Buiducquangp

MỘT SỐ KỸ NĂNG CHỨNG MINH BẤTĐẲNG THỨC PHÂN THỨC

BÙI ĐỨC QUANG

KHOA SƯ PHẠMĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

23/06/2009

BÙI ĐỨC QUANG GV: TS. NGUYỄN HỮU ĐIỂN

LỜI MỞ ĐẦU


LỜI MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là một chuyên đề hay và khó trong chương trìnhtoán phổ thông. Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì bất đẳng thứclà mảng kiến thức quan trọng không thể thiếu. Đã có rất nhiều cuốnsách trình bày các phương pháp chứng minh bất đẳng thức


LỜI MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là một chuyên đề hay và khó trong chương trìnhtoán phổ thông. Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì bất đẳng thứclà mảng kiến thức quan trọng không thể thiếu. Đã có rất nhiều cuốnsách trình bày các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Khi đề cập đến bất đẳng thức thì học sinh phổ thường liên tưởngngay đến một bất đẳng thức cơ bản, đó là bất đẳng thức trung bình màchúng ta vẫn hay gọi là bất đẳng thức Côsi. Tên đúng và đầy đủ của bấtđẳng thức trung bình là Arithmetic mean - Geometric mean, được viếttắt là AM-GM. Bất đẳng thức này rất dễ nhớ và được sử dụng nhiều.Tuy nhiên, trong từng trường hợp cụ thể thì việc vận dụng bất đẳng thứcnhư thế nào là vấn đề mà tác giả muốn đề cập đến trong chương này.


I. KỸ THUẬT CÔSI NGƯỢC DẤU

Bài 1: Các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3,

CMR a1+b2 + b

1+c2 + c1+a2 ≥ 3

2 .




CMR a1+b2 + b

1+c2 + c1+a2 ≥ 3

2 .

Hướng dẫn:




CMR a1+b2 + b

1+c2 + c1+a2 ≥ 3

2 .

Hướng dẫn: Ta có: a1+b2 = a − ab2

1+b2 ≥ a − ab2

2b= a − ab

2 .




CMR a1+b2 + b

1+c2 + c1+a2 ≥ 3

2 .


1+b2 ≥ a − ab2

2b= a − ab

2 .

Ta sử dụng BĐT AM-GM cho 2 số 1 + b2 ≥ 2b ở dưới mẫu.Tương tự

b

1 + c2 ≥ b −bc

2,

c

1 + a2 ≥ c −ca

2

Cộng theo vế các BĐT trên thu được




CMR a1+b2 + b

1+c2 + c1+a2 ≥ 3

2 .


1+b2 ≥ a − ab2

2b= a − ab

2 .


b

1 + c2 ≥ b −bc

2,

c

1 + a2 ≥ c −ca

2


a

1 + b2 +b

1 + c2 +c

1 + a2 ≥ a + b + c −ab + bc + ca

2.

Mặt khác, (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) =⇒ ab + bc + ca ≤ 3.




CMR a1+b2 + b

1+c2 + c1+a2 ≥ 3

2 .


1+b2 ≥ a − ab2

2b= a − ab

2 .


b

1 + c2 ≥ b −bc

2,

c

1 + a2 ≥ c −ca

2


a

1 + b2 +b

1 + c2 +c

1 + a2 ≥ a + b + c −ab + bc + ca

2.

Mặt khác, (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) =⇒ ab + bc + ca ≤ 3. Do đó:

a

1 + b2 +b

1 + c2 +c

1 + a2 ≥ 3 −32

=32

(đpcm)

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.BÙI ĐỨC QUANG GV: TS. NGUYỄN HỮU ĐIỂN

Bài 2: Cho a, b, c , d > 0 và a + b + c + d = 4, CMR

a

1 + b2 +b

1 + c2 +c

1 + d2 +d

1 + a2 ≥ 2.



a

1 + b2 +b

1 + c2 +c

1 + d2 +d

1 + a2 ≥ 2.

Hướng dẫn



a

1 + b2 +b

1 + c2 +c

1 + d2 +d

1 + a2 ≥ 2.

Hướng dẫnTương tự như Bài 1 , ta có

a

1 + b2 +b

1 + c2 +c

1 + d2 +d

1 + a2 ≥ a+b+c +d −ab + bc + cd + da

2.



a

1 + b2 +b

1 + c2 +c

1 + d2 +d

1 + a2 ≥ 2.


a

1 + b2 +b

1 + c2 +c

1 + d2 +d

1 + a2 ≥ a+b+c +d −ab + bc + cd + da

2.

Sử dụng bất đẳng thức AG-GM cho 2 số (a + c) và (b + d) thu được

(a + c) + (b + d) ≥ 2√

ab + bc + cd + da

⇐⇒ ab + bc + cd + da ≤14

(a + b + c + d)2

=14.16 = 4



a

1 + b2 +b

1 + c2 +c

1 + d2 +d

1 + a2 ≥ 2.


a

1 + b2 +b

1 + c2 +c

1 + d2 +d

1 + a2 ≥ a+b+c +d −ab + bc + cd + da

2.

Sử dụng bất đẳng thức AG-GM cho 2 số (a + c) và (b + d) thu được

(a + c) + (b + d) ≥ 2√

ab + bc + cd + da

⇐⇒ ab + bc + cd + da ≤14

(a + b + c + d)2

=14.16 = 4

Do đó

a

1 + b2 +b

1 + c2 +c

1 + d2 +d

1 + a2 ≥ 4 −42

= 2 (đpcm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = 1.BÙI ĐỨC QUANG GV: TS. NGUYỄN HỮU ĐIỂN

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c , d ta luôn có

a3

a2 + b2 +b3

b2 + c2 +c3

c2 + d2 +d3

d2 + a2 ≥a + b + c + d

2.



a3

a2 + b2 +b3

b2 + c2 +c3

c2 + d2 +d3

d2 + a2 ≥a + b + c + d

2.

Hướng dẫn:



a3

a2 + b2 +b3

b2 + c2 +c3

c2 + d2 +d3

d2 + a2 ≥a + b + c + d

2.

Hướng dẫn: Ta có

a3

a2 + b2 = a −ab2

a2 + b2 ≥ a −ab2

2ab= a −

b

2.



a3

a2 + b2 +b3

b2 + c2 +c3

c2 + d2 +d3

d2 + a2 ≥a + b + c + d

2.


a3

a2 + b2 = a −ab2

a2 + b2 ≥ a −ab2

2ab= a −

b

2.

Tương tự

b3

b2 + c2 ≥ b −c

2,

c3

c2 + d2 ≥ c −d

2,

d3

d2 + a2 ≥ d −a

2.



a3

a2 + b2 +b3

b2 + c2 +c3

c2 + d2 +d3

d2 + a2 ≥a + b + c + d

2.


a3

a2 + b2 = a −ab2

a2 + b2 ≥ a −ab2

2ab= a −

b

2.

Tương tự

b3

b2 + c2 ≥ b −c

2,

c3

c2 + d2 ≥ c −d

2,

d3

d2 + a2 ≥ d −a

2.

Cộng vế với vế 4 bất đẳng thức trên thu được

a3

a2 + b2 +b3

b2 + c2 +c3

c2 + d2 +d3

d2 + a2 ≥a + b + c + d

2(đpcm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d .BÙI ĐỨC QUANG GV: TS. NGUYỄN HỮU ĐIỂN

Bài 4: Với a, b, c > 0 và a + b + c = 3, chứng minh rằng

a + 1b2 + 1

+b + 1c2 + 1

+c + 1a2 + 1

≥ 3.



a + 1b2 + 1

+b + 1c2 + 1

+c + 1a2 + 1

≥ 3.

Hướng dẫn:



a + 1b2 + 1

+b + 1c2 + 1

+c + 1a2 + 1

≥ 3.


a + 1b2 + 1

= a + 1 −(a + 1) b2

b2 + 1≥ a + 1 −

(a + 1) b2

2b= a + 1 −

ab + b

2.



a + 1b2 + 1

+b + 1c2 + 1

+c + 1a2 + 1

≥ 3.


a + 1b2 + 1

= a + 1 −(a + 1) b2

b2 + 1≥ a + 1 −

(a + 1) b2

2b= a + 1 −

ab + b

2.

Tương tự

b + 1c2 + 1

≥ b + 1 −bc + c

2,

c + 1a2 + 1

≥ c + 1 −ca + a

2.



a + 1b2 + 1

+b + 1c2 + 1

+c + 1a2 + 1

≥ 3.


a + 1b2 + 1

= a + 1 −(a + 1) b2

b2 + 1≥ a + 1 −

(a + 1) b2

2b= a + 1 −

ab + b

2.

Tương tự

b + 1c2 + 1

≥ b + 1 −bc + c

2,

c + 1a2 + 1

≥ c + 1 −ca + a

2.

Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên thu được

a + 1b2 + 1

+b + 1c2 + 1

+c + 1a2 + 1

≥ 3+a + b + c − ab − bc − ca

2≥ 3 (đpcm).

(Vì ab + bc + ca ≤ a + b + c)Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.



a3

a2 + b2 +b3

b2 + c2 +c3

c2 + a2 ≥a + b + c + d

2.



a3

a2 + b2 +b3

b2 + c2 +c3

c2 + a2 ≥a + b + c + d

2.

Hướng dẫn



a3

a2 + b2 +b3

b2 + c2 +c3

c2 + a2 ≥a + b + c + d

2.

Hướng dẫnSử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có



a3

a2 + b2 +b3

b2 + c2 +c3

c2 + a2 ≥a + b + c + d

2.


a3

a2 + b2 = a −ab2

a2 + b2 ≥ a −ab2

2ab= a −

b

2,

b3

b2 + c2 = b −bc2

b2 + c2 ≥ b −bc2

2bc= b −

c

2,

c3

c2 + a2 = c −ca2

c2 + a2 ≥ c −ca2

2ca= c −

a

2.

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta thu được (đpcm).


Bài 6: Chứng minh rằng với mọi a, b, c , d dương và có tổng bằng 4thì

1a2 + 1

+1

b2 + 1+

1c2 + 1

+1

d2 + 1≥ 2.



1a2 + 1

+1

b2 + 1+

1c2 + 1

+1

d2 + 1≥ 2.

Hướng dẫn



1a2 + 1

+1

b2 + 1+

1c2 + 1

+1

d2 + 1≥ 2.




1a2 + 1

+1

b2 + 1+

1c2 + 1

+1

d2 + 1≥ 2.


1a2 + 1

= 1 −a2

a2 + 1≥ 1 −

a2

2a= 1 −

a

2,

1b2 + 1

= 1 −b2

b2 + 1≥ 1 −

b2

2b= 1 −

b

2,

1c2 + 1

= 1 −c2

c2 + 1≥ 1 −

c2

2c= 1 −

c

2,

1d2 + 1

= 1 −d2

d2 + 1≥ 1 −

d2

2d= 1 −

d

2.

Cộng vế với vế các bất đẳng thức thu được (đpcm).


II. DÙNG BĐT AG-GM CHỨNG MINH BĐTPHÂN THỨC

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng

a3

a + 2b+

b3

b + 2c+

c3

c + 2a≥

13

(

a2 + b2 + c2).

Hướng dẫn:




a3

a + 2b+

b3

b + 2c+

c3

c + 2a≥

13

(

a2 + b2 + c2).

Hướng dẫn: Sử dụng BĐT AM-GM, ta có:

9a3

a + 2b+ a (a + 2b) ≥ 6a2

.




a3

a + 2b+

b3

b + 2c+

c3

c + 2a≥

13

(

a2 + b2 + c2).


9a3

a + 2b+ a (a + 2b) ≥ 6a2

.

Làm tương tự với các số hạng còn lại rồi cộng lại theo vế thu được

9P ≥ 5(

a2 + b2 + c2) − 2 (ab + bc + ca) .




a3

a + 2b+

b3

b + 2c+

c3

c + 2a≥

13

(

a2 + b2 + c2).


9a3

a + 2b+ a (a + 2b) ≥ 6a2

.


9P ≥ 5(

a2 + b2 + c2) − 2 (ab + bc + ca) .

Sử dụng BĐT 2 (ab + bc + ca) ≤ 2(

a2 + b2 + c2)

.




a3

a + 2b+

b3

b + 2c+

c3

c + 2a≥

13

(

a2 + b2 + c2).


9a3

a + 2b+ a (a + 2b) ≥ 6a2

.


9P ≥ 5(

a2 + b2 + c2) − 2 (ab + bc + ca) .

Sử dụng BĐT 2 (ab + bc + ca) ≤ 2(

a2 + b2 + c2)

.

Suy ra 9P ≥ 3(

a2 + b2 + c2) ⇐⇒ P ≥ 13

(

a2 + b2 + c2) (đpcm).Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c .


Bài 2: Cho x , y , z > 0 và xyz = 1, chứng minh rằng

P =x3

(1 + y ) (1 + z)+

y3

(1 + z) (1 + x)+

z3

(1 + x) (1 + y )≥

34.



P =x3

(1 + y ) (1 + z)+

y3

(1 + z) (1 + x)+

z3

(1 + x) (1 + y )≥

34.

Hướng dẫn



P =x3

(1 + y ) (1 + z)+

y3

(1 + z) (1 + x)+

z3

(1 + x) (1 + y )≥

34.

Hướng dẫn

Ta có x3

(1+y)(1+z)+ 1+y

8 + 1+z8 ≥ 3.

3√

x3

64 = 34x .



P =x3

(1 + y ) (1 + z)+

y3

(1 + z) (1 + x)+

z3

(1 + x) (1 + y )≥

34.

Hướng dẫn

Ta có x3

(1+y)(1+z)+ 1+y

8 + 1+z8 ≥ 3.

3√

x3

64 = 34x .

Tương tựy3

(1+z)(1+x) + 1+z8 + 1+x

8 ≥ 34y ,

z3

(1 + x) (1 + y)+

1 + x

8+

1 + y

8≥

34z.



P =x3

(1 + y ) (1 + z)+

y3

(1 + z) (1 + x)+

z3

(1 + x) (1 + y )≥

34.

Hướng dẫn

Ta có x3

(1+y)(1+z)+ 1+y

8 + 1+z8 ≥ 3.

3√

x3

64 = 34x .

Tương tựy3

(1+z)(1+x) + 1+z8 + 1+x

8 ≥ 34y ,

z3

(1 + x) (1 + y)+

1 + x

8+

1 + y

8≥

34z.

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta thu được

P +14

(x + y + z) +34≥

34

(x + y + z) ⇐⇒ P ≥12

(x + y + z) −34



P =x3

(1 + y ) (1 + z)+

y3

(1 + z) (1 + x)+

z3

(1 + x) (1 + y )≥

34.

Hướng dẫn

Ta có x3

(1+y)(1+z)+ 1+y

8 + 1+z8 ≥ 3.

3√

x3

64 = 34x .

Tương tựy3

(1+z)(1+x) + 1+z8 + 1+x

8 ≥ 34y ,

z3

(1 + x) (1 + y)+

1 + x

8+

1 + y

8≥

34z.


P +14

(x + y + z) +34≥

34

(x + y + z) ⇐⇒ P ≥12

(x + y + z) −34

Mà x + y + z ≥ 3. 3√

xyz = 3 =⇒ P ≥ 12 .3 − 3

4 = 34 (đpcm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.BÙI ĐỨC QUANG GV: TS. NGUYỄN HỮU ĐIỂN


a3

(b + c)2 +b3

(b + c)2 +c3

(b + c)2 ≥14

(a + b + c) .



a3

(b + c)2 +b3

(b + c)2 +c3

(b + c)2 ≥14

(a + b + c) .

Hướng dẫn



a3

(b + c)2 +b3

(b + c)2 +c3

(b + c)2 ≥14

(a + b + c) .




a3

(b + c)2 +b3

(b + c)2 +c3

(b + c)2 ≥14

(a + b + c) .


a3

(b + c)2 + (b + c) + (b + c) ≥ 6a.

b3

(a + c)2 + (a + c) + (a + c) ≥ 6b.

c3

(a + b)2 + (a + b) + (a + b) ≥ 6c .

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cầnchứng minh (đpcm).


Bài 4: Với a, bc là các số thực dương, chứng minh rằng

a3

b (c + a)+

b3

c (a + b)+

c3

a (b + c)≥

12

(a + b + c) .



a3

b (c + a)+

b3

c (a + b)+

c3

a (b + c)≥

12

(a + b + c) .

Hướng dẫn



a3

b (c + a)+

b3

c (a + b)+

c3

a (b + c)≥

12

(a + b + c) .

Hướng dẫnTheo bất đẳng thức AM-GM, ta có



a3

b (c + a)+

b3

c (a + b)+

c3

a (b + c)≥

12

(a + b + c) .


4a3

b (c + a)+ 2b + (c + a) ≥ 6a,

4b3

c (a + b)+ 2c + (a + b) ≥ 6b,

4c3

a (b + c)+ 2a + (b + c) ≥ 6c .

Cộng các bất đẳng thức lại theo vế thu được (đpcm).


Bài 5: Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng

a3

(a + b) (b + c)+

b3

(b + c) (c + a)+

c3

(c + a) (a + b)≥

14

(a + b + c) .



a3

(a + b) (b + c)+

b3

(b + c) (c + a)+

c3

(c + a) (a + b)≥

14

(a + b + c) .

Hướng dẫn



a3

(a + b) (b + c)+

b3

(b + c) (c + a)+

c3

(c + a) (a + b)≥

14

(a + b + c) .




a3

(a + b) (b + c)+

b3

(b + c) (c + a)+

c3

(c + a) (a + b)≥

14

(a + b + c) .


8a3

(a + b) (b + c)+ (a + b) + (b + c) ≥ 6a,

8b3

(b + c) (c + a)+ (b + c) + (c + a) ≥ 6b,

8c3

(c + a) (a + b)+ (c + a) + (a + b) ≥ 6c .

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên thu được (đpcm).



a4

b (b + c)2 +

b4

c (c + a)2 +

c4

a (a + b)2 ≥

14

(a + b + c) .



a4

b (b + c)2 +

b4

c (c + a)2 +

c4

a (a + b)2 ≥

14

(a + b + c) .

Hướng dẫn



a4

b (b + c)2 +

b4

c (c + a)2 +

c4

a (a + b)2 ≥

14

(a + b + c) .

Hướng dẫnTa có



a4

b (b + c)2 +

b4

c (c + a)2 +

c4

a (a + b)2 ≥

14

(a + b + c) .


8a4

b (b + c)2 + 2b + (b + c) + (b + c) ≥ 4 4

√2.8.a4 = 8a.

Tương tự



a4

b (b + c)2 +

b4

c (c + a)2 +

c4

a (a + b)2 ≥

14

(a + b + c) .


8a4

b (b + c)2 + 2b + (b + c) + (b + c) ≥ 4 4

√2.8.a4 = 8a.

Tương tự8b4

c (c + a)2 + 2c + (c + a) + (c + a) ≥ 8b,

8c4

a (a + b)2 + 2a + (a + b) + (a + b) ≥ 8c .

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta thu được bất đẳng thức cầnchứng minhDấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c .



a5

(a + b)4 +

b5

(b + c)4 +

c5

(c + a)4 ≥

116

(a + b + c) .



a5

(a + b)4 +

b5

(b + c)4 +

c5

(c + a)4 ≥

116

(a + b + c) .

Hướng dẫn



a5

(a + b)4 +

b5

(b + c)4 +

c5

(c + a)4 ≥

116

(a + b + c) .




a5

(a + b)4 +

b5

(b + c)4 +

c5

(c + a)4 ≥

116

(a + b + c) .


32a5

(a + b)4 + (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b) ≥ 10a,

32b5

(b + c)4 + (b + c) + (b + c) + (b + c) + (b + c) ≥ 10b,

32c5

(c + a)4 + (c + a) + (c + a) + (c + a) + (c + a) ≥ 10c .



a5

(a + b)4 +

b5

(b + c)4 +

c5

(c + a)4 ≥

116

(a + b + c) .


32a5

(a + b)4 + (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b) ≥ 10a,

32b5

(b + c)4 + (b + c) + (b + c) + (b + c) + (b + c) ≥ 10b,

32c5

(c + a)4 + (c + a) + (c + a) + (c + a) + (c + a) ≥ 10c .


a5

(a + b)4 +b5

(b + c)4 +c5

(c + a)4 ≥116

(a + b + c) (đpcm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c .BÙI ĐỨC QUANG GV: TS. NGUYỄN HỮU ĐIỂN

Documents

Buiducquangp