1

3.4 多重集的排列

设 S 是一个集合，它含有 Ri 个 xi ， i,j ＝ 1, 2,

…, m. 且对于不同的 i ， j 有 xi≠ xj, 则称 S 是

一个多重集，记为： S={xi ,xi , xi , xi , … , xj , xj , x

j , ……}

={k1·x1 , k2·x2 , k3·x3… , km·xm}

例如 S= {2·a , 1·b , 3·c}

2

当多重集 S 中的某个元素的个数为 1 时 , 则其

重复数可以省略。即

S= {2·a , 1·b , 3·c} = {2·a , b , 3·c}

如果 S 是一个多重集，那么 S 的一个 r- 排列是

S 中 r 个元素的有序排放。如果 S 的元素总个数是

n( 包括重复元素 ) ，那么 S 的 n- 排列也称为 S 的

排列。对于 S= {2·a , 1·b , 3·c}

3

于是 a c b c c b c c

均是 S 的 4- 排列，而 a b c c c a

是 S 的一个 6- 排列（因为 n = r ＝ 6 ）。

注意 b b, a b c c c a c 均不是 S 的排列 , S

中没有 2b 个和 4 个 c 。

同样， S 中没有 7- 排列，因为 S 中所能选

出的最多元素只能是 6 个。

4

定理 3.4.1 令 S 是一个多重集，它有 k 个不同类

型的元素，每个元素在 S 中均有重复数并且是

无限的。那么， S 的 r- 排列的个数为 kr 。

证明 : 在 S 的一个 r- 排列中，每一种元素均有 r 个位

置的 k 种选择，因此不同 r- 排序的个数为 kr 。

例如 用数码 {0,1,2,…8,9} 排 8 位的电话号码的个数

是 10×10×…… ×10 =108

10种

10种

. . . . . 10种

5

例如 最多 4 位数字的二进制的个数是 24=16

即：从多重集 {·0, ·1} 中或者是从多重

集 {4·0, 4·1} 中选择 4- 排列的个数，由于只

是 4 位数字，我们仅仅需要多重集 {4·0, 4·1}

就够选择了； 2×2×2 ×2 = 24

最多 4 位数字的三进制的个数是 34=81 ；即：

在 {4·0, 4·1, 4·2} 选择 4- 排列的个数：3 种 3 种 3 种 3 种

6

定理 3.4.2 设 S 是一个多重集 ，有个 k 不同类型的

元素，各个元素的重复数分别是 :n1,n2,….nk 。

设 S 的大小 S= n = n1+n2+….+nk 。则 S 的所有

排列数 (n- 排列 ) 等于：

证明：我们注意到 S 的每个排列包含了 S 中的每

一个元素 , 并且每个元素在排列中的出现次数必

须等于它在 S 中的重复数。给 n 个元素的每一个

指定位置来构造 S 的排列。

!!.....!

!

21 knnn

n

7

我们为第 1 类的 n1 个指定位置有 C(n,n1) 种方

法。

指定之后，我们可以为第 2 类的 n2 个项指定

位置，有 C(n-n1,n2) 种方法，等等。 根据乘法

原理，排列元素的方法数为：

k

k

n

nnnn

n

nnn

n

nn

n

n 121

3

21

2

1

1

..........

....)!nnn(n!n

)!nn(n.)!nn(n!n

)!n(n.)!n(n!n

n!

3213

21

212

1

11

8

化简后得：

看的出重复排列的个数少于不重复元素的排列个数，这是因为重复排列中有相同的元素，相同元素之间交换位置，并不会产生新的排列，而在不同元素之间交换位置，肯定能构成新的排列。从排列数的多少上可以看出区别，同一

类的相同元素自己的全排列数 ni 要除掉。

!0!!.....!

!

21 knnn

n

9

例 用下列字母可以组成多少个字符串？

M I S S I S S I P P I

因为字母允许重复，答案就不再是 11 ！，而是小于 11 ！的某个数 , 其中相同元素交换位置后的排列没有变化。

我们来考虑用字母来填充 11 个空的问题。

— — — — — — — — — — — 。

对 2 个字母 P 有 C(11,2) 种方法来选择位置。一旦 P

的位置选定 , 有 C(9,4) 种方法来为 4 个 S 选择位置。

10

一旦 S 的位置选定，有 C(5,4) 种方法选择位置来填

四个 I 。一旦这些位置选好，剩下一个位置来填 M 。根据乘法原理，排列字母的方法数为：

种34650!1!4

!5

!5!4

!9

!9!2

!11

)!45(!4

!5

)!49(!4

!9

)!211(!2

!11

1

1

4

5

4

9

2

11

1

44211

4

4211

4

211

2

11

11

例 在 3 个学生中分 8 本不同的书 , 如果张三得到 4 本

书 , 而李四和王五每人 2 本书 , 有多少种分法 ?

将书以一定的顺序摆放，现在考虑 4 个 B ， 2

个 S 和 2 个 M 的序列。一个例子为

BBBSMBMS

每一种这样的序列决定了书的一种分配方法。如上例中的排序，张三得到第 1 ， 2 ， 3 和 6 本书 ,

李四得到了第 4 ， 8 本书，王五得到了第 5

12

和第 7 本书。于是排列 BBBBSSMM 的方法数等

于分配书的方法数。

根据定理，此数为 。

如果多重集 S ={n1·a1, n2·a2} ， n1+n2=n 只有两

类型的元素 a1 和 a2 ，它们对应的重复数分别是 n

1 和 n2 ，那么按照定理 3.4.2, 集合 S 的排列数为 :

11121 )!(!

!

!!

!

n

n

nnn

n

nn

n

420!2!2!4

!8

13

因此，可以把 C( n, n1) 看作是 n 个元素集合

的 n1 - 组合数，也可以看成是具有两种类型

的元素并且它们的重复数分别是 n1 和 n- n1 的

多重集的排列的个数，此时排列与组合类似。

例求 8×8 棋盘上的 8 个非攻击型车的不同放法数解：所谓两个车可以互相攻击，当且仅当二车位于棋盘的同一行或同一列上。因此，非攻击型车是指这些车占据着棋盘上的一些方格，

14

但任意两个车都没有位于同一行或同一列上。

如图所示 (a) 中的任意两个车均为非攻击型， (b) 、 (c) 中的两个车都属攻击型，因为(b) 中的车位于同行， (c) 中的车位于同列， (a)

中的车既非同行， 又非同列。³µ

³µ

³µ

³µ ³µ ³µ

³µ

(a ) (b ) (c )

15

若给 8×8 棋盘的每个方格指定一对坐标 (i, j) ，其

中 i 指明方格所在的行号， j 指明方格所在的列号。由于棋盘有 8 行，要使 8 个车在棋盘上互不攻击，每行 ( 或列 ) 上有且只能有一个车。从而， 8 个车在棋盘上所占方格的坐标为序偶： (1, j1), (2, j2), …, (8, j8)

又因在每列均恰有一个车，这使得坐标中的j1, j2, …, j8 中任意两个都不相等。换言之，

16

j1, j2, …, j8 必须是 {1,2,…, 8} 的一个不重复的排列。

反过来，对 {1, 2, …, 8} 的每个排列对应着一组 j1,

j2, …, j8 , 把 8 个车按行排有 8 ！个排列。再按列排

又有 8 ！个排列。分放在坐标为 (1, j1), (2, j2), …, (8,

j8) 的 8 个方格上就得到棋盘上 8 个非攻击型车。

事实上， 8×8 棋盘上的 8 个非攻击型车的放置方式与 {1, 2, …, 8} 的排列之间形成一双射函数 , 这里认为 8 个车是相同的。唯一的关键是确定哪些方格可被 8 个车占据。

17

若进一步将 8 个车设为是互不相同的 (比如 , 有 8

种不同颜色的车 ), 则在确定了 8! 种行方案后 ,

对每一种方案还要确定究竟是哪种颜色的车在哪方格中。观察第一行到第八行 , 可以看到 8

种颜色的一个排列。注意到对 8! 种位置排列的任一种颜色的排列都有 8! 个 , 由乘法原理 , 在8×8 棋盘上具有 8种不同颜色的 8个非攻击型车的放置方案数为 : 8!·8!=(8!)2

18

现再设有 1 个红 (R) 车 , 3 个蓝 (B) 车， 4 个黄 (Y) 车，

并设同色车无区别。这时对某一放置 , 当从第 1 行到第 8 行观察这些车时， 可视为多重集 {1·R, 3·B, 4·

Y} 的一个 8- 排列。由定理 3.4.2 ，这个多重集的 8 排列数为 8! / (1!3!4!) 。 因此， 在 8×8 棋盘上放置 1 个红车， 3 个蓝车， 4 个黄车并使它们互不攻击 ( 包括同色车 ) 的放置方案数为 :

!4!3!1

!8

!4!3!1

!8!8

2

19

定理 3.4.3 　有 n 个车共有 k 种颜色，第 i 种颜色的

车有 ni 个， i ＝ 1,2,… ， k 。现将这 n 个车放

在 n×n 的棋盘上，使得没有车能够互相攻击的摆放方法数等于 :

并且若这 n 个车均有不同的颜色 , 则方法数为 (n!)2

若这 n 个车均属相同的颜色，则方法数为 n ！。

!!!

!

!!!

!!

21

2

21 mm nnn

n

nnn

nn

20

例 设 S={3·a, 2·b, 4·c} ，求 S 的 8 排列的个数。

解： S 的 8 排列可分为以下三类：

（ 1 ） {2·a, 2·b, 4·c} 的 8 排列，数目为

420!4!2!2

!8

（ 2 ） {3·a, 1·b, 4·c} 的 8 排列，数目为

280!4!1!3

!8

21

（ 3 ） {3·a, 2·b, 3·c} 的 8 排列， 数目为

560!3!2!3

!8

因此， S 的全部 8 排列的个数为

420+280+560=1260

本题中重复次数 3,2,4 限制了排列的数量，如果重复数多的话，全部 8 排列的个数会很多。

22！！

17

22!21

例 求 26 个英文字母的排列中，任意两个元音字

母都不相邻的方案数。

解 : 21 个辅音字母的排列计有 21! 个，对其中

的任一排列 , (5 个 ) 元音添入的位置有 22 个，

故共有 P(22,5) = 种方式，由乘法原理， 2

6 个英文字母的排列中，使得元音字母任意两

个都不相邻的方案数为 :

！！

17

22

23

3.5 多重集的组合

下面我们考虑允许重复的无序选择的计算问题。

如果 S 是一个多重集，那么 S 的 r- 组合是 S

中 r 个元素的一个无序选择。因此， S 的一个 r-

组合本身就是一个多重集—— S 的一个子多重集。

如果 S 有 n 个元素，那么 S 只有一个 n - 组合，既 S 自己。

如果 S 有 k 种不同类型的元素，那么 S 就有k 个 1- 组合。

24

例：如果 S={2·a, 1·b, 3·c}, 那么的 3- 组合有：

用穷举法 {2·a, 1·b}, {2·a, 1·c}, {1·a, 1·b, 1·c},

{1·a, 2·c}, {1·b, 2·c}, {3·c} ； 在容斥原理章节中我们还要专门讨论。

无限重复数多重集的 r- 组合数，

例：考虑三种书：计算机，物理，历史。假设图书馆中至少每种书有 6 本。我们选择六本书有多少种方法？假设每种书的数量是无限的。

25

问题是从集合 {计算机书，物理书，历史书 } 中无

序选择的选择 6 本书，并且允许重复。一种选择方法是：由每一类书的已选数量唯一确定一种。

例如，我们列出一种：

计算机书 物理书 历史书

* * * * * *

计算机书 ×3 ，物理书 ×2 ，历史书 ×1

26

也可以是：

计算机书 ×0 ，物理书 ×4 ，历史书 ×2

计算机书 物理书 历史书

* * * * * *

六个“ *” 和两个“ ”的每种排序表示了一种选择。

于是我们的问题就变化成了：从 8 个可能的位置中为“”选择两个的方法数 C(8, 2) = 28 . 或者从 8

个可能的位置中为“ * ” 选择六个的方法数

27

C( 8,6 ) = C( 8,2 ) = 28 本题中用的方法可以

用来得到一个通用的结果。

定理 3.5.1 设 S 为具有 k 种类型元素的一个多重集，每种元素均有无限的重复数。则 S 的 r- 组合的个数等于 ：

证明： 令 S={·a1, ·a2 … ·ak}, 考虑由 r 个“ *”

和 k-1 个“ ”构成的 r+k-1 个位置和 r+k -1 符号。

1-

1-1-

k

kr

r

kr

28

把这些符号放到那些位置中的每一种方法决定

了一个选择方式。从“ *” 到第一个“”的数

目代表选择了 m1 个 a1 。在第一个“”和第二个

“”之间的数目m2代表了选择了 m2 个 a2 ，等

等。

因为选择“”的位置有 :

种方法，因此有 : 种选择方式，

1-

1-

k

kr

1-

1-

k

kr

29

它也等于选择“ *” 的位置的方法数 :

因此，从 S 中允许重复的选择 r 元素无序 r- 组合数为 :

证毕

r

1-kr

1-

1-1-

k

kr

r

kr

30

例 假设有红，兰，绿三堆球，每一堆至少包含

8 个球。

(a) 选择 8 个球有多少种方法？

(b) 如果每一种颜色至少有一个球，那么选择 8 个球有多少种方法？

解： (a) 根据上定理，选择 8 个球的方法数为

452

10

1-3

1-38

31

(b) 如果我们首先为每一种颜色选择一个球，余

下的 5 个球则也可以用上定理来解决问题。要完成选择我们必须另选择五个球。因此就有 ：

种方法。

例：一家面包房生产 8 种面包。如果盒装面包内有一打 (12 个 )面包，那么您能够买到多少种不同的盒装面包？

212

7

1-3

1-35

32

解：由题意面包房里生产的面包很多（每个品

种都在 12 个以上），假设盒里的面包摆

放顺序与买卖它无关，这是一个组合问题。不

同盒装的数量等于每种元素都可以提供无限多

个数的 8 种类型元素的多重集的 12- 组合数。

由定理，这个数等于：

12

19

12

1-812

33

例：由 1,2,3,4,…..k 中重复取出 r 个数组成非减序

列的个数是多少？

解：我们可以把被取数的集合看成多重集：

S={·1, ·2, ·3, ….. ·k}

所取每组 r 个数够成的序列就是从 S 中取一个r- 组合，由于规定了非减排序，其组合数为：

( 如果不要求递增排序，结果

会不一样，需用重复排列来求）

r

r 1-k

34

定理：多重集 S={·a1,·a2, …·ak}, 则 S 中不同

元素至少出现一次的 r- 组合数为 :

证明 : “ 每个元素至少出现一次”，则每个组合

中已经固定了 k 个元素 a1, a2, …ak 。 这时再从

余下 k 类元素中选择 r-k 个来组合的 (r-k)- 组合数应是：

1

1

k

r

r

r

k

r

k

kkr 1

1

1

1

1)(

前面选择三种球的例题已经用了这个结论。

35

对多重集 S={·a1,·a2, …·ak} 而言，它的

任意一个 r- 组合均呈 {x1·a1,x2·a2, …xk·ak}

的形式，其中 x1,x2, …xk皆为非负整数，并且 x1+x2+ …+xk = r. 反之 ,满足方程 x1+x2+ …+xk = r

的每个非负整数解 x1,x2, …xk 对应 S 的一个 r- 组

合 故：方程 x1+x2+ …+xk = r 的解的个数就是 S

的 r- 组合数。我们同样可以利用对多重集 S 的 r-

组合数的求法来求多元方程的非负整数解的个数。

36

我们用“ *”表示 r- 组合里的元素，用“”表

示间

隔 r- 组合里各类型元素的分隔符，那么就

可以构造新的多重集 T={r·* , (k-1)·}, 它只有两

种元素，它的排列数就等于 S 的 r- 组合数。由

P41 关于两类型元素的排列数的求法得：

r

kr

kr

kr 1

)!1(!

)!1(

37

例：令 S 是由四种元素 a,b,c,d 构成的多重集：

S={ ·a,·b, ·c, ·d } 。 S 的使得 4 种元素每种都至少出现一次的 10- 组合的数目是多少？

解：本题中 r = 10, k = 4 , 由定理直接得：

例：继续考虑面包装盒问题，如果要求每盒中各种面包至少有一个，这种盒装面包应该有多少种？解：题中 r = 12, k = 8, 有题意套用公式得：

843

9

14

110

1

1

k

r

38

例：方程 x1+x2+x3+x4 = 20 , 其中 x1≥3, x2≥1, x3≥

0, x4≥5 。求该方程的整数解？

解：根据定理的要求 xi≥0, 我们 引入新的变量：

y1= x1 –3, y2= x2–1, y3= x3 –0, y4= x4–5 这样保证了

yi≥0, 方程变为 :y1+ y2+ y3+ y4= 11 整数解的个数为 : ：

3307

11

18

112

1

1

k

r

36411

14

11

14111

r

kr

39

总 结

本次课我们介绍了多重集的 r- 排列和 r- 组

合的原理，以及排列数和组合数的求法等知识。

多重集的 r- 排列和 r- 组合是在基本排列和

组合知识上的推广，也可以称为广义的排列组

合。

40

本次授课到此结束

作业如下 :P47 16 ， 19, 26, 28, 34

16. 6 个没有区别的车放在 6×6 棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？如果是 2 个红车 4 个蓝车，那么放置方法又是多少？

41

19. 确定 {0,1,2,...,9} 的循环排列的个数，其中0 和 9 不在对面。（提示：计算 0 和 9 在对面的循环排列的个数）

26. 确定多重集 S={3·a, 4·b, 5·c}

的 10- 排列的个数

28. 列出多重集 S={2·a, 1·b, 3·c}

的所有 3- 组合和 4- 组合。

42

34. 在三个孩子之间分发 12 个完全相同的苹

果和 1 个橘子，使每个孩子至少得到一个水

果，有多少种分发方法？

下次上课内容： 4.1 生成排列

4.2 排列中的逆序