线性代数讲义 - cdn1.kybimg.comcdn1.kybimg.com/ohr/2016/03/17/113916_56ea26e439dc7.pdf · 总和称为这个排列的逆序数，记做 W( , , , )i i i 12 " n 。（3）奇排列与偶排列

考研帮学堂配套电子讲义——线性代数

1

线性代数讲义


2

课程配套讲义是学习的必备资源，帮帮为大家精心整理了高质量的配套讲义，确保同学

们学习的方便不高效。该讲义是帮帮结合大纲考点及考研辅导名师多年辅导经验的基础上科

学整理的。内容涵盖考研的核心考点、复习重点、难点。结构明了、脉络清晰，幵针对丌同

考点、重点、难点做了丌同颜色及字体的标注，以便同学们复习时可以快速投入、高效提升。

除课程配套讲义外，帮帮还从学习最贴切的需求出发，为大家提供以下服务，打造最科

学、最高效、最自由的学习平台：

服务项目服务内容

名师高清视频课零距离跟名师学习，精讲考点，突出重点，拿下难点，掌握方法

习题+月考+模考精选配套习题，灵活自测，查缺补漏，时时提升

真题视频解析精选整理了近十几年的真题+答案，视频详解近五年真题

复习规划指导名师零距离直播/录播指导全程考研复习规划

24 小时内答疑 24 小时内详尽解答您复习中的疑点难点，确保学习无阻碍

把青春托付给值得信任的平台！

祝：复习愉快，天天高效，考研成功！

PS:讲义中的丌足之处，欢迎各位研研批评指正，我们将竭尽所能追求更好！


3

目录

第一章行列式 ................................................................................................................................. 1

1.1 行列式的概念及性质 ......................................................................................................... 1

1.2 特殊形式的行列式计算 ..................................................................................................... 3

1.3 行列式按行（列）展开 ..................................................................................................... 5

1.4 行列式公式 ........................................................................................................................ 7

1.5 克莱默法则 ........................................................................................................................ 8

第二章矩阵及其运算 ..................................................................................................................... 9

2.1 矩阵的运算 ........................................................................................................................ 9

2.2 矩阵的秩 .......................................................................................................................... 11

2.3 矩阵的逆 .......................................................................................................................... 12

2.4 伴随矩阵 .......................................................................................................................... 14

2.5 初等变换与初等矩阵 ....................................................................................................... 15

2.6 分块矩阵 .......................................................................................................................... 16

第三章 n维向量与向量空间 ........................................................................................................ 18

3.1 n 维向量的概念及其运算 ................................................................................................ 18

3.2 线性组合与线性表出 ...................................................................................................... 20

3.3 向量组的线性相关与线性无关 ...................................................................................... 21

3.4 向量组的秩与矩阵的秩 .................................................................................................. 23


第 1 页

第一章行列式

1.1 行列式的概念及性质

1.排列与逆序

（1）排列与 n 阶排列

所谓排列是指由 n 个数1,2, ,n 所构成的一个有序数组，通常用 1 2 nj j j 表示 n 阶排

列，显然有 !n 个不同的 n 级排列。

（2）逆序与逆序数

在一个排列中，若较大的数在较小的数前面，这两个数就构成一个逆序。所有逆序数的

总和称为这个排列的逆序数，记做 1 2( , , , )ni i i 。

（3）奇排列与偶排列

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列。

（4）逆序数的计算方法

以 3 2 4 1 5 为例，从第一个数依次查起，分别计算出排列中每个元素前面比它大的数

码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的

逆序数.

（5）对换

将一个排列中的某两个数的位置互换而其余的数不动，这一变换即为一次对换。

（6）排列的性质

（i）对排列进行一次对换将改变其奇偶性.

（ii）在全体 n 级排列(n>1)中，奇排列和偶排列各占一半，各有2

!n个。

（iii）任意一个 n 级排列都可以经过一系列对换互换得到1,2, ,n ，并且所作的对换的个

数与这个排列有相同的奇偶性。

2.n 阶行列式

n 阶行列式

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aD

a a a

是所有取各自不同行不同列的 n 个元素的乘积

1 21 2 nnjj ja a a

的代数和，其中 1 2 nj j j 是1,2, ,n 的一个排列。当 1 2 nj j j 是偶排列时，上式带有正号；

当 1 2 nj j j 是奇排列时，上式带有负号，也就是可写成


第 2 页

1 2

1 2

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )

1 2

1 2

( 1) n

n

n

n

n j j j

j j nj

j j j

n n nn

a a a

a a aa a a

a a a

上式称为 n 阶行列式的完全展开式，这里1 2 nj j j

表示对所有 n级排列求和。行列式D 通常可

简记为det( )ija 或 ijn

a 。

例题：设

200

125

401

21

)(

x

x

x

xx

xf

，则 f x 中，3x 的系数是__

根据行列式的定义，不同同行不同列的 4 个元素的乘积为3x 当且仅当

44322311 aaaa 时成立，

而该项在行下标顺排时，列的下标的逆序数为 1)4,2,3,1( ，则该项为

3

44322311

)4,2,3,1( 2)1( xaaaa

故3x 的系数为-2。

3.行列式的性质

（1）行列式与它的转置行列式相等，即 TDD 。

证明：

记

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

21

22221

11211

，则其转置行列式为

nnnn

n

n

T

aaa

aaa

aaa

D

21

22212

12111

因为 D 中元素 ija 位于 TD 的第 j 行第 i 列，所以

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ) T1 2 1 2( 1) ( 1)n n

n n

n n

j j j j j jnj j nj j j j

j j j j j j

D a a a a a a D

（2）任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号。

注：行列式中有两行（或两列）元素对应相同，则此行列式为零

（3）行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 k，等于用数 k 乘此行列式。

即

11 12 1

1 2

1 2

n

i i in

n n nn

a a a

ka ka ka

a a a

.

11 12 1

1 2

1 2

n

i i in

n n nn

a a a

k a a a

a a a

..


第 3 页

注：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以得到行列式几号的外面。

（4）行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列

式之和。

即

11 12 1 11 12 1 11 12 1

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

n n n

n n n n

n n mm n n nn n n nn

a a a a a a a a a

b c b c b c b b b c c c

a a a a a a a a a

（5）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，

行列式不变。

即

nnnn

jinjiji

inii

n

nnnn

jjj

inii

n

aaa

akaakaaka

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

21

11211

21

11211

21

111

21

11211

（6）行列式中如果两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

1.2 特殊形式的行列式计算

1. 一般 n阶下三角行列式的计算

11

21 22

11 22

1 2

0 0

0nn

n n nn

a

a aa a a

a a a

类似地，上三角行列式的值也成立同样的结论：

11 12 1 11

22 2 22

11 22

0

0 0

n

n

nn

nn nn

a a a a

a a aa a a

a a

2. 关于副对角线的计算公式为


第 4 页

111 1, 1 1 1

2, 1 221 2, 1 2, 1

1 , 11 1

0 0

00

0 0

nn n n

n nn n

n n n nnn n

aa a a a

a aa a aD

a a aa a

( 1)

21 2, 1 1( 1)

n n

n n na a a

3.两种特殊的拉普拉斯展开式

设 A是 m阶矩阵，B是 n阶矩阵，则

BAB

A

B

A

0

*

*

0

BAB

A

B

Amn )1(

0

*

*

0

【例 1】（1992）设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且0

| | ,| | ,0

AA a B b C

B

，则 || C 。

【例 2】（1996）4 阶行列式

1 1

2 2

3 3

4 4

0 0

0 0

0 0

0 0

a b

a b

b a

b a

。

（A）43214321 bbbbaaaa

（B）43214321 bbbbaaaa

（C） ))(( 43432121 bbaabbaa

（D） ))(( 41413232 bbaabbaa

【例 3】（2014）4 阶行列式

0 0

0 0

0 0

0 0

a b

a b

c d

c d

。

4. ( 2)n n≥ 阶范德蒙德（Vandermonde）行列式


第 5 页

1 2

2 2 2

1 2

1

1 1 1

1 2

1 1 1

( )

n

n n i j

n i j

n n n

n

x x x

D x x x x x

x x x

≥ ≥

其中记号“”表示全体同类因子的乘积。即 n阶范德蒙德行列式等于1 2, , , nx x x 这n个

数的所有可能的差 (1 )i jx x j i n ≤ ≤ .的乘积.

易见，范德蒙德行列式为零的充要条件是 1 2, , , nx x x 这 n个数中至少有两个相等.

【例 4】计算行列式

222 cba

cba

baaccb

。

【例 5】计算行列式

2 2 2

3 3 3

9 8 7 6

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

。

5.推广

1[ ( 1) ]( )n

a b b b

b a b b

a n b a bb b a b

b b b a

【例 6】（1997）设 n 阶矩阵

01111

10111

11011

11101

11110

A

则 A 。

1.3 行列式按行（列）展开

1.代数余子式

在行列式


第 6 页

11 1 1

1

1

j n

i ij in

n nj nn

a a a

a a a

a a a

中划去元素 ija 所在的第 i 行与第 j 列，剩下的 2( 1)n 个元素按原来的排法构成一个 1n 阶行

列式

11 1, 1 1, 1 1

1,1 1, 1 1, 1 1,

1,1 1, 1 1, 1 1,

1 , 1 , 1

j j n

i i j i j i n

ij

i i j i j i n

n n j n j nn

a a a a

a a a aM

a a a a

a a a a

称为元素 ija 的余子式，而

( 1)i jij ijA M

称为元素 ija 的代数余子式。

注：只改变 ija 所在行或者列中的值，并不影响其代数余子式 ijA ，并且有关系

,

,

ij

ij

ij

M i jA

M i j

当为偶数时

当为奇数时

【例 7】

1 2 3

4 5 6

7 8 9

A ，求21A 。

2.行列式按行（或列）展开公式

（1）行列式等于它的任一行（或列）的各个元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

ni

ininiiii

nnnn

inii

n

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

D

,,2,1

2211

21

21

11211

，

或


第 7 页

nj

njnjjjjj

nnnjn

nj

nj

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

D

,,2,1

2211

1

2221

1111

（2）行列式中的某一行（或列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和

等于零。即

1 1 2 2 0,i j i j in jna A a A a A i j .

或

1 1 2 2 0,i j i j ni nja A a A a A i j .

【例 8】（2001）设行列式

3 0 4 0

2 2 2 2

0 7 0 0

5 3 2 2

A

①求第 4行各元素代数余子式之和；

②求第 4行各元素余子式之和.

1.4 行列式公式

1) | | | |nkA k A

2) | | | || |AB A B

3) | | | |TA A

4) 1 1| | | |A A

5) * 1| | | |nA A

6) 若 A 的特征值为1, , n ，则

1

| |n

i

i

A

。

7) 若 A 与B 相似，则 | | | |A B 。

【例 9】（2010）设 A,B 为 3 阶方阵，且 13, 2, 2,A B A B 则 1A B 。

【例 10】设 A,B 为n阶方阵，且 2, 3A B ，则 1 * * 1A B A B .


第 8 页

1.5 克莱默法则

如果线性方程组

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

的系数行列式不等于零，即

0

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

那么，方程组有唯一解

njD

Dx

j

j ,,2,1,

其中，

nnnjnnjn

njj

njj

j

aabaa

aabaa

aabaa

D

111

21221221

11111111

注：

（1）如果线性方程组的系数行列式 0D ，则方程组一定有解，且解是唯一的。

（2）如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

（3）若齐次方程组

0

0

0

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

的系数行列式 0D ，则齐次线性方程组只有零解。如果方程组有非零解，那么必有 0D 。

【例 11】解方程组 Ax b ，其中

1 2

2 2 2

1 2

1 1 1

1 2

1 1 12

2,

2

n

T

n

n n n

n

a a a

A a a a b

a a a

，且1 2, , na a a 互

不相同.


第 9 页

第二章矩阵及其运算

2.1 矩阵的运算

1.矩阵的加法

（1）定义

设 }{ ijaA 和 }{ ijbB 是 nm 的矩阵，A 与 B 的加法（或称和），记作 A + B ，规

定为：

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

{ }

n n

n n

ij

m m m m mn mn

a b a b a b

a b a b a bc

a b a b a b

C A+ B

注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算

（2）加法的运算法则

（i） ABBA

（ii） )()( CBACBA

（3）矩阵减法

设矩阵 }{ ijaA ，记 }{ ijaA ， A 称为矩阵 A 的负矩阵，显然有 OAA )(

由此规定矩阵的减法为

)( BABA

即：

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

( )

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

A B A B

2.矩阵数乘

（1）定义

数与矩阵 nmijaA }{ 的乘积（称之为数乘），记作 A 或 A ，规定为

11 12 1

21 22 2

1 2

( ) ( )

n

n

ij m n ij m n

m m mn

a a a

a a aa a

a a a

A A

（2）数乘矩阵的运算规律

（i） )()( AA


第 10 页

（ii） AAA )(

（iii） BABA )(

3.矩阵与矩阵相乘

（1）定义

设 }{ ijaA 是一个 sm 矩阵， }{ ijbB 是一个 ns 矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘

积为一个 nm 的矩阵 { }ij m nc C ，其中

s

k

kjiksjisjijiij babababac1

2211

( 1, 2, , ; 1, 2, , )i m j n .

并把此乘积记作

ABC

注：（i）只有在左矩阵 A 的列数和右矩阵 B 的行数相等时，才能定义乘法 AB；

（ii）矩阵 C=AB 的行数是 A 的行数，列数则是 B 的列数；

（iii）矩阵 C=AB 在 ( , )i j 位置上的元素等于 A 的第 i行元素与 B 的第 j 列对应元素的乘

积之和。

（2）矩阵的幂

设 A 是n 阶矩阵，定义：

)(,,, 121 kk AAAAAAAA ,

其中， k 是正整数；特别规定 0A E . 由于乘法成立分配律结合律，有

lklk AAA ， kllk AA )(

（3）矩阵相乘的注意事项

（i）矩阵乘法一般没有交换律，即 BAAB ，若对于两个 n 阶方阵 A、B， BAAB ，则

称 A 与 B 是可交换的；

（ii）不可将关于数的代数恒等式或命题等价到矩阵相乘，例如，设 A，B，C 均为 n 阶方阵，

则

22222 2)( BABABBAABABA ； 222 ))(()( BAABABAB ；

kkk BAAB )( （k 为自然数）； 22))(( BABABA

上述关系当且仅当矩阵 A 与 B 可交换才成立；

（iii） OAB 不是一定有 OA 或 OB ；若 OA ，而 OYXA )( ，不能得出 YX ；

矩阵 OBOA , ，但 OAB 有可能成立。

（iv）可交换的特例：当 1 *OB E A A f A 、、、、，可交换。


第 11 页

（4）矩阵相乘的运算法则

（i） )()( BCACAB

（ii） )()()( ABBAAB （其中为数）

（iii） ACABCBA )( ， CABAACB )(

4.矩阵转置的运算规律

1) AA TT )( ；

2) TTT BABA )( ；

3) ,)()( TT AA 是常数；

4) ( )T T TAB B A ；

5) ( ) .T TA A

【例 1】（2002）设 (1,2,1)T ，1

(1, ,0)2

T ， TA ，则 4A .

2.2 矩阵的秩

1.秩的定义

非零子式的最高阶数

注：（1） 0 0r A A

（2） , 0n nA r A A A

（3） r A r A 有个 r 阶非零子式，且所有的 r+1 阶子式全为 0.

【例 1】（2001）设矩阵

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

k

kA

k

k

， ( ) 3r A ，则 k .

2.秩的性质

（1） A 为 nm 阶矩阵，则 ( ) min ,r A m n ；

（2） ( ) ( ) ( )r A B r A r B ；

（3） ( ) min ( ), ( )r AB r A r B ；


第 12 页

（4） ( ) ( )r kA r A ；

（5） ( ) ( )r A r AC ；

（6） ( ) ( ) ( ) ( )T T Tr A r A r A A r AA ；

（7）设 A 是 nm 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵， AB O ，则 ( ) ( )r A r B n ；

【例 2】（2010）设 A 是 nm 阶矩阵，B 是n m 阶矩阵， AB E ，则

（A） ( ) , ( )r A m r B m

（B） ( ) , ( )r A m r B n

（C） ( ) , ( )r A n r B m

（D） ( ) , ( )r A n r B n

总结：秩的求法

（1） A 为抽象型，用定义或者性质；例如： 2, , ?n nA A E r A 则

（2） A 为数字型，用初等行变换法。例如：

1 2 3

A 4 5 6 , (A) ?

7 8 9

r

2.3 矩阵的逆

1.逆矩阵的定义

设 A 是n 阶矩阵，若存在矩阵B ，使得

AB = BA = E ，

则称 A 是可逆矩阵，并称矩阵 B 是 A 的逆矩阵；A 的逆矩阵唯一，记作 1A 。

注：A 可逆 0A

r A n

2.逆矩阵的运算规律

（1）若 A 可逆，则 1A 亦可逆，并且 1 1( ) A A。

（2）若 A 可逆， 0 ，则 A 亦可逆，并且1 11

( )

A A 。

（3）若 A、B 可逆，则 AB 亦可逆，且 1 1 1( ) AB B A 。


第 13 页

推广： 1 -1 -1 1 1

1 2 s-1 2 1( )s s

A A A A A A A

（4）若 A 可逆，则 TA 亦可逆，且 1 1( ) ( )T T A A 。

（5）若 A 可逆，则 1 1

| || |

AA

， 1

1n

nA A

（因为 1 1| || | | | | | 1A A AA E ）

【例 3】（2001）设 n 阶矩阵 A 满足 042 EAA ，则 1)( EA 。

3.逆矩阵的求法

（1）定义法

若 AB = BA = E ，则 BA 1

（2）伴随矩阵法

*1 1A

AA

，其中 A 为矩阵 A 的伴随矩阵。

（3）初等变换法

）（行

1)( AEEA

（4）分块矩阵法

1 11 1

1 1,

B O O BB O O C

O C C OO C B O

【例 4】设

1 2 3

2 2 1

3 4 3

A

，求 1A 。

【详解】

2 1

3 1

2

3

1 2 3 1 0 0

2 2 1 0 1 0

3 4 3 0 0 1

1 2 3 1 0 0

0 2 5 2 1 0

0 2 6 3 0 1

r r

r r

A E

3 2

1 2 3 1 0 0

0 2 5 2 1 0

0 0 1 1 1 1

r r


第 14 页

1 3

2 3

2

5

1 0 0 1 3 2

0 2 0 3 6 5

0 0 1 1 1 1

r r

r r

2

3

( 2)

( 1)

1 0 0 1 3 2

3 50 1 0 3

2 2

0 0 1 1 1 1

r

r

2.4 伴随矩阵

1.伴随矩阵定义

设 A 是 n 阶矩阵，则

11 21 1

12 22 2*

1 2

n

n

n n nn

A A A

A A AA

A A A

2.伴随矩阵的性质

（1）设 A 是 n 阶方阵，A* 是 A 的伴随矩阵，则

EAAAAA ||**

（2） 2;|| 1* nAA n

（3） AAAn 2**

（4） ** TTAA ；

（5）

1)(,0

1)(,1

)(,

)( *

nAr

nAr

nArn

Ar

若

若

若

（6）若 A 可逆，则 1**11*1* ,,1

AAAAAAA

A

（7） * 1 *( ) nkA k A

（8） * * *( )AB B A


第 15 页

2.5 初等变换与初等矩阵

1.矩阵的初等变换

下面三种变换称为矩阵的初等变换

（1）互换矩阵中两行（列）元素（记i jr r 或

i jc c ）；

（2）用一个非零数 k 乘矩阵的某一行（列）（记ik r 或

ik c ）；

（3）矩阵的某一行（列）元素 k 倍加到另一行（列）对应元素上（记i jr k r 或

i jc k c ）；

矩阵的初等行或列变换统称矩阵的初等变换。

2.初等矩阵的概念

（1）定义

单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。

有以下三种类型：对调、倍乘、倍加，

(i)．对调两行或对调两列得初等矩阵

1

1

0 0 0 1 i

0 1 0 0

( , )

0 0 1 0

1 0 0 0 j

1

1

i j

第行

第行

E 。

(ii) 以 k≠0 乘单位阵的第 i 行（或第 i 列）得初等矩阵

1

1

( ( )) i

1

1

i k k

行第E , 其中 0k 。

(iii) 以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上，得到初等矩阵


第 16 页

1

1 i

(ij( )) ( )

1 j

1

j i

k

k c kc

第行

第行

E E ,

（2）初等矩阵的性质

（i）性质 1 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也是同类初等矩阵，

-1( , ) ( , )i j i jE E ； -1 1( ( )) ( ( ))i k i

k

E E ；-1( ) ( )i j i jr kr r kr

E E

（ii）性质 2 初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵，

T( , ) ( , )i j i jE E ； T( ( )) ( ( ))i k i k E E ；

T ( ) ( )i j j ir kr r kr E E

（iii）性质 3 用初等矩阵 P 左（右）乘 A，所得 PA（AP）就是矩阵 A 作了一次与 P 同样的

行（列）的初等变换。

【例 6】（2011）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得到矩阵 B，再交换 B 的第 2

行与第 3 行得到单位矩阵 E，记 1 2

1 0 0 1 0 0

1 1 0 , 0 0 1

0 0 1 0 1 0

P P

，则

A

（A） 1 2PP （B）

1

1 2P P

（C） 2 1P P （D）

1

2 1P P

2.6 分块矩阵

1.定义

矩阵分块是将矩阵用任意的横线和纵线切开，例如

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

a a a a

a a a a

a a a a

A ，下面给出它的三种分法，

（i）

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

a a a a

a a a a

a a a a

A ；令11 12

11

21 22

a a

a a

A ，13 14

12

23 24

a a

a a

A ， 21 31 32a aA ，


第 17 页

22 33 34a aA ，则11 12

21 22

A AA

A A。

（ii）

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

a a a a

a a a a

a a a a

A ；令11

11

21

a

a

A ，12 13

12

22 23

a a

a a

A ，

14

13

24

a

a

A ， 21 31aA ， 22 32 33a aA ， 23 34aA 。

则11 12 13

21 22 23

A A AA

A A A。

（iii）

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

a a a a

a a a a

a a a a

A 。令

11

1 21

31

a

a

a

A ，

12

2 22

32

a

a

a

A ，

13

3 23

33

a

a

a

A ，

14

4 24

34

a

a

a

A ，则 1 2 3 4A A A A A 。

2.关于分块矩阵的运算法则

(i) 1 2 1 2 1 1 2 2

3 4 3 4 3 3 4 4

+B B B B

B B B B

A A A A

A A A A

(ii) A B X Y AX BZ AY BW

C D Z W CX DZ CY DW

(iii)

T T T

T T

A B A C

C D B D

.

(iv)

n n

n

B O B O

O C O C

(v)

1 11 1

1 1,

B O O BB O O C

O C C OO C B O

【例 7】（2009）设 A，B 均为 2 阶矩阵， 2, 3A B ，则

*O A

B O

。


第 18 页

第三章 n 维向量与向量空间

3.1 n 维向量的概念及其运算

1.n 维向量的概念

（1）n 维向量

由 n 个（实）数 1 2,, , na a a 组成的有序数组，称作 n 维（实）向量（用希腊字母 , ,α β

来表示），记作 1 2( , , , )na a aα ，其中第 i 个数ia 称为向量α的（第 i 个）分量。

（2）行向量和列向量

通常称

1

2

n

a

a

a

α

为 n 维列向量。那么 n 维行向量就是 1 2( , , , )na a aα ，显然它们可以分别看成 1n 的

矩阵和 n1 矩阵。利用转置，当是一个列向量时，T 就表示一个行向量，反之也然。

注：向量是矩阵的特殊形式，所以很多矩阵适用的原则向量也适用。

（3）零向量

所有分量都为零的向量。一般记作 0。

2.n 维向量的运算

设1 2( , , , )T

na a aα ，1 2( , , , )T

nb b bβ

（1）负向量：称向量1 2( , , , )T

na a a 为向量的负向量。

（2）向量加法：称向量1 1 2 2( , , , )T

n na b a b a b γ α β 为向量和向量的和。

（3）向量减法： ( ) γ α β α β = T

nn bababa ),,,( 2211 为和 )( 的加法。

（4）数乘向量：设 k 是一个数。称向量 1 2( , , , )T

nk k ka ka ka α α 为向量和数 k 的

数乘向量。

（5）向量内积： 1 1 2 2, T T

n na b a b a b α β α β β α

注：由加法及数乘运算可引出线性组合、线性相关等概念，由内积可引出单位化、正交化等

问题。特别的，若 , 0α β ，则称 ,α β正交.

（6）长度定义：2 2 2

1 2|| || ( , ) T

na a a α α α α α 。


第 19 页

（7）正交定义：1 1 2 2( , ) 0T T

n na b a b a b α β α β β α 。

（8）正交矩阵定义： A 为 n 阶方阵， TAA E1 TA A TA A E | | 1A

正交矩阵充要条件：

A 为正交方阵1 TA A

TA A E

A 的列向量组单位且正交

【例 1】设 A，B 均为 n 阶正交矩阵， | | | | 0A B ，则 | |A B .

Schmidt 正交化

若1 2, , , s 线性无关，则可构造

s ,,, 21 使其两两正交，且i 仅是

1 2, , , sa a a 的线性组合（i=1,2,...,s），再把i 单位化，记

i

ii

，则

s ,,, 21 是规范

正交向量组。

其中 11 ， 1

11

1222

,

,

1

11

12

22

21

11

1

2

22

231

11

1333

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

s

ss

ssssss

【例 2】将下列向量 Schmidt 正交化1 2 3(0,1,2) , (1,0,1) , (1,1,0)T T T

【详解】

1

2

3

0

1

2

1 0 52 1

0 1 25 5

1 2 1

1 0 5 5 11 3 1 1

1 1 2 10 25 30 10 2

0 2 1 5 1


第 20 页

1 2 3

0 5 11 1 1

1 , 2 , 25 30 6

2 1 1

3.2 线性组合与线性表出

1.线性组合

（1）向量组的概念

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。

（2）线性组合

设有向量组 A ：1 2 m 、、、是同维向量，

1k 、2k 、„、

mk 是一组实数，称向

量mmkkk 2211为向量组 A 的一个线性组合。不难理解，向量组 A 有无穷种组

合。

2. 线性表出

设有向量组 A ：1 2 m 、、、和向量是同维向量，如果存在实数

1 2 m 、、、，使

得mm λλλ 2211 ，则称向量可以由向量组 A 线性表出，或者说是

1 2 m 、、、的线性组合。

3.线性表示充要条件

非零列向量可由1 2, , , s 线性表示

1

2

1 2( , , , )s

s

x

x

x

非齐次方程有解

1 2 1 2( , , , ) ( , , , , )s sr r

4.线性表示充分条件

若1 2, , , s 线性无关，

1 2, , , ,s 线性相关，则可由 1 2, , , s

线性表示。

5.线性表示求法

设1 2, , , s 线性无关，可由其线性表示

1 2( , , , ) ( )s 初等行变换行最简形系数

【例 3】（2011）将向量组 1 2 3(1,1,1) (1,2,3) (3,4,5)T T T ，，由向量组


第 21 页

1 2 3(1,0,1) (0,1,1) (1,3,5)T T T ，，线性表示.

【详解】

1 2 3 1 2 3

1 0 1 1 1 3

( , , , , ) 0 1 3 1 2 4

1 1 5 1 3 5

1 0 1 1 1 3 1 0 1 1 1 3

0 1 3 1 2 4 0 1 3 1 2 4

0 1 4 0 2 2 0 0 1 1 0

2

1 0 0 2 1 5

0 1 0 4 2 10

0 0 1 1 0 2

得

1 2 3 1 2 3

2 1 5

, , , , 4 2 10

1 0 2

3.3 向量组的线性相关与线性无关

1.向量组的线性相关与线性无关

（1）线性相关定义：

对于 m 维向量组 A ：1 2 m 、、、，若存在不全为零的数

1 2 mk k k、、、，使得

0 mmkkk 2211，则称向量组 A 线性相关.

线性无关定义

若1 1 2 2 0s sk k k ，则

1 2, , , sk k k 全为零，称1 2, , , s 线性无关.

注：（i）含有零向量的向量组一定线性相关。

（ii）只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是这个向量是零向量。

（iii）只有两个向量的向量组线性相关的充要条件是这两个向量的坐标对应成比例。个

数多于维数的向量组必线性相关。

（2）线性相关充要条件

向量组1 2, , , s 线性相关有个向量可由其余向量线性表示

1

2

1 2( , , , ) 0s

s

x

x

x

齐次方程有非零解 1 2( , , , )sr s


第 22 页

特别地 n 个 n 维向量1 2, , , n 线性相关

1 2( , , , )nr n

1 2| , , , | 0n

（3）线性相关充分条件

1) 向量组含有零向量或成比例的向量必相关

2) 部分相关，则整体相关

3) 高维相关，则低维相关

4) 以少表多，则多必相关

推论：n+1 个 n 维向量必相关.

（4）线性无关充要条件

向量组1 2 m 、、、线性无关

（i）齐次方程组

1

2

1 2 m( , , , ) 0

m

x

x

x

只有零解。

（ii）向量组的秩 1 2 m, , ,r m （向量组的个数）

（iii）每一个向量i （i=1,2，...,m）都不能用其余 s-1 个向量线性表出。

特别地，n 个 n 维向量1 2 m 、、、线性无关 1 2, , , nr n

1 2, , , 0n

1 2, , , nA 可逆

（5）线性无关充分条件

（1）整体无关，则部分无关；

（2）低维无关，则高维无关；

（3）非零的正交向量组线性无关；

（4）不同特征值的特征向量无关。

【例 4】（2006）设1 2, , , s 均为 n 维列向量，A 为m n 阶矩阵，下列选项正确的是

（A）若1 2, , , s 线性相关，则

1 2, , , sA A A 线性相关

（B）若1 2, , , s 线性相关，则

1 2, , , sA A A 线性无关


第 23 页

（C）若1 2, , , s 线性无关，则

1 2, , , sA A A 线性相关

（D）若1 2, , , s 线性无关，则

1 2, , , sA A A 线性无关

【例 5】（2007）设向量组321 ,, 线性无关，则下列向量组线性相关的是

（A）133221 ,,

（B）1 2 2 3 3 12 , 2 , 2

（C）133221 2,2,2

（D）1 2 2 3 3 1, ,

【专业知识补充】

（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵，矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不

变.

（2）若 n 维列向量321 ,, 线性无关，

321 ,, 可以由其线性表示，即

1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )C 则1 2 3( , , ) ( )r r C ，从而

321 ,,

线性无关 1 2 3( , , ) 3r ( ) 3r C | | 0C

3.4 向量组的秩与矩阵的秩

1.极大线性无关组和向量组的秩

（1）极大线性无关组

在向量组1 2, , , s 中，如果存在一个部分组

riii ,,,21 线性无关，且再添加进

组中任意向量 j ，向量组riii ,,,

21 ， j 一定线性相关，则称向量组

riii ,,,21 是

向量组1 2, , , s 的一个极大线性无关组。

注：（i）只由一个零向量构成的向量组不存在极大线性无关组，规定它的秩为 0，一个线性

无关的向量组的极大线性无关组是该向量组自身。

（ii）一般来说，向量组的极大线性无关组不是唯一的，但这些极大线性无关组是等价的，

从而每个极大线性无关组所包含的向量的个数都是 r，即个数 r 是由原向量组唯一确定的。

（2）向量组的秩

向量组1 2, , , s 的极大线性无关组中所含向量的个数 r 称为该向量组的秩，记为 r


第 24 页

(1 2, , , s ) = r。

2.向量组的秩与矩阵的秩的关系

（1）r（A）=A 的行秩（矩阵 A 的行向量组的秩）=A 的列秩（矩阵 A 的列向量组的秩）

注：求向量组的极大线性无关组和向量组的秩的时候，可通过对矩阵的初等变换化为阶梯形

矩阵来实现。

（2）经初等变换，向量组的秩均不变。

（3）向量组（I）可由向量组（II）线性表出，则 r I r II 。特别的，等价的向量组具

有相同的秩。

注：秩相同的向量组不一定等价。

【例 6 】求向量组的极大线性无关组，并线性表示其余向量 .

1 2 3 4

1 1 5 1

1 1 2 3, , ,

3 1 8 1

1 3 9 7

【详解】

1 2 3 4

1 1 5 1 1 1 5 1

1 1 2 3 0 2 7 4( , , , )

3 1 8 1 0 2 7 4

1 3 9 7 0 4 14 8

31 0 1

1 1 5 1 2

0 2 7 4 70 1 2

20 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0

第四章线性方程组

4.1 线性方程组的表示形式和解向量

1.线性方程组的矩阵表示法

线性方程组

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

，


第 25 页

令

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

A ，

1

2

n

x

x

x

X ，

1

2

m

b

b

b

b ，则可写成矩阵乘法表示 AX b。

2.线性方程组的向量表示法

对系数矩阵 A 按列分块，方程组又可用向量形式 bxxx nn 2211，

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

其中

1 2 n

A

3. 解向量

如果 n 维向量 T

nccc ),,,( 21 满足方程组 Ax b ，即 bA ，则称是 Ax b 的

一个解向量。

4.2 方程组解的判定

1. 齐次方程组有非零解的判定

（1）齐次方程组 0Ax 只有零解的充分必要条件是 r A n .

（2）设 A 是m n 矩阵，齐次方程组 0Ax 有非零解的充分必要条件是 r A n ，亦即 A

的列向量线性相关。

2. 非齐次方程组有解的判定

（1）增广矩阵

设有 n 个未知数 m 个方程的非齐次线性方程组：

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

令

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

A ，

1

2

m

b

b

b

b ，

1

2

n

x

x

x

X ，

AX b

定义增广矩阵：


第 26 页

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

( , )

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

B A b

（2）设 A 是m n 矩阵，方程组 Ax b ，则

（i）有唯一解 ( A ) r ( A )r n

（ii）有无穷多解 ( A ) r ( A )r n

（iii）无解 ( A ) 1 r ( A )r

b 不能由 A 的列向量线性表出

【例 1】（2002）设 A 是m n 阶矩阵，B 是n m 阶矩阵，则齐次方程 0ABx

（A）当n m 时，仅有零解

（B）当n m 时，有非零解

（C）当m n 时，仅有零解

（D）当m n 时，有非零解

【例 2】（2001）方程组

2

1

1

11

11

11

3

2

1

x

x

x

a

a

a

无穷多解，则 a= .

1 1 1 1 1 2

1 1 1 0 1 1 3

1 1 2 0 0 1 2 2 2

a a

A a a a

a a a a

当 2a 时，方程组无穷多解.

3.解的性质

（1）若1 2, 是 0Ax 的解，则

1 1 2 2k k 是 0Ax 的解；

（2）若是 0Ax 的解，是 Ax b 的解，则是 Ax b 的解；

（3）若1 2, 是 Ax b 的解，则

1 2 是 0Ax 的解.

推广：

（1）设1 2, , , s 是 Ax b 的解，则当 0ik 时

1 1 2 2 s sk k k 为 0Ax 的

解；当 1ik 时1 1 2 2 s sk k k 为 Ax b 的解；

（2）设1 2, , , s 是 Ax b 的 s 个线性无关的解，则

2 1 1, , s 为 0Ax 的 s-1

个线性无关的解.


第 27 页

4.3 基础解系的概念及其求法

1.线性方程组的解空间

齐次方程组 0Ax 恒有解（必有零解）。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍

是该齐次方程组的解向量。因此 0Ax 的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的

解空间，解空间的维数是n r A（）。

2.基础解系

（1）基础解系概念：

设1 2 s 、、、是方程组的 s 个解向量，则对任意的

1 2 sk k k、、、，向量

1 1 2 2 s sk k k ξ 仍是方程组的解向量。若1 2 r 、、、是方程组的 r个解向量，

并且满足：

（i）1 2 r 、、、线性无关。

（ii）方程组的任意解向量都可由1 2 r 、、、线性表示。则称

1 2 r 、、、为方程

组一个基础解系。所谓基础解系，其实就是 0Ax 的解向量组的一个极大无关组。

(2) 基础解系的性质

设1 2 r 、、、是 0Ax 的基础解系，即

（i）1 2 r 、、、是 0Ax 的解。

（ii）1 2 r 、、、线性无关。

（iii） 0Ax 的任一解都可以由1 2 r 、、、线性表出。

【例 3】设 A 是 nm 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵， AB O ，证明

（1） B 的列向量均为方程 0Ax 的解

（2） nBrAr )()(

3.基础解系的求法

(1) 在求基础解系时，可对 A 作初等行变换变换成为阶梯形矩阵.

(2) 通常称每个非零行中第一个非 0 系数所代表的未知数是主元（共有 ( )r A 个主元），那么

剩余的其他未知数就是自由变量（共有 ( )n r A 个），当然也可在加减消元后找出秩为 ( )r A

的行列式，那么其他各列的未知数就是自由变量.

(3) 对自由变量按阶梯形赋值后，再代入求解就可以得到基础解系。

注：一定是对矩阵进行初等行变换


第 28 页

【例 4】设

1 2 3 4

0 1 2 3

0 0 0 0

A

,求 0Ax 的基础解系.

【例 5】（2011）设1 2 3 4( , , , )A , (1,0,1,0)T 是方程 0Ax 的一个基础解系，则

* 0A x

的基础解系为

（A） 1 2, （B）

1 3,

（C） 1 2 3, , （D）

2 3 4, ,

4.4 线性方程组解的结构

1. 通解的概念

齐次线性方程组的通解结构：

设 ( )r A r ，1 2, , , n r 为 0Ax 的基础解系，则 0Ax 的通解为

1 1 2 2 n r n rk k k ，其中1 2, , , n rk k k 为任意常数.

【例 6】设 A 是 n 阶矩阵，r(A)=n-1，

（1）若 A 的各行元素之和为 0，则 Ax=0 的通解是 .

（2）若 A 的代数余子式11 0A ，则 Ax=0 的通解是 .

非齐次线性方程组的通解结构：

如 n 元线性方程组 Ax b 有解，设1 2 r 、、、是相应齐次方程组 0Ax 的基础解

系，0 是 Ax b 的某个已知解，则

0 称为非齐次方程组 Ax b 的特解，

1 1 2 2 r rk k k 0

ξ ξ 是 Ax b 的通解。

【例 7】（2011）设 A 为4 3 阶矩阵，1 2 3 , , 是非齐次方程 Ax 的三个线性无关的解，

则 Ax 的通解为

（A） 2 31 2 1( )

2k

（B） 2 32 2 1( )

2k

（C） 2 31 3 1 2 2 1( ) ( )

2k k

（D） 2 31 3 1 2 2 1( ) ( )

2k k


第 29 页

4.5 公共解与同解

1.公共解的定义

如果既是方程组 0Ax 的解，又是方程组 0Bx 的解，则称为其公共解.

2.非零公共解充要条件

方程组 0Ax 与 0Bx 有非零公共解 0A

xB

有非零解

Ar n

B

3.同解充要条件

方程组 0Ax 与 0Bx 同解 ( )A

r A r r BB

【例 8】设 A 是 nm 阶矩阵，证明

（1）齐次方程 0TA Ax 与 0Ax 同解

（2） ( ) ( )Tr A A r A

【例 9】设 A 是 nm 阶矩阵， ( )r A n ，B 是n s 阶矩阵，证明

（1）齐次方程 0ABx 与 0Bx 同解.

（2） ( ) ( )r AB r B .


第 30 页

第五章矩阵的特征值与特征向量

5.1 矩阵的特征值与特征向量

1.特征值与特征向量的概念设 A 是 n 阶矩阵，如果存在数和 n 维非零向量 x 使关系式

Axx

成立，那么，这样的数称为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为方阵 A 的对应于特征值的

特征向量。

2.特征方程与特征多项式的概念方程组 | |E A 0是以为未知数的一元 n 次方程，称为方阵 A 的特征方程，n 阶矩

阵 A 在复数范围内有 n 个特征值．其左端 | |E A 是的 n 次多项式，记作 f（），称为

方阵 A 的特征多项式。显然，A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，

其个数为方程的次数（重根按重数计算）。

3. 特征值和特征向量的一般求法

（1）对于抽象的矩阵，要根据特征值与特征向量的定义与其性质推导出特征值的取值。

（2）对于具体的数字矩阵，应先根据特征方程 | | 0E A 求出矩阵 A 的全部特征值

1, 2,...,i i n （），其中可能有重根。然后对每个不同的特征值i ，分别解齐次方程组

0 xAEi 。设 ii rAEr ，如果求出方程组的基础解系（即矩阵 A 关于特征值i

的线性无关的特征向量）irn ,,, 21 ，则矩阵 A 属于

i 的全部特征向量为

ii rnrnkkk 2211 ，其中irnkkk ,, 21 是不全为零的任意常数。

【例 1】（2008）设 A 为 2 阶矩阵，1 2, 为线性无关的 2 维列向量，

1 0A 2 1 22A

则 A 的非零特征值为 .

【例 2】设 A 是 3 阶矩阵，A 的各行元素之和均为 5，则 A 必有特征值 .

【例 3】求矩阵

654

032

001

A 的特征值与特征向量.

0 0 0 1 1 0

( ) 2 2 0 0 1 5

4 5 5 0 0 0

E A

2 0 0 1 0 0

3 2 0 0 0 5 3

4 5 3 0 0 0

E A


第 31 页

5 0 0 1 0 0

6 2 3 0 0 1 0

4 5 0 0 0 0

E A

4.特征值与特征向量的性质及结论

（1）如果 21, 都是特征值i 对应的特征向量，则 21, 的线性组合 2211 kk （非 0 时）

仍是属于i 的特征向量。

（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当i 是矩阵 A 的 k 重特征值时，矩阵

A 属于i 的线性无关的特征向量的个数不超过 k 个。即：设是 A的特征值，则它的重

数 (n r E A ）。

（3）设 n 阶矩阵 j n niA a

.的特征值为1 2 , n ，，，则有：

(i)1 2 11 22n nna a a .；即

1 1

n n

i iii i

a

（ii） 1 2 n A ，即1

n

ii

A

注：这两个公式在相似、证明可逆求行列式的值等方面很适用。

（4）方阵 A 与 TA 具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但是它们的特

征向量可能不相同。

（5）矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的所有特征值不为零．如果 A 可逆，则 1A 的特征值

是1 2

1 1 1, , ,

n ； *A 的特征值是

1 2

, , ,n

A A A

。

证明：当 A 可逆时，由 App，有 1A p p，因为 p0，知 0 ，故 pp11 A ．所

以1是 1A 的特征值。

（6）若是矩阵 A 的特征值，则对任何正整数 k，k 是 kA 的特征值

证明：若是 A 的特征值，则k 是

kA 的特征值；()是(A)的特征值，其中 n

naaaa 2

210)(

是的多项式；

AaEaA 10)( n

n AaAa 2

2

是矩阵 A 的多项式．

当 A 可逆时， 2

2

1

10

1)( aaEa n

na

是n

n AaAaAaEaA 2

2

1

10

1)( 的特征值。

总结:设是矩阵 A 属于特征值的特征向量，则


第 32 页

【例 4】设 A，B 为 3 阶相似矩阵， 2 0E A ，且 1，－1 为 B 的两个特征值，则行列

式 2A AB .

5.2 相似矩阵的概念与性质

1.相似矩阵的概念

设 A，B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P，使得 1P AP B 则称 B 是 A 的相似矩阵，

或说矩阵 A 与 B 相似，记作A ~ B 。

2.相似矩阵的性质（1）反身性对任意的方阵 A ， A 与 A 相似；

（2）对称性若 A 与B 相似，则 B 与 A 相似；

（3）传递性若 A 与B 相似，B 与C 相似，则 A 与C 相似．

（4）若 A 与 B 相似，则 ( )f A 与 ( )f B 相似

（5）相似的矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线

元素的和）.

【例 5】设 A，B 相似矩阵，下列结论

（1）2 2A B与相似；

（2）当 A 可逆时， AB BA与相似；

（3）T TA B与相似；

（4）当 A 可逆时，1 1A B 与相似；

（5）* *A B与相似。

错误的个数是

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

5.3 矩阵的相似对角化

1.矩阵可相似对角化的概念

如果 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则可称 A 可以相似对角化，记成 A~，是 A

的相似标准型。或者寻求一个相似变换矩阵 P，使得1P AP 为对角矩阵，称作把方阵 A

对角化．

注：若1P AP ，则对角线上的元素是 A 的全部特征值，P 的每一列是对应的特征向

量。


第 33 页

2.矩阵可相似对角化的充分必要条件（1）n 阶矩阵 A 与对角阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特

征向量．

推论：如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则 A 与对角阵相似．

（2）对于矩阵 A 的每一个in 重特征值

i ，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该

特征值的重根数in ，亦即 ( E A) n ni ir .

注：如果 A~，且0 是

in 重特征值，则0 应有

in 个线性无关的特征向量，即齐次方程组

0( ) 0E A x 的基础解系应含有0n r( E A) in 个向量，故可以通过秩

0r( E A) 来

判断 A 是否能对角化。

3.矩阵 A 与对角矩阵相似的充分条件

（1）A 有 n 个不同的特征值。

（2）A 是实对称矩阵。

【例 6】（2010）设 A 为 4 阶实对称矩阵，2A A O ， ( ) 3r A ，则 A 相似于

（A）

1

1

1

0

（B）

1

1

1

0

（C）

1

1

1

0

（D）

1

1

1

0

5.4 实对称矩阵

1.实对称矩阵的定义

元素ija 都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵。

2.实对称矩阵的特征

（1）实对称矩阵必可相似对角化;

（2）特征值全是实数，特征向量都是实向量；

（3）不同特征值的特征向量相互正交；

（4）in 重特征值必有

in 个线性无关的特征向量，或者说秩 r( E A)i in n ；

3.用正交矩阵化 A 为相似标准形的步骤

用正交变换化 A 为相似标准形，基本步骤与“相似对角化 A 为对角矩阵的解题步骤”


第 34 页

相似，只是要保证 P 是正交矩阵，为此当求出特征向量之后应改造特征向量。

（1）当 A 的特征值互不相同时，仅需要把特征向量单位化就可构造矩阵 P。

（2）当特征值有重根i 时，要检查特征向量是否正交，否则必须对

i 的特征向量用 Schmidt

正交化法进行处理，这样才能构造出正交矩阵 P。

注：做题的时候切记要单位化，或者对重特征值要进行判断。

（3）仅当矩阵是实对称矩阵时才能用正交变换化为对角形，当 A 不是实对称矩阵时，特征

值不同的特征向量没有正交性，即使用 Schmidt 正交化后，1 1 2 2k k 亦不再是特征向量，

也就不能构造矩阵 P。

4.正交矩阵 Q 的求法

（1）解特征方程 | | 0E A ，得矩阵 A 的n个特征值1 2, , , n

（2）解齐次方程 ( - ) 0iE A x 得属于特征值i 的线性无关的特征向量。

（3）对不同特征值的特征向量分别 Schmidt 正交化，得正交矩阵1 2( , , , )nQ

【例 7】（2011）A 是 3 阶实对称矩阵，

1 1 1 1

( ) 2, 0 0 0 0

1 1 1 1

r A A

（1）求 A 的特征值与特征向量；

（2）求矩阵 A.


第 35 页

第六章二次型

6.1 二次型及其标准形

1. 二次型及其矩阵表示

（1）二次型的定义：

含有 n 个变量 nx x x1 2

，，，的二次齐次多项式函数（即每项都是二次的多项式）

1 2

1 1

( , , ) , n n

n ij i j ij ji

i j

f x x x a x x a a

称为 n 元二次型。

（2）二次型的矩阵表示

令 1 2, , ,T

nx x xx ,A= )( ija ,则二次型可用矩阵乘法表示为

1 2( , , ) xT

nf x x x Ax

其中 A 是 n 阶实对称矩阵（ AAT ）,称 A 为二次型1 2( , , )nf x x x 的矩阵，矩阵 A 的

秩 r(A)称为二次型 f 的秩，记作 r(f).

注：二次型矩阵是实对称矩阵，且二次型的矩阵是唯一的。

【例 1 】（ 2004 ）二次型 2

13

2

32

2

21321 )()()(),,( xxxxxxxxxf 的秩

为 .

2.二次型的标准形（1）二次型标准形的定义

如果二次型矩阵中只含有变量的平方项，所有混合项 )( jixx ji 的系数全是零，即

2 2 2

1 2 1 1 2 2( , , ) xT

n n nf x x x Ax d x d x d x ，其中 ),,2,1( nidi 为实数，则称这

样的二次型为标准形。

（2）二次型的标准形与矩阵特征值的关系

任意的 n 元二次型T Ax x都可以通过坐标变换 xCy（注意 C 是可逆矩阵）化成标准形，

即

2 2 2

1 1 2 2

x CyT T

n nx Ax y y d y d y d y

其中 ACCT 。特别的，存在正交变换 x=Cy 化T Ax x为标准形，即

2 2 2

1 1 2 2

T

n nA y y y x x ， 1TC AC C AC ，

这里n ,,, 21 是二次型矩阵的 n 个特征值。

注：二次型 fT Ax x在线性变换 xCy 下有

TT T Tf x Ax Cy A Cy y C AC y

3.化二次型为标准形的方法

（1）用配方法化二次型为标准形

用配方法化二次型为标准形的步骤为：


第 36 页

第一步：如二次型中至少有一个平方项，不妨设 011 a ，则对所有含有 1x 的项配方，

配方后各余项不再含有 1x ，继续配方，直到每一项都包含在各完全平方项中，引入新变量

nyyy ,, 21，由 xCy 1 ，得到 2 2 2

1 1 2 2

T

n nA d y d y d y x x 。

第二步：如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设 012 a ，则可令

nn yxyxyyxyyx ,,, 33212211 经过此坐标变换，二次型中出现 2

212

2

112 yaya

后，再按第一步进行配方。

注：正交变换法化二次型为标准形时，标准形中平方项系数必须是矩阵 A 的 n 个特征值，

而配方法没有这个属性。

【例 2】用配方法将二次型2

1 2 3 1 1 2 3( , , ) 2 4 ( )f x x x x x x x 2 2 2

2 3 2 2 3 3( ) 2 8 5x x x x x x

化为标准形，并写出所用的可逆线性变换.

【详解】先将含有 1x 的项配方，

2 2

1 2 3 1 1 2 3 2 3

2 2 2

2 3 2 2 3 3

2 2 2

1 2 3 2 2 3 3

( , , ) 2 2 ( ) ( )

( ) 2 8 5

2( ) 6 4

f x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

再将含有 2x 的项配方，

2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 2 2 3 3 3

2 2 2

1 2 3 2 3 3

( , , ) 2( ) 6 9 5

2( ) ( 3 ) 5

f x x x x x x x x x x x

x x x x x x

令

1 1 2 3

2 2 3

3 3

3

y x x x

y x x

y x

解得

1 1 2 3

2 2 3

3 3

2

3

x y y y

x y y

x y

由于

1 1 2

0 2 3 2 0

0 0 1

C

经过可逆线性变换 x Cy ，二次型化为


第 37 页

标准形2 2 2

1 2 32 5f y y y .

（2）用正交变化法化二次型为标准形

用正交变化法化二次型为标准形的步骤为：

第一步：把二次型表示为矩阵形式T Ax x；

第二步：求 A 的特征值及其相应的特征向量，（当 21 时，检验所求的 1 2x ,x 是否

正交）；

第三步：若特征根有重根，对重根所求的特征向量进行检验，若不正交，则需要利用

Schmidt 正交化；

第四步：把特征向量单位化n ,,, 21 ；

第五步：构造正交矩阵 C= n ,,, 21

第六步：令 x=Cy，得 2 2 2

1 1 2 2

T

n nA y y y x x

【例 3】（2003）设二次型 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 3( , , ) 2 2 2 ( 0)Tf x x x x Ax ax x x bx x b 二次型的

矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12.

（1）求 a,b 的值；

（2）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出正交矩阵 Q.

1 2 3

1 2 3

2, 3.

(2,0,1) , (0,1,0) , (1,0, 2)T T T

6.2 二次型的惯性定理及规范形

1.二次型的惯性定理

（1）二次型的正负惯性指数

在标准形中，正平方项的个数 p 称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数 q 称为二

次型的负惯性指数， r f r A p q （）（）。

（2）惯性定理

对于一个二次型，不论选取怎样的坐标变换使它化为仅含平方项的标准形，其正、负惯

性指数与所选取的坐标变换无关。

注：二次型的标准形不是唯一的，它与所选的坐标变换有关，惯性定理告诉我们二次型的正

负惯性指数是唯一不变的，它反映了二次型的本质特征。

2. 二次型的规范性

若二次型T Ax x经过坐标变换 xCy 化成标准形

2 2 2 2

1 1 1 1p p p p

T

p p q qd y d y d y d yA x x

其中 0,(i 1,2, ,p q)id ，如果再作坐标变换：


第 38 页

1 1

1

2 2

2

1 1

1

1

1p q p q

p q

p q p q

n n

y zd

y zd

y zd

y z

y z

二次型化为2 2 2 2

1 1

T

p p p qz z z zA x x 称为二次型的规范形。

注：只要知道了二次型的正负惯性指数，也就知道了二次型的规范形，二次型的标准形不是

唯一的，但二次型的规范形唯一。

6.3 合同矩阵

1.合同矩阵的概念和性质（1）合同的定义

设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C，使TB C AC ，则称矩阵 A 与 B 合同．记作

A B 。

注：任一实对称矩阵必合同于一对角矩阵。

（2）合同矩阵的性质

若 A 为对称阵，则TB C AC 也为对称阵，且 ( ) ( )r B r A ．

事实上， T

T T T T TB C AC C A C C AC B 即 B 为对称阵．又因为TB C AC ，而 C

可逆，从而TC 也可逆，由矩阵秩的性质即知 ( ) ( )r B r A .

由此可知，经可逆（满秩）变换 xCy后，二次型 f的矩阵由A变为与A合同的矩阵TC AC ，

且二次型的秩不变．

2.两矩阵合同的条件

（1）两矩阵合同的充分必要条件：

实对称矩阵 A 合同 B 的充要条件是：二次型T Ax x与

T Bx x 有相同的正、负惯性指数。

（2）两矩阵合同的充分条件：

实对称矩阵 A 合同 B 的充分条件是：A~B

因为若 A~B，则 A，B 具有相同的特征值，从而二次型矩阵T Ax x、

T Bx x 具有相同的

标准形，即有相同的正负惯性指数，从而 A 与 B 合同。

（3）两矩阵合同的必要条件：

A 与 B 合同的必要条件是 r(A)=r(B)


第 39 页

【例 4】（2001）设矩阵

1 1 1 1 4 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0,

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0

A B

则 A 与 B

（A）合同，且相似

（B）合同，但不相似

（C）不合同，但相似

（D）既不合同，也不相似

6.4 正定二次型与正定矩阵

1.正定二次型与正定矩阵的概念

对二次型T Ax x，对任何的 0x ，恒有

T Ax x > 0 ，则称二次型T Ax x 是正定二次型。正

定二次型的矩阵 A 称为正定矩阵。

2. 二次型正定的条件

（1）二次型正定的充要条件

（i）n 元实二次型 ( ) Tf x A x x正定的充要条件是它的标准形的 n 个系数全为正，即

它的正惯性指数 p n 。

（ii）n 元实二次型 ( ) Tf x A x x正定的充要条件是二次型的矩阵 A 的 n 个特征值全为

正数．

（iii）对称阵 A 为正定的充分必要条件是 A 的各阶顺序主子式都为正，即

011a ， 02221

1211 aaaa

，， 0

1

111

nnn

n

aa

aa

（iv）A 与 E 合同，即存在可逆矩阵 C 使TC AC E .

（v）存在可逆矩阵 C，使得TA C C

（2）二次型正定的必要条件：

0( 1,2, , ); 0iia i n A

3. 判定二次型矩阵是否正定的方法

（1）定义， 0 0n Tx R A , x x 正定；

（2）用非退化线性变换化二次型为标准形，当正惯性指数 p n 时正定；

（3）令 0E A ，求 A 的全部特征根，当它全大于 0 时正定；

（4）计算 A 的各阶顺序主子式，当它们全大于 0 时正定。


第 40 页

【例 5】若二次型 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 ( , , ) 4 6 2 f x x x a x x a x x x x x 正定，则 a

的取值范围是 .

【例 6】证明：（1）若 A 是正定矩阵，则 1 *( 0) k TkA k A A A A ，，，，正定；

（2）若 A，B 均为正定矩阵，则 A B .

【例 7】设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：存在 n 阶正定矩阵 B，使得 2A B .

Documents

线性代数讲义 - cdn1.kybimg.comcdn1.kybimg.com/ohr/2016/03/17/113916_56ea26e439dc7.pdf · 总和称为这个排列的逆序数，记做 W( , , , )i i i 12 " n 。 （3）奇排列与偶排列

线性代数讲义 - cdn1.kybimg.comcdn1.kybimg.com/ohr/2016/03/17/113916_56ea26e439dc7.pdf · 总和称为这个排列的逆序数，记做 W( , , , )i i i 12 " n 。（3）奇排列与偶排列