El puente de Occidente, erigido por el ingeniero antioqueo Jose Maria Villa, no s olamente es un trabajo original en su concepcin sino que es orgullo de la ingenieria del pas y es considerado monumento nacional por ley de la Repblica. En el captulo 3 presentamos la relacin existente entre la integral definida y las llamadas sumas de Riemann. Vimos adems la relacin que establece el segundo teorema fundamental del clculo entre la integral definida y la primitiva o antide rivada de la funcin y de la cual se dijo la importancia que tendra en las aplicaciones de la integral definida. En este captulo veremos cmo todos estos conceptos pueden usarse para el clculo de reas de figuras planas, volmenes de slidos, longitudes de arcos de curvas planas, momentos y centros de masa, etc. Todas estas medidas son lmites de las sumas de Riemann para cada caso, transformadas luego en integrales y solucionada s usando el segundo teorema fundamental del clculo. 4 Captulo 4 Aplicaciones de la integral definida Mdulo 18 rea de una regin plana Mdulo 19 Volmenes de slidos por secciones transversales Mdulo 20 Volmenes de slidos de revolucin Mdulo 21 Longitud de arco de una curva plana y rea de superficie de revolucin Mdulo 22 Momentos y centros de masa Mdulo 23 Los teoremas de Pappus Mdulo 24Trabajo mecnico Mdulo 25 Presin de lquidos Ejercicios Mdulos 18 al 2518 rea de una regin plana Contenidos del mdulo 18.1 rea entre curvas 18.2 Ejemplos resueltos de reas entre curvas Objetivos del mdulo 1. Usar la integracin en aplicaciones geomtricas. En particular, determinar el rea bajo una funcin positiva y definida en un intervalo [a, b]. 2. Generalizar el objetivo anterior en determinar el rea entre dos o ms curvas en el plano cartesiano. Preguntas bsicas 1. El valor medio de una funcin f(x) en el intervalo [a, b] viene dado por 1 .b M= fxd() x. Calcule el valor medio de f(x) = x2 en el intervalo [0, 3] y a ba pruebe que el rea comprendida entre y= Me y= f(x) es igual al rea comprendida entre y= My el eje x. 11 2. Sea R la regin entre las curvas y= e y= y a la derecha de la recta xx+1 x= 1. El rea de R es finita o infinita? Si es finita, calcule su valor. 11 3. Sea Rla regin entre las curvas y= e y=2 y a la derecha de la recta x= 1. xx El rea de R es finita o infinita? Si es finita, calcule su valor. Introduccin En el mdulo 13 del captulo 3 se introdujo la integral definida para calcular el rea bajo una curva. En particular, cuando fx() =0 en [a, b] considerbamos una n A= ft () .xaproximacin para el rea Ala igualdad . ii, y como valor real del rea i=1 el lmite de las sumas de Riemann cuando el nmero de rectngulos aumentaba indefinidamente, es decir, A= lim . fti .xi =. () n () bfxdx. n.8 a i=1 Isaac Barrow El telogo y matemtico ingls Isaac Barrow naci en Londres en 1630 y muri all mismo el 4 de mayo de 1677. Barrow es considerado por muchos como uno de los matemticos ms relevantes de su tiempo (sobre todo en geometra), pero histricamente se le ha dado poco mrito al papel que desempe en el desarrollo del clculo a pesar de que los mtodos que empleaba eran muy prximos a los que se usan actualmente en esta rama de las matemticas. Barrow empez se formacin acadmica en el colegio Charterhouse de Londres (donde era tan agresivo y combativo que se cuenta que su padre rezaba a Dios para pedirle que si algn da tena que llevarse a alguno de sus hijos, se llevara a primero a Isaac) y complet su educacin en el Trinity College de la Universidad de Cambridge. Fue muy estudioso y sobresali especialmente en matemticas. Tras graduarse en 1648 residi unos cuantos aos en Cambridge, luego viaj por Francia, Italia e incluso Constantinopla, y tras varias aventuras regres a Inglaterra en 1659. Fue ordenado al ao siguiente, as como nombrado profesor de griego en Cambridge. En 1662 ocup el cargo de profesor de geometra en el colegio Gresham y un ao ms tarde fue elegido para ocupar la ctedra Lucasiana en Cambridge. Mientras desempeaba esta ctedra public dos trabajos matemticos de gran importancia, el primero de ellos en geometra y el segundo en ptica. En 1669dej la ctedra en favor de su alumno Isaac Newton, quien fue considerado durante mucho tiempo el nico matemtico ingls que le ha superado. Durante este tiempo tambin escribi, entre otras obras, Exposiciones del credo, Declogo y Sacramentos. El resto de su vida fue muy devota pues se dedic al estudio de la teologa. En 1672 fue director del Trinity 203Elementos bsicos de clculo integral y seriesCaptulo 4: Aplicaciones de la integral definida College, donde fund una biblioteca que regent hasta su muerte, a la temprana edad de 47 aos. Adems de los trabajos ya mencionados, escribi importantes tratados en matemticas: Lecciones de matemticas (que hablan en su mayora de fundamentos de metafsica para verdades matemticas), Elementos de Euclides, Datos de Euclides, Lecciones de geometra y Lecciones de ptica. De esta ltima se dice en el prefacio que el propio Newton las revis y corrigi personalmente, aadiendo ideas propias. Como hombre, Barrow fue en todos los aspectos digno de sus grandes talentos, aunque tuvo una gran vena excntrica. Ha sido descrito como bajo de estatura, flaco y de plido aspecto, despreocupado en sus vestimentas y empedernido fumador. Fueron notorias su fuerza y valenta, y se cuenta que una vez cuando viajaba hacia el Este logr esquivar el ataque de unos piratas gracias a su destreza. Su predisposicin e ingenio le hicieron favorito del rey Carlos II, quien indujo a sus cortesanos a respetarle aunque no le mostraran aprecio. En este mdulo extenderemos la nocin para dos funciones fy gcontinuas y tales que f()x= g(x) en [a, b]. Para ello se considerarn rectngulos de rea [ f()t gt () ].x, los cuales, al efectuar las sumas de Riemann y el paso al lmite, i ii proporcionan el valor real del rea entre las curvas como la igualdad A= b[ () ()] x fx gxd. .a18.1 rea entre curvas Mdulo 18: rea de una regin plana Sean f y gdos funciones continuas en el intervalo [, ]abtales que para todo xen [a,b]. () ()fx =g x Figura 18.1 Nos proponemos encontrar el valor del rea Ade la regin Rcomprendida por las funciones g()x y las rectas x=a y x=b. f(),x Realicemos una particin Pde [, ]ab as: ax