Matematik Bölümü Diferansiyel Denklemler I...Serkan İlter - Diferansiyel Denklemler I (M) / Çalışma Soruları –2 1 Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır,

Diferansiyel Denklemler I (M) Çalışma Soruları –2 28.10.2011 ( )A Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulunuz.

1. . .

2 21( ) ( )xy dx x y ny dy 0x

+ + − =

2. ( sin ) cos .dy y x x dx+ − = 0

0

3. .

2( cos sin ) si 0.nx y y dy y dx− − =

4. . .( 5 ) ( 5 )y x dx x y dy− + − =

5. . . .

1( ) ( )y x dx x y dy 0x

− + + + =

6. cosyy

x y′=−

+

7. ( 0.).) (( ) ( )x n xy y n xyxy dy xy dxx y x y

− + − =+ +

8. , .

2 2( ) 0xdy x y y dx− + + = 2 2( )x y= +μ μ

( )B denkleminin tam diferansiyel denklem olabilmesi için uygun k sayısını belirleyiniz. Bu k sayısı için tam diferansiyel denklemin genel çözümünü .bulunuz.

( ) (. 0.)y yx x dy ky dxe e+ + + =

Serkan İlter - Diferansiyel Denklemler I (M) / Çalışma Soruları –2

1

Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, yazım hatası - eksiklikler vs.. olabilir.. kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız.. Çözümler…

(son güncelleme : 28.10.2011)

………………………

Önbilgi .1 (Bazı Diferansiyeller)

Tablo

. .xd u uuy

dx

yd∂ ∂= +∂ ∂

, ( , )u u x y=

1 . .( )d y d dy x x yx = +

( ). .( ) 2 xx yd d d2 2 y2 x y± ±=

3 . .( ) x dy

2xy dd

xy x−=

4 . .( )arctan 2 2

x d y ddx yyy

x−=+

x

………………………

Serkan İlter

Comment on Text

e-mail: [email protected], [email protected] Web: http://www.istanbul.edu.tr/fen/personelakafen.php?id=387


2

………………………

Önbilgi .2 (İntegrasyon Çarpan Araştırması)

Tablo

. . 0NdM x dy+ = Denk. için μ İntegrasyon Çarpanı Araştırması

Koşullar integrasyon çarpanı Açıklamalar

1 ( )

Nx

My x

N

.( )( ) x dϕ

∂ ∂−∂ ∂ =

xx e ϕμ μ ∫= =

( )

xϕ (yalnızca x-e bağlı)

bir fonksiyon

2 ( )

Nx

My y

M

y yϕ

∂ ∂−∂ ∂ =−

.( )( ) dy e ϕμ μ ∫= =

ϕ

( )y (yalnızca y-ye bağlı)

bir fonksiyon

3 ( )ww

Nx

Nx

My

M wy

ϕ

∂ ∂−∂ ∂ =∂ ∂−∂ ∂

.( )( ) w dww e ϕμ μ ∫= =

( , )w w x y= (hem x-e hem y-ye bağlı),

(yalnızca w-ya bağlı)

bir fonksiyon

( )wϕ

Not.

1.durum: yalnızca x-e bağlı;

2.durum: yalnızca y-ye bağlı;

3.durum: hem x-e hem y-ye bağlı

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭:

integrasyon çarpanı

araştırmalarında kullanılacaktır!

………………………


3

A1. (Tam Diferansiyel denklem)

. .

2 21( ) ( )xy dx x y ny dy 0x

+ + − = için yazımından: . . 0M dx N dy+ =

2 1M xy

x= +

2x y yN n= −

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⇒ 2xy NMy x

∂ ∂= =∂ ∂

⇒ Denklem: Tam Dif.

. xd u uu .

yd

xyd∂ ∂= +

∂ ∂

.. . ( )dMu x f y= +∫

.. .

2 1( ) ( )xy dx f yx

= + +∫

.

2 2( )

2x y n x f y= + + …(A1-i)

.. . ( )dNu y g x= +∫

.. .

2( ) ( )x y ny dy g x= − +∫

.. .

1.

2 2( )

2I

x y ny dy g x

=

= + +∫

2 2

( )2

x y y ny y g x− + += …(A1-ii)

( 1I için kısmi integrasyon ile: bulunur (inceleyiniz!).) 11 y ny yI k= − +

(A1-i) ve (A1-ii) den: , .( )g x n x= ( )f y y y n= − y bulunur.

⇒ .

2 2

2x y n x y nu y y= + + − olur. Genel Çözüm idi. u c=

⇒ .

2 2

2x y n x y y ny c+ + − = [ ]Genel Çözüm


4

A2. (İntegrasyon Çarpanı ile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem)

için ( sin ) cos .dy y x x dx+ − = 0 . . 0M dx N dy+ = yazımından:

cos sin cosy x xM x= −

1N =

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⇒ cos 0xM Nxy

∂ ∂= ≠ =∂ ∂

⇒ Denklem: Tam Dif. DEĞİL!

Ancak denklem, “integrasyon çarpanı “ ile Tam Dif. denklem haline getirilebilir mi?

inceleyelim!

cos 0 cos1

Mxy x

Nx

N

∂ ∂−−∂ ∂ = =

yalnızca x-e bağlı bir fonksiyon elde edildi. O halde Önbilgi2-Tablo:1 den

. .cos sin( )

Nx x

M

d xy

N dx xe ex eμ

∂ ∂−∂ ∂∫ ∫= = =

intergrasyon çarpanı: ⇒ sin( ) xexμ = .

Şimdi denklemin her iki tarafını sin( ) xx eμ = ile çarpalım ve denklemin Tam Dif. Denk.

haline geldiğini kontrol edip, çözelim.

⇒ .

sin sin( sin ) cos . 0x xe dy y x x e dx+ − =

Bu son denklem için yazımından: . . 0M dx N dy+ =


5

sin( sin )c .os xy x x eM = −

sin xN e=

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⇒ sins .co xx e NMy x

∂ ∂= =∂ ∂


. xd u uu .

yd

xyd∂ ∂= +

∂ ∂

.. . ( )dMu x f y= +∫

…(A2-i)

.. .

1.

sin( sin )cos (. x

I

y x x e dx f

=

= − +∫ )y

.

sin sin( 1 sin ) ( )x xye x e f y+ − + +=

.. . ( )dNu y g x= +∫

.. .

sin ( )xe dy g x= +∫

…(A2-ii) sin ( )xye g x= +

( 1I için sin x t= dönüşünü yapılarak;

1

intkısmi egrasyon

.. . . .. . .. .1 ( ) tt ty t e dt y e dI t te dt= − = +∫ ∫ ∫

şeklinde bulunur (inceleyiniz!).)

(A2-i) ve (A2-ii) den: .

sin( ) ( 1 sin ) xg x x e= − + , bulunur. ( ) 0f y =

⇒ . .

sin sin sin( 1 sin ) ( 1 sin )x xye x e y x eu= + − + = − + x olur. Genel Çözüm idi. u c=

⇒ .

sin( 1 sin ) xy x e− + c= [ ]Genel Çözüm


için .

2( cos sin ) si 0.nx y y dy y dx− − = . . 0M dx N dy+ = yazımından:

sinM y=−

2cos sinx y yN = −

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⇒ cos cosy Nxy

yM∂ ∂=− ≠ =∂ ∂



6

Ancak denklem, “integrasyon çarpanı “ ile Tam Dif. denklem haline getirilebilir mi?

inceleyelim!

cos cos 2cos 2cotsin siny y y y

y

NMy x

M y

∂ ∂−− −∂ ∂ = =− =−

−

yalnızca y-ye bağlı bir fonksiyon elde edildi. O halde Önbilgi2-Tablo:2 den

2cot 2 (si2

. n ). 1( )sin

d y

My y

M dy

Nx

n yy e e ey

μ

∂ ∂−∂ ∂

− −−∫ ∫= = = =

⇒ intergrasyon çarpanı: 21( )

sin yyμ . =

Şimdi denklemin her iki tarafını ile çarpalım ve denklemin Tam Dif. Denk. haline

geldiğini kontrol edip, çözelim:

( )yμ

⇒ .2cos 1( 1)i

. 0sins n

x y dy dxyy

− − = ( ) sin 0y ≠


1sin

M =−y

2cos 1

sinyN xy

= −

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⇒ 2cossin

M yy

Ny x

∂ ∂= =∂ ∂



7

. xd u uu .

yd

xyd∂ ∂= +

∂ ∂

.. . ( )dMu x f y= +∫

.. .

1 ( )sin

dx f yy

=− +∫

( )sin

x f yy+=− …(A3-i)

.. . ( )dNu y g x= +∫

.. .2cos 1 (

sin( )x y dy g x

y= − +∫ )

.. .

1

2

.

cos ( )sin

I

yy x dyy

=

− += + ∫ g x

( )sin

xy g xy

− − += …(A3-ii)

( 1I için dönüşünü yapılarak; sonuçta sin y t= 111

sinkI

y=− + bulunur (inceleyiniz!).)

(A3-i) ve (A3-ii) den: , ( ) 0g x = ( )f y =−y bulunur.

⇒sin

xy

u y=− − olur. Genel Çözüm idi. u c=−

⇒ sinxy c

y+ = [ ]Genel Çözüm

sin 0y= ⇒ ( ) için çözüm araştırması: y kπ= 0, 1,...k = ±

Denklemi sağlar (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir çözümüdür. Genel çözüme dikkat

edilirse, Tekil-Çözümü olduğu görülür (gözlemleyiniz!).

A4.

I. yol : Homojen denklemden çözüm bulunabilir!

II.yol : A1 deki yapılanlara benzer şekilde Tam Dif. denklemden çözüm bulunabilir!

III.yol : Gruplandırma: Önbilgi1-Tablo: 1 ve 2 den yararlanarak

. .( 5 ) ( 5 ) 0y x dx x y dy− + − = ⇒ 2 21 ( )( )d xy=

2

5 0( )d x y

ydx xdy xdx ydy=

++

− + =


8

⇒ 2 25( ) ( ) 02

d xy d x y− + = ⇒ 2 25 ( )2

( )d xy x y− + = 0

⇒ 2 25 ( )2

xy x y− + = c [ ]Genel Çözüm

A5.

I. yol : A1 deki yapılanlara benzer şekilde Tam Dif. denklemden çözüm bulunabilir!

II.yol : Gruplandırma: Önbilgi1-Tablo: 1 ve 2 den yararlanarak

. . .

1( ) ( ) 0y x dx x y dyx

− + + + = ⇒ 2 21 ( ) ( )2

( )d xy=

1 0( )d x d nxy

ydx xdy xdx ydy dxx=− =

+ + − + =−

+

⇒ 2 21( ) ( ) ( ) 02

d xy d x y d nx− − + = ⇒ 2 21 ( )2

( )d xy x y nx− − + = 0

⇒ 2 21 ( )2

xy x y nx− − + = c [ ]Genel Çözüm

A6. Gruplandırma: Önbilgi1-Tablo: 1 den yararlanarak

cosyy

x y′=−

+ ⇒ .

( )d xy=cos5 0y dyydx xdy+ + =

.

⇒ . ..( ) cosd xy y dy=−∫ ∫

⇒ sinxy y−=

c+ [ ]Genel Çözüm

A7. Gruplandırma:

( 0.).) (( ) ( )x n xy y n xyxy dy xy dxx y x y

− + − =+ +


9

⇒ [ ]( )n xy xdy ydx xydx xydyx y

+ = ++

⇒ [ ] [ ]( ) ( )d xy d x y

( )n xy xdy ydx dx dy= = +

+ = +xyx y+

⇒ ( ) ( ) )) ((n xy d xy x y d x yxy

= + +

şimdi her iki tarafın integrali alınırsa, 2

12. .nu n udu k

u= +∫ (inceleyip, ara işlemleri

yapınız!) ve 2

2. .2

wwdw k= +∫ bilgilerinden; 2 2( )2 2( )n xy x y c+=

2+

xdy x y y dx− + + =

bulunur.

⇒ 2 (( ) )n xy x y c= + +2 [ ]Genel Çözüm


.

2 2( ) 0 için . . 0M dx N dy+ = yazımından:

2 2x y yM =− − −

N x=

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⇒ 2 1 1xyNM y∂ ∂=− − ≠ =

∂ ∂


2 2( )x yμ μ += formunda bir integrasyon çarpanı araştıracağız!

2 2w x y= + ⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

2w x

x∂ =∂

2w yy

∂ =∂

Hem x-e hem y-ye bağlı integrasyon çarpanı, genel formda ( , )w w x y= için aşağıdaki şekilde

araştırılıyor idi:


10

2 2 2 2 2 22 1 1 2 2

(2 ) ( ). .

(2 ) 2( ) 2 ( )

My

M

Ny y

x x x y y y xx

Nyw y xw y

xy

∂ ∂−− − − − −∂ ∂ = =∂ ∂ + + + + + +−

∂ ∂

2 2 2 22 2 1 1

( )(2 2).

( )y

wx y y x y− −= =− =−+ + +

( ) 1y ≠−

yukarıdaki eşitlik sonucu, yalnızca w-ya bağlı bir fonksiyon elde edildi.

O halde Önbilgi2-Tablo: 3 den

.1

2 2

.1 1( )

w wdw n

d

Nx

My

M y

wwN xw

ewx

ey

ew

μ− −

∂ ∂−∂ ∂∂ ∂−∂ ∂ ∫= = = = =

+

∫

intergrasyon çarpanı: ⇒ 2 21

x yμ=

+.

Şimdi denklemin her iki tarafını 21

2x yμ=

+ ile çarpalım ve denklemin Tam Dif. Denk.

haline geldiğini kontrol edip, çözelim.

⇒ .2 2 2 2(1 ) 0x ydy dxx y x y

− + =+ +


2 21 yy

Mx

=− −+

2 2N xx y

=+

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

⇒ 2 2

2 2 2...

( )x y

x yNM

y x∂ − + ∂= =∂ ∂+



11

. xd u uu .

yd

xyd∂ ∂= +

∂ ∂

.. . ( )dMu x f y= +∫

..

1

2

.

2 ( )

I

yx dx f yx y=

=− − ++∫

arctan ( )xx f yy

− +=− …(A8-i)

.. . ( )dNu y g x= +∫

.. .

2.

2 2 ( )

I

x dy g xx y=

= ++∫

arctan ( )x g xy

− += …(A8-ii)

1I için .. .. 121 2 2

1 1

( )a

1arct nyy dx dx kxx y

xy

y

Iy

=− = = ++ +

−∫ ∫ ,

2I için benzer şekilde 22 arctanI y kx

= + bulunur, “ 1arctan arctan2

kk

π+ = ” özelliğinden

3

2 3

diyeli2k= m

2 arcta arctn ( an( ) )x xI k kyy

π=− + + +−= yazılabilir.

(A8-i) ve (A8-ii) den: , bulunur. ( )g x x=− ( ) 0f y =

⇒ arctan xxy

u=− − olur. Genel Çözüm idi. u c=−

⇒ arctan xx cy

+ = [ ]Genel Çözüm

B. için yazımından: . .( ) ( )y yx x dy ky dxe e+ + + = 0

kye= +

. . 0M dx N dy+ =

yM

yN x xe= +

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⇒ yM ky

e∂ = +∂

, 1yNx

e∂ = +∂

Denklemin Tam Dif.Denk. olabilmesi için NMxy

∂ ∂=∂ ∂

şartı sağlanmalıdır:


12

⇒ 1 ⇒ bulunur. y yke e+ = + 1k =

Şimdi

Tam Dif. Denk. in çözümünü bulalım:

. .( ) ( )y yx x dy y dxe e+ + + = 0

. xd u uu .

yd

xyd∂ ∂= +

∂ ∂

.. . ( )dMu x f y= +∫

.. .( ) (y )y dx f ye= + +∫

( )yx xy f ye= + + …(B-i)

.. . ( )dNu y g x= +∫

.. .( )y ( )x x dy g xe= + +∫

( )yx xy g xe= + + …(B-ii)

(B-i) ve (B-ii) den: , bulunur. ⇒ ( ) 0g x = ( ) 0f y = yu x xye= + olur. Genel Çözüm

idi. u c=

⇒ yx xy ce + = [ ]Genel Çözüm

Documents

Matematik Bölümü Diferansiyel Denklemler I...Serkan İlter - Diferansiyel Denklemler I (M) / Çalışma Soruları –2 1 Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır,