Upload
others
View
108
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
Birinci Mertebeden Diferansiyel DenklemlerEdwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınırdeger problemleri (ceviri: Prof. Dr. Omer Akın)
AYRILABILIR DENKLEMLER
Birinci mertebedendy
dx= f(x, y) (1)
diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in birfonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun carpımı olarakyazılabiliyorsa,yani
dy
dx= g(x)h(y) veya
dy
dx= g(x)/k(y)
isedenkleme degiskenlerine ayrılabilir denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 1/ 18
Birinci Mertebeden Diferansiyel DenklemlerEdwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınırdeger problemleri (ceviri: Prof. Dr. Omer Akın)
AYRILABILIR DENKLEMLER
Birinci mertebedendy
dx= f(x, y) (1)
diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in birfonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun carpımı olarakyazılabiliyorsa,
yani
dy
dx= g(x)h(y) veya
dy
dx= g(x)/k(y)
isedenkleme degiskenlerine ayrılabilir denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 1/ 18
Birinci Mertebeden Diferansiyel DenklemlerEdwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınırdeger problemleri (ceviri: Prof. Dr. Omer Akın)
AYRILABILIR DENKLEMLER
Birinci mertebedendy
dx= f(x, y) (1)
diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in birfonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun carpımı olarakyazılabiliyorsa,yani
dy
dx= g(x)h(y)
veyady
dx= g(x)/k(y)
isedenkleme degiskenlerine ayrılabilir denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 1/ 18
Birinci Mertebeden Diferansiyel DenklemlerEdwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınırdeger problemleri (ceviri: Prof. Dr. Omer Akın)
AYRILABILIR DENKLEMLER
Birinci mertebedendy
dx= f(x, y) (1)
diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in birfonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun carpımı olarakyazılabiliyorsa,yani
dy
dx= g(x)h(y) veya
dy
dx= g(x)/k(y)
ise
denkleme degiskenlerine ayrılabilir denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 1/ 18
Birinci Mertebeden Diferansiyel DenklemlerEdwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınırdeger problemleri (ceviri: Prof. Dr. Omer Akın)
AYRILABILIR DENKLEMLER
Birinci mertebedendy
dx= f(x, y) (1)
diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in birfonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun carpımı olarakyazılabiliyorsa,yani
dy
dx= g(x)h(y) veya
dy
dx= g(x)/k(y)
isedenkleme degiskenlerine ayrılabilir denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 1/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Bu durumda denklem
k(y)dy = g(x)dx
seklinde yazmak suretiyle x ve y degiskenlerine ayrılabilir (birdenklemin zıt yanlarda tek degiskene ayrılması).
Bu ozel tipdiferansiyel denklemi cozmek kolaydır. Her iki yanın integralinialırsak ∫
k(y)dy =
∫g(x)dx+ C
elde edilir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 2/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Bu durumda denklem
k(y)dy = g(x)dx
seklinde yazmak suretiyle x ve y degiskenlerine ayrılabilir (birdenklemin zıt yanlarda tek degiskene ayrılması).Bu ozel tipdiferansiyel denklemi cozmek kolaydır. Her iki yanın integralinialırsak ∫
k(y)dy =
∫g(x)dx+ C
elde edilir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 2/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 1dy
dx= −x
ydenklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
ydy = −xdx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alırsak,∫ydy =
∫−xdx+ C
Sonuc olarak
y2 = −x2 + 2C veya x2 + y2 = K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 3/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 1dy
dx= −x
ydenklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
ydy = −xdx
seklinde yazabiliriz.
Her iki tarafında integralini alırsak,∫ydy =
∫−xdx+ C
Sonuc olarak
y2 = −x2 + 2C veya x2 + y2 = K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 3/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 1dy
dx= −x
ydenklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
ydy = −xdx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alırsak,∫ydy =
∫−xdx+ C
Sonuc olarak
y2 = −x2 + 2C veya x2 + y2 = K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 3/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 1dy
dx= −x
ydenklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
ydy = −xdx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alırsak,∫ydy =
∫−xdx+ C
Sonuc olarak
y2 = −x2 + 2C
veya x2 + y2 = K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 3/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 1dy
dx= −x
ydenklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
ydy = −xdx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alırsak,∫ydy =
∫−xdx+ C
Sonuc olarak
y2 = −x2 + 2C veya x2 + y2 = K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 3/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 2
y′ = y2x3 denklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y2= x3dx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alalım,∫dy
y2=
∫x3dx+ C ⇒ −1
y=x4
4+ C
Duzenlersek
y =−4
x4 + 4Cveya y =
−4
x4 +K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 2
y′ = y2x3 denklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y2= x3dx
seklinde yazabiliriz.
Her iki tarafında integralini alalım,∫dy
y2=
∫x3dx+ C ⇒ −1
y=x4
4+ C
Duzenlersek
y =−4
x4 + 4Cveya y =
−4
x4 +K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 2
y′ = y2x3 denklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y2= x3dx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alalım,∫dy
y2=
∫x3dx+ C
⇒ −1
y=x4
4+ C
Duzenlersek
y =−4
x4 + 4Cveya y =
−4
x4 +K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 2
y′ = y2x3 denklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y2= x3dx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alalım,∫dy
y2=
∫x3dx+ C ⇒ −1
y=x4
4+ C
Duzenlersek
y =−4
x4 + 4Cveya y =
−4
x4 +K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 2
y′ = y2x3 denklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y2= x3dx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alalım,∫dy
y2=
∫x3dx+ C ⇒ −1
y=x4
4+ C
Duzenlersek
y =−4
x4 + 4C
veya y =−4
x4 +K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 2
y′ = y2x3 denklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y2= x3dx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alalım,∫dy
y2=
∫x3dx+ C ⇒ −1
y=x4
4+ C
Duzenlersek
y =−4
x4 + 4Cveya y =
−4
x4 +K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Ornek 2 deki diferansiyel denklemi degiskenlerine ayırırkenesitligin her iki tarafını 1/y2 ile carptık. Bu islemi y 6= 0 kabulederek yapabiliriz.
Soru: y(x) = 0 bir cozum mudur?
Cevap: EVET.
Fakat y(x) = 0, K nın hic bir degeri icin y(x) =−4
x4 +Kgenel
cozumunden elde edilemez.
Bu kural dısı cozumlere genellikle aykırı (tekil) cozum denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 5/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Ornek 2 deki diferansiyel denklemi degiskenlerine ayırırkenesitligin her iki tarafını 1/y2 ile carptık. Bu islemi y 6= 0 kabulederek yapabiliriz.
Soru: y(x) = 0 bir cozum mudur?
Cevap: EVET.
Fakat y(x) = 0, K nın hic bir degeri icin y(x) =−4
x4 +Kgenel
cozumunden elde edilemez.
Bu kural dısı cozumlere genellikle aykırı (tekil) cozum denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 5/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Ornek 2 deki diferansiyel denklemi degiskenlerine ayırırkenesitligin her iki tarafını 1/y2 ile carptık. Bu islemi y 6= 0 kabulederek yapabiliriz.
Soru: y(x) = 0 bir cozum mudur?
Cevap: EVET.
Fakat y(x) = 0, K nın hic bir degeri icin y(x) =−4
x4 +Kgenel
cozumunden elde edilemez.
Bu kural dısı cozumlere genellikle aykırı (tekil) cozum denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 5/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Ornek 2 deki diferansiyel denklemi degiskenlerine ayırırkenesitligin her iki tarafını 1/y2 ile carptık. Bu islemi y 6= 0 kabulederek yapabiliriz.
Soru: y(x) = 0 bir cozum mudur?
Cevap: EVET.
Fakat y(x) = 0, K nın hic bir degeri icin y(x) =−4
x4 +Kgenel
cozumunden elde edilemez.
Bu kural dısı cozumlere genellikle aykırı (tekil) cozum denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 5/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Ornek 2 deki diferansiyel denklemi degiskenlerine ayırırkenesitligin her iki tarafını 1/y2 ile carptık. Bu islemi y 6= 0 kabulederek yapabiliriz.
Soru: y(x) = 0 bir cozum mudur?
Cevap: EVET.
Fakat y(x) = 0, K nın hic bir degeri icin y(x) =−4
x4 +Kgenel
cozumunden elde edilemez.
Bu kural dısı cozumlere genellikle aykırı (tekil) cozum denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 5/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 3
dy
dx= −6xy, y(0) = 7
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y= −6xdx
seklinde yazabiliriz.Buradan∫dy
y=
∫(−6x)dx+ C ⇒ ln|y| = −3x2 + C
elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 6/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 3
dy
dx= −6xy, y(0) = 7
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y= −6xdx
seklinde yazabiliriz.
Buradan∫dy
y=
∫(−6x)dx+ C ⇒ ln|y| = −3x2 + C
elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 6/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 3
dy
dx= −6xy, y(0) = 7
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y= −6xdx
seklinde yazabiliriz.Buradan∫dy
y=
∫(−6x)dx+ C
⇒ ln|y| = −3x2 + C
elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 6/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 3
dy
dx= −6xy, y(0) = 7
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y= −6xdx
seklinde yazabiliriz.Buradan∫dy
y=
∫(−6x)dx+ C ⇒ ln|y| = −3x2 + C
elde ederiz.Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 6/ 18
Ayrılabilir Denklemler
y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.
ln y = −3x2 + C
⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x
2eC
C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.
y(x) = Ae−3x2
y(0) = 7 kosulu A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum
y(x) = 7e−3x2
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 7/ 18
Ayrılabilir Denklemler
y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.
ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C
⇒ y(x) = e−3x2eC
C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.
y(x) = Ae−3x2
y(0) = 7 kosulu A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum
y(x) = 7e−3x2
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 7/ 18
Ayrılabilir Denklemler
y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.
ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x
2eC
C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.
y(x) = Ae−3x2
y(0) = 7 kosulu A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum
y(x) = 7e−3x2
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 7/ 18
Ayrılabilir Denklemler
y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.
ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x
2eC
C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.
y(x) = Ae−3x2
y(0) = 7 kosulu A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum
y(x) = 7e−3x2
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 7/ 18
Ayrılabilir Denklemler
y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.
ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x
2eC
C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.
y(x) = Ae−3x2
y(0) = 7 kosulu
A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum
y(x) = 7e−3x2
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 7/ 18
Ayrılabilir Denklemler
y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.
ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x
2eC
C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.
y(x) = Ae−3x2
y(0) = 7 kosulu A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum
y(x) = 7e−3x2
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 7/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Uyarı
Bir onceki ornekte baslangıc kosulunun y(0) = −4 oldugunuvarsayalım. Bu takdirde y(x), x = 0 komsulugunda negatiftir.Dolayısıyla |y| yerine −y koyabilir ve
ln(−y) = −3x2 + C
elde ederiz. Baslangıc kosulu C = ln4 verir. Buradan
y(x) = −4e−3x2
elde edilir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 8/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Figure : dydx = −6xy diferansiyel denleminin yonlu alanı ve y(0) = 7,
y(0) = −4 baslangıc kosulları icin cozumleri.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 9/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 4
dy
dx=
4− 2x
3y2 − 5
diferansiyel denklemini cozunuz.
COZUM
Degiskenleri ayırır ve her iki yanın integralini alırsak∫(3y2 − 5)dy =
∫(4− 2x)dx+ C
y3 − 5y = 4x− x2 + C
elde ederiz. Bu cozum, x in acık bir fonksiyonu olarak y ye gorecozulemez.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 10/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 4
dy
dx=
4− 2x
3y2 − 5
diferansiyel denklemini cozunuz.
COZUM
Degiskenleri ayırır ve her iki yanın integralini alırsak∫(3y2 − 5)dy =
∫(4− 2x)dx+ C
y3 − 5y = 4x− x2 + C
elde ederiz. Bu cozum, x in acık bir fonksiyonu olarak y ye gorecozulemez.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 10/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 4
dy
dx=
4− 2x
3y2 − 5
diferansiyel denklemini cozunuz.
COZUM
Degiskenleri ayırır ve her iki yanın integralini alırsak∫(3y2 − 5)dy =
∫(4− 2x)dx+ C
y3 − 5y = 4x− x2 + C
elde ederiz. Bu cozum, x in acık bir fonksiyonu olarak y ye gorecozulemez.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 10/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Bir onceki ornekte oldugu gibi cozum y(x) = F (x) seklinegetirilemeyebilir.
G(x, y) = C (C keyfi sabit.)
Formunda elde edilen ve y(x) = F (x) halinde yazılamayancozume Kapalı Cozum adı verilir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 11/ 18
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler
BIRINCI MERTEBEDEN DOGRUSAL(LINEER)DENKLEMLER
dy
dx+ P (x)y = Q(x) (2)
formunda olan diferansiyel denklemlere birinci mertebedendogrusal (lineer) diferansiyel denklem adı verilir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 12/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
YONTEM
1. Cozumeµ(x) = e
∫P (x)dx (3)
fonksiyonunu hesaplıyarak baslayınız.µ(x) fonksiyonuna integral carpanı adı verilir.
2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile carpınız.Denklemin sol tarafı
e∫P (x)dx dy
dx+ P (x)e
∫P (x)dxy =
d
dx[µ(x)y(x)]
olacaktır.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 13/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
YONTEM
1. Cozumeµ(x) = e
∫P (x)dx (3)
fonksiyonunu hesaplıyarak baslayınız.
µ(x) fonksiyonuna integral carpanı adı verilir.
2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile carpınız.Denklemin sol tarafı
e∫P (x)dx dy
dx+ P (x)e
∫P (x)dxy =
d
dx[µ(x)y(x)]
olacaktır.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 13/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
YONTEM
1. Cozumeµ(x) = e
∫P (x)dx (3)
fonksiyonunu hesaplıyarak baslayınız.µ(x) fonksiyonuna integral carpanı adı verilir.
2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile carpınız.Denklemin sol tarafı
e∫P (x)dx dy
dx+ P (x)e
∫P (x)dxy =
d
dx[µ(x)y(x)]
olacaktır.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 13/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
YONTEM
1. Cozumeµ(x) = e
∫P (x)dx (3)
fonksiyonunu hesaplıyarak baslayınız.µ(x) fonksiyonuna integral carpanı adı verilir.
2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile carpınız.Denklemin sol tarafı
e∫P (x)dx dy
dx+ P (x)e
∫P (x)dxy
=d
dx[µ(x)y(x)]
olacaktır.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 13/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
YONTEM
1. Cozumeµ(x) = e
∫P (x)dx (3)
fonksiyonunu hesaplıyarak baslayınız.µ(x) fonksiyonuna integral carpanı adı verilir.
2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile carpınız.Denklemin sol tarafı
e∫P (x)dx dy
dx+ P (x)e
∫P (x)dxy =
d
dx[µ(x)y(x)]
olacaktır.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 13/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklememizd
dx[µ(x)y(x)] = µ(x)Q(x)
seklini alır.
3. Her iki tarafın integralini aldıgımızda
µ(x)y(x) =
∫µ(x)Q(x)dx+ C
buluruz ve genel cozumu elde etmek icin y(x) e gore cozeriz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 14/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklememizd
dx[µ(x)y(x)] = µ(x)Q(x)
seklini alır.
3. Her iki tarafın integralini aldıgımızda
µ(x)y(x) =
∫µ(x)Q(x)dx+ C
buluruz ve genel cozumu elde etmek icin y(x) e gore cozeriz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 14/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklememizd
dx[µ(x)y(x)] = µ(x)Q(x)
seklini alır.
3. Her iki tarafın integralini aldıgımızda
µ(x)y(x)
=
∫µ(x)Q(x)dx+ C
buluruz ve genel cozumu elde etmek icin y(x) e gore cozeriz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 14/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklememizd
dx[µ(x)y(x)] = µ(x)Q(x)
seklini alır.
3. Her iki tarafın integralini aldıgımızda
µ(x)y(x) =
∫µ(x)Q(x)dx+ C
buluruz ve genel cozumu elde etmek icin y(x) e gore cozeriz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 14/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 5
y′ − 2y = 3e2x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Diferansiyel denklemimizde P (x) = −2 ve Q(x) = 3e2x dir.Integral carpanımız
µ(x) = e∫(−2)dx = e−2x
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 15/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 5
y′ − 2y = 3e2x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Diferansiyel denklemimizde P (x) = −2 ve Q(x) = 3e2x dir.
Integral carpanımız
µ(x) = e∫(−2)dx = e−2x
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 15/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 5
y′ − 2y = 3e2x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Diferansiyel denklemimizde P (x) = −2 ve Q(x) = 3e2x dir.Integral carpanımız
µ(x) = e∫(−2)dx
= e−2x
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 15/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 5
y′ − 2y = 3e2x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Diferansiyel denklemimizde P (x) = −2 ve Q(x) = 3e2x dir.Integral carpanımız
µ(x) = e∫(−2)dx = e−2x
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 15/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak
e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x
Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir
d
dx[e−2xy(x)] = 3
Integral alalım ∫d
dx[e−2xy(x)]dx =
∫3dx
e−2xy(x) = 3x+ C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 3xe2x + Ce2x
genel cozumunu elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak
e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x
Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir
d
dx[e−2xy(x)]
= 3
Integral alalım ∫d
dx[e−2xy(x)]dx =
∫3dx
e−2xy(x) = 3x+ C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 3xe2x + Ce2x
genel cozumunu elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak
e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x
Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir
d
dx[e−2xy(x)] = 3
Integral alalım ∫d
dx[e−2xy(x)]dx =
∫3dx
e−2xy(x) = 3x+ C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 3xe2x + Ce2x
genel cozumunu elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak
e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x
Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir
d
dx[e−2xy(x)] = 3
Integral alalım ∫d
dx[e−2xy(x)]dx =
∫3dx
e−2xy(x) = 3x+ C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 3xe2x + Ce2x
genel cozumunu elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak
e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x
Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir
d
dx[e−2xy(x)] = 3
Integral alalım ∫d
dx[e−2xy(x)]dx =
∫3dx
e−2xy(x) = 3x+ C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 3xe2x + Ce2x
genel cozumunu elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak
e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x
Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir
d
dx[e−2xy(x)] = 3
Integral alalım ∫d
dx[e−2xy(x)]dx =
∫3dx
e−2xy(x) = 3x+ C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 3xe2x + Ce2x
genel cozumunu elde ederiz.Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 6
(x2 + 1) dydx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Integral carpanımızı hesaplayalım
µ(x) = e∫
3xx2+1
dx
µ(x) = e32ln(x2+1) = (x2 + 1)3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 17/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 6
(x2 + 1) dydx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Integral carpanımızı hesaplayalım
µ(x) = e∫
3xx2+1
dx
µ(x) = e32ln(x2+1) = (x2 + 1)3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 17/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 6
(x2 + 1) dydx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Integral carpanımızı hesaplayalım
µ(x) = e∫
3xx2+1
dx
µ(x) = e32ln(x2+1) = (x2 + 1)3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 17/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 6
(x2 + 1) dydx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Integral carpanımızı hesaplayalım
µ(x) = e∫
3xx2+1
dx
µ(x) = e32ln(x2+1)
= (x2 + 1)3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 17/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 6
(x2 + 1) dydx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Integral carpanımızı hesaplayalım
µ(x) = e∫
3xx2+1
dx
µ(x) = e32ln(x2+1) = (x2 + 1)3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 17/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemin her iki yanını µ(x) ile carpalım
(x2 + 1)3/2dy
dx+ (x2 + 1)1/23xy = (x2 + 1)3/2
6x
(x2 + 1)
d
dx[(x2 + 1)3/2y(x)] = 6x(x2 + 1)1/2
Intagral alalım
(x2 + 1)3/2y(x) =
∫6x(x2 + 1)1/2dx+ C
(x2 + 1)3/2y(x) = 2(x2 + 1)3/2 + C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 2 + C(x2 + 1)−3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 18/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemin her iki yanını µ(x) ile carpalım
(x2 + 1)3/2dy
dx+ (x2 + 1)1/23xy = (x2 + 1)3/2
6x
(x2 + 1)
d
dx[(x2 + 1)3/2y(x)] = 6x(x2 + 1)1/2
Intagral alalım
(x2 + 1)3/2y(x) =
∫6x(x2 + 1)1/2dx+ C
(x2 + 1)3/2y(x) = 2(x2 + 1)3/2 + C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 2 + C(x2 + 1)−3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 18/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemin her iki yanını µ(x) ile carpalım
(x2 + 1)3/2dy
dx+ (x2 + 1)1/23xy = (x2 + 1)3/2
6x
(x2 + 1)
d
dx[(x2 + 1)3/2y(x)] = 6x(x2 + 1)1/2
Intagral alalım
(x2 + 1)3/2y(x) =
∫6x(x2 + 1)1/2dx+ C
(x2 + 1)3/2y(x) = 2(x2 + 1)3/2 + C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 2 + C(x2 + 1)−3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 18/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemin her iki yanını µ(x) ile carpalım
(x2 + 1)3/2dy
dx+ (x2 + 1)1/23xy = (x2 + 1)3/2
6x
(x2 + 1)
d
dx[(x2 + 1)3/2y(x)] = 6x(x2 + 1)1/2
Intagral alalım
(x2 + 1)3/2y(x) =
∫6x(x2 + 1)1/2dx+ C
(x2 + 1)3/2y(x) = 2(x2 + 1)3/2 + C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 2 + C(x2 + 1)−3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 18/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemin her iki yanını µ(x) ile carpalım
(x2 + 1)3/2dy
dx+ (x2 + 1)1/23xy = (x2 + 1)3/2
6x
(x2 + 1)
d
dx[(x2 + 1)3/2y(x)] = 6x(x2 + 1)1/2
Intagral alalım
(x2 + 1)3/2y(x) =
∫6x(x2 + 1)1/2dx+ C
(x2 + 1)3/2y(x) = 2(x2 + 1)3/2 + C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 2 + C(x2 + 1)−3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 18/ 18