BUKU BACAAN MAHASISWA

Oleh Dra. Bunga Dara Amin, M.Ed

Program Studi Ilmu PendidikanProgram Pascarsajana

Universitas Negeri Makassar2015

i

HIPERMEDIA FISIKA KUANTUM

KATA PENGANTAR

Buku ini ditulis guna memenuhi keperluan akan materi pelajaran untuk kuliah Fisika Kuantum yang berbasis hipermedia pada perguruan tinggi. Keperluan ini sangatlah terasa, karena buku pelajaran untuk kuliah Fisika Kuantum pada perguruan tinggi kebanyakan berbahasa Inggris, dan jumlahnya pun terbatas.

Dengan penerbitan buku ini, kami berharap kekurangan tersebut sedikit banyak dapat teratasi. Buku kuliah Fisika kuantum ini secara ringkas isinya dapatlah diungkapkan sebagai berikut :Mulai sekali dibahas tentang gejala kuantum. Di sini diperkenalkan tentang gejala-gejala fisis yang tidak dapat dijelaskan sepenuhnya oleh teori gelombang klasik. Kemudian dilanjutkan dengan teori gelombang de Broglie yang secara megagumkan mampu memjelaskan sifat gelombang dari partikel.

Pada bagian selanjutnya dibahas mengenai Persamaan Gelombang bagi Partikel Schrodinger yang terkenal beserta dengan penerapan-penerapannya yang disertai dengan operator-operator umum dalam penyelesaian kasus mekanika kuantum. Dan bab terakhir membahas tentang penerapan Persamaan Gelombang Schrodinger untuk atom Hidrogen sederhana, kemudian dikembangkan kepada konsep yang lebih rumit.

Pembahasan matematika menggunakan kalkulus differensial orde 1 dan orde 2 dan integral sederhana. Vektor dan berbagai operasi lainnya digunakan secara luas.

Pengertian atau konsepsi disajikan dengan tujuan agar para mahasiswa mendapat kesan adanya kesatuan dalam berbagai pengertian di dalam fisika kuantum, dan pula memberi dasar pengertian yang berguna dalam mempelajari mekanika kuantum yang lebih kompleks. Semoga harapan itu terpenuhi.

Sangat disadari akan banyaknya kekurangan dalam buku Kuliah ini.

Kami mengucapkan banyak terima kasih kepada rekan dosen dan semua pihak yang telah membantu dalam penerbitan perdana ini khususnya kepada Ananda Ahmad Swandi yang telah meluangkan ruang dan waktunya dalam membantu pengetikan dan

i

pengeditan buku kuliah ini. Adalah harapan kami pula untuk mendapat lebih banyak petunjuk dari berbagai pihak, demi kesempurnaan buku ini.

Februari 2015,

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................... iiiDAFTAR ISI ................................................................. iv

A. RADIASI BENDA HITAM ....................................... 1 a. Pendahuluan ........................................... 1 b. Radiasi Termal ......................................... 1 c. Rumusan Teoritis Radiasi Benda Hitam .. 3 e. Teori Reyleigh – Jeans ............................ 4 f. Teori Max Planck ..................................... 5

B. EFEK FOTOLISTRIK .............................................. 11 a. Pendahuluan ........................................... 11 b. Percobaan Fotolistrik ............................... 12

C. EFEK COMPTON ................................................... 17 a. Pendahuluan ........................................... 17 b. Percobaan Compton ................................ 17

D. PARTIKEL DALAM KOTAK..................................... 22 a. Pendahuluan ........................................... 23 b. Persamaan Schrodinger .......................... 24 c. Kotak Potensial Satu Dimensi ................. 46

E. ATOM HIDROGEN ................................................. 47 a. Pendahuluan ........................................... 47 b. Spektrum Atom Hidrogen ........................ 48

Aplikasi Konsep ........................................... 50 Daftar Pustaka ............................................. 53

iii

A. RADIASI BENDA HITAM

a. Pendahuluan

Fisika yang berkembang sampai akhir abad sembilan belas dikenal sebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama yaitu mekanika Newtonian dan teori medan elektromagnetik Maxwellian. Mekanika klasik dicirikan oleh kehadiran partikel sebagai sesuatu yang terkurung di dalam ruang. Istilah terkurung secara sederhana dapat dikatakan sebagai adanya batas yang jelas antara materi dan sesuatu di luar dirinya atau lingkungannya. Fenomena yang ada dalam mekanika klasik adalah fenomena tumbukan antara partikel yang memungkinkan terjadinya transfer momentum dan energi. Sedangkan medan elektromagnetik dicirikan oleh kuantitas medan dari gelombang yang menyebar dalam ruang. Medan tersebar di dalam ruang bagai kabut dengan ketebalan yang berbeda-beda dan menipis sampai akhirnya benar-benar lenyap. Batas antara ruang bermedan dan ruang tanpa medan tidak jelas atau kabur.

Ciri utama fisika klasik adalah sifatnya yang common sense dan deterministik. Sampai menjelang abad kedua puluh, kedua teori tersebut ditambah termodinamika dipandang sebagai teori puncak (ultimate theory) yang mampu menjelaskan semua fenomena fisika. Sedangkan secara praktis, teori-teori tersebut telah memicu timbulnya revolusi industri.

Fisika terus berkembang dan temuan baru terus didapatkan. Tetapi, beberapa fenomena fisis yang ditemukan di akhir abad sembilan belas berikut ini tidak dapat dijelaskan oleh teori klasik. Karenanya, orang mengatakan bahwa fisika klasik mengalami krisis !

b. Radiasi Termal

Pertanda pertama yang menunjukkan bahwa gambaran gelombang klasik tentang radiasi elektromagnet (yang berhasil baik menerangkan percobaan Young dan Hertz pada abad kesembilan belas dan dapat dianalisis secara tepat dengan Persamaan Maxwell) tidak seluruhnya benar, tersimpulkan dari kegagalan teori gelombang untuk menerangkan spektrum radiasi termal yang diamati–jenis radiasi

1

Gambar 1. Max Planck (1858 – 1947). Warga Jerman, karyanya dalam bidang distribusi spectrum radiasi yang membuka jalan ke teori kuantum, dihargai dengan penganugrahan hadiah Nobel tahun 1918

elektromagnet yang dipancarkan oleh berbagai benda semata-mata karena suhunya.Susunan percobaan khasnya diperlihatkan pada Gambar 1.1 berikut. Sebuah objek dipertahan-kan pada suhu T1. Radiasi yang dipancarkan objek kemudian diamati dengan suatu peralatan yang peka terhadap panjang gelombang radiasi. Sebagai contoh, zat perantara dispersif (penyebar cahaya) seperti prisma dapat digunakan

untuk pengamatan ini karena panjang gelombang berbeda yang menembusnya akan teramati pada sudut yang berbeda pula. Dengan menggerakkan detektor radiasi ke sudut yang berbeda-beda, kita dapat mengukur intensitas radiasi pada suatu titik geometris (akan sangat tidak efektif !), tetapi mengapit suatu selang sudut d yang sempit.Jadi yang sebenarnya yang diukur adalah jumlah radiasi dalam selang d pada .

Besaran ini kita sebut intensitas radiant (radiant intensity), R, sehingga hasil percobaannya adalah sederetan nilai berbeda yang dipilih untuk diukur. Apabila setelah selesai, maka hasilnya akan tampak seperti pada Gambar 1.2.Bila percobaannya kemudian diulangi tetapi dengan temperatur yang lebih tinggi, maka akan diperoleh hasil seperti yang tampak pada Gambar 1.2.

Dengan mengulangi percobaan ini berkali-kali, maka dapat disimpulkan dua sifat penting dari radiasi termal berikut :1. Intensitas radiant total terhadap seluruh rentang panjang gelombang

sebanding dengan suhu T berpangkat empat (R () T 4) ; karena intensitas total tak lain adalah luas daerah di bawah kurva-kurva intensitas radiant pada Gambar 1.2, maka dapat dituliskan :

(1)

di mana telah diperkenalkan sebuah tetapan banding . Persamaan (1.1) ini dikenal sebagai hukum Stefan dan tetapan banding dikenal sebagai tetapan Stefan – Boltzmann. Dari sejumlah percobaan seperti yang dilukiskan pada Gambar 1.1, nilai tetapan banding diperoleh sebesar :

= 5,6703 x 10-8 W/m2.K4

2

Gambar 2. Radiasi termal yang dipancarkan suatu benda

2. Panjang gelombang di mana masing-masing kurva mencapai nilai maksimumnya, yang disebut maks.

(walau ia bukanlah suatu panjang gelombang maksimum), menurun jika suhu pemancar ditingkatkan, ternyata sebanding dengan kebalikan suhu, sehingga maks. 1/T. Dari percobaan diperoleh bahwa nilai tetapan bandingnya adalah

maks. T = 2,898 x 10-3 mK (2)

Hasil ini dikenal sebagai hukum Pergeseran Wien ; “Pergeseran” merujuk kepada kenyataan bahwa puncak kurva intensitas bergeser jika suhu berubah.

c. Rumusan Teoritis Radiasi Benda Hitam

Radiasi yang dipancarkan benda biasa tidak hanya bergantung pada suhu, tetapi juga pada sifat – sifat lainnya, seperti rupa benda, permukaannya, dan bahan pembuatnya. Radiasinya juga bergantung pada apakah benda memantulkan atau tidak memantulkan radiasi dari lingkungan sekitar yang jatuh padanya. Untuk menghilangkan beberapa hambatan ini, kita tidak akan meninjau benda biasa, melainkan yang permukaannya sama sekali hitam (benda hitam). Jika sebuah benda sama sekali hitam, maka cahaya yang jatuh padanya tidak ada yang dipantulkan sehingga sifat – sifat permukaannya dengan demikian tidak dapat teramati. Namun demikian, perluasan ini masih belum cukup menyederhanakan persoalan untuk memungkinkan menghitung spektrum radiasi yang terpancarkan. Karena itu, kita memperluasnya lebih lanjut ke suatu jenis benda hitam istimewa – sebuah rongga, misalnya bagian dalam dari sebuah kotak logam, dengan sebuah lubang kecil pada salah satu dindingnya. Lubang kecil itulah, bukan kotaknya, yang berperan sebagai benda hitam. Radiasi dari luar kotak yang menembus lubang ini akan lenyap pada bagian dalam kotak dan kecil kemungkinan untuk keluar dari lubang tersebut ; jadi tidak ada pantulan yang terjadi pada benda hitam (lubang) tersebut.

3

Gambar 3. Hubungan antara panjang gelombang dengan fluks

d. Teori Rayleigh – Jeans

Perhitungan klasik bagi energi radiant yang dipancarkan untuk tiap – tiap panjang gelombang sekarang terbagi menjadi beberapa tahap perhitungan.

Kotak berisi gelombang – gelombang bediri elektromagnetik. Jika semua didinding kotak adalah logam, maka radiasi dipantulkan bolak–balik dengan simpul (node) medan listrik terdapat pada tiap–tiap dinding (medan listrik haruslah nol di dalam sebuh koduktor).

1. Jumlah gelombang berdiri dengan panjang gelombang antara dan + d adalah :

(3)

V adalah volume kotak. Persamaan (1.3) merupakan perluasan gelombang elektromagnetik tiga dimensi.

2. Tiap – tiap gelombang memberikan saham energi kT bagi radiasi di dalam kotak. Hasil ini diperoleh dari termodinamika klasik.

3. Untuk memperoleh intensitas radiant dari kerapatan energi (energi pesatuan waktu), kalikan dengan c/4. Hasil ini juga diperoleh dari teori elektromagnetik dan termodinamika klasik.

Dengan menggabungkan unsur – unsur di atas, maka intensitas radiant yang kita perkirakan adalah :Intensitas radiant = ( jumlah gelombang per satuan volume)

X (energi per gelombang)X (energi radiant per rapat energi)

(4)

Hasil ini dikenal sebagai rumus Rayleigh–Jeans. Penurunannya menggunakan teori klasik elektromagnet dan termodinamika, yang merupakan usaha maksimal kita dalam menerapkan fisika klasik untuk memahami persoalan radiasi benda hitam..

perbandingan hasil perhitungan intensitas radiasi dengan menggunakan hukum Rayleigh–Jeans terhadap data hasil percobaan yang telah kita bahas sebelumnya

4

Intensitas radiant yang dihitung dengan menggunakan Persamaan (1.3) tampak menghampiri data percobaan untuk daerah panjang gelombang yang panjang, tetapi pada daerah panjang gelombang pendek, teori klasik ternyata gagal sama sekali.

Kegagalan hukum Rayleigh–Jeans pada daerah panjang gelombang pendek ini dikenal sebagai bencana ultra violet (ultra violet catastrophe), yang memperlihatkan suatu permasalahan serius yang dihadapi fisika klasik, mengingat teori gelombang, teori elektromagnet dan termodinamika, yang mendasari hukum Rayleigh–Jeans, telah diuji secara seksama dalam berbagai percobaan dan didapati sangat sesuai dengan hasil pengamatan percobaan. Untuk kasus radiasi benda hitam ini, tampak bahwa teori klasik tidak berhasil menjelaskannya, sehingga diperlukan suatu teori fisika yang baru.

d. Teori Max Planck

Untuk mengatasi kesulitan–ksulitan analisis klasik, digunakan fakta bahwa gelombang elektomagnetik yang merupaka radiasi di dalam rongga (cavity with a small aperture – sebagai realisasi praktis konsep benda hitam), dapat dianalisis sebagai superposisi dari karakteristik mode normal rongga. Dalam setiap mode nomal, medan bervariasi secara harmonis. Dengan demikian, setiap mode normal ekivalen dengan osilator harmonik dan radiasi membentuk ensemble osilator harmonik.

Berdasarkan pemahaman tersebut, Max Planck mengajukan hipotesis radikal sebagai berikut :

1. Osilator di dalam benda hitam tidak memancarkan cahaya secara kontinu melainkan hanya berubah amplitudenya – taransisi amplitudo besar ke kecil menghasilkan emisi cahaya sedangkan transisi dari amplitudo kecil ke besar dihasilakan dari absorbsi cahaya.

2. Osilator hanya bisa memancarkan atau menyerap energi dalam satuan energi yang disebut kuanta sebesar h, dengan adalah frekuensi osilator sedangkan h adalah konstanta baru yang diperkenalkan oleh Max Planck. Konstanta ini benilai h = 6.625 x 10-34 J.s.

Uraian hipotesis Planck di atas dapat dijelaskan lebih lanjut sebagai berikut. Distribusi energi dari osilator tidak kontinu, melainkan terkuantisasi :

5

(5)

Dengan n bilangan bulat (1,2,3,….). Unsur utama dari kuantisasi Persamaan (5), untuk frekuensi tertentu yang diberikan maka selisih energi antara tingkat energi dua osilator berurutan adalah :

(6)

Selanjutnya, kita hitung energi rata – rata setiap osilator. Fungsi distribusi untuk osilator di dalam kotak bertemperatur T adalah diskrit.

, (7)

Energi rata – rata osilator adalah :

(8)Untuk menghitung energi rata – rata di atas, lakukan pemisalan

(9a)dan (9b)

maka penyebut pers. (1.8) dapat diuraikan menjadi

(10)

6

Sedangkan untuk menghitung pembilang Persamaan (1.8), kita gunakan

Sehingga

(11)

Substitusi Persamaan (1.10) dan (1.11) ke Persamaan (1.8) serta mengingat pemisalan (1.9a) dan (1.9b), diperoleh

(12)

Sedangkan jumlah gelombang berdiri yang bebas dengan frekuensi di dalam kubus L3 per satuan volume

(13)

Kerapatan foton sebagai kuanta dari osilator harmonik adalah

(14)

Dengan demikian

7

(15)

8

9

Contoh soal 1:

Tinjau sepotong bahan pada temperatur 1500 K. Misalkan pada frekuensi relatif tinggi selisih energi antar tingkat osilator adalah 1 eV. Hitung energi rata – rata per osilator !

Penyelesaian :Pada temperatur 1500 K,

kT = 0,13 eV

jumlah atom dalam keadaan dasar No sebanding dengan dengan Eo

adalah energi keadaan dasar osilator. Menurut hipotesis Planck, Eo = 0Maka

Selanjutnya, jumlah atom dengan tingkat energi berikutnya E1 = 1 eV adalah N1,

Dengan cara serupa, jumlah atom dengan energi E2 = 2 eV adalah N2

Dan seterusnya.Energi rata – rata osilator,

10

Contoh soal 2:

Contoh Soal 2 :Sebuah rongga pemancar pada 6000 K mempunyai lubang berdiameter 0,1 mm pada dindingnya. Hitunglah daya radiasi melalui lubang tersebut untuk panjang gelombang 5500 Å sampai dengan 5510 Å.

Penyelesaian :

Diketahui : = 5500 Å = 5,5 x 10-7 mR = d / 2 = 0,1 mm / 2 = 0,05 mm = 0,05 x 10-3 mh = 6,63 x 10-34 J.sk = 1,38 x 10-23 J/K

Luas pemancar (A) = r2 = (0,05 x 10-3)2 = 7,85 x 10-9 m2.

= (5510 – 5500) Å = 10 Å = 1,0 x 10-9 m.Daya pancar :

P = R (5500) A = 9,60 x 1013 x 7,85 x 10-9 x 10 x 10-9 mW = 0,00075 mW = 0,75 W.

Gambar 4: Hipermedia Radiasi Benda hitam

B. EFEK FOTOLISTRIK

a. Pendahuluan

Efek fotolistrik pertama kali diamati oleh Hertz pada tahun 1887 dan

diselidiki secara detail oleh Hallwachs dan Lenard pada tahun 1886-1900. Dalam eksperimennya, Hertz mendapati bahwa percikan sinar pada rangkaian terjadi bila cahaya ultra ungu diarahkan pada salah satu logam. Selanjutnya, ditemukan bahwa penyebab percikan ini adalah elektron yang terpancar bila frekuensi cahaya cukup tinggi. Gejala percikan elektron tersebut kemudian dikenal dengan efek fotolistrik. Analisis yang paling tepat dikembangkan oleh Albert Einstein pada tahun 1905 berdasarkan asumsi Max Planck dengan mengajukan postulat bahwa cahaya terdiri dari paket-paket energi yang disebut kuanta atau foton.

b.Percobaan Fotolistrik

sebuah material akan keluar electron akian keluar dari material tersebut ketika dikenai sebuah foton dengan frekuensi tertentu

Untuk lebih mengetahui prinsip percobaan efek fotolistrik maka dilakukan suatu eksperimen. Di dalam eksperimen ini, intensitas dan frekuensi cahaya serta beda potensial antara kedua pelat diubah-ubah. Laju elektron diukur sebagai arus listrik pada rangkaian luar dengan menggunakan sebuah ammeter, sedangkan energi kinetik elektron ditentukan dengan menggunakan sebuah sumber

potensial penghambat (retarding potential) pada anoda sehingga elektron tidak mempunyai energi cukup untuk “memanjati”bukit potensial yang terpasang. Secara

eksperimen, tegangan perlambat terus ditingkatkan hingga pembacaan arus pada ammeter menurun menjadi nol. Tegangan yang bersangkutan ini disebut potensial

11

Gambar 5. Pelepasan elektron

henti (stopping–potential) VS. Karena elektron yang berenergi tertinggi tidak dapat melewati potensial henti ini, maka pengukuran VS merupakan suatu cara untuk menentukan energi kinetik maksimum elektron, Kmaks :

Kmaks = e VS

(16)

e adalah muatan elektron. Nilai khas VS adalah dalam orde beberapa volt saja.

Dari berbagai percobaan, kita pelajari fakta-fakta terinci efek fotolistrik sebagai berikut.1. Laju pemancaran elektron bergantung pada intensitas cahaya.2. Laju pemancaran elektron tak bergantung pada panjang gelombang cahaya di

bawah suatu panjang gelombang tertentu ; di atas nilai ini, arus secara berangsur-angsur menurun hingga menjadi nol pada suatu panjang gelombang ambang (cutoff – wavelength) C. Ini biasanya terdapat pada spektrum daerah biru dan ultraviolet.

3. Nilai C tidak bergantung pada intensitas sumber cahaya, tetapi hanya bergantung pada jenis logam yang digunakan sebagai permukaan fotosensitif. Di bawah C, sebarang sumber cahaya, selemah apapun, akan menyebabkan terjadinya pemancaran fotoelektron; di atas C, tidak satu-pun cahaya, sekuat apapun, yang dapat menyebabkan terjadinya pemancaran fotoelektron.

4. Energi kinetik maksimum elektron yang dipancarkan tidak bergantung pada intensitas cahaya, tetapi hanya ber-gantung pada frekuensi atau panjang gelombangnya; energi kinetik ini didapati bertambah secara linier terhadap frekuensi sumber cahaya.

5. Apabila sumber cahaya dinyalakan, arus akan segera mengalir (dalam selang waktu 10-9 s).

Marilah kita perhatikan terlebih dahulu bagaimana analisis teori gelombang cahaya gagal menjelaskan fakta-fakta efek fotolistrik ini. Menurut teori gelombang cahaya, sebuah atom akan menyerap

12

Gambar 5. Prinsip percobaan efek fotolistrik

energi dari gelombang elektromagnetik datang yang sebanding dengan luasnya yang menghadap ke gelombang datang. Sebagai tanggapan terhadap medan listrik gelombang, elektron-elektron akan bergetar, hingga tercapai cukup energi untuk melepaskan sebuah elektron dari ikatan dengan atomnya. Penambahan kecerahan (intensitas) dari sebuah sumber cahaya memperbesar laju penyerapan energi, karena medan listriknya bertambah, yang sesuai dengan hasil pengamatan percobaan. Tetapi, penyerapan ini terjadi pada semua panjang gelombang, sehingga keberadaan panjang gelombang ambang sama sekali bertentangan dengan gambaran gelombang cahaya. Pada panjang gelombang yang lebih besar dari panjang gelombang ambang C pun, teori gelombang mengatakan bahwa seharusnya masih mungkin bagi suatu gelombang elektromagnetik memberikan energi yang cukup guna melepaskan elektron.

Kita dapat menaksir secara kasar yang diperlukan sebuah atom untuk menyerap energi secukupnya guna melepaskan sebuah elektron. Sebagai sumber cahaya kita pilih sebuah laser berintensitas sedang, seperti laser Helium – Neon yang telah kita kenal di laboratorium. Keluaran daya yang dihasilkan laser jenis ini, paling tinggi 10-3 W, yang penampang berkasnya terbatasi pada luas sekitar beberapa millimeter persegi (10-5 m2). Diameter khas atom adalah dalam orde 10-10

m, jadi luasnya dalam orde 10-20 m2. Karena itu, fraksi intensitas sinar laser yang jatuh pada atom adalah sekitar 10-20 m2/10-5 m2 10-15. Jadi, hanya 10-18 W=10-18

J/s 6 eV/s daya yang dapat diserap atom, dan untuk menyerap energi sebanyak beberapa eV diperlukan waktu sekitar satu detik. Dengan demikian, menurut teori gelombang cahaya, kita memperkirakan tidak akan melihat fotoelektron terpancarkan hingga beberapa detik setelah sumber cahaya dinyalakan; dalam eksperimen diperoleh bahwa berkas fotoelektron pertama dipancarkan dalam selang waktu 10 -9 s.

Dengan demikian, teori gelombang cahaya gagal meramalkan keberadaan panjang gelombang ambang dan waktu tunda (delay – time) yang teramati dalam eksperimen.

Teori efek fotolistrik yang benar barulah dikemukakan Einstein pada tahun 1905. Teorinya ini didasarkan pada gagasan Planck tentang kuantum energi, tetapi ia mengembangkannya satu langkah lebih ke depan. Einstein menganggap bahwa kuantum energi bukanlah sifat istimewa dari atom-atom rongga radiator, tetapi merupakan sifat radiasi itu sendiri. Energi radiasi elektromagnetik bukannya diserap dalam bentuk aliran kontinyu gelombang, melainkan dalam buntelan diskrit kecil atau kuanta, yang kita sebut foton. Sebuah foton adalah satu kuantum. Energi elektromagnet yang diserap atau dipancarkan, dan sejalan dengan usulan Planck, tiap-tiap foton dari radiasi berfrekuensi memiliki energi.

E = h (17)

13

di mana h adalah konstanta Planck. Dengan demikian, foton-foton berfrekuensi tinggi memiliki energi yang lebih besar– energi foton cahaya biru lebih besar daripada energi foton cahaya merah. Karena suatu gelombang elektromagnet klasik berenergi U memiliki momentum p = U/c, maka foton haruslah pula memiliki momentum, dan sejalan dengan rumusan klasik, momentum sebuah atom berenergi E adalah:

(18)

Dengan menggabungkan Persamaan (1.17) dan Persamaan (1.18) diperoleh hubungan langsung berikut antara panjang gelombang dan momentum foton :

(19)

Teori Einstein segera terbukti dapat menjelaskan fakta efek fotolistrik yang diamati. Andaikanlah kita menganggap bahwa sebuah elektron terikat dalam logam dengan energi W, yang dikenal sebagai fungsi kerja (work–function). Logam yang berbeda memiliki fungsi kerja yang berbeda pula. Untuk mengeluarkan sebuah elektron dari permukaan suatu logam, kita harus memasok energi sekurang-kurangnya sebesar W. Jika h < W, tidak terjadi efek fotolistrik ; jika h < W, maka elektron akan terpental keluar dan kelebihan energi yang dipasok berubah menjadi energi kinetik elektron. Energi kinetik maksimum KMaks

yang dimiliki elektron yang terpental keluar dari permukaan logam adalah :

(20)

Untuk elektron yang berada jauh di bawah permukaan logam, dibutuhkan energi yang lebih besar daripada W dan beberapa di antaranya keluar dengan energi kinetik yang lebih rendah.

Sebuah foton yang memasok energi sebesar W, yang adalah tepat sama dengan energi yang dibutuhkan untuk melepaskan sebuah elektron, berkaitan dengan cahaya yang panjang gelombangnya sama dengan panjang gelombang pancung C. Pada panjang gelombang ini, tidak ada kelebihan energi yang tersisa bagi energi kinetik fotoelektron, sehingga Persamaan (1.20) dapat disederhanakan menjadi :

14

(21)

dan dengan demikian:

(22)

Karena kita memperoleh satu fotoelektron untuk setiap foton yang terserap, maka peningkatan intensitas sumber cahaya akan berakibat semakin banyak fotoelektron yang dipancarkan, namun demikian semua fotoelektron ini akan memiliki energi kinetik yang sama, karena semua foton memiliki energi yang sama.

Terakhir, waktu tunda sebelum terjadi pemancaran fotoelektron

diperkirakan singkat–begitu foton pertama diserap, arus fotolistrik akan mulai mengalir.

15

Contoh Soal 3 :Fungsi kerja logam tungsten adalah 4,52 eV. (a) Berapakah panjang gelombang ambang C bagi tungsten ? (b) Berapakah energi kinetik maksimum elektron-elektron yang dipancarkan apabila digunakan radiasi dengan panjang gelombang 200,0 nm ? (c) Berapakah potensial henti untuk kasus ini ?Penyelesaian :(a) Dari Persamaan (1.22) diperoleh

yang berada dalam daerah ultraviolet.(b) Pada panjang gelombang yang lebih pendek, berlaku

(c) Potensial hentinya tidak lain adalah tegangan yang berkaitan dengan Kmaks,

Gambar 7: Hipermedia Efek Fotolistrik

C. EFEK COMPTON

a. Pendahuluan

Tahun 1923 Arthur Holly Compton melakukan eksperimen untuk menyelidiki hamburan foton oleh suatu elektron. Proses hamburan ini dianalisis sebagai suatu interaksi (tumbukan) antara sebuah foton dari sinar-x dan sebuah elektron yang dianggap diam. Peristiwa ini disebut efek Compton. Pada prinsipnya, laboratorium virtual efek Comptonyang dirancang ini

merupakan gambaran peristiwa tumbukan antara foton yang berasal dari x-ray tube dengan elektron bebas pada permukaan logam

b. Efek Compton

Cara lain radiasi berinteraksi dengan atom adalah melalui efek Compton, di mana radiasi dihamburkan oleh elektron hampir bebas yang terikat lemah pada atomnya. Sebagian energi radiasi diberikan kepada elektron, sehingga terlepas dari atom; energi radiasi yang tersisa diradiasikan kembali sebagai radiasi elektromagnet. Menurut gambaran gelombang, energi radiasi yang dipancarkan itu lebih kecil daripada energi radiasi yang datang (selisihnya berubah menjadi energi kinetik elektron), namun panjang gelombang keduanya tetap sama. Kelak akan kita

16

Gambar 8. A. H Compton

lihat bahwa konsep foton meramalkan hal yang berbeda bagi radiasi yang dihamburkan.

Proses hamburan ini dianalisis sebagai suatu interaksi (“tumbukan”, dalam pengertian partikel secara klasik) antara sebuah foton dengan sebuah elektron, yang kita anggap diam. Gambar 1.5 menunjukkan peristiwa tumbukan ini.

Pada keadaan awal, foton memiliki energi E yang diberikan oleh

(23)

dan momentumnya adalah

(24)

Elektron, pada keadaan diam, memiliki energi diam me c 2. Setelah hamburan foton memiliki energi E’ dan momentum p’ dan bergerak pada arah yang membuat sudut terhadap arah foton datang. Elektron memiliki energi total Ee dan momentum pe dan bergerak pada arah yang membuat sudut terhadap foton datang. (agar analisisnya mencakup pula foton datang berenergi–tinggi yang memberikan energi sangat besar pada elektron yang dihamburkan maka kita membuat kinematika relativistik bagi elektron). Dalam interaksi ini berlaku persyaratan kekekalan energi dan momentum, yaitu :

17

E, p

Ee , pe

E’ , p’

Foton datang

Foton hambur

Elektron hambur

Gambar 9 Geometri hamburan Compton

(25)

Kita mempunyai tiga Persamaan dengan empat besaran tidak diketahui, (, , Ee, E ‘ ; pe dan p ‘ saling bergantungan) yang tidak dapat dipecahkan untuk memperoleh jawaban tunggal. tetapi kita dapat menghilangkan (eliminasikan) dua dari keempat besaran ini dengan memecahkan Persamaannya secara serempak. Jika kita memilih untuk mengukur energi dan arah foton hambur, maka kita menghilangkan Ee dan . Sudut dihilangkan dengan menggabungkan Persamaan – Persamaan momentum :

Kuadratkan dan kemudian jumlahkan, memberikan :

(26)

1Dengan menggunakan hubungan reltivistik antara energi dan momentum :

maka dengan meyisipkan Ee dan pe, kita peroleh

(27)

dan lewat sedikit aljabar, kita dapati

(28)

Persamaan (1.28) dapat pula dituliskan sebagai berikut :

(29)

18

adalah panjang gelombang foton datang dan ’ panjang gelombang hambur. Besaran h / mec dikenal sebagai panjang gelombang Compton dari elektron yang memiliki nilai 0,002426 nm; namun perlu diingat bahwa ini bukanlah suatu panjang gelombang dalam arti sebenarnya, melainkan semata – semata suatu perubahan panjang gelombang.

Persamaan (28) dan (29) memberikan perubahan dalam energi atau panjang gelombang foton, sebagai fungsi dari sudut hamburan . Karena besaran di ruas kanan tidak pernah negatif, maka E’ selalu lebih kecil daripada E – foton hambur memiliki energi yang lebih kecil daripada foton datang ; selisih E–E’

adalah energi kinetik yang diberikan kepada elektron, (Ee – mec2). Begitu pula, ’

selalu lebih kecil daripada -foton hambur memiliki panjang gelombang yang lebih panjang daripada milik foton datang; perubahan panjang ini merentang dari 0 pada = 00 hingga dua kali panjang gelombang Compton pada = 1800. Tentu saja deskripsi foton dalam energi dan panjang gelombang adalah setara, dan pilihan mengenai mana yang digunakan hanyalah masalah kemudahan belaka.

Pada percobaan ini seberkas sinar–X dijatuhkan pada suatu sasaran hamburan, yang oleh Compton dipilih unsur karbon. (Meskipun tidak ada sasaran hamburan yang mengandung elektron yang benar-benar bebas, elektron terluar atau elektron valensi dalam kebanyakan materi terikat sangat lemah pada atomnya sehingga berperilaku seperti elektron hampir “bebas”. Energi kinetik elektron ini dalam atom sangatlah kecil dibandingkan terhadap energi kinetik Ke yang diperoleh elektron dalam proses hamburan ini). Energi dari sinar–X yang terhambur diukur dengan sebuah detektor yang dapat berputar pada berbagai sudut .

19

20

Contoh 4 :Sinar–X dengan panjang gelombang 0,2400 nm dihamburkan secara Compton dan berkas hamburnya diamati pada sudut 60,00 relatif terhadap arah berkas datang. Carilah : (a) panjang gelombang sinar – X hambur, (b) energi foton sinar – X hambur, (c) energi kinetik elektron hambur, dan (d) arah gerak elektron hambur.Penyelesaian :

a. ’ dapat dicari secara langsung dari Persamaan (1.29) :

b. Energi E ‘ dapat diperoleh langsung dari ‘ :

21

c. Dari Persamaan (1.25a) bagi kekekalan energi, diperoleh

Energi E dari foton awal adalah : jadi

d. Dengan memecahkan Persamaan (1.25b) dan (1.25c) untuk pe cos dan pe sin seperti yang kita lakukan untuk menurunkan Persamaan (1.26), maka dengan membagi keduanya (bukannya menjumlahkan dan mengalikan), diperoleh

kalikan penyebut dan pembilangnya dengan c, dan mengingat bahwa E = pc dan E ‘ = p ‘c, diperoleh

= 1,715

Gambar 10. : Hipermedia Compton

D. PARTIKEL DALAM KOTAK

a. Pendahuluan

Untuk memecahkan persamaan SchrÖdinger, walaupun dalam bentuk keadaan – stasioner yang sederhana, biasanya memerlukan teknik matematis yang cukup rumit. Hal itu yang menyebabkan studi mekanika kuantum secara tradisional hanya dilakukan oleh mahasiswa tingkat atas yang telah memiliki kemampuan matematika yang cukup baik.

Namun, karena mekanika kuantum adalah suatu struktur teoretis yang hasilnya terdekat dengan kenyataan eksperimental, kita harus menjejaki metode dan penerapannya, supaya menghasilkan pengertian dalam bidang fisika modern. Seperti yang akan kita

lihat, walaupun dengan latar belakang matematis yang terbatas, sudah cukup bagi

22

Gambar 11. E.Schrodinger

kita untuk mengikuti urutan pemikiran yang telah mengarahkan mekanika kuantum untuk menghasilkan sesuatu yang besar.

Kita boleh memberi spesifikasi pada gerak partikel dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu x antara x = 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak kehilangan energi ketika partikel tersebut bertumbukan dengan dinding, sehingga energi totalnya tetap konstan. Dari pandangan formal mekanika kuantum, energi potensial V dari partikel itu menjadi tak berhingga di kedua sisi kotak, sedangkan V konstan – katakan sama dengan nol untuk memudahkan, di dalam kotak

b. Persamaan Schrodinger

Seperti yang diterangkan pada pembahasan materi sebelumnya, kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang dari benda itu, maka pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa Persamaan gelombangnya harus memenuhi persyaratan dan memiliki banyak solusi. Walaupun sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat besaran mutlaknya ||2 (atau sama dengan *

jika kompleks) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu di tempat itu pada saat itu. Momentum, momentum sudut dan energi dari benda dapat diperoleh dari . Persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan dari benda itu bila kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal.

Dalam kejadian itu, fungsi gelombang adalah kompleks, dengan bagian real maupun imajiner, kerapatan peluang ||2 diberikan oleh hasil kali * dari dan Konjugate Kompleks *. Konjugate kompleks dari sembarang fungsi diperoleh dengan mengganti i (= ) dengan – 1 di manapun konjugate kompleks tadi tampil dalam fungsi. Setiap fungsi kompleks dapat ditulis dalam bentuk

= A + iBDengan A dan B adalah fungsi real. Konjugate kompleks * dari adalah

* = A – iB Dengan demikian

* = A2 – i2B2 = A2 + B2

Karena i2 = -1. Jadi * akan selalu berupa kuantitas real positif.

23

Bahkan, sebelum kita meninjau perhitungan awal dari , kita dapat membangun persyaratan yang harus dipenuhinya. Karena ||2 berbanding lurus dengan kerapatan peluang P untuk mendapatkan benda yang diperikan (digambarkan) oleh , integral ||2 ke seluruh ruang harus berhingga – benda harus didapatkan pada suatu tempat. Jika

Partikel itu tidak ada, dan integralnya jelas tidak bisa dan tetap berarti sesuatu; ||2 tidak bisa negatif atau kompleks karena cara didefinisikannya, sehingga satu-satunya kemungkinan yang tertinggal ialah suatu kuantitas yang berhingga supaya memang memberikan benda real.

Biasanya untuk memudahkan, kita ambil ||2 sama dengan kerapatan (densitas) peluang P untuk mendapatkan partikel yang digambarkan oleh , ketimbang hanya berbanding lurus dengan P. jika ||2 sama dengan P, maka benar bahwa

(31)Karena

Ialah suati pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat. Jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu.

Fungsi gelombang yang memenuhi Persamaan (3.1) dinamakan ternormalisasi. Setiap fungsi gelombang yang bisa dipakai dapat dinormalisasikan dengan mengalikannya dengan tetapan yang sesuai; kita akan melihat hal ini dengan segera bagaimana hal ini dilakukan.

Di samping bisa dinormalisasi, harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu, dan kontinu. Peninjauan momentum memberi syarat bahwa turunan parsial

Harus berhingga, kontinu dan berharga tunggal. Hanya fungsi gelombang dengan sifat-sifat tersebut dapat memberikan hasil yang berarti fisis jika dipakai dalam perhitungan, jadi hanya fungsi gelombang yang ”berperilaku baik” yang diizinkan sebagai representasi matematis dari benda nyata.

24

Jika kita sudah mempunyai fungsi gelombang yang ternormalisasi dan dapat diterima, peluang (kemungkinan) partikel dapat ditemukan pada suatu daerah tertentu ialah integral kerapatan peluang ||2 dalam daerah itu terhadap volume. Untuk partikel yang geraknya terbatas pada arah – x, maka peluang untuk mendapatkan partikel antara x1 dan x2 ialah

(32)

Persamaan SchrÖdinger yang merupakan Persamaan pokok dalam mekanika kuantum serupa dengan hukum gerak kedua yang merupakan Persamaan pokok dalam mekanika Newton, adalah Persamaan gelombang dalam variabel . Sebelum kita menangani Persamaan SchrÖdinger, terlebih dahulu kita tinjau ulang Persamaan gelombang.

(33)

Yang menentukan gelombang dengan kuantitas variabel y yang menjalar dalam arah x dengan kelajuan v. Dalam kasus gelombang pada tali terbentang, y menyatakan pergeseran tali dari sumbu x ; dalam kasus gelombang bunyi, y menyatakan perbedaan tekanan, dalam kasus gelombang cahaya, y menyatakan besarnya medan listrik atau 25elektronon. Persamaan gelombang seperti di atas diturunkan dalam buku mekanika untuk gelombang mekanis dan dalam buku kelistrikan dan kemagnetan gelombang elektromagnetik.

25

Contoh 3..

Fungsi gelombang suatu partikel yang bergerak sepanjang sumbu x adalah :

(x) = Ce - | x | sin x a. Tentukan konstanta C jika fungsi gelombang ternormalisasi.b. Jika = , hitung kemungkinan untuk mendapatkan partikel

berada di sebelah kanan x = 1.

26

Penyelesaian :a. Secara eksplisit (x) diberikan oleh

Tampak bahwa fungsi terakhir adalah fungsi genap, karena itu

Untuk menghitung integral terakhir ini, tuliskan fungsi sinus dalam bentuk eksponensial dan diperoleh

Diperoleh konstanta normalisasi C :

Sehingga

b. Besar kemungkinan partikel berada di x 1

Untuk = ,

Persamaan SchrÖdinger : Bergantung – WaktuDalam mekanika kuantum, fungsi gelombang bersesuaian dengan

variabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, tidak seperti y, bukanlah suatu kuantitas yang dapat terukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itulah kita akan menganggap dalam arah x dinyatakan oleh

(34)

Jika kita ganti dalam rumus di atas dengan 2 dan v dengan , diperoleh

(35)Yang bentuknya menguntungkan, karena kita telah mengetahui hubungan dan dinyatakan dalam energi total E dan momentum p dari partikel yang diperikan oleh . Karena

dan

Diperoleh

(36)

Persamaan (3.6) merupakan penggambaran matematis gelombang ekivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x.

Pernyataan fungsi gelombang yang diberikan dalam Persamaan (3.6) hanya berlaku untuk partikel yang bergerak bebas, sedangkan kita lebih tertarik pada situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan. Yang harus kita lakukan sekarang adalah mendapatkan Persamaan diferensial pokok untuk , kemudian memecahkan untuk situasi yang khusus. Persamaan ini, yang disebut Persamaan SchrÖdinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung kelemahan yang sama : Persamaan itu tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang ada karena Persamaan itu menyatakan sesuatu yang baru. Apa yang akan dilakukan di sini adalah menunjukkan suatu cara untuk memperoleh Persamaan gelombang , kemudian membahas pentingnya hasil tersebut.

27

Kita mulai dengan mendiferensiasi Persamaan (3.6) dua kali terhadap x yang menghasilkan

(37)

dan sekali terhadap t, diperoleh

(38)

Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah jumlah dari energi 28elektrono p2/2m dan energi potensial V, dengan V pada umumnya merupakan fungsi kedudukan x dan waktu t :

(39)

Fungsi V menyatakan pengaruh dari sisa semesta pada partikel. Tentu saja, hanya sebagian dari semesta yang berinteraksi dengan partikel ; misalnya dalam kasus elektron dalam atom hidrogen, hanya medan listrik inti yang diperhitung-kan.

Dengan mengalikan kedua suku Persamaan (3.9) dengan fungsi gelombang , akan menghasilkan :

(40)

Dari Persamaan (3.7) dan (3.8), dapat dilihat bahwa

(41)

Dan

(42)

28

dengan mensubstitusikan pernyataan untuk E dan p 2 dalam Persamaan (3.10) akan diperoleh

(43)

Persamaan terakhir ini adalah Persamaan SchrÖdinger yang Bergantung – Waktu. Dalam tiga dimensi, Persamaan SchrÖdinger bergantung – waktu diberikan oleh

(44)

Di mana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z, dan t.Persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial V (x, t) diberikan oleh

(45)

Setiap pembatasan yang dapat membatasi gerak partikel dapat mempengaruhi fungsi energi potensial V. Sekali bentuk V diketahui, Persamaan Schrodinger – nya dapat dipecahkan untuk mendapatkan fungsi gelombang partikel , sehingga kerapatan peluang ||2 dapat ditentukan untuk x, y, z, dan t tertentu.

Di sini Persamaan SchrÖdinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan Persamaan SchrÖdinger untuk kasus khusus partikel bebas (energi potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu [ V = V(x, y, z, t )] merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara “a priori” yang membuktikan perluasan itu benar. Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa Persamaan SchrÖdinger berlaku, pecahkan untuk berbagai situasi fisis dan bandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya sesuai, maka postulat yang terkait dalam Persamaan SchrÖdinger sah ; jika tidak sesuai, postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijejaki. Dengan kata lain, Persamaan SchrÖdinger tidak bisa diturunkan dari ”prinsip pertama”, tetapi Persamaan itu merupakan prinsip pertama.

Dalam kenyataannya, Persamaan SchrÖdinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Tentu saja, harus kita ingat bahwa Persamaan (3.14) hanya bisa dipakai untuk persoalan non – relativistik dan rumusan yang lebih memakan pikiran diperlukan jika kelajuan

29

partikel yang mendekati kecepatan cahaya tertkait. Karena Persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas-batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa Persamaan SchrÖdinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.

Persamaan SchrÖdinger : Keadaan Stasioner (Tunak)

Dalam banyak situasi, energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu secara eksplisit ; gaya yang beraksi padanya ; jadi V, hanya berubah terhadap kedudukan partikel. Jika hal itu benar, Persamaan SchrÖdinger dapat disederhanakan dengan meniadakan kebergantungan terhadap waktu t.

Mula-mula kita perhatikan bahwa fungsi gelombang satu dimensi partikel bebas dapat ditulis

(46)

Ini berarti, merupakan hasil kali fungsi bergantung – waktu e–(iE/ħ)t dan fungsi yang bergantung kedudukan . Kenyataannya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya tunak mempunyai bentuk yang sama seperti partikel bebas. Dengan mensubstitusikan dari Persamaan (3.16) ke Persamaan SchrÖdinger yang bergantung – waktu, diperoleh

(47)

Sehingga, jika dibagi dengan faktor eksponensial itu,

(48)

Persamaan (3.18) merupakan bentuk keadaan – tunak Persamaan SchrÖdinger. Dalam tiga dimensi menjadi

30

(49)

Pada umumnya, Persamaan keadaan – tunak SchrÖdinger dapat dipecahkan hanya untuk harga E tertentu. Dalam pernyataan itu tidak ditimbulkan oleh kesukaran matematis yang mungkin ada, tetapi oleh sesuatu yang lebih mendasar (fundamental). ”Memecahkan” Persamaan SchrÖdinger untuk suatu sistem berarti memperoleh suatu fungsi gelombang yang tidak saja memenuhi Persamaan dan syarat batas yang ada, tetapi juga harus memenuhi syarat bisa diterimanya fungsi gelombang – yaitu turunannya harus kontinu, berhingga, dan berharga tunggal. Bila tidak terdapat fungsi gelombang seperti itu, system itu tidak mungkin berada dalam keadaan tunak.

Jadi kuantisasi energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari teori tadi, dan kuantisasi energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai gejala universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap.

Suatu analogi yang sangat dekat dan sudah dikenal bagaimana kuantisasi energi timbul dalam memecahkan Persamaan SchrÖdinger ialah dalam tali terpentang yang panjangnya L yang keduanya ujungnya terikat. Dalam hal ini, sebagai ganti gelombang tunggal yang menjalar terus-menerus dalam satu arah, gelombang akan menjalar dalam arah +x dan –x secara serentak dengan syarat bahwa pergeseran y selalu nol pada kedua ujung tali. Suatu fungsi y (x, t) yang dapat diterima untuk menyatakan pergeseran (simpangan) dengan turunannya, harus seperti yang berperilaku baik dengan turunannya, dan lagi harus real karena y menyatakan suatu kuantitas yang dapat diukur langsung. Satu-satunya pemecahan Persamaan gelombang

Yang sesuai dengan berbagai pembatasan itu ialah pemecahan yang panjang gelombangnya memenuhi

; n = 0, 1, 2, 3, ….

31

Kombinasi Persamaan gelombang dan pembatasan yang merupakan syarat pemecahannyalah yang mendorong kita untuk menyimpulkan bahwa y (x, t) hanya dapat ada untuk panjang gelombang tertentu n.

32

= 2L

= L

= 2/3 L

= 1/2 L

L

Gambar 12. Gelombang berdiri dalam tali terpentang dengan kedua ujung terikat

Contoh Sebuah partikel bergerak yang memenuhi Persamaan :

Hitunglah energi dan momentum partikel tersebut.

Penyelesaian :

Jadi besarnya energi yang dimiliki partikel tersebut adalah : 31,65 x 10 – 34 J.

Jadi momentum dari partikel tersebut adalah : 52,75 x 10 – 34 kg m/s.

Harga Ekspektasi, Operator, Fungsi dan Harga Eigen

Sekali lagi, seandainya fungsi gelombang sudah diperoleh, kita dapat mengajukan beberapa pertanyaan lagi. Misalnya, di manakah partikel sering berada atau berapa momentum rata-rata partikel? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Ehrenfest.

Karena kita tidak dapat lagi berbicara dengan suatu kepastian tentang kedudukan partikel, maka kita tidak dapat pula menjamin kepastian hasil satu kali pengukuran suatu besaran fisika yang bergantung pada kedudukannya. Namun demikian, jika kita dapat menghitung probabilitas yang berkaitan dengan setiap koordinat, maka kita dapat menemukan hasil yang mungkin dari suatu pengukuran satu kali atau rata-rata hasil dari sejumlah besar pengukuran berkali-kali. Sebagai contoh, andaikanlah kita ingin mencari rata-rata kedudukan sebuah partikel dengan mengukur koordinat x – nya. Dengan melakukan sejumlah besar pengukuran berkali-kali, kita dapati bahwa dengan mengukur nilai x1 sebanyak n1 kali, x2

sebanyak n2, dan seterusnya, maka dengan cara yang lazim, kita dapat memperoleh nilai rata-ratanya, yaitu

Jika kita mempersoalkan sebuah partikel, kita harus mengganti bilangan ni dari partikel xi dengan peluang Pi bahwa partikel itu bisa didapatkan dalam selang dx di xi. Besar peluang ini adalah

Pi = | i |2 dx

Dengan i merupakan fungsi gelombang partikel yang diambil pada x = xi. Dengan substitusi ini dan mengubah jumlah dengan integral, kita lihat bahwa harga rata-rata kedudukan partikel tunggal ialah

(50)

33

Jika merupakan fungsi gelombang yang ternormalisasi, penyebut dalam Persamaan (3.20) sama dengan peluang bahwa partikel itu terdapat di suatu tempat antara x = - dan x = , sehingga harganya = 1. Dalam kasus ini

(51)

Persamaan (3.21) ini menyatakan harga bahwa x terletak pada pusat massa (34elektronon begitu) dari ||2 ; jika ||2 diplot terhadap x pada suatu grafik dan bidang yang dibatasi kurva dan sumbu x digunting, titik setimbangnya ialah x.Nilai rata-rata yang dihitung menurut Persamaan (3.21) dikenal sebagai harga ekspektasi (expectation values).

Prosedur yang sama dengan yang telah dilakukan di atas dapat dipakai untuk memperoleh harga ekspektasi G(x) dari suatu kuantitas [misalnya, energi potensial V(x)] yang merupakan fungsi dari kedudukan partikel x yang digambarkan oleh fungsi gelombang . Hasilnya adalah

(52)

Harga ekspektasi momentum p tidak dapat dihitung dengan cara biasa yang demikian sederhana, karena sesuai dengan prinsip ketidakpastian, tidak ada fungsi seperti p(x) yang dapat berlaku. Jika kita menentukan x, sehingga dengan demikian x = 0, kita tidak dapat menentukan p yang bersesuaian karena x p h/2. Masalah yang sama terjadi untuk harga ekspektasi energi E.

Pada bagian sebelumnya kita lihat bagaimana harga ekspektasi dapat diperoleh dari kuantitas yang merupakan fungsi posisi x dari partikel yang dinyatakan oleh fungsi gelombang . Jadi kita dapat memperoleh harga ekspektasi pada setiap saat t dari harga x, dan energi potensial partikel V(x), keduanya merupakan bagian dari pemerian yang lengkap dari keadaan partikel. Kuantitas dinamis yang lain, seperti momentum p dan energi E, tidak dapat diperlakukan dengan cara yang sama. Harga Ekspektasi dari p dan E harus dihitung dari :

Persamaan ini sangat langsung, sampai kita menyadari bahwa karena = (x, t), harus menyatakan p dan E sebagai fungsi dari x dan t supaya kita dapat

34

melakukan integrasi, tetapi prinsip ketidakpastian mengakibatkan tidak terdapatnya fungsi seperti p(x, t) dan E(x, t) ; sekali x, dan t ditentukan, hubungan

berarti bahwa kita tidak dapat, pada prinsipnya, menentukan p dan E secara eksak.

Dalam fisika klasik tidak terdapat pembatasan seperti itu, karena dalam dunia makroskopik prinsip ketidakpastian dapat diabaikan. Jika kita terapkan hukum gerak kedua pada gerak benda yang mengalami berbagai gaya, kita mengharapkan untuk mendapatkan p(x, t) dan E(x, t) dari solusinya seperti juga x(t) ; untuk memecahkan persoalan tersebut dalam mekanika klasik pada pokoknya berarti menentukan tempuhan masa depan gerak benda tersebut. Dalam fisika kuantum, di pihak lain, semua yang kita dapatkan secara langsung dari Persamaan SchrÖdinger dari gerak partikel itu ialah fungsi gelombang , dan tempuhan masa depan gerak partikel itu – seperti juga keadaan awalnya – hanya diketahui peluangnya, alih-alih sesuatu yang sudah tertentu.

Saran untuk mendapatkan dan dengan cara yang benar ialah dengan mendiferensiasi fungsi gelombang partikel – bebas = A e – (i/ħ)(Et – px)

terhadap x dan t. Diperoleh

yang dapat ditulis dengan cara

(53)

(54)

Jelaslah kuantitas dinamis p dalam cara tertentu bersesuaian dengan operator diferensial dan kuantitas dinamis E bersesuaian dengan operator

35

diferensial (Operator memberikan informasi kepada kita operasi apa yang harus dilakukan pada kuantitas yang ditulis setelahnya. menginstruksikan kepada kita untuk mengambil turunan yang terdapat setelahnya terhadap t dan hasilnya dikalikan dengan ).

Kita biasa melambangkan operator dengan huruf tebal tegak, sehingga p merupakan operator yang bersesuaian dengan momentum p dan E ialah operator yang bersesuaian dengan energi E. Dari Persamaan (3.23) dan Persamaan (3.24) operator ini ialah

(Operator momentum) (55)

(Operator energi) (56)

Walaupun kita hanya menunjukkan persesuaian yang dinyatakan dalam Persamaan (3.25) dan Persamaan (3.26) berlaku untuk partikel bebas, hubungan itu ternyata berlaku umum yang kesahannya dengan kesahan Persamaan SchrÖdinger. Untuk mendukung pernyataan ini, kita dapat mengganti Persamaan E = T + V untuk energi total partikel dengan Persamaan operator

E = T + V (57)

karena energi kinetik T dinyatakan dengan momentum p menurut hubungan

diperoleh

(58)

yang kita sebut “operator energi – kinetik”.Persamaan (3.27) dapat ditulis sebagai berikut.

(59)

Sekarang kita kalikan identitas = dengan Persamaan (3.29), diperoleh

36

(60)

yang merupakan Persamaan SchrÖdinger. Mempostulatkan Persamaan (3.23) dan Persamaan (3.24) setara dengan mempostulatkan Persamaan SchrÖdinger.

Karena p dan E dapat diganti dengan operator yang bersesuaian dalam Persamaan, kita dapat memakai operator ini untuk mendapatkan harga ekspektasi dari p dan E. Jadi harga ekspektasi p ialah

(61)

dan harga ekspektasi untuk E adalah

(62)

keduanya Persamaan (3.31) dan Persamaan (3.32) dapat dihitung untuk fungsi gelombang yang dapat diterima (x, t).

Jelaslah bahwa kita perlu menyatakan harga ekspektasi yang bersangkutan dengan operator dalam bentuk

Alternatif lain ialah

karena * dan harus 0 di x = dan

tidak mempunyai arti. Dalam kasus kuantitas aljabar seperti x dan V(x) urutan faktor dalam integran tidak penting, tetapi jika operator diferensial terlibat, urutan yang benar dari faktor itu harus diteliti.

37

Setiap kuantitas yang teramati G yang merupakan karakteristik suatu 38elektron fisis dapat dinyatakan dengan operator mekanika – kuantum yang cocok G. Untuk memperoleh operator ini, kita perlu menyatakan G dalam x dan p dan mengganti p dengan . Fungsi gelombang dari sistem diketahui, maka harga ekspektasi G(x, p) ialah

(63)

(Harga Ekspektasi Operator)

Hasil ini memperkuat pernyataan yang dibuat sebelumnya bahwa dari dapat diperoleh semua informasi mengenai 38elektron yang diperbolehkan oleh prinsip ketidakpastian.

Persyaratan bahwa variabel dinamis tertentu G terbatas pada harga diskrit Gn – dengan kata lain G terkuantisasi – ialah fungsi gelombang n dari 38elektron sedemikian sehingga

G n = Gn n (Persamaan Harga – Eigen) (64)dengan G menyatakan operator yang bersesuaian dengan G dan masing-masing Gn

merupakan bilangan real. Bila Persamaan (3.34) berlaku untuk fungsi gelombang sebuah 38elektron, postulat pokok (kenyataannya, satu-satunya postulat pokok) dari mekanika kuantum bahwa pengukuran G hanya dapat menghasilkan satu harga Gn. Jika pengukuran G dilakukan pada sejumlah 38elektron identik semua berada dalam keadaan yang diperikan oleh fungsi – eigen k, masing-masing pengukuran menghasilkan harga tunggal Gk.

Operator energi total E dari Persamaan (3.27) biasanya ditulis sebagai,

(65)

dan disebut operator Hamiltonian; kuantitas itu merupakan energi total 38elektron dinyatakan dalam koordinat dan momentum. Jelaslah Persamaan SchrÖdinger keadaan – tunak dapat ditulis sebagai berikut.

Enn = Hn (66)

Harga energi En supaya Persamaan keadaan – tunak Schrodinger dapat dipecahkan disebut harga – eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian n

disebut fungsi eigen. (Istilah ini berasal dari bahasa Jerman Eigenwert, yang berarti

38

”harga karakteristik yang sesungguhnya”, dan Eigenfunktion, atau ”fungsi karakteristik sesungguhnya”). Tingkat energi diskrit atom hydrogen

n = 1, 2, 3, ……..

Merupakan contoh sekelompok harga – eigen. Kita akan lihat pada Bab berikutnya mengapa harga tertentu E yang menghasilkan fungsi gelombang dapat diterima untuk 39elektron dalam atom 39elektronon.

Contoh penting variabel dinamis selain energi total yang didapatkan terkuantisasikan dalam 39keadaan mantap ialah momentum sudut. Dalam kasus atom 39elektron, kita akan dapatkan bahwa harga–eigen besar momentum sudut di-tentukan oleh

l = 0, 1, 2, ……(n – 1)

Tentu saja, suatu variabel dinamis G boleh tidak terkuantisasi. Dalam hal ini pengukuran G pada sejumlah 39elektron identik tidak menghasilkan hasil yang unik melainkan harga yang tersebar yang rata-ratanya merupakan harga ekspektasi

Dalam atom 39elektron, kedudukan 39elektronon tidak terkuantisasi, sehingga kita 39lec membayangkan 39elektronon berada di sekitar inti dengan peluang tertentu ||2 per satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang dapat diramalkan atau orbit tertentu menurut pengertian klasik. Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa eksperimen yang dilakukan pada atom 39elektronon selalu menunjukkan bahwa atom itu selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen 39elektron dalam satu daerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk mendapatkan 39elektron, dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang, elektronnya sendiri tidak.

Kotak Potensial Satu Dimensi dan Keadaan Dasar

Kita boleh memberi spesifikasi pada gerak partikel dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu x antara x = 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak kehilangan energi ketika partikel tersebut bertumbukan dengan dinding, sehingga energi

39

0 L x

Vm

Gambar 13.. Sumur potensial yang bersesuaian dengan sebuah kotak yang dindingnya keras takberhingga.

totalnya tetap konstan. Dari pandangan formal mekanika kuantum, energi potensial V dari partikel itu menjadi tak berhingga di kedua sisi kotak, sedangkan V konstan – katakan sama dengan nol untuk memudahkan, di dalam kotak itu seperti pada Gambar 4.1 berikut

Karena partikel tidak bisa memiliki energi tak – berhingga, maka partikel itu tidak mungkin berada di luar kotak, sehingga fungsi gelombangnya ( ) ialah nol untuk x 0 dan x L. Tugas kita sekarang ialah mencari di dalam kotak.

Di dalam kotak V (x) = 0, maka persamaan SchrÖdinger menjadi

(69)

Persamaan (4.9) mempunyai pemecahan

(x) = A sin kx + B cos kxAtau

(70)

40

Yang dapat dibuktikan dengan mensubstitusikannya kembali ke Persamaan di mana A dan B merupakan konstanta yang harus dinormalisasi.

Pemecahan ini dibatasi oleh syarat batas yang penting, yaitu :a) Syarat batas di x = 0, memberikan hubungan

(0) = 0 = A sin 0 + B cos 0Yang berarti suku kedua tidak dapat menggambarkan partikel karena suku itu tidak nol pada x = 0, yang menghasilkan

B = 0

b) Syarat batas di x = L, memberikan hubungan (L) = A sin kL + B cos kL = 0

Karena sin 0 = 0, suku sinus selalu menghasilkan = 0 di x = 0, seperti yang diperlukan, dan telah kita peroleh bahwa B = 0, maka haruslah berlaku

A sin kL = 0

Sehingga hanya akan menjadi nol di x = L hanya jika

, n = 1, 2, 3, ……. (71)

Hasil ini disebabkan oleh harga nol sinus pada sudut , 2, 3,..... ………Dari Persamaan (4.11) jelas bahwa energi yang dapat dimiliki partikel

mempunyai harga tertentu, yaitu harga – eigen yang telah diterangkan dalam bagian sebelumya. Harga – eigen ini yang membentuk tingkat energi sistem.

Dari hubungan antara E dan k , diperoleh ungkapan tingkat energi partikel di dalam kotak, yaitu :

(72)

dengan

(73)

Yang merupakan tingkat energi dasar (ground state).Fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak yang berenergi En adalah

41

(74)

Substitusikan Persamaan (4.12) untuk En menghasilkan

(75)

Yang menyatakan fungsi eigen yang bersesuaian dengan harga – eigen En.Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa fungsi – eigen itu memenuhi

semua persyaratan yang telah kita bahas pada bagian sebelumnya : untuk setiap bilangan kuantum n, n merupakan fungsi berharga tunggal dari x, dan n serta

kontinu. Selanjutnya, integral |n |2 ke seluruh ruang berharga berhingga,

seperti kita lihat dengan jalan mengintegrasikan |n |2 dx dari x = 0 sampai x = L (karena partikel itu menurut hipotesis berada dalam batas-batas itu) :

(76)

Usaha menormalisasi kita harus memilih harga A seharga |n |2 dx sama dengan peluang P dx untuk mendapatkan partikel antara x dan x + dx, alih-alih hanya berbanding lurus dengan P. Jika |n |2 dx sama dengan P dx, maka harus berlaku

karna

Merupakan cara matematis untuk menyatakan bahwa partikel itu berada pada suatu tempat dalam kotak pada setiap saat. Dengan membandingkan Persamaan (4.16) dan Persamaan (4.17), kita dapatkan bahwa fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak ternormalisasi jika

(78)

Jadi fungsi gelombang yang ternormalisasi untuk partikel ialah

, n = 1, 2, 3, …… (79)

Fungsi gelombang yang ternormalisasi 1, 2 dan 3 bersama dengan kerapatan peluang | 1 |2, | 2 |2 dan | 3 |2 diplot dalam Gambar 4.2.

42

Walaupun n dapat berharga positif atau negatif, |2|2 selalu positif, dan karena n ternormalisasi, harganya untuk suatu harga x tertentu sama dengan peluang P untuk mendapatkan partikel di tempat tersebut. Dalam setiap kasus |2|2 = 0 di x = 0 dan x = L yang merupakan batas kotak.

Pada suatu titik tertentu dalam kotak, peluang keberadaan partikel bisa sangat berbeda untuk bilangan kuantum yang berbeda. Misalnya, |2|2 berharga

maksimum untuk yaitu titik di tengah kotak, sedangkan |2|2 = 0, berarti

sebuah partkel pada energi terendah dengan n = 1 berpeluang terbesar terdapat di tengah kotak, sedangkan partikel pada keadaan lebih tinggi berikutnya dengan n = 2 tidak pernah didapatkan di tempat itu! Sedang, fisika klasik menyatakan partikel berpeluang sama untuk didapatkan pada setiap titik dalam kotak.

Jika partikel berada pada keadaan tereksitasi pertama, 2, maka posisi rata-rata partikel adalah

43

1

x = 0 x = L

|3|2

x = 0 x = L

Gambar 14. Fungsi gelombang dan kerapatan peluang sebuah partikel yang terdapat dalam kotak

dengan dinding tegar.

|2|2

|1|2

2

3

Dan momentum rata-ratanya

= 0

Kedua hasil di atas berlaku sama untuk semua n dan dapat diduga dari Gambar

4.2. Pertama, peluang partikel berada di sebelah kiri titik tengah dan di

sebelah kanannya sama. Karena itu secara rata-rata partikel berada di titik tengah

. Kedua, akibat keadaan pertama ini maka kemungkinan partikel bergerak ke

kanan – ke kiri adalah sama. Dengan demikian momentum saling meniadakan atau momentum rata-ratanya sama dengan nol.

44

45

1. Cari peluang untuk mendapatkan partikel antara 0,45L dan 0,55L untuk keadaan dasar dan eksitasi pertama bagi partikel, yang terperangkap dalam kotak yang panjangnya L.Penyelesaian :

Bagian kotak tersebut adalah 1/10 kali panjang kotak dan berpusat pada bagian tengah kotak. Secara klasik kita mengharapkan untuk mendapatkan partikel di daerah itu 10% dari waktunya. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, mekanika kuantum memberi ramalan teoretis yang sangat berbeda dan hasilnya bergantung pada bilangan kuantum keadaan partikel. Peluang untuk mendapatkan partikel antara x1 dan x2 dalam keadaan n adalah

Dalam hal ini x1 = 0,45L dan x2 = 0,55L. Untuk keadaan dasar, n = 1, kita dapatkan

Peluang (P) = 0,198 = 19,8 %Hasil ini adalah sekitar dua kali hasil klasik. Untuk keadaan eksitasi pertama, n = 2, diperoleh

Peluang (P) = 0,0065 = 0,65 %Dalam hal ini gambar yang terendah adalah konsisten dengan kerapatan peluang dari |n|2 = 0 di x = 0,5L.

1. Cari harga ekspektasi (rata-rata) dari kedudukan partikel yang terperangkap dalam kotak yang panjangnya L.Penyelesaian :Dari Persamaan harga ekspektasi diperoleh

Karena sin n = 0, cos 2n = 1 dan cos 0 = 1, untuk semua harga n, maka harga ekspektasinya ialah

2. Sebuah elektron terperangkap di dalam sebuah kotak satu dimensi dengan panjang 1 Å. Hitung :a. Energi tingkat dasar elektron tersebut.b. Besar peluang untuk menemukan elektron di daerah ½ Å

< x < ¾ Å.Penyelesaian :a. Energi partikel di dalam kotak

L diberikan oleh

untuk tingkat dasar, n = 1, maka

= 6,03 x 10-18 J= 37,4 eV

b. Dari Gambar 5.2, daerah ½ Å < x < ¾ Å identik dengan daerah L/2 < x < 3L/4, karena itu,

Gambar 15. : Partikel Dalam Kotak

E. SPEKTRUM ATOM HIDROGEN

a. Pendahuluan

Niels Bohr (1885 – 1962), warga Denmark. Ia mengembangkan teori tentang spectrum radiasi atom Hidrogen yang berhasil dan menyumbangkan gagasan mengenai keadaan mantap (stasioner) dan asas melengkapi (complementary) bagi mekanika kuantum.

Ia kemudian mengembangkan pula teori fisi inti. Institut Fisika Teorinya di Kopenhagen hingga kini tetap menarik kunjungan para fisikawan seluruh dunia. Atom hidrogen merupakan atom paling sederhana yang terdiri dari satu proton

sebagai inti dan satu elektron yang mengitarinya.

46

Gambar 16. Niels Bohr

b. Spektrum Atom Hidrogen

Kita akan mempelajari spectrum yang dipancarkan oleh atom yang paling sederhana, yaitu hydrogen. Gas hydrogen ditempatkan dalam sebuah tabung lucutan gas. Tabung lucutan gas diberi potensial yang tinggi, sehingga terjadi lucutan muatan listrik. Gas hydrogen kemudian bercahaya dan memancarkan cahaya merah kebiru-biruan. Cahaya ini dapat dianalisis dengan sebuah spektograf

(untuk meneylidiki spectrum). Pada plat foto kita amati deretan garis-garis cahaya. Setiap garis menampilkan sebuah panjang gelombang cahaya yang diberikan oleh sumber cahaya. Spectrum garis dalam cahaya tampak terdiri dari empat garis:

410,2 nm, 434,1 nm, 486,2 nm, 656,3 nm. Pada tahun 1884, J.J Balmer seorang guru matematika swiss, mendapatkan bahwa panjang gelombang ini dapat ditampilkan dengan suatu rumusan tunggal.

Rumus balmer adalah.

(80)

Tahun 1890, Rydberg menemukan rumus serupa pada unsur-unsur alkali Li dan Na, K dan Cs. Ia juga mengusulkan bahwa rumus deret dapat dituliskan sebagai perbedaan antara variable (peubah). Deret balmer bukanlah satu-satunya spectrum garis yang dihasilkan atom-atom hydrogen, deret-deret lainnya dipdapatkan dalam daerah ultraungu, dengan batas panjang gelombang 121,6 dan 91,2 nm. Daerah ini disebut deret Lyman, sesuai dengan nama penemunya. Deret-deret lainya ditemukan dalam daerah inframerah, dinamakan sesuai nama penemunya, yakni Paschen, Bracket dan Pfund.

Secara umum, rumus derert dapat dinyatakan sebagai berikut:

47

Gambar 17. Cahaya yang dihasilkan oleh sebuah atom

(81)

Dengan n<mUntuk deret Lyman, n = 1; Balmer , n = 2; Paschen, n= 3; Bracket, n = 4

dan Pfund n = 5Dari hitungan kita mengenai deret Balmer seblumnya kita dapatkan

bahwa panjang gelombang terpanjang deret Balmer terjadi jiak m= 3 dan panjang gelombang terpendek terjadi jika m sama dengan tak terhingga. Secara umum panjang gelombang terpanjang diperoleh jika m terkecil dan dan panjang gelombang terpendek jika m terbesar

Gambar 18. : Hipermedia Compton

48

Aplikasi Konsep

1. Tinjau sepotong bahan pada temperatur 1600 K. Misalkan pada frekuensi relatif tinggi selisih energi antar tingkat osilator adalah 1 eV. Hitung energi rata – rata per osilator !

2. Suatu cavity radiator bersuhu 400K mempunyai lubang berdiamter 0.20 mm di dindingnya. Hitunglah daya pancaran melalui lubang ini dalam selang panjang gelombang 6600 s.d 6620 A0.

3. 02. Rongga suatu pemancar sempurna hitam berbentuk kubus dengan rusuk 2 cm, suhunya 1600K. Hitunglah jumlah moda vibrasi per satuan volume dalam rongga itu yang panjang gelombangnya ada dalm selang 6600 s.d 6620 A0.

4. Suatu bola yang terbuat dari wolfram memiliki jari-jari sebesar 010 cm. Bola itu digantung dalam ruang hampa udara dan dinding yang bersuhu 400K. Daya pancar bola itu hanya 45% bila dibandingkan dengan benda sempurna hitam. Berapa daya yang harus disalurkan ke bola waolfram itu agar suhunya dapat dipertahankan pada 500K. Abaikanlah energi kalor yang mengalir melalui kawat penggantungnya.

5. Alam semesta ini dipenuhi radiasi thermal yang memiliki spektrum benda sempurna hitam bersuhu 8.4 K.

(a). Berapa besar panjang gelombang pada puncak intensitas radian ini ? (b). Berapa besarkah energi foton untuk panjang gelombang yang dimaksud

dalam butir (a). (c), Dalam daerah manakah dari spektrum radiasi elektromagnetik panjang

gelombang ini terjadi.6. Andaikanlah bahwa permukaan matahari bersuhu 8600K. Diameter dan massa

dari matahari tercamtum di bawah ini. (a). Gunakan hukum Stefan-Bolztmann untuk menghitung daya radiasi thermal

yang dipancar matahari. (b). Berapa banyakkah matahari kehilangan massa per detik karena pemancaran

ini. (Diameter matahari = 1.4x109 m, masa = 2.0x1030kg7. Berangkat dari radiasi spektral RT() tentukanlah kaedah pergeseran Wien.8. Hitunglah besarnya energi pada eksitasi elektronik dengan periode geraknya

adalah 10-20 s , suatu molekul yang bergetar dengan peride 10-12s, dan pendulum dengan periode 2s.

9. Hitunglah energi rata-rata osilator dengan frekuensi : (a) 10 Hz; (b) 1010Hz pada temperatur : (i) 1000K; (ii) 10.000K. Bandingkan hasilnya dengan nilai prediksi prinsip eqipartisi energi.

49

10. Suatu bintang memancarkan sianr dengan panjang gelombang seperti pada table berikut :

No Panjang gelombang (nm)01 4002 5003 6004 30

Berdasarkan dari hasil observasi diatas berapakah temperatur bintang tersebut dengan menggunakan teori Wien.

11. BerdasArkan hasil perhitungan dari soal no. 10. Berapakah kerapatan energi bintang tersebut menurut Stefan Boltzmann.

12. Suatu medan magnet transversal yang menyebabkan elektron-elektron foto akan bergerak dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 20 cm. Cahaya yang digunakan berpanjang gelombang 4000 Å dan emitternya adalah barium dengan fungsi kerja 2,5 eV. Berapakah kuat medan magnet tersebut ?

13. Fungsi kerja logam tungsten adalah 5,62 eV. (a) Berapakah panjang gelombang ambang C bagi tungsten ? (b) Berapakah energi kinetik maksimum elektron-elektron yang dipancarkan apabila digunakan radiasi dengan panjang gelombang 100,0 nm ? (c) Berapakah potensial henti untuk kasus ini ?

14. Tunjukkan bahwa efek fotolistrik tidak akan terjadi seandainya elektronnya bebas (tidak terikat) !

15. Foton sinar – X yang berenergi 0,3 MeV membuat tumbukan sentral dengan elektron yang mula-mula diam. Gunakan hukum kekekalan energi dan momentum untuk menentukan laju elektron setelah tumbukan.

16. Sinar–X dengan panjang gelombang 0,2500 nm dihambur-kan secara Compton dan berkas hamburnya diamati pada sudut 45,00 relatif terhadap arah berkas datang. Carilah : (a) panjang gelombang sinar – X hambur, (b) energi foton sinar – X hambur, (c) energi kinetik elektron hambur, dan (d) arah gerak elektron hambur.

17. Jika energi maksimum yang diperoleh elektron dalam hamburan Compton adalah 45 keV, berapa panjang gelombang foton yang datang mula-mula ?

18. Tentukan (dalam angstrom), panjang gelombang yang terpendek dan terpanjang dari deret-deret Lyman untuk atom hidrogen !

19. Carilah panjang gelombang foton yang dipancarkan ketika atom hidrogen mengalami transisi n = 5 ke n = 2 !

20. Atom hodrogen mengalami transisi dari suatu keadaan eksitasi ke tingkat eksitasi 10,19 eV. Dalam proses ini atom hidrogen akan memancarkan foton

50

sebesar 4890 Å. Hitunglah energi ikat elektron pada tingkat eksitasi mula-mula !

21. Menurut teori Bohr, berapa kali sebuah elektron mengelilingi inti pada tingkat energi eksitasi pertama dari hidrogen, jika waktu hidup dalam keadaan ini adalah 10-8 s ?

22. Carilah panjang gelombang transisi dari n1 = 4 ke n2 = 3 dan dari n1 = 5 ke n2

= 3.23. Hitunglah kedua panjang gelombang terpanjang deret Balmer ion berilium

terionisasi tiga kali (Z = 5).

51

DAFTAR PUSTAKA

A. Beiser. A. 1983. Konsep Fisika Modern. Terjemahan The Hown Liong. Erlangga-Jakarta

Kenneth Krane. 1992. Fisika Modern. Terjemahan H. J. Wospakrik. Jakarta, Penerbit Universitas Indonesia (UI-Press)

Robert Eisberg, Robert Resnick. 1974. Quantum Physics. John Willey and Sons, INC, United States of America

S. Gasiorowicz. 1990. Quantum Physics. John Willey and Sons, Inc 605 THIRD AENUE, NEW YORK 108

E. Maggari. 1971. Problem in Quantum Mechanics. John Willey and Sons. New York.

S.K. Dogra and S. Dogra. 1990. Kimia Fisika dan Soal – Soal. Jakarta, UI Press

52