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水理学１ 映像を見る前に
★視聴前クイズに答えてください。
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万一，スマホで見る場合
Teamsアプリは，回転・全画面ができない
解決法の一つ：・Streamアプリを入れる。（ログインしておく）・Teamsで，映像をクリックしたあと，映像下の一番右をクリックするとStreamアプリで再生⇒回転・全画面可能
Teamsの画面から
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水理学１深くお詫び（基礎数理演習２）
第５回アナウンスで，基礎数理演習２の開講時限を誤って伝えてしましました。
大変申し訳ありません 演習は金曜１限です。
⇒１限
⇒１限
間違っていたアナウンス
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水理学１
第６回 映像 その１
Dai
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スケジュール
鷲見：Eﾗｰﾆﾝｸﾞ※1-5(共通)
課題1,2共通
課題1,2共通
5月25日 ■E-ラーニング6 5月22日6月01日 ■E-ラーニング7 5月29日6月08日 ■E-ラーニング8 6月05日6月15日 ■E-ラーニング9 6月12日6月22日 ■E-ラーニング10 6月19日6月29日 ■E-ラーニング11 6月26日 △E-ラーニング67月06日 ■E-ラーニング12 7月03日 △E-ラーニング77月13日 ■E-ラーニング13 7月10日 △E-ラーニング87月20日 ■E-ラーニング14 7月17日 △E-ラーニング97月27日 ■E-ラーニング15 7月24日 △E-ラーニング10期末 期末
日程
期末レポート
棚橋先生
期末レポート(鷲見分のみ)
基礎数理演習２水理学１
課題3
課題4
鷲見
課題B
課題C
鷲見：Eﾗｰﾆﾝｸﾞ※1-5(共通)
日程
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水理学１（水理）
水没した平面に作用する
全水圧と作用点
第６回の内容 「平板に作用する全水圧」
第４回「静水圧・図形の計算」の
前半部分で既に習ったことの，
復習まとめと演習を行います。
Dai
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水没した平面に作用する全水圧と作用点
一般公式 復習編
第４回の内容をマスターしている人は，映像２に移って下さい。
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水没した傾斜板に水圧作用する例
鉄製の板（ゲートやふたなど）
水 ため池・ダム堤体
ダム・ため池など放流や取水用の
出口
陸上
海（津波や高潮）
小鎚川水門（岩手県）
堰・水門の幅はB
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鉛直板に水圧作用する例
水圧の一部のみ板に作用する例
河川
鉄製の堰板
水
幅はB
安永川水門（豊田市）
この鋼鉄製の堰板に力が作用する
↓設計に必要な情報を水理学で提供：
２つある↓
堰板の設計に使用
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水没した傾斜板に水圧の作用
比重σ
板
水
水深z
板の表面には、
各点の水深zに
応じて圧力が
作用している
p =ρg z
p =σρ0g z
水深z
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計算する対象
比重σ
全水圧
PC
板
水
C
これらには
公式がある
板に作用する水圧の合力である全水圧Pの大きさと，その作用点Cの位置
hC
hC'
hCsC
全水圧
P
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作用点Cとは
PC
分布する圧力ベクトルの
合力が板に作用する点
・この点に反対から反力を与えると，回転しない
・圧力分布のC点まわりの力のモーメントの合計は、ゼロになる。 sC
C
𝑃 = න𝑝𝑑𝐴
p(s)
𝑀 = න𝑝𝑠 𝑑𝐴
𝑀 = 𝑃 × 𝑠𝐶
s基準点
基準点
反力（回転せず釣り合う）
反力
sC
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注意点公式・使い方を覚える
★ここから，重要な公式，数値，は
ノートに一旦書き取って下さい。
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水没平面、傾斜あり全水圧と作用点の公式★
全水圧 𝑃 = 𝜌𝑔 ℎG𝐴 ℎG =𝑠G ∙ sin 𝜃
作用点の位置 𝑠C = 𝑠G +𝐼G
𝑠G∙𝐴ℎC =𝑠C ∙ sin 𝜃
G点:板の重心（図心）C点:全水圧の作用点A:板の面積[m]IG：板のG回りの二次モーメント[m4]
s ：点の板面に沿った斜め距離
h ：点の水深
板の形は長方形や円形を想定
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水没平面、傾斜あり単位体積重量の公式
全水圧 𝑃 = 𝜌𝑔 ℎG𝐴 ℎG =𝑠G ∙ sin 𝜃
G点:板の重心（図心）A:板の面積[m]
s ：点の斜め距離h ：点の水深
重心の深さ
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水没平面、傾斜あり全水圧と作用点の公式
全水圧 𝑃 = 𝜌𝑔 ℎG𝐴 ℎG =𝑠G ∙ sin 𝜃
G点:板の重心（図心）A:板の面積[m]
s ：点の斜め距離h ：点の水深
重心の深さ
q
hG sG
q
sGhG
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水没平面、傾斜あり三角比
q =45°
sh
q =30°
sh
q =60°
s h
縦
斜辺=ℎ
𝑠= sin 𝜃
sin 𝜃 =1
2
21
2 1
2 3
q =30°
q =45°
q =60°
sin 𝜃 =1
2
sin 𝜃 =3
2
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水没平面、傾斜あり単位体積重量の公式
全水圧 𝑃 = 𝜌𝑔 ℎG𝐴 ℎG =𝑠G ∙ sin 𝜃
G点:板の重心（図心）A:板の面積[m]
s ：点の斜め距離h ：点の水深
単位体積重量
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第２回授業の復習水の単位体積重量
体積１m3あたりの水の重量（力）
水の単位体積重量ρ0 g = 9.8kN/m3
単位体積重量 とは
この科目では ρg と表し，１つの物理量（変数）として使う
流体が水のときは，次の値を使う（この授業では）
★
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第２回授業の復習水以外の単位体積重量★
水以外の単位体積重量ρ g = σ ρ0 g
水以外（海水・油など）は，比重を使って計算することが多い
流体が水以外のときは，次の値を使う
= σ×9.8kN/m3
= 比重×水の単位体積重量
ある流体の比重σ＝ ある流体の密度ρ水の密度ρ0(倍数なので単位がない）
★
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第２回授業の復習液体の比重の値の例
種類 比重σ[-]
水 1
海水 1.025前後
油 0.65-0.97
水銀 13.6
空気 0.00129≒0
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水没平面、傾斜あり全水圧と作用点の公式★
全水圧 𝑃 = 𝜌𝑔 ℎG𝐴 ℎG =𝑠G ∙ sin 𝜃
s ：点の斜め距離h ：点の水深
q
s1
y
図形から ★𝑠G = 𝑠1 + 𝑦
sG
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水没した平面面積A・図心の位置★
四角形
円形
円の公式を直径Dで覚えること
断面積A
𝐵𝐻
𝜋𝐷2
4
中心
中心
𝐻/2
𝐷/2
図心高さy
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水没平面、傾斜あり全水圧と作用点の公式
全水圧 𝑃 = 𝜌𝑔 ℎG𝐴 ℎG =𝑠G ∙ sin 𝜃
G点:板の重心（図心）A:板の面積[m]
s ：点の斜め距離h ：点の水深
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水没平面、傾斜あり全水圧と作用点の公式
全水圧 𝑃 = 𝜌𝑔 ℎG𝐴 ℎG =𝑠G ∙ sin 𝜃
作用点の位置 𝑠C = 𝑠G +𝐼G
𝑠G∙𝐴ℎC =𝑠C ∙ sin 𝜃
G点:板の重心（図心）C点:全水圧の作用点A:板の面積[m]IG：板のG回りの二次モーメント[m4]
s ：点の板面に沿った斜め距離
h ：点の水深
hCsC
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水没平面、傾斜あり全水圧と作用点の公式
作用点の位置 𝑠C = 𝑠G +𝐼G
𝑠G∙𝐴ℎC =𝑠C ∙ sin 𝜃
G点:板の重心（図心）C点:全水圧の作用点A:板の面積[m]IG：板のG回りの二次モーメント[m4]
s ：点の板面に沿った斜め距離
h ：点の水深
先に求めた
hCsC
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水没した平面★二次モーメント： IG
四角形
円形
2次モーメントIGは，重心G点を通る横軸周りに「縦回転させにくさ」との特性と見ることができる。
𝐼G = න𝜂2𝑑𝐴
η：dAの重心軸からの座標
二次ﾓｰﾒﾝﾄ
IG
𝐵𝐻3
12
𝜋𝐷4
64
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作用点の位置 𝑠C = 𝑠G +𝐼G
𝑠G∙𝐴ℎC =𝑠C ∙ sin 𝜃
水没平面、傾斜あり全水圧と作用点の公式
G点:板の重心（図心）A:板の面積[m]
s ：点の斜め距離h ：点の水深
q
hCsC
q
sChC
G点と同じ関係
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水没平面、傾斜あり三角比 直角のとき★q =90°
θ =90°
hG =sG・sinθ =sG・sin90°より
hG =sG
P=ρｇhGA に代入は同じ
ℎC = 𝑠C = ℎG +𝐼G
ℎG × 𝐴
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水没平面、傾斜あり全水圧と作用点の公式
全水圧 𝑃 = 𝜌𝑔 ℎG𝐴 ℎG =𝑠G ∙ sin 𝜃
作用点の位置 𝑠C = 𝑠G +𝐼G
𝑠G∙𝐴ℎC =𝑠C ∙ sin 𝜃
G点:板の重心（図心）C点:全水圧の作用点A:板の面積[m]IG：板のG回りの二次モーメント[m4]
s ：点の板面に沿った斜め距離
h ：点の水深
これで計算できる情報はすべてある
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水理学１
第６回 映像 その１終わり
その２に移って下さい。
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水理学１
第６回 映像 その２
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水没した平面に作用する全水圧と作用点
一般公式 演習編
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傾斜あり例題１ 水没の四角形(1) 図において、図心の深さhGと値を求めよ．
(2)公式を使って、この板に作用する全水圧P[N]を計算せよ。
(3)板の縦方向の2次モーメントIGはいくらか。
(4)公式を使って、この全水圧の作用点Cの位置（ｓC[m]、およびｈC[m]）を計算せよ。
映像を止めて問題を解いて
下さい
全水圧P
q =45°
hChG
O
C
H=4mB=2m
sc
s1=2mG
GC
sG
水(ρ0g=9.8kN/m3)
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水没の四角形例題１ 解答編①
(1) hGを式と値で表す。hG =sG・sinθsG = s1+H/2=2m+4m/2=4m
hG =sG・sinθ=4m×sin45°
=4m×1
2
=2.828m≈ 2.83m
(2) 全水圧P[N]を計算する。A = BH = 2m×4m = 8m2
よってP =ρｇhGA =9.8kN/m3×2.828m×8m2
= 221.7kN ≈ 222kN
全水圧P
q =45°
hChG
O
C
H=4mB=2m
sc
s1=2mG
GC
sG
水(ρ0g=9.8kN/m3)
q =45°
sh
2 1
sin 𝜃 =1
2
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sity hC=sC ・sinθ
= 4.333m ×sin450°
= 4.333m × Τ1 2= 3.064m≈ 3.06m
sC=sG+
= 4m+
= 4.333m≈ 4.33m
IGsG・A
10.67m 4
4m×8m2
水没の四角形例題１ 解答編②(3)板の縦方向の2次モーメントIGはいくらか。
四角形では，IG = = = 10.67m 4 ≈ 10.7m 4
(4)公式を使って、この全水圧の作用点Cの位置（ｓC[m]、およびｈC[m]）を計算せよ。
BH 3
122m×(4m) 3
12
全水圧P
q =45°
hC
hG
O
C
H=4mB=2m
sc
s1=2mG
GC
sG
水(ρ0g=9.8kN/m3)
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直角・塩水例題２ 円形・鉛直・比重鉛直な円盤に海水（比重=1.02）の水圧が作用している。
(1) 図において、hGの値と，全水圧P[N]を計算せよ。
(2) 全水圧の作用C点の位置ｈC[m]を計算せよ。
映像を止めて問題を解いて下さい
全水圧P
q =90°
h1=6m
O
CD=5m
hC
C
GG
海水比重σ=1.02
hG
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直角・塩水例題２ 解答編①(1) hGの値と，全水圧Pを計算する。
全水圧P
q =90°
h1=6m
O
CD=5m
hC
C
GG
海水比重σ=1.02
hG
hG =sG・sinθ=sG×sin90°= sG
hG = h1+D/2=6m+5m/2=8.5m
単位体積重量は，比重を使って𝜌𝑔 = 𝜎𝜌0𝑔 = 1.02 × 9.8 ΤkN m3 = 9.996 ΤkN m3
全水圧Pを計算する。P =𝜌𝑔ℎG𝐴 = 9.996 ΤkN m3 × 8.5m ×19.625m2
= 1667kN ≈ 1670kN
A = 𝜋𝐷2
4= 3.14× 5m 2
4
= 19.625m2 ≈19.625m2
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直角・塩水例題２ 解答編②
全水圧P
q =90°
h1=6m
O
CD=5m
hC
C
GG
海水比重σ=1.02
hG
θ=90°ではℎC = 𝑠C
(2)作用点の ｓC、ｈCを求める。
円形の２次モーメントは，
𝐼𝐺 =𝜋𝐷4
64=
3.14× 5m 4
64
= 30.66m4
ℎC = 𝑠C = 𝑠G +𝐼G
𝑠G∙𝐴
= ℎG +𝐼G
ℎG∙𝐴= 8.5𝑚 +
30.66m4
8.5𝑚×19.6𝑚2
= 8.683m ≈ 8.68m
hG = sG
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一般公式で解く例題3：水面から四角形
全水圧P
q =60°O
hC
C
H=4m
B=1.5m
scG
GC
sGhG
板映像を止めて問題を解く
(1) 図心の深さ hGの値と，一般公式を使って、全水圧P[N]を求めよ。
(2) 一般公式を使って、作用点Cの位置（ｓC[m]、ｈC[m]）を求めよ。
水
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全水圧P
q =60°O
hC
C
H=4m
B=1.5m
scG
GC
sGhG
水没の四角形例題３ 解答編①
(1) hGとPを計算する。hG =sG・sinθ に代入するためsG = H/2=4m/2=2mhG =sG・sinθ
=2×sin60°
=2m×3
2=1.732m =1.73m
全水圧P[N]を計算する。A = BH = 1.5m×4m = 6.00m2
よってP =ρｇhGA =9.8kN/m3×1.732m×6m2
= 101.8kN = 102kN
q =60°
s h2 3
sin 𝜃 =3
2
水
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sity hC=sC ・sinθ
= 2.67m×sin60°
= 2.67m× Τ3 2= 2.309m=2.31m
𝑠C = 𝑠G +𝐼G
𝑠G∙𝐴
= 2𝑚 +8m4
2𝑚∙6m2
=2.666m=2.67m
水没の四角形例題３ 解答編②(3)作用点の位置ｓC、ｈCを求める。
ｓCの一般公式に代入するため，
二次モーメントを求める。 四角形では，
𝐼𝐺 =𝐵𝐻3
12=
1.5m× 4m 3
12= 8m4
全水圧P
q =60°O
hC
C
H=4m
B=1.5m
scG
GC
sGhG
q =60°
s h2 3
sin 𝜃 =3
2
←第4回授業で使った特殊公式の例題と
←同じ値
水
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sity
採点対象としません確認クイズ
問題を解いて，答えを記入して下さい。（今回は，答えの正誤での採点評価は行いません。受講確認クイズです）
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次の問題を解いて，答えて下さい。確認クイズ全水圧Pの大きさと，作用点の位置sCおよび，hCを求めよ．長方形の断面２次モーメントは次式を利用せよ．s1=X[m]のXは学籍番号末尾１桁とすること。（A193YX）水の単位体積重量r0g＝9.8kN/m3とする．流体に比重の指定がある場合はこれを使うこと。※最終の数値は有効数字３ケタで答えよ．
𝐵𝐻3
12
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sity
について
「第６回」チャンネルの「ファイル」タブに置いてあります。
練習問題
練習問題（回答付）で練習できるので，
心配な人はそちらを解いてみてください。
第４回と同じ問題を用意します。
特殊公式を使わない方法で全て解いてみてください。
後日，今回のタイプの問題の正式な課題を課します。
必ず解けるようにしてください。
Dai
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sity
本授業の内容のまとめ（復習）
・平板に作用する全水圧の公式P=ρｇhGA
・その作用点の公式
sC=sG+
・鉛直四角形の板に作用する全水圧と位置は、圧力分布の三角形と四角形の面積とその組み合わせのモーメントから計算できる。
IGsG・A
Dai
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sity
第６回の映像は以上です。
第７回の映像配信は、６月１日１限を予定しています。
忘れずに受講しましょう。を忘れないように。
Dai
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sity
お疲れさまでした
第６回 映像 その２ おわり
