MATEMATICASTema: Potencia de un binomio Grado 8º

PERIODO IVDocente: Luís Cuesta

EJERCICIO 5.41. Lenguaje: a) Escribe en lenguaje matemático la expresión: la diferencia de los cubos de 2a3 y 5b.b) Escribe en lenguaje matemático la expresión: el cubo de la diferencia de 2a3 y 5bc) ¿Coinciden las expresiones de los literales a) y b) anteriores?d) ¿A qué es igual el cubo de una diferencia? ¿Y una diferencia de cubos?e) ¿Es lo mismo una suma al cubo que una suma de cubos? ¿Cómo se escriben una y otra?f) ¿Es la potenciación distributiva con respecto a la suma y a la resta? ¿por qué? Explica larespuesta con un ejemplo.g) g) ¿Es la potenciación distributiva con respecto a la multiplicación y a la división? ¿Por qué? Explica la respuesta con un ejemplo.h) Escribe el trinomio cuadrado perfecto de (3a - 4b)i) Escribe el trinomio cuadrado imperfecto de (3a - 4b)

En estos ejercicios, desarrolla por simple inspección los siguientes productos notables:2. (a2 - b3) (a4 + a2b3 + b6) 3. (x3 - 5) (x6 + 5x3 + 25)4. (1/2x2 + 2/3y3) (1/4x4 - 1/3x2y3 + 4/9y6) 5. (ax + by) (a2x - axby + b2y)6. (m + 2)3

7. (P - 3)3

8. (5 + z2)3 9. (P - 3q)3

10. (2b + 3)3

11. (0,5 + t)3

12. (1/3x3 - y)3

13. (2/5a + 3/2y)3

14. (0,01 + m2)3

15. (a2x - by)3

16. (ap + b3q)3

17. [(x + y) – 3z]3

En estos ejercicios, escribir el trinomio cuadrado perfecto y el trinomio cuadrado imperfecto de cada binomio:18). 3xy3 – 619). 3/4x – 3/4y20). 2ax + 3by

DIVIÉRTETE MIENTRAS PIENSASEl resultado de 43 + 43 + 43 + 43 es igual a: a) 44 b) 34 c) 163 d) 412

5.9 POTENCIA DE UN BINOMIO. BINOMIO DE NEWTON

La expresión (a + b)n se denomina BINOMIO DE NEWTON. Vamos a descubrir la manera de desarrollar el Binomio de Newton cuando n e N. Estudiaremos cómo obtener los exponentes, d signo y el coeficiente de cada término del desarrollo.

Hasta el momento hemos desarrollado estos binomios: (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Por multiplicaciones sucesivas de (a + b)n podemos llegar a:(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 +b5

Una observación cuidadosa del desarrollo de estos binomios nos permite concluir que:1. El número de términos del resultado es siempre uno más que el exponente del binomio.2. El exponente del primer término del desarrollo es igual al del binomio.3. El exponente de a disminuye de uno en uno en cada término; en cambio, el de b aumenta de uno en uno.4. El exponente del último término es igual al del binomio.5. Todos los términos del desarrollo de (a + b)n son positivos. Si el binomio fuera (a - b )n, los signos se alternarían así: ( + ),(-),( + ),(-),...6. Para analizar los coeficientes, tomemos uno de lo binomios que hemos desarrollado: (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5

Simétricos Simétricos Simétricos

Los términos simétricos tienen los mismos coeficientes. La simetría de los términos nos permite disponer los coeficientes del binomio en forma de un triángulo conocido como Triángulo de Pascal. Este triángulo es el que nos permite obtener los coeficientes del binomio de una manera fácil. Construyamos el triángulo.(a + b)0 1 ………………………………. 1(a + b)1 1a 1b ………………….. 1 1(a + b)2 1a2 2ab 1b2 …… 1 2 1(a + b)3 ……………… 1 3 3 1(a + b)4 ………… 1 4 6 4 1(a + b)5 …….. 1 5 10 10 5 1(a + b)6 .. 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1El triángulo de Pascal nos indica que: 1. Los coeficientes de los términos de los extremos son iguales a uno.

2. Sumando dos elementos consecutivos de una fila obtenemos un coeficiente de la fila siguiente; es decir, un coeficiente cualquiera puede obtenerse sumando los que están encima de él en la fila anterior.

Ejemplo 1: Desarrollemos (a - 2b)6

Solución: Apliquemos cuidadosamente las sugerencias que acabamos de deducir.(a - 2b)6 = a6 - 6(a5)(2b) + 15(a4)(2b)2 - 20(a3)(2b)3 + 15(a2)(2b)4 - 6(a)(2b)5 + b6

= a6 - 12a5b + 60a4b2 - 160a3b3 + 240a2b4 - 192ab5 + b6

Ejemplo 2: Hallemos el cuarto término de (3x - 2y)5

Solución: Analicemos coeficientes, signos y exponentes:a) Coeficientes: En el Triángulo de Pascal vemos que el coeficiente del cuarto término de (a + b)5 es 10. b) Signos: Sabemos que los signos se alternan, así: 1º término = + ; 2°.término = -; 3° término = +; 4° término = -c) Exponentes: 1º término:(3x)5; 2° término: (3x)4 (2y); 3° término: (3x)3 (2y)2

; 4° término: (3x)2(2y)3.Luego, el cuarto término será: -10(3x)2 (2y)3 = - 10 ( 9x2) ( 8y3) = - 720x2y3.

EJERCICIO 5.5En estos ejercicios, desarrolla cada binomio:1. (a + 2b)6 2. (2m2 - 3n)5

3. (4 - z4)3

4. (ax - 1)4

5. (a3/2 + b)6

6. (a/4 – b/5)5

7. (3/m – m/3)6

8. (b - mn)8

9. (5 – a/5)6

En estos ejercicios, halla el término indicado de cada binomio:10. Quinto término de (a2 - 2b)5

11. Séptimo término de (x + y2)7

12. Sexto término de (3x – y/3)8

13. Último término de (4a3 - 5b2)10

14. Penúltimo término de (5 - a3)7

15. Último término de (2/3x2 - 6)3

DIVIÉRTETE MIENTRAS PIENSASNo quise vender un carro cuando me ofrecían por él 3.840 dólares, negocio en el cual hubiera ganado el 28% del costo. Algún tiempo después tuve que venderlo por 3.750 dólares. ¿Qué porcentaje del costo gané al hacer la venta?

TALLER DE REPASO DE LA UNIDAD 5 1. Contesta las siguientes preguntas:

¿Cómo se escribe en forma simbólica el enunciado: cuadrado de la suma de 2x3 y 4y2?¿Cómo se escribe en forma simbólica el enunciado: suma de los cuadrados de 2x3 y 4y2?¿Cuál es el desarrollo de una suma al cuadrado?¿Es una diferencia de cuadrados igual a una diferencia al cuadrado?¿Cuál es el trinomio cuadrado perfecto de ( 2a - 3b) ¿ Y su trinomio cuadrado imperfecto?¿Es lo mismo el cubo de la diferencia de dos términos que la diferencia de los cubos de esos mismos términos? ¿Por qué?¿Cómo se llega a una suma de cubos?¿Cuántos términos tiene el desarrollo de (a2 - b2)7 ?¿Cómo se desarrolla el cuadrado de un polinomio?¿Cuál es el coeficiente del quinto término del desarrollo del binomio ( 2x3 - 4y2 )7

En los ejercicios 2 a 9, seleccionar la letra correspondiente a la única respuesta correcta.2. El desarrollo del cuadrado de una diferencia es:a) Un trinomio cuadrado perfecto.b) Un trinomio cuadrado imperfecto.c) El producto de una suma por una diferencia de términos iguales.d) Una suma de cuadrados.

3. Una diferencia de dos cubos es igual a:a) Una diferencia al cubo.b) Un trinomio cuadrado imperfecto.c) La diferencia de las raíces cúbicas por su trinomio cuadrado imperfecto.d) Un trinomio cuadrado perfecto.

4. El número de términos del desarrollo de (x - y)n es: a) n - 1 b) n + -4 c) n d) 2n

5. Los signos del desarrollo de (x + y)n son:a) Todos positivosb) Alternados empezando con ( + )c) Alternados empezando con ( - ) d) Todos negativos.

6. En el desarrollo de (x + y)n, con n ≥ 1, el coeficiente del segundo y del penúltimo término es: a) n b) n – 1 c) 2n – 1 d) n + 1

7. El resultado de (x + y)2 – 2xy es: a) x2 - y2 b) x2 + y2 + 4xy c) x2 + y2 d) x2 + y3 - 4xy

8. El resultado de: (5+ √3) (5 - √3) es: a) 28 b) 28 - 10√3 c) 22 b) 28 + 10√3

9. El resultado del desarrollo de (a - b)3 - (a - b) (a2 + ab + b2) es: a) 2a3 - 2b3 b) 2a3 + 2b3 c) 3ab2 - 3a2bd) 3a2b - 3ab2

En los ejercicios 10 a 13, calcula las potencias indicadas:10. (–2/3x2y3z)3

11. (4/5x3yz2w4)3

12. (5mn2p3q2)4

13. (–3/4a2bc3d)3

14. Desarrollar y simplificar el resultado: [(x-y)3 + (x+ y)3]2

15. Efectuar (x + y + z) (x - z + y) - (x + y)2

En los ejercicios 16 a 35, efectúa las operaciones indicadas, utilizando los productos notables:16. (x+y+z)2 17. (3b2 + 6c3)(3b2 - 6c3) 18. (x/3 + y/5) (x/3 – y/5)19. (m3 + m2-2m + 1)2 20. (2x + 3y - 4z - 2w)2 21. [3(a+b)-2] [3(a + b)+2)] 22. [(a2+3) - a] [(a2 +3) + a] 23. [(a3- a) + (a2 - 3)] [(a3 - a) - (a2 - 3)]24. (x + y + z)(x + y - z)(x - y + z)(y + z - x) 25. (ax + by)2 (ax - by)2

26. (3a - b) (9a2 + 3ab + b2) 27. (x + 2)(x2 - 2x + 4)28. [(x + y)2 + 2(x +y) + 1] [(x + y)2 - 2(x+y) + 1] 29. (x - 2y + 5z) (x + 2y + 5z)30. (2x - 3y - 5z ) (2x + 3y + 5z) 31. (- bu - v)(bu - v)32. (a + 3b)2 (a2 - 6ab + 9b2) 33. (x + 2y)(x - 2y)(x2 + 4y2)34. (2x - 5y) (4x2 + 10xy + 25y2) 35. (3a + 2b - c) (3a - 2b + c)

PREPÁRATE PARA LAS PRUEBAS DEL ICFES1. El perímetro de la figura es:a) Pi + 6 b) Pi + 4 c) Pi + 3 d) Pi + 5

2. La fórmula del perímetro de la figura es:a) 10a + b b) 8a + b c) 7a + b d) 9a +b

3. Tenía $200.000 y gasté los 3/5 de ellos. ¿Cuánto me queda? a) $12.000 b) $80.000 c) $40.000 d) $60.000

4. Los ¾ del tanque de reserva de una bomba de gasolina se gastan llenando 5 tractomulas de igual capacidad. ¿Qué parte del tanque se gastó para llenar cada tractomula?a) 15/4 b) 20/3 c) 3/20 d) 3/5

5. Si un cuadrado de lado x se aumenta en cada lado un 20%, el área queda aumentada en: a) 144% b) 100% c) 40% d) 44%