差分法の基礎

三好 隆博

広島大学大学院理学研究科

2018年8月20日（月）-24日（金） 千葉大学総合校舎1号館4階情報演習室2宇宙磁気流体・プラズマシミュレーションサマーセミナー

内容

はじめに

差分法

移流方程式の差分法

高次精度風上差分法

はじめに

はじめに

微分方程式

未知関数とその導関数を含む方程式

自然現象などを記述する基礎方程式

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ,0

,2

,

,,,,,,22

=⋅∇

+−∇=∇⋅+∂∂

+−=∂∂

=

+=+==

u

uuuu ∆ν∆

ερφ∆

σµ

ptΨrVΨ

mtΨi

dtdBtXtX

dtdX

dtdIILIIRtVtrF

dtrdm

はじめに

物理によくでる偏微分方程式

0222

2

2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ F

yfE

xfD

yfC

yxfB

xfA

ρ=∂∂

+∂∂

−双曲型：

（波動方程式）

はじめに

双曲型方程式

線形移流方程式

非粘性Burgers方程式Maxwell方程式Euler方程式理想MHD方程式

微分方程式を計算機で解きたい！

はじめに

微分方程式の世界

無限と連続の世界計算機の世界

有限の0と1の世界連続場の離散化

空間 ： x0, x1, ‥ 時間 ： t0, t1, ‥実数値 ： 0.1, 0.2, ‥

( )ctxf −0

x

( )ni ctxf −0

xix

$ ./a.out0.1000000014901160.100000000000000

program mainimplicit nonereal(8) :: aa = 0.1 ; write(*,*) aa = 0.1d0; write(*,*) a

end program main

はじめに

座標および変数の離散表記法

( )ji,

( )1, +ji

( )1, −ji

( )ji ,1+( )ji ,1−

( )jijiji yxuuyx ,,, , =

x∆

y∆

y

xi 1+i 2+i1−i2−i

j

1+j

2+j

1−j

2−j

はじめに

時間・空間座標および変数の離散表記法

( )ni,

( )1, +ni

( )1, −ni

( )ni ,1+( )ni ,1−

( )ninini txuutx ,,, =

x∆

t∆

t

xi 1+i 2+i2−i

n

1+n

2+n

1−n

2−n

1−i

差分法

微分法

差分法

差分法

( ) ( )x

xfxxfxf

x ∆∆

∆

−+=

∂∂

→0lim

( ) ( )

xff

xxfxxf

xf

ii

ii

i

∆

∆∆

−=

−+=

∂∂

+1

( )xfy =

ix 1+ix1−ix

x∆ x∆

1+if1−if

xxx ii ∆+≡+1

if

ただし、

x

前進差分 という 以上

y

差分法

前進差分の誤差

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

−+

∂∂

+∂

∂+=

−+=

∂∂

iii

i

ii

i

xfx

xfxxxfxxf

x

xxfxxf

xf

2

22

!21 ∆∆∆

∆∆

( ) ( )xOxxf

xf i

i

∆=∂

∂−

∂∂

⇒

( ) ( ) ( )222

!2xO

xxfx

xxf ii ∆∆ +

∂∂

+∂

∂=

誤差がΔxの1次に比例

Taylor展開

差分法

中心差分( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+∂

∂−

∂∂

+∂

∂−=

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂+=

−

+

3

33

2

22

1

3

33

2

22

1

!3!2

!3!2

xxfx

xxfx

xxfxff

xxfx

xxfx

xxfxff

iiiii

iiiii

∆∆∆

∆∆∆

xff

xf ii

i ∆211 −+ −=

∂∂

⇒

( ) ( ) ( )4332

11

!32xO

xxfx

xff

xxf iiii ∆∆

∆+

∂∂

−−

=∂

∂⇒ −+

誤差がΔxの2次に比例

ix 1+ix1−ix

1+if1−if

差分法

1階差分法のまとめ

（1次後退差分）

（1次前進差分）

（2次中心差分）

（2次後退差分）

（4次中心差分）

xff

xf ii

i ∆1−−=

∂∂

xff

xf ii

i ∆−

=

∂∂ +1

xff

xf ii

i ∆211 −+ −=

∂∂

xffff

xf iiii

i ∆1288 2112 −−++ +−+−=

∂∂

xfff

xf iii

i ∆243 21 −− +−=

∂∂

差分法

二階中心差分( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+∂

∂−

∂∂

+∂

∂−=

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂+=

−

+

3

33

2

22

1

3

33

2

22

1

!3!2

!3!2

xxfx

xxfx

xxfxff

xxfx

xxfx

xxfxff

iiiii

iiiii

∆∆∆

∆∆∆

211

2

2 2x

fffx

f iiii ∆

−+ +−=

∂∂

⇒

( ) ( )42 1122 2 xO

xfff

xxf iiii ∆

∆+

+−=

∂∂

⇒ −+

誤差がΔxの2次に比例

ix 1+ix1−ix

xff

xf ii

i ∆−

=

∂∂ +

+

1

2/1

xff

xf ii

i ∆1

2/1

−

−

−=

∂∂

差分法

誤差の比較

( ) ( )( ) ( )( ) x

x

exxxfexxf

311 2

++=′

+=

log 1

0 |f’

(0)－

f’0|

log10 Δx

移流方程式の差分法

移流方程式の差分法

線形移流方程式

0.const,0 >==∂∂

+∂∂ a

xua

tu

ここで、 とすると、dtdxa ≡

xdtdx

tdtd

dtdu

xu

dtdx

tu

∂∂

+∂∂

≡==∂∂

+∂∂ ,0

に沿って 0=duadtdx

=⇒

移流方程式の差分法

線形移流方程式

x

t adtdx

= ：特性曲線 a

x

u

( ) ( )0,, atxutxu −=

移流方程式の差分法

FTCS（Forward-Time Centered-Space）法時間微分： 前進差分

空間微分： 中心差分

( )5.0=ν

振幅が単調に増大！

( )nininini

ni

ni

ni

ni

uuuu

xuua

tuu

111

111

2

02

−++

−++

−−=⇒

=−

+−

ν∆∆

xta ∆∆≡ν ： Courant数

移流方程式の差分法

von Neumannの安定性解析厳密解の時間発展

( ) xee ixi ∆≡== ∆ κθθκ ,IIixn

i euκI= :I

πθ =

:κ虚数単位 波数

ix

2πθ =

ix

移流方程式の差分法

von Neumannの安定性解析厳密解の時間発展

θνϕ

θνϕ

−==∴

=≡⇒ −

exactexactg

eegg

,1

II

( ) ( )νθκ −∆− == itax ee i II:g 増幅率ini

ni geguu

θI=≡+1

( ) xee ixi ∆≡== ∆ κθθκ ,IIixn

i euκI= :I :κ虚数単位 波数

移流方程式の差分法

von Neumannの安定性解析FTCS法

無条件不安定

( )nininini uuuu 111 2 −++ −−=

ν

( )θνϕθνθν

sintan,1sin1

sin1122 −−=>+=∴

−=⇒

g

g I

( ) ( )( )( )θν

ν

θ

θθθθ

sin12

11

I

IIII

−=

−−= −+

i

iiii

e

eeege

I

移流方程式の差分法

Lax法（Lax-Friedrichs法）

02

2 11111

=∆−

+∆

+−

−+

−++

xuua

t

uuu ni

ni

ni

nin

i

( )ninini

nin

i uuuuu 1111

1

22 −+−++ −−

+=⇒

ν

移流方程式の差分法

Lax-Wendroff法

2次中心差分 → 2次後退差分： Warming-Beam法

( )32222

2tO

xuta

xutau

n

i

n

i

ni ∆+

∂∂∆

+

∂∂

∆−=

( ) ( )ninininininini uuuuuuu 112

111 2

22 −+−++ +−+−−=⇒

νν

2

22

2

2

,xua

tu

xua

tu

∂∂

=∂∂

∂∂

−=∂∂

( )3222

1

2tO

tut

tutuu

n

i

n

i

ni

ni ∆+

∂∂∆

+

∂∂

∆+=+

( )322 1122

11 ,222

txOx

uuutaxuutau

ni

ni

ni

ni

nin

i ∆∆+∆+−∆

+∆−

∆−= −+−+

移流方程式の差分法

風上差分法

0,011

>=∆−

+∆− −

+

axuua

tuu ni

ni

ni

ni

( ) ( )nininininini uuuuuu −−−−+−=⇒ +−+ 111 2||

2|| νννν

0,011

移流方程式の差分法

von Neumanの安定性解析 Lax法

Lax-Wendroff法

風上差分法

条件付き安定

( )θνϕθνθ tantan,sincos 1222 −−=+=g

( )( ) ( )

−−

−=+−−= −θν

θνϕθνθνcos11

sintan,sincos11 212222g

( )( ) ( )

−−

−=−−−= −θν

θνϕθννcos11

sintan,cos1121 1g

1

移流方程式の差分法

von Neumannの安定性解析増幅率

位相誤差

FTCS法 Lax法

θ

|| g

exactϕϕ

|| g

exactϕϕ

5.0=ν75.0=ν

0.1=ν5.0=ν75.0=ν

Lax-Wendroff法

|| g

exactϕϕ

0.1=ν75.0=ν

5.0=ν

風上差分法 || g

exactϕϕ

0.1=ν75.0=ν

5.0=ν

移流方程式の差分法

CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）条件

ix 1+ix1−ix

1+nt

nt

t

x

xta ∆1ν

移流方程式の差分法

数値実験（cos関数）

FTCS法 Lax法

Lax-Wendroff法 風上差分法

( )5.0=ν

移流方程式の差分法

FTCS法

Lax法

風上差分法

Lax-Wendroff法

( ) ( )ninininjninini uuuuuuu 11111 221

2 −+−++ +−+−−=

ν

( )nininini uuuu 111 2 −++ −−=

ν

( ) ( )ninininininini uuuuuuu 11111 222 −+−++ +−+−−=

νν

( ) ( )ninininininini uuuuuuu 112

111 2

22 −+−++ +−+−−=

νν

＞

時間1次・空間2次

時間1次・空間1次

時間1次・空間1次

時間2次・空間2次

＞

1

移流方程式の差分法

数値実験（階段関数） ( )5.0=ν

FTCS法 Lax法

Lax-Wendroff法 風上差分法

ちょっとまとめ

線形移流方程式に対する様々な差分法を導出した。

FTCS法 Lax法 Lax-Wendroff法風上差分法 など

各差分法にvon Neumannの安定性解析を行った。CFL条件による条件付き安定ただし、FTCS法は絶対不安定

数値実験の結果から・・・

ちょっとまとめ

Lax-Wendroff法 風上差分法

いいとこ取りしたい。

高次精度風上差分法

高次精度風上差分法

高次精度差分法へのいざない

（例）常微分方程式の誤差評価

log10 h

4h∝

2h∝

h∝

log 1

0 |y－

y n|

高次精度風上差分法

保存型差分法（有限体積法）

aufxf

tu

==∂∂

+∂∂ ,0

x

2/1−ix

x∆02/1

2/1

=

∂∂

+∂∂

∫+

−

i

i

x

xdx

xf

tu

( ) ( ) 02/12/12/1

2/1

=−+∂∂

−+∫+

−ii

x

xxfxfudx

ti

i

02/12/1 =−+∗−

∗+ ii

i fftux∆∆∆ ∗+ 2/1if ： 数値流束

iu 1+iu1−iu

2/1+ix2/3−ix 2/3+ix

∗+ 2/1if

∗+ 2/1if

高次精度風上差分法

FTCS法

Lax法

風上差分法

Lax-Wendroff法

( ) ( )ninininjninini uuuuuuu 11111 221

2 −+−++ +−+−−=

ν

( )nininini uuuu 111 2 −++ −−=

ν

( ) ( )ninininininini uuuuuuu 11111 22||

2 −+−++ +−+−−=

νν

( ) ( )ninininininini uuuuuuu 112

111 2

22 −+−++ +−+−−=

νν

高次精度風上差分法

保存型FTCS法

保存型Lax法

保存型風上差分法

保存型Lax-Wendroff法

( ) ( )niniiiinini uuafffxtuu +=−

∆∆

−= +∗+

∗−

∗+

+12/12/12/1

1

2,

( ) ( ) ( )ninininiiiinini uuauuafffxtuu −−+=−

∆∆

−= ++∗+

∗−

∗+

+112/12/12/1

1

22,

ν

( ) ( ) ( )ninininiiiinini uuauuafffxtuu −−+=−

∆∆

−= ++∗+

∗−

∗+

+112/12/12/1

1

2||

2,

( ) ( ) ( )ninininiiiinini uuauuafffxtuu −−+=−

∆∆

−= ++∗+

∗−

∗+

+112/12/12/1

1

22, ν

高次精度風上差分法

Godunovの定理 [1959]移流方程式 ut + aux = 0 に対する2次またはそれ以上の高次精度のどのような線形スキームも解の単調性を維持できない

線形スキーム

単調性を維持するためには全ての係数が非負

⇒ 単調スキーム＝「1次精度」の風上差分法

const.:1 kk

nkik

ni cucu ∑ ++ =

( )∑∑∑ +++++++++ −=−=−k

nki

nkik

k

nkik

k

nkik

ni

ni uucucucuu 11

111

高次精度風上差分法

風上差分法

単調性を維持する線形スキーム（単調スキーム）

Lax-Wendroff法空間３点、時間1点で最も高次な線形スキーム

非線形スキーム

風上差分法とLax-Wendroff法を非線形結合

ii auf =∗+ 2/1

( )( )

−−+= +

∗+

ni

ni

nii uuuaf 12/1 12

1 ν

( ) ( )

−−+= ++

∗+

ni

nii

nii uuuaf 12/12/1 12

1 Φν 2/1+iΦ ： 流束制限関数

高次精度風上差分法

全変動（Total Variation）

ut + ux = 0 の物理的な解の全変動は増加しない

離散系における全変動 [Harten, 1983]

TV n+1 ≤ TV n （TVD条件）を満足するスキームTVDスキーム

∫ ∂∂

≡ dxxuTV

∑ −≡ +i

ni

ni

n uuTV 1

高次精度風上差分法

( ) ( ) ni

ni

ni

ni

ii

iin

ini

ni

ni

uuuur

ruuuu

−−

≡−+

−−=

−−

+

−+−

−

+

1

12/12/1

1

1

,1211

211 ΦννΦνν

( )∗+∗++ −−= 2/12/11 iinini ffxtuu

∆∆

に代入

ni

ni

ni

ni

ni

nin

ini

ni

ni uuuuuu

uuuu

≥≥≤≤⇒≤−−

≤ +−+

−−

+1

11

11

1

or10

niu 1−

niu

1+niu

0>a

niu 1−

niu

1+niu

高次精度風上差分法

( ) ( ) 11211

2110 2/12/1 ≤−+

−−≤ +−

i

ii r

ΦννΦνν

νΦΦ

ν −≤−≤−⇒ +− 1

22 2/12/1

i

ii r

ここで十分条件について考えると、0≤ν≤1なので、

22 2/12/1 ≤−≤− +−i

ii r

ΦΦ

で、これは、以下が満たされれば自動的に満足

20,20 2/12/1 ≤≤≤≤ ++i

ii r

ΦΦ

高次精度風上差分法

20,20 2/12/1 ≤≤≤≤ ++ ri

iΦΦ

2

1

2/1+iΦ

r単調性を維持

1 Lax-Wendroff

00 2/1 =⇒< +ir Φ

Warming-Beam（風上版Lax-Wendroff）

高次精度風上差分法

20,20 2/12/1 ≤≤≤≤ ++ ri

iΦΦ

2

1

2/1+iΦ

r

1

00 2/1 =⇒< +ir Φ

minmod limiter

2次精度

superbee limiter

高次精度風上差分法

流束制限関数の例

( ) ( ) ( )( )2,min,1,2min,0max rrr =Φ

( ) ( )( )rr ,1min,0max=Φ

( ) ( )( )( )2,32,2min,0max rrr +=Φ

( )||1||

rrrr

++

=Φ

minmod limiter:

superbee limiter:

Koren limiter (3次精度):

van Leer limiter:

高次精度風上差分法

MUSCLMonotonic Upwstream-centered Schemes for

Conservation Laws [van Leer, 1979]制限関数付き高次変数補間を用いた有限体積法

高次精度風上差分法

1次精度風上差分法

2/1+ix2/1−ix 2/3+ix2/3−ix 2/5+ix

1+iuiu

2+iu1−iu

( ) ( )ninininii uuauuaf −−+= ++∗+ 112/1 2||

2

∗+ 2/1if

∗− 2/1if

∗+ 2/3if

u

x

高次精度風上差分法

2次精度風上差分法

u

x2/1+ix2/1−ix 2/3+ix2/3−ix 2/5+ix

Riu 2/1+

∗+ 2/1if

∗− 2/1if

∗+ 2/3if

( ) ( )LiRiRiLii uuauuaf 2/12/12/12/12/1 2||

2 ++++∗+ −−+=

Liu 2/1+

Riu 2/3+Liu 2/3+

Riu 2/1−

Liu 2/1−

高次精度風上差分法

MUSCL

u

x2/1+ix2/1−ix 2/3+ix2/3−ix 2/5+ix

∗+ 2/1if

∗− 2/1if

∗+ 2/3if

( ) ( )LiRiRiLii uuauuaf 2/12/12/12/12/1 2||

2 ++++∗+ −−+=

Riu 2/3+Liu 2/3+

Riu 2/1−

Liu 2/1−

Riu 2/1+Liu 2/1+

制限関数によってTVD条件を満足

12/12/11 ++−− ≤≤≤≤ iLii

Rii uuuuu

高次精度風上差分法

MUSCL

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32

2

21 xO

xxuxx

xxuxxxuxu iiiii ∆+∂

∂−+

∂∂

−+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

xOx

xuxxxxu

xxu i

ii ∆+

∂∂

−+∂

∂=

∂∂

ix のまわりでTaylor展開

( ) ( ) ( )222

2

2

xOx

xux

xu i ∆+∂

∂=

∂∂

高次精度風上差分法

MUSCL

( ) ( ) ( ) ( )4222

241 2/1

2/1

xOx

xuxxudxxux

u iix

xii

i

∆+∂

∂∆+=

∆= ∫

+

−

2/12/1 +−

高次精度風上差分法

MUSCL

( ) ( ) ( ) ( )3222

2

1221 xO

xuxxx

xuxxuxu

ii

iii ∆+

∂∂

∆−−+

∂∂

−+=

( ) ( )3222

2/12/1 122xO

xux

xuxuxuu

iiii

Li ∆+

∂∂∆

+

∂∂∆

+=≡ ++

( ) ( )3222

2/12/1 122xO

xux

xuxuxuu

iiii

Ri ∆+

∂∂∆

+

∂∂∆

−=≡ −−

高次精度風上差分法

MUSCL

iii

Li x

uxxuxuu

∂∂∆

+

∂∂∆

+=+ 222

2/1 42κ

31=κ ： 3次精度

( )2112

xOxuu

xu ii

i

∆+∆−

=

∂∂ −+

以下を用いると・・・

あとちょっと。

iii

Ri x

uxxuxuu

∂∂∆

+

∂∂∆

−=− 222

2/1 42κ

( )22 1122 2 xO

xuuu

xu iii

i

∆+∆

+−=

∂∂ −+

高次精度風上差分法

MUSCL

( ) ( )iiiiiLi uuuuuu −+

+−−

+= +−+ 112/1 41

41 κκ

( ) ( )112/1 41

41

−+− −+

−−−

−= iiiiiRi uuuuuu

κκ

1−=κ ： 2次の完全風上差分0=κ ： 2次の風上バイアス差分

31=κ ： 3次の風上バイアス差分0=κ ： 隣接セル値の代数平均

高次精度風上差分法

MUSCL

( ) ( )iiiiiLi uuuuuu −+

+−−

+= +−+ 112/1 41

41 κκ

( ) ( )112/1 41

41

−+− −+

−−−

−= iiiiiRi uuuuuu

κκ

( ) ( )112/11 41

43

−+++ −−

−−−

=−⇒ iiiiLii uuuuuu

κκ

( ) ( )iiiiiRi uuuuuu −−

−−−

=−⇒ +−−− 1112/1 41

43 κκ

高次精度風上差分法

MUSCL

( )( ) ( )( )iiiiiLi uuruuruu −+

+−−

+= +−+ 112/1 411

41 ΦκΦκ

( )( ) ( )( )112/1 141

41

−+− −+

−−−

−= iiiiiRi uuruuruu Φ

κΦκ

ii

ii

uuuur−

−≡

+

−

1

1 ( )rΦ ：（流束）制限関数

( ) ( )rrr 1ΦΦ = の場合、

( )( ) ( )( )iiiRiiiiLi uuruuuuruu −−=−+= +−−+ 12/112/1 21,1

21 ΦΦ

高次精度風上差分法

数値実験（cos関数） ( )5.0=ν

風上差分法 MUSCL (minmod)

MUSCL (van Leer) MUSCL (Koren)

高次精度風上差分法

数値実験（階段関数） ( )5.0=ν

風上差分法 MUSCL (minmod)

MUSCL (van Leer) MUSCL (Koren)

高次精度風上差分法

WENOスキームWeighted Essentially Non-Oscillatory scheme

[Jiang+, 1996]ENOでは滑らかさを指標にして補間関数を選択TVB（Total Variation Bounded）

WENOはENOの重み付き平均で高次精度化ここでは結果だけ

BTV n ≤

高次精度風上差分法

数値実験（cos関数） ( )5.0=ν

風上差分法 MUSCL (Koren)

5th-order WENO3rd-order WENO

高次精度風上差分法

数値実験（階段関数） ( )5.0=ν

風上差分法 MUSCL (Koren)

5th-order WENO3rd-order WENO

まとめ

重要なキーワード幾つおぼえてますか？

風上差分法

CFL条件 / Courant数 von Neumannの安定性解析Godunovの定理TVD / MUSCL / WENO

後半は難しい上に、駆け足になったはずです。（予定）

大丈夫、大事なことは2時限目にもう一度いいます。大丈夫、飯島先生がしっかりと教えてくれます。

一旦おしまい

お疲れ様でした

差分法の基礎第壱限目内容はじめにはじめにはじめにはじめにはじめにはじめにはじめに差分法差分法差分法差分法差分法差分法差分法移流方程式の�差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法移流方程式の差分法ちょっとまとめちょっとまとめ高次精度�風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法高次精度風上差分法まとめ一旦おしまい