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1
BIENVENIDA
Estos apuntes tienen la finalidad de ser un apoyo para lograr
aprendizajes correspondientes al curso de Ondas Mecánicas,
esperando que sirvan de apoyo al joven estudiante y agradezco
que si hay algún error me lo hagan saber.
Por lo cual le digo
“LA CIENCIA SE COMPONE DE ERRORES QUE A SU VEZ,
SON LOS PASOS HACIA LA VERDAD”
JULIO VERNE
2
Objetivo General
El alumno analizará los fenómenos ondulatorios que ocurren en
los sistemas físicos, identificando los modelos matemáticos de
las ondas mecánicas y extendiendo estos conceptos a las ondas
electromagnéticas.
3
CONTENIDO
UNIDAD I Características del movimiento ondulatorio 5
1.1 Introducción
1.2 Características del movimiento ondulatorio (MO.)
1.3 Similitudes y diferencias entre el M.O. y el movimiento oscilatorio
1.4 Diferencias entre las ondas mecánicas y las ondas electromagnéticas
UNIDAD II Descripción matemática del M.O. 23
2.1 La función de onda armónica como modelo del M.O.
2.2 Elementos de la función de onda amplitud de onda, número de onda y frecuencia angular
2.3 Velocidad de propagación de los frentes de onda
2.4 Relación de los conceptos: longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación UNIDAD III Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio y solución 28 3.1 Presentación de la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio, en una dimensión espacial en medios no dispersivos. 3.2 Solución mediante el método de Fourier de separación de variables 3.3 Teorema de Euler y representación de soluciones en términos de funciones armónicas 3.4 Solución general de la forma ξ(x,t) =f ( x ± vt) 3.5 Presentación de la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio en medios dispersivos UNIDAD Ondas longitudinales 33 4.1 Concepto de ondas longitudinales 4.2 Ondas longitudinales elásticas en una barra 4.3 Ondas longitudinales de presión y densidad en una columna de gas 4.4 Análisis de la energía transportada Intensidad UNIDAD V Ondas transversales 47 5.1 Concepto de ondas transversales 5.2 Ondas transversales elásticas en una cuerda 5.3 Análisis de la energía transportada. Intensidad 5.4 Reflexión y transmisión de ondas
4
5.5 Ondas estacionarias en una cuerda 5.6 Ondas elásticas transversales en una barra 5.7 Ondas de torsión en una barra UNIDAD VI Ondas de dos y tres dimensiones 60 6.1 Ondas planas en tres dimensiones. Vector de propagación 6.2 Ecuación de onda en tres dimensiones 6.3 Ondas planas y circulares en una superficie líquida 6.4 Ondas superficiales en una membrana tensa 6.5 Ondas esféricas en un fluido 6.6 Ondas sísmicas 6.7 Efecto Doopler acústico 6.8 Onda de choque
UNIDAD VIl Introducción al Análisis de Fourier de pulsos y señales 78
7.1 Analogía entre vectores y señales 7.2 Algunos ejemplos de funciones ortogonales 7.3 Representación de una función periódica mediante la series de Fourier 7.4 Calculo de los coeficientes de Fourier para algunos pulsos típicos 7.5 Velocidad de fase y velocidad de grupo
5
UNIDAD 1: Características del Movimiento Ondulatorio
1.1 Introducción
Cuando golpeamos una campana o encendemos una radio el sonido se oye en
puntos distantes de la campana o del radio. El sonido se ha transmitido a través
del aire que nos rodea. Si estamos en la playa y un bote pasa velozmente a cierta
distancia de la orilla sentimos una onda producida por su rápido movimiento.
Aunque el mecanismo físico puede ser diferente para cada uno de los procesos
mencionados, todos ellos tienen característica común; son situaciones físicas
producidas en un punto del espacio, que se propagan a través del mismo y se
reciben en otro punto.
Todos estos procesos son ejemplos del movimiento ondulatorio. Suponiendo que
tenemos una propiedad física descrita por cierto campo. Este puede ser un campo
electromagnético, la deformación de un resorte, la presión en un gas, la
deformación de un sólido, el desplazamiento transversal de una cuerda; y
considerando que las condiciones en un lugar lleguen a ser dependientes del
tiempo o dinámicas, del modo que haya una perturbación del estado físico en
aquel lugar.
Las propiedades físicas del sistema descritas por las ecuaciones del campo
dependiente del tiempo, dan como resultado la propagación de esta perturbación
(ONDA) a través del espacio; entonces decimos que hay una onda asociada al
campo particular considerado.
Por ejemplo consideremos la superficie libre de un líquido. El campo en este caso
es el desplazamiento de cada punto de la superficie con respecto a su posición de
equilibrio. En condiciones de equilibrio o estáticas la superficie libre de un líquido
es plana y horizontal. Pero si en un punto las condiciones de la superficie se
perturban dejando caer una piedra, esta perturbación se propaga en todas las
direcciones según la superficie del líquido. En esta unidad analizaremos las
características generales del movimiento ondulatorio, para comprender las ondas
mecánicas.
Onda.-Perturbación periódica que se propaga a través de algún medio a
partir de un centro emisor.
Movimiento Ondulatorio.-Describe una situación física que “viaja” o se
propaga a un medio físico o material.
6
Movimiento Ondulatorio Longitudinal.-Movimiento en el cual las
partículas del medio oscilan en la misma dirección en que avanza la onda,
las ondas sonoras son ejemplo de éste tipo de onda.
Movimiento Ondulatorio Transversal.-Movimiento en el cual las
partículas del medio oscilan en dirección perpendicular a la dirección en la
que avanza la onda.
Comentarios del alumno
7
1.2 Características Fundamentales del Movimiento Ondulatorio
que se propaga en un medio cualquiera:
1- Cada partícula del medio sufre una oscilación muy pequeña con respecto a
su posición de equilibrio.
2- Mientras unas partículas se están moviendo en un sentido, otras se están
moviendo en sentido contrario y la combinación de esos movimientos dan la
apariencia de una serie de ondas que avanzan con una gran rapidez.
3- Debido a la uniformidad de la oscilación del centro emisor las crestas y los
valles (o bien las ondas de compresión y de dilatación) están
equidistantemente espaciadas por una distancia llamada longitud de onda.
Sonoras
Sísmicas
Esféricas
Ondas en un Cuerda
Ondas Mecánicas En una Columna de Gas
Ondas de Presión
Ondas de Choque
8
Radio
Rayos X,β,α,γ
Ondas Electromagnéticas Luz
Microondas
Comentarios por el alumno
9
Importancia del Movimiento Ondulatorio
Existen muchas formas de energía que se propagan en forma de ondas. Así por
ejemplo, la energía sonora se propaga en forma de ondas longitudinales en la
materia. La energía luminosa se propaga en forma de ondas electromagnéticas
transversales.
En la misma forma se propaga el calor. También depende del movimiento
ondulatorio, la radio comunicación (onda larga, onda corta, radar, televisión,
dirección de cohetes y proyectiles para satélites artificiales, etc.). Hay otro tipo de
oscilaciones de los fenómenos ondulatorios, como son las gráficas en la medicina
(electrocardiogramas,electroencefalogramas,tomografías,resonancias magnéticas,
etc.).
Comentarios del alumno
10
1.3 Movimiento Ondulatorio VS Movimiento Oscilatorio
Similitudes
Ambos se transmiten en un
medio físico.
Ambos son oscilantes.
Ambos son dinámicos.
Ambos tienen frecuencia y
periodo.
Ambos generan ondas
mecánicas
Ambos poseen velocidad
angular
Diferencias
El movimiento ondulatorio se
puede transmitir en el vacío.
El movimiento oscilatorio se
efectúa en un intervalo
mientras que el ondulatorio
llega de un punto a otro.
Ambos movimientos
transportan energía, pero el
oscilatorio también transporta
materia.
El movimiento oscilatorio
puede generar movimiento
ondulatorio pero no al revés.
El movimiento oscilatorio tiene
una fuerza restauradora y el
ondulatorio no.
El movimiento ondulatorio al
tener un obstáculo lo rodea o
atraviesa mientras que el
oscilatorio no.
El movimiento oscilatorio pasa
por el punto de equilibrio y el
movimiento ondulatorio no.
11
El movimiento periódico es el movimiento repetitivo de un cuerpo en el cual este
recorre un intervalo fijo. El péndulo es un ejemplo de movimiento periódico.
A los movimientos de un objeto en uno y otro sentido se le llama oscilación.
Un tipo especial del movimiento periódico es el movimiento armónico simple. El
movimiento armónico simple es la base para entender las ondas mecánicas. Las
ondas de sonido, las ondas sísmicas, las ondas en las cuerdas estiradas y otras
que se producen por alguna fuente de oscilación son ejemplos de ondas
mecánicas. Cuando una onda del sonido se desplaza en el aire, las partículas del
aire oscilan en un sentido y otro produciendo las ondas. En general, cuando las
ondas se mueven en cualquier medio, las partículas del medio se mueven en
ciclos repetitivos, como el de un cuerpo unido a un resorte.
Por ejemplo aun cuando los rascacielos y puentes parecen son rígidos, en
realidad oscilan, una condición que arquitectos e ingenieros que los crean y
construyen deben tener en cuenta. Para comprender como funciona la radio y
televisión se debe entender el origen y naturaleza de las ondas electromagnéticas
y la forma en que se propagan.
12
El Movimiento Armónico Simple (MAS)
Como modelo para un M.A.S. consideramos un bloque de masa (m) unidad al
extremo de un resorte, con el bloque libre de moverse en una superficie horizontal
sin fricción y rozamiento como se observa en la figura siguiente:
Cuando el resorte no está estirado ni comprimido, el bloque está en la posición
llamada “posición de equilibrio” del sistema que identificamos como (x=0).
Sabemos por experiencia que este sistema oscila en un sentido y otro si se saca
de su poción de equilibrio. El desplazamiento “x” desde su posición de equilibrio es
positivo si el resorte se estira y es negativo si el resorte se comprime. En el estado
de equilibrio el resorte (muelle) no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo. Cuando
el cuerpo sebe desplazado en una cantidad “x” de su posición de equilibro, el
resorte ejerce una fuerza “–kx” que viene dada por la ley de Hooke.
13
Ley de Hooke
F = - kx = ma
Donde “k” es la constante del resorte, característica de su rigidez. El signo menos
indica que se trata de una fuerza restauradora; es decir se opone al sentido del
desplazamiento respecto al punto de equilibrio. Si relacionamos la ley de Hooke
con la segunda ley de Newton tenemos:
-kx = ma
a = 𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
a = 𝑑𝑣
𝑑𝑡
a = − 𝑘𝑥
𝑚
La aceleración es proporcional al desplazamiento y tiene sentido contrario; por lo
tanto la condición del “MAS” en función de las características es: siempre que la
aceleración sea proporcional a su desplazamiento pero con sentido opuesto, el
objeto se moverá con movimiento armónico simple.
El tiempo que emplea un objeto desplazado para realizar una oscilación completa
alrededor de su posición de equilibrio se denomina periodo “T” y su recíproco es la
frecuencia “f”, que es el número de oscilaciones por segundo.
T = 2𝜋 √𝑚
𝑘
f = 1
𝑇
Por ejemplo: si el tiempo necesario para una oscilación completa es de 0.25
segundos cual será la frecuencia
f = 1
0.25 𝑠
14
f=4 Hz
Experimentalmente podemos obtener “x” en función de “t” para una masa unida a
un resorte, mediante la siguiente ecuación:
x = Acos(ωt + δ)
Que es la ecuación que define al “MAS” en donde A, δ y ω son constantes.
El desplazamiento máximo de “A” respecto a la posición de equilibrio se denomina
amplitud. El argumento de la función coseno se denomina fase del movimiento y la
constante “δ” se denomina constante de fase. Esta constante corresponde a la
fase cuanto t = 0, obsérvese que:
cos (ωt + δ) = sen (ωt + δ+𝜋
2)
Por lo tanto, expresar la ecuación como una función coseno o seno depende
simplemente de la fase de la oscilación en el momento en que elijamos t = 0.
Si tenemos solo un sistema oscilante siempre podemos elegir t = 0 de modo que
δ = 0, si tenemos dos sistemas oscilantes con igual amplitud y frecuencia, pero
diferente fase podemos elegir δ = 0 para uno de ellos. Por ejemplo las ecuaciones
de los sistemas:
x1= A cos (ωt)
x2= Acos (ωt+δ)
Si la diferencia δ = 0 o un numero entero par de base π entonces X2 = X1, y se
dice que los sistemas están fase.
Si la diferencia de fase δ es π o un numero entero impar de veces π entonces
X2 = - X1 y se dice que los sistemas están fuera de fase en 180°
Si tenemos la ecuación:
x= A cos (ωt + δ) m
15
Velocidad del M.A.S.
v = 𝑑𝑥
𝑑𝑡= - ωA sen (ωt + δ) m/s Escriba aquí la ecuación.
Aceleración del M.A.S
a = 𝑑𝑣
𝑑𝑡 =
𝑑𝑥²
𝑑𝑡² = - ω²A cos (ωt + δ) m/s2
a = - ω²x
La amplitud “A” y la constante de fase “δ” pueden determinarse a partir de la
posición inicial de x0 y de la velocidad inicial v0 del sistema haciendo t = 0 en
x=A cos (w t + δ) lo que nos da como resultado:
x0 = A cosδ
Las funciones coseno y seno repiten su valor cuando la fase se incrementa 2π
ωT = 2π
T = 2π/ω
ω = 2π f
La constante ω se denomina frecuencia angular, cuyas unidades son el radian
sobre segundo, y sus dimensiones son la inversa del tiempo
x = A cos (2π f t + δ)
f = 1
𝑇 =
ω
2𝜋
f = 1
𝑇 =
1
2𝜋√𝑘
𝑚
16
Esto es, el periodo y la frecuencia dependen sólo de la masa de la partícula y la
constante de fuerza del resorte; los parámetros del movimiento como son A, ω y
la constante de fase δ son constantes.
La frecuencia es mayor para un resorte más rígido (el valor más grande de k) y
disminuye con una creciente masa de la partícula.
En conclusión podemos obtener la velocidad y aceleración de una partícula que
experimenta MÁS mediante la siguiente ecuación:
v = 𝑑𝑥
𝑑𝑡= - ωA sen (ωt + δ) m/s
a = 𝑑𝑥²
𝑑𝑡² =
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = -ω² A cos (ω t + δ)
Como las funciones seno y coseno oscilan entre ± 1 los valores extremos de la
velocidad V son ±ωA del mismo modo los valores extremos de la aceleración son
± ω²A. Los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración
son:
Velocidad Máxima
vmáx. = ω A =A √𝑘/𝑚
Aceleración Máxima
amáx.= ω² A = (𝑘
𝑚)2
A
Energía del M.A.S.
Cuando un objeto oscila con M.A.S. la energía cinética y potencial de un sistema
varían con el tiempo. Su suma, la energía total:
ET = Ec + U
17
Consideremos un objeto a una distancia x del equilibrio sobre el que actúa una
fuerza restauradora - kx la energía potencial de un sistema es:
U = 1
2 kA² cos2(ωt + δ)
La energía cinética del sistema es:
Ec = 1
2 mv²
En la cual se sustituye la velocidad del M.A.S.
v = - ωAsen(ωt + δ)
ω² = 𝑘
𝑚
Ec = 1
2 kA² sen² (ωt + δ)
Como
sen² (ωt+ δ) + cos² (ωt + δ) = 1
Entonces la energía total está dada por:
ET= 1
2 kA²
Comentarios del alumno
18
Recordemos la clasificación de las ondas mecánicas y electromagnéticas
Sonoras
Sísmicas
Esféricas
Ondas en un Cuerda
Ondas Mecánicas En una Columna de Gas
Ondas de Presión
Ondas de Choque
Radio
Rayos x,β,α,γ
Ondas Electromagnéticas Luz
Microondas
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1.4 Ondas Mecánicas VS Ondas Electromagnéticas
Similitudes
Ambas tienen periodo, frecuencia,
amplitud y longitud de onda.
Ambas se propagan describen
una función sinusoidal.
Ambos tipos de ondas pueden
superponerse en el mismo
punto del medio en que viajan
sin modificar una a la otra
Diferencias
Las ondas mecánicas
necesitan un medio material
para propagarse y las
electromagnéticas se
propagan en un medio material
y en el vacío.
Las ondas electromagnéticas
están regidas las leyes de
Maxwell y las mecánicas por la
ley de Hooke y la segunda ley
de Newton.
La velocidad de las ondas
mecánicas se ven afectadas
por las características del
medio y no las
electromagnéticas.
Las ondas mecánicas pueden
ser percibidas por nosotros a
través de nuestros sentidos y
las electromagnéticas no.
Las ondas mecánicas pueden
sufrir amortiguamiento
mientras que las ondas
electromagnéticas sufren
atenuación.
20
Vibraciones y Ondas
Ambos conceptos el de vibración y el de onda son importantes para entender las
teorías que tratan de explicar actualmente el mundo que nos rodea. Ambos
aparecen en forma fundamental en teorías tales como la luz, el sonido, el calor, las
microondas y el estudio ultramicroscópico de los átomos, las partículas y los
fenómenos con ellos relacionados. Todo movimiento simple o complejo que repite
a intervalos regulares de tiempo recibe el nombre de movimiento periódico. En la
vida diaria pueden encontrarse muchos ejemplos de un cierto tipo de movimiento
periódico que se denomina MÁS. El MÁS se justifica mediante el balanceo de un
péndulo de reloj y la medición de un diapasón ya que estos movimientos se
describen en función del movimiento periódico. El péndulo simple es un sistema
mecánico que consta de una partícula o plomada de masa “m” suspendida de
una cuerda ligera de longitud “l” que esta fija en el extremo superior.
Para oscilaciones pequeñas θ diferente de 0
Cuando está en equilibrio el péndulo cuelga verticalmente tal como una línea
plomada. Cuando se libera a cierto ángulo con la vertical el movimiento es
bidireccional; sin embargo la posición del péndulo puede describirse
completamente mediante un solo parámetro: el ángulo θ entre la cuerda y la
vertical como se puede observar en la siguiente figura
θ
m m
21
Este ángulo se considera como positiva en el lado derecho de la vertical con
respecto a la posición de equilibrio y como negativa en el lado izquierdo.
Dado que la lenteja y la cuerda se balancean con una unidad rígida el movimiento
puede considerarse como rotación en torno de un eje horizontal a través del punto
de suspensión y la ecuación del movimiento es la de un cuerpo rígido
I α = T
I = Momento de inercia a través del punto de suspensión
Α = Aceleración Angular
T = Torque o tuerca
La fuerza de suspensión no ejerce torque o tuerca, dado que su punto de
aplicación esta sobre el eje de rotación (su brazo es cero):
T = - mg l senθ
T = ωl senθ
El signo menos de la ecuación indica que esta es un torque o tuerca restauradora
que tiende a jalar el péndulo hacia la posición de equilibrio.
El momento de inercia “I” del sistema cuerda lenteja es simplemente el de una
particular de masa “m” a la distancia “I” desde el eje de rotación:
I = m L² (𝑘𝑔
𝑚²)
Por lo tanto la ecuación del movimiento de rotación se convierte en
mL²α = - mg L senθ
α = - (𝑔
𝐿) senθ
Esta ecuación del movimiento solo se aplicara en el caso especial de oscilaciones
pequeñas entorno de la posición de equilibro
Sen θ diferente de θ
Cos θ = 1 - θ²
2
Tan θ = θ
22
Α = (− 𝑔
𝐿) θ
θ = A cos (ωt + δ)
T = (2π) √𝑙
𝑔
Problemas
Calcular la longitud de un péndulo simple si este hace 30 oscilaciones por minuto
f = 30 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 = 0.5 Hz
T = 1
0.5 1/𝑠𝑒𝑔 = 2 segundos
T = √𝑙
𝑔
2𝜋
Despejando l 𝑙 tenemos:
𝑙 = 𝑇² 𝑔
4𝜋²
𝑙 = (2)2𝑠2(
9.81𝑚
𝑠2)
4 (3.1416)²
𝑙 = 0.99 m
¿Cuál debe ser la longitud de un péndulo simple si se desea que de exactamente
un balanceo por segundo, (si una vibración completa toma exactamente 2
segundos)?
T = 2 segundos f = 1
2 𝑠𝑒𝑔 = 0.5 1 𝑠𝑒𝑔⁄ = Hz
T = √𝑙
𝑔
2𝜋 despejando 𝑙 tenemos:
𝑙 = 𝑇² 𝑔
4𝜋²
𝑙 = (2)2𝑠2(
9.81𝑚
𝑠2)
4 (3.1416)² =
9.81
9.869 = 0.99 ≈ 1m
23
UNIDAD 2: Descripción matemática del M.O. Función de
Onda.
2.1 La Función de Onda Armónica como modelo del Movimiento
Ondulatorio.
Las ondas armónicas constituyen la clase más básica de las ondas periódicas.
Todas las ondas, tanto si son periódicas como si no lo son, pueden describirse
como la suma de las ondas armónicas. Por consiguiente, el conocimiento del
movimiento de las ondas armónicas es fundamental para obtener la descripción
de cualquier clase de movimiento ondulatorio. Si una onda armónica se mueve por
un medio, cada punto del medio oscila siguiendo un MAS.
Si un extremo de una cuerda se sujeta a un diapasón que está vibrando con
movimiento armónico simple, se produce un tren de ondas sinusoidales que se
propaga a lo largo de la cuerda, éste tren de ondas es una onda armónica. La
forma de la cuerda es una función sinusoidal.
La figura muestra una onda armónica en cierto instante de tiempo donde A es la
amplitud y λ es la longitud de onda.
24
La Distancia mínima recorriendo el espacio hasta que la función de ondas se
repite (la distancia entre crestas) se llama longitud de onda landa λ.
Cuando la onda se propaga por la cuerda cada punto de la misma se mueve hacia
arriba y hacia abajo (perpendicularmente a la dirección propagación realizando un
MAS cuya frecuencia “f” es la frecuencia del diapasón.
Durante un periodo: T = 1
𝑓 la onda se mueve una distancia de una longitud de onda
de modo que la velocidad viene dado por la siguiente ecuación.
v =λ
𝑇 = λ f
Como en esta relación surgen las definiciones de longitud de onda λ y frecuencia,
válidas para todas las ondas armónicas.
Problema
Un pescador observa que las crestas de las ondas pasan cada 3 segundos. Mida
la distancia entre dos crestas consecutivas en 6.5 m. Calcule la velocidad a la que
viajan las ondas.
T = 3 segundos
λ = 6.5 m
λ = vT
Despejando v
v = 𝜆
𝑇
v = 6.5 𝑚
3 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠= 2.16
𝑚
𝑠
25
La función sinusoidal que describe el desplazamiento de la figura anterior es:
Y (x) = A sen ( 2𝜋 𝑥
λ + δ)
En donde A es la amplitud, landa λ la longitud y delta δ una constante de fase.
Esta ecuación se expresa de la siguiente manera:
Y (x) = A sen (k x + δ)
Donde k es el número de onda y está dado por
k = 2𝜋
λ
Observe que las unidades de k son m-1, como el ángulo debe expresarse en
radianes, a veces las unidades de k siempre son radianes sobre metro.
Como 1
λ es el número de ondas que existen en un metro de longitud, k =
2𝜋
λes el
numero de ondas en una distancia de 2π metros.
Para describir una onda que se mueve hacia la derecha con una velocidad v
sustituyen x en la ecuación
26
Y (x) = Asen(k x + δ)
x, por
“ x – vt”
La función de onda en este trayecto considera δ = 0 puede escribirse
Y (x, t) = A sen (k (𝑥
−𝑣𝑡))
Y (x, t) = A sen (k x - k v t)
Y (x, t) = A sen (k x + ωt)
Esta última es Función de Onda Armónica
En donde ω = k v es la frecuencia angular, que se encuentra relacionada con la
frecuencia de vibración f y el periodo t en la formula usual
ω = 2𝜋
𝑡 = T = 2π f
ω = kv
k = 2𝜋
λ
2π f = kv = (2𝜋
λ) v
La rapidez de fase v de la onda que a menudo llamaremos rapidez de onda está
dado por:
v = λ f = λ
𝑇 =
𝜔
𝑘
f (x) = (x – vt) Hacia la Derecha
f(x) = (x + vt) Hacia la Izquierda
27
Comentarios del alumno
.
28
UNIDAD 3: ECUACION DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO
ONDULATORIO.
Analizaremos como determinar en un campo dado y en función del tiempo, como
se propaga una onda sin distorsión. Como los campos asociados a cada proceso
físico, están gobernados por leyes dinámicas (características de cada proceso),
que pueden expresarse en forma de ecuaciones diferenciales, debemos de
explorar la posibilidad de encontrar una ecuación diferencial que sea aplicable a
todo tipo de movimiento ondulatorio. Entonces cada vez que reconozcamos un
campo particular, como resultado de sus propiedades físicas y que satisface tal
ecuación, podemos estar seguros que el mismo se propaga a través del espacio
con velocidad definida y con distorsión, entonces estamos en condiciones de
describir tal campo por medio de diversas ecuaciones compatibles con la ecuación
de onda.
3.1 Presentación de la ecuación diferencial del movimiento
ondulatorio
La ecuación que encontramos muchas veces y que describe un movimiento
ondulatorio que se propaga con una velocidad (v) definida y sin distorsión según la
dirección (+x o -x) es:
𝑑𝜉
𝑑𝑡=𝑣𝑑𝜉
𝑑𝑥2
La solución general de la ecuación anterior tiene la forma:
ξ(x, t) = f (x± vt)
ξ(x, t) = f1 (x- vt)+ f2 (x+ vt)
29
3.2 Solución mediante el método de Fourier de separación de
variables
De este modo la solución general de la ecuación anterior se puede expresar como
la súper posición de dos movimientos ondulatorios que se propagan en la misma
dirección pero en sentido opuesto desde luego, para una onda que se propaga en
un solo sentido aparecerá una sola de las dos funciones de la ecuación anterior.
Sin embargo, cuando tenemos una onda incidente que se propaga según
+x y una onda que se refleja y que se propaga según –x se debe usar la
forma general de la función.
Para comprobar que una expresión es una solución de la ecuación de onda
debemos recordar algunos artificios matemáticos.
Si tenemos una función y= f (v) en donde v es a su vez función de x esto es v(x)
entonces tendremos que:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑑𝑦
𝑑𝑣.𝑑𝑣
𝑑𝑥
Llamada regla de la cadena para derivación. (Tema a desarrollar en clase)
3.3 Teorema de Euler y representación de la solución en términos
de funciones armónicas
-π - π/2 π/2 π
30
f(x) = 1 si - π ≤ x ≤ - π/2
f(x) = 0 si - π/2 ≤ x ≤ 0
f(x) = 0 si 0 ≤ x ≤ π/2
f(x) = 1 si π/2 ≤ x ≤ π
Entonces
Coeficientes de las series armónicas
a0 = 1/ π ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 π
−π
an = 1/ π ∫ 𝑓(𝑥)cos (𝑛𝑥)𝑑𝑥 π
−π
bn = 1/ π ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 π
−π
3.4 Solución general de la forma ξ(x,t) =f (x ± vt)
31
Análisis de Fourier del movimiento ondulatorio.
El teorema de Fourier establece que una función periódica f (t) de periodo T=2𝜋
𝜔
puede expresarse como la suma
F (t)=a0+a1cos ω t +a2 cos 2ω t +...+an cos nω t +...+ b1sen ω t +b2sen 2ω t +...+bnsen n ω t +...
Que se conoce como serie de Fourier. La frecuencia w se denomina frecuencia fundamental y las frecuencias 2ω, 3ω ,4ω... son los armónicos
Este mismo resultado se aplica al movimiento ondulatorio periódico. Supongamos que x=f(x-v t) sea un movimiento ondulatorio periódico, esto es un movimiento que se repite a sí mismo en los instantes T, 2T, 3T,...,nT,... . En otras palabras
x=f(x-v t) = f [x-v (t+T)]=f(x – vt+vT)
Esto significa que en un instante dado, el valor de x se repite cuando x aumenta o disminuye en vT, 2vT,...,nvT,... . Por lo tanto, si en lugar de cambiar t, cambiamos x en la cantidad λ=v T, la onda se repite a sí misma en el espacio.
Supongamos ahora que x=f(x) es una función periódica en el espacio, de periodo λ, esto es f(x)=f(x+λ). Por tanto según el teorema de Fourier podemos escribir
x =f(x)=a0+a1coskx +a2cos 2k x +...+ancosnkx +...+ b1senkx +b2sen 2kx +...+bnsen n kx +...
Donde k = 2𝜋
𝜆 juega ahora el mismo papel que antes ω. Entonces el movimiento
ondulatorio descrito por x=f(x-v t) puede expresarse como
x = f(x- v t)=a0+a1cos k(x-vt) +a2cos 2k (x-vt) +...+ an cos nk(x-vt) +...+ b1sen k(x-vt) +b2sen 2k(x-vt) +...+bnsen n k(x-vt) +...
ya que ω=kv.
32
x =f(x-vt)=a0+a1cos (kx-ωt) +a2cos 2(k x-ωt) +...+ ancos n (kx-ωt) +...+ b1sen (kx-ωt) +b2sen 2(kx-ωt) +...+bnsen n (kx-ωt) +...
Lo cual indica que cualquier movimiento ondulatorio periódico se puede expresar como una superposición de movimientos ondulatorios armónicos de frecuencias
ω,2ω, 3ω ,4ω ... y longitudes de onda l, 𝑙
2, 𝑙
3, 𝑙
4….
Comentarios del alumno
33
UNIDAD 4: ONDAS LONGITUDINALES
4.1 CONCEPTO DE ONDAS LONGITUDINALES
Los rizos en un estanque, los sonidos musicales, los temblores producidos por un
terremoto; todos estos son fenómenos ondulatorios. Surgen ondas siempre que un
sistema es perturbado de su posición de equilibrio y la perturbación puede viajar o
propagarse de una región del sistema a otra. Al propagarse una onda transporta
energía. La energía de las ondas de la luz solar calientan la superficie terrestre; la
energía de las ondas sísmicas pueden resquebrajar la corteza terrestre.
Una onda viajera que ocasiona que las partículas del medio se muevan
paralelas a la dirección del movimiento ondulatorio se le conoce como onda
longitudinal.
De todas las ondas mecánicas que se dan en la naturaleza, las más importantes
en nuestra vida diaria son las ondas longitudinales en un medio, usualmente en el
aire, llamadas ondas sonoras.
En general es muy apropiado describir las ondas sonaras en términos de
fluctuaciones de presión, sobre todo porque el oído es sensiblemente principal a
cambiar de presión.
La definición más general del sonido es que una onda longitudinal es un medio y
lo que más nos interesa son las ondas sonoras en el aire, aunque el sonido puede
viajar por cualquier gas, liquido o sólido. Las ondas sonoras más sencillas son las
sinusoidales, con la amplitud, longitud de onda y frecuencia definidas. El oído
humano es sensible a las ondas sonoras en el intervalo de 20 o 20000 Hz llamada
gama audible.
Comentarios por el alumno
34
4.2 ONDAS ELÁSTICAS EN UNA BARRA
Cuando golpeamos un extremo de una barra con un martillo, provocamos una
perturbación que viaja a lo largo de la barra y llega al extremo opuesto de la barra.
Lo cual nos indica que se ha propagado una onda elástica a lo largo de la barra.
Ahora nuestro propósito será analizar detalladamente esta onda elástica y conocer
como está relacionada su velocidad de propagación con las propiedades físicas de
la barra. Consideremos una barra de sección transversal uniforme A, sujeta a una
fuerza según su eje indicada por F.
Las fuerzas sobre cualquier sección transversal de una barra sometida a esfuerzo
son iguales y opuestas.
Las fuerzas sobre cualquier sección transversal de una barra sometida a esfuerzo son iguales y opuestas. La fuerza F no es necesariamente la misma en todas las direcciones y puede variar a lo largo del eje de la barra. Sobre cada dirección transversal actúan dos fuerzas iguales y opuestas como se observa en la figura 1, una en la tensión sobre la parte izquierda debido a la dirección derecha y la otra es la tensión sobre la parte derecha debido a la dirección izquierda de la barra. El esfuerzo normal o tensión sobre cada dirección de la barra se define como la fuerza por unidad de área que se ejerce perpendicularmente a la sección transversal en ambos sentidos. Por lo tanto tenemos:
F
Fuerza que la porción izquierda
ejerce sobre la porción derecha
Fuerza que la porción derecha
ejerce sobre la porción izquierda
35
𝛿 =𝐹
𝐴
La tensión normal se expresa en 𝑁
𝑚2
Bajo la acción de tales fuerzas cada sección de la barra experimenta un
desplazamiento휀 paralelo al eje, si este desplazamiento es el mismo en todos los puntos de la barra, no se produce deformación, sino simplemente un desplazamiento rígido de la barra según su eje. El caso que analizaremos en el
caso en el eje y se produce deformación, de modo que haya una variación de 휀 a lo largo de la barra, esto es que 휀 sea una función de x Onda longitudinal en una barra Consideremos dos posiciones A y A’ separadas, la distancia dx en estado de equilibrio como se puede observar en la figura 2.Cuando la fuerza se manifiesta, la
presión A se desplaza la distancia 휀 y la reacción A’ la distancia 휀’. Luego la separación entre A y A1 en estado de deformación es: dxt+( 휀’- 휀)=dx+d휀
Donde d휀= 휀’- 휀. La deformación de la barra es aquella región ha sido por consiguiente d휀
La deformación unitaria normal ∈ en la normal es la deformación por unidad de longitud a lo largo del eje de la barra. Como la deformación d휀 corresponde a la longitud dx, tenemos que la deformación unitaria de la barra es
∈=𝑑𝜀
𝑑𝑥 --- --- --- (2)
Nótese que cuando no hay deformación, ε es constante y ∈= 0, o sea que no hay deformación unitaria normal.
X
F
A
휀
휀′
X
dX Fig.2
F´
36
La deformación unitaria, siendo el cociente de dos longitudes, es una cantidad adimensional.
Entre el esfuerzo normal 𝛿 = 𝛾𝜖--- --- --- (3)
Donde 𝛾 la constante de proporcionalidad es el módulo de elasticidad de Young,
se expresa en 𝑁
𝑚2 , ya que ∈es un factor sin dimensiones.
La ley de Hooke es una buena aproximación al comportamiento elástico de una sustancia siempre que las deformaciones sean pequeñas. Cuando las tensiones y deformaciones son grandes la ecuación 3 no es válida y la descripción de la situación física se complica. La siguiente tabla muestra las constantes de ciertos materiales, ellas son:
*El módulo de Young 𝛾 *El módulo de elasticidad de volumen K *Y el módulo de rigidez G Constantes elásticas (1011 Nm-2)
Material
𝜸 K G
Aluminio 0.70 0.61 0.24
Cobre 1.25 1.31 0.46
Hierro 2.06 1.13 0.82
Plomo 0.16 0.33 0.054
Níquel 2.1 1.64 0.72
Acero 2.0 1.13 0.80
Introduciendo las ecuaciones 1 y 2 en la ecuación 3 y despejando F tenemos:
𝐹 = 𝑌𝐴𝑑𝜀
𝑑𝑥 --- --- --- (4)
Cuando tenemos una barra o alambre en equilibrio una borra o alambre en equilibrio con un extremo fijo al punto 0 (fig. 3) y sujeto a una fuerza F aplicada en el otro extremo A, tenemos que la fuerza sobre cada sección debe ser la misma e igual a F.
37
Si integramos la ecuación 4 con F constante obtenemos la deformación en cada
sección
∫ 𝑑휀 =𝐹
𝑌𝐴∫ 𝑑𝑥𝑥
0
𝜀
0 ó 휀 =
𝐹
𝑌𝑎𝑥
La deformación L en el extremo libre A se obtiene haciendo x=L, de modo que
𝐿𝐹𝐿
𝑌𝐴.Esta relación nos permite medir experimentalmente el modulo de Young.
Por lo tanto para calcular la velocidad de las ondas sonoras en una barra
utilizaremos la siguiente ecuación:
𝑣 = √𝛾
𝜌
Donde:
γ = módulo de elasticidad de Young
ρ = densidad volumétrica del material
38
4.3 ONDAS LONGITUDINALES DE PRESIÓN Y DENSIDAD EN UNA COLUMNA DE GAS.
Ondas de presión en una columna de gas
Las ondas elásticas que se producen en un gas son débiles a las variaciones de
presión. El sonido es el ejemplo más importante de este tipo de onda.
Consideremos que las ondas se propagan en un gas encerrado en un tubo o caño
cilíndrico.
Existe una diferencia importante entre las ondas elásticas en un gas y las ondas
elásticas en una barra. Los gases son muy comprensibles y cuando se establecen
fluctuaciones (vibraciones) de presión en un gas la densidad del mismo
experimenta las mismas fluctuaciones de presión.
En la siguiente figura el núcleo de un líquido o un gas en un tubo con pared rígida
en el extremo derecho y un pistón móvil en el izquierdo. Si imprimimos al pistón
móvil en el izquierdo.
Si imprimimos al pistón un movimiento hacia adelante y hacia atrás, el
desplazamiento y las fluctuaciones de presión viajaran a lo largo del medio.
Una región comprimida se forma siempre que el pistón se empuje en el tubo. Esta
región comprimida, llamada compresión, se mueve por el tubo como un pulso,
continuamente comprimiendo la región situada frente a él, y la presión y densidad
en esta región caen por debajo de sus valores de equilibrio. Estas regiones de
baja presión, llamadas rarefacciones, también se propagan.
39
A lo largo del tubo, siguiendo las compresiones.
Cuando el embolo oscila senoidalmente, las regiones de compresión y expansión
se forman continuamente. La distancia entre 2 compresiones sucesivas (o dos
expansiones sucesivas) es igual a la longitud de onda λ. Cuando las ondas
generadas por la compresión o expansión de cualquier elemento del medio se
mueven con m.a.s. en la dirección de las ondas tenemos que S(x,t) en la posición
de un elemento pequeño con respecto a la posición de equilibrio, la fricción de
esta posición se representa por:
S(x,t)=𝑆𝑚á𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
Smáx= máxima posición del elemento con respecto al equilibrio (y también se le
llama amplitud del desplazamiento)
𝜔= frecuencia angular del pistón o émbolo
K= número de onda
La variación en la posición del gas ΔP medida desde el valor de equilibrio también
es periódica y está dada por:
𝑃𝑚á𝑥 = ∆𝑃𝑚á𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
∆𝑃𝑚á𝑥 = la amplitud de posición que es el máximo cambio de posición desde el
valor de equilibrio
∆𝑃𝑚á𝑥 = 𝜌𝑣𝜔 𝑆𝑚á𝑥
Comentarios del alumno
40
Por lo tanto en la figura anterior vemos que una onda de sonido puede ser
considerada ya sea como una onda de desplazamiento o una onda de presión. La
onda de presión está fuera de fase 90° con la onda de desplazamiento. Nótese
que en la variación de presión es máxima cuando el desplazamiento desde el
equilibrio es cero, y el desplazamiento desde el equilibrio es máximo cuando la
variación de presión es cero.
Problema
Una onda de sonido en el aire tiene una amplitud de presión igual a 4x10-3 N/m2.
Calcule la amplitud de desplazamiento de la onda a una frecuencia de 10 KHz.
Solución: problema
Datos:
Pmáx = 4x10-3 N/m2
f= 10 KHz = 10x103 Hz
𝜌 =1.20 kg/m3
Smáx =∆𝑃𝑚á𝑥
𝜌𝑣𝜔
Smáx =4𝑥10−3 𝑁/𝑚2
(1.20𝐾𝑔/𝑚3) (344𝑚/𝑠) (2𝜋(10𝑥103𝐻𝑧))
Smáx =1.5𝑥10−10𝑚 = 15nm
𝑘𝑔
𝑚𝑠2
(𝐾𝑔
𝑚3) (𝑚
𝑠) (
1
𝑠)=
1
𝑚1
𝑚2
=𝑚2
𝑚= 𝑚
Intensidad del sonido.
Cuando un radio funciona a todo volumen decimos que el sonido que emite es un
sonido de gran intensidad (o bien, como se dice regularmente es un sonido fuerte),
41
por otra parte el tic tac de un reloj es un sonido de pequeña intensidad (o bien, un
sonido débil).
La intensidad es una propiedad del sonido, que se relaciona con la energía de
vibración de la fuente de emite la onda sonora. Al propagarse, esta onda
transporta energía. A mayor cantidad de energía, mayor será la cantidad del
sonido
ONDAS SONORAS EN UN GAS.
𝑉 = √𝑅𝑇𝛾
𝑀=𝑚
𝑠
Dónde:
R= constante universal de los gases (8.314 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠
𝑚𝑜𝑙° 𝑘)
T= temperatura del gas
M= masa molecular del gas.
𝑣 = √(𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠
𝑚𝑜𝑙°𝑘) °𝑘
𝑘𝑔/𝑚𝑜𝑙= √
𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠
𝑘𝑔= √
𝑘𝑔
𝑚/𝑠
𝑘𝑔=𝑚
𝑠
ONDAS SONORAS EN UN FLUIDO.
Una onda sonora en un volumen de fluido causa compresiones y expansiones del
fluido, de modo que el termino de fuerza de restitución tiene que ver con la fácil o
difícil que es de comprimir el fluido.
Esto es precisamente lo que nos indica el módulo de volumen (B) del medio según
la segunda ley de newton “la inercia está relacionada con la masa”. Lo masivo de
un fluido se describe con su densidad ʃ (ro) que es la masa por unidad de volumen
de ahí que la rapidez de las ondas sonoras estén definidas por:
𝑣 = √𝐵
ρ= 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 =
𝑚
𝑠
42
Donde:
B= módulo de volumen
K= compresibilidad
ρ= densidad
Compresibilidad K (Pa-1) B = 𝟏
𝒌
Liquido Pa-1 Atm-1
Disulfuro de carbono 93x10-11 94x10-6
Alcohol etílico 110 x10-11 111x10-6
Glicerina 21 x10-11 21x10-6
Mercurio 3.7 x10-11 3.8x10-6
Agua 45.8 x10-11 46.4x10-6
Módulo de elasticidad de volumen B (Pa) aproximado.
Material Módulo de volumen Velocidad
Aluminio 7.5x1010 5270.46 m/s
Latón 6.0 x1010 2626.12 m/s
Cobre 14 x1010 3961.70 m/s
Vidrio óptico 5 x1010 1.38 m/s
Hierro 16 x1010 4511.78 m/s
Plomo 4.1 x1010 1901.45 m/s
Níquel 17 x1010 4370.48 m/s
Acero 16 x1010 4529.10 m/s
Problema
Una piedra se deja caer partiendo del reposo en un pozo de 80 m de profundidad,
a los 4.3 segundos se engancha al chapoteo. Calcule la velocidad del sonido en el
aire.
Sea t el tiempo que necesita la piedra para llegar a la superficie del agua,
entonces se tiene:
43
s = ɑ 𝑡²
2
80 m = (9.81
𝑚
𝑠2)𝑡²
2
Despejando el tiempo se tiene:
t = √80 𝑚 (2)
9.81 𝑚/𝑠² = 4.05 segundos
Este es el tiempo que tarda en llegar la piedra a la superficie del agua.
Por lo que el tiempo que tarda el sonido en subir desde la superficie del agua a la
boca del pozo, es de:
t = 4. 3 segundos – 4.05 = 0.25 segundos
Por lo tanto, la velocidad del sonido será:
𝑣 = 80 𝑚
0.25 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠= 320
𝑚
𝑠
Comentarios del alumno
44
4.4 INTENSIDAD DE LAS ONDAS SONORAS.
La intensidad de un sonido es la magnitud de la sensacion de equilibrio producida
por las ondas sonoras. La intensidad depende del cuadrado de la frecuencia y la
amplitud. Pero la sensibilidad del oido varia tanto en los diferentes dominios de
frecuencia que intensidades igual produce sensaciones diferentes en los
diferentes espectros de frecuencia.
Definimos la intensidad I de una onda o la potencia por unidad de area como la
tasa a la cual la energia que se transporta por la onda fluye por un área unitaria A
perpendicular a la dureccion de propagacion de la onda.
𝐼 =𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑎𝑟𝑒𝑎=1
2(𝜔𝑆𝑚𝑎𝑥)𝑣 = (∆𝑃max)2/2ρv
Intensidad de las ondas de sonido periódicas.
La intensidad “I” de una onda, o la potencia por área unitaria, es la rapidez a la
que la onda transporta energía a un área unitaria “A” perpendicular a la dirección
de recorrido de la onda.
𝐼 =𝑃
𝐴=1
2𝜌𝑣(𝜔𝑆max)2
Debido a que las ondas sonoras se propagan y transfieren energía de una región
del espacio a otra, es útil describir la energía transportada por un sonido mediante
la intensidad de una onda “I” igual a la rapidez media con que la onda transporta
energía por unidad de área a través de una superficie perpendicular a la dirección
de propagación.
Expresaremos la intensidad de una onda sonora en términos de la amplitud de
desplazamiento “A” (𝑆𝑚á𝑥) o la amplitud de presión ∆Pmáx.
𝐼 =1
2𝐵𝜔𝐾𝐴2 𝐼 =
𝑤
𝑚2
45
𝐼 =1
2√𝜌𝐵𝜔2𝐴2 𝑣2 =
𝐵
𝜌
𝐼 =∆𝑃𝑚á𝑥2
2𝜌ʋ=
∆𝑃𝑚á𝑥2
2√𝜌𝐵 ∆𝑃𝑚á𝑥 = 𝐵𝐾𝐴
∆𝑃𝑚á𝑥 = √2𝜌𝑣𝐼 𝑊𝑎𝑡𝑡 =𝐽
𝑠
Problema
Los sonidos más débiles que el oído humano puede detectar a una frecuencia de
1000Hz corresponden a una intensidad de alrededor de 1x10-12𝑊
𝑚2, el así llamado
umbral auditivo. Los sonidos más fuertes que puede tolerar el oído humano a esta
frecuencia, corresponden a una intensidad de alrededor de 1 𝑊
𝑚2, que es el umbral
del dolor. Determine la amplitud de presión y amplitud de desplazamiento
asociado con los límites.
∆𝑃𝑚á𝑥 = √2𝜌𝑣𝐼
∆𝑃𝑚á𝑥 = √2(1.20 𝑘𝑔
𝑚3)(343
𝑚
𝑠)(1𝑥10−12
𝑤
𝑚2)
∆𝑃𝑚á𝑥 = 2.87𝑥10−5𝑁
𝑚2
𝑆𝑚á𝑥 =∆𝑃𝑚á𝑥
𝜌𝑣𝜔
𝑆𝑚á𝑥 =2.87𝑥10−5
𝑁
𝑚2
(1.20 𝐾𝑔
𝑚3) (343 𝑚
𝑠) (2000𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠)
𝑆𝑚á𝑥 = 1. 11𝑥1011𝑚
Problema
Una onda longitudinal sinusoidal continua se envía a lo largo de un resorte
enrollado desde una fuente vibratoria conectada a él. La fuente tiene una
frecuencia de 25 Hz y la distancia entre las rarefacciones sucesivas del resorte es
24cm. a) determine la velocidad de onda. b) Si el desplazamiento longitudinal
46
máximo en el resorte es 0.30cm y si la onda sigue la dirección –x, escriba la
ecuación correspondiente.
f=25 Hz 𝜔 = 𝐾𝑣
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 (251
𝑠𝑒𝑔) = 157.08
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔 𝐾 =
𝜔
𝑣=
157.08 𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
6 𝑚
𝑠𝑒𝑔
= 26.18 𝑟𝑎𝑑
𝑚
𝑣 = 6 𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝜆 = 24𝑐𝑚 = 24𝑥10−2𝑚
a) 𝑣 = 𝜆𝑓 = (24𝑥10−2𝑚)(25 1/𝑠) = 6𝑚
𝑠
𝑣 = 6 𝑚
𝑠
b) 𝑆(𝑥. 𝑡) = 0.30𝑥10−2𝑚𝑆𝑒𝑛[26.18 𝑟𝑎𝑑
𝑚 𝑋 + 157.08
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔 𝑡]
Comentarios del alumno
47
UNIDAD 5 ONDAS TRANSVERSALES
5.1 CONCEPTO DE ONDAS TRANSVERSALES.
Considerando las propiedades físicas de las ondas mécanicas y la dirección del
movimiento de las partículas que se relacionan con la propagación de la onda,
tendremos una onda transversal si el movimiento de las partículas del medio en
donde viaja la onda, es perpendicular a la dirección de propagación de la onda.
5.2 ONDAS TRANSVERSALES ELÁSTICAS EN UNA CUERDA.
¿Qué se propaga en un movimiento ondulatorio? Es muy importante comprender
que es lo que se propaga como onda en un movimiento ondulatorio.
La respuesta general es que es una condicion fisica generada en algún lugar y
que como consecuencia de la naturaleza del fenómeno, puede ser transmitida a
otra región; consideremos los diferentes tipos de ondas discutidos en la sección
anterior.Todas ellas corresponden a ciertos tipos de movimiento de átomos o
moléculas del medio a través del cual la onda se propaga pero los átomos en
promedio permanece en su posicion de equilibrio.
Entonces, lo que se propaga no es la materia sino su estado de movimiento es
una condicion dinámica que se transmite de una región a otra. Pero como estamos
acostumbrados a describir las condiciones dinámicas empleando los conceptos de
momentum y energía, podemos decir que en un movimiento ondulatorio se
transmite o se propaga energía.
𝑣 = √𝑇
µ= √
𝑁
𝑘𝑔/𝑚= √
𝑘𝑔𝑚/𝑠
𝑘𝑔/𝑚= √
𝑚
𝑠= 𝑚
𝑠
El movimiento ondulatorio de la figura anterior podemos observar que los puntos
de la cuerda vibran hacia arriba y hacia abajo, mientras se propaga hacia la
derecha a lo largo de aquella. Una onda como ésta en la que la vibracion de los
puntos se hace en dirección perpendicular a la de la propagación, se denomina
onda transversal.
La energía total de un segmento de cuerda que transporta una onda armónica es: Una onda transversal es una onda en movimiento que se caracteriza porque sus oscilaciones ocurren perpendiculares a la dirección de propagación. Si una onda transversal se mueve en el plano x-positivo, sus oscilaciones van en dirección arriba y abajo que están en el plano y – z.
48
Manteniendo una traza comparamos la magnitud del desplazamiento en instantes sucesivos y se aprecia el avance de la onda. Transcurrido un tiempo la persistencia de la traza muestra como todos los puntos pasan por todos los estados de vibración.
Sin embargo para conocer como cambia el desplazamiento con el tiempo resulta
más práctico observar otra gráfica que represente el movimiento de un punto. Los
puntos en fase con el seleccionado vibran a la vez y están separados por una
longitud de onda. La velocidad con que se propaga la fase es el cociente entre esa
distancia y el tiempo que tarda en llegar. Cualquier par de puntos del medio en
distinto estado de vibración están desfasados y si la diferencia de fase es 90º
diremos que están en oposición. En este caso los dos puntos tienen siempre valor
opuesto del desplazamiento como podemos apreciar en el registro temporal. Este
tipo de onda transversal igualmente podría corresponder a las vibraciones de los
campos eléctrico y magnético en las ondas electromagnéticas. Una onda
electromagnética que puede propagarse en el espacio vacío no produce
desplazamientos puntuales de masa. Son ondas transversales cuando una onda
por el nodo se junta con la cresta y crea una gran vibración.
Problema
Una cuerda de 2.72 m de largo tiene una masa de 263 g y está bajo una tensión
de 36. 1 N. ¿Cuál será la frecuencia de las ondas viajeras de 7.70 mm de
amplitud, con el fin de que la potencia trasmitida promedio sea de 85.5 Watts?
𝑙 = 2.72 m
m = 263 g
T = 36.1 N
Pm = 85.5 Watts
𝜇 =𝑚
𝑙=
263 𝑥 10¯3𝑘𝑔
2.72 𝑚= 0.096
𝐾𝑔
𝑚
𝑣 = √𝑇
µ =√
36.1 𝑁
0.096 𝑘𝑔/𝑚= 19.32
𝑚
𝑠 , 𝑐𝑜𝑚𝑜: 𝑃 =
1
2𝜇𝜔2𝐴2𝑣 𝑦 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝜔 = 2𝜋𝑓
𝑓 = √2𝑃
𝜇4𝜋2𝐴2𝑣= √
2(85.5 𝑊)
(0.096𝑘𝑔
𝑚)(4𝜋2)(7.70𝑥10−3𝑚)2(19.32
𝑚
𝑠)= 198
1
𝑠
49
Problema
Sobre un alambre de 80 cm de longitud de que está bajo tención de 550 N viajan
ondas transversales a 150 m/s. ¿Cuál es la masa del alambre?
𝑙=80 cm v=150 m/s F=550 N
𝑣 = √𝐹
µ 𝜇 =
𝑚
𝑙
𝑚 = √𝐹𝑚
𝑙
v2 = 𝐹
𝑚
𝑙 (
𝑚
𝑙) 𝑣2 = 𝐹
𝑚 =𝐹𝐿
𝑉2= (550𝑘𝑔 𝑚/𝑠𝑒𝑔2)(80𝑋10−2𝑚)
(150𝑚/𝑠𝑒𝑔)2
m=0.0195 Kg
m=19.5 gr
Comentarios por el alumno
50
5.3 ÁNALISIS DE LA ENERGÍA TRANSPORTADA. INTENSIDAD
Al vibrar un medio o un objeto la energía no se disipa con la vibración, sino que el movimiento de cada elemento del medio almacena esta energía.
Energía de las ondas en una cuerda
Consideremos una cuerda sujeta a un diapasón. Cuando éste vibra, imparte energía al segmento de cuerda unido a él. Por ejemplo cuando el diapasón se desplaza a través de su posición de equilibrio, tira el segmento aumentando su energía potencial y el diapasón imparte una velocidad transversal al segmento, incrementando su energía cinética. Cuando una onda se mueve a lo largo de la cuerda, la energía se transmite por ésta a los segmentos restantes.
Mediante la función de Onda puede calcularse la energía cinética de un segmento de longitud ∆x y masa µ∆x. Su desplazamiento es la función de onda y = Asen (kx-ωt). Su velocidad es dy/dt, en donde x se considera fijo. La energía cinética ∆Ec del segmento de cuerda es por lo tanto:
∆Ec= 1
2∆mv2y= µ∆x(
𝑑𝑦
𝑑𝑡)2
Como y = A sen(kx-ωt), dy/dt= -ωAcos(kx-ωt)
La energía cinética del segmento será:
∆Ec=1
2µ𝜔2A2∆xcos2(kx-ωt)
La energía potencial del segmento es el trabajo realizado al estirar la cuerda y depende de la pendiente dy/dx. Para pequeñas pendientes puede demostrarse que depende de la pendiente y de la tensión F por la expresión:
∆U = 1
2 F(
𝑑𝑦
𝑑𝑥)2∆x
Como dy/dx=KAcos(Kx-ωt) y F= μv2=μω2/K2
Obtenemos para la energía potencial
∆U = 1
2 𝜇 (
𝜔
𝐾)2 K2A2∆xcos2(Kx-ωt)
O sea: ∆U = 1/2 μω2A2∆xcos2(Kx-ωt)
51
Que coincide con el valor de la energía cinética. La energía total de un segmento de cuerda que transporta la onda armónica es:
∆E = ∆Ec +∆U =μω2A2∆xcos2(kx-ωt)
Como podemos observar, la energía de un segmento varía con el tiempo. Como el valor medio de cos2(kx-ωt) en cualquier punto es ½, la energía media es:
∆Em = 1
2 µω2A2∆x
Este resultado es el mismo que el de una masa µ∆x sujeta a un muelle (resorte) que oscila con M.A.S. Sin embargo, en el caso del muelle la energía potencial es máxima cuando el desplazamiento es máximo; para un segmento de cuerda, la energía potencial depende de la pendiente la cuerda y es máxima cuando la pendiente es máxima, como ocurre en la posición de equilibrio del segmento, la misma posición para la cual la energía cinética es máxima.
Potencia de las ondas en una cuerda
Cuando la onda se mueve a lo largo de la cuerda, esta cantidad de energía pasa por un punto dado de la cuerda durante un intervalo de un periodo de oscilación. Por lo tanto la potencia o rapidez de transferencia de energía asociada con la onda es:
P = 1
2 µω2A2𝑣
En donde podemos observar que la rapidez de transferencia de energía en cualquier onda senoidal es proporcional a ω2 y A2
Comentarios del alumno
52
5.4 REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE LAS ONDAS.
Para analizar la reflexión, consideremos la forma en que una onda viajera es afectada cuando se encuentra un cambio de medio. Por ejemplo, analicemos un pulso que se desplaza en una cuerda que está rígidamente unida a un soporte en un extremo. Cuando el pulso llega al soporte, ocurre un gran cambio en el medio: la cuerda termina. El resultado de este cambio es que el pulso experimenta reflexión, es decir el pulso regresa por la cuerda en la dirección contraria.
Nótese que el pulso reflejado está invertido, esta inversión es debida a que cuando el pulso llega al extremo fijo de la cuerda, ésta produce una fuerza hacia arriba sobre el soporte. Por la tercera ley de Newton, el soporte debe ejercer sobre la cuerda una fuerza de reacción de igual magnitud y en dirección opuesta (hacia abajo), esta fuerza hace que el pulso se invierta en la reflexión, como se puede observar en la siguiente figura.
Ahora analicemos otro caso, en el que el pulso llega al extremo de una cuerda que está libre de moverse verticalmente, como se observa en la siguiente figura. La tensión en el extremo libre se mantiene porque la cuerda está atada a un anillo de masa despreciable que está libre de deslizarse verticalmente sobre un poste liso sin fricción, nuevamente el pulso es reflejado, pero esta vez no se invierte; debido a que cuando llega al poste, el pulso ejerce una fuerza sobre el extremo libre de la
53
cuerda, haciendo que el anillo acelere hacia arriba. El anillo sube tan alto como el pulso entrante y luego el componente hacia debajo de la fuerza de tensión tira del anillo hacia abajo. Este movimiento del anillo produce un pulso reflejado que no se invierte y que tiene la misma amplitud del pulso entrante.
Un tercer caso es el análisis de un pulso viaja en una cuerda ligera que está atada a una cuerda más pesada, el cual podemos observar en la figura 1. Cuando un pulso que viaja en la cuerda ligera llega a la frontera entre las dos, parte del pulso es reflejado e invertido y parte se transmite a la cuerda más pesada. Como conclusión cuando tenemos una situación en que la frontera es indeterminada, parte de la energía del pulso incidente se refleja y parte experimenta transmisión (ver fig.2).
Fig.1 Fig.2
54
5.5 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA.
Consideremos una cuerda de longitud L que está sujeta por ambos extremos, como la que podríamos encontrar en una guitarra o en un violín. Si pulsamos cerca de la mitad de la cuerda y luego examinamos el movimiento, percibiremos Una onda estacionaria se establece con un nodo en ambos extremos y un antinodo a la mitad.
Las ondas se propagan por la cuerda, se reflejan en los extremos e interfieren con las otras que se mueven a través del mismo medio. Las frecuencias más altas tienden a extinguirse más rápidamente por amortiguamientos y permanecen sólo las ondas estacionarias correspondientes a la frecuencia más baja posible. El espaciamiento entre los nodos siempre es de λ/2, por ello en el caso del patrón de las ondas estacionarias de la figura anterior tenemos L=λ/2.
55
Podemos generar una onda estacionaria diferente en la cuerda, con sólo poner un dedo ligeramente cerca del centro para evitar que se mueva y pulsando aproximadamente ¼ del espacio entre ambos extremos. Este procedimiento producirá una onda estacionaria con L = λ.
La condición de una onda estacionaria que debe crearse en una cuerda de
longitud L fija en ambos extremos es:
𝐿 =𝑛𝜆
2 (𝑛 = 1,2,3… )
𝜆𝑛 =2𝐿
𝑛 (𝑛 = 1,2,3… )
Donde λn es la n-ésima longitud de onda en esta serie infinita. Nótese que n, es el número de medias longitudes de onda o ciclos que aparecen en el patrón de la figura anterior, usando la ecuación 𝑣 = 𝜆𝑓 tenemos:
𝑓𝑛 =𝑛𝑣
2𝐿 (𝑛 = 1,2,3… )
Éstas son las frecuencias permitidas de las ondas estacionarias en la cuerda, cuando está sujeta por ambos extremos.
La frecuencia más baja f1 que corresponde a n=1, se llama fundamental o
frecuencia fundamental y está dada por:
𝑓1 =1
2𝐿√𝑇
µ
Cuando la cuerda está fija sólo por un extremo y manipulable por el otro, sólo
están presentes los armónicos impares y se usa la siguiente ecuación para
calcular las frecuencias:
𝑓𝑛 =1
4𝐿√𝑇
µ
56
Ondas estacionarias en una columna de aire
Es posible formar ondas estacionarias en un tubo de aire, como el que hay en el
interior de un tubo de órgano, como resultado de interferencia entre ondas de
sonido longitudinales que se desplazan en direcciones opuestas.
En un tubo cerrado en un extremo, el extremo cerrado es un nodo de
desplazamiento, porque la pared de este extremo no permite el movimiento
longitudinal del aire. Como resultado de esto, en un extremo cerrado de un tubo, la
onda de sonido reflejada está 180° fuera de fase con la onda incidente. Además,
como la onda de presión está 90° fuera de fase con la onda de desplazamiento, el
extremo cerrado de una columna de aire, corresponde a un antinodo de presión
(esto es, un punto de máxima variación de presión). El extremo abierto de una
columna de aire es aproximadamente un antinodo de desplazamiento y un nodo
de presión.
En un tubo abierto en “ambos extremos” las frecuencias naturales de oscilación
forman una serie armónica que incluye todos los múltiplos enteros de la frecuencia
fundamental y tenemos:
𝜆1 = 2𝐿
𝑓1 =𝑣
𝜆1=𝑣
2𝐿
“todos los armónicos están presentes”
𝑓𝑛 =𝑛𝑣
2𝐿 (𝑛 = 1,2,3… )
En un tubo cerrado en un extremo y abierto por el otro, las frecuencias naturales
de oscilación forman una serie armónica que incluye sólo múltiplos enteros
impares de la frecuencia fundamental y así:
57
𝜆𝑛 =4𝐿
𝑛 (𝑛 = 1,3,5… )
“sólo los armónicos impares están presentes”
𝑓𝑛 =𝑛𝑣
4𝐿 (𝑛 = 1,3,5… )
Problema
La tráquea de una grulla blanca mide 3 pies de largo. Calcule la frecuencia
resonante fundamental y las dos siguientes resonantes de la tráquea de esta ave;
que es modelada como un angosto tubo cerrado en un extremo. Suponga la
temperatura a 37⁰ C.
T = 37⁰ C
L = 3 pies 1 pie = 0.3048 m
L = 0.9144 m
𝑣 = √ɤ𝑅𝑇
𝑀 = √
(1.40)(8.314)(310)
28.8 𝑥 10¯3𝑘𝑔/𝑚𝑜𝑙
𝑣 = 354 𝑚
𝑠
fn= 𝑛Ʋ
4𝐿
f₁ = 354𝑚/𝑠
4 (0.9144𝑚) = 96.78 Hz
f₃ = 3 (354
𝑚
𝑠)
4 (0.9144) = 290.35 Hz
f₅ = 5 (354
𝑚
𝑠)
4 (0.9144) = 483.92 Hz
58
5.6 ONDAS ELÁSTICAS TRANSVERSALES EN UNA BARRA.
Consideremos una barra que en su estado sin distorsión está representada por la
parte punteada de la siguiente figura. Si en un instante dado se hace vibrar la
barra golpeándola transversalmente, adopta la forma de la línea curva y podemos
suponer que cada reacción de la misma se mueve hacia arriba y hacia abajo pero
no horizontalmente. Sea ξ el desplazamiento transversal de una variación dx en un
instante dado.
Este desplazamiento debe ser una función de la posición, porque si fuera
constante correspondería aún desplazamiento paralelo de la barra. La cantidad
Ϫ=∂𝜉
∂x⁄ , que en la variación del desplazamiento transversal por unidad de
longitud, recibe el nombre de deformación transversal unitaria. Como resultado de
la deformación, cada sección de espacio dx, está sometida a dos fuerzas de
sentido contrario F y F´, tangentes ala superficies ejercidas por las porciones de la
barra a cada lado de la sección transversal. La fuerza tangencial por unidad de
área 𝛿 = 𝐹/𝐴 , se denomina “ESFUERZO TANGENCIAL O CORTANTE”.
También aquí, como en el caso de la ecuación de ondas longitudinales en una
barra que relaciona el esfuerzo normal con la deformación normal, hay una
relación similar a la ley de Hooke entre el esfuerzo cortante y la deformación, esto
es 𝛿 = 𝐺Ϫ , donde G es un coeficiente característico del material, llamado módulo
de torsión. Por consiguiente: 𝐹 = 𝑎𝐺 ( ∂𝜉
∂x⁄ ).
59
La fuerza resultante sobre la sección F’ –F = dF= ( ∂𝐹 ∂x ⁄ ) dx. Por otra parte, si ρ
es la densidad del material, la masa de la reacción en ρA dx, y la ecuación del
movimiento en dirección transversal es:
∂𝐹
∂𝑥 dx= ρAdx
∂2𝜉
∂𝑡2 ó
∂𝐹
∂𝑥= ρA
∂2𝜉
∂𝑡2 .
Tomando la derivada respecto a x en la ecuación 1 tenemos:
∂𝐹
∂𝑥= AG
∂2𝜉
∂𝑥2.
Que al sustituirla en la ecuación 2 tenemos:
∂2𝜉
∂𝑡2 =
𝐺
𝜌 ∂2Ҙ
∂𝑥2.
Y obtenemos la ecuación diferencial ∂2𝜉
∂𝑡2 = 𝑣2
∂2𝜉
∂𝑥2. Indicando que la deformación
transversal se propaga a lo largo de la barra con una velocidad dada por:
𝑣 = √𝐺 𝜌⁄ .
Comentarios por el alumno
60
5.7 ONDAS DE TORSIÓN EN UNA BARRA.
Supongamos que en el extremo libre de una varilla fija en el otro extremo
aplicamos torque variable. Esto produce una torsión de la varilla como se muestra
en la siguiente figura.
Onda de torsión en una barra.
Si el torque en la en función del tiempo, el ángulo de torsión cambia con el tiempo,
dando como resultado una onda de torsión que se propaga a lo largo de la varilla.
Un análisis matemático del problema muestra que independientemente de la
forma de la ecuación transversal de la varilla, la velocidad de propagación de la
varilla de torsión se expresaba por la ecuación 3. No es sorprendente que la onda
transversal y la onda de torsión en una varilla se propaguen con la misma
velocidad, ya que ambos procesos debidos, esencialmente a los fenómenos que
se unen en el interior del material del que está hecho la varilla.
Otro aspecto interesante entre las sombras de torsión es que no corresponden a
desplazamientos paralelos o perpendiculares a eje de la varilla, sino a rotar
alrededor del eje sin cambios en la forma.
Β´
22
β
θ
A
A´
´
X
61
UNIDAD 6: ONDAS EN DOS Y TRES DIMENSIONES
6.1 ONDA PLANA EN TRES DIMENSIONES. VECTOR DE PRORAGACIÓN.
Aunque 𝑍 = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) Representa un movimiento ondulatorio que se propaga
según el eje +x, no tenemos necesariamente que interpretarla como significado
de una onda concretada sobre el eje. Si la propagación física descrita por 𝑠 se
extiende sobre todo el espacio, tenemos que a un tiempo dado 𝑡 la función
𝑍 = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) Toma el mismo valor en todos los puntos de la abscisa X. Pero x
igual a constante representa un plano perpendicular al eje x (ver la figura
siguiente).
Por lo tanto, 𝑍 = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) describe en tres dimensiones una onda plana que se
propaga paralelamente al eje X. Si 𝑠 en un desplazamiento (o un campo
vectorial) tenemos una onda longitudinal cuando 𝑠 es paralela a la dirección de
62
propagación o eje x( iniciando por la flecha L), y tenemos una onda transversal
cuando 𝑆 es perpendicular a la dirección de propagación (o sea, paralelo al
plano YZ). En este último caso también se puede expresar como la superposición
de dos desplazamientos según direcciones perpendiculares entre sí, tal como está
indicado por las flechas T y T´.
Observamos que lo característico en una onda plana es la dirección de
propagación, que se indica como un versor 𝑢 perpendicular al plano de la onda,
siendo la orientación de los ejes coordenados más y menos arbitraria. Por
consiguiente, es conveniente expresar la onda plana 𝑍 = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) en una forma
tal que sea independiente de la orientación de los ejes. En el caso de la figura
anterior, el versor 𝑢 es paralelo al eje x. si 𝑟 es el vector de posición de cualquier
punto 𝑃 del frente de onda, tenemos que 𝑥 = 𝑢 ∗ 𝑟 y por lo tanto podemos escribir
𝑍 = 𝑓(𝑢 ∗ 𝑟 − 𝑣𝑡) ------------------------------ 1
Cualquiera que sea la dirección de 𝑢 , la cantidad 𝑢 ∗ 𝑟 es siempre la distancia
medida desde el origen 0 según la dirección de propagación. Por lo tanto la
ecuación 1 representa una onda plana que se propaga en la dirección 𝑢.
En el caso de una onda plana armónica sinusoidal propagándose en la dirección 𝑢
tenemos:
𝑍 = 𝑍0𝑠𝑒𝑛𝐾(𝑢 ∗ 𝑟 − 𝑣𝑡)
Es conveniente definir un vector 𝑘 = 𝑘𝑢 llamado vector de propagación. Este
vector tiene una longitud 𝑘 = 𝑤/𝑣 y apunta en el sentido de la propagación
como 𝑤 = 𝑘𝑣, una onda armónica plana se expresa por
𝑍 = 𝑍0𝑠𝑒𝑛(𝑘 ∗ 𝑟 − 𝑤𝑡) = 𝑍0𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥𝑥 + 𝑘𝑦𝑦 + 𝑘𝑧𝑧 − 𝑤𝑡)---------------------------- 2
Donde 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑘𝑧 son las componentes de k que satisfacen la relación
𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦
2 + 𝑘𝑧2 = 𝑘2 =
𝑤2
𝑣2
Cuando la propagación tiene lugar en un espacio tridimensional, la ecuación de
onda tiene la siguiente forma:
63
𝜕2𝑍
𝜕𝑡2= 𝑣2(
𝜕2𝑍
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑍
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑍
𝜕𝑧2)
Las ondas planas representadas por la ecuación 1 y 2 aunque contienen las tres
coordenadas x, y, z son en realidad mono-dimensiónales, ya que la propagación
es según una dirección particular y la situación física es la misma en todos los
planos perpendicular a la dirección de propagación, como se puede observar en la
siguiente figura.
Pero en la naturaleza hay otras clases de ondas que se propagan en varias
dimensiones entre las cuales podemos mencionar a las ondas cilíndricas y las
esféricas. En el caso de las ondas cilíndricas los frentes de onda son superficies
paralelas a una línea dada, digamos al eje z y por lo tanto perpendicular al plano
xy. Este tipo de ondas se produce si tenemos un conjunto de fuentes
uniformemente distribuidas a lo largo del eje z, todas oscilando en fase.
64
Si en un cierto punto se origina una perturbación y ésta se propaga en todas
direcciones con la misma velocidad, se dice que el medio es isótropo (isos: igual,
tropos: dirección) y la onda resultante es esférica. Los frentes de onda son esferas
concéntricas con centro en el punto donde se originó la perturbación y tales ondas
se producen cuando hay un repentino cambio de presión en un punto de un gas ().
Algunas veces la velocidad de propagación no es la misma en todas las
direcciones, en cuyo caso el medio es anisótropo. Por ejemplo, un sólido sometido
a ciertas deformaciones o un cristal, pueden tener propiedades elásticas diferentes
en varias direcciones, resultando una velocidad de propagación diferente para
cada dirección. En estos medios las ondas no son esféricas.
Algunas veces una onda se propaga sobre una superficie tal como una membrana
o la superficie de un líquido. Si se produce una perturbación en un cierto punto de
la superficie aquella se propaga por la superficie en todas direcciones con la
misma velocidad, resultando un conjunto de ondas circulares. Esta es una onda
bidimensional por la que requiere sólo dos coordenadas espaciales para
describirla, la ecuación para esta onda es:
𝜕2𝑍
𝜕𝑡2= 𝑣2(
𝜕2𝑍
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑍
𝜕𝑦2)
6.2 ECUACIÓN DE ONDA EN TRES DIMENSIONES.
Cuando la propagación tiene lugar en un espacio tridimensional, la ecuación de
onda tiene la siguiente forma:
𝜕2𝑍
𝜕𝑡2= 𝑣2(
𝜕2𝑍
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑍
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑍
𝜕𝑧2)
65
6.3 ONDAS PLANAS Y CIRCULARES EN UNA SUPERFICIE LÍQUIDA
Las ondas circulares bidimensionales sobre una superficie de agua de una cubeta de ondas, se generan mediante una fuente puntual que se mueve hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armónico simple.
En este caso, la longitud de onda es la distancia entre crestas de ondas sucesivas que son circunferencias concéntricas denominadas frentes de onda. En el caso de un foco o fuente puntual de sonido, las ondas se emiten en tres dimensiones. Se mueven alejándose del foco en todas direcciones y los frentes de onda son ahora superficies esféricas concéntricas.
El movimiento de un conjunto cualquiera de frentes de onda puede indicarse mediante rayos, que son líneas dirigidas perpendicularmente a los frentes de onda. Para ondas circulares o esféricas, los rayos son líneas radiales.
Si un foco puntual emite ondas uniformemente en todas direcciones, la energía a una distancia r del mismo estará distribuida uniformemente sobre una corteza
esférica de radio r y superficie 4𝜋𝑟2.
La potencia por unidad de área que está incidiendo perpendicularmente a la dirección de propagación se denomina intensidad:
I =𝑃𝑚
A
Y la intensidad debida a un foco puntual:
𝐼 =𝑃𝑚
4𝜋𝑟2
66
6.4 ONDAS SUPERFICIALES EN UNA MEMBRANA TENSA
Ondas Elásticas producidas en una membrana Tensa
Consideremos que una membrana delgada y tensa, la cual, para simplificar,
supondremos rectangular, como se observa en la siguiente figura. La membrana
está montada sobre un marco el cual ejerce la tensión T por unidad de longitud
expresada en Nm: si la membrana se deforma en un punto particular y
experimenta un desplazamiento en dirección perpendicular a ella; esta
deformación se propaga por la membrana, resulta de una onda superficial.
Onda superficial en una membrana tensa
67
6.5 ONDAS ESFÉRICAS EN UN FLUIDO
Cuando una fuente emite sonido igualmente en todas direcciones, identificamos
una esfera imaginaria de radio r concentro en la fuente; describiremos el resultado
como una fuente esférica. La potencia promedio Pm emitida por la fuente, debe
estar distribuida uniformemente en esta superficie esférica de área 4𝜋𝑟2. Por lo
tanto, la intensidad de la onda a una distancia r de la fuente es:
𝐼 =𝑃𝑚
4𝜋𝑟2
NIVEL DE INTENSIDAD Y SENSACIÓN SONORA
La sensación de sonoridad es aproximadamente del tipo logarítmico. Usando por lo tanto, una escala logarítmica para describir el nivel de intensidad de una onda sonora β, el cual se mide en decibeles (db) y se define por:
𝛽 = 10 log 𝐼
𝐼𝑜
Donde 𝐼 es la intensidad física del sonido e 𝐼𝑜 es un nivel de referencia que tomaremos como umbral de audición 𝐼𝑜 =10-12 W/m2
En esta escala el umbral de audición es β=10 log(𝐼/𝐼𝑜) = 0db y el umbral de dolor 𝐼= 1 W/m2 es
Una fuente esférica irradia un sonido uniforme en todas direcciones a una
distancia de 10 m; el nivel acústico es de 80 dB.
a) ¿A qué distancia de la fuente el nivel acústico es de 60 dB?
b) ¿Cuál es la potencia irradiada por la fuente?
120 dB = 10 log10 𝐼
I = 1𝑤
𝑚²
P = I 4𝞹r² = (1𝑤
𝑚²)(4𝞹) (3m)²
P = 113.09 w
68
a) 100 dB = 10 log10¯12𝑊/𝑚² 𝐼
I = 0.01 W/m²
r² = √𝑃
4𝜋𝐼 = √
113.09 𝑊
(0.01𝑊
𝑚2)(4𝜋)
r = 29.9 m ≈ 30 m
b) 10 dB = log(10-12) W/m2 I
I = 1 x 10-11 w/m²
r² = √
113.09 𝑤
(1𝑥10¯11
𝑤
𝑚2)(4𝜋)
r = 9.48 x 105 m
Comentarios del alumno
69
6.6 ONDAS SÍSMICAS.
Cuando se produce un terremoto, hay una súbita liberación de energía en un
determinado punto denominado foco o hipocentro del terremoto (el epicentro es
el punto de la superficie terrestre situado, de manera radial, encima del
hipocentro). Esta energía se propagara, alejándose del foco del terremoto, por
medio de ondas sísmicas. Las ondas sísmicas son similares a las ondas sonoras
que hemos estudiado en las secciones anteriores de este capítulo: perturbaciones
mecánicas que se mueven a través de un medio.
Al analizar las ondas mecánicas en este capítulo, hemos identificado dos tipos:
Transversales y longitudinales. En el caso de las ondas mecánicas que se mueven
en el aire, solo pueden ser longitudinales. Sin embargo, cuando las ondas
mecánicas se mueven en un sólido, pueden aparecer ambos tipos de ondas
debido a las intensas fuerzas interatómicas de las partículas del sólido. Por tanto,
en el caso de las ondas sísmicas, la energía se propaga alejándose del foco por
medio de ondas tanto longitudinales como transversales.
En el lenguaje que se emplea en el estudio de los terremotos, estos dos tipos de
ondas reciben nombres distintos, de acuerdo con el orden en que llegan a los
sismógrafos. Las ondas longitudinales viajan a una rapidez mayor que las ondas
transversales. Como resultado, la onda longitudinal llega al sismógrafo en primer
lugar y, por ello, se la denomina onda P, donde la P significa primaria La onda
transversal, más lenta, llega después, por lo que se la denomina onda S, u onda
secundaria. La rapidez de onda de una onda sísmica depende del medio por que
se mueva. Los valores típicos son 5km/s para una onda P que se mueva a través
de granito y de 3km/s para una onda S que se mueva a través de granito. La figura
muestra una traza típica de un sismógrafo correspondiente a un terreno lejano,
donde se puede ver claramente como la onda S llega después que la onda P.
70
Una taza de un sismógrafo, donde se muestra la llegada de las ondas P y S del
terremoto de Northridge a dos sismógrafos situados en San Pablo, España (traza
superior), y en Albuquerque, Estados Unidos (traza inferior). La onda P llega
primero por que viaja rápidamente, siendo seguida por la onda S, más lenta.
Cuanto más alejado este el sismógrafo de epicentro, mayor será el intervalo de
tiempo entre las llegadas de las ondas P y S.
Las ondas P y S se mueven a través de la masa de la tierra y pueden ser
detectadas por sismógrafos situados a lo largo y ancho del globo terráqueo. Una
vez que estas ondas alcanzan la superficie, la energía se puede propagar
mediante tipos adicionales de ondas a lo largo de esta. En una onda rayleigh, el
movimiento de las partículas es una combinación de desplazamientos
longitudinales y transversales, de modo que el movimiento neto que describe un
punto de la superficie es circular y elíptico. Ese movimiento es similar al que
experimentan las partículas en la superficie del océano cuando pasa una ola,
como se observa en la siguiente figura. Una onda Love es una onda de superficie
transversal en la que las oscilaciones transversales son paralelas a la superficie.
Por tanto, las ondas Love no producen ningún desplazamiento vertical de la
superficie.
Movimiento de la onda
71
El movimiento de las partículas en la superficie de una masa profunda de agua, a
través de la cual se propaga una onda, es una combinación de desplazamientos
transversales y longitudinales, con el resultado que las moléculas de la superficie
se mueven siguiendo trayectorias casi circulares. Cada molécula se desplaza
tanto vertical como horizontalmente con relación a su posición de equilibrio. Este
movimiento es similar al que sufre la superficie terrestre en el caso de una
Rayleigh.
72
Corte transversal de la tierra, mostrando las trayectorias que siguen las ondas
producidas por un terremoto. Solo las ondas P se pueden propagar a través del
núcleo líquido. Las ondas S no pueden penetrar en el. Cuando las ondas P se
transmiten de una región a otra, como cuando pasan del manto al núcleo líquido,
experimentan una refracción, un cambio en la dirección de propagación.
Estudiaremos la refracción de luz en el capítulo 7 del volumen II. A causa de la
refracción de las ondas sísmicas, hay una zona de “sombra”, situada entre los
105° y 140° con relación al epicentro, a la que no llegan ondas manera directa (es
decir siguiendo una trayectoria en la que no se hayan producido refracciones).
73
Es posible aprovechar las ondas P y las ondas S que viajan a través de la tierra
para obtener información sobre la estructura del interior de la tierra. Las
mediciones de un determinado terremoto hechas por distintos sismógrafos en
diversas ubicaciones de la superficie, indican que la tierra tiene una región interior
que permite el paso de las ondas P, pero no el de las ondas S. este hecho se
puede explicar si se modela esta región como si tuviera las características de un
líquido. De forma similar a los gases, un líquido no puede dar soporte a una fuerza
transversal. Es por esta razón que en el aire solo podemos tener ondas sonoras
longitudinales y es también por esto que las ondas S, transversales no pueden
atravesar esa región del núcleo. Esto nos permite establecer un modelo estructural
en el que la tierra tiene un núcleo líquido situado aproximadamente entre los
radios 1.2X103 km y 3.5X103 𝑘𝑚.
Otras mediciones de las ondas sísmicas permiten realizar interpretaciones
adicionales de las capas del interior de la tierra, que incluyen un núcleo sólido en
el centro, una región pétrea denominada manto y una capa exterior, relativamente
delgada, denominada corteza. La figura anterior muestra esta estructura. La
utilización de los rayos x o de los ultrasonidos en medicina para poder obtener
similitudes con el empleo de las ondas sísmicas para obtener información del
interior de la tierra.
A medida que las ondas P y las ondas S se propagan por el interior de la tierra, se
encuentran con cambios en el medio. En cada frontera en la que cambian las
propiedades del medio, se producen una reflexión y una transmisión. Cuando la
onda sísmica llega a la superficie de la tierra, se transmite una pequeña cantidad
de energía al aire, en forma de ondas sonoras de baja frecuencia. Otra parte de
esa energía se distribuye por la superficie de ondas Love y ondas Rayleigh. El
resto de la energía de la onda se refleja de nuevo hacia el interior. Como
resultado, las ondas sísmicas pueden recorrer largas distancias por el interior del
a tierra y ser detectadas en sismógrafos situados en diversas ubicaciones
alrededor del globo. Además, dado que en cada encuentro con la superficie se
refleja una parte relativamente grande de la energía de la onda, esta se puede
estar propagando durante mucho tiempo. Se dispone de datos que demuestran
que sigue habiendo actividad sísmica varias horas después de que se haya
producido un terremoto, debido a las repetidas reflexiones de las ondas sísmicas
en la superficie.
Otro ejemplo de reflexión de ondas sísmicas lo tenemos en la tecnología
disponible para la prospección petrolífera. Se utilizan dispositivos especiales para
aplicar fuerzas impulsivas muy intensas al terreno, lo que provoca que una serie
de ondas sísmicas de baja energía se propaguen por el interior de la tierra.
Mediante micrófonos especializados, se detectan las ondas reflejadas por las
74
fronteras entre las distintas capas que hay bajo la superficie y, con la ayuda de
equipos informáticos, es posible generar un mapa de la estructura del subsuelo
correspondiente a esas pacas, pudiéndose así detectar las capas que es más
probable que contengan petróleo.
En este capítulo, hemos visto como los fenómenos ondulatorios permiten la
transferencia de energía desde el punto donde se produce el terremoto hasta el
punto donde este situada una edificación. En el siguiente capítulo, veremos lo que
sucede cuando estas ondas quedan atrapadas en una depresión geológica y la
amplitud de oscilación crece hasta hacerse muy grande, lo que se supone, para
las edificaciones, un riesgo de daños todavía mayor.
Comentarios del alumno
75
6.7 EFECTO DOPPLER ACÚSTICO.
Cuando un oyente se dirige hacia una fuente estacionaria de sonido, el tono (frecuencia) se oye más alto de lo que lo percibiría en oyente en reposo. Escuchará un tono más bajo si se aleja de la fuente. El tono de un silbido de locomotora o de una sirena de un carro de bomberos es más alto cuando la fuente se acerca al oyente que cuando ha pasado y se aleja. En un trabajo escrito en 1842, el austriaco Christian Johann Doppler (1803-1853) puso de manifiesto el hecho de que el color de un cuerpo luminoso cambiará con su movimiento relativo y con el del observador. El efecto Doppler, nombre con el que se le conoce, se aplica a las ondas en general. El propio Doppler menciona la aplicación de su principio a las ondas sonoras.
Caso el observador en movimiento, la fuente en reposo
El efecto Doppler en las ondas sonoras, considerando sólo el caso especial en que la fuente y el observador se mueven en la línea que los une. Adoptemos un marco de referencia en reposo en el medio por donde se propaga el sonido. La siguiente figura muestra una fuente sonora S en reposo y un observador O que se dirige a la fuente con una rapidez 𝑣𝑜.
Los círculos representan frentes de onda, con una longitud de onda de espaciamiento. Un observador en reposo en el medio recibirá ondas en el tiempo
t, donde 𝑣 es la velocidad del sonido en el medio y λ es la longitud de onda. A
causa del movimiento hacia la fuente, el observador recibe 𝑣𝑜𝑡/𝜆 más ondas en este mismo tiempo t. La frecuencia f´que escucha es el número de ondas recibidas por unidad de tiempo, esto es:
𝑓´ = 𝑓
𝑣𝑡
𝜆+𝑣𝑜𝑡
𝜆
𝑡=𝑣 + 𝑣𝑜
𝜆=𝑣 + 𝑣𝑜
𝑣/𝑓
Es decir:
𝑓´ = 𝑓𝑣 + 𝑣𝑜
𝑣= 𝑓 (1 +
𝑣𝑜
𝑣)
La frecuencia f´ escuchada por el observador es la frecuencia f que se oye en
reposo más el incremento f(𝑣𝑜/ 𝑣) proveniente del movimiento del observador. Cuando éste se aleja de la fuente estacionaria, disminuye la frecuencia f(𝑣𝑜/ 𝑣) correspondiente a las ondas que no llegan a él en cada unidad de tiempo debido al movimiento de alejamiento. Entonces:
76
𝑓´ = 𝑓𝑣 − 𝑣𝑜
𝑣= 𝑓(1 −
𝑣𝑜
𝑣)
Por lo tanto, la relación general que se da cuando la fuente se halla en reposo respecto al medio, pero cuando el observador se mueve será:
𝑓´ = 𝑓𝑣 ± 𝑣𝑜
𝑣
Donde el signo + se aplica al acercamiento a la fuente y el sino – al alejamiento de ella. Nótese que el cambio de frecuencia se debe a que el observador intercepta un número mayor o menor de ondas por segundo a consecuencia del movimiento a través del medio.
Caso la fuente en movimiento, el observador en reposo
Cuando la fuente se dirige hacia un observador estacionario, el efecto es un acortamiento de la longitud de onda porque la fuente se mueve detrás de las ondas que se acercan, por lo tanto las crestas se compactan más. Si la frecuencia
de la fuente es f y si su rapidez es 𝑣𝑠, durante cada vibración recorre una distancia 𝑣𝑠
𝑓 y la longitud de onda se acorta en esa cantidad. Así, la longitud de onda del
sonido que llega al observador es 𝜆´ =𝑣
𝑓−𝑣𝑠
𝑓. La frecuencia que escucha el
observador aumenta y está dada por:
𝑓´ =𝑣
𝜆´ =
𝑣
𝑣−𝑣𝑠
𝑓= 𝑓
𝑣
𝑣 − 𝑣𝑠
Si la fuente se aleja de él, la longitud de onda emitida es 𝑣𝑠
𝑓 mayor que λ, de
manera que el observador oye una frecuencia menor, dada por la siguiente expresión:
𝑓´ =
𝑣
𝑣+𝑣𝑠
𝑓= 𝑓
𝑣
𝑣 + 𝑣𝑠
Así, la relación general que se da cuando el observador está en reposo respecto al medio y la fuente se mueve a través de él será:
77
𝑓´ = 𝑓𝑣
𝑣 ± 𝑣𝑠
Donde el signo – se aplica al acercamiento al observador y el signo + a su alejamiento.
Caso la fuente y el observador en movimiento
Si ambos la fuente y el observador se mueven por un medio transmisor, éste escucha una frecuencia dada por la siguiente ecuación:
𝑓´ = 𝑓𝑣 ± 𝑣𝑜
𝑣 ∓ 𝑣𝑠
Comentarios del alumno
78
6.8 ONDAS DE CHOQUE.
Es probable que hayamos experimentado “truenos sónicos” causados por un avión que pasa volando con una rapidez mayor que la del sonido. Denotamos vs, la rapidez del avión relativa al aire, siempre positiva.
El movimiento del avión en el aire produce sonido. Si vs es menor que la rapidez del sonido v, las ondas delante del avión se apretarán con una longitud de onda dada por la ecuación
𝜆 =𝑣 − 𝑣𝑠
𝑓𝑠
Cuando vs es mayor en magnitud que v, la fuente del sonido es supersónica. El frente del avión emite una serie de crestas de onda; cada una se expande en un círculo centrado en la posición del avión cuando emitió la cresta.
Después de un tiempo t la cresta emitida de un punto F1 se extendió a un círculo de radio vt y el avión se ha movido una distancia mayor vst, a la posición F2.
Podemos ver que las crestas circulares se interfieren constructivamente a lo largo de la línea que forma un ángulo θ con la dirección de la velocidad del avión, formando una cresta de onda de amplitud muy grande sobre dicha línea. Esta cresta se llama onda de choque y está dada por:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑣𝑡
𝑣𝑠𝑡=𝑣
𝑣𝑠
Llamada onda de Choque
Donde:
Vs es la rapidez de la fuente (la magnitud de su velocidad) relativa al aire y siempre es positiva. La relación vs/v se llama número Mach; es mayor que 1 para todas las velocidades supersónicas y senθ en la ecuación es su recíproco.
79
El frente de onda cónico producido cuando vs es mayor que v (velocidades supersónicas) se conoce como onda de choque.
Por lo tanto deducimos que se forma una onda de Choque cuando la rapidez de la fuente es mayor que la del sonido.
La onda de choque forma un cono alrededor de la dirección del movimiento de la fuente. Si ésta (supongamos, un avión supersónico o una bala de rifle) se mueve con velocidad constante, el ángulo θ es constante y el cono de la onda de choque se mueve junto con la fuente. Es la llegada de esta onda de choque lo que causa el trueno sónico que oímos después de que paso un avión supersónico.
80
UNIDAD 7: INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE FOURIER
DE PULSOS Y SEÑALES
Introducción al análisis de Fourier de pulsos y señales
Sistema: Es un grupo de objetos que puede interactuar armónicamente y que se
combinan con el propósito de alcanzar un determinado objeto.
Una señal es un suceso que sirve para iniciar una acción; es decir, puede incitar a
la acción. Con las restricciones d energía y potencia, el interés se centra en el
concepto de señal y también en la respuesta de un sistema a una señal dada.
El siguiente diagrama muestra las funciones de la señal, el sistema y la respuesta.
Usualmente se emplean los conceptos de señal y respuesta para describir las
características de un sistema.
El ingeniero está primordialmente interesado en la comunicación eficiente. Esto
implica el problema de la transmisión de mensajes lo más rápidamente posible y
con un mínimo de errores.
A menudo los términos señal y función se aplican indistintamente. Una señal es
una función del tiempo, sin embargo existen diferencias entre señales y
funciones. Una función f(t) puede ser función multivaluada de la variable t. Pero la
señal física siempre es función univaluada de t.
En consecuencia siempre que se emplee el término función se entenderá que es
una función univaluada de la variable independiente.
Una señal se define como una función univaluada del tiempo; es decir, a cada
instante del tiempo (variable independiente) corresponde un valor único de la
Señal Sistema Respuesta
81
función (variable dependiente). Este valor puede ser un número real, en cuyo caso
se tiene una señal con valor real o puede ser complejo en cuyo caso se tendrá
una señal con valor complejo.
En cualquier caso la variable independiente del tiempo tendrá un valor real.
La notación compleja puede utilizarse para describir señales en término de dos
variables independientes, por ejemplo x(t) y y(t).
Por lo tanto la notación compleja es conveniente para describir fenómenos
bidimensionales, tales como el movimiento circular, la propagación de la sondas
etc. en función del tiempo.
Las señales utilizadas en los sistemas de comunicación, se expresan en términos
del tiempo y una sola variable independiente por ejemplo voltaje contra tiempo.
Una señal eléctrica puede ser una onda de voltaje o de corriente que puede
describirse matemáticamente. El interés no radica en “caída de voltaje” “corriente
de malla” etc. sino en las señales con el tiempo, sean estos voltajes o corrientes.
En consecuencia, una señal es simplemente una función univaluada del tiempo
que puede expresarse o emplearse para representar un voltaje o una corriente en
una situación específica.
Las señales senoidales juegan un pale primordial en el análisis de los sistemas de
comunicación. Tale señales pueden representarse como una función del tiempo
por la ecuación:
f(t) = A cos(ωt +Ø )
Donde:
A es la amplitud
Ø es la fase
ω es la rapidez del cambio de fase o frecuencia de la sinusoidal en radianes
Por ejemplo
f = ciclo/seg = Hz y ω= 2π f
El principio de los métodos de Fourier para el análisis de señales es
descomponerlas totas en sumatorias de componentes sinusoidales.
Esto proporciona la descomposición de una señal dada, en términos de funciones
sinusoidales.
82
Un importante objetivo es la descripción de cómo la energía y la potencia de la
señal ( la respuesta) están distribuidas en términos de tales funciones.
Cualquier descripción de una respuesta a una señal dada mostrará por supuesto
las características del sistema.
7.1 ANALOGÍA ENTRE VECTORES Y SEÑALES.
Cuando asociamos un problema con un fenómeno conocido lo entendemos de
mejor forma. Por esta razón es importante encontrar analogía al estudiar un nuevo
problema, En el estudio de los problemas abstractos las semejanzas son muy
útiles cuando el problema tratado es análogo con fenómenos concretos.
Al existir analogía entre los vectores y las señales nos permite analizar de mejor
forma a éstas últimas.
Vectores
Como recordará un vector se define como aquella magnitud que tiene asociada
una dirección.
Geométricamente
V1
Expresando V1 en términos de un vector V2 con cV2 la componente de V2
V1
V2
cV2
Como se puede observar el vector V1 se puede expresar en múltiples formas.
83
V1
V2
c1V2
V1
V2
c2V2
Un vector error es aquél vector V1 expresado en términos de V2 más otro vector
Si V1 se aproxima mediante c1V2 entonces el error está dado por Ve1
La componente del vector V1 en la dirección del vector V2 está dada por cV2
donde cV2 se escoge donde el vector error sea mínimo.
Si la componente de V1 es V2 entonces la magnitud de cV2 es la magnitud de los
dos vectores.
Definición de producto escalar de los vectores A y B
A∙ B = A B cos θ
La componente de A a lo largo de B es
A = A B cos θ / B
La componente de B a lo largo de A es
B = A B cos θ/ A
De igual forma
La componente de V1 a lo largo de V 2 es
84
V1 = V1 V 2 cos θ / V 2
La componente de V 2 a lo largo de V1 es
V 2 = V1 V 2 cos θ/ A
De tal forma que el error Ve1
Ve1 = V 1∙V2
𝑉2
Con V1 y V 2 ortogonales.
Señales
Considerando dos señales f1(t) y f2(t) y que se desean aproximar a señales f1(t) y
f2(t) en términos de f2(t) en un intervalo t1 < t < t2
f1(t) ≅ y cf2(t) en ( t1 < t < t2 )
Cómo seleccionar c para obtener la mejor aproximación
Tenemos que escoger c que tenga el menor error entre la función real y la
aproximada en el intervalo ( t1 < t < t2 )
Definición
La función error de fe (t) = f1(t) − y cf2(t)
Criterio para reducir el mínimo error fe (t) en el intervalo ( t1 < t < t2 ) es reducir el
valor promedio de fe (t) en el intervalo reduciendo al mínimo la expresión
1
𝑡2−𝑡1 ∫ ( 𝑓1(𝑡) − 𝑐𝑓2(𝑡))𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
Al existir la posibilidad de errores positivos y negativos grandes que se cancelen
entre sí durante el proceso de promediar procederemos a minimizar el promedio
mediante el cuadrado del error designando
e= 1
𝑡2−𝑡1 ∫ 𝑓e (t)𝑑𝑡𝑡2
𝑡1 =
1
𝑡2−𝑡1 ∫ ( 𝑓1(𝑡) − 𝑐𝑓2(𝑡))²𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
85
𝑑e
𝑑𝑐 = 0, de otra forma
𝑑
𝑑𝑐 [
1
𝑡2−𝑡1 ∫ ( 𝑓1(𝑡) − 𝑐𝑓2(𝑡))²𝑑𝑡𝑡2
𝑡1] = 0
Comentarios del alumno
86
7.2 ALGUNOS EJEMPLOS DE FUNCIONES ORTOGONALES.
Cuando tenemos la representación de una función en un determinado intervalo mediante una combinación lineal de funciones mutuamente ortogonales se le llama representación de una función en serie de Fourier. Existe un gran número de funciones ortogonales, por lo tanto se puede representar una función dada en términos de diferentes funciones ortogonales. Si tenemos un espacio vectorial, esto es análogo a la representación de un vector dado en diferentes conjuntos de sistemas de coordenadas. Cada conjunto de funciones ortogonales corresponde a un sistema de coordenadas. Las funciones trigonométricas, las funciones exponenciales, los polinomios de Legendre y los polinomios de Jacobi, son algunos ejemplos de conjuntos de funciones ortogonales.
Comentarios del alumno
87
7.3 REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA MEDIANTE
LA SERIE DE FOURIER.
Una señal x (t) es periódica de periodo T0 si x (t) = x (t + kT0) para todo k entero.
La Expansión en series de Fourier consiste en expresarla como una suma infinita
de términos seno y coseno, que habitualmente se escribe como
𝑥(𝑡) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑘 cos (2𝜋
𝑇0𝑘𝑡)∞
𝑘=1 + ∑ 𝑏𝑘 sen (2𝜋
𝑇0𝑘𝑡)∞
𝑘=1 (*)
Los coeficientes ak y bk representan las amplitudes delos términos coseno y seno,
respectivamente. La cantidad 2π/T0 = ω0 es la frecuencia angular fundamental de
la señal, y en consecuencia, la cantidad k(2π/T0) = k ω0 representa el k-esimo
armónico de la frecuencia fundamental. Cada una de las funciones seno y coseno
se representan de la siguiente manera
𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡)
𝑠𝑒𝑛(3𝜔0𝑡)
𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡)𝑠𝑒𝑛(3𝜔0𝑡)
Figura 1
88
La figura 1 es la verificación gráfica de las ecuaciones (1) y (3), para m ≠ n,
y de la ecuación (2).
Se denomina función base, y forman un conjunto ortogonal sobre el intervalo T0, lo
que significa que satisfacen las siguientes relaciones:
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚ω0t cosnω0tdt𝑇0
0=
𝑇0
2, 𝑚 = 𝑛
0, 𝑚 ≠ 𝑛 (1)
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚ω0t cosnω0tdt𝑇0
0= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑚, 𝑛 (2)
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚ω0t sen nω0tdt𝑇0
0=
𝑇0
2, 𝑚 = 𝑛
0, 𝑚 ≠ 𝑛 (3)
Estas relaciones pueden verificarse analíticamente (calculando la integral) o bien
estudiando gráficamente el producto de dos señales de diferentes frecuencias, tal
como se ve en la Fig. 1: el producto de dos armónicos de distinta frecuencia, en el
lapso de un periodo fundamental de la señal genera una función con idéntica área
por encima y por debajo del eje de las abscisas, y por lo tanto el área neta (la
integral) es nula.
Para determinar el coeficiente a0, se integran ambos miembros de la siguiente
ecuación sobre un periodo completo:
∫ 𝑥(𝑡)dt =
𝑇02
−𝑇02
∫ 𝑎0dt + ∫ [𝑎0 +∑𝑎𝑘 cos (2𝜋
𝑇0𝑘𝑡)
∞
𝑘=1
+∑𝑏𝑘 sen (2𝜋
𝑇0𝑘𝑡)
∞
𝑘=1
] dt = a0T0
𝑇02
−𝑇02
𝑇02
−𝑇02
Ya que las integrales sobre un periodo de tiempo de los términos cos k ω0t y sen k
ω0t son nulas. Se encuentra entonces que a0 es el valor medio de la señal
periódica x (t) sobre un periodo, es decir
𝑎0 =1
𝑇0∫ 𝑥(𝑡)dt𝑇02
−𝑇02
(4)
89
Para determinar los coeficientes ak se multiplican ambos miembros de la
ecuación (*) para la función cos k ω0t, y se integra sobre un periodo completo. Es
distinto integrar sobre el intervalo -T0/2 ≤ t≤ T0/2 o sobre el Intervalo 0≤ t≤ T0,
como se verá en la
Utilizando las Identidades (1) y (2), se encuentra que
𝑎𝑘 =2
𝑇0∫ 𝑥(𝑡)coskω0tdt𝑇02
−𝑇02
, 𝑘 = 1,2,…… (5)
De manera análoga aplicando la ecuación (3) puede determinarse que
𝑏𝑘 =2
𝑇0∫ 𝑥(𝑡)senkω0tdt𝑇02
−𝑇02
, 𝑘 = 1,2,…… (6)
Comentarios del alumno
90
7.4 CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER PARA
ALGUNOS PULSOS TÍPICOS.
Análisis de Fourier
Reseña histórica
La historia del análisis de Fourier tiene más de 200 años. Sus orígenes principian unos 60 años antes del momento en que Jean Baptiste Joseph Fourier presento la primera versión de su trabajo sobre la teoría de la conducción del calor a la academia de Paris (1807). En 1750 los esfuerzos de los físicos y matemáticos se concentraban en dos problemas principales, que sentarían las bases de lo que posteriormente se conocería como análisis de Fourier.
Series exponenciales de Fourier
La señal 𝑓(𝑡) también se puede expresar en términos de componentes
exponenciales en el intervalo 𝑇0 esta expresión es:
𝑓(𝑡) = ∑ 𝐹𝑛𝑒+𝑖𝜔0𝑡∞
𝑛=−∞ para (𝑡0, 𝑡0 + 𝑇0) (1)
En donde, de nuevo 𝜔0 =2𝜋
𝑇0 pero ahora n toma valores desde −∞ hasta ∞, sin
excluir el cero. 𝐹𝑛 constituye ahora los coeficientes de la serie exponencial de
Fourier que se calcula con:
𝐹𝑛 =1
𝑇0 ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝑡
𝑡0+𝑇0
𝑡0 𝑑𝑡 (2)
La ecuación (1) constituye la representación de 𝑓(𝑡) mediante la serie exponencial
de Fourier en el intervalo (𝑡0, 𝑡0 + 𝑇0). Es una suma discreta de exponenciales
complejas de frecuencias positivas y negativas de (±𝑛𝜔0). Debido a que resulta
muy interesante, a continuación se hará la demostración de las ecuaciones (1) y
(2).
Considerando las fórmulas de Euler:
cos 𝜃 =𝑒𝑗𝜃+𝑒−𝑗𝜃
2 y sin 𝜃 =
𝑒𝑗𝜃−𝑒−𝑗𝜃
2𝑗
Y sustituyendo en la serie de Fourier:
91
𝑓(𝑡) = 𝑎0 +∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1
𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 + 𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝑡
2+ 𝑏𝑛
𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 + 𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝑡
2
𝑓(𝑡) = 𝑎0 +∑[1
2(𝑎𝑛 − 𝑗𝑏𝑛)𝑒
𝑗𝑛𝜔0𝑡 +1
2(𝑎𝑛 + 𝑗𝑏𝑛)𝑒
−𝑗𝑛𝜔0𝑡]
∞
𝑛=1
Llamando:
𝑓(𝑡) =1
2(𝑎𝑛 − 𝑗𝑏𝑛) (3)
Fig.1
De la figura 1
∫𝑓𝑝(𝑡)𝑑𝑡 =
0
−𝑇
∫𝑓𝑝(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
Por tanto
∫𝑓𝑝(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑇
−𝑇
2∫𝑓𝑝(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
De la figura 1
∫𝑓𝑖(𝑡)𝑑𝑡 =
0
−𝑇
−∫𝑓𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
Por lo tanto
∫ 𝑓𝑖(𝑡)𝑑𝑡 =𝑇
−𝑇0
𝑓𝑝(𝑡) 𝑓𝑖(𝑡)
92
Por otro lado
𝑓𝑝(𝑡) = 𝑎0 +∑(𝑎𝑛 cos 𝑛𝜔0𝑡 + 𝑏𝑛 sin 𝑛𝜔0𝑡)
∞
𝑛=1
En donde
𝑎𝑛 =2
𝑇0∫ 𝑓𝑝(𝑡) cos 𝑛𝜔0𝑡 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇0
𝑡0
Como cos 𝑛𝜔0𝑡 es par, tenemos:
𝑎𝑛 =4
𝑇0∫ 𝑓𝑝(𝑡) cos 𝑛𝜔0𝑡 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇0
2⁄
𝑡0
𝑏𝑛 es:
𝑏2 =2
𝑇0∫ 𝑓𝑝(𝑡) sin 𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡
𝑡0+𝑇0
𝑡0
Hallé la representación en serie trigonométrica de Fourier para la siguiente señal
𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑡 0 ≤ t ≤ 1.
Solución
La señal 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑡 0 ≤ t ≤ 1 y para este ejemplo To=1 y ωo=2π.
Primero calcularemos los coeficientes 𝑎𝑛 de la formula tenemos que:
𝑎𝑛 =2
𝑇𝑜∫ 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑜𝑑𝑡𝑡+𝑇𝑜
𝑡
Entonces 𝑎𝑛 = 2∫ 𝑒−𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑛πtdt𝑡
0
Por las tablas de integrales:
∫𝑒𝜔 𝑐𝑜𝑠𝑏𝑢 𝑑𝑢 =𝑒𝜔
𝑎2 + 𝑏2(𝑎 cos 𝑏𝑢 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑢)
Realizando las sustituciones: a=1 y b=2𝑛π, se tendrá que :
93
𝑎𝑛 =2𝑒−𝑡
1 + 4𝑛2π2(−𝑐𝑜𝑠2𝑛πt + 2𝑛π sen 2𝑛πt )
Evaluando límites
𝑎𝑛 =2𝑒−𝑡
1+4𝑛2π2[𝑒−𝑡(−𝑐𝑜𝑠2𝑛π + 2𝑛π sen 2𝑛π)𝑒𝑜(− cos(0) + 2𝑛π sen(0)]
De tal forma que:
𝑎𝑛 =2𝑒−𝑡
1+4𝑛2π2(1 − 𝑒−𝑡) ∀𝑛
Ahora calcularemos el coeficiente independiente 𝑎𝑜 a partir de la fórmula:
𝑎𝑛 =1
𝑇𝑜∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑡+𝑇𝑜
𝑡
𝑎𝑛 = ∫ 𝑒−𝑡1
0
𝑑𝑡 = −𝑒−𝑡𝐼01 = −𝑒−1 + 𝑒0
𝑎𝑛 = 1 − 𝑒−𝑡 ≅ 1.264
Concluimos calculando los coeficientes 𝑏𝑛:
𝑏𝑛 =2
𝑇𝑜∫ 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛𝜔𝑜𝑑𝑡𝑡+𝑇𝑜
𝑡
Por las tablas de integrales:
∫𝑒𝜔 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑢 𝑑𝑢 =𝑒𝜔
𝑎2 + 𝑏2(𝑎 sen 𝑏𝑢 − 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑢)
Realizando las sustituciones: a=1 y b=2𝑛π , se tendrá que:
𝑏𝑛 =2𝑒−𝑡
1 + 4𝑛2π2(−𝑠𝑒𝑛2𝑛πt − 2𝑛π cos 2𝑛πt )
94
𝑏𝑛 =2𝑒−𝑡
1+4𝑛2π2[𝑒−𝑡(−𝑠𝑒𝑛2𝑛π − 2𝑛π cos 2𝑛π) − 𝑒𝑜(− sen(0) − 2𝑛π cos(0)]
𝑏𝑛 =2𝑒−𝑡
1 + 4𝑛2π2[−2𝑛π𝑒−1 + 2𝑛π]
𝑏𝑛 =2𝑒−𝑡
1+4𝑛2π2(1 − 𝑒−𝑡) ∀𝑛
Finalmente la representación en serie trigonométrica de Fourier para la señal
𝑓(𝑡) sera:
𝑓(𝑡) ≅ 1.264 +∑ [2
1 + 4𝑛2π2(1 − 𝑒−1)𝑐𝑜𝑠2𝑛πt +
4𝑛π
1 + 4𝑛2π2(1 − 𝑒−1)𝑠𝑒𝑛2𝑛πt]
∞
𝑛=1
Serie de Fourier de una función senoidal
Fig. Espectro discreto de x(t) = Asenω0𝑡: modulo-fase (a) y parte real – parte
imaginaria (b).
-3 -2 -1 2 3 𝑘
-3 -2 -1 1 2 3 𝑘 -3 ω0 -2 ω0 - ω0 ω0 2 ω0 3𝜔𝑜 𝑘
𝐴
2
𝑐𝑘
𝜋
2
𝑎𝑟𝑐(𝑐𝑘)
𝑅𝑒(𝑐𝐾)
-3 -2 -1 1 2 3 𝑘 -3 ω0 -2 𝜔𝑜 - ω0 ω0 2 ω0 3ω0 𝑘
𝐴
2
−𝜋
2
-3 -2 -1 2 3 𝑘
𝐼𝑚(𝑐𝐾)
(𝑎) (𝑏)
95
De modo que el espectro discreto de una señal tipo coseno es real, y solo tiene
dos valores no nulos, correspondientes a la primera armónica 𝑘 = ±1, o bien a las
freucencias ±ω0, tal como se muestra en la figura anterior, en donde el espectro
discreto ha sido graficado en las dos formas típicas: modulo y fase o parte real –
parte imaginaria.
De manera similar, puede determinarse el espectro de una señal x(t) = Asenω0𝑡.
Teniendo en cuenta que
senω0𝑡 = −senω0𝑡 = −1
2𝑗𝑒−𝑗𝜔0𝑡 +
1
2𝑗𝑒𝑗ω0𝑡
=1
2𝑒−𝑗ω0𝑡 −
1
2𝑗𝑒𝑗ω0𝑡
Se deduce que el espectro discreto consta solamente de dos valores no nulos,
correspondientes a la primera armónica (frecuencia ω0), para 𝑘 = ±1 y cuyos
valores son:
𝑐−1 = 𝑗𝐴
2 , 𝑐1 = −𝑗
𝐴
2 .
Este espectro es imaginario puro, como muestra la figura anterior tanto en modulo
y fase como en la forma parte real-parte imaginaria.
Serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares
La siguiente figura muestra un tren periódico de pulsos rectangulares de amplitud
𝐴, duración 𝑇 y periodo 𝑇0.Por convenencia se elige que el origen del tiempo
(𝑡 = 0) coindica con el centro del pulso. Sobre un periodo de 𝑇0
2< 𝑡 ≤
𝑇0
2 , la señal
puede describirse analíticamente como
x(t) =
𝐴, −
𝑇
2< t <
𝑇
2
𝐴
2, 𝑡 = ±
𝜏
2 0, 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
96
Tren periódico de pulsos rectangulares de amplitud 𝐴, duración 𝜏, y periodo 𝑇0.
El espectro discreto de x(t) formado por los coeficientes complejos 𝐶𝑘 se calcula a
partir de:
𝐶𝑘 = 1
𝑇0∫ (t)𝑇0/2
𝑇0/2
𝑒−𝑗Ω0𝑡𝑑𝑡 = 1
𝑇0∫ A
𝜏
2
−𝜏
2
𝑒−𝑗kΩ0𝑡𝑑𝑡
= 𝐴
𝜋𝑘𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝜏
𝑘
𝑇0) , 𝑘 = 0,±1,±2,…
1. El espectro de amplitud 𝑐𝑘 en función de los valores discretos de
frecuencia 𝑓 = 𝑘/𝑇0, para un ciclo de trabajo 𝜏/𝑇0 = 1/5, se ha graficado en
la figura anterior. Se observa que: fundamental 𝑓0de la señal, que es la
inversa del periodo 𝑇0, 𝑓0 = 1/𝑇0.
2. La envolvente de la magnitud del espectro está determinada por la amplitud
𝐴 y la duración 𝜏 del pulso, y sigue una forma tipo (𝑠𝑒𝑛 𝑥)/𝑥. El valor del
espectro a la frecuencia 𝑓0 = 0 es precisamente el valor medio o de
continua de la señal x(t), que vale 𝐴𝑇/𝑇0.
3. La envolvente del espectro de amplitud cruza por cero en frecuencias que
son múltiplos de 1
𝜏 (el ancho del pulso), y que pueden o no coincidir con las
líneas espectrales separadas 𝑘
𝑇0. En este caso particular, como
𝜏
𝑇0= 1/5 los
𝑇 x(t)
𝑇0
−𝑇0 𝑇
2 𝑇0 𝑡
A
97
ceros de la envolvente del espectro se anulan para los múltiplos de 5 veces
la frecuencia fundamental, como revela la Figura anterior inciso (a).
4. El espectro de fase toma los valores 0 y ±𝜋, según sea el signo de
[𝑠𝑒𝑛(𝜋𝜏𝑘/𝑇0)]/(𝜋𝜏𝑘/𝑇0). La elección del signo de 𝜋 (positivo o negativo) es
irrelevante; en la figura se han elegido de forma de preservar la antisimetria.
Debe resaltarse que el valor de la fase es indefinido para aquellos
armónicos en donde se anula 𝑐𝑘(en este caso, los múltiplos de 5𝑓0); esta
indefinición en la fase se ha indicado con cruces en la Figura anterior inciso
(b).
Observación: En las figuras anteriores el espectro se ha graficado en función de
las armónicas de la frecuencia angular 𝜔 = 2𝜋/𝑇0 (en radianes/seg) y la variable
independiente son los armónicos de la frecuencia fundamental 𝑓0 = 1/𝑇0 (en ciclos
por segundo). Aunque las dos representaciones son equivalentes, se verá más
adelante que en ciertos casos una puede ser más conveniente que la otra pues
algunas constantes de proporcionalidad toman valores unitarios.
Comentarios del alumno
98
7.5 VELOCIDAD DE FASE Y VELOCIDAD DE GRUPO.
La velocidad v = ω/k, expresada por la ecuación
𝜔 = 𝑘𝑣 =2𝜋𝑣
𝜆 para una onda armónica de frecuencia angular ω y longitud de onda
λ=2𝜋 𝑘⁄ , se llama velocidad de fase. Sin embargo, esta necesariamente la
velocidad que observamos cuando analizamos un movimiento ondulatorio. Si tenemos una onda continua(o como se dice algunas veces, un tren de ondas de longitud infinita) esta puede constar de una sola longitud de onda y de una solo frecuencia. Pero una onda de estas características no es adecuada para transmitir una señal, porque una señal implica algo que empieza en un cierto instante y termina un cierto tiempo más tarde. Esto es, la onda debe tener una forma similar a la representada en la siguiente figura Una onda de esta forma se denomina pulso. Por consiguiente, si medimos la velocidad con que la señal se transmite, nos estamos refiriendo, esencialmente, a la velocidad con que este pulso viaja.
𝑣𝑔
X
Fig.1 Tren de ondas
De inmediato, diríamos que esta es la velocidad de fase v =𝜔 𝑘⁄ , ya que hemos
venido diciendo en las secciones anteriores que esta es la velocidad de
propagación de las ondas. Sin embargo, aquí entra un factor importante, cuando la
onda o pulso se considera que no es armónica es, porque su amplitud no es
constante a lo largo del eje X. Luego, debemos hacer un análisis de Fourier de la
onda. Al hacerlo descubrimos que realmente contiene varias frecuencias y varias
longitudes de onda. Desde luego, si la velocidad de propagación es independiente
dela frecuencia (o sea, si no hay dispersión), todas las componentes de Fourier de
la onda viajan con la misma velocidad y en ese caso es correcto decir que la
99
velocidad del pulso y la velocidad de fase son las mismas. Sin embargo, en un
medio dispersivo cada componente de Fourier tiene su propia velocidad de
propagación y, por lo tanto, debemos examinar la situación con mayor cuidado.
𝑣𝑔
v
X
Fig. 2 Velocidad de grupo y velocidad de fase
Para simplificar, consideremos el caso en el cual la onda puede estar constituida
de dos frecuencias ω y ωʼ casi iguales, de modo que ωʼ- ω sea muy pequeña.
Supondremos que sus amplitudes son las mismas. Entonces tenemos:
ξ = 𝜉𝑜 sen(kx – ωt) + 𝜉𝑜 sen (kʼx - ωʼt)
ξ = 𝜉𝑜 [sen (kx – ωt) + sen (kʼx - ωʼt)]
ξ = 2 𝜉𝑜 cos 1
2 [(kʼ - k)x – (ωʼ - ω)t] sen
1
2 [(kʼ + k)x – (ωʼ + ω)t].
Como ω y ωʼ, lo mismo que k y kʼ, son casi iguales, podemos remplazar 1
2 (ωʼ +ω)
por ω y 1
2 (kʼ + k) por k, de modo que
ξ = 2 𝜉𝑜 cos 1
2 [(kʼ - k)x – (ωʼ - ω)t] sen (kx – ωt).
La ecuación anterior representa un movimiento ondulatorio de amplitud modulada.
El factor de modulación está dado por
2 𝜉𝑜 cos 1
2 [(kʼ - k)x – (ωʼ - ω)t].
100
En la fig. 1. La modulación de amplitud corresponde en si a un movimiento que se
propaga con una velocidad
𝑣𝑔= ωʼ−ω
𝑘ʼ−𝑘 =
𝑑𝜔
𝑑𝑘 ,
Llamada velocidad de grupo. Esta es la velocidad con la cual la onda de amplitud,
representada en la de la fig.2, se propaga. Si recordamos que ω =kv, obtenemos:
𝑣𝑔= v + k 𝑑𝑣
𝑑𝑘
Si la velocidad de fase es independiente de la longitud de onda, 𝑑𝑣 𝑑𝑘⁄ = 0 y 𝑣𝑔= 𝑣.
Por consiguiente, en un medio no dispersivo no hay diferencia entre la velocidad
de fase y la velocidad de grupo, lo que habíamos inferido previamente.
Pero en un medio dispersivo la velocidad de grupo 𝑣𝑔. Por lo tanto, en un medio
dispersivo la velocidad de la señal es la velocidad de grupo.
Como ejemplo, consideremos el caso de las ondas superficiales en un líquido con
la aproximación de longitud de onda grande. La velocidad de fase para este caso,
con la aproximación señalada, está dada por siguiente ecuación y recordando que
k = 2𝜋 𝜆⁄ , tenemos:
𝑣 = √𝑔𝜆
2𝜋⁄ = √𝑔𝑘⁄ .
Entonces
𝑑𝑣
𝑑𝑘 = -
1
2𝑘√𝑔
𝑘 = -
𝑣
2𝑘 ,
Por lo cual tenemos: 𝑣𝑔 = 1
2 𝑣 , de modo que la velocidad de grupo es
precisamente la mitad de la velocidad de fase. Esto significa que si se produce en
el agua una perturbación de gran longitud de onda, la perturbación inicial se
distorsiona de tal modo que las componentes de mayor longitud de onda
“escapan” de la perturbación moviéndose más rápido que la velocidad de grupo,
que es la velocidad del pico de la perturbación.
101
PROBLEMAS RESUELTOS POR UNIDADES
UNIDAD 1
1 Hallar la longitud de un péndulo simple, si el periodo del péndulo es 5 seg.
T = 5 segundos f = 1
5 𝑠𝑒𝑔 = 0.2 1 𝑠𝑒𝑔⁄ = Hz
T = √𝑙
𝑔
2𝜋 despejando 𝑙 tenemos:
𝑙 = 𝑇² 𝑔
4𝜋²
𝑙 = (5)2𝑠2(
9.81𝑚
𝑠2)
4 (3.1416)² =
(25)(9.81)
(4)(9.869) = 6.21m
2 Una onda senoidal se propaga a través de una cuerda. Un punto tarda 350 ms
en pasar del desplazamiento máximo al desplazamiento cero. La longitud de onda
es 2.38m, Determine a) el periodo, b) la frecuencia, c) la rapidez de la onda
a) T = (350 x 10-3 s)(4) = 1.4 s
b) f =1
1.4𝑠 = 0.714 𝐻𝑧
c) 𝑣 =𝜆
𝑇=
2.38𝑚
1.4𝑠= 1.7
𝑚
𝑠
102
3 Un péndulo colgado en el hueco de una escalera de un edificio de 10 pisos, se
compone de una masa grande suspendida de un alambre de 34 m de longitud.
¿Cuál es su periodo de oscilación?
T = 2𝜋 √𝑙
𝑔 sustituyendo valores tenemos:
T = 2𝜋√34𝑚9.81𝑚
𝑠2
T = 11.69 seg
4 Un objeto de 4.5 Kg oscila sobre un muelle horizontal con una amplitud de 3.8
cm. Su aceleración máxima es de 26 m/s2. Determinar:
a) La constante de fuerza k
b) La frecuencia
c) El periodo del movimiento
d) La energía total
a)
amáx = ω2A despejando ω tenemos:
𝜔2 =𝑎𝑚á𝑥
𝐴
Y también sabemos que ω =√𝑘
𝑚 por lo tanto sustituyendo valores:
ω = 26.15 rad/s, ahora despejando k de la ecuación anterior tenemos:
k = ω2m = (26.15 rad/s)2(4.5 Kg) = 3.1 KN/m
b)
Sabemos que ω = 2πf, así despejando f tenemos:
103
𝑓 =𝜔
2𝜋=26.15
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
2𝜋𝑟𝑎𝑑= 4.16 𝐻𝑧
𝑐) 𝑇 =1
𝑓=
1
4.161
𝑠
= 0.24 𝑠
𝐸 =1
2𝑘𝐴2 = (3.1𝑥103
𝐾𝑔
𝑠2) (3.8𝑥10−2𝑚)2 = 2.22𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠
5 Una onda con frecuencia de 493 Hz tiene una rapidez de 353 m/s
a) ¿A qué distancia se encuentran dos puntos cuya fase difiere en 550 ?
b) Encuentre la diferencia de fase entre dos desplazamientos en el mismo
punto, pero en momentos que difieren 1.12 ms
a)
𝜆 =353𝑚/𝑠
493 1/𝑠= 0.716𝑚
𝑘 =2𝜋
𝜆=6.2832 𝑟𝑎𝑑
0.716 𝑚= 8.77 𝑟𝑎𝑑/𝑚
55° = 0.30𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝑥 =𝜙
𝑘= 0.30𝜋
𝑟𝑎𝑑
8.77 𝑟𝑎𝑑/𝑚= 0.107𝑚
b)
𝜔 = 2𝜋𝑓 = (2𝜋𝑟𝑎𝑑) (4931
𝑠) = 3097.6
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
𝑡 =𝜙
𝜔, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝜙 = 𝑡𝜔 = (1.12𝑥10−3𝑠) (3097.6𝑟𝑎𝑑
𝑠) = 3.46 𝑟𝑎𝑑 = 198°
104
6 Cuando una persona de 735 N de peso se introduce en un auto cuya masa es
de 700 kg el centro de gravedad del auto baja 0.5 cm, calcular:
a) La constante elástica de los muelles del auto
b) El periodo de vibración cuando está vacío y cuando la persona está dentro
a)
F = -Kx = mg
𝑘 =𝑚𝑝𝑔
𝑥=
735𝑁
0.5𝑥10−2𝑚
𝑘 = 147𝑥103𝑁/𝑚
b)
Periodo cuando el auto está vacío
𝜔 = √𝑘
𝑚= √
147𝑥103𝑁/𝑚
700𝐾𝑔 = 14.49 rad/seg
𝑇 =2𝜋
𝜔=
2𝜋
14.49 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔= 0.43𝑠𝑒𝑔
Periodo cuando la persona está dentro del auto
𝑚 = 𝑚𝑎 +𝑚𝑝 = 700𝑘𝑔 + 76.45𝑘𝑔 = 776.45 𝑘𝑔
𝜔 = √𝑘
𝑚= √
147𝑥103𝑁/𝑚
776.45𝐾𝑔 = 13.75 rad/seg
𝑇 =2𝜋
𝜔=
2𝜋
13.75 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔= 0.45𝑠𝑒𝑔
105
7 En una construcción una cubeta llena de concreto cuelga de una grúa. Usted
observa que la cubeta se balancea lentamente de ida y vuelta, ocho veces por
minuto. ¿Cuál es la longitud del cable del que cuelga la cubeta? b)¿Cuál es su
periodo de oscilación?
𝑓 =8𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
1𝑚𝑖𝑛=8𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
60𝑠𝑒𝑔=
2
15𝑠𝑒𝑔= 0.133 𝐻𝑧
a)
T = 2𝜋√𝑙
𝑔
despejando 𝑙 tenemos:
𝑙 = 𝑇² 𝑔
4𝜋²
𝑙 = (7.5)2𝑠2(
9.81𝑚
𝑠2)
4 (3.1416)² =
551.8𝑚
39.47 = 13.9m
b)
𝑇 =15𝑠𝑒𝑔
2= 7.5𝑠𝑒𝑔
UNIDAD 2
106
8 Si la ecuación de una cierta onda es ξ = 10 sen 2π( 2x – 100t) , donde x se mide
en metros y t en segundos. Hallar
a) La amplitud
b) La longitud de onda
c) La frecuencia y la velocidad
d) Escriba la ecuación para una onda que sea idéntica pero que se propague
en sentido contrario
a)
𝐴 = 10𝑚
b)
𝑘 =2𝜋
𝜆, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜆 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝜆 =2𝜋
𝑘=
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
4𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑚= 0.5 𝑚
c)
𝜔 = 2𝜋𝑓, 𝜔 = 200𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓 =𝜔
2𝜋=200𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
2𝜋 𝑟𝑎𝑑= 100 𝐻𝑧
𝜔 = 𝑘𝑣, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑣 =200𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
4𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑚
= 50 𝑚/𝑠
d)
𝜉 = 10𝑠𝑒𝑛2𝜋(2𝑥 + 100𝑡)
107
9 Una onda armónica con una frecuencia de 90 Hz y una amplitud de 0.025 m se
propaga hacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de 12 m/s
a) Escriba la expresión que sea adecuada para la función de onda de la
misma
b) Determine la velocidad máxima de un punto sobre la cuerda
c) Determine la aceleración máxima de un punto sobre la cuerda
a)
𝜆 =𝑣
𝑓=12
𝑚
𝑠
901
𝑠
= 0.133𝑚
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 (901
𝑠) = 565.48
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑘 =2𝜋
𝜆=
2𝜋
0.133𝑚= 47.24
𝑟𝑎𝑑
𝑚
𝑦(𝑥, 𝑡) = 0.025𝑚 𝑠𝑒𝑛(47.24𝑟𝑎𝑑
𝑚𝑥 − 565.48
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑡)
b)
𝑣𝑚á𝑥 = 𝐴𝜔 = (0.025𝑚) (565.48𝑟𝑎𝑑
𝑠) = 14.13
𝑚
𝑠
c)
𝑎𝑚á𝑥 = 𝜔2𝐴 = (565.48𝑟𝑎𝑑
𝑠)2(0.025𝑚) = 7994.19
𝑚
𝑠2
10 Una onda sobre una cuerda está descrita por y(x,y) = 0.4 cos ( 25x + 250t),
calcular:
a) La velocidad de la onda
b) La longitud de onda
c) La frecuencia
d) La amplitud
a)
108
𝜔 = 𝑘𝑣 despejando 𝑣 tenemos:
𝑣 =𝜔
𝑘=250𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
25𝑟𝑎𝑑/𝑚= 10 𝑚/𝑠𝑒𝑔
b)
𝑘 =2𝜋
𝜆 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜆 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝜆 =
2𝜋
𝑘=
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
25𝑟𝑎𝑑/𝑚= 0.251𝑚
c)
Sabemos que 𝜔 = 2𝜋𝑓, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑓 =𝜔
2𝜋=
250𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
2(3.1416)𝑟𝑎𝑑= 39.78 𝐻𝑧
d)
A = 0.4m
11 Una onda senoidal se propaga a través de una cuerda. Un punto tarda 178 ms
en pasar del desplazamiento máximo al desplazamiento cero. La longitud de onda
es 1.38 m.
Determine:
a) El periodo
b) La frecuencia
c) La rapidez de la onda
a) T= 178X10−3 s X 4= 0.712 s
b) f= 1
𝑇 =
1
0.712 𝑠 = 1.40 Hz.
c) 𝑣 =𝜆
𝑇 =1.38 𝑀
0.712 𝑠 = 1.93 m/s
109
12 Una onda armónica con una frecuencia de 90 Hz y una amplitud de 0.025 m se
propaga hacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de 12 m/s
d) Escriba la expresión que sea adecuada para la función de onda de la
misma
e) Determine la velocidad máxima de un punto sobre la cuerda
f) Determine la aceleración máxima de un punto sobre la cuerda
a)
𝜆 =𝑣
𝑓=12
𝑚
𝑠
901
𝑠
= 0.133𝑚
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 (901
𝑠) = 565.48
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑘 =2𝜋
𝜆=
2𝜋
0.133𝑚= 47.24
𝑟𝑎𝑑
𝑚
𝑦(𝑥, 𝑡) = 0.025𝑚 𝑠𝑒𝑛(47.24𝑟𝑎𝑑
𝑚𝑥 − 565.48
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑡)
b)
𝑣𝑚á𝑥 = 𝐴𝜔 = (0.025𝑚) (565.48𝑟𝑎𝑑
𝑠) = 14.13
𝑚
𝑠
c)
𝑎𝑚á𝑥 = 𝜔2𝐴 = (565.48𝑟𝑎𝑑
𝑠)2(0.025𝑚) = 7994.19
𝑚
𝑠2
110
UNIDAD 4
13 a) Escriba la expresión que describa la variación de presión como una función
de la posición y el tiempo para una onda senoidal de sonido en el aire, si la
longitud de onda es 0.100 m y la amplitud de presión es 0.200 N/m2
b) Escriba la función que describe la onda de desplazamiento correspondiente a la
onda de presión del inciso
a)
𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝑃𝑚á𝑥𝑆𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝑘 =2𝜋
𝜆=
2𝜋
0.100𝑚=62.83𝑟𝑎𝑑
𝑚
𝜔 = 𝑘𝑣 = (62.83𝑟𝑎𝑑
𝑚) (344
𝑚
𝑠) = 2.16𝑥104𝑟𝑎𝑑/𝑠
b)
𝑃(𝑥, 𝑡) = (0.200 𝑁
𝑚2) 𝑠𝑒𝑛 ((
62.83𝑟𝑎𝑑
𝑚)𝑥 − (
2.16𝑥104𝑟𝑎𝑑
𝑠) 𝑡)
𝑃𝑚á𝑥 = 𝜌𝑣𝜔𝐴, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐴 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐴 =𝑃𝑚á𝑥
𝜌𝑣𝜔
𝐴 =(0.200
𝑁
𝑚2)
(1.21𝑘𝑔
𝑚) (
344𝑚
𝑠) (
2.16𝑥104𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔)
𝐴 = 2.22𝑥10−8𝑚
𝑆(𝑥, 𝑡) = (2.22𝑥10−8𝑚)cos (62.83𝑥 − 2.16𝑥104𝑡)
111
14 Determine la velocidad de las ondas del sonido en el aire 00 C y a 500 C si su
masa es de 29 g/mol y ϒ = 1.4
a) 𝑣 = √ɤ𝑅𝑇
𝑀 = √
(1.40)(8.314𝐽/𝑚𝑜𝑙°𝐾)(273°𝐾)
29 𝑥 10¯3𝑘𝑔/𝑚𝑜𝑙= 331 𝑚/𝑠
b) 𝑣 = √ɤ𝑅𝑇
𝑀 = √
(1.40)(8.314𝐽/𝑚𝑜𝑙°𝐾)(323°𝐾)
29 𝑥 10¯3𝑘𝑔/𝑚𝑜𝑙= 360 𝑚/𝑠
15 Para examinar los tumores en tejidos blandos se emplea el ultrasonido
diagnóstico con una frecuencia de 4.5 MHz. a) ¿cuál es la longitud de onda de
ésta onda en el aire?, b) si la velocidad de una onda ultrasónica en el cuerpo es
1500 m/s ¿cuál es su longitud de onda en el tejido?
a)
f = 4.5 x 106 Hz
𝜆 =𝑣
𝑓=
343𝑚/𝑠𝑒𝑔
4.5𝑥106 1/𝑠𝑒𝑔= 7.6𝑥10−5𝑚
𝜆 = 76.2𝑥10−6𝑚 = 76.2 𝜇𝑚
b)
𝜆 =𝑣
𝑓=
1500 𝑚/𝑠𝑒𝑔
4.5𝑥106 1/𝑠𝑒𝑔= 3.33𝑥10−4𝑚
𝜆 = 333 𝜇𝑚
112
16 Cierto altavoz produce un sonido con una frecuencia de 2.09 KHz y con una
intensidad de 962μW/m2 a una distancia de 6.11m, suponga que el altavoz emite
lo mismo en todas direcciones, a) Determine la intensidad a 28.5m, b) calcule la
amplitud de desplazamiento a 6.11m y c) calcule la amplitud de presión a 6.11m.
a)
𝐼 =𝑃
4𝜋𝑟2, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑃 = 4𝜋𝑟2𝐼 = 4𝜋(6.11𝑚)(6.11𝑚) (962𝑥10−6𝑊
𝑚2) = 0.45 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠
𝐼 =0.45 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠
4𝜋(28.5 𝑚)(28.5 𝑚)= 44𝑥10−6
𝑊
𝑚2
c)
𝑆𝑚á𝑥 =∆𝑃𝑚á𝑥
𝜌𝑣𝜔
∆𝑃𝑚á𝑥 = √2𝜌𝑣𝐼
∆𝑃𝑚á𝑥 = √2(1.21𝐾𝑔
𝑚3) (344
𝑚
𝑠) (962𝑥10−6
𝑊
𝑚2) = 0.89𝑃𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟
b)
𝑆𝑚á𝑥 =∆𝑃𝑚á𝑥
𝜌𝑉𝜔
𝑆𝑚á𝑥 =2.87𝑥10−5
𝑁
𝑚2
(1.21 𝐾𝑔
𝑚3) (344 𝑚
𝑠) (13131.88
𝑟𝑎𝑑
𝑠)
𝑆𝑚á𝑥 = 1. 11𝑥1011𝑚
113
17 Una barra de acero transmite ondas longitudinales por medio de un oscilador
acoplado a uno de los extremos. La barra tiene un diámetro de 4 mm. La amplitud
de la oscilación es de 0.1 mm y la frecuencia es 10 oscilaciones por segundo.
Hallar
a) La ecuación de las ondas que se propagan a lo largo de la barra
b) La potencia requerida para operar el oscilador.
a)
𝜉(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜉(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋 (𝑥
𝜆−𝑡
𝑇)
𝑣 = √𝑌
𝜌= √
2𝑥1011𝑁
𝑚2
7.8 𝑥 10¯3𝑘𝑔
𝑚3
= 5.06𝑥103𝑚
𝑠
𝑣 = 𝜆𝑓, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝜆 =𝑣
𝑓=(5.06𝑥103
𝑚
𝑠)
101
𝑠
= 506 𝑚
𝑇 =1
𝑓=
1
101
𝑠
= 0.1𝑠
𝜉(𝑥, 𝑡) = 1𝑥10−4𝑚𝑠𝑒𝑛2𝜋(1.97𝑥10−3𝑟𝑎𝑑
𝑚𝑥 − 10
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑡)
𝑃 =1
2𝜌𝜔2𝐴2𝑣 =
1
2(7.8𝑥103
𝐾𝑔
𝑚3) (20𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠)2(10−4𝑚)2 (5.06𝑥103
𝑚
𝑠) (1.6𝑥10−5𝜋𝑚)
𝑃 = 41𝑚𝑊
114
UNIDAD 5
18 La rapidez de una onda en una cuerda es de 172 m/s cuando la tensión es de
123N ¿A qué valor debemos aumentar la tensión si queremos elevar la velocidad
a 180 m/s?
𝑣 = 172𝑚
𝑠 𝑣 = √
𝐹
µ
𝐹 = 123 𝑁
Despejando µ tenemos:
𝜇 =𝐹
𝑣2 =
123 𝐾𝑔 𝑚/𝑠2
(172 𝑚/𝑠)2
𝜇 = 4.15𝑥10−3𝐾𝑔
𝑚
𝐹 = 𝜇𝑣2 = (4.15𝑥10−3𝐾𝑔/𝑚)(180 𝑚/𝑠)2
𝐹 = 134.7 𝑁
19 Ondas de longitud de 25 cm y amplitud de 1.4 cm se mueven a lo largo de una
cuerda de 12 m que tiene una masa de 75 g y está sostenida a una tensión de
12N.
a) Determine la velocidad y la frecuencia angular de las ondas
b) Encuentre la energía total media de las ondas en la cuerda
a)
𝜇 =75𝑥10−3𝐾𝑔
12𝑚= 6.2𝑥10−3
𝐾𝑔
𝑚
𝑣 = √𝑇
µ = √
12𝑁
6.2𝑥10−3 𝑘𝑔/𝑚= 43.99
𝑚
𝑠
115
𝜔 = 2𝜋𝑓 =2𝜋𝑣
𝜆=2𝜋 (43.99
𝑚
𝑠)
0.25𝑚= 1105.69
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝜇∆𝑥= 75𝑔 = 75𝑥10−3 𝐾𝑔
b)
∆𝐸𝑚 =1
2𝜇∆𝑥𝐴
2 = (7.5𝑥10−2𝐾𝑔)(1105.69 𝑟𝑎𝑑/𝑠)2(0.014𝑚)2
∆𝐸𝑚 = 8.98 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑠
20 El cable de un telesquí de 80 kg de masa asciende 400 m por la ladera de una
montaña. Cuando el cable recibe un golpe transversal en un extremo, el punto de
retorno, se detecta 12 s después, a) ¿cuál es la velocidad de la onda?, b) ¿cuál es
la tensión del cable?
a)
𝑣 =400 𝑚
12𝑠= 33.33
𝑚
𝑠
b)
𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝑣 = √𝐹
µ,
𝜇 =𝑚
𝑙=80 𝐾𝑔
400𝑚= 0.2
𝐾𝑔
𝑚
𝐹 = 𝑣2𝜇 = (33.33 𝑚/𝑠)2 (0.2𝐾𝑔
𝑚) = 222.17 𝑁
116
21 Una cuerda con una densidad lineal de 5 X 10-2 kg/m está bajo tensión de 80 N
¿cuánta potencia debe ser suministrada para generar ondas senoidales a una
frecuencia de 60 Hz y una amplitud de 6 cm?
𝑣 = √𝑇
µ = √
80𝑁
5𝑥10−2 𝑘𝑔/𝑚= 40
𝑚
𝑠
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 (601
𝑠) = 377
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝐴 = 6𝑥10−2𝑚
𝑃 =1
2𝜇𝜔2𝐴2𝑣 =
1
2(5𝑥10−2
𝐾𝑔
𝑚) (377 𝑟𝑎𝑑/𝑠)2(6𝑥10−2𝑚)2 (40
𝑚
𝑠)
𝑃 = 512𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠
22 Una sección de alcantarilla de drenaje de 1.23 m de largo produce un aullido
cuando sopla el viento.
a) Determine la frecuencia de las primeras tres armónicas de la alcantarilla si
es de forma cilíndrica y abierta en ambos extremos.
b) ¿Cuáles son las frecuencias naturales más bajas de la alcantarilla si está
bloqueada en un extremo? Considere la rapidez del sonido en el aire como
343 m/s
a)
f₁ = Ʋ
2𝐿 =
(343𝑚
𝑠)
2 (1.23 𝑚) = 139 Hz
f2 = 3(343
𝑚
𝑠)
2(1.23 𝑚) = 278 Hz
f3 = 3 f₁ = 417 Hz
117
b)
Sólo están presentes los armónicos impares
f₁ = Ʋ
4𝐿 =
(343𝑚
𝑠)
4 (1.23 𝑚) = 69.7 Hz
f₃ = 3(343
𝑚
𝑠)
4(1.23 𝑚) = 209 Hz
f₅ = 5 f₁ = 349 Hz
UNIDAD 6
23 Al estar de pie en un crucero de peatones una persona escucha una frecuencia
de 560 Hz de la sirena de una ambulancia que se aproxima. Después de que pasa
la ambulancia la frecuencia escuchada de la sirena es de 480 Hz. Determine la
rapidez de la ambulancia a partir de estas observaciones.
𝑓′ = 560 𝐻𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎
𝑓′ = 480 𝐻𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑗𝑎
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑣 = 340 𝑚/𝑠
560 = 𝑓𝑣
𝑣 − 𝑣𝑠 480 = 𝑓
𝑣
𝑣 + 𝑣𝑠
De las ecuaciones anteriores despejamos f en una y sustituimos en la otra
560 = 480 (𝑣 + 𝑣𝑠
𝑣) (
𝑣
𝑣 − 𝑣𝑠)
118
Tenemos:
560(𝑣 − 𝑣𝑠) = 480(𝑣 + 𝑣𝑠)
560𝑣 − 560𝑣𝑠 = 480𝑣 + 480𝑣𝑠
80𝑣 = 1040𝑣𝑠
𝑣𝑠 =27,200 𝑚/𝑠
1040
𝑣𝑠 = 26.15 𝑚/𝑠
24 Dos máquinas idénticas se colocan a la misma distancia de un trabajador. La
intensidad del sonido producido por cada máquina en el lugar del trabajador es
2 X 10 -7 W/m2. Encuentre el nivel del sonido escuchado por el trabajador:
a) Cuando operara una máquina
b) Cuando operan ambas máquinas
a)
𝛽 = 10𝑙𝑜𝑔𝐼
𝐼𝑜
𝛽 = 10 log (2𝑥10−7𝑊/𝑚2
1𝑥10−12𝑊/𝑚2)
𝛽 = 10 log(2𝑥105) = 53𝑑𝐵
b)
𝐼 =2(2x10-7 W/m2) = 4x10-7 W/m2
𝛽 = 10 log (4𝑥10−7𝑊/𝑚2
1𝑥10−12𝑊/𝑚2)
𝛽 = 10 log(4𝑥105) = 56𝑑𝐵
119
25 Un avión supersónico vuela a 3 Mach a una altitud de 10,000 m está
directamente sobre una persona en el tiempo t=0, a)¿cuánto tiempo pasará antes
que la persona encuentre la onda de choque?, b)¿dónde estará el avión cuando
finalmente sea escuchado?
a)
𝑣𝐹 = 3(335𝑚
𝑠) = 1005
𝑚
𝑠
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛1
3= 19.47°
𝑡 =10000 𝑚
(1005𝑚
𝑠) 𝑡𝑎𝑛19.47°
𝑡 = 56.29 𝑠𝑒𝑔
b)
𝑑 = 𝑣𝑠𝑡 = 𝑣𝐹𝑡 = (56.29𝑠) (1005𝑚
𝑠)
𝑑 = 56.57 𝐾𝑚 𝑚á𝑠 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒
26 Cuando las personas cantan en la iglesia, el nivel de sonido en todas partes del
interior es 101dB. No se transmite por las paredes, pero las ventanas y las puertas
están abiertas en una mañana de verano. Su área total es de 22m2; a) ¿cuánta
energía sonora se irradia en 20minutos? b) suponga que el medio es un buen
reflector y el sonido se irradia uniformemente en todas direcciones horizontales y
hacia arriba. Encuentre el nivel de sonido a 1Km de distancia.
a)
𝛽 = 10𝑙𝑜𝑔𝐼
𝐼𝑜
𝐼𝑜 = 1𝑥10−12
𝑊
𝑚2
120
101𝑑𝐵 = 10𝑙𝑜𝑔𝐼
1𝑥10−12𝑊
𝑚2
𝐼 = 0.01258𝑊
𝑚2
𝐴 = 22𝑚2
𝐼 =𝑃
𝐴, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑃 = (0.01258𝑊
𝑚2) (22𝑚2) = 0.276 𝑊
𝑃 =𝐸
𝑡, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑦 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐸 = (0.276 𝑊)(1200𝑠) = 331.2 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑠
b)
r =1Km
𝐼 =𝑃
4𝜋𝑟2=
0.276𝑊
4𝜋(1000𝑚)2
𝐼 = 2.19𝑥10−8𝑊
𝑚2
𝛽 = 10𝑙𝑜𝑔2.19𝑥10−8
𝑊
𝑚2
1𝑥10−12𝑊
𝑚2
= 43.4 𝑑𝐵
121
27 Una trompeta antigua de audición tiene la forma de un embudo acampanado,
con un diámetro de 8 cm en su extremo ancho y de 0.70 cm en su extremo
angosto. Suponga que toda la energía sonora que captura el extremo ancho se
transmite al angosto. ¿En qué factor ésta trompeta de audición aumenta la
intensidad del sonido? ¿En cuántos dB aumenta el nivel de intensidad del sonido?
𝐼 =𝑃𝑚
4𝜋𝑟2
𝐼1 =𝑃𝑚
4𝜋(4𝑥10−2𝑚)2 𝐼1 =
𝑃𝑚
20𝑥10−3𝑚2
𝐼2 =𝑃𝑚
4𝜋(3.5𝑥10−2𝑚)2 𝐼2 =
𝑃𝑚
1. .5𝑥10−4𝑚2
𝐼1𝐼2=
𝑃𝑚
20𝑥10−3𝑚2
𝑃𝑚
1.5𝑥10−4𝑚2
= 129.92 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
𝐼1 =50𝑊
20𝑥10−3𝑚2 𝐼2 =
50𝑊
1. .5𝑥10−4𝑚2
𝐼1 = 2500𝑊
𝑚2 𝐼2 = 33.33𝑥104 𝑊/𝑚2
𝛽 = 153.9 𝑑𝐵 𝛽 = 175.22 𝑑𝐵,
Aumenta 21.3 dB el nivel de intensidad del sonido
122
28 Un tren viaja a 30 m/s en aire tranquilo la frecuencia de la nota emitida por su
silbato es de 262Hz. ¿Qué frecuencia oye el pasajero de un tren que se mueve en
dirección opuesta a 18m/s y a)se acerca al primer tren?, b)se aleja de él?
a)
𝑓´ = 𝑓𝑣 + 𝑣𝑜
𝑣 − 𝑣𝑠= 262 𝐻𝑧 (
320𝑚
𝑠+ 18
𝑚
𝑠
320𝑚
𝑠− 30
𝑚
𝑠
) = 303.92 𝐻𝑧
b)
𝑓´ = 𝑓𝑣 + 𝑣𝑜
𝑣 + 𝑣𝑠= 262 𝐻𝑧 (
320𝑚
𝑠− 18
𝑚
𝑠
320𝑚
𝑠+ 30
𝑚
𝑠
) = 226 𝐻𝑧
29 Un altavoz genera un concierto de rock de 10−2 w/m² a 20m a una frecuencia
de 1k Hz. Suponiendo que la energía del cantante se extiende uniformemente en
todas direcciones.
a) ¿Cuál es el nivel de intensidad a 20m?
b) ¿Cuál es la potencia total acústica generada por el cantante?
c) ¿A qué distancia alcanzaría la intensidad el umbral de dolor de 12dB?
d) ¿Cuál es el nivel de intensidad?
Datos
I=10−2 𝑊/𝑚²
f=1k Hz
a)
B= 10 log ( 𝐼
𝐼0 )
B=10 log ( 10−2 𝑤/𝑚²
10−12 𝑤/𝑚² )= 10 log 1010
123
B= 100 dB
b)
I= 𝑃
4𝜋𝜋2 despejando P tenemos: P = 4πr²I
𝑃 = 4𝜋(20𝑚)2 (10−2𝑊
𝑚2) = 50 𝑊
c)
r²=𝑃
4𝜋𝐼 r=√
50𝑊
4𝜋(1𝑥10−2 𝑊/𝑚2 r= √398 r=20 m
d)
𝐼 =50 𝑊
4𝜋(30 𝑚)2 𝐼 = 4.42𝑥10−3
𝑤
𝑚2
β= 10 log (𝐼
𝐼0) β= 10 log
4.42𝑥 10−3 𝑤/𝑚2
10−12 𝑤/𝑚2
β= 96.45 dB
30 El Concord vuela a 8000m de altura, con una rapidez de 560 m/s. ¿Cuánto
tiempo después de pasar el avión directamente arriba oiremos el trueno?
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑣
𝑣𝐹𝑡 =𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (
320𝑚
𝑠
560𝑚
𝑠
) = 34.8°
tan𝛼 = 8000𝑚
𝑣𝐹𝑡
𝑡 =8000𝑚
(560𝑚
𝑠) (tan 34.8°)
= 20.5𝑠
124
31 La sirena de una patrulla emite un tono puro a una frecuencia de 1.125 Hz.
Calcule la frecuencia que se percibirá en un automóvil en las siguientes
circunstancias:
a) El automóvil se halla en reposo y la patrulla se dirige hacia un individuo a
35 m/s
b) El individuo y la patrulla se dirigen uno hacia otro a 15.5 m/s
a)
𝑓´ = 𝑓𝑣
𝑣 − 𝑣𝑜= 1,125 𝐻𝑧 (
343𝑚
𝑠
343𝑚
𝑠− 35
𝑚
𝑠
) = 1,252.8 𝐻𝑧
b)
𝑓´ = 𝑓𝑣 + 𝑣𝑜
𝑣 − 𝑣𝑠= 1,125 𝐻𝑧 (
343𝑚
𝑠+ 15.5
𝑚
𝑠
343𝑚
𝑠− 15.5
𝑚
𝑠
) = 1,231.4 𝐻𝑧
125
Bibliografía
Física Vol II Campos y ondas, Marcelo Alonso Edward, editorial Fondo Educativo
internacional 1976
Física Vol I, Para ciencias e Ingeniería, Serway, editorial CENGAGE, 2013
Física Principios con aplicaciones, Giancoli, editorial Douglas, 2014
Física universitaria Vol. I, Sears – Zemansky, editorial Addison Wesley, 2013
Introducción a la Teoría y Sistemas de Comunicación, editorial Limusa, 1989
