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§3-1 排列问题

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n 个元素共有 n! 个排列。不重复无遗漏地产生 n 个元素的所有 n!个排列。 思路：设连续产生的两个排列为 P 和 P', 只要将 P 中的两个元素交换位置就得排列 P' ．

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• 定义 将一个排列的两个元素交换位置的操作称为换位，记作 t. • 所有可能的换位操作的集合记为 T.

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• 从而 n! 个排列可以这样来产生，• 任意选择一个排列，然后连续使用 T中的操作，得到其余的 (n! 一 1) 个排列。• 这个方法实质上将 n! 个排列排成一个序列，• 对其中每一个排列 ( 不是最后一个 ) 作一次换位操作，就可得其后继排列。

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• 以 n ＝ 3 为例，其六个排列的序列下： l 2 3 2 l 3 2 3 1 3 2 l 3 l 2 1 3 2

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• 有 n 个元素的排列称为 n 排列。• 从群论的角度问题可叙述如下，考虑有限群 G 及其算子集合 T( 现在 G 的元素是排列， T 的元素是换位 ) ，• 能否将 G 的所有元素排成一个序列，每两个相邻的元素有这样的性质，• 前者使用 t∈T 一次，即可得后者。• 下面用归纳法证对于排列而言，这样的序列存在。

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• 对元素的个数 n 进行归纳。设 n 个元素为 a1 ， a2 ，…， an ．• 当 n=2 时显然成立，共有两个排列，• 将其中的一个排列的仅有的两个元素交换位置即得另一个排列。• 设 n<p 时存在 n! 个排列的序列，具有上述性质。

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• 当 n=p 时，有 p! 个排列，用下述方法将它们组织成一个序列。考虑 p 个元素的前 p － 1 个元素，因为 p － 1<p• 满足归纳假设的条件，可以得到 (p － 1)!个 (p － 1) 排列，• 将最后一个元素 ap 加到它们末尾，即得

(p 一 1)! 个 p 排列，且具有上述性质，• 然后交换上述最后一个排列中元素 ap 和元素 a1( 现在 al 并不一定在第一个位置 ) 的位置，

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• 考虑这个排列的前 (p － 1) 个元素，满足归纳假设的条件，可得 (p － 1)! 个 p 排列 ( 它们最末尾的元素为 a1) ；• 然后交换元素 a1 和元素 a2 ，又可得• (p － 1)! 个 p 排列，其末尾元素为 a2 ；• 交换元素 a2 和元素 a3 ，得 (p 一 1)! 个 p排列，…，• 直至元素 ap-2 与元素 ap-1 交换位置，• 再得 (p － 1)! 个 p 排列，其末尾元素为

ap-1.

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• 从而 p 个元素的每一个都出现在• (p － 1)! 个 p 排列的末尾，• 因此共有 p× (p － 1)!=p! 个 p 排列，• 且它们都是互不相同的，• 每两个相邻的 p 排列有这样的性质：• 前者使用一次换位操作就得到了后者。证毕。•

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• 从而，产生 n! 个 n 排列的问题变成给定一个 n 排列，如何确定要交换位置的两个元素。• 令序列中第 m 个排列为• a1 ， a2 ， a3 ，…， an• 需要交换位置的两个元素为• ar 和 ah (r<h) ， ah 在 ar 的右边，

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• 这告诉我们 a1 ， a2 ，…， ah-1• 的 (h － 1)! 个排列已经产生完毕，• 因此才需将其中的一个元素 ar 与它们右边的元素 ah 交换位置，• 从而 m 必是 (h － 1)! 的倍数。• m 必不是 h! 的倍数。• 换言之， h 是具有下述性质的最小整数 j:• m 不能被 j! 整除。

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• h 的值确定以后， r 就很容易确定了。• 上面的证明指明了确定 r 的方法。分两种情况：• (1) 如 a1 ， a2 ，…， ah-l 都比 ah小，则选择 al ， a2 ，…， ah-1 中最小的元素与 ah 换位，• 不然则• (2) 选择 a1 ， a2 ，…， ah-1 中比 a

h 大的元素中最小者与 ah 换位。

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• [ 例 1] n 为 5 ．产生的第 102 个排列为• 2 1 5 3 4• 求第 103 个排列。• m=102 ，因为 102÷3! ＝ 17 余 0• 102÷4! ＝ 3 余 30• 所以， h ＝ 4 ，即元素 3 要与其左的一个元素交换位置，比 3 大的元素只有一个，为 5 ，• 所以 3 和 5 交换位置，得第 103 个排列为• 2 1 3 5 4

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• [ 例 2] n=4 ， 4!=24 ，使用上述方法产生的 24 个排列如下所示 ( 自上而下，再向右 ) ：• 1234 432l 1342 1423• 2134 342l 3142 4123• 2314 2431 3412 2143• 3214 423l 4312 1243• 3124 324l 4132 4213• 1324 234l 1432 2413

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• 本节的主要结果是函数 permu ，• 它需要三个函数：• int FAC(int n)• // 计算 n 的阶乘• {int i ＝ 2 ， k=1 ；• for ( ;i<=n; ) k* ＝ i++;• return k;• }

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• void SWAP(int x,int y,int a[ ])• // 交换数组 a 中下标为 x 及下标为 y的元素的值• {int t ；• t ＝ a[x] ；• a[x] ＝ a[y] ；• a[y] ＝ t;• }

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• void PRlNT(int M ， int n, int a[ ])

• {// 打印 n 排列 a 及其序号 M• int i=1 ；• printf (M) ；• for (;i<=n;) printf (a[i++]);• }

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• void PERMU (int n) ；• // 产生 n 个元素 1 ， 2 ，…， N 的 n!个排列• 产生第一和第二两个排列 ;• M=2;• while(M< fac (n))• // 每循环一次 , 产生两个排列• { 确定 h; 确定 r; • SWAP (r, h, a); PRINT(++ M, n, a);• SWAP (1, 2, a); PRINT(++ M, n, a) ；• }

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• 产生第一和第二两个排列• for( i ＝ l ;i<=n; i++) a[i] ＝ i;• PRINT(1 ， n ， a) ； (2)• SWAP(1, 2, a) ； • PRINT(2 ， n ， a) ； (3)

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• 确定 h;• h ＝ 2 ； (4)• do h2 ＝ FAC (++ h) ; (5)• while(M%h2==0) ；• 可修改为• h ＝ 2 ； h2=2; (4)• do h2 * ＝ ++ h ; (5)• while(M%h2==0) ；

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• 确定 r;• r ＝ 1 ； j ＝ 0 ； (6)• TEMP =MAXlNT ；• for( i ＝ l; i< h; i++)• {// 寻找最小的值• if(a[i] <a[r]) r ＝ i• // 寻找大于 a[h] 的最小值• if((a[i] >a [h]) && (a [i] <TEMP))• { j ＝ i;• TEMP=a[i]• }• }• if(j ) r ＝ j ；

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注 1 当 M 为奇数时， h 的值必为 2 ， r的值则为 1 ，即需要交换第 1 个、第 2 个元素的位置，因此过程 PERMU 中 while 语句的循环体每执行一次产生两个排列，用前述方法确定 h 、 r ，交换 a[h] 、 a [r] 得到一个排列，然后再交换 a[1] 、 a[2] 直接得到另一个排列。

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• 注 2 过程 PERMU 按前面的思路编写，为的是容易理解，为加速运行，将确定 r 的程序段更改为：• r ＝ 0 ； TEMP ＝ MAXINT ；• for( i ＝ l; i< h; i++)• if((a[i] >a [h]) && ( a [i] <TEMP))• {r ＝ i; TEMP ＝ a[i];}• if( r= =0)• { r ＝ 1 ；• for( i ＝ 2;i<n;i++)• if(a[i]<a[r]) r ＝ i;• }

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• 经这样更改，不仅省时间，还省去变量 j 和函数 FAC

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• 注 3 还有一种方法确定 r 的值，也分两种情况。• ① 如 al ， a2 ，…， ah-1 都比 ah大，则选择 a1 ， a2 ，…， ah-1 中最大者与 a[h] 交换，否则• ② 选择 a1 ， a2 ，…， ah-1 中比 a

h 小的元素中最大者与 a[h] 交换。以 n ＝ 4 为例，• 用上述方法得到的 24 个排列为

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• 1234 4213 4132 3241• 2134 2413 1432 234l • 3124 2143 3412 243l• 1324 1243 4312 4231• 2314 1423 1342 4321• 3214 4123 3142 342l