Departamento de Física‐Universidad Nacional de ColombiaMecánica Newtoniana ‐ Semestre I‐2013 

Problema de Bonificación 1

La fricción generalizada: Considere elmovimiento a lo largo del eje x de un cuerpo demasam bajo laaccióndeunafuerzadefriccióngeneralizadadelaforma:

𝑓 = −𝐶𝑣!𝚤, (1) conCunaconstante,v la rapidez del cuerpo y n un potencia positiva. Asuma como condición inicial en t = 0 que 𝑣(0) = 𝑣! y 𝑥(0) = 0. Realice un estudio detallado del movimiento del cuerpo según sea el valor de n. Para eso, resuelva las preguntas en las siguentes etapas: Etapa I:Aproximación de Stokes (n = 1)   

1. Asumiendo el valor n  =  1 en la ecuación (1), plantee la ecuación demovimientodelcuerpo,expresandolaaceleracióncomoladerivadadelavelocidad.Integrandolaecuación,demuestrequelevelocidaddelcuerpoenfuncióndeltiempoes:

𝑣 𝑡 = 𝑣!𝑒!!" ,(2)

con𝛾 = 𝐶/𝑚.

2. Teniendoencuentalaregladelacadena,laaceleraciónsepuedeexpresarcomounaderivadarespectoalaposiciónsegún:

𝑎 =𝑑𝑣𝑑𝑡 =

𝑑𝑣𝑑𝑥𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑣

𝑑𝑣𝑑𝑥 .                                        (3)

Use la formaanteriorde laaceleraciónen laecuacióndemovimiento,eintegrelarespectoalaposición.Demuestrequelaposicióncumpleconlarelación:

𝑥 𝑡 = !!!𝑣 𝑡 − 𝑣!  ,(4)

con v(t)  la velocidad dada por la ecuación (2). Usando (2), escriba lasolución(4)enfunciónexplícitadeltiempo.

Etapa II:Caso general con 𝑛 ≠ 1

3. Ahoraasumaelcasogeneralcon𝑛 ≥ 0perodiferentede1enlaecuación(1). Plantee de nuevo la ecuación demovimiento del cuerpo y procedaanálogoalpunto1paraobtener laexpresiónde lavelocidaden funcióndeltiempo.

4. Considereelcasolímitesinfricción(C = 0)enelresultadoanterior.¿Esdeesperarloobtenido?

5. Vuelva a plantear la ecuación de movimiento usando la forma para la

aceleracióndelaecuación(3).Procedaanálogoalpunto2paraobtenerlaexpresióndelaposiciónenfunciónexplícitadeltiempo.

Etapa III:Análisis Gráfico   

6. Asuma los siguientes valores numéricos:𝐶 = 1𝑁𝑠! 𝑚! , 𝑣! = 1𝑚 𝑠 ,𝑚 = 1 𝑘𝑔.En unamisma figura, realice las gráficas de velocidad contratiempoparaloscasos𝑛 =0,0.5,1,1.5,2y3.

7. Con los mismos valores del punto anterior, realice las gráficascorrespondientesaposicióncontratiempo.

8. Calcule:

a. Eltiempoydistanciarecorridaparaelcuálelcuerpollegaalreposoen

loscasos𝑛 < 1.

b. La distancia límite cuando la velocidad tiende a cero para los casoscon1 ≤ 𝑛 < 2.

c. ¿Quésucedeconlaposiciónylavelocidadenelcaso𝑛 ≥ 2enellímite

deltiempotendiendoainfinito?‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Fecha de entrega:  

Miércoles,Abril17