Bijekcija funkcijeBijekcija funkcije

Prošle školske godine Prošle školske godine AAna, na, IIvana i vana i PPetaretar bili su bili su redom na natjecanje iz redom na natjecanje iz mmatematike, atematike, ffizike i izike i

kkemijeemije!!

A

I

P

m

f

k

Možemo poopćiti:Možemo poopćiti:• Ako je svakom elementu x iz skupa A pridružen po jedan

element y iz skupa B onda kažemo da je zadana funkcija f iz skupa A u skup B i pišemo

xy

f : A B

f

Domena (područje definicije

funkcije)

Kodomena(područje vrijednosti funkcije)

A B

y=f(x)

Y je SLIKA od x

3x

)()( 21 xfxf

1y1x

2x

3y

4y

Svakom elementu skupa A pridružen je točno određeni element iz skupa B!

A B

Funkcija f : A B je INJEKCIJA ako ona različite elemente iz skupa A preslikava u različite elemente iz skupa B.

tj. f : A B je injekcija kada vrijedi

1x )()( 21 xfxf 2x

2y

Promotrimo slijedeći slučaj!Promotrimo slijedeći slučaj!

odnosno 21 xx

3x

Neka je s : N N funkcija koja svakom prirodnom broju n Neka je s : N N funkcija koja svakom prirodnom broju n pridružuje njegov slijedbenik.pridružuje njegov slijedbenik.

N N

3

2

1 1

2

3

4

• Vidimo da za svaka 2 prirodna broja postoji slijedbenik!

)()( 2121 nfnfnn

Funkcija s: N N je INJEKCIJA

Da li je slijedeće pridruživanje injekcija?Da li je slijedeće pridruživanje injekcija?

3x

1y1x

2x

3y

A B

3x

2y

NE!!

Stoga jer su različiti elementi iz skupa A preslikani u iste elemente iz skupa B

Promotrimo slijedeću ilustraciju!Promotrimo slijedeću ilustraciju!

1y1x

2x

)(xfy

A B

3x

Funkcija f : A B je SURJEKCIJA sa A u B ako za svaki element y iz skupa B postoji barem jedan element x iz skupa A takav da je

Surjektivno preslikavanje

4x

2y

3y

Da li je slijedeće pridruživanje surjekcija?Da li je slijedeće pridruživanje surjekcija?

3x

1y1x

2x

3y

4y

A B

3x

2y

NE!!

Funkcija nije surjekcije budući da nije svakom elementu y iz skupa B pridružen jedan elemenat x iz skupa A.

Promotrimo ponovo ilustraciju s početka !Promotrimo ponovo ilustraciju s početka !

A

I

P

m

f

k

Ukoliko preslikavanje f : A B ima oba svojstva tj. ako za funkciju vrijedida je i injekcija i surjekcija tada kažemo da je funkcija

BIJEKCIJA

Pogledajmo slijedeće preslikavanje f : Pogledajmo slijedeće preslikavanje f : N N MM

• Oba skupa imaju jednako elemenata!

N

3

2

1

n

1

3

5

2n-1

M

Skup prirodnih brojevaSkup neparnih prirodnih brojeva

Različiti elementi iz N preslikani su u različite elemente skupa M ! Za svaki elemenat iz skupa M postoji barem jedan elemenat iz skupa

N ! Funkcija je bijekcija!!

• Funkcija f : A B je BIJEKCIJA ako je injekcija i surjekcija

ZAKLJUČIMO!

• Zadatak 1:

Funkcija f : N N zadana je formulom f(x)=2x-1

a) Je li f injekcija?b) Je li f surjekcija?c) Je li f bijekcija?

12 xy

21 xx

1212 21 xx)()( 21 xfxf Kako je , tj.

povlačiFunkcija je injekcija!

e) Kako je funkcija i injekcija i surjekcija , onda je funkcija bijekcija!

Neka je y iz skupa N, takav da vrijedi

tada je , a

i pišemo: Funkcija surjekcija!

c) Je li f injekcija?

d) Je li f surjekcija?

2

1

2

1 yx

)2

1

2

1( yf 1)

2

1

2

1(2 y yy 11

yyf )2

1

2

1(

Zadaci za vježbu i domaći rad:Zadaci za vježbu i domaći rad:

1. Funkcija f : Q->Q zadana je formulom f(x)= x+5 a) Je li funkcija injekcija?

b) Je li funkcija surjekcija?

c) Je li funkcija bijekcija?

2. Funkcija f : Q->Q zadana je formulom f(x)= 2x

a) Je li funkcija injekcija?

b) Je li funkcija surjekcija?

c) Je li funkcija bijekcija?

3. Funkcija f : Q->Q zadana je formulom f(x)= -2x+1

a) Je li funkcija injekcija?

b) Je li funkcija surjekcija?

c) Je li funkcija bijekcija?