Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)

8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)

1/134


2/134

2

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIOARA

DEPARTAMENTUL PENTRU PREGTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

Metodica rezolvrii problemelor

de coliniaritate i concuren

Coordonator tiinific:

PROF. UNIV. DR. ION DORU ALBU

Candidat:

Profesor DANIELA RODICA BORDNC

Unitatea de nvmnt: Liceul Tehnologic

IOSIF CORIOLAN BURACU

Prigor, Cara - Severin

Timioara

2013


3/134

3

CUPRINS

METODICA REZOLVRII PROBLEMELOR DE COLINIARITATE

I CONCUREN

Introducere ........4

CAP.I. NOIUNI PRELIMINARE ................5

1. Planul euclidian (axiomele lui Birkhoff)...........5

2. Spaiul vectorilor geometrici din planul euclidian (operaii, proprieti de calcul

vectorial).......14

3. Reper cartezian, sistem de coordonate n planul euclidian......21

Cap.II. COLINIARITATE.........................25

1. Ce nseamn o problem de coliniaritate?

Criterii de coliniaritate...........................................................................................25

2. Teoreme i probleme de coliniaritate (aplicaii).....................................................45

Cap.III. CONCUREN.........................................................................................................60

1. Ce nseamn o problem de concuren?

Criterii de concuren.............................................................................................60

2. Teoreme i probleme de concuren

(aplicaii).......................................................77

Cap.IV. DUALITATEA COLINIARITATECONCUREN............................................89

1. Teorema lui Desargues............................................................................................89

2. Proprietatea de dualitate polar (n raport cu un unghi, un

cerc)............................93

Cap.V. CONSIDERAII METODICE................................................................................100

.1. Observaii metodice (locul i rolul problematicii n programele colare)............100

.2. Chestiuni de evaluare...........................................................................................103


4/134

4

INTRODUCERE

Coliniaritatea i concurena sunt concepte fundamentale n geometrie. Att sub

aspectul teoretic, ct i sub cel al problemelor , al aplicaiilor , ele au preocupat pe

geometri nc din antichitatea greac ; contribuiile lui Euclid, Arhimede, Menelaus, Pappus,

Apollonius au trecut proba timpului rmnnd pn azi rezultate importante n domeniul

abordat de noi. Problematica a rmas n atenia multor nume ilustre din perioada Renaterii

i epocii moderne : Leonardo da Vinci, Federigo Commandino, Grard Desargues,

Evangelista Torricelli, Blaise Pascal, Giovanni Ceva, Isaac Newton, Leonard Euler, Carl

Friedrich Gauss, Victor Poncelet, Michel Chasles, Jacob Steiner .a.

Interesul pentru aceast tem este motivat de existena unui numr mare de propoziiimatematice foarte elegante, care concluzioneaz proprietile de concuren i coliniaritate,

n ipoteze, fie foarte generale, fie foarte speciale. Problemele de coliniaritate i concuren

reprezint adevruri n general uor de intuit, dar a cror demonstrare riguroas necesit

raionamente precise i o gam variat de tehnici specifice, solicitnd rezolvatorului nu

numai cultur matematic, dar i inventivitate. Se poate vorbi despre importana lor n

didactica geometriei la toate nivelurile, n special n ceea ce privete metodele diverse de

abordare i de rezolvare. Spre exemplu, propoziia binecunoscut : "n orice trapez

mijloacele bazelor, punctul de intersecie a laturilor neparalele i punctul de intersecie a

diagonalelor sunt coliniare" poate fi stabilit la clasa a VII-a utiliznd asemnareatriunghiurilor, eventual reciprocele teoremelor lui Menelaus i Ceva, la clasa a IX-a cu calcul

vectorial, la nivelul clasei a X-a folosind numere complexe, iar la nivelul clasei a XI-a cu

metoda coordonatelor carteziene sau utiliznd transformri geometrice.

Nu n ultimul rnd, remarcm c, n ultimii ani, tot mai multe probleme

de concuren i coliniaritate se propun la concursuri.

Aparent proprieti disparate, coliniaritatea i concurena sunt de fapt complementare, ntr-

o relaie direct mai mult dect formal, ele determinndu-se reciproc n exprimarea

dualismului armonic sau a dualismului polar. Cel mai simplu argument este c , uneori, aarta c trei drepte sunt concurente se reduce la a arta c punctul de intersecie a dou

dintre ele este coliniar cu dou puncte distincte aparinnd celei de a treia.

Structura lucrrii urmeaz firesc scopul propus. O prezentare a cadrului geometric i a

tehnicilor i "instrumentelor de lucru" necesare (plan euclidian,vectori geometrici sisteme

de coordonate, raport simplu ) face obiectul Capitolului I. Preliminarii. Capitolele II i III

trateaz coliniaritatea i respectiv concurena, dup acelai program: criterii, teoreme

importante i aplicaii, iar Capitolul IV este dedicat corelaiilor de dualitate care se pot stabili

ntre coliniaritate i concuren. Bibliografia conine peste 15 referine citate pe parcursul

lucrrii, din mult mai numeroasele surse pe care le-am consultat n timpul elaborrii acesteisinteze.


5/134

5

Metodica rezolvrii problemelor de coliniaritate i concuren

CAPITOLUL I

PRELIMINARII

([1], [2], [5], [10], [14])

1. Planul euclidian (cu axiomatica dup Birkhoff)

n construcia riguroas a geometriei este nevoie de unele cunotine preliminare din

teoria mulimilor i de proprietile algebrice, de ordine, de continuitate i metrice ale

mulimii numerelor reale R . De asemenea , se consider o serie de noiuni, numite noiuni

primare sau fundamentale,precum i o serie de relaii primaresau fundamentale. Aceste

noiuni i relaii primare nu primesc n geometrie o definiie direct, informaii despre

coninutul lor fiind furnizate de un sistem de axiome , care este o colecie minimal de

propoziii independente , numite axiome. Axiomele sunt admise fr demonstraie i

reprezint punctul de plecare n construcia geometriei.

Celelalte noiuni geometrice ( noiuni derivate) sunt introduse treptat, cu ajutorul

noiunilor primare i al altor noiuni derivate , prin definiiidirecte. Proprietile geometrice

stabilite (deduse) prin demonstraii, cu ajutorul axiomelor i definiiilor, se numesc teoreme

(cele de importan mai mic sau care pregtesc alte teoreme se mai numesc leme sau

propoziii sauobservaii). Unele consecine directe ale unei teoreme se numesc corolare.

Exist diverse posibiliti de a alege ansamblul noiunilor i relaiilor primare, precum i

al propoziiilor primare ( axiomelor). n axiomatica lui G.D.Birkhoff (1884-1944) pentru

geometria plan se consider urmtoarele noiuni fundamentale: punct, dreapt, funcia

distan ntre dou puncte i funcia msur a unghiurilor. n alte sisteme axiomatice

noiunile fundamentale pot fi altele; de exemplu, n axiomatica lui Hilbert noiunile

fundamentale sunt: punct, dreapt, incidena, relaia ntre i congruena.

Axiomele geometriei n plan ,dup Birkhoff, se grupeaz n: axiome de apartenen,

axioma riglei, axioma de separare, axiomele unghiului, axioma de congruen i axioma


6/134

6

paralelelor.Structura matematic definit de aceste axiome se numete planul euclidian i

constituie cadrul geometric n care vom trata problematica de coliniaritate i concuren.

I.Axiomele de apartenen ( sau de inciden )

Primul grup de axiome se enun astfel:

I.1 Planuleste mulimea punctelor, pe care o notmcu E.

I.2 Orice dreapt este o submulime a lui E.

I.3 Orice dreapt conine cel puin dou puncte. n plan exist trei puncte care nu aparin

aceleai drepte.

I.4 Pentru dou puncte distincte exist o dreapt i numai una care le conine.

Dac A este un punct i d este o dreapt, relaia dA se citete astfel: punctul A

aparine dreptei d sau d conine A sau punctul A i dreapta dsunt incidente. Punctele A, B,

C se zic coliniare, dac exist o dreapt d , astfel ca .,, dCdBdA Fie A i B dou

puncte distincte. Potrivit axiomei I.4 exist o singur dreapt d , astfel nct dBdA , ;

aceast dreapt dva fi notat cu AB. O prim consecin se obine prin metodareducerii la

absurd. Ea const n a arta c ipoteza i negarea concluziei teoremei conduc la o

contradicie.

Teorem: Dou drepte diferite au cel mult un punct comun.

De asemenea, se poate formula prima definiie important.

Definiie. Fie d1, d2 dou drepte distincte din plan. Se spune c dreptele d1i d2 sunt

paralele i se scrie d1 || d2 , dac d1d2 = .n caz contrar, d1i d2 se numesc secante.

Un sistem de drepte care conin un punct AE se numetefascicul de drepte cu centrul

A. O familie de drepte paralele dou cte dou se numete fascicul de drepte paralele.

Familia tuturor dreptelor paralele cu o dreapt d se numete direcialui d.

II. Distana i axioma riglei

tim din experien c fixnd o unitate de msur (un segment etalon) i folosind

procedeul de msurare, fiecrei perechi de puncte putem face s-i corespund un numr

real (nenegativ) unic, distana dintre cele dou puncte. n axiomatica lui Birkhoff funcia

distan este o noiune fundamental. Admitem deci, c oricare ar fi punctele A,B E exist

un numr real unic, notat cu AB sau (A,B), care se numete distana ntreA i B. Pentru

dou puncte oarecare A i B, distana AB este un numr real unic.


7/134

7

Cu imaginea reprezentrii numerelor reale pe o dreapt putem defini o coresponden

biunivoc ntre mulimea punctelor unei drepte i mulimea numerelor reale R. Prin axioma

urmtoare admitem existena i precizm proprietile unei astfel de funcii .

Axioma riglei: Fie d o dreapt oarecare i O, A d dou puncte distincte. Exist o

unic funcie f : MdM

x R, astfel nct s fie satisfcute urmtoarele condiii:

1.f este o funcie bijectiv ;

2. 0,0 AO xx ;

3.oricare ar fi punctele P,Qd , are loc relaia: .PQ xxPQ (formula distanei)

Prin aceast axiom se mai precizeaz c funcia ,: Rdf definit prin f(M) =M

x ,

este determinat n mod unic de condiiile 1), 2) i 3).

Definiie. Funcia Rdf : se numete sistem de coordonate carteziene normale

(s.c.c.n.) pe dreapta d, punctul A originea lui,iar numrulM

x abscisa sau coordonata

punctului M relativ la f .

Teorem: Oricare ar fi punctele P, Q, R coliniare, au loc urmtoarele proprieti:

.

;

;0;0

QRPQPR

QPPQ

QPPQPQ

Se spune c punctul M separpunctele A i B sau c M este ntreA i B , scriind A - M

- B sau B - M - A , dac A, B, M sunt coliniare i AM MB = AB.

Se numete segmentul deschiscu extremitile A i B figura :

(AB) := {M | A - M - B} .

Figura [AB] := (AB) {A,B} este segmentul nchisasociat.

Dac d este o dreapt, atunci fiecare pereche de puncte O , A d determin pe d dou

figuri :

d1:= {Md\O-| O nu separ A i M- ; d2:= { Md\O-| O separ A iM}

numite semidreptele deschise (opuse) determinate de O pe d. d1 se mai notez cu (OA .

[OA:= (OA{O} este semidreapta nchis cu origineaO, care conine pe A.

Pe mulimea semidreptelor deschise (nchise) ale unei drepte d se definete relaia de

echivalen : semidreptele (AB i (CD au acelai sens dac (AB (CD este o semidreapt. ncaz contrar, (AB i (CD au sensuri opuse.


8/134

8

Dou segmente *AB+ i *CD+ se numesc congruente i se scrie *AB+ *CD+ , dac *AB+ i

*CD+ au aceeai lungime i.e. AB = CD. Se scrie *AB+ *CD+ dac AB CD .

Mijlocul segmentului [AB] este unicul punct M(AB) , pentru care [AM] [MB].

Fie punctele coliniare A, B, M pe dreapta d , M B.

Definiie. Se numete raportul n careM divide bipunctulsau segmentul orientat (A,

B) numrul kR \ {1} definit prin :

].[,

),[,

:

ABMMB

MA

ABMMB

MA

k

Un unghi n E este reuniunea a dou semidrepte nchise (laturile sale) avnd aceeaiorigine (vrful su). Dac h = *AB , k = *AC , atunci unghiul determinat de h i k este

khkh , care se mai noteaz prin : BAC , CAB, CAB , BAC sau A . kh este un unghi

nul, dac h = k ; kh este un unghi alungit dac h , k sunt semidrepte opuse ; n celelalte

cazuri kh este un unghi propriu.

Un poligon cu n laturi A1A2...An (unde n 3) este o linie poligonal nchis , cu

proprietate c oricare dou laturi adiacente au suporturi distincte i oricare dou laturi

neadiacente sunt disjuncte. Ak sunt vrfurile, iar [AkAk+1] sunt laturile sale ( nk ,1 ).

O figur F E se numetefigur convex dac

A, B E [AB] F .

Prin definiie, i F =A-, AE , sunt figuri convexe.

III. Axioma de separare a planului

Definiie.Fie d o dreapt i A,B dou puncte ale planului E, nesituate pe d. Se spune c

dreapta d separ punctele A i B sau c A i B sunt de o parte i de alta a lui d, dac

segmentul (AB) are un punct comun cu d i.e. d (AB) .n caz contrar se spune c A i B

sunt de aceeai parte a dreptei d sau c d nu separA i B .

Axioma de separare a planului: Fie o dreapt d i trei puncte distincte A, B, C E \ d .

Dac d separ punctele A, B i d nu separ punctele B, C, atunci d separ punctele C , A .


9/134

9

Consecin. O dreapt care intersecteaz un triunghi, dar nu conine niciun vrf al su,

intersecteaz exact dou laturi ale triunghiului.

Definiie.Fie A un punct nesituat pe dreapta d. Figura

(dA := { ME | d nu separ A, M-

se numete semiplanul (deschis) limitat ded care conine pe A, iar dreapta d este frontiera

sa.

[dA :=(dA d este semiplanul nchisasociat.

Observaii.1) Dac B(dA , atunci (dA = (dB.

2) Figura S' := {ME | d separ A, M- se numete semiplanul opuslui (dA n raport cu d.

Dac P (dA i Q S, atunci d separ P , Q.

3) (dA i S' sunt nevide , disjuncte , iar (dA S' = E \ d.

4) (dA i S' sunt figuri convexe.

Fie un unghi propriu CAB i b = AB , c = AC dreptele suport ale laturilor sale. Se

numete interiorul unghiului CAB figura :

( CAB ) := (bC (cB .

( CAB ) este o figur convex .

Un poligon A1A2...An se numete poligon convex dac oricare ar fi k{1,2,...,n}, toate

vrfurile diferite de Aki Ak+1sunt de aceeai parte a dreptei AkAk+1(An+1 = A1). n caz contrar,

A1A2...Anse numetepoligon concav.

Se numete interiorul poligonului convexA1A2...An figura

(A1A2...An) := ( )1A )( 2A ... ( )nA .

Se numete suprafaa poligonal convex cu frontiera A1A2...An figura

[A1A2...An] := A1A2...An(A1A2...An) .

AB

Cb

c

BAC


10/134

10

Se numete suprafa poligonalreuniunea unui numr finit de suprafee poligonale

convexe cu interioare disjuncte.

Teorem. Orice suprafa poligonal convex cu n laturi (n > 4) admite cel puin o

triangulare n n-2 suprafee triunghiulare. Orice suprafa poligonal este triangulabil .

IV. Axiomele unghiului

Vom nota cu U mulimea unghiurilor din E. Ultima noiune fundamental pe care o

introducem este inspiratde procedeul de msurare a unghiurilor cu raportorul.

Admitem existena unei funcii m: U*0,180+, numit funcia msur a unghiurilor(n

grade), care satisface urmtoarele axiome:

U.1. 0)( BOAm dac i numai dac BOA este un unghi nul; 180)( BOAm dac i

numai dac BOA este un unghi alungit.

U.2. (Axioma de construcie a unghiurilor) Fie (OA o semidreapt i S un semiplan

limitat de dreapta OA. Pentru orice numr )180,0( exist o semidreapt unic (OB

inclus n S , astfel ca )( BOAm .

U.3. ( Axioma adunrii unghiurilor) Dac BOA

i COB

sunt unghiuri adiacente cu(OB )( COA sau unghiuri adiacente suplementare, atunci

)()()( COAmCOBmBOAm .

n particular, suma msurilor unghiurilor adiacente suplementare este egal cu 180.

Dou unghiuri se numesc suplementare(respectiv, complementare) dac suma msurilor lor

este 180 (respectiv, 90). Dou unghiuri kh , '' kh se numesc opuse la vrfdac au acelai vrf

i laturile lor sunt semidrepte opuse, de pild (h,h') , (k,k') sunt perechi de semidrepte

opuse.

A1 A2

A3

A4

A5A6

A7

B5B6

B7

B8

B1 B2

B3

B4


11/134

11

Dou unghiuri BOA , ''' BOA U se numesc congruente i se scrie BOA ''' BOA ,

dac m( BOA ) = m( ''' BOA ). Un unghi BOA este un unghi dreptdac este congruent cu un

suplement al su , echivalent , dac m( BOA ) = 90.

Dou unghiuri sunt n relaia kh

'' kh , dac )

( khm )''( khm .

Teoreme. 1) Dou unghiuri care au acelai suplement ( respectiv, complement) sunt

congruente.

2) Dou unghiuri opuse la vrf sunt congruente.

3) Toate unghiurile drepte sunt congruente.

Dou dreptese numescperpendicularedac formeaz un unghi drept. Dac d i d' sunt

drepte perpendiculare, atunci se noteaz d d' sau d' d.

Teoreme. 1) Dou drepte perpendiculare formeaz patru unghiuri drepte.

2) Dat o dreapt d i un punct Ad , exist o unic dreapt d', astfel nct Ad' i d' d.

Semidreapta *OC se numete bisectoarea unghiului propriu BOA dac (OC ( BOA ) i

COA BOC . Bisectoarea unui unghi propriu exist i este unic.

Se numete mediatoarea segmentului[AB] dreaptacare conine mijlocul lui *AB+ i este

perpendicular pe AB.Mediatoarea unui segment exist i este unic.

Se numete unghi exterior al unui triunghiun unghi care este adiacent i suplementar

unuia dintre unghiurile triunghiului. Un triunghi are ase unghiuri exterioare, cte dou n

fiecare vrf ; unghiurile exterioare corespunztoare unui vrf sunt congruente.

Se numete unghiul a dou dreptecel mai mic dintre unghiurile formate de cele dou

drepte. Dac d1, d2sunt dou drepte din planul E , atunci m( ) 21dd [0, 90].

m( ) 21dd = 0 d1 || d2 ; m( ) 21dd = 90 d1 d2 .

Definiie.Dou triunghiuri ABC i ABC se numesc congruentei se noteaz ABC

ABC, dac exist o coresponden (omologie) ntre vrfuri,

A A' , B B' , C C',

astfel nct

),''()(),''()(),''()( CBBCCAACBAAB

' AA , ' BB , ' CC .


12/134


13/134

13

Teorema de existen i unicitate a perpendicularei. Fie dreapta d i punctul A E.

Exist o unic dreapt care conine pe A i este perpendicular pe d.

Teorema de existen a paralelei. Fie dreapta d i punctul A d. Exist cel puin o

dreapt care conine pe A i este paralel la d.

Definiie. Fie dreapta d i punctul AE . Se numete distana lui (de la)A lad numrul

real (nenegativ)

(A, d) := inf {(A,M) | Md}.

Dac M0d este astfel nct AM0d , atunci (A, d) = AM0 .

Teorema de loc geometric a bisectoarei. Bisectoarea unui unghi este locul geometric al

punctelor din interiorul unghiului situate la egal distan de laturile unghiului, reunit cu

vrful unghiului.

Criteriul de paralelism. Daca dou drepte distincte d1 , d2 formeaz cu o secant

comun d o pereche de unghiuri alterne interne ( respectiv corespondente , respectiv

alterne externe) congruente, atunci d1i d2sunt paralele.

Teorema triunghiului n geometria absolut. Pentru fiecare triunghi ABC din E are loc

relaia :

180)()()( CmBmAm .

VI.Axioma paralelelor

Pentru a obine geometria euclidianeste necesar

Axioma paralelelor. Fiind date o dreapt oarecare i un punct oarecare exterior dreptei,

cel mult o dreapt conine punctul dat i este paralel la dreapta dat.

Vom enuna cele mai importante teoreme de geometrie euclidian plan.

Teorema de unicitate a paralelei. Fie o dreapt d i un punct A d . Exist o dreapt

unic d , astfel nct A d i d|| d .

Teorema de paralelism. Dac dou drepte d1, d2 sunt paralele, atunci ele formeaz cu

orice secant comun perechi de unghiuri alterne interne congruente, corespondente

congruente, alterne externe congruente.(aceast teorem este reciproca criteriului de

paralelism ; ambele propoziii sunt frecvent utilizate n aplicaii)

Urmtoarele teoreme sunt echivalente cu axioma paralelelor.


14/134

14

Teorema unghiului exterior. n orice triunghi msura unui unghi exterior este egal cu

suma msurilor unghiurilor interioare neadiacente lui.

Teorema triunghiului n geometria euclidian. Pentru fiecare triunghi ABC din E are

loc relaia :

180)()()( CmBmAm .

Corolar 1. Unghiurile ascuite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare.

Corolar 2. Suma msurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi este 180(n-2).

Corolar 3. Suma msurilor unghiurilor exterioare ale unui poligon convex cu n laturi

este 360.

Dac a i d sunt dou drepte secante din E , atunci se numete proiecia paralel cu aa lui E pe dreapta d aplicaia care asociaz fiecrui punct M E punctul M' d , cu

proprietatea MM'|| a. Dac a d , atunci se numete proiecia paralel cu a se numete

proiecia ortogonal a luiEpe dreaptad.

Alte rezultate importante de geometrie euclidian sunt :

Teorema de determinare a unui triunghi. Date trei numere pozitive a, b, c , astfel nct

a + b c , b + c a , c + a b ,

exist un triunghi unic determinat (pn la o congruen) avnd laturile de lungimi a, b, c.

*aceast teorem este reciproca teoremei inegalitilor unui triunghi ; v. 2) de mai sus+

Teorema unghiurilor cu laturile paralele ( perpendiculare). Dou unghiuri care au

laturile respectiv paralele ( respectiv perpendiculare) sunt congruente sau suplementare.

Teoremele de concuren a liniilor importante ntr-un triunghi.n orice triunghi ABC ,

1) mediatoarele sunt concurente ntr-un punct O , care este centrul cercului

circumscrislui ABC ;

2) bisectoarele sunt concurente ntr-un punct I , care este centrul cercului nscis n

ABC ;

3) nlimile sunt concurente ntr-un punct H, numit ortocentrullui ABC ;

4) medianele sunt concurente ntr-un punct G, numit centrul de greutateal lui ABC;

5) simedianele sunt concurente ntr-un punct K, numitpunctul lui Lemoineal lui ABC

; (o simedianeste simetrica unei mediane printr-un vrf n raport cu bisectoarea

care are originea n acel vrf)


15/134

15

n cele ce urmeaz vom presupune cunoscut o serie de alte noiuni, relaii i

proprieti, care fac parte din edificiul geometric al planului euclidian : geometria

paralelogramelor i trapezelor, asemnarea figurilor geometrice, teorema lui Thales,

teorema bisectoarei, teoremele de asemnare a triunghiurilor, relaii metrice n triunghi,

cercul i proprietile sale, msura arcelor de cerc i a unghiurilor incidente la cerc,inscriptibilitate i circumscriptibilitate, lungimea arcului de cerc i a cercului, puterea n

raport cu un cerc, ariile figurilor geometrice plane etc. De asemenea, vom admite utilizarea

funciei msur n radiani a unghiurilor, atunci cnd este cazul. Trecerea de la o unitate de

msur la cealalt este dat prin :

)(

180

)( khkhm .

2.Spaiul vectorilor geometrici din planul euclidian

Direcie i sens n plan

Se numete direcien E definit de o dreapt d mulimea d

format din d i toate

dreptele din E paralele cu d.

d' d

echivalent cu d' = d sau d' || d.

Observaii. Oricare dintre dreptele unei direcii determin direcia respectiv. Dou direcii

distincte sunt disjuncte. Fiecare dreapt din E aparine unei singure direcii. Prin fiecare

punct din E exist cte o dreapt unic din fiecare direcie.

Pentru o direcie dat se introduce noiunea de sens. Se consider semidreptele *OA ,

*O'A' avnd aceeai direcie i.e. OA = O'A' sau OA || O'A' . Pentru cazul OA = O'A' , se

spune c *OA i *O'A' au acelai sensdac *OA [O'A' sau [O'A' *OA (v. i 1.II). Pentru

cazul OA|| O'A', se spune c *OA i *O'A' au acelai sensdac dreapta OO'nu separ A, A'.

Se numete sensuldeterminat de semidreapta *OA pe direcia dreptei OA mulimea format

din *OA i toate semidreptele din E care au acelai sens cu *OA.

Pe fiecare direcie din E exist exact dou sensuri, numite sensuri opuse. O direcie se

numete orientat dac s-a fixat unul din cele dou sensuri pe ea. Dou semidrepte din

direcii diferite nu se consider nici de acelai sens, nici de sensuri opuse. Fiecare punct din

plan este originea unei semidrepte unice din fiecare sens.

A'O'

O"A"

O d


16/134

16

Se numete unghiul a dou direcii unghiul a doi reprezentani din cele dou direcii.

Dac )',( dd

este unghiul direciilor d

i 'd

, atunci

m( )',( dd

) = m( )'dd [0, 90] ; ( )',( dd

) = ( )'dd [0, ].

Dou direcii se numescperpendiculare(normale,ortogonale) dac exist o pereche de

drepte din cele dou direcii care sunt perpendiculare.

d

'd

d d' m( )'dd = 90 echivalent cu m( )',( dd

) = 90 ( )',( dd

) =2

Unghiul a dou sensuri cu reprezentanii *OA i *OB este unghiul BOA , iar msura n

grade a unghiului a dou sensuri este cuprins n intervalul *0, 180+, respectiv msura n

radiani a unghiului a dou sensuri aparine lui *0, ] .

Vectori geometrici n plan

Produsul cartezian E E este mulimea bipunctelor(perechi ordonate de puncte) sau

segmentelor orientate din E . Bipunctul (A,B) E E are originea A , extremitatea B i

reprezentarea grafic o "sgeat" orientat de la A spre B. Un bipunct (A,B) determin

segmentul *AB+ , dar i un sens pe dreapta AB, anume sensul semidreptei [AB . Un bipunct

de forma (A,A) determin segmentul nul A- i este reprezentat grafic printr-un singur punct.

Dou bipunctesunt egale dac au aceeai origine i aceeai extremitate.

Dou bipuncte (A,B) , (A',B') se numesc bipuncte echipolentei se scrie (A,B) (A',B'),dac segmentele *AB'+ i *A',B+ au acelai mijloc. Prin definiie, toate bipunctele nule (A,A) ,

cu AE , sunt echipolente.

Definiie. Se numete vector geometric sau vector liber sau vector din E , cu

reprezentantul (A,B) , mulimea , notat cu AB , a tuturor bipunctelor echipolente cu (A,B).

AB := {(M,N)E E | (M,N) (A,B)} ;

''BAAB (A,B) (A',B') (A',B') AB (A,B) ''BA .

Vectorul AA se numete vectorul nul, iar vectorul BA se numete opusul vectorului AB .

Deoarece un vector este unic determinat de oricare dintre reprezentanii si, se admite

notarea vectorilor , independent de reprezentani, prin: ,...,,...,, vuba Vectorul nul se

noteaz cu 0 , iar mulimea tuturor vectorilor din E , numit spaiul vectorilor geometrici, se

va nota cu E

.

Teorem.Fiecare punct din E este originea unui reprezentant unic al unui vector dat.

i.e.


17/134


18/134


19/134

19

se asociaz unui vector i unui numr real produsul vectorului cu numrul respectiv se

numetenmulire cu scalari a vectorilordin E

.

Observaie. nmulirea vectorilor cu scalari este corect definit, cci vectorul a nu

depinde de alegerea reprezentantului lui a . Vectorii a i a sunt coliniari, de acelai sens

dac > 0 i de sensuri opuse dac < 0 . n particular, (-1) a = - a , a E

. De asemenea,

au loc proprietile:

1) a = 0 a = 0 sau = 0 ;

2) ( a ) = () a ;

3) ( a + b ) = a + b ;

4) ( + ) a = a + a .

Teorem. Doi vectori a i b sunt coliniari dac i numai dac exist un numr real ,astfel nct a = b .

Observaie. Relaiile urmtoare arat comportarea modulului n raport cu adunarea i

nmulirea cu scalari a vectorilor :

,,, Eba

aa

baba R . ()

Teorem. Dac se noteaz cu (A,B;M) raportul n care punctul M B divide bipunctul

(A,B) , atunci sunt echivalente urmtoarele egaliti :

1) (A,B;M) = k , kR \{1} ;

2) MBkMA , kR \{1} ;

3)k

OBkOAOM

1, kR \{1}.

n particular,

Aa

O DO A

a a aD


20/134

20

M este mijlocul lui [AB] 0MBMA )(2

1OBOAOM .

Se consider doi vectori necoliniari OXi i OYj dinE

. Pentru fiecare vector v din

E

, exist dou numere reale unic determinate x, yR, astfel nct jyixv . Se spune cv este o combinaie liniar a vectorilor i i j , cu coeficienii x, y. x i y se numesc

coordonatele lui v n raport cu( i , j ) i se scrie v (x,y) relativ la ( i , j ).

Observaie. Fie vectorii jyixa , jyixb '' E

i scalarul R . Atunci

1) ba x = x' , y = y' ;

2) jyyixxba )'()'( ;

3) jyixa )()( ;

4) ba , coliniari '' y

y

x

x ;

5) Dac i i j sunt unitari i ortogonali, atunci 22 yxa .

Fie doi vectori nenuli OAa , OBb din E

i [0, ], unghiul vectorilor a i b ,

adic = ((( ),ba ) = ( )

BOA . Se numete produsul scalar al vectorilor a i b numrulreal

.00:,0

,0,0:,cos:

bsauadaca

badacababa

Produsul scalar al vectorilor a i b se poate exprima cu ajutorul unor proiecii :

'OBOAba ; OBOAba ' ; )(bpaba a ; bapba b )( ,

unde A' = pOB(A) , B' = pOA(B) , ')( OBbpa , ')( OAapb .

i

j

O

M

X

Y

M'

M"

v


21/134

21

Observaie. Produsul scalar are urmtoarele proprieti :

1) 00;0 aaaaa ;

2) abba ;

3) cabacba )( ;

4) ba )( baba )( ;

5) ( 222 2) bbaaba ;

6) 0,)(2

bbb

baap

b.

Teorem. Fie doi vectori a i b din E

. Sunt verificate proprietile :

1) 2aa , unde aaa :2 ("ptratul scalar al lui a ") ;

2) baba (inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz) ;

3) a i b sunt coliniari baba ; a b 0ba .

Observaie. Dac i i j sunt doi vectori unitari i ortogonali , atunci pentru oricare doi

vectori jyixa , jyixb '' E

se pot exprima n coordonate produsul scalar iunghiul celor doi vectori :

'' yyxxba ; cos =2222''

''

yxyx

yyxx

.

3.Repere carteziene i sisteme de coordonate

carteziene n planul euclidian

O A

B

B'

A'

a

b


22/134

22

Repere carteziene

Fie d o dreapt n planul euclidian. Se numete reper cartezian pe d o pereche

R = (O; e ), unde Od este un punct numit originea lui R , iar e E

este un vector nenulavnd direcia lui d, numit baza lui R. Dac e este un versor, atunci R se numete reper

cartezian normal (r.c.n.) . Dreapta d nzestrat cu un reper cartezian se numete ax (de

coordonate) .

Definiie. Se numete reper cartezian (r.c.) n planul euclidian E un ansamblu

R = (O; ji , ), format dintr-un punct OE i doi vectori necoliniari ji , E

. O se numete

originea lui R , iar ( ji , ) se numete bazalui R. Dac 1 ji , atunci R se numete reper

cartezian normal (r.c.n.) . Dac ji , atunci R se numete reper cartezian ortogonal .

Dac ji i 1 ji , atunci R se numete reper cartezian ortonormal(r.c.o.)

Reperele carteziene sunt instrumente matematice pentru coordonatizarea planului

euclidian, respectiv pentru implementarea metodei coordonatelorn plan.

Fie o dreapt d raportat la r.c.n. R = (O; e ) i punctul Xd, pentru care eOX . Dac

Md, atunci OM se numete vectorul de poziie al punctuluiM ; vectorii OM i eOX

sunt coliniari, deci exist un numr unic xR , astfel nct OM = x e . x se numete

coordonata luiM relativ lar.c.n. R = (O; e ) ; se scrie M(x) relativ la R.

Fie acum planul E raportat la un r.c.o. R= (O; ji , ) i un punct oarecare ME . Vectorul

OME

se numete vectorul de poziie al punctului M i admite o exprimare unic de

forma OM = x i + y j ; (x,y) se numesc coordonatele luiM relativ laR; se scrie M(x,y) relativ

la R.

n aplicaii se vor considera, de regul, doar reperecarteziene ortonormale (r.c.o.).

Sisteme de coordonate carteziene(ortogonale)

dO X

Oi

j

X

YMe M


23/134

23

Alte instrumente matematice de coordonatizare a planului euclidian sunt sistemele de

coordonate carteziene ortogonale.

Aa cum s-a precizat n prima seciune, un sistem de coordonate carteziene normale

(s.c.c.n.) pe o dreapt d este o funcie bijectiv s : Md s(M) = x R , cuajutorul creia

distana ntre punctele lui d se calculeaz cu formula :

(M,N) = | x - y | , unde x = s(M) , y = s(N) , M, N d .

Punctul O = s-1(0)d este origineas.c.c.n. s , iar X = s-1(1)d estepunctul unitateal lui s.

Observaie. Exist o coresponden biunivoc ntre mulimea s.c.c.n. pe dreapta d i

mulimea r.c.n. pe d. Astfel, unui s.c.c.n. s : d R , cu originea O i punctul unitate X, i

corespunde r.c.n. R =(O;OX ) . Invers, unui r.c.n. R= (O; e ) i se asociaz s.c.c.n. s : d R

determinat unic (prin axioma riglei) de punctele O i Xd, pentru care OX = e ; dac Md

i exOM , atunci s(M):= xR.

M(x) relativ la s M(x) relativ la R.

Definiie. Se numete sistem de coordonate carteziene ortogonale (s.c.c.o.) pe E o

funcie S : E R2, care verific urmtoarele proprieti :

1) S este o funcie bijectiv ;

2) oricare ar fi punctele P,QE , are loc relaia:

22)()(),( QPQP yyxxQP , (formula distanei)

unde ),( PP yx = S(P), ),( QQ yx = S(Q) se numesc coordonatele carteziene ale punctelor P,

respectiv Q , relativ la S.

Observaii. 1) Un s.c.c.o. pe E poate fi construit , dac se dau dou drepte

perpendiculare ntr-un punct OE , notate OX , OY,pe care se consider cte un s.c.c.n. cu

originea O, mai precis, s' : OXR, s" : OYR , s' (O) = s"(O) = 0 , s'(X) = s"(Y) = 1. FunciaS : ME (s'(M'),s"(M"))R2 , undeM' , M" sunt proieciile ortogonale ale lui M pe OX ,

respectiv pe OY,definete un s.c.c.o. pe E .Dreptele OX , OY se numesc axele decoordonate

ale lui S .De aceea, s.c.c.o. se mai noteaz S =: OXY .

2) Exist o coresponden biunivoc ntre mulimea s.c.c.o. pe E i mulimea perechilor

ordonate de semidrepte perpendiculare cu origine comun din E .

Observaie. Exist o coresponden biunivoc ntre mulimea s.c.c.o. pe E i mulimea

r.c.o. din E. Fie S = OXY un s.c.c.o. pe E (se poate considera c OX = OY = 1). Lui S i se


24/134

24

asociaz n mod natural r.c.o. R:= (O ; OYOX, ) . Invers, dac R= (O ; ji , ) este un r.c.o.,

atunci s.c.c.o. asociat lui Reste S := OXY , unic determinat prin condiiile: jOYiOX , .

R.c.o. R= (O ; ji , ) i s.c.c.o. S = OXY asociat determin aceeai coordonatizare pe E,

cci :

M(x,y) relativ la S S(M) = (x,y) jyixOM M(x,y) relativ la R.

Teorem. Dac E este raportat la un r.c.o. , respectiv la s.c.c.o. , iar A(xA,yA) , B(xB,yB)

sunt puncte din E , atunci :

1) jyyixxAB ABAB )()( ;

2) AB = 22 )()( BABA yyxx ;

3) (A,B;M) = k

k

kyyy

k

kxxx

BAM

BAM

1

1 k =MB

MA

MB

MA

yy

yy

xx

xx

,

unde M(xM,yM) AB , M B .

O mulime de forma S = {A1(a1), A2(a

2), ... ,An(an)} , unde A1, A2,..., AnE este un sistem

de puncte, iar a1, a2, ..., anR este un sistem de numere reale cu proprietatea c a1+

a2+ ...+ an0, se numete sistem de puncte ponderate. Numerele a1, a2, ..., an se numesc

ponderile sau masele punctelor A1, A2,..., respectiv An din S .

Definiie. Un punct G se numete baricentrulsistemului S = {A1(a1), A2(a

2), ... ,An(an)}

dac verific urmtoarele condiii echivalente :

1.n

n

n

aaa

OAaOAaOAaOG

...

...21

2

2

1

1

, unde O este un punct din E ;

2. 0...2

2

1

1 n

n GAaGAaGAa .

n particular, dac a1= a2= ...= an= a 0 , atunci G se numete izobaricentrulsau centrul de

greutateal sistemului de puncte echiponderate S={{A1(a), A2(a), ... ,An(a)}.

Observaie. G este centrul de greutate al sistemului S= {A1, A2, ..., An- dac i numai

dac este verificat una din urmtoarele condiii :

1. )...(1

21 nOAOAOAn

OG , unde O este un punct din E ;

2. .0...21 nGAGAGA


25/134


26/134

26

O problem de coliniaritate nseamn a stabili proprietatea c dou sau mai multe

figuri geometrice (puncte, segmente, semidrepte) sunt pe aceeai dreapt (sunt coliniare).

ntruct nu exist un algoritm general pentru stabilirea unei astfel de proprieti, se pot

evidenia cteva modaliti de a demonstra, cu precdere, coliniaritatea a 3 sau mai multe

puncte, le vom grupa n dou categorii:

1) criterii geometrice,

2) criterii algebrice: - metoda vectorial

- metoda cu coordonate.

I. Criterii geometrice de demonstrare a coliniaritii

C.1. Punctele A, B, C sunt coliniare cu A B C dac m( CBA

)=180.

A B C

Motivaie.n adevr,dac m( CBA )=180, atunci unghiul CBA este alungit i A,B,C

sunt coliniare, cu ABC .

Exemple:

1. Fie punctul E interior ptratului ABCD i punctul F exterior ptratului, astfel nct

triunghiurile ABE si BCF s fie echilaterale. S se arate c punctele D, E i F sunt

coliniare.

Demonstraie:

D C

E

F

A B

E


27/134


28/134

28

Avem 0180)()'( AONmAOOm (unghiuri interne de aceeai parte a secantei). ns

)()()( OMAmOAMmAONm i ''AMOOMA (corespondente).

Prin urmare 0180)''()'()( AMOmOADmMAOm i cum M, M' sunt de o parte i de alta a

dreptelor AO i AO' rezult c M, A' i M' sunt coliniare.

C.2.Punctele A, B, C sunt coliniare cu A B C (sau B C A) dac

0)( CABm .

Motivaie: Dac 0)( CABm atunci laturile (AB si (AC coincid,prin urmare,

AB - C sau AC - B.

Exemple:

1. Fie ABC, A1, D sunt interseciile nlimii i bisectoarei duse din A pe BC, cu BC.

Fie B1proiecia lui B pe AD i C

1proiecia lui D pe AC. S se arate c punctele A

1,

B1i C

1sunt coliniare. (Se va considera AB < AC.)

Demonstraie: A

C1

M'

A

L'B

N'

N

O

L

M

O'

B1


29/134

29

B A1 D C

ABA1B

1i AA

1DC

1 sunt patrulatere inscriptibile. Avem :

)()( 11 BABmDABm i )()( 11 CADmCACm ; cum (AD bisectoare, rezult :

)()( 1111 CACmCABm rezult c 0)( 111 ACBm .

C.3.Demonstrarea coliniaritii folosind reciproca teoremei unghiurilor

opuse la vrf.

Teorem. Dac punctul B este situat pe dreapta EF, iar punctele A i C sunt situate de oparte i de alta a dreptei EF i )()( EBCmFBAm , atunci punctele A, B, C sunt coliniare.

A

E B F

C

Exemple:

1. Intersecia diagonalelor AC i BD ale rombului ABCD este punctul O, iar mijlocul

segmentului AB este M. S se decid dac M, O i mijlocul segmentului CD sunt trei

puncte coliniare.

Demonstraie:Fie P mijlocul [CD].

][][:,2

,2

OMOPdeciAB

OMCD

OP i DOPBOM (L.L.L.) , atunci

DOPBOM rezult M, O i P sunt coliniare.

A

D

M

BO

P


30/134

30

2. Dreapta lui Simson. Proieciile ortogonale ale unui punct M pe laturile unui triunghi

ABC sunt coliniare dac i numai dac punctele A, B, C, M sunt conciclice.

Demonstraie:

Fie P, Q, R proieciile lui M pe laturile *BC+, *CA+ i *AB+. Considerm cazul cnd ABC este

ascuitunghic i punctul M aparine arcului AC care nu conine punctul B. Din 090)( ABCm

se deduce c arcul AC ce conine punctul M este arc mic, deci 090)( AMCm i atunci

proiecia Q a punctului M pe *AC+ aparine segmentului. Dac proieciile lui M pe *AB+ i *BC+

sunt A, respectiv C, atunci, proieciile pe laturi A, Q, C sunt coliniare.

Considerm cazul cnd unul din unghiurile BCMBAM , este ascuit i cellalt

obtuz. Presupunem c BAM este obtuz. n acest caz, proiecia R a lui M pe *AB+, conduce

la A[BR].

C

P

B

O

Q

A R

M


31/134

31

Deoarece BCM este ascuit rezult P *BC+. (Dac, de exemplu C [BP], CMP are un

unghi drept i altul obtuz ceea ce este fals). Rezult c punctele P i R sunt n semiplane

opuse determinate de dreapta AC. Punctele Q i R aparin cercului de diametru AM i cum

Q*AC+, rezult c punctele Q i R sunt n semiplane opuse determinate de dreapta AM

rezult c patrulaterul AMQR este inscriptibil. Avem )()( RMAmRQAm 900 )( RAMm

900 )( MCBm 900 )()( CMPmMCPm )( CQPm . Din )()( CQPmRQAm i *QC i

*QA semidrepte opuse deci *QP i *QR opuse vom avea c P, Q, R coliniare.

Reciproc: Fie P, Q, R proieciile unui punct M pe laturile unui ABC, astfel nct P, Q, R

coliniare. Presupunem P [BC], Q [AC]. Rezult, conform axiomei de separare c A [BR]

sau B

[AR]. Presupunem A

[BR].

)

()

( MQCmCPMm 90

0

deci PQMC inscriptibil avemc )

()()( MCBmMCPmRQMm ()

. Din )()( ARMmAQMm 900+900=1800 deci MQAR inscriptibil.

Rezult )()( RAMmRQMm ().

Din () i () rezult c )()( RAMmMCBm , cum )()( RAMmMABm 1800, avem

)()( MABmMCBm 1800 atunci BCMA este patrulater inscriptibil rezult B, C, M, A sunt

conciclice.

C.4. Demonstrarea coliniaritii folosind postulatul lui Euclid ( Printr-un

punct exterior unei drepte se poate duce o paralel i numai una la o

dreapt dat.)

Dac dreptele AB i BC sunt paralele cu o dreapt d, atunci n baza postulatului lui

Euclid, punctele A, B, C sunt coliniare.

Exemple:

1. Fie B' i C' mijloacele laturilor *AC+, respectiv [AB], ale unui triunghi ABC. S se

demonstreze c mijloacele nlimii, bisectoarei i medianei corespunztoare vrfului

A se afl pe dreapta B'C'.

A

M N P


32/134

32

B` C`

C`

B D E F C

Demonstraie:

Fie M, N i P mijloacele nlimii, bisectoarei i respectiv, medianei din vrful A. BC fiind

linie mijlocie n triunghiul ABC rezult c BC|| BC.

Din ABD, avem B'M || CD i cum D BC rezult c M B'C'. n ACE, [B'N] este linie

mijlocie i folosind acelai raionament rezult N B'C'. La fel se arat c PB'C'. Prin

urmare, punctele B', P, N, M, C' sunt coliniare.

2. Punctul de intersecie al diagonalelor unui paralelogram se afl pe dreapta ce

unete mijloacele a dou laturi ale paralelogramului.

B C

M N

A D

Demonstraie:

Fie paralelogramul ABCD, O punctul de intersecie al diagonalelor *AC+ i *BD+, iar M i N

mijloacele laturilor *AB+ i respectiv, *CD+. n triunghiul ABC, OM este linie mijlocie i, deci

OM || BC, iar ON este linie mijlocie n triunghiul BCD i avem ON || BC. Rezult M, O i N

sunt puncte coliniare.

O


33/134

33

A F

H

C

D

B

E G

O

3. Fie ABCD un trapez oarecare. *AB+ baza mare i *CD+ baza mic. Dac M este

simetricul punctului A fa de mijlocul P al laturii *BC+, iar N este simetricul punctului

B fa de mijlocul R al laturii *AD+, s se arate c punctele N, D, C, M sunt coliniare.

Demonstraie:

Din construcie, pentru c *AR+*RD+ i *NR+*RB+ rezult c ABDN este paralelogram rezult

DN || AB. Cum, prin ipotez, DC || AB, rezult c punctele N, D, C sunt coliniare. Analog, se

demonstreaz c i punctele D, C, M sunt coliniare. Prin urmare, M, N DC i deci punctele

N, D, C i M sunt coliniare.

4.

Fie un ABC nscris ntr-un cerc de centru O. Perpendiculara BE pe diametrul AD taie,

din nou cercul n F. Paralelele prin F la CD i CA, taie CA i CD n G, respectiv H. S se

arate c punctele E, G i H sunt coliniare.

Demonstraie:

Patrulaterul AEGF este inscriptibil deoarece )()( FGAmFEAm 900.

Atunci BCABFAEGA , de unde EG || BC. Patrulaterul CHFG este dreptunghi (fiind

paralelogram cu un unghi drept) i deci GCFCGH .

B

MCDN

A

R

P


34/134

34

Cum ACBABFGCF rezult ACBCGH , adic GH || BC. Cum EG || BC i

GH || BC rezult c E, G, H coliniare.

C.5. Demonstrarea coliniaritii pornind de la teorema lui Menelaus.

Teorema lui Menelaus

Fie un ABC i punctele A', B', C' situate pe dreptele BC, CA, AB (dou pe segmentele

laturilor triungiului iar celalalt n exterior sau toate 3 situate n afara laturilor triunghiului)

distincte de vrfurile triunghiului. Punctele A', B', C' sunt coliniare dac i numai dac are loc

relaia: 1'

'

'

'

'

'

BC

AC

AB

CB

CA

BA

Demonstraie:

Implicaia direct: Presupunem B'[AC], C' [AB], B [A'C], A', B', C'd i vrem s

demonstrm c are loc relaia enunat n teorema lui Menelaus. Construim CD || AB, Dd.

Conform teoremei fundamentale a asemnrii avem A'BC'~A'CD i AC'B'~CDB' rezult

c AC

CD

AB

CB

CD

BC

CA

BA

''

'i

'

'

' ; nmulind membru cu membru aceste egaliti, gsim:

AC

CD

CD

BC

AB

CB

CA

BA

'

'

'

'

'

'

vom avea c1

'

'

'

'

'

'

BC

AC

AB

CB

CA

BA

Implicaia reciproc:Presupunem c B'[AC], C[AB], B*A'C+ i (1) 1'

'

'

'

'

'

BC

AC

AB

CB

CA

BAi s

demonstrm c A', B', C'd (sunt coliniare). Vom demonstra c dreptele A'B' i AB nu sunt

paralele.

d

A'

C'

B'

D

CB

A


35/134

35

Presupunem prin reducere la absurd c A'B' || AB vom avea 1'

'

'

':,

'

'

'

'

AB

CB

CA

BAdeci

CB

AB

CA

BA

, nlocuind n relaia ()rezult BABCACBC

AC ,'',1

'

'ceea ce este fals.

Deci A'B'AB={C''}. Avem C''[AB] (conform axiomei de separare a planului),

punctele A', B', C'' sunt coliniare i aplicnd () gsim: 1''

''

'

'

'

'

BC

AC

AB

CB

CA

BA, relaia care

mpreun cu () conduce la

''',''','''

,''

''''

'

'',

''

''

'

'CCBCBC

BC

AB

BC

AB

BC

BCAC

BC

BCAC

BC

AC

BC

AC

, deci A', B', C'

coliniare.

Observaie: Demonstraia teoremei este asemntoare i n cazul cnd toate

punctele se gsesc pe prelungirile laturilor.

Exemple:

1. Teorema Newton-Gauss

ntr-un patrulater complet, mijloacele celor trei diagonale sunt coliniare.

Definiie: Pentru un patrulater ABCD, se numete patrulater complet patrulaterul

ABCDEF, unde {E}=ABCD i F-=BCAD. Segmentele [AC], [BD], [EF] se numesc diagonale

ale patrulaterului complet.

Demonstraie:

D

A

B

C

FE


36/134

36

Fie patrulaterul complet ABCDEF, unde ABCD={E}, ADBC=F- i L, M, N mijloacele

diagonalelor AC, BD, EF. n BCE se noteaz cu G, H, K mijloacele laturilor *BE+, *EC+, *CB+.Avem urmtoarele: HK || AE deci HK trece prin mijlocul L al diagonalei AC; GK || ED, deci GK

trece prin mijlocul M al diagonalei BD, GH || BF, deci GH trece prin mijlocul N al diagonalei

EF.

Considerm GHK i punctele MGK, NGH, LKH. S demonstrm c ()

1NG

NH

LH

LK

MK

MG.

Punctele A, D, F fiind coliniare, putem scrie relaia lui Menelaus n raport cu BCE:

1AE

AB

FB

FC

DC

DE(). Folosind proprietatea liniei mijlocii avem: ,

2,

2

DCMK

DEMG

2

ABLK ,

2i

2,

2

FBNG

FCNH

AELH care nlocuite n () conduc la relaia() .

Dreapta celor trei puncte L, M, N se numete dreapta luiNewton-Gauss.

2. Teorema lui Carnot

Tangentele la cercul circumscris unui triunghi n vrfurile lui, intersecteaz toate

laturile opuse n puncte coliniare.

Demonstraie:

A

D

FNE

G

B

L

M

K

HC


37/134

37

Fie A', B', C' punctele n care tangentele la cerc duse n vrfurile A, B, C ntlnesc laturile

opuse [BC], [CA], [AB].

2

)()'()(

BAmAABmBCAm

i BAACAA ''

vom avea

BA

AA

AA

CA

AB

ACdeciBAAACA

'

'

'

':,'~'

rezult

)1('

':,

'

'

'

'2

22

BA

CA

AB

ACdeci

BA

AA

AA

CA

AB

AC

i analog pentru tangentele BB' i CC' are loc

)3('

'i)2(

'

'2

2

2

2

BC

BA

CB

AB

CA

CB

AC

BC

nmulind relaiile (1), (2), (3) membru cu membru, obinem: deciCB

AB

AC

BC

BA

CA,1

'

'

'

'

'

'

A', B', C' sunt coliniare. Dreapta celor trei puncte A', B', C' se numete dreapta Lemoinea

triunghiului.

C'

C

A

BA'

B'


38/134

38

3. Teorema lui Pascal

Laturile opuse ale unui hexagon nscris ntr-un cerc se taie dou cte dou n trei

puncte coliniare.

Demonstraie:Laturile AB, CD, EF se taie formnd GHK. Pentru a demonstra c punctele L, M, N sunt

coliniare, artm c punctele L, M, N de pe suporturile laturilor GHK verific relaia lui

Manelaus. n GHK, folosind teorema lui Manelaus pentru transversala DE, avem:

1LG

LK

EK

EH

DH

DG(); analog pentru transversala AF i BC. Avem:

1AG

AK

FK

FH

MH

MG() i 1

CH

CG

BG

BK

NK

NH(). Scriind pe rnd puterile punctelor G, H, K

fa de cerc, rezult: GDGCGAGB ()

HFHEHCHD

KBKAKEKF

nmulind ntre ele relaiile (), (), () i folosind relaiile () rezult c

1NK

NH

MH

MG

LG

LK, ceea ce conform teoremei lui Menelaus implic coliniaritatea punctelor

L, M, N

Observaii:

MN

L

E

F

KAB

G

C

D

H


39/134

39

P

DA

F

CNB

EO

M

1. Teorema lui Pascal rmne valabil i pentru hexagonul concav nscris ntr-un cerc.

2. Teorema lui Pascal este valabil i pentru pentagonul inscriptibil (degenerat dintr -un

hexagon cu dou vrfuri confundate).

n acest caz o latur este nlocuit cu tangenta la cerc n punctele de contact

confundate.

3. Teorema este adevrat i pentru patrulaterul inscriptibil; punctele de intersecie ale

laturilor opuse i ale tangentelor n vrfurile opuse la cerc, sunt patru puncte coliniare.

4. n cazul triunghiului nscris, obinem teorema lui Carnot.

C.6. Demonstrarea coliniaritii prin identificarea unei drepte ce conine

punctele respective.

Altfel spus, Punctele A, B, C au proprietatea p iar locul geometric al punctelor din plan cu

propietatea p este situat pe o dreapt.

Observaie. Aplicarea acestui procedeu presupune evident, cunoaterea de ctre rezolvator

a unor propieti p n condiiile specificate.

Exemple:

1. Fie trapezul ABCD (AD || BC) i fie M, N mijloacele bazelor AD i BC, iar P i O punctele

de intersecie ale laturilor neparalele, respectiv diagonalelor. S se demonstreze c

punctele M, O, N i P sunt coliniare.

Demonstraie:


40/134

40

Fie E i F punctele de intersecie cu laturileAB, respectiv CD ale paralelei la baze dus prin

O.

Din AEO~ABC, avemAC

AO

BC

EO i din DFO~DCB, avem

BD

OD

BC

OF . ns,

BD

OD

AC

AO i atunci rezult c

BC

OF

BC

EO de unde OFEO deci O mijlocul lui [EF]. Prin

urmare, punctele M, N i P sunt coliniare fiind situate pe mediana din P a APD.

2. Fie un triunghi ABC i D, E, F, G proieciile lui A pe bisectoarele interioare i exterioare

ale unghiurilor ABC i ACB . S se arate c punctele D, E, F, G sunt coliniare.

Demonstraie:

Fie D, E proieciile lui A pe bisectoarele din B. Patrulaterul ADBE este dreptunghi i

atunci DE trece prin mijlocul C' al [AB].

Cum '2

'(' BCAB

ECABEEBC i EC'B isoscel) i

EBCEBCdeciEBCABE ':, (alt. int.) rezult c C'E || BC.

Deoarece paralela prin C' la BC este linie mijlocie n ABC rezult cC'E trece i prin

B', mijlocul *AC+. Prin urmare, punctele D i E se afl pe dreapta C'B'.

Analog, se arat c, punctele F i G se afl pe dreapta B'C'. Am identificat astfel,

dreapta B'C' pe care sunt situate punctele D, E, F i G.

II. Criterii vectoriale de demonstrare a coliniaritii

A

G

CB

D F

C' B' E


41/134

41

C.7. Fie A, B, C trei puncte distincte n plan. Punctele A, B, C sunt coliniare

dac i numai dac exist Rastfel nct ACAB .

( Relaia exprim condiia necesar i suficient ca vectorii AB i ACs fie coliniari).

Observaie. Propoziia rmne adevrat dac nlocuim condiia ACAB cu

,, ABACBCAC etc.

Exemple:

1. ntr-un triunghi centrul cercului circumscris, centrul de greutate i ortocentrul

sunt puncte coliniare.

Demonstraie: Fie ABC i O, G, H punctele specificate. Din relaia lui Leibniz avem

MCMBMAMG 3 ; pentru M = O se obine c OHOCOBOAOG 3 . Aadar

OG i OH sunt vectori coliniari, deci punctele O, G, H sunt coliniare i GH = 2OG. Dreapta

pe care se afl punctele O, G, H se numete dreapta lui Euler.

2. Se consider paralelogramul ABCD i punctele M [AB], N [DM] astfel nct AM

= MB i MD = 3MN. S se demonstreze c punctele A, N, C sunt coliniare.

Demonstraie: Folosind operaiile cu vectori se obin relaiile AN = AM+ MN i

CN = CD + DN . Se nmulete prima relaie cu 2 i prin adunare cu a doua egalitate se

obine: 2AN + CN = 2AM + 2MN + CD + DN = 2AM + 2MN 2AM 2MN= 0

Aadar 2AN + CN = 0, deci vectorii AN i CN sunt coliniari. Rezult c punctele A, N, C

sunt coliniare.

C.8. Punctele A, B, C sunt coliniare dac i numai dac exist dou

numere x, yRcu propietatea x + y = 1, astfel nct, pentru orice punct O

E2

s avem OByOAxOC .

A

C


42/134

42

O B

Demonstraie:

Implicaia direct: Fie raportul n care punctul C mparte segmentul AB , deci avem

CBCA , rezult

)(1

1OBOAOC

sau OBOAOC

11

1.

Notm1

1= x,

1= y, deci x y = 1 i OByOAxOC .

Implicaia reciproc: Fie x, y dou numere reale nenule, cu x y = 1, astfel nct

OByOAxOC .

Avem CByCAxOCyxCBOCyCAOCxOC )()()(

Cum x + y = 1 vom avea 0 CByCAx rezult c CBx

yCA vom avea c punctele C,

A, B sunt coliniare.

Observaie:

Punctele A, B, C sunt coliniare dac i numai dac exist un numr tR, t 0 astfel nct

OBtOAtOC )1( , O)( E2 (consecin a propietii anterioare).

C.9. Fie A, B, C trei puncte n plan de afixe CBA zzz ,, C.A, B, C sunt coliniare

dac i numai dac .*Rzzzz

AC

AB

Exemplu:

1. Artai c punctele A(1;2), B(-5;-1), C(7;5) sunt coliniare.

Demonstraie: Considerm afixele celor trei puncte:

,21 izA ,5 izB ,57 izC avem de artat c .*R

zz

zz

AC

AB


43/134

43

ntr-adevr: .136

36

2157

215 *Ri

i

ii

ii

zz

zz

AC

AB

III. Criterii de coliniaritate a trei puncte cu ajutorul coordonatelor

C.10. Trei puncte ),(),,(),,( CCBBAA yxCyxByxA sunt coliniare dac i numai

dac

AB

AC

AB

AC

yy

yy

xx

xx

ABAC mm

(adic cele dou drepte au coeficeniiunghiulari egali).

Exemplu:

1. Artai c punctele A(1;2), B(-5;-1), C(7;5) sunt coliniare.

Demonstraie: Determinm coeficienii unghiulari (pantele) ai dreptelor AB i AC iar dac

sunt egali rezult coliniaritatea celor 3 puncte.

2

1

15

21

AB

ABAB

xx

yym

2

1

17

25

AC

ACAC

xx

yym

Adic ACAB mm deci punctele A, B, C sunt coliniare.

C.11. Trei puncte ),(),,(),,( CCBBAA yxCyxByxA sunt coliniare dac i numaidac

0

1

1

1

CC

BB

AA

yx

yx

yx

.

Exemple:

1. n planul euclidian raportat la un jioccs

;;0... se consider 8,4;1,2 BA i

11,6C . Artai c punctele sunt coliniare.


44/134

44

Demonstraie:

A, B, Ccoliniare dac i numai dac: 0

1

1

1

CC

BB

AA

yx

yx

yx

0

1116

184

112

02244864416 00 , deciA, B, Ccoliniare.

2. n planul euclidian raportat la un jiOoccs

;;... fie punctele 3,0;8,4;0,8 CBA .

Dreapta BC intersecteaz axa OX n D, iar dreapta AB intersecteaz axa OY n E.

Artai c mijloacele segmentelor ,OB ,AC DE sunt coliniare.

Demonstraie.

Fie EOYABDOXBC ,

Se determin ecuaia dreptelorABi BCcalculnd coordonatele punctelor Di E.

BC:BC

B

BC

B

yy

yy

xx

xx

BC:83

8

40

4

yx

BC:5

8

4

4

yx

BC: 8445 yx

BC: 0322045 yx

BC: 01245 yx

DOXBC


45/134


46/134

46

0005

153 M, N, Pcoliniare.

2. Teoreme i probleme de coliniaritate (aplicaii)

1. Teorema lui Menelaus

Fie ABC un triunghi i D, E i F trei puncte coliniare distincte astfel nct DBC, EAC

i FAB (dou din puncte situate pe laturile triunghiului iar celalalt pe prelungirea celei de-a

treia laturi sau toate trei situate pe prelungirile laturilor triunghiului) . Atunci are loc relaia:

1FB

AF

EA

CE

DC

BD.

Demonstraia teoremei lui Menelaus folosind triunghiuri asemenea:

Demonstraie: A

B`

F

A`

E

C`

B C D


47/134

47

Proiectm vrfurile A, B i C ale triunghiului pe dreapta D EF, n punctele A`, B` i C`.

Aplicm teorema fundamental a asemnrii n urmatoarele perechi de triunghiuri:

DB`B~DC`C rezultDC

DB

CC

BB

`

`

AA`F~BB`F rezultFB

AF

BB

AA

`

`

CC`E ~AA`E rezultEA

CE

AA

CC

`

`.

nmulind cele trei relaii obinem: 1 FB

AF

EA

CE

DC

BD

.

Demonstraiateoremei lui Menelaus folosind omotetia

Demonstraie:

A

M E

F

B C D


48/134


49/134

49

Fie ,, rapoartele n care punctele''' ,, CBA divid bipunctele (B,C), (C,A), (A,B)

Deoarece ;'' CABA ;'' ABCB BCAC ''

;1

'

ACABAA ;

1

'

BABCBB

1

' ACCACC

Dar,

1111

11

1''''

ACABACABACAAABAB

ACAB

CBCABCCCCACA

111

1

11

1''''

Din ''' ,, CBA coliniare rezult ''AB i ''CA sunt vectori coliniari

1

1

11

1

1

11

11

1 deci

11

1

1

obinem

011 rezult c 1

Reciproca teoremei lui Menelaus

Fie ABC , dac 'A aparine lui BC, 'B aparine lui CA, 'C aparine lui AB i dac

''' ,, CBA sunt situate dou pe laturi i unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe

prelungirile laturilor i dac 1'

'

'

'

'

'

BC

AC

AB

CB

CA

BA() atunci punctele ''' ,, CBA sunt

coliniare.

Demonstraie:


50/134

50

Presupunem c dou dintre puncte sunt situate pe dou laturi ale triunghiului, iar

unul este situat pe prelungirea celei de-a treia laturi.

Presupunem c punctele ''' ,, CBA nu sunt coliniare.

Atunci dreapta ''BA ar intersecta laturaABntr-un punct C" diferit de 'C .

Aplicnd teorema lui Menelaus pentru punctele coliniare '' ,BA ,C" obinem:

1''

''

'

'

'

'

BC

AC

AB

CB

CA

BA ()

Din relaiile ()i ()rezult cBC

AC

BC

AC

''

''

'

' .

Ar nsemna c segmentul AB este mprit de punctele interioare C' i C"n acelai

raportcontradicie (exist un singur punct interior unui segment care mparte segmentul

ntr-un raport dat). Rezult C"= C'i deci punctele ''' ,, CBA sunt coliniare

2. Aplicaie direct la teorema lui Menelaus

n figura de mai jos avem: AP = 6, PB = 16, BC = 30, CQ = 18 i CA = 24. Punctele P, Q

i R sunt coliniare. S se arate c R este mijlocul lui AC.

A

C'

C''

A

B'

A'

B C


51/134

51

P

R

B C Q

Rezolvare:

n ABC aplicm teorema lui Menelaus pentru punctele coliniare P, Q i R, avem:

1PB

AP

RA

CR

QC

BQavem 1:,1

18

48

16

6

RC

ARdeci

RC

AR, deci AR = RC, ceea ce nseamn c R

este mijlocul lui AC.

3. Teorema lui Euler

n orice triunghi ABC, ortocentrul, centrul de greutate i central cercului circumscris

triunghiului sunt coliniare (sunt situate pe aceiai dreapt, numit dreapta lui Euler).

Demonstraie:

Fie A` mijlocul segmentului BC, A`` punctul diametral opus lui A, H intersecia nlimilor, G

centrul de greutate i O centrul cercului circumscris. Deoarece BH || CA`` i CH || BA``

A

B C

B1

B`

H G O

A1 A`


52/134

52

A``

rezult c BHCA`` este paralelogram ; A` este mijlocul segmentului HA`, deci OA ll AH i OA`=

2

1 AH.

Fie {G} = HO AA`. Avem AHG ~ AÒG, raportul de asemnare fiind2

1

`

OA

AH

rezult AG = 2GA`, ceea ce arat c G estetocmai centrul de greutate al ABC.

Deci punctele H, G i O sunt coloiniare i HG = 2GO.

Demonstraia 2:

Fie A` mijlocul laturii BC i 1A proiecia lui A pe BC, analog considerm punctele B` i 1B .

AHB ~AÒB` (au laturile paralele), 2`

,2``

OA

AHavem

BA

AB.

Vom uni pe G cu H i G cu O. Pentru a arta c ` AGOAGH se observ c`GA

AG= 2,

G fiind centru de greutate, iar OGAAGH ` deci AHG~GAÒ, adic semidreptele *GH i

[GO sunt n prelungire; n plus HG = 2GO.

4. Dreapta ortic

Fie ABC un triunghi neisoscel i nedreptunghic i fie A` proiecia lui A pe BC, B`

proiecia lui B pe AC i C` proiecia lui C pe AB (A`, B`, C` sunt vrfurile triunghiuluiortic). Fie {M} = BC B`C`, {P} = AC A`C`, {N} = AB A`B`. Atunci M, N i P se gsesc

pe o aceiai dreapt (numit dreapta ortic a triunghiului).

Demonstraie:

N

P A

C` B`


53/134


54/134


55/134


56/134


57/134

57

A F

H

C

D

B

E G

O

F CB

E

A H D

GO

Atunci BCABFAEGA , de unde EG || BC. Patrulaterul CHFG este dreptunghi (fiind

paralelogram cu un unghi drept) i deci GCFCGH .

Cum BCACGHACBdeciABFGCF , adic GH || BC. Cum EG || BC i GH ||

BC E, G, H coliniare.

10.n trapezul isoscel ABCD (BC || AD), circumscris unui cerc, fie E, F, G, H punctele de

tangen ale cercului cu laturile AB, BC, CD i DA, iar O punctul de intersecie al

diagonalelor. S se arate c punctele E, O i G sunt coliniare.

Demonstraie: *EB+ [BF], [EA] [AH] ca tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc.

Atunci avem:AD

BC

AH

BF

EA

EB ;

OD

BO

AD

BCdeciBOCAOD :,~ .

DinOD

BO

EA

EBdeci

OD

BO

AD

BC

AD

BC

EA

EB :,i

i conform R.T. Thales rezlt c EO || AD.

Analog se arat c OG || AD i atunci rezult c punctele E, O i G sunt coliniare.


58/134

58

11.Un patrulater inscriptibil are diagonalele perpendiculare. S se arate c

perpendiculara dus din punctul de intersecie al diagonalelor pe una din laturi trece

prin mijlocul laturei opuse.

Demonstraie:

Fie patrulaterul inscriptibil ABCD cu AC BD i fie P punctul de intersecie al diagonalelor.

Fie apoi PF BC i E mijlocul *AD+. Prelungim FP i fie E' punctul de intersecie al dreptelor

FP i AD. Avem CPFDBCDAC . ns 'APECPF (opuse la vrf) i deci

'APEDAC rezult E'AP isoscel rezult c E'P = E'A.

Analog se arat c E'PD este isoscel rezult E'P = E'D. Din E'P = E'A i E'P = E'D vom avea

E'A = E'D rezult c E' mijlocul *AD+, de unde E=E'. Aadar dreapta FP trece prin mijlocul

*AD+, adic punctele F, P i E sunt coliniare.

12.n ABC se consider punctele M, N, P pe laturile *BC+, *CA+ i respectiv *AB+, astfel

nctPB

PA

NA

NC

MC

MB . Se noteaz cu D mijlocul *BC+, iar prin Q simetricul lui A fa

de mijlocul *MN+. S se demonstreze c punctele P, D i Q sunt coliniare.

Demonstraie:

A

E

D

E'

P

O

F

C

B

A

P

S

BM D C

N


59/134

59

Paralela dus prin N la BC taie latura *AB+ n S, atunci:MCBM

NACN

SASB i, deci, SM || AC.

DinPB

PA

MC

BM

SA

SB , urmeaz c SB = PA i SA = BP.

Patrulaterul MSNC este paralelogram i, deci, SC trece prin mijlocul segmentului *AQ+;

urmeaz c patrulaterul ASQC este paralelogram. Am redefinit astfel punctul D ca fiind

mijlocul diagonalei *PQ+ a paralelogramului BQCP, de unde urmeaz c P, D i Q sunt

coliniare.

13.Fie ABC nscris n cercul de centru O, cu 00 45)(i60)( CmBm

. S se

demonstreze c mijlocul M al laturii *AC+, centrul O al cercului i proiecia D a lui A pe

latura [BC] sunt coliniare.

Demonstraie:

Deoarece AM=MC OM AC. Notm D' intersecia dreptelor OM i BC; atunci D'MC este

dreptunghic isoscel pentru c 045)( Cm

. Rezult c D'M=MC=MA vom avea c AD'C este

dreptunghic i deci AD' BC. Cum din ipotez AD BC rezult c D' = D. Prin urmare, M, O,

D sunt puncte coliniare.

A

M

O

600 0


60/134


61/134

61

Deoarece FE[ i FC[ formeaz cu dreapta ADFAD unghiurile congruente

DFCAFE , rezult c FE[ i FC[ sunt n prelungire, deci punctele C, F, E sunt

coliniare.


62/134


63/134


64/134

64

Fie TMPAC . Analog se arat c CPTAMT sinsin i aplicnd teorema

sinusului n triunghiurile ATMi CTPobinem relaia:CP

AM

CT

AT (2)

Deoarece AQAM , CPCN , din relaiile (1) i (2) rezultCT

AT

CS

AS , adic punctele Si

Tcoincid. Deci dreptele MP, NQ,ACsunt concurente n T.

C.2. Dreptele 1d, 2d , 3d sunt concurente dac i numai dac 1 2 { }d d M i

3M d .

Exemple:

1. Fie un trapez ABCD ( ||AB CD ). Se construiesc n exterior triunghiurile echilaterale

ABM i CDN. S se arate c dreptele AC, BD i MN sunt concurente.

M

A B

O

D C

N

Demonstraie:

Fie { }O AC BD


65/134

65

Deoarece OAB~OCB rezultOA AB

OC DC i cum ,AB AM DC CN obinem :

OA AM

OC CN ()

Dar )()()()(60)( OCNmOCDmDCNmBAOmMAOm

i deci MAO ~NCO(conform relaiei ()). Obinem astfel c )()( NOCmMOAm ,

adic O MN i drepteleAC, BD, MNsunt concurente.

2. Fie ABCD un patrulater convex i ( )M AB , ( )N BC , ( )P CD i ( )Q DA . Dac

dreptele MN, PQi ACsunt concurente s se arate c dreptele NP, MQ i BD sunt

concurente sau paralele.

O

C

P

N

B

S O D

M Q

A

Demonstraie:

Fie { }O MN PQ AC

Aplicm teorema lui Menelaus i obinem:

1MA NB OAMB NC OC


66/134


67/134


68/134

68

Punctul I se numete centrul cercului nscris n triunghi deoarece se gsete la

aceeai distan fa de cele trei laturi ale triunghiului.

2. nlimile unui triunghi sunt concurente.

Demonstraie:

Fie H-=AA BB i C-= CH AB

Ducem paralela prin C la AB i notm cu A i B punctele de intersecie ale acestei paralele

cu dreptele AA, respectiv BB.

DinHC

HC

CA

ACavemCHAHAC

"

"

":,"~" (1).

Analog, din :,'~" avemCHBHBC HC

HC

CB

BC "

"

" (2)

Din relaiile (1) i (2) obinem:"

"

"

"

"

"

"

"

CB

CA

BC

ACsau

CB

BC

CA

AC (3)

Dar din ,'

'":,'~'"

BA

CA

BA

CAavemBAAACA de unde

'

'"

BA

CABACA

(4)

B''

C

A''

A'B

C''C'

H

B'

A


69/134

69

Analog, din'

'",

'

'":,'~'"

AB

CBABCB

AB

CB

AB

CBavemABBBCB

(5)

Cu relaiile (4) i (5), egalitatea (3) devine :

'

'

'

'

''

''':

'

"

"

"

"

CB

AB

BA

CA

CBBA

ABCA

AB

CBAB

BA

CABA

CB

CA

BC

AC

i din lema 2, avem

Aplicnd lema 1obinem :

1'

'

CABC

CBACdeci

'

'

'

'

BC

AC

BC

CA , adic "' CC i deci trei nlimi sunt concurente.

Punctul H se numete ortocentrul triunghiului.

Observaie: Faptul c n demonstraia de mai sus s-a folosit un triunghi ascuitunghic nu

este esenial, demonstraia se face la fel i n cazul unui triunghi obtuzunghic.

Cazul triunghiului dreptunghic este banal.

3. Medianele unui triunghi sunt concurente.

Demonstraie:Fie ABC n care *AA+, *BB+, *CC+ sunt mediane.

A B``

C`` B`

C`

B A` C

A

Fie G- =AA BB

Deoarece *CC+ este median, avem CA = CB (1)

'

'

'

'

'

'

'

'

"

"

BC

AC

CABC

CBAC

CABC

ACBA

BC

CB

AB

AC

BC

AC


70/134

70

Ducem paralela prin C la AB i notm cu A i B punctele de intersecie a dreptelor AA,

respectiv BB cu aceast paralel. Fie C-=CG AB.

Din )2("

"

":,"~"

GC

GC

CA

ACavemCGAGAC .

Analog, din )3("

"

":,"~"

GC

GC

CB

BCavemCGBGBC

Din relaiile (2) i (3) obinem : )4("

"

"

"

"

"

"

"

CB

CA

BC

ACsau

CB

BC

CA

AC

Dar, din )5(":,"" ABCAavemBAAACA .

Analog, din )6(":,''" ABCBavemABBBCB .

Cu relaiile (5) i (6), realia (4) ne conduce la )7("" BCAC .

Comparnd relaiile (1) i (7), obinem c ,"' CC deci cele trei mediane ale ABC sunt

concurente. n plus, din relaia (2) : ,"

"

"

GC

GC

CA

AC deducem c

2

1"

GC

GC ceea ce

exprim faptul c G se afl pe mediana GC la 2/3 de vrful C i la 1/3 de punctul C de peAB.

Punctul G se numete centrul de greutate al triunghiului.

4. Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente.

Demonstraie:

Mediatoarele sunt concurente cci sunt nlimi n triunghiul median ABC al triunghiului

dat ABC. Punctul O de intersecie al mediatoarelor triunghiului se numete centrul cercului

circumscris triunghiului.

5. Fie I, punctul de intersecie al diagonalelor trapezului ABCD, E i F mijloacele

bazelor *AB+ i *CD+ ale trapezului, iar G i H mijloacele diagonalelor *AC+ i *BD+.

Se iau punctele I i I, simetrice punctului I n raport cu G, respectiv H. S se


71/134

71

arate c dreptele EF, HI i GI sunt concurente i 2GK =KI, unde K este punctul

de intersecie al dreptelor GI i HI.

Demonstraie:

Cum I este simetricul lui I fa de G, iar I este

simetricul lui I fa de H rezult 'GIIG i

"HIHI .

Prin urmare, GI i HI sunt mediane n "'III i

Deci EF, HI i GI sunt concurente, iar 2GK = KI.

C.4. Demonstrarea concureneifolosind teorema lui Ceva

Teorema lui Ceva:

Fie ABC i punctele M AB, N BC i P AC astfel nct MBMA , NCNB ,

PAPC i dreptele AN, BP, CM s nu fie paralele dou cte dou. Atunci dreptele AN, BP,

CM sunt concurente dac i numai dac 1 .

Observaii:

Formularea clasic a teoremei lui Ceva este urmtoarea: n ABC punctele A` (BC), B`

(AC), C`(AB) sau doar unul din punctele A`, B`, C` aparin triunghiului i AA`, BB`, CC` nu

sunt paralele dou cte dou, n aceste condiii:

AA`, BB`, CC` sunt concurente 1`

`

`

`

`

`

BC

AC

AB

CB

CA

BA.

B

CD

A

I'

G H

I

F

E

K


72/134

72

Cu precauiile necesare, ambele formulri sunt utilizate.

Folosind reciproca teoremei lui Ceva se pot regsi uor concurena medianelor i

bisectoarelor.

De obicei implicaia direct se numete teorema lui Ceva sau teorema cevienelor iar

implicaia indirect se numete reciproca teoremei lui Ceva.

Demonstraie:Notm{O} = BP AN, {S} = MC AN. Aplicm teorema lui Menelaus pentru

triunghiul ABN i transversala CM. Se obine relaia 1OA

ON

CN

CB

Mb

MA sau

1

1

OA

ON, (1). Din teorema lui Menelaus n triunghiul ACN i transversala BP

obinem : 1SN

SA

PA

PC

BC

BN, de unde rezult c

11

1

SN

SA, (2). Dreptele AN, BP, CM

sunt concurente dac i numai dac O = S. Din relaiile (1) i (2) se obine c )1( =

))1

(1

sau ) )1)(1( =0.

Dac 1 atunci 1 i teorema este demonstrat.

Dac 1 atunci NCNB sau 0BC

Exemple:

1.

n triunghiul ABC cu m(A

) =900

, construim AD BC, D*BC+ i bisectoarea [AE, E*BC+. Notm cu L i F proieciile punctului E pe catetele *AB+ i

A

M P

B N C


73/134

73

* AC+. S se arate c dreptele AD, BF i CL sunt concurente.

Demonstraie:

Fie a, b, c lungimile laturilor [BC], [AC], [AB].Aplicnd teorema bisectoarei, avem:

(1) ;b

c

CE

BE EF ||AC rezult

EB

CE

LB

AL (2)

Din (1) i (2) rezultcb

LBAL (3)

EF||AB rezult cEB

CE

FA

CF (4)

C

Din (1) i (4) vom aveac

b

FA

CF (5)

Conform teoremei catetei, obinem c

2

=BDa i b

2

= CD a, deci, 2

2

b

c

DC

BD

(6)

Din (3), (5)i (6) : 12

2

c

b

b

c

c

b

FA

CF

DC

BD

LB

AL i conform teoremei lui Ceva,

dreptele AD, BF i CL sunt concurente.

2. (Teorema lui Gergonne). Fie triunghiul ABC i D, E, F punctele de contact ale

cercului nscris cu dreptele BC, CA, AB. S de demonstreze c AD, BE i CF sunt

concurente.

Demonstraie:

Avem AE = AF, BF=BD i CD =CE ca tangente

duse dintr-un punct exterior la cerc. innd

seama de aceste egaliti, avem:

,1FB

FA

EA

EC

DC

DBdeci, conform reciprocei

teoremei lui Ceva, dreptele AD, BE i CF sunt

concurente sau paralele.

A

B D E

LF

A

F

B D C

E

G


74/134

74

Mai mult, D *BC+ i *BC+ Int ( BAC ) rezult c

D Int ( BAC ). Aplicnd teorema transversalei, rezult c *AD [BE] ; de aici rezult

c *AD+ nu poate fi paralel cu BE.

Deci dreptele AD, BE i CF sunt concurente.Punctul de concuren se noteaz cu G i se numete punctul lui Gergonne.

Observaie:Dreptele care unesc punctele de contact ale fiecrui cerc exnscris unui

triunghi cu vrfurile opuse sunt concurente (teoremele adjuncte ale lui Gergonne).

Demonstraia este asemntoare. Punctele Ra, Rb i Rcse numesc puncte adjuncte ale lui

Gergonne.

C.5. Izogonalele a trei ceviene concurente sunt drepte concurente.

n particular, simedianele unui triunghi sunt concurente (punctul lui Lemoine al

triunghiului).

Dreptele CM i CM sunt izogonale n raport cu unghiul C dac ele fac acelai unghi cu

laturile acestuia, sau, altfel spus, dou drepte izogonale sunt egal nclinate pe bisectoarea

unghiului.

Cevienele izogonale cu medianele unui triunghi se numesc simedianele triunghiului.

Exemple:

1. (Teorema lui Steiner).

Dac dou ceviene izogonale din vrful A al unui triunghi taie latura opus *BC+ n

punctele D i E, atunci are loc relaia :2

2

AC

AB

CE

BE

CD

BD .

Demonstaie:

Ducem prin punctele B i C dreptele d i d, paralele la AC, respectiv AB i considerm

punctele d AD = M-, d AE = {N}.

Fie AD i AE ceviene izogonale din vrful A al triunghiului ABC rezult m(A 1) = m( 2A ).

Din d||AC rezultAC

BM

CD

BDavemCADBMD ,~

Din d'||AB rezultCN

AB

CE

BEavemCENBEA ,~

Din m( 1

A )= m( 2

A ) (prin ipotez )i m( MBA )

A

C

NM

B D E

(d')(d)


75/134


76/134

76

11BA , 22BA , 33BA sunt concurente exit un unic P astfel nct P 11BA , P 22BA , P

33BA

,,, 321

xxx astfel nct 1111)1( OBxOAxOP

2222)1( OBxOAx

=

3133)1( OBxOAx oricare ar fi punctual O.

Poziia lui P pe fiecare din dreptele 11BA , 22BA , 33BA se poate preciza considernd

O = P. Astfel 1111)1( PBxPAx 2222)1( PBxPAx 3133)1( PBxPAx = 0 ,

deci 11

11

1PBx

x

PA ,2

2

22

1PBx

x

PA , 33

33

1PBx

x

PA , adic

1);,(

1

111

x

xPBA ,

1);,(

2

222

x

xPBA ,

1);,(

3

333

x

xPBA .

Exemple:

1. Fie triunghiulABCi CCBBAA ,, cele trei nlimi. Dac HBBAA

atunci CCH .

Demonstraie:

Fie nlimile AA' i CC' i H punctul lor de intersecie. Se unete B cu H i se

prelungete segmentul BH pn n .ACB Atunci ;HBHCBC ;HAHBAB

A

B CA'

B'

H


77/134


78/134


79/134

79

07510:3 yxd

Stabilii dac dreptele1

d , 2d i 3d sunt concurente.

Demonstraie:

Calculnd 040760401528

7510

421

312

Deci dreptele1


2. Se consider ntr-un s.c.c.o urmtoarele drepte:

05:1 yxd

012:2 yxd

052:3 yxd

Stabilii dac dreptele1


Demonstraie:

Calculnd 012520225

052

121

511

Deci dreptele1

d , 2d i 3d nu sunt concurente.

2. Teoreme i probleme de concuren (aplicaii)

1. Demonstrarea teoremei lui Ceva folosind metoda analitic

n ABC punctele A` (BC), B` (AC), C`(AB) sau doar unul din punctele A`, B`, C`

aparin triunghiului i AA`, BB`, CC` nu sunt paralele dou cte dou, n aceste condiii:


80/134


81/134


82/134


83/134


84/134


85/134

85

6. Teorema lui Nagel. DacA', B', C' sunt punctele de contact ale cercurilor exnscrise

cu laturile triunghiului ABC, BCA , CAB , ABC , atunci dreptele AA',

BB', CC'sunt concurente (Punctul Nde concuren al celor trei drepte se numete

punctul lui Nagel).

Demonstraie:

Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului (BC= a,AC = b,AB = c) i fiepsemiperimetrul

triunghiului.

Fie ABx , CAy , atunci: ayx i bycx

Rezult: bacx 2 , adic cpx i bpy

Se obine:bp

cp

CA

BA

. n mod analog se obin relaiile:

cp

ap

AB

CB

;

ap

bp

BC

AC

A

BC

C'

A'

B'N


86/134

86

Rezult: 1

BC

AC

AB

CB

CA

BA i din reciproca teoremei lui Ceva rezult c drepteleAA', BB',

CC'sunt concurente.

7.

Fie un paralelogramABCDi fie E, F BD astfel nct FDEFBE . Se noteaz

GAEBC , HAFCD , LCEAB , MCFAD . S se arate c

drepteleAC, EF, LHsunt concurente.

Demonstraie:

Triunghiurile ADEi BCFsunt congruente (AD=BC, BDBFED3

2 , CBEADE )

rezult relaia CFAE ()

Triunghiurile ADFi BCEsunt congruente (AD = BC, BDBEFD3

1 , CBEADF )

rezult relaia ECAF ()

Din () i () rezult c patrulaterulAECFeste paralelogram.

Deci drepteleACi EFtrec prin punctul O(mijlocul segmentului AC i al segmentului EF

).

Rezult c drepteleAC, EFi LHsunt concurente.

8. Bisectoarele exterioare a dou unghiuri a unui triunghi sunt concurente cu

bisectoarea interioar a celui de-al treilea unghi ntr-un punct aI (centrul cercului

exnscris).

A D

CB

M

G

HLO

F

E


87/134


88/134


89/134

89

Aceast egalitate este echivalent cu:CN

ANCD

BM

BDAM

care mai poate fi scris:

1AN

CN

CD

BD

BM

AM, de unde folosind teorema reciproc a teoremei lui Ceva rezult cAD,

BNi CMsunt concurente.

10. Considerm paralelogramul ABCD i fie E, F puncte pe diagonala BD, astfel nct

BE=EF=FD. Se noteaz cu G, H, L, M punctele de intersecie ale perechilor de drepte

BC i AE, CD i AF, AB i CE, respectiv AD i CF. S se demonstreze c dreptele AC, EF

i LH sunt concurente.

Demonstraie:

AD=BC, CBFEDA

, DE=BF, rezult c ADEBCF atunci AE = CF

AD=BC, CBEFDA

, DF=BE, rezult c ADFBCE atunci AF = EC

Rezult c AECF paralelogram i EF trece prin mijlocul O al diagonalei *AC+.

Cum AF || EC, AHCL paralelogram i prin urmare, diagonala *LH+ trece prin mijlocul O al

diagonalei *AC+. Aadar, dreptele AC, EF i LH sunt concurente.

A M D

H

CGB

L

EO

F


90/134

90

11.S se arate c perpendicularele prin mijloacele laturilor unui triunghi pe laturile

triunghiului ortic (determinat de picioarele nlimilor triunghiului dat) sunt

concurente.

Demonstraie:

Fie D, E i F picioarele nlimilor n ABC i fie A, B, C mijloacele laturilor *BC+, *CA], [AB].

Ducem AM FDPBEF ', i .' DEHC n BEC dreptunghic, AE este mediana

relativ la ipotenuz i deci

.

2

' BC

EA Analog AF este median n BCF dreptunghic

Aadar, EFA' este isoscel. Cum AM este nlimea relativ la baz n EFA" isoscel

rezult c AM este i mediatoarea segmentului *EF+. Analog, se arat c BP i CN sunt

mediatoarele laturilor *FD+, respective *DE+. Prin urmare, dreptele AM, BP i CN, fiind

mediatoarele laturilor triunghiului FDE sunt concurente ntr-un punct Q.

AA'DB

C'

F

A

E

B'

NQ

P

M


91/134


92/134


93/134


94/134


95/134

95

Se noteaz cu O punctul de intersec

Documents

Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)