排列組合

排列問題

排列、組合？

日常生活中有許多需要計算排列或是組合的事情，像是工作上排輪班表有幾種方法、外出服裝的搭配有幾種方式、大樂透的開獎結果有幾組可能等等。有的問題很簡單，很快就能找出答案；有的就很複雜，要花較多的力氣想一想。

本單元主題

樹狀圖

乘法原理

加法原理

練習題

小Ｐ與小Ｃ兩人進行拳擊比賽，以三戰兩勝來決定勝負，試利用樹狀圖列出所有勝負可能之情況。

Ｐ Ｃ

絕無平手，一定要比出勝負！

比賽開始

樹狀圖

依據事情發生的順序或是完成的步驟，列舉所有可能的情形。

就像是一棵倒長的數，由主幹分出莖，莖生出枝芽，枝芽長出葉來。

例題 1 換硬幣

將一百元換成 50元、10元、5元的硬幣，共有幾種換法？

$100

$50 $10

$5

先從50元硬幣開始兌換！

100

50(0)

50(1)

50(2)

先從50元硬幣開始兌換！

100

50(0)

10(0) 5(20)

10(1) 5(18) …….

10(10) 5(0)

50(1)

10(0) 5(10) …..

10(5) 5(0)

50(2) 10(0) 5(0)

... ...

1組

11組

6組

共有 11 + 6 + 1 = 18 種兌換方法。

加法原理

完成某件事情，可分為 k 類方式。

第一個方式有 m1個選擇，

第二個步驟有 m2個選擇，

…，

第 k 個步驟有 mk個選擇。

則完成這件事情的方法總共有

種不同的方式。

kmmm 21

例題 2

連續投擲一枚銅板四次，其中沒有連續出現兩次正面的情形共有幾種？

例題 3

將一枚骰子連續投擲三次，則三次的點數和是15的情形共有幾種？

說明

設第一次擲出 p 點，第 二次擲出 q 點，第三次擲出 r 點。

p + q + r = 15 , p, q, r = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

樹枝圖中，第一次擲出 p 點的分支只有 p ＝3, 4, 5, 6. 為什麼？

樹狀圖可以解決大多數的排列問題

當樹狀圖以對稱式的生長方式呈現時，代表排列問題有規則可依循。

例題 4

已知從市政府到美術館有四種公車可搭乘，從美術館到遊樂園有兩種公車可搭乘。今某人從市政府出發，到達美術館，又再前往遊樂園。求某人共有幾種公車路線可以選擇？

例題 4 樹狀圖繪圖步驟

市政府到美術館(分枝樹) 4

美術館到遊樂園(分枝樹) 2

共有 2+2+2+2 = 8 種不同的排列方式。

也可以這樣算 4 ×2 = 8

出發

A

p q

B

p q

C

P q

D

P q

乘法原理

完成某件事情，需要經過 k 個步驟。

第一個步驟有 m1個方法，

第二個步驟有 m2個方法，

…，

第 k 個步驟有 mk個方法。

則完成這件事情的方法總共有

種不同的方式。 kmmm 21

練習題

熊姐姐烘培坊推出中秋禮盒，每盒由四個糕點組成，如下圖所示。其中

月餅有核桃棗泥、蜜汁干貝、相思紅豆三種口味

蛋糕有南瓜、咖啡、鮮奶、芋泥四種口味

巧克力有黑巧克力、白巧克力兩種口味

優格有原味、藍莓、草莓、綠茶、芒果五種口味

若依據四個糕點的口味，

熊姐姐烘培坊推出的

中秋禮盒共有幾種？

月餅 蛋糕

巧克力 優格

根據乘法原理來解題

月餅 3 種口味

蛋糕 4 種口味

巧克力 2 種口味

優格 5 種口味

根據乘法原理，中秋禮盒共有

3 ×4 × 2 × 5 = 120 種。

練習題

興隆路上出現了一個可惡的小綿羊飆車族，警察根據麥當勞前的路口監視器，發現小綿羊的車牌號碼大約是 ：

□SS － 5□□

其中□表示號碼無法辨識。

已知前三碼為英文字母，後三碼為阿拉伯數字。

請問，警方要篩檢多少車牌才能找到飆車的車主？

這是重複排列的問題！

機車牌照 □SS － 5□□

□ → ( A ~ Z ) 有26 個英文字母。

□ → ( 0 ~ 9 ) 有 10 個阿拉伯數字。

□ → ( 0 ~ 9 ) 有 10 個阿拉伯數字。

警方要篩檢 26 ×10 ×10 = 2600 個車牌才能找到飆車的車主。

例題 5

從兄弟五人中任選三人排成一列，但要求長幼有序，哥哥必須站在弟弟的右邊。求共有幾種排列方法？

說明

如果自五人中選出三人，任意排成一列，共有幾種排列方法？

假設這三位的年紀排名，小到大以 1, 2, 3. 做為代號。

那麼 123 132 213 321 312 231 ，只有哪一個符合題目要求？

組合與排列大不同

袋中有5 個球，每個球都標了編號1、2 ... 。現從袋中抽 3 個球出來(抽出來之後不得再放回袋中) 。

排列問題

把球上的數字，按照抽出的順序記下。

組合問題

把球上的數字記下，但無須理會球被抽出的先後次序。

組合與排列大不同

排列問題

既關心被抽出來的包含哪些數字，也關心這些數字的順序。

組合問題

關心被抽出來的包含哪些數字，而不管這些數字的順序。

組合與排列大不同

「排列」和「組合」雖然是兩種很不相同的問題，但兩者卻並非絕然對立，而是有著非常密切的聯繫。

日常生活中很多點算問題，往往同時包含著「排列」和「組合」的因素，如能了解其中奧妙，很多點算問題便容易解決。

我們正可利用「排列」和「組合」的這種微妙關係找出「組合」問題的公式。

例題 6

桌上有10件不同的玩具，讓四位兒童每人選取一件玩具帶回家，求共有幾種不同的選擇結果？

提示

樹枝圖怎麼畫？

可以用乘法原理嗎？

數學碎碎唸

排列的英文是 Permutation

如果有 n 個不同物，取出 m 個排成一列，則有 n ×(n-1) ×(n-2) … ×(n-m+1) 種排列方式。

上述的算式，記作

注意這個符號的意義，

n

mP

)1()2()1( mnnnnPn

m

數學碎碎唸

其中 n! 讀做 n 階乘。

例如

但是 (這是被定義成一定要如此。)

123)2()1(! nnnn

12)(

12)()1()1(

)1()2()1(

mn

mnmnnn

mnnnnPn

m

12012345!5

1!0

)!(

!

mn

n

例題 6

桌上有10件不同的玩具，讓四位兒童每人選取一件玩具帶回家，求共有幾種不同的選擇結果？

排列公式的用法

種。

P4

10 =10!

(10 - 4)!=10 ×9 ×8 × 7 = 5050

排列公式練習題

1. 五人排成一列，共有幾種不同的排列方式？

2. 100張號碼都不相同的彩券，依序抽出頭獎及特別獎，共有幾種中獎方式？

12012345!5)!55(

!55

5

P

990099100

129798

129899100

)!2100(

!100100

2

P