Bài giảng Lý thuyết xác suất & thống kê - Nguyễn Đức Tuấn, 2015

8/21/2019 Bài giảng Lý thuyết xác suất & thống kê - Nguyễn Đức Tuấn, 2015

http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-ly-thuyet-xac-suat-thong-ke-nguyen-duc-tuan 1/94

Bμi gi¶ng m«n : Ng− êi so¹n : NguyÔn §øc TuÊnlý thuyÕt x¸c suÊt & thèng kª

http://www.ebook.edu.vn 1

Më ®Çu

Tr− êng Cao ®¼ng Kinh tÕ - Kü thuËt KonTum ®− îc thμnh lËp trªn c¬ së n©ng cÊptõ tr− êng Trung häc KTKTTH KonTum tõ th¸ng 04 n¨m 2006.V× vËy vÒ tμi liÖuhäc tËp vμ nghiªn cøu cho sinh viªn nãi chung vÉn cßn nhiÒu h¹n chÕ.Bé m«nTo¸n nãi chung vμ m«n lý thuyÕt x¸c suÊt thèng kª nãi riªng còng míi ®− a vμoch− ¬ng tr×nh häc tËp vμ gi¶ng d¹y nªn còng gÆp nhiÒu khã kh¨n vÒ tμi liÖu häctËp,nghiªn cøu. MÆc kh¸c,çc tμi liÖu vÒ bé m«n x¸c suÊt thèng kª, nh×n chungth− êng ®ù¬c viÕt dμnh cho çc sinh viªn chuyªn ngμnh To¸n nªn vÒ ng«n ng÷tr×nh bμy,néi dung nghiªn cøu th− êng kh¸ phøc t¹p vμ g©y kh«ng Ýt khã kh¨n choçc sinh viªn chuyªn ngμnh KT-KT. Nh÷ng tμi liÖu nμy víi khèi l− îng kiÕn thøcqu¸ nÆng vμ chuyªn s©u nhiÒu ®Õn viÖc nghiªn cøu lý thuyÕt to¸n häc nªn häcsinh,sinh viªn th− êng gÆp khã kh¨n trong viÖc n¾m b¾t nh÷ng néi dung chÝnh ®ÓvËn dông vμo trong çc m«n häc chuyªn ngμnh cña m×nh.Tõ nh÷ng vÊn ®Ò trªn, yªu cÇu vÒ viÖc x©y dùng mét tμi liÖu m«n häc lý thuyÕtx¸c suÊt thèng kª tinh gän nh− ng vÉn ®¶m b¶o vÒ mÆt øng dông,phï hîp víi khèil− îng häc tËp vμ tr×nh ®é cña häc sinh,sinh viªn trë nªn cÊp thiÕt.

Ra ®êi tõ thÕ kû 17 nh− ng lý thuyÕt XS & TK lμ bé m«n cã øng dông rÊt nhiÒutrong thùc tÕ,trong nhiÒu tr− êng hîp nã lμ c¬ së ®Çu tiªn ®Ó ®− a ra nh÷ng quyÕt®Þnh.Môc ®Ých cña gi¸o tr×nh lμ nh»m trang bÞ cho häc sinh ,sinh viªn nh÷ng kiÕnthøc to¸n häc c¬ b¶n cho qu¸ tr×nh thu nhËp vμ sö lý çc th«ng tin kinh tÕ-x·héi,lμ nÒn t¶ng trong mét sè bé m«n kh¸c nh− : lý thuyÕt thèng kª,d©n sèhäc,kinh tÕ l− îng ...Víi quan ®iÓm tinh gän vμ chó träng thùc hμnh nªn trong tμi liÖu chØ chó träng®Õn çc øng dông cña ph− ¬ng ph¸p x¸c suÊt vμ thèng kª trong viÖc nghiªn cøukinh tÕ - kü thuËt h¬n lμ tr×nh bμy d− íi d¹ng thuÇn tuý to¸n häc.Trong qu¸ tr×nhx©y dùng tμi liÖu ®· bá qua mét sè phÇn lý thuyÕt mμ chØ chó träng ®Õn viÖc södông çc kÕt qu¶ nghiªn cøu cña nã ®Ó øng dông vμo çc bμi to¸n thùc tÕ th− ênggÆp. Ch¼ng h¹n : trong tμi liÖu ®· bá qua phÇn "çc qui luËt ph©n phèi x¸c suÊtcña çc ®Æc tr− ng mÉu" nh− ng l¹i sö dông çc thμnh qu¶ cña nã lμ çc thèng kª

®Æc tr−

ng ®Ó x©y dùng çc bμ

i to¸n vÒ−

íc l−

îng,kiÓm ®Þnh ...Çc vÝ dô,bμi tËp còng th− êng xuÊt ph¸t tõ çc bμi to¸n thùc tÕ vμ ®− îc tr×nh bμytheo nh÷ng ng«n ng÷ th«ng dông cã thÓ gióp cho ban ®äc dÔ dμng h¬n trong viÖcn¾m b¾t nh÷ng kiÕn thøc lý thuyÕt.

T μi liÖu nμy ®− îc x©y dùng trªn c¬ së nghiªn cøu,chän läc,tæng hîp tõ nh÷ngkiÕn thøc XS&TK ®· ®− îc x©y dùng trong çc gi¸o tr×nh,tμi liÖu cã tr− íc,hy vängsÏ cung cÊp ®− îc cho HS,SV tr− êng mét tμi liÖu bæ Ých,phï hîp trong qu¸ tr×nhhäc tËp bé m«n nμy.





§Ó x©y dùng tμi liÖu nμy,t¸c gi¶ ®· sö dông çc tμi liÖu,gi¸o tr×nh sau :1,Lý thuyÕt x¸c suÊt vμ thèng kª to¸n (Tr− êng ®¹i häc kinh tÕ quèc d©n Hμ Néi)

-NXB gi¸o dôc -2002.2,X¸c suÊt thèng kª (Gi¸o tr×nh ®μo t¹o gi¸o viªn hÖ cao ®¼ng s− ph¹m)

-NXB gi¸o dôc3,Gi¸o tr×nh x¸c suÊt thèng kª (NguyÔn §×nh HiÓn) - NXB ®¹i häc s− ph¹m4,Bμi tËp x¸c suÊt thèng kª (Tr− êng ®¹i häc kinh tÕ TP Hå ChÝ Minh )

- NXB thèng kª - 20065,Bμi tËp x¸c suÊt thèng kª ( Tèng §×nh Quú) - NXB gi¸o dôc 1998

Trong qu¸ tr×nh x©y dùng,tμi liÖu nμy ch¾c ch¾n cßn nhiÒu thiÕu sãt. KÝnh mongçc ®ång nghiÖp vμ çc b¹n ®äc ®ãng ghãp ý kiÕn ®Ó tμi liÖu ngμy cμng hoμnthiÖn.

Xin ch©n thμnh c¶m ¬n !





Ch− ¬ng 0 :Gi¶i tÝch tæ hîp

1,Ho¸n vÞ:Cã n vËt kh¸c nhau s¾p xÕp vμo n chæ,cã n çch chän vËt thø nhÊt ®Ó xÕp vμo vÞtrÝ thø nhÊt,cã n-1 çch chän vËt thø 2 vμo vÞ trÝ thø 2,t− ¬ng tù nh− vËy sÏ cãn- k +1 çch chän vËt thø k vμo vÞ trÝ thø k. Mçi çch s¾p xÕp nh− vËy gäi lμ 1

ho¸n vÞ cña n vËt.*§Þnh nghÜa: Mét nhãm n phÇn tö ® − îc s¾p xÕp theo n chç sao cho mçi chç chØcã duy nhÊt 1 phÇn tö, mçi çch s¾p xÕp nh− vËy gäi lμ 1 ho¸n vÞ.VËy cã n! çchs¾p xÕp cho n phÇn tö t − ¬ng øng víi n! ho¸n vÞ.

Sè ho¸n vÞ ®− îc tÝnh theo c«ng thøc:n ! = 1.2.3......(n-1).n

+Qui − íc : 0! = 1.VD :1,Cho 3 sè tù nhiªn ®Çu tiªn 1,2,3 cã 3! = 6çch s¾p xÕp 1 bé sè gåm 3 chö sè

sao cho çc sè kh«ng ®− îc trïng nhau.2,Cã 5 ng− êi b¹n ®i xem phim vμ ngåi ë 5 ghÕ gÇn nhau.Cã 5! =120 çch s¾p

xÕp 5 ng− êi b¹n nμy ngåi vμo 5 ghÕ gÇn nhau.

2,ChØnh hîpCã n phÇn tö (vËt) kh¸c nhau lÊy ngÉu nhiªn ra k vËt sao cho 2 çch lÊy ®− îc gäi

lμ kh¸c nhau nÕu thø tù lÊy chóng lμ kh¸c nhau hoÆc cã Ýt nhÊt 1 phÇn tö kh¸c

nhau.Mçi nhãm k phÇn tö nh− vËy gäi lμ1chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö.NÕu phÇn tö nμo còng cã kh¶ n¨ng chän nh− nhau th× cã n çch chän vËt thø nhÊt,n-1 çch lÊy phÇn tö thø 2,.....,n- k+1.VËy cã tÊt c¶ n.(n-1)....(n- k+1) çch lÊynh− vËy.

§Þnh nghÜa1: Mét nhãm k phÇn tö ® − îc lÊy lÇn l− ît theo 1 thø tù nhÊt ®Þnh kh«nglÆp l¹i trong n phÇn tö kh¸c nhau gäi lμ 1 chØnh hîp kh«ng lÆp chËp k cña n

phÇn tö.KÝ hiÖu: k

n A ®− îc tÝnh theo c«ng thøc:!

( 1).....( 1)(1 )( )!

k

n

n A n n n k k nn k = = − + + ≤ ≤−

§Þnh nghÜa 2: Mét nhãm k phÇn tö ® − îc lÊy lÇn l− ît theo 1 thø tù nhÊt ®Þnh trongn phÇn tö kh¸c nhau mμ mçi phÇn tö cã thÓ cã mÆt k lÇn trong nhãm k phÇn tö ®ã® − îc gäi lμ 1 chØnh hîp lÆp chËp k cña n phÇn tö ® − îc tÝnh b»ng c«ng thøc nk .





VD:1,Mét cña hμng cã b¸n 3 çi mò mμu :xanh, ®á, tÝm.Cã 2 kh¸ch ®Õn mua,mçing− êi mua 1 çi.Ng− êi b¸n hμng lÊy lÇn l− ît ra 2 çi giao cho kh¸ch.Ta cã thÓ lÆpluËn nh− sau:-§Çu tiªn cã 3 çch chän cho çi mò ®Çu tiªn.

-Víi çc thø 2 th× chØ cßn 2 çch chänSè çch chon lμ 2x3 =6.

Nh− vËy cã 2

3 A =6 çch lÊy ra 2 mò trong 3 çi mò ®Ó trao cho kh¸ch

2,Cã bao nhiªu çch lÆp 2 chö sè kh¸c nhau tõ 4 chö sè 1,2,3,4?Cã 2

4 = 12 çch

- Cã bao nhiªu çch lÆp 2 chö sè tõ 4 chö sè 1,2,3,4?Cã 42 = 16 çch.

3,Cã 3 vßng kho¸ , mçi kho¸ cã 5 chö sè trªn 1 æ kho¸.Cã bao nhiªu çch lÆp m·cho æ kho¸ nμy?-Cã 53 = 75 çch lÆp mËt m· cho æ kho¸ nμy.-Cã 3

5 A = 5x4x3 = 60 çch lËp mËt m· cho æ kho¸ nμy sao cho çc sè kh«ng

trïng nhau.3,Tæ hîp:Cã n phÇn tö kh¸c nhau lÊy ra 1 nhãm k vËt,gäi 1 nhãm nh− vËy lμ tæ hîp chËp kcña n phÇn tö.Khi lÊy ta cã thÓ lÊy cïng 1 lóc hay lÇn l− ît nh− ng kh«ng kÓ ®Õnthø tù.Hai tæ hîp kh¸c nhau nÕu chóng cã Ýt nhÊt 1 vËt kh¸c nhau.

§Þnh nghÜa: Mét nhãm k phÇn tö ® − îc lÊy ra mμ kh«ng kÓ thø tù tõ n phÇn tökh¸c nhau gäi lμ 1 tæ hîp chËp k cña n phÇn tö.

kÝ hiÖu k

nC ®− îc tÝnh nh− sau:!

! !( )!

k k nn

A nC

k k n k = =

−

* 0

nC = n

nC =1; 1

nC = n.

VD :

1,Cã 3

8

8!

3!(8 3)!C =

− =

8.7.656

3.2= çch lÊy 3 viªn bi tõ 8 viªn.

4,LuËt tÝch,tæng çcbiÕn cè :NÕu ta cã n viÖc A i kh¸c nhau sao cho cã ki çch thùc hiÖn Ai th× sè çch thùchiÖn liªn tiÕp ®ång thêi n viÖc Ai lμ k1k2......kn .Ng− îc l¹i nÕu çc viÖc A i kh«ng ®ång thêi x·y ra hay chØ 1 trong çc viÖc x¶y rath× sè çch thùc hiÖn lμ k1 + k2+...... + kn .





VD:1, Cã bao nhiªu çch lÊy 5 con bμi tõ bé bμi sao cho trong 5 con lÊy ra cã 3 con 5vμ 2 con 10

Gi¶i:-Sè çch lÊy ra 3 con 5 lμ : 3

4C = 4

- Sè çch lÊy ra 2 con 10 lμ: 2

4C = 6

VËy sè çch lÊy ra 3 con 5 vμ 2 con 10 lμ 4.6 = 24 çch.

2,Mét hép ®ùng 6 bi tr¾ng vμ 4 bi ®en.a,Cã bao nhiªu çch lÊy ra 5 bi?b,Cã bao nhiªu çch lÊy ra 5 bi trong ®ã cã ®óng 2 bi tr¾ng?c,Cã bao nhiªu çch lÊy ra 5 bi trong ®ã cã Ýt nhÊt 2 bi tr¾ng.

d,Cã bao nhiªu çch lÊy ra 5 bi trong ®ã cã nhiÒu nhÊt 2 bi tr¾ng.

Gi¶i:

a,Sè çch lÊy 5 bi lμ 5

10C = 10.9.8.7.6

2525.4.3.2

= çch.

b,Cã 2 tr− êng hîp ®ång thêi x¶y ra lμ lÊy tõ 6 bi tr¾ng 2 viªn bi tr¾ng vμ lÊy 3 viªn bi ®en tõ 4 viªn bi ®en.VËy sè çch lÊy lμ:

2

6C 3

4C

c,Cã 4 tr− êng hîp kh«ng ®ång thêi x¶y ra(chØ 1 trong çc biÕn cè nμy x·y ra)-LÊy 2 viªn bi tr¾ng vμ 3 viªn bi ®en, sè çch lÊy lμ 2

6C 3

4C

-LÊy 3 viªn bi tr¾ng vμ 2 viªn bi ®en , sè çch lÊy lμ 3

6C 2

4C

-LÊy 4 viªn bi tr¾ng vμ 1 viªn bi ®en, sè çch lÊy lμ 4

6C 1

4C

-LÊy 5 viªn bi tr¾ng vμ kh«ng lÊy bi ®en , sè çch lÊy lμ 5

6C 0

4C

Nh− vËy sè çch ®Ó lÊy Ýt nhÊt ®− îc 2 viªn bi tr¾ng lμ:2

6C 3

4C + 3

6C 2

4C + 4

6C 1

4C + 5

6C 0

4C

d,Cã 2 biÕn cè kh«ng ®ång thêi x¶y ra- LÊy ®− îc 2 viªn bi tr¾ng 3 viªn bi ®en,sè çch lÊy lμ 2

6C 3

4C

- LÊy ®− îc 1 viªn bi tr¾ng vμ 4 viªn bi ®en,sè çch lÊy lμ : 1

6C 4

4C

VËy sè çch ®Ó lÊy ra nhiÒu nhÊt 2 viªn bi tr¾ng lμ : 26C 34C + 16C 44C





Ch− ¬ng I : BIÕn cè ngÉu nhiªn vμ x¸c suÊt.

Lý thuyÕt x¸c suÊt lμ bé m«n to¸n häc nghiªn cøu nh÷ng qui luËt tÊt nhiªn Èn

chøa ®»ng sau nhøng hiÖn t−

îng ®−

îc gäi lμ

ngÉu nhiªn th«ng qua viÖc nghiªncøu 1 sè lín lÇn lÆp l¹i cña çc hiÖn t− îng ngÉu nhiªn ®ã.ViÖc n¾m b¾t nh÷ng quiluËt nμy sÏ cho phÐp ta dù çc hiÖn t− îng ngÉu nhiªn nμy x·y ra nh− thÕ nμo.

Bμi 1: çc kh¸i niÖm

I.PhÐp thö vμ biÕn cè:Trong tù nhiªn vμ x· héi, mçi hiÖn t− îng ®Òu g¾n liÒn víi mét nhãm ®iÒu kiÖnnhÊt ®Þnh.HiÖn t− îng chØ x¶y ra khi khi çc nhãm ®iÒu kiÖn g¾n liÒn víi nã ®− îcthùc hiÖn.V× vËy khi nghiªn cøu 1 hiÖn t− îng ta ph¶i thùc hiÖn nhãm ®iÒu kiÖn c¬

b¶n Êy.VD : muèn quan s¸t ®ång xu ta ph¶i tung ®ång xu xuèng ®Êt,muèn nghiªn cøu

chÊt l− îng cña 1 l« s¶n phÈm ta ph¶i lÊy ngÉu nhiªn 1 sè s¶n phÈm...

*§Þnh nghÜa: ViÖc thùc hiÖn 1 nhãm çc ®iÒu kiÖn c¬ b¶n ®Ó quan s¸t 1 hiÖnt − îng nμo ®ã cã x¶y ra hay kh«ng ® − îc gäi lμ thùc hiÖn 1 phÐp thö.Çc hiÖnt − îng cã thÓ x¶y ra trong phÐp thö ta gäi lμ çc biÕn cè.VD :+ViÖc tung ®ång xu lμ 1 phÐp thö, cßn viÖc ®ång xu lËt lªn mÆt nμo ®ã lμ 1 biÕncè.+ ViÖc lÊy ngÉu nhiªn 1 s¶n phÈm tõ 1 l« s¶n phÈm lμ 1 phÐp thö, viÖc s¶n phÈm®ã lμ chÝnh phÈm hay phÕ phÈm lμ çc biÕn cè.**L− u ý : T − ¬ng øng víi çc phÐp thö kh¸c nhau ta sÏ thu ®− îc nh÷ng biÕn cèkh¸c nhau.VD : ViÖc lÊy ngÉu nhiªn 2 s¶n phÈm sÏ cã çc biÕn cè kh¸c so víi viÖc lÊy ngÉu

nhiªn 1 s¶n phÈm cïng trong 1 l« s¶n phÈm.Víi phÐp thö lÊy ngÉu nhiªn 2 SP çcbiÕn cè sÏ lμ:

+B biÕn cè cã 1 chÝnh phÈm trong 2 SP+ C biÕn cè c¶ 2 ®Òu lμ chÝnh phÈm.+ D biÕn cè D c¶ 2 ®Òu lμ phÕ phÈm.

*Khi thùc hiÖn lÆp l¹i phÐp thö cho 1 hiÖn t− îng nÕu phÐp thö ®Òu cho cïng 1 kÕtqu¶ th× ta gäi hiÖn t− îng ®ã lμ hiÖn t− îng tÊt ®Þnh ( tÊt nhiªn).§ã lμ nh÷ng hiÖnt− îng mμ khi thùc hiÖn çc phÐp thö ®Òu cho 1 kÕt qu¶ tÊt yÕu.VD : -N− íc ®un 1000 th× s«i.

-Th¶ 1 vËt tõ trªn cao th× r¬i xuèng.......*Khi thùc hiÖn phÐp thö cho 1 hiÖn t− îng mang l¹i nhiÒu kÕt qu¶ kh«ng gièngnhau,sè kÕt qu¶ ®ã cã thÓ lμ h÷u h¹n hay v« h¹n th× ta nãi hiÖn t− îng ®ã lμ hiÖnt− îng ngÉu nhiªn.





VD :- Gieo ngÉu nhiªn 1 h¹t xóc s¾c ®ång chÊt c©n ®èi ta sÏ kh«ng ch¾c ®− îc

biÕn cè mÆt nμo sÏ xuÊt hiÖn.- LÊy 1 s¶n phÈm ngÉu nhiªn th× ch− a biÕt ®− îc s¶n phÈm ®ã lμ chÝnh phÈm

hay phÕ phÈm*Khi thùc hiÖn 1 phÐp thö ,ta gi¶ thuyÕt r»ng çc phÐp thö nμy ph¶i cïng ®− îcthùc hiÖn trong 1 ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh,kh«ng thay ®æi qua çc lÇn thö ta gäi lμ ®iÒukiÖn ®Çu.*BiÕn cè ch¾c ch¾n lμ lo¹i biÕn cè mμ khi thùc hiÖn phÐp thö tÊt yÕu nã ph¶i xuÊthiÖn. KÝ hiÖu U

VD : - N− íc ®un 1000 th× s«i.- Tung h¹t xóc s¾c th× biÕn cè xuÊt hiÖn 1 mÆt chÊm lμ ch¾c ch¾n.

*BiÕn cè kh«ng thÓ cã lμ biÕn cè kh«ng thÓ x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö.KÝ hiÖu : V

VD :- Tung 1 h¹t xóc s¾c th× biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt lín h¬n 6 chÊm lμ biÕn cè kh«ngthÓ x·y ra.*BiÕn cè ngÉu nhiªn lμ biÕn cè mμ khi ta thùc hiÖn phÐp thö nã cã thÓ xuÊt hiÖnhoÆc kh«ng xuÊt hiÖnVD:- Tung 1 h¹t xóc s¾c biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt cã sè chÊm lÎ lμ 1 biÕn cè ngÉu

nhiªn.

- B¾n 1 viªn ®¹n th× biÕn cè viªn ®¹n tróng vμ

o vßng 10 lμ

biÕn cè ngÉu nhiªnII.X¸c suÊt cña çc biÕn cè:ViÖc çc biÕn cè ngÉu nhiªn xuÊt hiÖn ra hay kh«ng x¶y ra trong kÕt qu¶ phÐp thölμ viÖc kh«ng thÓ ®o¸n tr− íc ®− îc.Tuy nhiªn b»ng trùc quan,sù quan s¸t ta thÊynh÷ng biÕn ngÉu nhiªn kh¸c nhau sÏ cã nh÷ng kh¶ n¨ng, kÕt qu¶ kh¸c nhau.

VD :+ Kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn mÆt sÊp hay ngöa trong phÐp thö tung ®ång xu kh¸c so víikh¶ n¨ng xuÊt hiÖn mÆt 1 chÊm trong phÐp thö tung h¹t xóc s¾c.

+ Kh¶ n¨ng lÊy ®− îc 1 chÝnh phÈm trong 1 l« s¶n phÈm nμy sÏ kh¸c kh¶ n¨nglÊy ®− îc chÝnh phÈm trong l« kh¸c t− ¬ng øng víi sè chÝnh phÈm trong tõng l«.

Khi lÆp l¹i nhiÒu lÇn phÐp thö th× tÝnh chÊt ngÉu nhiªn cña çc biÕn cè mÊt dÇn vμ thay vμo ®ã lμ nh÷ng qui luËt nhÊt ®Þnh.Tõ ®ã ta thÊy cã kh¶ n¨ng ®Þnh l− îng hay®o l− êng kh¶ n¨ng kh¸ch quan xuÊt hiÖn 1 biÕn cè nμo ®ã.





1,§Þnh nghÜa: X¸c suÊt cña 1 biÕn cè lμ 1 sè ®Æc tr− ng ®o ,®¸nh gi¸ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn cñabiÕn cè ®ãKÝ hiÖu: P(A)- X¸c suÊt cña biÕn cè A.*Çc biÕn cè cïng ®− îc thùc hiÖn trong cïng 1 ®iÒu kiÖn vμ cã x¸c suÊt nh− nhauta gäi lμ çc kÕt côc duy nhÊt ®ång kh¶ n¨ng.*Çc kÕt côc lμm cho biÕn cè x¶y ra ®− îc gäi lμ kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cèVD 1 :-Khi thùc hiÖn phÐp thö gieo hét xóc s¾c c©n ®èi vμ ®ång chÊt ta nhËn thÊy

kh«ng cã 1 − u tiªn nμo cho 1 trong 6 biÕn cè A1,A2 ,A3 ,A4 ,A5 , A6 lμ çc biÕn cèxuÊt hiÖn lÇn l− ît çc mÆt cã 1,2,3,4,5,6 chÊm.Nãi çch kh¸c lμ x¸c suÊt xuÊthiÖn chóng lμ nh− nhau hay P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = P(A5) = P(A6)- Gäi A lμ biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt ch½n th× trong 6 biÕn cè trªn ta thÊy cã 3 biÕn cè

mμ nÕu xuÊt hiÖn th× sÏ lμm cho biÕn cè A xuÊt hiÖn.Nh− vËy cã 3 kÕt côc thuËn

lîi cho biÕn cè AVD 2:Trong thïng cã 6 chÝnh phÈm vμ 4 phÕ phÈm.LÊy ngÉu nhiªn 2 s¶n phÈm.Gäi A lμ biÕn cè trong 2 s¶n phÈm lÊy ra cã 2 chÝnh phÈm.B lμ biÕn cè trong 2 s¶n phÈm lÊy ra cã 1 chÝnh phÈm.H·y x¸c ®Þnh sè biÕn cè s¬cÊp vμ sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè A,B ?Ta cã :-Sè kÕt côc s¬ cÊp = 2

10C

-Sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè A : 2

6C

-Sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè B : 1

6C 1

4C

2,TÝnh chÊt:+ 0 ( ) 1 P A≤ ≤ + P(U) =1 ;+ P(V) = 0;

III.Quan hÖ giöa çc biÕn cè:Trong môc nμy ta gi¶ sö r»ng khi thùc hiÖn 1 phÐp thö th× çc biÕn cè cã thÓ xuÊthiÖn lμ A,B,C...1,KÐo theo: NÕu biÕn cè A xuÊt hiÖn th× sÏ kÐo theo sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè B

KÝ hiÖu : A B⊂ VD :-Tung 1 ®ång xu biÕn cè xuÊt hiÖn 1 mÆt kÐo theo biÕn cè xuÊt hiÖn hoÆc mÆth×nh hay mÆt sè

2,T− ¬ng ® − ¬ng ( b»ng nhau): NÕu biÕn cè A xuÊt hiÖn th× sÏ kÐo theo sù xuÊt hiÖncña biÕn cè B vμ ng− îc l¹i

kÝ hiÖu : A = B A B

B A

⊂⇔

⊂





VD: Tung 1 ®ång xu biÕn cè xuÊt hiÖn 1 mÆt kÐo theo biÕn cè xuÊt hiÖn hoÆc mÆth×nh hay mÆt sè vμ ng− îc l¹i.

3,Tæng cña çc biÕn cè :Tæng cña biÕn cè A vμ biÕn cè B lμ 1biÕn cè chØ xuÊt hiÖn nÕu cã Ýt nhÊt 1 trong 2biÕn cè xuÊt hiÖn

Ký hiÖu: C = A+BVD :+Tung 1 h¹t xóc s¾c , biÕn cè cã 1 mÆt cã sè chÊm lÎ xuÊt hiÖn lμ tæng cña çcbiÕn cè xuÊt hiÖn mÆt cã 1 chÊm hoÆc mÆt cã 3 chÊm hoÆc mÆt cã 5 chÊm+LÊy ngÉu nhiªn 2 s¶n phÈm tõ 1 hép ®ùng s¶n phÈm gåm 6 chÝnh phÈm vμ 4 phÕphÈm.Gäi A lμ biÕn cè cã Ýt nhÊt 1 chÝnh phÈm ®− îc lÊy ra tõ 2 s¶n phÈm.

Khi ®ã A chØ x¶y ra khi 1 trong 2 biÕn cè sau x¶y ra :B biÕn cè cã 1 chÝnh phÈm trong 2 SPC biÕn cè c¶ 2 ®Òu lμ chÝnh phÈm.

Hay A = B + C

*Tæng qu¸t: BiÕn cè A ®− îc gäi lμ tæng cña n biÕn cè A1,A2.....,An nÕu A x¶y rakhi cã Ýt nhÊt 1 trong n biÕn cè ®ã x¶y ra

Ký hiÖu : A =1

n

i

i

A=

4,TÝchcña çc biÕn cè :TÝch cña 2 biÕn cè lμ 1 biÕn cè chØ xuÊt hiÖn khi khi c¶ 2 biÕn cè ®Òu xuÊt hiÖn.

KÝ hiÖu: D = A.BVD: Tung h¹t xóc s¾c th× biÕn cè ®Ó xuÊt hiÖn mÆt cã 6 chÊm lμ tÝch cña biÕn cèxuÊt hiÖn 1 mÆt ch¼n vμ biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt chia hÕt cho 2*Tæng qu¸t: BiÕn cè A ®− îc gäi lμ tÝch cña n biÕn cã A1,A2.....,An nÕu A x¶y rakhi n biÕn cè ®ã ®ång thêi x¶y ra

Ký hiÖu A =1

n

i

i

A=

∏

VD : Trë l¹i VD trªn. Gäi D lμ biÕn cè trong 2 s¶n phÈm lÊy ra cã ®óng 1 chÝnhphÈm.Khi ®ã biÕn cè D chØ x¶y ra khi c¶ 2 biÕn cè sau ®ång thêi x¶y ra

E- lÊy ra ®− îc 1 chÝnh phÈmF - LÊy ra ®− îc 1 phÕ phÈm.

- BiÕn cè D lμ tÝch cña 2 biÕn cè E vμ F hayD = E.F

5,BiÕn cèxung kh¾c:Hai biÕn cè gäi lμ xung kh¾c nÕu chóng kh«ng thÓ cïng xuÊt hiÖn trong 1 phÐpthö





Ký hiÖu AB = VVD :- Tung 1 h¹t xóc s¾c th× biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt 1 chÊm vμ biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt 2chÊm lμ 2 biÕn cè xung kh¾c.-Trong VD trªn.XÐt 2 biÕn cè

+B biÕn cè cã 1 chÝnh phÈm trong 2 SP :+ C biÕn cè c¶ 2 ®Òu lμ chÝnh phÈm.+ D biÕn cè D c¶ 2 ®Òu lμ phÕ phÈm.

Rá rμng trong 1 phÐp thö B vμ C, C vμ D, D vμ B kh«ng thÓ cïng x¶y ra vËy B vμ C, C vμ D, D vμ B lμ çc biÕn cè xung kh¾c víi nhau

*Tæng qu¸t: Nhãm n biÕn cè A1,A2.....,An gäi lμ xung kh¾c tõng ®«i mét nÕu bÊtkú 2 biÕn cè nμo trong nhãm nμy còng xung kh¾c víi nhau.VD : Tõ nhËn xÐt trªn {B , C , D}lμ 1 nhãm biÕn cè xung kh¾c tõng ®«i mét

6,BiÕn cè ®èi lËp :Hai biÕn cè ®èi lËp lμ 2 biÕn cè xung kh¾c mμ khi ta thùc hiÖn phÐp thö th× 1trong 2 biÕn cè ®ã ph¶i xuÊt hiÖn

Ký hiÖu : A VD :- Tung 1 ®ång xu th× biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt h×nh lμ biÕn cè ®èi lËp víi biÕn cèxuÊt hiÖn mÆt sè.-Mét x¹ thñ b¾n 1 ph¸t ®¹n vμo bia.Khi ®ã biÕn cè b¾n tróng lμ biÕn cè ®èi lËp

cña biÕn cè b¾n trËt bia.

7,§Çy ®ñ:Çc biÕn cè A1,A2.....,An gäi lμ lËp thμnh 1 nhãm ®Çy ®ñ nÕu

+Xung kh¾c tõng ®«i 1+ Khi thùc hiÖn çc phÐp thö th× nhÊt thiÕt1 trong sè chóng ph¶i xuÊt hiÖn

(A + B +C +...........= U)

VD :-Çc biÕn cè xuÊt hiÖn çc chÊm lÇn l− ît lμ 1,2,3,4,5,6 lμ 1 nhãm biÕn cè ®Çy ®ñ

-Nhãm biÕn cè A,B,C ë trªn lμ 1 nhãm ®Çy ®ñ.8,Çc tÝnh chÊt:+ A A= ; A + B = B + A; A.B = B.A+ A.(B + C ) = A.B + A.C+ . B A B+ = ; . . A B C A B C + + = + B A B= + ; ABC A B C = + +





Bμi 2 : Çc ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt.

I.§Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt:1,§Þnh nghÜa: X¸c suÊt cña biÕn cè A b»ng tØ sè gi÷a sè kÕt côc thuËn lîi cho

biÕn cè vμ tæng sè kÕt côc ®ång kh¶ n¨ng cã thÓ xuÊt hiÖn

P(A) =m

n víi m- sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè

n- sè kÕt côc ®ång kh¶ n¨ng.NhËn xÐt:

- Çc kÕt côc ®ång kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn lËp thμnh nhãm biÕn cè ®Çy ®ñ- Çc kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè chÝnh lμ çc kÕt côc kÐo theo biÕn cè.

2,VD:

1,Trong phÐp thö tung h¹t xóc s¾c- Cã 6 kÕt côc ®ång kh¶ n¨ng lμ A1,A2 ,A3 ,A4 ,A5 , A6

- Gäi A lμ biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt ch¼n.Trong 6 kÕt côc ®ång kh¶ n¨ng th× cã3 kÕt côc thuËn lîi cho A lμ A2 ,A4 ,A6

Ta cã : A2 ,A4 ,A6 ⊂ A vμ P(A) =3

6 = 0,5 = 50%.

2, Mét hép cã 10 s¶n phÈm trong ®ã cã 6 chÝnh phÈm vμ 4 phÕ phÈm.LÊy ngÉunhiªn ra 3 s¶n phÈm.TÝnh x¸c suÊt cña biÕn cè trong 3 s¶n phÈm lÊy ra cã ®óng 2chÝnh phÈm.

-Gäi A lμ biÕn cè lÊy ra 2 chÝnh phÈm vμ 1 phÕ phÈm.Sè kÕt côc ®ång kh¶ n¨ng khi lÊy 3 s¶n phÈm :

n = 3

10C = 10!

3!(10 3)!− =

8.9.10

1.2.3 = 120

Sè çch lÊy 2 chÝnh phÈm kh¸c nhau tõ 6 chÝnh phÈm lμ:2

6C = 6!

2!(6 2)!− =

6.5.

1.2. = 15.

Sè çch lÊy 1 phÕ phÈm tõ 4 phÕ phÈm lμ

:1

6C = 4

VËy sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè A lμ 15.4 = 60

X¸c xuÊt cña A lμ P(A) =60

120 = 0,5.





**§Þnh nghÜa cæ ®iÓn cã − u ®iÓm rÊt lín lμ cho phÐp t×m x¸c suÊt cña biÕn cè mμ kh«ng ph¶i thùc hiÖn phÐp thö ( phÐp thö chØ tiÕn hμnh 1 çch gi¶ ®Þnh) nh− ng nãcòng cã h¹n chÕ ®¸ng kÓ lμ nã ®ßi hái sè kÕt côc s¬ cÊp x¶y ra ph¶i lμ h÷u h¹nnªn ®ßi hái cÇn cã tÝnh ®èi xøng cña phÐp thö .V× nh÷ng lý do ®ã mμ trong thùctÕ ng− êi ta cßn sö dông ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt sau.II.§Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸c suÊt.1,§Þnh nghÜa:

* TÇn suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A b»ng tØ sè cña sè lÇn biÕn cè A xuÊt hiÖn trªn tængsè phÐp thö ®· thùc hiÖn.

f A =k

n trong ®ã : - k lμ sè lÇn xuÊt hiÖn biÕn cè A

- n lμ tæng sè phÐp thö ®· ®− îc thùc hiÖn*§Þnh nghÜa : X¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A lμ1 sè kh«ng ®æi p mμ tÇn suÊt xuÊt

hiÖn biÕn cè ®ã trong n phÐp thö sÏ dao ®éng rÊt Ýt xung quanh nã khi phÐp thöt¨ng lªn v« h¹n . Hay nãi çch kh¸c khi sè phÐp thö cμng t¨ng lªn th× f A cμng gÇn p.

2,Çc VD :1, KiÓm tra ngÉu nhiªn 80 s¶n phÈm do 1 m¸y s¶n xuÊt,ng− êi ta ph¸t hiÖn ra 3phÕ phÈm.Gäi A lμ biÕn cè “xuÊt hiÖn phÕ phÈm” ta cã tuÇn suÊt xuÊt hiÖn phÕphÈm lμ

f A =3

80

2,§Ó nghiªn cøu x¸c suÊt cña biÕn cè “xuÊt hiÖn mÆt sÊp” khi tung ®ång xu,ng− êita tiÕn hanh tung 1 ®ång xu nhiÒu lÇn vμ thu ®− îc kÕt qu¶ sau:

Ng− êi lμm TN Sè lÇn tung (n) Sè lÇn xuÊt hiÖnmÆt sÊp (k)

TÇn suÊt f = k

n

ABC

40401200024000

2048601912012

0,50690,50160,5005

Tõ b¶ng trªn ta thÊy r»ng tÇn suÊt xuÊt hiÖn mÆt sÊp sÏ dao ®éng ngμy cμng Ýt h¬n

xung quanh gi¸ trÞ kh«ng ®æi lμ 0,5.Khi sè phÐp thö t¨ng lªn v« h¹n tÇn suÊt sÏhéi tô vÒ 0,5. Khi ®ã P(A) ≈ f A§Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸c suÊt cã − u ®iÓm lín lμ nã hoμn toμn dùa trªn çc quans¸t thùc tÕ ®Ó lμm c¬ së kÕt luËn vÒ x¸c suÊt x·y ra çc biÕn cè.Tuy nhiªn nh− îc®iÓm cña nã chÝnh lμ ph¶i thùc hiÖn 1 sè phÐp thö ®ñ lín vμ chØ ¸p dông ®− îc víiçc hiÖn t− îng cã tÝnh æn ®Þnh vÒ tÇn suÊt.Trong nhiÒu bμi to¸n thùc tÕ rÊt khãhoÆc kh«ng thÓ tiÕn hμnh nhiÒu phÐp thö ®Ó dùa vμo ®ã mμ tÝnh x¸c suÊt cña çcbiÕn cè.





B μ i 3 : Çc ®Þnh lý x¸c suÊt.

Trong thùc tÕ c«ng viÖc tÝnh çc x¸c suÊt phøc t¹p h¬n nhiÒu so víi çc ®ÞnhnghÜa vÒ x¸c suÊt.§Ó tÝnh ®− îc çc x¸c suÊt nμy ta sö dông çc ®Þnh lý x¸c suÊtsauI.§Þnh lý céng x¸c suÊt:1,§Þnh lý :

X¸c suÊt cña tæng 2 biÕn cè xung kh¾c b»ng tæng x¸c suÊt cña çc biÕn cè ®ã.Gi¶ sö A vμ B lμ 2 biÕn cè xung kh¾c víi nhau.

th× P (A + B ) = P(A) + P(B)CM :Gäi n lμ sè kÕt côc s¬ cÊp khi thùc hiÖn phÐp thö.

m1 lμ sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè A.m2 lμ sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè BV× A vμ B xung kh¾c nªn kh«ng thÓ cã çc kÕt côc thuËn lîi cho c¶ A vμ B vËy

sè kÕt côc thuËn lîi cho A hoÆc B x·y ra b»ng m1 + m2

P(A+B) = 1 2m m

n

+ = 1m

n + 2m

n = P(A) + P(B)

*HÖ qu¶ 1: X¸c suÊt cña tæng çc biÕn cè xung kh¾c tõng ®«i mét A1,A2 .....,An b»ng tæng x¸c suÊt cña çc biÕn cè ®ã :

P(1

n

ii

A=

) =1

( )n

ii

p A=

*HÖ qu¶ 2: NÕu çc biÕn cè A1,A2 .....,An lμ 1 nhãm ®Çy ®ñ çc biÕn cè th× tængx¸c suÊt cña chóng = 1

1

( )n

i

i

p A=

= 1

ý nghÜa : Cho phÐp ta ph©n phèi x¸c suÊt cho nhãm biÕn cè ®Çy ®ñ.B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt.

BiÕn cè A1 A2 ........ AnX¸c suÊt P 1 P 2 ............ P n

P 1 + P 2 + ........+ P n = 1

*HÖ qu¶ 3 : Tæng x¸c suÊt cña 2 biÕn cè ®èi lËp nhau b»ng 1P(A) + P( A ) = 1.





2,Çc VD:1,X¸c suÊt ®Ó 1 x¹ thñ b¾n tróng 10 ®iÓm lμ 0,1; tróng 9 ®iÓm lμ 0,2 ; tróng 8

®iÓm lμ 0,25 vμ Ýt h¬n 8 ®iÓm lμ 0,45.X¹ thñ b¾n 1 viªn ®¹n.T×m x¸c suÊt ®Ó x¹thñ ®− îc Ýt nhÊt 9 ®iÓm.Gi¶i:

Gäi: - A1 lμ biÕn cè “x¹ thñ b¾n tróng ®iÓm 10”- A2 lμ biÕn cè “x¹ thñ b¾n tróng ®iÓm 9”- A lμ biÕn cè “x¹ thñ b¾n ®− îc Ýt nhÊt 9 ®iÓm”VËy A = A1 + A2

V× A1 ,A2 xung kh¾cnªn P(A) = P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2) = 0,1 +0,2 = 0,3.

2,Trong hßm cã 10 chi tiÕt trong ®ã cã 2 chi tiÕt háng. T×m x¸c suÊt ®Ó khi lÊyngÉu nhiªn 6 chi tiÕt th× cã kh«ng qu¸ 1 chi tiÕt háng.- Gäi A lμ biÕn cè “trong 6 chi tiÕt lÊy ra kh«ng qu¸ 1 chi tiÕt háng”- B lμ biÕn cè trong 6 chi tiÕt lÊy ra kh«ng cã chi tiÕt nμo háng.- C lμ biÕn cè trong 6 chi tiÕt lÊy ra cã 1 chi tiÕt háng.

Ta cã A = B + C. V× B vμ C lμ 2 biÕn cè xung kh¾c nªnP(A) = P(B+C) = P(B) + P(C).

Trong ®ã P(B) =6

8

6

10

2

15

C

C =

P(C) =1 5

2 8

6

10

8

15

C C

C =

VËy P(A) =

2 8 10

15 15 15+ = 3,X¸c suÊt lÊy ra 1 chÝnh phÈm lμ 0,9.T×m x¸c suÊt ®Ó lÊy ra mét phÕ phÈm.(P( A ) = 1- P(A) = 1- 0,9 =0,1

II.X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn - §Þnh lý nh©n x¸c suÊt.

1,X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn:*§Þnh nghÜa: x¸c suÊt cña biÕn cè A víi ®iÒu kiÖn biÕn cè B ®· xuÊt hiÖn gäi lμ

x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè A.

KÝ hiÖu: P (A/B) vμ ®− îc tÝnh theo c«ng thøc:

P (A/B) =P(A.B)

P(B) ( P(B) > 0 )





*VD :1,Trong b×nh cã 5 qu¶ cÇu tr¾ng vμ 3 qu¶ cÇu ®en .LÊy ngÉu nhiªn lÇn l− ît 2 qu¶cÇu(kh«ng hoμn l¹i).Khi nμy viÖc lÊy qu¶ cÇu thø 2 ph¶i ®− îc thùc hiÖn sau khi®· hoμn thμnh viÖc lÊy qu¶ cÇu thø nhÊt nªn x¸c suÊt cña çc biÕn cè xuÊt hiÖn ëlÇn lÊy thø 2 sÏ ®− îc tÝnh sau khi çc biÕn cè xuÊt hiÖn trong lÇn lÊy thø nhÊt ®·xuÊt hiÖn.

Gäi A lμ biÕn cè lÊy ®− îc qu¶ cÇu tr¾ng ë lÇn thø nhÊtB --------------------------------------------------- hai

Lóc nμy sÏ xuÊt hiÖn çc x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn sau :

P(B/A) =5-1

8-1=

4

7; P(B/ A ) = 5

7

2,Cã 2 hép ®ùng bi.Hép thø nhÊt cã 2 bi tr¾ng vμ 3 bi ®á.Hép thø 2 cã 3 tr¾ng vμ 2 ®á.LÊy 1 bi tõ hép 1 bá qua hép 2.LÊy tiÕp 1 bi trong hép 2Gäi A lμ biÕn cè bi lÊy ra lÇn 1 lμ mμu tr¾ng

B lμ biÕn cè bi lÊy ra lÇn 2 lμ bi tr¾ng khi ®ã

P(B/A) =4

6 ; P(B/ A ) =

3

6

P( B /A) =2

6 ; P( B /A) =

3

6

2,§Þnh lý nh©n x¸c suÊt :2.1,Çc ®Þnh nghÜa:a, §Þnh nghÜa1:

2 biÕn cè gäi lμ

®éc lËp nÕu sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè nμ

y kh«ng ¶nh h−

ëng ®Õn x¸c suÊt cña biÕn cè kia.Ng− îc l¹i nÕu viÖc xuÊt hiÖn cña biÕn cè nμy ¶nh h− ëng®Õn x¸c suÊt cña biÕn cè kia th× 2 biÕn cè nμy lμ phô thuéc nhau.

VD :- Sö dông VD trªn rá rμng viÖc biÕn cè A xuÊt hiÖn ®· lμm x¸c suÊt cña biÕn cè Bthay ®æi cho nªn A vμ B lμ 2 biÕn cè phô thuéc.NÕu ta thay ®æi çch lÊy, lÊy cã hoμn l¹i th× viÖc xuÊt hiÖn cña A sÏ kh«ng ¶nhh− ëng g× ®Õn x¸c suÊt cña biÕn cè B ,khi ®ã A vμ B lμ ®éc lËp.- Tung ®ång xu 2 lÇn th× râ rμng sù xuÊt hiÖn cña çc biÕn cè trong lÇn tung thø

nhÊt sÏ kh«ng ¶nh h− ëng g× ®Õn x¸c suÊt cña çc biÕn cè trong lÇn tung thø 2.VËyçc biÕn cè trong lÇn tung thø nhÊt vμ thø 2 lμ ®éc lËp.

b,§Þnh nghÜa 2:Çc biÕn cè A1,A2 .....,An ®− îc gäi lμ ®éc lËp tõng ®«i mét víi nhau nÕu mçi cËptrong chóng lμ ®éc lËp víi nhau

* Çc biÕn cè A1,A2 .....,An ®− îc gäi lμ ®éc lËp toμn phÇn nÕu mçi biÕn cè ®éclËp víi 1 tæ hîp bÊt kú cña çc biÕn cè cßn l¹i.





VD : Tung ®ång xu 3 lÇn.Gäi A1,A2 ,A3 lμ biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt sÊp ë lÇn tungthø 1,2,3.Khi ®ã A1,A2 ,A3 lμ ®éc lËp tõng ®«i mét vμ toμn phÇn.Râ rμng ta thÊyA1 ®éc lËp víi tÊt c¶ çc tæ hîp cßn l¹i cña A1,A2 ,A3 nh− : A1, A2 A1, A2 A3,A3

......**L− u ý: §èi víi çc phÐp thö ®éc lËp cã cïng 1 x¸c suÊt th× mçi lÇn thùc hiÖn 1phÐp thö th× x¸c suÊt xuÊt hiÖn mét biÕn cè nμo ®ã kh«ng thay ®æi.Ch¼ng h¹n : Mét cÇu thñ cã tØ lÖ ®¸ thμnh c«ng penalty lμ 4/5, qu¶ ®Çu tiªn anh ta®¸ háng khi ®ã kh«ng thÓ kh¼ng ®Þnh c¶ 4 qu¶ cßn l¹i anh ta sÏ thμnh c«ng.

2.2,§Þnh lý nh©n x¸c suÊt:a,§Þnh lý 1:

X¸c suÊt cña tÝch 2 biÕn cè ®éc lËp b»ng tÝch çc x¸c suÊt thμnh phÇn.

P(A.B) = P(A).P(B)

CM :Gäi n1,n2 lμ sè kÕt côc s¬ cÊp cña A vμ B khi thùc hiÖn phÐp thö.

m1,m2 lμ sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè A vμ B

V× A vμ B ®éc lËp nªn sè kÕt côc s¬ cÊp x¶y ra ®ång thêi c¶ A vμ B lμ n1n2 vμ sè kÕt côc thuËn lîi cho c¶ A vμ B x¶y ra lμ m1m2.

P(AB) = 1 2

1 2

m m

n n = 1m

n

2m

n = P(A) P(B)

*HÖ qu¶ : 1, NÕu A vμ B ®éc lËp th×P(A) =

P(A.B)

P(B) vμ P(B) =

P(A.B)

P(A)

2,X¸c suÊt cña n tÝch biÕn cè ®éc lËp toμn phÇn b»ng tÝch çc x¸c suÊt thμnh phÇn:

P(1

n

i

i

A=

∏ ) =1

( )n

i

i

P A=

∏

*VD :Cã 2 hép ®ùng chi tiÕt.Hép thø nhÊt cã 10 çi èc trong ®ã cã 6 çi tèt.Hép thø 2

®ùng 15 çi vÝt trong ®ã cã 9 çi tèt.LÊy ngÉu nhiªn tõ mçi hép 1 chi tiÕt.T×m x¸csuÊt ®Ó lÊy ®− îc mét bé èc vÝt tèt.Gi¶i : Gäi A biÕn cè lÊy ®− îc çi èc tèt ë hép thø nhÊt.

B lμ biÕn cè lÊy ®− îc çc vÝt tèt ë hép thø 2.C lμ biÕn cè lÊy ®− îc bé èc vÝt tèt.

VËy C = A BV× çc biÕn cè A vμ B lμ ®éc lËp víi nhau nªn.





P(C) = P(A.B) = P(A).P(B) =6

10

9

15=

9

25

b,§Þnh lý 2 : X¸c suÊt cña tÝch 2 biÕn cè phô thuéc A vμ B b»ng x¸c suÊt cña 1 trong 2 biÕn cè®ã víi x¸c suÊt cña biÕn cè cßn l¹i víi ®iÒu kiÖn biÕn cè thø nhÊt xuÊt hiÖn.

P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

CM :Gäi n lμ sè kÕt côc s¬ cÊp khi thùc hiÖn phÐp thö.

m1 lμ sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè A.m2 lμ sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè B

V× A vμ B kh«ng xung kh¾c sÏ cã k kÕt côc thuËn lîi cho c¶ 2 biÕn cè A vμ B x¶yra khi ®ã

P(AB) =k

n ; P (A) = 1m

n Víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A ®· x¶y ra th× sè kÕt côc duy nhÊt ®ång kh¶ n¨ng cña B

lμ m1 víi sè kÕt côc thuËn lîi lμ m1

VËy P(B/A) =1

k

m

P(AB) =k

n = 1m

n 1

k

m = P(A)P(A/B)

*HÖ qu¶ :

1,X¸c suÊt cña tÝch n biÕn cè phô thuéc b»ng tÝch x¸c suÊt cña n biÕn cè®ã,trong ®ã x¸c suÊt cña mçi biÕn cè tiÕp sau ®− îc xÐt víi ®iÒu kiÖn çc biÕn cèxÐt tr− íc ®ã ®Òu xuÊt hiÖn.

P(A1,A2 .....,An) = P(A1).P(A2 /A1).P(A3 /A1A2)...........P(An /A1......An-1)

2,NÕu A B ®éc lËp th×P(A/B) = P(A) vμ P(B/A) = P(B)

c,VD :1,Mét ng− êi dù thi 2 tr− êng ®¹i häc.§ît 1 thi vμo tr− êng A kh¶ n¨ng ®Ëu lμ

80%,®ît 2 thi vμo tr− êng B . NÕu thi ®Ëu ë tr− êng A th× kh¶ n¨ng ®Ëu ë B lμ 90%,nÕu rít ë tr− êng A th× kh¶ n¨ng ®ç ë B lμ 50%.T×m x¸c suÊt ®Ó ng− êi ®ã ®Ëuc¶ 2 tr− êng.

Gi¶i.- Gäi A lμ biÕn cè thi ®Ëu ë tr− êng A.- B lμ biÕn cè thi ®Ëu ë tr− êng B.- C lμ biÕn cè ®Ëu c¶ 2 tr− êng.





Ta thÊy C= A.B . V× A vμ B lμ 2 biÕn cè phô thuéc nªn.P(C) = P(A.B) = P(A).P(B/A) = 0,8 . 0,9 = 0,72.

2,Mét xÝ nghiÖp cã 3 «t« ho¹t ®éng ®éc lËp.X¸c suÊt t− ¬ng øng ®Ó trong 1 ngμyçc «t« bÞ háng lμ: 0,1 ; 0,2 ; 0,15.T×m x¸c suÊt ®Ó trong 1 ngμy cã ®óng 1 «t« bÞháng.

Gi¶i: -Gäi Ai lμ biÕn cè «t« thø i bÞ háng trong ngμy( i=1,3).-A lμ biÕn cè trong ngμy cã ®óng 1 «t« bÞ háng.

Khi ®ã ta cã : A = A1 2A 3A +

1A 2 A

3A +1A 2 A

3A

V× A1 2A 3A , 1A 2 A 3A , 1A 2 A3

A kh«ng thÓ cïng ®ång thêi xuÊt hiÖn cho nªn

chóng xung kh¾c tõng ®«i 1.

VËy P(A ) = P (A1 2A 3A +

1A 2 A 3A +1A 2 3A )

= P (A1 2A 3A ) +P( 1A 2 A 3A )+ P( 1A 2 A3

A )

Ta l¹i thÊy trong mçi nhãm biÕn cè trªn l¹i lμ ®éc lËp toμn phÇn nªn:P(A ) = P (A1 2A

3A ) +P( 1A 2 A 3A )+ P(

1A 2 A 3A )

= P(A1).P( 2A ).P( 3A ) + P( 1A ).P( 2 A ).P( 3A ) + P( 1A ).P( 2 A ).P( 3A )

= 0,1.0,8.0,85 + 0,9.0,2.0,85 + 0,9.0,8.0,15 = 0,32

( víi P( iA ) = 1- P( iA ))

2.3.Më réng ®Þnh lý céng vμ nh©n x¸c suÊt.

a,§Þnh lý : X¸c suÊt cña tæng 2 biÕn cè kh«ng xung kh¾c A vμ B b»ng tæng x¸csuÊt cña 2 biÕn cè trõ x¸c suÊt tÝch cña 2 biÕn cè ®ã.

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

CM :

Gäi n lμ sè kÕt côc s¬ cÊp khi thùc hiÖn phÐp thö.m1 lμ sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè A.m2 lμ sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè B

V× A vμ B kh«ng xung kh¾c sÏ cã k kÕt côc thuËn lîi cho c¶ 2 biÕn cè A vμ B x¶yra khi ®ã sè kÕt côc thuËn lîi cho Ýt nhÊt 1 trong 2 biÕn cè A vμ B x¶y ra b»ng

m1 + m2 - k nªn:





P(A+B) = 1 2m m k

n

+ − = 1m

n+ 2m

n-

1

k

m = P(A) + P(B) -P(A/B)

VD :2 m¸y bay nÐm bom cïng 1 môc tiªu.Mçi chiÕc nÐm 1 qu¶ víi x¸c suÊt tróng lÇn

l− ît lμ 0,7 vμ 0,8.T×m x¸c suÊt ®Ó môc tiªu bÞ tróng bom.

Gi¶i:- Gäi A vμ B lÇn l− ît lμ çc biÕn cè qu¶ bom cña çc m¸y bay 1,2 tróng môc tiªu.- C lμ biÕn cè môc tiªu bÞ tróng bom.ta cã C = A + B.

V× A vμ B lμ 2 biÕn cè cã thÓ ®ång thêi x¶y ra nªn chóng kh«ng xung kh¾c víinhau.

VËy P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)

MÆt kh¸c A vμ B lμ 2 biÕn cè ®éc lËp nªnP(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(A) .P(B)

= 0,7 +0,8 – 0,7.0,8 = 0,94.

b,HÖ qu¶1 :X¸c suÊt cña n biÕn cè kh«ng xung kh¾c vμ ®éc lËp toμn phÇn víi nhau b»ng 1

trõ ®i tÝch çc x¸c suÊt cña çc biÕn cè ®èi lËp víi chóng.

1

( )n

i

i

p A=

= 1 -1

( )n

i

i

P A=

∏

VD : Víi VD trªn ta cã thÓ t×m x¸c suÊt theo çch sau:P(C) = 1- P( A ) P( B ) = 1 – 0,3.0,2 = 0,94

c,HÖ qu¶ 2:NÕu A vμ B lμ ®éc lËp th×

P(A+B) = P(A + B) – P(AB)VD :

X¸c suÊt ®Ó ®éng c¬ thø nhÊt tróng ®¹n lμ 0,2 ; ®éng c¬ thø 2 cña m¸y bay bÞtróng ®¹n lμ 0,3; x¸c suÊt ®Ó phi c«ng tróng ®¹n lμ 0,1.T×m x¸c suÊt ®Ó m¸y bay

r¬i,biÕt r»ng m¸y bay r¬i khi hoÆc c¶ 2 ®éng c¬ cïng tróng ®¹n hoÆc phi c«ng bÞtróng ®¹n.

(HS tù gi¶i VD nμy.)





III.Nguyªn lý x¸c suÊt lín - X¸c suÊt bÐ

NÕu 1 biÕn cè cã x¸c suÊt rÊt nhá th× trong thùc tÕ cã thÓ cho r»ng trong 1 phÐpthö biÕn cè ®ã kh«ng x¶y ra.Ng− îc l¹i nÕu x¸c suÊt cña biÕn cè gÇn b»ng 1 th× cãthÓ cho r»ng trong 1 phÐp thö biÕn cè ®ã ch¾c ch¾n x¶y ra.VD : X¸c suÊt ®Ó mét cÇu thñ ®¸ háng qu¶ ph¹t ®Òn lμ 0,01 th× trong thùc tÕ khi

cÇu thñ nμy chØ sót mét qu¶(thùc hiÖn 1 phÐp thö ) ta cã thÓ coi nh− cÇu thñ nμych¾c ch¾n sót vμo.

*ViÖc qui ®Þnh 1 møc x¸c suÊt ®ñ lín hay ®ñ nhá tïy thuéc vμo tõng bμi to¸n côthÓCh¼ng h¹n : NÕu x¸c suÊt ®Ó m¸y bay bÞ háng lμ 0,01 th× trong thùc tÕ ch¾c ch¾nm¸y bay nμy kh«ng ®− îc sö dông,nh− ng nÕu x¸c suÊt ®Ó tμu bÞ trÔ lμ 0,01 th×

trong thùc tÕ tμ

u vÉn ®Õn ®óng giê.





Bμi 4: C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñC«ng thøc Bernoulli

Trong 1 sè bμi to¸n, khi gi¶i quyÕt chóng b»ng çc ®Þnh lý céng vμ nh©n x¸c suÊtsÏ lμm bμi to¸n rÊt dμi dßng vμ phøc t¹p .Víi 1 sè gi¶ thuyÕt nhÊt ®Þnh,trong bμinμy ta sÏ xÐt 1 sè c«ng thøc mμ viÖc øng dông cña nã sÏ gióp cho viÖc gi¶i çc bμito¸n x¸c suÊt t− ¬ng øng 1 çch nhanh,gän h¬n nhiÒu so víi çc ®Þnh lý céng vμ nh©n x¸c suÊt

I.C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ- C«ng thøc Bayes.1,C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ña,Bμi to¸n :

Mét nhμ cung cÊp thiÕt bÞ ®ang t×m c¬ héi trong mét dù ¸n ®Çu t− .Cã 3 ng− êitranh thÇu.NÕu ng− êi mét tróng thÇu th× kh¶ n¨ng nhμ cung cÊp b¸n ®− îc thiÕt bÞlμ 70%,nÕu ng− êi thø hai th¾ngthÇu th× kh¶ n¨ng lμ 80%,ng− êi thø ba th¾ng thÇuth× kh¶ n¨ng lμ 60%.X¸c suÊt th¾ng thÇu cña 3 ng− êi lÇn l− ît lμ 0,4; 0.25; 0,35.

Hái kh¶ n¨ng b¸n ®− îc thiÕt bÞ trong dù ¸n ®ã lμ bao nhiªu ?

Gi¶i:§èi víi bμi to¸n nμy ®iÓm næi bËt lμ ë chæ : kh¶ n¨ng th¾ng thÇu cña mçi nhμ

thÇu lμ kh¸c nhau vμ kh¶ n¨ng b¸n thiÕt bÞ cña nhμ thÇu còng kh«ng ch¾c ch¾n®èi víi tõng nhμ thÇu.H

1 lμ biÕn cè “ng− êi 1 tróng thÇu”

VËy theo gi¶ thuyÕt P(H1)=0,4H2 lμ biÕn cè “ng− êi 2 tróng thÇu”

=> P(H2)=0,25H3 lμ biÕn cè “ng− êi 3 tróng thÇu”

P(H3)=0,35Ph©n phèi x¸c suÊt:

BiÕn cè H1 H1 H1 X¸c suÊt 0,4 0,25 0,35

Gäi A lμ biÕn cè nhμ cung cÊp b¸n ®− îc thiÕt bÞ, theo gi¶ thuyÕt+ P(A/H1) = 0,7(Kh¶ n¨ng b¸n ®− îc thiÕt bÞ nÕu ng− êi 1 th¾ng thÇu)+ P(A/H2) = 0,8(Kh¶ n¨ng b¸n ®− îc thiÕt bÞ nÕu ng− êi 2 th¾ng thÇu)+ P(A/H3) = 0,6(Kh¶ n¨ng b¸n ®− îc thiÕt bÞ nÕu ng− êi 3 th¾ng thÇu)Khi ®ã A x¶y ra ®ång thêi cïng víi 1 trong 3 biÕn cè lμ H1A , H2A , H3A

Theo phÐp céng vμ nh©n XS ta cã:





P(Hi /A) =)(

)/()( A P

Hi A P Hi P (i = n,1 )

A= H1A + H2A + H3AV× H1 ,H2, ,H3 xung kh¾c tõng ®«i nªn H1A , H2A , H3A còng xung kh¾c tõng ®«i.

V× vËyP(A) = P(H1A + H2A + H3A)

= P( H1A)+P( H2A)+ P(H3A)=P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2)+ P(H3).P(A/H3)(V× A vμ H1, H2 ,H3 lμ çc biÕn cèphô thuéc )

=0,4.0,7 +0,25.0,8 +0,35.0,6 = 0,69Tõ bμi to¸n nμy víi nh÷ng gi¶ thuyÕt t− ¬ng tù khi tæng qu¸t lªn cho n biÕn cè Hi

ta thu ®− îc c«ng thøc tÝnh x¸c suÊt sau.

b,.C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ:

BiÕn cèA cã thÓ x¶y ra ®ång thêi víi mét trong çc biÕn cè H1,H2…

.. ,Hn lμ

nhãmbiÕn cè ®Çy ®ñ.Lóc ®ã x¸c suÊt cña biÕn cè A ®− îc tÝnh theo c«ng thøc sau:

P(A) = )/().(1

Hi A P i H P n

i

=

+CM: T − ¬ng tù viÖc gi¶i bμi to¸n HS ®äc trong tμi liÖu.*L− u ý: Trong c«ng thøc trªn çc biÕn cè H1,H2….. ,Hn th− êng lμ çc gØ¶thuyÕt.Çc x¸c suÊt P(Hi) th− êng ®− îc x¸c ®Þnh tr− íc khi phÐp thö tiÕn hμnh tõçc dù ®o¸n rót ra tõ nh÷ng kinh nghiÖm ,trÝ tuÖ vμ th− êng ®− îc gäi lμ nh÷ng x¸c

suÊt tiªn nghiÖm.Nh− ng qua mçi phÐp thö nh÷ng dù ®o¸n nμy sÏ thay ®æi vμ ®Ó®¸nh gi¸ l¹i nh÷ng dù ®o¸n nμy ta sÏ sö dông c«ng thøc Bayes.+CÇn l− u ý ®Õn çc ®iÒu kiÖn cña c«ng thøc SX ®Çy ®ñ

2.C«ng thøc Bayes:Tõ ®Þnh lý nh©n x¸c suÊt ta cã:P(AHi) =P(A) P(Hi /A)

= P(Hi) P(A/Hi) (i = n,1 )

(C«ng thøc nμy gäi lμ c«ng thøc Bayes.)

+ C«ng thøc Bayes cho phÐp ta ®¸nh gi¸ l¹i x¸c suÊt x¶y ra víi çc gi¶ thuyÕt saukhi ®· x¶y ra phÐp thö lμ biÕn cè A





VD:1,-Tõ bμi to¸n,sau khi biÕn cè A x¶y ra x¸c suÊt th¾ng thÇu cña 3 nhμ thÇu lÇn

l− ît thay ®æi ra sao?

Ta cã:

P(H1 /A) =)(

)1/()1(

A P

H A P H P =

69,0

7,0.4,0= 0,406

P(H2 /A) =)(

)2/()2(

A P

H A P H P =

69,0

8,0.25,0= 0,29

P(Hi /A) =)(

)/()(

A P

Hi A P Hi P =

69,0

6,0.35,0 = 0,304

2,Tr− íc khi ®− a s¶n phÈm ra thÞ tr− êng ng− êi ta ®· pháng vÊn ngÉu nhiªn 200kh¸ch hμng vÒ s¶n phÈm ®ã vμ thÊy cã 34 ng− êi tr¶ lêi “sÏ mua”, 96 ng− êi tr¶ lêi“cã thÓ sÏ mua”, vμ 70 ng− êi tr¶ lêi “kh«ng mua”.Kinh nghiÖm cho thÊy tØ lÖkh¸ch hμng thùc sù sÏ mua hμng t− ¬ng øng víi nh÷ng kh¸ch hμng trªn l©n l− ît lμ 40%,20%, vμ 1%.a,H·y ®¸nh gi¸ thÞ tr− êng t×m n¨ng cña s¶n phÈm ®ã.b,Trong sè kh¸ch hμng thËt sù mua hμng th× cã bao nhiªu phÇn tr¨m tr¶ lêi lμ “sÏ

mua”.

Gi¶i:a,ThÞ tr− êng tiÒm n¨ng cña s¶n phÈm chÝnh lμ tØ lÖ kh¸ch hμng sÏ thùc sù mua

s¶n phÈm ®ã.

Gäi A – biÕn cè lÊy ngÉu nhiªn 1 kh¸ch hμng th× ng− êi ®ã thËt sù mua s¶nphÈm.Khi ®ã cã 3 gi¶ thuyÕt ®èi víi ng− êi kh¸ch hμng ®ã lμ :

- H1 ng− êi ®ã tr¶ lêi “SÏ mua”- H2 ng− êi ®ã tr¶ lêi “Cã thÓ mua”- H

3 ng− êi ®ã tr¶ lêi “ Kh«ng mua”

Theo c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ ta cã:P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) +P(H3).P(A/H3)

=34

2000,4 +

96

2000,2 +

70

2000,01 = 0,1675

VËy thÞ tr− êng tiÒm n¨ng cña SP ®ã lμ 16,75%.

b,Theo c«ng thøc Bayes





P(H1 /A) =)(

)/()( 11

A P

H A P H P =

0,17.0,4

0,1675 = 0,40597 = 40,597%

3,Cã 2 l« Sp.L« thø nhÊt cã tØ lÖ chÝnh phÈm lμ 3/4, l« thø 2 lμ 2/3.LÊy ngÉu nhiªn

1 s¶n phÈm tõ 1 l« th× thÊy Sp ®ã lμ

chÝnh phÈm.SP ®−

îc bá l¹i vμ

tõ l« ®ã lÊy tiÕp1 s¶n phÈm.T×m x¸c suÊt ®Ó lÇn thø 2 còng lÊy ®− îc chÝnh phÈm.

Gi¶i:Gäi A lμ biÕn cè SP lÊy lÇn ®Çu lμ chÝnh phÈm. A sÏ x¶y ra cïng 2 gi¶ thuyÕt sau:

H1 – SP ®− îc lÊy tõ l« 1H2 – Sp ®− îc lÊy tõ l« 2.

Ta cã : P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) = 1/2.3/4 + 1/2.2/3 = 17/24

Sau khi biÕn cè A x¶y ra sÏ lμm x¸c suÊt cña çc biÕn cè Hi thay ®æi nh

− sau:

P(H1 /A) =)(

)/()( 11

A P

H A P H P =

1 3

2 417

24

=9

17 ; P(H2A) =

)(

)/()( 212

A P

H A P H P =

8

17

Gäi B lμ biÕn cè SP lÊy lÇn thø 2 lμ chÝnh phÈm.Khi nμy B sÏ xuÊt hiÖn cïng víi 2gi¶ thuyÕt míi chÝnh lμ çc x¸c suÊt xuÊt hiÖn míi cña H1 , H2 vμ v× s¶n phÈmthø nhÊt lÊy ra ®− îc bá l¹i l« nªn tØ lÖ chÝnh phÈm ë çc l« vÉn kh«ng thay ®æi.Ta cã : P(B) = P(H1 /A) . P(B/H1A) + P(H2 /A) . P(B/H2A)

= 9/17.3/4 + 8/17.2/3 = 0,71.

II.C«ng thøc Bernoulli:1,Bμi to¸n:

Mét c«ng nh©n trong ca lμm viÖc ph¶i theo dâi 3 m¸y dÖt tù ®éng (ho¹t ®éng ®éclËp) . X¸c suÊt háng cña mçi m¸y dÖt trong ca lμm viÖc lμ nh− nhau vμ ®Òu b»ng0,1.H·y tÝnh x¸c suÊt cña biÕn cè "trong ca lμm viÖc cã ®óng 2 m¸y háng”.

Gi¶i:

Gäi A1,A2,,A3 lÇn l− ît lμ biÕn cè m¸y 1,2,3 háng.A1,A2,,A3 lμ çc biÕn cè ®éc lËp toμn phÇn,kh«ng xung kh¾c.vμ P(A1 ) = P(A2) = P(A3) = 0,1.Gäi A lμ biÕn cè cã ®óng 2 m¸y háng.

Ta cã : A = A1 A2 3A + A1 2 A3

A + 1A2 A 3A ta thÊy çc nhãm A1 A2 3A , A1 2 A

3A

,1A 2 A

3A lμ çc nhãm xung kh¾c tõng ®«i nªn

P(A) = P(A1 )P(A2 )P( 3A )+ P(A1) P(

2 A )P( 3A ) +P(

1A )P( 2 A )P(

3A )





= 0,1.0,1.0,9 + 0,1.0,9.0,1 + 0,9.0,1.0,1= 3 .0,12.0,9 = 0,027

*NhËn xÐt:

- Bμi to¸n nμy ®Æc biÖt ë chç trong sè ç phÐp thö thùc hiÖn ta thÊy x¸c suÊt cñaçc biÕn cè lμ nh− nhau vμ mçi phÐp thö chØ cã 2 kÕt côc lμ A vμ A .

-Çc phÐp thö nμy lμ çc phÐp thö ®éc lËp.-Gäi sè “m¸y dÖt” lμ n, sè lÇn xuÊt hiÖn cña biÕn cè “m¸y háng” lμ k, p lμ x¸csuÊt cña A vμ q= 1-p lμ x¸c suÊt cña biÕn cè A .Khi ®ã kÕt qu¶ cña bμi to¸n ®− îc

viÕt l¹i d− íi 1 d¹ng tæng qu¸t nh− sau:

P(A) = 2 2 (3 2)

3 . .C p q − = ( ). .k k n k

nC p q −

2,C«ng thøc Bernoulii:NÕu thùc hiÖn n phÐp thö lÆp,®éc lËp.Mçi phÐp thö chØ cã 2 kÕt côc lμ A hoÆc A

xuÊt hiÖn víi çc x¸c suÊt kh«ng ®æi P(A) = p . Khi ®ã x¸c suÊt cña biÕn cè Btrong n lÇn thùc hiÖn phÐp thö biÕn cè A xuÊt hiÖn ®óng k lÇn ®− îc tÝnh theo c«ngth− c sau:

P(B) = ( ). .k k n k

nC p q −

Gäi lμ c«ng thøc Bernoulli.

VD :1,Trë l¹i bμi to¸n trªn.Gäi C lμ biÕn cè cã ®óng 1 m¸y háng. k =1P(C) = 1 1 (3 1)

3.0,1.0,9C − = 0,243

D lμ biÕn cè c¶ 3 m¸y ®Òu háng k= 3P(D) = 3 3 (3 3)

3 .0,1 .0,9C − = 0,001.

E lμ biÕn cè kh«ng cã m¸y nμo háng k = 0P(E) = 0 3 (3 0)

3

.0,1 .0,9C − = 0,729.

2,B¾n 6 viªn ®¹n vμo bia.X¸c suÊt ®Ó tróng ®Ých cña mçi viªn lμ 0,7.T×m x¸c suÊt®Ó cã 3 viªn tróng bia.

SV tù gi¶i.





Ch− ¬ng II : BiÕn ngÉu nhiªn vμ qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt

Trong ch− ¬ng I, ta ®· nghiªn cøu biÕn cè ngÉu nhiªn vμ ph− ¬ng ph¸p tÝnh x¸csuÊt x¶y ra cña chóng.Nã cho phÐp ta chuyÓn qua nghiªn cøu mét kh¸i niÖm quanträng,trung t©m cña lý thuyÕt x¸c suÊt.§ã lμ kh¸i niÖm biÕn (®¹i l− îng) ngÉunhiªn.

Bμi 1: Kh¸i niÖm vμ qui luËt ph©n bè x¸c suÊtcña biÕn ngÉu nhiªn.

§¹i l− îng ngÉu nhiªn ®− îc hiÓu lμ ®¹i l− îng liªn quan ®Õn phÐp thö (thÝ nghiÖm )

ngÉu nhiªn mμ

ta ®ang xÐt,khi tiÕn hμ

nh nã cã thÓ nhËn çc gi¸ trÞ kh¸c nhau mμ

ta kh«ng thÓ biÕt tr− íc ®− îc song ta hoμn toμn cã thÓ biÕt ®− îc tËp hîp tÊt c¶ çcgi¸ trÞ t− ¬ng øng víi x¸c suÊt cña nã.

I.Kh¸i niÖm :

1/§Þnh nghÜa: Mét biÕn sè ® − îc gäi lμ ngÉu nhiªn nÕu trong kÕt qu¶ cña phÐp thö nã chØ nhËn 1vμ chØ 1 trong çc gi¸ trÞ cã thÓ cã cña nã tuú thuéc vμo t¸c ®éng cña nh©n tèngÉu nhiªn.

Ký hiÖu : - Çc biÕn ngÉu nhiªn ®− îc ký hiÖu nh− sau: X,Y,Z.....- Çc gi¸ trÞ cã thÓ cã cña nã : x1x2 .......

VD :

Khi theo dâi 3 m¸y dÖt trong ca lμm viÖc,ta kh«ng biÕt ®− îc nã sÏ nhËn gi¸ trÞnμo,tøc lμ kh«ng biÕt ch¾c r»ng cã bao nhiªu m¸y h− ,nh− ng ta biÕt ®− îc tËp hîptÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña nã t− ¬ng øng víi çc x¸c suÊt P(B),P(C),P(D),P(E)Gäi X lμ sè m¸y h− trong ngμy.Khi ®ã X lμ 1 biÕn ngÉu nhiªn vμ X nhËn çc gi¸

trÞ cã thÓ lμ X := 0,1,2,3

X 0 1 2 3P 0,729 0,243 0,027 0,001

(B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt)





2,Ph©n lo¹i:* BiÕn ngÉu nhiªn gäi lμ rêi r¹c nÕu çc gi¸ trÞ cã thÓ cã cña nã lËp nªn 1 tËp hîph÷u h¹n hay ®Õm ® − îc.Hay nãi çch kh¸c biÕn ngÉu nhiªn sÏ lμ rêi r¹c nÕu çcgi¸ trÞ cña nã cã thÓ liÖt kª ® − îc.

VD :1,Gäi X lμ “sè ng− êi vμo mua hμng ë 1 siªu thÞ” .X lμ 1 biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c.2,Gäi Y lμ “sè ®iÓm thu ®− îc” khi tung h¹t xóc s¾c. Y lμ 1 biÕn ngÉu nhiªn rêi

r¹c.* BiÕn ngÉu nhiªn gäi lμ liªn tôc nÕu çc gi¸ trÞ cã thÓ cã cña nã lÊp ®Çy 1 kho¶ngtrªn trôc sè.Hay nãi çch kh¸c sÏ lμ liªn tôc nÕu ta kh«ng thÓ liÖt kª ® − îc çc gi¸trÞ cña nã.(Th− êng ® − îc cho d − íi d¹ng hμm sè).

VD :

-Gäi X lμ “kÝch th− íc cña chi tiÕt do 1 m¸y s¶n xuÊt ra” X lμ 1 biÕn ngÉu nhiªnliªn tôc- Y lμ “n¨ng suÊt vô mïa cña 1 tØnh” Y lμ 1 biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc.*Cã thÓ nãi r»ng gÇn nh− tÊt c¶ çc ®¹i l− îng trong thùc tÕ ®Òu lμ biÕn ngÉu nhiªnvμ chóng thuéc vμo 2 lo¹i biÕn ngÉu nhiªn trªnII.Qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn.

1,§Þnh nghÜa:Qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn lμ sù t− ¬ng quan gi÷a çc gi¸ trÞcã thÓ cã cña nã vμ çc x¸c suÊt t− ¬ng øng víi çc gi¸ trÞ ®ã.Cã 3 ph− ¬ng ph¸p th− êng dïng ®Ó m« t¶ qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt lμ :

-B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt.-Hμm ph©n bè x¸c suÊt.- Hμm mËt ®é x¸c suÊt

2,B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt .B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt chØ dïng ®Ó m« t¶ qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn

rêi r¹c cã d¹ng nh− sau:

X x1 x2 .......... xn

P p1 p2 ........... pn

*§Ó t¹o nªn 1 qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt çc x¸c suÊt pi ph¶i tho· m·n çc ®iÒukiÖn sau

+ 0 ≤ pi ≤ 1

+1

n

i

i

p=

= 1

VD : Trong hép cã 10 SP trong ®ã cã 6 chÝnh phÈm.LÊy ngÉu nhiªn 2 SP.T×m quiluËt ph©n phèi x¸c suÊt cña sè chÝnh phÈm ®− îc lÊy ra.





Gi¶i:Gäi X lμ “sè chÝnh phÈm lÊy ra trong 2 SP ”.Khi ®ã X lμ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹cvíi çc gi¸ trÞ cã thÓ lμ X:= 0,1,2.Ta t×m çc x¸c suÊt t− ¬ng øng.

+ P(X=0) =2

4

2

10

C

C =

6

45=

2

15

+ P(X=1) =1 1

6 4

2

10

.C C

C =

24

45=

8

15

+ P(X=2) =2

6

2

10

C

C =

15

45=

5

15

Nh− vËy qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cã d¹ng

X 0 1 2P 2

15

8

15

5

15

KiÓm tra l¹i ta thÊy2

15+

8

15+

5

15 = 1

3,H μm ph©n bè x¸c suÊt :B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt chØ cã gi¸ trÞ ®èi víi biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c.§Ó ¸p dông®− îc cho biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc ta xÐt kh¸i niÖm sau.

Gi¶ sö X lμ

biÕn ngÉu nhiªn bÊt kú,x lμ

1 sè thùc bÊt kú.XÐt biÕn cè “ biÕn ngÉunhiªn X nhËn gi¸ trÞ nhá h¬n x” ký hiÖu lμ ( X < x ).HiÓn nhiªn khi x thay ®æi th×x¸c suÊt cña P(X < x) còng thay ®æi theo.Nh− vËy x¸c suÊt nμy lμ 1 hμm sè cña x.a,§Þnh nghÜa:

H μm ph©n bè x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn kÝ hiÖu F(X) lμ x¸c suÊt ®Ó biÕn ngÉunhiªn nhËn gi¸ trÞ nhá h¬n x víi x lμ 1 sè thùc bÊt kú.

F(X) = P( X < x )*§èi víi tõng lo¹i biÕn ngÉu nhiªn,hμm ph©n bè x¸c suÊt ®− îc tÝnh theo nh÷ng

c«ng thøc riªng.NÕu biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c th× hμm ph©n bè x¸c xuÊt ®− îc tÝnhtheo c«ng thøc :

F(x) =i

i

x X p

<

VD : BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt nh− sau:

X 1 3 4P 0,1 0,5 0,4

H·y t×m ph©n bè x¸c suÊt cña X vμ vÏ ®å thÞ?





Gi¶i:+NÕu x ≤ 1 biÕn cè (X < x ) lμ biÕn cè kh«ng thÓ cã nªn F(X) = 0+ NÕu 1 < x ≤ 3 th× biÕn cè (X < x ) chØ x¶y ra khi (X = 1) do ®ã

F(X) = 0,1.+ NÕu 3 < x ≤ 4 th× biÕn cè (X < x ) x¶y ra khi hoÆc khi (X = 1) hoÆc khi (X =

3)Do ®ã : F(x) = 0,1 + 0,5 = 0,6.

+NÕu x > 4 th× biÕn cè (X < x ) x¶y ra khi hoÆc khi (X = 1) hoÆc khi (X = 3)hoÆc khi (X = 4).

do ®ã F(x) = 0,1 + 0,5 + 0,4 =1.

V©y hμm ph©n bè x¸c suÊt cã d¹ng :

0 víi x ≤ 10,1 víi 1 < x ≤ 3

F(x) =0,6 víi 3 < x ≤ 41 víi x > 4

§å thÞ cña hμm F(x) cã d¹ng

F(x)

1 _

0,6 _

0,1 _

| | |1 3 4 x

§å thÞ hμm F(x).





* §å thÞ cã d¹ng bËc thang víi sè ®iÓm gi¸n ®o¹n chÝnh b»ng gi¸ trÞ cã thÓ cñanã.

b,TÝnh chÊt :

*TC 1 : Hμm ph©n bè x¸c suÊt lu«n nhËn gi¸ trÞ trong ®o¹n [0,1].0 ≤ F(x) ≤ 1

*TC 2: Hμm ph©n phèi x¸c suÊt lμ hμm kh«ng gi¶m.Cã nghÜa lμ víi x2 > x1

th× F (x2) ≥ F (x1)*HÖ qu¶ :

1,X¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn X nhËn gi¸ trÞ trong kho¶ng [a,b) b»nghiÖu sè cña hμm ph©n bè x¸c suÊt t¹i 2 ®Çu kho¶ng ®ã:

P( a ≤ X < b ) = F(b) – F(a)2,X¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc nhËn 1 gi¸ trÞ x¸c ®Þnh b»ng 0:

P(X = x) = 03,§èi víi biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X ta cã çc ®¼ng thøc sau:

P(a ≤ x ≤ b) = P(a ≤ x < b) =P( a < x ≤ b) = P(a < x <b)*TC 3 : Ta cã biÓu thøc giíi h¹n sau:

P(- ∞ ) = 0 ; P(+ ∞ ) = 1.+HÖ qu¶ : NÕu biÕn ngÉu nhiªn X chØ nhËn gi¸ trÞ trong ®o¹n [a,b] th× :

Víi x ≤ a, F(x) = 0 vμ x > b , F(x) = 1

4,H μ

m mËt ®é x¸c suÊt:

§èi víi biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X cã thÓ dïng hμm ph©n bè x¸c suÊt ®Ó m« t¶qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña nã.Tuy nhiªn nã kh«ng thÓ ®Æc tr− ng ®− îc x¸csuÊt ®Ó biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X nhËn mét gi¸ trÞ x¸c ®Þnh.Ng− êi ta th− êngdïng hμm mËt ®é ®Ó m« t¶ luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña çc biÕn ngÉu nhiªn.

1, §Þnh nghÜa: H μm mËt ®é x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X ký hiÖu f(x) lμ ®¹o hμm

bËc nhÊt cña hμm ph©n bè x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn ®ã.

f(x) = F’

(x)

*L− u ý : Hμm mËt ®é chØ cã ý nghÜa víi biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc.

2,TÝnh chÊt :

*TC 1: Hμm mËt ®é x¸c suÊt lu«n kh«ng ©m.f(x) ≥ 0





*TC 2: X¸c suÊt ®Ó biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X nh©n gi¸ trÞ trong kho¶ng (a,b)b»ng tÝch ph©n x¸c ®Þnh cña hμm mËt ®é trong kho¶ng ®ã.

P(a < X < b) = ( )

b

a

f x dx .

VÒ mÆt h×nh häc ta cã thÓ minh ho¹ nh− sau: x¸c suÊt ®Ó biÕn ngÉu nhiªn liªntôc X nhËn gi¸ trÞ trong kho¶ng (a,b) b»ng diÖn tÝch cña h×nh giíi h¹n bëi trôcOx,®− êng cong f(x) vμ çc ®− êng th¼ng x = a ; x = b;

f(x)

f(x)

0 a b x§å thÞ hμm f(x).

*TC 3: Hμm ph©n bè x¸c suÊt F(x) cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X b»ng tÝch ph©nsuy réng cña hμm mËt ®é x¸c suÊt trong kho¶ng (- ∞ , x) :

F(x) = ( ) x

f x dx−∞

*TC 4: TÝch ph©n suy réng trong kho¶ng (- ∞ ,+ ∞ ) cña hμm mËt ®é b»ng 1.

( ) f x dx+∞

−∞

= 1

+ VÒ mÆt h×nh häc ®iÒu nμy cho thÊy toμn bé diÖn tÝch giíi h¹n bëi trôc Oxvμ f(x) lμ b»ng 1.

+VËy l− u ý r»ng : hμm mËt ®é x¸c suÊt cña 1 biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc ph¶i tho¶m·n 2 tÝnh chÊt sau :

( ) 0

( ) 1

f x

f x dx+∞

−∞

≥

=





3,Çc VD:1, BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X cã hμm ph©n bè x¸c suÊt nh− sau:

0 víi x ≤ -1

F(x) =3 3

4 4 x + víi -1 ≤ x ≤

1

3

1 víi x >1

3

a,T×m hμm mËt ®é ?b,T×m x¸c suÊt ®Ó trong kÕt qu¶ phÐp thö X nhËn gi¸ trÞ trong

kho¶ng [-1

3 ,1

3 ) (P (-1

3 ≤ x ≤ 1

3 = ?)

Gi¶i: 0 víi x ≤ -1

F(x)' = ( 3 3

4 4 x + )’ víi -1 ≤ x ≤

1

3

1' víi x >1

3

0 víi x ≤ -1

f(x) =3

4 víi -1 ≤ x ≤ 1

3

0 víi x >1

3

b, Ta cã P (-1

3≤ x ≤

1

3) = F(

1

3) – F(-

1

3)

= (3

4

1

3 +

3

4) +(

3

4

1( )

3− +

3

4) = 1 -

1

2= 0,5

HoÆc cã thÓ tÝnh theo c«ng thøc sau :

P (-1

3≤ x ≤

1

3) =

1/ 3

1/ 3

( ) f x dx−

=1/ 3

1/ 3

3

4dx

−

=1/ 3

1/ 3

3

4−

= 3

4

1

3 -

3

4

1( )

3− = 0,5





2,Cho hμm ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn X nh− sau:

0 víi x ≤ 0F(x) = ax2 víi 0 ≤ x ≤ 1

1

víi x > 1

a,T×m hμm mËt ®é?b,T×m a ?c, T×m x¸c suÊt ®Ó biÕn ngÉu nhiªn X nhËn gi¸ trÞ trong (0,25; 0,75)

Gi¶i:a, V× ( ax2 )’ = 2ax nªn :

0 víi x ≤ 0f(x) = 2ax víi 0 ≤ x ≤ 1

0 víi x > 1

b, XÐt biÓu thøc

( ) f x dx+∞

−∞

= 1 ⇔ 0

( ) f x dx−∞

+1

0

( ) f x dx +0

( ) f x dx+∞

Ta thÊy øng víi x ≤ 0 vμ x > 1 th× f(x) = 0 nªn:0

( ) f x dx−∞

= 0 vμ 0

( ) f x dx+∞

= 0

VËy ( ) f x dx+∞

−∞

= 1 ⇔

1

0

( ) f x dx =1

0

2axdx = 1

⇔ 1

2

0ax = 1 ⇔ a =1

c, P (0,25 ≤ x ≤ 0,75) =0,75

0,25

2 xdx

=0,75

2

0,25 x = 0,752 – 0,252 = 0,5





Bμi 2 : Çc tham sè ®Æc tr− ng cña biÕn ngÉu nhiªn.

Khi ®· x¸c ®Þnh ®− îc qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña 1 biÕn ngÉu nhiªn th×

ta ®· n¾m ®−

îc toμ

n bé th«ng tin cña nã.Tuy nhiªn trong thùc tÕ ta cßn ph¶i quant©m ®Õn nh÷ng th«ng tin c« ®äng ph¶n ¸nh tæng hîp nh÷ng ®Æc tr− ng quan trängnhÊt cña biÕn ngÉu nhiªn ®− îc nghiªn cøu vμ ®− îc gäi lμ çc tham sè ®Æc tr− ng.

I.Kú väng to¸n :1,§Þnh nghÜa :Kú väng to¸n cña mét biÕn ngÉu nhiªn X kÝ hiÖu E(X) ®− îc x¸c ®Þnh nh− sau:

+ NÕu X rêi r¹c th× E(X) =1

n

k k

k

x=

+ NÕu X liªn tôc th× E(X) = . ( ) x f x dx+∞

−∞

* ý nghÜa : Kú väng to¸n cña biÕn ngÉu nhiªn gÇn b»ng trung b×nh sè hä cñaçc gi¸ trÞ quan s¸t . Nã ph¶n ¸nh gi¸ trÞ trung t©m cña ph©n phèi x¸c suÊt.

VD :1,Trë l¹i VD vÒ theo dâi sè m¸y lμm viÖc trong 1 ca,ta cã b¶ng ph©n phèi

x¸c suÊt nh− sau:

X 0 1 2 3

P 0,729 0,243 0,027 0,001

Khi ®ã E(X) lμ sè m¸y háng trung b×nh trong 1 caE(X) = 0.0,792 + 1.0,243 + 2.0,027 + 3.0,001

= 0,3.

2,XÐt biÕn ngÉu nhiªn X cã hμm mËt ®é sau:

0 víi x ≤ -1

f(x) =3

4

víi -1 ≤ x ≤ 1

3

0 víi x >1

3

Ta cã: E(X) = . ( ) f x dx+∞

−∞

=1/ 3

1

3.4

x dx−

=1/ 3

2

1

3

2.4

x

−

= -1

3





3,Thêi gian xÕp hμng mua hμng cña kh¸ch hμng lμ 1 biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc cãhμm mËt ®é x¸c suÊt nh− sau:

43

81t víi t (0,3)∈

f(x) =0 víi t (0,3)∉

T×m thêi gian xÕp hμng trung b×nh cña kh¸ch hμng?Gi¶i:

Thêi gian xÕp hμng trung b×nh tÝnh lμ kú väng to¸n cña f(x).Ta cã:

E(X) = . ( ) x f x dx+∞

−∞

=3

4

0

4.

81 x dx =

35

0

4

405 = 2,4 (phót)

2,TÝnh chÊt:*TC 1: E(C) = C*TC 2: E ( CX ) = C E(X)*E( X +Y ) = E( X ) + E( Y )* NÕu X vμ Y ®éc lËp th× : E(XY) = E(X).E(Y)

(* 2 biÕn ngÉu nhiªn gäi lμ ®éc lËp nÕu viÖc biÕn ngÉu nhiªn nμ y nhËn gi¸ trÞ cãthÓ kh«ng ¶nh h− ëng ®Õn qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn kia.)

II.Trung vÞ Mod :*Trung vÞ : lμ gi¸ trÞ n»m chÝnh gi÷a tËp hîp çc gi¸ trÞ cã thÓ cã cña biÕn ngÉu

nhiªn,nã lμ gi¸ trÞ chia ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn thμnh 2 phÇn b»ng nhau.KÝ hiÖu : md

F(Xi) ≤ 0,5 ≤ F(Xi+1) Xi lμ trung vÞ*Mod : lμ gi¸ trÞ cña biÕn ngÉu nhiªn t− ¬ng øng víi x¸c suÊt lín nhÊt (cùc ®¹icña hμm mËt ®é) cña biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c ( liªn tôc)

KÝ hiÖu m0

III.Ph− ¬ng sai - §é lÖch chuÈn.

Ngoμi ®Æc tr− ng quan träng lμ kú väng to¸n,®Ó ®¸nh gi¸ vÒ biÕn ngÉu nhiªn ng− êita cßn quan t©m ®Õn møc ®é ph©n t¸n cña çc gi¸ trÞ cña biÕn ngÉu nhiªn xungquanh gi¸ trÞ trung b×nh cña nã n÷a.Ta cã thÓ lÊy trung b×nh cña tÊt c¶ çc sai lÖch ®Ó ®Æc tr− ng cho møc ®é ph©nt¸n.Tuy nhiªn trong thùc tÕ khi thùc hiÖn c«ng viÖc nμy th× gi¸ trÞ cña nã th− êngb»ng kh«ng do v× çc sai lÖch xung quanh gi¸ trÞ trung b×nh bao giê còng bï trõcho nhau.





§Ó kh¾c phôc ®iÒu nμy ng− êi ta th− êng tÝnh trung b×nh cña gi¸ trÞ tuyÖt ®èi haytrung b×nh cña b×nh ph− ¬ng çc sai lÖch.

1,§Þnh nghÜa:Ph− ¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn X lμ kú väng to¸n cña b×nh ph− ¬ng sai lÖch cñabiÕn ngÉu nhiªn so víi kú väng to¸n cña nã.

Ký hiÖu Var(X) =E [ X – E(X) ]2

+NÕu X lμ biÕn rêi r¹c th× : Var(X) = 2

1

[ ( )] .n

k k

k

x E X p=

−

+ NÕu X lμ biÕn liªn tôc th× : Var(X) = 2[ ( )] ( ) x E X f x dx

+∞

−∞

−

** Trong thùc hμnh ta th− êng dïng c«ng thøc sau:

Var(X) = E( X2 ) - [ E(X) ]2

E(X2) = 2

1

n

k k

k

p x=

(biÕn rêi r¹c)

E(X2) = 2 ( ) x f x dx

+∞

−∞

(biÕn liªn tôc)

** Ph− ¬ng sai ph¶n ¸nh møc ®é ph©n t¸n cña çc gi¸ trÞ cña biÕn ngÉu nhiªn sovíi kú väng to¸n cña nã.

2,VD :

1, Trë l¹i VD vÒ theo dâi sè m¸y lμm viÖc trong 1 ca,ta cã b¶ng ph©n phèi x¸csuÊt nh− sau:

X 0 1 2 3P 0,729 0,243 0,027 0,001

E(X) = 0,3.

T×m ph− ¬ng sai?





Gi¶i :Ta cã :

X2 0 1 4 9P 0,729 0,243 0,027 0,001

E(X2) =0,243 + 4.0,027 + 9.0,001 = 0,36.E [(X)]2 = 0,32 = 0,09

VËy Var (X) = 0,36 – 0,09 = 0,27

2,XÐt biÕn ngÉu nhiªn X cã hμm mËt ®é sau:

0 víi x ≤ -1

f(x) =3

4 víi -1 ≤ x ≤

1

3

0 víi x >1

3

E(X) = -1

3 .T×m Var(X)

Gi¶i:

E(X2) = 2. ( ) f x dx

+∞

−∞ =

1/ 33

1

14 x

−

= 427

VËy Var (X) =4

27 - (

1

3− )2 =

4

27

3,BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X cã hμm mËt ®é nh− sau:

43

81t víi t (0,3)∈

f(x) =0 víi t (0,3)∉

T×m Var (X) ? (SV tù gi¶i)

3,TÝnh chÊt:

*TC 1: Var (C) = 0* TC 2: Var(CX) = C2. Var(X).*TC 3: Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (X,Y lμ ®éc lËp)





+HÖ qu¶:+ Var( C+X) = Var(X).+Var(X- Y) = Var (X) + Var(Y) ( X,Y lμ 2 biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp)

4,§é lÖch chuÈn :NÕu xÐt vÒ ®¬n vÞ tÝnh th× ta thÊy ph− ¬ng sai cã ®¬n vÞ lμ b×nh ph− ¬ng ®¬n vÞ

cña biÕn ngÉu nhiªn, v× vËy khi tÝnh ®Õn ®¬n vÞ ®o ta sö dông ®é lÖch chuÈn lμ c¨nbËc 2 cña ph− ¬ng sai.

Ký hiÖu : xσ = ( )V X

IV.HÖ sè biÕn thiªn:

§Ó ®o l− êng møc ®é quan träng t− ¬ng ®èi cña sù ph©n t¸n ta dïng hÖ sè biÕn

thiªn sau:CV =

( )

x

E X

σ x 100% nÕu E(X) ≠ 0

HÖ sè biÕn thiªn dïng ®Ó ®o møc ®é thuÇn nhÊt cña 1 ph©n phèi.Gi¸ trÞ cña nãcμng nhá th× møc ®é thuÇn nhÊt cμng lín.Ngoμi ra nã cßn dïng ®Ó so s¸nh møc®é ph©n t¸n cña 2 ph©n phèi mμ kú väng to¸n vμ ®é lÖch chuÈn cña chóng kh«ngnhÊt thiÕt ph¶i nh− nhau.IV.Gi¸ trÞ tíi h¹n :Gi¸ trÞ tíi h¹n cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X ký hiÖu x

α

lμ gi¸ trÞ cña X tho· m·n

®iÒu kiÖn:P(X > α ) = α

VÒ mÆt h×nh häc :f(x)

s =α

0 α

Nh− vËy gi¸ trÞ tíi h¹n lμ gi¸ trÞ sao cho diÖn tÝch giíi h¹n bëi trôc hoμnh ,®− êngcong hμm mËt ®é x¸c suÊt vμ ®− êng th¼ng x = α cã diÖn tÝch b»ng α .





Bμi 3: Mét sè ph©n phèi x¸c suÊt th«ng dông.

T − ¬ng øng víi mçi biÕn ngÉu nhiªn riªng sÏ cã nh÷ng qui luËt ph©n phèi x¸c

suÊt riªng.ë bμ

i nμ

y ta sÏ ®i xÐt mét sè çc qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt th«ng dôngnhÊt.§iÒu nμy sÏ lμm cho viÖc ph©n lo¹i çc biÕn ngÉu nhiªn trong thùc tÕ theoçc qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt ®− îc dÔ dμng h¬n.

I.Ph©n phèi kh«ng mét.(A(P))1,§Þnh nghÜa:BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X nhËn 1 trong 2 gi¸ trÞ cã thÓ cã X := 0,1 víi çc x¸c

suÊt t− ¬ng øng ®− îc tÝnh b»ng c«ng thøc:

P x = px .q1-x víi x = 0,1 trong ®ã q = 1-p

®− îc gäi lμ ph©n phèi theo qui luËt kh«ng – mét víi tham sè p.Ký hiÖu : X ~ A(P)

*B¶ng ph©n phèi:

X 0 1

P q p

2, Çc tham sè ®Æc tr− ng:

Kú väng : E(X) = pPh− ¬ng sai: Var(X) = p.qTrong thùc tÕ qui luËt kh«ng mét th− êng ®− îc dïng ®Ó ®Æc tr− ng cho çc dÊu

hiÖu nghiªn cøu ®Þnh tÝnh cã 2 ph¹m trï lu©n phiªn.

II.Qui luËt ph©n phèi Bernoulli: (Ph©n phèi nhÞ thøc ) B(n,p)1,§Þnh nghÜa:

BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X nhËn çc gi¸ trÞ cã thÓ X : = 1,2,....,n tho· m·n l− îc ®åBernoulli víi çc x¸c suÊt t− ¬ng øng ®− îc tÝnh theo c«ng thøc:

P x =k k n k

nC p q −

®− îc gäi lμ ph©n phèi theo luËt nhÞ thøc víi çc tham sè lμ n vμ p.Ký hiÖu:X ~ B ( n,p)

*B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt:

X 0 1 x............. nP o o n

nC p q 1 1 1n

nC p q − x x n x

nC p q − 0n n

nC p q





2,Çc tham sè ®Æc tr− ng :*E(X) = n.p*Var(X) = n.p.q*np - q < mo < np + q

L− u ý :**m0 lμ 1 gi¸ trÞ nguyªn nªn trong tr− êng hîp np - q vμ np + q ®Òu nguyªn th× m0

sÏ nhËn 2 gi¸ trÞ.NÕu np - q vμ np + q lμ çc sè thËp ph©n th× mo lμ gi¸ trÞ nguyªnn»m gi÷a

**Trong thùc tÕ ®«i khi ta ph¶i tÝnh x¸c suÊt ®Ó biÕn ngÉu nhiªn X tu©n theo quiluËt ph©n phèi Bernuolli nhËn gi¸ trÞ trong kho¶ng [x , x+h ]( h nguyªn d− ¬ng ).Khi ®ã ta tÝnh x¸c suÊt nμy theo c«ng thøc sau :

P (x ≤ X ≤ x+h ) = px +p

x+1 + ......+ p

x+h

Trong ®ã çc x¸c suÊt thμnh phÇn ®− îc tÝnh theo c«ng thøc Bernuolli

VD 1: Mét ph©n x− ëng cã 5 m¸y ho¹t ®éng ®éc lËp .X¸c suÊt ®Ó m¸y háng trongngμy lμ 0,1.T×m x¸c suÊt ®Ó :

a,Trong mét ngμy cã 2 m¸y háng ?b,Trong 1 ngμy cã kh«ng qu¸ 2 m¸y háng ?

Gi¶i :NÕu coi sù ho¹t ®éng cña mçi m¸y lμ 1 phÐp thö ®éc lËp th× ta cã 5 phÐp thö ®éc

lËp.Mçi phÐp thö chØ cã 2 tr−

êng hîp lμ

m¸y háng hoÆc m¸y kh«ng háng vμ

x¸csuÊt cña m¸y háng lμ nh− nhau. Gäi X lμ sè m¸y háng trong ngμy,khi ®ã X ph©nphèi theo qui luËt nhÞ thøc víi n = 5 vμ p = 0,1

a, X¸c suÊt ®Ó mét ngμy cã 2 m¸y háng chÝnh lμ x¸c suÊt ®Ó X =2.P(X=2 ) = 2 2 3

5 0,1 0,9C = 0,0729

b, X¸c suÊt ®Ó trong 1 ngμy cã kh«ng qu¸ 2 m¸y háng lμ x¸c suÊt ®Ó X nhËn gi¸trÞ trong ®o¹n [ 0,2 ]

P( 0 ≤ X ≤ 2 ) = P 0 + P 1 + P 2 =0 0 5

5 0,1 0,9C + 1 1 4

5 0,1 0,9C + 0,0729 = 0,99144

VD 2: X¸c suÊt ®Ó 1 con lîn ®− îc tiªm phßng b»ng Vacxin ®− îc miÔn dÞch lμ 0,9.Cã 50 con lîn ®− îc miÔn dÞch.T×m sè lîn ®− îc miÔn dÞch cao nhÊt ?

Gi¶i :Gäi X lμ sè lîn miÔn dÞch. X tho· m·n l− îc ®å Bernuolli .VËy sè lîn ®− îc miÔndÞch cao nhÊt chÝnh lμ gi¸ trÞ cña X cã x¸c suÊt lín nhÊt hay chÝnh lμ mod, ta cã :

np - q < mo < np + qVíi n = 50 ,p = 0,9 , q = 0,1

50.0,9 - 0,1 < mo < 50.0,9 + 0,144,9 < mo < 45,9

VËy m0 = 45 hay sè lîn miÔn dÞch cao nhÊt lμ 45 con





VII.Qui luËt Poisson _ P( λ )Trong qui luËt ph©n phèi Bernuolli khi sè phÐp thö qu¸ lín nh− ng x¸c suÊt l¹i

qu¸ nhá th× viÖc tÝnh to¸n sÏ gÆp khã kh¨n,trong tr− êng hîp nμy ta sö dông ph©nphèi sau1,§Þnh nghÜa :

BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X nhËn 1 trong çc gi¸ trÞ cã thÓ cã X: = 0,1,...,n víi çcx¸c suÊt ®− îc tÝnh theo c«ng thøc sau:

!

x

x p e x

λ λ −=

Trong ®ã x = 0,1,.....λ = n.p lμ 1 sè kh«ng ®æi.

gäi lμ ph©n phèi theo qui luËt Poisson víi tham sè λ ký hiÖu P( λ )

2,Çc tham sè ®Æc tr− ng :+E(X) = λ +Var (X) = λ + λ -1 < m0 < λ

**B¶ng tra gi¸ trÞ hμm px *L− u ý :

+ Çch tÝnh x¸c suÊt cña çc biÕn cè nhËn gi¸ trÞ trong 1 kho¶ng cña qui luËtPoisson t− ¬ng tù nh− qui luËt nhÞ thøc.

+Víi λ > 20 ph©n phèi Poisson cã thÓ coi lμ ph©n phèi xÊp xÜ chuÈn víi : µ = λ vμ 2σ = λ

VD : X¸c suÊt ®Ó khi vËn chuyÓn 1 chai r− îu bÞ vì lμ 0,001.Ng− êi ta vËn chuyÓn2000 chai r− îu ®Õn cña hμng.

a,TÝnh sè chai vì trung b×nh ?b,T×m sè chai vì cã kh¶ n¨ng nhiÒu nhÊt ?

Gi¶i :

Gäi X lμ sè chai vì.X tho· m·n l− îc ®å Bernuolli nh− ng v× n = 2000 kh¸ lín vμ p = 0,001 qu¸ nhá vμ n.p = 0,001.2000 = 2 kh«ng ®æi nªn cã thÓ coi X tu©n theoqui luËt Poisson víi λ =2a,Sè chai vì trung b×nh chÝnh lμ kú väng cña X = λ =2b, Sè chai vì cã nhiÒu kh¶ n¨ng nhÊt chinh lμ mo => λ -1 < m0 < λ V× λ =2 nªn ë ®©y m0 sÏ nhËn 2 gi¸ trÞ lμ 1 vμ 2.





III.Ph©n phèi chuÈn: N ( 2, µ σ ).1,§Þnh nghÜa:

BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X nhËn gi¸ trÞ trong kho¶ng ( , )−∞ ∞ ®− îc gäi lμ ph©n

phèi theo qui luËt chuÈn víi çc tham sè2

, µ σ nÕu hμm mËt ®é x¸c suÊt cñachóng cã dang:

2

2

( )

21

( ) .2

x

f x e

µ

σ

σ

−−

=∏

Trong ®ã : 2, µ σ lμ çc tham sè.Ký hiÖu : X ~ N ( 2, µ σ ).

2,Tham sè ®Æc tr− ng:E(X) = µ

Var(X) = 2σ 3,Ph©n phèi chuÈn ho¸: N(0,1).

BiÕn ngÉu nhiªn tu©n theo qui luËt ph©n phèi chuÈn ho¸ cã kú väng b»ng 0 ,ph− ¬ng sai vμ ®é lÖch chuÈn b»ng 1 gäi lμ 1 ph©n phèi chuÈn ho¸.

Ký hiÖu: U ~ N(0,1)Khi ®ã hμm mËt ®é cã d¹ng:

2

21

( ) .2

u

f U e−

=∏

4,Gi¸ trÞ tíi h¹n chuÈn møc α :

Ký hiÖu U α

U ~ N(0,1)P (U > U α ) = α

VD : + P(U > 1,96) = 0,025--> U0,025 = 1,96

+ P( U > 1,645) = 0,05--> U0,05 = 1,645

**L− u ý : 1U α −

= - U α





5,C«ng thøc tÝnh x¸c suÊt : P(a ≤ X < b)

P(a ≤ X < b) = φ 0 (b µ

σ

−) - φ 0 (

a µ

σ

−)

*B¶ng tra hμm φ 0(u)

* L− u ý: + φ 0(- u ) = - φ 0(- u )

+ P( X < b) = 0,5 +φ 0 (b µ

σ

−)

+ P( X > a) = 0,5 - φ 0 (a µ

σ

−)

VD : BiÕn X lμ träng l− îng cña 1 lo¹i s¶n phÈm ®ãng gãi b»ng m¸y tù®éng.Theo thiÕt kÕ träng l− îng trung b×nh b»ng 100g vμ ®é lÖch chuÈn 1g.S¶nphÈm cã träng l− îng tõ 98g ®Õn 102g lμ ®¹t tiªu chuÈn.T×m tØ lÖ s¶n phÈm ®¹t tiªuchuÈn.BiÕt X lμ biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn.

Gi¶i:V× X lμ biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn nªn X ~ ~ N ( 2, µ σ ).

µ = E (X) = 100g.2σ = Var(X) = 1g.

TØ lÖ s¶n phÈm ®¹t tiªu chuÈn = Sè SP ®¹t tiªu chuÈn/ tæng sè s¶n phÈm = pp lμ x¸c suÊt cña biÕn cè “SP lÊy ngÉu nhiªn ®¹t tiªu chuÈn”

p = P(98 ≤ X ≤ 102) =φ 0 (102 100

1

−) - φ 0 (

98 100

1

−)

=φ 0 2 – (-φ 0 2) = 2φ 0 2

Tra b¶ng ta cã : φ 0 2 = 0,4772Nªn p = 0,9544.

VËy tØ lÖ SP ®¹t tiªu chuÈn lμ : 95,44%6,X¸c suÊt cña sù sai lÖch giöa biÕn ngÉu nhiªn vμ kú väng to¸n cña nã :§Ó tÝnh x¸c suÊt ®Ó trÞ tuyÖt ®èi sù sai lÖch cña biÕn ngÉu nhiªn vμ kú väng to¸ncña nã nhá h¬n 1 sè d− ¬ng ε cho tr− íc ®− îc tÝnh theo c«ng thøc sau :

P (| X - µ | < ε ) = 2φ 0 ( ε

σ )

**Qui t¾c 2 xÝch mμ

vμ

ba xÝch ma :Trong c«ng thøc trªn nÕu ®Æt ε = 2σ t− ¬ng øng ε = 3σ ta ®− îcP (| X - µ | < 2σ ) = P ( µ -2σ < X < µ +2σ ) = 0,9544P (| X - µ | < 3σ ) = P ( µ -3σ < X < µ +3σ ) = 0,9973

Çc qui t¾c trªn cho thÊy x¸c suÊt ®Ó biÕn ngÉu nhiªn chuÈn nhËn gi¸ trÞ trongkho¶ng ( µ -2σ ; µ +2σ ) lμ 0,9544 hay kho¶ng 95,44% gi¸ trÞ cña X n»m trongkho¶ng trªn.T − ¬ng tù cho qui t¾c ba xÝch ma cã kho¶ng 99,73% gi¸ trÞ cña X sÏn»m trong kho¶ng ( µ -3σ ; µ +3σ ) .





Trong thùc tÕ nÕu qui luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn cÇn nghiªn cøu ch− abiÕt nh− ng nÕu chóng tho· m·n qui t¾c hai,ba xÝch ma th× cã thÓ coi nh− biÕn nμycã ph©n phèi chuÈn.VD :Çc vßng bi do 1 m¸y tù ®éng s¶n xuÊt ®− îc coi lμ ®¹t tiªu chuÈn nÕu ®− êng kÝnhcña nã sai lÖch so víi ®− êng kÝnh thiÕt kÕ kh«ng qu¸ 0,7 mm.BiÕt r»ng sai lÖchnμy lμ biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn víi µ = 0 vμ σ = 0,4mm.T×m tØ lÖ vßng bi®¹t tiªu chuÈn cña m¸y ®ã ?Gi¶i :TØ lÖ vßng bi ®¹t tiªu chuÈn chÝnh lμ x¸c suÊt ®Ó lÊy ra 1 vßng bi th× nã ®¹t tiªuchuÈn.Gäi X lμ sai lÖch giöa ®− êng kÝnh vßng bi s¶n suÊt ra vμ ®− êng kÝnh thiÕtkÕ th× x¸c suÊt nμy chÝnh lμ x¸c suÊt ®Ó x¶y ra bÊt ®¼ng thøc (| X - µ | < 0,7)VËy:

P(| X - µ | < 0,7) = 2φ 0 ( 0,70,4 ) = 2φ 0 (1,75) = 2.0,4599 = 0,9198.

VËy tØ lÖ vßng bi ®¹t tiªu chuÈn lμ 91,98%

7,Sù héi tô cña qui luËt nhÞ thøc vÒ qui luËt chuÈn :Khi sö dông qui luËt nhÞ thøc nÕu n kh¸ lín th× viÖc tÝnh x¸c suÊt theo c«ng thøc

Bernuolli kh¸ phøc t¹p. §ång thêi nÕu p kh«ng nhá ( P > 0,1) th× ta cã thÓ dïngqui luËt chuÈn thay thÕ cho qui luËt nhÞ thøc.

Trong thùc tÕ qui luËt chuÈn cã thÓ thay thÕ cho qui luËt nhÞ thøc nÕu tho· m·n®ång thêi 2 ®iÒu kiÖn sau :

n > 5 vμ 1 1

1

p p

p p n

−−

−< 0,3

Lóc ®ã X ph©n phèi nhÞ thøc cã thÓ coi nh− ph©n phèi xÊp xÜ chuÈn víi kú vängto¸n µ = n.p vμ ph− ¬ng sai 2σ = npq. Khi ®ã çc x¸c suÊt ®− îc tÝnh theo c«ngthøc sau :

P ( X=x ) ≈ 1 x np

npq npqϕ −

P (x ≤ X ≤ x+h ) ≈ 0

h np

npqφ

+ −

- 0

x np

npqφ

−

( §Þnh lý Laplace )





VD :X¸c suÊt ®Ó s¶n phÈm sau khi s¶n xuÊt kh«ng ®− îc kiÓm tra chÊt l− îng b»ng 0,2

T×m x¸c suÊt ®Ó trong 400 s¶n phÈm ®− îc s¶n xuÊt ra cã :a,80 s¶n phÈm kh«ng ®− îc kiÓm tra ?b, 70 ®Õn 100 s¶n phÈm kh«ng ®− îc kiÓm tra

Gi¶i :Bμi to¸n trªn tho· m·n l− îc ®å Bernoulli X ~ B( 400; 0,2 ) song v× n = 400 vμ

1 1

1

p p

p p n

−−

− = 0,075 < 0,3

nªn cã thÓ coi X ~ N ( µ = np = 80, 2σ = npq = 64)

a,P (X = 80) ≈ 1 np

npq npqϕ

−

≈ 1 80 400.0, 2

64 64ϕ

−

= 1/8ϕ (0) =1/8.0,3989 = 0,04986

b, P( 70 ≤ X ≤ 100 ) =0

h np

npqφ

+ −

-0

x np

npqφ

−

=0

100 400.0, 2

64φ

−

-0

70 400.0,2

64φ

−

= 0φ (0,25) -

0φ (-1,25) = 0,8882

IV.Ph©n phèi Khi b×nh ph− ¬ng: 2 1,§Þnh nghÜa:

Gi¶ sö cã n biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp cã ph©n phèi chuÈn U1,U2 ....,Un ~ N(0,1).BiÕn ngÉu nhiªn 2 χ = 2

1

n

i

i

U =

ký hiÖu 2 χ (n)

®ù¬c gäi lμ ph©n phèi Khi b×nh ph− ¬ng víi n bËc tù do.

2,Çc tham sè ®Æc tr− ng :

*E ( 2 χ ) = n*Var ( 2 χ ) = 2n.

*Gi¸ trÞ tíi h¹n 2 χ møc α ký hiÖu 2( )n

α lμ gi¸ trÞ tho· m·n ®iÒu kiÖn :

P( 2 χ > 2( )n

α ) = α

+B¶ng tra gi¸ trÞ tíi h¹n 2( )n

α χ

VD:P [X2(1) > 1,84] = 0,05 --> 2(1)

0,05 = 1,84.





V.Ph©n phèi Student : T(n) (ph©n phèi bËc tù do n)1,§Þnh nghÜa:

Gi¶ sö cã 2 biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp U ~ N(0,1) vμ 2 χ ~ 2 χ (n).

BiÕn ngÉu nhiªn T =2

U

n

χ

®− îc gäi lμ ph©n phèi StudentKý hiÖu : T(n)

**Víi n> 30 T(n) xÊp xÜ ph©n phèi chuÈn.Cã thÓ sö dông ph©n phèi chuÈn thaythÕ cho T(n).

2,Çc ®Æc tr− ng :*E (T) = 0

*Var (T) =2

n

n −

*Gi¸ trÞ tíi h¹n Student bËc tù do n ký hiÖu ( )nt α lμ gi¸ trÞ tho· m·n:

P[T(n) > ( )nt α ] = α

(+ B¶ng tra gi¸ trÞ tíi h¹n ( )nt α )

VD :

P[T(17) > 1,74] = 0,05--> 17

0,05t = 1,74.

VI.Ph©n phèi Fisher Snedecor: F(n1,n2)

1,§Þnh nghÜa : gi¶ sö cã 2 biÕn ngÉu nhiªn U vμ V ®éc lËp víi nhau vμ cïngph©n phèi theo luËt khi b×nh ph− ¬ng víi s« bËc tù do t− ¬ng øng lμ n1 vμ n2.Khi ®ãbiÕn ngÉu nhiªn

F =1

2

/

/

U n

V n

gäi lμ ph©n phèi Fisher – Snedecor víi n1 vμ n2 bËc tù doKý hiÖu : F(n1,n2)





2,Çc ®Æc tr− ng :

*E(F) = 2

2 2

n

n −

*Var(F) =2 2

2 1 22

1 2 2

2 ( 2)( 2) ( 4)n n n

n n n

+ −

− −

*Gi¸ trÞ tíi h¹n ký hiÖu : 1 2( , )n n f α bËc tù do n1 vμ n2 lμ gi¸ trÞ tho· m·n ®iÒu kiÖn:

P(F > 1 2( , )n n f α ) = α

( B¶ng tra gi¸ trÞ tíi h¹n 1 2( , )n n f α )

* 1 2( , )

1

n n f α −

=2 1( , )

1n n

f α

VD : P [ F(1,20) > 4,35] = 0,05--> (1,20)

0,05 f = 4,35





Bμi 4 : BiÕn ngÉu nhiªn ®ång thêi (2 chiÒu)

Ngoμi biÕn ngÉu nhiªn 1 chiÒu mμ ta ®· xÐt trong çc bμi tr− íc ,trong thùc tÕ ta

cßn gÆp 1 sè hiÖn t− îng ngÉu nhiªn mμ mμ çc gi¸ trÞ cã thÓ cã cña chóng ®− îcx¸c ®Þnh b»ng 2,3,..n biÕn sè kh¸c nhau.Nh÷ng biÕn sè nμy ®− îc gäi lμ çc biÕnngÉu nhiªn t− ¬ng øng 1,2..n chiÒu. I.Kh¸i niÖm vμ b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt .1,Kh¸i niÖm :

Trong ph¹m vi ch− ¬ng tr×nh häc ta chØ xÐt ®Õn biÕn ngÉu nhiªn 2 chiÒu rêi r¹c.*BiÕn ngÉu nhiªn 2 chiÒu ký hiÖu: (X,Y) trong ®ã X vμ Y lμ çc biÕn ngÉu

nhiªn 1 chiÒu ®− îc coi lμ çc thμnh phÇn cña biÕn ngÉu nhiªn 2 chiÒu*Thùc chÊt biÕn ngÉu nhiªn 2 chiÒu ®− îc xÐt nh− hÖ 2 biÕn ngÉu nhiªn 1 chiÒu

X vμ Y ®− îc xÐt ®ång thêi.

*BiÕn ngÉu nhiªn 2 chiÒu ®− îc gäi lμ rêi r¹c nÕu çc thμnh phÇn cña nã lμ rêir¹c.VD :-Mét m¸y s¶n suÊt ra 1 lo¹i s¶n phÈm.NÕu gäi chiÒu dμi cña s¶n phÈm lμ X vμ

chiÒu réng cña s¶n phÈm lμ Y th× ta cã ®− îc 1 biÕn ngÉu nhiªn 2 chiÒu.-XÐt biÕn thu nhËp hμng n¨m cña çc cÆp vî chång.Gäi X lμ thu nhËp cña vî vμ

Y lμ thu nhËp cña chång.Khi ®ã (X,Y) lμ 1 biÕn ngÉu nhiªn 2 chiÒu.

2,B¶ng ph©n phèi ®ång thêi vμ ph©n phèi biªn.a,Ph©n phèi ®ång thêi:

Dïng ®Ó liÖt kª çc gi¸ trÞ cã thÓ cã vμ çc x¸c suÊt t− ¬ng øng cña çc biÕn ngÉunhiªn 2 chiÒu.B¶ng ph©n phèi ®ång thêi cã d¹ng:

XY

x1 x2 ........ xn

y1 P( x1 ,y1) P( x2 ,y1) P( xn ,y1)y2 P( x1 ,y2) P( x2 ,y2) P( xn ,y2)

............

yn P( x1 ,yn) P( x2 ,yn) P( xn ,yn)

Trong ®ã : xi ( 1,i n= ) lμ çc gi¸ trÞ cã thÓ cã cña X

y j ( 1, j m= ) lμ çc gi¸ trÞ cã thÓ cã cña YP(xi ,y j ) lμ çc x¸c suÊt ®ång thêi ®Ó biÕn ngÉu nhiªn nhËn çc gi¸

trÞ (xi ,y j )





Qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt ®ång thêi ph¶i tho· m·n ®iÒu kiÖn:

1 1

( , ) 0

( , ) 1

i j

n m

i j

i j

P x y

P x y= =

≥

=

b,B¶ng ph©n phèi biªn:Tõ b¶ng ph©n phèi ®ång thêi ta cã çc b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt biªn cã d¹ng

sau:

X x1 x2 .....x xn

P P( x1 ) P( x2 ) ....P(x ) P( xn )

Y y1 y2 .... yi yn

P P( y1 ) P( y2 ) .....P(yi) P( yn )

Trong ®ã: P (x j ) =1

( , )m

i j

j

P x y=

( 1,i n= )

P (yi ) =1

( , )n

i j

i

P x y=

( 1, j m= )

VD : Thu nhËp hμng n¨m cña çc cÆp vî chång cã b¶ng ph©n phèi ®ång thêisau:

YX

10 20 30 40

10 0,2 0,04 0,01 020 0,1 0,36 0,09 030 0 0,05 0,1 040 0 0 0 0,05

Trong ®ã : X lμ thu nhËp cña chång (TriÖu ®ång/ n¨m)Y lμ thu nhËp cña vî (TriÖu ®ång / n¨m)

T×m ph©n phèi biªn cña mçi thμnh phÇn ?

Gi¶i:Céng çc x¸c suÊt theo dßng ta thu ®− îc çc x¸c suÊt t− ¬ng øng cña X.

P(X1) = 0,2 + 0,04 + 0,01 + 0 = 0,25P(X2) = 0,1 + 0,36 + 0,09 + 0 = 0,55





P(X3) = 0,05 + 0,1 = 0,15P(X4) = 0,05

VËy ph©n phèi biªn cña thu nhËp cña chång lμ :

X 10 20 30 40P 0,25 0,55 0,15 0,05

TiÕn hμnh t− ¬ng tù ®èi víi tõng cét cña cña b¶ng ph©n phèi ®ång thêi ta®− îc b¶ng ph©n phèi biªn cña Y.

Y 10 20 30 40

P 0,3 0,45 0,2 0,05

Khi ®ã ta cã b¶ng ph©n phèi tæng hîp sau:

YX

10 20 30 40P(X)

10 0,2 0,04 0,01 0 0,2520 0,1 0,36 0,09 0 0,5530 0 0,05 0,1 0 0,15

40 0 0 0 0,05 0,05P(Y) 0,3 0,45 0,2 0,051

*Çc ph©n phèi biªn còng ph¶i tho· m·n çc tÝnh chÊt cña qui luËt ph©nphèi x¸c suÊt.II,Çc ®Æc tr− ng:1,Kú väng to¸n :

*E(X) =1

. ( )n

k k

k

P x=

*E(Y) =1

. ( )m

i i

i

y P y=

*Sö dông ph©n phèi x¸c suÊt biªn ta tÝnh gièng nh− biÕn 1 chiÒu.

2,Ph− ¬ng sai :*Var (X) = E [X – E(X) ]2

*Var (Y) = E [Y – E(Y) ]2





3,HiÖp ph− ¬ng sai:Lμ kú väng to¸n cña tÝch çc sai lÖch cña çc biÕn ngÉu nhiªn ®ã víi kú vängto¸n cña chóng.

*Ký hiÖu : Cov (X,Y) = E { [X – E(X)] [Y – E(Y)] }

NÕu X vμ Y ®éc lËp th× Cov (X,Y) = 0

Cov(X,Y) =1 1

. ( ) ( ). ( )m n

j i j i

i j

x y P x y E X E Y = =

−

4,HÖ sè t − ¬ng quan :lμ tØ sè gi÷a hiÖp ph− ¬ng sai vμ tÝch çc ®é lÖch chuÈn cña çc biÕn ngÉu nhiªn

®ã.

( , ) xy

x y

Cov X Y ρ

σ σ =

**HÖ sè t− ¬ng quan vμ hiÖp ph− ¬ng sai dïng ®Ó ®Æc tr− ng cho møc ®é chÆt chÏcña çc biÕn ngÉu nhiªn trong çc mèi liªn hÖ phô thuéc gi÷a chóng.

VD : Ph©n phèi x¸c suÊt cña l− ¬ng th¸ng Y ( triÖu ®ång) vμ giíi tÝnh cña c«ngnh©n 1 c«ng ty nh− sau:

YX

0,5 1 1,5

N÷ : 0 0,1 0,3 0,2Nam : 1 0,06 0,18 0,16

T×m hiÖp ph− ¬ng sai vμ hÖ sè t− ¬ng quan.Gi¶i :

Tõ b¶ng trªn ta cã b¶ng sau:

YX 0,5 1 1,5 P(X)0 0,1

00,3

00,2

0 0,61 0,06

0,03 0,18

0,180,16

0,24 0,4P(Y) 0,16 0,48 0,36 1





Ta cã :1 1

. ( )m n

j i j i

i j

x y P x y= =

= 0+ 0 + 0 + 0,03 + 0,18 + 0,24 = 0,45

E(X) = 0.0,6 + 0,4.1 = 0,4

E(Y) = 0,5.0,16 + 1.0,48 + 1,5.0,36 = 1,1VËy Cov (X,Y) = 0,45 – 0,4.1,1 = 0,01.

Var(X) = 02.0,6 + 12.0,4 – 0,42 = 0,24-->

xσ = 0,4899

Var (Y) = 0,52.0,16 +12.0,48 + 1,52.0,36 – 1,12 = 0,12-->

yσ = 0,3464.

VËy( , )

xy

x y

Cov X Y ρ

σ σ = =

0,01

0,4899.0,3464 = 0,0589.

5,§éc lËp x¸c suÊt cña çc biÕn thμnh phÇn:NÕu X vμ Y lμ 2 biÕn ®éc lËp th× :

P (X,Y) = P ( X= xi,Y = y j ) = P (X= xi).P(Y = y j )

III.X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn Hμm håi qui:1,Ph©n phèi x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn: Dïng ®Ó tæng hîp 2 biÕn ngÉu nhiªn 1 chiÒu thμnh hÖ 2 biÕn ngÉu nhiªn.X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn ®Ó thμnh phÇn X nhËn gi¸ trÞ x i víi ®iÒu kiÖn Y nhËn gi¸

trÞ yi ký hiÖu P(xi / yi).B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña thμnh phÇn X víi ®iÒu kiÖn Y = y j cã d¹ng:

X/y x1 x2 .....x xn

P P( x1 /y ) P(x2 / y ) ....P(x /y ) P( xn /y )

Trong ®ã çc x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn P(x j, y j) ®− îc tÝnh b»ng c«ng thøc sau:

P(xi / y j) =( , )

( )

i j

j

P x y

P y

T − ¬ng tù ta cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña thμnh phÇn Yvíi ®iÒu kiÖn X = x

Y/x y1 y2 ..... y ym

P P( y1 /x ) P( y2 /x ) ..P( y /x ) P( ym /x )





Trong ®ã çc x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn P(x j, y j) ®− îc tÝnh b»ng c«ng thøc sau:

P(y j / xi) =( , )

( )

i j

i

P x y

P x

VD:Quay l¹i VD trªn.H·y t×m ph©n phèi x¸c suÊt cña l− ¬ng th¸ng cña n÷ c«ng nh©n

Gi¶i:Ta cã P (x1) = 0,6

Nªn P (y1 /x1) =1 1

1

( , )

( )

P x y

P x =

0,1

0,6=

1

6

P (y2 /x1) =1 2

1

( , )

( )

P x y

P x =

0,3

0,6=

3

6

P (y3 /x1) =1 3

1

( , )

( )

P x y

P x = 0,2

0,6= 2

6

VËy b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt l− ¬ng th¸ng cña n÷ c«ng nh©n lμ:

Y/X=x1 0,5 1 1,5P 1/6 3/6 2/6

2,H μm håi qui:*Kú väng cã ®iÒu kiÖn :

E(Y/X= x) =1

. ( / )m

j j

j

y P y x=

Gäi g(x) = E(Y/X= x) gäi lμ hμm håi qui cña Y ®èi víi X.Nh− vËy hμm håi quicña Y ®èi víi X chÝnh lμ gi¸ trÞ trung b×nh cña biÕn ngÉu nhiªn Y phô thuéc vμobiÕn X.

VD: Sö dông VD trªn.

Ta cã : E( Y/ X= 0) = 0,5.

1

6 + 1.

3

6 + 1,5.

2

6 =(Thu nhËp trung b×nh cña n÷ c«ng nh©n.)

E( Y/ X= 1) = 0,5.6

40 + 1.

18

40 + 1,5.

16

40 = 1,125.

(Thu nhËp trung b×nh cña nam)





IV,Ph©n phèi x¸c suÊt cña hμm 2 biÕn ngÉu nhiªn.1,§Þnh nghÜa:

NÕu øng víi mçi gi¸ trÞ cã thÓ cã cña çc biÕn ngÉu nhiªn X vμ Y cã mét gi¸ trÞcã thÓ cã cña Z th× Z ®− îc gäi lμ hμm cña 2 biÕn ngÉu nhiªn X vμ Y, ký hiÖu:

Z = ( , ) X Y φ

Gi¶ sö X vμ Y lμ 2 biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c vμ ®éc lËp víi nhau vμ ®· biÕt qui luËtph©n phèi x¸c suÊt cña chóng.§Ó x©y dùng qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña Z = X+Y ta ph¶i ®i t×m çc gi¸ trÞ cã thÓ cña Z vμ çc x¸c suÊt t− ¬ng øng cña nã.

2 VD:Çc biÕn X ,Y rêi r¹c,®éc lËp vμ cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt sau:

X 1 2

P 0,4 0,6

Y 3 4P 0,2 0,8

T×m qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña Z = X+Y

Gi¶i:Çc gi¸ trÞ cã thÓ cã cña Z lμ tæng çc gi¸ trÞ t− ¬ng øng cña X vμ Y

Z1 = 1 + 3 = 4 ; Z2 = 1 + 4 = 5Z3 = 2 + 3 = 5 ; Z1 = 2 + 4 = 6

Ta t×m çc x¸c suÊt t− ¬ng øng :V× X,Y ®éc lËp nªn : P( Z1 = 4 ) = P( X = 1).P(Y = 3) = 0,4.0,2 = 0,08T − ¬ng tù : P( Z2 = 5) = P( X = 1).P(Y = 4) = 0,4.0,8 = 0,32

P( Z3 = 5 ) = P( X = 2).P(Y=3) = 0,6.0,2 = 0,12P( Z4 = 6 ) = P( X = 2).P(Y=3) = 0,6.0,8 = 0,48

V× Z2 vμ Z3 ®Òu b»ng 5 nªn P(Z = 5) = P( Z2 = 5) + P( Z3 = 5 ) = 0,32 + 0,12 =0,44VËy b¶ng ph©n phèi cña Z cã d¹ng :

Z 4 5 6P 0,08 0,44 0,48





PHÇn 2 : Thèng Kª to¸n.

Trong thùc tÕ ta th− êng gÆp ph¶i çc bμi to¸n vÒ nghiªn cøu 1 hay nhiÒu dÊu

hiÖu,®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh hay ®Þnh l− îng nμo ®ã cña 1 tËp hîp gåm nhiÒu phÇn töVD : Mét doanh nghiÖp cã thÓ nghiªn cøu vÒ tËp hîp çc kh¸ch hμng cña hä vμ tïy vμo chØ tiªu ®¸nh gi¸ kh¸c nhau mμ çc dÊu hiÖu cÇn nghiªn cøu cã thÓ lμ møc ®é hμi lßng cña kh¸ch hμng(®Þnh tÝnh) hay nhu cÇu cña kh¸ch hμng (®Þnhl− îng).§iÒu tra vÒ tËp hîp çc häc sinh trong mét tr− êng häc th× çc dÊu hiÖu cÇnnghiªn cøu cã thÓ lμ tr×nh ®é,häc lùc ,chiÒu cao....§Ó ®¸nh gi¸,®− a ra kÕt luËn vÒ nh÷ng dÊu hiÖu cÇn nghiªn cøu ta th− êng dïngph− ¬ng ph¸p thèng kª tøc lμ sö dông ph− ¬ng ph¸p thu nhËp vμ xö lý çc sè liÖu tõ®ã ®− a ra nh÷ng kÕt luËn khoa häc,thùc tiÔn vμ chÝnh x¸c vÒ çc dÊu hiÖu,®Æctr− ng cÇn nghiªn cøu.Thèng kª to¸n lμ bé m«n nghiªn cøu çc qui luËt cña çc hiÖn t− îng ngÉu nhiªncã tÝnh chÊt sè lín trªn c¬ së thu nhËp vμ xö lý çc sè liÖu thèng kª,çc kÕt qu¶quan s¸t.Nh− vËy néi dung chñ yÕu cña thèng kª to¸n lμ x©y dùng çc ph− ¬ngph¸p thu nhËp vμ xö lý çc sè liÖu thèng kª nh»m rót ra çc kÕt luËn khoa häc vμ thùc tiÔn.

ch− ¬ng III : Lý thuyÕt mÉu.

§Ó nghiªn cøu 1 tËp hîp çc phÇn tö theo 1 dÊu hiÖu nhÊt ®Þnh,ng− êi ta cã thÓ sö

dông ph− ¬ng ph¸p nghiªn cøu toμn bé tøc lμ thèng kª toμn bé ho¹t ®éng ®ã vμ ph©n tÝch tõng phÇn tö cña chóng theo çc dÊu hiÖu nghiªn cøu.Tuy nhiªn nÕu quim« cña tËp hîp qu¸ lín viÖc nghiªn cøu sÏ rÊt tèn kÐm vμ dÉn ®Õn nh÷ng sai lÇmnh− :+Trïng vμ bá xãt çc phÇn tö ...+Do tr×nh ®é tæ chøc nghiªn cøu cßn h¹n chÕ dÉn ®Õn nh÷ng sai sãt khi n¾m b¾t

nh÷ng th«ng tin ban ®Çu cña tËp hîp ...+Trong nhiÒu tr− êng hîp cã thÓ sÏ kh«ng n¾m b¾t ®− îc toμn bé çc phÇn tö nªn

kh«ng thÓ tiÕn hμnh nghiªn cøu toμn bé ®− îc.+NÕu çc phÇn tö trong tËp hîp bÞ ph¸ hñy trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu th× viÖc

nghiªn cøu trë nªn v« nghÜaTrong thùc tÕ ,víi 1 tËp hîp lín ng− êi ta th− êng dïng ph− ¬ng ph¸p nghiªn cøu

kh«ng toμn bé,®Æc biÖt lμ ph− ¬ng ph¸p chän mÉu.Tõ tËp hîp cÇn nghiªn cøu chänra ngÉu nhiªn 1 sè phÇn tö (gäi lμ mÉu) ph©n tÝch chóng råi sö dông çc ph− ¬ngph¸p x¸c suÊt ®Ó xö lý chóng vμ dùa vμo ®ã ®− a ra çc kÕt luËn vÒ tËp hîp cÇnnghiªn cøu





Bμi 1 :Tæng thÓ nghiªn cøu.

I.Kh¸i niÖm tæng thÓ:

*§Þnh nghÜa: Toμn bé tËp hîp çc phÇn tö ®ång nhÊt theo 1 dÊu hiÖu nghiªncøu ®Þnh tÝnh hay ®Þnh l− îng nμo ®ã ® − îc gäi lμ tæng thÓ nghiªn cøu hay tæng thÓ.Sè l− îng çc phÇn tö cña tæng thÓ ®− îc gäi lμ kÝch th− íc cña tæng thÓ, ký hiÖu

N.

II,Çc ®Æc tr− ng:1,Ph©n phèi cña tæng thÓ :

X- dÊu hiÖu quan s¸t nhËn çc gi¸ trÞ x1,x2,....,xk.Víi çc tÇn sè t− ¬ng øngN1,N2,....,Nk (Ni sè phÇn tö cña tæng thÓ nhËn chung gi¸ trÞ xi).

Ta cã b¶ng ph©n phèi tÇn sè sau:

X x1 x2 ..... xk

TÇn sè N1 N2 ....... Nk

HiÓn nhiªn :

1

0 i

k

k

i

N N

N N =

≤ ≤

=

TÇn suÊt pi =i N

N

(i = 1, k )

Khi ®ã tæng thÓ ®− îc m« t¶ d− íi d¹ng b¶ng ph©n phèi tÇn suÊt thùc nghiÖm sau:

X x1 x2 ..... xk

TÇn suÊt p1 p2 ....... pk

Víi

1

0 1

1

i

k

k

i

p

p=

≤ ≤

=

2,Trung b×nh tæng thÓ:ChÝnh lμ trung b×nh sè häc cña çc gi¸ trÞ cña çc dÊu hiÖu trong tæng thÓ

Ký hiÖu m

m =1

1 k

i i

i

N x N =

hoÆc m =1

k

i i

i

p x=





3,Ph− ¬ng sai - §é lÖch chuÈn cña tæng thÓ:*Ph− ¬ng sai lμ trung b×nh sè häc cña b×nh ph− ¬ng çc sai lÖch gi÷a çc gi¸ trÞ

cña dÊu hiÖu trong tæng thÓ vμ trung b×nh tæng thÓ.Ký hiÖu :

xσ 2.

xσ 2 = 2

1

1( )

k

i i

i

N x m N =

− hoÆc xσ 2 = 2

1

( )k

i i

i

p x m=

−

Trong thùc hμnh ta sö dông c«ng thøc sau:

xσ 2 = 2 2

1

1( )

k

i i

i

N x m N =

−

* §é lÖch chuÈn : Ký hiÖu xσ

xσ = 2

xσ

4,C¬ cÊu cña tæng thÓ:Cho tæng thÓ cã kÝch th− íc N,

+M lμ sè phÇn tö mang dÊu hiÖu A.+ N- M lμ phÇn tö mang dÊu hiÖu A

xÐt tÇn suÊt p = N

khi ®ã p chÝnh lμ x¸c suÊt ®Ó lÊy ngÉu nhiªn 1 phÇn tö th× nã mang dÊu hiÖu cÇnnghiªn cøu.Ta nãi p ph¶n ¸nh c¬ cÊu cña tæng thÓ theo dÊu hiÖu nghiªn cøu XVD :Tæng thÓ nghiªn cøu lμ 1 xÝ nghiÖp cã N = 40 c«ng nh©n víi dÊu hiÖu nghiªn cøulμ n¨ng suÊt lao ®éng(s¶n phÈm /§V thêi gian.). Sè liÖu cña tæng thÓ theo dÊuhiÖu nghiªn cøu ®− îc cho trong b¶ng sau:

N¨ng suÊt lao ®éng xi Sè c«ng nh©n Ni

50 355 560 1065 1270 775 3Tæng 40

TÝnh trung b×nh tæng thÓ,ph− ¬ng sai vμ ®é lÖch chuÈn ?





Gi¶i:Tõ b¶ng trªn ta lËp b¶ng míi cã d¹ng nh− sau :

N¨ng suÊt lao ®éng xi Sè c«ng nh©n Ni Nixi Nixi2

50 3 150 750055 5 275 1512560 10 600 3600065 12 780 5070070 7 490 3430075 3 225 16875Tæng 40 2520 160500

Ta cã :m =

1

1 k

i i

i

N x N =

=2520

40 = 63.

xσ 2 = 2 2

1

1 k

i i

i

N x m N =

− =160500

40 - ( 63 )2 = 43,5

VËy xσ = 2

xσ = 43,5 = 6,6





Bμi 2 :MÉu ngÉu nhiªn.

ViÖc nghiªn cøu 1 tæng thÓ víi qui m« lín,®Æc biÖt khi kh«ng cßn n¾m ®− îc

kÝch th− íc cña nã hay møc ®é kÐm tin cËy cña sè liÖu ®iÒu tra võa g©y khãkh¨n,tèn kÐm l¹i kh«ng thËt sù chuÈn x¸c.Khi kh«ng thÓ nghiªn cøu trùc tiÕptæng thÓ ®− îc ng− êi ta th− êng dïng ph− ¬ng ph¸p lÊy mÉu tøc lμ tõ tæng thÓ lÊy nphÇn tö vμ chØ tËp trung nghiªn cøu çc phÇn tö nμy mμ th«i.

I.§Þnh nghÜa : MÉu ngÉu nhiªn kÝch th− íc n lμ tËp hîp n biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp X 1,X 2,...,X n.® − îc thμnh lËp tõ biÕn ngÉu nhiªn X trong tæng thÓ nghiªn cøu vμ cã cïng qui luËt

ph©n phèi x¸c suÊt víi X.Ký hiÖu : W ={ X1,X2,...,Xn }

§Ó ®¶m b¶o tÝnh chÝnh x¸c cho kÕt luËn vÒ tæng thÓ,mÉu ®− îc chän ph¶i mangtÝnh ®¹i diÖn cho tæng thÓ tøc lμ ph¶n ¸nh ®óng ®Æc ®iÓm cña tæng thÓ theo dÊuhiÖu quan s¸t,nghiªn cøu.§Ó ®¶m b¶o tÝnh ®¹i diÖn cña mÉu vμ tiÖn cho viÖc m«h×nh ho¸,mÉu ®− îc lËp víi nh÷ng gi¶ thuyÕt sau:

+LÊy lÇn l− ît tõng phÇn tö vμo mÉu.+ Çc phÇn tö ®− îc lÊy vμo mÉu hoμn toμn ngÉu nhiªn.+Çc phÇn tö ®− îc lÊy vμo mÉu theo ph− ¬ng thøc hoμn l¹i tøc lμ tr− íc khi lÊy

tiÕp phÇn tö thø k ph¶i tr¶ l¹i tæng thÓ phÇn tö thø k-1

*Tïy thuéc vμo ®Æc ®iÓm cña tõng tæng thÓ nghiªn cøu mμ mÉu cã thÓ ®− îc chäntheo nhiÒu ph− ¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó ®¶m b¶o yªu cÇu ®¹i diÖn cña mÉu.CãnhiÒu ph− ¬ng ph¸p chän mÉu kh¸c nhau t− ¬ng øng lμ çc thang ®o gi¸ trÞ mÉu vμ çc çch m« ta sè liÖu mÉu kh¸c nhau.V× ph¹m vi ch− ¬ng tr×nh h¹n chÕ nªn çcban ®äc cã thÓ tham kh¶o thªm ë çc gi¸o tr×nh ®Çy ®ñ h¬n.

II.Çc ®Æc tr− ng :

1,Ph©n phèi mÉu:XÐt mÉu víi kÝch th− íc n trong ®ã çc gi¸ trÞ x1,x2,....,xk xuÊt hiÖn víi çc tÇn sè

t−

¬ng øng n1,n2,....,nk (ni sè phÇn tö cña tæng thÓ nhËn chung gi¸ trÞ xi).Ta cã b¶ng ph©n phèi tÇn sè thùc nghiÖm sau:

X x1 x2 ..... xk

TÇn sè n1 n2 ....... nk

HiÓn nhiªn :1

k

i

i

n=

= n





TÇn suÊt mÉu f i =in

n (i = 1, k )

Khi ®ã tæng thÓ ®− îc m« t¶ d− íi d¹ng b¶ng ph©n phèi tÇn suÊt sau:

X x1 x2 ..... xk

TÇn suÊt f 1 f 2 ....... f k

Víi

1

0 1

1

i

k

k

i

f

f =

≤ ≤

=

2,Trung b×nh mÉu:

X =1

1 k

i i

i

n xn =

hoÆc X =1

k

i i

i

f x=

3,Ph− ¬ng sai- §é lÖch mÉu :

S2 =2

1

1( )

1

k

i i

i

n x X n =

−−

XÐt S* =22

1

1( )

k

i i

i

n x X n =

−

*Trung b×nh cña tæng b×nh ph− ¬ng sai lÖch giöa çc gi¸ trÞ cã thÓ vμ trung b×nhmÉu,gäi t¾t lμ ®é lÖch b×nh ph− ¬ng trung b×nh

Ta cã S2 =1

n

n −S* =

22

1

1( )

1

k

i i

i

n x X n =

−−

*§é lÖch mÉu:

S = 2S

4,C¬ cÊu mÉu:Gäi mA lμ phÇn tö mang dÊu hiÖu An - mA sè phÇn tö mang dÊu hiÖu A

f = Am

n c¬ cÊu mÉu.





VD :1,Cã mÉu 10 bao ®− êng (träng l− îng : kg) nh− sau:

49,9; 50,1 ; 50; 50,1; 50,2; 50; 50; 49,9; 50; 50,1.TÝnh çc ®Æc tr− ng cña mÉu trªn ?

Gi¶i :B¶ng ph©n phèi cña mÉu :

X 49,9 50 50,1 50,2TÇn sè(ni) 2 4 3 1

§Ó tÝnh çc ®Æc tr− ng cßn l¹i ta lËp b¶ng sau:

xi ni nixi nixi

2

49,9 2 98,8 4980,0250 4 200 10000

50,1 3 150,3 7530,0350,2 1 50,2 2520,04

Tæng 10 500,3 25030,09

Ta cã :

+ Trung b×nh mÉu : X =1

1 k

i i

i

n xn =

=500,3

10 = 50,03

+Ph− ¬ng sai mÉu : S* =22

1

1( )

k

i i

i

n x X n =

− =25030,09

10 - (50,03)2 = 0,0081

VËy S2 =0,0081.10

(10 1)− = 0,009

+§é lÖch chuÈn : S = 2S = 0,009 = 0,09482,LÊy ngÉu nhiªn 100 thanh niªn ë 1 tØnh ®em ®o chiÒu cao th× thu ®− îc çc sèliÖu sau:

ChiÒu cao(cm) 154-158

158-162

162-166

166-170

170-174

174-178

178-182

Sè thanh niªncã chiÒu caot− ¬ng øng

10 14 26 28 12 8 2

T×m çc gi¸ trÞ ®Æc tr− ng cña mÉu?





Gi¶i:Ta lËp b¶ng tÝnh víi çc xi ë ®©y ®− îc thay bëi çc gi¸ trÞ giöa

xi ni nixi nixi2

156 10 1560 243360160 14 2240 358400164 26 4264 699296168 28 4704 790272172 12 2064 355008176 8 1408 247808180 2 360 64800

Tæng 100 16600 2758944

Ta cã : X = 1660100 =166 (cm)

S* = =2758944

100− (166)2 = 33,44

VËy S =100

33,4499

= 5,812

III.Quan hÖ giöa ®Æc tr− ng mÉu vμ tæng thÓ: NÕu chóng ta chØ ®¬n gi¶n thay ®Æc tr− ng mÉu cho ®Æc tr− ng cña tæng thÓ th×

kh«ng cÇn bμn luËn tiÕp theo.Nh− ng chóng ta ph¶i lu«n tr¶ lêi c©u hái: “ ®Æc

tr− ng mÉu gÇn hay xa ®Æc tr− ng tæng thÓ,kÕt luËn cã ®¸ng tin cËy hay kh«ng... ?”- §Ó tr¶ lêi cho nh÷ng c©u hái trªn ta sö dông suy luËn sau:

+Gi¶ sö tæng thÓ cã dÊu hiÖu quan s¸t X gäi lμ biÕn ngÉu nhiªn gèc.+Çc ®Æc tr− ng mÉu còng lμ biÕn ngÉu nhiªn gäi lμ thèng kª.Khi ®ã :

*E ( X ) = m.(Kú väng to¸n cña çc mÉu ngÉu nhiªn b»ng trung b×nh tæng thÓ)

*E (S2) = 2

xσ

(Kú väng to¸n cña ph− ¬ng sai çc mÉu ngÉu nhiªn b»ng ph− ¬ng sai cña tæng thÓ)

*Var( X ) =2

x

nσ

(Ph− ¬ng sai cña trung b×nh mÉu b»ng tØ sè giöa ph− ¬ng sai tæng thÓ vμ kÝch th− ícmÉu).

*E( f ) = p(Kú väng to¸n cña tÇn suÊt mÉu b»ng tÇn suÊt tæng thÓ )





Ch− ¬ng IV :¦íc l− îng tham sè.

Më ®Çu

*Cã rÊt nhiÒu bμi to¸n trong nghiªn cøu ®· ®− îc ®− a vÒ biÕn ngÉu nhiªn gèc Xvíi qui luËt ph©n phèi ®· biÕt song ch− a biÕt 1 tham sè ®Æc tr− ng θ nμo ®ã mμ chóng ta ph¶i − íc l− îng (x¸c ®Þnh gi¸ trÞ mét çch gÇn ®óng) gi¸ trÞ cña tham sènμy.

*L− u ý r»ng v× mÉu chØ lμ 1 tËp hîp lÊy ra tõ tæng thÓ,cho dï xö lý chÝnh x¸c nh− thÕ nμo th× mÉu bao giê còng cã sai lÖch so víi tæng thÓ dï nhiÒu hay Ýt. §Ó dÔsuy luËn vμ so s¸nh ng− êi ta th− êng ®Þnh ra 1 x¸c suÊt ®Ó kÕt luËn thèng kª ®óngkhi ¸p dông cho tæng thÓ vμ th− êng ®− îc gäi lμ møc tin cËy cña kÕt lu©n vμ th− êng ®− îc ký hiÖu lμ (1- α )

VD+ Víi ®é tin cËy (1 - α ) = 0,95 --> α = 0,05 víi ý nghÜa lμ cho phÐp kÕt luËn

thèng kª sai trung b×nh 5 trªn 100 tr− êng hîp ¸p dông vμo tæng thÓ

*Lý thuyÕt mÉu cho phÐp ta x©y dùng ph− ¬ng ph¸p − íc l− îng nh− sau : tõ tæng

thÓ rót ra 1 mÉu cã kÝch th− íc n vμ tõ ®ã x©y dùng 1 thèng kª∗'

θ nμo ®ã dïng ®Ó− íc l− îng θ b»ng çch nμy hay çch kh¸c.Cã 2 ph− ¬ng ph¸p − íc l− îng lμ :

- ¦íc l− îng ®iÓm

-

¦íc l− îng kho¶ng

VD :+Gäi X lμ biÕn sè trøng gμ në trong n trøng,X cã ph©n phèi nhÞ thøc B(n,p) khi

®ã tham sè mμ ta cÇn − íc l− îng ë ®©y lμ x¸c suÊt trøng në p.+Gäi Y lμ chiÒu cao cña çc HS nam trong 1 tr− êng häc,Y cã ph©n phèi chuÈn

N( 2, µ σ ) khi ®ã çc tham sè mμ ta cÇn − íc l− îng lμ 2, µ σ + Gäi Z lμ biÕn bÞ cóm trong 1 ®ît cóm,khi ®ã cã ph©n phèi kh«ng mét víi tham

sè cÇn − íc l− îng lμ x¸c suÊt bÞ cóm.





Bμi 1 : ¦íc l− îng ®iÓm.I.Kh¸i niÖm :

Lμ

ph−

¬ng ph¸p dïng 1 gi¸ trÞ thay thÕ cho tham sè ch−

a biÕt cña tæng thÓ v× b¶nth©n cña tham sè nμy lμ 1 sè x¸c ®Þnh.Th«ng th− êng gi¸ trÞ ®− îc chän lμ 1 thèngkª nμo ®ã cña mÉu ngÉu nhiªn.Cã nhiÒu çch chän gi¸ trÞ thay thÕ nμy t− ¬ng øngvíi nh÷ng ph− ¬ng ph¸p − íc l− îng ®iÓm riªng.

II.Çc ph− ¬ng ph¸p − íc l− îng ®iÓm:1,¦íc l− îng kh«ng chÖch :

Thèng kª θ̂ cña mÉu ®− îc gäi lμ − íc l− îng kh«ng chÖch cña tham sè θ cñabiÕn ngÉu nhiªn gèc X nÕu

E ( θ̂ ) = θ

+L− u ý: c«ng thøc trªn cã ý nghÜa lμ trung b×nh cña θ̂ b»ng θ trong khi tõnggi¸ trÞ cña θ̂ cã thÓ cã nh÷ng sai lÖch rÊt lín ®èi víi θ

VD :+ X lμ − íc l− îng kh«ng chÖch cña m v× E ( X ) = m+ S2 lμ − íc l− îng kh«ng chÖch cña 2σ v× E(S2 ) = 2σ

2,¦íc l− îng hiÖu qu¶ :Thèng kª cña mÉu ®− îc gäi lμ − íc l− îng hiÖu qu¶ nhÊt cña tham sè θ cña

biÕn ngÉu nhiªn gèc nÕu nã lμ − íc l− îng kh«ng chÖch vμ cã ph− ¬ng sai nhá nhÊtso víi mäi − íc l− îng kh«ng chÖch kh¸c cïng ®− îc x©y dùng trªn mÉu.Nh− vËyta cÇn ph¶i t×m ®− îc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña ph− ¬ng sai çc hμm − íc l− îng.

3,¦íc l− îng v÷ng :Thèng kª mÉu θ̂ lμ − íc l− îng v÷ng cña tham sè θ nÕu khi sè quan s¸t cμng

t¨ng lªn th× hÇu nh− ch¾c ch¾n sai lÖch giöa θ̂ vμ θ lμ kh«ng ®¸ng kÓ.Tøc lμ víi ε > 0 bÐ tïy ý ta cã :

ˆlim ( ) 1n

p θ θ ε →∞

− < =

**NhËn xÐt :Ta dïng nh÷ng tiªu chuÈn nªu trªn ®Ó ®¸nh gi¸ çc thèng kª ®Æc tr− ng mÉu kh¸c

nhau cho phÐp ta lùa chän nh÷ng thèng kª tèt nhÊt,tøc lμ − íc l− îng mét çchchÝnh x¸c nhÊt çc tham sè ®Æc tr− ng cña tæng thÓ.V× trung b×nh mÉu X ,ph− ¬ng sai mÉu S2 ,c¬ cÊu mÉu f ®Òu lμ nh÷ng − íc l− îng

kh«ng chÖch , hiÖu qu¶ nhÊt vμ v÷ng cña trung b×nh tæng thÓ m ,ph− ¬ng sai tængthÓ 2σ ,c¬ cÊu tæng thÓ p ,do ®ã khi ch− a biÕt m , 2σ vμ p cã thÓ dïng chóng ®Ó− íc l− îng.





Bμi 2 : ¦íc l− îng kho¶ng.

I.Kh¸i niÖm:

§Ó − íc l− îng tham sè θ trong biÕn ngÉu nhiªn gèc X,ta x©y dùng 1 thèng kª G tõmÉu,b»ng çch x©y dùng 1 kho¶ng gi¸ trÞ ( G1,G2 ) sao cho víi mét x¸c suÊt chotr− íc tham sè θ sÏ r¬i vμo kho¶ng ( G1,G2 ) ®ã.

V× G lμ biÕn ngÉu nhiªn nªn ( G1,G2 ) lμ 1 kho¶ng ngÉu nhiªn.

*§Þnh nghÜa: Kho¶ng ( G1,G2 ) cña thèng kª G ®− îc gäi lμ kho¶ng tin cËy cñatham sè θ nÕu víi x¸c suÊt b»ng (1- α ) cho tr− íc thâa m·n ®iÒu kiÖn :

P(G1 < θ < G2) = 1- α

+ 1- α ®− îc gäi lμ ®é tin cËy cña − íc l− îng.+ I = G2- G1 gäi lμ ®é dμi kho¶ng tin cËy.

VÊn ®Ò quan träng cña bμi to¸n lμ lμm thÕ nμo ®Ó x¸c ®Þnh ®− îc kho¶ng tin cËy( G1,G2 ) tho· m·n ®iÒu kiÖn trªn.§Ó thùc hiÖn ®iÒu trªn ta tiÕn hμnh nh− sau:Tõ tæng thÓ ta lËp mÉu ngÉu nhiªn kÝch th− íc n :

W = (X1,X2,....,Xn)X©y dùng thèng kª G = f(X1,X2,....,Xn,θ ).Khi ®ã víi ®é tin cËy 1-α cho tr− íc ta

cã thÓ t×m ®− îc mét cÆp gi¸ trÞ α 1,α 2 sao cho α 1+α 2 = α T − ¬ng øng ta t×m ®− îc cÆp gi¸ trÞ gα 1,gα 2 sao cho chóng tho¶ m·n ®iÒu kiÖnsau:

P(G < gα 1) = α 1 ;P(G > gα 2) = α 2

Tõ ®©y ta suy ra : P ( gα 1 <G < gα 2) = 1 - (α 1+α 2) = 1-α b»ng çc phÐp biÕn ®æi t− ¬ng ®− ¬ng ta ®− a biÓu thøc trªn vÒ d¹ng :

P(G1 < θ < G2) = 1- α ®©y chÝnh lμ kho¶ng tin cËy cÇn t×m

TiÕn hμnh phÐp thö víi mÉu ngÉu nhiªn nμy ta thu ®− îc 1 mÉu cô thÓw =(x1,x2,....,xn)

Lóc ®ã ta kÕt luËn qua mÉu cô thÓ víi ®é tin cËy lμ 1-α tham sè cÇn − íc l− îngsÏ r¬i vμo kho¶ng (g1,g2) hay (g1< θ < g2)Ph− ¬ng ph¸p nμy ch¼ng nh÷ng lμm t¨ng ®é chÝnh x¸c cña − íc l− îng mμ cßn ®¸nhgi¸ ®− îc møc ®é tin cËy cña − íc l− îng ®ã n÷a.Tuy nhiªn nã còng chøa ®ùng kh¶n¨ng m¾c sai lÇm lμ α .Víi thêi l− îng h¹n chÕ nªn trong môc nμy chØ tr×nh bμy ph− ¬ng ph¸p x©y dùngkho¶ng tin cËy cña tham sè µ trong bμi to¸n − íc l− îng kú väng to¸n cña biÕnngÉu nhiªn gèc ph©n phèi chuÈn





II.¦íc l− îng kú väng to¸n cña biÕn ngÉu nhiªn gèc ph©n phèi chuÈnX ~ N( µ , 2σ ) (¦íc l− îng cho trung b×nh tæng thÓ)

Gi¶ sö X ~ N( µ , 2σ ) nh− ng ch− a biÕt µ .§Ó − íc l− îng µ cho tæng thÓ ta lËp

mÉu ngÉu nhiªn kÝch th−

íc n :W = (X1,X2,....,Xn)TiÕn hμnh phÐp thö víi mÉu ngÉu nhiªn nμy ta thu ®− îc 1 mÉu cô thÓ

w =(x1,x2,....,xn)vμ tõ ®©y ta tÝnh ®− îc çc gi¸ trÞ cô thÓ cña ( G1,G2 ) t− ¬ng øng lμ ( g1,g2 ) gäi lμ kho¶ng tin cËy cô thÓQua mÉu cô thÓ víi ®é tin cËy lμ (1-α ) tham sè θ cña biÕn ngÉu nhiªn gèc X sÏn»m trong kho¶ng ( g1,g2 )§Ó chän thèng kª G cho thÝch hîp ta xÐt 2 tr− êng hîp sau:** Ta dïng çc kÝ hiÖu th− êng nh− ,s ... ®Ó diÔn ®¹t çc ®Æc tr− ng cña mÉu cô

thÓ.

1,Tr− êng hîp ®· biÕt ph− ¬ng sai 2σ :

a,Kho¶ng tin cËy ®èi xøng víi ®é tin cËy 1- α

Chän thèng kª G = U =( ) X n µ

σ

−

(B¹n ®äc tham kh¶o thªm vÒ çch chän çc thèng kª nμy ë phÇn qui luËt ph©nphèi x¸c suÊt cña çc thèng kª ®Æc tr− ng mÉu trong çc tμi liÖu ®Çy ®ñ h¬n)

X - trung b×nh mÉuTa t×m cÆp gi¸ trÞ α 1,α 2 sao cho α 1+α 2 = α vμ t×m ®− îc 2 gi¸ trÞ tíi h¹n chuÈn

11U α −vμ

2U α tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

P(U <11U α −) = α 1 ;

P(U >2

U α ) = α 2

Suy ra P(11U α −<U <

2U α ) = P(-

2U α < U <

2U α ) = P(-

2U α <

( ) X n µ

σ

− <

2U α ) = 1-

α BiÕn ®æi t− ¬ng ®− ¬ng cho biÓu thøc trªn ta ®− îc

P( X - 2

nU α

σ < µ < X + 1

nU α

σ ) = 1-α

§©y chÝnh lμ kho¶ng tin cËy tæng qu¸t cho tham sè µ cña biÕn ngÉu nhiªn tu©ntheo qui luËt ph©n phèi chuÈn.HiÓn nhiªn ta cã thÓ t×m ®− îc v« sè cÆp gi¸ trÞα 1+α 2 = α tõ ®ã sÏ cã v« sè kho¶ng tin cËy t− ¬ng øng.





Ta xÐt çc tr− êng hîp sau:

a,Kho¶ng tin cËy ®èi xøng :

chän α 1 = α 2 =2

α ta ®− îc:

X -2

U n

α

σ < µ < X +

2

U n

α

σ

Trong ®ã : + X - Trung b×nh mÉu.+ n - KÝch th− íc mÉu.

+2

U α - Gi¸ trÞ tíi h¹n chuÈn møc2

α

VD : Träng l− îng cña 1 SP lμ biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn víi ®é lÖchchuÈn 1g. C©n ngÉu nhiªn 25 SP ta cã b¶ng sau :

Träng l− îng 18 19 20 21Sè SP 3 5 15 2

H·y − íc l− îng träng l− îng trung b×nh cña s¶n phÈm ®ã b»ng kho¶ng tin cËy ®èixøng víi ®é tin cËy 0.95.

Gi¶i :Gäi X lμ träng l− îng s¶n phÈm. X ~ N( µ , 2σ ) víi 2σ = 12 =1.

Ta cã : x =18.3 19.5 20.15 21.2

25

+ + +

= 19,46

Víi 1 - α = 0,95 -->2

α = 0,025 -->

2

U α = 0,025U = 1,96.

VËy kho¶ng tin cËy ®èi xøng lμ :

[ 19,64 - 1

25.1,96 < µ < 19,64 +

1

25.1,96 ]

[19,248 < µ < 20,032]

b,Kho¶ng 1 phÝa:

+Kho¶ng tin cËy bªn ph¶i :Chän α 1 = 0 th× 1U α = +∞ ; α 2 = α ta ®− îc

µ > X - U n

α

σ

Dïng ®Ó − íc l− îng gi¸ trÞ tèi thiÓu cña µ





+Kho¶ng tin cËy phÝa tr¸i:Chän α 2 = 0 th× 2U α = +∞ ; α 1 = α ta ®− îc

µ < X + U n

α

σ

Dïng ®Ó − íc l− îng gi¸ trÞ tèi ®a cña µ

c,Bμi to¸n x¸c ®Þnh kÝch th− íc mÉu tèi thiÓu:

§Æt ε =2

U n

α

σ gäi lμ ®é chÝnh x¸c.

Víi kho¶ng tin cËy X - ε < µ < X + ε hoÆc µ = X ± ε Khi ®ã ®é dμi kho¶ng tin cËy b»ng 2 lÇn ®é chÝnh x¸c: I = 2ε

Ta cã ®− îc c«ng thøc x¸c ®Þnh kÝch th− íc mÉu tèi thiÓu n víi ®é tin cËy 1- α vμ ®é chÝnh x¸c ε cho tr− íc :

n > [2

2

2

2

( )U α

σ

ε ]

VD : Víi VD trªn gi÷ nguyªn ®é tin cËy vμ yªu cÇu ®é chÝnh x¸c cña − íc l− îngchØ lμ 0,1.Ta ph¶i ®iÒu tra mÉu víi kÝch th− íc lμ bao nhiªu ?

n >2

2

22

( )U α

σ

ε =

22

2

11,96

0,1 = 385.

VËy ®Ó ®é chÝnh x¸c cña − íc l− îng t¨ng tõ 0,392 lªn 0,1 th× kÝch th− íc mÉuph¶i t¨ng tõ 25 lªn 385 phÇn tö.

2,Tr− êng hîp ch− a biÕt ph− ¬ng sai :a,Kho¶ng tin cËy ®èi xøng :

X -2

( 1)S

t nn

α − < µ < X +2

( 1)S

t nn

α −

b,Kho¶ng tin cËy 1 phÝa :

µ < X + ( 1)S

t nn

α −

µ > X - ( 1)S

t nn

α −





VD :1,Theo dâi møc tiªu hao x¨ng cña 1 lo¹i xe trªn ®o¹n ®− êng AB cã sè liÖu nh− sau:

Møc tiªu hao(LÝt)

30 31 32 33 34

Sè chuyÕn xe 5 10 12 8 6

BiÕt r»ng møc tiªu hao x¨ng lμ biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn.H·y − íc l− îngmøc tiªu hao x¨ng trung b×nh tèi ®a víi ®é tin cËy lμ 0,95.

Gi¶i:

Gäi X lμ møc tiªu hao x¨ng.

ta cã b¶ng :xi ni nixi nixi

2

30 5 150 450031 10 310 9610

32 12 384 1228833 6 264 871234 8 204 6936

Tæng 41 1312 42046

=1312

41 = 32

s* =42046

41 - (32)2 = 1,5122

s =41

1,511240

= 1,245

Víi 1 - α = 0,95 --> α = 0,05 --> ( 1)t nα − =0,05(40)t = 1,684

VËy kho¶ng tin cËy tèi ®a lμ :

[ µ < X + ( 1)S

t nn

α − ]

[ µ < 32 +1,245

1,68441

]

[ µ < 32 ,33 ]





2,LÊy ngÉu nhiªn 200 chi tiÕt do 1 m¸y s¶n xuÊt ®Ó ®o kÝch th− íc thu ®− îc sè liÖusau:

KÝch th− íc chi tiÕt (cm) Sè chi tiÕt t− ¬ng øng54,795 - 54,80554,805 - 54,81554,815 - 54,82554,825 - 54,83554,835 - 54,84554,845 - 54,85554,855 - 54,865

54,865 - 54,875

61433474533157

Víi kho¶ng tin cËy 95%, h·y − íc l− îng b»ng kho¶ng tin cËy ®èi xøng kÝch th− íctrung b×nh cña chi tiÕt do m¸y ®ã s¶n xuÊt biÕt kÝch th− íc chi tiÕt lμ biÕn ngÉunhiªn ph©n phèi chuÈn.Gi¶i:

Gäi X lμ kÝch th− íc chi tiÕt.Ta cã b¶ng:

KÝch th− íc chi tiÕt(cm)

Sè chi tiÕt t− ¬ngøng

nixi nixi2

54,80

54,8154,8254,8354,8454,8554,8654,87

6

1433474533157

328,8

767,341809,062577,011467,801810,05822,90384,09

18018,24

42057,90599172,66914197,450135334,1599281,24245144,29421075,018

Tæng 200 10967,05 601380,950

Ta cã : = 10967,05200

= 54,83525

s* =601380,95

200 - (54,83525)2 = 0,0002559

s =200

0,0002559199

= 0,0164

V× n = 200 > 30 nªn





0,025(199)t ≈ u0,025 = 1,96

VËy kho¶ng tin cËy ®èi xøng cña µ lμ

[54,83525 -0,0146

1,96200

< µ < 54,83525 +0,0146

1,96200

]

[54,83298 < µ < 54,83752 ]

II.¦íc l− îng ph− ¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi theo qui luËt chuÈn :X ~ N( µ , 2σ )

1,§· biÕt kú väng to¸n :

[*2

2

2

.

( )

n S

nα χ < 2σ <

*2

2

12

.

( )

n S

nα χ −

]

Víi *2S =2

1

1( )

k

i i i

i

n x xn =

−

VD : Møc hao phÝ nguyªn liÖu cho 1 ®¬n vÞ s¶n phÈm lμ biÕn ngÉu nhiªn ph©nphèi chuÈn víi trung b×nh lμ 20g c©n thö 25 SP thu ®− îc kÕt qu¶ sau:

Hao phÝ nguyªnliÖu (gam)

19,5 20 20,5

Sè SP 5 8 2

Víi ®é tin cËy 0,90.H·y − íc l− îng 2σ Gi¶i :Gäi X lμ møc hao phÝ nguyªn liÖu cho 1 ®¬n vÞ s¶n phÈm:

§Ó tÝnh *2S =2

1

1( )

k

i i i

i

n x xn =

− ta lËp b¶ng sau:

xi ni ( xi - )i x ( xi - )i

2 ni ( xi - )i

2

19,5 5 - 0,5 0,25 1,2520 18 0 0 0

20,5 2 0,5 0,25 0,50Tæng 25 1,75

s* =1,75

0,0725

=

Víi 1 - α = 0,90 --> α /2 = 0,05 --> 2

0,05(25) χ = 37,65

--> 1- α /2 = 0,95 --> 2

0,95 (25) χ = 14,61





VËy kho¶ng tin cËy :

[*2

2

2

.

( )

n S

nα χ < 2σ <

*2

2

12

.

( )

n S

nα χ −

]

[ 25.0,07

37,65 < 2σ < 25.0,07

14,61]

[0,0464 < 2σ < 0,1198 ]

2,Ch− a biÕt kú väng :

Kho¶ng tin cËy ®èi xøng : [2

2

2

( 1).

( 1)

n S

nα χ

−

− < 2σ <

2

2

12

( 1).

( 1)

n S

nα χ −

−

− ]

Kho¶ng tin cËy bªn tr¸i : [ 2σ >2

2

2

( 1).( 1)

n S nα χ

−−

]

Kho¶ng tin cËy bªn ph¶i : [ 0 < 2σ <2

2

12

( 1).

( 1)

n S

nα χ −

−

− ]

VD :Quay l¹i VD vÒ kÝch th− íc chi tiÕt cña SP.Víi ®é tin cËy 0,95 ,h·y − íc l− îng

ph− ¬ng sai cña kÝch th− íc chi tiÕt cña SP.

Gi¶i :Tõ b¶ng ta cã : s2 = 0,0002689 ; n = 200

2

0,975 (199) χ ≈ 198,98

--> 1- α /2 = 0,025 --> 2

0,025(199) χ ≈ 284,8

VËy kho¶ng tin cËy lμ :

[2

2

2

( 1).

( 1)

n S

nα χ

−

−

< 2σ <2

2

12

( 1).

( 1)

n S

nα χ −

−

−

]

[199.0,0002689

284,8 < 2σ <

199.0,0002689

198,98 ]

[0,000188 < 2σ < 0,000269]





IV.Kho¶ng tin cËy cho x¸c suÊt p cña biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi theo quiluËt kh«ng - mét .X ~ A(0,1) ( ¦íc l− îng c¬ cÊu tæng thÓ)

§iÒu kiÖn ¸p dông :30

10

(1 ) 10

n

nf

n f

> > − >

1,Kho¶ng tin cËy ®èi xøng

[ f -(1 ) f f

n

−

2

U α < p < f +(1 ) f f

n

−

2

U α ]

2,Kho¶ng tin cËy 1 phÝa :

p > f - (1 ) f f n− U α ]

p < f +(1 ) f f

n

−U α ]

3,KÝch th− íc mÉu tèi thiÓu n víi ®é tin cËy 1- α cho tr− íc :

n ≥ 2

0

(1 ) f f

ε

− 2U α

VD:

1,Trong 1 khu d©n c−

cã 2000 hé gia ®×nh.Sau 1 thêi gian qu¶ng ço vμ

khuyÕnm¹i 1 lo¹i s¶n phÈm míi ng− êi ta pháng vÊn ngÉu nhiªn 100 hé th× cã 60 hé cã södông s¶n phÈm.H·y − íc l− îng kho¶ng tin cËy ®èi xøng,®é tin cËy 0,95 sè hé cãsö dông s¶n phÈm míi.

Gi¶i :Gäi p lμ tØ lÖ sè hé sö dông SP.(X¸c suÊt cña biÕn cè lÊy ngÉu nhiªn 1 hé th× cã södông s¶n phÈm)

p = N

XÐt mÉu : n = 100 ; mA = 60VËy f =

60

100

1- α = 0,95 --> α = 0,05 -->2

α = 0,025

2

U α = 0,025U = 1,96





Ta cã kho¶ng tin cËy ®èi xøng:

[ 0,6 -0,6(1 0,6)

100

−1,96 < p < 0,6 +

0,6(1 0,6)

100

−1,96 ]

[0,504 < p < 0,696 ]

[0,504 <2000

< 0,696 ]

[1008 < M < 1329 ]

2,KiÓm tra ngÉu nhiªn 400 s¶n phÈm do 1 m¸y tù ®éng s¶n xuÊt thÊy cã 20 phÕ

phÈm.H·y − íc l− îng tØ lÖ phÕ phÈm tèi ®a víi ®é tin cËy 0,95.

Gi¶i :Ta cã : n = 400

mA = 20

--> f =20

400 = 0,05

1 - α = 0,95 --> α = 0,05 -->0,05U = 1,645

Ta cã kho¶ng tin cËy tèi ®a :

[ p < 0,05 +0,05(1 0,05)

400

− .1,465 ]

[ p < 0,067 ]

VËy tØ lÖ phÕ phÈm tèi ®a mμ m¸y tù ®éng s¶n xuÊt lμ 67%





Ch− ¬ng V : KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª.

Bμi 1 : Më ®Çu .

1,Kh¸i niÖm :Gi¶ sö dÊu hiÖu X trong tæng thÓ nghiªn cøu lμ biÕn ngÉu nhiªn ch− a biÕt vÒ d¹ngph©n phèi hay çc tham sè cña nã ,song ta vÉn cã c¬ së ®Ó ®− a ra nh÷ng gi¶thuyÕt vÒ d¹ng ph©n phèi hay çc tham sè ®ã.Nh÷ng gi¶ thuyÕt nμy gäi lμ nh÷nggi¶ thuyÕt thèng kª.

*V× çc gi¶ thuyÕt nμy cã thÓ ®óng hoÆc sai nªn ta ph¶i kiÓm ®Þnh nã tøc lμ t×mra kÕt luËn vÒ tÝnh thõa nhËn nã hay kh«ng thõa nhËn nã.ViÖc kiÓm ®Þnh nμy gäilμ kiÓm ®Þnh thèng kª.

*Gi¶ thuyÕt thèng kª ®− îc ®− a ra ký hiÖu lμ H0 , ta cÇn kiÓm ®Þnh H0.XÐt gi¶ thuyÕt H1 gäi lμ gi¶ thuyÕt ®èi cña H0. Khi ®ã nÕu H0 bÞ b¸c bá th× ta thõa

nhËn gi¶ thuyÕt H1.VD :

+ GT H0 : Trung b×nh vÒ nhu cÇu thÞ tr− êng cña SP lμ µ = 1000 ®¬n vÞ/ th¸ng.Khi ®ã gi¶ thuyÕt ®èi H1 : µ > 1000 hoÆc µ < 1000 hoÆc µ ≠ 1000.

+ H0 : §é lÖch trung b×nh cña chi tiÕt lμ 2σ = 0,02.Khi ®ã çc gi¶ thuyÕt ®èi cña H0 lμ H1 :

2σ > 0,02; 2σ < 0,02; 2σ ≠ 0,02.

2,Ph− ¬ng ph¸p kiÓm ®Þnh :+ Tr− íc hÕt gi¶ sö H0 ®óng. Tõ mÉu ta x©y dùng biÕn cè A bÊt kú sao cho x¸c

suÊt ®Ó A x¶y ra b»ng α lμ 1 sè v« cïng bÐ. Thùc hiÖn phÐp thö víi A (A - biÕncè hiÕm) khi ®ã :

- NÕu A x¶y ra th× H0 lμ sai vμ b¸c bá nã.- NÕu A kh«ng x¶y ra th× ch− a cã c¬ së ®Ó b¸c bá H0.

3,Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh :

Tõ biÕn ngÉu nhiªn gèc lËp mÉu kÝch th− íc nW = { X1,X2,....,Xn }

vμ chän lËp thèng kª : G = f({X1,X2,....,Xn },θ )trong ®ã : θ lμ tham sè liªn quan ®Õn gi¶ thuyÕt cÇn kiÓm ®Þnh.

G ®− îc gäi lμ tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh.





4,MiÒn b¸c bá gi¶ thuyÕt :s

P(G∈ W α /H0 ) = α

( NÕu H0 ®óng th× x¸c suÊt ®Ó G nhËn gi¸ trÞ thuéc miÒn W α b»ng α )

α - møc ý nghÜa cña kiÓm ®Þnh.W α - miÒn b¸c bá gi¶ thuyÕt H0 víi møc ý nghÜa α

5, Gi¸ trÞ quan s¸t :Khi thùc hiÖn phÐp thö ®èi víi W = { X1,X2,....,Xn } ta tÝnh ®− îc gi¸ trÞ cô thÓ cña

thèng kª G lμ :Gqs = f ( x1,x2,....,x3 ) gäi lμ gi¸ trÞ quan s¸t cña tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh.

+NÕu gi¸ trÞ quan s¸t thuéc miÒn b¸c bá th× ta b¸c bá H0 thõa nhËn H1

+ NÕu Gqs∉ W α th× ch− a cã c¬ së ®Ó b¸c bá H0 ( thùc tÕ lμ c«ng nhËn H0)

6,Thñ tôc :+X©y dùng gi¶ thuyÕt H0.+TÝnh G (tiªu chuÈn thèng kª) ¸p dông cho mÉu cô thÓ tÝnh ®− îc Gqs +X¸c ®Þnh W α (qui t¾c so s¸nh giöa Gqs víi çc gi¸ trÞ tra b¶ng)

- NÕu Gqa thâa m·n qui t¾c so s¸nh th× Gqa ∈ W α : b¸c bá H0 chÊp nhËn H1.

- Gqa ∉ W α thõa nhËn H0.

* Sai lÇm lo¹i 1 : lμ sai lÇm khi b¸c bá H0 trong khi H0 ®óng.X¸c suÊt m¾c sai lÇm

lo¹i nμy b»ng chÝnh α .* Sai lÇm lo¹i 2 : lμ sai lÇm khi thõa nhËn Ho trong khi Ho sai hay Gqs kh«ng thuécvμo miÒn b¸c bá trong khi H1 ®óng.





Bμi 2 : KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt vÒ tham sè µ cña biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn.

(KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt vÒ trung b×nh cña X ~ N( µ , 2σ )

I.KiÓm ®Þnh 1 tham sè µ :(Møc ý nghÜa α )1,Tr− êng hîp ®· biÕt 2σ :

Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh : 0( ) X nU

µ

σ

−=

a,D¹ng kiÓm ®Þnh 2 phÝa :

Gi¶ thuyÕt : 0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

≠

MiÒn b¸c bá : W α =0

2

( );| |

X nU U U α

µ

σ − = >

b,KiÓm ®Þnh 1 phÝa :

Gi¶ thuyÕt : 0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

> W α =

0( );

X nU U U α

µ

σ

− = >

0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

<

W α =0( )

; X n

U U U α

µ

σ

− = < −

VD :1,Tæng thÓ biÕn ngÉu nhiªn gèc X ~ N( µ , 2σ ) víi 2σ = 64.

MÉu ngÉu nhiªn n = 25 ,cã trung b×nh lμ 55,4 víi møc ý nghÜa α = 0,05

H·y kiÓm ®Þnh 0

1

: 52

: 52

H

H

µ

µ

=

>

Gi¶i :X ~ N( µ , 2σ ) víi 2σ = 64

α = 0,05 --> U α = 0,05U = 1,645

MiÒn b¸c bá : W α =0( )

; 1, 645 X n

U U µ

σ

− = >

ta cã Uqs = 0( ) X n µ

σ

− =

(54,5 52) 25

64

− = 2,15





Uqs = 2,15 > 1,645 vËy : Uqs ∈ 0,05W nªn b¸c bá H0 ,chÊp nhËn H1

2,Mét tr¹i nu«i lîn theo 1 chÕ ®é ¨n riªng víi t¨ng träng trung b×nh lμ 30kg.Gi¶thuyÕt t¨ng träng lμ ph©n phèi chuÈn víi 2σ = 25.Sau 1 thêi gian ®em c©n thö 100

con lîn th× thÊy träng l−

îng trung b×nh cña lîn lμ

32 kg.Víi møc ý nghÜa lμ

0,05cã thÓ cho r»ng t¨ng träng cã ®óng lμ 32kg kh«ng?Gi¶i :

Gäi X lμ träng l− îng cña lîn X ~ N( µ , 2σ ) víi 2σ = 64§©y lμ bμi to¸n kiÓm ®Þnh tham sè µ khi ®· biÕt 2σ

XÐt gi¶ thuyÕt : 0

1

: 32

: 32

H

H

µ

µ

=

≠

α = 0,05 --> / 2U α = 0,025U = 1,96

MiÒn b¸c bá : W α =0( ) ; 1,96 X nU U µ

σ − = >

ta cã Uqs = 0( ) X n µ

σ

− =

(30 32) 100

25

− = - 4

|Uqs| = 4 > 1,96 vËy :Uqs ∈ 0,05W nªn b¸c bá H0 ,chÊp nhËn H1

VËy t¨ng träng trung b×nh cña lîn kh«ng ph¶i lμ 32kg 2,Tr− êng hîp ch− a biÕt 2σ :

Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh : T = 0( ) X n

S

µ −

Gi¶ thuyÕt : 0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

≠ W α =

2

:| | ( 1)T T t nα

> −

0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

> W α = { }:| | ( 1)T T t nα > −

0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

< W α = { }: ( 1)T T t nα < − −

VD :Tr− íc ®©y ®Þnh møc thêi gian ®Ó hoμn thμnh 1 s¶n phÈm lμ 14 phót.Nghi ngê cãsù thay ®æi thêi gian trung b×nh hoμn thμnh 1 s¶n phÈm. Quan s¸t ngÉu nhiªn 25c«ng nh©n cã sè liÖu sau:





Thêi gian(phót) 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20Sè c«ng nh©n 2 6 10 4 3

BiÕt r»ng thêi gian hoμn thμnh s¶n phÈm lμ biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn.Víimøc ý nghÜa 0,05, h·y kÕt luËn cã nªn thay ®æi ®Þnh møc?

Gi¶i :Gäi X lμ thêi gian hoμn thμnh s¶n phÈm X ~ N( µ , 2σ )

XÐt cÆp gi¶ thuyÕt : 0

1

: 14

: 14

H

H

µ

µ

=

≠

Ta lËp b¶ng tÝnh s :

Thêi gian(phót) Sè c«ng nh©n nixi nixi2

1113151719

26

1043

22781506857

2421014225011561083

Tæng 25 375 5745

α = 0,05 --> / 2( 1)t nα − = 0,025(24)t = 2,064

W α = { }:| | 2,064T T >

Ta cã :

=375

25 = 15

s *=5745

25- (15)2 = 4,8

s =25

4,824

= 5 = 2,236

suy ra : T qs =(15 14) 25

2,236

− = 2,236

|T qs| = 2,236 > 2,064 nªn T qs ∈ 0,05W vËy b¸c bá H0 nhËn H1

VËy ®Þnh møc cò kh«ng cßn phï hîp cÇn thay ®æi ®Þnh møc.





II.KiÓm ®Þnh (so s¸nh ) hai tham sè µ :Gi¶ sö : Tæng thÓ 1 cã X1 ~ N( 1 µ , 2

1σ ) : mÉu n1 ( >30 ) ®· biÕt ®− îc 2

1σ

Tæng thÓ 2 cã X2 ~ N( 2 µ , 2

2σ ) : mÉu n2 ( >30 ) ®· biÕt ®− îc 2

2σ

Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh: U = 1 2

2 2

1 2

1 2

X X

n n

σ σ

−

+

Gi¶ thuyÕt : 0 1 2

1 1 2

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

≠ W α =

2

:| |U U U α

>

0 1 2

1 1 2

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

> W α = { }:U U U α >

0 1 2

1 1 2

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

< W α = { }:U U U α <

VD: Tuæi thä cña 2 lo¹i tivi lμ biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn, pháng vÊn ngÉunhiªn 36 ng− êi sö dông mçi lo¹i cã kÕt qu¶:

Lo¹i A : A x = 12.500 giê ; sA = 1200 giê.

Lo¹i B : B = 12.200 giê ; sB = 1400 giê.Víi α = 5% cã thÓ cho r»ng tuæi thä cña A h¬n lo¹i B hay kh«ng ?

Gi¶i :X1 tuæi thä cña lo¹i A : X1 ~ N( 1 µ , 2

1σ ) )

X2 tuæi thä cña lo¹i B : X2 ~ N( 2 µ , 2

2σ )

XÐt gi¶ thuyÕt 0 1 2

1 1 2

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

>

Víi α = 0,05 --> 0,05U = 1,645

W α = { }: 1, 645U U > Uqs :

2 2

12500 12200

1200 1400

36 36

−

+

=9

85 ≈ 0,977

Uqs = 0,977 < 1,645 nªn Uqs ∉ W α vËy ch− a thÓ b¸c bá H0 (nhËn H0)





Bμi 3: KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt vÒ tham sè p cña biÕn ngÉunhiªn ph©n phèi kh«ng - mét

I.KiÓm ®Þnh 1 tham sè p.

Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh : U = 0

0 0

( )

(1 )

f p n

p p

−

−

Gi¶ thuyÕt 0 0

1 0

:

:

H p p

H p p

=

≠ MiÒn b¸c bá W α = {U : | U | >

2

U α }

0 0

1 0

:

:

H p p

H p p

=

> W α = {U : U > U α }

0 0

1 0

:

:

H p p

H p p

=

< W α = {U : U < - U α }

VD :Cã ý kiÕn cho r»ng 60% kh¸ch hμng trong vïng sö dông mü phÈm cña h·ng

A.§Ó kiÓm tra ý kiÕn trªn ng− êi ta pháng vÊn ngÉu nhiªn 400 kh¸ch hμng th× cã250 ng− êi sö dông mü phÈm cña h·ng A.Víi møc ý nghÜa 0,05 h·y kÕt luËn vÒ ý

kiÕn trªn ?Gi¶i :

n = 400 ; mA = 250 --> f = 250

400 = 0,625.

α = 0,05 --> U0,025 = 1,96

XÐt cÆp gi¶ thuyÕt :

0

1

: 0,6

: 0,6

H p

H p

=

≠

W α = { U : | U | > 1,96 }

Uqs =0

0 0

( )

(1 )

f p n

p p

−

− =

(0,625 0,6) 400

0,6(1 0,6)

−

− = 1,02

Ta cã : Uqs = 1,02 < 1,96 nªn Uqs ∉ W0,05





VËy kh«ng bá H0

II.KiÓm ®Þnh (so s¸nh 2 tham sè )Gi¶ sö :

Tæng thÓ 1 : biÕn ngÉu nhiªn gèc X1 ~ A(0,1) ,ta lËp mÉu n1 : f 1 =1

1

m

n

Tæng thÓ 2 : biÕn ngÉu nhiªn gèc X2 ~A(0,1),ta lËp mÉu n2 : f 1 =1

1

m

n

Gäi f = 1 1 2 2

1 2

n f n f

n n

+

+ = 1 2

1 2

m m

n n

+

+

Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh : U = 1 2

1 2

( )

1 1(1 )( )

f f n

f f n n

−

− +

Gi¶ thuyÕt: 0 1 2

1 1 2

:

:

H p p

H p p

=

≠ MiÒn b¸c bá W α = {U : | U | >

2

U α }

0 1 2

1 1 2

:

:

H p p

H p p

=

> W α = {U : U > U α }

0 1 2

1 1 2

::

H p p H p p

=<

W α = {U : U < - U α }

VD :

Theo dâi ngÉu nhiªn s¶n phÈm cña 2 nhμ m¸y A vμ B ta thu ®− îc sè liÖu sau:

Nhμ m¸y Sè s¶n phÈm ®− îc kiÓm tra Sè phÕ phÈmA 1000 20B 900 30

Víi møc ý nghÜa 0,05 cã thÓ coi tØ lÖ phÕ phÈm cña 2 nhμ m¸y nμy lμ nh− nhaukh«ng ?

Gi¶i :Gäi p1 lμ tØ lÖ phÕ phÈm cña nhμ m¸y A

p2 lμ tØ lÖ phÕ phÈm cña nhμ m¸y B.





XÐt cÆp gi¶ thuyÕt :

0 1 2

1 1 2

:

:

H p p

H p p

=

≠

Víi α = 0,05 --> U0,025 = 1,96W α = { U : | U | > 1,96 }

Ta cã :

f 1 =20

1000 = 0,02;

f 2 =20

1000 = 0,033

f = 1 2

1 2

m m

n n

+

+ =

20 30

1000 900

+

+ = 0,0263

Uqs =0,02 0,033

1 10, 0236(1 0, 0236)( )

1000 900

−

− +

= - 1,81

Ta thÊy |Uqs| = 1,81 <1,96 vËy Uqs∉ W α nh− vËy ch− a thÓ b¸c bá H0.

VËy cã thÓ coi tØ lÖ phÕ phÈm cña 2 nhμ m¸y lμ nh− nhau.





Bμi 4 : KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt vÒ tham sè 2σ cña biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn.

(KiÓm ®Þnh ph− ¬ng sai)

I.KiÓm ®Þnh 1 ph− ¬ng sai:

Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh : 2 =2

2

( 1)n S

σ

−

Gi¶ thuyÕt :2 2

0

2 2

1 0

:

:

o H

H

σ σ

σ σ

=

≠ W α = { 2 χ : 2 χ < 2

12

( 1)nα χ −

− hoÆc 2 χ > 2

2

( 1)nα χ − }

2 2

0

2 2

1 0

:

:

o H

H

σ σ

σ σ

=

> W α = { 2

:2

χ >2

( 1)nα χ − }

2 2

0

2 2

1 0

:

:

o H

H

σ σ

σ σ

=

< W α = { 2 : 2 χ < 2

1 ( 1)nα χ −

− }

VD :KÝch th− íc cña 1 lo¹i chi tiÕt do 1 m¸y tiÖn tù ®éng lμ biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèichuÈn.§é chÝnh x¸c cña m¸y theo thiÕt kÕ lμ 12(mm2).KiÓm tra ngÉu nhiªn 15s¶n phÈm cña m¸y s¶n xuÊt tÝnh ®− îc ph− ¬ng sai lμ 14,6 (mm2).Víi α = 0,01,h·ykÕt luËn m¸y cã ho¹t ®éng ®óng thiÕt kÕ kh«ng ?Gi¶i :

X- KÝch th− íc cña chi tiÕt.V× s2 = 14,6 lín h¬n kÝch th− íc thiÕt kÕ nªn:

XÐt cÆp gi¶ thuyÕt :2

2

1

: 12

: 12

o H

H

σ

σ

=

>

α = 0,01 --> 2

0,01(14) χ = 29,14.

0,01W = { 2 χ : 2 > 29,14}

2

qs χ =(15 1).14,6

12

−= 17,03 < 29,14

2

qs ∉ 0,01W : chÊp nhËn H0.

VËy ch− a cã c¬ së b¸c bá H0 ,hay m¸y vÉn ho¹t ®éng b×nh th− êng.( ** ë VD nμy nÕu yªu cÇu kiÓm ®Þnh m¸y cã ho¹t ®éng b×nh th− êng kh«ng th× ta

sö dông cÆp gi¶ thuyÕt2

2

1

: 12

: 12

o H

H

σ

σ

=

≠ ** )

II.KiÓm ®Þnh so s¸nh 2 ph− ¬ng sai :






1σ ) : mÉu n1 , 2

1 s


2σ ) : mÉu n2 , 2

1 s

Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh : F =2

1

2

2

S

S

2 2

1 2

2 2

1 1 2

:

:

o H

H

σ σ

σ σ

=

≠ W α = {F :F <

1 21

2

( 1; 1) f n nα −

− − hoÆc F > 1 2

2

( 1; 1) f n nα − −

}2 2

1 2

2 2

1 1 2

:

:

o H

H

σ σ

σ σ

=

> W α = {F :F >

1 2

2

( 1; 1) f n nα − − }

2 2

1 2

2 2

1 1 2

:

:

o H

H

σ σ

σ σ

=

<

W α = {F :F <1 1 2( 1; 1) f n nα −

− − }

VD :Cã 2 gièng lóa cã n¨ng suÊt trung b×nh xÊp xÜ nhau.Nghi ngê ®é ph©n t¸n kh¸cnhau,ng− êi ta thu ho¹ch ngÉu nhiªn 1 sè ®iÓm ta cã :

Gièng lóa Sè ®iÓm thu ho¹ch ph− ¬ng saiA 41 11,41B 30 6,52

Víi α = 0,05 h·y kÕt luËn vÒ nghi ngê trªn.BiÕt r»ng n¨ng suÊt lóa lμ biÕn ngÉunhiªn ph©n phèi chuÈn.

Gi¶i :X - N¨ng suÊt lóa

XÐt cÆp gi¶ thuyÕt :2 2

1 2

2 2

1 1 2

:

:

o H

H

σ σ

σ σ

=

≠

α = 0,05 --> f 0,025 (40,29) = 2,03

( ** Ta cã : 1 2

1 2 1

1( , )

( , ) f n n

f n nα

α −

= )

VËy f 0,975 (40,29) =0,025

1

(29,40) f =

1

1,94= 0,52.

W α = { F : F < 0,52 hoÆc F > 2,03 }

F qs =11, 41

6,52 = 1,75 ∉ W α .VËy ch− a thÓ b¸c bá H0 hay ®é ph©n t¸n cña 2 lo¹i lóa

lμ nh− nhau.





Bμi 5: KiÓm ®Þnh phi tham sè.(KiÓm ®Þnh khi b×nh ph− ¬ng)

KiÓm ®Þnh phi tham sè lμ çc thñ tôc thèng kª ®Ó kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt khi kh«ngcã çc gi¶ thuyÕt liªn quan ®Õn tham sè cña tæng thÓ hay d¹ng ph©n phèi x¸c suÊtcña tæng thÓ.

KiÓm ®Þnh khi b×nh ph− ¬ng lμ kiÓm ®Þnh dùa trªn tiªu chuÈn 2 χ lμ mét trongnh÷ng kiÓm ®Þnh quan träng nhÊt.Nã th− êng ®− îc sö dông ®Ó gi¶i quyÕt çc bμito¸n trong thùc tÕ sau ®©y. I.B¶ng t− ¬ng liªnGi¶ sö cÇn nghiªn cøu 2 dÊu hiÖu ®Þnh tÝnh A vμ B trªn cïng 1 tæng thÓ.DÊu hiÖu A cã çc ph¹m trï lμ Ai ( (1, )i k = ).

DÊu hiÖu B cã çc ph¹m trï lμ

B j ( (1, ) j h= ).Qua kh¶o s¸t ta thu ®− îc b¶ng 2 chiÒu gäi lμ b¶ng t− ¬ng liªn cã d¹ng sau :

BA

B1 B2

..

................ Bh Tæng sè ni

A1 n11 n12 .................. n1h n1

A2 n21 n22 .................... n2h n2

............... ....... ..........Ak nk1 nk2 ............... nkh nk

Tæng sè m j m1 m2 ....... mk = n

Trong ®ã :+ n - lμ kÝch th− íc mÉu.+ ni - Tæng sè çc tÇn sè øng víi dÊu hiÖu Ai

+ m j - Tæng sè çc tÇn sè øng víi dÊu hiÖu B j.+ nij - TÇn sè t− ¬ng øng víi çc phÇn tö mang ®ång thêi c¶

2 dÊu hiÖu AiB j

II.KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt vÒ tÝnh ®éc lËp cña 2 dÊu hiÖu ®Þnh tÝnh :Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh

2

2

1 1

( )h k ij ij

i j ij

n t

t χ = =

−

=

Trong ®ã : tiJ = i jn m

n gäi lμ çc tÇn sè lý thuyÕt.

XÐt cÆp gi¶ thuyÕt :H0: A vμ B ®éc lËp.H1 : A vμ B phô thuéc





MiÒn b¸c bá gi¶ thuyÕt : { }2 2 2: [( 1)( 1)]W h k α α χ χ χ = > − −

VD :1,Theo dâi t¸c dông cña 2 lo¹i V¸cxin A vμ B trong phßng chèng 1 lo¹i bÖnh ta

®− îc b¶ng sau:

KÕt qu¶ (X)

Thuèc(Y)

Kháe èm Tæng

A 120 175 295B 30 25 55

Tæng 150 200 350

Víi møc ý nghÜa α = 0,05 cã thÓ kÕt luËn viÖc sö dông thuèc cã ¶nh h− ëng ®Õn

kÕt qu¶ phßng bÖnh hay kh«ng ?.

Gi¶i:Bμi to¸n nμy lμ bμi to¸n kiÓm ®Þnh cÆp gi¶ thuyÕt vÒ tÝnh ®éc lËp cña

hai biÕn X vμ Y

H0: X vμ Y ®éc lËp.H1 : X vμ Y phô thuéc

Víi α = 0,05 2

0,05(2 1)(2 1) 3,84 χ − − =

{ }

2 2: 3,84W α χ χ

= >

Ta lËp b¶ng tÇn sè lý thuyÕt sau :

KÕt qu¶ (X)

Thuèc(Y)

Kháe èm Tæng

A 126,4 168,6 295B 23,6 31,4 55

Tæng 150 200 350

22

1 1

( )h k ij ij

qs

i j ij

n t

t χ

= =

−=

=2(120 126,4)

126,4

−+

2(175 168,6)

168,6

−+

2(30 23,6)

23,6

−+

2(25 31,4)

31,4

−

= 3,64 < 3,84





VËy ch− a cã c¬ së ®Ó b¸c bá H0 hay X,Y ®éc lËp.Hay thuèc kh«ng ¶nh h− ëng g×®Õn kÕt qu¶ phßng bÖnh.Nãi çch kh¸c lμ 2 lo¹i thuèc nμy phßng bÖnh nh− nhau.

2,Trong 1 ®ît cho çc hé nghÌo vay tiÒn ®Ó ph¸t triÓn kinh tÕ gia ®×nh ng− êi taghi l¹i tuæi cña chñ hé vμ kÕt qu¶ cña viÖc sö dông tiÒn vay ®Ó ph¸t triÓn kinh tÕthu ®− îc sè liÖu sau:

KÕt qu¶ (Y)

Tuæi (X)

Thμnhc«ng

ThÊtb¹i

Tæng

D− íi 25 92 172 26426-35 166 211 37736-45 114 97 21145 trë lªn 198 90 288

Tæng 570 570 1140

Víi møc ý nghÜa α = 0,05 cã thÓ coi viÖc dïng tiÒn vay ®Ó ph¸t triÓn kinh tÕkh«ng phô thuéc vμo løa tuæi cña chñ hé hay kh«ng?

Gi¶i :XÐt cÆp gi¶ thuyÕt :

H0: X vμ Y ®éc lËp.H1 : X vμ Y phô thuéc

Víi α = 0,05 2 2

0,05 0,05[(4 1)(2 1)] (3) χ χ − − = = 7,815

{ }2 2: 7,815W α χ χ = >

Ta cã b¶ng tÇn sè lý thuyÕt sau :

KÕt qu¶ (Y)

Tuæi (X)

Thμnhc«ng

ThÊtb¹i

Tæng

D− íi 25 132 132 264

26-35 188,5 188,5 37736-45 105,5 105,5 21145 trë lªn 144 144 288Tæng 570 570 1140

2

qs χ = 71,48 > 7,815 nªn 2

qs ∈ 0,05W vËy b¸c bá H0.Hay X,Y phô thuéc vËy

kÕt qu¶ sö dông tiÒn vay ®Ó ph¸t triÓn kinh tÕ kh«ng ®éc lËp víi løa tuæi.





III.KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt vÒ qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt:1,KiÓm ®Þnh qui luËt ph©n phèi :

Gi¶ sö ch− a biÕt qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña 1 biÕn nhÉu nhiªn nμo ®ã song cãc¬ së ®Ó gi¶ thuyÕt r»ng X ph©n phèi theo mét qui luËt nμo ®ã.Khi ®ã ta ®− a racÆp gi¶ thuyÕt sau:H0 : X ph©n phèi theo qui luËt AH1 : X kh«ng ph©n phèi theo qui luËt A

Tõ tæng thÓ ta rót ra 1 mÉu cã b¶ng ph©n phèi tÊn sè thùc nghiÖm sau :

X x1 x2 ..... xk

TÇn sè n1 n2 ....... nk

Khi ®ã çc tÊn sè lý thuyÕt cña ph©n phèi x¸c suÊt lμ

:n'i = npi (Çc pi ®− îc tÝnh theo çc ph©n phèi gi¶ thuyÕt)Ta cã b¶ng ph©n phèi çc tÇn sè lý thuyÕt :

X x1 x2 ..... xk

TÇn sè n'1 n'2 ....... n'k Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh:

' 22

'1

( )k i i

i i

n n

n χ

=

−=

MiÒn b¸c bá : { }2 2 2: ( 1)W k α α χ χ χ = > −

VD :Trång mçi chËu 2 c©y hoa.Gäi X lμ sè c©y sèng trong chËu. Quan s¸t 500 c©y tacã b¶ng ph©n phèi tÇn sè sau:

X 0 1 2 Tæng

TÇn sè 248 190 62 500

KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt : X ph©n phèi nhÞ thøc B(2;0,3) víi møc ý nghÜa lμ 0,05

Gi¶i :XÐt cÆp gi¶ thuyÕt sau :

H0 : X ph©n phèi theo qui luËt B (2;0,3)H1 : X kh«ng ph©n phèi theo qui luËt B (2;0,3)





α = 0,05 2 2

0,05 0,05(3 1) (2) χ χ − = = 5,991

Ta lËp b¶ng tÝnh sau :

xi ni pi =k k n k

nC p q − n'i = n.pi

' 2

'

( )i i

i

n n

n

−

0 248 0,72 = 0,49 2451 190 2.0,3.0,7 = 0,42 2102 62 0,32 = 0,09 45

Tæng 500 1 500 8,364

' 22

'1

( )k i i

qs

i i

n n

n χ

=

−= = 8,364 > 5,991 nªn 2

qs χ ∈ 0,05W vËy b¸c bá H0.

VËy c©y sèng trong chËu kh«ng tu©n theo qui luËt ph©n phèi nhÞ thøc B (2;0,3)

2,KiÓm ®Þnh sù phï hîp cña b¶ng tÇn sè :

Gi¶ sö ta cã b¶ng ph©n phèi tÇn sè nh− trªn.Tõ 1 lý thuyÕt,c¬ së nμo ®ã ta cã thÓ®− a ra 1gi¶ thuyÕt nμo ®ã vÒ d·y tÇn sè nμo ®ã,ta ph¶i kiÓm ®Þnh d·y tÇn sè còcßn phï hîp hay kh«ng. Khi ®ã ta xÐt cÆp gi¶ thuyÕt:

H0 : pi = pi 0

H1 : cã Ýt nhÊt 1 x¸c suÊt kh¸c víi gi¸ trÞ gi¶ thuyÕt.

Ta sö dông Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh:' 2

2

'1

( )k i i

i i

n n

n χ

=

−=

MiÒn b¸c bá : { }2 2 2: ( 1)W k α α χ χ χ = > − ®Ó kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt trªn.

VD :Mét c«ng ty d− îc phÈm cho r»ng lo¹i thuèc c¶m cóm mμ hä ®ang b¸n cã sù biÕn®éng kh¸ rá vÒ nhu cÇu theo vô mïa.Hä ®¸nh gi¸ r»ng trong tæng khèi l− îngthuèc b¸n hμng n¨m th× 40% ®− îc b¸n vμo mïa ®«ng,40% vμo mïa xu©n,10% vÒmïa hÌ vμ 10% vÒ mïa thu.§Ó ®¸nh gi¸ l¹i ®iÒu ®ã ng− êi ta thèng kª 1000 l«thuèc tiªu thô trong n¨m th× thu ®− îc kÕt qu¶ trªn.





Mïa TÇn sè

§«ng 374Xu©n 292HÌ 169Thu 165

Víi møc ý nghÜa 0,05 h·y kiÓm ®Þnh tû lÖ tiªu thô ®· nãi ë trªn.

Gi¶i:XÐt cÆp gi¶ thuyÕt :

Ho : p1 = 0,4 ; p2 = 0,4; p3 = 0,1 ; p4 = 0,1H1 : Cã Ýt nhÊt 1 gi¸ trÞ x¸c suÊt kh¸c víi gi¸ trÞ gi¶ thuyÕt.

α = 0,05 2 2

0,05 0,05(4 1) (3) χ χ − = = 7,815

Ta lËp b¶ng tÝnh :

Mïa ni ni'' 2

'

( )i i

i

n n

n

−

§«ng 374 400 1,69Xu©n 292 400 29,16HÌ 169 100 47,61Thu 165 100 42,25Tæng 1000 1000 120,71

' 22

'1

( )k i i

qs

i i

n n

n χ

=

−= = 120,71 > 7,851 nªn 2

qs ∈ 0,05W vËy b¸c bá H0.

VËy tØ lÖ tiªu thô thuèc kh«ng ®óng nh− gi¶ ®Þnh





Ch− ¬ng V : Ph©n tÝch t− ¬ng quan vμ håi qui

Kh¸c víi çc ch− ¬ng kh¸c, trong ch− ¬ng nμy chóng ta sÏ nghiªn cøu trùc tiÕp

nhiÒu chØ tiªu kh¸c nhau ®èi víi 1 ®èi t−

îng nghiªn cøu.Çc chØ tiªu nμ

y cã thÓ®Þnh tÝnh hay ®Þnh l− îng ®− îc x¸c ®Þnh cô thÓ trªn ®èi t− îng quan s¸t vμ ®− îc ®ol− êng trùc tiÕp trªn çc ®¬n vÞ quan s¸t.§Ó gi¶i quyÕt 1 vÊn ®Ò cô thÓ ng− êi ta cÇnnghiªn cøu,ph©n tÝch nhiÒu chØ tiªu kh¸c nhau (gäi lμ chØ tiªu thèng kª) chóng lμ çc biÕn ngÉu nhiªn vμ ®Ó thùc hiÖn ®iÒu nμy ta sÏ ®Ò cËp ®Õn nh÷ng vÊn ®Ò sau:

+Møc ®é phô thuéc gi÷a çc nh©n tè,dÊu hiÖu nh− thÕ nμo vμ thuéc lo¹i nμo ?(Ph©n tÝch t− ¬ng quan)

+X¸c ®Þnh biÓu thøc cña hμm m« t¶ mèi phô thuéc nãi trªn gi÷a çc biÕn ngÉunhiªn.

(Ph©n tÝch håi qui)

VD : §èi t− îng quan s¸t lμ lao ®éng trong çc ngμnh c«ng nghiÖp th× ®¬n vÞ quans¸t sÏ lμ çc çn bé c«ng nh©n trong ngμnh.Tïy theo vÊn ®Ò cÇn nghiªn cøu,ph©ntÝch mμ çc chØ tiªu cã thÓ lμ tuæi ,thêi gian lμm viÖc,n¨ng suÊt lao ®éng..(®Þnhl− îng),giíi tÝnh, tay nghÒ ,tr×nh ®é v¨n hãa ...( ®Þnh tÝnh)Trong néi dung cña ch− ¬ng tr×nh chØ giíi thiÖu çch tÝnh hÖ sè t− ¬ng quan vμ

d¹ng cña hμm håi qui tuyÕn tÝnh ®¬n ®èi víi 2 chØ tiªu.

I,HÖ sè t− ¬ng quan :

1,C«ng thøc tÝnh :

Dïng ®Ó ®¸nh gi¸ mèi quan hÖ giöa hai chØ tiªu X vμ Y

rXY =2 2 2 2( ) ( )

XY XY

X X Y Y

−

− −=

x y

XY XY

S MS

−

Trong ®ã :

i

i

X

X n=

;

i

i

Y

Y n=

;

2

2i

i

X

X n

=

:

2

2i

i

Y

Y n

=

i i

i

X Y

XY n

=





VD : Nghiªn cøu quan hÖ giöa tuæi (th¸ng) vμ träng l− îng (kg) cña 7 con bª ta cãsè liÖu sau:

Tuæi (xi) Träng l− îng(yi) xi2 yi

2 xiyi

023468

12

1832644591

127164

049

163664

144

32410244096202582811619226896

064192180546

10161968

=35 541 273 58775 3966

Ta cãi

i

X

X n

=

=

35

7= 5 ;

i

i

Y

Y n

=

=

541

7 = 77,286

2

2i

i

X

X n

=

=

273

7 = 39 ;

2

2i

i

Y

Y n

=

=

58775

7= 8396,429

i i

i

X Y

XY n

=

=

3966

7 = 566,571

rXY =2 2 2 2( ) ( )

XY XY

X X Y Y

−

− −=

2 2

566,571 5.77,286

39 5 8396,429 77,286

−

− −

=180,141

3,7417.49,2271=0,978

2,TÝnh chÊt :+ |rXY| > 1 ( NÕu rXY cμng tiÕn vÒ 1 th× ta nãi 2 biÕn cã mèi t− ¬ng quan cao vμ ng− îc l¹i nÕu rXY cμng dÇn vÒ -1 th× ta nãi 2 biÕn nμy lμ Ýt t− ¬ng quan víi nhau)

+ |rXY| = 1 ⇔ Y vμ X cã mèi quan hÖ tuyÕn tÝnh Y = aX + b

+NÕu X vμ Y ®éc lËp vÒ x¸c suÊt th× |rXY| = 0 (kh«ng t− ¬ng quan) nh− ngng− îc l¹i th× kh«ng ®óng.




II.Hμm håi qui tuyÕn tÝnh ®¬n :1,§Þnh nghÜa : Hμm håi qui ®¬n (hay hμm håi qui kú väng cña biÕn Y ®èi víi

biÕn X) lμ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña Y ®èi víi X ký hiÖu : M(Y/X) vμ ®− îc chod− íi d¹ng sau:

Y = aX + b

Trong ®ã : a = rXY

2 2

2 2

( )

( )

Y Y

X X

−

− = rXY

y

x

S

S

b = Y - a X 2,VD :

Trë l¹i VD trªn.D¹ng håi qui tuyÕn tÝnh cña Y theo X lμ Y = aX + b

Víi hÖ sè gãc a = rXY y

x

S

S = 0,978.

49,2271

3,7417= 12,867

Tung ®é gãc : b = Y - a X = 77,286 - 12,867 . 5 = 12,95

VËy d¹ng håi qui : Y = 12,867X + 12,95

** L− u ý : ta cã thÓ sö dông çc c«ng thøc sau ®Ó tÝnh çc hÖ sè a,b

a = rXY

2 2

2 2

( )

( )

Y Y

X X

−

− =

2 2 2 2( ) ( )

XY XY

X X Y Y

−

− −.

2 2

2 2

( )

( )

Y Y

X X

−

− =

2 2( )

XY XY

X X

−

−

b = Y - a X 3,Dù b¸o theo håi qui tuyÕn tÝnh :Khi cã ®− êng håi qui tuyÕn tÝnh th× cã thÓ dïng ®− êng ®ã ®Ó dù b¸o gi¸ trÞ YM

t−¬ ø íi i¸ t Þ X μi ¸ i¸ t Þ X ®· ã ñ É ¸t

Documents

Bài giảng Lý thuyết xác suất & thống kê - Nguyễn Đức Tuấn, 2015