Bài 5:Phân phối xác suất (tt)

Nội dung

• Giới thiệu về phân phối chuẩn• Phân phối liên tục• Khái niệm phân phối chuẩn• Phân phối chuẩn tắc (Phân phối Z)

• Một vài bài toán liên quan đến phân phối chuẩn• Tính xác suất• Tìm ngưỡng

• Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Phân phối liên tục

• Phân phối được gọi là liên tục nếu • biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong một miền vô hạn

không đếm được • hàm phân bố tích lũy tạo thành một đường cong

liên tục • nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục

• không thể sử dụng hàm độ lớn xác suất (pmf) cho X• ta có thể tính xác suất cho một khoảng giá trị của X• xác suất X = a với a là bất kỳ giá trị cụ thể nào đều

bằng 0

Phân phối liên tục

• Được đặc trưng bởi hàm mật độ xác suất (pdf) f(x) thoả với a ≤ b bất kỳ

• Để tìm xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục, thường ta tính diện tích phần dưới đường cong nằm giữa 2 điểm cần tính xác suất

Pr( ) ( )b

aa X b f x dx≤ < = ∫

Phân phối chuẩn

• Phân phối chuẩn là mô hình xác suất được đặc trưng bởi hai đại lượng• trung bình µ• phương sai σ2

• Ký hiệu N(µ,σ2) hay N(µ,σ)• Hàm mật độ xác suất

• Hình chuông• Khác nhau ở tâm và độ rộng

∞

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn tắc

• Là phân phối chuẩn chính tắc (phân phối Z)• Trung bình µ = 0• Phương sai σ2 =1

• Điểm chuẩn (điểm z) là giá trị biểu diễn độ lệch chuẩn trên hay dưới trung bình

• Bảng phân phối Z: bảng tra phân bố tích lũy (cdf) khi biết giá trị z

212)0( 22

21

211)(

zz

eezf−

×−

−==

ππ

Phân phối chuẩn tắc

• Chuẩn hóa phân phối chuẩn N(µ,σ) là biến đổi phân phối chuẩn đã cho sang phân phối Z với N(µ = 0,σ = 1) hay N(0,1).

• Việc chuẩn hóa phân phối chuẩn cho trước để có thể sử dụng được bảng phân phối Z không làm ảnh hưởng gì đến các xác suất cần tính và như vậy, không ảnh hưởng đến kết quả bài toán gốc

.XZ µσ−

=

Bài toán 1: tính xác suất

• Bài toán: cho một/khoảng giá trị của X, tìm xác suất nhỏ hơn, lớn hơn hay trong khoảng này

• Các bước thực hiện• Vẽ hình của phân phối• Đưa về dạng bài toán xác suất Pr(X

Ví dụ

• Chiều dài cá được mô hình hóa bằng phân phối chuẩn N(µ=16 (cm), σ=4 (cm)). Ta cần trả lời các câu hỏi sau:• Câu hỏi 1: Xác suất bắt được con cá nhỏ (nhỏ hơn

8 (cm))?• Câu hỏi 2: Giả sử, ai bắt được con cá lớn (lớn hơn

24(cm)) sẽ được thưởng. Hỏi xác suất được thưởng là bao nhiêu?

• Câu hỏi 3: Xác suất bắt được con cá vừa (trong khoảng 16-24(cm))?

Ví dụ (tt)

• Bước 1: biểu diễn đồ thị của phân phối• Nhớ lại

f(x)

Ví dụ (tt)

• Bước 2: chuyển về bài toán xác suất• Ví dụ

• Câu hỏi 1 ⇔ P(X24)=?• Câu hỏi 3 ⇔ P(16

Ví dụ (tt)

• Bước 3: chính tắc hóa về phân phối Z• Nhớ lại

• Ví dụ

XZ µσ−

=

( ) ( 16) .4

X XZ µσ− −

= =

Ví dụ (tt)

• Bước 4: tra bảng phân phối Z• Sử dụng bảng Z

• Để tìm xác suất nhỏ hơn z cho trước• Tìm hàng biểu diễn ký số trước và sau chấm

thập phân• Tìm cột biểu diễn ký số thứ 2 sau dấu thập

phân• Giao của hàng và cột này chính là kết quả cần

tìm• Ví dụ. tính P(Z

Bài toán 2: Tìm ngưỡng

• Bài toán: cho Pr(Xa), tìm a.• Đối với Pr(X

Bài tập: bài toán 2

• Bài tập: Giả sử chiều dài cá trong hồ có phân phối chuẩn N(µ=16(cm),σ=4(cm)). Ta muốn trả lời các câu hỏi sau:• Câu hỏi 4: Biết 10% cá trong hồ là cá nhỏ, vậy thế

nào là cá nhỏ?• Câu hỏi 5: Chỉ quan tâm đến 10% cá lớn nhất trong

hồ, vậy cá dài hơn bao nhiêu là cá lớn?

Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn

• Trong phân phối nhị thức, tính xác suất khi số phép thử lớn (ví dụ như 100) là gần như không thể

• Phân phối chuẩn có thể được dùng để xấp xỉ xác suất nhị thức khi n lớn.

Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn (tt)

• Khi số lần thí nghiệm lớn, xs thành công• p gần 0.5 dạng chuông đối xứng• p gần 0 (1) lệch trái (phải)

Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn (tt)

• Do phân phối nhị thức có dạng gần giống phân phối chuẩn khi n lớn có thể sử dụng phân phối chuẩn để xấp xỉ nhị thức

• 3 câu hỏi• n thế nào là lớn?• dùng trung bình và độ lệch chuẩn nào để chuẩn hóa

X về Z?• Phân phối nhị thức là rời rạc, còn phân phối chuẩn

là liên tục. Vậy, làm thế nào để chỉnh cho liên tục?

Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn (tt)

• Câu hỏi 1: n lớn bao nhiêu?• Quy tắc: có thể sử dụng phối chuẩn để xấp

xỉ nhị thức khi n thỏa (n×p) > 5 và (n×(1 –p)) > 5. Và n càng lớn thì xấp xỉ càng tốt.

Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn

• Câu hỏi 2: trung bình và phương sai cho pp chuẩn• µ = E(X) = n×p • σ2 = Var(X) = n×p×(1-p)

Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn (tt)

• Câu hỏi 3: hiệu chỉnh liên tục?• Tại sao cần?

• Khi dùng phân phối chuẩn để xấp xỉ nhị thức, thực chất ta đang thực hiện quá trình làm trơn cạnh của các thanh của nhị thức bằng một đường cong liên tục

Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn (tt)

• Quy tắc hiệu chỉnh• Biểu diễn bài toán dưới dạng xác suất. Chẳng hạn

P(X < 27).• Xác định điểm cắt trên thanh ta cần tính. Chẳng

hạn, P(X < 27), X=27. • Cộng thêm hay trừ đi một lượng bằng ½ tùy thuộc

xác suất ta cần tìm là lớn hơn hay nhỏ hơn.• Nếu xác suất nhỏ hơn hoặc bằng, cộng ½ vào X

trước khi lấy xác suất. Chẳng hạn, nếu X ≤ 5 sẽ được nắn thành 5.5.

Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn

• Quy tắc hiệu chỉnh (tt)• Nếu xác suất lớn hơn hoặc bằng, trừ ½ khỏi X

trước khi lấy xác suất. Chẳng hạn, nếu X ≥ 2 sẽ được nắn thành 1.5.

• Nếu xác suất nằm giữa 2 giá trị, chẳng hạn 2 ≤ X ≤ 5, ta thực hiện các bước 1, 2 và 3a để nắn giá trị X = 5; các bước 1, 2 và 3b để nắn X = 2.

• Nếu xác suất bằng đúng 1 giá trị, nắn bằng cách vừa cộng vừa trừ. Chẳng hạn, P(X = 3) nắn thành P(2.5 ≤ X ≤ 3.5).

Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn(tt)

• Quy tắc hiệu chỉnh (tt)• Nếu xác suất bé hơn hẳn thì chuyển X thành X – 1.

Chẳng hạn, P(X < 27) thành P(X ≤ 26) và tính tiếp.• Nếu xác suất lớn hơn hẳn, chuyển X thành X + 1.

Chẳng hạn, P(X > 27) thành P(X ≥ 28) và tính tiếp.

Tóm tắt

• Phân phối chuẩn• Phân phối liên tục• Khái niệm phân phối chuẩn• Phân phối Z

• 2 bài toán• Tính xác suất• Tìm ngưỡng

• Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng pp chuẩn

Từ khóa• Phân phối chuẩn (normal distribution)• Phân phối Z (Z distribution)• Hàm mật độ xác suất (probability densition function

– pdf)

Bài 5:�Phân phối xác suất (tt)Nội dungPhân phối liên tụcPhân phối liên tụcPhân phối chuẩnPhân phối chuẩnPhân phối chuẩn tắcPhân phối chuẩn tắcBài toán 1: tính xác suấtVí dụVí dụ (tt)Ví dụ (tt)Ví dụ (tt)Ví dụ (tt)Bài toán 2: Tìm ngưỡngBài tập: bài toán 2Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩnXấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn (tt)Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn (tt)Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn (tt)Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩnXấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn (tt)Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn (tt)Xấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩnXấp xỉ nhị thức bằng pp chuẩn(tt)Tóm tắtTừ khóa