DISKRETNA MATEMATIKA Elementarna teorija brojeva Relacija deljivosti; Euklidov algoritam; Diofantske jednačine

Ivana Milosavljevid

1. D E LJ I V O S T Definicija Ceo broj 𝑎 deljiv je celim brojem 𝑏, različitim od nule, ako postoji ceo broj 𝑞 takav da je 𝑎 = 𝑏𝑞. Ako je broj 𝑎 deljiv brojem 𝑏, pišemo 𝑏|𝑎 ("𝑏 deli 𝑎 ").

𝑏|𝑎 ∃𝑞 ∈ 𝑍 𝑎 = 𝑏𝑞

Osobine relacije deljivosti Za svaka tri cela broja 𝑎, 𝑏 i 𝑐 (𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0) važe slededa tvrđenja:

1. Za svako 𝑎 važi 𝑎|𝑎. 2. Ako 𝑏|𝑎, onda 𝑏|𝑎𝑐 za svako 𝑐 ∈ 𝑍. 3. Ako 𝑎|𝑏 i 𝑏|𝑐, onda 𝑎|𝑐. 4. Ako 𝑎|𝑏 i 𝑎|𝑐, onda 𝑎|𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 za sve 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. 5. Ako 𝑎|𝑏 i 𝑏|𝑎, onda je 𝑎 = 𝑏 ili 𝑎 = −𝑏. 6. Ako za pozitivne brojeve 𝑎 i 𝑏 važi 𝑎|𝑏, onda je 𝑎 ≤ 𝑏. 7. Ako 𝑎|𝑏 i 𝑎|𝑐, onda 𝑎|𝑏 + 𝑐 i 𝑎|𝑏 − 𝑐. 8. Ako 𝑎|𝑏 i 𝑏|𝑐 i 𝑁𝑍𝐷 𝑎, 𝑏 = 1, onda 𝑎𝑏|𝑐.

Ako 𝑎|𝑏𝑖 , 𝑖 = 1,2, … 𝑛, onda 𝑎|𝑏1𝑏2 ∙ … ∙ 𝑏𝑛 . Ako se u jednakosti 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑘 = 0 za sve sabirke osim za jednog zna das u deljivi brojem 𝑏, onda je i taj sabirak deljiv sa 𝑏.

Kriterijumi deljivosti Broj 𝑛 je deljiv sa:

2 ukoliko mu je poslednja cifra parna, odnosno poslednja cifra je 0, 2, 4, 6, 8

3 ukoliko mu je zbir cifara deljiv sa 3

4 ukoliko se završava dvocifrenim brojem koji je deljiv sa 4

5 ukoliko mu je poslednja cifra 0 ili 5

6 ukoliko je deljiv sa 2 i sa 3

7 ukoliko je deljiv i broj m koji se dobija kada se u broju izbriše cifra jedinica i od tog

broja se oduzme dvostruka cifra jedinica

8 završava se trocifrenim brojem koji je deljiv sa 8

9 ukoliko mu je zbir cifara deljiv sa 9

10 ukoliko mu je poslednja cifra 0

11 pri čemu je 𝑛 = 𝑎𝑘𝑎𝑘−1 … 𝑎3𝑎2𝑎1 , ako je broj 𝑚 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯ deljiv

sa 11

12 ukoliko je deljiv sa 3 i sa 4

13 pri čemu je 𝑛 = 𝑎𝑘𝑎𝑘−1 … 𝑎3𝑎2𝑎1 , ako je broj 𝑚 = 𝑎3𝑎2𝑎1 − 𝑎6𝑎5𝑎4 +

𝑎9𝑎8𝑎7 − ⋯ deljiv sa 13

25 ukoliko mu je dvocifreni završetak deljiv sa 25, odnosno ukoliko su mu poslednje

dve cifre 00, 25, 50 ili 75

27 pri čemu je 𝑛 = 𝑎𝑘𝑎𝑘−1 … 𝑎3𝑎2𝑎1 , ako je broj 𝑚 = 𝑎3𝑎2𝑎1 + 𝑎6𝑎5𝑎4 +

𝑎9𝑎8𝑎7 + ⋯ deljiv sa 27

37 pri čemu je 𝑛 = 𝑎𝑘𝑎𝑘−1 … 𝑎3𝑎2𝑎1 , ako je broj 𝑚 = 𝑎3𝑎2𝑎1 + 𝑎6𝑎5𝑎4 +

𝑎9𝑎8𝑎7 + ⋯ deljiv sa 37

dekadnom jedinicom (10, 100, 1000,…) ukoliko ima isto ili više jedinica od dekadne

jedinice kojom delimo

složenim brojem ukoliko je deljiv sa dva uzajamno prosta broja koji ga čine

ZADACI

1. Dokazati da važi 𝑎 − 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 𝑎 − 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐

Rešenje: 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 − 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 − 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 𝑎 𝑏 − 𝑑 − 𝑐 𝑏 − 𝑑 = 𝑎 − 𝑐 (𝑏 − 𝑑)

𝑎 − 𝑐| 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 − 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 ˄ 𝑎 − 𝑐|𝑎𝑏 + 𝑐𝑑

𝑎 − 𝑐|𝑎𝑑 + 𝑏𝑐

2. Neka je 𝑚 ceo broj. Dokazati:

a) 6|𝑚3 − 𝑚 b) 30|𝑚5 − 𝑚

Rešenje:

a) 𝑚3 − 𝑚 = 𝑚 𝑚2 − 1 = 𝑚 𝑚 − 1 𝑚 + 1 = 𝑚 − 1 𝑚(𝑚 + 1) Proizvod tri uzastopna cela broja deljiv je sa 2 i sa 3, pa prema tome deljiv je i sa 6.

b) 𝑚5 − 𝑚 = 𝑚 𝑚4 − 1 = 𝑚 𝑚2 − 1 𝑚2 + 1 = 𝑚 𝑚 − 1 𝑚 + 1 (𝑚2 + 1)= Ponovo iskoristimo činjenicu da je proizvod tri uzastopna broja deljiv sa 6, pa 6|𝑚5 − 𝑚 . Zatim, ukoliko 𝑚 daje ostatak 0, 1 ili 4 pri deljenju sa 5, onda 5|𝑚 𝑚 − 1 𝑚 + 1 , a ukoliko daje ostatak 2 ili 3, onda 5|𝑚2 + 1. U svakom slučaju 5|𝑚5 − 𝑚. Tako da iz 5|𝑚5 − 𝑚 ˄ 6|𝑚5 − 𝑚 30|𝑚5 − 𝑚.

3. Neka je 𝑛 ceo broj i 𝑛 > 11. Dokazati da 𝑛2 − 19𝑛 + 89 nije potpun kvadrat.

Rešenje: Ideja je pokazati da se nalazi između kvadrata dva uzastopna broja. 𝑛2 − 19𝑛 + 89 = 𝑛2 − 18𝑛 + 81 − 𝑛 − 8 = (𝑛 − 9)2 − (𝑛 − 8) < (𝑛 − 9)2

𝑛2 − 19𝑛 + 89 = 𝑛2 − 20𝑛 + 100 + (𝑛 − 11) = (𝑛 − 10)2 + (𝑛 − 11) > (𝑛 − 10)2 (𝑛 − 10)2 < 𝑛2 − 19𝑛 + 89 < (𝑛 − 9)2

4. Ako je 𝑛 ∈ 𝑁, dokazati: 6|2𝑛3 − 3𝑛2 + 𝑛. Rešenje: Primetimo da je 2𝑛3 − 3𝑛2 + 𝑛 = 𝑛 2𝑛2 − 3𝑛 + 1 = 𝑛 2𝑛 − 1 (𝑛 − 1). Jedan od brojeva 𝑛, 𝑛 − 1 je paran. Ako brojevi 𝑛 I 𝑛 − 1 nisu deljivi sa 3, onda je sa 3 deljiv broj 𝑛 + 1, pa i broj 2𝑛 − 1 = 2𝑛 + 2 − 3 = 2(𝑛 + 1) − 3. U svakom slučaju, 6| 𝑛 2𝑛 − 1 (𝑛 − 1), odnosno 6|2𝑛3 − 3𝑛2 + 𝑛.

5. Ako su u trocifrenom broju deljivom sa 7 dve poslednje cifre jednake, dokazati da je zbir cifara tog broja deljiv sa 7. Rešenje: Neka je taj broj 𝑥𝑦𝑦 = 100𝑥 + 10𝑦 + 𝑦 = 100𝑥 + 11𝑦 = 7(14𝑥 + 𝑦) + 2𝑥 + 4𝑦. 7|𝑥𝑦𝑦 i 7|7(14𝑥 + 𝑦), pa 7| 𝑥𝑦𝑦 − 7 14𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 + 4𝑦 = 2(𝑥 + 2𝑦) Sledi da 7| 𝑥 + 2𝑦. A zbir cifara broja 𝑥𝑦𝑦 je upravo 𝑥 + 2𝑦.

6. Odrediti cifre 𝑥 i 𝑦 i tako da broj 1993𝑥𝑦 bude deljiv i sa 8 i sa 9.

Rešenje: Kako je dati broj deljiv sa 9, to je i zbir njegovih cifara deljiv sa 9, tj. treba da važi 9|4 + 𝑥 + 𝑦. To je mogude samo u dva slučaja: ako je 𝑥 + 𝑦 = 5 ili 𝑥 + 𝑦 = 14. Dati broj može se napisati u obliku 199300 + 10𝑥 + 𝑦 = 8 ∙ 24912 + 4 + 8𝑥 + 2𝑥 + 𝑦 a je on deljiv sa 8 ako i samo ako je 8|4 + 2𝑥 + 𝑦. U prvom slučaju, kada je 𝑥 + 𝑦 = 5, da bi broj 4 + 2𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 9 bio deljiv sa 8, mora biti 𝑥 = 7, što je nemogude jer 𝑥 + 𝑦 = 7 + 𝑦 = 5, a 𝑦 je cifra. Dakle, preostaje drugi slučaj, kada 𝑥 + 𝑦 = 14. Tada je 4 + 2𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 18 deljivo sa 8 jedino ako je 𝑥 = 6, a onda je 𝑦 = 8. Traženi broj je 199368.

7. Odrediti najmanji prirodan broj koji pri deljenju sa 2, 3, 4, 5 i 6 daje redom ostatke 1, 2, 3, 4 i 5.

Rešenje: Neka je 𝑛 traženi broj. Tada je broj 𝑛 + 1 deljiv sa 2, 3, 4, 5, 6, a pošto je NZS(2,3,4,5,6)=60, to je najmanji takav broj jednak 𝑛 + 1 = 60, tj. 𝑛 = 59.

8. Broj N=1010101…0101 definisan je tako da se naizmenično ređaju jedinice i nule. Odrediti najmanji broj N ovog oblika tako da je: a) deljiv sa 9 b) deljiv sa 99

Rešenje: a) Broj je deljiv sa 9 ako je zbir njegovih cifara deljiv sa 9, pa je najmanji broj ovog oblika koji je deljiv sa 9 jednak N=10101010101010101. b) Broj je deljiv sa 99 ako je deljiv sa 9 i 11

Broj je deljiv sa 11 ako mu je razlika zbira cifara na parnim i neparnim mestima deljiva sa 11. Najmanji broj ovog oblika deljiv sa 99 ima NZS(9, 11)=99 jedinica i 98 nula.

9. Odrediti najmanji prirodan broj koji pri deljenju sa 4, 6, 8, 10 i 12 daje redom ostatke 2, 4, 6, 8 i 10.

10. Dokazati da 𝑛|𝑛 + 1 onda i samo onda ako je 𝑛 = ∓1. 11. Ako je 𝑛 neparan broj, dokazati da je 𝑛(𝑛2 − 1) deljiv sa 24. 12. Dokazati da je kvadrat celog broja deljiv sa 4 ili je oblika 8𝑛 + 1. 13. Dokazati da je kvadrat brojeva koji nisu deljivi ni sa 2 ni sa 3 oblika 12n+1. 14. Dokazati da:

a) 9|10𝑛 − 1 b) 11|10𝑛 + (−1)𝑛−1

15. Dokazati da je zbir 2𝑛 + 1 uzastopnih brojeva deljiv sa 2𝑛 + 1.

2. E U K L I D O V A L G O R I T A M

Deljenje sa ostatkom Svaki ceo broj 𝑎 se može, za dati ceo broj 𝑏, na jedinstven način predstaviti u obliku:

𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 gde 𝑞 zovemo količnik, a 𝑟 ostatak dobijen pri deljenju broja 𝑎 brojem 𝑏.

NZD i Euklidov algoritam Neka su 𝑎 i 𝑏 nenegativni celi brojevi i neka je bar jedan različit od 0. Njihov najvedi zajednički delilac i najmanji zajednički sadržalac se obeležavaju sa NZD(𝑎, 𝑏) i sa NZS(𝑎, 𝑏) redom. Najvedi pozitivan ceo broj koji je delilac i od 𝑎 i od 𝑏, naziva se najvedi zajednički delilac brojeva 𝑎 i 𝑏. On uvek postoji, što se lako dokazuje, polazedi od principa dobrog uređenja. Najvedi zajednički delilac dva cela broja, od kojih je bar jedan različit od 0, je jedinstven. Važi:

NZD(𝑎, 1)=1 NZD(𝑎, 𝑎)=𝑎 NZD(𝑎, 0)=𝑎 NZD(𝑎, 𝑏)=NZD(𝑏, 𝑎)

Ako su 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 pozitivni celi brojevi, 𝑛 ≥ 3, tada je NZD(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 ) = NZD (NZD (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛−1), 𝑎𝑛 ).

Za brojeve 𝑎 i 𝑏 kažemo da su uzajamno prosti ako je NZD(𝑎, 𝑏)=1. Na osnovu osobine NZD(𝑎, 𝑏)=NZD(𝑏, 𝑎 − 𝑏), gde je 𝑎 > 𝑏 (analogno za 𝑎 < 𝑏) možemo računati NZD(𝑎, 𝑏) uzastopnim oduzimanjem manjeg broja od vedeg. Primer: NZD(48,30)=NZD(30,18)= NZD(18,12)=NZD(12, 6)= NZD(6,6)=6 Euklidov algoritam se bazira na prethodnom algoritmu:

𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 NZD 𝑎, 𝑏 = NZD 𝑏, 𝑟 = NZD(𝑏, 𝑎 − 𝑏𝑞)

Teorema: Neka su 𝑎 i 𝑏 nenegativni celi brojevi, pri čemu je bar jedan različit od nule. Tada je NZD 𝑎, 𝑏 jednak najmanjem celom broju koji se može izraziti kao linearna funkcija od 𝑎 i 𝑏, tj. NZD(𝑎, 𝑏) se može prikazati kao NZD(𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦, gde su 𝑥 i 𝑦 celi brojevi. Važi da je NZD 𝑎, 𝑏 ∙ NZS 𝑎, 𝑏 = 𝑎𝑏.

Euklidov algoritam Neka su 𝑎 i 𝑏 pozitivni celi brojevi, 𝑎 > 𝑏. Tada prema algoritmu delenja, jednoznačno su određeni brojevi 𝑞𝑖 i 𝑟𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 + 1, takvi da je

𝑎 = 𝑞1𝑏 + 𝑟1, 0 < 𝑟1 < 𝑏; 𝑏 = 𝑞2𝑟1 + 𝑟2, 0 < 𝑟2 < 𝑟1; 𝑟1 = 𝑞3𝑟2 + 𝑟3, 0 < 𝑟3 < 𝑟2;

. . . 𝑟𝑘−3 = 𝑞𝑘−1𝑟𝑘−2 + 𝑟𝑘−1, 0 < 𝑟𝑘−1 < 𝑟𝑘−2;

𝑟𝑘−2 = 𝑞𝑘𝑟𝑘−1 + 𝑟𝑘 , 0 < 𝑟𝑘 < 𝑟𝑘−1 𝑟𝑘−1 = 𝑞𝑘+1𝑟𝑘 + 0, (𝑟𝑘+1 = 0)

Niz 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, … , 𝑟𝑘−1, 𝑟𝑘 je opadajudi niz prirodnih brojeva manjih od b, što znači da se gore opisani postupak mora završiti posle konačnog broja koraka. Teorema 𝑁𝑍𝐷 𝑎, 𝑏 = 𝑟𝑘 , gde je 𝑟𝑘 poslednji pozitivan ostatak dobijen primenom Euklidovog algoritma na prirodne brojeve 𝑎 i 𝑏, 𝑎 > 𝑏. Primer: Odrediti NZD (252, 198). Po Euklidovom algoritmu imamo

252 = 1 · 198 + 54 198 = 3 · 54 + 36 54 = 1 · 36 + 18 36 = 2 · 18

Dakle, NZD (252, 198) = 18.

ZADACI

1. Odrediti NZD (52, 78) koristedi Euklidov algoritam. 2. Odrediti NZD (34, 166) koristedi Euklidov algoritam. 3. Odrediti NZD (255, 100) koristedi Euklidov algoritam. 4. Odrediti NZD (936, 588) koristedi Euklidov algoritam. 5. Odrediti NZD (28, 76) koristedi Euklidov algoritam. 6. Odrediti NZD (75, 120) koristedi Euklidov algoritam.

3. L I N E A R N A D I O F A N T S K A J E D N A Č I N A Definicija Ako su 𝑎, 𝑏, 𝑐 celi brojevi i 𝑎𝑏 ≠ 0 linearna jednačina oblika 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, pri čemu su vrednosti 𝑥 i 𝑦 iz skupa celih brojeva, naziva se linearna Diofantska (Diofantova) jednačina. Definicija Polinomna jednačina po promenljivim 𝑥, 𝑦, 𝑧, … sa celobrojnim koeficijentima naziva se Diofantska jednačina ako promenljive uzimaju vrednost iz skupa celih brojeva. Teorema Linearna Diofantska jednačina 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 ima rešenje ako i samo ako je 𝑑 | 𝑐 , gde je 𝑑 = 𝑁𝑍𝐷 (𝑎, 𝑏). Teorema Ako je 𝑑 = 𝑁𝑍𝐷 (𝑎, 𝑏) , 𝑑 | 𝑐 i (𝑥0, 𝑦0) jedno rešenje Diofantske jednačine 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, tada su sva rešenja 𝑥, 𝑦 data formulama

𝑥 = 𝑥0 +𝑏

𝑑∙ 𝑡

𝑦 = 𝑦0 −𝑎

𝑑∙ 𝑡

gde je 𝑡 proizvoljan ceo broj. REŠAVANJE DIOFANTSKE JEDNAČINE KORISTEĆI EUKLIDOV ALGORITAM Primer Reši Diofantsku jednačinu 28𝑥 + 70𝑦 = 39 koristedi Euklidov algoritam. Tražimo NZD (28, 70) koristedi Euklidov algoritam.

70 = 2 · 28 + 14 28 = 2 · 14

Diofantska jednačina 28𝑥 + 70𝑦 = 39 nema rešenja, jer je 14 = NZD (28, 70), a 14 nije delitelj broja 39.

Primer Reši Diofantsku jednačinu 13𝑥 + 32𝑦 = 5 koristedi Euklidov algoritam. Linearna Diofantova jednačina 13𝑥 + 32𝑦 = 5 ima rešenje. Ovde je 𝑎 = 32, 𝑏 = 13 koristedi Euklidov algoritam dobijamo

32 = 2 · 13 + 6 13 = 2 · 6 + 1 6 = 6 · 1.

Brojevi 32 i 13 su uzajamno prosti, odnosno NZD (32, 13)=1, pa broj 1 možemo predstaviti kao linearnu funkciju brojeva 32 i 13:

1 = 13 - 2·6 = 13 - 2· (32 - 2 ·13)=13 - 2·32 + 4 ·13 = 5 ·13 - 2·32 = 5 ·13 +(-2)·32. Pošto je 5 ·13 +(-2)·32 = 1, množenjem jednakosti sa 5, konačno dobijamo da je

13 · (25) + 32 · (-10) = 5. Dakle, jedno rešenje linearne Diofantove jednačine 13x + 32y = 5 je (25, -10). Sva rešenja ove jednačine su oblika

x = 25 + 32

1t = 25 + 32t

y = -10 - 13

1t = -10 - 13t

gde je t ceo broj. REŠAVANJE DIOFANTSKE JEDNAČINE NE KORISTEĆI EUKLIDOV ALGORITAM Primer Reši Diofantsku jednačinu 7𝑥 + 19𝑦 = 50 ne koristedi Euklidov algoritam. Jednačinu 7𝑥 + 19𝑦 = 50 rešimo po 𝑥, i dobija se

𝑥 =50−19𝑦

7= 7 − 2𝑦 +

1−5𝑦

7.

Da bi 𝑥 bio ceo broj 1 − 5𝑦 mora biti deljiv sa 7, odnosno mora biti 1 − 5𝑦 = 7𝑛, gde je 𝑛 proizvoljan ceo broj. Ovo dovodi do Diofantske jednačine 5𝑦 + 7𝑛 = 1, pri čemu su sada nepoznate 𝑦 i 𝑛. Nastavimo isti postupak.

5𝑦 + 7𝑛 = 1 𝑦 =1 − 7𝑛

5= −𝑛 +

1 − 2𝑛

5

𝑦 ∈ 𝑍 5 | 1 − 2𝑛 1 − 2𝑛 = 5𝑚, 𝑚 ∈ 𝑍

2𝑛 + 5𝑚 = 1 𝑛 =1 − 5𝑚

2= −2𝑚 +

1 − 𝑚

2

𝑛 ∈ 𝑍 2 | 1 − 𝑚 1 − 𝑚 = 2𝑝, 𝑝 ∈ 𝑍

𝑚 = 1 − 2𝑝, 𝑝 ∈ 𝑍 Dakle, imamo 𝑚 = 1 − 2𝑝, pri čemu je 𝑝 proizvoljan ceo broj. Do rešenja 𝑥 i 𝑦 sada dolazimo uvrštavanjem unazad:

𝑛 =1 − 5𝑚

2=

1 − 5(1 − 2𝑝)

2= −2 + 5𝑝

𝑦 =1 − 7𝑛

5=

1 − 7(−2 + 5𝑝)

5= 3 − 7𝑝

𝑥 =50 − 19𝑦

7=

50 − 19(3 − 7𝑝)

7= −1 + 19𝑝

Na ovaj način je odmah dobijeno rešenje u kanonskom obliku.

ZADACI

1. Reši Diofantske jednačine koristedi Euklidov algoritam: a. 13𝑥 + 21𝑦 = 15 b. 3𝑥 + 27𝑦 = 1 c. 252𝑥 + 198𝑦 = 18 d. 13𝑥 + 32𝑦 = 5 e. 27𝑥 + 59𝑦 = 20 f. 15𝑥 + 40𝑦 = 25 g. 3𝑥 + 12𝑦 = 21 h. 96𝑥 + 68𝑦 = 48

2. Reši Diofantske jednačine ne koristedi Euklidov algoritam: a. 13𝑥 + 21𝑦 = 15 b. 3𝑥 + 27𝑦 = 1 c. 252𝑥 + 198𝑦 = 18 d. 13𝑥 + 32𝑦 = 5 e. 27𝑥 + 59𝑦 = 20 f. 15𝑥 + 40𝑦 = 25 g. 3𝑥 + 12𝑦 = 21 h. 96𝑥 + 68𝑦 = 48