第2章　　清代的長期統治

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1

94　高中物理(下)講義

第9章　位能和能量守恆定律　61

重力位能

一

重力位能

定義

重力位能（Ug）：外力抵抗重力所作的功 → 儲存重力位能重力作正功 → 釋放重力位能

分類

均勻場 eq \o\ac(　　,──)以地面為零位面

(作用力視為定力)

非均勻場 eq \o\ac(　　,──)以無窮遠處為零位面

(作用力為反平方力)

圖示

說明

重物上升時，重力作負功 → 位能增加

重物下降時，重力作正功 → 位能減少

距離增加時，重力作負功 → 位能增加

距離減少時，重力作正功 → 位能減少

重力形式

F＝mg

F＝ EQ \F( GMm ,r2)

公式

Ug＝　mgh　

eq \b\lc\{(\a\al\co1( m：物體質量（kg）, g：重力加速度（ m/s2）, h：鉛直高度（m）, Ug：重力位能（J）))

Ug＝EQ \F(GMm, r ) EQ \x\bo(　－　)

eq \b\lc\{(\a\al\co1( M：場源質量（kg）, m：物體質量（kg）, r：連心距離（m）, Ug：引力位能（J）))

性質

重力位能變化僅與位置變化有關，與物體之運動軌跡無關

二

位能的意義

1. 若一系統內各物體之間彼此存在有交互作用力，造成物體間的相對位置或形狀發生變化時，便伴隨有能量的變化，此種形式的能量就稱為位能。

2. 作功造成能量變化，真正有物理意義的是位能變化，因此必須先訂定零位面才能表達位能的量值。

3. 位能的種類：重力位能、彈力位能、電力位能……等。

4. 位能為純量，S.I.單位為　焦耳（J）　。

5. 位能不是物體　單獨　的能量，而是儲存在　　物體與物體間　　的能量。

範例

1

如右圖所示，一擺長為L的單擺，其擺錘質量為m，自擺角為θ的A點處靜止開始自由擺下，擺到最低點B，設重力加速度為g，則：

(1) 擺錘下降過程中，每一力作功為若干？

(2) 以O點的水平面為參考面，試分別寫出A、B兩點擺錘的重力位能及A到B的位能差。

(3) 試比較(1)中的重力作功及(2)中的位能差。

【答案】(1) eq \b\lc\{(\a\al\co1( T張力＝0, T重力＝mgL(1－cosθ)))； (2) eq \b\lc\{(\a\al\co1( UA＝－mgL cosθ, UB＝－mgL, ΔUBA＝UB－UA＝－mgL(1－cosθ)))

(3) W＝－ΔUBA

【解析】(1) m：A→B

　 張力作用方向時垂直位移方向，故張力不作功。

　 依W＝FScosθ

W重力＝(mg)‧ eq \o(AB,¯¯)‧cosψ＝mgh＝mgL(1－cosθ)

(2) 依 Ug＝mgh eq \o(\s\up 6(右圖所示),\s\do 1(--------→)) eq \b\lc\{(\a\al\co1( UA＝mg(－Lcosθ)＝－mgL cosθ, UB＝mg(－L)＝－mgL))

　 ∴ΔUBA＝UB－UA＝(－mgL)－(－mgLcosθ)

＝－mgL(1－cosθ)

(3)承(1)、(2)，得知W重力＝－ΔUBA

類題

1. 一長度為L，質量為m的均勻繩子，其 EQ \F(4, 5 ) 長度置於一無摩擦力之水平桌面上，另外 EQ \F(1, 5 ) 長度則懸吊於桌邊下垂，如右圖所示，最後繩下滑到恰離開桌面。以桌面為位能的參考面，設重力加速度為g，試分別寫出該繩子開始與最後的位能及位能差。

答

：EQ \F(1, 50 ) EQ \x\bo(　Ui＝－mgL，Uf＝－ EQ \F(1, 2 ) mgL，ΔU＝－ EQ \F(12, 25 ) mgL　)

自我挑戰

題

1. 取一質量為2公斤的石頭，置於距地面高度10公尺的位置。(g＝9.8 m／s2)

(1) 若以地面為零位面，則該石頭的重力位能為若干焦耳？

答

：　196 J　。

(2) 若以距地面高度為20公尺的平面為零位面，則該石頭的重力位能為若干焦耳？

答

：　－196 J　。

(3) 當石頭的高度下降5公尺時，石頭的重力位能減少若干焦耳？

答

：　98 J　。

2. 如右圖所示，一擺長L之單擺，幅角θ0，擺錘質量m。

(1) 若以最高點為零位面，則擺錘在最低點之重力位能為何？

答

： EQ \x\bo(　－mgL(1－cosθ0)　)。

(2) 若最低點距地面之高度為h，且令地面之重力位能為U0，則

擺錘之最大位能為何？

答

： EQ \x\bo(　U0＋mg(h＋L－Lcosθ0)　)。

3. 一質量為m的質點以動能EK、仰角θ斜向拋出，當它到達最高點時，重力位能將增加若干？

答

： EQ \x\bo(　EKsin2θ　)。

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2

彈力位能

一

彈力位能

彈力位能（Us）：物體因「　形狀發生改變　」而具有作功的本領，稱物體具有彈力位能。

Us＝EQ \F(1, 2 ) EQ \x\bo(　kΔx2　) eq \b\lc\{(\a\al\co1( k：彈力係數（N/m）, Δx：形變量（m）, Us：彈力位能（J）))

如右圖所示，在光滑平面上裝置一彈簧，一端固定、另一端繫一物體，當彈簧被伸長或壓縮時：

1. 作用在物體上的彈力為Fs,) EQ \x\bo(　＝－k eq \o(x,)　) eq \b\lc\{(\a\al\co1( k：彈力常數（N/m）, x：物體的位移（m）))。

2. 彈力將物體自形變量

x

拉回至平衡位置時，彈力對物體所作的功

為Fs－x圖曲線下與x軸所圍面積，EQ \F(1, 2 ) EQ \x\bo(　kx2　)。

3. 物體儲存彈力位能Us＝EQ \F(1, 2 ) EQ \x\bo(　kx2　)。

二

生活實例

1. 雄壯威猛地「拉弓射箭」：

(1) 手拉弓eq \o(\s\up 6(手對弓作正功),\s\do 1(------------→))弓弦儲存　彈力位能　，弦張緊、箭蓄勢待發。

(2) 手放鬆弓箭eq \o(\s\up 6(弓弦對箭作正功),\s\do 1(------------→))弓弦儲存之彈力位能轉變為箭之　動能　，箭高速飛行。

2. 緊張刺激的「高空彈跳運動」：

(1) 人自高空跳落而下eq \o(\s\up 6(重力對人作正功),\s\do 1(-------------→))人具有　動能　，驚慌鬼叫開始。

(2) 繫在人身上的繩索開始拉緊增長eq \o(\s\up 6(繩張力對人作負功),\s\do 1(--------------→))繩儲存　彈力位能　，人速度漸緩。

(3) 人自低處反彈而回eq \o(\s\up 6(繩張力對人作正功),\s\do 1(--------------→))繩子儲存之彈力位能轉變為人之　重力位能　。

範例

2

壓縮某彈簧4 cm須作用力500牛頓，則：

(1) 求壓縮彈簧4 cm彈力作功若干焦耳？以原長位能為零，此時彈力位能為若干焦耳？

(2) 若再壓縮彈簧2 cm，此間彈力作功若干焦耳？又此過程中彈力位能變化若干焦耳？

【答案】(1) －10 J，10 J；(2) －12.5 J，12.5 J

【解析】依 F＝kΔx 500＝k‧0.04，k＝12500 N/m

(1) 由 Us＝ EQ \F(1, 2 ) kx2 (Us)Δx＝4cm＝ EQ \F(1, 2 ) ‧12500‧(0.04)2＝10 J eq \o(\s\up 6(Ws＝－Us),\s\do 1(----------→)) Ws＝－10 J(2) 同理 (Us)Δx＝6cm＝ EQ \F(1, 2 ) ‧12500‧(0.06)2＝22.5 J

　 ∴ΔUs＝22.5－10＝12.5J eq \o(\s\up 6(Ws＝－ΔUs),\s\do 1(-------------→)) Ws＝－12.5 J

類題

2. 一輕彈簧的自然長度為30 cm，上端固定於天花板上，鉛直懸掛一質量為1 kg的物塊後立刻放手，當該物塊通過平衡點時（k＝100 N/m，g＝10 m/s2），試分別求：(1) 重力及彈力各作功若干？(2) 重力位能及彈力位能變化各若干？

答

：　(1) 1 J，－0.5 J；(2)－1 J，0.5 J　。

自我挑戰

題

1. 一彈簧伸張10 cm與壓縮5 cm，彈力位能之比為何？

答

：　4：1　。

2. 原長為30 cm的彈簧，將其鉛直懸掛，上端固定於天花板上，下端懸一質量為1 kg的物塊，當彈簧達平衡時，彈簧的長度變為40 cm，試求該彈簧所儲存的彈性位能為多少？(g＝10m/s2)

答

：　0.5 J　。

3. 置於光滑水平桌面上的輕彈簧原長40 cm，一端固定於牆壁上，另一端施以20 N之力，可使其伸長至50 cm。若欲使該彈簧從50 cm的長度伸長為60 cm，則：

(1) 外力需對其作功多少焦耳？

答

：　3 J　。

(2) 彈力作功若干焦耳？

答

：　－3 J　。

(3) 彈力位能變化若干焦耳？

答

：　3 J　。

4. 彈簧原長為10米，今自全長為l2米拉長至15米時，彈力位能增U；若再拉長到全長為18米時，彈力位能再增加多少U？

答

：EQ \F(13, 7 ) EQ \x\bo(　U　)。

5. 一彈簧之伸長量為R時彈性位能為Us，若其位能減為 EQ \F(1, 2 ) Us時，伸長量為何？

答

：2 )EQ \F( EQ \x\bo(　, 2 ) R　)。

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3

保守力和力學能守恆定律

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3.1

保守力與非保守力

一

保守力

　重力、彈力、靜電力等，均為保守力。　

1. 力對於在兩點間運動的質點所作的功，只與兩點的　位置　有關而與　經過路徑　無關，稱為保守力。

▲重力是保守力　　　　　　　　　▲彈力是保守力

(1) 　重力　是保守力。如上圖左所示，將質量m的物體自位置P移動到下方位置Q，其間的鉛直距離為H，為方便計算重力mg所作的功Wg，今將物體移動的路徑細分如圖示的虛線，則：　Wg＝WP～B＋WB～D＋…Wi～Q

＝( mg× eq \o(PA,¯¯¯)×cos0°＋mg× EQ \x\to(AB)×cos90°)＋( mg× EQ \x\to(BC)×cos0°＋mg× EQ \x\to(CD)×

cos90°)＋…＝mg×( eq \o(PA,¯¯¯)＋ EQ \x\to(BC)＋…)＝mgH＝－ΔUP→Q

Wg僅和P、Q兩點間之鉛直高度（H）有關，和所經路徑無關，重力是保守力。

保守力作的功等於系統　　重力位能變化量的負值　　，W保守力＝－ΔUg。

(2) 　彈力　是保守力。如上圖右所示，當物體由x＝－x2移至x＝－x1期間，彈力對物體作功為　Ws＝－( EQ \F(1, 2 ) kx12－ EQ \F(1, 2 ) kx22)＝－ΔUs

Ws僅和彈簧的起始和最後的長度變化量有關，彈力是保守力。

保守力作的功等於系統　彈力位能變化量的負值　，W保守力＝－ΔUs。

2. 物體受保守力作用沿某封閉曲線環繞一周，則保守力對該物體所作的功為　零　。

(ａ) (Wg)A→x→B＝(Wg) A→y→B　　　　　　(ｂ)ΣWg＝(Wg) A→x→B＋(Wg) B→y→A＝0

▲以保守力作用於物體沿封閉路徑一圈，作功為零

(1) 如上頁圖(ａ)所示，物體從位置A分別沿路徑1、2移至位置B，同前所述，重力mg所作的功Wg皆相等，即(Wg)A→x→B＝(Wg) A→y→B。

(2) 當物體沿路徑2從位置B返回位置A，由於重力與位移方向相反，故：　(Wg) B→y→A＝－(Wg)A→y→B

(3) 如上頁圖(ｂ)所示，當物體從位置Ａ出發經路徑1移至位置Ｂ，再經由路徑2返回位置Ａ，構成一封閉迴路，承(1)、(2)所述，則重力對該物體全程所作的總功為：　ΣWg＝(Wg) A→x→B＋(Wg) B→y→A＝0

3. 保守力作功可用位能的形式表示： eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) Wg＝－ΔUg , (2) Ws＝－ΔUs))

4. 保守力作　負功　時，系統的位能會增加；保守力作　正功　時，系統的位能會減少。

二

非保守力 eq \o\ac(　　,──)摩擦力

1. 如上圖所示，木塊在粗糙斜面上運動時，受有一定值的滑動摩擦力fk作用：

(1) 木塊上滑時，fk對木塊作功為W'＝fk×S×cos180°＝－fkS

(2) 木塊下滑時，fk對木塊作功為W''＝fk×S×cos180°＝－fkS

2. 當木塊從斜面上的A位置上滑至B位置後，再下滑至A位置，構成一封閉的運動路徑，滑動摩擦力所作的總功為：

ΣW＝W'＋W''＝－2fkS≠0此值和木塊所經的　路徑　長有關。所以摩擦力不是保守力，稱為　非保守力　。

範例

3

一系統中，若有保守力作正功15焦耳，則此系統的位能：(Ａ)增加15焦耳　　(Ｂ)減少15焦耳　　(Ｃ)不改變

【答案】Ｂ

類題

3. 一物體若受合力作功－15焦耳，則此物體：(Ａ)位能增加15焦耳　　　(Ｂ)位能減少15焦耳(Ｃ)動能增加15焦耳　　　(Ｄ)動能減少15焦耳(Ｅ)力學能增加15焦耳　　(Ｆ)力學能減少15焦耳

答

：　Ｄ　。

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3.2

力學能守恆定律

　ΣE＝EK＋ΣU＝EK＋Ug＋Us＝const.　 EQ \F(1, 2 ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( 動能(EK)：EK＝mv2, 重力位能(Ug)：Ug＝mgh, 彈力位能(Us)：Us＝ EQ \F(1, 2 ) kΔx2))

一

力學能守恆定律

　動能　與　位能　合稱為力學能，或稱為機械能（Mechanical Energy）。

在孤立系統中，若系統內物體僅受　保守力　作用，則此系統的動能和位能在運動過程中會改變，但其總和則保持不變，稱為力學能守恆。

　ｗ非保守力＝0　eq \o(\s\up 6(力學能守恆),\s\do 1(----------→)) eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) E＝EK＋U＝const.（力學能＝動能＋位能＝定值）, (2)ΔEK＋ΔU＝0（系統總力學能不變化）, (3)ΔEK＝－ΔU（動能之增加量即為位能之減少量）))

【推演】依功能原理：W合力＝ΔEK eq \o(\s\up 6(合力＝保守力＋非保守力),\s\do 1(--------------------→))W合力＝W保守力＋W非保守力＝ΔEK

又W保守力＝－ΔUeq \o(\s\up 6(代入上式),\s\do 1(---------→))－ΔU＋W非保守力＝ΔEK

得W非保守力＝ΔEK ＋ΔUeq \o(\s\up 6(W非保守力＝0),\s\do 1(---------→))ΔEK＋ΔU＝0

即 [(EK) f－(EK) i]＋[Uf－Ui]＝0 ⇔ (EK) i＋U i＝(EK) f＋Uf ⇔ ΣE＝const.

二

重力系統下的力學能守恆

1. 物體在地表附近僅受　重力　作用時，運動過程中任意位置之力學能為定值。 　ΣE＝EK＋Ug＝ EQ \F(1, 2 ) mv2＋mgh＝const.　

或 　 EQ \F(1, 2 ) mv12＋mgh1＝ EQ \F(1, 2 ) mv22＋mgh2＝const.　

2. 地表附近不考慮空氣阻力的作用，如自由落體、拋體運動、單擺、鉛直面圓周運動等運動過程，皆為力學能守恆。

3. 物體在光滑斜面上的運動過程，亦為力學能守恆。

三

彈力系統下的力學能守恆—彈簧在光滑水平面上進行S.H.M.

如下頁圖(ａ)所示，質量m的物塊與彈力常數為k的彈簧連接在一起，進行振幅為R的水平面S.H.M.，則系統力學能守恆，即：

　ΣE＝EK＋Us＝ EQ \F(1, 2 ) mv02＝ EQ \F(1, 2 ) kR2＝ EQ \F(1, 2 ) mvx2＋ EQ \F(1, 2 ) kx2＝const.　

式中 eq \b\lc\{(\a\al\co1( R：振幅（m）, v0：物塊在平衡點之速率（m/s）, x：物塊與平衡點之距離，即彈簧之形變量（m）))

(ａ) EK與Us的轉換情形(ｂ) EK與Us的函數關係

▲彈簧在光滑水平面上進行S.H.M.

1. 彈簧的最大伸長量(xmax)：xmax＝　R　 （發生在端點處）

2. 物塊的最大速率(vmax)：vmax＝EQ \F(k, m ) EQ \x\bo(　v0＝ )R　)（發生在平衡點處）

3. 各位置處之能量(EK、Us)與位移(

x

)的關係圖：如上圖(ｂ) 所示

(1) 彈性位能(Us)：Us＝EQ \F(1, 2 ) EQ \x\bo(　kx2　)（為一凹向上的拋物線）。

(2) 動能(EK)：EK＝EQ \F(1, 2 ) EQ \x\bo(　ΣE－kx2　)（為一凹向下的拋物線）。

(3) 力學能(ΣE)：ΣE＝ EQ \x\bo(　EK＋Us＝const.　)（為一平行ｘ軸的直線）。

四

重力、彈力系統下的力學能守恆—彈簧在鉛直面上進行S.H.M.

1. 高空彈跳型（驟放）：如右圖所示，取一物塊靜置於呈自然長度的彈簧下端，此時物塊　突然　放手，整個運動過程物塊僅受重力及彈力作用，則：

(1) 彈簧 EQ \F(2mg, k ) eq \b\lc\{(\a\al\co1(最大伸長量：Δymax＝,振幅：R＝ EQ \F(mg, k ) ))

(2) 物塊 EQ \F(m2g2, 2k ) eq \b\lc\{(\a\al\co1(最大動能：(EK)max＝,最大速率：(vy)max＝gEQ \F(m, k ) EQ \R(, ),最大彈力位能：(Us)max＝ EQ \F(2m2g2, k ) ))

2. 強迫振盪型：如右圖所示，質量m的物塊靜置於鉛直懸掛的彈簧下端，強迫拉引物塊，進行振幅為R的鉛直S.H.M.。

(1) 振盪過程中任一處，物塊力學能守恆，即：　ΣE＝EK＋Us＋Ug＝ EQ \F(1, 2 ) mvy2＋ EQ \F(1, 2 ) kΔ2＋mgh＝const.　式中 eq \b\lc\{(\a\al\co1( vy：物塊距平衡位置 y 距離處之速率（m/s）,Δ：彈簧的形變量（m）, h：距重力位能零位面的高度（m）))

力學能的量值隨「Ug」零位面選定的不同而改變，但零位面一經選定，則總能量的量值不變。

平衡點為物塊懸吊在彈簧下端靜止時的位置，或簡諧振盪時的中點。

列式求「Us」時，要取彈簧伸長量Δ，而非位移量y。

(2) 彈簧 最大伸長量—(Δy)max，伸長量＝R＋0, 最大壓縮量—(Δy)max，壓縮量＝R－0)) eq \b\lc\{(\a\al\co1( R＞0：, R＜0： eq \b\lc\{(\a\al\co1( 最大伸長量—(Δy)max，伸長量＝R＋0, 最小伸長量—(Δy)min，伸長量＝0－R))))　

（0：物塊靜止時之彈簧伸長量）

½d¨Ò

4

下列何者可使一系統的力學能守恆？(Ａ)非保守力有作功　　(Ｂ)非保守力不作功(Ｃ)只有保守力作功　　(Ｄ)保守力與非保守力均不作功

【答案】ＢＣＤ

½d¨Ò

5

某人以60牛頓的力量舉起質量為5公斤之物塊，使其向上加速離地升起，經0.5秒後，求：(1) 該人施力所作的功為若干？(2) 物塊的力學能變化量為若干？(3) 承(1)、(2)，此兩者間有何關係？

【答案】(1) 15 J；(2) 15 J；(3) W外力＝ΔE

【解析】(1) 依 ΣF＝ma 60－5×10＝5×a，a＝2 m/s2＝const. 又 S＝v0t＋ EQ \F(1, 2 ) at2 eq \o(\s\up 6(v0＝0),\s\do 1(--------→)) S＝ EQ \F(1, 2 ) ×2×0.52＝0.25 m由 W＝FScosθ W外力＝60×0.25×cos0°＝15 J

(2)承(1)： v＝v0＋at v0.5sec＝2×0.5＝1 m/s

∴ΔE＝ΔEK＋ΔU＝ EQ \F(1, 2 ) ×5×12＋5×10×0.25＝15 J承(1) (2)，W外力＝ΔE＝ΔEK＋ΔU

類題

4. 有一物體以初速度v0做水平拋射運動，不計空氣阻力，其運動軌跡如右圖所示。已知物體由O至M的時間和由M至N的時間相同，則這兩段時間內，動能變化量的比值 EQ \F((ΔEK)O～M, (ΔEK)M～N ) 為多少？

答

：EQ \F(1, 3 ) EQ \x\bo(　　)。

範例

6

把一根內壁光滑的細圓鋼管彎曲成下圖(ａ)所示的圓弧形狀，圓弧半徑為R，今置一小鋼球於管口A之正上方h1處自由落下，小鋼球恰能到達圓弧之最高點管口C處；再一次改以h2處自由落下，小鋼球除能穿越最高點C，又恰飛落回管口A處，則h1：h2＝？(Ａ) 4：5　　(Ｂ) 5：4　　(Ｃ) 3：4　　(Ｄ) 4：3　　(Ｅ) 5：3

(ａ) (ｂ)

【答案】Ａ

【解析】(1) 小鋼球“恰”達C處：vC＝0由 ΣE＝const. mgh1＝ EQ \F(1, 2 ) mvA2＝mgR，h1＝R

(2) 小鋼球穿越最高點C且恰飛落回管口A處：

鋼球由C點到A點之時間：t＝EQ \F(2R, g ) EQ \R(, )(平拋所需時間與自由落體的時間相等)

C、A的水平位移：x＝R＝vC‧t＝vC‧EQ \F(2R, g ) EQ \R(, )，vC＝EQ \F(1, 2 ) EQ \R(,gR )

由mgh2＝ EQ \F(1, 2 ) mvA2＝mgR＋ EQ \F(1, 2 ) mvC2＝ EQ \F(5, 4 ) mgR，h2＝ EQ \F(5, 4 ) R

(3) 由(1)、(2)，得知 EQ \F(h1, h2 ) ＝ EQ \F(4, 5 )

類題

5. 如右圖所示，某小物體在光滑的曲道上端A點處，自由滑到B點，離開B點時以45°仰角作斜向拋射， EQ \x\to(AC)＝5 cm， EQ \x\to(BD)＝3 m，求：(1) 球在B點時的速率為若干？(2) 此球過B點後在空中所能到達的最大高度為若干？

答

：EQ \F(14, 5 )

EQ \R(, 5 ) EQ \x\bo(　(1) m/s；(2) 4 m　)。

範例

7

如右圖所示，有長 ＝1.25 m的均勻繩 EQ \x\to(AB)，其中 EQ \x\to(AC)部分在光滑桌面上， EQ \x\to(CB)部分在桌緣自由下垂， EQ \x\to(BC)＝ EQ \F(3, 5 ) ，按住A點的手釋放後，當此繩

全部脫離桌面的瞬間，繩的速率為多少？

【答案】2.8 m/s

【解析】以桌面處為Ep零位面：依 ΣE＝EK＋Ep＝const. 　 0＋ EQ \F(3, 5 ) mg(－ EQ \F(3, 5 ) × EQ \F(1, 2 ) )＝ EQ \F(1, 2 ) mv2＋mg(－× EQ \F(1, 2 ) )∴ v＝ EQ \F(4, 5 )

EQ \R(, g )＝EQ \F(49, 5 ) EQ \F(4, 5 )

EQ \R(, × EQ \F(5, 4 ) )＝2.8 m/s

類題

6. 如右圖所示，一鐵鍊置於水平光滑桌面上，其長度的 EQ \F(1, 3 ) 懸於桌邊，若鐵鍊長L、質量m，鐵鍊自由下滑至長度的 EQ \F(1, 3 ) 仍在桌面時（設與桌面同高處的重力位能為零），則此時：(Ａ)位能為－ EQ \F(4, 9 ) mgL　　　　　　　 (Ｂ)動能為 EQ \F(1, 6 ) mgL(Ｃ)整條鐵鍊中點的張力為 EQ \F(1, 3 ) mg　　(Ｄ)加速度大小為 EQ \F(2, 3 ) g (Ｅ)此過程為等加速度運動

答

：　ＢＤ　。

類題

7. 質量為2 m及m的A、B二物，各繫於一輕繩的兩端，此繩跨過一無摩擦的滑輪。設A距地面h高而B靜止於地面。(1) A釋放後，當A下降h距離時，系統總動能為何？(2) 此時B的速率為何？(3) B能到達的最大高度為何?

答

：EQ \F(2, 3 ) EQ \x\bo(　(1) mgh；(2) gh )；(3) EQ \F(4, 3 ) h　)。

範例

8

如右圖所示，在水平地面上有一部滑車，質量為M，滑車上有一弧形軌道，高度為H，軌道底端成水平。今有一質量為m的物體，從軌道頂端沿著軌道自由下滑。設摩擦力均不計，則當物體m滑離軌道底端之瞬間，滑車的速度量值為：(Ａ) EQ \R(, 2gH )　　　　 (Ｂ) EQ \F(m, M )

EQ \R(, 2gH )　　　　(Ｃ) EQ \F(M, m＋M )

EQ \R(, 2gH )(Ｄ) EQ \F(2mgH, M＋m ) EQ \R(, )　　(Ｅ) EQ \F(2m2gH, M(M＋m) ) EQ \R(, )

【答案】Ｅ

【解析】設物體m滑離軌道底端時的瞬間速率為v，而滑車M的速率為u。依 Σp＝const. 0＝mv＋Mu……(ａ) 又 ΣE＝const. mgH＝ EQ \F(1, 2 ) mv2＋ EQ \F(1, 2 ) Mu2……(ｂ)聯立(ａ)、(ｂ)，解得u＝EQ \F(2m2gH, M(M＋m) ) EQ \R(, )

類題

8. (1) 質量m的小物體，自質量M、傾斜角θ的固定斜面上高H處自靜止下滑，不計任何阻力，當m滑抵水平地面時的速率為多少？

(2) 若斜面可滑動，且地面光滑，則m離開斜面後，斜面速率為何？

答

：2gH ) EQ \x\bo(　(1) ；(2) 2gh cos2θ ,(M＋m)(M＋m sin2θ)) EQ \R(, )　)。

範例

9

質量m物體以初速v0正向撞擊一彈力常數k的彈簧，若撞後被黏住而作S.H.M.：(1) 當 EQ \F(EK, Us ) ＝3時，物體的速率為何？(2) 彈簧的最大壓縮量為何？

【答案】(1) 3 ) EQ \F(, 2 ) v0；(2) v0EQ \F(m, k ) EQ \R(, )

【解析】(1) 依 ΣE＝EK＋Us＝const. 　

EQ \F(1, 2 ) mv02＝EK＋Us＝EK＋ EQ \F(1, 3 ) EK＝ EQ \F(4, 3 ) EK＝ EQ \F(4, 3 ) ( EQ \F(1, 2 ) mvx2)，vx＝3 ) EQ \F(, 2 ) v0

(2) 承(1)： EQ \F(1, 2 ) mv02＝EK＋Us＝0＋ EQ \F(1, 2 ) k(Δx)max2，(Δx)max＝v0EQ \F(m, k ) EQ \R(, )

類題

9. 某理想彈簧一端固定，另一端繫一物體，沿水平方向作振幅為R的S.H.M.，當物體運動至某處，此時彈性位能恰為物體動能的一半，則該點位置距平衡點若干？(Ａ) 3 ) EQ \F(, 2 ) R　　 (Ｂ) 2 ) EQ \F(, 2 ) R　　(Ｃ) EQ \F(2, 3 ) EQ \R(, )R　　(Ｄ) 3 ) EQ \F(, 3 ) R　　(Ｅ) EQ \F(R, 2 )

答

：　Ｄ　。

類題

10. 有一輕彈簧置於光滑水平桌面上，一端固定於牆壁，其力常數為100 N/m，有一質量為1 kg的木塊以速率4 m/s沿彈簧軸線方向撞擊彈簧的另一端，則彈簧的最大壓縮量為若干m？

答

：　0.4 m　。

範

例

10

一端固定且k＝100 N/m之彈簧，平放於水平面上。另一端繫m＝4 kg的物體，當彈簧被壓縮0.2 m時，物體速度為2 m/s，則此S.H.M.：(Ａ)週期為 EQ \F(2π, 5 ) 秒　　　　(Ｂ)此時加速度為5 m/s2　　(Ｃ)最大動能為10 J　　　(Ｄ)最大速率為 EQ \R(, 5 ) m/s　　(Ｅ)最大動能為6 J

【答案】ＡＢＣＤ

【解析】(Ａ)○　依 T＝2πEQ \F(m, k ) EQ \R(, ) T＝2πEQ \F(4, 100 ) EQ \R(, )＝ EQ \F(2π, 5 ) (sec)(Ｂ)○　由 F＝kΔx＝max 100×0.2＝4×ax，ax＝5 m/s2 EQ \s((Ｃ)○,(Ｅ)×)　依 ΣE＝EK＋Us＝const. (EK)max＝ EQ \F(1, 2 ) ‧4‧22＋ EQ \F(1, 2 ) ‧100‧0.22＝10 J(Ｄ)○　承(Ｃ)，得10＝ EQ \F(1, 2 ) ‧4‧(vx)max2，(vx)max＝ EQ \R(, 5 )m/s

類題

11. 力常數為k之彈簧置於一水平光滑平面上，一端固定，另一端連結一質量m的木塊作S.H.M。(1) 當木塊離平衡點的位移為最大位移(R)的 EQ \F(2, 3 ) 時，其動能為最大動能的若干倍？(2) 木塊在平衡點時之速率為若干？

答

：EQ \F(5, 9 ) EQ \x\bo(　(1) ；(2) REQ \F(k, m ) EQ \R(, )　)。

範

例

11

大雄在玩一種遊戲，他用平放在水平無摩擦桌面上的彈簧加載子

彈，試圖擊中地板上的小箱，如右圖所示。首次將彈簧壓縮1 cm

，結果子彈落在距目標差20 cm處，已知目標與桌沿的水平距離

為2 m，試問大雄應將彈簧壓縮多少公分方可打中箱子？(Ａ) EQ \F(8, 9 )　　 (Ｂ) EQ \F(10, 9 ) 　　(Ｃ) EQ \F(4, 3 ) 　　(Ｄ) EQ \F(5, 3 ) 　　(Ｅ) 2

【答案】Ｂ

【解析】(1) 依 ΣE＝EK＋Us＝const. eq \o(\s\up 6(子彈質量為m),\s\do 1(--------------→)) EQ \F(1, 2 ) k‧Δx2＝ EQ \F(1, 2 ) m‧v2

　 ∴ v＝EQ \F(k, m ) EQ \R(, )‧Δx eq \o(\s\up 6(k、m＝const.),\s\do 1(----------------→)) vΔx

(2) 子彈自A→B，進行水平拋射運動：

EQ \F(1, 2 ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( h＝g‧t2(t＝EQ \F(2h, g ) EQ \R(, ), R＝v0‧t(R＝v‧EQ \F(2h, g ) EQ \R(, )eq \o(\s\up 6(h、g＝const.),\s\do 1(--------------→))RvΔx))

∴ EQ \F(1, Δx' ) ＝ EQ \F(200－20, 200 ) ，Δx'＝ EQ \F(10, 9 ) cm

類題

12. 如右圖所示，一水平光滑金屬棒貫穿彈力常數為k的彈簧，A、B為貫穿金屬棒的光滑圓環，固定於彈簧兩端，並各連一懸線，下懸質量M的物體，平衡時∠BAC＝∠ABC＝60°，求彈性位能為多少？ (Ａ) EQ \F(M2g2, 12k )　　 (Ｂ) EQ \F(M2g2, 6k ) 　　(Ｃ) EQ \F(M2g2, 24k ) 　　(Ｄ) EQ \F(M2g2, 16k ) 　　(Ｅ) EQ \F(M2g2, 8k )

答

：　Ｃ　。

範

例

12

輕彈簧力常數為k，鉛直懸掛，上端固定，下端繫質量為m的物體，則：

(1) 令彈簧由原長處緩慢下降至平衡位置，彈簧伸長量為何？

(2) 令彈簧由原長處放手自由下墜，則彈簧的最大伸長量為何？振動時最大動能為若干？

【答案】(1) EQ \F(mg, k ) ；(2) EQ \F(2mg, k )， EQ \F(m2g2, 2k )

【解析】(1) 平衡位置： ΣF＝0 k‧Δ＝mg，Δ＝ EQ \F(mg, k )

(2) 依 ΣE＝EK＋Ug＋Us＝const. （定彈簧自然長度處為零位面）

0＝0＋mg‧(－ymax)＋ EQ \F(1, 2 ) k‧ymax2，ymax＝ EQ \F(2mg, k )

故S.H.M.振幅： R＝ymax－Δ R＝ EQ \F(2mg, k )－ EQ \F(mg, k ) ＝ EQ \F(mg, k ) 又 (vy) max＝ EQ \F(2πR, T ) (vy)max＝EQ \F(mg, k ) EQ \F(2π(), 2πEQ \F(m, k ) EQ \R(, ) ) ＝EQ \F(m, k ) EQ \R(, )g得最大動能：(EK)max＝ EQ \F(1, 2 ) m‧(vy)max2＝ EQ \F(m2g2, 2k )

類題

13. 如右圖所示，質量m的小物體，從彈力常數k的輕彈簧正上方高h處自由落下：

(1) 彈簧一端固定，求此鉛直彈簧最大壓縮量為何？

(2) 若m與彈簧結合而上下作S.H.M.，則週期、振幅、最大速率各為何？

答

：EQ \F(mg, k ) EQ \x\bo(　(1) ＋EQ \F(mg, k ) EQ \R(,()2＋ EQ \F(2mgh, k ) )；(2) 2πEQ \F(m, k ) EQ \R(, )，EQ \F(mg, k ) EQ \R(,()2＋ EQ \F(2mgh, k ) )，EQ \F(mg2, k ) EQ \R(,＋2gh )　)。

類題

14. 某人持一長度、質量m、密度均勻的細鐵鍊，令鐵鍊的下端輕觸一彈簧秤盤，如右圖所示，設彈簧秤的彈力常數為k。今將此鐵鍊放開令其自由墜下落於秤盤中。若秤盤、彈簧的質量均可不計，所生的熱能亦可略去，且彈簧秤遵守虎克定律，則秤盤下沉的最大位移為何？

答

：EQ \F(mg, k ) EQ \x\bo(　＋EQ \F(mg, k ) EQ \R(,()2＋ EQ \F(mg, k ) )　)。

範

例

1

3

有一彈簧吊在天花板，下端掛一物塊其質量為m，則使彈簧伸長x0，若將彈簧再拉長x，然後釋手令其振動，設g表示重力場強度，試問下列何者正確？(Ａ)物體在平衡點所受的淨力為零　　　　(Ｂ)彈簧的力常數為 EQ \F(mg, x0 ) (Ｃ)物體位移x所需的時間為EQ \F(x, g ) EQ \F(π, 2 )

EQ \R(, )　　(Ｄ)物體在最低點時，彈簧所具有的彈力位能為 EQ \F(mgx2, 2x0 )

【答案】ＡＢ

【解析】 (Ａ)○　 S.H.M.之平衡位置： ΣF＝0 k‧x0＝mg，k＝ EQ \F(mg, x0 ) (Ｂ)○

(Ｃ)×　S.H.M.之週期： T＝2πEQ \F(m, k ) EQ \R(, ) T＝2πEQ \F(mg, x0 ) EQ \F(m, ( EQ \R(,) ) )＝2πEQ \F(x0, g ) EQ \R(, )

位移x之費時：t＝ EQ \F(T, 4 ) ＝EQ \F(x0, g ) EQ \F(π, 2 )

EQ \R(, )

(Ｄ)×　最低點處： Δy＝x0＋x 　　　　∴Us＝ EQ \F(1, 2 ) k‧Δy2＝ EQ \F(1, 2 ) ( EQ \F(mg, x0 ) )‧(x0＋x)2＝ EQ \F(mg(x0＋x)2, 2x0 )

類題

15. 天花板下方懸吊一彈力常數為k的彈簧，彈簧下方掛一重物而平衡，今由平衡處下拉R的距離後釋放，則重物上升 EQ \F(2, 3 ) R時，其動能為若干？

答

：EQ \F(4, 9 ) EQ \x\bo(　kR2　)。

類題

16. 一彈力常數為k、質量不計的彈簧，使其一端固定在地板上，鉛直而立。質量為m的物體置於彈簧上，由原長處向下壓了x (x＞ EQ \F(2mg, k ) )長再放手。當物體恰欲離開彈簧時速度為何？

答

：EQ \F(kx2－2mgx, m ) EQ \x\bo(　 )　)。

範

例

14

一力常數為98 N/m，自然長度為2.0 m的輕彈簧，放在光滑斜面的底部，該斜面和水平面之間的夾角為30°。已知有一質量為400 g的木塊從斜面頂端自靜止開始沿斜面滑下後，最多可將此彈簧壓縮40 cm。試問木塊在到達最低點前，在斜面上所滑行的距離為多少？

【答案】4 m

【解析】m：a→b，如右圖所示

依 ΣE＝EK＋Ug＋Us＝const. （定斜面頂點處為零位面）

0＝0＋(0.4)‧(9.8)‧(－sin30°)＋ EQ \F(1, 2 ) ‧9.8‧(0.4)2，＝4 m

類題

17. 右圖中之彈簧k＝100 N/m，M＝1.0 kg，M自靜止下滑可將彈簧壓縮0.20 m，問：(1) M從下滑至靜止前滑行的距離為若干？(2) 恰與彈簧接觸時的速度為若干？(g＝10 m/s2)

答

：2 ) EQ \x\bo(　(1) 0.4 m；(2) m/s　)。

９

-

3.3

鉛直面圓周運動（變速率圓周運動）

一

以繩繫一質點m，使其恰可在鉛直面上作圓周運動

1. 質點m在最高點，A位置：gR ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) 速率：vA＝, (2) 張力：TA＝0, (3) 向心力：(Fn)A＝mg))

【推演】如右圖所示，質點達鉛直面之最高點，A位置：　　　　依 Fn＝m‧ EQ \F(v2, r ) 　　　　　mg＋TA＝m‧ EQ \F(vA2, R ) eq \o(\s\up 6(vA→min：TA＝0),\s\do 1(--------------→))gR ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( (Fn)A＝mg, vA＝))

2. 質點m在任意點，P位置： gR(3－2cosθ) ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) 速率：vP＝, (2) 張力：TP＝3mg(1－cosθ), (3) 向心力：(Fn)P＝mg(3－2cosθ)))

【推演】依 ΣE＝EK＋Ug＝const. EQ \F(1, 2 ) mvA2＋mghA＝ EQ \F(1, 2 ) mvP2＋mghP　　　　得vP2＝vA2＋2g(hA－hp)eq \o(\s\up 6(Δh＝hA－hP＝R(1－cosθ)),\s\do 1(---------------------→))vp＝ EQ \R(, gR(3－2cosθ) )　　　　又(Fn)P＝m‧ EQ \F(vP2, R ) eq \o(\s\up 6(代入vp),\s\do 1(--------→))(Fn)P＝mg(3－2cosθ)　　　　(1) 質點m在中點處，B位置eq \o(\s\up 6(θ＝90°),\s\do 1(--------→))3gR ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) 速率：vB＝, (2) 張力：TB＝3mg, (3) 向心力：(Fn)B＝3mg))

　　　　(2) 質點m在最低點，C位置eq \o(\s\up 6(θ＝180°),\s\do 1(--------→))5gR ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) 速率：vC＝, (2) 張力：TC＝6mg, (3) 向心力：(Fn)C＝5mg))

二

以一質點m自光滑固定的球頂端靜止釋放

▲ 鉛直面之圓周運動分析

1. 質點m在任意點，P位置：2gR(1－cosθ) ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) 速率：vP＝, (2) 向心力：(Fn)P＝2mg(1－cosθ), (3) 正向力：NP＝mg(3cosθ－2), (4) 法線加速度：(an)P＝2g(1－cosθ), (5) 切線加速度：(at)P＝gsinθ))

【推演】依 ΣE＝EK＋Ug＝const. EQ \F(1, 2 ) mvA2＋mghA＝ EQ \F(1, 2 ) mvP2＋mghP　　　　得vP2＝vA2＋2g(hA－hP) eq \o(\s\up 6(Δh＝hA－hP＝R(1－cosθ)，vA＝0),\s\do 1(-------------------------→)) vP＝ EQ \R(, 2gR(1－cosθ) )　　　　(1) 法線方向(n)的力學分析：　　　　　　 (Fn)P＝m‧ EQ \F(vP2, R ) eq \o(\s\up 6(代入vP),\s\do 1(--------→))(Fn)P＝2mg(1－cosθ)eq \o(\s\up 6(Fn＝m‧an),\s\do 1(--------→))(an)P＝2g(1－cosθ)　　　　　　 且(Fn)P＝mgcosθ－NPeq \o(\s\up 6(代入(Fn)P),\s\do 1(--------→))NP＝mg(3cosθ－2)　　　　(2) 切線方向(t)的力學分析：　　　　　　　 (Ft)P＝mg‧sinθeq \o(\s\up 6(Ft＝m‧at),\s\do 1(--------→))(at)P＝gsinθ

2. 質點m恰離開球面：EQ \F(2, 3 ) 與鉛直線之夾角：cosθ＝ eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) 正向力：N＝0（質點與球面沒有接觸）, (2) 位置：eq \o(\s\up 6(角度值),\s\do 1(------→))θ＝48.2°, 距地面之鉛直高度：h＝R＋Rcosθ＝ EQ \F(5, 3 ) R)),(3) 速率：v＝EQ \F(2, 3 ) EQ \R(,gR ),(4) 合力：ΣF＝mg,(5) 向心力：Fn＝ EQ \F(2, 3 ) mg))

3. 質點m著地後再度反彈之最大高度：H＝EQ \F(50, 27 ) EQ \x\bo(　R　)。

【推演】(1) 承2.，質點m恰離開球面時之水平速率為vx＝vcosθ＝EQ \F(2, 3 ) EQ \R(,gR )× EQ \F(2, 3 ) ，此即質點m著地後再度反彈達最大高度時之速率。

(2) 依 ΣE＝EK＋Ug＝const. mg(2R)＝mgH＋ EQ \F(1, 2 ) mvx2代入vx，得H＝ EQ \F(50, 27 ) R。

三

以一質點m自光滑固定的碗頂端靜止釋放

1. 質點m在任意點，P位置：2gRsinθ ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) 速率：vP＝, (2) 正向力：NP＝3mgsinθ, (3) 法線加速度：(an)P＝2gsinθ, (4) 切線加速度：(at)P＝gcosθ))

【推演】(1) 法線方向(n)的力學分析：

依 ΣE＝EK＋Ug＝const. EQ \F(1, 2 ) mvA2＋mghA＝ EQ \F(1, 2 ) mvP2＋mghP得vP2＝vA2＋2g(hA－hP) eq \o(\s\up 6(Δh＝hA－hP＝Rsinθ),\s\do 1(----------------→)) vP＝ EQ \R(, 2gRsinθ )又(Fn)P＝N－mgsinθ∴N－mgsinθ＝n‧ EQ \F(vP2, R ) ＝m‧aneq \o(\s\up 6(代入vP),\s\do 1(------→)) eq \b\lc\{(\a\al\co1( an＝2gsinθ, N＝3mgsinθ))

(2) 切線方向(t)的力學分析：(Ft)P＝mg‧cosθeq \o(\s\up 6(Ft＝m‧at),\s\do 1(--------→))(at)P＝gcosθ

2. 質點m在最低點，C位置eq \o(\s\up 6(θ＝90°),\s\do 1(--------→))2gR ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) 速率：vP＝, (2) 正向力：NP＝3mg, (3) 法線加速度：(an)P＝2g, (4) 切線加速度：(at)P＝0))

範

例

15

如右圖所示，設平面AB與曲面BCD均光滑，若小球自A點射出的速率為 EQ \R(, 3gR )，則小球上升至多高即脫離曲面？

【答案】 EQ \F(4, 3 ) R

【解析】(1) 小球在曲面上任一位置P：如右圖所示

高度：h＝R＋Rsinθ＝R(1＋sinθ)……(ａ)

速率：vP2＝v02－2gh＝( EQ \R(, 3gR ))2－2gR(1＋sinθ)＝gR(1－2sinθ)

(2) 小球在P位置之力學分析：依 ΣFn＝m‧ EQ \F(v2, r ) N＋mgsinθ＝m‧ EQ \F(vP2, R ) eq \o(\s\up 6(小球恰離開軌道：N＝0),\s\do 1(---------------------------→)) mgsinθ＝m‧ EQ \F(vP2, R ) 代入vP，解得sinθ＝ EQ \F(1, 3 ) eq \o(\s\up 6(代入(a)式),\s\do 1(----------→))h＝ EQ \F(4, 3 ) R

類題

18. 某人由乘坐無動力的小滑車循軌道滑下去，希望能夠緊貼著如右圖的軌道完成圓圈內的打轉而不脫離。假定摩擦可以忽略，圓圈的半徑為R，則A點至少要比B點高出多少才行？

答

：EQ \F(1, 2 ) EQ \x\bo(　R　)。

類題

19. 如右圖所示，質量為m之物體沿AB平面以初速v0自A點出發向左運動，沿半圓BCD升至D點時，離開半圓正落於A點，求v0為何？

答

：EQ \F(gL2＋16gr2, 4r ) EQ \x\bo(　 )　)。

範

例

16

如右圖所示之曲面為光滑圓的 EQ \F(1, 2 ) ，今一質量M＝3 kg之小質點自然落下碰到位於半圓最低點質量m＝2 kg之小質點後連在一起，則碰撞後瞬間地面作用於合物體之作用力為若干？（令兩質點質量<<曲面質量，R＝5 m）

【答案】86 N

【解析】(1) 設M質點滑至軌道最低點和m質點碰撞前後之速率各為V、V'：

EQ \F(1, 2 ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( ΣE＝const.：M‧g‧R＝M‧V2, ΣP＝const.：M‧V＝(m＋M)‧V')) eq \o(\s\up 6(聯立解得),\s\do 1(------------→)) V'＝ EQ \F(M, m＋M ) EQ \R(, 2gR)∴代入各數值得V'＝6 m/s

(2) 分析合體的力學分析：依ΣFn＝m‧ EQ \F(v2, r ) N－(m＋M)g＝(m＋M)‧ EQ \F(V'2, R ) eq \o(\s\up 6(代入各數值),\s\do 1(------------→)) N＝86 N

類題

20. 試回答下列有關鉛直面圓周運動問題：

(1) 小木塊質量為m沿無摩擦的翻圈軌道滑行，如右圖所示。若木塊在處P由靜止起動，在Q處木塊作用於軌道的合力為何？(Ａ) mg　　(Ｂ) 2 mg　　(Ｃ) 4 mg　　(Ｄ) 6 mg　　(Ｅ) 8 mg　　

(2) 承上題，m到環頂時，m施於軌道之力為：(Ａ) 2 mg　　(Ｂ) 3 mg　　(Ｃ) 4 mg　　(Ｄ) 5 mg　　(Ｅ) 6 mg　　

(3) 承上題，使m恰可滑至環頂，則m應從距底面多高處下滑？

答

：EQ \F(5, 2 ) EQ \x\bo(　(1)Ｅ；(2)Ｄ；(3) R　)。

範

例

17

一擺長為R的單擺懸於牆上O點。在O點的正下方距離H處（H＜R）有一水平細桿O'，細桿垂直進入牆面。今要擺錘在細桿擋住擺線後，仍能繞細桿作完整的圓周運動，則 EQ \F(H, R ) 的最小比值應為：(Ａ) EQ \F(1, 2 ) 　　(Ｂ) EQ \F(3, 5 ) 　　(Ｃ) EQ \F(2, 3 ) 　　(Ｄ) EQ \F(3, 4 ) 　　(Ｅ) EQ \F(4, 5 )

【答案】Ｂ

【解析】(1) 小球：A→B

依 ΣE＝const. （取擺錘釋放處為零位面）

0＝mg(－R)＋ EQ \F(1, 2 ) mvB2，vB＝ EQ \R(, 2gR )

(2) 擺錘在B位置處能繞O' 做完整的圓周運動，必須滿足vB≧ EQ \R(, 5gr )＝ EQ \R(, 5g(R－H))

∴ EQ \R(, 2gR )≧ EQ \R(, 5g(R－H))， EQ \F(H, R ) ≧ EQ \F(3, 5 ) ，即( EQ \F(H, R ) )min＝ EQ \F(3, 5 )

類題

21. 某輕繩一端固定於O點，另一端連結質量m的小球，被拉至水平A點後靜止放開，當小球擺至B點時（∠AOB＝30°），擺線的中點被一小鐵釘P卡住。試問，擺線被鐵釘卡住前後瞬間的張力比值為多少？

答

：EQ \F(3, 5 ) EQ \x\bo(　　)。

範

例

18

如右圖所示，一光滑的半球形物體固定在水平面上。有一小球置於該半球體的頂端，自靜止開始順著球面自由滑下。已知半球體的半徑為R，試問當小球滑至離地的高度多少時，會脫離半球體的表面。

【答案】 EQ \F(2, 3 ) R

【解析】(1) 小球在半球面上任一位置P：如下圖所示

(ａ)(ｂ)

與原位置高度差—Δh＝R－Rcosθ＝R(1－cosθ)

速率—vP2＝v02＋2gh＝2gR(1－cosθ)

(2) 小球在位置P之力學分析：依 ΣFn＝m‧ EQ \F(v2, r ) mgcosθ－N＝m‧ EQ \F(vP2, R ) eq \o(\s\up 6(小球恰離開軌道：N＝0),\s\do 1(------------------------→)) mgcosθ＝m‧ EQ \F(vP2, R ) 代入vP，解得cosθ＝ EQ \F(2, 3 ) eq \o(\s\up 6( (a)圖),\s\do 1(-----→))h＝ EQ \F(2, 3 ) R

類題

22. 將一質點自一光滑圓球面頂由靜止滑下，該圓球半徑為R，且固定於地上不動，重力場強度為g，則該質點離開球面時，質點至圓心的連線與鉛垂線夾角為若干？又此時該質點之速率為若干？當質點著地時速率又若干？

答

：EQ \F(2, 3 ) EQ \x\bo(　cos－1；EQ \F(2, 3 ) EQ \R(,gR )； EQ \R(, 2gR )　)。

自我挑戰

題

( Ｃ ) 1.以初速度v0平拋一個物體，在物體落地時它的動能增加為初動能的5倍，則從拋出到它的動能增加為初動能的3倍所需的時間為：(Ａ) EQ \F(3v0, g )　　(Ｂ) 3 ) EQ \F(v0, g )　　(Ｃ) 2 ) EQ \F(v0, g )　　(Ｄ) EQ \F(2v0, g )　　(Ｅ) 3 ) EQ \F((－1)v0, g )

( Ａ ) 2.如右圖所示，懸於天花板的單擺，繩長為公尺，使其作幅角為θ0而cosθ0＝ EQ \F(2, 3 ) 的振動，當擺至最低點時，擺繩突然折斷，若天花板離地面高度為L公尺，則著地時水平位移D為：

(Ａ) 2EQ \F((L－), 3 ) EQ \R(, )　　(Ｂ) 3EQ \F((L－), 2 ) EQ \R(, )　　(Ｃ) 2EQ \F((L－), 3 ) EQ \R(, )　(Ｄ) 3EQ \F((L－), 2 ) EQ \R(, )　　(Ｅ) EQ \R(,(L－) )

(ＡＥ) 3.如右圖所示，有一輕彈簧（彈力常數為k）水平放置，一端固定於牆，一端連結質量m的物體，則當物體離平衡點的位置為振幅的一半時：(Ａ)週期為2πEQ \F(m, k ) EQ \R(, )　　　　　(Ｂ)彈力位能為 EQ \F(M2g2, 2k ) (Ｃ)速度大小為最大值的 EQ \F(1, 2 ) 　　 (Ｄ)彈力位能占總力學能的 EQ \F(3, 4 ) (Ｅ)動能占總力學能的 EQ \F(3, 4 )

(ＡＣ) 4.一個輕質彈簧水平放置於光滑面上，一端繫以質量為m的物體，今由自然長度的位置

Ｅ拉長R後釋放，則下列何者正確？(Ａ)釋放後物體作變加速度運動(Ｂ)物體離開釋放處 EQ \F(3, 4 ) R時的動能為 EQ \F(7, 32 ) kR2(Ｃ)當彈性位能等於物體動能時，物體離平衡點2 ) EQ \F(, 2 ) R(Ｄ)承(Ｃ)，此時的動能是最大動能的2 ) EQ \F(, 2 ) 倍(Ｅ)物體的最大動能為 EQ \F(1, 2 ) kR2

(ＡＢ) 5.一滑塊進行S.H.M.，當時x＝6 m時，v＝8 m/s；當x＝8 m時，v＝6 m/s，則：

Ｃ(Ａ)週期為2πsec　　　　 (Ｂ)振幅為10 m　　　　　　(Ｃ)最大速度為10 m/s　　　(Ｄ)最大加速度為5 m/s2　　(Ｅ)滑塊最大受力為10 N

( Ｃ ) 6.一塑膠圓盤以彈簧掛起，彈簧的彈力常數為k，設有一質量為m的重物自圓盤上方高度H處落下附著於盤內做簡諧運動，如右圖所示。彈簧及圓盤的質量可以略去不計，則圓盤振盪的振幅為何？(Ａ) ( EQ \F(m2g2, k2 ) ＋ EQ \F(mgH, k ) )EQ \F(1, 2 ) EQ \s\up8()　　 (Ｂ) ( EQ \F(m2g2, 2k2 ) ＋ EQ \F(2mgH, k ) )EQ \F(1, 2 ) EQ \s\up8()　(Ｃ) ( EQ \F(m2g2, k2 ) ＋ EQ \F(2mgH, k ) )EQ \F(1, 2 ) EQ \s\up8()　　(Ｄ) ( EQ \F(2mgH, k ) )EQ \F(1, 2 ) EQ \s\up8()　　　　　(Ｅ) EQ \F(mg, k )

(ＡＢ) 7.一自然長度為12 L的彈簧，上端固定，下端掛一質量為m

ＣＥ的物體，並使物體在鉛垂方向做簡諧運動。設重力加速度為g，運動過程中彈簧的長度最短時是11 L，最長時是15 L，則下列敘述何者為正確？（彈簧的質量不計）(Ａ)彈簧的彈力常數是k＝ EQ \F(mg, L ) (Ｂ)當物體的速率最大時，彈簧的長度是13 L(Ｃ)物體的最大動能是2 mgL(Ｄ)當彈簧長度是11 L及15 L時，彈簧的彈性位能相同(Ｅ)當彈簧長度是12 L及14 L時，物體的動能相同

( Ｃ ) 8.如右圖所示，質量m的物體在光滑平面上以速率v0＝ EQ \R(, 4gR )，沿半徑為R之半圓形軌道上升，則在距地面若干高度時，此物體會脫離軌道？(Ａ) EQ \F(2, 3 ) R　　(Ｂ) EQ \F(4, 3 ) R　　(Ｃ) EQ \F(5, 3 ) R　　(Ｄ) EQ \F(5, 4 ) R　　(Ｅ) EQ \F(6, 5 ) R　　

(ＡＤ) 9.設一質點自一光滑固定之圓球面頂由靜止滑下，則此質點離開球面時，質點至圓心連

Ｅ線與鉛垂線之夾角：(Ａ)大於45°，小於60°　　(Ｂ)與重力加速度有關　　　　　　　(Ｃ)與球面之半徑有關(Ｄ)與質點之質量無關　　　(Ｅ)與質點的位能與動能之和無關

10.將長度、質量m之粗細均勻繩子一端繫結質量為M之小球。不計空氣阻力

將球以v之初速從地面鉛直上拋。假定繩子能夠全部離開地面時，球能夠上

升之最大高度h為若干？

答

：EQ \F(Mv2＋mg, 2g(M＋m) ) EQ \x\bo(　　)。

11.如右圖所示，質量m，長度的細繩，用手固定於光滑水平桌面，有 EQ \F(1, 3 ) 垂下置於和桌面密接的光滑斜面，斜面斜角37°，放手後繩子沿斜面下滑，當繩子尾端剛脫離水平桌面的瞬間，繩子速率為何？（重力加速度g）

答

：EQ \F(8g, 15 ) EQ \x\bo(　 )　)。

12.假設射箭的弓如線性彈簧，若弓向後拉5 cm向上直射可升高h米。若將弓向後拉20 cm，同樣向上直射可升高幾米？

答

：　16 h　。

13.在水平光滑面上，一自然長度為0，力常數為k的輕彈簧。其一端固定於牆壁上，另一端沿水平方向繫結一質量為m的靜止物塊A，如右上圖所示。另取一質量和A相同的物塊B，兩者分開放置。現用手將物體A推至右下圖所示的位置。彈簧的壓縮量為x0，並移動物塊B使緊靠在A的右側。然後鬆手讓彈簧推動兩物體，試回答下列各問題：

(1) 彈簧的長度恢復至其自然長度時，A和B的速率各為何？

答

：EQ \F(k, 2m ) EQ \x\bo(　vA＝vB＝) x0　)。

(2) 彈簧的長度最長可達多少？這時A和B的速率各為何？

答

：2 )EQ \F( EQ \x\bo(　0＋, 2 ) x0，vA'＝0、vB'＝EQ \F(k, 2m ) EQ \R(,) x0　)。

14.右圖所示之彈簧k＝100 N/m，M＝10 kg，M自傾角θ＝30°之光滑斜面頂端靜止下滑，發生彈簧最大壓縮量為2 m，問：(g＝10 m／s2)

(1) M從下滑至接觸彈簧前滑行的距離d為若干？

答

：　2 m　。

(2) M的最大動能為若干？

答

：　112.5 J　。

(3)振幅為若干？

答

：　1.5 m　。

(4) M連接彈簧進行S.H.M.，則彈簧的最大伸長量為若干？

答

：　1 m　。

15.如右圖所示，有一斜面其傾斜角θ，另有一彈力常數k的輕彈簧，其一端固定於斜面的頂端，另一端連接一質量為m的物體。今用一力F將物體沿斜面向上推，使其由平衡點向上位移x，試回答下列各問題：

(1) 該物體重力位能增加若干？

答

：　mgxsinθ　。

(2) 彈簧彈性位能增加若干？

答

：EQ \F(k, 2 ) EQ \x\bo(　x2－mg x sinθ　)。

(3) 系統總位能增加若干？

答

：EQ \F(1, 2 ) EQ \x\bo(　kx2　)。

16.質量為m之質點沿一軌道滑下並進入軌道之圓形部分，如右圖所示，設圓形軌道部分之半徑為R，所有之摩擦均可略去，質點的起始高度為 EQ \F(5, 2 ) R，則在質點到達A點之瞬間，軌道對質點之作用力大小為何？

答

：EQ \F(3, 2 ) EQ \x\bo(　mg　)。

17.如右圖所示，質量各為m和2 m的A、B兩質點，以輕棒連接， EQ \x\to(OA)＝ EQ \x\to(AB)＝，輕棒由水平位置靜止釋放，繞O點自由旋轉到鉛直位置瞬間，試求：

(1) 質點A的速率為若干？

答

：EQ \F(1, 3 ) EQ \x\bo(　 EQ \R(, 10g )　)。

(2) EQ \x\to(AB)段輕棒張力為若干？

答

：EQ \F(58, 9 ) EQ \x\bo(　mg　)。

18.如右圖所示，半徑為R的碗，取一質量為m的小石頭自碗頂部自由滑下，碗面光滑，今滑下θ角時：

(1) 速率為何？

答

：2gRsinθ ) EQ \x\bo(　　)。

(2) 法向加速度為何？

答

：　2gsinθ　。

(3) 切向加速度為何？

答

：　gcosθ　。

(4) 碗壁給小石頭之作用力為何？

答

：　3mgsinθ　。

9

-

4

重力位能的一般式

一

非均勻場下重力位能的一般式

1. 廣義的重力位能：

(ａ)(ｂ)

▲廣義的重力位能

設地球（或星球）質量為M、半徑為Re，以無窮遠處為重力位能之零位面，則距地心r處，質量m之物體與地球間之重力位能為： Ug（r）＝EQ \F(GMm, r ) EQ \x\bo( －＝－mgr ) g＝EQ \F(GM, r2 ) EQ \x\bo( ) eq \b\lc\{(\a\al\co1(r ≥ Re, g：距地心 r 處，地球所建立之重力場強度))

【推演】(1) 地表外的物體自∞處等速移至距地心r處時，重力對系統作正功，即：Wg＝圖(ｂ)所示之斜線面積＝ EQ \i\in(r,∞, ) Fg(r)dr＝ EQ \i\in(r,∞, )

EQ \F(GMm, r2 ) dr＝－ EQ \F(GMm, r ) |EQ \A(∞,r)＝ EQ \F(GMm, r )

(2) 依 Wg＝－ΔUg EQ \F(GMm, r ) ＝－[Ug(r)－Ug(∞)] eq \o(\s\up 6(定Ug(∞)＝0),\s\do 1(----------→))Ug(r)＝－ EQ \F(GMm, r ) 又 g＝ EQ \F(GM, r2 ) Ug(r)＝ EQ \F(－GMm, r ) ＝( EQ \F(－GM, r2 ) )．m．r＝－mgr

2. 當選定不同處為零位面，則各處之重力位能隨之改變，但任兩點間的重力位能差值恆不變，如下表所列。

質點位置

地心(r＝0)

地表(r＝Re)

距地心r處

無窮遠處(r＝∞)

重力位能

（Ug (r)）

－ EQ \F(3 GMm, 2 Re )

－ EQ \F(GMm, Re )

－ EQ \F(GMm, r )

0

－ EQ \F( GMm, 2 Re )

0

－ EQ \F(GMm, r ) ＋ EQ \F(GMm, Re )

－ EQ \F(GMm, Re )

二

多質點系統的重力位能

1. 「Ug(r)＝－ EQ \F(GMm, r ) 」適用於任何兩粒子或兩均質球形物體的系統。

2. 任何一對粒子之間都有萬有引力的交互作用，也因此具有重力位能。整個系統的重力位能等於所有成對粒子的重力位能的　代數和　。

(1) n個質點系統，兩兩成一對，則Ug有EQ \F(n(n－1), 2 ) EQ \x\bo(　　)對重力位能。

(2) 如右圖所示，有三個質量分別為m1、m2和m3的粒子組成一個系統，彼此間的距離分別為r12、r23和r31，則該系統的重力位能為

ΣUg＝EQ \F(Gm1m2, r12 ) EQ \x\bo(　U12＋U23＋U31＝－(＋ EQ \F(Gm2m3, r23 ) ＋ EQ \F(Gm3m1, r31 ) )　)。

(3) 將多質點系統各質點拉散到無限遠處，至少需做功 EQ \x\bo(　－ΣUg　)。

三

非均勻重力場的力學能守恆

1. 天體運動的兩項基本概念：Fg,) eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) 星體僅受萬有引力（）作用, (2) 星體運行時軌道力學能守恆（ΣE＝const.）))。

2. 「圓軌道」上的力學能守恆：EQ \F(1, 2 ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) 動能—EK(r)＝mv2＝ EQ \F(GMm, 2r ) , (2) 位能—Ug(r)＝－ EQ \F(GMm, r ) , (3) 力學能—E(r)＝－ EQ \F(GMm, 2r ) ＝－EK(r)＝const.))

(1) 脫離能，EQ \F(GMm, r ) EQ \x\bo(　Ee＝　)—使物體脫離引力所需具備的最小動能，稱為脫離能。

(2) 束縛能，EQ \F(GMm, 2r ) EQ \x\bo(　Eb＝　)—使物體脫離引力所需補充的最小能量，稱為束縛能。

(3) 脫離速度，EQ \F(2GM, r ) EQ \x\bo(　ve＝ )　)—使物體脫離引力所需具備的最小速度，稱為脫離速度。

3. 「橢圓軌道」上的力學能守恆：EQ \F(1, 2 ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( (1) 動能—EK(r)＝mv2, (2) 位能—Ug(r)＝－ EQ \F(GMm, r ) , (3) 力學能—E(r)＝－ EQ \F(GMm, r ) ＋ EQ \F(1, 2 ) mv2＝const.))

範

例

19

在地表附近之均勻重力場中，鉛直上拋一物，最高可達H之高度，若以同樣之初速上拋，且需考慮重力場之實際變化，地球半徑為R，則最高可達高度為何？

【答案】 EQ \F(HR, R－H )

【解析】(1) 考慮 g＝const. eq \o(\s\up 6(ΣE＝const.),\s\do 1(------------→)) EQ \F(1, 2 ) mv02＝mgH…(ａ)

(2) 考慮 g≠const. eq \o(\s\up 6(ΣE＝const.),\s\do 1(------------→)) (－ EQ \F(GMm, R ) )＋ EQ \F(1, 2 ) mv02＝－ EQ \F(GMm, (R＋h) )

代入(ａ)式，得：(－ EQ \F(GMm, R ) )＋mgH＝－ EQ \F(GMm, (R＋h) ) EQ \F(GM, R2 ) eq \o(\s\up 9(g＝),\s\do 1(----------→))－gR＋gH＝－ EQ \F(gR2, (R＋h) ) ，h＝ EQ \F(HR, R－H )

類題

23. (1) 不計空氣阻力，若地球半徑為R，質量為M，則質量m的物體自離地面R處，由靜止自由落下至 EQ \F(R, 2 ) 處時，其動能為多少？速度大小為多少？

(2) 欲將一砲彈鉛直向上發射，使到達高度可達到地球的半徑R，若不計空氣阻力，地球表面的重力加速度為g0，則砲彈所需的初速為多少？

答

：EQ \F(GMm, 6R ) EQ \x\bo(　(1) ，EQ \F(GM, 3R ) EQ \R(, )；(2) EQ \R(,g0R )　)。

範

例

20

一顆人造衛星，在圓周軌道上繞地球運轉，其動能為EK，軌道半徑為r，則：(1) 欲使其軌道半徑變為5 r，須作功若干？

(2) 欲使其到達距地心5 r處之高空的瞬間為靜止，須作功若干？

(3) 欲使其脫離地球引力，至少須作功若干？

(4) 若其總能量因摩擦而損失 EQ \F(1, 5 ) EK，則軌道半徑變為何？

【答案】(1) EQ \F(4, 5 ) EK；(2) EQ \F(3, 5 ) EK；(3) EK；(4) EQ \F(5, 6 ) r

【解析】(1) 計算各地之總力學能：

依 E(r)＝－EK(r)

EQ \F(GMm, 2r ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( r → EK → E(r)＝－EK＝－, 5r → E(5r)＝－ EQ \F(GMm, 2(5 r) ) ＝ EQ \F(－1, 5 ) EK)) eq \o(\s\up 6(W供→ΔE),\s\do 1(----------→)) W供＝E(5r)－E(r)＝ EQ \F(4, 5 ) EK

(2) 同(1)：EQ \F(GMm, 2r ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( E(r)＝EK(r)＋Ug(r)＝－EK＝－, E(5r)＝Ug(5r)＝－ EQ \F(GMm, 5r ) ＝－ EQ \F(2, 5 ) EK)) eq \o(\s\up 6(W供→ΔE),\s\do 1(----------→)) W供＝E(5r)－E(r)＝ EQ \F(3, 5 ) EK

(3) 由E(r)＝－EK eq \o(\s\up 6(E(∞)＝0),\s\do 1(-----------→)) E束縛能＝－E(r)＝EK

(4) 承(1)，得E(r')＝－EK－ EQ \F(1, 5 ) EK＝－ EQ \F(6, 5 ) EK＝－ EQ \F(6, 5 )

EQ \F(GMm, 2r ) ＝－ EQ \F(GMm, 2r' ) ，r'＝ EQ \F(5, 6 ) r

類題

24. 一火箭獲得燃料所作之功W後，由地面上升最遠可達離地心d處的高空，若此火箭欲脫離地球吸引力之束縛，尚需能量 EQ \F(W, 9 ) ，則d為地球半徑之若干倍？

答

：　10　。

範

例

21

地球半徑為R，表面的重力場強度為g，今欲將一物鉛直上拋，使能脫離地球束縛而飛向無窮

遠處，則拋出初速至少為：

(Ａ) EQ \R(, gR )　　(Ｂ) EQ \R(, 2gR )　　(Ｃ) EQ \R(, 3gR )　　(Ｄ) 2 EQ \R(, gR )　　(Ｅ) EQ \R(, 5gR )

【答案】Ｂ

【解析】計算地表之總力學能：E(R)＝－ EQ \F(GMm, R ) eq \o(\s\up 6(E(∞)＝0),\s\do 1(------------→)) E束縛能＝－E(R)＝ EQ \F(GMm, R ) 又 g＝ EQ \F(GM, R2 ) W供＝ EQ \F(GMm, R ) ＝mgR eq \o(\s\up 6(轉移成脫離地球束縛之動能),\s\do 1(----------------------------→)) mgR＝ EQ \F(1, 2 ) mv02∵脫離速度：v0＝ EQ \R(, 2gR )

類題

25. 衛星繞地球運行之速度為v，則其脫離速率為：(Ａ) v　　(Ｂ) EQ \R(, 2 )v　　(Ｃ) EQ \R(, 3 )v　　(Ｄ) 2v　　(Ｅ) 2 EQ \R(, 2 )v

答

：　Ｂ　。

範

例

22

如右圖所示，已知萬有引力常數G，地球質量M，一顆流星質量m，距地球r時速度v0，當流星由A點（距地球r）到達B點（距地球 EQ \F(r, 3 ) ）的過程中，地球對流星作功為何？又在B點處流星的速率為何？

【答案】 EQ \F(2GMm, r ) ；EQ \F(4GM, r ) EQ \R(,v02＋ )

【解析】(1) 由 Wg＝－ΔUg Ug(r)＝－ EQ \F(GMm, r )

Wg＝－[(－EQ \F(r, 3 ) EQ \F(GMm, ) )－(－ EQ \F(GMm, r ) )]＝ EQ \F(2GMm, r )

(2) 重力為保守力，故軌道上力學能守恆，ΣE＝const.。

－ EQ \F(GMm, r ) ＋ EQ \F(1, 2 ) mv02＝－EQ \F(r, 3 ) EQ \F(GMm,（）) ＋ EQ \F(1, 2 ) mv12 eq \o(\s\up 6(流星在B處之速率為v1),\s\do 1(-----------------------→)) v1＝EQ \F(4GM, r ) EQ \R(,v02＋ )

類題

26. 如右圖所示，某彗星繞日運行的週期是27年，彗星的近日點與太陽的距離是6 A.U.，假設彗星在遠日點時的動能為EK，當該彗星自遠日點運行至近日點的期間內太陽的引力對其作功為何？（以EK表示之）

答

： EQ \x\bo(　3EK　)。

類題

27. 設地球半徑為R且密度均勻，地表的重力加速度為g，有一人造衛星繞地球作橢圓運動，近日點距地心2 R，遠日點距地心6 R，則該衛星行至近日點處的速度量值為何？

答

：EQ \F(3, 4 ) EQ \x\bo(　gR)　)。

範

例

2

3

有一均質圓環半徑為R，質量為M，在環的中心軸上，距環心 EQ \R(, 3 )R處有一質量m質點，由靜止射向環心，當質點到達環心處時，其速率為何？

【答案】 EQ \R(, GM/R )

【解析】(1) 計算質點m距環心x處的重力位能：如右圖所示

(Ug)x＝Σ(－R2＋x2 ) EQ \F(GΔMm, ) )＝(R2＋x2 ) EQ \F(－Gm, ) )ΣΔM＝－R2＋x2 ) EQ \F(GMm, )

∴得3 ) eq \b\lc\{(\a\al\co1( x＝R：(Ug)P＝－ EQ \F(GMm, 2R ) , x＝0：(Ug)O＝－ EQ \F(GMm, R ) ))

(2) m：P→O　依 ΣE＝const. － EQ \F(GMm, 2R ) ＝ EQ \F(1, 2 ) mvO2＋(－ EQ \F(GMm, R ) )，vO＝EQ \F(GM, R ) EQ \R(, )

類題

28. 兩物體質量各為M、m，原來皆靜止，且相距為r，由於萬有引力之作用而使兩者互相接近，則當兩者相距為 EQ \F(r, 2 ) 時，M之速率為若干？

答

：EQ \F(2G, (M＋m)r ) EQ \x\bo(　vM＝m )　)。

範

例

24

有一對雙子星，質量分別為m1、m2，距離為d，求此雙星之動能各若干？

【答案】(EK)1＝ EQ \F(m2, m1＋m2 ) ( EQ \F(Gm1m2, 2d) )，(EK)2＝ EQ \F(m1, m1＋m2 ) ( EQ \F(Gm1m2, 2d) )

【解析】依 EK＝ EQ \F(1, 2 ) mv2 (EK)1＝ EQ \F(1, 2 ) m1v12 eq \o(\s\up 6(圓周運動：Fg＝Fn),\s\do 1(---------------------→)) (EK)1＝ EQ \F(r1, 2 ) ‧ EQ \F(m1v12, r1 ) ＝ EQ \F(r1, 2 ) ‧ EQ \F(Gm1m2, d2 )

又r1＝ EQ \F(m2, m1＋m2 ) ×d，得(EK)1＝ EQ \F(m2, m1＋m2 ) ( EQ \F(Gm1m2, 2d) )eq \o(\s\up 6(同理可證),\s\do 1(------------→)) (EK)2＝ EQ \F(m1, m1＋m2 ) ( EQ \F(Gm1m2, 2d) )

類題

29. 三個完全相同之質點，質量均為m，各位於一邊長為r的正三角形三頂點上，繞共同質心運行（質心速度為零），則： (Ａ)總動能 EQ \F(3Gm2, 2r ) 　　(Ｂ)系統總位能－ EQ \F(Gm2, r ) 　　(Ｃ)系統總能量－ EQ \F(3Gm2, 2r ) 　　(Ｄ)束縛能 EQ \F(3Gm2, 2r ) 　　(Ｅ)系統總動量為0

答

：　ＡＣＤＥ　。

自我挑戰

題

( Ｄ ) 1.若定地表處為位能零位面，則地表上重量為mg的物體，改置於距地表R（R為地球半徑），其重力位能為若干？(Ａ) EQ \F(2, 3 ) mgR　　(Ｂ) － EQ \F(1, 2 ) mgR　　(Ｃ) － EQ \F(2, 3 ) mgR　　(Ｄ) EQ \F(1, 2 ) mgR　　(Ｅ) 2 mgR　　

(ＡＢ) 2.已知某人造衛星繞地球作半徑為r的圓周運動，則下列敘述何者正確？（地球質量M

Ｃ，衛星質量m）

(Ａ)衛星與地球之間的重力位能為－ EQ \F(GMm, r )

(Ｂ)衛星繞地球之動能為 EQ \F(GMm, 2r )

(Ｃ)欲使衛星脫離地球重力場的束縛需供給 EQ \F(GMm, 2r ) 的能量

(Ｄ)衛星的動能加倍，半徑亦加倍

(Ｅ)衛星的速率與其質量平方根成正比

( Ｂ ) 3.有一衛星繞地球運轉，軌道半徑為Ｒ時，動能為EK，今該衛星增加能量 EQ \F(EK, 4 ) ，則其軌道半徑變為若干？(Ａ) EQ \F(R, 2 ) 　　(Ｂ) EQ \F(4, 3 ) R　　(Ｃ) 2 R　　(Ｄ) EQ \F(5, 4 ) R　　(Ｅ) EQ \F(3, 2 ) R　　

( Ａ ) 4.一火箭由燃料作功W時，可由地面直升至距地面nR處而停止（地球半徑R），若欲使火箭脫離地球之引力場，則尚須增加能量為：(Ａ) EQ \F(W, n ) 　　(Ｂ) EQ \F(W, n－1 ) 　　(Ｃ) EQ \F(W, n＋1 ) 　　(Ｄ) EQ \F(n－1, n ) W　　(Ｅ) EQ \F(n, n－1 ) W

5.某行星質量m，以橢圓形軌道繞太陽運轉，在遠日點A距離太陽r1，速率為v1，在近日點C距太陽r2，如右圖所示。求：

(1) 行星行經 eq \o(ABC,︵)，太陽對行星所作功為何？

答

：EQ \F(1, 2 ) EQ \x\bo(　mv12( EQ \F(r12, r22 ) －1)　)。

(2) 行星行經 eq \o(CDA,︵)，太陽對行星所作功為何？

答

：EQ \F(1, 2 ) EQ \x\bo(　mv12(1－ EQ \F(r12, r22 ) )　)。

6.質量m之火箭在地面具有E之動能，可升至最高點P，若再增加動能 EQ \F(E, 8 ) 即可脫離地球引力場之高空中，試依據所給的條件回答下列各問題：

(1) 在地面位能為何？

答

： EQ \x\bo(　－9E／8　)。

(2) 火箭在P處之位能為何？

答

： EQ \x\bo(　－E／8　)。

(3) 火箭上升距地面的高度為地球半徑的幾倍？

答

： EQ \x\bo(　8　)。

7.設地球半徑為R，自地面發射質量m的人造衛星，使之到達離地面2R之軌道上繞地球作等速率圓周運動，若地球質量為M，則：

(1) 發射之初速率若干？

答

：EQ \F(5GM, 3R ) EQ \x\bo(　 )　)。

(2) 在軌道上的速率若干？

答

：EQ \F(GM, 3R ) EQ \x\bo(　 )　)。

(3) 欲使軌道半徑變成地球直徑的2倍，需要補充多少能量？

答

：EQ \F(GMm, 24R ) EQ \x\bo(　　)。

(4) 要將衛星(3)之軌道拿到無窮遠至少需供給多少能量？

答

：EQ \F(GMm, 8R ) EQ \x\bo(　　)。

8.一質量為m的人造衛星繞地球中心作圓周運動，其軌道半徑為地球半徑的四倍。設地球的質量為Me，半徑為R。若衛星的力學能損失 EQ \F(GMm, 12R ) ，則該衛星必須降低高度才能維持圓周運動，其新的軌道半徑為何？

答

：　2.4 R　。

9.假設彗星在近日點及遠日點時與太陽距離各為r及3r，通過遠日點時動能為EK，則

(1) 此彗星繞日時系統之力學能E為何？

答

： EQ \x\bo(　E＝－3EK　)。

(2) 在近日點時之曲率半徑R為何？

答

：　R＝1.5 r　。

10.一人造衛星質量為m，繞地球作橢圓軌道運行，衛星離地球中心最近的距離為R，離地心最遠的距離為4 R，設地球之質量為M，萬有引力常數為G，求：

(1) 衛星在離地心最近處之動能為若干？

答

：EQ \F(4GMm, 5R ) EQ \x\bo(　　)。

(2) 衛星在離地心2R處之動能為若干？

答

：EQ \F(3GMm, 10R ) EQ \x\bo(　　)。

11.質量m的衛星繞質量M的地球作橢圓形軌道運動，設衛星與地球之最近距離為r，最遠距離為 EQ \F(3, 2 ) r，重力常數為G，求：

(1) 衛星由最近點運動到最遠點時，地球引力對衛星所作的功為何？

答

：EQ \F(GMm, 3r ) EQ \x\bo(　－　)。

(2) 衛星的最大動能為何？

答

：EQ \F(3GMm, 5r ) EQ \x\bo(　　)。

(3) 衛星的束縛能為何？

答

：EQ \F(2GMm, 5r ) EQ \x\bo(　　)。

12.一行星的半徑為R，其表面的重力加速度為g，自轉週期為6πEQ \F(3R, g ) EQ \R(, )，欲使環繞地表運行（甲軌道）的人造衛星（質量為m）成為同步衛星（丙軌道），則：

(1) 同步衛星的高度距地心多遠？

答

：　3R　。

(2) 為達上述的目的，吾人需提供能量E1，先將地表衛星在A點加速，使其由圖中的甲軌道，變成乙軌道（此時地心恰位於橢圓的焦點），求所需提供的能量E1為何？

答

： EQ \x\bo(　mgR／4　)。

(3) 當衛星在乙軌道的B點時，再提供能量E2，使其成為丙軌道，則所提供的能量E2為何？

答

： EQ \x\bo(　mgR／12　)。

9

-

5

功與能的轉換和能量守恆定律

一

功能原理

1. 功能原理的兩種型式：

合力（ΣF）對一物體所作的功，等於此物體動能的變化量（ΔEK）。

W合＝ΣF‧S＝(EK)f－(EK)i＝ΔEK

非保守力對物體（或系統）所作的總功，等於物體（或系統）的力學能改變量。

W非保守力＝ΔE＝Ef－Ei

二

能量守恆定律

1. 力學能守恆原理：非保守力作功為零的系統，其總力學能守恆。

W非保守力＝0 eq \o(\s\up 6(數學式),\s\do 1(-------→))ΣE＝EK＋Ug＋Us＝const.

2. 能量守恆定律：考慮所有形式的能量，能量存在的形態可能變來變去，或由一系統轉移到另一系統，但宇宙間的總能量保持不變，這稱為能量守恆定律（Law of The Energy Conservation）。

範

例

25

一物體質量為1公斤，靜止放置於離地高度為3公尺的

光滑圓弧軌道處，開始自由下滑。在光滑地面滑行時，

會經過一段6公尺粗糙的地面，最後壓縮彈力常數k＝

100 N/m的彈簧30公分後停止。求粗糙地面的μk為何？(Ａ) 1.25　　(Ｂ) 1.5　　(Ｃ) 0.35　　(Ｄ) 0.425　　(Ｅ) 0.75

【答案】Ｄ

【解析】依 W非保守力＝ΔE＝Ef－Ei EQ \F(1, 2 ) eq \b\lc\{(\a\al\co1(Ei＝Ug＝1×10×3＝30 J, Ef＝×100×0.32＝4.5 J, W摩＝(μK×1×10)‧6‧cos180°＝－60μK))∴－60μK＝4.5－30，μK＝0.425

類題

30. 如右圖所示，一物體自A點釋放，已知AB為光滑圓弧，而水平部分之動摩擦係數為0.2。若物體可達到之最遠端為D點，求d＝？（g＝10 m/s2）

答

：　1.2 m　。

類題

31. 右圖所示之斜面光滑，水平面則有摩擦，今取一質量為m之物塊，由右邊高h1下滑爬升到左邊h2高處，則水平面之摩擦係數為何？

答

：EQ \F(h1－h2, L ) EQ \x\bo(　　)。

範

例

26

一人造衛星繞地心作圓周運動，如持續受到微小摩擦力作用，下列何者會逐漸減少？(Ａ)動能　　(Ｂ)向心加速度　　(Ｃ)角速度　　(Ｄ)動量　　(Ｅ)動能與位能的總和

【答案】Ｅ

【解析】(Ｅ)○　人造衛星持續受到微小摩擦力作用，總力學能會減少。 ΣE(r)＝－ EQ \F(GMm, 2r ) eq \o(\s\up 6(ΣE(r)↓),\s\do 1(--------→)) r↓；

(Ａ)×　 EK(r)＝ EQ \F(GMm, 2r ) eq \o(\s\up 6(承(E)),\s\do 1(-----→)) EK(r)↑；(Ｂ)×　依 an(r)＝ EQ \F(GM, r2 ) eq \o(\s\up 6(承(E)),\s\do 1(-----→)) an(r)↑；

(Ｃ)×　由EK(r)＝ EQ \F(GMm, 2r ) ＝ EQ \F(1, 2 ) mv2，v＝EQ \F(GM, r ) EQ \R(, ) eq \o(\s\up 6(承(E)),\s\do 1(-----→)) v↑；(Ｄ)×　依 p＝mv eq \o(\s\up 6(承(E)),\s\do 1(-----→)) p↑

類題

32. 一人造衛星具有動能K，因受阻力而使總力學能損失K之後，保持作圓軌道轉動，此人造衛星的：(Ａ)動能加倍　　(Ｂ)加速度的量值加倍　　(Ｃ)週期減半(Ｄ)速率減半　　(Ｅ)軌道半徑減半

答

：　ＡＥ　

自我挑戰

題

(ＡＣ) 1.作鉛直上拋運動的物塊，它在上升過程中，如果動能的減少為A，位能的增加為B，重力所做的功為－C，空氣阻力所做的功為－D，下列表示哪些是正確的？

(Ａ) A＝C＋D　　　 (Ｂ) A－B＝C＋D　　(Ｃ) A－B＝D　　(Ｄ) A＋B＝C＋D　　(Ｅ) A＝B＋C

( Ｃ ) 2.一質量為0.2 kg的物體，以初速為10 m/s鉛直上拋，上升2 m時的速率為6 m/s，則此時距內，空氣阻力作功多少焦耳？（g＝10 m/s2）

(Ａ) 2.4　　(Ｂ) 6.4　　(Ｃ) －2.4　　(Ｄ)－6.4　　(Ｅ)以上皆非

(ＢＣ) 3.質量為m之物體，以v之速度在水平面上運動，當移動Ｓ距離時，其速度變為v／2，則：

ＤＥ(Ａ)物體與平面間之摩擦力為 EQ \F(mv2, 4S ) 　　(Ｂ)物體與平面間之摩擦係數為 EQ \F(3v2, 8Sg )

(Ｃ)物體再行 EQ \F(S, 3 ) 時，其動能為0　　　(Ｄ)物體移動 EQ \F(4, 3 ) S時之末速度為0

(Ｅ)欲使物體移動2S，則其初速度最小應為EQ \F(3, 2 ) EQ \R(, )v

( Ａ ) 4.一彈力常數k＝100N/m的彈簧跨過一不計摩擦的滑輪與在斜面的一物體相連接。已知斜面傾角為37 °，物體質量為2公斤。自原長處懸掛後釋放，則重物最多可將彈簧拉長20 cm，則斜面的動摩擦係數為何？

(Ａ) 0.125　　(Ｂ) 0.15　　(Ｃ) 0.3　　(Ｄ) 0.4　　(Ｅ) 0.75

( Ｅ ) 5.如右圖所示一質點在兩端抬高而中間平坦之軌道間滑行，平坦部分長L＝2 m，動摩擦係數0.2，彎曲部分之軌道無摩擦，由A點釋放質點，A點高於軌道的平坦部分h＝1 m，試問最後質點停止於距B點若干遠處？

(Ａ) 0 m　　(Ｂ) 0.2 m　　(Ｃ) 0.5 m　　(Ｄ) 0.8 m　　(Ｅ) 1 m

( Ｂ ) 6.承上題，若h＝2 m，L＝3 m，而質點最後恰停在BC中點，則下列何者不可能是BC間之動摩擦係數？

(Ａ) EQ \F(4, 3 ) 　　(Ｂ) EQ \F(4, 7 ) 　　(Ｃ) EQ \F(4, 9 ) 　　(Ｄ) EQ \F(4, 15 ) 　　(Ｅ) EQ \F(4, 21 )

( Ｄ ) 7.1.0 kg的木塊與彈力常數為2.0 N/m的無質量水平彈簧碰撞，彈簧由靜止位置被木塊壓縮4.0 m，設木塊和水平面間的動摩擦係數為0.25，則碰撞時木塊的速率約為多少m/s？

(Ａ) 5.6　　(Ｂ) 6.0　　(Ｃ) 6.4　　(Ｄ) 7.2　　(Ｅ) 8.0

(ＡＢ) 8.繞地球運行的人造衛星，若受到些許的摩擦阻力作用，將導致下列各物理量，何者會

Ｄ變小？

(Ａ)力學能　　(Ｂ)與地球的距離　　(Ｃ)動能　　(Ｄ)位能　　　(Ｅ)萬有引力　　　　(Ｆ)向心加速度

9.一水平輸送帶恆以等速度v沿＋x方向移動，在時刻t＝0時，將一質量為m的箱子以水平速度u＝0置於輸送帶上，如右圖所示，若箱子與輸送帶之間的靜摩擦係數為μs，動摩擦係數為μk，重力加速度為g，則摩擦力對箱子所做的總功為多少？

答

： EQ \x\bo(　0.5 mv2　)。

10.如右圖所示，將質量為m1之物塊置於粗糙平面上，另一質量為m2的物塊以細繩連接，彈簧力常數為k，滑輪無摩擦。今將m2自靜止釋放，此時彈簧無形變，若m2可下落之最大距離為h，求桌面的動摩擦係數？

答

：EQ \F(2m2g－kh, 2m1g ) EQ \x\bo(　　)。

11.質量2 kg的木塊，與k＝8 N/m的彈簧相連，木塊與斜面間的動摩擦係數μk＝0.125，θ＝37°。設木塊在彈簧未伸長時由靜止開始運動，求：

(1) 當木塊沿斜面下滑0.5公尺時，其速率為若干？

答

：　2 m/s　。

(2) 木塊沿斜面下滑若干距離時，瞬時速率為零？（g＝10m/s2）　

答

：　2.5 m　。

12.質量為80克之子彈由長1米之槍管中以300米／秒之出口速度射出，子彈穿過一厚5厘米之固定木板後，其速度變為200米／秒，求：

(1) 子彈之出口動能為若干？

答

： EQ \x\bo(　3600 J　)。(2) 火藥之平均炸力為若干？

答

： EQ \x\bo(　3600 N　)。(3) 木板之平均阻力為若干？

答

： EQ \x\bo(　4×104 N　)。(4) 槍彈在木板內存留之時間為若干？

答

： EQ \x\bo(　2×10－4 sec　)。(5) 此後彈復射入同質料之木板中能穿入若干深度？

答

： EQ \x\bo(　4 cm　)。

歷屆大考試題觀

摩

(ＡＣ) 1.在水池上有兩個高度同為H，但不同形狀的滑水道。甲、乙

Ｄ 兩人分別同時自此二水道頂端，由靜止開始下滑，如右圖所示。若摩擦力可忽略，下列敘述中哪些是正確的？

(Ａ)下滑很短時間後，甲的速率比乙大(Ｂ)到達水道底端時，甲的速率比乙大(Ｃ)到達水道底端時，甲和乙的速率相同(Ｄ)下滑過程中，甲的速率愈來愈大(Ｅ)下滑過程中，甲沿水道切線方向的加速度愈來愈【97.指考】

(ＡＣ) 2.一系統由可視為質點的甲、乙兩星球組成，其質量分別為m與 M（M＞m），在彼此間的重力作用下，分別以半徑r與R繞系統的質心O做圓周運動。若質心O靜止不動，兩星球相距無窮遠時，系統的總重力位能為零，則下列敘述，哪些正確？（G 為重力常數，亦即萬有引力常數）

(Ａ)兩星球的動量和為零　　　　　 (Ｂ)兩星球的動能相等　　(Ｃ)兩星球繞O運動的週期相等　　(Ｄ)兩星球的總重力位能為－GmM 1 , r ) EQ \b \bc\((\A(＋ EQ \F( 1 , R )))

(Ｅ)兩星球的質量與繞行半徑有mR＝Mr的關係　　【94.指考】

3.一圓筒位在水平桌面上，力常數為k的彈簧之一端固定在圓筒的一個端面上、另一端頂著一顆小彈珠，如右圖所示。當彈簧既不被壓縮或伸長時，彈珠的中心剛好位在圓筒的開口端。小明緩緩施水平力於彈珠，使彈簧被壓縮一段距離d後放開，使彈珠由靜止被彈出。設圓筒與彈珠的質量分別為M及m，且所有摩擦力、彈簧質量及頂著彈珠的平板質量均可不計。【94.指考】(1) 若圓筒固定，則當彈珠位在圓筒開口端時，其相對於桌面的速率為若干？（以m，k　 及d表示）(2) 若圓筒可以自由滑動，則當彈珠位在圓筒開口端時，其相對於桌面的速率為若干？（　 以M，m，k 及d表示）(3) 若圓筒可以自由滑動，且圓筒的質心位在圓筒的一半長度處。試問在彈珠由靜止彈出　 到被彈回開口端的時距內，圓筒總共滑行了多少距離？（以M，m及d表示）

答

：k , m ) EQ \x\bo(　　(1) v＝d )；(2) v＝d Mk , m ( M＋m ) ) EQ \R(, )；(3) EQ \F( m , M＋m )d　　)。

( Ｅ ) 4.鮭魚回游產卵，遇到水位落差時也能逆游而上。假設落差之間水流連續，而且落差上下的水域寬廣，水流近似靜止。若鮭魚最大游速為2.8 m／sec，且不計阻力，則能夠逆游而上的最大落差高度為何？

(Ａ) 9.8 m　　(Ｂ) 2.8 m　　(Ｃ) 1.4 m　　(Ｄ) 0.8 m　　(Ｅ) 0.4 m【94.學測】

(ＣＤ) 5.一粒質量為m的小石頭從地面上的O點以初速v0，仰角q被射出，如右圖所示。B點為小石頭運動軌跡的最高點，B點與地面距離為H。A點則是越過最高點後的某一位置，A點與O點間的水平距離為d（ EQ \F( 2 R , 3 )＞d＞ EQ \F( R , 3 )，R為水平射程），A點與地面間的距離為h。若將小石頭在地面的重力位能取為零，重力加速度為g，且不計空氣阻力，則下列有關小石頭的敘述，哪些正確？

(Ａ)在A點的總力學能為mgh　　　　　 (Ｂ)從O點運動至A點共需時d／v0　　

(Ｃ)從O點運動至A點共需時v0sinθ／g＋ EQ \R(,2 ( H－h)／g )

(Ｄ)在最高點B時，速度與加速度互相垂直(Ｅ)從O點運動至A點的過程中，重力總共作功mgh【93.指考補考】

( Ｃ ) 6.單擺長久以來就被用來作為計時之用。單擺擺動時，擺錘會受重力（mg）及擺繩張力（T）影響。當單擺作小角度擺動時，sinθ約等於θ。此時，我們可以將重力分解成相互垂直的兩個分力，其中一分力（大小為mgcosθ）和繩張力方向相反，另一分力（大小為mgsinθ），則與繩張力方向垂直，可推動擺錘向θ＝0的平衡位置運動。若不考慮擺繩的質量以及空氣阻力與摩擦力，則單擺的擺動週期近似於2π EQ \R(,1／g )，其中l為擺長，g為重加速度，m為擺錘的質量。根據右圖，當一單擺作小角度週期性擺動時，下列有關敘述中哪一項是正確的？

(Ａ)因為擺錘會回到原來的高度，所以重力對擺錘不作功

(Ｂ)依據牛頓第二定律（F＝ma），擺錘愈重，則單擺擺動的週期愈長

(Ｃ)因為繩張力的方向與擺錘的運動方向垂直，所以繩張力對擺錘不作功　

(Ｄ)因為擺錘的動能恆等於擺錘的位能，所以擺錘的力學能不變【93.學測】

（7. (1)　EK＝(W重)系統＝(W重)A＋(W重)B�＝2m．g．h＋m．g．(－h)＝mgh。

(2) EK＝EKA＋EKB＝� EQ \F( 2m , 2 )�．v2＋� EQ \F( m , 2 )�．v2

＝mgh⇒v＝� EQ \R(, � EQ \F(2, 3 )� gh )�。

（8. 設m到底部時，對M之速度為� eq \o(v,�)�，M對地速度為� eq \o(u,�)��� eq \o(v,�)�＝( v cosθ－u ) � eq \o(i,�)�－ v sinθ � eq \o(j,�)��∵水平動量守恆�∴m ( v cosθ－u )＋M(－u)＝0…………………………�∵力學能守恆�∴� EQ \F( m ,2)� [(v cosθ－u)2＋(－v sinθ)2]＋� EQ \F( M ,2)� u2＝mgH……�由 ⇒ u＝� EQ \R(,� EQ \F( 2m2gh cos2θ ,(M＋m)(M＋m sin2θ))� )�。）

(3) A落地後，B即以� EQ \R(, � EQ \F(2, 3 )� gh )�之速度上拋 ( 張力＝0 )�v2＝v02－2gS⇒0＝� EQ \F(2, 3 )�gh－2gS⇒S＝� EQ \F(h, 3 )�最大高度＝S＋h＝� EQ \F(4, 3 )�h。）

（9. U＋EK＝U'＋EK'＝� EQ \F(1, 2 )�kR2�⇒� EQ \F(1, 2 )�EK'＋EK'＝� EQ \F(1, 2 )�kR2⇒EK'＝� EQ \F(2, 3 )�．� EQ \F(1, 2 )�kR2�⇒U'＝� EQ \F(1, 3 )�．� EQ \F(1, 2 )�kR2⇒� EQ \F(1, 2 )�kx2 ⇒ x＝� EQ \F(� EQ \R(, 3 )�, 3 )�R。）

(2) (vB)⊥＝� EQ \F( 14 , 5 )� � EQ \R(, 5 )�．� EQ \F( � EQ \R(, 2 )� , 2 )�＝� EQ \F( 7 , 5 )� � EQ \R(, 10 )�　以垂直分量計算v2＝v02－2g．h ⇒ h＝� EQ \F( v02－v2 , 2g )�＝� EQ \F( (　� EQ \F( 7 , 5 )� � EQ \R(, 10 )�　)2－0 , 2．9.8 )�＝1�

� EMBED Word.Picture.8 ���

▲多質點系統的重力位能能

▲位置P之力學分析

（5. (1) EKB－EKA＝m．g．( h1－h2 )�　　⇒� EQ \F(1, 2 )�m．vB2－0＝m．9.8．( 5－3 )���　　⇒vB＝� EQ \F( 14 , 5 )� � EQ \R(, 5 )�( m／s )

▲位置P之力學分析

▲鉛直面之圓周運動分析

第�章

位能和能量守恆定律

（10. 動能→彈力位能� EQ \F(1, 2 )�mv2＝� EQ \F(1, 2 )�kx2�⇒� EQ \F(1, 2 )�．1．42＝� EQ \F(1, 2 )�．100．x2⇒x＝0.4 ( m )。）

（11. (1) �EQ \b \lc\{( \A\al(( EK ) max＝� EQ \F(1, 2 )�kR2,( EK ) x＝� EQ \s\do5(� EQ \F(2, 3 ) �)�R＝� EQ \F(1, 2 )�R＝� EQ \F(1, 2 )�kR2－� EQ \F(1, 2 )�k．( � EQ \F(2, 3 )�R )2＝� EQ \F(5, 9 )�．( � EQ \F(1, 2 )�kR2 )))��⇒ EK＝� EQ \F(5, 9 )� ( EK ) max

(2) � EQ \F(1, 2 )�kR2＝� EQ \F(1, 2 )�mvmax2 ⇒ vmax＝R� EQ \R(, � EQ \F(k, m )� )�。）

（13. (1) K＋Ug＋Us＝K'＋Ug'＋Us' ( 力學能守恆 )�0＋mgh＋0＝0＋mg ( －x )＋� EQ \F(1, 2 )�kx2�⇒ x＝� EQ \F( mg , k )�±� EQ \R(, ( � EQ \F(mg, k )� )2＋� EQ \F(2mgh, k )� )� �( 所求為壓縮量，故負不合 )

（12. 由拉密定理 ⇒ 細線張力均為� EQ \F(Mg, � EQ \R(, 3 )� )��A點受力為�可得F＝� EQ \F(Mg, 2� EQ \R(, 3 )� )� ⇒ 形變＝� EQ \F(Mg, 2� EQ \R(, 3 )� k )��∴ 彈性位能＝� EQ \F(1, 2 )�kx2＝� EQ \F( M2g2 , 24k )�。）

（30. W＝ΔEK　W重力＋W摩擦力＋W彈力＝ΔEK＝( EK )D－( EK )A＝0（∵ A點，D點之動能均為0）⇒mgh－mgμ．( 2＋d )－� EQ \F(1, 2 )� kd2 ＝d＝1.2或－2 ( 負不合 )。）�

（28. �EQ \b \lc\{( \A\al(由動量守恆vM：vm＝m：M,由力學能守恆� EQ \F(M, 2 )� vM2＋� EQ \F(m, 2 )� vm2＋� EQ \F(－GMm, r／2 )�＝� EQ \F(－GMm, r )�))��⇒ vM＝m� EQ \R(, � EQ \F(2G, ( M＋m ) r )� )�。）

（26. 由� EQ \F(R3, T2 )�＝constant ⇒ R＝9 ( A.U. )⇒遠日點距彗星＝12 A.U.⇒ v近：v遠＝12：6＝2：1，�EK近：EK遠＝4：1 ⇒ W＝ΔEK＝EK近－EK遠＝4EK－EK＝3 EK。）

（24. �EQ \b \lc\{( \A\al(W＋� EQ \F(－GMm, R )�＝� EQ \F(－GMm, d )�,� EQ \F(W, 9 )�＋W＋� EQ \F(－GMm, R )�＝0))� ⇒d＝10R。）

（23. (1) K＋U＝K'＋U'�0－� EQ \F(GMm, R＋R )�＝K2－� EQ \F(GMm, R＋� EQ \F(R, 2 )� )� ⇒ 動能＝� EQ \F(GMm, 6R )��� EQ \F(m, 2 )� v2＝� EQ \F(GMm, 6R )� ⇒ v＝� EQ \R(, � EQ \F(GM, 3R )� )�

（21. ΔUg＋ΔEK＝0 ⇒ mg．．sin30°＝� EQ \F(m, 2 )� v2＝vB＝� EQ \R(, gl )��徑向合力＝T－� EQ \F(1, 2 )�mg �EQ \b \lc\{( \A\al(卡住前 T－� EQ \F(1, 2 )�mg＝m� EQ \F(vB2, l )�＝mg,卡住後 T'－� EQ \F(1, 2 )�mg＝m � EQ \F(vB2, (l／2) )� ＝2 mg))�⇒� EQ \F(T, T' )�＝� EQ \F(3, 5 )�。）

（19. D至A運動時間為t，� EQ \F(g, 2 )�t2＝2r ⇒ t＝� EQ \R(, � EQ \F(4r, g )� )��vD．t＝L ⇒ vD＝� EQ \F(L, t )�＝� EQ \F(L, � EQ \R(, 4r／g )� )� ＝ L � EQ \R(, � EQ \F(g, 4r )� )��( EK )D＋( Ug )D＝( EK )A＋( Ug )A�⇒� EQ \F(m, 2 )�．L2 � EQ \F(g, 4r )�＋mg．2r＝� EQ \F(m, 2 )� v02 ⇒ v0＝� EQ \R(, � EQ \F(gL2＋16gr2, 4r )� )�。）

（18. ΔEK＋ΔUg＝0，m．g．Δh＝� EQ \F(m, 2 )� v2 ≥ � EQ \F(m, 2 )�gR⇒Δh＞� EQ \F(R, 2 )�。）

（2. (1) F＝kx ⇒ mg＝kx ⇒ 1．10＝100．x ⇒ x＝0.1�　　W重力＝mg．Δx＝1．10．0.1＝1 (J)�　　W彈力＝� EQ \F(　－1 , 2 )�kx2＝� EQ \F(1, 2 )�．100．0.12＝－0.5 (J)�(2) ΔUg＝－W重力＝－1 (J)�　　ΔUs＝－W彈力＝0.5 (J)）

▲重力位能的改變能

(2) 平衡點壓縮量＝� EQ \F( mg , k )� �⇒ 平衡點與端點距離即振幅＝� EQ \R(, ( � EQ \F(mg, k )� )2＋� EQ \F(2mgh, k )� )�，週期＝22� EQ \R(, � EQ \F(m, k )� )��最大速率：� EQ \F(1, 2 )�mvmax2＝� EQ \F(1, 2 )�k．R2 ⇒ vmax＝� EQ \R(, � EQ \F(mg2, k )�＋2gh )�。）

（31. W＝ΔEK⇒mgh1－mgμL－mgh2＝0⇒μ＝� EQ \F( h1－h2 , L )�。）

（1. 初位能：m初 gh初＝� EQ \F( m , 5 )�．g．� EQ \F(　－1 , 10 )�L

＝� EQ \F(　－1 , 50 )� mgL＝Ui；

末位能：m末 gh末＝m．g．� EQ \F(　－1 , 2 )�L�＝� EQ \F(　－1 , 2 )� mgL＝Uf

ΔU＝Uf－Ui＝〔(� EQ \F(　－1 , 2 )�)－(� EQ \F(　－1 , 50 )�)〕mgL

＝� EQ \F(　－12 , 25 )� mgL）

▲彈簧在鉛直面上進行S.H.M.

（16. 欲離開時位置在原長處�原長處　U'＝� EQ \F(k, 2 )� ( � EQ \F(mg, k )� )2　EK'　由EK'＋U'＝U＋0�　　　　　　　　　　　　　　平衡點 ⇒ v＝� EQ \R(, � EQ \F(kx2－2mgx, m )� )��下端點　U＝� EQ \F(k, 2 )� ( x－� EQ \F( mg , k )� )2　EK＝0。）

（4. � EQ \F( (ΔEK) O～M , (ΔEK) M～N )�＝� EQ \F( ( Wg ) O～M , ( Wg ) M～N )�＝� EQ \F( ( mg．Δh ) O～M , ( mg．Δh ) M～N )��＝� EQ \F(　� EQ \F(1, 2 )�g．t2 ,　� EQ \F(1, 2 )�g (2t)2－� EQ \F(1, 2 )�gt2 )�＝� EQ \F(1, 3 )�。）

（29. 質心離頂點＝� EQ \F(r, � EQ \R(, 3 )� )�，引力＝� EQ \F(Gm2, r2 )�．� EQ \R(, 3 )��○(Ａ) F＝m� EQ \F(v2, R )� ⇒ � EQ \F(Gm2, r2 )�．� EQ \R(, 3 )�＝� EQ \F(mv2, ( � EQ \F(r, � EQ \R(, 3 )� )� ) )� ⇒ EK＝� EQ \F(m, 2 )�� v2＝� EQ \F(Gm2, r2 )� ⇒ 系統總動能＝3EK＝� EQ \F( 3Gm2 , 2r2 )��

（27. 依題意可設v近＝3v，v遠＝v�EK近＋v近＝EK遠＋v遠�� EQ \F(m, 2 )� ( 3v )2＋� EQ \F(－GMm, 2R )�＝� EQ \F(m, 2 )�( v )2＋� EQ \F(－GMm, 6R )��⇒ v近＝3v＝� EQ \R(, � EQ \F(3GM, 4R )� )�＝� EQ \R(, � EQ \F(3, 4 )�gR )� ( g＝� EQ \F( GM , R2 )� )。）

（25. �EQ \b \lc\{( \A\al(� EQ \F(m, 2 )� ve2＋� EQ \F(－GMm, R )�＝0 ( 由力學能守恆 ),� EQ \F(GMm, R2 )�＝m� EQ \F(v2, R )� ( 由牛頓定律 )))� ⇒ ve＝� EQ \R(, 2 )�v。）

(2) K＋U＝K'＋U'�� EQ \F(m, 2 )� v2＋� EQ \F(－GMm, R )�＝0＋� EQ \F(－GMm, 2R )� ⇒ v ＝� EQ \R(, � EQ \F( GM , R )� )�＝� EQ \R(, g0R )� ( ∵ g0＝� EQ \R(, � EQ \F( GM , R2 )� )� )。）

（22. 如圖欲離開球面時徑向�合力＝mgcosθ＝m� EQ \F(v2, R )�…　�且� EQ \F( mv2 , 2 )�＝mg ( R－Rcosθ )…　由 ⇒ cosθ＝� EQ \F(2, 3 )�，

(2) 向心力＝重力＋正向力＝m� EQ \F( v2 , R )� �由力學能守恆3mgk＝� EQ \F(m, 2 )�v2�v＝� EQ \R(, 6gR )�　mg＋N＝m� EQ \F( v2 , R )�＝6mg ⇒ N＝5mg

（17. (1) 依題意ΔUs＋ΔUg＝0，� EQ \F(k, 2 )�x2＝mgS sin30° ⇒ S＝0.4m�(2) EK＝－ΔUg ⇒ � EQ \F(m, 2 )� v2＝mg ( 0.4－0.2 )．sin30° �　　⇒ v＝� EQ \R(, 2 )�( m／s )。）

▲以非保守力作用於物體沿封閉路徑一圈，作功不為零

（3. W合力＝ΔEK＝－15 (J)�位能、力學能無法判斷。）

（14. K＋Ug＋Us＝K'＋Ug'＋Us' ( 力學能守恆 )�0＋mg ( � EQ \F( l , 2 )� )＋0＝0＋mg ( －R ) ＋� EQ \F(1, 2 )�kR2�⇒ R＝� EQ \F( mg , k )� ± � EQ \R(, ( � EQ \F( mg , k )� )2＋� EQ \F( mgl , k )�)� (負不合)�注意：以質心位置計算位能。）

（15. 定平衡點之Ug＋Us＝U＝0 ⇒ K＋U＝K'＋U'�　　　　　　　　　　　　(下端點) (� EQ \F(2, 3 )�R處)�⇒ � EQ \F(1, 2 )� kR2＝K'＋� EQ \F(1, 2 )� k (� EQ \F(1, 3 )�R)2 ⇒ K'＝� EQ \F(4, 9 )� kR2。）

▲彈簧進行高空彈跳型的S.H.M.

▲重力系統下的力學能守恆

▲彈力位能

×(Ｃ) � EQ \b \lc\{( \A\al(下段繩� EQ \F( 1 , 2 )� mg－T＝� EQ \F( 1 , 2 )� ma,上段繩T＋� EQ \F( 1 , 6 )� mg＝� EQ \F( 1 , 2 )� ma))��　　　⇒ T＝� EQ \F( 1 , 6 )� mg，a＝� EQ \F( 2 , 3 )� g�○(Ｄ) �

×(Ｅ) F＝ma，a＝� EQ \F( F , m )�，�　　F (重力)漸增，運動體之m�　　不變 ⇒ a漸增。）

（20. (1) UP－UQ＝ΔEK ⇒ mg ( 4R )＝� EQ \F(m, 2 )� vQ2 ⇒ vQ＝� EQ \R(, 8gR )��又F＝ma＝m� EQ \F(vQ 2, R )�＝8mg ( 正向力＝向心力 )

(3) 則環頂v＝� EQ \R(, gR )� ⇒ EK＝� EQ \F(m, 2 )�gR�⇒必須比環頂高 � EQ \F(R, 2 )�，即 � EQ \F(5, 2 )�R處。）

○(Ｄ) 總能量＋束縛能＝0 ⇒ 束縛能＝－總能＝� EQ \F(3Gm2, 2r )��○(Ｅ) 系統不受外力作用 ⇒ 動量保持為0。）

×(Ｂ) 總位能＝� EQ \F(－Gm2, r2 )�．3＝� EQ \F(－3Gm2, r )��○(Ｃ) 由(A)(B)，總能＝� EQ \F( 3Gm2 , 2r )�＋� EQ \F(－3Gm2, r )�＝� EQ \F(－3Gm2, 2r )�

（3. 設初速v0 ⇒ EK＝� EQ \F( m ,2)� v02�最高點速度為v0cosθ ⇒ EK'＝� EQ \F( m ,2)� v02cos2θ�EK＋U＝EK'＋U' ⇒ � EQ \F( m ,2)� v02＋0＝� EQ \F( m ,2)� v02cos2θ＋U'�⇒ U'＝EKsin2θ。）

（1. Us＝� EQ \F( k ,2)� (Δx)2 � (Δx)2�⇒Us1：Us2＝102：(－5)2＝4：1。）

（2. W＝mg＝kx ⇒ 1．10＝k．( 0.4－0.3 ) ⇒ k＝100�Us＝� EQ \F( k ,2)� (Δx)2＝� EQ \F( 100 ,2)�．( 0.4－0.3 )2＝0.5 (J)。）

（4. 由圖可知：�A之面積：B之面積�＝7：13⇒ UB＝� EQ \F( 13 ,7)� UA�＝� EQ \F( 13 ,7)� U。）

（5. � EQ \b \lc\{ ( \A\al(Us＝� EQ \F( k ,2)�R2……………,� EQ \F(1, 2 )� Us′＝� EQ \F( k ,2)�(R′)2………) )�⇒ R′＝� EQ \F(� EQ \R(, 2 )�,2)�R。）

（4. × (Ｂ) EK＋U＝EK′＋U′ ⇒ 0＋� EQ \F(1, 2 )�kR2＝EK′＋� EQ \F(1, 2 )�k (� EQ \F(1, 4 )�R )2�⇒ EK′＝� EQ \F(15, 32 )�kR2 ( 離開釋放處� EQ \F(3, 4 )�R＝形變� EQ \F(1, 4 )�R )

○ (Ｃ) if EK′＝U′ 且EK′＋U′＝EK＋U＝� EQ \F( k ,2)�R2�⇒ U′＝� EQ \F(1, 2 )�．� EQ \F( k ,2)�R2＝� EQ \F( k ,2)�(R′)2 ⇒ R′＝� EQ \F(� EQ \R(, 2 )�,2)�R

× (Ｄ) � EQ \F(1, 2 )�倍

○ (Ｅ) EKmax＝Umax＝� EQ \F(1, 2 )�kR2。）

（7. ○ (Ａ) 平衡時彈簧長度＝� EQ \F( 15L＋11L ,2)�＝13L �⇒ 形變L⇒ 彈力＝重力 ⇒ kL＝mg �⇒ k＝� EQ \F( mg ,L)�

○ (Ｂ) 平衡點時速率最大

（10. 球之動能轉成球之位能＋繩之位能�� EQ \F( M ,2)� v2＝Mgh＋mg ( h－� EQ \F(l, 2 )� ) �