Bi-CR 法の積型解法への準最小残差アプローチの適用

南　さつき、曽我部知広、杉原正顯、張紹良

東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻　

発表の流れ

1. 研究の背景　　大規模線型方程式の数値解法（ Krylov 部分空間法）

2. 積型解法への準最小残差アプローチの適用　　・ Bi-CG 法系統への適用： TFQMR 法、 QMRCGSTAB

法

　　・ Bi-CR 法系統への適用：各解法

3. 数値実験

4. まとめと今後の課題

連立一次方程式の数値解法

Krylov部分空間法HAA

CG法

CR法

MINRES法 GMRES法

HAA

Bi-CG法積型解法

積型解法

Bi-CR法

積型解法

積型解法

Krylov 部分空間法

Krylov 部分空間：

１．基底　　　　　　　　　　　　　を生成

基底アルゴリズム（ランチョス原理、アーノルディ原理 ）･･･

２．近似解を構成

残差条件（ Ritz-Galerkin 条件、残差最小条件 ）･･･

研究概要

双ランチョス原理×

積型部分

PG アプローチ＋

各積型解法の条件

QMR アプローチ＋

QMR アプローチ基底

残差条件

CGS 法Bi-CGSTAB 法GPBi-CG 法

CRS 法Bi-CRSTAB 法GPBi-CR 法

TFQMR 法QMRCGSTAB 法

新たな解法A- 双直交原理

×積型部分

Bi-CR 法の積型解法

定義：

　 Bi-CR 部分：残差多項式

　積型部分：加速多項式

基底アルゴリズムBi-CR 法の積型解法

　積型部分：積型原理

：積型部分により計算される　 (n+1)×n の三重対角行列

　 Bi-CR 部分： A – 双直交原理

： A- 双直交原理の中で計算される　 (n+1)×n の三重対角行列

定義：

残差条件Bi-CR 法の積型解法

　 Bi-CR 部分： Petrov-Galerkin アプローチ

　積型部分：各解法の条件

定義：

Bi-CR 法の積型解法へのQMR アプローチの適用

Bi-CR 部分

積型部分

Bi-CR 部分

積型部分

Bi-CR 法の積型解法

A- 双直交原理

積型原理 各積型解法の条件

Petrov-GalerkinアプローチBi-CR 法の

積型解法の基底

アルゴリズム

QMRアプローチ

新しい解法

基底アルゴリズム 残差条件

基底アルゴリズムの式

：対角要素　　　、下対角要素に　　　　を持つ (m+1)×m 下三重対角行列

基底アルゴリズム：

Bi-CR 法の積型解法への QMR アプローチの適用

積型原理

A- 双直交原理

基底アルゴリズム：

残差条件：準最小残差アプローチ

近似解

擬似残差

残差

QMR アプローチBi-CR 法の積型解法への QMR アプローチの適用

パラメータ　　　　　の選び方によって各解法が導かれる

TFCRQMR 法

QMRCRSTAB 法

QMRGPBi-CR 法

の選び方

各解法の定義Bi-CR 法の積型解法への QMR アプローチの適用

Bi-CR 法の積型解法QMR アプローチ

（ First QMR and update iterate)

（ Second QMR and update iterate)

各解法の分類(First QMR and update iterate)

(Second QMR and update iterate)

各解法の分類

QMRGPBi-CR 法

TFCRQMR法

QMRCRSTAB法

の計算

実験環境

CPU Intel (R) Xeon (TM) 2.66GHzメモリ 512MB

コンパイラ Fortran77 倍精度 行列 Matrix Market 初期解 0 ベクトル と同じ

右辺ベクトル収束判定

解法 CGS TFQMR CRS TFCRQMR、 、 、

実験結果 – Matrix Market

Iter. TRR Iter. TRR Iter. TRR Iter. TRRadd20 474 - 9.6 × - 9.5 419 - 11.9 388 - 11.9

bfw398a 235 - 8.3 × - 8.2 185 - 10.9 × - 10.8bfw782a 394 - 7.8 × - 9.5 321 - 7.8 × - 11.3cavity17 6714 - 2.7 × - 0.3 7085 - 6.4 × - 7.6fidap001 1057 - 6.2 × - 6.7 703 - 10.7 × - 11.7fidap022 2350 - 5.8 × - 4.2 1775 - 11.5 × - 11.1fidap037 73 - 12.2 71 - 12.1 71 - 13.0 68 - 12.2orsirr2 × - 1.9 × - 5.4 1214 - 8.1 × - 9.7

pde2961 309 - 3.2 × - 3.2 273 - 7.9 × - 7.4pde900 137 - 4.8 × - 4.8 128 - 6.9 × - 6.6

sherman4 165 - 10.2 × - 10.1 151 - 10.3 × - 10.3sherman5 2151 - 6.7 × - 5.1 1944 - 7.8 × - 10.1

TFCRQMRCGS TFQMR CRS

Size Non Zeros Type3312 20793 real unsymmetric

SHERMAN5 ：油層シミュレーション

Matrix Market

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 500 1000 1500 2000 2500

Re

lative

Re

sid

ua

l lo

g(|

|r_

n||/|

|r_

0||)

Iteration No.

CGSTFQMR

CRSTFCRQMR

CGS TFQMR CRS TFCRQMR- 6.7 - 5.1 - 7.8 - 10.1

TRR

Matrix MarketSHERMAN5 ：油層シミュレー

ション

まとめ

QMRアプローチを Bi-CR法の積型解法に適用する一般的な方法を示した

数値実験より TFCRQMR法は　

・ 他の３解法に比べて高い精度

・ CRS法よりも滑らかな収束性・ CRS法と比べてより正確に真の相対残差の　振る舞いを反映

を示した

今後の課題

　 QMRCRSTAB法・ QMRGPBi-CR法に

　ついても数値実験を行い、性能評価