Bioestadística - Carrera de Enfermería - 2° Semestre 2013 · David Elal Olivero Introduccion´ Estad´ıstica Descriptiva Bioestad´ıstica Carrera de Enfermer´ıa - 2 Semestre

David Elal Olivero

IntroduccionEstadıstica Descriptiva

BioestadısticaCarrera de Enfermerıa - 2◦ Semestre 2013

David Elal Olivero1

1Universidad de AtacamaFacultad de Ingenierıa

Departamento de Matematicae-mail: [email protected]

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Contenidos

1 Introduccion

2 Estadıstica Descriptiva

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IntroduccionConceptos previos

¿Que es la Estadıstica?Estadıstica es la ciencia que trata de los metodos y medios pararecopilar, organizar, presentar, analizar e interpretar datos estadısticos,ası como de realizar inferencias a partir de ellos, con el proposito deayudar a la toma de decisiones.

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Estadıstica DescriptivaDescribe, analiza y representa un grupo de datos utilizando metodosnumericos y graficos que resumen y presentan la informacioncontenida en ellos.

Estadıstica InferencialApoyandose en el calculo de probabilidades y a partir de datosmuestrales, efectua estimaciones, decisiones, predicciones u otrasgeneralizaciones sobre un conjunto mayor de datos.

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Estadıstica DescriptivaDescribe, analiza y representa un grupo de datos utilizando metodosnumericos y graficos que resumen y presentan la informacioncontenida en ellos.

Estadıstica InferencialApoyandose en el calculo de probabilidades y a partir de datosmuestrales, efectua estimaciones, decisiones, predicciones u otrasgeneralizaciones sobre un conjunto mayor de datos.

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EjemploPor ejemplo un anuario informa que los accidentes en faenas minerasen chile, durante el ano 2011, fueron de 21.567 mientras que en el ano2012 fueron de 25.469.

Observe que:podemos concluir que hubo un incremento de los accidentes, en dichoperıodo, de un 18,09%, este trabajo pertenece al campo de laestadıstica descriptiva.

Sin embargo:este no serıa el caso si se utilizaran los datos para predecir el numerode accidente, por ejemplo, para el ano 2014, situacion quecorresponde al campo de la estadıstica inferencial

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Estadıstica DescriptivaTablas de Frecuencia

Distribucion de la informacionEl metodo mas comun de resumir datos consiste en presentarlos enforma condensada en tablas o graficas, y aquı la palabra clave es:Distribucion de la informacion

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Tabla de FrecuenciaUna tabla compuesta de filas y columnas donde todos los datos de lapoblacion en estudio se distribuyen segun un criterio definido en lasceldas generadas por la interseccion de las filas y columnas se conocecon el nombre de Tabla de Frecuencia.

Ejemplo de Tablas de FrecuenciaMostraremos a continuacion algunas tablas de frecuencias, a modo deejemplo, e interpretaremos algunos datos ubicados en diferentesceldas de cada tabla.

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Tabla de FrecuenciaUna tabla compuesta de filas y columnas donde todos los datos de lapoblacion en estudio se distribuyen segun un criterio definido en lasceldas generadas por la interseccion de las filas y columnas se conocecon el nombre de Tabla de Frecuencia.

Ejemplo de Tablas de FrecuenciaMostraremos a continuacion algunas tablas de frecuencias, a modo deejemplo, e interpretaremos algunos datos ubicados en diferentesceldas de cada tabla.

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Tabla : Personas con ingreso menor que el mınimo.

Edad Numero de personas(en anos) (en miles)

Menores de 16 1.233de 16 a 21 932de 22 a 44 779de 45 a 64 175

de 65 y mas 863∑3.982

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Tabla : Accidentabilidad laboral.

Ano N◦ de accidentes AccidentesTotales Itinere

2007 486.109 5.1962008 671.004 5.9332009 801.416 6.9182010 821.458 7.3392011 787.182 7.550∑

3.567.169 32.936

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¡Pregunta!¿En que porcentaje disminuyo el numero de accidentes en el ano 2011respecto al ano 2010?.

Respuesta

disminuyo en un 4.17 %

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¡Pregunta!¿En que porcentaje disminuyo el numero de accidentes en el ano 2011respecto al ano 2010?.

Respuesta

disminuyo en un 4.17 %

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¡Pregunta!¿En cuanto aumento el numero de accidentes Itinere el ano 2011respecto al ano 2010?

Respuesta

aumento en un 2,87 %

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¡Pregunta!¿En cuanto aumento el numero de accidentes Itinere el ano 2011respecto al ano 2010?

Respuesta

aumento en un 2,87 %

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¡Pregunta!¿En cuanto vario el numero de accidentes el ano 2011 respecto al ano2009?

Respuesta

disminuyo en un 1,78 %

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¡Pregunta!¿En cuanto vario el numero de accidentes el ano 2011 respecto al ano2009?

Respuesta

disminuyo en un 1,78 %

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Tabla : Distribucion de ninos recien nacidos durante el primer semestre delano 2010, en una comuna X

.

Meses del frecuenciaano 2010 f

Enero 60Febrero 72Marzo 84Abril 60Mayo 108Junio 96∑

480

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Distribucion de personas segun nivel de colesterol en la sangreNivel de frecuencia

Colesterol( mg100ml ) f

80 - 119 13120 - 159 150160 - 199 442200 - 239 299240 - 279 115280 - 319 34320 - 359 9360 - 399 5∑

1067

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Estadıstica DescriptivaClasificacion de los Datos o Informacion

Tipo de Datos1 Datos Cualitativos

1. Nominal2. Ordinal

2 Datos Cuantitativo1. Discreto2. Continuo

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Datos Cualitativo NominalCuando los datos representan una cualidad como por ejemplo: Elgrupo sanguıneo dado por: A, B, AB, y 0. representa informacioncualitativa nominal (lo nominal se debe a que no se puede establecerun orden entre las diferentes clasificacion del grupo sanguıneo).

Ası, entonces:La variable grupo sanguıneo es cualitativa nominal

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Datos Cualitativo NominalCuando los datos representan una cualidad como por ejemplo: Elgrupo sanguıneo dado por: A, B, AB, y 0. representa informacioncualitativa nominal (lo nominal se debe a que no se puede establecerun orden entre las diferentes clasificacion del grupo sanguıneo).

Ası, entonces:La variable grupo sanguıneo es cualitativa nominal

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Datos Cualitativo OrdinalUn conjunto de datos cualitativos ordinal, a diferencia del casocualitativo nominal, se pueden ordenar ya sea de mayor a menor oviceversa.Por ejemplo:Si estudiamos el grado de recuperacion de un paciente al aplicarle untratamiento, podemos tener como informacion lo siguiente: Nada,Poco, Moderado, Bueno y Muy Bueno.

Ası, entonces:La variable grado de recuperacion de un paciente es cualitativa ordinal

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Datos Cualitativo OrdinalUn conjunto de datos cualitativos ordinal, a diferencia del casocualitativo nominal, se pueden ordenar ya sea de mayor a menor oviceversa.Por ejemplo:Si estudiamos el grado de recuperacion de un paciente al aplicarle untratamiento, podemos tener como informacion lo siguiente: Nada,Poco, Moderado, Bueno y Muy Bueno.

Ası, entonces:La variable grado de recuperacion de un paciente es cualitativa ordinal

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Datos Cuantitativo DiscretoCuando los datos representan una cantidad (valor numerico) estamosfrente a informacion cuantitativa. Los datos cuantitativos serandiscretos cuando siempre un valor intermedio entre dos cualesquierade ellos tiene una interpretacion coherente.Por ejemplo:El numero de hijos: representa informacion cuantitativa pero un valorentre 2 hijos y 3 hijos, por ejemplo 2,5 hijos, no tiene interpretacionlogica, por lo que la variable numero de hijos cae en el caso discreto.En general el caso discreto se presenta cuando contamos el numero deveces que ocurre un fenomeno.

Ası, entonces:La variable: numero de hijos es cuantitativa discreta

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Datos Cuantitativo DiscretoCuando los datos representan una cantidad (valor numerico) estamosfrente a informacion cuantitativa. Los datos cuantitativos serandiscretos cuando siempre un valor intermedio entre dos cualesquierade ellos tiene una interpretacion coherente.Por ejemplo:El numero de hijos: representa informacion cuantitativa pero un valorentre 2 hijos y 3 hijos, por ejemplo 2,5 hijos, no tiene interpretacionlogica, por lo que la variable numero de hijos cae en el caso discreto.En general el caso discreto se presenta cuando contamos el numero deveces que ocurre un fenomeno.

Ası, entonces:La variable: numero de hijos es cuantitativa discreta

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Datos Cuantitativo ContinuoUn conjunto de datos cuantitativo continuo, a diferencia del casocuantitativo discreto, se reconoce cuando un valor intermedio entredos cualesquiera de ellos tiene una interpretacion coherente.Por ejemplo:Si consideramos el peso de un nino al nacer, entonces cualquier valor,por ejemplo, entre 3 kilos y 4 kilos tiene sentido interpretativo

Ası, entonces:La variable peso de un nino al nacer es cuantitativa continua

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Datos Cuantitativo ContinuoUn conjunto de datos cuantitativo continuo, a diferencia del casocuantitativo discreto, se reconoce cuando un valor intermedio entredos cualesquiera de ellos tiene una interpretacion coherente.Por ejemplo:Si consideramos el peso de un nino al nacer, entonces cualquier valor,por ejemplo, entre 3 kilos y 4 kilos tiene sentido interpretativo

Ası, entonces:La variable peso de un nino al nacer es cuantitativa continua

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Estadıstica DescriptivaTipos de Graficos

Representacion GraficaHemos visto como un conjunto de datos se puede distribuir en unatabla de frecuencias perdiendose la precision de ellos, sin embargo,nos convencimos lo provechoso que resulta tabular la informacionconcluyendo que vale la pena perder esta precision para ganar eninterpretacion.Los datos distribuidos en una tabla de frecuencias pueden seracompanados de graficos o pictogramas para que de un solo vistazodarnos cuenta de las caracterısticas de la informacion.

Grafico de Barras, Grafico de Sectores y PictogramasLos graficos mas usuales para representar el comportamiento devariables son los: diagramas de barras, diagrama de sectores ypictogramas.

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Representacion GraficaHemos visto como un conjunto de datos se puede distribuir en unatabla de frecuencias perdiendose la precision de ellos, sin embargo,nos convencimos lo provechoso que resulta tabular la informacionconcluyendo que vale la pena perder esta precision para ganar eninterpretacion.Los datos distribuidos en una tabla de frecuencias pueden seracompanados de graficos o pictogramas para que de un solo vistazodarnos cuenta de las caracterısticas de la informacion.

Grafico de Barras, Grafico de Sectores y PictogramasLos graficos mas usuales para representar el comportamiento devariables son los: diagramas de barras, diagrama de sectores ypictogramas.

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Ejemplo de graficos: Recordemos la siguiente Tabla de distribucioncon el agregado de una nueva columna conocida como frecuenciarelativa que denotamos por la letra h y que esta representada enporcentaje

Tabla : Ninos recien nacidos 1er semestre del 2010

.

Meses del frecuencia frecuencia relativaano 2010 f h( %)

Enero 60Febrero 72Marzo 84Abril 60Mayo 108Junio 96∑

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Ejemplo de graficos: Recordemos la siguiente Tabla de distribucioncon el agregado de una nueva columna conocida como frecuenciarelativa que denotamos por la letra h y que esta representada enporcentaje

Tabla : Ninos recien nacidos 1er semestre del 2010

.

Meses del frecuencia frecuencia relativaano 2010 f h( %)

Enero 60 12,5Febrero 72 15Marzo 84 17,5Abril 60 12,5Mayo 108 22,5Junio 96 20∑

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Ejemplo de GraficosObserve que la variable que considera los meses enero, febrero,marzo, abril, mayo y junio, corresponde a una variable CualitativaOrdinal.

Grafico de BarraUn grafico de barras para esta tabla de frecuencias serıa:

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Ejemplo de GraficosObserve que la variable que considera los meses enero, febrero,marzo, abril, mayo y junio, corresponde a una variable CualitativaOrdinal.

Grafico de BarraUn grafico de barras para esta tabla de frecuencias serıa:

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Grafica de Barra

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Ejemplo de Graficos de Torta o CircularEn el siguiente grafico la variable toma los valores: Soltero, Casado,Viudo y Separado. Por lo que se trata entonces de una variableCualitativa Nominal.

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Grafica de Torta

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Un grafico de Barras para el caso de un variable Cuantitativa Discretausando doble barra serıa, por ejemplo:

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Grafica de Barra

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Un Pictograma es un tipo de grafico que en lugar de barras utilizanfiguras proporcionales a la frecuencia. A continuacion veremosalgunos ejemplos:

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Pictograma

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Pictograma

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Estadıstica DescriptivaConstruccion de Tablas de Frecuencias

Construccion de una tabla de frecuenciasHasta ahora hemos conocido, analizado y discutido las ventajas deuna tabla de de frecuencias y ademas las hemos acompanado degraficos para ayudar a una mejor comprension del comportamiento dela informacion. Pero la pregunta que surge es ¿Como se construye unaTabla de Frecuencia?.

Construccion de una tabla de frecuenciasEn respuesta a lo anterior haremos el ejercicio de enfrentarnos a unconjunto de datos, analizarlo, tabularlo y sacar el mejor provechointerpretativo posible de ellos. Aprovecharemos ademas de irdefiniendo nuevos conceptos y conocer nuevos tipos de graficos:

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Construccion de una tabla de frecuenciasHasta ahora hemos conocido, analizado y discutido las ventajas deuna tabla de de frecuencias y ademas las hemos acompanado degraficos para ayudar a una mejor comprension del comportamiento dela informacion. Pero la pregunta que surge es ¿Como se construye unaTabla de Frecuencia?.

Construccion de una tabla de frecuenciasEn respuesta a lo anterior haremos el ejercicio de enfrentarnos a unconjunto de datos, analizarlo, tabularlo y sacar el mejor provechointerpretativo posible de ellos. Aprovecharemos ademas de irdefiniendo nuevos conceptos y conocer nuevos tipos de graficos:

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Los datos que a continuacion se presentan corresponden a los sueldosde 120 empleados (expresado en miles) de una empresa X .

1170 1207 1581 1277 1305 1472 1077 1319 1537 18491332 1418 1949 1403 1744 1532 1219 896 1500 16711471 1399 1041 1379 821 1558 1118 1533 1510 17601826 1309 1426 1288 1394 1545 1032 1289 695 8031440 1421 1329 1407 718 1457 1449 1455 2051 16771119 1020 1400 1442 1593 1962 1263 1788 1501 16681352 1340 1459 1823 1451 1138 1592 982 1981 10911428 1603 1699 1237 1325 1590 1142 1425 1550 9131470 1783 1618 1431 1557 896 1662 1591 1551 16121249 1419 2162 1373 1542 1631 1567 1221 1972 1714949 1539 1634 1637 1649 1607 1640 1739 1540 2187

1752 1648 1978 640 1736 1222 1790 1188 2091 1829

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Construccion de una tabla de frecuenciasClaramente estamos bajo el estudio de una variable CuantitativaContinua por tratarse de sueldo que tiene valor interpretativo hasta elcentavo, es decir, entre dos sueldos siempre va tener un valorinterpretativo un sueldo intermedio entre ellos.

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RecomendacionesNos proponemos elaborar una tabla de frecuencia y sacar de ella elmaximo de informacion, pero para ello, debemos tener presente lossiguientes consideraciones:

1 Seleccionar el numero apropiado de clases o intervalo

2 Obtener la amplitud de cada clase o intervalo

3 Establecer los lımites de cada clase o intervalo para evitar lostraslapes y asi impedir que un dato pueda ser clasificado en dos omas clases.

.

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Calculo del numero de intervalosSi N representa el numero de intervalos a encontrar, entonces la reglade Sturges propone calcularlo ası:

N = 1 + 3,3× log n

donde n es el numero total de datos.

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En nuestro caso n = 120 luego:

N = 1 + 3,3× log120= 1 + 3,3× 2,0792= 7,86≈ 8

Ası el numero de intervalos (o clases) es N = 8.

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Amplitud o Rango

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Amplitud de cada intervaloLa amplitud total resulta ser de 1547 y debe dividirse por el numero deintervalos que es 8, por lo que la longitud de cada intervalo serıa de:

15478

= 193,375

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Amplitud de cada intervaloSi la amplitud de cada intervalo 193,375 lo encontramos FEO yquisieramos que fuera de 194. Entonces en vez de la longitud 1547deberıamos extenderla a 1552, es decir agregarle 5 unidades. Paralograr esto ultimo,y recurriendo a una conducta de equidad, restamosdos unidades al dato menor y sumamos dos unidades al dato mayor ydecidimos en forma aleatoria ubicar la quinta unidad, es decir, restaral dato menor o sumar al datos mayor (puede ser mediante ellanzamiento de una moneda).

Amplitud de cada intervaloSuponga que el sorteo indico restar al dato menor, entonces el nuevodato menor es 637 y el nuevo dato mayor es 2189.

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Amplitud de cada intervaloSi la amplitud de cada intervalo 193,375 lo encontramos FEO yquisieramos que fuera de 194. Entonces en vez de la longitud 1547deberıamos extenderla a 1552, es decir agregarle 5 unidades. Paralograr esto ultimo,y recurriendo a una conducta de equidad, restamosdos unidades al dato menor y sumamos dos unidades al dato mayor ydecidimos en forma aleatoria ubicar la quinta unidad, es decir, restaral dato menor o sumar al datos mayor (puede ser mediante ellanzamiento de una moneda).

Amplitud de cada intervaloSuponga que el sorteo indico restar al dato menor, entonces el nuevodato menor es 637 y el nuevo dato mayor es 2189.

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Intervalos frecuencia- (f)

637 − 831831 − 1025

1025 − 12191219 − 14131413 − 16071607 − 18011801 − 19951995 − 2189

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Intervalos frecuencia- (f)

637 − 831 5831 − 1025 6

1025 − 1219 111219 − 1413 241413 − 1607 381607 − 1801 231801 − 1995 91995 − 2189 4

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Estadıstica DescriptivaHistogramas, Polıgonos y Ojiva

Histograma

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Histograma y Polıgono de Frecuencia

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Intervalos frecuencia frecuencia- (f) relativa (h%)

637 - 831 5831 - 1025 61025 - 1219 111219 - 1413 241413 - 1607 381607 - 1801 231801 - 1995 91995 - 2189 4∑

120

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Intervalos frecuencia frecuencia- (f) relativa (h%)

637 - 831 5 4,2831 - 1025 6 51025 - 1219 11 9,11219 - 1413 24 201413 - 1607 38 31,71607 - 1801 23 19,21801 - 1995 9 7,51995 - 2189 4 3,3∑

120 100

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Histograma Relativo y Polıgono de Frecuencia Relativo

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Intervalos frecuencia frecuencia frecuencia- (f) relativa (h%) acumulada(F)

637 - 831 5 4,2831 - 1025 6 51025 - 1219 11 9,11219 - 1413 24 201413 - 1607 38 31,71607 - 1801 23 19,21801 - 1995 9 7,51995 - 2189 4 3,3∑

120 100

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Intervalos frecuencia frecuencia frecuencia- (f) relativa (h%) acumulada(F)

637 - 831 5 4,2 5831 - 1025 6 5 111025 - 1219 11 9,1 221219 - 1413 24 20 461413 - 1607 38 31,7 841607 - 1801 23 19,2 1071801 - 1995 9 7,5 1161995 - 2189 4 3,3 120∑

120 100

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Intervalos frec. frec. frec. frec. acum.- (f) rel.(h%) acum.(F) relativa (H%)

637 - 831 5 4,2 5831 - 1025 6 5 111025 - 1219 11 9,1 221219 - 1413 24 20 461413 - 1607 38 31,7 841607 - 1801 23 19,2 1071801 - 1995 9 7,5 1161995 - 2189 4 3,3 120∑

120 100

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Intervalos frec. frec. frec. frec. acum.- (f) rel.(h%) acum.(F) relativa (H%)

637 - 831 5 4,2 5 4,2831 - 1025 6 5 11 9,21025 - 1219 11 9,1 22 18,31219 - 1413 24 20 46 38,31413 - 1607 38 31,7 84 701607 - 1801 23 19,2 107 89,21801 - 1995 9 7,5 116 96,71995 - 2189 4 3,3 120 100∑

120 100

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Ojiva o Histograma Acumulado

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Estadıstica DescriptivaCalculo de Percentiles

Definicion de percentilDado un conjunto de datos perteneciente a una poblacion ysuponiendo ordenada de menor a mayor, se define el percentil(k), y sedenota por Pk a aquel valor que deja a su izquierda el k % de losdatos y a su derecha (100-k)%

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Resuelva el siguiente ejercicio1 Encuentre P70 de los datos correspondientes a los sueldos de los

120 ejecutivos de la empresa X (con solo observar la ojivaporcentual)

2 Encuentre P80 y P50 de los datos correspondientes a los sueldosde los 120 ejecutivos de la empresa X, utilizando la siguienteformula:

Pk = liminf +

(k

100n − F−a

)a

f

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Explicacion de la formula de calculo de percentilEn primer lugar, para poder usar la formula de calculo del percentil,debemos identificar el intervalo donde se encuentra el percentilpedido, por ejemplo si se nos pide el percentil 80, es decir, P80debemos seguir los siguientes pasos:

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Explicacion de la formula de calculo de percentil1 Calcular el 80% de los datos, es decir,:

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80100∗ n =

80100∗ 120 = 96

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80100∗ n =

80100∗ 120 = 96

2 Ahora se considera la columna de la frecuencia acumulada (F ) yse recorre de arriba hacia abajo hasta llegar a la celda que supereal numero 96. Que resulta ser el numero:

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80100∗ n =

80100∗ 120 = 96


107

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80100∗ n =

80100∗ 120 = 96


107

3 De la celda, encontrada en el punto anterior, se recorre hacia laizquierda hasta llegar al intervalo buscado, que resulta ser:

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80100∗ n =

80100∗ 120 = 96

2 Ahora se considera la columna de la frecuencia acumulada (F ) yse recorre de arriba hacia abajo hasta llegar a la celda que supereo sea igual al numero 96. Que resulta ser el numero:

107

3 De la celda, encontrada en el punto anterior, se recorre hacia laizquierda hasta llegar al intervalo buscado, que resulta ser:

[1607 1801[Titulo

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Explicacion de la formula de calculo de percentil

Conocido el intervalo [1607 1801[, donde se encuentra el P80,podemos identificar mejor los elementos que aparecen en la formula,es decir, en:

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Explicacion de la formula de calculo de percentil

P80 = liminf +

( 80100120− F−

a)

af

donde:

i) liminf = lımite inferior del intervalo [1607 1801[ =1607

ii) f = frecuencia del intervalo [1607 1801[ = 23

iii) a = amplitud del intervalo [1607 1801[ = 194

iv) F−a = Frecuencia acumulada hasta antes del intervalo

[1607 1801[ = 84

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Explicacion de la formula de calculo de percentilAsı el percentil 80 serıa:

P80 = 1607 +

( 80100120− 84

)194

23= 1607 +

232823

= 1607 + 101,28= 1708,28

DesafıoQueda como desafıo encontrar:

1 la mediana= P50 y2 el percentil 70 = P70

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Explicacion de la formula de calculo de percentilAsı el percentil 80 serıa:

P80 = 1607 +

( 80100120− 84

)194

23= 1607 +

232823

= 1607 + 101,28= 1708,28

DesafıoQueda como desafıo encontrar:

1 la mediana= P50 y2 el percentil 70 = P70

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Definicion de Rango intercuartil

Se define el Rango intercuartil como el ancho del intervalo entre elprimer y el tercer cuartil

Definicion de Rango intercuartilSe define el primer cuartil como el percentil 25 y el tercer cuartilcomo el percentil 75, de tal modo que el Rango intercuartil esta dadopor:

Rango Intercuartil = P75 − P25

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Definicion de Rango intercuartil

Se define el Rango intercuartil como el ancho del intervalo entre elprimer y el tercer cuartil

Definicion de Rango intercuartilSe define el primer cuartil como el percentil 25 y el tercer cuartilcomo el percentil 75, de tal modo que el Rango intercuartil esta dadopor:

Rango Intercuartil = P75 − P25

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Ejercicio de Rango intercuartil

Como ejercicio encuentre el Rango intercuartil de los sueldos de los120 empleados.

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Estadıstica DescriptivaPoblacion y Muestra

Definicion de Parametro y MuestraSi un conjunto de datos consta de todas las observaciones posibles deun cierto fenomeno, se denomina Poblacion; si un conjunto de datosconsta de solamente una parte de estas observaciones se llamaMuestra

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Estadıstica DescriptivaParametro y Estadıstico

Definicion de Parametro y EstadısticoIntimamente relacionado con los conceptos de poblacion y muestraesta el de Parametro y Estadıstico

Definicion de ParametroUn Parametro es una medicion numerica que describe algunacaracterıstica de una poblacion

Definicion de EstadısticoCuando la medicion numerica describe alguna caracterıstica de unamuestra de la poblacion el parametro toma el nombre de Estadıstico

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Grafico

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Ejemplo de ParametroUna encuesta aplicada a la cadena de empresas ABC entrego lasiguiente informacion: ”Del total de accidentes ocurridos durante elano 2012; 86 resultaron fatales”. Si definimos un indicador que midala gravedad de los accidentes podrıamos pensar en la expresion:

IL =N◦ de Fallecidos

Total de Accidentes× 100000

donde:IL =

8653.576

× 100000 = 162,39

En tal caso tenemos que IL es un parametro

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Estadıstica DescriptivaMedidas de Tendencia Central

El promedioSean x1, x2, x3, ..., xn n datos reales, se define el promedio de los ndatos, y se denota por X , como

X =

∑xi

n

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El promedioConsidere el siguiente conjunto de datos:

x1 = 2, x2 = 6, x3 = 4, x4 = 2, x5 = 2x6 = 3, x7 = 4, x8 = 3, x9 = 2, x10 = 4

X =

∑xi

n

=x1 + x2 + x3 + ...+ x10

10

=2 + 6 + 4 + ...+ 4

10

=3210

= 3,2

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Calculo del promedio con datos tabuladosTabla de frecuencia para calculo del promedio

x f fx2 4 83 2 64 3 126 1 6∑

10 32

X =

∑fx∑f

=3210

= 3,2

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Calculo del promedio con datos tabuladosTabla de frecuencia para calculo del promedio

x f fx2 4 83 2 64 3 126 1 6∑

10 32

X =

∑fx∑f

=3210

= 3,2

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Promedio PonderadoSean x1, x2, x3, ..., xn n datos reales, se define el promedio ponderadode los n datos, y se denota por Xp, como

Xp =∑

xi ∗ pi

donde∑

pi = 1

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Ejemplo de Promedio PoderadoUn estudiante tiene las siguientes cuatro calificaciones en laasignatura de Estadıstica 63, 39, 40 y un 50 en la escala de 1 a 100 yla nota de aprobacion es un 50. La importancia de los topicoscontemplado en cada prueba son distintos y el profesor, consciente deesto, tiene la duda en elegir entre tres alternativas de ponderacion quese ilustran en la siguiente tabla:

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Ejemplo de Promedio Ponderado

Notas Alternativa1 Alternativa2 Alternativa363 0,25 0,2 0,339 0,25 0,3 0,240 0,25 0,2 0,250 0,25 0,3 0,3∑

1 1 1

Bajo la alternativa 1, se tiene que:∑xi ∗ pi = x1 ∗ p1 + x2 ∗ p2 + x3 ∗ p3 + x4 ∗ p4

= 63 ∗ 0,25 + 39 ∗ 0,25 + 40 ∗ 0,25 + 50 ∗ 0,25= 48

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1 1 1


= 63 ∗ 0,2 + 39 ∗ 0,3 + 40 ∗ 0,2 + 50 ∗ 0,3= 47

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1 1 1


= 63 ∗ 0,3 + 39 ∗ 0,2 + 40 ∗ 0,2 + 50 ∗ 0,3= 50

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Ejemplo de Promedio PonderadoEstrechamente relacionado con el promedio esta el importanteparametro que se denomina desviacion estandar. Aunque no es unamedida de tendencia central lo veremos a continuacion de un modosuperficial dado el grado de acercamiento mencionado, sin embargo,lo veremos con mucho detalle cuando abordemos, mas adelante, lasmedidas de variabilidad.

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Introduccion a la Desviacion EstandarSean x1, x2, x3, ..., xn n datos reales, se define la varianza de los ndatos, y se denota por S2

X , como

S2X =

∑(xi − X )2

n

Introduccion a la Desviacion EstandarSe define la desviacion estandar de los n datos, y se denota por SX ,como la raız cuadrada de la varianza, es decir

SX =√

S2X

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Introduccion a la Desviacion EstandarSean x1, x2, x3, ..., xn n datos reales, se define la varianza de los ndatos, y se denota por S2

X , como

S2X =

∑(xi − X )2

n

Introduccion a la Desviacion EstandarSe define la desviacion estandar de los n datos, y se denota por SX ,como la raız cuadrada de la varianza, es decir

SX =√

S2X

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Propiedades de la Varianza1 Sean x1, x2, x3, ..., xn n datos reales, entonces:

S2X = X 2 − X

2

.

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Propiedades de la Varianza1 Sean x1, x2, x3, ..., xn n datos reales, entonces:

S2X = X 2 − X

2

.2 Si x1 = k , x2 = k , x3 = k , ..., xn = k , k ∈ R entonces

X = k y S2X = 0

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Ejercicio de calculo de la Desviacion EstandarConsidere el siguiente conjunto de datos:

x1 = 2, x2 = 6, x3 = 4, x4 = 2, x5 = 2x6 = 3, x7 = 4, x8 = 3, x9 = 2, x10 = 4

y para el calculo de la varianza apliquemos la propiedad:

S2X = X 2 − X

2

.

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Ejercicio de calculo de la Desviacion Estandar

Primeramente calculemos X y luego la elevamos al cuadrado:

X =

∑xi

n=

x1 + x2 + x3 + ...+ x10

10

=2 + 6 + 4 + ...+ 4

10

=3210

= 3,2

luego:X

2= 10,24

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Primeramente calculemos X y luego la elevamos al cuadrado:

X =

∑xi

n=

x1 + x2 + x3 + ...+ x10

10

=2 + 6 + 4 + ...+ 4

10

=3210

= 3,2

luego:X

2= 10,24

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Calculemos ahora X 2 para ello debemos elevar cada dato al cuadradoy luego calcular su promedio:

x21 = 4, x2

2 = 36, x23 = 16, x2

4 = 4, x25 = 4

x26 = 9, x2

7 = 16, x28 = 9, x2

9 = 4, x210 = 16

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X 2 =

∑x2

in

=x2

1 + x22 + x2

3 + ...+ x210

10

=4 + 36 + 16 + ...+ 16

10

=11810

= 11,8

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Ejercicio de calculo de la Desviacion Estandary se tiene entonces que:

S2X = X 2 − X

2

= 11,8− 10,24= 1,56

y la desviacion estandar es:

SX =√

S2X =

√1,56 ≈ 1,25

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Ejercicio de calculo de la Desviacion Estandary se tiene entonces que:

S2X = X 2 − X

2

= 11,8− 10,24= 1,56

y la desviacion estandar es:

SX =√

S2X =

√1,56 ≈ 1,25

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Ejercicio de calculo de la Desviacion Estandar con datos tabuladosRecordemos los datos anteriores para calcular la desviacionestandar,aprovechando el hecho de que muchos de ellos se repiten ylo podemos presentar en una tabla de frecuencia.

x1 = 2, x2 = 6, x3 = 4, x4 = 2, x5 = 2x6 = 3, x7 = 4, x8 = 3, x9 = 2, x10 = 4

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Ejercicio de calculo de la Desviacion Estandar con datos tabuladosTabla de frecuencia para calculo de la desviacion estandar

x f fx x2 fx2

2 43 24 36 1∑- 10

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Ejercicio de calculo de la Desviacion Estandar con datos tabuladosLa tabla de frecuencia es la siguiente:

Tabla de frecuencia para calculo de la desviacion estandarx f fx x2 fx2

2 4 8 4 163 2 6 9 184 3 12 16 486 1 6 36 36∑- 10 32 - 118

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Ejercicio de calculo de la Desviacion Estandar con datos tabulados

S2 = X 2 − X2

=

∑fx2∑f−(∑

fx∑f

)2

=11810−(

3210

)2

= 11,8− 3,22

= 11,8− 10,24= 1,56

por lo que:S =

√1,56 ≈ 1,25

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MedianaLa mediana de un conjunto de datos es aquel valor (nonecesariamente pertenece al conjunto de los datos) que una vezordenada la informacion se ubica de tal manera que deja a suizquierda el 50% de los datos y el otro 50% a su derecha.

MedianaYa conocemos la Mediana y la hemos calculado cuando los datos soncontinuos y estan tabulados usando la formula:

P50 = liminf +

( 50100n − F−

a)

af

Sin embargo, ahora veremos como se encuentra la Mediana con datoscontinuos discretos.

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MedianaLa mediana de un conjunto de datos es aquel valor (nonecesariamente pertenece al conjunto de los datos) que una vezordenada la informacion se ubica de tal manera que deja a suizquierda el 50% de los datos y el otro 50% a su derecha.

MedianaYa conocemos la Mediana y la hemos calculado cuando los datos soncontinuos y estan tabulados usando la formula:

P50 = liminf +

( 50100n − F−

a)

af

Sin embargo, ahora veremos como se encuentra la Mediana con datoscontinuos discretos.

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Criterios para encontrar la Mediana en datos continuos discretosUna vez ordenado los datos (menor a mayor o viceversa),distinguiremos dos casos para el calculo de la mediana:

1 Cuando el numero de datos es impar (n impar), la mediana, es eldato que esta en el centro.

2 Cuando el numero de datos es par (n par), la mediana, es el valorque toma el promedio de los dos datos centrales

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Ejercicio de calculo de la MedianaEl numero de accidentes, de la empresa Royal & Anderson, en losprimeros 5 meses del ano 2011 fueron respectivamente:

12, 8, 15, 9, 12.

Ejercicio de calculo de la MedianaLa mediana no es 15, ya que previamente se debe ordenar la muestra(de menor→ a mayor o de mayor→ a menor). Si se considera comocriterio ordenarlo de menor a mayor se tiene:

Ejercicio de calculo de la Mediana

8 9 12 12 15

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12, 8, 15, 9, 12.



8 9 12 12 15

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12, 8, 15, 9, 12.



8 9 12 12 15

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8 9 12 12 15

y se puede apreciar que la mediana es 12.

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8 9 12 12 15

y se puede apreciar que la mediana es 12.

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Ejercicio de calculo de la MedianaA continuacion se muestra una tabla con informacion mas completaque la dada en el ejemplo anterior, considerando el numero total deaccidentes por mes, del ano 2011, de la empresa Royal & Anderson,sobre la cual calcularemos la Mediana.

Distribucion del numero de accidentes de la empresa Royal &Anderson, durante el ano 2011

Ene Feb Mar Abr May Jun12 8 15 9 12 16Jul Ago Sep Oct Nov Dic10 9 7 8 15 17

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Ejercicio de calculo de la Medianaal ordenar la informacion se tiene que:

7 8 8 9 9 10 12 12 15 15 16 17

donde se observa que 10 y 12 son los datos centrales y ası la medianaserıa

Mediana =10 + 12

2= 11

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Calculo de CuartilesSi representamos los cuartiles por Q1, Q2, y Q3. y paracomprender mejor el concepto ordenamos la informacion ( de menor→ a mayor) e imaginemos que se disponen en la siguiente recta:..

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Bioestadística - Carrera de Enfermería - 2° Semestre 2013 · David Elal Olivero Introduccion´ Estad´ıstica Descriptiva Bioestad´ıstica Carrera de Enfermer´ıa - 2 Semestre