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......第 9章 アイソパラメトリック要素
畔上 秀幸
名古屋大学 情報科学研究科 複雑系科学専攻
December 25, 2012
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§8.1 はじめに
(目標) 曲線で構成された三角形や一般的な四角形の有限要素のために開発されたアイソパラメトリック要素の原理についてみてみる．
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§8.2 有限要素の作成に関する課題
第 8章でみてきた有限要素は，2次元の場合は 3角形と 4角形，3次元の場合はや 4面体と 6面体であると仮定した．ここでは，図 1 のような曲線で構成された 3角形や一般の 4辺形およびそれらを 3次元に拡張した形状などの有限要素について考えてみよう．8.3 項でみてきたように，3角形有限要素の基底関数は面積座標に
よって与えられ，それらによって構成された近似関数を弱形式に代入したときの領域積分は，定理 5.1 を使って計算できた．4角形有限要素の場合は 8.4 項に示す Gauss 求積によって計算することができる．これらは次数を上げても利用できる．しかし，図 1 のような形状に対してはそれらの積分公式は使えない．そこで，図 1 のような有限要素の物理座標 x ∈ Ωi を 3角形や 4辺形
の規準領域の規準座標 ξ ∈ Ξ に写像すれば， Ξ の上で定理 5.1 やGauss 求積を使うことができる．そのときの写像 x : Ξ → Ωi に対する近似関数 xh を u の近似関数と同じ基底関数で構成したときの有限要素をアイソパラメトリック有限要素という．
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§8.2 有限要素の作成に関する課題 (cnt.)
(a) 2次曲線 3角形要素 (b) 一般の 4辺形要素 (c) 2次曲線 4辺形要素図 1 : アイソパラメトリック要素の例
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§8.2 有限要素の作成に関する課題 (cnt.)
.定義 8.1 (アイソパラメトリック有限要素)
..
......
有限要素 Ωi ⊂ Rd, i ∈ E , 内での節点番号の集合を Ni = 1, · · · , |Ni|とかく．φi =
(φi(1), · · · , φi(|Ni|)
): Ξi → R|Ni| を有限要素内の基底関
数とする．このとき，Ξi 上で定義された u の近似関数と座標値を
uh (ξ) = φi (ξ) ·Ziu,
vh (ξ) = φi (ξ) ·Ziv,
xhj (ξ) = φi (ξ) ·Zixj for j ∈ 1, · · · , d
で構成する有限要素をアイソパラメトリック有限要素という．ただし，Zi を Boole 変換行列，u, v ∈ R|N | と xj = (xlj)l ∈ R|N |,j ∈ 1, · · · , d, を Ωh 上で定義された近似関数 uh の全節点値ベクトルと xj 方向の全節点座標値ベクトルという．
アイソパラメトリック有限要素では，定義 8.1 のとおり規準領域を用いた媒介変数による表記を用いる．その結果，苦労することになるのが
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§8.2 有限要素の作成に関する課題 (cnt.)
u の xj に対する偏微分の計算である．次の項でアイソパラメトリック有限要素の例を挙げてその様子をみておこう．
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§8.3 2次元 4節点アイソパラメトリック要素
x »
x1
x2»1
»2
xi(1)
xi(2)
xi(3)xi(4)
»i(1)
»i(3)
»i(2)
»i(4)
¥i=(0,1)2i
図 2 : 2次元 4節点アイソパラメトリック要素における座標値 x と基準座標 ξ
アイソパラメトリック有限要素の例として，2次元 4節点有限要素についてみてみよう． Ωi, i ∈ E , を一般の 4辺形領域，Ξi = (0, 1)
2 を規準領域とする．このとき，ξ ∈ Ξi に対して
uh (ξ) =(φi(1) (ξ) φi(2) (ξ) φi(3) (ξ) φi(4) (ξ)
)ui(1)
ui(2)
ui(3)
ui(4)
= φi (ξ) · ui,
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§8.3 2次元 4節点アイソパラメトリック要素 (cnt.)
vh (ξ) = φi (ξ) · vi,
xh1 (ξ) = φi (ξ) · xi1,
xh2 (ξ) = φi (ξ) · xi2
と定義する．ただし，
φi =
φi(1)
φi(2)
φi(3)
φi(4)
=
(1− ξ1)(1− ξ2)
ξ1(1− ξ2)ξ1ξ2
(1− ξ1)ξ2
とする．ここで，φi の xj , j ∈ 1, 2, に対する偏微分の計算について考えてみよう．φi は ξ の関数である．しかし，α ∈ 1, 2, 3, 4 に対して
∂ξφi(α) (ξ) =
(∂φi(α)
∂ξ1∂φi(α)
∂ξ2
)=
(∂x1
∂ξ1∂x2
∂ξ1∂x1
∂ξ2∂x2
∂ξ2
)(∂φi(α)
∂x1∂φi(α)
∂x2
)=(∂ξx
T)∂xφi(α) (ξ)
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§8.3 2次元 4節点アイソパラメトリック要素 (cnt.)
が成り立つことに気づけば
∂xφi(α) (ξ) =
(∂φi(α)
∂x1∂φi(α)
∂x2
)=
1
ω (ξ)
(∂x2
∂ξ2−∂x2
∂ξ1
−∂x1
∂ξ2∂x1
∂ξ1
)(∂φi(α)
∂ξ1∂φi(α)
∂ξ2
)=(∂ξx
T)−1
∂ξφi(α) (ξ)
を得る．ここで，(∂ξxT)T は写像 x : Ξi → Ωi の Jacobi 行列,
ω (ξ) = det(∂ξx
T) を Jacobi 行列式という．
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§8.3 2次元 4節点アイソパラメトリック要素 (cnt.)
そこで，要素係数行列 (ai(φi(α), φi(β)
))α,β
, α, β ∈ 1, 2, 3, 4, は
ai
(φi(α), φi(β)
)=
∫Ωi
(∂φi(α)
∂x1
∂φi(β)
∂x1+
∂φi(α)
∂x2
∂φi(β)
∂x2
)dx
=
∫Ωi
∂xφi(α) (x) · ∂xφi(β) (x) dx
=
∫(0,1)2
∂xφi(α) (ξ) · ∂xφi(β) (ξ) ω (ξ) dξ (8.1)
とかける．右辺の積分は次に示す Gauss 求積で計算することができる．
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§8.4 Gauss 求積
Gauss 求積の公式を示そう．fn : (−1, 1) → R を n 次関数とするとき，∫ 1
−1
f1(y) dy = 2f (0) ,∫ 1
−1
f3(y) dy = f
(− 1√
3
)+ f
(1√3
),∫ 1
−1
f5(y) dy =5
9f
(−√
3
5
)+
8
9f (0) +
5
9f
(√3
5
)
の右辺で左辺を計算する方法を Gauss 求積という (図 3)．これらの公式が成り立つ根拠をみてみよう．
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§8.4 Gauss 求積 (cnt.)
1
y
01
´1 y
101
´1 ´2 y
101
´1 ´2 ´3
n = 1 n = 3 n = 5
図 3 : 1次元関数の Gauss 求積
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§8.4 Gauss 求積 (cnt.)
後で示す Gauss 求積の定理で使うために，Legendre 多項式を定義しておこう．ここでは，n と m を非負の整数とする．.定義 8.2 (Legendre 多項式)..
......
関数 ln : (−1, 1) → R が Legendre の微分方程式
d
dx
(1− x2
) d
dxln
+ n (n+ 1) ln = 0 (8.2)
を満たすとき，ln を Legendre 多項式という．
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§8.4 Gauss 求積 (cnt.)
1
1
1
1
l1
l0
l2
l3
l4
l5
図 4 : Legendre 多項式 ln
Legendre 多項式は，Rodrigues の公式を用いて
ln (x) =1
2nn!
dn
dxn
(x2 − 1
)n(8.3)
とかける．これより，具体的に
l0 (x) = 1, l1 (x) = x, l2 (x) = x2 − 1
3, l3 (x) = x3 − 3
5x
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§8.4 Gauss 求積 (cnt.)
のように得られる (図 4)．したがって，ln は n 次の多項式であることがわかる．さらに，関数 f : (−1, 1) → R が n 次未満の多項式ならば，∫ 1
−1
f (x) ln (x) dx = 0
が成り立つ．なぜならば，(8.2) と (8.3) より∫ 1
−1
f (x) ln (x) dx
=
[f
− 1
n (n+ 1)
(1− x2
) dlndx
]1−1
− 1
2nn!
∫ 1
−1
df
dx
dn−1
dxn−1
(x2 − 1
)ndx
=(−1)
n
2nn!
∫ 1
−1
dnf
dnx
(x2 − 1
)ndx = 0
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§8.4 Gauss 求積 (cnt.)
が成り立つからである．これらの性質から，lnn の直交性∫ 1
−1
ln (x) lm (x) dx =2
2n+ 1δnm
が成り立つ．また，一般に x0 < x1 < · · · < xn に対して
ϕi (x) =∏
j∈1,··· ,n, j =i
x− xj
xi − xj
=(x− x0) (x− x1) · · · (x− xi−1) (x− xi+1) · · · (x− xn)
(xi − x0) (xi − x1) · · · (xi − xi−1) (xi − xi+1) · · · (xi − xn)
は ϕi (xj) = δij を満たし，ある f : R → R に対して
f (x) =∑
i∈1,··· ,n
ϕi (x) f (xi)
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§8.4 Gauss 求積 (cnt.)
とおけば，f (xi) = f (xi) を満たす．このとき，ϕi (x) を Lagrange 基底多項式とよび，f (x) を Lagrange 補間とよぶ．ここで，Legendre 多項式 ln の根 η1, · · · , ηn に対する Lagrange 基底多項式を
φi (x) =∏
j∈1,··· ,n, j =i
x− ηjηi − ηj
(8.4)
とかく (図 5)．この φi (x) を用いたときの Lagrange 補間を考えればGauss 求積の公式を得る．
1
1
1
1
'1 '2 '3 '4 '5
図 5 : 5次 Legendre 多項式の根を節点とする関数 φi (x)
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§8.4 Gauss 求積 (cnt.).定理 8.1 (Gauss 求積)..
......
η1, · · · , ηn を n 次 Legendre 多項式 ln の根とする．f : (−1, 1) → R を2n 次未満の多項式とする．このとき，∫ 1
−1
f (x) dx =∑
i∈1,··· ,n
wif (ηi)
が成り立つ．ただし，(8.4) の φi (x) に対して
wi =
∫ 1
−1
φi (x) dx
である．(証明) もしも，f (x) が n− 1 次の多項式であったとする．このとき，
f (x) =∑
i∈1,··· ,n
φi (x) f (ηi)
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§8.4 Gauss 求積 (cnt.)
が成り立つ．なぜならば，両辺の差は n 階微分を含むが，f の n 階微分は零であるからである．よって，
∫ 1
−1
f (x) dx =
∫ 1
−1
∑i∈1,··· ,n
φi (x) f (ηi)
dx =∑
i∈1,··· ,n
wif (ηi)
が成り立つ．次に，f が n 次以上 2n 次未満の多項式であったとする．このとき，
f (x) = ln (x) g (x) + r (x)
とかける．ただし，g (x) と r (x) は n 次未満の多項式である．ここで，Legendre 多項式の性質より ∫ 1
−1
ln (x) g (x) dx = 0
が成り立つ．また，ln (ηi) = 0 より
f (ηi) = r (ηi)
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§8.4 Gauss 求積 (cnt.)
が成り立つ．さらに，r (x) が n 次未満の多項式なので，∫ 1
−1
r (x) dx =∑
i∈1,··· ,n
wir (ηi)
が成り立つ．よって，∫ 1
−1
f (x) dx =
∫ 1
−1
r (x) dx =∑
i∈1,··· ,n
wir (ηi) =∑
i∈1,··· ,n
wif (ηi)
を得る．
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§8.4 Gauss 求積 (cnt.)
Gauss 求積において，η1, · · · , ηn を Gauss 節点という．定理 8.1 において，積分領域が (0, 1) に変更された場合には，積分公式は変数変換により， ∫ 1
0
f2n−1(y) dy =1
2
∑i∈1,··· ,n
wif
(ηi − 1
2
)
に変更される．さらに，2次元領域 (−1, 1)2 上の双 n 次関数に対しては∫
(−1,1)2f2n−1 (ξ) dy =
∑i∈1,··· ,n
∑j∈1,··· ,n
wijf (ηij) ,∫(0,1)2
f2n−1 (ξ) dy =1
4
∑i∈1,··· ,n
∑j∈1,··· ,n
wijf
((ηij −
(11
))/2
)(8.5)
が成り立つ (図 6)．これらの公式は，矩形のアイソパラメトリック有限要素の要素上での数値積分において利用される．例えば，(8.1) に対し
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§8.4 Gauss 求積 (cnt.)
ては (8.5) が使われる．このとき，n の値の選び方に関しては，多項式を要素とする行列の逆行列計算が含まれることから，厳密には無限大になってしまう．そこで，できるだけ小さな値でかつ実用上支障が現れない値を数値実験によって調べて，その値を使っているのが実情である．さらに，特殊な有限要素においては数値積分においてさまざまな工夫が施されている．それらについては専門書を参照されたい．
(1,1)2
´11
n = 1 n = 3 n = 5
図 6 : 2次元関数の Gauss 求積
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§8.5 まとめ
曲線で構成された三角形や一般的な四角形の有限要素のために開発されたアイソパラメトリック要素の原理についてみてきた．
..1 アイソパラメトリック要素では，近似関数と座標は規準座標で定義され，同じ形状関数で近似される．
..2 有限要素内での積分は，Gauss 求積を用いる．
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