1

2

3

B

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5. . 6. . 1.2

1. . 2. . 3. . 4. 0, 0 . 5. 0, 0 . 6. 0 .

4

1.3 1. , . 2. , , 180 . 3. , ,

.

4.

.

5. . 6. , .

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5

1.6 ,

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:

: 1 1 2 2x y x yx , y2 2 : 1 2 1 2x x y yx , y

2 2

: 1 2 1 2x x y yx , y2 2 : 1 1 2 2x y x yx , y

2 2

6

1.11 : : = .

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7

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8

1.16 1 1x , y 2 2x , y . , , , .

i) 1 2 2 1x y x y 0 )

ii) 1 2 1 2x x y y 0 )

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x x y y

x y x y

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v) 1 2 1 2

2 2 2 21 1 2 2

x x y y

x y x y 0

) , 90

vi) 1 2 1 2x x y y 0 ) , 90 1.17 :

i) , , *, ,

ii)

iii) 1 1x , y 2 2x , y ..

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v) x, y 2 2x , y , x1 =. y1 =

9

1.18 :

i) 1 2i j

, . ii) xi y j , .. iii) 1 1x , y 2 2x , y 1 2x , x 0. 1 2 1 2x y y x ,

., 1 2 1 2x x y y , .

iv) 1 1x , y 2 2x , y (x,y) 1 2x xx

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2

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1.19 , :

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, ii) 1 1x , y 2 2x , y ,

1 2 1 2x x y yx y .2 2

1.20 i j . 1.21 1 1x , y 2 2x , y ,

, , .

10

1.22 1 1x , y 2 2x , y , AB AB . 1.23 x, y , 2 2x y . 1.24 1 1x , y 2 2x , y , :

i) 1 2 1 2x x y y

ii) 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2

x x y y, x y x y

( 1999) 1.25 :

i) ii) , . 1.26

1 1x , y 2 2x , y . i) 0 ii) 1 2 1 2x x y y 0 iii) 1 2 1, 1

2 ,

, yy .

( 1999)

1.27 .

11

1.28 :

i) 22, ii) , ,

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1.29 . . , , .

i) ii) iii) iv) v) vi)

1.30 , , , :

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12

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1.33 (-3,-2). :

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1.34 (3, 1), (6, 5), (-4, -2), (3, -3) (-3, 5).

AB

(0, -4) (3, 4) (-7, -3) (-6, 4) (-9, 0)

13

1.35 (3, 2), (-4, 5), (-3, -2), (3, -4). .

(0, 0) 1 7,

2 2

7 3,2 2

(0, -3) 1.36 .

i) 3, 2 (4, -1), (-2, 7), (0, 3) (1, 5). :

1. AB

2. 3. 4. 5.

ii) 3, 2 . : 1. 8,4 2. 4, 2 3. 6,3 4. 6,4

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14

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. u w . v // w . u v w . u v w . v w u v w 1.40 .

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15

.

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iii) xx .

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ii) (x0, y0) : x + y + = 0

2 2

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v) x + y + = 0 .

16

. 2.3 x + By + = 0 : : ( , ) : ( , ) : ( , ) : ( , ) : ( , ) 2.4 (x1, y1) (x2, y2), x1 x2 : : 2 11 1

2 1

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2 11 1

2 1

y yy y (x x )x x

: 2 12 22 1

x xy y (x x )y y :

2 11 2

2 1

y yy y (y y )x x

: 1 21 12 1

y yy y (x x )x x

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17

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2

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: : = : =

18

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2 2

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Ax Byd

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3

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19

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1 2 1

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21

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iii) 0 0x , y 0 0x , y 0x 0 . 0 0x , y 0 0x , y 0 0x , y 0 0y , x ...

22

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2 1

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2.23 1 1x , y 2 2x , y 1 2x x

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2.24 Ax By 0 0 0 (1) , (1) .

23

2.25 , , , .

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2.26 : (2, 1) (2, 3) y 3 (1, 2) x 2 (0, 3) 3x 2y 0 (0, 0) 2x 5y 8 (2, 8) 2.27 :

2x y 4 0 x 3y 3 0 : (0, 0) (2, 0) (0, 1) (3, 2) (1, 1)

Ax By 0 , : 0 0 0 0

: y x : y x 5y, y 2, x y 8, y 2x, x 1.

24

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2.29 :

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2.30 2x y 2 0 2x y 2 0, :

. .

. xx . yy.

25

.

3

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iii) 2 2x y Ax By 0 , .

2 2

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.

26

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: : : : 3.6 :

: xx : yy : : 3.7 2 2 20 0x x y y 2 2x y Ax By 0 : : 02x A 02y B : 02x A 0 02y B 0 : 0x A 0y B : 0x A 0y B

27

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2 2

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28

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2 2

x y 1, 0

29

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iii) . .

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30

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yy

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2 2

2 2

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2 2

x y 1

2 2

2 2

y x 1

2 2 2x y

2 2 2y x

31

3.17 () (). i) (x + 1)2 + (y 2)2 = 9 x2 + y2 + 2x 4y +1 =

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ii) (1, 2) (5, 6)

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iii) (2x 3)2 + (2y 1)2 = 16 = 2. iv) (x 2)2 + (y 3)2 = 9 yy. v) x2 + y2 = 1 x2 + y2 6x 8y + 9 = 0 .

vi) (0, 2) y2 = 8x. . 3.18 H (3, 2) xx : : (x + 3)2 + (y + 2)2 = 4 : (x + 3)2 + (y + 2)2 = 9 : (x 3)2 + (y 2)2 = 4 : (x 3)2 + (y 2)2 = 9 3.19 (x )2 + (y + )2 = 21 (x + )2 + (y )2 = 22 : : : = = : = = : 1 = 2 3.20 (x x0)2 + (y y0)2 = 2 xx yy : : .

: x0 = y0 = : 0 0x y : 0 0x y = : 0 0x y

32

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: . : : 4x + 3y 5 = 0. : , 1, 2 , 1 + 2 = 2. 3.24 y2 = 4x , :

: (2, 2 2 ) : (1, 2) : 1 , 22

: 1 1,

16 2

3.25 4x2 + 9y2 = 36 20x2 + 25y2 = 500. : yy. : yy. : . : . : .

33

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1 2

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, : : = 3, p = 8 (4, 0). : = 3, p = 8 (4, 0). : = 3, p = 8 (4, 0) (4, 0). : = 3, p = 8 (4, 0) (4, 0). : . 3.27 (x, y) 2000 (2004, 0) (2004, 0) : : : : : 3.28 , . = 1, .

) * 1. = 0 = 1

5

i) x2+ y2 2x + 4y + 1 = 0 ) 1 2. = 1 ii) 2x2+ 2y2 2x +6y +105= 0 ) 3. = 1 10

5

iii) (x 1)2 + (y 2)2 = 1 2 ) 1 4. 3 292

iv) (x )2 + (y )2 = 2 ) < 1 5. = 1

> 4 v) x2+ y2+ 2x + 2y + 3 + 5 = 0 ) = 1 6. = 0 vi) x2 + y2 = 1 ) > 0 7. = 1 ) < 0 8.

34

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ii) 2 2 1 x y ,4 2 2

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3.30 . .

) 2y 4x 1. . i) 1,0 ) 2y 4x 2. . ii) 0, 2 ) 2y 8x 3. . iii) 1,0 ) 2y 8x 4. . iv) 2,0 ) 2x 4y 5. . v) 0,1 ) 2x 4y 6. vi) 0, 2 ) 2x 8y 7.

) 2x 8y 8.

35

3.31 2C : y 2px p . . ) 1p

2

i) A 4, 4 2x 2py.

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ii) (2,-2). ) p 9 iii) x 1

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iv) E 1,0 . ) p 2 v) 3x 2y 6 0

. ) p 1

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3.32 . .

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) 2 2x y 1

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ii) 10 94, .

5

) 2 2x y 1

25 9

iii) 0,3 , 0,-3 8

) 2 2x y 1

25 16

iv) 5,0 0,3 . ) 2 2x y 116 9

v)

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2 2x y 19 16

36

3.33 . .

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i) 2 2x y 4x 6y 4 0

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) iii) 23y 4x

) iv) 2y x

v) 2 2x y 1

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vi) 2 2y x 4 )

vii) x y x y 4 )

37

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i) 2 2x y 1

25 16 )

2 2x y 112 8

1. 2 2x y 2

ii) 2 2x y 8 ) 2x 4y 2. 2 2x y 1

5 4

iii) 2y 8x ) 2 2x y 1

25 9 3. 2y 16x

iv) 2 2x y 1

9 10 ) 2y 12x 4. 2 24y 12x 3

v) 2 2x y 1

16 9 ) 2y 20x 5.

2 2x y 134 9

3.35 i) 2 2x y 2x 4y 1 0

.. ii) A 1, 1 2 2x 2 y 1 9 ..

iii) K 2,1 A 5,5 .

iv) Ox Oy 2 .

v) 2 2x y 25 A 3, 4 .

38

3.36 i) 2y x .

ii) 2y 2x 2x 2y iii) A 1, 4

. iv) E 2,0 v) 2C : y 8x A 2, 4

:

3.37 2 2 2x y

) xx ) 0, ) yy

3.38 H y x 1 2 2x y 1

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3.39 22x y 2 4 2 2x 2 y 4. 1,1

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39

2 2

2 2x y

1

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3.41 2y 2px. :

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2 2

2 2

x y 1.

) , ) , ) .

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2 2

x y 16 4

2 2

2 2

x y 1, >22

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40

3.44

2 2

2 2

x y 1 .

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0

41

.

4 , . . , 0 . , , , , . , . , |

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1 ,0 , ,

, .0 .

42

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i) , . ii) , . iii) , . iv) , . v) 0 , .

i) , , , , , , 1, 1 1,

. ii) , , , , ,

. iii) , , , . iv) , , , , ,

. v) 0 , 0 . , , 1.

(iii) (iv) : , . , , .

43

B

.

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1 2 3 4 5 63 4 65 1 2 0

1.4 , 0 1

;

1.5 3 2 3 , , . 1.6 , , 0.

44

1.7 , , , , , , , :

. 1.8 , , , 4 . 1.9

. 1. 1.10 . // . 1.11 x y z 0, x y z 0, x+y+z=0, ( ). 1.12 AB . ,

45

1.13 AB . 4 , . 1.14 , . 3 5 2 . 1.15 2 24, 3 2 , . :

i) 0 ; ii) 0 // xx ; 1.16 2 23 2, 2 3 2 2 25 6, 3 7 2 . , . 1.17 x, x,1 4, x . 1.18 u 3,4 , u u ;

46

1.19 A 1,6 B 9, 2 . i) xx ii) yy . 1.20 3 5 7 5K , , 3, , 4, , , 3,1

2 2 2 2

3 1,2 2

, , , , , ,

. 1.21 A B 2 2x 4 3 x 17 0. , AB 4 . 1.22 (1,0) (1,1), , :

i) . ii) .

1.23 u = (3, -2) 1.

47

1.24 2, 3 , ,

3

, u 3 2 . 1.25 =(, 1) =(4, 3), : (i) = 0 (ii)

^

,4

(iii) // . 1.26 21 , ,

3

u 2 4

. 1.27 , :

, .

1.28 u . 1.29 , 2 .

48

1.30 =(2,-4) =(-8,5). , . 1.31 5+2 -3 , 02 2, 3 , 45 .

1.32 : (i)

2u + 2u = 2 2 2u 2 . (ii) 2 21 1u u u .

4 4

1.33 . : i) u . ii) .

1.34 2, 1, 3 2 0, :

i) , , ii) , , , , , , 2 3 .

49

1.35 , , , 2 1. 1.36 . , . i) ,

, . ii) . iii) . . ; 1.37 , . 2

1.38 , , 0, ,

0 , 0 , .

50

1.39

, . 1.40 3. 2 7 ; 1.41 , , .

.

1.42 x,1 1, x , () () .

i) , x 1. ii) , x 0. iii) , 60 , x 2.

51

1.43 1, 3 , 1,3 2, 6 , () () .

i) ii) 0 iii) iv) 3 2 v)

1.44 2 22, 3 4 2 22 , 1 . () () .

i) 0, 1. ii) . iii) 1 ,

4 .

iv) yy, 1 1. v) xx, 1 4 . vi) , 1

4 1.

1.45 . , 60 30 . . ;

52

. 1.46 , , : : : : : 1.47 : : : : 2 : 2 : 2 1.48 . , : :

2 :

2 : 1

2

: 12 : 1

2

1.49 0 , *, : : : : : :

1.50 1,2 2, 1 , 1 1 0 : : 0 : 1 : 1 1 : 1 1 : ,

53

1.51 :

: 0 : 8 : 8 : 12 : 12 : .

1.52 . .

i) , ) 60 ii) , ) 90 iii) , ) 120 iv) , ) 150 v) , ) 30 vi) ,

54

1.53 . .

) 2

i) ) 2 ii) ) 2 iii) ) 2 iv) ) 0 v) ) 2 vi) )

2

2

) 2

2

1.54 , , = = = = 2, , = 60, , =90 , =135. .

i) ) 2 2 ii) ) 2 2 iii) ) 2 iv) ) 0 ) 2

55

1.55 , . .

xx

i) i 3 j ) 2 1. 60 . (1, 1) ii) i j ) 2 2. 135 . ( 3 , 1) iii) 3 i j ) 1 3. 150 . (1, 3 ) iv) 8 i

+ 8 j

) 4 4. 45 V. (2 2 , 2 2 )

1.56 . .

i) = (1, 2) ) (1, 2) 1. (42 + 2, 2 + 1) ii) = (2, 1) ) (2, 1) 2. (22 2, + 1) iii) 2 i j ) (1, 2) 3. ( 3, 6) iv) 2 i j ) (1, 2) 3. ( 6, 3)

56

1.57 .

i) = 5 i 5 j . ii) u = (x, 4) v = (2, 1), x

., u v , x .

iii) = 3 1,2 2

xx

.

iv) 2, 3 3, , . 1.58 i) ,

, . ii) =(, ) =(, )

, . iii) .,

, . iv) = , ,

. 1.59 . .

2

57

1.60 . 4 . 1.61 , , 1.62 . 2 1.63 , , , . , 1.64 . , 2 0 2 0 :

i) 2 3 ii) 2

.

58

1.65 ,

3 . : i) 2 3 , ii)

, : ) 4 )

1.66 ,

1.67 . , , . 1.68 , , 3 4 0, , . 1.69 , 3

2 3 .

, .

59

1.70 , , , 3 2 3 , . 1.71 , 0. 2 , 3 4

7 8 5 , . 1.72 . , , , .

1.73

4 9 6

. 1.74 ,

13

1 .3

, . 1.75 u v , :

i) 3u v u 2v , ii) 2u 4v u 8v .

60

1.76 .

i) 2 3 3 0 2 2 0 ii) , . iii) , .

1.77

x y x y , x, y x y; 1.78 . ( ) x 2MA MB M . 1.79 1,8 2, 1 .

i) u x, y 2 3u 0 ii) w 7,26

. 1.80 (1,2) (4,1). xx , :

i) : ) , ) , )

ii) .

61

1.81 x,2 3, x 5 . x, .

1.82 x 2 2x x 2, x 3x 4 yy.

1.83 (x+1, 1), B(1, -1) (-2, x). x , . 1.84 , , , *\{1, -1}. , . 1.85 (1,2), (3,-1), (1,1), (2,2) (3,3)

3 , 2 5 , , , . 1.86

2, 3 2, 3 3 2 . :

i) , ii) ,

62

1.87 2x 1, x 1 x 1,2x 3 .

i) x : ) ) 2

ii) x , , .

1.88 :

2

1.89 :

i) , , ii) , u v , , *,

.

1.90 2, 3, 2, ,3 x, = x+ . 1.91

i) . ii) .

63

1.92 90 ()2 = ()(), . 1.93 . , = . . 1.94 90 . 1.95 ( ). :

i) u 2 ,

ii) , =3 2 7, 1982

iii) () = 2 , + 2 > 0,

iv) 0 , , .

64

.

2 2.1 (1, -1)

i) =(3, -2) ii) =(0, 1)

iii) xx = /4. 2.2 (-1, 0), (3, 2) (-3, 4). :

i) ii) .

2.3 (1, -1), (2, 0) (-1, -3) . 2.4 , (-1, 2) . 2.5 , 1 3y x

2 2 y = -x +2

(1, 4).

65

2.6 (2, 1) y = x + 1 y = -x + 1 , . 2.7 2 11y x

3 3

xx yy ,

15. 2.8 ( 1)x + y + 2 = 0 . xx, yy ; 2.9 (-2, 3) 2x 3y + 6 = 0. ; 2.10 2x 5y + 3= = 0 x 3y 7 = 0 4x + y = 1. 2.11 (-4, 6) (-1, 1) . x + 3y = 2 x y + 2 = 0 . :

i) . ii) .

66

2.12 , ( 1)x +y + 8 = 0 x + 3y + 1 2 = 0 .

2.13 , 3x + 3y + = 0 3x + 4y + 6 = 0 6x + 5y 9 = 0.

2.14 :

(i) x2 y2 + 4y 4 = 0 (ii) x2 y2 4x + 2y + 3 = 0 2.15 (22 + + 3)x + (2 + 1)y + (3 + 1) = 0, .

2.16 x + 4y = 5, 3x 2y = 1 7x 8y + 1 = 0 .

2.17 y = x (1 + )x = (1 )y.

2.18 3x + y = 3 (1, 2). .

2.19 1: 5x 8y 51 = 0 2: 5x 8y + 68 = 0.

(i) 1 // 2 (ii) 1 2. (iii) 1 2.

67

2.20 1: 4x 3y 9 = 0 2: 4x 3y - 24 = 0.

(i) 1 // 2

(ii) 1 1 2.

2.21 2x 3y = 30 (1, 3) (7, 9); 2.22 = -3 5 . 2.23 1: 3x 2y + 1 = 0 1 2, 8 . . 2.24 (5, 1) (1, 3). xx, 7. 2.25 (3, 4) (5, -2). , , = () = 10. 2.26 (-3, 1), (-2, 3) (4, -5). .

68

2.27 , (-2, 0) (0, 2). 2.28 xx, 5x + 12y 60 = 0. 2.29 (1, 2) = 4. 2.30 (-1, 3) 1. 2.31 x y + 2 = 0, 12x 5y + 60 = =0 1. 2.32 3x 4y + 1 = 0 5x + 12y + 4 = 0. 2.33 , x y + 1 = 0 2x 3y + 5 = 0 (3, 2) 7 .

5

2.34 (-1, -2) (3, 1). () = 8.

69

2.35 , M(1,0) y = x + 2 y = x , , () = 2. 2.36 x + (-1) y = 2 (+1) x + y = 2 + 1 . ; 2.37 :

i) 2 2x 4xy y 0 . ii) x y 0 30 .

() (). 2.38

i) (- 2, 18 ) ( 8,3 8 ) xx 45.

ii) : 3x - 3y 1 0 xx 120.

iii) 3x + 2y 5 = 0

2i 3j. iv) (0, 2000)

v 2001i j (0, 2001).

v) (2 2)x + (2 2 3)y + 1 = 0 , , .

vi) : 3x+4y+5=0 d = 1.

vii) y = 3x 2 = 3

2..

70

2.39 i) (1 +3)x +

+ (2 - 2)y + (5 + 7) = 0, , (-3, 1).

ii) = (, ) v = (x, y) , v + = 0 .

iii) y = 2x + *

xx. iv) (21)x+(2-)y+ = 0

xx, = 1 = -1. v) 1: 1x + 1y + 1 = 0 2: 2x + 2y + 2 = 0,

12 0, , 12 +12 = 0. vi) 1: 1x + 1y + 1 = 0 2: 2x + 2y + 2 = 0

, 1 21 2

A0.

vii) 1 2 , 1 2 = 0.

2.40

i) (1, 3) 45 xx (3, 1).

ii) , x + y + = 0 .

iii) y = x y = 1 x 0 .

iv) 1 =(-, -) 2 = (, -), .

v) (3, 0)

(2, 1) v i j . vi) 1 = (x1, y2) 2

= (x2, y2) 1 2

1 1 , 2 2 det ( 1

, 2 ) =0, 1 2.

71

: 2.41 : 3y 3x 1 0 xx : : 30 : 60 : 120 : 150

2.42 (1, 1) (2, x) y = 2x +1, : : x = 0 : x = 1 : x = 2 : x = 3 : x = 4

2.43 (3, 1) x 2y + 1 =0 : : 2x + y 7 = 0 : 2x y + 7 = 0 : 2x y 7 = 0 : 2x y 5 = 0 : 2x + y + 5 = 0 2.44 (0, 0) : : 3x + 4y + 5 = 0 : 3x + 4y 5 = 0 : 3x 4y 5 = 0 : 3x 4y + 5 = 0 : 3x + 4y 5 2 = 0 : x + y + 5 2 = 0 2.45 3x 2y + 5 =0 2x 3y + 1 = 0: A: : : : 2.46 (1, 3) (1, 5): : yy. : xx. : : .

72

2.47 x+y+=0 : : 0 : 0 : 2 2 0 : 0 :

: . 2.48 y = x + 3: : xx : = 2 x 2y + 1 = 0 : 2 , 5 *. 2.49 (2001, 0) (0, 2001) : A: 2001x 2001y = 0 : 2001y + 2001x = 1 : y = 2001x + 2001 : x y 1

2001 2001

2.50 : x + y + 1 = 0, , *, xx 60, (, 0) (0, ) xx : : 30 : 45 : 60 : 120 : 150 2.51 y = 2x 1 (2, 4 3), : : = 2 : = -2 : = 1 : = -1 : =

73

2.52 x + 2y + 10 = 0 2x + y + 10 = 0: : = 1 : = 2 (20, 15) : = -1 : : xx 60 = 4. 2.53 xx : : y = x + 1 < 0 : y = 2 - x, * : 2x + 3y + 1 = 0 : y = (1 - )x + 3 < - 1 : . 2.54 1 1

= (1, 3 ) 2

2 = ( 3 , 1), : : 30 : 60 : 120 : 150 : 90 2.55

i) (, +1), ( + 1, + 2) ( + 2, + 3) , : : = 1 : = 2 : : *

ii) , : : y = x - 1 : y = x + 2 : y x 1 = 0 : y + x 1 = 0

74

. 2.56

i) : y = 1 - 3 x xx .. ii) y = 2x + 3 xx .

yy .

iii) 6x 3y + 5 = 0 . iv) 1: 2x 3y + 1 = 0 2: 3x + 2y 5 = 0

.

v) (1, 5) 3x - 4y + 27 = 0 .

2.57

i) (0, 0), (3, 0) (3, -8) .

ii) (3, ) : 3x + 2y 13 = 0,

.

iii) (1, ) (2, 2) ( + 1, 1) ( + 2, ) ..

iv) (-2, 7)

u 2i j ..

75

2.58 :

2x 3y 1 0 y 2x 1 y 2 x 1 y 2x 5 0

xx

xx

d (0,0)

76

2.59 xx .

vii) x y 0 ) 0 viii) x 1 0 ) 30 ix) y 2 0 ) 45 x) x 3y 1 0 ) 60

xi) x y 33 3 ) 90

xii) x y 1 0 ) 120

xiii) 2x 1 3y 2 12 3 ) 135

) 150 2.60 .

i) y 3x 2 ) 3i ii) x 3y 1 0 ) i 3j iii) x 3 0 ) 3, 1 iv) y 2 0 ) 3j v) 3x y 8 0 ) 1,3 vi) y 3x 1 0 ) 3i j

77

2.61 xx (1,2) , .

i) 30 ) y x 1 ii) 45 ) x 1 iii) 60 ) 3x y 2 3 iv) 90 ) 3x 3y 6 3 v) 120 ) 3x y 2 3 vi) 135 ) y 3 x vii) 150 ) 3x 3y 6 3

2.62 d (1,-1) .

i) 4x 3y 2 0 ) 8

5

ii) x 1 ) 0 iii) y 1 ) 1

iv) x 1 2y 3 12 3 ) 2

v) 5x 7y 12 0 ) 25

vi) x 1 0

78

2.63 2 21 : 1 x y 2 0 2 : 2y 3x 5 0 1 . .

i) 2 ) 1 xx ii) 0 ) 1 yy iii) 1 ) 1 2 iv) 2 ) 1 2

v) 12

) 1

) 1

2.64 xx : 2x-y+1=0 y=x2-x-2 .

2.65

1 : 2x 3y 1 0 2 : 5x 2y 7 0 u i 3j.

79

2.66 (1,2) , (2,4) (4,0). . 2.67 1 : 2x 3y 1 0 2 : 4x 6y 24 0 1 2. 2.68 1 : 3y 3x 1 0 2 : y 3x 2 0. 1 2 . 2.69

1 : 2x 3y 7 0 2 : 3x 2y 4 0 d=2. 2.70 (0,0) (-2,1) A 2cm. :

i) , ii) , iii) , 2 cm2.

2.71 2x y 3 0 9 .

80

2.72 2 2B x , y

AB 3,4 A 4,0 1 . 2.73 x, y , A 3, 2 B 1,1 OA OB, . 2.74 M x , y y 3x, M x, y M

: 2x y 3 0. 1,3 . 2.75 M x, y 1 : 5x 12y 3 0 2 : 3x 4y 2 0. ( 1 2 ). 2.76 2,3 4,5 .

M x, y , 9 .

81

2.77 , , =. . 2.78 . , :

i) ii) iii) 1

3 iv)

( ).

82

.

3 3.1 :

(i) (1, 3 ). (ii) ( - , + ). (iii) x y = 2. (iv) x + y = 2 + 2

3.2 x2 + y2 = 5 :

(i) y = 2x + 3. (ii) 1y x.

2

(iii) (5, 0). 3.3 x2 + y2 = 4 (1, -1). 3.4 :

(i) (0, 1) ( 3 , 0). (ii) (-1, 2) (7, 8). (iii) = 5 xx (1, 0) (7, 0). (iv) (4, 0) (8, 0)

y=x. (v) xx (4, 0) (8, 0) yy

(0, -2) (0, ). (vi) xx (3, 0) (1, 2). (vii) 3x + 4y = 12

(0, 3).

83

3.5

(i) x2 + y2 + 4x 6y - 3 = 0 (ii) x2 + y2 10x +12y 20 = 0 (iii) 3x2 + 3y2 + 6x 9y + 1 = 0 (iv) x2 + y2 4x + 10y + 42 + 162 = 0.

3.6

(i) x2 + y2 2x + 4y + 4 = 0 (1, -1). (ii) x2 + y2 2x 2y + 2 - 32 = 0 (, -).

3.7 : C1 : x2 + y2 = 1 C2 : (x 1)2 + y2 = 4.

3.8 , (-3, 0) (3, 0) 2.

3.9 , x = 1.

3.10

x + y = x y = x2 + y2 = 2 + 2 [0, 2).

84

3.11 x2 + y2 = 25, (2, 4). 3.12 xx :

(i) (-1, 0) (ii) 1x

2

(iii) (1, 2). 3.13 y2 = 2px. . 3.14 21y x

4 ,

AOB = 90o. 3.15 y2 = 2px. , , yy.

85

3.16 :

(i) (-4, 0) (4, 0) 10 (ii) (0, -5) (0, 5) 26 (iii) (-12, 0) (12, 0) 12

13

(iv) (-4, 0) (4, 0) 94,5

(v) , xx

1(1, 1) 2 12, .2

3.17 , 2 2x 2y 4 , . 3.18

22 21 t 2tM , 1 t 1+t

2 2

2 2

x y 1

t . 3.19 y x y x , 0

86

3.20

2 2

2 2

x y 1 . , 2 2 2x y

, . , xx yy . = =. 3.21 :

(i) (-13, 0), (13, 0) (5, 0) (-5, 0)

(ii) (0, -10), (0, 10) 53

(iii) ( 5 ,0), ( 5, 0) (2 2 ,1) (iv) 4y x

3 4y x

3

(3 2 ,4).

3.22

2 2

2 2

x y 1 . 2x y 1 2 24x y 1 ;

3.23 1

2 2

2 2

x y 1

y x, (i) (1)=, (ii) (EE1)=.

87

3.24 1(x1, y1) 2(x2, y2)

2 2

2 2

x y 1 . 12 3(x3, y3) 4(x4, y4), (13)= (24). 3.25

2 2

2 2

x y 1 2

2

2 .

3.26

2 2x y 2 x 1 0 (1), . (i) (1)

. (ii) C (1)

. ;

3.27 2 21C : x y 1 2 2 22C : x 2 y 2 y=x+, , .

(i) C1 C2 ; (ii) ; (iii) C1 C2

xx 60 .

88

3.28 y x , 0, 2y 4x .

(i) 22 2, .

(ii) , ) =1 ) =0 .

3.29

2 2

2 2

x y 1 , >>0 (0, 2). , , .

(i) . (ii) ;

3.30 C .

(i) C (3,2) (5,-4). (ii) C Ox, Oy

12x-5y+102=0. (iii) C A(0, 6), (6, 6)

(-1, -1). (iv) C :3x+4y-35=0 (5, 5)

(-2, 4). 3.31 C:x2+y2=25 :

(i) (-3, 4), (ii) :2x-y+1=0, (iii) : 3x+4y-2=0, (iv) (5, 10).

(: ).

89

3.32 2 2C : x y 10x 2y 16 0 (4, 2). 3.33

(i) * 22x y 2 2 x y 2 .

(ii) . (iii) :x+y-2 .

; (iv)

. (v) ,

; 3.34 xx :

(i) (-6, 0), (ii) : x=2, (iii) (1, 2), (iv) 2 2x 2 y 4 .

3.35 yy :

(i) y= -1, (ii) (0, 2), (iii) (2, 4), (iv) 22x y 2 4 .

90

3.36

2 2x y 125 16

x2+y2=25. , , . 3.37 x2 y2 = 16 x2 + y2 = 16. (x1, y1) x1y1 0 xx . yy . . 3.38 (x, y) (-1, 0) (3, 0) 3

2.

3.39 (x, y) (1, 1) (0, 2). 3.40 (x, y) (-2, 2) (2, 4) M = 90. 3.41 (x, y) (1, 2) (-3, 0) 12.

91

3.42 (x, y) : x = - 2 (2, 0). 3.43 x2+y2+22x8y+2=0, *. 3.44 (x, y) (-2, 0) (2, 0) 6. 3.45 (x1, y1) x2 + y2 = 16, (x, y) x = 13 x2 y = 1

1 y2

.

92

.

4 4.1

(i) 12 + 22 + 32 + + 2 = ( 1)(2 1)6

(ii) 13 + 23 + 33 + + 3 = 2( 1)

2

(iii) 1 2 + 2 3 + 3 4 + + ( + 1) = ( 1)( 2)3

(iv) 1 1 1 1... .1 2 2 3 3 4 ( 1) 1

4.2

1 + x +x2 + + x-1 = x 1,x 1

x 1.

4.3 :

(i) 2 > 2 + 1 3 (ii) 4

3

7 (iii) 5 > 5 1 .

4.4

2 2 2

1 1 1 1... 2 .1 2

93

4.5 :

(i) = 83 = 11 (ii) = -83 = 11 (iii) = 83 =-11 (iv) = -83 = -11

4.6 :

(i) : 2 = 3, 2 = 3 + 1, .

(ii) = 6 + 5, = 3 + 2, . ;

4.7 ,

2 2 2( 2) ( 4) 112

. 4.8 660 17; ;

4.9 , , , x2 + x + = 0 . x2 + 31997x + 2001 = 0;

4.10 , ,

(i) 2 2

8 (ii)

4 4 216

.

94

4.11 3 4

5 ;

4.12 :

(i) 2 = 4, , 2 = 4 + 1 , .

(ii) , , x2 = 2 + 2 . (iii) : 6, 10, 14, 18, 22,

. 4.13 , .

4.14 11( + 2) 11(35 ), 11( + ).

4.15 , 4.

4.16 m m>1, m + 1.

4.17 2( )( )( ) , , .

4.18 .

(i) 2 = 4 + 1, (ii) 32(2 + 3)(2 + 7)

95

4.19 4 (2 + 2), . 4.20 . 4.21 , *, (2 1)(2 1). 4.22

(i) 6. (ii) 6( + 1)(2 + 1) (iii) 6(3 + 32 4) .

4.23

(i) 3(3 + 2) (ii) 5(3 27 + 2 2) (iii) 14|(34+2+52+1)

4.24 , , , . (-)|(+), (-)|(+). 4.25 . 1 : , . 1 , . () () . , ; ( ).

96

4.26 () () .

(i) O 11-1 0 *.

(ii) O 17+13-2 4 *.

(iii) 3>2 *. (iv)

.

(v) -39 -6 -3.

4.27 O

2 18

.

(i) , .

(ii) 3| 6|, 18|.

(iii) |, | |.

(iv) |(2+3) |(3+2), =5.

(v) .

4.28 i) :

, . . ; : . : . : . : , .

ii) ;

97

4.29 , ; : 4 : 3 : 2 : 1 : : 0 4. . . 4.30 (2 + 3) : : : : 3 : 5 4.31 38 -5; : 38 = (-5) (-8) - 2 : 38 = (-5) (-7) + 3 : 38 = (-5) (-6) + 8 : 38 = (-5) (-9) - 7 4.32 3 (2000 + x), : : x = 3, : x = 3 1, : x = 3 + 1, : x = 3 + 2,

98

4.33 , , + : : : : 3 : 4.34 0 9 15. 5 : : 0 : 1 : 2 : 3 : 4 4.35 12 7, 11 10, : : 43 : 3 : 36 : 33 :46 4.36 21 15. 7 : : 0 : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6

4.37 > 1. (7 + 25) (3 + 2), : : = : = 61 : = 23 : = 89

4.38 ( + 1)20 ( + 7) |30, : : = 1 : = 2 : = 3 : = 60 : = 600

99

4.39 . i)

37 -5 -98 18 -53 -17 121 12

32 + 2, > 1, ii)

20 2 20 2 20 2 20 2 20 2

4.40 . i) 2 +

.

ii) 11 13 10 2 .

iii) = 5 + 4, , .... iv) 25 1 ... *.

v) , , (28 + 9) (7 + 1), ...

vi) 11 + 6 2 ... *.

vii) ( + 3)16 ( + 7) = 24 ....

100

4.41 3 , 3, . 4.42 25 1 3 5. 4.43 i) ,

.

ii) .

4.44 i) 4 8

. ii)

2 2( 3)( 7)32

2 2( 7)( 1)

128

. 4.45 2004 + 1 2 3 1999 2001 3. 4.46 i) > 1 2 + 3 3 2,

.

ii) 13 + 2 42 , .

101

4.47 5(2004+1999), 5(2004+1999), , . 4.48 i) 5. ii) 5(2 1) (2 4) *. 4.49 :

i) (, ) = 3 (, ) = 667, (2, , 2, ) = 2001, ii) (, ) = 1, , (, ) = 1, , , , , iii) (, ) = 1, (, ) = 1 (, ) = 1, , , , .

4.50 i) [, ] = 667, [, , 3, 3] = 2001. ii) [, , ] = , (, ) = 1 (, ) = 1. iii) *, [2 + 2, + 1] = ( +1)( +2). 4.51 :

i) (x, y) 8[x, y] 48 ii) [x, y] + 1999 = 2004(x, y). 4.52 .

i) [x, y] 36(x, y) 6 ii) 2[x, y] (x, y)[x, y] (x, y) 6

102

103

104