0

1485

-0,0

2137

-0,0

2635

-0,0

2832

0,20

0,02

281

0,02

137

0,01

756

0,01

232

0,00

632

0,00

000

-0,0

0632

-0,0

1232

-0,0

1756

-0,0

2137

-0,0

2281

0,30

0,01

578

0,01

485

0,01

232

0,00

871

0,00

449

0,00

000

-0,0

0449

-0,0

0871

-0,0

1232

-0,0

1485

-0,0

1578

0,40

0,00

804

0,00

758

0,00

632

0,00

449

0,00

232

0,00

000

-0,0

0232

-0,0

0449

-0,0

0632

-0,0

0758

-0,0

0804

0,50

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,60

-0,0

0804

-0,0

0758

-0,0

0632

-0,0

0449

-0,0

0232

0,00

000

0,00

232

0,00

449

0,00

632

0,00

758

0,00

804

0,70

-0,0

1578

-0,0

1485

-0,0

1232

-0,0

0871

-0,0

0449

0,00

000

0,00

449

0,00

871

0,01

232

0,01

485

0,01

578

0,80

-0,0

2281

-0,0

2137

-0,0

1756

-0,0

1232

-0,0

0632

0,00

000

0,00

632

0,01

232

0,01

756

0,02

137

0,02

281

0,90

-0,0

2832

-0,0

2635

-0,0

2137

-0,0

1485

-0,0

0758

0,00

000

0,00

758

0,01

485

0,02

137

0,02

635

0,02

832

1,00

-0,0

3057

-0,0

2832

-0,0

2281

-0,0

1578

-0,0

0804

0,00

000

0,00

804

0,01

578

0,02

281

0,02

832

0,03

057

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

77

Tab

lo 4

.22

Düz

gün

Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z Q

x K

esm

e K

uvve

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

0,17

813

0,10

313

0,06

292

0,03

687

0,01

716

0,00

000

-0,0

1716

-0,0

3687

-0,0

6292

-0,1

0313

-0,1

7813

0,20

0,25

626

0,17

147

0,11

168

0,06

739

0,03

176

0,00

000

-0,0

3176

-0,0

6739

-0,1

1168

-0,1

7147

-0,2

5626

0,30

0,30

397

0,21

481

0,14

495

0,08

925

0,04

248

0,00

000

-0,0

4248

-0,0

8925

-0,1

4495

-0,2

1481

-0,3

0397

0,40

0,32

999

0,23

886

0,16

407

0,10

217

0,04

893

0,00

000

-0,0

4893

-0,1

0217

-0,1

6407

-0,2

3886

-0,3

2999

0,50

0,33

828

0,24

657

0,17

028

0,10

642

0,05

107

0,00

000

-0,0

5107

-0,1

0642

-0,1

7028

-0,2

4657

-0,3

3828

0,60

0,32

999

0,23

886

0,16

407

0,10

217

0,04

893

0,00

000

-0,0

4893

-0,1

0217

-0,1

6407

-0,2

3886

-0,3

2999

0,70

0,30

397

0,21

481

0,14

495

0,08

925

0,04

248

0,00

000

-0,0

4248

-0,0

8925

-0,1

4495

-0,2

1481

-0,3

0397

0,80

0,25

626

0,17

147

0,11

168

0,06

739

0,03

176

0,00

000

-0,0

3176

-0,0

6739

-0,1

1168

-0,1

7147

-0,2

5626

0,90

0,17

813

0,10

313

0,06

292

0,03

687

0,01

716

0,00

000

-0,0

1716

-0,0

3687

-0,0

6292

-0,1

0313

-0,1

7813

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

78

Tab

lo 4

.23

Düz

gün

Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z Q

y K

esm

e K

uvve

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,17

813

0,25

626

0,30

397

0,32

999

0,33

828

0,32

999

0,30

397

0,25

626

0,17

813

0,00

000

0,10

0,00

000

0,10

313

0,17

147

0,21

481

0,23

886

0,24

657

0,23

886

0,21

481

0,17

147

0,10

313

0,00

000

0,20

0,00

000

0,06

292

0,11

168

0,14

495

0,16

407

0,17

028

0,16

407

0,14

495

0,11

168

0,06

292

0,00

000

0,30

0,00

000

0,03

687

0,06

739

0,08

925

0,10

217

0,10

642

0,10

217

0,08

925

0,06

739

0,03

687

0,00

000

0,40

0,00

000

0,01

716

0,03

176

0,04

248

0,04

893

0,05

107

0,04

893

0,04

248

0,03

176

0,01

716

0,00

000

0,50

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,60

0,00

000

-0,0

1716

-0,0

3176

-0,0

4248

-0,0

4893

-0,0

5107

-0,0

4893

-0,0

4248

-0,0

3176

-0,0

1716

0,00

000

0,70

0,00

000

-0,0

3687

-0,0

6739

-0,0

8925

-0,1

0217

-0,1

0642

-0,1

0217

-0,0

8925

-0,0

6739

-0,0

3687

0,00

000

0,80

0,00

000

-0,0

6292

-0,1

1168

-0,1

4495

-0,1

6407

-0,1

7028

-0,1

6407

-0,1

4495

-0,1

1168

-0,0

6292

0,00

000

0,90

0,00

000

-0,1

0313

-0,1

7147

-0,2

1481

-0,2

3886

-0,2

4657

-0,2

3886

-0,2

1481

-0,1

7147

-0,1

0313

0,00

000

1,00

0,00

000

-0,1

7813

-0,2

5626

-0,3

0397

-0,3

2999

-0,3

3828

-0,3

2999

-0,3

0397

-0,2

5626

-0,1

7813

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

79

Tab

lo 4

.24

Düz

gün

Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z V

x V

e V

y M

esne

t Tap

kile

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

Vy

0,00

0,00

000

0,22

298

0,32

162

0,37

921

0,40

972

0,41

928

0,40

972

0,37

921

0,32

162

0,22

298

0,00

000

0,10

Vx

0,22

298

-0,2

2298

0,20

0,32

162

-0,3

2162

0,30

0,37

921

-0,3

7921

0,40

0,40

972

-0,4

0972

0,50

0,41

928

-0,4

1928

0,60

0,40

972

-0,4

0972

0,70

0,37

921

-0,3

7921

0,80

0,32

162

-0,3

2162

0,90

0,22

298

-0,2

2298

1,00

0,00

000

-0,2

2298

-0,3

2162

-0,3

7921

-0,4

0972

-0,4

1928

-0,4

0972

-0,3

7921

-0,3

2162

-0,2

2298

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

80

Tab

lo 4

.25

Düz

gün

Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z R

xy K

öşe

Kuv

vetle

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,06

113

-0,0

6113

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

-0,0

6113

0,06

113

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

81

1 3 5 7 9

11 S1 S

3 S5 S

7 S9 S11

0,00000

0,00050

0,00100

0,00150

0,00200

0,00250

0,00300

0,00350

0,00400

0,00450

x/a y/b

Deplasmanlar

0,00000-0,000500,00050-0,001000,00100-0,001500,00150-0,002000,00200-0,002500,00250-0,003000,00300-0,003500,00350-0,004000,00400-0,00450

Şekil 4.7: Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen

Plağın Çökmesi

82

ÖR

NE

K 3

: DÖ

RT

KE

NA

RI A

NK

AST

RE

OL

AR

AK

ME

SNE

TLİ D

İKD

ÖR

TG

EN

PL

AĞ

A U

YG

UL

AN

AN

SA

BİT

Y

AY

ILI Y

ÜK

LE

ME

Tab

lo 4

.26

Dör

t Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli D

ikdö

rtgen

Plağa

Uyg

ulan

an S

abit

Yayılı

Yük

lem

e

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,10

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,20

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,30

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,40

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,50

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,60

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,70

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,80

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,90

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,10

1,20

Öİ

İÖ

Ğ

(x/a

)

(y/b

)

83

Tab

lo 4

.27

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

, D

ört K

enarı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

Dep

lasm

anla

rı

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

00,

0000

00,

0002

50,

0007

90,

0011

90,

0014

40,

0015

20,

0014

40,

0011

90,

0007

90,

0002

50,

0000

0-0

,10

0,00

005

0,00

000

0,00

005

0,00

012

0,00

019

0,00

023

0,00

024

0,00

023

0,00

019

0,00

012

0,00

005

0,00

000

0,00

005

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

0,00

025

0,00

005

0,00

000

0,00

005

0,00

012

0,00

019

0,00

023

0,00

024

0,00

023

0,00

019

0,00

012

0,00

005

0,00

000

0,00

005

0,00

025

0,20

0,00

079

0,00

012

0,00

000

0,00

012

0,00

031

0,00

049

0,00

061

0,00

065

0,00

061

0,00

049

0,00

031

0,00

012

0,00

000

0,00

012

0,00

079

0,30

0,00

119

0,00

019

0,00

000

0,00

019

0,00

049

0,00

077

0,00

096

0,00

102

0,00

096

0,00

077

0,00

049

0,00

019

0,00

000

0,00

019

0,00

119

0,40

0,00

144

0,00

023

0,00

000

0,00

023

0,00

061

0,00

096

0,00

120

0,00

128

0,00

120

0,00

096

0,00

061

0,00

023

0,00

000

0,00

023

0,00

144

0,50

0,00

152

0,00

024

0,00

000

0,00

024

0,00

065

0,00

102

0,00

128

0,00

137

0,00

128

0,00

102

0,00

065

0,00

024

0,00

000

0,00

024

0,00

152

0,60

0,00

144

0,00

023

0,00

000

0,00

023

0,00

061

0,00

096

0,00

120

0,00

128

0,00

120

0,00

096

0,00

061

0,00

023

0,00

000

0,00

023

0,00

144

0,70

0,00

119

0,00

019

0,00

000

0,00

019

0,00

049

0,00

077

0,00

096

0,00

102

0,00

096

0,00

077

0,00

049

0,00

019

0,00

000

0,00

019

0,00

119

0,80

0,00

079

0,00

012

0,00

000

0,00

012

0,00

031

0,00

049

0,00

061

0,00

065

0,00

061

0,00

049

0,00

031

0,00

012

0,00

000

0,00

012

0,00

079

0,90

0,00

025

0,00

005

0,00

000

0,00

005

0,00

012

0,00

019

0,00

023

0,00

024

0,00

023

0,00

019

0,00

012

0,00

005

0,00

000

0,00

005

0,00

025

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

0,00

005

0,00

000

0,00

005

0,00

012

0,00

019

0,00

023

0,00

024

0,00

023

0,00

019

0,00

012

0,00

005

0,00

000

0,00

005

1,20

0,00

000

0,00

025

0,00

079

0,00

119

0,00

144

0,00

152

0,00

144

0,00

119

0,00

079

0,00

025

0,00

000

(x/a

)

(y/b

)

84

Tab

lo 4

.28

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

Mx

Mom

entle

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

-0,0

0281

-0,0

0724

-0,0

1118

-0,0

1374

-0,0

1462

-0,0

1374

-0,0

1118

-0,0

0724

-0,0

0281

0,00

000

0,10

-0,0

0938

-0,0

0350

-0,0

0134

-0,0

0121

-0,0

0164

-0,0

0186

-0,0

0164

-0,0

0121

-0,0

0134

-0,0

0350

-0,0

0938

0,20

-0,0

2414

-0,0

0696

0,00

219

0,00

657

0,00

838

0,00

886

0,00

838

0,00

657

0,00

219

-0,0

0696

-0,0

2414

0,30

-0,0

3726

-0,0

1099

0,00

400

0,01

198

0,01

572

0,01

680

0,01

572

0,01

198

0,00

400

-0,0

1099

-0,0

3726

0,40

-0,0

4580

-0,0

1399

0,00

477

0,01

512

0,02

015

0,02

164

0,02

015

0,01

512

0,00

477

-0,0

1399

-0,0

4580

0,50

-0,0

4872

-0,0

1508

0,00

497

0,01

614

0,02

163

0,02

326

0,02

163

0,01

614

0,00

497

-0,0

1508

-0,0

4872

0,60

-0,0

4580

-0,0

1399

0,00

477

0,01

512

0,02

015

0,02

164

0,02

015

0,01

512

0,00

477

-0,0

1399

-0,0

4580

0,70

-0,0

3726

-0,0

1099

0,00

400

0,01

198

0,01

572

0,01

680

0,01

572

0,01

198

0,00

400

-0,0

1099

-0,0

3726

0,80

-0,0

2414

-0,0

0696

0,00

219

0,00

657

0,00

838

0,00

886

0,00

838

0,00

657

0,00

219

-0,0

0696

-0,0

2414

0,90

-0,0

0938

-0,0

0350

-0,0

0134

-0,0

0121

-0,0

0164

-0,0

0186

-0,0

0164

-0,0

0121

-0,0

0134

-0,0

0350

-0,0

0938

1,00

0,00

000

-0,0

0281

-0,0

0724

-0,0

1118

-0,0

1374

-0,0

1462

-0,0

1374

-0,0

1118

-0,0

0724

-0,0

0281

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

85

Tab

lo 4

.29

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

My

Mom

entle

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

-0,0

0938

-0,0

2414

-0,0

3726

-0,0

4580

-0,0

4872

-0,0

4580

-0,0

3726

-0,0

2414

-0,0

0938

0,00

000

0,10

-0,0

0281

-0,0

0350

-0,0

0696

-0,0

1099

-0,0

1399

-0,0

1508

-0,0

1399

-0,0

1099

-0,0

0696

-0,0

0350

-0,0

0281

0,20

-0,0

0724

-0,0

0134

0,00

219

0,00

400

0,00

477

0,00

497

0,00

477

0,00

400

0,00

219

-0,0

0134

-0,0

0724

0,30

-0,0

1118

-0,0

0121

0,00

657

0,01

198

0,01

512

0,01

614

0,01

512

0,01

198

0,00

657

-0,0

0121

-0,0

1118

0,40

-0,0

1374

-0,0

0164

0,00

838

0,01

572

0,02

015

0,02

163

0,02

015

0,01

572

0,00

838

-0,0

0164

-0,0

1374

0,50

-0,0

1462

-0,0

0186

0,00

886

0,01

680

0,02

164

0,02

326

0,02

164

0,01

680

0,00

886

-0,0

0186

-0,0

1462

0,60

-0,0

1374

-0,0

0164

0,00

838

0,01

572

0,02

015

0,02

163

0,02

015

0,01

572

0,00

838

-0,0

0164

-0,0

1374

0,70

-0,0

1118

-0,0

0121

0,00

657

0,01

198

0,01

512

0,01

614

0,01

512

0,01

198

0,00

657

-0,0

0121

-0,0

1118

0,80

-0,0

0724

-0,0

0134

0,00

219

0,00

400

0,00

477

0,00

497

0,00

477

0,00

400

0,00

219

-0,0

0134

-0,0

0724

0,90

-0,0

0281

-0,0

0350

-0,0

0696

-0,0

1099

-0,0

1399

-0,0

1508

-0,0

1399

-0,0

1099

-0,0

0696

-0,0

0350

-0,0

0281

1,00

0,00

000

-0,0

0938

-0,0

2414

-0,0

3726

-0,0

4580

-0,0

4872

-0,0

4580

-0,0

3726

-0,0

2414

-0,0

0938

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

86

Tab

lo 4

.30

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

Mxy

Mom

entle

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

0,00

000

0,00

549

0,00

645

0,00

512

0,00

275

0,00

000

-0,0

0275

-0,0

0512

-0,0

0645

-0,0

0549

0,00

000

0,20

0,00

000

0,00

645

0,00

778

0,00

632

0,00

345

0,00

000

-0,0

0345

-0,0

0632

-0,0

0778

-0,0

0645

0,00

000

0,30

0,00

000

0,00

512

0,00

632

0,00

521

0,00

287

0,00

000

-0,0

0287

-0,0

0521

-0,0

0632

-0,0

0512

0,00

000

0,40

0,00

000

0,00

275

0,00

345

0,00

287

0,00

159

0,00

000

-0,0

0159

-0,0

0287

-0,0

0345

-0,0

0275

0,00

000

0,50

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,60

0,00

000

-0,0

0275

-0,0

0345

-0,0

0287

-0,0

0159

0,00

000

0,00

159

0,00

287

0,00

345

0,00

275

0,00

000

0,70

0,00

000

-0,0

0512

-0,0

0632

-0,0

0521

-0,0

0287

0,00

000

0,00

287

0,00

521

0,00

632

0,00

512

0,00

000

0,80

0,00

000

-0,0

0645

-0,0

0778

-0,0

0632

-0,0

0345

0,00

000

0,00

345

0,00

632

0,00

778

0,00

645

0,00

000

0,90

0,00

000

-0,0

0549

-0,0

0645

-0,0

0512

-0,0

0275

0,00

000

0,00

275

0,00

512

0,00

645

0,00

549

0,00

000

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

87

Tab

lo 4

.31

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

Qx

Kes

me

Kuv

vetle

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

-0,1

2072

-0,1

3941

-0,1

0826

-0,0

5728

0,00

000

0,05

728

0,10

826

0,13

941

0,12

072

0,00

000

0,10

0,06

307

0,01

498

-0,0

2001

-0,0

2820

-0,0

1824

0,00

000

0,01

824

0,02

820

0,02

001

-0,0

1498

-0,0

6307

0,20

0,23

582

0,13

759

0,07

259

0,03

371

0,01

250

0,00

000

-0,0

1250

-0,0

3371

-0,0

7259

-0,1

3759

-0,2

3582

0,30

0,35

170

0,22

698

0,13

906

0,07

793

0,03

456

0,00

000

-0,0

3456

-0,0

7794

-0,1

3906

-0,2

2698

-0,3

5170

0,40

0,41

577

0,27

956

0,17

872

0,10

442

0,04

780

0,00

000

-0,0

4780

-0,1

0442

-0,1

7872

-0,2

7956

-0,4

1577

0,50

0,43

607

0,29

676

0,19

186

0,11

323

0,05

220

0,00

000

-0,0

5220

-0,1

1323

-0,1

9186

-0,2

9676

-0,4

3607

0,60

0,41

577

0,27

956

0,17

872

0,10

442

0,04

780

0,00

000

-0,0

4780

-0,1

0442

-0,1

7872

-0,2

7956

-0,4

1577

0,70

0,35

170

0,22

698

0,13

906

0,07

793

0,03

456

0,00

000

-0,0

3456

-0,0

7793

-0,1

3906

-0,2

2698

-0,3

5170

0,80

0,23

582

0,13

759

0,07

259

0,03

371

0,01

250

0,00

000

-0,0

1250

-0,0

3371

-0,0

7259

-0,1

3759

-0,2

3582

0,90

0,06

307

0,01

498

-0,0

2001

-0,0

2820

-0,0

1824

0,00

000

0,01

824

0,02

820

0,02

001

-0,0

1498

-0,0

6307

1,00

0,00

000

-0,1

2072

-0,1

3941

-0,1

0826

-0,0

5728

0,00

000

0,05

728

0,10

826

0,13

941

0,12

072

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

88

Tab

lo 4

.32

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

Qy

Kes

me

Kuv

vetle

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,06

307

0,23

582

0,35

170

0,41

577

0,43

607

0,41

577

0,35

170

0,23

582

0,06

307

0,00

000

0,10

-0,1

2072

0,01

498

0,13

759

0,22

698

0,27

956

0,29

676

0,27

956

0,22

698

0,13

759

0,01

498

-0,1

2072

0,20

-0,1

3941

-0,0

2001

0,07

259

0,13

906

0,17

872

0,19

186

0,17

872

0,13

906

0,07

259

-0,0

2001

-0,1

3941

0,30

-0,1

0826

-0,0

2820

0,03

371

0,07

794

0,10

442

0,11

323

0,10

442

0,07

793

0,03

371

-0,0

2820

-0,1

0826

0,40

-0,0

5728

-0,0

1824

0,01

250

0,03

456

0,04

780

0,05

220

0,04

780

0,03

456

0,01

250

-0,0

1824

-0,0

5728

0,50

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,60

0,05

728

0,01

824

-0,0

1250

-0,0

3456

-0,0

4780

-0,0

5220

-0,0

4780

-0,0

3456

-0,0

1250

0,01

824

0,05

728

0,70

0,10

826

0,02

820

-0,0

3371

-0,0

7794

-0,1

0442

-0,1

1323

-0,1

0442

-0,0

7793

-0,0

3371

0,02

820

0,10

826

0,80

0,13

941

0,02

001

-0,0

7259

-0,1

3906

-0,1

7872

-0,1

9186

-0,1

7872

-0,1

3906

-0,0

7259

0,02

001

0,13

941

0,90

0,12

072

-0,0

1498

-0,1

3759

-0,2

2698

-0,2

7956

-0,2

9676

-0,2

7956

-0,2

2698

-0,1

3759

-0,0

1498

0,12

072

1,00

0,00

000

-0,0

6307

-0,2

3582

-0,3

5170

-0,4

1577

-0,4

3607

-0,4

1577

-0,3

5170

-0,2

3582

-0,0

6307

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

89

Tab

lo 4

.33

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

Vx

Ve

Vy

Mes

net T

apki

leri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

Vy

0,00

0,00

000

0,06

307

0,23

582

0,35

170

0,41

577

0,43

607

0,41

577

0,35

170

0,23

582

0,06

307

0,00

000

0,10

Vx

0,06

307

-0,0

6307

0,20

0,23

582

-0,2

3582

0,30

0,35

170

-0,3

5170

0,40

0,41

577

-0,4

1577

0,50

0,43

607

-0,4

3607

0,60

0,41

577

-0,4

1577

0,70

0,35

170

-0,3

5170

0,80

0,23

582

-0,2

3582

0,90

0,06

307

-0,0

6307

1,00

0,00

000

-0,0

6307

-0,2

3582

-0,3

5170

-0,4

1577

-0,4

3607

-0,4

1577

-0,3

5170

-0,2

3582

-0,0

6307

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

90

Tab

lo 4

.34

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

Dör

t Ken

arı S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z R

xy K

öşe

Kuv

vetle

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,00

000

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00

000

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

91

1 3 5 7 9

11 S1 S

3 S5 S

7 S9 S11

0,00000

0,00020

0,00040

0,00060

0,00080

0,00100

0,00120

0,00140

x/a y/b

Deplasmanlar

0,00000-0,000200,00020-0,000400,00040-0,000600,00060-0,000800,00080-0,001000,00100-0,001200,00120-0,00140

Şekil 4.8: Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli

Dikdörtgen Plağın Çökmesi

92

ÖR

NE

K 4

: İKİ K

EN

AR

I AN

KA

STR

E O

LA

RA

K M

ESN

ET

Lİ V

E İK

İ KE

NA

RI B

OŞT

A O

LA

N DİK

DÖ

RT

GE

N P

LAĞ

A

UY

GU

LA

NA

N S

ABİT

YA

YIL

I YÜ

KL

EM

E

Tab

lo 4

.35 İk

i Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli V

e 2

Ken

arı B

oşta

Ola

n D

ikdö

rtgen

Plağa

Uyg

ulan

an S

abit

Yayılı

Yük

lem

e

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,10

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,20

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,30

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,40

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,50

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,60

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,70

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,80

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,90

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

93

Tab

lo 4

.36

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki

Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli V

e İk

i Ken

arı B

oşta

Ola

n D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

Dep

lasm

anla

rı

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

00,

0000

00,

0000

10,

0014

20,

0027

80,

0037

30,

0040

70,

0037

30,

0027

80,

0014

20,

0000

10,

0000

0-0

,10

0,00

031

-0,0

0026

0,00

031

0,00

136

0,00

243

0,00

320

0,00

348

0,00

320

0,00

243

0,00

136

0,00

031

-0,0

0026

0,00

031

0,00

0,00

071

0,00

044

0,00

000

0,00

044

0,00

132

0,00

224

0,00

290

0,00

315

0,00

290

0,00

224

0,00

132

0,00

044

0,00

000

0,00

044

0,00

071

0,10

0,00

265

0,00

044

0,00

000

0,00

044

0,00

126

0,00

212

0,00

274

0,00

296

0,00

274

0,00

212

0,00

126

0,00

044

0,00

000

0,00

044

0,00

265

0,20

0,00

223

0,00

042

0,00

000

0,00

042

0,00

122

0,00

205

0,00

264

0,00

286

0,00

264

0,00

205

0,00

122

0,00

042

0,00

000

0,00

042

0,00

223

0,30

0,00

217

0,00

041

0,00

000

0,00

041

0,00

120

0,00

201

0,00

259

0,00

280

0,00

259

0,00

201

0,00

120

0,00

041

0,00

000

0,00

041

0,00

217

0,40

0,00

215

0,00

041

0,00

000

0,00

041

0,00

118

0,00

198

0,00

257

0,00

278

0,00

257

0,00

198

0,00

118

0,00

041

0,00

000

0,00

041

0,00

215

0,50

0,00

215

0,00

040

0,00

000

0,00

040

0,00

118

0,00

198

0,00

256

0,00

277

0,00

256

0,00

198

0,00

118

0,00

040

0,00

000

0,00

040

0,00

215

0,60

0,00

215

0,00

041

0,00

000

0,00

041

0,00

118

0,00

198

0,00

257

0,00

278

0,00

257

0,00

198

0,00

118

0,00

041

0,00

000

0,00

041

0,00

215

0,70

0,00

217

0,00

041

0,00

000

0,00

041

0,00

120

0,00

201

0,00

259

0,00

280

0,00

259

0,00

201

0,00

120

0,00

041

0,00

000

0,00

041

0,00

217

0,80

0,00

223

0,00

042

0,00

000

0,00

042

0,00

122

0,00

205

0,00

264

0,00

286

0,00

264

0,00

205

0,00

122

0,00

042

0,00

000

0,00

042

0,00

223

0,90

0,00

265

0,00

044

0,00

000

0,00

044

0,00

126

0,00

212

0,00

274

0,00

296

0,00

274

0,00

212

0,00

126

0,00

044

0,00

000

0,00

044

0,00

265

1,00

0,00

071

0,00

044

0,00

000

0,00

044

0,00

132

0,00

224

0,00

290

0,00

315

0,00

290

0,00

224

0,00

132

0,00

044

0,00

000

0,00

044

0,00

071

1,10

0,00

031

-0,0

0026

0,00

031

0,00

136

0,00

243

0,00

320

0,00

348

0,00

320

0,00

243

0,00

136

0,00

031

-0,0

0026

0,00

031

1,20

0,00

000

0,00

001

0,00

142

0,00

278

0,00

373

0,00

407

0,00

373

0,00

278

0,00

142

0,00

001

0,00

000

(x/a

)

(y/b

)

94

Tab

lo 4

.37

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İk

i Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli V

e İk

i Ken

arı B

oşta

Ola

n D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

Mx

Mom

entle

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

-0,0

7974

-0,0

4006

-0,0

0375

0,02

282

0,03

880

0,04

412

0,03

880

0,02

282

-0,0

0375

-0,0

4006

-0,0

7974

0,10

-0,0

8731

-0,0

3861

-0,0

0315

0,02

214

0,03

738

0,04

246

0,03

738

0,02

214

-0,0

0315

-0,0

3861

-0,0

8731

0,20

-0,0

8419

-0,0

3810

-0,0

0297

0,02

191

0,03

681

0,04

178

0,03

681

0,02

191

-0,0

0297

-0,0

3810

-0,0

8419

0,30

-0,0

8213

-0,0

3758

-0,0

0289

0,02

181

0,03

659

0,04

151

0,03

659

0,02

181

-0,0

0289

-0,0

3758

-0,0

8213

0,40

-0,0

8115

-0,0

3722

-0,0

0282

0,02

177

0,03

650

0,04

141

0,03

650

0,02

177

-0,0

0282

-0,0

3722

-0,0

8115

0,50

-0,0

8088

-0,0

3709

-0,0

0279

0,02

176

0,03

648

0,04

138

0,03

648

0,02

176

-0,0

0279

-0,0

3709

-0,0

8088

0,60

-0,0

8115

-0,0

3722

-0,0

0282

0,02

177

0,03

650

0,04

141

0,03

650

0,02

177

-0,0

0282

-0,0

3722

-0,0

8115

0,70

-0,0

8213

-0,0

3758

-0,0

0289

0,02

181

0,03

659

0,04

151

0,03

659

0,02

181

-0,0

0289

-0,0

3758

-0,0

8213

0,80

-0,0

8419

-0,0

3810

-0,0

0297

0,02

191

0,03

681

0,04

178

0,03

681

0,02

191

-0,0

0297

-0,0

3810

-0,0

8419

0,90

-0,0

8731

-0,0

3861

-0,0

0315

0,02

214

0,03

738

0,04

246

0,03

738

0,02

214

-0,0

0315

-0,0

3861

-0,0

8731

1,00

-0,0

7974

-0,0

4006

-0,0

0375

0,02

282

0,03

880

0,04

412

0,03

880

0,02

282

-0,0

0375

-0,0

4006

-0,0

7974

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

95

Tab

lo 4

.38

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki

Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli V

e İk

i Ken

arı B

oşta

Ola

n D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

My

Mom

entle

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

-0,0

2619

-0,0

1031

-0,0

0195

0,00

247

0,00

468

0,00

535

0,00

468

0,00

247

-0,0

0195

-0,0

1031

-0,0

2619

0,20

-0,0

2526

-0,0

1191

-0,0

0237

0,00

377

0,00

717

0,00

825

0,00

717

0,00

377

-0,0

0237

-0,0

1191

-0,0

2526

0,30

-0,0

2464

-0,0

1177

-0,0

0204

0,00

467

0,00

857

0,00

984

0,00

857

0,00

467

-0,0

0204

-0,0

1177

-0,0

2464

0,40

-0,0

2435

-0,0

1148

-0,0

0167

0,00

522

0,00

931

0,01

066

0,00

931

0,00

522

-0,0

0167

-0,0

1148

-0,0

2435

0,50

-0,0

2426

-0,0

1138

-0,0

0153

0,00

541

0,00

954

0,01

091

0,00

954

0,00

541

-0,0

0153

-0,0

1138

-0,0

2426

0,60

-0,0

2435

-0,0

1148

-0,0

0167

0,00

522

0,00

931

0,01

066

0,00

931

0,00

522

-0,0

0167

-0,0

1148

-0,0

2435

0,70

-0,0

2464

-0,0

1177

-0,0

0204

0,00

467

0,00

857

0,00

984

0,00

857

0,00

467

-0,0

0204

-0,0

1177

-0,0

2464

0,80

-0,0

2526

-0,0

1191

-0,0

0237

0,00

377

0,00

717

0,00

825

0,00

717

0,00

377

-0,0

0237

-0,0

1191

-0,0

2526

0,90

-0,0

2619

-0,0

1031

-0,0

0195

0,00

247

0,00

468

0,00

535

0,00

468

0,00

247

-0,0

0195

-0,0

1031

-0,0

2619

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

96

Tab

lo 4

.39

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki

Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli V

e İk

i Ken

arı B

oşta

Ola

n D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

Mxy

M

omen

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

-0,0

0624

-0,0

0769

-0,0

0643

-0,0

0357

0,00

000

0,00

357

0,00

643

0,00

769

0,00

624

0,00

000

0,10

0,00

000

-0,0

0167

-0,0

0302

-0,0

0291

-0,0

0172

0,00

000

0,00

172

0,00

291

0,00

302

0,00

167

0,00

000

0,20

0,00

000

-0,0

0119

-0,0

0152

-0,0

0139

-0,0

0082

0,00

000

0,00

082

0,00

139

0,00

152

0,00

119

0,00

000

0,30

0,00

000

-0,0

0068

-0,0

0081

-0,0

0069

-0,0

0039

0,00

000

0,00

039

0,00

069

0,00

081

0,00

068

0,00

000

0,40

0,00

000

-0,0

0029

-0,0

0036

-0,0

0029

-0,0

0016

0,00

000

0,00

016

0,00

029

0,00

036

0,00

029

0,00

000

0,50

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,60

0,00

000

0,00

029

0,00

036

0,00

029

0,00

016

0,00

000

-0,0

0016

-0,0

0029

-0,0

0036

-0,0

0029

0,00

000

0,70

0,00

000

0,00

068

0,00

081

0,00

069

0,00

039

0,00

000

-0,0

0039

-0,0

0069

-0,0

0081

-0,0

0068

0,00

000

0,80

0,00

000

0,00

119

0,00

152

0,00

139

0,00

082

0,00

000

-0,0

0082

-0,0

0139

-0,0

0152

-0,0

0119

0,00

000

0,90

0,00

000

0,00

167

0,00

302

0,00

291

0,00

172

0,00

000

-0,0

0172

-0,0

0291

-0,0

0302

-0,0

0167

0,00

000

1,00

0,00

000

0,00

624

0,00

769

0,00

643

0,00

357

0,00

000

-0,0

0357

-0,0

0643

-0,0

0769

-0,0

0624

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

97

Tab

lo 4

.40

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki

Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli V

e İk

i Ken

arı B

oşta

Ola

n D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

Qx

Kes

me

Kuv

vetle

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

-0,3

0134

0,29

227

0,24

184

0,16

364

0,08

196

0,00

000

-0,0

8196

-0,1

6364

-0,2

4184

-0,2

9227

0,30

134

0,10

0,69

221

0,41

692

0,28

281

0,18

134

0,08

924

0,00

000

-0,0

8924

-0,1

8134

-0,2

8281

-0,4

1693

-0,6

9221

0,20

0,50

187

0,40

041

0,29

113

0,18

968

0,09

365

0,00

000

-0,0

9365

-0,1

8968

-0,2

9113

-0,4

0041

-0,5

0187

0,30

0,48

626

0,39

170

0,29

164

0,19

261

0,09

567

0,00

000

-0,0

9567

-0,1

9261

-0,2

9164

-0,3

9170

-0,4

8626

0,40

0,48

338

0,38

849

0,29

112

0,19

344

0,09

643

0,00

000

-0,0

9643

-0,1

9344

-0,2

9112

-0,3

8849

-0,4

8338

0,50

0,48

320

0,38

777

0,29

090

0,19

360

0,09

662

0,00

000

-0,0

9661

-0,1

9360

-0,2

9090

-0,3

8777

-0,4

8320

0,60

0,48

338

0,38

849

0,29

112

0,19

344

0,09

643

0,00

000

-0,0

9643

-0,1

9344

-0,2

9112

-0,3

8849

-0,4

8338

0,70

0,48

626

0,39

170

0,29

164

0,19

261

0,09

567

0,00

000

-0,0

9567

-0,1

9261

-0,2

9164

-0,3

9170

-0,4

8626

0,80

0,50

187

0,40

041

0,29

113

0,18

968

0,09

365

0,00

000

-0,0

9365

-0,1

8968

-0,2

9113

-0,4

0041

-0,5

0187

0,90

0,69

221

0,41

692

0,28

281

0,18

134

0,08

924

0,00

000

-0,0

8924

-0,1

8134

-0,2

8281

-0,4

1693

-0,6

9221

1,00

-0,3

0134

0,29

227

0,24

184

0,16

364

0,08

196

0,00

000

-0,0

8196

-0,1

6364

-0,2

4184

-0,2

9227

0,30

134

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

98

Tab

lo 4

.41

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki

Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli V

e İk

i Ken

arı B

oşta

Ola

n D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

Qy

Kes

me

Kuv

vetle

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,39

686

-0,0

3107

0,00

212

0,02

311

0,03

403

0,03

740

0,03

403

0,02

311

0,00

212

-0,0

3107

0,39

686

0,10

-0,1

1425

-0,0

3828

-0,0

0612

0,01

102

0,01

992

0,02

271

0,01

992

0,01

102

-0,0

0612

-0,0

3828

-0,1

1426

0,20

0,02

589

-0,0

0167

0,00

066

0,00

716

0,01

193

0,01

359

0,01

193

0,00

716

0,00

066

-0,0

0167

0,02

589

0,30

0,01

518

0,00

505

0,00

327

0,00

503

0,00

703

0,00

782

0,00

703

0,00

503

0,00

327

0,00

505

0,01

518

0,40

0,00

627

0,00

341

0,00

234

0,00

268

0,00

333

0,00

362

0,00

333

0,00

268

0,00

234

0,00

341

0,00

627

0,50

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,60

-0,0

0627

-0,0

0341

-0,0

0234

-0,0

0268

-0,0

0333

-0,0

0362

-0,0

0333

-0,0

0268

-0,0

0234

-0,0

0341

-0,0

0627

0,70

-0,0

1518

-0,0

0505

-0,0

0327

-0,0

0503

-0,0

0703

-0,0

0782

-0,0

0703

-0,0

0503

-0,0

0327

-0,0

0505

-0,0

1518

0,80

-0,0

2589

0,00

167

-0,0

0066

-0,0

0716

-0,0

1193

-0,0

1359

-0,0

1193

-0,0

0716

-0,0

0066

0,00

167

-0,0

2589

0,90

0,11

425

0,03

828

0,00

612

-0,0

1102

-0,0

1992

-0,0

2271

-0,0

1992

-0,0

1102

0,00

612

0,03

828

0,11

426

1,00

-0,3

9686

0,03

107

-0,0

0212

-0,0

2311

-0,0

3403

-0,0

3740

-0,0

3403

-0,0

2311

-0,0

0212

0,03

107

-0,3

9686

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

99

Tab

lo 4

.42

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki

Ken

arı A

nkas

tre

Ola

rak

Mes

netli

Ve İk

i Ken

arı B

oşta

Ola

ni D

ikdö

rtge

n Pl

ak B

oyut

suz

Vx

Ve

Vy

Mes

net T

apki

leri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

Vy

0,00

-0,3

0134

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,30

134

0,10

Vx

0,69

221

-0,6

9221

0,20

0,50

187

-0,5

0187

0,30

0,48

626

-0,4

8626

0,40

0,48

338

-0,4

8338

0,50

0,48

320

-0,4

8320

0,60

0,48

338

-0,4

8338

0,70

0,48

626

-0,4

8626

0,80

0,50

187

-0,5

0187

0,90

0,69

221

-0,6

9221

1,00

-0,3

0134

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,30

134

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

100

Tab

lo 4

.43

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki

Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k M

esne

tli V

e İk

i Ken

arı B

oşta

Ola

n D

ikdö

rtgen

Pla

k B

oyut

suz

Rxy

Köş

e K

uvve

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

0,00

000

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00

000

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

101

1 3 5 7 9

11 S1 S3 S5 S7 S9 S11

0,00000

0,00050

0,00100

0,00150

0,00200

0,00250

0,00300

0,00350

x/a y/b

Deplasmanlar

0,00000-0,000500,00050-0,001000,00100-0,001500,00150-0,002000,00200-0,002500,00250-0,003000,00300-0,00350

Şekil 4.9: Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki

Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plağın Çökmesi

102

ÖR

NE

K 5

: İKİ K

EN

AR

I AN

KA

STR

E O

LA

RA

K İK

İ KE

NA

R S

ABİT

OL

AR

AK

ME

SNE

TLİ D

İKD

ÖR

TG

EN

PL

AĞ

A U

YG

UL

AN

AN

SA

BİT

YA

YIL

I YÜ

KL

EM

E

Tab

lo 4

.44

İki K

enarı A

nkas

tre O

lara

k İk

i Ken

ar S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lağa

Uyg

ulan

an S

abit

Yayılı

Yük

lem

e

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,10

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,20

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,30

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,40

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,50

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,60

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,70

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,80

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

0,90

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

İİ

İİ

İİ

103

Tab

lo 4

.45

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

, İk

i Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k İk

i Ken

ar S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z D

epla

sman

ları

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

00,

0000

00,

0008

80,

0014

00,

0017

20,

0018

90,

0019

50,

0018

90,

0017

20,

0014

00,

0008

80,

0000

0-0

,10

0,00

012

0,00

000

0,00

012

0,00

022

0,00

028

0,00

032

0,00

033

0,00

032

0,00

028

0,00

022

0,00

012

0,00

000

0,00

012

0,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,10

-0,0

0012

-0,0

0012

0,00

000

0,00

012

0,00

022

0,00

028

0,00

032

0,00

033

0,00

032

0,00

028

0,00

022

0,00

012

0,00

000

-0,0

0012

-0,0

0012

0,20

-0,0

0049

-0,0

0033

0,00

000

0,00

033

0,00

059

0,00

077

0,00

088

0,00

092

0,00

088

0,00

077

0,00

059

0,00

033

0,00

000

-0,0

0033

-0,0

0049

0,30

-0,0

0084

-0,0

0051

0,00

000

0,00

051

0,00

094

0,00

125

0,00

143

0,00

149

0,00

143

0,00

125

0,00

094

0,00

051

0,00

000

-0,0

0051

-0,0

0084

0,40

-0,0

0108

-0,0

0064

0,00

000

0,00

064

0,00

118

0,00

158

0,00

181

0,00

189

0,00

181

0,00

158

0,00

118

0,00

064

0,00

000

-0,0

0064

-0,0

0108

0,50

-0,0

0117

-0,0

0069

0,00

000

0,00

069

0,00

127

0,00

169

0,00

195

0,00

203

0,00

195

0,00

169

0,00

127

0,00

069

0,00

000

-0,0

0069

-0,0

0117

0,60

-0,0

0108

-0,0

0064

0,00

000

0,00

064

0,00

118

0,00

158

0,00

181

0,00

189

0,00

181

0,00

158

0,00

118

0,00

064

0,00

000

-0,0

0064

-0,0

0108

0,70

-0,0

0084

-0,0

0051

0,00

000

0,00

051

0,00

094

0,00

125

0,00

143

0,00

149

0,00

143

0,00

125

0,00

094

0,00

051

0,00

000

-0,0

0051

-0,0

0084

0,80

-0,0

0049

-0,0

0033

0,00

000

0,00

033

0,00

059

0,00

077

0,00

088

0,00

092

0,00

088

0,00

077

0,00

059

0,00

033

0,00

000

-0,0

0033

-0,0

0049

0,90

-0,0

0012

-0,0

0012

0,00

000

0,00

012

0,00

022

0,00

028

0,00

032

0,00

033

0,00

032

0,00

028

0,00

022

0,00

012

0,00

000

-0,0

0012

-0,0

0012

1,00

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

1,10

0,00

012

0,00

000

0,00

012

0,00

022

0,00

028

0,00

032

0,00

033

0,00

032

0,00

028

0,00

022

0,00

012

0,00

000

0,00

012

1,20

0,00

000

0,00

088

0,00

140

0,00

172

0,00

189

0,00

195

0,00

189

0,00

172

0,00

140

0,00

088

0,00

000

(x/a

)

(y/b

)

104

Tab

lo 4

.46

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki

Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k İk

i Ken

ar S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z M

x M

omen

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

-0,0

0746

-0,0

1321

-0,0

1709

-0,0

1931

-0,0

2002

-0,0

1931

-0,0

1709

-0,0

1321

-0,0

0746

0,00

000

0,10

0,00

000

0,00

055

-0,0

0136

-0,0

0336

-0,0

0471

-0,0

0517

-0,0

0471

-0,0

0336

-0,0

0136

0,00

055

0,00

000

0,20

0,00

000

0,00

652

0,00

828

0,00

822

0,00

777

0,00

756

0,00

777

0,00

822

0,00

828

0,00

652

0,00

000

0,30

0,00

000

0,01

058

0,01

522

0,01

684

0,01

721

0,01

724

0,01

721

0,01

684

0,01

522

0,01

058

0,00

000

0,40

0,00

000

0,01

293

0,01

937

0,02

212

0,02

307

0,02

327

0,02

307

0,02

212

0,01

937

0,01

293

0,00

000

0,50

0,00

000

0,01

370

0,02

075

0,02

389

0,02

505

0,02

531

0,02

505

0,02

389

0,02

075

0,01

370

0,00

000

0,60

0,00

000

0,01

293

0,01

937

0,02

212

0,02

307

0,02

327

0,02

307

0,02

212

0,01

937

0,01

293

0,00

000

0,70

0,00

000

0,01

058

0,01

522

0,01

684

0,01

721

0,01

724

0,01

721

0,01

684

0,01

522

0,01

058

0,00

000

0,80

0,00

000

0,00

652

0,00

828

0,00

822

0,00

777

0,00

756

0,00

777

0,00

822

0,00

828

0,00

652

0,00

000

0,90

0,00

000

0,00

055

-0,0

0136

-0,0

0336

-0,0

0471

-0,0

0517

-0,0

0471

-0,0

0336

-0,0

0136

0,00

055

0,00

000

1,00

0,00

000

-0,0

0746

-0,0

1321

-0,0

1709

-0,0

1931

-0,0

2002

-0,0

1931

-0,0

1709

-0,0

1321

-0,0

0746

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

105

Tab

lo 4

.47

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki

Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k İk

i Ken

ar S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z M

y M

omen

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

000

-0,0

2486

-0,0

4402

-0,0

5698

-0,0

6436

-0,0

6674

-0,0

6436

-0,0

5698

-0,0

4402

-0,0

2486

0,00

000

0,10

0,00

000

-0,0

0681

-0,0

1394

-0,0

1967

-0,0

2326

-0,0

2447

-0,0

2326

-0,0

1967

-0,0

1394

-0,0

0681

0,00

000

0,20

0,00

000

0,00

304

0,00

403

0,00

400

0,00

371

0,00

357

0,00

371

0,00

400

0,00

403

0,00

304

0,00

000

0,30

0,00

000

0,00

861

0,01

455

0,01

829

0,02

032

0,02

096

0,02

032

0,01

829

0,01

455

0,00

861

0,00

000

0,40

0,00

000

0,01

150

0,02

007

0,02

589

0,02

924

0,03

033

0,02

924

0,02

589

0,02

007

0,01

150

0,00

000

0,50

0,00

000

0,01

239

0,02

178

0,02

827

0,03

205

0,03

329

0,03

205

0,02

827

0,02

178

0,01

239

0,00

000

0,60

0,00

000

0,01

150

0,02

007

0,02

589

0,02

924

0,03

033

0,02

924

0,02

589

0,02

007

0,01

150

0,00

000

0,70

0,00

000

0,00

861

0,01

455

0,01

829

0,02

032

0,02

096

0,02

032

0,01

829

0,01

455

0,00

861

0,00

000

0,80

0,00

000

0,00

304

0,00

403

0,00

400

0,00

371

0,00

357

0,00

371

0,00

400

0,00

403

0,00

304

0,00

000

0,90

0,00

000

-0,0

0681

-0,0

1394

-0,0

1967

-0,0

2326

-0,0

2447

-0,0

2326

-0,0

1967

-0,0

1394

-0,0

0681

0,00

000

1,00

0,00

000

-0,0

2486

-0,0

4402

-0,0

5698

-0,0

6436

-0,0

6674

-0,0

6436

-0,0

5698

-0,0

4402

-0,0

2486

0,00

000

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

106

Tab

lo 4

.48

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki

Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k İk

i Ken

ar S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z M

xy

Mom

entle

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

435

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

-0,0

0435

0,10

0,01

138

0,01

031

0,00

787

0,00

516

0,00

253

0,00

000

-0,0

0253

-0,0

0516

-0,0

0787

-0,0

1031

-0,0

1138

0,20

0,01

365

0,01

261

0,01

003

0,00

679

0,00

339

0,00

000

-0,0

0339

-0,0

0679

-0,0

1003

-0,0

1261

-0,0

1365

0,30

0,01

114

0,01

039

0,00

844

0,00

582

0,00

295

0,00

000

-0,0

0295

-0,0

0582

-0,0

0844

-0,0

1039

-0,0

1114

0,40

0,00

612

0,00

573

0,00

470

0,00

328

0,00

167

0,00

000

-0,0

0167

-0,0

0328

-0,0

0470

-0,0

0573

-0,0

0612

0,50

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,60

-0,0

0612

-0,0

0573

-0,0

0470

-0,0

0328

-0,0

0167

0,00

000

0,00

167

0,00

328

0,00

470

0,00

573

0,00

612

0,70

-0,0

1114

-0,0

1039

-0,0

0844

-0,0

0582

-0,0

0295

0,00

000

0,00

295

0,00

582

0,00

844

0,01

039

0,01

114

0,80

-0,0

1365

-0,0

1261

-0,0

1003

-0,0

0679

-0,0

0339

0,00

000

0,00

339

0,00

679

0,01

003

0,01

261

0,01

365

0,90

-0,0

1138

-0,0

1031

-0,0

0787

-0,0

0516

-0,0

0253

0,00

000

0,00

253

0,00

516

0,00

787

0,01

031

0,01

138

1,00

-0,0

0435

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

435

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

107

Tab

lo 4

.49

Sab

it Y

ayılı

Yük

le Y

üklü

İki K

enarı A

nkas

tre O

lara

k İk

i Ken

ar S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z Q

x K

esm

e K

uvve

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

-0,1

2429

-0,2

2010

-0,1

6061

-0,1

0168

-0,0

4881

0,00

000

0,04

881

0,10

168

0,16

061

0,22

010

0,12

429

0,10

0,00

181

-0,0

5885

-0,0

6448

-0,0

4870

-0,0

2543

0,00

000

0,02

543

0,04

870

0,06

448

0,05

885

-0,0

0181

0,20

0,12

353

0,04

736

0,01

025

-0,0

0320

-0,0

0421

0,00

000

0,00

421

0,00

320

-0,0

1025

-0,0

4736

-0,1

2353

0,30

0,19

761

0,11

449

0,06

132

0,02

986

0,01

179

0,00

000

-0,0

1179

-0,0

2986

-0,0

6132

-0,1

1449

-0,1

9761

0,40

0,23

793

0,15

168

0,09

069

0,04

952

0,02

152

0,00

000

-0,0

2152

-0,0

4952

-0,0

9069

-0,1

5168

-0,2

3793

0,50

0,25

076

0,16

359

0,10

025

0,05

601

0,02

476

0,00

000

-0,0

2476

-0,0

5601

-0,1

0025

-0,1

6359

-0,2

5076

0,60

0,23

793

0,15

168

0,09

069

0,04

952

0,02

152

0,00

000

-0,0

2152

-0,0

4952

-0,0

9069

-0,1

5168

-0,2

3793

0,70

0,19

761

0,11

449

0,06

132

0,02

986

0,01

179

0,00

000

-0,0

1179

-0,0

2986

-0,0

6132

-0,1

1449

-0,1

9761

0,80

0,12

353

0,04

736

0,01

025

-0,0

0320

-0,0

0421

0,00

000

0,00

421

0,00

320

-0,0

1025

-0,0

4736

-0,1

2353

0,90

0,00

181

-0,0

5885

-0,0

6448

-0,0

4870

-0,0

2543

0,00

000

0,02

543

0,04

870

0,06

448

0,05

885

-0,0

0181

1,00

-0,1

2429

-0,2

2010

-0,1

6061

-0,1

0168

-0,0

4881

0,00

000

0,04

881

0,10

168

0,16

061

0,22

010

0,12

429

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

108

Tab

lo 4

.50

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki

Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k İk

i Ken

ar S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z Q

y K

esm

e K

uvve

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,12

429

0,27

888

0,40

351

0,47

057

0,50

343

0,51

327

0,50

343

0,47

057

0,40

351

0,27

888

0,12

429

0,10

0,00

000

0,16

106

0,26

746

0,33

192

0,36

594

0,37

652

0,36

594

0,33

192

0,26

746

0,16

106

0,00

000

0,20

0,00

000

0,09

790

0,17

334

0,22

370

0,25

190

0,26

092

0,25

190

0,22

370

0,17

334

0,09

790

0,00

000

0,30

0,00

000

0,05

720

0,10

432

0,13

764

0,15

704

0,16

337

0,15

704

0,13

764

0,10

432

0,05

720

0,00

000

0,40

0,00

000

0,02

657

0,04

910

0,06

550

0,07

525

0,07

847

0,07

525

0,06

550

0,04

910

0,02

657

0,00

000

0,50

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,60

0,00

000

-0,0

2657

-0,0

4910

-0,0

6550

-0,0

7525

-0,0

7847

-0,0

7525

-0,0

6550

-0,0

4910

-0,0

2657

0,00

000

0,70

0,00

000

-0,0

5720

-0,1

0432

-0,1

3764

-0,1

5704

-0,1

6337

-0,1

5704

-0,1

3764

-0,1

0432

-0,0

5720

0,00

000

0,80

0,00

000

-0,0

9790

-0,1

7334

-0,2

2370

-0,2

5190

-0,2

6092

-0,2

5190

-0,2

2370

-0,1

7334

-0,0

9790

0,00

000

0,90

0,00

000

-0,1

6106

-0,2

6746

-0,3

3192

-0,3

6594

-0,3

7652

-0,3

6594

-0,3

3192

-0,2

6746

-0,1

6106

0,00

000

1,00

-0,1

2429

-0,2

7888

-0,4

0351

-0,4

7057

-0,5

0343

-0,5

1327

-0,5

0343

-0,4

7057

-0,4

0351

-0,2

7888

-0,1

2429

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

109

Tab

lo 4

.51

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki

Ken

arı A

nkas

tre O

lara

k İk

i Ken

ar S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z V

x V

e V

y M

esne

t Tap

kile

ri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

Vy

0,00

-0,2

1130

0,27

888

0,40

351

0,47

057

0,50

343

0,51

327

0,50

343

0,47

057

0,40

351

0,27

888

0,21

130

0,10

Vx

-0,0

5186

0,05

186

0,20

0,13

189

-0,1

3189

0,30

0,23

946

-0,2

3946

0,40

0,29

655

-0,2

9655

0,50

0,31

448

-0,3

1448

0,60

0,29

655

-0,2

9655

0,70

0,23

946

-0,2

3946

0,80

0,13

189

-0,1

3189

0,90

-0,0

5186

0,05

186

1,00

-0,2

1130

-0,2

7888

-0,4

0351

-0,4

7057

-0,5

0343

-0,5

1327

-0,5

0343

-0,4

7057

-0,4

0351

-0,2

7888

0,21

130

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

110

Tab

lo 4

.52

Sabi

t Yayılı

Yük

le Y

üklü

İki K

enarı A

nkas

tre O

lara

k İk

i Ken

ar S

abit

Ola

rak

Mes

netli

Dik

dörtg

en P

lak

Boy

utsu

z R

xy

Köş

e K

uvve

tleri

-0,2

0-0

,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

-0,2

0-0

,10

0,00

0,00

870

-0,0

0870

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

-0,0

0870

0,00

870

1,10

1,20

(x/a

)

(y/b

)

111

1 3 5 7 9

11 S1 S

3 S5 S

7 S9 S11

0,00000

0,00050

0,00100

0,00150

0,00200

0,00250

x/a y/b

Deplasmanlar

0,00000-0,000500,00050-0,001000,00100-0,001500,00150-0,002000,00200-0,00250

Şekil 4.10: Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre İki Kenarı Sabit Olarak

Mesnetli Dikdörtgen Plağın Çökmesi

112

4.7 ANALİTİK ÇÖZÜM İLE SAYISAL ÇÖZÜMÜN KARŞILAŞTIRILMASI

Ortotropik plak problemleri kısmında hazırlamış olduğumuz program ile

çözdüğümüz dörtkenarı sabit olarak mesnetli ve üzerine sabit yayılı yük uygulanan

ortotropik dikdörtgen plak sonucunu S. Timoshenko’ nun Plak ve Kabuklar Teorisi

kitabının 183. sayfasında bulunan ve Dörtkenarı sabit mesnetli ortotrop plak için elde

ettiği sonuç ile karşılaştıracağız.

Dörtkenarı sabit mesnetli ortotrop plak için Timoshenko’ nun verdiği analitik sonuç;

∑ ∑∞

=

∞

= ++=

..5,3,1 ...5,3,14

4

22

22

4

46

)2(

sinsin16m n

yx

o

DbnH

banmD

ammn

byn

axm

qw

ππ

π (4.45)

Seri hızla yakınsak olduğu için ilk 4 terimin alınması yeterli olacaktır. 2/ax = ve

2/by = için w ;

∑∞

=

+++

=..5,3,1

422

2

4

46 ))12(

sin((sin

16m

yx

o

Db

Hba

mDamm

by

axmq

w

ππ

π

)))8118(3

3sin(

422

2

4

4

yx Db

HbamD

amm

by

+++

π

+++

+++

= )))81181(3

3sin()

)121(

sin(((sin

16

42244224

6

yxyx

o

Db

Hba

Da

by

Db

Hba

Da

by

axq

w

πππ

π

))))8116281(9

3sin()

)11881(3

sin((3sin

42244224 yxyx Db

Hba

Da

by

Db

Hba

Da

by

ax

+++

+++

πππ

(4.46)

113

x ve y değerlerini yerlerine koyacak olursak;

+++

−++

= ))81181(3

1

)121(

1(1(16

42244224

6

yxyx

o

Db

Hba

Da

Db

Hba

Da

qw

π

)))7291458729(

1

)354243(

1)(1(

42244224 yxyx Db

Hba

Da

Db

Hba

Da

++−

++−+ (4.47)

olarak elde edilir. Bu denklemdeki sabitler (2.51), (2.55) ve (2.58) ifadeleri yardımı

ile bulunur;

2* /902.243.1504,0*4,01

000.000.151

MKNE

Eyxxy

xxx =

−=

−=

νν

2* /390.524.104,0*4,01

000.500.11

MKNE

Eyxxy

yyy =

−=

−=

νν

2/756.60904,0*4,01000.500.1*4,0

11MKN

EEEE

yxxy

yyxy

yxxy

xxyxyxxy =

−=

−=

−==

ννν

ννν

KNMEh

D xx 2195

12)902.243.15(*)12,0(

12

3*3

===

KNMEh

D xy 5,219

12)390.524.1(*)12,0(

12

3*3

===

KNMEh

D xy 80,8712

)756.609(*)12,0(12

33

1 ===

KNMGhDxy 144012

)000.000.10(*)12(12

33

===

KNMDDH xy 80,29671440*280,8721 =+=+=

20 /2 MKNq = (4.48)

114

Bu değerler (4.47) de yerine konularak;

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++

=)5,219

6,318,2967

6,36,422195

6,41(

12*16

4224

6πw

−++

−)5,219

6,3818,2967

6,36,4182195

6,41(3

1

4224

+++

−)5,219

6,3380,2967

6,36,4542195

6,4243(

1

4224

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

+++

)5,2196,3

72980,29676,36,4

145821956,4

729(

1

4224

mw 0011419,020,20305

158,1779

166,916

185,27

114,332

6 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−= (4.49)

Daha önce elektronik tabloda bulduğumuz değer ise Tablo 4.8’ den 0,00115 m idi.

Analitik sonuca oldukça yakınsak olduğu görülmektedir.

115

a/b (W)x=a/2,y=b/2 (Mx)x=a/2,y=b/2 (My)x=a/2,y=b/2 (My)x=a/2,y=b

0,00192 0,02440 0,03320 -0,069700,00203 0,02531 0,03329 -0,06674

5,73% 3,73% 0,27% -4,25%0,00209 0,02300 0,03550 -0,073900,00222 0,02390 0,03573 -0,07113

6,22% 3,91% 0,65% -3,75%0,00223 0,02150 0,03750 -0,077100,00236 0,02244 0,03763 -0,07450

5,83% 4,37% 0,35% -3,37%0,00234 0,02030 0,03880 -0,079400,00248 0,02104 0,03909 -0,07704

5,98% 3,65% 0,75% -2,97%0,00240 0,01920 0,03990 -0,081000,00257 0,01975 0,04019 -0,07894

7,08% 2,86% 0,73% -2,54%0,00247 0,01790 0,04060 -0,082200,00264 0,01859 0,04101 -0,08033

6,88% 3,85% 1,01% -2,27%0,00260 0,01420 0,04200 -0,084200,00280 0,01483 0,04267 -0,08300

7,69% 4,44% 1,60% -1,43%

1,400

1,500

2,000

1,000

1,100

1,200

1,300

Ortotropinin Özel Hali Olan İzotropik Plak Çözümlerinin Karşılaştırılması:

Tablo 4.53’te ilk satırlar analitik çözüm, ikinci satır sayısal çözüm sonuçlarıdır.

Tablo 4.53 İki Kenarı Ankastre ve İki Kenarı Sabit Olarak Mesnetlenmiş Plağın Analitik Çözümleri ile Sonlu Farklar Yöntemi ile Bulunan Çözümlerinin

Karşılaştırılması.

116

b/a (W)x=a/2,y=b/2 (Mx)x=0,y=b/2 (My)x=a/2,y=0 (Mx)x=a/2,y=b/2 (My)x=a/2,y=b/2

0,00138 -0,05130 -0,05130 0,02310 0,023100,00137 -0,04872 -0,04872 0,02326 0,02326-0,72% -5,03% -5,03% 0,69% 0,69%

0,00164 -0,05810 -0,05310 0,02640 0,023100,00163 -0,05569 -0,05044 0,02711 0,02348-0,61% -4,15% -5,01% 2,69% 1,65%

0,00188 -0,06390 -0,05540 0,02990 0,022800,00187 -0,06169 -0,05115 0,03046 0,02314-0,53% -3,46% -7,67% 1,87% 1,49%

0,00209 -0,06870 -0,05630 0,03270 0,022200,00207 -0,06667 -0,05115 0,03325 0,02150-0,96% -2,95% -9,15% 1,68% -3,15%

0,00226 -0,07260 -0,05680 0,03490 0,021200,00223 -0,07069 -0,05067 0,03552 0,02150-1,33% -2,63% -10,79% 1,78% 1,42%

0,00240 -0,07570 -0,05700 0,03680 0,020300,00237 -0,07387 -0,04989 0,03733 0,02048-1,25% -2,42% -12,47% 1,44% 0,89%

0,00251 -0,07800 -0,05710 0,03810 0,019300,00248 -0,07633 -0,04893 0,03875 0,01945-1,20% -2,14% -14,31% 1,71% 0,78%

0,00260 -0,07990 -0,05710 0,03810 0,019300,00256 -0,07822 -0,04786 0,03984 0,01847-1,54% -2,10% -16,18% 4,57% -4,30%

0,00267 -0,08120 -0,05710 0,04010 0,017400,00263 -0,07963 -0,04674 0,04066 0,01757-1,50% -1,93% -18,14% 1,40% 0,98%

0,00272 -0,08220 -0,05710 0,04070 0,016500,00268 -0,08067 -0,04558 0,04128 0,01677-1,47% -1,86% -20,18% 1,43% 1,64%

0,00277 -0,08290 -0,05710 0,04170 0,012500,00272 -0,08142 -0,04441 0,04173 0,01606-1,81% -1,79% -22,22% 0,07% 28,48%

1,000

1,100

1,200

1,300

1,800

1,900

2,000

1,400

1,500

1,600

1,700

Tablo 4.54 Dörtkenarı Ankastre Olarak Mesnetlenmiş Plağın Analitik Çözümleri ile Sonlu Farklar Yöntemi ile Bulunan Çözümlerinin Karşılaştırılması.

117

Tablo 4.55 Dörtkenarı Sabit Olarak Mesnetlenmiş Plağın Analitik Çözümleri ile Sonlu Farklar Yöntemi ile Bulunan Çözümlerinin Karşılaştırılması

b/a (W)max (Mx)max (My)max (Qx)max (Qy)max (Vx)max (Vy)max R0,00406 0,04790 0,04790 0,33800 0,33800 0,42000 0,42000 0,065000,00406 0,04751 0,04751 0,33828 0,33828 0,41928 0,41928 0,06113

0,00% -0,81% -0,81% 0,08% 0,08% -0,17% -0,17% -5,95%0,00485 0,05540 0,04930 0,36000 0,34700 0,44000 0,44000 0,070000,00486 0,05503 0,04895 0,36002 0,34776 0,43851 0,43774 0,06673

0,21% -0,67% -0,71% 0,01% 0,22% -0,34% -0,51% -4,67%0,00564 0,06270 0,05010 0,38000 0,35300 0,45500 0,45300 0,074000,00564 0,06216 0,04973 0,37910 0,35488 0,45397 0,45251 0,07133

0,00% -0,86% -0,74% -0,24% 0,53% -0,23% -0,11% -3,61%0,00638 0,06940 0,05030 0,39700 0,35700 0,46800 0,46400 0,079000,00638 0,06880 0,05000 0,39574 0,36047 0,46625 0,46423 0,07503

0,00% -0,86% -0,60% -0,32% 0,97% -0,37% 0,05% -5,03%0,00705 0,07550 0,05020 0,41100 0,36100 0,47800 0,47100 0,083000,00708 0,07491 0,04992 0,41018 0,36485 0,47592 0,47351 0,07795

0,43% -0,78% -0,56% -0,20% 1,07% -0,44% 0,53% -6,08%0,00772 0,08120 0,04980 0,42400 0,36300 0,48600 0,48000 0,085000,00772 0,08048 0,04958 0,42270 0,36837 0,48352 0,48088 0,08021

0,00% -0,89% -0,44% -0,31% 1,48% -0,51% 0,18% -5,64%0,00830 0,08620 0,04920 0,43500 0,36500 0,49100 0,48500 0,086000,00830 0,08550 0,04905 0,43342 0,37118 0,48930 0,48665 0,08189

0,00% -0,81% -0,30% -0,36% 1,69% -0,35% 0,34% -4,78%0,00883 0,09080 0,04860 0,44400 0,36700 0,49600 0,48800 0,088000,00883 0,09001 0,04841 0,44269 0,37355 0,49376 0,49128 0,08314

0,00% -0,87% -0,39% -0,30% 1,78% -0,45% 0,67% -5,52%0,00931 0,09480 0,04790 0,45200 0,36800 0,49900 0,49100 0,090000,00930 0,09405 0,04771 0,45065 0,37560 0,49714 0,49500 0,08401-0,11% -0,79% -0,40% -0,30% 2,07% -0,37% 0,81% -6,66%

0,00974 0,09850 0,04710 0,45900 0,36900 0,50200 0,49400 0,091000,00973 0,09765 0,04699 0,45750 0,37741 0,49965 0,49802 0,08460-0,10% -0,86% -0,23% -0,33% 2,28% -0,47% 0,81% -7,03%

0,01013 0,10170 0,04640 0,46500 0,37000 0,50300 0,49600 0,092000,01012 0,10085 0,04626 0,46338 0,37907 0,50149 0,50052 0,08495-0,10% -0,84% -0,30% -0,35% 2,45% -0,30% 0,91% -7,66%

0,01223 0,11890 0,04060 0,49300 0,37200 0,50500 0,49800 0,093000,01224 0,11812 0,04078 0,49143 0,39454 0,50413 0,51472 0,08253

0,08% -0,66% 0,44% -0,32% 6,06% -0,17% 3,36% -11,26%0,01282 0,12350 0,03840 0,49800 0,37200 0,50200 0,50000 0,094000,01286 0,12299 0,03859 0,49780 0,41427 0,50209 0,52793 0,07721

0,31% -0,41% 0,49% -0,04% 11,36% 0,02% 5,59% -17,86%0,01297 0,12460 0,03750 0,50000 0,37200 0,50100 0,50000 0,095000,01304 0,12438 0,03786 0,49937 0,43909 0,50101 0,54528 0,07160

0,54% -0,18% 0,96% -0,13% 18,03% 0,00% 9,06% -24,63%

4,000

5,000

1,800

1,900

2,000

3,000

1,400

1,500

1,600

1,700

1,000

1,100

1,200

1,300

118

5 BÖLÜM 5

SONUÇLAR VE TARTIŞMA

Sonlu farklar yöntemi kullanılarak hazırlanan programdan elde ettiğimiz sonuçlar

hem ortotropik plaklar için hem de izotropik plaklar için S. Timoshenko’ nun

“Theory of Plates and Shells” kitabında analitik olarak çözülmüş ve sonuçlar tablo

halinde verilmiş değerler ile karşılaştırılarak hata oranları hesaplanmıştır. Sonuç

olarak, sonlu farklar yöntemi ile çözdüğümüz problemlerin önemli bir kısmının

analitik çözümlere oldukça yakın sonuçlar verdiği görülmüştür Fakat plak

boyutlarının birbirine oranı ba /=α büyüdükçe, hesaplanan değerlerdeki hassasiyet

kaybolmaktadır. Bu gibi durumlarda, hesaplanan nokta sayılarının arttırılması

hassasiyetin yeniden elde edilebilmesi için uygun bir yöntem olacaktır. Ancak nokta

sayısının arttırılması daha çok iterasyon yapılması anlamına gelir. Bu da hesap

işleminin uzun sürmesine neden olur. İşlem miktarının ve süresinin azalmasını

sağlamak için simetri özelliklerinin kullanılması faydalı olur. Bu şekilde elde

edilecek moment ve kesme kuvveti ifadelerinin işaretlerine dikkat edilmesi gerekir.

Ayrıca ortotropinin özel hali olan izotropi için sonlu farklar yöntemi ile elde

ettiğimiz sonuçlar ile İnş. Müh. Batuhan Çalin’in hazırlamış olduğu sonlu farklar

yöntemi ile izotropik plak çözümleri sonuçlarının birbiri ile örtüşmesi hazırlamış

olduğumuz programın güvenilirliğini kanıtlamıştır.

Sonlu farklar yöntemi dikdörtgen ve daire gibi düzgün sınırlarda uygulanması çok

kolay bir yöntemdir. Ayrıca Excel programındaki dairesel döngü yardımı ile sonlu

farklar yönteminde elde edilen doğrusal denklem takımının kuruluşu ve çözümü

kolay bir şekilde yapılmaktadır. Düzgün olmayan sınırları bulunan bölgelerde de

sonlu farklar yöntemi kullanılır ise de böyle bölgelerde sonlu elemanlar yöntemini

kullanmak hesap yükünü azaltır.

119

KAYNAKLAR

[1]- GEHRING, F., De Aequations Differentialibus, Quibus Aequilibrium et Motus

Laminae Crystallinae Deffiniuntur, unpublished dissertation, Berlin, (1860).

[2]- HEARMON, R. The Elastic Constants of Anisotropic Materials, Revs. Mod.

Phys., 18, 409, (1946).

[3]- LEISSA, A.W., Vibration of Plates, NASA SP-160 U.S. Goverment Printing

Office, Washington, D.C., (1969).

[4]- LECKHNITZKY, S.G., Anisotropic Plates, Translated from Russian by

American Iron and Steel Instituete, 1956. The Second Edition was Traslated by S.W.

Tsai and T. Cheron, Gordon and Breach/ New York (1968).

[5]- STAVSKY, Y., On the Theory of Heterogeneous Plates, Doctoral Dissertation,

Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge, Massachusetts, (1959).

[6]- REİSSNER, E. And STAVSKY, Y. Bending and Stretching of Certain Types of

Heterogeneous Aeolotropic Elastic Plates, J. Appl. Mech.,28, 402 (1961).

[7]- STAVSKY, Y. and HOFF, N., Mechanics of Composite Structures, Composite

Engineering Laminates, A.G.H. Dietz, ed.,MIT Pres, Cambridge, Mass. (1969).

[8]- DIETZ, A., Composite Engineering Laminates, MIT Pres, Cambridge, Mass.

(1969).

120

[9]- WADDOUPS, M., The Vibration Response of Laminated Orthotropic Plates,

M.S. Thesis, Department of Mechanical Engineering, Brigham Young University,

(1965).

[10]- TSAI, S., HALPIN J., and PAGANO, J., Composite Material Workshop,

Technomic Publ. Co. Inc., Stamford, Conn. (1968).

[11]- ASHTON, J. and ANDERSON, J., The Natural Modes of Vibrations of Boron-

Epoxy Plates, Bulletin of 39th Shock and Vibration Symposium, Pacific Grave,

California (1969).

[12]- WHITNEY, J. and LEISSA, A., Analysis of Heterogeneous Anisotropic Plates,

j.Appl. Mech., 36, 261 (1969).

[13]- WHITNEY, J. and LEISSA, A., Analysis of a Simple-Supported Laminated

Anisotropic Plate, AIAA/ASME 10th Structures, Structural Dynamics, and Material

Conferance, New Orleans, Lousiana, April 1969; a revised version published in

AIAA Journal, 8, No. 1 (1970).

[14]- ASHTON, J. and WADDOUPS, M., Dynamic Response of Anisotropic Plates,

General Dynamics Corp., Fort Worth Div., Contract No. AF33(615)-5257, Report

FZM-5088, March (1969).

[15]- KITCHER, T. And MANDELL, J., An Experimantal Study of the Buckling of

Anisotropic Plates, AIAA/ASME 10th Structure, Structural Dynamics and Materials

Conference, New Orleans, Louisiana (April 1969).

[16]- ASHTON, J., Anisotropic Plate Analysis-Boundary Conditions, J. Comp.

Mater., 4, 162 (1970)

121

[17]- WHITNEY, J. The Effect of Boundary Conditions on the Response of

Laminated Composite, J. Comp. Mater., 4, 192 (1970).

[18]- UZMAN, Ümit, (1985) Düzlem İçi Kuvvetler Etkisindeki Dikdörtgen Ortotrop

Plakların Düzlem İçi ve Düzlem Dışı Titreşimleri, İTÜ Doktora Tezi, ISTANBUL

[19]- KÜTÜĞ, Zafer, (1992) Plak Denkleminin Genel Çözümü İçin Bir Metod, İTÜ

Yüksek Lisans Tezi, ISTANBUL

[20]- ÇALİN, Batuhan, (1998) Elektronik Tablolarda Sonlu Farklar Yöntemiyle Plak

ve Üç Moment Denklemiyle Sürekli Kiriş Çözümü, İTÜ Yüksek Lisans Tezi,

ISTANBUL

[21]- ERGÜN, Ali,(1996) Plakların Sonlu Elemanlar ve Sonlu Farklar Metodu ile

Çözümü ve İki Metodun Karşılaştırılması, İTÜ Yüksek Lisans Tezi, ISTANBUL

[22]- ERGUN, Ali, (2002) İnce Plaklar İçin Geliştirilmiş Sonlu Farklar Metodu

Yöntemi, İTÜ Doktora Tezi, ISTANBUL

[23]- TIMOSHENKO, S., WOINOWSKY-KRIEGER, S(1959) Theory of Plates and

Shells, Mc Graw-Hill Book Company, Inc. New York.

[24]- BERKTAY, I (1992) Plak Teorisi ve Uygulamaları, Küçük Sehimli İnce

Plaklar, İstanbul.

[25]- BAKIOGLU, Mehmet, (2004) Sayısal Analiz, Birsen Yayınevi, ISTANBUL

122

[26]- GIRKMANN, Karl (Çeviri: Prof. Dr. Sacit TAMEROĞLU), (1991) Yüzeysel

Taşıyıcı Sistemler Cilt 1, İTÜ İnşaat Fakültesi Matbaası.

[27]- UGURAL, Ansel C., (1999) Stresses in Plates and Shells, Boston:

WCB/McGraw Hill

[28]- KUMBASAR N., CELEP Z. (1998) Betonarme Yapılar. 2.baskı. Sema

Matbaacılık/İstanbul.

123

ÖZGEÇMİŞ

1978 yılında Malatya’ da doğdu. İlk, orta ve lise eğitimini Malatya’ da tamamladı.

1996 yılında Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat fakültesi İnşaat Mühendisliği

Bölümü’ ne kayıt yaptırdı. 2001 yılında İnşaat Mühendisi olarak mezun oldu. Aynı

yıl İstanbul Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İnşaat Anabilin Dalı, Yapı

Mühendisliği Progamı’ nda yüksek lisans eğitimine başladı.